Sorozatok B.: Tanulmányok a számosságokról, a végtelenről, a prímekről, a rac. és irrac számokról
|
|
- Miklós Kerekes
- 8 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Sorozatok B.: Tanulmányok a számosságokról, a végtelenről, a prímekről, a rac. és irrac számokról A. Sorozatok általában B. Tanulmányok a végtelenről, a prímekről a racionális és irracionális számokról. I. Számosság fogalma 1) Halmazok ekvivalenciája a) Hogy is számolunk? (i) Gyerekkorban: ujjunkon - az ujjakat párbaállítjuk az 1,2,3,4,5 fogalmakkal, majd az ujjunkkal párbaállítjuk az általunk látott tárgyakat. Ugyanígy a birkapásztor: amikor reggel kimennek a birkák, akkor minden birkánál bedob egy vödörbe egy kavicsot. Amikor hazajönnek a birkucik, akkor kivesz minden karámba belépőnél egy kavicsot. Ha nem maradt kavics, rendben van, ha maradt: baj van. (ii) (iii) Hogyan állapítjuk meg, hogy az osztályban ugyanannyi szék van mint tanuló? Furcsa párbaállítás Páros természetesek; természetesek; páratlan természetesek; 10-nél nagyobb természetesek? Nyilvánvalónak tűnik, hogy a természetesek többen vannak a párosoknál. De csavarhatjuk úgy is, hogy a párosok legyenek többen a természetesnél: 0 10; 1 12; 2 14; 3 16 stb. Így minden természetesre ráül egy páros, de még marad is ki! n n n 2n+1 n 2n stb. Párbaállítunk: ekvivalens hozzárendelés Soroz. B/1
2 2) Bijekció f( ):A B függvény bijekció, ha f( ) fv, vagyis minden A-beli elemnek csak 1 B-beli elem lehet a képe Ha különböző A-beli elemek képe különböző (f injektív), Minden B-beli elem kép (f szürjektív). Nézzünk rá példákat: Függvény (leképezés): Két halmaz elemeinek egymáshoz rendelése oly módon, hogy az első halmaz minden eleméhez pontosan egy elemet rendelünk a második halmazból. Az első halmaz neve értelmezési tartomány, a második halmazé képhalmaz, az értelmezési tartomány elemeihez rendelt elemek halmaza az értékkészlet. Kölcsönösen egyértelmű függvény (injekció): Olyan függvény, ami az értelmezési tartomány bármely két különböző eleméhez az értékkészlet különböző elemeit rendeli. (Invertálható) Pl.: Ráképezés (szürjekció): Olyan függvény, amely képhalmazának minden elemét rendeli értelmezési tartományának valamelyik eleméhez. Kölcsönösen egyértelmű ráképezés (bijekció) Olyan függvény, ami injekció is és szürjekció is. Ez utóbbi fogalom felhasználható egy új, halmazelméletben rendkívül nagy jelentőséggel bíró fogalom definiálására: Ha A és B elemeit párokba akarjuk állítani (A elemeihez B-beli párokat hozzárendelni), akkor a következőt várjuk el Különböző elemekhez különböző pár tartozzon, Minden B-beli elem valamelyik A-beli elem párja legyen. Így bijekciókra bijektív fv-ekre hivatkozhatunk mint párbaállító leképezésekre. Egyenlő számosságú halmazok: Két halmaz egyenlő számosságú, ha van olyan bijekció, ami az egyiket a másikra képezi le. Soroz. B/2
3 3) Véges halmazok elemszáma Def: Véges halmaz: A H halmazt véges halmaznak nevezzük, ha van olyan n N szám, amelyre H ekvivalens az {x N x n} halmazzal - vagyis: Egy halmazt végesnek mondunk, ha véges sok eleme van, azaz, ha elemei számát egy természetes számmal meg lehet adni. (Matematikai Kisenciklopédia) Bizonyítható, hogy a véges halmazokra igaz, hogy a halmaz bármely valódi részhalmazának kevesebb eleme van, kisebb az elemszáma az eredeti halmaznál: Ezt definícióként is szokták használni: Egy halmazt akkor mondunk véges halmaznak, ha nem létezik olyan valódi részhalmaza, hogy közte és a valódi részhalmaza között bijekció létesíthető. (Egy halmaz véges, ha nem ekvivalens egyetlen valódi részhalmazával sem). A két definíció ekvivalens, nem bizonyítjuk. 4) Végtelen halmaz: Első definíció: a végtelen halmaz olyan halmaz, amely nem véges. Vagyis: egy halmazt végtelennek mondunk, ha végtelen sok eleme van, azaz elemeinek számát semmiféle természetes számmal nem lehet megadni. Ilyen például: egy szakasz pontjainak halmaza, v. a természetes számok halmaza. Érdekes ugye: N={1;2;3;4;5 }De van-e olyan nagy természetes szám, amellyel jelölni lehetne az elemszámát. Itt bajban vagyunk: hiszen ha egy n természetes számmal jelölöm az elemszámát, akkor gond van, hiszen van n+1 értékű természetes szám, amely miatt n-nel nem lehet megadni az elemei számát. Tehát ha úgy vélem, hogy tényleg létezik követő-halmaz, vagyis amely tartalmazza minden tagjának rákövetkezőjét, akkor sajnos azt is kell mondanom, hogy létezik egy olyan א 0 jel, amely jelzi a természetes számok halmazának elemei-számát, vagyis számosságát, melyet alább definiálunk. Ez bizonyosan nem valami valós, v. természetes típusú szám, pedig valamiképpen mennyiséget jelöl. Soroz. B/3
4 5) Definíció: Számosság Két végtelen halmazra ne mondjuk azt, hogy az elemszáma megegyezik, mert ezt a végeseknél könnyebb mondani. A és B halmaz egyenlő számosságú, ha a két halmaz között bijekció létesíthető. (Vagyis létezik egy olyan bijektív ϕ( ) függvény, melynek alaphalmaza A és képhalmaza B. két halmaz egyenlő számosságú ( A~B ; vagyis A egyenlő számosságú B-vel ) ha elemei között egy-egyértelmű megfeleltetés létesíthető) A ekvivalens B-vel, ha egyenlő számosságú. Vagyis véges halmazoknál elemszámról - végteleneknél számosságról beszélünk. 6) Úgy tűnik, hogy a végtelen halmazoknál megszűnik az az arisztotelészi állítás, hogy a rész kisebb mint az egész. Axióma kérdése, hogy létezik-e végtelen halmaz! A halmazok axióma-rendszerében azt mondjuk, hogy végtelen halmaz. Soroz. B/4
5 + Mutasd meg, hogy egy körnek ugyanannyi pontja van, mint egy zárt szakasznak! II. A végtelen számosság 1) Példák: a) Szállodák ~ természetes számok Mese: végtelen szobás szálloda. Minden szoba tele van. Jön 10 új ember. Mit tegyen a portás? Mese: 2 db. végtelen szobás szálloda. Minden szoba tele van. Az egyikben bombariadó van, mindenki átköltözik a másikba. Mit tegyen a portás? b) Két szakasz; két kör Mutasd meg, hogy két szakasz, két kör pontjainak száma megegyezik. c) Nyílt és zárt szakasz: ha akarom a zárt a több, de ha kivágok a nyíltból egy zártat, akkor a nyílt lesz a több. Új gondolat: nagyon nehéz: ekvivalenciatétel 2) Def.: Azokat a halmazokat, amelyek egyenlő számosságúak a természetes számok halmazával, megszámlálhatóan végtelen számosságúnak, vagy röviden megszámlálhatóan végtelennek nevezzük. a) Pl.: négyzetszámok, páros számok, az 1/n alakú racionális számok stb. b) Igaz-e, hogy minden sorozat értékkészlete megszámlálhatóan végtelen. Válasz: nem, mert pl: a n :=1 c) Igaz-e, hogy minden megszámlálhatóan végtelen halmaz elemei sorozatba rendezhetők, vagyis felírhatók a 1 ; a 2 ; a 3 ; a n formában? Válasz: Igen. U.i.: Ha egy A halmaz megszámlálhatóan végtelen, akkor egyenlő számosságú N-nel, vagyis létezik elemeik között egy kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés. Ekkor a megfeleltetett természetes számok legyenek a sorozat indexei, s a tagok a megfelelő indexhez rendelt A-beli tagok. 3) Def: az előbbiek alapján a természetes számok halmazával ekvivalens számosságú halmazokat megszámlálhatóan végtelen halmazoknak nevezzük. 4) Áll.: végtelen számosságú halmaznak megszámlálhatóan végtelen részhalmaza. Biz.: Legyen A egy végtelen számosságú halmaz. Vegyük ki egy elemét, ez legyen a 1. Marad A/{a 1 } Ennek is vegyük ki egy elemét, ez legyen a 2. Marad A/{a 1 ;a 2 } Ez az eljárás vég nélkül folytatható, ugyanis ha kiürülne a k-adik lépesben, akkor csak véges sok (k db.) eleme lett volna az A-nak. Így az a 1 ;a 2 ;a 3 ;a 4 ; sorozathoz jutunk, melynek számossága megszámlálhatóan végtelen.) Soroz. B/5
6 + Adjunk meg a pozitív egész számoknak három olyan részhalmazát, amelyek közül bármely kettő közös része végtelen, de a három halmaznak nincs közös eleme. 5) Tétel: végtelen számosságú halmaznak vele egyenlő számosságú valódi részhalmaza. Biz.: Legyen A egy végtelen halmaz. Ebből kiválaszthatunk egy N-nel ekvivalens részhalmazt (lehet hogy valódi), ez legyen S halmaz, amelyet rendezzünk sorozatba: {a n }. Ennek az {a n } sorozatnak vele ekvivalens számosságú indexsorozata: pl: b 1 :=a 2 ; b n :=a n+1. E sorozat elemei alkossák T halmazt. Természetesen: S~T. Ekkor: A~(A\S) T=A\{b 1 }, hiszen a következő megfeleltetést tehetjük: a S a a, ha a S! egy kölcsönösen egyértelműen megfeleltethető b T: a b. Végül vegyük észre: (A\S) T valódi részhalmaza A-nak (vagyis vele nem egyenlő).) CD I/II/262/a-j; 267/a-g 6) Mindezek után megfogalmazhatjuk egy olyan definícióját a végtelen halmaznak, amely nem hivatkozik számlálásra vagy a természetes számokra: Def.: Egy halmazt végtelennek mondunk, ha létezik vele egyenlő számosságú valódi részhalmaza. (Itt most egy kis fából vaskarika van: először végtelen halmazokkal dolgoztunk, s csak utána definiáltuk le őket. Az is kérdés, hogy -e ilyen végtelen halmaz. Ezt ugyanúgy létre kell hozni axiómával, ahogy pl. az üres halmazt. De akkor milyen végtelen halmazt hozzunk létre. Elég egyet, s abból legyártjuk a többit, vagy sokat kell létrehozni?) 7) Állítások: a) Egy nyílt szakasz pontjainak száma egyenlő számosságú egy zárt szakaszéval b) Egy kör pontjainak száma egyenlő számosságú egy egyenesével c) Az A halmaz végtelen, a B halmaz véges A B~A. d) Az A halmaz végtelen, a B megszámlálhatóan végtelen A B~A. e) Egy ravasz kérdés: A halmaz végtelen, B~A, B A=, Igaz-e, hogy A B~A? 8) Rendezések a számosságok között Az A halmaz számossága nem nagyobb a B halmaz számosságánál, ha van a B halmaznak olyan részhalmaza, ami A-val ekvivalens. Az A halmaz számossága kisebb a B halmaz számosságánál, ha nem nagyobb nála és nem egyenlő vele. Persze kérdés: létezik-e az א 0 -nál nagyobb számosság! Soroz. B/6
7 + Színezzük meg a koordinátarendszer rácspontjait két színnel, kékkel és pirossal úgy, hogy minden vízszintes egyenesen csak véges sok kék rácspont legyen és minden függőleges egyenesen csak véges sok piros rácspont legyen. (Rácspontnak a sík olyan pontjait nevezzük, amelyeknek mindkét koordinátája egész szám.) III. A racionális, az algebrai és a valós számok számossága 1) Bevezető: a) Lsd.: I/1/a: végtelen sok végtelen hosszú szálloda b) Írógép Kódolás: Van egy írógépem, melynek 11 billentyűje van. 0,1,2,3, 9, és a szóköz. Az írógépben a papír végtelen hosszú. Természetes számokat adunk Péternek, valahányat, valamilyen hosszúakat. Péter leül a gép elé, és leírja őket. Majd kimegy a szobából. Bejön Pál, és megnézi a papírt, és vissza tudja mondani a Péter által írt számokat. Rendben van. Igenám, de elromlik a 9-es billentyű! Mit tegyenek, hogy Péter el tudja olvasni a Pali által kódolandó számokat? Ha megvan a megoldás, akkor sajnos elromlik a 8-as is. Sőt: már ott tartunk: csak az 1,2 és szóköz van. Balhé van: elromlik a 2-es is. Mégnagyobb balhé van: elromlik a szóköz is! (Van megoldás, és a feladat az algebrai számok számosságának a problémája!) 2) Állítás: Z sorba rendezhető, vagyis számossága megegyezik N számosságával. Biz.: Tudjuk, létezik A és B halmaz, olyan, hogy A~N és B~N és A B= és A B=N. Pl.: a párosak és a páratlanok. De ekkor: mivel N~Z + 0 illetve N~Z, A~Z + 0 illetve B~Z, így A B~Z, vagyis Z~N. Vagyis: találhatunk egy megfelelő sorbarendezést: ( 1) n n 2 n= 1 Soroz. B/7
8 + Károly és Péter a következőt játsszák: Péter minden lépésben kiszínez egy még nem színes pontot pirosra, Károly száz még nem színes pontot kékre. A sík összes pontja közül választhatnak. Péter célja az, hogy legyen három olyan piros pont, amelyek egy szabályos háromszög csúcsai. Meg tudja-e ezt akadályozni Károly, ha Péter okosan játszik? 5) CD I/II/267/c, g 3) Áll: A, B, C diszjunkt, megszámlálhatóan halmazok uniója is megszámlálhatóan végtelen. 1. Biz.: A={a 1, a 2, a 3, } B={b 1, b 2, b 3, } C={c 1, c 2, c 3, } A B C={a 1 ;b 1 ;c 1 ;a 2 ;b 2 ;c 2 ; }( fésűs egyesítés ) 2. Biz.: Az előbbi pontban láttuk, hogy két megszámlálhatóan végtelen halmaz egyesítésével nyert halmaz szintén megszámlálhatóan végtelen. Ekkor az unióképzés asszociativitása miatt: A B C=(A B) C. Ekkor (A B) számossága megszámlálhatóan végtelen, és ezt újra egy megszámlálhatóan végtelen halmazzal egyesítem. Ezzel a módszerrel n db. megszámlálhatóan végtelen halmaz uniója is megszámlálhatóan végtelen. 4) Áll.: A racionális számok számossága is megszámlálhatóan végtelen számosság; vagyis ZxN számossága megszámlálhatóan végtelen. Biz.: Először csak a pozitív racionálisakat számoljuk össze: N + N + : (igazából egy kicsit kevesebbet) Írjuk le először a pozitív természeteseket (ezek az 1 nevezőjűek). Utána a 2 nevezőjű racionálisakat (számláló és nevező relatív prím legyen!), majd a 3 nevezőjűeket stb /2 3/2 5/2 7/2 9/2 1/3 2/3 4/3 5/3 7/3 1/4 3/4 5/4 7/4 9/4 1/5 2/5 3/5 4/5 6/5 1/6 5/6 7/6 11/6 13/6 1/7 Ezek után cikcakk út mentén bejárhatjuk a táblázatot, és bármely racionális számhoz egyértelműen rendelhetünk egy lépésszámot. Ez a pozitívokat rendezte sorba, hátra van még a 0 és a negatívok, de azt már az előbbiek alapján könnyen be tudjuk látni, hogy a 0, a pozitív rac-ok és a negatív rac-ok uniója is megszámlálhatóan végtelen. Az előző cikkcakk bejárásból következik a következő tétel: Tétel: Megszámlálhatóan végtelen sok megszámlálhatóan végtelen halmaz egyesítése is megszámlálhatóan végtelen. Soroz. B/8
9 7) Mutasd meg, hogy 2 irracionális! + Aladár (O) és Béla ( ) a következő játékot játsszák végtelen négyzetrácsos papíron. Aladár egy O-t tehet, Béla két - et (akárhová, nem kell együtt lennie a két -nek). Béla célja az, hogy valamelyik vízszintes sorban száz legyen egymás mellett. Ha Béla okosan játszik, meg tudja-e ezt akadályozni őt Aladár ebben? 5) Szám-n-esek : Áll.: egy megszámlálható halmaz elemeiből képzett rendezett szám-n-esek halmaza is megszámlálható: Biz.: A 4. pont 2. bizonyítása szerint: a számkettesek megszámlálhatóan vannak. Ezekből és a N-ből a cikcakk féle elrendezés segítségével képezzük a számhármasokat: (1;(a;b)) (1;(a;c)); (2;(a;b)); stb. Ezekből is tehát megszámlálhatóan sok van. Ugyanígy a szám 4-esek stb. Vagyis bármely n-re megszámlálhatóan sok szám-n-es van. 6) Def.: Az egészegyütthatós algebrai egyenletek gyökeit algebrai számoknak nevezzük. pl.: a 3, mert: x 3=0 egyenletnek a gyöke. de a 2 is algebrai szám: x 2 2=0 egyenlet megoldásai közül az egyik. 7) Áll.: Az algebrai számok számossága megszámlálhatóan végtelen. Biz.: Írjuk fel az egyenleteket: a 1 x c 1 =0 a 2 x c 2 =0, a 1 x 2 +b 1 x d 1 =0 Itt az együtthatók felső kitevője is megkülönböztető index. Végeredményben az egész együtthatós egyenleteket számkettesekkel (a 1 ;c 1 ), stb, számhármasokkal (a 1 ;b 1 ;c 1 ) stb, szám-n-esekkel jelölhetjük kölcsönösen egyértelműen. pl: 5x 5 +4x 2 3=0 (5;0;0;4;0; 3) Mivel bármely n-re a szám-n-esek megszámlálhatóan végtelen sokan vannak, ezért a cikkcakk féle elrendezés szerint az első sorba leírjuk a számketteseket, a második sorba a számhármasokat, az n-edik sorba a szám-n-eseket, majd a újra a cikkcakk féle módszerrel összeszámoljuk őket sorba rendezzük őket. VIGYÁZAT: ez nem azt jelenti, hogy az irracionális számok megszámlálhatóan sokan vannak, csak azt, hogy az algebraiak vannak megszámlálható sokan. Soroz. B/9
10 CD I/II/263; IV. A valós számok számossága 1) Állítás: a valós számok számossága nem megszámlálható számosság, annál nagyobb: Módszer: a Cantor féle átlós módszer Tegyük fel, hogy a valós számok mégis megszámlálhatóan végtelen halmazt alkotnak, azaz sorozatba lehet őket rendezni, ekkor a 0 és 1 közé esőket is sorozatba lehet rendezni. A sorozat a következő: 0,a 1,1 a 1,2 a 1,3 a 1,4 a 1,5 a 1,6 0,a 2,1 a 2,2 a 2,3 a 2,4 a 2,5 a 2,6 + Egy zsákban végtelen sok cédula van, mindegyiken egy pozitív egész szám. Akárhogyan húzunk ki végtelen sok cédulát, mindig van közöttük kettő, amelyeken álló számok különbsége legfeljebb egy millió. Bizonyítsuk be, hogy van olyan szám, amelyik végtelen sok cédulán szerepel. 0,a 3,1 a 3,2 a 3,3 a 3,4 a 3,5 a 3,6 és így tovább. a n,k itt az n. valós szám k. tizedes jegyét jelöli. Készítünk egy olyan s = 0,b 1 b 2 b 3 b 4 b 5 0 és 1 közötti valós számot, ami biztosan nem szerepel a felsorolásban. Ennek a számnak a tizedes jegyeit úgy kapjuk meg, hogy sorban elrontjuk az egyes számokat. b 1 legyen tetszőleges a 1,1 -től és 0-tól különböző, b 2 legyen tetszőleges a 2,2 -től és 0-tól különböző stb. b i legyen tetszőleges a i,i -től különböző számjegy. Ekkor s biztosan nem szerepel a felsorolásban, hiszen a sorozat minden elemétől legalább egy jegyben különbözik. A bizonyítás már majdnem jó: hiszen egyes valós számoknak kétféle tizedestört kódolása, alakja van, mint például a két tizednek: 0,19999 = 0, Így megtörténhet az, hogy bár az általunk készített szám mindegyik felsorolttól különbözik az alakját illetően, mégis ott szerepel közöttük. A legegyszerűbben úgy kerülhetjük ezt el, hogy b i legyen sohase legyen 9. Ugyanígy persze maguknál a leírt valós számoknál se engedjük meg a valamely jegytől kezdve állandó 9-essel kifejezett számot! A valós számok számosságát continuum számosságnak nevezzük, jele c, gót c. 2) Így kiderült, hogy a valós számok sokkal többen vannak, mint a racionális számok, vagy az algebrai számok. 3) Azokat a valós számokat, melyek nem algebraiak: transzcendens számoknak nevezzük. Ilyen például az e vagy a π Soroz. B/10
11 CD I/II/268, Van-e a pozitív egész számoknak olyan részhalmaza, amely tartalmaz akármilyen hosszú számtani sorozatot, de nem tartalmaz végtelen hosszút? + Tigris felfelé tud mászni a fán, de lefele nem tud. Van-e olyan fa, amelyen Tigris akárhány emelet magasra fel tud mászni, de végtelen magasra nem tud felmászni. (A fán emeletenként vannak elágazások.) V. Minden számosságnál van nagyobb számosság 1) Az egyenlő számosság ekvivalencia reláció-e? Reflexív: A~A Szimmetrikus: A~B B~A Tranzitív: A~B; B~C A~C Ezt hogyan lehetne belátni? Vagyis az egyenlő számosságú reláció ekvivalencia reláció. Iyen módon tehát a halmazok ekvivalencia-osztályokba sorolhatóak. Két halmaz akkor és csak akkor tartozik egy osztályba, ha egyenlő számosságú. 2) Határozzuk meg egy n-elemű halmaz hatványhalmazának számosságát! (Lsd. Teljes Indukció: Sorozatok C) 3) Állítás: H < P(H) Mi következik a tételből? Az, hogy minden számosságnál van nagyobb számosság, azaz nincs legnagyobb számosság. Biz.: Indirekt Legyen egy H végtelen halmaz, és P=P(H). Tegyük fel, hogy létesíthető egy kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés a két halmaz H és P között. Ekkor kétféle H-beli elem létezik: (h és h típusú): h p típusú, úgy, hogy h H és p P és h p. (Nyilván p H-ban részhalmaz!) h p típusú, úgy, hogy h H és p P és h p. (Nyilván p H-ban részhalmaz!) H 1 :={h H h a hozzá rendelt P-beli elemnek} H 2 :={h H h a hozzá rendelt P-beli elemnek} (Ha akarom, megcsinálhatom úgy, hogy egyik halmaz se legyen üres, de ez nem fontos) Ekkor: H 1 H 2 =H és H 1 H 2 = Nyilván H 2 H, vagyis H 2 P, van egy hozzá tartozó H-beli elem, ahol k H Nézzük meg, ezt a párt: k H 2. Vizsgáljuk meg, hogy k hozzátartozik-e H 2 -höz, vagy sem. (Hiszen vagy benne van, vagy nincs benne, hiszen H 2 H k H 2 k olyan típusú, hogy k H 2 k H 2 k olyan típusú, hogy k H Vagyis ellentmondásra jutottunk! Soroz. B/11
12 4) Belátható, hogy P(N) = R. Pl.: Ruzsa I.: A matamatika és a filozófia határán: 306.o Nézzük az {1;3;4;5;11} részhalmazt: Felül a természetesek, alatta jelölve: a kijelölt részhalmazban benne van, vagy nincs: 1 v. 0. Nézzük az {2;4;6;8 } párosakból álló részhalmazt: Most az alsókból csináljunk diadikus, - kettes számrendszerbeli, [0;1] - törtet úgy, hogy: mindegyik elé egy 0-t írunk és egy vesszőt: {1;3;4;5;11} 0, {2;4;6;8 } 0, Nyilván a véges racionálisakat kétféleképpen is leírtuk, de az csak megszámlálhatóan végtelennel növel Mindenesetre a [0,1] valós számokkal állítottuk párba a P(N), amely már ekvivalens R-rel. Így: a<c<c 1 <c 2, ahol: a az N, c az R stb halmazok számossága. א 0 <c<c 1 <c 2 Soroz. B/12
13 5) Egy érdekes kérdés: Beláttuk az Algebrai számok számosságának vizsgálatakor, hogy a szám n-esek (szám 1-esek, szám-2-esek, szám-3-asok stb.) megszámlálható sokan vannak. Igenám, de írjuk csak le ezeket: (0), (1), (2), (3), (4), (5). (megszámlálható sok) (0,1) (0,2), (1,0), (megszámlálható sok) (0,0,0,0), (0,1,2,3) (megszámlálható sok) Ha a zárójeleket nem rendezettségnek tekintem, és ráadásul még el is hagyom azokat a számn-eseket, melyekben 2 azonos elem szerepel, akkor - csökkentéssel - megkaptam a természetes számok hatványhalmazának egy felírását: 1 eleműek, 2 eleműek, De az előbbiekből az következik, hogy a természetes számok hatványhalmazának számossága nem ekvivalens, nagyobb számosságú a természetes számok halmazánál Hol van a hiba? Pl.: nincs sorszáma a következő P(N)-beli halmaznak: N\{1;2;3} Jó, de akkor javítsunk a dolgon: vegyük először a fenti szám-1-esek, szám-2-esek stb. halmazt, amely megszámlálható. Ezek után írjuk fel ugyanígy azokat a halmazokat is, amelyek a következőképpen képződnek: N\{ }, ahol a természetesekből a szám 1-eseket, szám-2-eseket, stb. vesszük ki. Nyilván ezek is megszámlálhatóan sokan vannak. Namármost, e két megszámlálható halmaz uniója is megszámlálható (fésűs összerendezés!) Akkor most hol a hiba? Nincs sorszáma mondjuk: a párosoknak. Akkor azokat is legyártjuk: 2 -vel oszthatók stb. VIGYÁZAT: VÉLETLENÜL NEM KÖZELÍTÜNK A RENDEZÉSEKHEZ, A DEDEKIND SZELETEKHEZ? Kéne egy általános módszer! Nézzük a Cantor félét ehhez is! Soroz. B/13
KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 4 IV. FÜGGVÉNYEk 1. LEkÉPEZÉSEk, függvények Definíció Legyen és két halmaz. Egy függvény -ből -ba egy olyan szabály, amely minden elemhez pontosan egy elemet rendel hozzá. Az
RészletesebbenMindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) Halmazok 1
Halmazok 1 Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) Halmazok 2 A fejezet legfontosabb elemei Halmaz megadási módjai Halmazok közti műveletek (metszet,
RészletesebbenMindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé.
HA 1 Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) HA 2 Halmazok HA 3 Megjegyzések A halmaz, az elem és az eleme fogalmakat nem definiáljuk, hanem alapfogalmaknak
RészletesebbenDiMat II Végtelen halmazok
DiMat II Végtelen halmazok Czirbusz Sándor 2014. február 16. 1. fejezet A kiválasztási axióma. Ismétlés. 1. Deníció (Kiválasztási függvény) Legyen {X i, i I} nemüres halmazok egy indexelt családja. Egy
RészletesebbenItt és a továbbiakban a számhalmazokra az alábbi jelöléseket használjuk:
1. Halmazok, relációk, függvények 1.A. Halmazok A halmaz bizonyos jól meghatározott dolgok (tárgyak, fogalmak), a halmaz elemeinek az összessége. Azt, hogy az a elem hozzátartozik az A halmazhoz így jelöljük:
Részletesebben1. tétel Halmazok és halmazok számossága. Halmazműveletek és logikai műveletek kapcsolata.
1. tétel Halmazok és halmazok számossága. Halmazműveletek és logikai műveletek kapcsolata. HLMZOK halmaz axiomatikus fogalom, nincs definíciója. benne van valami a halmazban szintén axiomatikus fogalom,
RészletesebbenHalmazelméleti alapfogalmak
Halmazelméleti alapfogalmak halmaz (sokaság) jól meghatározott, megkülönböztetett dolgok (tárgyak, fogalmak, stb.) összessége. - halmaz alapfogalom. z azt jelenti, hogy csak példákon keresztül magyarázzuk,
RészletesebbenHHF0CX. k darab halmaz sorbarendezésének a lehetősége k! Így adódik az alábbi képlet:
Gábor Miklós HHF0CX 5.7-16. Vegyük úgy, hogy a feleségek akkor vannak a helyükön, ha a saját férjeikkel táncolnak. Ekkor már látszik, hogy azon esetek száma, amikor senki sem táncol a saját férjével, megegyezik
RészletesebbenSZÁMÍTÁSTUDOMÁNY ALAPJAI
SZÁMÍTÁSTUDOMÁNY ALAPJAI INBGM0101-17 Előadó: Dr. Mihálydeák Tamás Sándor Gyakorlatvezető: Kovács Zita 2017/2018. I. félév 2. gyakorlat Az alábbi összefüggések közül melyek érvényesek minden A, B halmaz
Részletesebben2014. szeptember 24. és 26. Dr. Vincze Szilvia
2014. szeptember 24. és 26. Dr. Vincze Szilvia Mind a hétköznapi, mind a tudományos életben gyakran előfordul, hogy bizonyos halmazok elemei között kapcsolat figyelhető meg. A kapcsolat fogalmának matematikai
RészletesebbenLeképezések. Leképezések tulajdonságai. Számosságok.
Leképezések Leképezések tulajdonságai. Számosságok. 1. Leképezések tulajdonságai A továbbiakban legyen A és B két tetszőleges halmaz. Idézzünk fel néhány definíciót. 1. Definíció (Emlékeztető). Relációknak
RészletesebbenMatematikai logika és halmazelmélet
Matematikai logika és halmazelmélet Wettl Ferenc előadása alapján 2015-09-07 Wettl Ferenc előadása alapján Matematikai logika és halmazelmélet 2015-09-07 1 / 21 Tartalom 1 Matematikai kijelentések szerkezete
RészletesebbenRE 1. Relációk Függvények. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!
RE 1 Relációk Függvények RE 2 Definíció: Ha A, B és ρ A B, akkor azt mondjuk, hogy ρ reláció A és B között, vagy azt, hogy ρ leképezés A-ból B-be. Ha speciálisan A=B, azaz ρ A A, akkor azt mondjuk, hogy
Részletesebbendr. Szalkai István Pannon Egyetem, Veszprém, Matematika Tanszék november 3.
Számosságok dr. Szalkai István Pannon Egyetem, Veszprém, Matematika Tanszék 2008. november 3. ### Szamoss1www.tex, 2008.09.28. Ebben a rövid jegyzetben els½osorban a végtelen halmazok méretét, elemeinek
RészletesebbenMatematika alapjai; Feladatok
Matematika alapjai; Feladatok 1. Hét 1. Tekintsük a,, \ műveleteket. Melyek lesznek a.) kommutativok b.) asszociativak c.) disztributívak-e a, műveletek? Melyik melyikre? 2. Fejezzük ki a műveletet a \
RészletesebbenAz R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit.
2. A VALÓS SZÁMOK 2.1 A valós számok aximómarendszere Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 1.Testaxiómák R-ben két művelet van értelmezve, az
RészletesebbenHALMAZELMÉLET feladatsor 1.
HALMAZELMÉLET feladatsor 1. Egy (H,, ) algebrai struktúra háló, ha (H, ) és (H, ) kommutatív félcsoport, és teljesül az ún. elnyelési tulajdonság: A, B H: A (A B) = A, A (A B) = A. A (H,, ) háló korlátos,
RészletesebbenRelációk Függvények. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!
függvények RE 1 Relációk Függvények függvények RE 2 Definíció Ha A, B és ρ A B, akkor azt mondjuk, hogy ρ reláció A és B között, vagy azt, hogy ρ leképezés A-ból B-be. Ha speciálisan A=B, azaz ρ A A, akkor
Részletesebben1. előadás: Halmazelmélet, számfogalom, teljes
1. előadás: Halmazelmélet, számfogalom, teljes indukció Szabó Szilárd Halmazok Halmaz: alapfogalom, bizonyos elemek (matematikai objektumok) összessége. Egy halmaz akkor adott, ha minden objektumról eldönthető,
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. középszint 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 8. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
RészletesebbenBOOLE ALGEBRA Logika: A konjunkció és diszjunkció tulajdonságai
BOOLE ALGEBRA Logika: A konjunkció és diszjunkció tulajdonságai 1.a. A B B A 2.a. (A B) C A (B C) 3.a. A (A B) A 4.a. I A I 5.a. A (B C) (A B) (A C) 6.a. A A I 1.b. A B B A 2.b. (A B) C A (B C) 3.b. A
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 1 I. HALmAZOk 1. JELÖLÉSEk A halmaz fogalmát tulajdonságait gyakran használjuk a matematikában. A halmazt nem definiáljuk, ezt alapfogalomnak tekintjük. Ez nem szokatlan, hiszen
RészletesebbenHalmazelmélet. 1. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Halmazelmélet p. 1/1
Halmazelmélet 1. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Halmazelmélet p. 1/1 A halmaz fogalma, jelölések A halmaz fogalmát a matematikában nem definiáljuk, tulajdonságaival
RészletesebbenKészítette: Ernyei Kitti. Halmazok
Halmazok Jelölések: A halmazok jele általában nyomtatott nagybetű: A, B, C Az x eleme az A halmaznak: Az x nem eleme az A halmaznak: Az A halmaz az a, b, c elemekből áll: A halmazban egy elemet csak egyszer
RészletesebbenKövetkezik, hogy B-nek minden prímosztója 4k + 1 alakú, de akkor B maga is 4k + 1 alakú, s ez ellentmondás.
Prímszámok A (pozitív) prímszámok sorozata a következő: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,... 1. Tétel. Végtelen sok prímszám van. Első bizonyítás. (Euklidész) Tegyük fel, hogy állításunk nem igaz, tehát véges
RészletesebbenNagyordó, Omega, Theta, Kisordó
A növekedés nagyságrendje, számosság Logika és számításelmélet, 6. gyakorlat 2009/10 II. félév Számításelmélet (6. gyakorlat) A növekedés nagyságrendje, számosság 2009/10 II. félév 1 / 1 Nagyordó, Omega,
RészletesebbenA valós számok halmaza
VA 1 A valós számok halmaza VA 2 A valós számok halmazának axiómarendszere és alapvető tulajdonságai Definíció Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti a következő axiómarendszerben
RészletesebbenDr. Vincze Szilvia;
2014. szeptember 17. és 19. Dr. Vincze Szilvia; vincze@agr.unideb.hu https://portal.agr.unideb.hu/oktatok/drvinczeszilvia/oktatas/oktatott_targyak/index/index.html 2010/2011-es tanév I. féléves tematika
Részletesebben1. Mondjon legalább három példát predikátumra. 4. Mikor van egy változó egy kvantor hatáskörében?
Definíciók, tételkimondások 1. Mondjon legalább három példát predikátumra. 2. Sorolja fel a logikai jeleket. 3. Milyen kvantorokat ismer? Mi a jelük? 4. Mikor van egy változó egy kvantor hatáskörében?
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 3 III. MEGFELELTETÉSEk, RELÁCIÓk 1. BEVEZETÉS Emlékeztetünk arra, hogy az rendezett párok halmazát az és halmazok Descartes-féle szorzatának nevezzük. Más szóval az és halmazok
RészletesebbenSE EKK EIFTI Matematikai analízis
SE EKK EIFTI Matematikai analízis 1. Blokk A matematika minden ága foglalkozik halmazokkal, ezért fontos a halmazok általános tulajdonságainak vizsgálata. A halmazok általános tulajdonságaival a matematikának
RészletesebbenA matematika nyelvér l bevezetés
A matematika nyelvér l bevezetés Wettl Ferenc 2012-09-06 Wettl Ferenc () A matematika nyelvér l bevezetés 2012-09-06 1 / 19 Tartalom 1 Matematika Matematikai kijelentések 2 Logikai m veletek Állítások
RészletesebbenElemi algebrai eszközökkel megoldható versenyfeladatok Ábrahám Gábor, Szeged
Magas szintű matematikai tehetséggondozás Elemi algebrai eszközökkel megoldható versenyfeladatok Ábrahám Gábor, Szeged Ahhoz, hogy egy diák kimagasló eredményeket érhessen el matematika versenyeken, elengedhetetlenül
RészletesebbenHalmazok; a matematikai logika elemei 1.1. A halmaz fogalma; jelölések
1 Halmazok; a matematikai logika elemei 1.1. A halmaz fogalma; jelölések A matematikában alapfogalmaknak tekintjük azokat a fogalmakat, amelyeket nem határozunk meg, nem definiálunk más fogalmak segítségével
RészletesebbenHALMAZOK TULAJDONSÁGAI,
Halmazok definíciója, megadása HALMAZOK TULAJDONSÁGAI, 1. A következő definíciók közül melyek határoznak meg egyértelműen egy-egy halmazt? a) A: a csoport tanulói b) B: Magyarország városai ma c) C: Pilinszky
Részletesebben1. Részcsoportok (1) C + R + Q + Z +. (2) C R Q. (3) Q nem részcsoportja C + -nak, mert más a művelet!
1. Részcsoportok A részcsoport fogalma. 2.2.15. Definíció Legyen G csoport. A H G részhalmaz részcsoport, ha maga is csoport G műveleteire nézve. Jele: H G. Az altér fogalmához hasonlít. Példák (1) C +
Részletesebben2011. szeptember 14. Dr. Vincze Szilvia;
2011. szeptember 14. Dr. Vincze Szilvia; vincze@fin.unideb.hu https://portal.agr.unideb.hu/oktatok/drvinczeszilvia Első pillantásra hihetetlennek tűnik, hogy egy olyan tiszta és érzelmektől mentes tudomány,
RészletesebbenSorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
Sorozatok I. DEFINÍCIÓ: (Számsorozat) A számsorozat olyan függvény, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza, értékkészlete a valós számok egy részhalmaza. Jelölés: (a n ), {a n }.
Részletesebben6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének
6. Függvények I. Elméleti összefoglaló A függvény fogalma, értelmezési tartomány, képhalmaz, értékkészlet Legyen az A és B halmaz egyike sem üreshalmaz. Ha az A halmaz minden egyes eleméhez hozzárendeljük
RészletesebbenKiegészítő részelőadás 2. Algebrai és transzcendens számok, nevezetes konstansok
Kiegészítő részelőadás. Algebrai és transzcendens számo, nevezetes onstanso Dr. Kallós Gábor 04 05 A valós számo ategorizálása Eml. (óori felismerés): nem minden szám írható fel törtszámént (racionálisént)
RészletesebbenAnalízis I. beugró vizsgakérdések
Analízis I. beugró vizsgakérdések Programtervező Informatikus szak 2008-2009. 2. félév Készítette: Szabó Zoltán SZZNACI.ELTE zotyo@bolyaimk.hu v1.7 Forrás: Dr. Weisz Ferenc: Prog. Mat. 2006-2007 definíciók
Részletesebben25. tétel: Bizonyítási módszerek és bemutatásuk tételek bizonyításában, tétel és megfordítása, szükséges és elégséges feltétel
5. tétel: Bizonyítási módszerek és bemutatásuk tételek bizonyításában, tétel és megfordítása, szükséges és elégséges feltétel Axióma: Bizonyítás: olyan állítás, amelynek igazságát bizonyítás nélkül elfogadjuk.
RészletesebbenDiszkrét matematika HALMAZALGEBRA. Halmazalgebra
Halmazalgebra Ebben a fejezetben összefoglaljuk a halmazokról tanult középiskolai ismeretanyagot, és néhány érdekességgel, módszerrel ki is egészítjük. A halmaz alapfogalom. Mondhatjuk, hogy tárgyak, fogalmak,
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I.
Számelmélet I. DEFINÍCIÓ: (Osztó, többszörös) Ha egy a szám felírható egy b szám és egy másik egész szám szorzataként, akkor a b számot az a osztójának, az a számot a b többszörösének nevezzük. Megjegyzés:
RészletesebbenArany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2010/2011-es tanév 1. forduló haladók III. kategória
Bolyai János Matematikai Társulat Oktatásért Közalapítvány támogatásával Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2010/2011-es tanév 1. forduló haladók III. kategória Megoldások és javítási útmutató 1. Határozzuk
RészletesebbenMetrikus terek, többváltozós függvények
Metrikus terek, többváltozós függvények 2003.10.15 Készítette: Dr. Toledo Rodolfo és Dr. Blahota István 1. Metrikus terek, metrika tulajdonságai 1.1. A valós, komplex, racionális, természetes és egész
RészletesebbenSorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján
Sorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján Számsorozatok, vektorsorozatok konvergenciája Def.: Számsorozatok értelmezése:
RészletesebbenEgészrészes feladatok
Kitűzött feladatok Egészrészes feladatok Győry Ákos Miskolc, Földes Ferenc Gimnázium 1. feladat. Oldjuk meg a valós számok halmazán a { } 3x 1 x+1 7 egyenletet!. feladat. Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges
RészletesebbenDiszkrét Matematika I.
Orosz Ágota Kaiser Zoltán Diszkrét Matematika I példatár mobidiák könyvtár Orosz Ágota Kaiser Zoltán Diszkrét Matematika I példatár mobidiák könyvtár SOROZATSZERKESZTŐ Fazekas István Orosz Ágota Kaiser
Részletesebben1. megold s: A keresett háromjegyű szám egyik számjegye a 3-as, a két ismeretlen számjegyet jelölje a és b. A feltétel szerint
A 004{005. tan vi matematika OKTV I. kateg ria els (iskolai) fordul ja feladatainak megold sai 1. feladat Melyek azok a 10-es számrendszerbeli háromjegyű pozitív egész számok, amelyeknek számjegyei közül
RészletesebbenHalmaz: alapfogalom, bizonyos elemek (matematikai objektumok) Egy halmaz akkor adott, ha minden objektumról eldönthető, hogy
1. előadás: Halmazelmélet Szabó Szilárd Halmazok Halmaz: alapfogalom, bizonyos elemek (matematikai objektumok) összessége. Egy halmaz akkor adott, ha minden objektumról eldönthető, hogy hozzátartozik-e,
RészletesebbenAnalízis előadás és gyakorlat vázlat
Analízis előadás és gyakorlat vázlat Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 2010-11. I. Félév 2 1. fejezet Számhalmazok és tulajdonságaik 1.1. Nevezetes számhalmazok ➀ a) jelölése: N b)
RészletesebbenDiszkrét matematika gyakorlat 1. ZH október 10. α csoport
Diszkrét matematika gyakorlat 1. ZH 2016. október 10. α csoport 1. Feladat. (5 pont) Adja meg az α 1 β szorzatrelációt, amennyiben ahol A {1, 2, 3, 4}. α {(1, 2), (1, 3), (2, 1), (3, 1), (3, 4), (4, 4)}
RészletesebbenMegyei matematikaverseny évfolyam 2. forduló
Megyei matematikaverseny 0. 9. évfolyam. forduló. Mennyi a tizenkilencedik prím és a tizenkilencedik összetett szám szorzata? (A) 00 (B) 0 (C) 0 (D) 04 (E) Az előző válaszok egyike sem helyes.. Az 000
RészletesebbenMagasabbfokú egyenletek
86 Magasabbfokú egyenletek Magasabbfokú egyenletek 5 90 a) =! ; b) =! ; c) = 5, 9 a) Legyen = y Új egyenletünk: y - 5y+ = 0 Ennek gyökei: y=, y= Tehát egyenletünk gyökei:, =!,, =! b) Új egyenletünk: y
RészletesebbenALAPFOGALMAK 1. A reláció az program programfüggvénye, ha. Azt mondjuk, hogy az feladat szigorúbb, mint az feladat, ha
ALAPFOGALMAK 1 Á l l a p o t t é r Legyen I egy véges halmaz és legyenek A i, i I tetszőleges véges vagy megszámlálható, nem üres halmazok Ekkor az A= A i halmazt állapottérnek, az A i halmazokat pedig
RészletesebbenDiszkrét matematika I. gyakorlat
Vizsgafeladatok megoldása 2012. december 5. Tartalom Teljes feladatsor #1 1 Teljes feladatsor #1 2 Teljes feladatsor #2 3 Teljes feladatsor #3 4 Teljes feladatsor #4 5 Válogatott feladatok 6 Végső bölcsesség
RészletesebbenBevezetés a matematikába (2009. ősz) 1. röpdolgozat
Bevezetés a matematikába (2009. ősz) 1. röpdolgozat 1. feladat. Fogalmazza meg a következő ítélet kontrapozícióját: Ha a sorozat csökkenő és alulról korlátos, akkor konvergens. 2. feladat. Vezessük be
RészletesebbenDiszkrét matematika 2.
Diszkrét matematika 2. 2018. november 23. 1. Diszkrét matematika 2. 9. előadás Fancsali Szabolcs Levente nudniq@cs.elte.hu www.cs.elte.hu/ nudniq Komputeralgebra Tanszék 2018. november 23. Diszkrét matematika
Részletesebben1.1 Halmazelméleti fogalmak, jelölések
1.1 Halmazelméleti fogalmak, jelölések Alapfogalmak (nem definiáljuk) Halmaz x eleme az A halmaznak x nem eleme A halmaznak Jelölések A,B,C, x A x A SiUDWODQ V]iRN Halmaz megadása: Elemeinek felsorolásával:
Részletesebben4.2. Tétel: Legyen gyenge rendezés az X halmazon. Legyen továbbá B X, amelyre
4.2. Tétel: Legyen gyenge rendezés az X halmazon. Legyen továbbá B X, amelyre Az értékelő függvény létezése (folytatás) p. 1/8 4.2. Tétel: Legyen gyenge rendezés az X halmazon. Legyen továbbá B X, amelyre
RészletesebbenA lehetetlenségre visszavezetés módszere (A reductio ad absurdum módszer)
A lehetetlenségre visszavezetés módszere (A reductio ad absurdum módszer) Ezt a módszert akkor alkalmazzuk, amikor könnyebb bizonyítani egy állítás ellentettjét, mintsem az állítást direktben. Ez a módszer
RészletesebbenKISLEXIKON : HALMAZOK, SZÁMHALMAZOK, PONTHALMAZOK. Tárgymutató: I.
Matematika érettségi kislexikon I. 1 Huszk@ Jenő I. \ \ KISLEXIKON : HLMZOK, SZÁMHLMZOK, PONTHLMZOK Tárgymutató: I. oldal sorszám téma oldal sorszám téma 3 12 Halmazok ábrázolása 4 14 Halmazok metszete
RészletesebbenFüggvény határérték összefoglalás
Függvény határérték összefoglalás Függvény határértéke: Def: Függvény: egyértékű reláció. (Vagyis minden értelmezési tartománybeli elemhez, egyértelműen rendelünk hozzá egy elemet az értékkészletből. Vagyis
RészletesebbenMatematika szóbeli érettségi témakörök 2016/2017-es tanév őszi vizsgaidőszak
Matematika szóbeli érettségi témakörök 2016/2017-es tanév őszi vizsgaidőszak Halmazok Halmazok egyenlősége Részhalmaz, valódi részhalmaz Üres halmaz Véges és végtelen halmaz Halmazműveletek (unió, metszet,
RészletesebbenGráfelmélet. I. Előadás jegyzet (2010.szeptember 9.) 1.A gráf fogalma
Készítette: Laczik Sándor János Gráfelmélet I. Előadás jegyzet (2010.szeptember 9.) 1.A gráf fogalma Definíció: a G=(V,E) párt egyszerű gráfnak nevezzük, (V elemeit a gráf csúcsainak/pontjainak,e elemeit
RészletesebbenHraskó András, Surányi László: 11-12. spec.mat szakkör Tartotta: Surányi László. Feladatok
Feladatok 1. Színezzük meg a koordinátarendszer rácspontjait két színnel, kékkel és pirossal úgy, hogy minden vízszintes egyenesen csak véges sok kék rácspont legyen és minden függőleges egyenesen csak
RészletesebbenDiszkrét matematika 2. estis képzés
Diszkrét matematika 2. estis képzés 2018. tavasz 1. Diszkrét matematika 2. estis képzés 4-6. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
RészletesebbenDiszkrét matematika 1. középszint
Diszkrét matematika 1. középszint 2017. sz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 3. el adás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
RészletesebbenAnalízis I. Vizsgatételsor
Analízis I. Vizsgatételsor Programtervező Informatikus szak 2008-2009. 2. félév Készítette: Szabó Zoltán SZZNACI.ELTE zotyo@bolyaimk.hu v.0.6 RC 004 Forrás: Oláh Gábor: ANALÍZIS I.-II. VIZSGATÉTELSOR 2006-2007-/2
RészletesebbenFELVÉTELI VIZSGA, július 17.
BABEŞ-BOLYAI TUDOMÁNYEGYETEM, KOLOZSVÁR MATEMATIKA ÉS INFORMATIKA KAR FELVÉTELI VIZSGA, 2017. július 17. Írásbeli vizsga MATEMATIKÁBÓL I. TÉTEL (30 pont) 1) (10 pont) Igazoljuk, hogy tetszőleges m R esetén
RészletesebbenHadamard-mátrixok Előadó: Hajnal Péter február 23.
Szimmetrikus kombinatorikus struktúrák MSc hallgatók számára Hadamard-mátrixok Előadó: Hajnal Péter 2012. február 23. 1. Hadamard-mátrixok Ezen az előadáson látásra a blokkrendszerektől független kombinatorikus
RészletesebbenHALMAZOK. A racionális számok halmazát olyan számok alkotják, amelyek felírhatók b. jele:. A racionális számok halmazának végtelen sok eleme van.
HALMAZOK Tanulási cél Halmazok megadása, halmazműveletek megismerése és alkalmazása, halmazok ábrázolása Venn diagramon. Motivációs példa Egy fogyasztó 80 000 pénzegység jövedelmet fordít két termék, x
Részletesebbendr. Szalkai István Pannon Egyetem, Veszprém, Matematika Tanszék augusztus 12.
Számosságok dr. Szalkai István Pannon Egyetem, Veszprém, Matematika Tanszék 2012. augusztus 12. nszamossagnszamoss2www.tex, 2012.08.12., 02:50 1. Bevezetés Ebben a rövid jegyzetben els½osorban a végtelen
Részletesebben1. Halmazok, számhalmazok, alapműveletek
1. Halmazok, számhalmazok, alapműveletek I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Határozza meg az (A B)\C halmaz elemszámát, ha A tartalmazza az összes 19-nél kisebb természetes számot, továbbá B a prímszámok halmaza
Részletesebben1. Legyen egy háromszög három oldalának a hossza a, b, c. Bizonyítsuk be, hogy Mikor állhat fenn egyenlőség? Kántor Sándorné, Debrecen
10. osztály 1. Legyen egy háromszög három oldalának a hossza a, b, c. Bizonyítsuk be, hogy ( a + b + c) 3 4 ab + bc + ca Mikor állhat fenn egyenlőség? Kántor Sándorné, Debrecen A feladatban szereplő kettős
RészletesebbenMikor van egy változó egy kvantor hatáskörében? Milyen tulajdonságokkal rendelkezik a,,részhalmaz fogalom?
Definíciók, tételkimondások Mondjon legalább három példát predikátumra. Sorolja fel a logikai jeleket. Milyen kvantorokat ismer? Mi a jelük? Hogyan kapjuk a logikai formulákat? Mikor van egy változó egy
RészletesebbenXVIII. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny
9. osztály 1. feladat: Oldjuk meg a természetes számok halmazán az 1 1 1 egyenletet? x y 009 Kántor Sándor (Debrecen). feladat: B Az ABCD deltoidban az A és C csúcsnál derékszög van, és a BD átló 1 cm.
RészletesebbenHaladók III. kategória 2. (dönt ) forduló
Haladók III. kategória 2. (dönt ) forduló 1. Tetsz leges n pozitív egész számra jelölje f (n) az olyan 2n-jegy számok számát, amelyek megegyeznek az utolsó n számjegyükb l alkotott szám négyzetével. Határozzuk
RészletesebbenAlgebra es sz amelm elet 3 el oad as Nevezetes sz amelm eleti probl em ak Waldhauser Tam as 2014 oszi f el ev
Algebra és számelmélet 3 előadás Nevezetes számelméleti problémák Waldhauser Tamás 2014 őszi félév Tartalom 1. Számok felbontása hatványok összegére 2. Prímszámok 3. Algebrai és transzcendens számok Tartalom
RészletesebbenI. Egyenlet fogalma, algebrai megoldása
11 modul: EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK MEGOLDÁSA 6 I Egyenlet fogalma, algebrai megoldása Módszertani megjegyzés: Az egyenletek alaphalmazát, értelmezési tartományát később vezetjük be, a törtes egyenletekkel
RészletesebbenRelációk. 1. Descartes-szorzat. 2. Relációk
Relációk Descartes-szorzat. Relációk szorzata, inverze. Relációk tulajdonságai. Ekvivalenciareláció, osztályozás. Részbenrendezés, Hasse-diagram. 1. Descartes-szorzat 1. Deníció. Tetsz leges két a, b objektum
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy
Diszkrét matematika 1. középszint 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 5. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
RészletesebbenOktatási Hivatal. 1 pont. A feltételek alapján felírhatók az. összevonás után az. 1 pont
Oktatási Hivatal Öt pozitív egész szám egy számtani sorozat első öt eleme A sorozatnak a különbsége prímszám Tudjuk hogy az első négy szám köbének összege megegyezik az ezen öt tag közül vett páros sorszámú
RészletesebbenFunkcionálanalízis. n=1. n=1. x n y n. n=1
Funkcionálanalízis 2011/12 tavaszi félév - 2. előadás 1.4. Lényeges alap-terek, példák Sorozat terek (Folytatás.) C: konvergens sorozatok tere. A tér pontjai sorozatok: x = (x n ). Ezen belül C 0 a nullsorozatok
RészletesebbenÉrdekességek az elemi matematika köréből
Érdekességek az elemi matematika köréből Csizmadia László Bolyai Intézet, Szegedi Tudományegyetem Kutatók éjszakája Szeged, SZTE L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája 2011. 2011.09.23. 1 / 17 Társasház
RészletesebbenMegoldások 9. osztály
XXV. Nemzetközi Magyar Matematikaverseny Budapest, 2016. március 1115. Megoldások 9. osztály 1. feladat Nevezzünk egy számot prímösszeg nek, ha a tízes számrendszerben felírt szám számjegyeinek összege
RészletesebbenA fontosabb definíciók
A legfontosabb definíciókat jelöli. A fontosabb definíciók [Descartes szorzat] Az A és B halmazok Descartes szorzatán az A és B elemeiből képezett összes (a, b) a A, b B rendezett párok halmazát értjük,
RészletesebbenKOMBINATORIKA ELŐADÁS osztatlan matematika tanár hallgatók számára. Szita formula
KOMBINATORIKA ELŐADÁS osztatlan matematka tanár hallgatók számára Szta formula Előadó: Hajnal Péter 2015. 1. Bevezető példák 1. Feladat. Hány olyan sorbaállítása van a a, b, c, d, e} halmaznak, amelyben
RészletesebbenA valós számok halmaza 5. I. rész MATEMATIKAI ANALÍZIS
A valós számok halmaza 5 I rész MATEMATIKAI ANALÍZIS 6 A valós számok halmaza A valós számok halmaza 7 I A valós számok halmaza A valós számokra vonatkozó axiómák A matematika lépten-nyomon felhasználja
RészletesebbenMegoldások 7. gyakorlat Síkgráfok, dualitás, gyenge izomorfia, Whitney-tételei
Számítástudomány alapjai Megoldások 7. gyakorlat Síkgráfok, dualitás, gyenge izomorfia, Whitney-tételei 90. A konvex poliéder egyes lapjait határoló élek száma legyen k! Egy konvex poliéder egy tetszőleges
Részletesebben2. Logika gyakorlat Függvények és a teljes indukció
2. Logika gyakorlat Függvények és a teljes indukció Folláth János Debreceni Egyetem - Informatika Kar 2012/13. I. félév Áttekintés 1 Függvények Relációk Halmazok 2 Természetes számok Formulák Definíció
RészletesebbenNyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara. Prof. Dr. Závoti József. Matematika III. 1. MA3-1 modul. Kombinatorika
Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara Prof. Dr. Závoti József Matematika III. 1. MA3-1 modul Kombinatorika SZÉKESFEHÉRVÁR 2010 Jelen szellemi terméket a szerzői jogról szóló 1999. évi LXXVI.
RészletesebbenA sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex
A sorozat fogalma Definíció. A természetes számok N halmazán értelmezett függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet a valós számok halmaza, valós számsorozatról beszélünk, mígha az
RészletesebbenArany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2008/2009-es tanév első (iskolai) forduló haladók II. kategória
Bolyai János Matematikai Társulat Oktatási és Kulturális Minisztérium Támogatáskezelő Igazgatósága támogatásával Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 00/009-es tanév első (iskolai) forduló haladók II.
RészletesebbenArany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2015/2016-os tanév 1. forduló Haladók III. kategória
Bolyai János Matematikai Társulat Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2015/2016-os tanév 1. forduló Haladók III. kategória Megoldások és javítási útmutató 1. Az a és b befogójú derékszögű háromszögnek
Részletesebben1. Halmazok, halmazműveletek. Nevezetes ponthalmazok a síkban és a térben. (x eleme az A halmaznak, x az A halmazhoz tartozik),
1. Halmazok, halmazműveletek. Nevezetes ponthalmazok a síkban és a térben Halmazok A halmaz a matematikában nem definiált fogalom. A halmazt alapfogalomnak tekintjük, nem tudjuk egyszerűbb fogalmakkal
RészletesebbenDiszkrét matematika 1.
Diszkrét matematika 1. 201. ősz 1. Diszkrét matematika 1. 1. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 201. ősz Kombinatorika Diszkrét matematika 1. 201. ősz 2. Kombinatorika Kombinatorika
Részletesebben4. Fuzzy relációk. Gépi intelligencia I. Fodor János NIMGI1MIEM BMF NIK IMRI
4. Fuzzy relációk Gépi intelligencia I. Fodor János BMF NIK IMRI NIMGI1MIEM Tartalomjegyzék I 1 Klasszikus relációk Halmazok Descartes-szorzata Relációk 2 Fuzzy relációk Fuzzy relációk véges alaphalmazok
RészletesebbenDiszkrét matematika I.
Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 3. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2014. ősz Relációk Diszkrét matematika I. középszint 2014.
Részletesebben