Optimális és közel-optimális online és félig online algoritmusok ütemezési feladatokra

Átírás

1 Optimális és közel-optimális online és félig online algoritmusok ütemezési feladatokra 1. Bevezetés Ezen értekezés néhány ütemezéselméleti feladattal foglalkozik. A terület rendkívül szerteágazó, emiatt az els½o fejezetben egy általános áttekintést adunk azokról a fogalmakról, feladatokról, módszerekr½ol, kutatási irányokról, amelyek az értekezés további részében el½ofordulnak majd. A következ½o négy fejezet lényegében új eredményeket tartalmaz. Az értekezésben leírtak gerincét a [1, 1, 14, 15, 8] dolgozatokban leírtak adják, amelyeket az értekezés szerz½oje, és az azóta (005-ben) elhunyt Yong He publikálta. Az értekezésben szerepl½o új eredmények els½osorban (körülbelül 80 %-ban) az értekezés szerz½ojének alkotásai. Az eredmények 70 %-ában az értekezés szerz½ojének meghatározó a hozzájárulása, a maradék 0 % esetén a szerz½ok hozzájárulása oszthatatlan. Yong He Internetes kapcsolaton keresztül, folyamatos együttm½uködésben jelent½os segítséget adott a fent nevezett publikációk elkészítésében, egzakt megfogalmazásában, a nemzetközi kutatások eredményeivel való összevetésében. A feladatok mindegyike az NP-teljes feladatosztályba tartozik, és egyben olyan feladatok, amelyeket az utóbbi id½okben sokan, intenzíven kutatnak, és jelent½os nemzetközi folyóiratokban publikálnak Az ütemezéselmélet fogalmai, feladatai, módszerei Bevezetjük az értekezésben található legfontosabb fogalmakat, áttekintünk néhány feladattípust, és az azokra kifejlesztett megoldási módszereket. Egy áttekintés magyar nyelven a [51, 66] munkákból nyerhet½o, angol nyelven pedig ajánljuk a a [9, 58] m½uveket. Az ütemezéselmélet tárgykörében általában feltesszük hogy adott valahány, valamilyen tulajdonságokkal rendelkez½o gép, amelyekkel valahány munkát kell elvégezni úgy, hogy valamilyen célfüggvény minimális vagy maximális értékét keressük. A feladattípust az jj 1

2 konvenció szerint szokás megadni, itt az mez½oben a gépekr½ol, a mez½oben a feladatokról, a mez½oben pedig az ütemezési feladat célfüggvényér½ol közlünk információkat. (Részletesen lásd: [66]). Tekintsük például a P m jj C max feladatot. A jelölések jelentése itt a következ½o: A gépek száma m, ami pozitív egész szám, és a gépek egyforma párhuzamos (parallel) gépek. Ezen azt értjük, hogy a munkák végrehajtása minden gépen egységesen ugyanannyi id½obe kerül. A feladatok vagy munkák számát általában n-nel jelöljük. A munkák végrehajtási ideje, vagy hossza legyen p i, ahol tehát 1 i n. Ha egy gép elkezd egy munkát végrehajtani, akkor a munka végrehajtását be is kell fejeznie, ezt úgy mondjuk, hogy a munkák megszakítása nem megengedett. A munkák ütemezésén azt értjük, hogy a munkákat szétosztjuk a gépek között, minden gép a hozzá rendelt munkákat kell hogy elvégezze. A munkák ütemezése itt tehát egyszer½uen a munkák T halmaza egy partíciójának felel meg. Nincs várakozási id½o két munka elvégzése között, vagyis amint egy gép elvégez egy munkát, rögtön elkezdheti a következ½ot. Jelen probléma esetén az egy géphez rendelt munkák végrehajtási sorrendje közömbös. Valamely géphez hozzárendelt munkák végrehajtási idejeinek összegét a gép terhelésének nevezzük. Minden munkának van egy kezdési id½opontja, és egy befejezési id½opontja. A gép terhelése tehát a gép által végzett utolsó munka befejezésének id½opontja, (feltételezve, hogy várakozási id½ok nincsenek). Ekkor az utolsó munka befejezésének id½opontját a gép átfutási idejének is mondjuk. A gépek átfutási idejeinek maximumát az ütemezés teljes átfutási idejének nevezzük. A C max célfüggvény esetén a teljes átfutási id½ot minimalizáljuk. Az el½obbiekben meghatároztuk tehát a P m jj C max feladatot. Ez a feladat az egyik legegyszer½ubben leírható ütemezéselméleti feladat. A feladat az NPteljes feladatosztályba tartozik, vagyis nem ismert a feladatra polinomiális idej½u, optimális megoldást adó algoritmus. Egy másik gyakori eset a hasonló gépek (uniform machines) esete, ezeket Q- val jelöljük. A gépek ebben az esetben is párhuzamosan m½uködnek, de minden gépnek van egy sebessége: legyen az i-edik gép sebessége s i. Ekkor a j-edik munka elvégzéséhez szükséges id½o az i-edik gépen p j s i. Ezen értekezés keretei között csak az el½obb említett két esettel foglalkozunk. A munkákra vonatkozó egyéb lehetséges feltételek: Azt mondjuk, hogy a munkák megszakítása (preemption) megengedett, ha a munkák végrehajtását meg szabad szakítani, és a hátralév½o munka akár ugyanazon a gépen, akár más gépen folytatható. Egy-egy munka tetsz½olegesen sokszor, de véges sokszor megszakítható. Ha valamely munka végrehajtási ideje nemcsak hogy megszakítható, hanem a különböz½o részek végrehajtása akár ugyannabban a pillanatban egyszerre több gépen is lehetséges, akkor átlapolásról (overlap) beszélünk, ez az eset leginkább sorozatok gyártásakor fordul el½o. A munkák között lehetnek még megel½ozési feltételek, megengedett kezdési, és

3 el½oírt befejezési id½ok, és más feltételek is, ezekkel az értekezésben nem foglalkozunk. A célfüggvény is lehet még például a munkák befejezési idejeinek (súlyozott) összege, amit minimalizálunk, a minimális gépterhelés, amit maximalizálunk, a befejezési id½ok (súlyozott) összege, a késve befejezett munkák száma, a késések összege, és sokfajta egyéb célfüggvény. Az értekezésben általában csak a C max célfüggvény vizsgálatával foglalkozunk majd. O ine és online feladatok, egzakt és heurisztikus algoritmusok Az ütemezéselméleti feladatok osztályozásánál a feladatok két nagy csoportját szokták megkülönböztetni: ezek az úgynevezett o ine, illetve online feladatok [9]. Amikor az ütemezend½o munkákról minden információ el½ore, az ütemezés megkezdése el½ott rendelkezésünkre áll, az ütemezési feladatot o ine-nak nevezzük. A másik esetben a munkák egymás után, egyenként érkeznek, és amikor egy munka megérkezik, akkor még semmit nem tudunk arról, hogy jönnek-e még a kés½obbiekben munkák, és ha igen, akkor milyenek, és minden egyes munkát közvetlenül akkor kell (kés½obb meg nem változtatható módon) valamely gépre ütemezni, amikor megérkezik. Ez esetben az ütemezést online-nak nevezzük. Online esetben mondják azt is hogy a munkák valamely L lista szerinti sorrendben érkeznek, és az adott sorrendben érkez½o munkákat szokás sorozatnak (sequence) is nevezni. Hangsúlyozzuk viszont, hogy sorozaton itt a matematikai analízist½ol eltér½oen a munkáknak mindig véges sorozatát értjük. Az o ine illetve online feladatokat megoldó algoritmusokat természetszer½uleg o ine-, illetve online algoritmusoknak nevezzük. Egy algoritmust egzakt módszernek nevezünk, ha optimális megoldást határoz meg, ha megelégszik valamilyen közel-optimális megoldás keresésével, akkor pedig heurisztikus módszernek. Az algoritmusok hatékonyságvizsgálata Az o ine ütemezési algoritmusok hatékonyságát kétféleképpen szokták mérni. Legyen a gépek száma m, legyen C OP T (T ) az optimális megoldás értéke, és jelölje C A (T ) az A algoritmus által kapott ütemezés célfüggvényértékét valamely T feladathalmaz esetén. Az egyik lehet½oség annak a vizsgálata, hogy az úgynevezett legrosszabb esetben mennyiszer rosszabb megoldást ad az algoritmus az optimális megoldásnál (angolul: worst case analysis). Ez esetben tehát a szuprémumát keressük, vagyis legyen CA (T ) R m (A) = sup ; T C OP T (T ) C A C OP T hányados az el½obbi (pozitív) értéket az A algoritmus legrosszabb eset arányának nevezzük. Egy másik lehet½oség az, hogy azt vizsgáljuk, hogy az algoritmus átlagosan

4 mennyivel ad rosszabb eredményt a lehet½o legjobb megoldásnál, (angolul: probability analysis). Mi ez utóbbi vizsgálattal jelen értekezés keretei között nem foglalkozunk. Az online problémákra alkalmazott algoritmusokat természetes módon online algoritmusoknak nevezzük. Ezek hatékonyságát az úgynevezett versenyképességi analízis segítségével vizsgáljuk, ez egyfajta legrosszabb eset vizsgálatnak felel meg, ahol egy online algoritmus által kapott ütemezés eredményét az o ine eset optimális megoldásával hasonlítjuk össze, a következ½oképpen: Legyen A egy online algoritmus, jelölje C A az A algoritmus által kapott ütemezés teljes átfutási idejét, illet½oleg legyen C OP T az optimum értéke (az o ine ütemezés esetén). Ekkor A versenyképességi aránya a legkisebb olyan valós szám, amelyre C A C OP T teljesül a munkák tetsz½oleges sorozata esetén. Egy online feladatnak a konstans alsó korlátja, ha nem létezik olyan online algoritmus, amelynek a versenyképességi aránya ennél kisebb lenne. Ezek után egy online algoritmust optimálisnak nevezünk, ha a versenyképességi aránya megegyezik a feladat alsó korlátjával. Az LPT, és LS algoritmusok R.L. Graham [5, 6] cikkeiben közölte az LPT (=Longest Processing Time) algoritmust: El½oször a munkákat a m½uveleti id½o szerint csökken½o sorrendbe rendezzük (ez az úgynevezett LPT sorrend), majd ebben a sorrendben ütemezzük ½oket. A soron következ½o munka végrehajtását mindig a lehetséges legkorábbi id½opontban kezdjük, vagyis a soron következ½o munka mindig valamelyik minimális terhelés½u gépre kerül. Graham algoritmusára teljesül a következ½o tétel: 1.1 Tétel ([5]) R m (LP T ) = 4 1. m A legrosszabbhoz közeli esetek az összes esetnek csak igen kis százalékában fordulnak el½o. S½ot, Dósa [16] bebizonyította, hogy a legrosszabb eset csak egyetlen feladathalmaz esetén fordulhat el½o, amely (rögzített m gépszám esetén) a következ½o: T = fm 1; m 1; m ; m ; :::; m + 1; m + 1; m; m; mg : Ha az el½obbi algoritmust úgy hajtjuk végre, hogy a munkák egy adott L lista szerinti sorrendben érkeznek, és ebben a sorrendben kell ½oket ütemezni, (vagyis a kezdeti LPT sorrendbe rendezésre nincs lehet½oség), kapjuk az LS (List Scheduling, vagyis lista szerinti ütemezés) algoritmust. Az LS algoritmus felfogható tehát egy online algoritmusnak is. Könnyen látható [5], hogy az LS algoritmus 1 versenyképességi aránya m gép esetén, (ami nyilván nagyobb mint az LPT m algoritmus legrosszabb esetbeli aránya.) Faigle, Kern és Turán [1] cikke bebizonyította hogy LS optimális online algoritmus m = ; gépszámok esetén, 4

5 nagyobb gépszámok esetén léteznek némileg jobb versenyképességi aránnyal rendelkez½o algoritmusok ([1,, 6,, 57, 58]). Gyakori az, hogy valamely algoritmusnak LPT vagy LS segédalgoritmusa, ilyenekkel az értekezés kés½obbi fejezeteiben is találkozhatunk majd. 1.. Félig online ütemezési feladatok Az elmúlt évek során megkülönböztetett gyelmet szenteltek az úgynevezett félig online (semi online) ütemezéseknek. Ezek a feladatok az o ine és az online esetek között helyezkednek el: El½ore tudunk a munkákról valamit, vagy valamilyen algoritmikus könnyítés lehetséges az ütemezés során. A gyakorlatban el½oforduló ütemezési feladatok jelent½os részénél feltehet½oek ilyen feltételek. A félig online problémákra alkalmazott algoritmusokat természetes módon félig online algoritmusoknak nevezzük. Ezek hatékonyságát, az online esethez hasonlóan a versenyképességi analízis segítségével vizsgáljuk. Egy félig online algoritmust optimálisnak nevezünk, ha a versenyképességi aránya megegyezik a feladat alsó korlátjával. Érdekes kérdés, hogy valamely félig online feltétel a feladatot könnyebbé teszi-e abban az értelemben, hogy feltétel teljesülése esetén van-e olyan algoritmus, amelynek versenyképességi aránya kisebb mint valamely optimális online algoritmusé. Tekintsük illusztráció céljából a P jjc max ütemezési feladat félig online változatait. Ismert [1, 5], hogy két egyforma párhuzamos gép esetén LS optimális online algoritmus, = versenyképességi aránnyal. Ha el½ore ismerjük a munkák összhosszát [54], vagy el½ore ismert a maximális munkaméret [45], vagy pedig el½ore ismert a teljes átfutási id½o optimális értéke [4], akkor egy optimális algoritmus versenyképességi aránya 4=, ha a munkák a méreteik nemnövekv½o sorrendjében érkeznek [59], akkor pedig 7=6. Ha a munkák mindegyike a [p; rp] intervallumban helyezkedik el valamilyen p > 0 és 1 r konstansokkal [45], akkor LS versenyképességi aránya (1 + r)= ha 1 r, és = tetsz½oleges r esetén, így r esetén LS optimális. A kétgépes esetben tehát r < esetén van olyan félig online algoritmus, melynek versenyképességi aránya kisebb, mint az online eset optimális algoritmusáé. Továbbá két gép esetén LS optimális online, és egyben optimális félig-online algoritmus. A háromgépes esettel korábban még nem foglalkoztak. Az el½obbi eredmények a következ½o kérdéseket vetik fel: Igaz-e, hogy három gép esetén is minden r méretarány esetén LS optimális marad, és milyen r esetén kapunk kisebb versenyképességi arányt valamely optimális algoritmus esetén. Az értekezésben megmutatjuk a He - Dósa [8] dolgozatot követve, hogy három gép esetén az LS algoritmus versenyképességi aránya az r paraméter füg- 5

6 gvényében a következ½oképpen adható meg: 8 (r 1) 1 + ; ha 1 r >< ; ; ha < r p ; r+ R LS = r+1 ; ha p < r ; 1 >: ; ha < r ; r ; ha < r: 5 Észrevehetjük, hogy a versenyképességi arány értéke az r paraméternek folytonos, szakaszos, és nem minden szakaszon lineáris függvénye. Az LS algoritmusról belátjuk, hogy r [1; =] [ [ p ; ] [ [6; +1) esetén optimális. < r < 6 esetén pedig megadunk javított algoritmusokat, a következ½ok szerint: a, Az r (; 5=] esetben megadunk egy optimális algoritmust, melynek versenyképességi aránya =; b, r (5=; ] esetén egy közel optimális algoritmust 4r+ versenyképességi r+ aránnyal, amikor az alsó korlát legalább 7r+4+p r +8r+4 r++ p. A két érték közötti eltérés r +8r+4 legfeljebb 0: c, Az r (; 6) esetben megelégszünk azzal, hogy bemutatunk egy olyan algoritmust, amelynek a versenyképességi aránya minden rögzített r paraméterérték mellett jobb mint az LS algoritmusé. A versenyképességi arány értéke 5, 18 ahol = minf 6 r; 1 g, (az LS algoritmusé 5) Az el½obbiek konklúziója, hogy három gép, és közel egyforma végrehajtási id½ok esetén lehetséges az LS-nél hatékonyabb algoritmust megadni, ha a méretarány kett½o és hat közötti szám, vagyis LS nem minden esetben optimális. Továbbá az optimális félig-online algoritmus versenyképességi aránya er½osen függ az r paraméter értékét½ol. Kellerer, Kotov, Speranza és Tuza már említett [54] cikke három félig online változatot vizsgált: Ismerjük a munkák méreteinek összhosszát; felhasználható egy pu er valahány munka tárolására, (vagyis néhány munkát félretehetünk, kés½obb dönthetünk az ütemezésükr½ol); illetve két ütemezést is készíthetünk, és végül a jobbikat választhatjuk. Mindhárom esetben egy optimális algoritmus versenyképességi aránya 4=. Arra irányuló vizsgálatok is történtek, hogy két különböz½o félig online feltétel együttes megléte tovább csökkenti-e a feladatra adható optimális algoritmus versenyképességi arányát. Tan és He [6] közöl néhány olyan feltétel-kombinációt, amelyek haszontalanok abban az értelemben, hogy ezek együtt se biztosítanak jobb versenyképességi arányt, mint az egyszer½u online feltétel. Ugyanebben a cikkben megmutatták, hogy ha el½ore ismerjük a munkák összhosszát, valamint a legnagyobb munkaméretet is, akkor egy optimális algoritmus versenyképességi aránya 6=5. Ha pedig el½ore tudjuk a munkák összhosszát, és a munkák a méreteik csökken½o sorrendjében jönnek, akkor egy optimális algoritmus versenyképességi aránya 10=9. Ez utóbbi eredményt közli Epstein [6] cikke is. Zhang és Ye [68] a suggestive és Largest Last informá- 6

7 ciók kombinációját vizsgálta. Ezeken azt értjük, hogy amikor az utolsó munka megérkezik, ennek érkezésekor megtudjuk, hogy ez az utolsó munka, illetve el½ore tudjuk, hogy az utolsó munka hossza a legnagyobb. Megadtak egy optimális p - versenyképesség½u algoritmust, másrészt pedig megmutatták, hogy külön-külön mindkét feltétel haszontalan, az el½obb magadott értelemben [6]. Mi, az értekezés második fejezetében az el½obbi [54] cikk három változatából kett½ot-kett½ot kombinálunk, a Dósa - He [1] dolgozatban megjelentek szerint, mindkét esetben igaz, hogy a második félig online feltétel miatt a versenyképességi arány tovább csökken. El½oször feltesszük hogy el½ore ismert az ütemezend½o feladatok méretének összege, és rendelkezésünkre áll egy 1 pozícióval rendelkez½o pu er az ütemezés során, vagyis egy munka ütemezését mindig tartalékolhatjuk. Erre a félig online változatra megadunk egy optimális 5=4-versenyképesség½u algoritmust. Megmutatjuk, hogy a pu er méretének növelésével a versenyképességi arány nem javítható. A másik esetben is el½ore ismert az ütemezend½o feladatok méretének összege, valamint egyszerre két ütemezést készíthetünk, és az ütemezés végén a jobbikat választhatjuk. Ebben az esetben megadunk egy optimális, 6=5- versenyképesség½u algoritmust. Mindkét esetben igaz tehát az, hogy a további félig online feltétel által csökkent az elérhet½o versenyképességi arány. Sok egyéb félig online változatot is vizsgáltak, a [, 44] m½uvek esetén a célfüggvény a minimális gépterhelés maximalizálása, a [, 4, 7, 8, 0, 4, 6, 64] cikkek a QjjC max hasonló gépes feladat valamilyen félig online változatát tárgyalják. Egy különleges feladat szerepel Imreh Csanád [49] cikkében, itt adott gépek két egymástól független csoportja, és minden munkának két végrehajtási ideje van aszerint, hogy az egyikfajta, vagy a másikfajta gépre kerül. A cikk a feladat többféle (online vagy félig online) változatát vizsgálja. Mint látható, a félig online változatok száma elég nagy, népszer½u kutatási terület az utóbbi években. Az értekezés második fejezetében tehát félig online ütemezési feladatokkal foglalkozunk. 1.. Elutasításos modellek Az ütemezéselmélet elutasításos modelljei esetén minden munkához adott egy új paraméter is, ami a munka ütemezésének elutasítása esetén zetend½o büntetés összege. Ha egy munkát elutasítunk, akkor meg kell zetnünk a munkához hozzárendelt büntetést, vagy pedig a munkát ütemezzük valamelyik gépre. A célfüggvény lehet bármely korábbi célfüggvénynek, és az elutasított munkákért zetett büntetéseknek valamilyen kombinációja. Az ütemezési feladat elutasításos modelljével el½oször Bartal és társai [7] foglalkoztak. Cikkükben párhuzamos, egyforma gépek ütemezésének elutasításos modelljét (MSR) vizsgálták. Az o ine esetben minden rögzített m gépszám esetén teljesen polinomiális approximációs sémát adnak meg. Bemutatnak továbbá egy O(n log n) lépésszámú approximációs algoritmust, amelynek approximációs 7

8 aránya minden m esetén 1=m. A cikk f½o eredménye, hogy az MSR feladat online változatára megadtak egy algoritmust RT P () néven, amelynek versenyképességi aránya tetsz½oleges gépszám esetén legfeljebb 1 + :618, ahol = (1 + p 5)= az aranymetszés aránya. Egy másik algoritmus (RP ()) is szerepel a cikkben versenyképességi aránnyal, ami két gép esetén optimális, valamint még egy on-line algoritmus versenyképességi aránnyal m = gép esetére, ahol az alsó becslés 1:89. Amikor a munkák megszakítása megengedett, található az el½oz½oeknél hatékonyabb algoritmus (4 + p 10)= < :874 versenyképességi aránnyal, míg az alsó korlát :1457 (Seiden [60]). Epstein és társai [9] cikke egységnyi idej½u munkáknak egy gépre történ½o online ütemezésével foglalkozik. A célfüggvény az ütemezett munkák befejezési idejeinek összege plusz az összes büntetés, ezt kell minimalizálni. A cikk közöl egy 1 + p 1:866 versenyképesség½u online algoritmust, az alsó korlát 1:678. A hasonló gépek ütemezésének elutasításos modelljére (lásd például [5, 47, 61]) röviden USR feladatként hivatkozunk. He és Min [41] az online USR feladattal foglalkozik. A cikk közli az LSR() on-line algoritmust. Két gép esetén, ahol s 1 = 1; s = s 1 teljesül, az algoritmus versenyképességi aránya s + (1 + s s ); ha 1 s < ; s+1; ha s ; s ahol s esetén = 1=s, 1 s < esetén pedig egyenl½o az s + 1 s + x(s + 1) 1 = s + x(1 + s s ) egyenlet pozitív gyökével. Az algoritmus minden s sebesség esetén optimális. Mi, az értekezés harmadik fejezetében a Dósa - He [14] dolgozatot követve megmutatjuk, hogy az el½oz½o algoritmus az paraméter megfelel½obb választásával javítható, s½ot, a javított algoritmus bizonyos esetekben optimális is, (amikor a korábbi nem az). Pontosabban, bevezetjük az LSRM() algoritmust, amelynek versenyképességi aránya 1 s s + p s 4 4s + 4s + 4s, ami minden 1 s < sebesség esetén jobb, mint az LSR() algoritmusé. Jegyezzük meg, hogy a [41] cikk alsó becslései triviálisak, hiszen azok az elutasítás nélküli esetben is alsó korlátok. Emiatt új, nemtriviális alsó korlátokat is közlünk, ezek által következik, hogy LSRM() algoritmusunk optimális minden 1:85 s < esetén. Az USR feladat megszakításos esetével tudomásunk szerint korábban még nem foglalkoztak. Mi itt közlünk egy olyan algoritmust az online megszakításos esetre, amely minden s 1 sebesség esetén optimális, az algoritmus versenyképességi aránya s+p s +4s s = 1 + q s. 8

9 1.4. A gépköltséges ütemezési feladat A [48] cikkben Imreh Csanád és John Noga felvetette a klasszikus (párhuzamos gépes) ütemezési feladat egy újfajta megközelítését. Az eredeti változattól való különbségek a következ½ok: 1, Nincs rögzítve kezdetben a gépek száma,, bármikor lehet½oségünk van egy újabb gép vásárlására, amikor egy újabb munka megérkezik,, a célfüggvény, amit minimalizálunk, a gépek vásárlására fordított összeg és a teljes átfutási id½o összege. A feladatra Lista Modell-ként fogunk hivatkozni. (A cikk egy másik modellt is közöl, azzal itt nem foglalkozunk.) Ez a feladat eléggé különböz½o a klasszikus ütemezési feladatoktól, amikor is a gépek m száma rögzített, és az algoritmus nem változtathatja meg a gépek számát, másrészt a gépek (illetve azok beszerzése) nem kerülnek külön pénzbe, tehát ez nem jelenik meg a feladat célfüggvényében. A gépköltséges eset felvetését nyilván az motiválja, hogy a valós életben a gépek beszerzése pénzbe kerül, másrészt pedig ha lehet½oségünk ven a gépek számát befolyásolni (növelni), az lényegesen befolyásolja az ütemezés eredményét, illet½oleg hatékonyságát. Jegyezzük meg, hogy Graham pontosan ezzel a kérdéssel is foglalkozott korai [5] cikkében, ( Bizonyos multiprocesszor anomáliákra vonatkozó korlátok ), tehát azt vette észre, hogy az online esetben nem feltétlenül lesz kisebb a teljes átfutási id½o, ha valamely algoritmust több gépre alkalmazunk. A Lista Modell feladat esetén, Imreh és Noga [48] közölte az A on-line algoritmust, amely (1 + p 5)= 1:618-versenyképes, míg az alsó korlát 4=. Amikor ismerjük a legnagyobb munka hosszúságot, He és Cai [4] közöl egy legfeljebb 1:509 versenyképességi aránnyal rendelkez½o algoritmust. Amikor a munkák összhossza ismert, ugyanezen cikk közöl olyan algoritmust, amelynek versenyképességi aránya legfeljebb 1:414, míg a feladatnak 1:161 alsó korlátja. Csökken½o végrehajtási id½ok esetére Cai and He [10] közöl egy legfeljebb =- versenyképes algoritmust, az alsó korlát 4=. Mindezen algoritmusok lényegében az A algoritmus valamilyen változatai. Egy rokon feladat a paging. Ezen a területen is van er½oforrás vásárlásos cikk: [11], ahol extra memóriát lehet venni. Az értekezés negyedik fejezetében a Dósa - He [1] dolgozatban megjelentek alapján el½oször megadunk egy javított, ( p 6 + )=5 1:5798-versenyképes algoritmust a tiszta online esetre. Tudomásunk szerint ennél hatékonyabbat azóta nem közöltek. Ezután azzal a speciális esettel foglalkozunk, amikor a munkák mérete nem hosszabb mint a gépek vásárlásának költsége, vagyis minden munka hossza legfeljebb 1. E félig online feltétel el½oször a [1] dolgozatban szerepelt. Erre az esetre közlünk egy 4=-versenyképes optimális félig online algoritmust. Harmadszor, közlünk egy legfeljebb =-versenyképes kétfázisos algoritmust arra az esetre, amikor el½ore ismert a legnagyobb munka hosszúság. Ez az eredmény szintén megjavítja a korábbi hasonló esetre vonatkozó ismert eredményt. 9

10 1.5. A gépköltséges feladat elutasításos változata Az ötödik fejezetben de niáljuk a gépköltséges feladat elutasításos változatát, a feladattal korábban még nem foglalkoztak (kivételt képez Imreh Csanád és Nagy-György János most megjelenend½o [50] cikke). Ez esetben tehát két különleges feltétel is van, az egyik, hogy lehet½oségünk van új gépek vásárlására, másrészt pedig a munkák ütemezését elutasíthatjuk, ez esetben bizonyos nagyságú büntetést kell zetnünk. Tehát ebben a fejezetben az Imreh Csanád és John Noga által bevezetett gépköltséges feladatot [48, 1], és a munkák elutasításának lehet½oségét [7] ötvözzük. A tiszta online esetre Imreh Csanád és Nagy-György János [50] cikke megad egy :618-versenyképes algoritmust, az általános esetben optimális algoritmus nem ismert. Mi csak azzal a félig online esettel foglalkozunk, amikor a munkák hossza legfeljebb 1. A feladat ezen megszorítás mellett is általánosítása az úgynevezett sí-kölcsönzési feladatnak (a felismerés Leah Epsteint½ol származik). A feladatra megadunk [15] egy egyszer½u, optimális, -versenyképes, kétfázisú félig online algoritmust. Az algoritmus vizsgálatakor értekezésünkben egy újszer½u módszerrel élünk: Ha az algoritmus nem lenne -versenyképes, akkor lennie kell (elemszám tekintetében) minimális ellenpéldának. Ez azonban rendkívül bonyolult szerkezet½u feladathalmaz is lehet, (miként az algoritmus sem teljesen triviális). Emiatt az ellenpéldát fokozatosan kicseréljük újabb és újabb, de szintén minimális ellenpéldákkal, az utoljára kapott feladathatmazról pedig már viszonylag könnyen látjuk, hogy nem is ellenpélda, és így indirekt bizonyításunk véget ér. Jegyezzük meg, hogy legjobb tudomásunk szerint a gépköltséges feladatra ezidáig csak három optimális algoritmus született, (a szerz½o három [1, 15, 19] dolgozatában szerepl½o), ez is jelzi a feladat bonyolultságát. 10

11 . Félig online ütemezési feladatok Ebben a fejezetben a P m jonlinejc max feladatnak bizonyos félig online változatával foglalkozunk, és megadunk néhány egyszer½u optimális, vagy közel-optimális algoritmust. A fejezet tartalma a következ½o dolgozatokban jelent meg: [1, 8]. Az ALG:1 és ALG: algoritmusok, és azok vizsgálata lényegében az értekezés szerz½ojének alkotásai. A fejezet második részében, az LS algoritmus vizsgálatát szintén az értekezés szerz½oje végezte. Az ALG(), ALG: és ALG:4 algoritmusok, és azok vizsgálata esetén a [8] cikk szerz½oinek hozzájárulása oszthatatlan. El½oször legyen a gépek szám kett½o, vagyis tekintsük a P jonlinejc max ütemezési feladatot, ismert, hogy ez esetben LS optimális online algoritmus, és versenyképes-ségi aránya = [1, 5]. A félig online feladatok esetén mindig érdekes felmerül½o kérdés az, hogy valamely félig online feltétel a feladatot könnyebbé teszi-e abban az értelemben, hogy a félig online feladatra van-e olyan algoritmus, amely-nek versenyképességi aránya kisebb mint valamely optimális online algoritmus versenyképességi aránya, illetve ha egy félig online feltételhez még egy továbbit csatolunk, tovább csökken-e ezáltal egy optimális algoritmus versenyképességi aránya. Kellerer, Kotov, Speranza és Tuza [54] cikke a feladat három félig online változatával foglalkozik. Az els½o esetben el½ore ismerjük a munkák méreteinek összhosszát, a második esetben pedig felhasználható egy pu er valahány munka tárolására, vagyis néhány munkát félretehetünk, és kés½obb dönthetünk az ütemezésükr½ol. A harmadik esetben egyszerre két, egymástól független ütemezést készíthetünk, és végül a jobbikat választhatjuk. A második változatot Zhang [67] is vizsgálta. Kiderült, hogy mindegyik el½obb felsorolt esetben egy-egy optimális félig online algoritmus versenyképességi aránya 4=. Most az el½obbi három feltételb½ol párosítjuk valamelyik kett½ot, kétféleképpen. Az els½o esetben feltesszük hogy el½ore ismert az ütemezend½o feladatok méretének összege, és egy 1 pozícióval rendelkez½o pu er is rendelkezésünkre áll az ütemezés során, vagyis egy munka (amelynek mérete tetsz½olegesen nagy lehet) ütemezését mindig tartalékolhatjuk. Erre a félig online változatra megadunk egy optimális 5=4-versenyképesség½u algoritmust. Azt is megmutatjuk, hogy a pu er méretének növelésével a versenyképességi arány nem javítható. A másik esetben is el½ore ismert az ütemezend½o feladatok méretének összege, itt viszont egyszerre két ütemezést készíthetünk, és az ütemezés végén a jobbikat választhatjuk. Ebben az esetben megadunk egy optimális, 6=5-versenyképesség½u algoritmust. Mindkét esetben igaz tehát az, hogy a további félig online feltétel által csökkent az elérhet½o versenyképességi arány. Nyitott kérdés marad annak a feladatnak a vizsgálata, amikor a harmadikféle módon párosítunk kett½ot az el½obbi három közül. Szintén nyitott kérdés, hogy ha mindhárom feltétel teljesül, akkor ezáltal még tovább csökken-e a versenyképességi arány. A fejezet második részében a P jonlinejc max feladatnak azzal a félig online 11

12 változatával foglalkozunk, amikor el½ore tudjuk, hogy a munkák végrehajtási ideje közel egyforma, ez a félig online feltétel a gyakorlatban sok esetben feltételezhet½o. Pontosabban fogalmazva, el½ore tudjuk, hogy a munkák hossza a p és rp konstansok között van, (ahol p > 0, r 1). Ha az r konstans túl nagy, akkor az el½obbi információ nem sokat ér a következ½o értelemben: megmutatjuk, hogy ha r 6, akkor nincs olyan félig online algoritmus, amelynek versenyképességi aránya jobb lenne, mint valamely optimális online algoritmusé. Érdekes kérdés tehát az, hogy mekkora az a maximális r méretarány, amely biztosítja azt, hogy egy optimális félig-online algoritmus versenyképességi aránya jobb legyen, mint az egyszer½u online esetben. A P m jonlinejc max feladat esetén az LS algoritmusa versenyképességi aránya R LS = 1=m. Faigle, Kern és Turán [1] cikke szerint LS optimális algoritmus és gép esetén. (Nagyobb gépszámra több algoritmus is létezik, amelyek valamivel jobbak versenyképességi arány szempontjából, lásd [1,,, 58]). Az az egymáshoz közeli végrehajtási id½ok félig online feltétele el½oször a [45] cikkben szerepelt. A cikk megmutatta, hogy két gép esetén LS optimális félig online algoritmus, melynek versenyképességi aránya (1 + r)=, ha 1 r, és = tetsz½oleges r esetén. Emiatt a kétgépes esetben r < esetén van olyan félig online algoritmus, amelynek versenyképességi aránya kisebb, mint az online eset optimális algoritmusáé. Továbbá két gép esetén az optimális félig online algoritmus ugyanaz, mint ami optimális az online esetben. (Pontosaban fogalmazva, LS egy optimális online, és egyben optimális félig-online algoritmus.) Ezek az eredmények a következ½o kérdéseket vetik fel: Igaz-e, hogy három gép esetén is minden r méretarány esetén LS optimális marad, és milyen r esetén kapunk kisebb versenyképességi arányt valamely optimális algoritmus esetén. Megmutatjuk, hogy három gép esetén az LS algoritmus versenyképességi aránya az r paraméter függvényében a következ½oképpen adható meg: 8 (r 1) 1 + ; ha 1 r >< ; ; ha < r p ; r+ R LS = r+1 ; ha p < r ; 1 >: ; ha < r ; r ; ha < r: 5 Észrevehetjük, hogy a versenyképességi arány értéke az r paraméternek folytonos, szakaszos, és nem minden szakaszon lineáris függvénye. Az LS algoritmusról belátjuk, hogy r [1; =] [ [ p ; ] [ [6; +1) esetén optimális. < r < 6 esetén pedig megadunk optimális, vagy majdnem optimális (de LS-nél mindenesetre, a versenyképességi arány tekintetében jobb) algoritmusokat, a következ½ok szerint: a, Az r (; 5=] esetben megadunk egy optimális algoritmust, melynek versenyképességi aránya =; b, r (5=; ] esetén egy közel optimális algoritmust 4r+ versenyképességi r+ 1

13 aránnyal, amikor az alsó korlát legalább 7r+4+p r +8r+4 r++ p. A két érték közötti eltérés r +8r+4 legfeljebb 0: c, Az r (; 6) esetben megelégszünk azzal, hogy bemutatunk egy olyan algoritmust, amelynek a versenyképességi aránya minden rögzített r paraméterérték mellett jobb mint az LS algoritmusé. A versenyképességi arány értéke 5, 18 ahol = minf 6 r; 1 g, (az LS algoritmusé pedig 5) Mindhárom javított algoritmus futásideje O(n). Továbbra is nyitott kérdés marad optimális (félig) online algoritmus keresése az r (=; p ) illetve r (5=; 6) intervallumokban. Az el½obbiek konklúziója, hogy három gép, és közel egyforma végrehajtási id½ok esetén lehetséges az LS-nél hatékonyabb algoritmust megadni, ha a méretarány kett½o és hat közötti szám, vagyis LS nem minden esetben optimális. Továbbá az optimális félig-online algoritmus versenyképességi aránya er½osen függ az r paraméter értékét½ol..1. A P jonlinejc max feladat azon feltételek mellett, amikor adott egy pu er, és ismerjük a munkák összméretét Ebben a fejezetben feltesszük, hogy a munkák egyesével érkeznek, és el½ore tudjuk a munkák méreteinek összegét. Valamint azt is feltesszük, hogy egy l 1 méret½u pu erben tárolhatunk l számú munkát. Ez azt jelenti, hogy amennyiben a pu er nincs teljesen megtöltve, akkor egy beérkez½o munka esetén lehet½oségünk van arra, hogy ideiglenesen eltároljuk a pu erben, vagy ha akarjuk, ütemezhetjük is valamelyik gépre. Ha már pontosan l munka van tárolva a pu erben, akkor egy beérkez½o munka esetén vagy rögtön ütemezzük valamely gépre, vagy betehetjük a pu erbe, de ez utóbbi esetben el½obb valamelyik a pu erben tárolt munkát ütemeznünk kell valamelyik gépre. Bevezetjük az ALG:1 algoritmust, amelynek esetén a pu er mérete l = 1, az algoritmus versenyképességi aránya 5=4. Azt is megmutatjuk, hogy kisebb versenyképességi arányt nagyobb pu erméret esetén sem kaphatunk. Ezek szerint ALG:1 optimális félig online algoritmus a feladatra. Jelölje T a munkák összméretét. A munkák méretének normalizálásával elérhet½o, hogy T = 8, ezért ezt feltesszük a következ½okben. Jelentse továbbá az M 1 és M gépek aktuális terhelését az algoritmus futása során s 1 és s. Az algoritmus m½uködésének lényege a következ½o: Az els½o munka a pu erbe kerül. Jelentse ezután X azt a munkát, ami éppen a pu erben van. (ALG:1 esetén mindig lesz egy munka a pu erben, amíg az utolsó munka meg nem érkezik. Másrészt nyilvánvaló, hogy tetsz½oleges optimális algoritmusnál is feltehet½o hogy mindvégig tárol egy-egy munkát a pu erben, mert ha a pu er kiürülne, ennél nem rosszabb az, ha megvárjuk a következ½o munkát, és csak akkor ütemezzük valamelyiket.) Legyen p k a soron következ½o munka, ekkor X és p k közül a nagyobbikat tesszük a pu erbe, és a másikat (vagyis a minfp k ; Xg munkát) ütemezzük, ez utóbbit Y -nal jelöljük. Ezek szerint minden pillanatban X a legnagyobb méret½u munka az els½o k munka 1

14 között. Az algoritmus futása során arra törekszünk, hogy az s 1, valamint az s s 1 s + feltételek ameddig lehet, érvényben maradjanak. Id½ovel arra fogunk kényszerülni, hogy valamelyik feltételt megsértsük, (hiszen az algoritmus futása végén s 1 + s = 8), belátjuk azonban, hogy a további munkák már megfelel½o módon elhelyezhet½ok úgy, hogy az algoritmus 5=4-versenyképesség½u marad. ALG:1 Algoritmus 1. Legyen s 1 = s = 0; X = p 1 ; k = 1.. k = k + 1. Ha nincs további munka, kerüljön az X munka az M gépre, és stop.. Legyen Y = minfp k ; Xg; X = maxfp k ; Xg. 4. Amennyiben s 1 + Y s + teljesül, ütemezzük az Y munkát az M 1 gépre, legyen s 1 = s 1 + Y, és goto. 5. Amennyiben s + Y 1 teljesül, ütemezzük az Y munkát az M gépre, legyen s = s + Y, és goto. 6. Ha van olyan Z fx; Y g munka és i f1; g index, amelyekre s i + Z [; 5] teljesül, akkor ütemezzük a Z munkát az M i gépre, a másik fx; Y g halmazbeli munkát, és az összes további munkát a másik gépre, és vége. Ha van olyan i f1; g index, amelyre s i + X + Y [; 5] teljesül, akkor ütemezzük az X és Y munkákat az M i gépre, az összes további munkát a másik gépre, és vége. 7. Ha s 1 + X > 5 teljesül, ütemezzük az X munkát az M gépre, az összes további munkát az M 1 gépre, és vége. 8. Ha s 1 + X <, ütemezzük az X munkát az M 1 gépre, az Y munkát az M gépre. A további munkákat pedig a következ½o szabály szerint ütemezzük: (a), ha valamelyik érkez½o munka hossza nagyobb mint, ütemezzük az M gépre, ellenkez½o esetben ütemezzük az M 1 gépre. (b), ha M 1 aktuális terhelése a [; 5] intervallumba esik, ütemezzük az összes további munkát az M gépre, és vége, ellenkez½o esetben menjünk vissza az (a), pontra..1. Tétel Az ALG:1 algoritmus versenyképességi aránya legfeljebb 5=4. Bizonyítás: Nyilvánvaló, hogy ALG:1 megáll a., vagy a 6-8. lépések valamelyikében. Ha a. során áll meg, akkor X az utolsó ütemezésre váró munka, valamint teljesülnek az s 1 és s 1 s + feltételek, amikor az algoritmus végrehajtja a. lépést. Emiatt s 1 +s 4 és X = 8 (s 1 +s ) 4. Következik, hogy 14

15 az optimumérték legalább C OP T X 4, valamint C ALG:1 = maxfs 1 ; s +Xg = s + X. Emiatt C ALG:1 = X + s X + 1 X + X 5C 4 4 OP T. Amikor az algoritmus elkezdi végrehajtani a 6-8. lépések valamelyikét, a két gép aktuális terhelésére teljesülnek az s s 1 s + ; s 1; s 1 + Y > s + valamint s + Y > 1 feltételek. Ha megáll az algoritmus a 6. lépésben C ALG:1 =C OP T 5=4 nyilvánvalóan teljesül. Emiatt tegyük fel, hogy az algoritmus nem áll meg a 6. lépésben. Megmutatjuk, hogy ebben az esetben teljesül az s 1 + Y < feltétel. Ugyanis, az algoritmus csak úgy tudja elkerülni a 6. lépést, ha vagy s 1 +Y <, vagy s 1 +Y > 5 teljesül. Amennyiben s 1 + Y > 5 lenne, akkor s + + X s 1 + X > 5, és emiatt s 1 + s + X + Y > 8, ami ellentmondás. Feltehetjük tehát, hogy s 1 + Y <. Tegyük fel, hogy az algoritmus a 7. lépésben áll meg. Ekkor s 1 + Y < és s 1 + X > 5, és ezek miatt X > Y +. Továbbá az s + Y > 1 feltétel miatt s +X >. Mivel azonban s +X értékével nem léptünk be a [; 5] intervallumba, adódik hogy s +X > 5, másként az algoritmus megállna a 6. lépésben. Az s 1 feltétel következtében X > 4, amib½ol kapjuk, hogy C OP T X > 4. Újra adódik hogy C ALG:1 = X + s X + 1 < 5X 5C 4 4 OP T. Utoljára nézzük azt az esetet, amikor az algoritmus a 8. lépésben áll meg. Ekkor teljesül s 1 + X <. Következik, hogy Y X <. Jegyezzük meg, hogy az s 1 + X s 1 + Y > s + és s + Y > 1 feltételek is teljesülnek, ezekb½ol adódóan pedig s 1 + X + Y > s + + Y >. Az algoritmus nem áll meg a 6. lépésben, emiatt s 1 + X + Y > 5. s 1 s + következtében s + X + Y >, és így s + X + Y > 5. Következik az s 1 feltételt felhasználva, hogy X + Y > 4, és így X >. Mivel s 1 + X <, kapjuk hogy s 1 < 1. Könnyen látható, hogy az algoritmus szabálya folytán ekkor s = 0 teljesül, és így X + Y > 5. Ha az összes továbbbi munka mérete nem nagyobb mint, akkor lennie kell egy olyan munkának ezek között, hogy amikor ezt az M 1 gépre ütemezzük, a gép megnövekedett terhelése a [; 5] intervallumba esik, és emiatt C ALG:1 =C OP T 5=4. Tegyük fel tehát, hogy van olyan munka, jelöljük J-vel, amelynek mérete J >. Ekkor teljesül hogy J 8 X Y <. Vegyük észre, hogy közvetlenül a J munka érkezte el½ott, egyedül Y lett az M gépre ütemezve, ezért az ütemezés végén csak Y és J lesznek az M gépen. Ha Y + J 5, akkor a tétel állítása triviálisan adódik, mivel Y + J > 4. Tegyük ezért fel, hogy Y + J > 5. Ha J X, akkor az X; Y és J munkák mindegyikének mérete nagyobb mint, és maxfx; Y; Jg = X. Ez azt jelenti, hogy optimális ütemezés esetén az Y és J munkákat egy gépre kell ütemezni, és az összes többi munkát pedig a másik gépre. Ekkor ALG:1 optimális ütemezést készít el. Ellenkez½o esetben pedig tudjuk, hogy J > X, és J a legnagyobb méret½u munka. Emiatt az optimumérték C OP T = Y + X > 5, és így C ALG:1 = Y + J < 6 < 5C 4 OP T. Ezzel a bizonyítást befejeztük. 15

16 .. Tétel A feladat bármely A megoldó algoritmusának a versenyképességi aránya legalább 5=4, akkor is, ha a pu er mérete 1-nél nagyobb. Bizonyítás: Legyen a pu er mérete l 1. Az állítást oly módon bizonyítjuk, hogy megadjuk a munkáknak olyan sorozatát, amelyek esetén az optimum értéke 4N + 1, az A algoritmus által kapott teljes átfutási id½o értéke pedig legalább 5N + l. így C A =C OP T (5N + l)=(4n + 1)! 5=4 (N! 1). Legyen a munkák összmérete 8N + = (4N + 1), ahol N = k, és k 4 egész szám. Feltehet½o, hogy az els½o l számú munka a pu erbe kerül, és amíg érkezik még munka, addig mindig pontosan l munka marad a pu erben. A következ½okben az (M 1 ; M ) gépeknek az aktuális terhelését jelöljük (s 1 ; s )-vel az A algoritmus végrehajtása során, amikor az összes beérkezett munkák már ütemezésre kerültek, kivéve azt az l számú munkát, amelyek aktuálisan a pu erben vannak. Érkezzen el½oször N darab egységnyi méret½u munka. A (N + 1)-edik munka érkezése el½ott, l egységnyi méret½u munka van a pu erben. Emiatt s 1 +s = N l. Az általánosság megszorítása nélkül feltehetjük, hogy s 1 s. Ha a (N + 1)-edik munka érkezése el½otti pillanatban (s 1 ; s ) = (n l; 0) teljesül, akkor a következ½o, és egyben utolsó két munka hossza :5N + 1. Ha ezek egy gépre kerülnek, akkor ennek a gépnek a terhelése legalább 5N + 1. Ellenkez½o esetben, ha két különböz½o gépre kerülnek, az M 1 gép végs½o terhelése N l + :5N + 1 = 5:5N l + 1 5N l +, mivel N, és ezzel készen vagyunk. Feltehetjük tehát, hogy a (N + 1)-edik munka érkezése el½otti pillanatban s 1 teljesül. Ekkor a következ½o két munka, tehát a (N + 1)-edik és (N + )- edik munkák hossza legyen megint 1. Ha a (N + )-adik munka érkezése el½ott (s 1 ; s ) = (N + 1 l; 1) vagy (s 1 ; s ) = (N l; ) teljesül, akkor a következ½o, és egyben utolsó két munka hossza :5N. Ha ezek egy gépre kerülnek, ennek a gépnek a terhelése legalább 5N + 1 lesz. Ellenkez½o esetben M 1 végs½o terhelése legalább N l + :5N = 5:5N l 5N + l hiszen most N 4. Az el½oz½o esethez hasonlóan most is következik a tétel állítása, feltehetjük ezért, hogy s a (N + )-adik munka érkezése el½ott. (A gondolatmenet az el½oz½oek szerint folytaható, mindig két eset adódik, az egyik esetben készen vagyunk, a másik esetben pedig egy további, er½osebb feltétel adódik.) Lássuk az általános esetet. Tegyük fel tehát, hogy a (N + j + 1)-edik munka érkezése el½otti pillanatban s j + 1 teljesül, ahol j = 0; 1; ; k. Ekkor két egységnyi méret½u munka érkezik. (Ezek tehát a (N +j +1)-edik és (N +j +)- edik munkák). A két gép megnövelt terhelésére teljesül az s 1 +s = N +j + l egyenl½oség. Ha s j +, a következ½o, és egyben utolsó két munka hossza :5N j. Amennyiben ezek egy gépre kerülnek, e gép végs½o terhelése legalább (:5N j) + j + 1 = 5N + 1 hiszen s j + 1. Ellenkez½o esetben az M 1 gép terhelése legalább N l + :5N j = 5:5N j l 5N + l hiszen N j

17 Feltehetjük tehát, hogy a (N + j + 1)-edik és (N + j + )-edik munkák érkezése után teljesül az s j + egyenl½otlenség, minden j = 0; 1; ; k esetén. Tekintsük azt az esetet, amikor már j = k. Ekkor összesen N +(k )+ = N +N munka érkezett már, mindegyik hossza egy egység. Az el½obbi rész szerint tudjuk hogy az A algoritmus olyan módon ütemezte a munkákat, hogy s (k ) + = k 1 = N 1 teljesül. Most újra két egységnyi méret½u munka érkezik. Ha legalább egyikük az M gépre kerül, akkor s > N 1. Ebben az esetben jöjjön az utolsó két munka, egyikük mérete 4N + 1, a másiké 1, és ezáltal az egyik gép terhelése legalább 5N + 1 lesz. Ellenkez½o esetben pedig teljesül (s 1 ; s ) = (N l + 1; N 1). Ekkor szintén jöjjön a két utolsó munka, de ezek mindegyikének mérete legyen N + 1, most egyik gép terhelése legalább 5N l +, és ezzel a tétel bizonyítását beláttuk..1. Megjegyzés. Tekintsük a következ½o, az el½obbihez hasonló(nak t½un½o) félig online változatot: El½ore tudjuk a munkák összhosszát, valamint megengedett az el½ore tekintés, vagyis el½ore tudjuk mindig a soron következ½o l 1 számú munka méretét. Erre a feladatra könnyen látható, hogy nem kaphatunk 4=- nál kisebb versenyképességi aránnyal bíró algoritmust, (vagyis ez a plusz feltétel nem javít 4=-os arányon, ami elérhet½o akkor is, ha csak a munkák összhosszát ismerjük el½ore). Tekintsük a munkák következ½o sorozatát: p 1 = p = T=6; p = = p l+ = ; p l+ = p l+4 = T=6 l=, valamint p 1 = p = T=6; p = = p l+ = ; p l+ = T=; p l+4 = T=6 l, ahol T -vel jelöltük a munkák (el½ore ismert) összhosszát, valamint elegend½oen kicsiny pozitív szám. Arra következtethetünk tehát, hogy a lookahead, el½ore tekintés nem segít versenyképességi arány tekintetében, amikor a munkák összhosszát el½ore ismerjük... A P jonlinejc max feladat egy másik félig online változata: el½ore ismerjük a munkák összméretét, és két egymástól független ütemezést készíthetünk E fejezetben ismét feltesszük, hogy a munkák egymás után, egyenként érkeznek, és el½ore tudjuk a munkák méreteinek összegét, továbbá egyszerre két ütemezést is készíthetünk. (Mindegyik munkát megkett½ozzük, és egyiket az egyik ütemezésnél rendeljük hozzá valamelyik géphez, a másikat pedig a másik ütemezésnél. A következ½o munka csak ezután érkezik.) Végül, az utolsó munka megérkezte után a jobbik ütemezést választjuk. Erre a félig online esetre megkonstruáljuk az ALG: optimális algoritmust, amelynek versenyképességi aránya 6=5. A két ütemezést és ütemezésnek fogjuk nevezni. A munkák hosszainak normalizálásával elérhetjük, hogy az összhosszúság T = 10 legyen, ezt a következ½okben feltesszük. Jelölje most s 1 és s az M 1 ; M gépek aktuális terhelését az ütemezés esetén, míg ugyanez a ütemezés esetén, vagyis az M 1 ; M gépek aktuális terhelése legyen 17

18 t 1 és t. Bevezetjük a következ½o jelölést: k = minfjj jp p i 4g, és legyen p k = Y. Ezek szerint p k a legels½o olyan munka, amelyikre az els½o k számú munka összhossza legalább 4. Jegyezzük meg, hogy lefeljebb egy olyan munka lehet, amelyik p k el½ott érkezik, és hossza több mint. Nem biztos hogy van ilyen munka, ha van ilyen munka, jelöljük X-szel. Hasonlóképpen jelöljük Z-vel a legels½o olyan munkát, amelyik p k után érkezik és hossza nagyobb mint, ha van ilyen munka. Ezek után lássuk az ALG: által készített és ütemezéseket: Az ALG: algoritmus által készített ütemezés 1. Legyen s 1 = s = 0; l = 1.. Amennyiben s 1 + p l < 4, ütemezzük a p l munkát az M 1 gépre, legyen s 1 = s 1 + p l, és goto 5.. Ha 4 s 1 + p l 6, ütemezzük a p l munkát az M 1 gépre, az összes többi munkát az M gépre, és vége. 4. Ha s 1 + p l > 6, ütemezzük a p l munkát az M gépre, legyen s = s + p l, és goto l = l + 1. Ha nincs több munka, vége. Ellenkez½o esetben goto. Az ALG: algoritmus által készített ütemezés 1. Legyen t 1 = t = 0; l = 1. P. Amíg l p i teljesül, ütemezzük a p l munkát M 1 -re, legyen t 1 = t 1 + p l i=1 és l = l Amíg < l P p i i=1 i=1 < 4, ütemezzük a p l munkát az LS algoritmus szerint, módosítsuk ennek megfelel½oen t 1 és t értékét, legyen l = l Ha 4 Y + t i 6 valamely i f1; g esetén, ütemezzük az Y munkát az M i gépre, az összes további munkákat pedig a másik gépre, és vége. 5. Ütemezzük az Y munkát M 1 -re. 6. A Z kivételével az összes munkát ütemezzük az M 1 gépre. Ha létezik a Z munka, ütemezzük az M gépre, és vége. 18

19 . Megjegyzés Tekintsük a ütemezést közvetlenül a.lépés után. Két lehet½oség fordulhat el½o: (i). Ha nem létezik az X munka, akkor ebben a pillanatban jt 1 t j teljesül. (ii). Ellenkez½o esetben, vagyis ha létezik az X munka, akkor egyedül az X munka került még csak az M gépre. A következ½okben az egyszer½uség kedvéért azt mondjuk, hogy egy ütemezés megfelel½o, ha az összes munka ütemezése után a teljes átfutási ideje nem több mint 6. Ugyanis nyilvánvaló, hogy ha az vagy ütemezés megfelel½o, akkor teljesül a belátandó C ALG: =C OP T 6=5 egyenl½otlenség... Tétel Az ALG: algoritmus versenyképességi aránya 6=5. Bizonyítás: Tekintsük az Y munka érkezésének pillanatát. Feltehetjük, hogy s 1 + Y > 6, ellenkez½o esetben ugyanis az ütemezés megfelel½o. El½oször tegyük fel, hogy X munka nem létezik. Ebben a pillanatban, az összes korábbi munka az ütemezésnél az M 1 gépre lett ütemezve, emiatt teljesülnek a következ½ok: s = 0, t 1 + t = s 1 < 4. Mivel s 1 + Y > 6, következik, hogy Y >. A. Megjegyzés folytán pedig teljesül jt 1 t j. Három egymást kizáró, és az összes lehet½oséget kimerít½o esetet vizsgálunk meg, az alábbiak szerint: 1. eset t i + Y < 4; i = 1;. Ekkor t 1 + t + Y = s 1 + Y < 8. Felhasználva az s 1 + Y > 6 feltételt Y < adódik, ami ellentmondás.. eset t i +Y 4; i = 1;. Ekkor teljesülnek a t i +Y > 6 feltételek, ellenkez½o esetben a ütemezés megfelel½o. Következik, hogy t 1 + t + Y = s 1 + Y > 1. Mivel s 1 < 4, adódik hogy Y > 4. Ebb½ol következik, hogy az ütemezésnél ekkor egyedül csak Y van az M gépre ütemezve. Ha Y 6, akkor az ütemezés megfelel½o. Ha viszont Y > 6, akkor pedig az ütemezés optimális.. eset Valamely i; j f1; g ; i 6= j; indexekre teljesül, hogy t i + Y < 4 és t j + Y 4. Ekkor t j + Y > 6 és emiatt jt 1 t j >, ami ismét ellentmondás. Most tegyük fel, hogy létezik az X-szel jelölt munka. Amikor az Y munka érkezik, teljesül az s 1 + Y > 6 feltétel, továbbá a ütemezésnél egyedül X lett ütemezve az M gépre. Ha X + Y 6, akkor a ütemezés megáll a 4. lépésben, és megfelel½o ütemezés. Ezért tegyük fel, hogy X + Y > 6. Közvetlenül Y ütemezése után, az ütemezésben csak az Y munka, míg a ütemezésben csak az X munka került az M gépre. Ha Y 4, akkor az el½obbi. eset vizsgálatához hasonló módon látható, hogy az ütemezés optimális, vagy legalábbis megfelel½o. Emiatt tegyük fel, hogy Y < 4. Ha nem létezik a Z munka, vagyis más szóval az összes további munka mérete kisebb mint, akkor az ütemezés megáll a. lépésben és megfelel½o. Tegyük fel tehát, hogy létezik a Z munka. Emlékezzünk vissza, hogy az Y munka érkeztekor s 1 + Y > 6 teljesül, emiatt az összes további munkák összhossza kevesebb mint 4. így csak egy olyan munka van, amelyik Y után érkezik, és a hossza nagyobb mint. Ha az ütemezésnél a Z munka az M 1 gépre került, akkor ez az ütemezés megfelel½o. Ellenkez½o esetben Z az M gépre lett 19

20 ütemezve mindkét ütemezésnél, tehát az és ütemezések mindegyike esetében. Az ütemezések elkészülte után az ütemezésnél csak Y és Z, a ütemezésnél pedig csak X és Z kerültek az M gépre. Ha X+Z 6 vagy Y +Z 6 teljesül, akkor egyik ütemezés megfelel½o. Emiatt vizsgáljuk azt az esetet, amikor X + Z > 6 és Y + Z > 6. Ha Z < max fx; Y g, akkor egyik ütemzés optimális. Ellenkez½o esetben Z a leghosszabb idej½u munka, és az optimális teljes átfutási id½o pedig C OP T = Y +X > 6. Ha még az is teljesül, hogy X + Z 6 (Y + X) vagy Y + Z 6 (Y + X), akkor C 5 5 ALG:=C OP T 6=5. Emiatt tegyük fel, hogy Y + Z > 6 (Y + X) és X + Z > 6 (Y + X). Ekkor 5 5 egyszer½u számolással kapjuk, hogy Z > 4 és ennek következtében X + Y + Z > 10 = T, ami ellentmondás, és ezzel minden esetet megvizsgáltunk, a bizonyítás kész..4. Tétel Tetsz½oleges A algoritmus versenyképességi aránya legalább 6=5. Bizonyítás: Legyen a munkák összmérete 10. Az els½o négy munka hossza legyen egységnyi. Ha az ezek ütemezése utáni állapotban min fs 1 ; s ; t 1 ; t g 1 teljesül, vagyis mindkét ütemezés esetén kerül mindkét gépre legalább egy munka, akkor a következ½o, és egyben utolsó két munka jön, egyiknek a mérete 5, a másiké pedig 1 legyen. Nyilvánvaló, hogy C A =C OP T 6=5. Ellenkez½o esetben viszont legalább az egyik ütemezés esetén valamelyik gépre nem lett ütemezve még munka, legyen például az ütemezésnél a gépek aktuális terhelése (s 1 ; s ) = (4; 0). Ha (t 1 ; t ) f(4; 0) ; (; 1)g, akkor a következ½o két munka legyen az utolsó, mindkett½o mérete legyen. Ellenkez½o esetben, ha (t 1 ; t ) = (; ) ; a két utolsó munka mérete legyen 4 és. Mindegyik esetben könnyen igazolhatóan C A =C OP T 6=5 adódik... Hasonló méret½u munkák félig online ütemezése három gépen A fejezet további részében a P jonlinejc max feladatnak azzal a félig online változatával foglalkozunk, amikor el½ore tudjuk, hogy a munkák végrehajtási ideje közel egyforma. El½oször néhány kés½obb szükséges eredményt közlünk, ezután az LS algoritmus versenyképességi arányát határozzuk meg az összes r paraméter esetén, majd pedig a < r < 6 intervallumba es½o méretarányokra, (itt LS nem optimális), közlünk hatékonyabb algoritmusokat. El½ore tudjuk tehát, hogy a munkák hossza a p és rp konstansok között van, (ahol p > 0, r 1). Az általánosság megszorítása nélkül feltehetjük, hogy p = 1. Nem követeljük meg, hogy legyenek pontosan 1 és r méret½u munkák, vagyis az el½obbi 1 és r csak alsó illetve fels½o korlátai a feladatok méreteinek. Feltesszük, hogy a munkák a p 1 ; p ; : : : ; p n sorrendben érkeznek. Mivel megengedjük, hogy 0