Statisztika GI II félév. Paraméteres Nem-paraméteres Desc Linkek Desc 1.dolgozat

Átírás

1 Statisztika GI II félév Paraméteres Nem-paraméteres Desc Linkek Desc 1.dolgozat 1

2 Paraméteres Egymintás Kétmintás Statisztika GI II félév 2

3 Egymintás Várható érték Szórásnégyzet-szórás Arány Paraméteres 3

4 Várható érték Z-próba t-próba Egymintás 4

5 Z-próba Desc képlet Fa palack Fa tea Várható érték 5

6 Desc képlet X N (µ, σ) σ ismert H 0 : µ = µ 0... Z = X µ 0 = X µ 0 H n 0 N (0, 1) σ n σ Z-próba 6

7 Fa palack Egy teherautórakománnyi félliteres üdít italból 10 palackot véletlenszer en kiválasztva és lemérve azok rtartalmát az alábbi, milliliterben kifejezett értékeket kaptuk: Ismert, hogy a palackokba töltött üdít ital mennyisége normális eloszlású 3 ml szórással. 95 %-os döntési szintet használva vizsgálja meg a gyártó azon állítását, hogy a palackokba átlagosan fél liter üdít italt töltöttek! Mo palack Z-próba 7

8 Mo palack 1-mintás z-próba n = 10 X = z = = = = 0.74 = z = z = Fa palack Z-próba 8

9 Fa tea Az Ezt idd teát 200 grammos dobozokban árulják, a csomagológép szórása 4 gramm. A Fogyasztóvédelmi Felügyel ség lemérte öt véletlenszer en kiválasztott teásdoboz tömegét, melyekre az alábbi grammban kifejezett értékek adódtak: Hipotéziseit pontosan megfogalmazva és feltételezve, hogy a teásdobozok tömege normális eloszlást követ, döntsön 98 %-os szinten arról, hogy az átlagos tölt tömeg tényleg 200 gramm, avagy kevesebb annál! Mo tea Z-próba 9

10 Mo tea 1-mintás z-próba X = z = n = = = = = 1.90 z = z = Fa tea Z-próba 10

11 t-próba Desc képlet Fa búza Fa szintid Fa kokszföld Várható érték 11

12 Desc képlet X N (µ, σ) σ-t nem ismerjük H 0 : µ = µ 0... t = X µ 0 s = X µ 0 H n 0 n s t (n 1) s = ( (X1 X) (X n X) 2 n 1 ) 1 2 t-próba 12

13 Fa búza Egy gabonaraktárban 60 kg-os kiszerelésben búzát csomagolnak. A havi min ségellen rzés során azt is meg akarták vizsgálni, hogy a raktárból kikerül zsákokban tényleg 60 kg búza van-e, ezért lemértek tíz darab véletlenül kiválasztott zsákot. Eredményül a következ ket kapták: Hipotéziseit pontosan megfogalmazva döntsön 95 %-os szinten arról, hogy a zsákok átlagos tölt tömege tényleg 60 kg-e! Feltételezzük, hogy a zsákok tölt tömege normális eloszlású. Mo búza t-próba 13

14 Mo búza 1-mintás t-próba n = 10 s = X = = = ( ( ) ( ) 2 9 )1 2 = = ( ) = s = 2.51 n 3.16 = 0.79 t = = = 3.20 t (9) = t(9) = Fa búza t-próba 14

15 Fa szintid Egy üzem gyártósorán az egyik szerelési feladatra megadott szintid 9 perc. Ezen feladaton dolgozó alkalmazottak már többször kérték a szintid felemelését, mivel véleményük szerint az nem elegend a feladat elvégzésére. Az üzem vezet sége egy ellen rt küldött ki, aki 12 véletlenszer en kiválasztott alkalommal megmérte a feladat elvégzéséhez szükséges id t, és a következ ket kapta: Feltételezve, hogy a feladat elvégzéséhez szükséges id normális eloszlású, hipotéziseit pontosan megfogalmazva döntsön 99 %-os szinten, igazuk van-e a munkásoknak! Mo szintid t-próba 15

16 Mo szintid 1-mintás t-próba n = 12 s = X = = = 9.22 ( ( ) ( ) 2 11 )1 2 = = ( ) = s = 0.22 n 3.46 = 0.06 t = = = 3.51 t (11) = t(11) = Fa szintid t-próba 16

17 Fa kokszföld Az atlétikai világbajnokságon résztvev kokszföldi csapat néhány versenyz je arra panaszkodott, hogy a leadott doppingtesztjeiket nem megfelel en analizálták és az egyik szernek túlságosan magas koncentrációját mutatták ki, minek következtében a versenybíróság törölte az eredményeiket. A Kokszföldi Atlétikai Szövetség a laboratóriumot tesztelend nyolc mintát küldött, melyek mindegyikében a kérdéses anyag koncentrációja pontosan g/l volt. A laboratórium az alábbi eredményeket szolgáltatta: A labor méréseit normális eloszlásúnak tételezve fel, döntsön 95 %-os szinten, igazuk van-e az atlétáknak! Mo kokszföld t-próba 17

18 Mo kokszföld 1-mintás t-próba n = 8 s = X = = = 0.52 ( ( ) ( ) 2 7 )1 2 = = ( ) = s = 0.04 n 2.83 = 0.01 t = = = t (7) = t(7) = Fa kokszföld t-próba 18

19 Szórásnégyzet-szórás χ 2 -próba Egymintás 19

20 χ 2 -próba Desc képlet Fa rlapok Fa cs vágó Szórásnégyzet-szórás 20

21 Desc képlet X N (µ, σ) µ ismert H 0 : σ 2 = σ 2 0 χ 2 = (n 1)s2 σ 2 0 ( ) 2 s H0 = (n 1) σ 0 χ 2 df=n 1 χ 2 -próba 21

22 Fa rlapok rlapok kitöltésével kapcsolatos - monoton - munkát végz k bizonyos hibaszázalékkal dolgoznak. Hosszútávú meggyelések szerint egy hónapban 35 darab az elrontott rlapok várható száma. A vizsgált változó normális eloszlása feltételezhet. A szórás korábbi tapasztalatok szerint 6 darab. Egy tíz f re kiterjed mintában az elrontott rlapok száma egy hónapban az alábbi volt: Hipotézisét pontosan megfogalmazva 95 %-os szinten döntsön arról, hogy a hibás rlapok számának szórása lehet-e 6 darab! Mo rlapok χ 2 -próba 22

23 Mo rlapok 1-mintás χ 2 -próba n = 10 s = ( ( ) ( ) 2 9 )1 2 = = ( ) = χ 2 = 9 ( ) = χ , df=9 = χ , df=9 = χ , df=9 = χ , df=9 = Fa rlapok χ 2 -próba 23

24 Fa cs vágó Egy cs vágó-automata gépnek 1200 mm hosszú cs darabokat kell levágnia. a gyártásközi ellen rzés feladata annak megállapítása, hogy a gép által gyártott darabok hosszmérete megfelel-e az el írásoknak. El z adatfelvételb l ismert, hogy a szóban forgó gép által gyártott darabok hossza normális eloszlású 3 mm szórással. Az ellen rzéshez kiválasztottak egy 16 elem mintát. A cs darabok hossza a mintában: A gyár részlegvezet je azt mondja, hogy a csövek hosszának szórása nem haladja meg a 3 mm-t. Hipotézisét pontosan megfogalmazva döntsön 99 %-os szinten arról, hogy igaza van-e a részlegvezet nek! Mo cs vágó χ 2 -próba 24

25 Mo cs vágó 1-mintás χ 2 -próba n = 16 s = ( ( ) ( ) 2 15 )1 2 = = ( ) = χ 2 = 15 ( ) = χ , df=15 = χ , df=15 = χ , df=15 = χ , df=15 = Fa cs vágó χ 2 -próba 25

26 Arány Desc képlet Fa dalfesztivál Fa beszállító Egymintás 26

27 Desc képlet H 0 : p = p 0 (...) Z = k n p 0 p 0 (1 p 0 ) n = ˆp p 0 p 0 (1 p 0 ) n H 0 N (0, 1) A póbastatisztika normalitása csak közelít leg teljesül, a gyakorlatban min(np 0, n(1 p 0 )) 5 esetén elfogadhatónak tartják a közelítést. Arány 27

28 Fa dalfesztivál Egy négy évvel ezel tti felmérés során azt az eredményt kapták, hogy a középiskolák diákjainak 43 %-a nézte az Eurovíziós Dalfesztivál magyarországi nemzeti válogatóját. A napokban hasonló felmérést végeztek az iskolákban: 750 megkérdezett közül 550 diák nézte idén a válogatót. 90 %-os szinten döntsön arról, hogy változott-e a a dönt t néz k aránya a négy évvel ezel ttihez képest! Mo dalfesztivál Arány 28

29 Mo dalfesztivál 1-mintás arány-próba ( 0.43 (1 0.43) )1 2 ( ) = = z = = = küszöb = min(0.43, 0.57) = z = z = z = z = Fa dalfesztivál Arány 29

30 Fa beszállító Egy élelmiszerbolt-hálózat üzleteibe érkez import baracknak eddig átlagosan 15 %-a sérült meg szállítás közben. Miután beszállítót váltottak, az új szállítmányból megvizsgáltak 50 barackot. Ezek között 3 sérültet találtak. 95 %-os szinten döntsön arról, hogy megérte-e lecserélni a régi beszállítót. Mo beszállító Arány 30

31 Mo beszállító 1-mintás arány-próba ( 0.15 (1 0.15) 50.0 )1 2 ( ) = = z = = = küszöb = 50.0 min(0.15, 0.85) = 7.50 z = z = z = z = Fa beszállító Arány 31

32 Kétmintás Várható érték Szórásnégyzet Arány Paraméteres 32

33 Várható érték Z-próba t-próba (független) páros mintás t-próba Kétmintás 33

34 Z-próba Desc képlet Fa vonatok Várható érték 34

35 Desc képlet H 0 : µ X µ Y = δ 0... Z = X Y δ 0 σ 2 X n + σ2 Y X n Y H 0 N (0, 1) Z-próba 35

36 Fa vonatok Egy átlagos januári napon 6 InterCity vonatot vizsgáltak, hogy mennyi id alatt (perc) teszi meg a Debrecen-Budapest utat. A menetid k: 155, 162, 158, 164, 157, 156 Két nap múlva leesett 10 cm hó. Ezen a napon 7 InterCity vonat menetidejét (perc) mérték le Debrecen és Budapest között. Akkor az alábbi id ket kapták: 177, 183, 169, 178, 166, 191, 168 A vonatok menetidejét normális eloszlásúnak tekintjük. Az utasok szerint a hóesés több mint 10 perces késést eredményezett ezen a vonalon. 95 %-os szinten döntsünk, igazuk van-e az utasoknak, ha korábbi tapasztalatokból tudjuk, hogy amikor nincs hó, akkor a menetid szórása 3 perc, míg hóeséskor 10 perc! Mo vonatok Z-próba 36

37 Mo vonatok 2-mintás z-próba X : jóid ben, Y : hóban X = Y = z = = = = = = = 4.36 z = z = z = Tehát adott szinten a minta... Fa vonatok Z-próba 37

38 t-próba (független) Desc képlet Fa kávé Fa golabda Várható érték 38

39 Desc képlet független-mintás t-próba. normális független sokaságok, a szórások nem ismertek, de egyenl nek tételezzük fel ket. H 0 : µ X µ Y = δ 0... t = X Y δ 0 s 1 p n + 1 X n Y s p = H 0 tdf=nx +n Y 2 (n X 1)s 2 x + (n Y 1)s 2 y n X + n Y 2 t-próba (független) 39

40 Fa kávé Kétfajta instant kávé oldódási idejét tesztelték, melyekb l minden alkalommal azonos mennyiséget tettek 1 dl forrásban lev vízbe. A kísérletek eredményei az alábbiak voltak: Mokka Makka: 8.2, 5.0, 6.8, 6.7, 5.8, 7.3, 6.4, 7.8 Koe In: 5.1, 4.3, 3.4, 3.7, 6.1, 4.7 Az oldódási id ket normálisnak tételezve fel, 95 %-os szinten vizsgáljuk meg azt az állítást, hogy a Mokka Makka kávé lassabban oldódik, mint a Koe In! Mo kávé t-próba (független) 40

41 Mo kávé független sokaságok, nem ismertek a szórások, de feltesszük hogy egyenl ek. jelölés: X : Mokka, Y : Koe n X = 8, n Y = 6 α = 0.05 H 0 : µ X µ Y 0 H 1 : µ X µ Y > 0 X = 6.75, Y = 4.55 s 2 X = , s 2 Y = s p = = t = = c f = t 0.95, df=12 = 1.782, t c f Tehát adott szinten a minta nem támasztja alá H 0 -at - elvetjük, vagyis elfogadható az az állítás hogy a Mokka lassabban oldódik. Fa kávé t-próba (független) 41

42 Fa golabda Az angliai New Dumber golabdagyárában egy újfajta golabda borítást fej- lesztettek ki. A tesztek azt mutatták, hogy ez az új borítás jóval ellenállóbb, mint a hagyományos. Felmerült azonban a kérdés hogy az új borítás nem változtatja-e meg az átlagos ütéstávolságot. Ennek eldöntésére 42 labdát próbáltak ki, 26 hagyományosat és 16 labdát az újak közül. A labdákat géppel l tték ki, elkerülve ezzel az emberi tényez okozta szóródást. A yardban mért ütéstávolságok összesít adatait, mely távolságokat mindkét esetben normális eloszlásúnak tételezzük fel, az alábbi láthatjuk: Hagyományos: n = 26, átlag = 271.4, s 2 = Új: n = 16, átlag = 268.7, s 2 = %-os szinten vizsgáljuk meg, hogy az új borítás megváltoztatja-e az átlagos ütéstávolságot! Mo golabda t-próba (független) 42

43 Mo golabda független sokaságok, nem ismertek a szórások, de feltesszük hogy egyenl ek. jelölés: X : Hagyományos, Y : Új n X = 26, n Y = 16 α = 0.05 H 0 : µ X µ Y = 0 H 1 : µ X µ Y 0 s p =? t =? c f = t?, df=? =?, Tehát adott szinten a minta... Fa golabda t-próba (független) 43

44 páros mintás t-próba Desc képlet Fa pulzus Várható érték 44

45 Desc képlet páros-mintás t-próba, a különbség normális, ismereteln szórás H 0 : µ d = δ 0... t = d δ 0 H 0 s d tdf=n 1 páros mintás t-próba 45

46 Fa pulzus Egy felmérésben 12 azonos életkorú sportoló pulzusát mérik terhelés után azonnal és egy perc múlva. Az eredmények az alábbiak voltak: Döntsön átlagosan 90 %-os szinten arról, igaz-e hogy a terhelés után egy perccel 20 -szal kevesebb a sportolók pulzusa! Mo pulzus páros mintás t-próba 46

47 Mo pulzus Fa pulzus páros mintás t-próba 47

48 Szórásnégyzet F-próba Kétmintás 48

49 F-próba Desc Képlet Fa kávék Fa játék Fa mérleg Szórásnégyzet 49

50 Desc Képlet függetlenek X 1,..., X nx N (µ X, σ X ) Y 1,..., Y ny N (µ Y, σ Y ) H 0 : σ X = σ Y... F = s2 X s 2 Y H 0 F nx 1, ny 1 Mj.: A nagyobbikat válasszuk számlálónak. F-próba 50

51 Fa kávék Kétfajta instant kávé oldódási idejét tesztelték, melyekb l minden alkalommal azonos menynyiséget tettek 1 dl forrásban lév vízbe. A kísérletek eredményei az alábbiak voltak: Mokka Makka: Koe In: Az oldódási id ket normálisnak tételezve fel, 95 %-os szinten igazoljuk, hogy nincs különbség az oldódási id k szórása között! Mo kávék F-próba 51

52 Mo kávék X = = = 6.75 s 2 X = ( ) ( ) 2 7 Y = = = = 4.55 = 1.09 s 2 Y = ( ) ( ) 2 5 = = 0.97 F 0.025, dfnum =5, df den=7 = F 0.025, dfnum =7, df den=5 = F 0.975, dfnum =5, df den=7 = F 0.975, dfnum =7, df den=5 = Fa kávék F-próba 52

53 Fa játék Egy bevásárlóközpontban lév 3-6 éves gyerekek részére kialakított játékházban egy új készségfejleszt játék fogadtatását tesztelik az ott megfordulók közül véletleszer en kiválasztott úk és lányok segítségével. Az eredmények a következ k: nem n átlag tap. szórás ú lány A játékkal töltött id t normális eloszlásúnak tekintjük. Döntsön 95 %-os szinten, hogy azonosnak tekinthet -e a úk és a lányok adott játékkal töltött idejének szórása! Mo játék F-próba 53

54 Mo játék F 0.025, dfnum =20, df den=24 = F 0.025, dfnum =24, df den=20 = F 0.975, dfnum =20, df den=24 = F 0.975, dfnum =24, df den=20 = Fa játék F-próba 54

55 Fa mérleg Két különböz típusú mérleg összehasonlítására kísérleteket végeztek oly módon, hogy ugyanazt a tárgyat többször megmérték mindkét mérlegen. Az egyiken 30, a másikon 41 mérést végeztek, az eredmények (tapasztalati) szórása 72 és 98 mg volt. A mérési eredmények eloszlása mindkét esetben normálisnak tekinthet. 95 %-os szinten ellen rizze, hogy a második mérleg nagyobb szórással mér-e! Mo mérleg F-próba 55

56 Mo mérleg F 0.025, dfnum =29, df den=40 = F 0.025, dfnum =40, df den=29 = F 0.975, dfnum =29, df den=40 = F 0.975, dfnum =40, df den=29 = Fa mérleg F-próba 56

57 Arány Desc Képlet Fa Vásárlás Fa Szappan Kétmintás 57

58 Desc Képlet nagy mintás, közelít próba P X, P Y : elméleti arányok p X = k X n X, p Y = k Y n Y : meggyelt (mintabeli) arányok q X = 1 p X q Y = 1 p Y H 0 : p X p Y = δ 0... Z = p X p Y px q X n X + p Y q Y n Y H 0 N (0, 1) Ha δ 0 = 0 akkor a következ pontosabb: p = n Xp X + n Y p Y n X + n Y = k X + k Y n X + n Y q = 1 p H 0 : p X p Y = 0... Z = p X p Y ( p q 1 n X + 1 n Y ) H 0 N (0, 1) Arány 58

59 Fa Vásárlás Egy áruházból kifelé menet 500 f t, köztük 350 n t és 150 fért kérdeztek meg véletleszer en arról, hogy vásárolt-e. A n k közül 210 -en, a férak közül 60 -an válaszoltak igennel. 95 %-os szinten ellen rizze, hogy igaz-e az a feltevés, hogy a n k általában több mint 10 Mo Vásárlás Arány 59

60 Mo Vásárlás p X = = 0.60 p Y = = 0.40 Z = = 2.09 z = z = z = z = Fa Vásárlás Arány 60

61 Fa Szappan Egy kozmetikumokat árusító üzletben tíz nap alatt 460 db szappant adtak el, melyb l 138 db volt Kék-Vörös márkájú. Miután a Kék-Vörös szappan csomagolását megváltoztatták, újabb tíznapos meggyelés szerint 400 eladott szappan közül 160 db volt a Kék- Vörös márkájú. Állítható-e 99 %-os szinten, hogy az új csomagolás növeli a Kék-Vörös piaci részesedését? Mo Szappan Arány 61

62 Mo Szappan p X = = 0.30 p Y = = 0.40 Z = = 3.08 z = z = z = z = Fa Szappan Arány 62

63 Nem-paraméteres Illeszkedés Függetlenség Homogenitás Statisztika GI II félév 63

64 Illeszkedés Desc Képlet Nem-paraméteres 64

65 Desc Képlet χ 2 = k i=1 H 0 : P (C i ) = P i... ( (f i np i ) 2 k ) gi 2 = n np i P i i=1 H 0 χ 2 df=k 1 jobboldali-jelleg, fels kritikus értékkel számolunk. Illeszkedés 65

66 Függetlenség Desc Képlet Nem-paraméteres 66

67 Desc Képlet χ 2 = i,j H 0 : P i,j = P i. P.j ( nij nij) 2 n = n n 2 ij 1 H 0 χ 2 df=(r 1)(c 1) ij n i,j i. n.j jobboldali. Függetlenség 67

68 Homogenitás Desc Képlet Nem-paraméteres 68

69 Desc Képlet H 0 : XésY azonos eloszlású jobboldali χ 2 = n X n Y k i=1 1 n Xi + n Yi ( nxi n ) 2 Y i H0 χ 2 n X n df=k 1 Y Homogenitás 69

70 Desc Linkek jelenléti képletek feladatsor táblázatok sav hipotézis általában 1 mintás 2 mintás nemparaméteres regresszió id sorok Statisztika GI II félév 70

71 Desc 1.dolgozat Papíros feladat: Az "Ezt idd" teát 20 grammos dobozokban árulják. A Fogyasztóvédelmi Felügyel ség lemérte 9 véletlenszer en kiválasztott teásdoboz tölt -tömegét, melyekre az alábbi grammban kifejezett értékek adódtak: Hipotéziseit pontosan megfogalmazva és feltételezve, hogy a teásdobozok tölt -tömege normális eloszlást követ, döntsön 98 %-os szinten arról, hogy az átlagos tölt tömeg tényleg 20 gramm, avagy kevesebb annál! Gépes feladat: Két cégnél vizsgálták a kereseteket. Az adatokat ITT találjuk. Döntsünk 90 %-os szinten arról, hogy különböznek-e az átlagkeresetek a cégeknél. t 0.98, df=8 = t 0.99, df=8 = , t 0.95, df=8 = t 0.95, df=20 = t 0.99, df=20 = t 0.90, df=20 = Statisztika GI II félév 71