TARTALOMJEGYZÉK. 4.1./Kiinduló adatok

Átírás

1 Géptervezés I. Márialigeti J. :Élettartam szám.(994) 3/49 TARTALOMJEGYZÉK./Bevezetés /Méretezési stratégiák /Méretezés L élettartamra /Méretezés véges, L< élettartamra /Fail-Safe stratégia /Damage Tolerant stratégia /Méretezés biztonságos élettartamra (Safe-Life stratégia) /Méretezés kísérleti élettartam görbe alapján /Méretezés a Wöhler görbe alapján /Méretezés a helyi feszültségek alapján /A Palmgren-Miner elven alapuló módszerek 0 3./Az élettartam görbe /Méretezés kísérletileg meghatározott élettartam görbe alapján /Kiinduló adatok /Terhelések megadása /A teherbíráseloszlás /A méretezés általános modellje /A törési valószínuség meghatározása adott L élettartamra /Megengedett terhelés meghatározása adott L élettartam és tönkremeneteli valószínuség esetén /Méretezés lognormális típusú valószínuségi változók esetén /Törési valószínuség meghatározása adott alkatrész és adott élettartam esetén /Megengedett terhelés meghatározása adott L élettartam és elôírt törési valószínuség esetén

2 4/49 Márialigeti J. :Élettartam szám.(994) Géptervezés I. 4.4./Gyakorló feladatok /Törési valószínuség meghatározása /A terhelésegyüttes megengedett m a értékének meghatározása /A várható élettartam elôrebecslése a halmozódó károsodás elve alapján /Bevezetés /A Palmgren-Miner elv /A várható élettartam meghatározása /Gyakorló feladatok /Várható élettartam számítása /Megengedett legnagyobb feszültségamplitúdó számítás

3 Géptervezés I. Márialigeti J. :Élettartam szám.(994) 5/49 MÉRETEZÉS REDSZERTELE TERHELÉSVÁLTAKOZÁS ESETÉ./Bevezetés. A rendszertelen terhelésváltakozás esetén alkalmazható méretezési eljárások napjainkban is a muszaki kutatás és fejlesztés fontos területét képezik. Jelentôsége elsôsorban a repülés, (urhajózás) jármu-, építôgép stb. ipar területén nagy, mivel ilyen gépek esetén lépnek fel egyrészt erôteljesen váltakozó - általunk nem befolyásolható- üzemi terhelések, másrészt ezen a területen a biztonság -fôleg a létfontosságú alkatrészek, berendezések tekintetébenelsôrendu fontosságú. Ehhez kapcsolódik a lehetô minimális súlyra, a gazdaságos anyagfelhasználásra való törekvés. Elsô rendu fontosságú tehát kellô biztonság mellet a maximális gazdaságosság elérése, ezért törekedni kell az indokolatlan túlméretezések elkerülésére. Váltakozó igénybevétel esetén elterjedten alkalmazott az állandó amplitúdójú terhelésmodellre való méretezés, elméletileg végtelen, L élettartamra. (Esetenként végesre is.) Sok területen ez ma is megfelelô eszköz. Erôteljesen váltakozó terhelések esetén, különösen ha az "átlagos" terhelést jelentôsen meghaladó terheléscsúcsok is fellépnek, az állandó amplitúdójú terhelésmodell esetenként jelentôs túlméretezéshez vezethet. A másik oldalról viszont az L élettartamra sincs mindíg szükség, hanem csak egy jól meghatározott véges L élettartam biztosítása a cél. (pl. L=2.0 8 ) Tekintettel arra, hogy mind az anyagjellemzôk (határállapoti jellemzôk) mind a terhelési jellemzôk csak valószínuségi változókként kezelhetôk, egy adott alkatrész üzemi élettartama is csak valószínuségi változóként értelmezhetô egzaktan. Ha például egy alkatrész vagy berendezés megbízhatóságáról beszélunk, az annak a valószínuségét jelenti, hogy az alkatrész egy bizonyos élettartamot elér. Például, ha egy alkatrészünk törési valószínüségére P(L<)=p, a megbízhatóság a komplementer esemény valószínusége, vagyis a p' megbízhatóság ekkor p'=-p. A továbbiakban ezen kérdéskörrel foglalkozunk, nem túllépve néhány, a gyakorlatban elsôdleges fontosságú területen, az alapelvek és alpvetô eljárások tárgyalásán. Ennek során támaszkodunk a gépelemek, mechanika, technológia stb. tárgyakban tanultakon túlmenôen a törésmechanika, a terhelésanalízis, a matematikai statisztika és a valószínuségszámítás eszközeire is. 2./Méretezési stratégiák.

4 6/49 Márialigeti J. :Élettartam szám.(994) Géptervezés I. Ismeretes, hogy a kifáradás folyamata elsô közelítésben, mérnöki szempontból három fô fázisra tagolható../lappangási periódus. Ezt a mikro repedések kialakulása jellemzi és a makró repedés (mérnöki eszközökkel érzékelhetô, ~0,0...0,mm) megjelenéséig tart. Ebben a fázisban az alkatrészünk mérnöki értelemben nem károsodik, mivel a makró értelemben definiált teherbírása még nem csökkent. A kifáradási határ alatti igénybevételeknél ez az állapot marad fenn, nem keletkezik mérnöki repedés. 2./Repedés terjedési periódus. Ebben a fázisban a már létrejött repedés növekedik, (l. törésmechanika) egészen a kritikus repedéshossz értékéig. Ebben a fázisban az alkatrész már mérnöki értelemben is károsodott és a repedés észlelhetô. 3./Végsô törés fázisa. Ez, mint ismeretes, hirtelen bekövetkezô, nem megállítható végsô tönkremenetel. A fentiek értelmében a kifáradási görbék is kétféle módon értelmezhetôk, nevezetesen a repedés megjelenéséig elviselt r és a végsô törést okozó t ciklusszám függvényében, l..ábra..ábra. Kifáradási görbék az r repedési és az t törési ciklusszám függvényében. yilvánvaló, hogy r < t. Az r / t arány a szerkezet, igénybevétel, anyag, kialakítás stb. függvényében rendkívül nagy szórást mutat. A repedés esetleges jelenlétének megítélése rendkívül eltérô az egyes muszaki területeken. Statikailag túlhatározott szerkezetekben (párhuzamos kapcsolású, redundáns elemek ) a repedés "veszélyessége" nyilván más elbírálás alá eshet, mint soros rendszerben, ennek megfelelôen megítélése is más lehet. Sok esetben elkerülhetetlen a repedt elem további -legalább is korlátozott- üzemben tartása.

5 Géptervezés I. Márialigeti J. :Élettartam szám.(994) 7/49 2.ábra. A méretezési stratégiák osztályozása. Más a repedés megítélése annak függvényében is, hogy van-e mód illetve ésszeru-e rendszeres repedésvizsgálatokat végezni. Bizonyos területeken és egyes alkatrészek vagy szerkezeti egységek tekintetében -pl. repülés,

6 8/49 Márialigeti J. :Élettartam szám.(994) Géptervezés I. atomerômuvek stb.- a súlyos balesetek elkerüléséhez vagy kockázatának csökkentéséhez nélkülözhetetlen a rendszeres kontroll. A szempontok felsorolását nem folytatva, a különbözô méretezési stratégiák alapvetôen ezen eltérô szempontokhoz és lehetôségekhez igazodnak. A méretezési stratégiák (filozófiák) osztályozása teljesen tisztán nyilván nem lehetséges, mivel átmeneti lehetôségek mindíg vannak. A 2.ábrán látható osztályozás inkább csak a fô jellemvonásokra épít, tendencia-szeruen. 2..Méretezés L élettartamra. Ebben az esetben a rendszertelen terhelésváltakozást állandó amplitúdójú terhelésmodellel helyettesítjük és kifáradási görbe, High vagy Smith diagram formában megadott határállapoti jellemzôket alkalmazunk. Az élettartam ekkor egzaktan nem definiált, hallgatólagosan elfogadjuk hogy az korlátlan, azaz L Ez az eljárás igen nagy szükséges élettartam és/vagy viszonylag kevéssé változó terhelés esetén követendô eljárás. Ilyen esetekben is szükséges azonban a megbízhatóság lehetô egzakt meghatározása. (pl. motor alkatrészek, egyes hajtómu elemek, stabil gépek stb.) 2.2.Méretezés véges, L< élettartamra. Ezekben az esetekben a rendszertelen terhelésváltakozást a méretezésnél figyelembe vesszük, általában statisztikus jellemzôkkel, terhelésegyüttes formában megadott terhelési modellel helyettesítve a tényleges véletlen terhelési folyamatot Fail-Safe stratégia. Az alapgondolat -összhangban a törésmechanika megállapításaival- az, hogy a tönkremenetel lehetô biztos elkerülésének leghatásosabb módja, a repedés idôben való felfedezése. A törést ugyanis mindig megelôzi a repedés. A párhuzamosan kapcsolt elemek alkalmazása további biztonságot ad, mivel ekkor az egyik párhuzamosan kapcsolt elem -ellenôrzések ellenére bekövetkezô véletlen- törése még mindig nem okoz teljes tönkremenetelt a szerkezet vonatkozásában. ormális esetben mindenik elemben a repedés idôben felfedezésre kerül, így a javítás, csere, vagy a további üzemelés lehetôsége mérlegelhetô. Ennél a stratégiánál alapvetôen a törésmechanikai eszközök alkalmazása kerül elôtérbe. (Pl. repülés, jármuipar stb.) Damage Tolerant stratégia.

7 Géptervezés I. Márialigeti J. :Élettartam szám.(994) 9/49 Ez, mint a neve is mutatja, a repedést "elturi", még soros elemek esetén is, viszont szigorú követelményeket támaszt a repedés ellenôrzésével és a repedés detektálásakor szükséges intézkedések meghatározásával szemben. Tulajdon képpen ez a Fail-Safe filózófia egy kockázatosabb de esetenként gazdaságosabb változata. Fôleg olyan területeken alkalmazható, ahol a gondos és biztonságos repedés detektálás megvalósítható egyrészt, másrészt a repedés terjedés idôbeni alkulása biztonságosan elôre becsülhetô Méretezés biztonságos élettartamra méretezés. (Safe-Life stratégia.) Ennél a stratégiánál repedés ellenôrzéssel nem számolunk, mivel az esetleg nem gazdaságos, vagy nem is megvalósítható. Az általános gépépítés, így a jármuvek területének nagy részén is nyilvánvaló ennek ésszerutlen volta. Úgy kell tehát tervezni, hogy a kívánt élettartamot "biztonsággal", elérjük - legalább is katasztrofális- meghibásodás nélkül. Pontosabban -a dolog statisztikus természetébôl adódóan- kicsi legyen annak a valószínusége, hogy az elôírt élettartam elérése elôtt a tönkremenetel bekövetkezzen. Ez más szóval a megbízhatóság elôírt szintjének a teljesítését jelenti. A tönkremeneteli valószínuség vagy megbízhatóság elôírt értéke nyilván nagyban függ a szóban forgó alkatrész fontosságától.(minôség biztosítás!) Gépkocsik esetén pl. a keréktárcsa, a futómuelemek, kormányszerkezet, fék stb. egyes elemei igen kis tönkremeneteli valószínuségre méretezendôk, míg más, nem létfontosságú elemeknél nagyobb tönkremeneteli valószínuséget engedhetünk meg. Mivel mind a terhelésanalízis, mind az alkatrészek teherbírása tekintetében - különösen a relatíve nagy élettartamok tartományára- a statisztikailag kellôen alátámasztott kísérleti adathalmaz létrehozása rendkívül költség és idôigényes, a méretezés egzakt módon csak a muszaki élet néhány területén valósítható meg, a gadaságosság maximális érvényesítése mellett.(pl. repülés, urhajózás, jármuipar egyes területei, atomenergia ipar stb.) Ismeretes az is, hogy a kifáradási folyamat elméleti leírása nincs még napjainkban azon a szinten, hogy azt a mérnöki gyakorlat extrapolációs jelleggel közvetlenül, általánosan felhasználhatná. A felhalmozódott elméleti és kísérleti eredményekre támaszkodva azonban kielégítô eredményekre juthatunk a muszaki gyakorlat számos területén, közelítô eljárások alkalmazásával Méretezés kísérleti élettartam görbe alapján.

8 0/49 Márialigeti J. :Élettartam szám.(994) Géptervezés I. Ez az eljárás a határállapoti jellemzôk tekintetében kísérletileg meghatározott, vagy kísérleti adatok alapján közelített élettartam görbékre támaszkodik.(l. 3. fejezet.) A méretezés ekkor nagymértékben leegyszerusödik és gyakorlatilag a kívánt törési valószínuség (megbízhatóság) ellenôrzésére illetve biztosítására terjed ki. Elméletileg egzaktnak tekinthetô, amennyiben statisztikailag kellôen alátámasztott kísérleti adathalmaz áll rendelkezésünkre mind a várható üzemi terhelések, mind az alkatrész várható élettertama tekintetében. A módszer maga természetesen más területeken is alkalmazható, ahol statisztikusan lebiztosított kiinduló adathalmaz áll rendelkezésre. Mind idôben állandó, mind állandó amplitúdójú vagy idôben állandó terhelésmodell esetén a statisztikai eljárás ugyan az, így jelentôsége a méretezés minden területén igen nagy Méretezés a Wöhler görbe alapján. Ezek az eljárások "határállapoti jellemzô" tekintetében a szokásos, állandó amplitúdójú terhelésmodellel felvett kifáradási görbékbôl indulnak ki és számítás útján extrapolálnak a várható élettartamra, rendszertelen terhelés esetén. A határállapoti jellemzôk tehát nem az alkalmazott terhelési modellre vonatkoznak. Extrapolálásról pedig azért beszélünk, mert a kifáradási görbék törési ciklusszámai kisebbek, mint a szükséges Méretezés a helyi feszültségek alapján. Ez a koncepció abból indul ki, hogy a tönkremenetel, vagyis a repedés kialakulása, mindíg valamilyen feszültséggyujtô helyen indul meg, (bemetszés) ezért a lokális, valódi feszültség csúcsok idôbeli viselkedését vizsgálja. Külön kerül számításra az r repedési ciklusszám és az t - r repedés terjedési élettartam. Ez utóbbi a törésmechanika eszközeit alkalmazza, míg az r meghatározása a ciklikus anyagviselkedés szimulációs elemzésén alapul. Ezzel a továbbiakban nem foglalkozunk A Palmgren-Miner elven alapuló módszerek. Ezek az ismert P-M. féle lineáris halmozódó károsodás elve alapján közvetlenül az t törési élettartam becslését adják. A számítás alapja a kritikus keresztmetszetben ébredô névleges feszültség, határállapoti jellemzôként a Wöhler görbékre támaszkodik. A továbbiakban a és a fejezet szerinti eljárásokkal foglalkozunk. Ha külön nem hangsúlyozzuk, a Wöhler görbét, élettartamgörbét mindig a törési ciklusszám függvényében értelmezzük. 3.Az élettartam görbe.

9 Géptervezés I. Márialigeti J. :Élettartam szám.(994) /49 A próbatestek vagy alkatrészek rendszertelen terhelésváltakozás alatti élettartamát nyilván olyan élettartam vizsgálatokkal tudjuk kísérletileg meghatározni, amelyekben a tényleges rendszertelen folyamatot hozzuk létre az alkatrészen és azt a törés bekövetkezéséig muködtetjük. A kapott törési ciklusszám az alkatrész élettartamát jelenti az adott rendszertelen folyamat esetén. Legyen adva a terhelési folyamat F a /F amax, terhelô erôre vonatkozó, normált amplitúdóegyüttes formájában megadva, l. 3.ábra. 3.ábra Élettartam vizsgálat rendszertelen terheléssel. Felvéve az alkatrész d vizsgálandó átmérôjét, egy F m középterhelést, F amax maximális erôamplitúdót valamint egy véletlen szimulációs szabály segítségével F a /F amax értékek sorozatát "kisorsolva" a terhelésegyüttesbôl, a vizsgált keresztmetszetben a rendszertelen terhelési folyamat egy realizációját tudjuk létrehozni. Ez a feszültségfolyamat -generálása következtében- a kiinduló terhelésegyüttesnek megfelelô és a felhasznált véletlen generálási eljárás által meghatározott sorrendiségu véletlen folyamat lesz. Amennyiben a létrehozott sorrendiség statisztikai értelemben megegyezik a valóságos üzemi folyamat sorrendiségével, az alkatrészben a valóságos üzemi folyamattal nem csak nagyság szerint, hanem sorrend szerint is azonos folyamatot hoztunk létre, statisztikai értelemben. Ilyen módon tetszés szerinti terhelésegyüttesbôl kiindulva reprodukálni tudunk a valóságossal statisztikailag egyenértéku üzemi folyamatokat. Ha most F amax változtatásával különbözô maximális feszültségamplitúdójú folyamatokat generálunk és az összetartozó ~ amax értékeket lg Amax ~lg koordinátarendszerben ábrázoljuk, az élettartam görbéhez jutunk, l. 4.ábra. A A indexe arra utal, hogy ez a lg Amax ~lg rendszerben határállapoti Amax

10 2/49 Márialigeti J. :Élettartam szám.(994) Géptervezés I. jellemzô, míg a terhelésegyüttes amax amplitúdója ébredô feszültség. Természetesen ebben az esetben Amax = amax és m = M. 4.ábra. Az élettartam görbe. Az állandó amplitúdójú feszültségfolyamattal felvett Wöhler vagy kifáradási görbétôl való megkülönböztetés céljából az igy kapott görbét élettartam görbének nevezzük. Természetesen a statisztikus jelleg itt is megmarad, így minden egyes élettartam görbéhez rögzített p valószínüség tartozik, mint paraméter. A tapasztalatok szerint erre is igaz a Wöhler görbénél érvényes: Amax. const. () típusú egyenlet, vagyis lg-lg koordinátarendszerben egyenesre jutunk. Megjegyzések:./Emlékeztetünk arra, hogy állandó amplitúdójú terhelésmodellnél már a terhelések (és a határállapoti jellemzôk) megadására egy { a ; m ;} három dimenziós vektort alkalmaztunk, míg a határállapoti felület { a ; m ;;p} paraméteru, ahol p a valószínuség. 2./Rendszertelen terhelésváltakozás esetén a terhelést leíró vektor komponenseinek száma megnô: - amax ; m ;, -terhelésegyüttes alak, -véletlen sorrendiség generálási szabály. Hasonló igaz az élettartam görbékre is.

11 Géptervezés I. Márialigeti J. :Élettartam szám.(994) 3/49 A kétdimenziós ábrázolásban { Amax ;}változó amit vezérváltozónak megtartunk, a többi szükségképpen rögzített. Az élettartam görbe ilyen felépítése jó lehetôséget ad az állandó amplitúdójú terhelés eredményeként kapott w és a különbözô rendszertelen terhelésegyüttesu rendszertelen folyamatok által eredményezett élettartamok összehasonlítására, l.5.ábra. A görbékhez tartozó vízszintes szakaszok a szórásra utalnak. 5.ábra. Élettartamok összehasonlítása. Az 5.ábra alapján jól látható, hogy azonos Amax esetén -rögzített M-nél- az élettartamok a Wöhler görbéhez képest rendkívül erôsen növekednek. Jól szemlélteti ez a kérdéskör fontosságát. Az élettartam arányok a sorrendiségtôl, az anyagtól, a kialakítástól stb. függenek. Az G Gauss, az E egyenesvonalú és az w élettartamok arányára az alábbi tájékoztató arányszámok érvényesek: G w E G (2)

12 4/49 Márialigeti J. :Élettartam szám.(994) Géptervezés I. 4.Méretezés kísérletileg meghatározott élettartam görbe alapján.(l ) 4..Kiinduló adatok. 4...Terhelések megadása. Ilyen méretezési esetekben abból indulunk ki, hogy ismert a kérdéses alkatrészt terhelô üzemi terhelési folyamat, reprezentatív terhelésegyüttes formájában megadva. Ismeretes, hogy a terhelésegyüttes egy véges hosszúságú realizációs függvény feldolgozása alapján keletkezik és ez ergodikus Gauss folyamatok esetén kielégítô mennyiségu információt tartalmaz a folyamatról. Valójában azonban az elméleti feltételek általában csak közelítôen teljesülnek és a realizáció is korlátozott hosszúságú. Más oldalról közelítve, egy-egy valóságos termék rendkívül eltérô üzemelési körülmények közé kerülhet. Az ebbôl adódó statisztikai bizonytalanságok figyelmbe vételének a gyakorlatban alkalmazott módja az, hogy a terehelésegyütteshez további valószínuségi para-métereket rendelünk oly módon, hogy a terhelésegyüttes legnagyobb amplitúdóját valószínuségi változóként kezeljük és ehhez illesztjük a terhelésegyüttest. Legyen a valószínuségi változó az abszolút feszültséggel megadott terhelésegyüttes legnagyobb feszültségamplitúdója G( amax ) eloszlásfüggvénnyel. Ekkor: P G (3) a a max a max és a terhelésegyüttes típusa legyen minden amax érték esetén azonos, l.6.ábra, pl Gauss, egyenesvonalú, stb. eloszlású. Ezzel tehát egy azonos típuson belül, a terhelésegyüttest is mint valószínuségi változót kezeljük. A G( amax ) eloszlásfüggvény alapján meg tudjuk mondani pl. azt, hogy mi a valószínusége annak, hogy egy konkrét realizáció esetén az üzemben ténylegesen létre jövô realizáció legnagyobb feszültségamplitúdója pl. a amax értéket meghaladja. Ez akkor azt is jelenti, hogy a megvalósuló terhelési folyamat az ezen amax értékhez tartozó terhelésegyüttes szerinti lesz. Ez a terhelésegyüttes legáltalánosabb, valószínuségi megadási módja. Megjegyzések:./A terhelésegyüttes ilyen megadása természetesen kiterjedt kísérleti adatbázist és alkalmasan feldolgozott üzemi tapasztalatot igényel.

13 Géptervezés I. Márialigeti J. :Élettartam szám.(994) 5/49 2./A determinisztikusan, rögzített ennek speciális esete. amax értékkel megadott terhelésegyüttes 6.ábra. Valószínuségi paraméterekkel megadott terhelésegyüttes A teherbíráseloszlás. A határállapoti jellemzô ebben a méretezési esetben az adott, 4... szerinti terhelésegyütteshez tartozó élettartam görbe, illetve görbe sereg, a törési valószínuségekkel együtt, l.7.ábra. 7.ábra. A teherbíráseloszlás értelmezése.

14 6/49 Márialigeti J. :Élettartam szám.(994) Géptervezés I. Ez az élettartam görbe sereg megadja az adott terhelésegyüttes típus esetén, a terhelésegyüttest annak legnagyobb amplitúdójával megadva, az alkatrész élettartam eloszlását, vagyis bármely Amax-ra annak a valószínuségét, hogy az alkatrész L élettartamára: P L p (4) Feltételezzük itt azt, hogy az élettartam görbe már tartalmaz minden, az alkatrész élettartamát befolyásoló tényezôt, pl. méret, megmunkálás, bemetszés stb. A továbbiakban is mindíg ezzel a feltételezéssel élünk. Az élettartam mezôben értelmezhetjük az adott feszültséghez tartozó élettartameloszlás mellett a rögzített ciklusszámhoz tartozó teherbírás eloszlást is, l.7.ábra. Egy alkatrész teherbírásán általában azt a -esetünkben feszültségben kifejezettterhelést értjük, amelyet az meghibásodás mentesen elbír. Esetünkben, mivel a teherbírás ciklusszám függô is, rögzített ciklusszámhoz tudjuk a teherbírás értelmezését rendelni. A teherbírást itt a terhelésegyüttes legnagyobb feszültségamplitúdójával kifejezve adjuk meg. (A többi paraméter rögzített.) Legyen A a teherbírás mint valószínuségi változó, rögzített ciklusszám esetén. Ekkor a teherbírás valószínuségi értelmezésben: P F (5) A A max A max vagyis annak a valószínusége, hogy a A teherbírásra a A < Amax, az F( Amax ) érték. Az élettartam görbe sereg ismeretében, bármely ciklusszámhoz megadható az F( Amax ) teherbíráseloszlás, amint az a 7.ábra alapján szemlélettel is belátható. 4.2.A méretezés általános modellje A törési valószínuség meghatározása adott L élettartamra. Induljunk ki a 4... szerinti formában megadott G( amax ) eloszlásfüggvényu terhelésegyüttesbôl, valamint az ezen terhelésegyütteshez tartozó élettartam görbékbôl. Legyen L= az elôírt (tervezett) szükséges élettartam és legyen F( Amax ) az alkatrész teherbírás eloszlás-függvénye az ciklusszámnál. Keresett annak a valószínusége, hogy a kérdéses alkatrész az élettartamot nem éri el, vagyis

15 Géptervezés I. Márialigeti J. :Élettartam szám.(994) 7/49 l. 8.ábra. P L H (6) 8.ábra. Az élettartameloszlás értelmezése. Megjegyzés: yilvánvaló, hogy a terhelésegyüttes egy adott amax rögzített értéke esetén a "méretezés" rendkívül egyszeru, hiszen az élettartam görbe épp ezt a törési valószínuséget adja meg. A nehézséget itt az okozza, hogy a terhelésegyüttes önmaga is valószínuségi változó, így további valószínuségszámítási meggondolásokra van szükség. Az adott ciklusszám elôtt törés akkor következik be, ha a véletlenül kiválasztott alkatrészre az aktuális A teherbírás kisebb, mint az erre az alkatrészre realizálódó a legnagyobb amplitúdójú véletlen folyamat, vagyis ha. Tehát a törés valószínuségére írható, A < a P L P A a H (7) Vezessük be a

16 8/49 Márialigeti J. :Élettartam szám.(994) Géptervezés I. A a (8) valószínuségi változót a rögzített ciklusszámnál., mint két valószínuségi változó különbsége szintén valószínuségi változó, H (z) eloszlásfüggvénnyel. A törés feltétele tehát P L P H 0 (9) 0 A 9.ábrán a surüségfüggvényeket ábrázoltuk sematikusan valamint a keresett törési valószínuségeket. 9.ábra. A surüségfüggvények elhelyezkedése. A fenti gondolatmenettel bármely értékhez a H (z) eloszlásfüggvény megadható, így a H() eloszlásfüggvény megadható. Adott élettartamgörbék esetén, a terhelésegyüttest megváltoztatva, pl. kisebb abszolút feszültségut véve, adott értéknél a törés valószínusége csökkenthetô vagy fordítva. Általában igaz, hogy: P L P 0 H 0 H ; F ; G (0) Amax a max vagyis a törési valószínuség függ az ciklusszámtól, a terhelésegyüttes valamint az élettartamgörbe statisztikai paramétereitôl. Megjegyzések:./Konkrét méretezési esetre gondolva, az alkatrészben fellépô tényleges feszültség folyamat és így az azt modellezô terhelésegyüttes

17 Géptervezés I. Márialigeti J. :Élettartam szám.(994) 9/49 feszültségértékei az adott alkatrész méretének növelésével csökkenthetôk, vagy fordítva.(évleges feszültség csökkentése vagy növelése.) Az élettartam görbe paramétereit az anyag vagy a technológia változtatásával illetve minden olyan beavatkozással tudjuk befolyásolni, ami a kifáradási tulajdonságokra hatással van. 2./A (6..0) egyenletekben szereplô eloszlásfüggvények nem mindíg állíthatók elô analitikus formában. Bizonyos esetekben, pl. ha a lognormális eloszlás elfogadható modell a valószínuségi tulajdonságok leírására, a számítás jelentôsen egyszerüsödik. 3./A fenti általános modell nem csak az adott esetben alkalmazható, hanem idôben állandó terhelésamplitúdójú, vagy idôben állandó terhelésmodell esetén is, ha a terhelésparaméterek ill. a határállapoti jellemzôk csak valószínuségi változóként kezelhetôk. Valójában ez mindig így van, csak bizonyos esetekben a szórás olyan kicsi, hogy az elhanyagolása elfogadható közelítés, (pl. R eh megbízható technológia esetén) más esetekben pedig nem áll mindig rendelkezésre kellô statisztikai információ. Ezekben az esetekben közelítésekre vagyunk utalva Megengedett terhelés meghatározása adott L élettartam és tönkremeneteli valószínuség esetén. A pontban tárgyalt méretezési esetben abszolút feszültségértékeivel adott terhelésegyüttesbôl kiindulva (adott méretu alkatrész) határoztuk meg a törés valószínuségét. Gyakori a fordított kérdésfeltevés, vagyis ha rögzített L= élettartamhoz és elôírt tönkremeneteli valószínuséghez kell a megengedett terhelésegyüttest (azaz az alkatrész névleges méretét) meghatározni. A feladat a (0) egyenlet alapján oldható meg. Legyen H - a H eloszlásfüggvény G( amax ) változóra vonatkozó inverz függvénye. Ekkor a (0)-bôl G-t kifejezve: G H P 0 a max ; ; F Amax () a keresett eloszlásfüggvény, azaz a terhelésegyüttes (alkatrész keresztmetszet) adódik. A továbbiakban lognormális eloszlások esetére alkalmazzuk a fenti általános eredményeket.

18 20/49 Márialigeti J. :Élettartam szám.(994) Géptervezés I. 4.3.Méretezés lognormális (normális) típusú valószínuségi változók esetén Törési valószínuség meghatározása adott alkatrész és adott élettartam esetén. Legyen a terhelésegyüttes a maximális feszültségamplitúdója lognormális eloszlású, G(lg amax ) eloszlásfüggvénnyel, azaz (lgm a ;v a ) paraméteru normális eloszlás. Ismeretes, hogy m a ekkor a a változó lognormális eloszlásfüggvényének az 50%-os medián értéke, l.0.ábra. 0.ábra. Törési valószínuség számítás lognormális eloszlás esetén. Hasonlóan, legyen rögzített esetén A F(lg Amax ) eloszlásfüggvényu normális eloszlás, (lgm A ;v A ) paraméterekkel. Rögzített esetén ekkor a lg lg ; H (2) A a valószínuségi változó H (z) eloszlásfüggvénye szintén normális eloszlásfüggvényu, P L P 0 H 0 H változókkal. (A bizonyításra itt nem térünk ki; utalunk a valószínuségszámítási szakirodalomra.)

19 Géptervezés I. Márialigeti J. :Élettartam szám.(994) 2/49 Így a P L P 0 H 0 H (2*) törési valószínuség az ismert paraméteru normális eloszlás alapján egyszeruen megadható. Megjegyzések:./Mivel az adott alakú lognormális eloszlások értelmezési tartománya a a >0, A >0, ez a felvétel nyilván közelítés, a nagyobb biztonság irányába. 2./Mivel mind G mind F lognormális, H (z) és H() is lognormális, azaz az élettartameloszlásra >0 az értelmezési tartomány, ami szintén csak közelítés, azaz a biztosan törésmentes élettartam 0 ciklus. Kellô kísérleti adathalmaz birtokában mind a G mind a F eloszlásfüggvények három paraméteres Weibull vagy pozitív helyparaméteru lognormális eloszlásokkal is leírhatók, így elméletileg biztos, törésmentes élettartam is definiálható egy bizonyos konfidencia szinten Megengedett terhelés meghatározása adott L élettartam és elôírt törési valószínuség esetén. A számítás tárgyalása elôtt foglaljuk össze mégegyszer, hogy milyen peremfeltételek esetén keressük a megoldást. Adott:./Az alkatrészt érô rendszertelen terhelési folyamatot leíró terhelésegyüttes típus statisztikusan megadott formában úgy, hogy a amax, a terhelésegyüttesben elôforduló legnagyobb feszültségamplitúdóra G(lg amax ) normális, vagyis (lgm a ;v a ) eloszlású. A terhelésegyüttesre a következô további feltételeket rögzítjük: -a amax különbözô értékeihez azonos típusú terhelésegyüttesek tartoznak, -a terhelésegyüttes szimmetrikus, rögzített m =áll. középfeszültséghez tartozik, -az (lgm a ;v a ) eloszlás v a szórása a vizsgált tartományon állandó, 2./Az./ pontban leírt terhelésegyütteshez tartozó élettartamgörbe sereg és erre bármely L= élettartam esetén az F(lg Amax ) normális eloszlású, (lgm A ;v A ) paraméterekkel. Ez azt is jelenti továbbá, hogy :

20 22/49 Márialigeti J. :Élettartam szám.(994) Géptervezés I. -az élettartam görbe ugyan azon m = M középfeszültséghez tartozik, mint a terhelésegyüttes, -az élettartam görbe minden olyan paraméter hatását tartalmazza, amely az élettartamra hatással van. Megjegyzések:./Megengedett terhelésen itt nyilvánvalóan a terhelésegyüttes legnagyobb amax amplitúdóját értjük, mivel a többi paraméter ennek függvényében már determinisztikusan változik és az élettartam görbe ennek az élettartamra való hatását már "tudja". 2./A terhelésegyüttes amax értékének változtatása a szóban forgó alkatrész általunk vizsgált keresztmetszetének változtatását jelenti, ilyen értelemben ez a szokásos méretezési problémával azonos. 3./Mivel a vizsgált keresztmetszet változtatása a m középfeszültség megváltozását is maga után vonja, ez a modell szigorúan véve csak m =0 esetén érvényes, vagy olyan esetekben, ha a m érték -az adott határok közötti- megváltozása az élettartamra, vagyis az élettartam görbére csak elhanyagolható befolyással van. Egyéb esetekben a m megváltozását is figyelembe kell venni. Ez elvi nehézséget nem okoz, csak a számítás válik bonyolultabbá. Ennek részletezésére itt nem térünk ki. A fenti feltételek esetén a számítás a (0) egyenletbôl kiindulva végezhetô el, felhasználva a pontban mondottakat. Legyen H() az elôírt törési valószínuség értéke a rögzített ciklusszámnál. Ekkor a (2) egyenlet felhasználásával, figyelembe véve azt hogy a változó normális, H P L P e z lg m 2. v A 2 A lg m 2 a v a dz H 0 (3) A fenti egyenletben lgm a a keresett ismeretlen, minden más paraméter egyértelmuen adott. A (3) egyenlet H - függvénye ekkor a normális eloszlás inverzét jelenti. A (3) egyenlet invertálása explicit formában nem lehetséges, ezért a megoldást a jobb áttekinthetôség érdekében a Gauss valószínuségi koordinátarendszer felhasználásával adjuk meg. Az egyszerubb írásmód kedvéért vezessük be az alábbi jelöléseket. Legyen m lg m lg m H A a 2 2 H A a v v v (4)

21 Géptervezés I. Márialigeti J. :Élettartam szám.(994) 23/49 a (3) szerinti normális eloszlású H (z) eloszlásfüggvényu valószínuségi változó várható értéke és szórása, tehát H (z) ( m H ;v H ) normális, és m H az ismeretlen. m H értékét úgy kell megállapítani, hogy H (0)=H() teljesüljön, ahol H() az elôírt törési valószínuség az =L élettartamnál. Legyen v H m H (5) a (4) paraméteru, ( m H ;v H ) valószínuségi változó standardizáltja, P b b (5*) eloszlásfüggvénnyel. (b) ekkor (0;) ismert normális eloszlás és b z v H m H (6) lineáris. Ismeretes, (l. Mat.Stat. Alapok (27) egyenlet, 7.ábra), hogy ekkor a {H (z);z}gauss valószínuségi rendszerben a H (z) egyenessel ábrázolható és ez az egyenes egyben a (6) szerinti függvény is a {b;z}tengelyu koordinátarendszerben, ahol b a redukált változó tehgely. Mivel P L H P 0 H z 0 P b m v H H m v H H (7) és (b) (0;) ismert, a - inverz függvénnyel: m v. H H 0 (8) H H

22 24/49 Márialigeti J. :Élettartam szám.(994) Géptervezés I. tehát - [H()] ismeretében m H számítható, mivel ismert (0;) eloszlás.(l..ábra).ábra. A megengedett terhelésegyüttes meghatározása. A fenti gondolatmenet a.ábrán jól nyomon követhetô. A H (z) eloszlásfüggvény Gauss rendszerbeli egyenesérôl tudjuk, hogy átmegy a H (0)=H() ponton, valamint meredeksége /v H, mivel H (z) egyenese azonos a (6) egyenlettel. (A H (z) egyenes fenti tulajdonsága következik a normalitásból is.) A z tengelyen kijelölve a 0 kezdôpontot és alkalmas léptéket felvéve, az /v H meredekség iránya berajzolható.(e egyenes) H (z) viszont átmegy a Q{0;H (0)}ponton. Mivel H (0)=H(), ez a pont berajzolható és az e iránnyal Q-n párhuzamost húzva, a keresett m H paraméteru H (z) eloszlásfüggvény adódik. Mivel m H a H (z) várható értéke, m H a H ( m H )=0,5 értékhez közvetlenül leolvasható. Ennek alapján lgm a, majd m a közvetlenül adódik.

23 Géptervezés I. Márialigeti J. :Élettartam szám.(994) 25/49 A.ábrából kiindulva m a értékét analitikusan is meghatározhatjuk. A redukált változó tengelyén ugyanis közvetlenül leolvasható - [H (0)] értéke, így a (8) egyenlet alapján m H számítható. Felhasználva a (4) jelöléseket, így lg m lg m v. H 0 (9) a A H v. H 0 H m m 0 (20) a A. amivel a feladatot megoldottuk. Megjegyzések:./A (20) egyenletet átrendezve m m A v. H 0 a H 0 S (2) Mivel m a ébredô feszültség jellegu mennyiség, m A pedig -mint az élettartam görbe pontja- a rögzített élettartamhoz tartozó határállapoti jellemzô, (megengedett feszültség) a (2) egyenlet szerinti S alakilag hasonló a szokásos, feszültségekre vonatkoztatott "biztonsági tényezô"-vel, de itt ez egy adott törési valószínuséghez tartozó, elméletileg egzakt érték, rögzített élettartamhoz. 2./Az S (2) szerinti alakja alapján: 0 S (22) elméletileg. Feltéve, hogy v H >0, azaz van szórás, a jelenség statisztikus, a./ S =, ha - [H (0)] =0. (23) ekkor m A =m a és a.ábra alapján H()=H (0)=0,5, a törési valószínuség ekkor 50%. b./ S >, ha - [H (0)] <0.

24 26/49 Márialigeti J. :Élettartam szám.(994) Géptervezés I. Ekkor m A >m a és a.ábra alapján H()=H (0)<0,5, a törési valószínuség ekkor <50%.(A b redukált változóra: b<0.) c./az S < esetén a törési valószínuség 50%-nál nagyobb, ami a fenti gondolatmenettel könnyen belátható. 3./ S értékét természetes módon befolyásolja v H értéke.h (0) rögzített értéke mellett v H növekedésével S nô, vagyis m a (az ébredô feszültség megengedett értékének paramétere) csökken. S tehát, mint a közepes igénybevételre(medián) és a közepes határállapoti feszültségre (medián) vonatkoztatott biztonsági tényezô a szórás növekedésével szükségszeruen nô, ami teljesen összhangban van a szemlélettel. (A terhelések és az anyagminôség növekvô szórása esetén az "átlag" értékekre logikusan nagyobb "biztonsági tényezô" szükséges, ugyan olyan megbízhatóság eléréséhez.) 4./Vegyük észre, hogy az m a egy összetett terhelési jellemzô, valójában egy ébredô feszültségi vektor, az alábbi komponensekkel: - elôírt élettartam, -adott alakú terhelésegyüttes, - m rögzített folyamat középfeszültség, - amax legnagyobb terhelésamplitúdó m a várható értéke, - amax legnagyobb terhelésamplitúdó v a szórása, - amax eloszlásfüggvényének típusa, -az elemi lengések sorrendiségére vonatkozó statisztikai információ. Hasonlóan, az m A is összetett határállapoti jellemzô vektor, a fentiekkel azonos komponensekkel, mivel kiindulásunk szerint az alapul vett élettartam görbe éppen ilyen terhelési jellemzôkkel lett felvéve. A határállapoti jellemzô tere -a felvett lognormális eloszlások esetén - determinisztikus értelemben- nem tartalmaz megengedett (biztosan törésmentes) tartományt, de bármely törési valószínuséghez tartalmaz határállapoti felületet. A megengedett tartomány tehát bármely pozitív törési valószínuséghez értelmezhetô. 5./A biztonsági tényezô (2) szerinti definíciója új megvilágításba helyezi az eddig is már használt biztonsági tényezô fogalmat. Statikus terhelési modell esetén is ez a valószínuségi értelmezés adja meg a nagy vagy éppen kis biztonsági tényezô alkalmazásának egzakt magyarázatát. agy biztonsági tényezôt pl. akkor alkalmazunk, ha mind a terhelések nagysága, mind a teherbírás tekintetében bizonytalanságok vannak, vagy ismereteink hiányosak. Ekkor lényegében nagy szórást fogadunk el, ha azt egzaktan nem is számszerüsítjük. A nagy biztonsági tényezô alkalmazása ugyanis ezt jelenti. 4.4.Gyakorló feladatok Törési valószínuség meghatározása.

25 Géptervezés I. Márialigeti J. :Élettartam szám.(994) 27/49 Kiinduló adatok../alkatrész. Az ellenôrzendô alkatrész egy földmunkagép futómu felfüggesztésének egy húzásra igénybe vett eleme. A kritikus keresztmetszet és környezetének kialakítása valamint a méretei a 2.ábrán láthatók. 2.ábra. A vizsgált alkatrész kritikus keresztmetszete. 2./Terhelések. Az alkatrész terhelése terhelésegyüttes formájában adott, l. 3.ábra. A valóságos terhelési folyamat egy F m középterhelés körül ingadozó váltakozó terhelés, l.3.ábra. 4.ábra. A terhelési folyamat. A továbbiakban egy adott valószínôséghez tartozó erô (feszültség) amplitúdót F -vel jelölünk, ahol a p-t %-ban adjuk meg. p a p a

26 28/49 Márialigeti J. :Élettartam szám.(994) Géptervezés I. A terhelésértékek a terhelésegyüttes legnagyobb erôamplitúdójának adott valószínuségekhez tartozó értékeivel adottak: F F F m 50 a max 0 a max és a max. erôamplitúdó lognormális eloszlású. 3./Az alkatrész kifáradási jellemzôi. Az adott alkatrésznek a megadott terhelésegyüttessel és a tényleges terhelési sorrendiséggel statisztikusan azonos sorrendiségu generált realizációjával végzett fárasztóvizsgálata alapján az élettartamgörbe sereg az alábbi módon adott:(l.5.ábra) -A p=áll. élettartam görbék alakúak, =6,5 kitevôvel. -A p=50%-os görbe egyenlete: Amax. const. 6, 5 20 Amax.,. 3 0 (24) 0 -A p=0%-os törési valószínuségi görbe Amax=90MPa értékhez tartozó pontja: 0, ahol az alsó index a feszültségre, a felsô a törési valószínuségre utal. -Az F(lg Amax ) feszültségeloszlások rögzített esetén normális eloszlások.(teherbíráseloszlás) A megadott élettartam görbét a terhelésegyütteshez meghatározott középfeszültség környezetében állandónak fogadjuk el. FELADAT Meghatározandó a törési valószínuség L= sz =,5.0 8 szükséges élettartam esetén. MEGOLDÁS. A megoldást a fejezet alapján adhatjuk meg.

27 Géptervezés I. Márialigeti J. :Élettartam szám.(994) 29/49 A keresett P( <0)=H ,. P(L<,5.0 8 )=H() törési valószínuséget a (2) egyenlet alapján a lognormális eloszlás adja meg, amelynek paramétereit a terhelésegyüttes amax amplitúdóeloszlása és a rögzített =,5.08 -hoz tartozó élettartameloszlás paraméterei alapján adhatjuk meg. Az ébredô feszültségek terhelésegyüttesének statisztikai paraméterei. A terhelésegyüttes középfeszültsége:(l.és 2. pont) m d F m , 76 5, 76MPa mm A terhelésegyüttes legnagyobb feszültségamplitúdóinak értékei: -50%-os valószínuségnél: m a 50 a max 50-0%-os valószínuségnél: 0 a max 4. Fa max d F a max d , 33 27, 33 MPa (25) mm 9, 85 9, 85MPa mm

28 30/49 Márialigeti J. :Élettartam szám.(994) Géptervezés I. 4.ábra. A törési valószínuség meghatározása. A G(lg amax ) lognormális eloszlásfüggvény várható értékére 50 lg m a lg a max, 436, a szórást legegyszerubben grafikus úton határozhatjuk meg. A Gauss valószínuségi rendszerben a G eloszlásfüggvény két ismert pontja: P a lg 0 a max P a lg9, 85, 436, 297 0, 5 0, ami alapján G megrajzolható, l.4.ábra. A v a szórásra pedig: v a G 0, 843 G 0, 5 57,, , (26) Tehát G(lg amax ) (,436;0,43) paraméteru. A 4.ábra alapján a G eloszlásfüggvénybôl a p=90%-os valószínuséghez amax =39,8MPa, míg p~99%- hoz =52,5MPa feszültségamplitúdó tartozik. amax A teherbíráseloszlás (megengedett feszültség) meghatározása az adott =,5.0 8 élettartamnál. A 3. pont (24) egyenlete alapján az a p=50%-os görbe és a p=0%-os gorbe a lglg rendszerben közvetlenül felrajzolható, az alábbi módon:(l.5.ábra) -50%-os egyenlet két pontja a görbe egyenlete alapján: , 3. 0 Amax 90MPa nál: 0, 5 6, , 3. 0 Amax 60MPa nál: 0, 5 6, , , A p=0%-os görbe a { Amax 90MPa; 0, 0 } pontja adott, az egyenes pedig párhuzamos az 50%-os görbével. 7 8 A 90%-os görbe egy pontját, elfogadva az élettartameloszlásokra is a lognormalitást, pl. a Amax =90MPa feszültségen adódó élettartameloszlás alapján meghatározhatjuk, bár erre a számításhoz nincs szükségünk. Az =,5.0 8 ciklusszámnál adódó F(lg Amax ) eloszlásfüggvény paramétereit most is grafikus úton határozhatjuk meg a legegyszerubben.

29 Géptervezés I. Márialigeti J. :Élettartam szám.(994) 3/49 A 5.ábra alapján, az F(lg Amax ) lognormális eloszlásfüggvény két ismert pontja, a p=0%-os és a p=50%-os görbe egyenlete alapján számítható. A p=0%-os görbe egyenlete: 0 max 6, 5 6, 5 7 A , (27) 9 5.ábra. Az élettartam görbék. Így: 0 - Amax értéke =, nál: 9 6 5, 04. 0, 5 0 A max 59, 3MPa 8 5,. 0 (27*) 50 - Amax értéke =, nál:

30 32/49 Márialigeti J. :Élettartam szám.(994) Géptervezés I., , 5 50 m A A max 68, 7MPa 8 5, Az F(lg Amax ) eloszlásfüggvény két ismert pontja tehát: P P A A A max A max 59, 3 68, 7 P lg P lg A A lg 59, 3 lg 68, 7, 77 83, 0, 0, 5 így az eloszlásfüggvény Gauss rendszerben megrajzolható, l.4.ábra. A szórás a (26) egyenlettel analóg meggondolás alapján: v A F 0, 843 F 0, 5 88, 83, 0, 05 (28) Így az F(lg Amax ) eloszlásfüggvény (,83;0,05) eloszlású normális eloszlás. A 4.ábra F eloszlásfüggvénye alapján a P~%-hoz Amax =53MPa tartozik. A törési valószínuség meghatározása. A törési valószínuség a (2) egyenlet szerint a változó H (z) eloszlásfüggvényének H (0) értékénél adódik, ahol H (z) 2, 83, 436;vH 034, 0, 05 l.(26) és (28) összefüggéseket. 2 Az (0,394;0,43) eloszlásfüggvényt a Gauss rendszerben ábrázolva, a két ismert pont felhasználásával: P 0, 394 P 043, 0, 394 0, 537 0, 5 0, 843 (29) A H (z) eloszlásfüggvényt berajzolva, a H (0) érték egyszeruen leolvasható, tehát (l.6.ábra) 8 P L 5,. 0 H 0 0, 004 (30) ezzel a feladatot megoldottuk.

31 Géptervezés I. Márialigeti J. :Élettartam szám.(994) 33/49 Megjegyzések:./Eredményünk azt jelenti tehát, hogy az =,5.0 8 ciklusszám elôtt a törés bekövetkezésének valószínusége 0,4%, tehát statisztikusan 000 alkatrész közül 4-nél lehet törésre számítani, a többi ezt az élettartamot túléli. 2./A 5.ábra alapján egyszeruen meg tudjuk adni más L élettartamokra is a törés valószínuségét. Pl. =.0 8 élettartamra az F'(lg Amax ) eloszlásfüggvény (lg73=,86;0,05) paraméteru, feltéve hugy a szórás az elôzô esetével azonos. Erre a H, z eloszlásfüggvény (,86-,436=0,424;0,43) paraméteru, vagyis H (z)-vel párhuzamos, jobbra eltólt egyenes lesz, l.4.ábra. Erre a törés valószínusége leolvasva: P(L<.0 8 )~ Ennek alapján, két pontja ismeretében a P(L<) eloszlásfüggvény is megrajzolható, elfogadva erre is a lognormális eloszlást. 6.ábra. A szórás befolyása.

32 34/49 Márialigeti J. :Élettartam szám.(994) Géptervezés I. 3./A (2) összefüggés szerint S biztonsági tényezô esetünkben: S 68, 7 27, 33 2, 5 (3) Az S (2) szerinti kifejezését kiszámítva v H =0,43 értékkel, ami a H (z) 3 szórása, valamint , 7, így: H S 0 v H. H 0 0 0, 43. 2, 7 2, 43 (32) vagyis az egyezés kielégítô, a (3) szerinti értékkel.(szerkesztési pontatlanság.) 4./A 6.ábra alapján szemléletesen adódik a szórás befolyása. m a és m A értékét megtartva, a H (z) eloszlásfüggvény 50%-os pontja nem változik, a v H szórás csökkentésével azonban H (z) egyenes meredeksége nô, ' l.6.ábra, vagyis a H 0 érték csökken. Például v H 0, 06 értékével H 4 már 0 0 =0,000, vagyis a törés valószínusége ekkor már p=0,0%-ra csökken. Az adott feladat esetén ez vagy az ébredô feszültségek v a szórásának, vagy az alkatrész teherbírás v A szórásának csökkentésével érhetô el. Az elôbbi kedvezôbb üzemi viszonyok biztosításával, míg az utóbbi az anyagminôség és a gyártási szórások csökkentésével érhetô el A terhelésegyüttes megengedett m a értékének meghatározása adott alkatrészre, rögzített L= élettartamra és elôírt P(L<) törési valószínuség esetén Határozzuk meg a feladatban szereplô alkatrész kritikus keresztmetszetének d átmérôjét, =,5.0 8 élettartam és P(L<)=0,0 törési valószínuség esetén. A megoldást a fejezet alapján adjuk meg. Az alkatrész szükséges keresztmetszetét olyan módon fogjuk meghatározni, hogy elsô lépésben meghatározzuk az ébredô feszültségek -adott feltételeknek megfelelô- "megengedett" terhelésegyüttesének statisztikai jellemzôit.ezt 50 követôen a feladat 2.pontjában megadott külsô, ébredô F a max erôamplitúdók alapján a szükséges keresztmetszetet számítjuk.

33 Géptervezés I. Márialigeti J. :Élettartam szám.(994) 35/49 A terhelésegyüttes maximális amplitúdója eloszlásfüggvényének szórását a feladat (26) összefüggésében számolt 0,34 értékkel vesszük azonosnak, tehát a keresett eloszlásfüggvény G(lg amax ) a következô: G lg a max lg ma ;v a 0, 34 (33) amelyben lgm a az ismeretlen. Az =,5.0 8 ciklusszámnál a A határállapoti jellemzô eloszlásfüggvénye a feladat (27*) és (28) összefüggése alapján: F lg A max, 83; 0, 05 (34) paraméteru normális eloszlás, ahol lgm A =lg68,7mpa=,83. Így a (2) szerinti változó H (z) eloszlásfüggvényének (4) szerinti v H szórása a feladat alapján v H =0,43. A keresett m a meghatározásához a (20) összefüggés közvetlenül alkalmas. A H 0 0, 0 értéket a 6.ábra redukált változó tengelyérôl leolvasva: 0, 0 2, 35 (35) így a (20) egyenlet alapján: m a m A. 0 v H. H 0 68, , 43. 2, 35 3, 68MPa (36) és a (2) szerinti S biztonsági tényezô: S m m A a 68, 7 3, 68 2, 6 (37) Az alkatrész szükséges átmérôje tehát, felhasználva a feladat 2.pont 50 F értékét: a max d 4. Fa max , 5mm (38) m. 3, 68. a 50

34 36/49 Márialigeti J. :Élettartam szám.(994) Géptervezés I Határozzuk meg az m a illetve d értékét arra az esetre, ha a terhelésegyüttes szórása a feladat Megjegyzések 4./pontjában szereplô v H =0,06 érték, egyéb paraméterek változatlanok. A (36) (37) egyenletekhez hasonlóan ekkor: m S a 68, , 7 38, 7 0, , 2, 35 38, 7MPa (39) és a szükséges alkatrész átmérô (38) alapján: d 4. Fa max m. 38, 7. a 50 29, 4mm A fenti eredmény jól mutatja a szórás csökkentésének jelentôségét. A 7.ábrába berajzoltuk mindkét esetre a H() eloszlásfüggvényeket, amelyek a p=0,0 ponton mennek át. A p=0,5-höz tartozó várható értékeik változása jól mutatja a szórás csökkenésének a hatását. 5./A várható élettartam elôrebecslése a halmozódó károsodás elve alapján. 5..Bevezetés. A 4. fejezetben tárgyalt, kísérletileg meghatározott élettartamgörbe alapján végzett méretezési eljárás csak olyan esetekben alkalmazható, ha az élettartam görbék az adott alkatrészre rendelkezésre állnak, vagy egyéb élettartamvizsgálati adatokból ezeket megfelelô megbízhatósággal elô tudjuk állítani. Tekintettel a kísérleti élettartamvizsgálatok nagy költség- és idôigényére, ez csak olyan esetekben járható út, ha a nagyszériás gyártás (pl. szgk. ipar) és/vagy a biztonsági követelmények (pl. repülôgépipar, urhajózás) ezt egyrészt lehetôvé, másrészt indokolttá teszik. Egyéb esetekben olyan megoldásokra van szükség, amelyek a határállapoti jellemzôk tekintetében viszonylag egyszeruen meghatározható vagy a szakirodalomban hozzáférhetô adatokra támaszkodnak.

35 Géptervezés I. Márialigeti J. :Élettartam szám.(994) 37/49 Az ezen fejezet tárgyát képezô, a lineáris halmozódó károsodás elvén alapuló módszerek, határállapoti jellemzôként az állandó amplitúdójú Wöhler görbékbôl indulnak ki, amelyek az esetek nagy részében rendelkezésre állnak vagy közelítô számítással meghatározhatók. Ebben rejlik ezen módszerek nagy gyakorlati jelentôsége. 5.2.A Palmgren-Miner elv. Tekintsük egy alkatrész kritikus keresztmetszetében ébredô, m =const. középfeszültségu rendszertelen terhelési folyamatot, tehelésegyüttes formájában megadva. Legyen az adott alkatrész m = M középfeszültséghez tartozó, állandó amplitúdójú Wöhler görbéje ismert, l.7.ábra, és legyen ADK a kifáradási határ, ö a terhelésegyüttes ciklusszáma.(pl. 0 6 ) 7.ábra. Kiinduló adatok a PM. elvhez. Vezessük be a a feszültségszinten a dd( a ) elemi károsodás fogalmát az alábbi definició szerint: dd d a ciklussz m a ; (40) ciklussz m t a A d( a )>0 esetén 0<dD( a )<, ha d elegendôen kicsi. A d a intervallumot minden határon túl csökkentve és integrálva a 0< a < amax intervallumon, a terhelésegyütteshez tartozó D károsodás értékét kapjuk:

36 38/49 Márialigeti J. :Élettartam szám.(994) Géptervezés I. a max 0 dd a a max 0 d t a a D (4) A Palmgren-Miner (továbbiakban PM.) elv szerint a törés a károsodás D= értékénél következik be. D< esetén a terhelésegyüttes ö ciklusszámával azonos számú rendszertelen folyamat lefutása nem okoz törést, D> esetén a törés már az ö db. ciklus lefutása elôtt bekövetkezik. Megjegyzések:./A (40) összefüggésben d( a )= ciklust felvéve az elemi károsodásra a dd a t a (42) adódik, az adott a feszültségszinten. a értékét rögzítve és d értékét növelve a törés nyilván d= t ( a ) értéknél következik be, mivel a (42) szerinti ciklusra esô károsodást t -vel szorozva t / t =. 2./A PM. elv (4) szerinti egyenletének analitikus megoldása a szokásos terhelésegyüttes alakok esetén általában nehézségekkel jár, így rendszerint a terhelésegyüttest lépcsôs függvénnyel közelítjük és a (4) egyenletet véges összeg formájában adjuk meg. Legyen i=,2,..,n a terhelésegyüttest közelítô lépcsôs függvény lépcsôinek a száma, l.8.ábra. Ekkor a D károsodás közelítô értéke: D i n i ti (43) ahol: - i a közelítô terhelésegyüttesben a ai amplitúdójú lengések száma, - ti a törési ciklusszám a ai feszültségi szinten. A (43) összefüggés a (4) integrál közelítô összege, a lépcsôszám finomításával a pontosság korlátlanul fokozható.

37 Géptervezés I. Márialigeti J. :Élettartam szám.(994) 39/49 8.ábra. A PM. elv számítása. 3./ A PM elv (4) (43) alakja hallgatólagosan az alábbi feltételeket tartalmazza: -a rendszertelen amplitúdósorozat sorrendisége nincs befolyással az élettartamra, -a különbözô feszültségszinteken fellépô károsodások lineárisan összegezhetôk, -a a < ADK feszültségamplitúdók nem okoznak károsodást, ( t, ha a < ADK ) -amennyiben az alapul vett Wöhler görbe a tényleges törési ciklusszámokat tartalmazza, az elv érvényességét a repedés terjedési zónában is elfogadjuk Ezek a feltételek sem fémfizikai alapon sem kísértletekkel nem támaszthatók alá, így a PM. elv tudományosan nem tekinthetô megalapozottnak. Ezért ez csak közelítésként fogadható el. Esetenként a ténylegesnél nagyobb, máskor kisebb élettartamot is adhat, tehát nem mindig a biztonság felé téved. A PM. elv hiányosságainak kiküszöbölésére számos javaslat született de ezek eddig nem vezettek általános esetben is elfogadható eredményekre. Egyetlen, széles körben alkalmazható módosítás a a < ADK feszültségamplitúdók károsító hatásának figyelembe vételére vonatkozik. A tapasztalatok szerint, ha egy terhelési folyamatban már egy a > ADK lengés elôfordult, azt követôen a a < ADK lengések is már károsodást okoznak. Ennek figyelembe vételére több közelítés létezik, l.9.ábra.