MATEMATIKA A 11. évfolyam

Átírás

1 MATEMATIKA A. évfolyam Eponenciális függvények és egyenletek. modul Készítette: Csákvári Ágnes és Darabos Noémi Ágnes

2 Matematika A. évfolyam. modul: Hatványozás kiterjesztése, hatványfüggvény Tanári útmutató A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási pontok Hatványozás kiterjesztése valós számokra, rögzített alap mellett a hatvány kiszámítása különböző kitevők esetén. Az eponenciális függvény ábrázolása, tulajdonságainak megállapítása, transzformációi. Alkalmazásuk a valós életben. Egyszerű, összetett és másodfokúra visszavezethető eponenciális egyenletek megoldása. 6 óra. osztály Tágabb környezetben: Környezeti, fizikai, kémiai, biológiai, közgazdasági folyamatok modellezése. Szűkebb környezetben: Logaritmus, hatványozás, analízis elemei. Geometriai transzformációk, vektorok. Sorozatok, kamatoskamat számítás. Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek. Ajánlott megelőző tevékenységek: Hatvány- és gyökfüggvény, függvénytranszformációk, függvények jellemzése. Vektorok; másodfokú egyenletek megoldása. Hatványozás egész, illetve racionális kitevőre. A hatványozás azonosságai. A képességfejlesztés fókuszai Ajánlott követő tevékenységek: Logaritmusfüggvény. Logaritmikus egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek. Sorozatok, kamatoskamat számítás. Analízis elemei. Számolás, számlálás, számítás: Függvényérték kiszámítása. Pontok ábrázolása a koordináta-rendszerben. Egyenletek, egyenlőtlenségek megoldása. Becslés, mérés, valószínűségi szemlélet: Hatványozás irracionális hatványkitevő esetén. Racionális, irracionális koordinátájú pontok helyének meghatározása a koordináta-rendszerben. Egyenletek, egyenlőtlenségek megoldásai számának a meghatározása. Szöveges feladatok, metakogníció: Kémiai, biológiai, közgazdasági folyamatokban matematikai modellalkotás leírás alapján. Rendszerezés, kombinatív gondolkodás: Függvények ábrázolása függvénytranszformációkkal. Egyenletek, egyenlőtlenségek grafikus megoldása. Egyenletek, egyenlőtlenségek megoldása a függvény tulajdonságainak ismeretében. Másodfokúra visszavezethető eponenciális egyenletek. Induktív, deduktív következtetés: Az eponenciális függvény ábrázolása és jellemzése konkrét esetben, majd paraméter megadásával.

3 Matematika A. évfolyam. modul: Hatványozás kiterjesztése, hatványfüggvény Tanári útmutató TÁMOGATÓ RENDSZER. fólia (. mintapéldát tartalmazza). kártyakészlet koordináta-rendszerrel (függvényérték kiszámítása). táblázat (függvénytranszformációhoz). triminó (eponenciális egyenletek). torpedó (eponenciális egyenletek) Ezeken kívül táblázatok, grafikonok, kidolgozott elméleti anyag, torpedó játék. JAVASOLT ÓRABEOSZTÁS. óra Hatványozás kiterjesztése, eponenciális függvény. óra Eponenciális függvény ábrázolása függvénytranszformációkkal. óra A grafikon ismeretében megoldható egyenletek, egyenlőtlenségek. óra Az eponenciális függvény ismeretében megoldható eponenciális egyenletek. óra Összetettebb eponenciális egyenletek 6. óra Másodfokúra visszavezethető eponenciális egyenletek

4 Matematika A. évfolyam. modul: Hatványozás kiterjesztése, hatványfüggvény Tanári útmutató ÉRETTSÉGI KÖVETELMÉNYEK Középszint Egyenletek megoldása új ismeretlen bevezetésével. Másodfokúra visszavezethető egyenletek megoldása. Tudjon definíciók és azonosságok közvetlen alkalmazását igénylő eponenciális egyenleteket megoldani. Ismerje és alkalmazza a függvényeket gyakorlati problémák megoldásánál. Tudjon értéktáblázat és képlet alapján függvényt ábrázolni, illetve adatokat leolvasni a grafikonról. Ismerje, tudja ábrázolni és jellemezni az a a hozzárendeléssel megadott függvényt. Tudjon néhány lépéses transzformációt igénylő függvényeket függvénytranszformációk segítségével ábrázolni [f () c; f ( c); c f (); f (c ) ]. Függvények jellemzése értékkészlet, zérushely, növekedés, fogyás, szélsőérték, paritás szempontjából. Emelt szint Értelmezési tartomány, illetve értékkészlet vizsgálatával, valamint szorzattá alakítással megoldható egyenletek. Tudjon egyszerű eponen- ciális egyenlőtlenségeket megoldani. Tudja ábrázolni az f ( ) a függvény transzformáltjainak grafikonját ( c f ( a b) d ).

5 Matematika A. évfolyam. modul: Hatványozás kiterjesztése, hatványfüggvény Tanári útmutató MODULVÁZLAT Lépések, tevékenységek Kiemelt készségek, képességek Eszköz/ Feladat/ Gyűjtemény I. Eponenciális függvény ( óra). Hatványozás kiterjesztése, az eponenciális függvény ( óra). Ismerkedés az eponenciális függvény grafikonjával: A tanulók párokban dolgoznak. Kitöltik az első feladatban található értéktáblázatot. Ezután gyorsan ellenőrzik a számításokat, majd ábrázolják is a függvényeket.. A tapasztalatok összegzése csoportmegbeszéléssel: A tanulók fős csoportokban dolgoznak. Minden csoport kap egy sorszámot, és a tanárnál is maradnak sorszám kártyák. A tanár felolvassa a kérdéseket. Minden kérdés elhangzása után hagy időt a válasz megbeszélésére, majd húz egy kártyát. Az adott sorszámú csoport egy képviselője megosztja a többiekkel a csoport válaszát. Az osztály ellenőriz, javít ha kell.. Eponenciális függvény definíciója: A tanár összegez, és elmondja az eponenciális függvény definícióját. számlálás, számítás, becslés rendszerezés, valószínűségi szemlélet rendszerezés, induktív következtetés. és. feladat. feladat. fólia. mintapélda

6 Matematika A. évfolyam. modul: Hatványozás kiterjesztése, hatványfüggvény Tanári útmutató 6. Függvényérték-számítás: A tanulók fős csoportokban dolgoznak. A tanár minden csoportnak odaadja az első kártyakészletet, valamint a koordináta-rendszert (koordrsz.bmp). Minden tanuló húz - kártyát. A feladat az adott hozzárendelési utasítás alapján a függvényérték kiszámítása az adott helyen, majd az így kapott pont becsült helyének berajzolása a koordináta-rendszerbe. és. mintapélda 7. feladatokból válogatva. kártyakészlet. Eponenciális függvény ábrázolása függvénytranszformációkkal ( óra). Függvénytranszformációk átismétlése kerekasztallal: A tanulók fős csoportokban dolgoznak. Az egyik gyerek körbeindít egy lapot. Ráírja, ő milyen függvénytranszformációkra emlékszik, és ír példát is rá. A példában elegendő, ha a függvény hozzárendelési utasítása szerepel. Ha nem emlékszik többre, odaadja a lapot a mellette ülőnek, aki kiegészíti. Ezek után osztályszinten is megbeszélik, ki mit gyűjtött össze. A tanár rendszerez, a táblára egymás mellé, oszlopokban felírja a transzformációkat. Minden csoportból kimegy egy tanuló, és felírja a csoport példáit. rendszerezés, induktív, deduktív gondolkodás 8. feladat

7 Matematika A. évfolyam. modul: Hatványozás kiterjesztése, hatványfüggvény Tanári útmutató 7. Egyszerű függvények ábrázolása függvénytranszformációkkal és a függvény jellemzése A tanár kiosztja nekik az első táblázatot, és a hozzá tartozó db kártyát. Az eszközkészletben található táblázatból két példányt készít. Az egyikből lesznek a kártyák, a másikból pedig kitörli cella tartalmát, és úgy adja oda. A tanulók szétosztják egymás között a kártyákat. Feladatuk azok helyrerakása. Egy sorban a függvény hozzárendelési utasítása, grafikonja található, illetve az, hogy ezt a grafikont milyen transzformációval kapjuk az alapfüggvény grafikonjából.. Egyszerű eponenciális egyenlőtlenség megoldása grafikon alapján.. Összetettebb függvények ábrázolása függvénytranszformációval deduktív gondolkodás, kombinatív gondolkodás, számlálás kombinatív gondolkodás, számlálás deduktív gondolkodás, kombinatív gondolkodás, számlálás. és. mintapélda 9. feladatokból válogatva. táblázat. feladat. feladatokból válogatva. A grafikon ismeretében megoldható egyenletek, egyenlőtlenségek ( óra). Grafikon segítségével megoldható egyenletek kombinatív gondolkodás, valószínűségi szemlélet. Grafikon segítségével megoldható egyenlőtlenségek kombinatív gondolkodás, valószínűségi szemlélet 6. és 7. mintapélda 6. feladat 8. mintapélda (. feladat)

8 Matematika A. évfolyam. modul: Hatványozás kiterjesztése, hatványfüggvény Tanári útmutató 8 II. Eponenciális egyenletek ( óra). Az eponenciális függvény ismeretében megoldható egyenletek ( óra). A mintapéldák közös megbeszélése számítás, számolás, kombinatív gondolkodás 9. és. mintapélda. Szakértői mozaik. Alakítsunk ki négy fős csoportokat! Minden csoportban mindenki kap egy-egy kártyát. A kártyákon az A, B, C, D betűk szerepelnek. Ezután egy munkacsoportot alkotnak azok a tanulók, akik azonos betűt kaptak. A betűk a feladatok nehézségi fokát jelentik: A a legkönnyebb, a D pedig a legnehezebb. A munkacsoportok megoldják a kapott feladatot, majd visszamennek az eredeti csoportjukhoz. A négy fős csoportokban megbeszélik mind a négy feladat megoldását. Ezután a tanár tetszőlegesen kiválaszt négy tanulót, és mindegyiküktől egy feladat ismertetését kéri a táblánál. számítás, számolás, kombinatív gondolkodás 7. feladatokból válogatva. Összetettebb eponenciális egyenletek ( óra). Triminó játék számítás, számolás, kombinatív gondolkodás. triminó Alakítsunk ki csoportokat az osztályban. Minden csoport kap 9 db szabályos háromszöget. A kis háromszögek oldalait összeillesztve minden csoport elkészít egy nagy háromszöget. Úgy kell az oldalakat összeilleszteni, hogy az élek mentén egy egyenlet és a megoldása álljon.. A mintapéldák közös megbeszélése számítás, számolás, kombinatív gondolkodás. és. mintapélda

9 Matematika A. évfolyam. modul: Hatványozás kiterjesztése, hatványfüggvény Tanári útmutató 9. Szakértői mozaik. Alakítsunk ki négy fős csoportokat! Minden csoportban mindenki kap egy-egy kártyát. A kártyákon az A, B, C, D betűk szerepelnek. Ezután egy munkacsoportot alkotnak azok a tanulók, akik azonos betűt kaptak. A betűk a feladatok nehézségi fokát jelentik: A a legkönnyebb, a D pedig a legnehezebb. A munkacsoportok megoldják a kapott feladatot, majd visszamennek az eredeti csoportjukhoz. A négy fős csoportokban megbeszélik mind a négy feladat megoldását. Ezután a tanár tetszőlegesen kiválaszt négy tanulót, és mindegyiküktől egy feladat ismertetését kéri a táblánál. számítás, számolás, kombinatív gondolkodás. és. feladatokból válogatva 6. Másodfokúra visszavezetető eponenciális egyenletek ( óra). A mintapélda közös megbeszélése számítás, számolás, kombinatív gondolkodás. mintapélda. Torpedó játék. A játékban páros számú csoportra bontjuk az osztályt, majd megbeszéljük, hogy melyek a szembenálló csoportok. Minden csoport elhelyezi saját flottáját a bal oldali -es táblán. A csoportnak az a feladata, hogy a 7. feladatot legjobb tudása szerint megoldja. Minden jó feladatért adjunk torpedót. Ha végeztek a feladatmegoldással, összegezzük, hogy melyik csoport hány lövéssel rendelkezik, majd kezdődhet az ütközet. A játék nyertese az a csoport, aki előbb lövi ki az ellenfél összes hajóját. számlálás, számítás, számolás, kombinatív gondolkodás. feladat. torpedó játék

10 Matematika A. évfolyam Tanári útmutató I. Eponenciális függvény Eddigi tanulmányaink során találkoztunk abszolútérték függvénnyel, trigonometrikus függvényekkel, gyökfüggvényekkel, valamint hatványfüggvénnyel. Ez utóbbinál a hatványalap állandóan változott, a hatványkitevőt pedig rögzítettük. Most megnézzük, mi lesz a függvény képe, és milyen tulajdonságú lesz a függvény, ha a hatványalapot rögzítjük, és a hatványkitevőt változtatjuk. Módszertani megjegyzés: A tanulók párokban dolgoznak. Kitöltik az első feladatban található értéktáblázatot. Ezután ellenőrzik a számításokat, majd ábrázolják is a függvényeket. Először megnézzük egynél nagyobb, majd egynél kisebb szám hatványait. Ezek után az egy oszlopba tartozó számokból rendezett értékpárokat képezünk, amelyeket koordináta-rendszerben ábrázolunk. Feladatok a). Töltsd ki az alábbi értéktáblázatokat! b) c)

11 . modul: Eponenciális függvények és egyenletek Tanári útmutató Megjegyzés: Ha az alap, akkor a már ismert konstans függvényt kapjuk, mivel -nek minden hatványa. Ezért az alapot nem választjuk az eponenciális függvény alapjának. a) 8 8 b) 8 8 c). Képezz pontokat az.a) és az.b) feladatok alapján az értéktáblázatok oszlopaiból, és ábrázold külön koordináta-rendszerben az.a) pontjait, és az.b) pontjait! Módszertani megjegyzés: A tanulók az ábrák alapján válaszolnak a következő kérdésekre, amit közösen meg is beszélnek majd. A tanulók fős csoportokban dolgoznak. Minden csoport választ egy szóvivőt, kap egy sorszámot és a tanárnál is maradnak sorszám kártyák. A tanár felolvassa a kérdéseket. Minden kérdés elhangzása után hagy időt a válasz megbeszélésére, majd húz egy kártyát. Az adott sorszámú csoport szóvivője megosztja mindenkivel a csoport válaszát. Az osztály ellenőriz és javít, ha kell.. Válaszolj a következő kérdésekre!. Milyen előjelű lehet a hatványozás eredménye?. Eddigi ismereteid alapján milyen számok szerepelhetnek a hatványkitevőben?

12 Matematika A. évfolyam Tanári útmutató. Az elkészített grafikonoknak lehet-e közös pontjuk az tengellyel? Miért?. Mit tudsz mondani a két grafikon monotonitásáról?. A valóságban elhelyezkedhetnek-e ezek a pontok sűrűbben? 6. Az f ( ), illetve a g( ) tetszőleges értékéhez egyetlen hatvány tartozik-e? Igaz-e ez fordítva? A fentieket általánosíthatjuk: létezik az ( ) f a, a >, a függvény. Ez a függvény kölcsönösen egyértelmű. Megfigyelésünkben azt is láttuk, hogy a grafikon tetszőlegesen megközelíti az tengelyt, de azt soha nem éri el. Az ilyen egyeneseket aszimptotának nevezik. Ezért az tengely a függvény grafikonjának az aszimptotája. Ez azt jelenti, hogy a függvény alulról korlátos, mégpedig alsó korlátja a. Abszolút minimuma nincs, azaz nincs olyan legkisebb szám, amelynél kisebb értéket a függvény ne venne fel! Mivel az értelmezési tartomány a racionális számok halmaza, ezért a függvény grafikonja diszkrét pontokból áll függetlenül attól, hogy ezek a pontok tetszőlegesen közel helyezkedhetnek el egymáshoz. Az értelmezési tartomány a permanencia-elv alapján kiterjeszthető a valós számok halmazára úgy, hogy a hatványozás azonosságai és a függvény tulajdonságai érvényben maradnak. Ekkor a grafikon is folytonos lesz. Módszertani megjegyzés: Jobb csoportban érdemes elmondani a hatványozás kiterjesztését irracionális kitevőre. Kiegészítő anyag: Számítsuk ki a értékét! Azt már korábban láttuk, hogy egy irracionális szám tetszőleges pontosan megközelíthető racionális számmal. Adjunk egy tetszőleges közelítést a -re., < <,,< <,, < <,, < <,

13 . modul: Eponenciális függvények és egyenletek Tanári útmutató Kihasználva a függvény szigorú monotonitását -re a következő közelítést kapjuk:,7, < <,,,7, < <,,76,78, < <,,7,787, < <,,79 Ábrázoljuk számegyenesen ezeket az intervallumokat! Az ábráról látszik, hogy tulajdonképpen egymásba skatulyázott intervallumokról van szó. Bebizonyítható, hogy bármeddig folytatjuk ezen egymásba skatulyázott intervallumok képzését, egyetlen olyan pont van, amelyik mindegyik intervallumnak közös pontja. Ehhez a ponthoz rendelt valós számmal definiáljuk a hatványt. Az eddigi tapasztalatok általánosításával eljutunk az eponenciális függvény fogalmához. Legyen a pozitív valós szám, a, R. Ekkor az f () a függvényt eponenciális függvénynek nevezzük. Megjegyzés: A későbbiek során a fenti hozzárendelési utasítással megadott függvényt tekintjük alapfüggvénynek. A név az eponens latin szóból származik, mely kitevőt jelent. Vagyis az ismeretlen a hatványkitevőben található. Módszertani megjegyzés: Az első mintapélda az. fólián is megtalálható (kinyomtatható).

14 Matematika A. évfolyam Tanári útmutató Mintapélda Ábrázoljuk és jellemezzük a valós számok halmazán értelmezett eponenciális függvényt (alapfüggvényt)! Az a értékétől függően esetet különböztetünk meg: Első eset: < a < Második eset: a > Jellemzés R. ÉT R R. ÉK R nincs. zérushely nincs szigorúan monoton csökkenő. monotonitás szigorúan monoton növő nincs. szélsőérték nincs nem páros, nem páratlan 6. paritás nem páros, nem páratlan invertálható 7. invertálhatóság invertálható. kártyakészlet Módszertani megjegyzés: A tanulók fős csoportokban dolgoznak. A tanár minden csoportnak odaadja az első kártyakészletet, valamint a koordináta-rendszert (koordrsz.bmp). Minden tanuló húz - kártyát. A feladat az adott hozzárendelési utasítás alapján a függvényérték kiszámítása az adott helyen, majd az így kapott pont becsült helyének berajzolása a koordinátarendszerbe. (. feladat)

15 . modul: Eponenciális függvények és egyenletek Tanári útmutató. Számítsd ki számológép használatával a függvényértékeket az alábbi helyeken, majd becsüld meg a pont helyét a koordinátasíkon! A koordináta-rendszerben egy egység,-nek feleljen meg. A függvényértékeket két tizedesjegy pontosan határozd meg!,9,,,,8,9,,,,8,9,7,8,69,,9,,9,,69,7,,99,6,, Megjegyzés: A számolást megkönnyíti, ha figyelembe vesszük, hogy. Eponenciális függvényekkel a valós életben is találkozhatunk, amikor bizonyos folyamatokat szeretnénk leírni. Ilyen folyamatok például: tőke növekedése termelés növekedése kamatos kamat piaci folyamatok élőlények szaporodása radioaktív anyag bomlatlan atomjainak száma az eltelt idő függvényében légnyomás csökkenése a magasság függvényében Megjegyzés: Az első három folyamattal a sorozatoknál majd részletesen foglalkozunk.

16 Matematika A. évfolyam Tanári útmutató 6 Mintapélda Ha a időpontban N számú bomlatlan atomot tartalmazott a radioaktív anyag, akkor t idő múlva a még bomlatlan atomok száma N λt t N e lesz (e,78). A λ neve bomlási állandó (megadja, hogy időegység alatt az atomok hányad része bomlik el az adott anyagban), értéke pedig a C szénizotóp esetén λ,. év a) A C atomok szénatomok hány százaléka bomlik el,,, illetve év múlva? b) A C atomok hány százaléka bomlik el évente? A radioaktív anyagok t felezési ideje megmutatja, hogy mennyi idő alatt bomlik el az anyagban a radioaktív atomok fele. a) Tudjuk, hogy a kiindulási évben a bomlatlan szénatomok száma N, majd t idő elteltével ez az érték N t N 78,t, lesz. Az N t érték adja meg, hogy t idő el- N teltével a szénatomok hány százaléka marad bomlatlan. Ebből következik, hogy a szénatomok,t,t (,78 ) N,78 t N százaléka bomlik el. N N t helyébe behelyettesítjük a konkrét értékeket:, év múlva: (,78 ), év múlva: (,78 ), év múlva: (,78 ), év múlva: (,78 ),697 %,9 %,77 %, % b) Tudjuk, hogy a t időpontban a bomlatlan atomok száma N λt t N e, a következő évben pedig N t N e λ ( t ). Az N t hányados adja meg, hogy a következő évben N t az atomoknak hány százaléka maradt bomlatlan. Behelyettesítve kapjuk: N N e λ ( t ) A hatványozás azonosságainak felhasználásával egyszerűsítés után az eredmény e λ t.

17 . modul: Eponenciális függvények és egyenletek Tanári útmutató 7 N e t λ N t,78,, Vagyis a radioaktív szénatomok 99,988%-a marad bomlatlan évente. Tehát,%-a bomlik el évente. Feladatok. Egy tavirózsa a megfigyelés kezdetekor m vízfelületet fed be, majd hetente megduplázza a befedett felületet. a) Ábrázold, hogyan függ a befedett terület a hetekben mért időtől! b) Olvasd le a grafikonról, hogy mennyi idő alatt lesz a befedett terület 8 m, m, m! a) Az ábrázolandó függvény az ( ) f, ahol R b) 8 m befedéséhez pontosan a. hét szükséges. m a. hét vége felé lesz fedve, és a m -es lefedettséget a m -es időpont után pontosan héttel ér el. 6. Az úgynevezett fékezett (logisztikus) növekedés matematikai modellje szerint egy populáció egyedszáma időben nem a végtelenségig nő, hanem a vizsgálat kezdetétől eltelt t idő múlva a lélekszám K N N( t), ahol N az induló egyedszám, N t ( K N ) a K a körülmények szerint eltartható maimális egyedszám, a pedig a növekedésre jellemző állandó. Tudjuk, hogy egy populáció induló egyedszáma volt, K, a,6; a t időt években mérjük. Hány tagú lesz a populáció,, 8, év múlva?

18 Matematika A. évfolyam Tanári útmutató 8 Be kell helyettesíteni az eltelt évek számát a képletbe, felhasználva, hogy N, K, a,6: N () 8,6, hasonlóan kapjuk: N () 99 ; ( ) N (8) ; N () Látható, hogy gyorsan telítődik a létszám, K az elérhető maimum, és ezt már majdnem év alatt el is éri a populáció létszáma. 7. Ha a időpontban N számú bomlatlan atomot tartalmazott a radioaktív anyag, akkor t idő múlva a még bomlatlan atomok száma N t λt N e lesz (e,78). A λ neve bomlási állandó (megadja, hogy időegység alatt az atomok hányad része bomlik el az adott anyagban). A gyógyászatban daganatos területek kezelésére ún. kobaltágyút használtak, amelyben a 6-as tömegszámú kobaltizotóp a radiokatív (gamma-sugár) forrás. A kobaltizotóp bomlási állandója λ,. év a) A kobaltatomok hány százaléka bomlik el,,, év alatt? b) A radioaktív atomok hány százaléka bomlik el évente? a) Tudjuk, hogy a kiindulási évben a bomlatlan kobaltatomok száma N, majd t idő elteltével ez az érték N t N,78, t lesz. Az N N t érték adja meg, hogy t idő elteltével a kobaltatomok hány százaléka marad bomlatlan. Ebből következik, hogy a kobaltatomok N t N N,t,78 N bomlik el. t helyébe behelyettesítjük a konkrét értékeket:, év múlva: (,78 ), év múlva: (,78 ), év múlva: (,78 ), % 8,9 % 7,6 %,t (,78 ) százaléka

19 . modul: Eponenciális függvények és egyenletek Tanári útmutató 9, év múlva: (,78 ) 86, % b) Tudjuk, hogy a t időpontban a bomlatlan kobaltatomok száma N t λt N e, a következő évben pedig N t N e λ ( t ). Az N t hányados adja meg, hogy a következő N évben az atomoknak hány százaléka maradt bomlatlan. Behelyettesítve kapjuk: N N e λ ( t ) e λ t t. A hatványozás azonosságainak felhasználásával egyszerűsítés után az Nt, eredmény e λ,78, 876. Vagyis a radioaktív kobaltatomok 87,6 N t %-a marad bomlatlan évente, azaz,9 % bomlik el. Az eponenciális függvények ábrázolása A tanulók fős csoportokban dolgoznak. A csoporton belül két fő az a) részt oldja meg, a másik pár pedig a b)-t. Mintapélda Ábrázoljuk közös koordináta-rendszerben a következő valós számok halmazán értelmezett függvényeket! Számítsuk ki a függvényértékeket a megadott helyeken! Állapítsuk meg a monotonitásukat! a) f () ; f ()?; f ()?; f ( )? g () ; g ()?; g ()?; g ( )? b) h () 6 ; h ()?; h ()?; h ( )? k () a) b) ; k ()?; k ()?; k ( )?

20 Matematika A. évfolyam Tanári útmutató f () ; f () ; f ( ) h () ; h () ; h ( ) g () ; g () ; g ( ) k () ; k () ; k ( ) szigorúan monoton csökkenők szigorúan monoton növekedők Módszertani megjegyzés: A tanulók fős csoportokban dolgoznak. Az egyik gyerek körbeindít egy lapot. Ráírja, ő milyen függvénytranszformációkra emlékszik, és ír - példát is rá. A példában elegendő, ha a függvény hozzárendelési utasítása szerepel. Ha nem emlékszik többre, odaadja a lapot a mellette ülőnek, aki kiegészíti. Ezek után osztályszinten is megbeszélik, ki mit gyűjtött össze. A tanár rendszerez, a táblára egymás mellé, oszlopokban felírja a transzformációkat. Minden csoportból kimegy egy tanuló, és felírja a csoport példáit. Ezek után analógiát használva megpróbálnak válaszolni az 8. feladat kérdéseire. Dolgozhatnak csoportosan, vagy osztályszinten, tanári irányítással is megbeszélhetik. Feladat 8. Válaszolj az alábbi kérdésekre!. Van-e olyan pont, amelyik minden alapfüggvény grafikonján rajta van. Ha igen, melyik ez?. Hogyan változik az f () függvény hozzárendelési utasítása, ha grafikonját eltoljuk az y tengely mentén pozitív irányba egységgel?. Mi lesz annak a függvénynek a hozzárendelési utasítása, melynek grafikonját az f () függvény grafikonjából annak tengely menti egységgel történő eltolásával kapjuk?. Mi lesz annak a függvénynek a hozzárendelési utasítása, melynek a grafikonját úgy függvény grafikonjából, hogy minden függvényértéket megszor- kapjuk az f() zunk -mal?

21 . modul: Eponenciális függvények és egyenletek Tanári útmutató. Hogyan változik az f () függvény hozzárendelési utasítása, ha grafikonját tükrözzük az tengelyre? 6. Hogyan változik az f () függvény hozzárendelési utasítása, ha grafikonját tükrözzük az y tengelyre? Felhasználva a hatványozás negatív kitevőre vonatkozó azonosságát, hogyan tudnád másképp felírni ezt a hozzárendelési utasítást?. Van, a (;) pont;. f ( ) ;. f ( ) ;. f ( ) ;. f () ; 6. f () ( ). Mintapélda Ábrázoljuk az alábbi függvények grafikonját, és jellemezzük a függvényeket! a) f () ; Z b) g () ; ] ; [ c) h () a) Transzformációs lépések:. a () az alapfüggvény ábrázolása. f () a grafikonjának eltolása a v(; ) vektorral Jellemzés:. ÉT: Z. ÉK: ] ; [. Zérushely:, ebből. Monotonitás: szigorúan monoton növő. Szélsőérték: nincs 6. Paritás: nem páros, nem páratlan 7. Invertálható ; [ ; [

22 Matematika A. évfolyam Tanári útmutató b) Transzformációs lépések:. a (), az alapfüggvény ábrázolása. g () a grafikonjának eltolása a v( ; ) vektorral Jellemzés:. ÉT: ] ; [. ÉK: ;9 7. Zérushely: nincs. Monotonitás: szigorúan monoton növő. Szélsőérték: nincs 6. Paritás: nem páros, nem páratlan 7. Invertálható c) Transzformációs lépések:. a( ). b( ). h( ) az alapfüggvény ábrázolása a grafikonjának kétszeres nyújtása b grafikonjának tükrözése az tengelyre. Jellemzés:. ÉT: [ ; [. ÉK: 6 ; 9. Zérushely: nincs

23 . modul: Eponenciális függvények és egyenletek Tanári útmutató. Monotonitás: szigorúan monoton növő. Szélsőérték: minimumhely: minimumérték: h( ) 6 6. Paritás: nem páros, nem páratlan 7. Invertálható Mintapélda Ábrázoljuk az alábbi függvényeket! Határozzuk meg az értelmezési tartományukat és az értékkészletüket is! a) f ( ) b) g( ) c) h ( ) a) Mivel az hatvány értéke mindig pozitív, ezért. Tehát az ábrázolandó függvény az f ( ). Az értelmezési tartomány a valós számok halmaza, az értékkészlet a pozitív valós számok halmaza. b) A g( ) függvény grafikonjának ábrázolásához használjuk az abszolútérték definícióját: g( ), ha, ha < A függvény értelmezési tartománya a valós számok halmaza. Értékkészlete a ]; ] intervallumbeli valós számok. c) A függvény ott nincs értelmezve, ahol a nevező :

24 Matematika A. évfolyam Tanári útmutató, de > miatt >. Vagyis a függvény mindenütt értelmezhető. Az ábrázoláshoz végezzük el a következő átalakítást: Vegyük észre, hogy ( ) Az a b ( a b)( a b). azonosság felhasználásával a tört egyszerűsíthető. h. Így az ábrázolandó függvény a ( ) Az ábrázolást megkönnyíti, ha felveszünk egy, a (; ) ponton átmenő, az tengellyel párhuzamos egyenest, hiszen a grafikon ehhez az egyeneshez közelít majd, ez lesz a függvénygörbe aszimptotája. ÉT: R; ÉK: ] ; [ Feladatok. táblázat Módszertani megjegyzés a 9. feladathoz: A tanulók vagy fős csoportokban dolgoznak. A tanár kiosztja nekik az első táblázatot, és a hozzá tartozó db kártyát. Az eszközkészletben található táblázatból két példányt készít. Az egyikből lesznek a kártyák, a másikból pedig kitörli cella tartalmát, és úgy adja oda. A tanulók szétosztják egymás között a kártyákat. Feladatuk azok helyére rakása. Egy sorban a függvény hozzárendelési utasítása, grafikonja található, illetve az, hogy ezt a grafikont milyen transzformációval kapjuk az alapfüggvény grafikonjából. Ha a frontális feldolgozást választják, akkor a feladat a függvények jellemzését is tartalmazza, míg a táblázatos feldolgozásban ez nincs.

25 . modul: Eponenciális függvények és egyenletek Tanári útmutató 9. Készítsd el a valós számok halmazán értelmezett alábbi függvények grafikonját, és jellemezd a függvényeket! a ( ) b( ) d, ( ) e( ) ( ) c f ( ) Megoldási útmutató: Ezek a függvények elemi függvénytranszformációkkal ábrázolhatók. A jellemzéshez a mintapéldák nyújtanak segítséget.. Ábrázold a következő függvények grafikonját! Határozd meg a függvények értékkészletét és onotonitását is! a(), ] ; ] b(), Z c(), ] ; [ Megoldási útmutató: Ábrázoljuk a függvényeket a megadott értelmezési tartományon! a) ÉK: ;8 ; szig. mon. nő. b) ÉK: c) ÉK: 8 n ; szig. mon. csökk. ;8 ; szig. mon. nő.. Ábrázold a következő valós számok halmazán értelmezett függvények grafikonját, és jellemezd a függvényeket! a() b() c() Megoldási útmutató: Ezek a függvények elemi függvénytranszformációkkal ábrázolhatók. A jellemzés az alapfüggvények és a transzformáció segítségével megállapítható.. A függvények grafikonja alapján döntsd el, milyen értékeire lesz a) < 8 b) < 8 c) < < d) < <

26 Matematika A. évfolyam Tanári útmutató 6 e) < < 6 f) > g) > a) < ; b) > ; c) < < ; d) < <.. Ábrázold közös koordináta-rendszerben a valós számok halmazán értelmezett következő függvények grafikonját! f () g() h() Megoldási útmutató: Az f és g függvények közvetlenül, a h függvény az abszolútérték definíciójának felhasználása után elemi függvénytranszformációkkal ábrázolható.. Ábrázold a következő függvények grafikonját! Határozd meg az értelmezési tartományukat is! a() b() c() 9 d() Megoldási útmutató: Az a és b függvények megrajzolása értéktáblázat készítésével a legegyszerűbb. A c és d függvények az alábbi átalakítások után elemi függvénytranszformációkkal ábrázolhatók., 9 c ( ), d ( ). Vizsgáld a valós számok halmazán értelmezett f () a) Melyik alapfüggvény transzformációjáról van szó? függvényt!

27 . modul: Eponenciális függvények és egyenletek Tanári útmutató 7 b) Milyen transzformációkat, milyen sorrendben kell végrehajtani? (Több jó sorrend is lehetséges.) a) az alapfüggvény: a( ) b) a transzformációk és ezek egy helyes sorrendje:. tengely menti eltolás negatív irányba egységgel, azaz a v( ; ) vektorral;. y tengely menti kétszeres nyújtás;. tükrözés az tengelyre;. y tengely menti eltolás negatív irányba egységgel, azaz a v(; ) vektorral. Grafikon felhasználásával megoldható egyenletek, egyenlőtlenségek Vannak olyan egyenletek, amelyek közvetlenül, hagyományos algebrai úton nem oldhatók meg. Az ilyen egyenletek bal, illetve jobb oldalából külön-külön képezünk függvényt. Ezeket közös koordináta-rendszerben, a megfelelő értelmezési tartományon ábrázolva, leolvassuk a metszéspont helyét, amely egyben a megoldás is. Megjegyzés: A grafikus megoldás sok esetben csak közelítő megoldást ad. Az eredményt algebrai (vagy egyéb) módszerekkel lehet pontosítani. Mintapélda 6 Oldjuk meg grafikusan a következő egyenleteket a valós számok halmazán! a) b) a) Az egyenlet bal oldalából képezzük az a(), a jobb oldalából a b() függvényt. Készítsük el a két függvény grafikonját közös koordináta-rend-szerben! Az ábráról leolvasható a megoldás: ;

28 Matematika A. évfolyam Tanári útmutató 8 A függvények szigorúan monoton növők. Ebből következik, hogy más megoldás nincs. b) Az a) részhez hasonlóan járunk el: a(), b() Az ábráról leolvasható a megoldás: Mintapélda 7 Oldjuk meg grafikusan a következő egyenleteket! a), > b) cos a) Az egyenlet bal oldalán lévő kifejezés legyen az ( ) a függvény, míg a jobb oldalon található kife- jezés legyen a ( ) b függvény. Ábrázoljuk a-t és b-t közös koordináta-rendszerben! megoldást ad, mert. Az ábráról leolvasható, hogy < < esetén nincs megoldás, mert a hatványfüggvény az eponenciális görbe alatt halad, > esetén pedig fordítva. a és a b) Ismét ábrázoljuk közös koordinátarendszerben az ( )

29 . modul: Eponenciális függvények és egyenletek Tanári útmutató 9 b ( ) cos függvényeket! Az ábráról is leolvasható, hogy nincs megoldás, mert az a függvény tetszőlegesen megközelíti az -et, de sohasem éri el: >. A b függvény értéke pedig legfel- jebb lehet. Mintapélda 8 Oldjuk meg grafikusan a valós számok halmazán értelmezett következő egyenlőtlenségeket! a), b) > 7 c) a) b) R c) nincs megoldás Megjegyzés: b) és c) megoldása közvetlenül következik a függvények értékkészletéből. Feladatok 6. Oldd meg grafikusan a valós számok halmazán értelmezett következő egyenleteket! 7 a) 7 b) c) Ábrázolás után a megoldások a grafikonról leolvashatók. a) ; b) ; c) nincs megoldás. 7

30 MATEMATIKA A. ÉVFOLYAM TANÁROK KÖNYVE II. Eponenciális egyenletek A korábban megismert első- és másodfokú egyenletek úgynevezett algebrai egyenletek, amelyek algebrailag, tehát csak a négy alapművelettel és négyzetgyökvonással megoldhatóak. Most olyan egyenletekkel ismerkedünk meg, melyek nem algebrai egyenletek, ezért új megoldási módokat kell keresnünk, az ismeretlenek meghatározásához. Azokat az egyenleteket, ahol az ismeretlen a hatványkitevőben szerepel, eponenciális egyenleteknek nevezzük. Az eponenciális függvények ismeretében megoldható egyenletek Először nézzük meg azokat az eljárásokat, melyeknél az a cél, hogy azonos alapú hatványok szerepeljenek az egyenlet mindkét oldalán. Mintapélda 9 Oldjuk meg a következő egyenleteket a valós számok halmazán! a) 6 b) c) a) Mivel , ezért az egyenletet 6 alakba is írhatjuk. Az f ( ) szigorúan monoton növekvő függvény, ezért a függvényértékek csak akkor egyeznek meg, ha a kitevők azonosak. Tehát 6, innen. 6 Ellenőrzés: Bal oldal: 6. Jobb oldal: 6. b) Írjuk fel az egyenlet mindkét oldalát hatványaként:. Azonos alapú hatvá- nyokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk:. A -as alapú eponenciális függvény szigorú monotonitása miatt a függvényértékek egyenlőségéből a kitevők egyenlősége következik: amiből:. Megoldáshalmaz: M. A 6 6 megoldás helyessége az eredeti egyenletbe való behelyettesítéssel ellenőrizhető.

31 . modul: EXPONENCIÁLIS FÜGGVÉNY c) Mindkét oldalt -es alapú hatvánnyá alakítjuk: ( ) hatványozás azonosságait: 6, majd alkalmazzuk a. A -es alapú eponenciális függvény szigorú monotonitása miatt a függvényértékek egyenlőségéből a kitevők egyenlősége következik: 6 amiből:. A megoldás helyességét visszahelyettesítéssel ellenőrizzük. Mintapélda Oldjuk meg a következő egyenleteket a pozitív egész számok halmazán! a) 7 9 b) 8 c) 8 a) Mivel 9 7, ezért az egyenletet 7 ( 7 ) alakba is írhatjuk. Hatványt úgy hatványozunk, hogy az alapot a kitevők szorzatára emeljük: A 7-es alapú eponenciális függvény szigorú monotonitása miatt a függvényértékek egyenlőségéből a kitevők egyenlősége következik, azaz 6. Ha, akkor nemnegatív, így abszolútértéke önmaga, azaz elhagyhatjuk az abszolútérték jelet: 6, ebből, ami beletartozik az egyenlet alaphalmazába. Ha <, akkor a negatív, abszolútértéke az ellentettje: ( ) 6., azaz, ez a feltételben megadott tartományon kívül esik, ezért ebben a tartományban nem kapunk megoldást. Ellenőrzés: Bal oldal: Jobb oldal: 9 9 ( 7 ) 7 7. b) Azokat a hatványokat, melyeknek a kitevőjében különbség szerepel, azonos alapú hatványok hányadosaként is felírhatjuk:. Az ismeretleneket egy oldalra ren- dezve kapjuk, hogy, azaz:.

32 MATEMATIKA A. ÉVFOLYAM TANÁROK KÖNYVE A -öd alapú eponenciális függvény szigorú monotonitása miatt a függvényértékek egyenlőségéből a kitevők egyenlősége következik, azaz. Megoldáshalmaz: M { }. A megoldás eleme az alaphalmaznak, helyességét visszahelyettesítéssel ellenőrizzük. c) Felírjuk az -et 8 hatványaként: A 8-as alapú eponenciális függvény szigorú monotonitása miatt a függvényértékek egyenlőségéből a kitevők egyenlősége következik, azaz 8 ebből ± ±, az- 6 az,, ( 8), ezek egyike sem eleme az egyenlet alaphalmazának. Feladatok Módszertani megjegyzés: A tanulók négy fős csoportokban dolgoznak. Minden csoporttag kap egy-egy kártyát, amelyen A, B, C vagy D betűk szerepelnek. Ezután egy munkacsoportot alkotnak azok a tanulók, akik azonos betűt kaptak. A munkacsoportok megoldják a kapott feladatot, majd visszamennek az eredeti csoportjukhoz. A négy fős csoportokban megbeszélik mind a négy feladat megoldását. Ezután a tanár tetszőlegesen kiválaszt négy tanulót, és mindegyiküktől egy feladat ismertetését kéri a táblánál. A jelűek feladata 7. Oldd meg az alábbi egyenleteket a valós számok halmazán! a) 7 b) c) 79 a) b) c) d) d) 6 B jelűek feladata 8. Oldd meg az alábbi egyenleteket a racionális számok halmazán! a) 8 b) 6 9 c) d) a) b) c) d) 8 6

33 . modul: EXPONENCIÁLIS FÜGGVÉNY C jelűek feladata 9. Oldd meg az alábbi egyenleteket a valós számok halmazán! a) 6 b) 8 6 c) 6 8 a) d) b) c) Nincs megoldás d) ; 6 D jelűek feladata. Oldd meg az alábbi egyenleteket a nem negatívszámok halmazán! a) b) 9 c) 9 6 d) a) b) 7 c) d) ; ez utóbbi nem tartozik az alaphalmazhoz, így az egyenlet megoldása:,. Összetettebb eponenciális egyenletek. triminó Módszertani megjegyzés: Triminó játék! Alakítsunk ki csoportokat az osztályban. Minden csoport kap 9 db szabályos háromszöget. A kis háromszögek oldalait összeillesztve minden csoport elkészít egy nagy háromszöget. Úgy kell az oldalakat összeilleszteni, hogy az élek mentén egy egyenlet és a megoldása álljon. Természetesen aki nem akarja a triminót használni, az frontális munka formájában is megoldhatja az ott található egyenleteket.

34 MATEMATIKA A. ÉVFOLYAM TANÁROK KÖNYVE Az eponenciális egyenletek egy másik csoportját alkotják azok az egyenletek, amelyek az eponenciális tagban válnak elsőfokú egyenletté. Ezeken az egyenleteken a hatványozás azonosságai segítségével tudunk olyan átalakításokat végezni, hogy abból az együtthatók leolvashatók legyenek. Mintapélda Oldjuk meg a 7 egyenletet az egész számok halmazán! Azokat a hatványokat, melyeknek a kitevőjében összeg szerepel, azonos alapú hatványok szorzataként, ahol különbség, azokat azonos alapú hatványok hányadosaként is felírhatjuk: 7

35 . modul: EXPONENCIÁLIS FÜGGVÉNY Innen 7 7 7, ebből:. Ellenőrzés: Bal oldal: Jobb oldal: 7. Megoldáshalmaz: { } M. Mintapélda Oldjuk meg a egyenletet a pozitív számok halmazán! Bontsuk fel a hatványalapokat prímtényezőkre: ( ) ( ) ( ) ( ) 8 Alkalmazzuk a hatványozás azonosságait: Az egyenlet mindkét oldalát elosztjuk -nel (ez -től függetlenül mindig pozitív): Innen A -es alapú eponenciális függvény szigorú monotonitása miatt a függvényértékek egyenlőségéből a kitevők egyenlősége következik:, azaz. Ellenőrzés: Bal oldal: 8 68 Jobb oldal: Megoldáshalmaz: { }. M. Feladatok Módszertani megjegyzés: A tanulók négy fős csoportokban dolgoznak. Minden csoporttag kap egy-egy kártyát, amelyen az A, B, C vagy D betűk szerepelnek. Ezután egy munkacsoportot alkotnak azok a tanulók, akik azonos betűt kaptak. A betűk a feladatok nehézségi fokát jelentik: A a legkönnyebb, a D pedig a legnehezebb. A munkacsoportok megoldják a kapott feladatot, majd visszamennek az eredeti csoportjukhoz. A négy fős csoportokban megbeszélik mind a négy feladat megoldását. Ezután a tanár tetszőlegesen kiválaszt négy tanulót, és mindegyiküktől egy feladat ismertetését kéri a táblánál.

36 6 MATEMATIKA A. ÉVFOLYAM TANÁROK KÖNYVE. Oldd meg a következő eponenciális egyenleteket az egész számok halmazán! A jelűek feladatai a) b) B jelűek feladatai c) 6 d) C jelűek feladata e) 9 a) ( ) 6 b) ( ) c) 8 6 6, d) ( ) ( ) e) Oldd meg a következő eponenciális egyenleteket a valós számok halmazán! C jelűek feladata a) ( ) 6 6 D jelűek feladatai b) 9 8 c) a) ( )( ) ( ) 6 6 b) 9 9 c) 7

37 . modul: EXPONENCIÁLIS FÜGGVÉNY 7 Másodfokú egyenletekre visszavezethető eponenciális egyenletek Vannak olyan eponenciális egyenletek, amelyek az eponenciális tagban válnak másodfokú egyenletté. Itt a másodfokú egyenlet megoldása után, ismét a függvény tulajdonságára hivatkozva tudjuk meghatározni az ismeretlen értékét. Mintapélda Oldjuk meg a egyenletet az egész számok halmazán! Észrevehetjük, hogy a ( ), ezért bevezetjük az y új ismeretlent. A következő másodfokú egyenletet kapjuk: y y. Ebből Ha ( ) ± ± y, azaz, y, y 7. y, akkor Ha y 7, akkor 7 Az egyenlet megoldása., innen., innen nem kapunk megoldást, hiszen minden -re >. Ellenőrzés: Bal oldal: 9. Jobb oldal:. Feladatok. torpedó játék Módszertani megjegyzés: A játékban páros számú csoportra bontjuk az osztályt, majd megbeszéljük, hogy melyek a szembenálló csoportok. A csoportok egy-egy hadiflottának a parancsnokai; céljuk az ellenfél flottájának elsüllyesztése. Az első teendő a flotta elhelyezése a bal oldali -es táblán úgy, hogy a többi csoport ne láthassa. Minden csoportnak db - mezős, db -mezős, - db -, - és mező nagyságú hajója van. Ügyeljünk arra, hogy az elhelyezett hajók ne érintsék egymást, de a hajók mezőinek kapcsolódni kell egymáshoz (l. az ábrát). Ha az összes csoport minden hajóját elhelyezte, kezdődhet a munka. Minden csoportnak az a feladata, hogy a. feladatot legjobb tudása szerint megoldja. Minden jó feladatért adjunk torpedót. Ha a feladatok megoldása nem tökéletes, de bizonyos része értékelhető adhatunk érte résztöltényeket is. Ezután

38 8 MATEMATIKA A. ÉVFOLYAM TANÁROK KÖNYVE összegezzük, hogy melyik csoport hány lövéssel rendelkezik, majd kezdődhet az ütközet. A csoportok felváltva indítják a torpedóikat, és bemondják az éppen célzott mezőt (pl. C). Válaszul az ellenfél bemondja, hogy sikeres volt-e a találat (pl.: nem talált, talált, süllyedt). A jobb oldali táblán jelölhetik a csoportok az ellenfél flottájának elhelyezkedését. A játék nyertese az a csoport, aki előbb lövi ki az ellenfél összes hajóját.. Oldd meg a következő eponenciális egyenleteket a természetes számok halmazán! a) b) 7 8 c) 6 d) 9 6 e) g) h) 79 f) a) y y y y ; y ; b) y y 7 y 8 y 9; y c) y y y y ; y ; d) y y 9y y ; y 6 e) 6 8 y y y y 8; y f) y y y y ; y g) 8 9 y y y 8 y 8; y 6 6 h) y y 79 y 79y 6 y y 8; y. Oldd meg a következő egyenleteket a valós számok halmazán! a) 6 6 b) c) 6 6 d) 7 8

39 . modul: EXPONENCIÁLIS FÜGGVÉNY 9 a) b) c) d). Oldd meg az alábbi egyenleteket a racionális számok halmazán! a) a) b) b) 8 c) c) 9 7 d) d), Oldd meg az alábbi egyenleteket a nemnegatív számok halmazán! a) b) c), 7 d) 6 6 e) f) g) 8 h) 7 a) b) ; ez utóbbi nem tartozik az alaphalmazhoz, így az egyenlet megoldása:. c) (, ) 7, 7,, 7 7,, 6 d) e) f) , ez nem tar- 6 tozik az alaphalmazhoz, ezért az egyenletnek nincs megoldása. g) 8 h) Nincs megoldás.

40 MATEMATIKA A. ÉVFOLYAM TANÁROK KÖNYVE Kisleikon Eponenciális függvény: az ( ) függvény. f a (a, R) hozzárendelési utasítással megadott Eponenciális egyenlet: Azok az egyenletek, amelyekben az ismeretlen a hatványkitevőben szerepel. Aszimptota: Egy végtelenbe nyúló görbeív aszimptotája olyan egyenes, amelyet a görbe tetszőleges pontossággal közelít meg a végtelen felé haladva. Algebrai kifejezés: Változók, számok és matematikai műveletek összekötése, ha a változóval (változókkal) csak algebrai műveleteket kell végezni.