ALGEBRA ÉS AZ ANALÍZIS ELEMEI. MATEMATIKA TÉRMÉRTAN ALGEBRA ÉS AZ ANALÍZIS ELEMEI. TÉRMÉRTAN STANDARD SZINT

Átírás

1 ALGEBRA ÉS AZ ANALÍZIS ELEMEI. TÉRMÉRTAN MATEMATIKA MATEMATIKA ALGEBRA ÉS AZ ANALÍZIS ELEMEI. TÉRMÉRTAN STANDARD SZINT

2 MATEMATIKA ALGEBRA ÉS AZ ANALÍZIS ELEMEI. TÉRMÉRTAN STANDARD SZINT Tankönyv a magyar oktatási nyelvű általános középfokú tanintézetek 0. osztálya számára Ajánlotta Ukrajna Oktatási és Tudományos Minisztériuma Львів Видавництво Світ 08

3 УДК [7.5 : 7.85] : [ ] М5 Перекладено за виданням: Мерзляк А. Г. Математика : алгебра і початки аналізу та геометрія, рівень стандарту : підруч. для 0 кл. закладів загальної середньої освіти / А. Г. Мерзляк, Д. А. Номіровський, В. Б. Полонський, М. С. Якір. Х. : Гімназія, 08 Рекомендовано Міністерством освіти і науки України (наказ Міністерства освіти і науки України від ) Видано за рахунок державних коштів. Продаж заборонено Мерзляк А. Г. М5 Математика : алгебра і початки аналізу та геометрія, рівень стандарту : підруч. для 0 кл. закл. заг. серед. осв. з навч. угорською мовою / А. Г. Мерзляк, Д. А. Номіровський, В. Б. Полонський, М. С. Якір ; пер. Д. Ф. Поллої. Львів : Світ, с. : іл. ISBN УДК [7.5 : 7.85] : [ ] ISBN (угор.) ISBN (укр.) Мерзляк А. Г., Номіровський Д. А., Полонський В. Б., Якір М. С., 08 ТОВ ТО Гімназія, оригіналмакет, художнє оформлення, 08 Поллої Д. Ф., переклад угорською мовою, 08

4 KEDVES TIZEDIKESEK! A SZERZŐKTŐL A mai korban nincs olyan tudományág, amelyben ne alkalmaznák a matematika eredményeit. A fizikában és a kémiában, a csillagászatban és a biológiában, a földrajzban és a közgazdaságtanban, de még a nyelvtudomány és a történelem is használ matematikai eszközöket. Reméljük, ez a tankönyv segítségetekre lesz abban, hogy alapos matematikai ismeretekre tegyetek szert. A könyv két fejezetből áll: az első rész az algebra és az analízis elemeivel ( 6. pont), a második pedig a mértannal (7 4. pont) foglalkozik. Az algebra és az analízis elemei nagyon érdekes és hasznos tantárgy. Fejleszti az analitikus és a logikus gondolkozást, a kutatási készségeket, a matematikai kultúrát, csiszolja az elmét. Ebben a tanévben megkezditek a matematikai analízissel való ismerkedést, megismerkedtek majd új függvényekkel, tanulmányozni fogjátok ezeknek a függvényeknek a tulajdonságait, elsajátítjátok a függvények vizsgálatának módszereit. A mértannak azt a fejezetét, amelyben a térbeli alakzatokkal és ezek tulajdonságaival fogtok foglalkozni, térmértannak vagy sztereometriának nevezzük. A mértannak ezt a részét fogjátok a 0. és. osztályokban megismerni. A sztereometria szó a görög stereos térbeli és metreos mérték szavakból ered. A térmértan ismerete kiemelten fontos. A térbeli látás és alapos mértani ismeretek nélkül lehetetlen elsajátítani a mérnöki szakmákat, építési vagy építészeti feladatokat, számítógépes grafikát, ruha- és lábbelitervezést stb. Ez kézenfekvő, mivel az ember, illetve a természet által létrehozott objektumok nem síkbeli alakzatok (. ábra). Kijevi Pecserszki harangláb A Mrija ukrán repülőgép a világ legnagyobb repülője. ábra A Föld képe a világűrből

5 4 A szerzőktől A tankönyv pontokra van felosztva. Az elméleti tananyag elsajátítása során fordítsatok különös figyelmet a félkövérrel, a félkövér-dőlttel és a dőlttel szedett szövegrészre; így jelöljük a könyvben a szabályokat és a legfontosabb matematikai állításokat. Az elméleti részt rendszerint gyakorló feladatok követik. Az itt ismertetett módszerek mintául szolgálhatnak a feladatmegoldások során. Ebben a tankönyvben sok tantételt is találtok, melyek közül több bizonyítást is tartalmaz. Abban az esetben, ha a bizonyítás nem tartozik az iskolai tananyag keretébe, akkor a könyvben csak a tétel megfogalmazása szerepel. Minden pontban önálló munkára kijelölt feladatok vannak, amelyek megoldásához csak az elméleti rész elsajátítása után fogjatok hozzá. A gyakorlatok között vannak könnyűek, közepesek és nehezek (különösen a *-gal jelöltek). Sok sikert kívánunk! EGYEZMÉNYES JELEK n alap- és középszintű tudásnak megfelelő feladatok; n jó tudásszintnek, illetve a tantervi követelményeknek megfelelő feladatok; n magas tudásszintnek megfelelő feladatok; n * matematikai szakkörökre és tanórán kívüli foglalkozásokra ajánlott feladatok jelölése; a tétel bizonyításának és a feladat megoldásának végét jelölő karakter; kulcsfeladatok, melyek eredményei felhasználhatók más feladatok megoldása során. A zöld számozású példákat házi feladatra, a kék számozásúakat pedig szóbeli feladatként ajánljuk.

6 . fejezet Algebra és az analízis elemei y.. Függvények, ezek tulajdonságai és grafikonjaik.. Trigonometrikus függvények.. A derivált és alkalmazása A 0 B x

7 FÜGGVÉNYEK, EZEK TULAJDONSÁGAI ÉS GRAFIKONJAIK.. Ebben a fejezetben megismétlitek a függvényekről eddig tanultakat; megtanuljátok, hogy mit nevezünk a függvény legnagyobb és legkisebb értékének az intervallumon, milyen függvények lesznek párosak és melyek páratlanok; megismerkedtek a páros és páratlan függvények grafikonjainak tulajdonságaival. Megismerkedtek az egész kitevőjű hatványfüggvény meghatározásával, és a tulajdonságaival; mit nevezünk n-edik gyöknek, milyen tulajdonsággal rendelkezik az n-edik gyök; mit nevezünk racionális kitevőjű hatványnak és milyen tulajdonságokkal rendelkeznek ezek; és milyen egyenleteket nevezünk irracionális egyenleteknek. Megtanultok n-edik gyököt vonni; racionális kitevőjű számok hatványra emelését; racionális kitevőjű hatványok és n-edik gyököt tartalmazó kifejezések átalakítását; irracionális egyenletek megoldását.. A függvény legnagyobb és legkisebb értékei. Páros és páratlan függvények Mielőtt megismerkedtek ezzel a ponttal ajánljuk, végezzétek el az.4.8. gyakorlatokat. A 7. osztályban megismerkedtetek a függvény fogalmával és az algebra több fejezetének elsajátítása során többször foglalkoztatok már vele. Nem véletlenül foglal el ilyen fontos helyet ez a fogalom, mivel a függvény számos valós folyamatnak is y matematikai modelljéül szolgál. Már ismeritek a következő fogalmakat: értelmezési tartomány, értékkészlet, zérushelyek, előjeltartási intervallumok, a függvény növekedési és csökkenési intervallumai. Például az y = x + x függvény grafikonja az.. ábrán látható: 0 x értelmezési tartománya: D (y) = ( ; + );.. ábra értékkészlete: E (y) = [ ; + ); zérushelyei: és 0;

8 . A függvény legnagyobb és legkisebb értékei. Páros és páratlan függvények 7 előjeltartási intervallumai: a függvény pozitív értékeket vesz fel a ( ; ) és (0; + ) intervallumon, negatív értékeket pedig a ( ; 0) intervallumon; a függvény növekedési és csökkenési intervallumai: a ( ; ] intervallumon csökkenő, a [ ; + ) intervallumon pedig növekvő. A fenti lista nem teljesen meríti ki azokat a tulajdonságokat, melyeket a függvény vizsgálata során tanulmányozni kell. Megvizsgáljuk azokat az új fogalmakat, melyek segítenek részletesebben jellemezni a függvényt. Definíció. Az f (x 0 ) számot az M D (f) halmazon az f függvény legnagyobb értékének nevezzük, ha létezik egy olyan x 0 M szám, hogy minden x M számra teljesül az f ( x0 ) l f ( x). egyenlőtlenség. Így jelöljük: max f ( x) = f ( x0 ). M Definíció. Az f (x 0 ) számot az M D (f) halmazon az f függvény legkisebb értékének nevezzük, ha létezik egy olyan x 0 M szám, hogy minden x M számra teljesül az f ( x0 ) m f ( x). egyenlőtlenség. Így jelöljük: min f ( x) = f ( x0 ). M y Lássunk néhány példát. Az f ( x) = x függvénynek az M = [0; 4] halmazon (.. ábrán): min f ( x) = f ( 0) = 0, 0 4 x [ 0; 4] max f ( x) = f ( 4) =... ábra [ 0; 4] Az f ( x) = x az M = [ ; ] halmazon (.. ábra): min f ( x) = f ( 0) = 0, max f ( x) = f ( ) = 4. [ ; ] [ ; ] y y y 0 x 0 x 0 x.. ábra.4. ábra.5. ábra Nem minden függvénynek lesz az adott intervallumon legkisebb vagy legnagyobb értéke. Például az f ( x) = x függvénynek: min f ( x ) = 0. Legnagyobb értéke a valós számok halmazán viszont nem lesz (.4. ábra). Az f ( x) = függvénynek a (0; + ) halmazon nem lesz se legnagyobb, se legkisebb értéke (.5. x ábra).

9 8.. Függvények, ezek tulajdonságai és grafikonjaik Definíció. Az f függvényt párosnak nevezzük, ha az értelmezési tartományának bármilyen x értékére teljesül az f ( x) = f (x) egyenlőség. Definíció. Az f függvényt páratlannak nevezzük, ha az értelmezési tartományának bármilyen x értékére teljesül az f ( x) = f (x) egyenlőség. Például az f ( x) = x páros, a g (x) = x pedig páratlan függvény. Valóban, D( f) =, D( g) =. Bármely x racionális számra teljesülnek az f ( x) = ( x) = x = f ( x) és g ( x) = ( x) = x = g ( x). egyenlőségek. Az f ( x) = f (x) vagy az f ( x) = f (x) egyenlőség teljesülése bármilyen x D (f) értékre azt jelenti, hogy az f függvény értelmezési tartománya szimmetrikus a koordináta-rendszer kezdőpontjához, vagyis a következő tulajdonsággal rendelkezik: ha x 0 D (f), akkor x 0 D (f). A fenti meghatározásból következik, hogy amikor a függvény értelmezési tartománya nem szimmetrikus a koordináta-rendszer kezdőpontjára, akkor ez a függvény nem lehet sem páros, sem páratlan. Például az y = függvény értelmezési tartománya a ( ; ) x Ÿ Ÿ( ; + ), halmaz, amely nem szimmetrikus a koordináta-rendszer kezdőpontjára. Ezért ez a függvény se nem páros, se nem páratlan. Feladat. Bizonyítsuk be, hogy az f (x) = x x függvény páratlan! Megoldás. Mivel a D( f) =, ezért az f függvény értelmezési tartománya szimmetrikus a koordináta-rendszer kezdőpontjára. Bármilyen x D (f) értékre teljesül: f ( x) = ( x) ( x) = x + x = f ( x). Tehát az f függvény páratlan... tétel. Az ordinátatengely a páros függvény szimmetriatengelye lesz..6. ábra.7. ábra

10 . A függvény legnagyobb és legkisebb értékei. Páros és páratlan függvények 9.. tétel. A koordináta-rendszer kezdőpontja a páratlan függvény szimmetriaközéppontja lesz. Az.. és.. tételek állításait az.6. és.7. ábrán mutatjuk be.?. Melyik számot nevezzük a függvény legnagyobb (legkisebb) értékének egy adott halmazon?. Hogyan jelöljük az f függvény legnagyobb (legkisebb) értékét az M halmazon?. Milyen függvényt nevezünk párosnak (páratlannak)? 4. Milyen tulajdonsággal rendelkezik a páros (páratlan) függvény grafikonja? GYAKORLATOK.. Az.8. ábrán az y = f (x) függvény grafikonja látható, amely a [ 4; 5] intervallumon van értelmezve. A grafikon alapján határozd meg a függvény legnagyobb és a legkisebb értékét az adott intervallumon: ) [; ]; ) [,5; ]; ) [,5;,5]! y x.8. ábra.. Az.9. ábrán az y = g (x) függvény grafikonja látható, amely a [ 4; 4] intervallumon van értelmezve. A grafikon alapján határozd meg a függvény legnagyobb és a legkisebb értékét az adott intervallumon: ) [ ; ]; ) [ ; ]; ) [ ; ]!

11 0.. Függvények, ezek tulajdonságai és grafikonjaik.9. ábra.. Adott, hogy az f (7) = 6. Határozd meg az f ( 7) értékét, ha az f függvény: ) páros; ) páratlan!.4. Adott, hogy az f ( ) = 8. Határozd meg az f () értékét, ha az f függvény: ) páros; ) páratlan!.5. Az f függvény páros. Teljesülhet-e a következő egyenlőség: ) f () f ( ) = ; ) f (5) f ( 5) =?.6. Az f függvény páratlan. Teljesülhet-e a következő egyenlőség: ) f () + f ( ) = ; ) f () f ( ) =?.7. Páros-e az y = x képlettel megadott függvény, ha az értelmezési tartománya a következő halmaz: ) [ 9; 9]; ) ( ; ) Ÿ( ; + ); ) [ 6; 6); 4) ( ; 4]?.8. Páros vagy páratlan az a függvény, amelynek a grafikonja az.0. ábrán látható? a b c.0. ábra.9. A [; 5] intervallumon határozd meg a függvény legnagyobb és legkisebb értékét: ) f ( x) = 0 ; ) f ( x) = 0.! x x

12 . A függvény legnagyobb és legkisebb értékei. Páros és páratlan függvények.0. Határozd meg: ) max( x +6x ); ) max( x +6x ).! [ ; ] ) min( x +6x ); [ 4 ; ] [ 45 ; ].. Határozd meg az y = x + + x 8 függvény legnagyobb és legkisebb értékét a következő intervallumon: ) [ 5; ]; ) [ 5; ]; ) [0; ]!.. Bizonyítsd be, hogy a függvény páros: ) f (x) = 5x 4 x + ; ) f ( x) =. x 4!.. Bizonyítsd be, hogy a függvény páros: ) f (x) = x 6 ; ) f ( x) = 5 x.!.4. Bizonyítsd be, hogy a függvény páratlan: ) f (x) = 4x 7 ; ) f (x) = x x 5!.5. Bizonyítsd be, hogy a függvény páratlan: ) f ( x) = x ; ) f (x) = (x + x) (x 4 x )! x.6. Két szám összege 8. Határozd meg: ) azt a legnagyobb értéket, melyet e két szám szorzata vehet fel; ) azt a legkisebb értéket, melyet e két szám négyzetének összege vesz fel!.7. A téglalap alakú földrészleget egy 00 m hossza kerítéssel kerítettek körbe. Mekkora lehet ennek a részlegnek a legnagyobb területe?.8. Állapítsd meg a függvény paritását: 4 ) f ( x) = x x x ; ) f ( x) = x x+ ; ) f ( x) =.! x x.9. Állapítsd meg a függvény paritását: ) f (x) = x 6x + x 4; ) f ( x) = ; ) f ( x) = +.! x 9 x + x.0. Az.. ábrán a [ 5; 5] intervallumon értelmezett y = f (x) függvény grafikonjának egy része látható. Szerkeszd meg a teljes függvény grafikonját úgy, hogy: ) páros; ) páratlan legyen!.. Az ABCD töröttvonal, ahol A (0; 0), B (; ), C (; 4) D (6; ), a [ 6; 6] intervallumon értelmezett az y = f (x) függvény grafikonjának egy része lesz. Szerkeszd meg a teljes függvény grafikonját úgy, hogy: ) páros; ) páratlan legyen!.. Az f függvény páros és min f ( x ) =, max f ( x ) = 5. Határozd [ ; ] [ ; ] meg a min f ( x ), max f ( x ). értékeket! [ ; ] [ ; ]

13 .. Függvények, ezek tulajdonságai és grafikonjaik a b.. ábra [ 5 ; ].. Az f függvény páratlan és min f ( x ) =, max f ( x ) =. Határozd meg a min f ( x ), max f ( x ). értékeket! [ 5; ] [ 5; ] [ 5 ; ] ISMÉTLŐ GYAKORLATOK.4. A függvény az f (x) = x + x képlettel van megadva. ) Határozd meg az f (); f (0); f ; f ( ) értékeket! ) Határozd meg az argumentum értékeit, melynél az f függvény értéke egyenlő 0; ; 56!.5. Nevezd meg azt az alakzatot az.. ábrán, amely nem lehet egy függvény grafikonja! a b c d.. ábra

14 . A természetes kitevőjű hatványfüggvény.6. Határozd meg a függvény értelmezési tartományát: 9 ) f ( x) = ; 5) f ( x) = x + 6x 7; x + 4 x 6 ) f ( x) = ; 6) f ( x) = ; 4 x 5x ) f ( x) = x 7 ; 7) f ( x) = x + x; 0 x 4) f ( x) = ; 8) f ( x) =. x x!.7. Határozd meg a függvény zérushelyeit: x + x 0 ) f (x) = 0,4x 8; ) f ( x) =.! x Határozd meg a függvény értékkészletét: ) f ( x) = x + ; ) f (x) = 7 x ; ) f (x) = 6!. A természetes kitevőjű hatványfüggvény Az y = x és az y = x függvényeket már jól ismeritek az előző osztályok tananyagából. Ezek a függvények egyedi esetei lesznek az y = x n, n, függvényeknek, melyeket természetes kitevőjű hatványfüggvényeknek nevezünk. Mivel az x n, n,kifejezés értelmezhető bármilyen x esetén, ezért a természetes kitevőjű hatványfüggvény értelmezési tartománya az. halmaz lesz. Természetes, hogy a vizsgált függvénynek egyetlen zérushelye lesz: x = 0. Az y = x n, n,függvény további tulajdonságait két esetben fogjuk vizsgálni: az n páros természetes szám és az n páratlan természetes szám esetében. Első eset: n = k, ahol k. Ha k =, akkor az y = x függvényt kapjuk, amelynek tulajdonságait és grafikonját a 8. osztályos algebraórán már megvizsgáltuk. Mivel bármilyen x esetén az x k kifejezés nem negatív értékeket fog felvenni, ezért az adott függvény értékkészlete nem tartalmaz egyetlen negatív számot sem. Be lehet bizonyítani, hogy bármilyen a l 0 esetén létezik olyan értéke az x argumentumnak, hogy x k = a. ª ª A fentiek alapján megállapíthatjuk, hogy az y = x n függvény értékkészlete, ha n páros természetes szám, a [0; + ) halmaz lesz. Ha x 0, akkor x k > 0.

15 4.. Függvények, ezek tulajdonságai és grafikonjaik ª ª Tehát n páros természetes szám esetén a ( ; 0) és a (0; + ) intervallumok lesznek az y = x n függvény előjeltartási intervallumai. ª ª Minden n páros természetes szám esetén az y = x n függvény páros lesz. Valóban, bármilyen x esetén, amely az értelmezési tartomány eleme, teljesül a következő egyenlőség: ( x) k = x k. Vizsgáljuk meg a tetszőleges x és x számot, amelyek az x ( ; 0], x ( ; 0] és x < x. Ekkor a x > x l 0. A számegyenlőtlenség tulajdonságait alkalmazva azt kapjuk, hogy: ( x ) k > ( x ) k. Innen k k x > x. ª ª Tehát n páros természetes szám esetén az y = x n függvény a ( ; 0] intervallumon fogyó lesz. Hasonlóképpen bizonyítható, hogy a [0; + ) intervallumon pedig növekvő lesz. A kapott tulajdonságok alapján vázlatosan ábrázolhatjuk az y = x n függvény grafikonját, ahol n páros természetes szám (.. ábra). Az y = x 4 függvény grafikonja a.. ábrán látható. n páros természetes szám.. ábra.. ábra Második eset, ha n = k +, ahol k vagy k = 0 Ha k = 0, akkor az y = x függvényt kapjuk, melynek tulajdonsá gait és grafikonját a 7. osztályban már vizsgáltuk. Legyen most k. Be lehet bizonyítani, hogy bármilyen a értékére létezik az x argumentumnak olyan értéke, melynél x k + = a. ª ª Ez azt jelenti, hogy az y = x n függvény értékkészlete, ha n páratlan természetes szám, a valós számok halmaza lesz. Ha x < 0, akkor x k + < 0, ha pedig x > 0, akkor x k + > 0. ª ª Tehát a ( ; 0) és a (0; + ) intervallumok az y = x n függvény előjeltartási intervallumai, ha n páratlan természetes szám. ª ª n páratlan természetes szám esetén az y = x n függvény páratlan függvény lesz. Valóban az értelmezési tartomány minden x értékére teljesül a következő egyenlőtlenség: ( x) k + = x k +. Vizsgáljuk meg az x és x tetszőleges számokat, melyekre teljesül k+ k+ x < x. Az egyenlőtlenségek tulajdonságai alapján x < x.

16 . A természetes kitevőjű hatványfüggvény 5 ª ª Tehát n páratlan természetes szám esetén az y = x n függvény növekvő lesz. A kapott tulajdonságok alapján megrajzolható az y = x n függvény grafikonja, ahol n páratlan természetes szám és n > (.. ábra). Az y = x függvény grafikonja a.4. ábrán látható. n páratlan természetes szám,.. ábra.4. ábra Az alábbi táblázatban összefoglaljuk az y = x n függvény tulajdonságait, ahol n, melyeket ebben a pontban állapítottunk meg. Tulajdonságok n páros természetes szám n páratlan természetes szám Értelmezési tartomány Értékkészlet [0; + ) A függvény zérushelyei x = 0 x = 0 Előjeltartási intervallumai y > 0 a ( ; 0) és (0; + ) intervallumok mindegyikén y < 0 a ( ; 0) intervallumon, y > 0 a (0; + ) intervallumon Paritás Páros Páratlan Növekvő / csökkenő Csökkenő a ( ; 0] intervallumon, növekvő a [0; + ) intervallumon Növekvő

17 6.. Függvények, ezek tulajdonságai és grafikonjaik?. Milyen függvényt nevezünk természetes kitevőjű hatványfüggvénynek?. Fogalmazd meg az y = x n függvény tulajdonságait!. Ábrázold az y = x n függvény grafikonjait! GYAKORLATOK.. Az y = x 5 függvény mely pontokhoz illeszkedik: ) A ( ; ); ) B (; ); ) C ( ; 4)?.. Az y = x 4 függvény mely pontokhoz illeszkedik: ) A (; 6); ) B ; ; 8 ) C (0,5; 0,065)?.. Az f (x) = x 9 képlettel megadott függvény. Hasonlítsd össze a következő függvényértékeket: ) f (,4) és f (,8); ) f ( 6,9) és f (6,9); ) f ( 7,6) és f ( 8,5); 4) f (0,) és f ( )!.4. Az f (x) = x 50 képlettel megadott függvény. Hasonlítsd össze a következő függvényértékeket: ) f (9,) és f (8,5); ) f (9) és f ( 9); ) f (,) és f (,); 4) f ( 7) és f (9)!.5. Írd fel csökkenő sorrendbe a kifejezéseket: 5 5, 4,, 5.6. Írd fel növekvő sorrendbe a kifejezéseket: (,06) 4, ( 0,48) 4, (,) 4, (,5) 4!.7. Határozd meg az f (x) = x 8 függvény legnagyobb és legkisebb értékeit a következő intervallumon: ) [0; ]; ) [ ; ]; ) [ ; ]; 4) ( ; ]!.8. Határozd meg az f (x) = x 5 függvény legnagyobb és legkisebb értékeit a következő intervallumon: ) [ ; ]; ) [ ; 0]; ) [; + )!.9. Határozd meg grafikusan az egyenlet gyökeinek számát: ) x 8 = x + ; ) x 5 = x; ) x 4 = 0,5x!.0. Határozd meg grafikusan az egyenletrendszer gyökeinek számát: 6 y = x, x y = 0.!.. * Az a paraméter értékétől függően hány megoldása lesz az egyenletnek: ) x = a 6; ) x 4 = a + 7a 8? 5 5!

18 . Az egész kitevőjű hatványfüggvény 7 FELKÉSZÜLÉS AZ ÚJ TÉMÁRA.. Számítsd ki a kifejezés értékét: ) 4 0 ; ) (, ) ; 5) 05, 4 ; ) + 6 ; 4) 9æ0, ; 6) ( 8 æ6)!.. Add meg tört alakban a kifejezés értékét: ) a + a ; ) mn 4 + m 4 n; ) (c d ) (c d)!. Az egész kitevőjű hatványfüggvény Az y = x n függvényt, ahol n, egész kitevőjű hatványfüggvénynek nevezzük. Ennek a függvénynek a tulajdonságait természetes kitevő esetén az előző pontban vizsgáltuk meg. Itt most azokat az eseteket vizsgáljuk majd, amikor az n negatív egész szám vagy nulla. Az y = x 0 függvény értelmezési tartománya a ( ; 0) Ÿ( 0 ; + ), lesz, a függvény értékkészlete az egyelemű {} halmaz. A függvény grafikonja a.. ábrán látható. Vizsgáljuk meg az y = x n függvényt, ha n. Az n = egy külön esete ennek a függvénynek, vagyis az y =, függvény, ami x már ismert a nyolcadikos algebra tananyagból. Átírjuk az y = x n függvényt a következő.. ábra alakba: y =. Ekkor érthetővé válik, ha x n n, akkor az y = x n függvény értelmezési tartománya a ( ; 0) Ÿ( 0 ; + ). halmaz lesz. Természetesen ennek a függvénynek nincs zérushelye. A továbbiakban az y = x n függvényt, ha n, két esetben fogjuk megvizsgálni: n páros természetes szám és n páratlan természetes szám. Első eset: n = k, ahol k. A következőt kapjuk: x k = k. Mivel az csak pozitív értékeket vesz fel, ezért a függvény értelmezési tartományához nem tar- k x x toznak a negatív számok és a 0 sem.

19 8.. Függvények, ezek tulajdonságai és grafikonjaik k k Be lehet bizonyítani, hogy bármilyen a > 0 esetén létezik az argumentumnak olyan x értéke, hogy az x k = a. ª ª A fenti kijelentés azt jelenti, hogy az y = x n függvény értékkészlete, ha n páros természetes szám, a (0; + ) halmaz lesz. ª ª Mivel minden х 0 esetén teljesül az > 0,egyenlőtlenség, ezért k x az y = x n függvénynek, ha n páros természetes szám, a ( ; 0) és (0; + ) intervallumok előjeltartó intervallumai lesznek. ª ª Az y = x n függvény páros, ha n páros természetes szám lesz. Valóban, az értelmezési tartományhoz tartozó minden x esetén teljesül a következő egyenlőség: ( ) k k x = = = x. k k ( x) x Vizsgáljuk meg az x és x tetszőleges számokat, melyekre teljesül, hogy x (0; + ), x (0; + ) és x < x. Alkalmazva a számegyenlőtlenségek tulajdonságait, a következőt kapjuk: > > 0. Ebből kö- x x vetkezik, hogy x > k k x ; x > x. ª ª Tehát az y = x n függvény csökkenő a (0; + ) intervallumon, ha n páros természetes szám lesz. ª ª Be lehet szintén bizonyítani, hogy az y = x n függvény növekvő a ( ; 0) intervallumon, ha n páros természetes szám lesz. Megjegyezzük, hogy az x abszolút értékének növelésekor az x, k ahol k, kifejezés értéke egyre kisebb lesz. Ezért az y = x, ahol k k, függvény grafikonjának pontja és az abszcisszatengely közötti távolság folyamatosan csökken, ha a pont abszcisszájának abszolút értéke növekszik, és egyre kisebbé válik, de sohasem lesz egyenlő nullával. Szintén megjegyezhetjük, hogy a pont ordinátája abszolút értékének növelésével az y =, ahol k,függvény grafikonjának pontja x k és az ordinátatengely közötti távolság folyamatosan csökken és egyre kisebbé válik, de sohasem lesz egyenlő nullával. A kapott tulajdonságok alapján vázlatosan megrajzolható az y = x n függvény grafikonja, ahol n páros természetes szám (.. ábra). Az y = függvény grafikonja a.. ábrán látható. x Második eset: n = k, ahol k. Be lehet bizonyítani, hogy bármely a 0 esetén létezik az x argumentumnak olyan értéke, amelynél x (k ) = a.

20 . Az egész kitevőjű hatványfüggvény 9 n páros természetes szám.. ábra.. ábra ª ª Az y = x n függvény értékkészlete, ahol az n páratlan természetes szám, a ( ; 0) Ÿ( 0 ; + ). halmaz lesz. Ha x < 0, akkor < 0;, ha x > 0, akkor > 0. x k x k ª ª Tehát a ( ; 0) és (0; + ) intervallumok az y = x n függvény, ahol n páratlan természetes szám, előjeltartási intervallumai. ª ª Az y = x n függvény páratlan, ahol n páratlan természetes szám. Valóban, az értelmezési tartományhoz tartozó minden x esetén teljesül a következő egyenlőség: ( ) ( k ) = = = ( k x x ). k k ( x) x ª ª Be lehet bizonyítani, hogy az y = x n függvény, ahol n páratlan természetes szám, csökkenő a ( ; 0) és (0; + ) intervallumon. A kapott tulajdonságok alapján vázlatosan megrajzolhatjuk az y = x n függvény grafikonját, ahol n páratlan természetes szám (.4. ábra). Az y = x függvény grafikonja a.5. ábrán látható. n páratlan természetes szám.4. ábra.5. ábra

21 0.. Függvények, ezek tulajdonságai és grafikonjaik Az alábbi táblázatban összefoglaltuk az y = x n, n, függvény tulajdonságait, melyeket ebben a pontban ismertünk meg. Tulajdonságok n páros természetes szám n páratlan természetes szám Értelmezési tartomány ( ; 0) Ÿ( 0 ; + ) ( ; 0) Ÿ( 0; + ) Értékkészlet (0; + ) ( ; 0) Ÿ( 0; + ) A függvény zérushelyei Előjeltartási intervallumai y > 0 a ( ; 0) és (0; + ) intervallumok mindegyikén y < 0 a ( ; 0) intervallumon y > 0 a (0; + ) intervallumon Paritás Páros Páratlan Növekvő / csökkenő Növekvő a ( ; 0) intervallumon, csökkenő a (0; + ) intervallumon Csökkenő a ( ; 0) és a (0; + ) intervallumok mindegyikén?. Milyen függvényt nevezünk egész kitevőjű hatványfüggvénynek?. Milyen a képe az y = x 0 függvény grafikonjának?. Fogalmazd meg az y = x n, n. függvény tulajdonságait! 4. Ábrázold vázlatosan az y = x n, n. függvény grafikonjait! GYAKORLATOK.. Illeszkedik-e az y = x 4 függvény grafikonjára a következő pont: ) A ; ; 6 ) B ; 8 ; ) C ; 8 ; 4) D ;? 4.. Illeszkedik-e az y = x 5 függvény grafikonjára a következő pont: ) A (0; 0); ) B ( ; ); ) C ; ; 4) D ;? 4.. Adott az f (x) = x 9 függvény. Hasonlítsd össze: ) f (,6) és f (); ) f ( 9,6) és f (9,6); ) f ( 5,6) és f ( 6,5); 4) f (0,) és f ( 0)!

22 4. Az n-edik gyök meghatározása.4. Adott az f (x) = x 40 függvény. Hasonlítsd össze: ) f (6,) és f (5,5); ) f (4) és f ( 4); ) f (,6) és f (,7); 4) f ( 8) és f (6)!.5. Határozd meg a függvény értelmezési tartományát: ) y = (x ) ; ) y = ((x ) )!.6. Határozd meg az f (x) = x 6 függvény legnagyobb és legkisebb értékeit az adott intervallumban: ) ; ; ) ; ; ) [; + )!.7. Határozd meg az f (x) = x függvény legnagyobb és legkisebb értékeit az adott intervallumban: ) ; ; ) [ ; ]; ) ( ; ]!.8. Szerkeszd meg a függvény grafikonját: ) y = (x ) 0 ; ) y = (x 4x + ) 0!.9. Szerkeszd meg a függvény grafikonját: ) (y + ) 0 = x ; ) (y ) 0 = (x + ) 0! FELKÉSZÜLÉS AZ ÚJ TÉMÁRA.0. Határozd meg a kifejezés értékét: ( ) ( ) ) 5 4 5; ) 009, ; ) 8.!.. Hasonlítsd össze a számokat: ) és ; ) és 6; ) 0 és 7.! 5 4. Az n-edik gyök meghatározása Már tudjátok, hogy az a szám második gyökének (négyzetgyökének) azt a számot nevezzük, melynek második hatványa a-val egyenlő. Hasonlóan adjuk meg az a szám n-edik gyökének meghatározását is, ahol n, n >. Definíció. Az a szám n -edik gyökének, ahol n, n >, azt a számot nevezzük, melynek n-edik hatványa a-val egyenlő.

23 .. Függvények, ezek tulajdonságai és grafikonjaik Például a ötödik gyöke lesz, mivel 5 = ; a 64-nek a harmadik gyöke 4 lesz, mivel ( 4) = 64; a 8 negyedik gyöke és lesz, mivel 4 = 8 és ( ) 4 = 8. Ha az n páratlan természetes szám, akkor az y = x n és az y = a függvények grafikonjai egy pontban metszik egymást (4.. ábra). Ez azt jelenti, hogy az x n = a egyenletnek minden a értéknél egy gyöke lesz. Ezért levonhatjuk az alábbi következtetést: ha n páratlan, -nél nagyobb természetes szám, akkor bármilyen számból létezik n-edik gyök, amiből csak egy van. n páratlan természetes szám, n > n páros természetes szám 4.. ábra 4.. ábra Az a szám n-edik gyökét, ha n > és páratlan, így jelöljük: 5 (így olvassuk: az a szám n-edik gyöke). Például =, 64 = 4, 7 0 = 0. Az n jelet az n-edik gyök jelének nevezzük. Az n-edik gyök jele alatti kifejezést gyök alatti kifejezésnek nevezzük. A harmadik gyököt köbgyöknek szokás nevezni. Például a köbgyök -nek olvassuk. k + Felhívjuk arra a figyelmeteket, hogy a a, kifejezés, ha k, bármilyen a számra értelmezve van. Az n-edik gyök meghatározásából következik, hogy bármilyen a esetén teljesül a következő egyenlőség: 7 ( ) =, Például k + k + ( a) = a 7 ( ) = 0, 0,. n a -t

24 4. Az n-edik gyök meghatározása Vizsgáljuk meg az x n = a egyenletet, ha n páratlan természetes szám. A 4.. ábrán látható: ha a < 0, akkor az y = x n és az y = a függvények grafikonjainak nincs közös pontja; ha a = 0, akkor a grafikonoknak egy közös pontja lesz; ha a > 0, akkor két közös pontjuk van, melyeknek az abszcisszái ellentett számok lesznek. Levonhatjuk a következő következtetést: ha az n páros természetes szám, akkor az a < 0 esetén nem létezik n-edik gyöke az a számnak; ha a = 0, akkor az a szám n-edik gyöke 0 lesz; ha az a > 0, akkor az a számnak két ellenkező előjelű n-edik gyöke lesz. Már tudjátok, hogy a nemnegatív a számnak a számtani négyzetgyöke az a nemnegatív szám lesz, melynek négyzete a-val egyenlő. Hasonlóan adjuk meg a számtani n-edik gyök meghatározását. Definíció. A nemnegatív a szám számtani n-edik gyökének, ha n, n >, azt a nemnegatív számot nevezzük, melynek n-edik hatványa a-val egyenlő. n A nemnegatív a szám számtani n-edik gyökét így jelöljük: a. 4 Például 8 =, mivel l 0 és 4 = 8; 6 64 =, mivel l 0 és 6 = 64; 0 0 = 0, mivel 0 l 0 és 0 0 = 0. Általánosítva, ha b l 0 és b n = a, ahol n, n >, akkor n a = b. Az n-edik gyök jele segítségével fel lehet írni az x n = a, ha n, n >, egyenlet gyökeinek képletét. Például az x = 7 egyenletnek egy gyöke lesz a: 7; az x 4 = 5 egyenletnek két megoldása van: 4 5 és 4 5. A számtani n-edik gyök meghatározásából következik, hogy: n 4 ) a l 0, ha a l 0 (például 7 l 0); n 6 6 ( ) =, ha a l 0 (például 5 5 k+ k+ n ) a a ( ) = ); ) a = a (például = ). Már megállapítottuk, hogy bármilyen szám páratlan gyökének egyetlen értéke van. Tehát minden valós x számnak egyetlen olyan y k szám felel meg, hogy y = + x. Ez a szabály adja meg az f ( x) = k + x, függvényt, ahol k, melynek értelmezési tartománya az lesz. Ennek a függvénynek a grafikonja a 4.. ábrán látható. A 4.4. ábrán az y = x. függvény grafikonja látható.

25 4.. Függvények, ezek tulajdonságai és grafikonjaik y 0 y = k+ x x y 0 y = x x 4.. ábra 4.4. ábra Hasonlóan adjuk meg az f ( x) = k x, függvényt is, ahol k. Ennek a függvénynek az értelmezési tartománya a [0; + ) intervallum lesz. A 4.5. ábrán az f ( x) = k x, függvény látható, a 4.6. ábrán pedig az f ( x) = 4 x. függvény grafikonja. y y y = 4 x y = k x 0 x ábra 4.6. ábra x n A következő táblázatban összefoglaljuk az y = x. függvény tulajdonságait. Tulajdonságok n páratlan természetes szám, n > n páros természetes szám Értelmezési tartomány [0; + ) Értékkészlet [0; + ) A függvény zérushelyei x = 0 x = 0 Előjeltartási intervallumai y < 0 a ( ; 0) intervallumon, y > 0 a (0; + ) intervallumon y > 0 a (0; + ) intervallumon Paritás Páratlan Se nem páros, se nem páratlan Növekvő / csökkenő Növekvő Növekvő

26 4. Az n-edik gyök meghatározása 5 át: 4 Feladat. Oldjuk meg az egyenlőtlenséget: ) x < ; ) x <! Megoldás. ) Az adott egyenlőtlenséget a következőképpen írjuk x < 8. Mivel az y = x függvény növekvő, ezért le lehet vonni a következtetést, hogy x < 8. Felelet: ( ; 8). 4 4 ) x <. Mivel az y = 4 t függvény a [0; + ) intervallumon növekvő, ezért az adott egyenlőtlenség egyenértékű a következő rendszerrel: x <, x l 0. Innen m x <. Felelet: [; ).?. Mit nevezünk az a szám n-edik gyökének, ha n, n >? k +. Az a mely értékénél van értelme a a, k?kifejezésnek?. Mit nevezünk a nemnegatív a szám számtani n-edik gyökének, ha n, n >? 4. Az a mely értékénél van értelme a k a, k?kifejezésnek? k 5. Fogalmazd meg az y = + x, k, függvény tulajdonságait, és készítsd el a vázlatos grafikonját! 6. Fogalmazd meg az y = k x, k,függvény tulajdonságait, és készítsd el a vázlatos grafikonját! GYAKORLATOK 4.. Van-e értelme a kifejezésnek: ) ; ) ; ) ; 4) 0; 5)? 4.. Igaz-e az egyenlőség: ) 7 = ; ) 4 =? A feleletet magyarázd meg! 4.. Bizonyítsd be, hogy: ) a számtani köbgyöke a 8-nak; ) a számtani negyedik gyöke a 8-nek; ) a nem számtani negyedik gyöke a 8-nek!

27 6.. Függvények, ezek tulajdonságai és grafikonjaik 4.4. Határozd meg a kifejezés értékét: 4 5 ) 6; ) 0, 006; ) 0, 0000; 4) ; 5) 5 4.! Mivel egyenlő a kifejezés értéke: 5 ) 4; ) 05, 64; ) 04? 4.6. Számítsd ki: 4 ( ) ; ) ( 7) ) 5 4 ; ) 4.7. Határozd meg a kifejezés értékét: 8 9 ( ) ; ) ( ) 7 ( ) ( ) 7 ; 4) ( ) ) ; ) ; 4) 45! 4.8. Oldd meg az egyenletet: ) x = 7; 4) x 4 = 6; 7) 7x = 0; ) x 5 = 9; 5) x 6 = 5; 8) (x ) = 5; ) x 7 = ; 6) x 4 = 8; 9) (x + 5) 4 = 0 000! 4.9. Oldd meg az egyenletet: ) x 9 = ; ) x 8 = 0; 5) 64x 5 + = 0; ) x 0 = ; 4) x 6 = 64; 6) (x ) 6 = 79! 4.0. Oldd meg az egyenletet: ) x = ; ) x = 6; 5) x + 7 = 0; ) x = ; 4) x = ; 6) x + 7 = 0.! Oldd meg az egyenletet: ) x 4 ) x 5 = ; ) x 4 = ; 5) x = 0; 4 4 = ; 4) x = 0; 6) x =.! 0 ( ) ( )! Számítsd ki: 0, ! 4.. Számítsd ki: 00 0, , Határozd meg a függvény értelmezési tartományát: 6 4 ) y = x ; ) y = x+; ) y = x x.! 4.5. Határozd meg a függvény értelmezési tartományát: ) y = 4 x + x; ) y = 9 6 ; ) y = x 4x +.! x 4.6. Melyik két egymást követő egész szám között helyezkedik el a koordinátaegyenesen a következő szám: 4 ) ; ) ; ) 00; 4) 8? 7!

28 5. Az n-edik gyök tulajdonságai Melyik két egymást követő egész szám között helyezkedik el a koordinátaegyenesen a következő szám: 4 ) 8; ) 9; )? 4.8. Oldd meg az egyenlőtlenséget: ) x > ; ) x < ; ) x + >.! 4.9. Ábrázold a függvény grafikonját: 4 ) y = ( x) ; ) y = 4 ( x )! 4.0. Oldd meg az egyenletet: 4 0 ) ( x 4) x+ = 0; ) ( x ) x x = 0.! Oldd meg az egyenletet: ( x+ ) x + x = 0.! 4 4 ( ) + ( ) ( ) + ( )! Ábrázold a függvény grafikonját: y = x x.! 4.. Ábrázold a függvény grafikonját: y = + x x FELKÉSZÜLÉS AZ ÚJ TÉMÁRA 4.4. Számítsd ki a kifejezés értékét: 4 ) 064, 6; ) 6 ; ) 4.5. Határozd meg a kifejezés értékét: 5 ) ; ) ; ) 5. Az n-edik gyök tulajdonságai 8 00! 98.! Megvizsgáljuk azokat a tételeket, melyek az n-edik gyök tulajdonságait adják meg. 5.. tétel (a hatvány gyökének első tétele). Bármilyen a és k számokra teljesülnek a következő egyenlőségek: k + k + a = a, k k a = a. k + Bizony ítás. Ahhoz, hogy bebizonyítsuk a x = y,egyenlőséget, elegendő belátni, hogy y k + = x. Az első bizonyítandó egyenlőségnél x = a k+ és y = a. Innen az y k + = x egyenlőség már szemmel látható.

29 8.. Függvények, ezek tulajdonságai és grafikonjaik k Ahhoz, hogy bebizonyítsuk a x = y,egyenlőséget, elegendő belátni, hogy y l 0 és y k = x. A második bizonyítandó egyenlőségnél a következőt kapjuk: a l 0 és ( a ) k = a k. 5.. tétel (a szorzat gyöke). Ha a l 0, b l 0, n, n >, akkor n n n ab = a b. n Bizony ítás. Ahhoz, hogy bebizonyítsuk az x = y,egyenlőséget, ahol x l 0, elegendő bebizonyítani, hogy y l 0 és y n = x. Mivel n a l 0 és n n n b l 0. Ekkor a b l 0. n n n ( ) = ( ) ( ) =. n n n n Ezenkívül a b a b ab 5.. tétel (a tört gyöke). Ha a l 0, b > 0, n, n >, akkor n a a n =. n b b 5.4. tétel (a hatvány gyöke). Ha a l 0, n, k, n >, akkor k n n k ( a) = a. Bizonyítás. Ha k =, akkor a bizonyítandó egyenlőség nyilvánvaló. Legyen k >. k ( ) = = n n n n Ekkor: a a a... a a a... a n k tenyezo k tenyezo = n a k tétel (a gyök gyöke). Ha a l 0, n, k, n >, k >, akkor Bizony ítás. Mivel a n k a l 0. nk = a. n k nk n k k k ( ) = (( ) ) = ( ) =. n k n k Ezenkívül az a a a a 5.6. tétel (a gyök hatványának második tétele). Ha a l 0, n, k, n >, akkor nk a k n = a. Bizony ítás. Ha k =, akkor a bizonyítandó egyenlőség szemmel látható lesz. nk k n k k n Legyen k >. Ekkor a = a = a.

30 5. Az n-edik gyök tulajdonságai 9. feladat. Határozd meg a kifejezés értékét: 4 ) ( 7, ) 4 ; ) 6, 5 5 ; ) 6 ; 4) 4.! 75 4 Megoldás. ) Alkalmazva az 5.. tételt felírhatjuk: ( 7, ) 4 = = 7, = 7,. ) 6, =, = 44,. ) Helyettesítve a gyökök szorzatát a szorzat gyökével azt kapjuk, hogy: = 5 6 = 5 =. 4) Helyettesítve a gyökök hányadosát a hányados gyökével kapjuk: = = = f e l a d a t. Egyszerűsítsük a kifejezést: ) 4 a 8 ; ) 6 64a 8, ha a m 0; ) a ; 4) 6 a.! Megoldás. ) Alkalmazva az 5.. tételt kapjuk: a = ( a ) = a ) Mivel 64 8 a = a. A feltétel szerint a m 0, ezért a m Ekkor 64a = a = a. ) 4 a a 4 = = a. 4) 6 a = a = a.. feladat. Vigyük ki a gyökjel alól a tényezőt: ) 50; ) 8 b 4.! Megoldás. ) A gyökjel alatti számot felírjuk két szám szorzataként, melyek közül az egyik egy racionális szám köbe, és kivisszük a tényezőt a gyökjel elé: 50 = 5 = 5. ) A feltételből következik, hogy a b l 0. Ekkor b b 40 b 5 b 8 b b 5 8 = = = b f e l a d a t. Vigyük be a gyökjel alá a tényezőt: ) ; ) c 0 c 7.! Megoldás. ) 6 = = 6 9. ) A feltételből következik, hogy c l 0. Ekkor c c c = c = c.

31 0.. Függvények, ezek tulajdonságai és grafikonjaik a b 5. f e l a d a t. Egyszerűsítsétek a törtet:.! a 4 ab + b Megoldás. Az adott tört számlálóját és nevezőjét tényezőkre bontjuk, majd a következőt kapjuk: a b ( 4 4 a b )( 4 4 a + b ) 4 4 a + b = =. a 4 ab + b a b a b ( )?. Fogalmazd meg a gyök hatványáról szóló első tételt!. Fogalmazd meg a szorzat gyökéről szóló tételt!. Fogalmazd meg a hányados gyökéről szóló tételt! 4. Fogalmazd meg a gyök hatványáról szóló tételt! 5. Fogalmazd meg a gyök gyökéről szóló tételt! 6. Fogalmazd meg a gyök hatványáról szóló második tételt! GYAKORLATOK 5.. Határozd meg a kifejezés értékét: 4 ) ; ) 7 ; ) 4.! Számítsd ki a kifejezés értékét: ) 0064, 4; ) 5 ; ) 8.! Határozd meg a kifejezés értékét: ) 8; ) ; 5) ; ) 0, 054 4; 4) ; 6) 7 9.! Egyszerűsítsd a kifejezést: ) 5 5; ) 5 5 ; 5) ; ) ; 4) ; 6) Egyszerűsítsd a kifejezést: 5 ) a 4 ; ) x; ) c ! 5 ; 4) ab !

32 5.6. Egyszerűsítsd a kifejezést: 5. Az n-edik gyök tulajdonságai 6 ) x; ) y; ) a ; 4) a b 5.7. Emeld ki a tényezőt a gyökjel alól: ) ; ) 6; ) 50; 4) 40a 5 ; 5) a 7.! 5.8. Emeld ki a tényezőt a gyökjel alól: 4 ) 80 ; ) 4; ) 54y 8.! 5.9. Vidd be a tényezőt a gyökjel alá: ) ; ) 4 5; ) 5 0, 04x ; 4) b 5 b 5 ; 5) c.! c 5.0. Vidd be a tényezőt a gyökjel alá: ) 4 0 ; ) 4 4 7; ) 5 4a; 4) x x 5.! Helyettesítsd a kifejezést vele azonosan egyenlő kifejezéssel: ! 5.. Egyszerűsítsd a kifejezést: ! 5.. Egyszerűsítsd a kifejezést: 4 ) ; ) a a; ).! 5.4. Egyszerűsítsd a kifejezést: ) ; ) b b; ) a a a.! 5.5. Egyszerűsítsd a kifejezést: ( )( ) ( ) ( + ) ( ) ) a + a a ; ) + a a a.! Egyszerűsítsd a kifejezést: ( a ab + b) ( a + b).! 5.7. Az a mely értékeinél teljesül a következő egyenlőség: ) a = a; ) a = a; ) a = a; 4) a = a? 5.8. Az a mely értékeinél teljesül a következő egyenlőség: ) a = a ; ) a = a ; ) 4 4 a 4 a 4 = ( ) ; 4) 4 4 a 4 4 = ( a)? 5.9. Az a és b mely értékeinél teljesül a következő egyenlőség: ) ab = a b; ) ab = a b; ) 4 ab = 4 a 4 b ; 4) 5 ab 5 a 5 = b? 5.0. Az x mely értékeinél teljesül a következő egyenlőség: ) 4 x 4 = 4 x 4 x + ; ) ( x 6)( x 0) = x 6 x 0?.!

33 .. Függvények, ezek tulajdonságai és grafikonjaik 5.. Egyszerűsítsd a kifejezést: ) 6 m 6, ha m l 0; 4) 6 c 4 ; ) 4 n 4, ha n m 0; 5) 05, b 4, ha b m 0; ) 8 56k 8 4, ha k m 0; 6) 8xy, 8 4 ha y l 0.! 5.. Egyszerűsítsd a kifejezést: ) 4 65a ; ) p q, ha p l 0.! ) 5 4x, ha x m 0; 5.. Egyszerűsítsd a törtet: ) a a + b ; ) b 8 8 ab 4 4 a ab ; 5) b x 9 ) ; 4) x + 4 x + 6 ; 6) x + x Egyszerűsítsd a törtet: 6 4 a + b ; a ab + b a a + a.! a a a + ) ; ) m mn a b ; ) ; 4) a b b a.! 4 a mn n a b ab 5.5. Oldd meg az egyenletet: ) ( x+ 4) = x+ 4; ) ( ) 8 x = ( x ).! 5.6. Egyszerűsítsd a kifejezést: 6 ) ( 6 ) 4 ; ) ( ) 9 ; ) ( ).! 5.7. Egyszerűsítsd a kifejezést: 8 ) ( 5 ) 4 0 ; ) ( 5) 5 ; ) ( 7 ).! 5.8. Vidd ki a tényezőt a gyökjel elé: ) 4 m 9 ; ) 4 ab 8, ha a > 0! 5.9. Vidd ki a tényezőt a gyökjel elé: ) 4 a 6, ha a m 0; ) 4 65a 5.! 5.0. Vidd be a tényezőt a gyökjel alá: ) c, ha c m 0; ) b 6; ) a a.! 5.. Vidd be a tényezőt a gyökjel alá: 6 ) a a; ) a 4 a.! 5.. * Oldd meg az egyenletet: ( x ) + ( 5 x) =.!

34 6. A racionális kitevőjű hatvány meghatározása és tulajdonságai FELKÉSZÜLÉS AZ ÚJ TÉMÁRA 5.. Add meg a kifejezést az a alapú hatványként: 6 4 ) ( a ) a ; ) a 5 a 0 a 6 a ; 5) a a 0 a 9 : ; 5 8 ) a a ; 4) a : a 5 ; 6) (a 5 ) 4! 5.4. Határozd meg a kifejezés értékét: 9 ) : ; ) 4 5 ; 5) 7 5 ; ) ; 4) 9 7 ; 6).! A racionális kitevőjű hatvány meghatározása és tulajdonságai A 7. osztályban már megismertétek a természetes kitevőjű hatvány következő tulajdonságait: m n m n ) a a = a + ; ) a m : a n = a m n, a 0, m > n; ) (a m ) n = a mn ; 4) (ab) n = a n b n ; n n a a 5) n b =, b 0. b Később megtanultátok a nulla kitevőjű hatvány és a negatív kitevőjű hatvány meghatározását is: a 0 =, a 0; a n =, a 0, n. n a Ezek a definíciók nagyon hasznosak: a természetes kitevőjű hatvány mind az öt tulajdonsága érvényes lesz az egész kitevőjű hatványokra is. Bevezetjük a törtkitevőjű hatvány fogalmát, vagyis az a r -t, melynek kitevője a következő alakban adható meg: r =, ahol m, m n n, n >. Ezt úgy kívánjuk megadni, hogy a törtkitevőjű hatvány tulajdonságai megegyezzenek az egész kitevőjű hatvány tulajdonságaival. A meghatározás alapjául a következő példa szolgálhat.

35 4.. Függvények, ezek tulajdonságai és grafikonjaik Jelöljük meg x-szel a hatvány értékét, vagyis x =. Alkalmaz- va az (a m ) n = a mn tulajdonságot felírhatjuk: x = ( ) =. Tehát az x a szám köbgyöke lesz, vagyis x =. Következésképpen =. Ebből a gondolatmenetből következik, hogy érdemes elfogadni a következő meghatározást. Definíció. A pozitív a szám r racionális kitevőjű hatványának, ha az r az m n alakban írható fel, és az m, n, n >, az n a m számot nevezzük, vagyis m r n n a = a = a , 0 0 Például 5 = 5, = =, 04, = 04, = 04,. Megjegyezzük, hogy az a r hatvány értéke, ahol r racionális szám lesz, nem függ attól, hogy az r törtet milyen alakban adjuk meg. Ez m mk n n m nk nk mk n m az a = a és a = a = a. egyenlőség alkalmazásával bizonyítható be. A nulla alapú hatvány csak a pozitív racionális kitevőre értelmezhető. m Definíció. 0 n = 0, ha m, n. Figyeljetek arra, hogy például a 0 -nek nincs értelme. m n Hangsúlyozzuk, hogy az a hatvány meghatározása az a < 0 ese- tén nincs definiálva. Például a ( ) kifejezés nincs értelmezve. Viszont a kifejezés értelmezve van. Felmerül a kérdés, miért nem tekinthetjük igaznak a = ( ) egyenlőséget. Bebizonyítjuk, hogy az ilyen megállapítás ellentmondáshoz vezetne: 6 6 = ( ) = ( ) = ( ) 6 = 4. Azt kaptuk, hogy a negatív szám egyenlő a 6 4. pozitív számmal. m

36 6. A racionális kitevőjű hatvány meghatározása és tulajdonságai 5 Az y = x r függvényt, ha r, racionális kitevőjű hatványfüggvénynek nevezzük. Ha az m,nem egyszerűsíthető tört, ahol m, n, n > pozitív szám lesz, akkor az y = x függvény értelmezési tartománya a n m n [0; + ) intervallum lesz, ha ez a tört negatív szám, akkor a (0; + ) intervallum. A 6.. ábrán az y = x, y = x, y = x 4.függvények grafikonjai láthatók. y y = x y = x y = x 4 0 x 6.. ábra Bebizonyítjuk, hogy az egész kitevőjű hatvány tulajdonságai érvényesek bármilyen racionális kitevőjű hatványra is. 6.. tétel (a hatványok szorzata). Bármilyen a > 0 és bármilyen racionális p és q számra teljesül a következő egyenlőség a a = a p q p+ q Bizonyítás. A p és q racionális számokat felírjuk egyenlő nevezőjű törtként: p =, q =, ahol m, k, n, n >. Ekkor: m k n n m k m+ k m k + n p q p q n n n m a a a a a n k n a a m a k n m+ k n n = = = = a = a = a = a +. Következmény. Bármilyen a > 0 és bármilyen p racionális számra teljesül a következő egyenlőség: a p = a p

37 6.. Függvények, ezek tulajdonságai és grafikonjaik Bizony ítás. A 6.. tétel alkalmazásával felírjuk: a a = p p p+ p 0 = a = a =. Innen a p =. p a 6.. tétel (a hatvány hányadosa). Bármilyen a > 0 és bármilyen racionális p és q számra teljesül a következő egyenlőség a p : a q = a p q q p q Bizonyítás. A 6.. tétel alkalmazásával felírjuk: a a = a q + p = q = a p. Innen a p q = a p : a q. 6.. tétel (a hatvány hatványa). Bármilyen a > 0 és bármilyen racionális p és q számra teljesül a következő egyenlőség (a p ) q = a pq m Bizonyítás. Legyen p =, ahol m, n, n > és q = s n k, ahol s, k, k >. Ekkor: m s k k m s s p q n n ( a ) a a k n m k n ms kn ms kn n k = ( ) = ( ) = ( a ) = a = a = a = a = a 6.4. tétel (a szorzat és a hányados hatványa). Bármilyen a > 0 és b > 0, valamint bármilyen racionális p esetén teljesülnek a következő egyenlőségek: (ab) p = a p b p p a a b = b Bizonyítsátok be önállóan ezt a tételt.. f e l a d a t. Egyszerűsítsük a kifejezést (a 0, + b 0, ) (a 0, 4b 0, ) (a 0, + b 0, ) (a 0, b 0, ). Megoldás. Felbontjuk a zárójeleket, alkalmazva a többtagok szorzásának szabályát és a négyzetek különbségének képletét, aztán öszszevonjuk a hasonló összeadandókat: (a 0, + b 0, ) (a 0, 4b 0, ) (a 0, + b 0, ) (a 0, b 0, ) = = a 0,6 a 0, b 0, + a 0, b 0, 4b 0,4 a 0,6 + 4b 0,4 = a 0,6 a 0, b 0,. p p ms m s ¾ pq.. feladat. Egyszerűsítsük a kifejezést x x + x 6. x + x 4

38 6. A racionális kitevőjű hatvány meghatározása és tulajdonságai 7 Megoldás. Elvégezzük az x = y. helyettesítést. Ekkor az adott kifejezés a következő alakot veszi fel: y + y 6. y y + y 4 Ezt a kifejezést könnyen leegyszerűsíthetjük. Fejezzétek be önállóan. 8 Felelet:. x +? m. Mit nevezünk az a szám, kitevőjű hatványának, ha m, n, n n >?. Mit nevezünk a 0 szám m kitevőjű hatványának, ha m, n? n. Mit nevezünk racionális kitevőjű hatványfüggvénynek? 4. Fogalmazd meg a racionális hatvány tulajdonságait! GYAKORLATOK 6.. Add meg gyök alakban a törtkitevőjű hatványt: ) 5 ; ) b 7 ; ) ( ab) 7! 6.. Add meg gyök alakban a törtkitevőjű hatványt: 9 ) ; ) c 0, ; ) 7 x6.! 6.. Add meg a kifejezést törtkitevőjű hatvány alakjában: ) x; ) ; ) 5.! 6.4. Add meg a kifejezést törtkitevőjű hatvány alakjában: ) 7 a ; ) 4 m 9 ; ) 6 5a 5.! 6.5. Határozd meg a kifejezés értékét: 4 ) 4 ; ) 64 ; 5) 7 ; ) 5 ; 4) 5 0, 0 ; 6) 0,! 6.6. Mivel egyenlő a kifejezés értéke: ) 8 ; ) ; ) 05,? 4

39 8.. Függvények, ezek tulajdonságai és grafikonjaik 6.7. Határozd meg a kifejezés értékét: ) 8, 6, 8, ; 9 4 ( ) 5 ; 5) ) 5 5, 6 0, 8 6 4, 8 ) ( 5 ) 5 ; 4) 49 ; 6) 8.! 6.8. Mivel egyenlő a kifejezés értéke: ) , 8, 6, ; 6.9. Bontsd fel a zárójeleket: ) a a 4 8a ) (7 0,7 ) 8 : 7 7,6 ; ) 6 45, ( ) + ; 4) (b 0,4 + ) 6b 0,4 ; ) b c b c 05, 45,, ; ( ) ( + ) ; 5) ( c ) ( c + c + ) ; 5 ( + ) ; 6) ( a + a ) ( a a 6 + a ).! ) a b 6.0. Bontsd fel a zárójeleket: ( ) + ( ) ; ) (5a 0,4 + b 0, ) (a 0,4 4b 0, ); 4) x 6 + x x 6 4 ) (m 0,5 + n 0,5 ) (m 0,5 n 0,5 ); 5) (y,5 4y 0,5 ) + 8y ; ( ) ; 6) a 8 a 4 a 8 ) m n 6.. Számítsd ki a kifejezés értékét: ) 6 ( 0, 5) ; ) ( ) ( + ) ( + ).! ) 5,5 + (0,5) 0,5 8 0,75 ; 4) ,.! 6.. Határozd meg a kifejezés értékét: ) ; 4) 8 05, ( 08, ) ; 4 ; ) 0, 006 0, , 6 ; ) 4 4 5,, ; 4) ! 6.. Egyszerűsítsd a törtet: ) a 5 a ; ) a 5 a 4b ; ) a 05, + b 05, a b ; ab + a b?

40 7. Irracionális egyenletek 9 4) a a b + + b a+ b ; 5) ; 6) m n! a + b a + b m n 6.4. Egyszerűsítsd a törtet: ) a + a ; ) a a b ; 5) a b a b a a b 05, 05, ) m n m n a b ; 4) ; 6) a 5.! m n a + a b + b a , 5, a b a b Egyszerűsítsd a kifejezést:.! 05, 05, a b a b 6.6. m n m+ n Egyszerűsítsd a kifejezést:.! m n m + n , 05, 05, a + a a Bizonyítsd be az azonosságot: :. 05, 05, a+ a + a =! a + a 6.8. m + n m+ n m Bizonyítsd be az azonosságot: n m =.! n m + mn m + n FELKÉSZÜLÉS AZ ÚJ TÉMÁRA 6.9. Oldd meg az egyenletet: ) x 7 = 0; ) x 64 = 6; 5) x + x = 0; ) 4x = 6; 4) + + x = 4; 6) ( x ) x+ = 0!. 7. Irracionális egyenletek Az egyenletek megoldása során néha az egyenlet mindkét oldalát ugyanarra a hatványra kell emelni. Megvizsgáljuk, hogyan befolyásolja ez az átalakítás az egyenlet gyökeinek halmazát. 7.. tétel. Ha az egyenlet mindkét oldalát páratlan kitevőjű hatványra emeljük, akkor az eredetivel ekvivalens egyenletet kapunk.. f e l a d a t. Oldjuk meg az 7 x = 7 x. egyenletet! Megoldás. Az egyenlet mindkét oldalát a hetedik hatványra emeljük. Az eredetivel ekvivalens egyenletet kapunk: ( x ) = ( x). ;

41 40.. Függvények, ezek tulajdonságai és grafikonjaik Innen x = x; x x = 0; x =, x =. Felelet: ;. Az. feladatban a változó a gyökjel alatt van. Az ilyen egyenletet irracionális egyenletnek nevezzük. Nézzünk néhány példát az irracionális egyenletekre: x = ; 4 x x + = 0; x = + x. Az. feladat megoldása során egy olyan egyenletet alakítottunk át, amely páratlan kitevőjű gyököt tartalmazott. Vizsgáljunk meg egy olyan egyenletet, amely páros kitevőjű gyököt tartalmaz. ( ) = ( ) egyenletet! (). f e l a d a t. Oldjuk meg a x+ 4 x ( ) = Megoldás. A a a,képlet alkalmazásával az adott egyenletet a következő egyenlettel helyettesítjük: x + 4 = x. () Innen az x =. Az ellenőrzés viszont azt mutatja, hogy a szám nem lesz gyöke az eredeti egyenletnek. Azt mondjuk, hogy a az () egyenlet hamis gyöke. Tehát az () egyenletnek nincs gyöke. Felelet: az egyenletnek nincs gyöke. A. feladat megoldása során a hamis gyök megjelenésének oka az, hogy az ( a) = a, képlet alkalmazása során nem vettük figyelembe, hogy az a l 0. feltételnek teljesülnie kell. Ezért a () egyenlet nem egyenértékű az () egyenlettel. Definíció. Ha az f (x) = g (x) egyenlet gyökeinek halmaza tartalmazza az f (x) = g (x) egyenlet gyökeinek halmazát, akkor az f (x) = g (x) egyenletet az f (x) = g (x) egyenlet következményének nevezzük. Például az x = 5 egyenlet következménye lesz az x = 5 Az következményegyenlet gyökeinek halmaza 5 x 5 x. Az egyenletnek. Győződjetek meg erről önállóan. egyenlet gyökeinek halmaza Azt is mondjuk, hogy az x = 5 egyenletből következik az x = 5 egyenlet. 5 x 5 x 7.. ábra A 7.. ábrán egy Euler-diagram szemlélteti a következmény-egyenlet halmaza és az eredeti egyenlet halmaza közötti összefüggést.

42 7. Irracionális egyenletek 4 k k A hamis gyök megjelenésének másik oka, hogy az x = x egyenlőségből nem feltétlen következik az x = x egyenlőség. Például ( ) 4 = 4, de. Ugyanakkor az x = x egyenlőségből következik k k az x = x egyenlőség. Igaz lesz a következő tétel. 7.. tétel. Az egyenlet mindkét oldalának páros hatványra emelése során a kapott egyenlet következménye lesz az eredetinek.. f e l a d a t. Oldjuk meg a 4+ x = x. egyenletet! Megoldás. Négyzetre emeljük az egyenlet mindkét oldalát. A kapott egyenlet következménye lesz az eredetinek: 4 + x = x. Innen x x 4 = 0; x =, x = 4. Az ellenőrzés azt mutatja, hogy a hamis gyök lesz, Ugyanakkor a 4 kielégíti az eredeti egyenletet. Felelet: f e l a d a t. Oldjuk meg a x + 4x+ = 4. egyenletet! Megoldás. Az adott egyenlet mindkét oldalát négyzetre emeljük: x + x 4x+ + 4x+ = 6. Innen x 4x+ = 9 x. Áttérve a következmény-egyenletre, a következőt kapjuk: 8x 0x = 8 54x + 9x ; x 44x + 84 = 0; x = 4, x =. Az ellenőrzés azt mutatja, hogy a 4 hamis gyöke lesz az egyenletnek, ugyanakkor a kielégíti az adott egyenletet. Felelet: f e l a d a t. Oldjuk meg a x + + x + = 0. egyenletet! 4 Megoldás. Legyen az x + = t. Akkor x + = t. Ezután az eredeti egyenletet a következőképpen írhatjuk át: t + t = 0. Innen t = vagy t =. Amikor t =, akkor a következő egyenletet kapjuk: 4 x + =, aminek nincs megoldása. Amikor t =, akkor a következő egyenletet kapjuk: 4 x + =. Fejezzük be az egyenletet önállóan. Felelet: 0.

43 4.. Függvények, ezek tulajdonságai és grafikonjaik Emlékeztetünk benneteket arra, hogy az utóbbi egyenlet megoldásának módszere már ismert a 8 9. osztályos algebra tantárgyból. Ezt a módszert változócserének nevezzük.?. Milyen egyenletet nevezünk irracionálisnak?. Az egyenlet mindkét oldalát páratlan kitevőjű hatványra emeljük. A kapott és az eredeti egyenlet egyenértékű-e?. Az egyenlet mindkét oldalát páros kitevőjű hatványra emeljük. A kapott és az eredeti egyenlet egyenértékű-e? 4. Hogyan lehet megállapítani a gyökről, hogy hamis-e? GYAKORLATOK 7.. Magyarázd meg, miért nincs gyöke az egyenletnek: ) x + = 0; ) x 4 + x = 5; 6 8 ) x + x = ; 4 4) x x =.! 7.. Oldd meg az egyenletet: 4 ) x = ; 5 ) x 6 = ; ) x 4 = ; 4) x x+ = x.! 7.. Oldd meg az egyenletet: ) x = 4; ) 8x x 5 = x; ) 5 + x + =! 7.4. Oldd meg az egyenletet: 7 7 ) x = x; ) x = x ; ) x = x; 4) x 6 = x.! 7.5. Oldd meg az egyenletet: ) x+ = x ; ) 4x 5 = x.! 7.6. Oldd meg az egyenletet: ) x = x; 4) x x 0 = x; ) x+ = x ; 5) x+ 5 = x+ ; ) x = x; 6) 5 x = x.! 7.7. Oldd meg az egyenletet: ) 0 x = x; ) x+ 0 = x; ) x = x+ 5 + ; 4) x x x 0 = 5.!

44 7.8. Oldd meg az egyenletet: 7. Irracionális egyenletek 4 ) ( x+ )( x 4) = x 4; ) ( x )( x 5) + = x Oldd meg az egyenletet: ( x )( 4x+ ) = x.! 7.0. Oldd meg változócserével az egyenletet: ) x + x = 0; 4) x + 5 = ; x + 4 ) x + x 6 = 0; 5) + = ; 4 4 x x + x + 5 x ) x 7 x 5 = 0; 6) + 7 = 8.! x x Oldd meg változócserével az egyenletet: 4 ) x x = 0; ) x+ 5 x+ 5 + = 0; ) x + 8 = 9 x; 4) 7.. Oldd meg az egyenletet: x + x + = 5,.! x x + ) + x x + 4 = x + ; ) + x x 4 = x.! 7.. Oldd meg az egyenletet: ) x 0 x = ; ) x+ x+ = ; ) x+ x = ; 4) x 7 x =! 7.4. Oldd meg az egyenletet: ) x+ 5 x 5 = ; ) x+ x+ =.! 7.5. Oldd meg az egyenletet: ) x x = ; ) x + + x = ; ) x 7 + x = 4; 4) 4x + x + = 5.! 7.6. Oldd meg az egyenletet: ) 4 x + x + 5 = ; ) x+ + x+ 5 =.! 7.7. Oldd meg változócserével az egyenletet: ) x 5x+ 6 x 5x+ 0 = 0; ) x x = 0; ) x x+ 5 + x = x+ 7; 4) x 9x 6 = + x x.!

45 44.. Függvények, ezek tulajdonságai és grafikonjaik 7.8. Oldd meg változócserével az egyenletet: ) x 4x x 4x = 0; ) x x+ = 4+ x x ; ) 5x + 0x+ x + x 5 =.! 7.9. * Oldd meg az x x + x+ 7 6 x = 6. egyenletet! 7.0. * Oldd meg az x+ x + x x = 6. egyenletet! ISMÉTLŐ GYAKORLATOK x +, ha x <, 7.. Ábrázold az f (x) = függvény grafikonját! A x, ha x l grafikon alapján állapítsd meg a függvény növekedési és csökkenési intervallumait! 7.. Add meg a lineáris f függvény képletét, ha f ( ) = 5, f () =! A LEMBERGI MATEMATIKAI ISKOLA Jelenleg az Algebra és az analízis elemei egyik fejezetével ismerkedtek meg. A tantárgy nevében egy új szóösszetétel az analízis elemei jelent meg. Mit takar ez a név? A válasz nagyon egyszerű: a matematikai analízis a függvények tanulmányozásával foglalkozik. Ebben az évben az analízis elemeiről kezdtetek el tanulni: újabb és újabb függvénytípussal kell megismerkednetek, megtanuljátok a tulajdonságaikat, elsajátítjátok a függvények vizsgálatának módszereit. A XX. század első felében bizonyos függvénytípusok vizsgálata során egy új matematikai tárgy jött létre, a funkcionális analízis. Nagyon fontos és jelentős szerepet játszott ennek a tudományágnak a létrejöttében a lembergi matematikai iskola. A XX. század 0 0-as éveiben Lemberg a világ matematikai fővárosa volt. A tudományos intézetekben olyan neves matematikusok dolgoztak, mint Kazimierz Kuratowski, Stanislaw Mazur, Wladyslaw Orlicz, Waclaw Sierpiński, Stanislaw Ulam, Juliusz Schauder, Hugo Steinhaus és még sokan mások. A lembergi tudósok olyan magasan képzettek voltak, hogy a világhírű matematikus, több matematikai logikáról és halmazelméletről írt könyv szerzője, Alfred Tarski nem kapta meg a lembergi egyetem professzori állását. Lemberg matema-

46 A lembergi matematikai iskola 45 Stefan Banach (89 945) Banach Funkcionális analízis című tankönyve tikusai egy erős tudományos csapatot hoztak létre, melyet a lembergi matematikai iskolának neveztek el. Vezetője a zseniális matematikus, Stefan Banach volt. Ma a világ matematikusainak közössége Banachot tekinti a funkcionális analízis megteremtőjének. Az egyik első tankönyvet ebből a tárgyból Banach írta. Az általa bevezetett fogalmak klasszikusak lettek. Például a tudós által tanulmányozott teret Banach-térnek nevezik és most már azok között a legszükségesebb fogalmak között van, melyet a felsőoktatásban tanuló matematikusnak, fizikusnak, kibernetikusnak ismernie kell. Azt mesélik, hogy a lembergi matematikusok sok tételt a kávézóban bizonyítottak be. Stefan Banach a tanítványaival nagyon szeretett a Skót kávéházban tartózkodni, ahol a kis márvány burkolatú asztalok nagyon alkalmasak voltak a matematikai képletek és tételek levezetésére. A kávézó tulajdonosát bosszantotta, hogy a tudósok nem hagytak fel ezzel a rossz szokásukkal. A helyzetet Banach felesége azzal mentette meg, hogy egy nagy méretű füzetet vásárolt férjének. Így keletkezett a híres Skót könyv, a matematikai problémák gyűjteménye, melyeken Banach és munkatársai dolgoztak. A bonyolult matematikai problémák megoldása fejében a tudósok viccesen sört vagy éttermi vacsorát ajánlottak fel egymásnak. Például az egyik probléma megoldásáért a kitalálója (96-ban) egy élő libát ajánlott fel, melynek a megoldása csak 97-ben született meg, amikor át is adták a jutalmat.

47 46.. Függvények, ezek tulajdonságai és grafikonjaik A liba átadása A Skót könyvben lévő problémák olyan fontosak és bonyolultak, hogy akinek sikerül legalább egyet is megoldania közülük, az azonnal világhírűvé válik. A Skót könyv a tudomány egyik leghíresebb és legértékesebb relikviája lett.

48 ! AZ.. ÖSSZEFOGLALÁSA Az.. összefoglalása 47 A függvény legnagyobb és legkisebb értékei Ha minden x M számra teljesül az f ( x0 ) m f ( x), egyenlőtlenség, ahol az x 0 M, akkor az f (x 0 ) számot a függvény legkisebb értékének nevezzük az M halmazon, és így jelöljük: min f ( x ) = f ( x 0). M Ha minden x M számra teljesül az f ( x0 ) l f ( x), egyenlőtlenség, ahol az x 0 M, akkor az f (x 0 ) számot a függvény legnagyobb értékének nevezzük az M halmazon, és így jelöljük: max f ( x) f ( x ). Páros és páratlan függvények M = 0 Az f függvényt párosnak nevezzük, ha az értelmezési tartományának bármilyen x értékére teljesül a következő egyenlőség: f ( x) = f (x). Az f függvényt páratlannak nevezzük, ha az értelmezési tartományának bármilyen x értékére teljesül a következő egyenlőség: f ( x) = f (x). Az ordinátatengely a páros függvény szimmetriatengelye. A koordináta-rendszer kezdőpontja a páratlan függvény szimmetriapontja. Az n-edik gyök Az a szám n-edik gyökének, ha n, n >, azt a számot nevezzük, melynek n-edik hatványa a-val egyenlő. A nemnegatív a szám a számtani n-edik gyökének, ha n, n >, azt a nemnegatív számot nevezzük, melynek n-edik hatványa a-val egyenlő. Bármilyen a és k esetén teljesülnek a következő egyenlőségek: k + k + ( a) = a, k + k a + k k = a, a = a. Bármilyen a l 0 és k esetén teljesül a következő egyenlőség: k k ( a) = a. n n n Ha a l 0, b l 0, n, n >, akkor ab = a b. Ha a l 0, b > 0, n, n >, akkor n a b n a =. n b n n Ha a l 0, n, k, n >, akkor a a k k nk k n ( ) =, a a n k nk Ha a l 0, n, k, n >, k >, akkor a = a. =.

49 48.. Függvények, ezek tulajdonságai és grafikonjaik A racionális kitevőjű hatvány A pozitív a szám m n hatványkitevőjű hatványának nevezzük, ahol m, n, n >, az m 0 n = 0, ahol m, n. m n a m, vagyis az a n n a m = ;számot. Az y = x r képlettel megadott függvényt, ahol r, racionális kitevőjű hatványfüggvénynek nevezzük. Bármilyen a > 0 és bármilyen p és q racionális számok esetén p q p q teljesülnek a következő egyenlőségek: a a = a +, a p =, p a a p : a q = a p q, (a p ) q = a pq. Bármilyen a > 0 és b > 0, valamint bármilyen p racionális szám p p esetén teljesülnek a következő egyenlőségek: (ab)p = a p b p a a, p b =. b Irracionális egyenletek Azokat az egyenleteket, melyekben a változó a gyökjel alatt van, irracionális egyenleteknek nevezzük. Ha az egyenlet mindkét oldalát páratlan kitevőjű hatványra emeljük, akkor az eredetivel egyenértékű egyenletet kapunk. Ha az egyenlet mindkét oldalát páros kitevőjű hatványra emeljük, akkor a kapott egyenlet következménye az eredetinek.

50 TRIGONOMETRIKUS FÜGGVÉNYEK.. E paragrafus anyagának elsajátítása során bővíteni fogjátok az eddigi ismereteiteket a trigonometrikus függvényekről és ezek tulajdonságairól, megismerkedtek a szög radiánmértékével, valamint a periodikus függvényekkel. Megtanuljátok a különböző trigonometrikus függvények közötti összefüggéseket bemutató képleteket, ezek alkalmazását a számítások, a kifejezések egyszerűsítése és az azonosságok bizonyítása során. Megismerkedtek a legegyszerűbb trigonometrikus egyenletekkel; a legegyszerűbb trigonometrikus egyenletek megoldóképleteivel. 8. A szög radiánmértéke Eddig a szögek mérésére a fokot és ennek a törtrészeit a percet és másodpercet alkalmaztuk. Sok esetben érdemes és hasznos lehet egy másik mértékegységet használni a szög mértékének meghatározásához. Ez a mértékegység a radián. Definíció. radián olyan középponti szög, melynek ívhossza egyenlő a körvonal sugarával. A 8.. ábrán az AOB középponti szög látható. Ez egy olyan AB ívre támaszkodik, melynek hossza a kör sugarával egyenlő. Az AOB szög egy radiánnal lesz egyenlő. Így írjuk fel: AOB = rad. Azt is mondják, hogy az AB ív radiánmértéke egy radiánnal egyenlő. Így írjuk fel: AB = rad. A szög (ív) radiánmértéke független a körvonal sugarától. Ezt az állítást jól szemlélteti a 8.. ábra. rad 8.. ábra 8.. ábra

51 50.. Trigonometrikus függvények rad 8.. ábra A 8.. ábrán az R sugarú kör és az MN ív látható, melynek hossza R. Ezért az MON szög (MN ív) radiánmértéke lesz. Általánosítva, ha az R sugarú kör középponti szöge az ar hosszúságú ívre támaszkodik, akkor ennek a szögnek a radiánmértéke (vagy ívmértéke) a radián lesz. A félkörvonal hossza pr. Tehát a félkörvonal ívmértéke p radián lesz. A félkörvonal fokmértéke 80. Ezek alapján felírhatjuk a szög ívmértéke és fokmértéke közötti összefüggést: p rad = 80. () Innen 80 rad = π Elosztva a 80-at,4-gyel (emlékeztetőül, p,4) megállapíthatjuk, hogy rad 57. = π rad () 80 Ebből az egyenlőségből könnyen megkaphatjuk például, hogy π π π π 5 = 5 rad = rad, 90 = 90 rad = rad, π π 5 = 5 rad = rad Amikor a szög ívmértékét írjuk fel, általában a rad jelölést elhagyjuk. Például: 5 = π. 4 Az alábbi táblázat a leggyakrabban alkalmazott szögek fokmértékét és ívmértékét tartalmazza: A szög fokmértéke A szög ívmértéke 0 π 6 π 4 π π π π 5π 4 6 π

52 8. A szög radiánmértéke 5 A szög ívmértékének alkalmazásával egy jól használható képletet kapunk a körvonal körívének meghatározására. Mivel az radián méretű középponti szög egy olyan ívre támaszkodik, melynek hossza egyenlő az R sugárral, ezért az a rad méretű szög az ar hosszúságú középponti szögre fog támaszkodni. Ha az a rad méretű ív hosszát l-lel jelöljük, akkor felírható: l = ar A koordinátasíkon vizsgáljunk meg egy olyan egységsugarú kört, melynek középpontja egybeesik a koordináta-rendszer kezdőpontjával. Az ilyen kört egységkörnek nevezzük. A P pont a P 0 (; 0) ponttól indulva az óramutató járással ellentétes irányban mozog az egységkör mentén. Az adott pillanatban olyan π pozícióban lesz, hogy POP 0 = = 0 (8.4. ábra). Azt is mondhatjuk, hogy a P pontot a P 0 pontnak az origó körüli π (0 fokos) szöggel történő elforgatása során kapjuk ábra 8.5. ábra Most forgassuk el a P pontot az óramutató járásával megegyező π irányba addig a helyzetig, melynél POP 0 = = 0 (8.5. ábra). Ekkor azt mondjuk, hogy a P pontot a P 0 pontnak az origó körüli π ( 0 fokos) szöggel történő elforgatása során kapjuk. Általánosítva, ha a mozgás a körvonalon az óramutató járásával ellenkező irányban történik (8.4. ábra), akkor az elforgatás szögét pozitívnak tekintjük, ha pedig az óramutató járásával megegyező irányban (8.5. ábra), akkor negatívnak.

53 5.. Trigonometrikus függvények Vizsgáljunk meg még néhány esetet. A 8.6. ábra alapján elmondhatjuk, hogy az A pontot a P 0 pontnak az origó körüli π -os (90 -kal) vagy π -nal ( 70 -kal) való y A elforgatása során kaptuk meg. A B pontot a P 0 pontnak az origó körüli p-nal (80 -kal) B P 0 vagy p-nal ( 80 -kal) való elforgatása során kaptuk meg. A C pontot a P 0 O x pontnak az origó körüli π π -nal (70 -kal) vagy -nal C ( 90 -kal) való elforgatása során kaptuk meg. Ha a P pont egy teljes kört ír le az egységkörön, akkor azt mondjuk, hogy az elfor ábra dulás szöge p (60 ) vagy p ( 60 ). Ha a P pont másfél kört tesz meg az óramutató járásával ellenkező irányban, akkor az elfordulási szöge p (vagyis 540 ) lesz, ha az óramutató járásával megegyező irányban, akkor p (vagyis 540 ) lesz. A szög mértéke radiánokban és fokban is bármilyen valós számmal kifejezhető. Az elforgatás szöge egyértelműen kifejezi a P pont helyzetét az egységkörön. Ugyanakkor a P pont egy adott helyzetének számtalan elforgatási szög felel meg. Például a P pontnak (8.7. ábra) a következő elforgatási szögek felelnek meg: π 4, π + π, π + 4π, π + 6π és így tovább, és szintén megfelel a π π 4, π 4π, π π ábra stb. Megjegyezzük, hogy az összes ilyen szöget megkaphatjuk a következő képletből: α = + πk, k. π 4?. Mit nevezünk egy radián ívmértékű szögnek?. Mennyi az -os szög ívmértéke?. Mivel egyenlő annak az R sugarú körívnek a hossza, amelynek ívmértéke a radián?

54 8. A szög radiánmértéke 5 GYAKORLATOK 8.. Határozd meg a szög ívmértékét, ha fokmértéke: ) 5 ; ) 40 ; ) 00 ; 4) 60 ; 5) 0 ; 6) 00! 8.. Határozd meg a szög fokmértékét, ha ívmértéke: ) π 0 ; ) π π ; ) ; 4),p; 5) p; 6),5p! Töltsd ki a táblázatot! A szög fokmértéke A szög ívmértéke π 8 4π π 9 5 4p,8p 8.4. Mivel egyenlő a körív hossza, ha a kör sugara cm, az ívmértéke pedig: ) π ; ) ; ) 5 π ; 4) p? Számítsd ki a körív hosszát, ha adott az a szög ívmértéke és a kör R sugara: π ) a =, R = 5 cm; ) α =, R = 6 cm; ) a = 0,4p, R = cm! Jelöld az egységkörön azt a pontot, amelyet a P 0 (; 0) pontnak a következő szöggel történő elforgatásával kapunk: ) π ; ) 50 ; ) 5 π ; 4) 45 ; 5) 0 ; 6) Jelöld az egységkörön azt a pontot, amelyet a P 0 (; 0) pontnak a következő szöggel történő elforgatásával kapunk: ) 60 ; ) π 6 ; ) 0 ; 4) 40 ; 5) π 5π ; 6).! Melyik koordinátanegyedhez tartozik az egységkör azon pontja, amelyet a P 0 (; 0) pontnak a következő szöggel történő elforgatásával kapunk: ) 7 ; 4) 400 ; 7) 470 ; 0),4p; ) 89 ; 5) 600 ; 8) π ; ) ; 5 ) 76 ; 6) 400 ; 9) 7 π ; )? Melyik koordinátanegyedhez tartozik az egységkör azon pontja, amelyet a P 0 (; 0) pontnak a következő szöggel történő elforgatásával kapunk: ) 94 ; ) 76 ; ) 00 ; 4) 00 ;

55 54.. Trigonometrikus függvények 5) 80 ; 7) π 7π ; 9) ; 4 ) ; 6) 700 ; 8) π π ; 0) ; 4 6 )? 8.0. Határozd meg annak a pontnak a koordinátáit, amelyet a P 0 (; 0) pontnak a következő szöggel történő elforgatásával kapunk: ) π ; ) p; ) 90 ; 4) 80 ; 5) π ; 6) p! 8.. Határozd meg annak a pontnak a koordinátáit, amelyet a P 0 (; 0) pontnak a következő szöggel történő elforgatásával kapunk: ) π π ; ) p; ) ; 4) 80! 8.. Nevezd meg azt a legkisebb pozitív és a legnagyobb negatív szöget, amellyel ha elforgatjuk a P 0 (; 0) pontot, akkor a: ) (0; ); ) ( ; 0) pontba jutunk! 8.. Nevezd meg azt a legkisebb pozitív és legnagyobb negatív szöget, amellyel ha elforgatjuk a P 0 (; 0) pontot, akkor a: ) (0; ); ) (; 0) pontba jutunk! 8.4. Határozd meg az összes olyan szöget, amellyel el kell fordítani a P 0 (; 0) pontot, hogy a következő pontba jussunk: ) P (0; ); ) P ( ; 0); ) P ;.! 8.5. Határozd meg az összes szöget, amellyel el kell fordítani a P 0 (; 0) pontot, hogy a következő pontba jussunk: ) P (0; ); ) P ; ; ) P ;.! 8.6. Határozd meg az egységkör azon pontjának a koordinátáit, melyet a P 0 (; 0) pontnak: ) π + πk, k ; 6 ) π + πk, k ; π ) + 4πk, k ; 4) pk, k. szöggel való elfordításával kapunk! 8.7. Határozd meg az egységkör azon pontjának a koordinátáit, melyet a P 0 (; 0) pontnak: ) π π + πk, k ; ) + πk, k. 4 4 szöggel való elfordításával kapunk!

56 9. A számargumentumú trigonometrikus függvények Bizonyítsd be, hogy az a radián nagyságú ívhez tartozó R körcikk területét az S = α,képlettel lehet kiszámítani, ahol R a körvonal sugara! ISMÉTLŐ GYAKORLATOK 8.9. Oldd meg az egyenletet: ) x 6 x = ; ) x 4 0 9x =.! x x x x x x 8.0. Egy városban lakos él. Hány lakosa volt a városnak két évvel ezelőtt, ha évente 5%-kal nő a lakosság létszáma? 9. A számargumentumú trigonometrikus függvények A 9. osztályban a trigonometrikus függvények meghatározásakor a 0 és 80 közötti szögeket az egységfélkörön határoztuk meg. Általánosítjuk ezt a meghatározást bármilyen a szögre. Vizsgáljuk meg a 9.. ábrán lévő egységkört. Definíció. Az a szög koszinuszának (szinuszának) az egységkör azon P (x; y) pontjának x abszcisszáját (y ordinátáját) nevezzük, melyet a P 0 (; 0) pontnak az origó körüli a szöggel történő elforgatása után kapunk (9.. ábra). A matematika nyelvén így írjuk fel: cos a = x, sin a = y. A P 0, A, B és C pontok (9.. ábra) megfelelő koordinátái: (; 0), (0; ), ( ; 0), (0; ). Ezeket a pontokat a P 0 (; 0) pont 0, π, p, π. y A cos α sin α B O P 0 x C 9.. ábra 9.. ábra

57 56.. Trigonometrikus függvények szöggel történő elforgatása során kapjuk. Tehát az adott definíció alapján össze lehet állítani a következő táblázatot : x 0 π p π sin x 0 0 cos x 0 0. feladat. Határozzuk meg az a szög összes értékét, melyeknél: ) sin a = 0; ) cos a = 0! Megoldás. ) Csak az egységkör két pontjának ordinátája egyenlő nullával: P 0 és B (9.. ábra). Ezeket a pontokat a P 0 pont 0, p, p, p, 4p, és p, p, p, 4p, szöggel történő elforgatásakor kapjuk meg. Ezeket a szögeket az a = pk, ahol k.képlettel írhatjuk fel. Tehát sin a = 0, ha a = pk, ahol k. ) Az A és C pontoknak lesz az abszcisszája egyenlő nullával. Ezeket a pontokat a P 0 pont π, π π +, π + π, π + π, π + 4π, és π π, π π, π π, π 4π, szöggel történő elforgatásakor kapjuk meg. Az összes szöget felírhatjuk az α Tehát cos a = 0, ha α π = + π = + πk, ahol k. πk, ahol k. képlettel. Definíció. Az a szög tangensének a szög szinuszának és koszinuszának arányát nevezzük: sin α tg α = cos α π sin sin π 0 π Például: tg π = = = 0, tg 4 :. cos π 4 = π = cos = 4 A. előzéken megtalálhatók néhány szög trigonometrikus függvényének értékei.

58 9. A számargumentumú trigonometrikus függvények 57 A tangens meghatározásából következik, hogy csak arra az elfordulási szögre van értelmezve, amikor cos a 0, vagyis ha α + πk, π k. Már tudjátok, hogy az egységkörön minden a elfordulási szögnek egy pont felel meg. Tehát az a minden értékének egyetlen egy szám felel meg, amelyet az a szög szinuszának (koszinuszának, tangensének, ahol α + πk, k ) nevezzük. Ezért a szög szinusza (koszi- π nusza, tangense) és az elfordulási szög között függvénykapcsolat áll fenn. Az f (a) = sin a, g (a) = cos a és h (a) = tg a függvényeket az a szög trigonometrikus függvényeinek nevezzük. Minden valós a számnak megfeleltetjük az a radián nagyságú szöget. Ez lehetőséget ad arra, hogy a trigonometrikus függvényekre számargumentumú függvényekként tekintsünk. Például a sin alatt a radián nagyságú szög szinuszát értjük. A szinusz és koszinusz meghatározásából következik, hogy az y = sin x és az y = cos x függvények értelmezési tartománya az.halmaz lesz. Mivel az egységkör pontjainak abszcisszái és ordinátái a és az között az összes értéket felveszi, ezért az y = sin x és az y = cos x függvények értékkészletei a [ ; ] intervallum lesz. Mivel az a és az a + pn, ahol n, szögeknek ugyanaz a pont felel meg az egységkörön, ezért sin a = sin (a + pn), n cos a = cos (a + pn), n Az y = tg x függvény értelmezési tartománya a valós számok halmaza lesz, kivéve a + πk, k.számokat. Az y = tg x függvény ér- π tékkészlete az.halmaz. Be lehet bizonyítani, hogy igaz a következő képlet: tg a = tg (a + pn), n. f e l a d a t. Határozd meg az 4 cos a legnagyobb és legkisebb értékét! Megoldás. Mivel m cos α m, ezért 4 m 4cos α m 4, m 4cos α m5. Tehát az adott kifejezés legkisebb értéke a, melyet a kifejezés akkor vesz fel, ha cos a =. Az adott kifejezés legnagyobb értéke az 5, melyet a kifejezés akkor vesz fel, ha cos α=.

59 58.. Trigonometrikus függvények?. Mit nevezünk az elforgatási szög koszinuszának? Az elforgatási szög szinuszának? Az elforgatási szög tangensének?. Mi az értelmezési tartománya az y = sin x függvénynek? Az y = cos x függvénynek?. Mi az értékkészlete az y = sin x függvénynek? Az y = cos x függvénynek? 4. Mivel egyenlő sin (a + pn), ha n? cos (a + pn), ha n? 5. Mi az értelmezési tartománya az y = tg x függvénynek? 6. Mi az értékkészlete az y = tg x függvénynek? 7. Mivel egyenlő tg (a + pn), ha n? GYAKORLATOK 9.. Számítsd ki a kifejezés értékét: ) cos 0 + sin 90 ; π ) sin0 + tgπ sin ; ) sin 60 + cos 0 ; π π 4) sin + cos.! Mivel egyenlő a kifejezés értéke: ) cos 60 + sin 0 ; π π π ) sin cos tg ; 4 4 ) 7 tg 45 sin 45 ; π π 4) cos sin? 9.. Igaz-e az egyenlőség: ) cos α = π ; ) sin α= 9? Egyenlő lehet e 5 -vel a kifejezés: ) sin a; ) cos a; ) tg a? 9.5. Nevezd meg a kifejezés legnagyobb és legkisebb értékét: ) sin a; ) 4 + cos a; ) sin a; 4) sin a! 9.6. Nevezd meg a kifejezés legnagyobb és legkisebb értékét: ) 5 cos a; ) cos a ; ) 5 + sin a! 9.7. Nevezd meg az x három olyan értékét, melyekre teljesül a következő egyenlőség: ) sin x = ; ) sin x =! 9.8. Nevezd meg az x három olyan értékét, melyekre teljesül a következő egyenlőség: ) cos x = ; ) cos x =!

60 0. A trigonometrikus függvények előjelei. Páros és páratlan Határozd meg az x összes olyan értékét, melyekre teljesül a következő egyenlőség: ) sin x = ; ) sin x =! 9.0. Határozd meg az x összes olyan értékét, melyekre teljesül a következő egyenlőség: ) cos x = ; ) cos x =! 9.. Bizonyítsd be a 9.. ábra alapján, hogy cosα = sin α+ π.! 9.. Bizonyítsd be a 9.. ábra alapján, hogy sinα = cos α+ π.! y A O P 0 B P P 9.. ábra x FELKÉSZÜLÉS AZ ÚJ TÉMÁRA 9.. Hasonlítsd össze a 0-val az A (x; y) pont koordinátáit, ha a pont a következő koordinátanegyedben található: ) az I. koordinátanegyed; ) a II. koordinátanegyed; ) a III. koordinátanegyed; 4) a IV. koordinátanegyed! 9.4. Páros vagy páratlan-e a függvény: ) f( x) = x ; ) f (x) = x 7 + 4x 5 x? 0. A trigonometrikus függvények előjelei. Páros és páratlan trigonometrikus függvények Már tudjátok, hogy a P pontot úgy kapjuk, hogy az egységsugarú körvonal P 0 (; 0) pontját elforgatjuk az origó körül a szöggel. Ha a P pont az I. koordinátanegyedben helyezkedik el, akkor az a szög első negyedbeli szög (az I. koordinátanegyedben helyezkedik el). Például π 7 és a 00 szögek az I. negyed szögei, π és a 85 szögek a II. negyed szögei, 5 π és a 96 szögek a III. negyed szögei, 4 55 és π 8 szögek a IV. negyed szögei lesznek.

61 60.. Trigonometrikus függvények A πk, k,alakú szögek nem tartoznak egyik negyedhez sem. Az I. negyed pontjainak az abszcisszájuk és az ordinátájuk is pozitívak. Tehát, ha a az I. negyedben helyezkedik el, akkor sin a > 0, cos a > 0. Ha a II. negyedben, akkor sin a > 0, cos a < 0. Ha a III. negyedben, akkor sin a < 0, cos a < 0. Ha a IV. negyedben, akkor sin a < 0, cos a > 0. A szinusz és a koszinusz előjeleit a 0.. ábra szemlélteti. y sin α x y cos α x y tg α x 0.. ábra 0.. ábra sin α Mivel tg α =, ezért az I. és a III. negyedben lévő szög tangense pozitív, a II. és a IV. negyedben lévő szög tangense pedig ne- cos α gatív (0.. ábra). Legyenek a P és a P pontok a P 0 (; 0) pontnak az origó körüli a és a szöggel történő elforgatásával kapott képei (0.. ábra). 0.. ábra Bármilyen a szög esetén a P és a P pontoknak egyenlő abszciszszái és ellentétes ordinátái lesznek. Ezért a szinusz és a koszinusz meghatározásából következik, hogy bármilyen a szög esetén teljesül: cos ( a) = cos a sin ( a) = sin a

62 0. A trigonometrikus függvények előjelei. Páros és páratlan... 6 Ez azt jelenti, hogy a koszinusz páros, a szinusz pedig páratlan függvény. Az y = tg x függvény szimmetrikus az origóra (ellenőrizzétek le önállóan). Ezenkívül: sin( α) sin α tg ( α) = = = tg α. cos( α) cos α Tehát a tangens függvény páratlan.. f e l a d a t. Milyen előjele van: ) sin 80 ; ) tg ( 40 )? Megoldás. ) Mivel a 80 -os szög a IV. negyedben van, ezért sin 80 < 0. ) Mivel a 40 -os szög a III. negyedben van, ezért tg ( 40 ) > 0.. f e l a d a t. Hasonlítsuk össze a sin 00 és a sin ( 00 ) értékeit! Megoldás. Mivel a 00 fokos szög a III. negyedben van, a 00 fokos szög pedig a II. negyedben, ezért sin 00 < 0, sin ( 00 ) > 0. Tehát sin 00 < sin ( 00 ).. f e l a d a t. Vizsgáljuk meg a függvény paritását: x ) f( x) = + cos ; ) f (x) = + sin x! x Megoldás. ) Az adott függvény értelmezési tartománya: D()= f = ( ; 0) Ÿ( 0 ; + ), szimmetrikus az origóra. Tehát: + cos( x) + cos x f( x) = = = f( x). ( x) x Tehát az adott függvény páros lesz. ) Az adott függvény értelmezési tartománya: D() f = ( ; + ), szimmetrikus az origóra. Felírjuk: f ( x) = + sin ( x) = sin x. Mivel az f ( x) = f (x) és az f ( x) = f (x) egyenlőségek közül egyik sem teljesül az értelmezési tartomány minden x értékére, ezért az adott függvény se nem páros, se nem páratlan.?. Mikor mondjuk azt, hogy az a szög az I. koordinátanegyegben van? A II. negyedben van? A III. negyedben van? A IV. negyedben van?. Milyen előjelű a szinusz, a koszinusz és a tangens az egyes negyedekben?. Mely trigonometrikus függvények párosak, és melyek páratlanok? Írjátok fel a megfelelő egyenlőségeket!

63 6.. Trigonometrikus függvények GYAKORLATOK 0.. Melyik koordinátanegyedben van a következő szög: ) 8 ; ) 96 ; ) 74 ; 4) π 7π π ; 5) ; 6)? Pozitív vagy negatív lesz-e a trigonometrikus függvény értéke: ) sin 0 ; ) cos 00 ; ) sin ( 80 ); 4) tg ( 75 ); 5) cos ; 6) tg? 0.. Hasonlítsd össze a nullával: ) tg 04 ; ) sin ( 6 ); 5) tg ( 9 ); π ) cos 0 ; 4) cos ( 78 ); 6) sin.! Határozd meg a kifejezés értékét: ) sin ( 0 ); ) tg ( 60 ); ) cos ( 45 )! 0.5. Mivel egyenlő a cos ( 60 ) + tg ( 45 ) kifejezés értéke? 0.6. Határozd meg a sin ( 0 ) tg ( 45 ) + cos ( 45 ) kifejezés értékét! 0.7. Határozd meg a sin ( 60 ) + cos ( 0 ) kifejezés értékét! 0.8. Melyik koordinátanegyedben van az a szög, ha: ) sin a > 0 és cos a < 0; ) sin a < 0 és tg a > 0? 0.9. Ismert, hogy π < α < π. Hasonlítsd össze a kifejezés értékét a nullával: ) sin a tg a; ) sin a. cos a! 0.0. π Ismert, hogy π < β <. Hasonlítsd össze a kifejezés értékét a nullával: ) sin b cos b; sin b ).! cos b 0.. Hasonlítsd össze: ) tg 0 és tg ( 0 ); ) cos 80 és sin 0 ; ) tg 6 és tg 6! 0.. Ismert, hogy az a a III. negyedben van. Egyszerűsítsd a kifejezést: ) sin a sin a ; ) cos a cos a; ) tg a tg a! 0.. Ismert, hogy a b a IV. negyedben van. Egyszerűsítsd a kifejezést: ) sin b + sin b; ) cos b cos b ; ) tg b + tg b! 0.4. Vizsgáld meg a függvény paritását: x ) f( x) = tg ; ) f( x) = x xsin x + cos x; ) f( x) =! x cos x

64 . A trigonometrikus függvények tulajdonságai és grafikonjaik Vizsgáld meg a függvény paritását: cos x ) f( x) = tg x+ sin x; ) f( x) = ; x tg x ) f( x) =. x! ISMÉTLŐ GYAKORLAT 0.6. Oldd meg az egyenletet: ) x 8 = x ; ) 0 x + 8 = 5x!. A trigonometrikus függvények tulajdonságai és grafikonjaik Már tudjátok, hogy minden egyes x értékre teljesülnek a következő egyenlőségek: sin (x p) = sin x = sin (x + p); cos (x p) = cos x = cos (x + p). Ez azt jelenti, hogy a szinusz és a koszinusz függvények értékei periodikusan ismétlődnek, ha az argumentumaikat p-vel változtatjuk. Az y = sin x és az y = cos x a periodikus függvények példái. Definíció. Az f függvényt periodikusnak nevezzük, ha létezik egy olyan T 0 szám, hogy az f függvény értelmezési tartományának bármely x értékére teljesülnek a következő egyenlőségek: f (x T) = f (x) = f (x + T). A T számot a függvény periódusának nevezzük. Már tudjátok, hogy az y = tg x függvény értelmezési tartományának bármilyen x értékére igaz a következő egyenlőség: tg (x p) = tg x = tg (x + p). A periodikus függvény meghatározásából az következik, hogy a tangens egy olyan periodikus függvény, melynek a periódusa p. Be lehet bizonyítani, hogyha a függvénynek a periódusa T, akkor a T, T,, valamint a T, T, T, számok mindegyike periódusa lesz az adott függvénynek. Ebből az következik, hogy a periodikus függvénynek számtalan periódusa lesz. Például minden pn, n, n 0 alakban megadott szám periódusa az y = sin x, y = cos x függvényeknek, és minden pn, n, n 0 alakú szám periódusa az y = tg x függvénynek. Ha az f függvénynek az összes periódusa között létezik legkisebb pozitív periódus, akkor ezt az f függvény fő periódusának nevezzük.

65 64.. Trigonometrikus függvények.. tétel. Az y = sin x és y = cos x függvények fő periódusa a p, az y = tg x függvény fő periódusa a p lesz.. f e l a d a t. Határozzuk meg a kifejezés értékét: ) sin 660 ; π ) sin ; ) tg 5! Megoldás. ) sin660 = sin ( ) = sin( ) = = sin( 60 ) = sin 60 =. ) sin π sin sin sin = π = + = + 4π π π π = π = sin =. ) tg 5 = tg ( ) = tg ( 45 ) =. A.. ábrán egy olyan f periodikus függvényt ábrázoltunk, melynek periódusa T, D() f =... ábra E függvény grafikonjának részletei a [0; T], [T; T], [T; T] és így tovább, valamint a [ T; 0], [ T; T], [ T; T] és így tovább intervallumokon egybevágó alakzatok lesznek, és ezek közül bármelyiket megkaphatjuk bármelyikből az (nt; 0) vektorral való párhuzamos eltolással, ahol n valamilyen egész szám lesz.. feladat. A.. ábrán egy T periódusú periodikus függvény részlete látható. Ábrázoljuk ezt a függvényt a T 5T ;.intervallumon. Megoldás. Megrajzoljuk az ábrázolt alakzat képét a (T; 0), (T; 0) és ( T; 0) koordinátájú vektorokkal történő párhuzamos eltolással. Az így kapott alakzatoknak az egyesítése lesz a keresett grafikon (.. ábra).

66 . A trigonometrikus függvények tulajdonságai és grafikonjaik 65.. ábra.. ábra ª ª Vizsgáljuk meg az y = sin x függvényt a [0; p] intervallumon, vagyis e függvény egy teljes periódusán. A P 0 (; 0) pontnak az origó körüli 0-tól π -ig történő elforgatása során a nagyobb szögnek az egységkörön nagyobb ordinátájú pont felel meg (.4. ábra). Ez azt jelenti, hogy az π y = sin x függvény a 0;. intervallumon növekvő lesz. A P 0 (; 0) pontnak az origó körüli π -től a π -ig történő elforgatása során az egységkörön a nagyobb szögnek kisebb ordinátájú pont felel meg (.4. ábra). Tehát az y = sin x π π függvény a ;. intervallumon csökkenő..4. ábra A P 0 (; 0) pontnak a π -től a p-ig történő elforgatása során a nagyobb szögnek nagyobb ordinátájú pont felel meg (.4. ábra). Tehát az y = sin x függvény a π ; π. intervallumon növekvő lesz. Az y = sin x függvénynek a [0; p] intervallumon három zérushelye van: x = 0, x = p, x = p. Ha x (0; p), akkor a sin x > 0; ha x (p; p), akkor a sin x < 0. A [0; p] intervallumon az y = sin x függvény legnagyobb értéke, ahol x = π, a legkisebb értéke pedig, ahol x = π.

67 66.. Trigonometrikus függvények Az y = sin x függvény a [0; p] intervallumon felveszi az összes értékét a [ ; ] intervallumnak. A kapott eredmények lehetőséget adnak arra, hogy ábrázoljuk az y = sin x függvény grafikonját a [0; p] intervallumon (.5. ábra). A grafikont pontosabban is megrajzolhatjuk, ha alkalmazzuk a. előzéken lévő trigonometrikus függvények táblázatát..5. ábra Az y = sin x függvény grafikonját az egész értelmezési tartományán megkaphatjuk, ha alkalmazzuk a (pn; 0), n koordinátájú vektorral történő párhuzamos eltolást (.6. ábra)..6. ábra Az y = sin x függvény grafikonját szinuszoidnak vagy szinuszvonalnak nevezzük. ª ª Vizsgáljuk meg az y = cos x függvényt. Ha alkalmazzuk a π cosx = sin x+ képletet (lásd a 9.. gyakorlatot), ekkor érthetővé válik, hogy az y = cos x függvény grafikonját megkaphatjuk az y = sin x függvény grafikonjának π ; 0 koordinátájú vektorral történő párhuzamos eltolásával (.7. ábra). Ez azt jelenti, hoz az y = sin x és az y = cos x függvény grafikonjai egybevágó alakzatok lesznek.

68 . A trigonometrikus függvények tulajdonságai és grafikonjaik ábra Az y = cos x függvény grafikonját szintén szinuszoidnak nevezzük (.8. ábra)..8. ábra ª ª Vizsgáljuk meg az y = tg x függvényt a π π ;, intervallumon, vagyis e függvény egy teljes periódusán (emlékeztetőül: az y = tg x függvény a π és π pontokban nincs értelmezve). Be lehet bizonyítani, hogy a tangens π -től π -ig növekszik. Ez azt jelenti, hogy az y = tg x függvény a π π ; intervallumon növekvő. Az y = tg x függvénynek a π π ; intervallumon egyetlen zérushelye van: x = 0. Ha x π ; 0, akkor a tg x < 0; ha x π 0;, akkor a tg x > 0. A kapott tulajdonságai alapján megrajzolható az y = tg x függvény grafikonja a π π ;.9. ábra

69 68.. Trigonometrikus függvények intervallumon (.9. ábra). A grafikont pontosabban is ábrázolni lehet, ha alkalmazzuk a. előzéken lévő trigonometrikus függvények táblázatát. Az y = tg x függvény grafikonját az egész értelmezési tartományán megkaphatjuk, ha alkalmazzuk a (pn; 0), n koordinátájú vektorral történő párhuzamos eltolást (.0. ábra)..0. ábra A 69. oldalon lévő táblázat tartalmazza a trigonometrikus függvények legfontosabb tulajdonságait.. f e l a d a t. Hasonlítsuk össze: ) sin 0,7p és sin 0,7p; ) cos 4 és cos 40 értékeit! Megoldás. ) Mivel a 0,7p és a 0,7p számok a π π ;, intervallumhoz tartoznak, amelyen az y = sin x függvény csökkenő, és 0,7p < 0,7p, ezért sin 0,7p > sin 0,7p. ) Mivel a 4 és a 40 szögek a [80 ; 60 ] intervallumhoz tartoznak, amelyen az y = cos x függvény növekvő, és 4 < 40, ezért cos 4 < cos 40.?. Milyen függvényt nevezünk periodikusnak?. Mit nevezünk a függvény fő periódusának?. Ábrázold az y = sin x függvény vázlatos grafikonját, majd fogalmazd meg a tulajdonságait! 4. Ábrázold az y = cos x függvény vázlatos grafikonját, majd fogalmazd meg a tulajdonságait! 5. Ábrázold az y = tg x függvény vázlatos grafikonját, majd fogalmazd meg a tulajdonságait!

70 . A trigonometrikus függvények tulajdonságai és grafikonjaik 69 Tulajdonságok y = sin x y = cos x y = tg x Értelmezési tartomány x π + π n Értékkészlet [ ; ] [ ; ] Fő periódus p p p π Zérushelyek pn π + n pn Pozitív előjeltartási intervallum Negatív előjeltartási intervallum π π (pn; p + pn) + + πn; πn πn; π + πn (p + pn; p + pn) π π + πn + π ; n π + Paritás Páratlan Páros Páratlan πn; πn π π Növekedési intervallum + πn + π ; n [p + pn; p + pn] π + π πn; + πn Csökkenési intervallum π π + πn; + πn [pn; p + pn] Legnagyobb értéke Legkisebb értéke

71 70.. Trigonometrikus függvények GYAKORLATOK.. Határozd meg a kifejezés értékét: ) sin 90 ; ) sin ( 90 ); 5) cos 00 ; 5π ) tg 780 ; 4) tg ( 0 ); 6) sin.!.. Határozd meg a kifejezés értékét: 7π ) sin 40 ; ) tg ( 5 ); ) sin 0 ; 4) cos.!.. Hozzátartozik-e az y = cos x függvény grafikonjához a következő pont: π ) A ; ; ) B 9 π ; ; 4 ) C ( 4p; )?.4. Átmegy-e az y = tg x függvény grafikonján a következő pont: ) A π 4 ; ; ) B π ; ; ) C (p; 0)?.5. Átmegy-e az y = sin x függvény grafikonján a következő pont: π ) A ; ; ) B (p; ); ) C π ;? 6.6. A p, π π, p,, 0, π, π 9π, p,, 6p, 7p számok közül nevezd meg azokat, amelyek: ) az y = sin x függvény zérushelyei; ) azokat az argumentumértékeket, amelyeknél az y = sin x függvény a legnagyobb értékét veszi fel; ) azokat az argumentumértékeket, amelyeknél az y = sin x függvény a legkisebb értékét veszi fel!.7. A 5 π π π,, p, 0,, p, π 5π 7π,,, 5p, 8p számok közül nevezd meg azokat, amelyek: ) y = cos x függvény zérushelyei; ) azokat az argumentumértékeket, amelyeknél az y = cos x függvény a legnagyobb értékét veszi fel; ) azokat az argumentumértékeket, amelyeknél az y = cos x függvény a legkisebb értékét veszi fel!.8. A π π, p,, 0, π, π, 5 π, p számok közül nevezd meg azokat, amelyek: ) az y = tg x függvény zérushelyei; ) azokat az értékeket, amelyeknél nincs értelmezve az y = tg x függvény!

72 . A trigonometrikus függvények tulajdonságai és grafikonjaik 7.9. A.. ábrán egy periodikus függvény látható, melynek periódusa T. Ábrázold ezt a függvényt a [ T; T] intervallumon! a b c.. ábra.0. A.. ábrán egy periodikus függvény látható, melynek periódusa T. Ábrázold ezt a függvényt a [ T; T] intervallumon! y T 0 T x a b.. ábra.. A következő intervallumok közül melyiken lesz növekvő az y = sin x függvény: ) π π ; ; ) π π π π 5π π ; ; ) ; ; 4) ;?.. A következő intervallumok közül melyiken lesz csökkenő az y = sin x függvény: 7π 5π ) ; ; ) [ p; 0]; ) π π 5π 7π ; ; 4) ;?.. A következő intervallumok közül melyik lesz az y = cos x függvény fogyási intervalluma: 5π π ) ; ; ) [ p; p]; ) π π ; ; 4) [6p; 7p]?

73 7.. Trigonometrikus függvények.4. A következő intervallumok közül melyik lesz az y = cos x függvény növekedési intervalluma: ) [ p; p]; ) [0; p]; ) [ p; p]; 4) [p; 4p]?.5. Hasonlítsd össze a következő értékeket: ) sin 0 és sin ; ) sin 0 5π és sin ; 9π 8 ) cos 0 és cos ; 4) tg ( 8 ) és tg ( 4 )!.6. Hasonlítsd össze a következő értékeket: ) cos π 4π és cos ; ) sin 5 π 7π és sin ; ) tg 00 és tg 9!.7. Bizonyítsd be, hogy a T szám az f függvény periódusa: x ) f( x) = cos, 4 T = 8p; ) f (x) = tg x, T = π!.8. Bizonyítsd be, hogy a π és 4p az f (x) = cos x függvény periódusai!.9. * Hasonlítsd össze az értékeket: ) sin 58 és cos 58 ; ) sin 8 és cos 8 ; ) cos 80 és sin 70! ISMÉTLŐ GYAKORLATOK.0. Határozd meg a függvény zérushelyeit: x x + ) f( x) = ; ) f( x) = x + 9 ; ) f( x) = x x!. x.. Határozd meg a függvény értelmezési tartományát: ) f (x) = x + ; ) f( x) = x +!.. Az azonos argumentumú trigonometrikus függvények közötti összefüggések Ebben a pontban az azonos argumentumú trigonometrikus függvények közötti összefüggésekkel fogunk megismerkedni. Az egységkör bármilyen P (x; y) pontjának koordinátái kielégítik az x + y = egyenletet. Mivel az x = cos a, y = sin a, ahol az a annak az elforgatásának a szöge, amely során a P 0 (; 0) pontból megkapjuk a P pontot, ezért sin a + cos a = ()

74 . Az azonos argumentumú trigonometrikus függvények közötti... 7 Felhívjuk arra a figyelmeteket, hogy az egységkör P pontját szabadon választhatjuk meg, ezért az () azonosság bármely a szögre igaz. Ezt az összefüggést a trigonometria alapazonosságának nevezzük. A trigonometrikus alapazonosság alkalmazásával meghatározzuk a tangens és a koszinusz közötti összefüggést. Legyen cos a 0. Ha az () egyenlőség mindkét oldalát elosztjuk cos a-val, akkor azt kapjuk, hogy: sin α + cos α =. cos α cos α Innen sin α cos α + = ; cos α cos α cos α + tg α = cos α. f e l a d a t. Egyszerűsítsük a kifejezést: ) sin t+ cos t+ tg x; ) tg ϕ sin ϕ.! cos ϕ Megoldás. ) sin t+ cos t+ tg x = + tg x =. cos x ) tg ϕ sin ϕ = + tg ϕ tg ϕ sin ϕ = sin ϕ = cos ϕ = cos ϕ.. f e l a d a t. Adott, hogy cos α=. Számítsuk ki a sin a értékét! Megoldás. A sin cos 4 5 α = α = =. 9 9 Innen sin α= 5 vagy sin. α= 5 A feladat megoldását a.. ábra szemlélteti.. f e l a d a t. Határozzuk meg a cos a és tg a értékeit, ha sin α= 7 5 és π π < α <.! Megoldás. Mivel: cos sin α = α =. 5 = = ábra

75 74.. Trigonometrikus függvények π Mivel π < α <, ezért cos a < 0, tehát: cos. α= = 4 5 sin α 7 tg α = = 4 7 : α =. cos 5 5 4?. Melyik egyenlőséget nevezzük trigonometrikus alapazonosságnak?. Milyen azonosság köti össze az azonos argumentumú tangens és koszinusz értékeit? GYAKORLATOK.. Egyszerűsítsd a kifejezést: ) cos α ; 4) cos α sin α ) sin β ; 5) sin α + ; tg α ) sin cos ϕ+ ϕ+ ; 6) (sin α+ cos α) + (sin α cos α).!.. Egyszerűsítsd a kifejezést: ) sin α + cos α + ; tg 5α ) ( cos ) sin α tg α α + tg α ; x x ) + sin sin ; 4) ; sin α tg α tg α + cos α!.. Létezik-e olyan a szám, melyre egyidejűleg igaz, hogy: sin α= 4 és cos α=? 4.4. Létezik-e olyan a szám, melyre egyidejűleg igaz, hogy: sin α= 5 és cos α=? 5.5. Egyszerűsítsd a kifejezést: ) ( + tg α) + ( tg α ) ; ) cos 4 α cos α+ sin α; ) sin α + cos α 4 + ; 4) sin α+ sin αcos α+ cos α.! + cos α sin α

76 . Az azonos argumentumú trigonometrikus függvények közötti Egyszerűsítsd a kifejezést: ) sin 4 α+ sin αcos α+ cos 4 α; ) cos β sin β + ; sin β cos β 4 cos x ) sin α+ sin αcos α+ cos α; 4) tg x + + sin x.!.7. Határozd meg az a argumentumú trigonometrikus függvények értékeit, ha: ) cos α= ; ) sin a = 0,6 és π α π < < ; ) tg a = és π α π < <.!.8. Határozd meg az a argumentumú trigonometrikus függvények értékeit, ha: ) cos α= és 0 < α < π ; ) tg α= és π < α < π.! ) sin α= π és π < α < 4 ;.9. Bizonyítsd be az azonosságot: cos α sin α ) = cosα sin α; ) tg α sin α = tg αsin α! + sinα cos α.0. Bizonyítsd be az azonosságot: 4 4 sinα + tg α ) sin αcos α+ sin αcos α = sin αcos α; ) = tg α.! + cos α.. sinα cos α Határozd meg a, értékét, ha tg α= sinα + cos α.!.. Határozd meg az 5 cosα + 6 sin α, értékét, ha tg α= sinα 7cos α.!.. Határozd meg a sin α+ cos α. legnagyobb és legkisebb értékét!.4. Határozd meg a sin α cos α. legnagyobb és legkisebb értékét! ISMÉTLŐ GYAKORLAT.5. Határozd meg a kifejezés értékét: 8 a a ) 4 a, ha a = 0,008; ) a a a a 4, ha a = 0,065!

77 76.. Trigonometrikus függvények. Addíciós (összegzési) képletek Addíciós (összegzési) képleteknek nevezzük azokat a képleteket, amelyek a cos (a ± b), a sin (a ± b) és a tg (a ± b) értékeit az a és a b trigonometrikus függvényein keresztül fejezik ki. Bebizonyítjuk, hogy cos (a b) = cos a cos b + sin a sin b. Legyenek a P és P pontok olyanok, amelyeket a P 0 (; 0) pontnak az a, illetve a b szöggel való elforgatásával kapunk. Azt az esetet vizsgáljuk, amikor 0 m α β m π. Ekkor az OP és OP vektorok közötti szög a b lesz (.. ábra). A P és P pontok koordinátái megfelelően (cos a; sin a) és (cos b; sin b). Ekkor az OP vektor koordinátái (cos a; sin a), az OP vektor koordinátái pedig (cos b; sin b) lesznek. Kifejezzük az OP és OP vektorok skaláris szorzatát a koordinátáik alapján: OP OP = cosαcos β+ sinαsin β. A vektorok skaláris szorzatának definíciója.. ábra alapján fel lehet írni, hogy: OP OP = OP OP cos( α β) = cos ( α β). Innen megkapjuk a különbség koszinuszának képletet: cos (a b) = cos a cos b + sin a sin b () Az () képlet abban az esetben is igaz lesz, ha az (a b) [0; p] intervallumhoz. Bebizonyítjuk az összeg koszinuszának képletét: cos (a + b) = cos a cos b sin a sin b A cos (a + b) = cos (a ( b)) = cos a cos ( b) + sin a sin ( b) = = cos a cos b sin a sin b. Az összeg szinuszának és a különbség szinuszának képletei a következők: sin (a + b) = sin a cos b + cos a sin b sin (a b) = sin a cos b cos a sin b Az összeg tangensének és a különbség tangensének képletei a következők: tg (a + b) = tgα+ tgβ tgα tgβ ()

78 . Addíciós (összegzési) képletek 77 tg (a b) = tgα tgβ + tgα tgβ A () azonosság az a és a b minden értékére igaz, melyeknél cos (a + b) 0, cos a 0, cos b 0. A () azonosság az a és a b minden értékére igaz, melyeknél cos (a b) 0, cos a 0, cos b 0. Azokat a képleteket, amelyek a a argumentumú trigonometrikus függvényeket az a argumentumú trigonometrikus függvényeken keresztül fejezi ki, a kétszeres szög szögfüggvényeinek nevezzük. Az összegzési képletekben: cos (a + b) = cos a cos b sin a sin b, sin (a + b) = sin a cos b + sin b cos a, tg α + tg β tg ( α+ β) = tgα tg β alkalmazzuk a b = a helyettesítést. A következőket kapjuk: cos a = cos a sin a sin a = sin a cos a tg α tg α = tg α Ezek a kétszeres szög szinuszának, koszinuszának és tangensének képletei. Mivel cos a = sin a és sin a = cos a képletbe helyettesítve ezeket, még két képletet kapunk: cos a = sin a cos a = cos a Néha érdemes ezeket a képleteket a következő alakban alkalmazni: cos a = sin a, + cos a = cos a vagy ilyen alakban: cos α sin α = cos α cos α = + A két utolsó képletet szokták még hatványcsökkentő képleteknek is nevezni. ()

79 78.. Trigonometrikus függvények. f e l a d a t. Egyszerűsítsük a kifejezést: π π ) sin + α sin α ; ) sin( α+ 45 )cos ( α 45 ) cos( α+ 45 )sin ( α 45 ).! Megoldás. ) Az összeg és a különbség szinuszának képleteit π π alkalmazva a következőt kapjuk: sin + α sin α = π π π π = + sin cos α cos sin α sin cos α cos sin α = = cosα+ sin α cosα+ sin α = sin α. ) Az adott kifejezést helyettesítsük az a + 45 és a a 45 argumentumok különbségének szinuszával. A következőt kapjuk: sin( α+ 45 )cos ( α 45 ) cos( α+ 45 )sin ( α 45 ) = = sin(( α+ 45 ) ( α 45 )) = sin ( α+ 45 α+ 45 ) = sin 90 =.. f e l a d a t. Bizonyítsuk be az azonosságot: α α sinα cos αtg = tg.! α cosα sin α Megoldás. sinα cos αtg = sin α = α cos α α sin α α α α α cos cos sin sin sin = α = = = tg α α α. cos cos cos tg 0 tg 5. f e l a d a t. Határozzuk meg a kifejezés értékét:.! tg 0 + tg 5 Megoldás. Alkalmazzuk a 0 és 5 összeg tangensének képletét, a következőt kapjuk: tg 0 tg 5 = = =. tg 0 + tg 5 tg ( ) tg f e l a d a t. Egyszerűsítsük a kifejezést: ) cos α sin α; ) 8sin βcos β!. Megoldás. ) cos 4 α sin 4 α = (cos α sin α)(cos α+ sin α) = cos α. ) 8sin βcos β = 4sin βcos β = sin β = cos 4β.

80 . Addíciós (összegzési) képletek 79?. Írd fel a képletét: ) a különbség koszinuszának; 4) a különbség szinuszának; ) az összeg koszinuszának; 5) az összeg tangensének; ) az összeg szinuszának; 6) a különbség tangensének!. Írd fel a kétszeres szög koszinuszának, szinuszának és tangensének képletét!. Írd fel a hatványcsökkentő képleteket! GYAKORLATOK.. Egyszerűsítsd a kifejezést: ) cos (a + b) + cos (a b); ) sin( α 45 ) sin α+ cos α; ) sin (0 + a) cos (60 + a); 4) cos( 60 α) sin α cos α!... Egyszerűsítsd a kifejezést: ) sin (a b) sin (a + b); ) π sin + α cos α sin α. 4!.. Egyszerűsítsd a kifejezést: ) sin a cos 4a + cos a sin 4a; ) cos7 cos 4 sin7 sin 4 ; π π π π ) cos cos sin sin ; ) sin5 cos7 cos5 sin ( 7 ); 5) sin( α+ β)cos ( α β) sin( α β)cos ( α+ β); sin0 cos 5 cos0 sin5 6) cos0 cos 5 sin0 sin 5.!.4. Egyszerűsítsd a kifejezést: ) cos 6a cos a sin 6a sin a; ) sin cos8 + sin8 cos ; ) sin( 5 )cos75 + cos5 sin 75 ; 4) cos( α β) sin αsin β.!.5. Ismert, hogy tg α=, Határozd meg a tg (a + b) értékét! tg β= Ismert, hogy tg a =, tg b = 5. Határozd meg a tg (a b) értékét!

81 80.. Trigonometrikus függvények.7. Egyszerűsítsd a kifejezést: tg + tg 47 tg 7 tg ) ; )! tg tg 47 tg 7 + tg.8. Egyszerűsítsd a kifejezést: tg 4 + tg 6 ) tg 4 tg 6 ; ) tg 5α tgα.! + tg 5α tg α.9. Egyszerűsítsd a kifejezést: ) sin a cos α ; 5) sin a cosα sin α ; ) cos sin α α sin ; α α 6) sin ; 4 ) cosα+ sin α; 7) sin α cos α sin α cos α + ; sin 50 sinα cos α 4) ; 8)! cos 5 sin α.0. Egyszerűsítsd a kifejezést: ) sin 80 ; 5) sinαcos α(cos α sin α); cos 40 ) cos4β+ sin β; 6) cos sin 4α 4 4 α sin ) cos6 sin π π α+ α; 7) sin α cos α ; sin α 4) (sin α + cos α) ; tg, 5α 8).! + tg 5, α.. Számítsd ki a kifejezés értékét: π ) sin 75 cos 75 ; ) sin ; ) cos 5 sin tg65 5 ; 4)! tg 65.. Számítsd ki a kifejezés értékét: tg75 π π π ) ; ) sin cos ; ) cos.! tg Bizonyítsd be az azonosságot: cos( α + β) + sin α sin β cosα cos ( 45 + α) ) = ; ) = tg α.! cos( α β) sin α sin β sin( 45 + α) sin α ; α

82 . Addíciós (összegzési) képletek 8.4. Bizonyítsd be az azonosságot: sin( α + β) sin βcos α ) = ; ) sin( α β) + sin βcos α cosα sin ( 45 α) =.! sin( 60 + α) cos α.5. Határozd meg a cos (a + b) értékét, ha cos α=, 0 5 cos β= 4 π, β π 5 < <.!.6. Határozd meg a sin(a b) értékét, ha sin α= 4, 5 π és cos β= 7, < β < π.! 5.7. Ismert, hogy tg α=, sin β= 5, tg (a + b) értékét! 0 < β < < α < π és π π < α < π. Határozd meg a.8. Ismert, hogy tg α=. Határozd meg a tg (45 + a) értékét!.9. Határozd meg a sin a értékét, ha sin a = 0,6 és π < α < π.!.0. Határozd meg a tg a értékét, ha tg a = 4!.. Határozd meg a cos a értékét, ha sin α=. 4!.. Határozd meg a sin 5 értékét!.. Határozd meg a cos 75 értékét!.4. sin( α β) Bizonyítsd be az azonosságot: tg α tg β = cosα cos β!.5. Egyszerűsítsd a cos a + sin a tg a kifejezést!.6. Egyszerűsítsd a kifejezést: ) sin α cos α tg α tg α ; ) ; sin α cos α tg α tg α 4 4 sin α cos α + cos α ) ; 4).! tgα + tg α ( cos α).7. Egyszerűsítsd a kifejezést: ) cos 6α sin 6α tg α tg α + ; ) +.! sin α cos α + tg α tg α.8. Határozd meg a sinα cos α. kifejezés legnagyobb értékét!.9. Határozd meg a cos α sin α. kifejezés legnagyobb értékét!.0. * Határozd meg a sin a értékét, ha cosα+ sin α =.!.. * α α Határozd meg a sin a értékét, ha cos sin =.!

83 8.. Trigonometrikus függvények ISMÉTLŐ GYAKORLATOK.. Az x mely értékeinél lesznek a 4x + 5, a 7x és az x + kifejezések értékei egy számtani sorozat egymást követő tagjai? Határozd meg a sorozatnak ezeket a tagjait!.. Az x mely értékeinél lesznek az x, az x és az x + 7 kifejezések értékei egy mértani sorozat egymást követő tagjai? Határozd meg a sorozatnak ezeket a tagjait! 4. Visszavezetési képletek A trigonometrikus függvények periodikussága lehetőséget ad arra is, hogy visszavezessük azok értékeit arra az esetre, amikor az argumentum a [0; p] intervallumhoz tartozik. Ebben a pontban csak π azokat a képleteket vizsgáljuk, amelyek a 0;. intervallumhoz tartozó szögek értékei alapján történő számításokra korlátozódnak. A [0; p] intervallumhoz tartozó valamennyi szög megadható a π α ±, vagy a p ± a vagy a π π ± α, alakban, ahol 0 m α m. Például: π π = π, 5 π π π = +. 6 A π α ±, p ± a, π ± α alakban megadott szögek szinusz, illetve koszinusz értékeinek kiszámítását, az a szög szinuszának, illetve koszinuszának kiszámítására vezethetjük vissza. Például: cos π + α cos π cosα sin π sinα sin α. = = Az addíciós képletek alkalmazásával hasonlóan kapjuk meg az alábbi képleteket: π π sin α cos α sin( π α) sin α sin α cos α = = = π π sin + α = cosα sin ( π+ α) = sinα sin + α = cos α Ezek a képletek a szinuszra vonatkozó visszavezetés képletei lesznek.

84 4. Visszavezetési képletek 8 A következő képletek a koszinuszra vonatkozó visszavezetés képletei: π π cos α sin α cos( π α) cos α cos α sin α = = = π π cos + α α π α α α α = + = + sin cos ( ) cos cos = sin A képletek alaposabb vizsgálata során olyan törvényszerűségeket vehetünk észre, amelyek megkönnyítik e képletek megjegyzését. Ahhoz, hogy bármelyiket felírjuk, a következő szabályokat kell alkalmazni.. Az egyenlőség jobb oldalának előjele megegyezik a bal oldal előjelével, ha 0 <α< π.. Ha a bal oldalon az argumentum π α ± vagy π ± α,alakú, akkor a szinusz nevét koszinuszra, a koszinuszét pedig szinuszra kell cserélni. Ha az argumentum p ± a alakú, akkor a függvény neve nem változik. π A sin α. kifejezés példáján bemutatjuk, hogyan kell alkalmazni ezeket a szabályokat. Feltételezve, hogy a 0 <α< π, arra a következtetésre jutunk, hogy π π α a III. koordinátanegyedbe esik. Ezért sin α 0. < Az első szabály szerint a jobb oldal előjele lesz. Mivel az argumentum π α, alakú, ezért a második szabály szerint a szinuszt koszinuszra kell cserélni. π Tehát sin α cos α. = π. f e l a d a t. Egyszerűsítsük a cos + α. kifejezést! Megoldás. π π cos + α cos α ( sin α) sin α. = + = =

85 84.. Trigonometrikus függvények. f e l a d a t. Vezessük vissza a hegyesszög szögfüggvényeire az 9π 8π alábbi szögfüggvényeket: ) cos ; ) cos π π π Megoldás. ) cos = cos π cos. 0 0 = 0 8π π π ) cos = cos π + cos. 7 7 = 7? Fogalmazd meg azokat a szabályokat, amelyek segítenek a visszavezetési képletek alkalmazásakor! GYAKORLATOK 4.. Egyszerűsítsd a kifejezést: π ) sin ; α ) cos( α + 70 ); 5) cos ( π α); ) sin( π α); 4) cos( α 80 ); 6) sin π + α! 4.. Egyszerűsítsd a kifejezést: π ) cos + α ; ) sin( 80 +α); ) cos( π α); 5π 4) sin + α.! 4.. Helyettesítsd a trigonometrikus függvényeket hegyesszögű függvények értékével: ) cos ; ) sin 6 ; ) cos ( 8 ); 5π 4) cos.! Helyettesítsd a trigonometrikus függvényeket hegyesszögű függvények értékével: ) sin ( 05 ); 4π 6π ) sin ; ) cos ( 0,7p); 4) cos.! Számítsd ki a trigonometrikus függvény értékét: ) cos 5 ; ) sin 40 ; 5π ) cos ; 4) cos 4π 4.!

86 5. A cos x = b alakú egyenlet Számítsd ki a trigonometrikus függvény értékét: ) cos( 50 ); ) cos 0 ; ) sin 5 ; 4) sin 5π.! 4.7. Számítsd ki a kifejezés értékét: ) sin 5 cos 00 + tg ( 5 ) ; sin( 0 )cos 50 ) cos66 cos 6 + cos84 cos 4 cos65 cos 5 + cos85 cos 5! 4.8. cos64 cos 4 cos86 cos 6 Számítsd ki a kifejezés értékét:. cos7 cos 4 cos49 cos 9! 4.9. Egyszerűsítsd a kifejezést: sin( π + α)cos ( π α) ) tg ( π α)cos( π α) ; π π ) sin( π β)cos β sin β cos ( π β). +! 4.0. sin( π α)sin ( α + π) Bizonyítsd be az azonosságot: = cos α.! π tg ( π + α)cos + α 4.. * Számítsd ki: sin 0 + sin + sin sin 59 + sin 60! ISMÉTLŐ GYAKORLATOK 4.. Határozd meg a kifejezés értékét: 6 4 ) + ; ) 7+ 4.! 4.. A változó mely értékeinél értelmezhető a kifejezés: ) x + 4 ; 4) 7x 4 + ; x 4 x 8x ) x 4 x + 4 ; 5) ; x + 4x 9 ) ; 6) x + +? x x x 8 4x 5. A cos x = b alakú egyenlet Mivel az y = cos x függvény értékkészlete a [ ; ] intervallum, ezért b > esetén a cos x = b egyenletnek nincs megoldása. Viszont bármilyen b esetére, ha b m, ennek az egyenletnek számtalan megoldása van.

87 86.. Trigonometrikus függvények A fenti kijelentést könnyen meg lehet érteni, ha a grafikus megoldást vizsgáljuk: az y = cos x és az y = b, ha b m, függvények grafikonjainak számtalan közös pontja lesz (5.. ábra). 5.. ábra A cos x = b egyenlet megoldásának megértését elősegíti egy konkrét eset vizsgálata. Oldjuk meg például a cos x =. egyenletet. A 5.. ábrán az y = cos x és az y =.függvények grafikonjai lát- hatók. 5.. ábra Vizsgáljuk meg az y = cos x függvényt a [ p; p] intervallumon (a 5.. ábrán lévő görbe piros része), vagyis egy olyan intervallumon, melynek hossza egyenlő az adott függvény periódusával. Az y = egyenes az y = cos x függvény grafikonját a [ p; p] intervallumon az M és M pontokban metszi, melyek abszcisszái ellentett számok lesznek. Tehát a cos x = egyenletnek a [ p; p] intervallumon két gyöke lesz. Mivel cos π π = cos =, ezért az egyenlet gyökei a π és π. számok lesznek.

88 5. A cos x = b alakú egyenlet 87 Az y = cos x periodikus függvény, melynek periódusa p. Ezért minden más gyöke a cos x = egyenletnek a π és π számoktól pnnel fog különbözni, ha n. Tehát az adott egyenlet gyökeit a következőképpen írhatjuk fel: π x = + πn és x = π + π n, ha n. A fenti képletek összevont képlet alakjában így írhatók fel: π x =± + πn, n. Térjünk vissza az eredeti cos x = b egyenlethez, ahol b m. A 5.. ábrán látható, hogy ennek az egyenletnek a [ p; p] intervallumon két megoldása lesz, az a és a a, ahol a [0; p] (ha b =, akkor ezek egybeesnek és nullával lesznek egyenlők). 5.. ábra Ekkor a cos x = b egyenletnek minden gyöke a következő alakú lesz: x = ±a + pn, n. Ez a képlet azt mutatja, hogy az a gyöknek különleges szerepe van: ezt ismerve, fel lehet írni a cos x = b egyenlet összes gyökét. Az a gyöknek egy speciális neve van, az arkusz koszinusz. Definíció. A b szám arkusz koszinuszának, ahol b m, azt a [0; p] intervallum vett a számot nevezzük, melynek koszinuszértéke b-vel egyenlő. A b szám arkusz koszinuszát arccos b-vel jelöljük. Például arccos = π, mivel π π [ 0; π] és cos = ; π arccos, = mivel π π [ 0; π] és cos = Általánosítva, arccos b = a, ha a [0; p] és cos a = b.

89 88.. Trigonometrikus függvények Most már cos a = b, b írhatjuk fel: m, egyenlet gyökeit a következő alakban x = ± arccos b + pn, n () Megjegyezzük, hogy a cos a = b egyenlet egyedi eseteit (ha b =, b = 0, b = ) már korábban vizsgáltuk (lásd 9. pontot). Idézzük fel a kapott eredményt: cos x = cos x = 0 cos x = π x = pn, n x = + πn, n x = p + pn, n Ugyanezeket az eredményeket megkaphatjuk, ha alkalmazzuk az () képletet. A következő egyenlőség is teljesül: arccos ( b) = p arccos b. Feladat. Oldjuk meg az egyenletet: x π π ) cos 4x = ; ) cos + ; 4 = ) cos. 5 7 x = 0! Megoldás. ) Alkalmazzuk az () képletet, majd felírjuk: 4x =± arccos n + π, n. π π π n Ezekből megkapjuk: 4x =± + π n; x =± π πn Felelet: ± +, n. 6 x ) n + π 4 = ± arccos + π, n ; x n + π 4 = ± π + π ; x π π π =± +π n; x =± π + 6 πn. 4 4 π Felelet: ± π + 6πn, n. 4 π ) Átírjuk az adott egyenletet a következő alakba: cos 7x 0. 5 = Innen: π π 7x = + π n, n. 5 π π 7π Ekkor 7x = + + π n; 7x = + π n; x 5 0 π π Felelet: + n, n. 0 7 π = + πn 0 7.

90 5. A cos x = b alakú egyenlet 89?. A b mely értékeinél lesz megoldása a cos x = b egyenletnek?. Hány megoldása lesz a cos x = b egyenletnek, ha b m?. Mit nevezünk a b szám arkusz koszinuszának? 4. Milyen alakban írható fel a cos x = b egyenlet gyökeinek képlete, ha b m? 5. Milyen alakban írhatók fel a cos x =, cos x = 0, és cos x = egyenletek gyökeinek képlete? GYAKORLATOK 5.. Oldd meg az egyenletet: ) cos x = ; ) cos x = ; 5.. Oldd meg az egyenletet: ) cos x = ; ) cos x = ; 5.. Oldd meg az egyenletet: ) cos x = ; ) cos x = 5 ; 4) cos x =.! 4) cos x = 4. 7! ) cos x = ; ) cos 6x = ; 5) cos 9x = ; 5 5 πx x ) cos x = ; 4) cos = 0; 6) cos. 6 =! 5.4. Oldd meg az egyenletet: x ) cos x = ; ) cos = ; ) cos x =! Oldd meg az egyenletet: π x ) cos x + ; = ) cos ; 6 6 = π π ) cos ; x 4 = 4) cos 0. x 8 + =! 5.6. Oldd meg az egyenletet: π ) cos ; 9 4 x = x ) cos =! 5.7. Határozd meg az egyenlet legnagyobb negatív gyökét: π cos x. = 6!

91 90.. Trigonometrikus függvények 5.8. Határozd meg az egyenlet valamilyen negatív gyökét: x cos =.! A cosx = egyenletnek hány gyöke tartozik a π π ;? intervallumhoz? 5.0. π Határozd meg a cos x +, = egyenlet összes olyan gyökét, melyek kielégítik a < x < 4π. egyenlőtlenséget! π 6 ISMÉTLŐ GYAKORLATOK 5.. Egyszerűsítsd a kifejezést: a a b + b a b b :.! a a b ab + a b 5.. Határozd meg a függvény értelmezési tartományát: 4 x 9 x ) y = ; ) y =.! x 5x + x A sin x = b és tg x = b egyenletek ª ª Mivel az y = sin x függvény értékkészlete a [ ; ] intervallum, ezért b > esetén a sin x = b egyenletnek nincs megoldása. Ezzel együtt bármilyen b estén, ha b m, ennek az egyenletnek végtelen sok megoldása van. Megjegyezzük, hogy a sin x = b egyenlet egyedi eseteit (ha b =, b = 0, b = ) már vizsgáltuk (lásd a 9. pontot). Idézzük fel a kapott eredményeket! x sin x = sin x = 0 sin x = π π = + πn, n x = pn, n x = + πn, n Ahhoz, hogy megkapjuk a sin x = b, ha b m, egyenlet általános megoldásának képletét, nézzük a függvény grafikus értelmezését.

92 6. A sin x = b és tg x = b egyenletek 9 m.függvények grafi- A 6.. ábrán az y = sin x és az y = b, ha b konjai láthatók. a b 6.. ábra Vizsgáljuk meg az y = sin x függvény grafikonját a π π ; intervallumon (a 6.. ábrán lévő görbe piros színnel jelölt része), vagyis egy olyan intervallumon, amely ennek a függvénynek a periódusa. Ezen az intervallumon a sin x = b egyenletnek két gyöke van, az a és a p a, ahol π π ; (a b = esetén ezek a gyökök egybeesnek és π -vel lesznek egyenlők). Mivel az y = sin x függvény periodikus és p a periódusa, ezért a sin x = b egyenlet minden gyöke pn-nel különbözik egymástól, ahol n. Így a sin x = b egyenlet gyökeit a következőképpen lehet megadni: x = a + pn és x = p a + pn, n. A fenti képletek összevont képlet alakjában így írhatók fel: x = ( ) k a + pk, k. () Valóban, ha k páros szám, vagyis k = n, n, akkor az x = a + pn képletet kapjuk, ha k páratlan, vagyis k = n +, n, akkor az x = a + p + pn = p a + pn képletet kapjuk.

93 9.. Trigonometrikus függvények Az () képlet azt mutatja, hogy az a gyöknek fontos szerepe van: ennek ismeretében meg lehet határozni a sin x = b egyenlet többi gyökét is. Az a gyöknek speciális neve van, az arkusz szinusz. Definíció. A b szám arkusz szinuszának, ahol b m, azt a π π ;,intervallumon vett a számot nevezzük, amelynek szinuszértéke b-vel egyenlő. A b szám arkusz szinuszát arcsin b-vel jelöljük. Például arcsin = π, mivel π π π π ; és sin = ; π π arcsin, = mivel π π π ; és sin. = π π Általánosítva, arcsin b = a, ha α ; és sin a = b. Most már a sin x = b, ha b m, egyenlet gyökeinek képletét a következő alakban írhatjuk fel: x = ( ) k arcsin b+ πk, k () Igaz a következő egyenlőség: arcsin ( b) = arcsin b.. f e l a d a t. Oldjuk meg az egyenletet: x π ) sin = ; ) sin. x = Megoldás. Alkalmazzuk a () képletet, majd felírjuk: x n = ( ) arcsin n + π, n. Továbbá: x n = π x ( ) +π n π n; = ( ) +π n; 6 6 x n + = ( ) π +π n; x n + = ( ) π + π n. 6 n + π Felelet: ( ) + π n, n. ) Átírjuk az adott egyenletet a következőképpen: sin x π π =. Ekkor sin x ; = π n x = ( ) arcsin + πn, n ;

94 6. A sin x = b és tg x = b egyenletek 9 π n π n π π x = ( ) + πn; x = ( ) + + π n; n π π πn x = ( ) n π π πn Felelet: ( ) + +, n. 9 9 ª ª Mivel az y = tg x függvény értékkészlete az, halmaz, ezért a tg x = b egyenletnek bármilyen b esetén lesz megoldása. Ahhoz, hogy megkapjuk a tg x = b egyenlet gyökeinek képletét, nézzük a függvény grafikus értelmezését. A 6.. ábrán az y = tg x és az y = b függvények grafikonjai láthatók. 6.. ábra Vizsgáljuk meg az y = tg x függvényt a π π ; intervallumon (a 6.. ábrán lévő görbe piros színnel jelölt része), vagyis a függvény periódusával egyenlő szakaszon. Ezen az intervallumon a tg x = b egyenletnek bármilyen b esetében csak egy a megoldása lesz. Mivel az y = tg x függvénynek a periódusa p, ezért a tg x = b egyenlet minden gyöke pn-nel, ahol n. különbözik az adott gyöktől. Ezért a tg x = b egyenlet gyökeinek képlete a következő képlettel adható meg: x = a + pn, n. A kapott képlet alapján megállapíthatjuk, hogy az a gyöknek különleges szerepe van: ennek ismeretében meg lehet határozni a tg x = b egyenlet többi gyökét is. Az a gyöknek speciális neve van, az arkusz tangens. Definíció. A b szám arkusz tangensének azt a π π ; intervallumon vett a számot nevezzük, melynek tangense b-vel egyenlő.

95 94.. Trigonometrikus függvények A b szám arkusz tangensét az arctg b-vel jelöljük. Például arctg = π, mivel π π π π ; és tg = ; π π arctg( ) =, mivel π π π 4 ; és tg. 4 = 4 π π Általánosítva, arctg b = a, ha α ; és tg a = b. Most már felírhatjuk a tg x = b egyenlet gyökeinek képletét: x = arctg b+ πn, n A következő egyenlőség is igaz: arctg ( b) = arctg b.. f e l a d a t. Oldjuk meg az egyenletet: tg x =.! Megoldás. x = arctg ( ) + π k, k ; π π x = + π k; x = + πk. π Felelet: + π k, k.?. A b mely értékénél lesznek gyökei a sin x = b egyenletnek?. Mit nevezünk arcsin b-nek?. Írd fel a sin x = b, ahol b m.egyenlet gyökeinek képletét! 4. Írd fel a sin x = ; sin x = 0; sin x = egyenletek gyökeinek képleteit! 5. A b mely értékénél lesznek gyökei a tg x = b egyenletnek? 6. Mit nevezünk arctg b-nek? 7. Írd fel a tg x = b egyenlet gyökeinek képletét! GYAKORLATOK 6.. Oldd meg az egyenletet: ) sin x = ; ) sin x = ; 6.. Oldd meg az egyenletet: ) sin x = ; ) sin x = ; ) sin x = ; 4 ) sin x = 5 ; 4) sin x =!. 4) sin x =,5!

96 6. A sin x = b és tg x = b egyenletek Oldd meg az egyenletet: x ) sin = ; ) sin 5x = ; ) sin( 8x ) =.! Oldd meg az egyenletet: x x ) sin x = ; ) sin = 0; ) sin =.! Oldd meg az egyenletet: ) tg x = ; ) tg x = ; 6.6. Oldd meg az egyenletet: ) tg x = ; ) tg x = ; 6.7. Oldd meg az egyenletet: ) tg x = ; 4) tg x = 5! ) tg x = ; 4) tg x =! x 7x ) tg x = ; ) tg = ; ) tg. =! Oldd meg az egyenletet: tg 5 x = 0.! 6.9. Oldd meg az egyenletet: π x ) sin x ; = ) sin ; 6 + = π ) sin ; x 8 = 4) sin π 0 x =! 6.0. Oldd meg az egyenletet: π ) sin ; 8 8 x = x ) sin =! 6.. Oldd meg az egyenletet: π ) tg x ; = ) tg ( x) =! 6.. Oldd meg az egyenletet: π ) tg x + = ; ) tg( x + ) = 0.! Határozd meg az egyenlet legkisebb pozitív gyökét: π sin x +. = 4! 6.4. Határozd meg az egyenlet legnagyobb negatív gyökét: π sin x. 5 =!

97 96.. Trigonometrikus függvények 6.5. π Határozd meg a sin x, = egyenletnek azokat a gyökeit, amelyek a π; π. intervallumhoz tartoznak! 6.6. A sinx = egyenlet gyökei közül, hány lesz eleme a π π ;?intervallumnak? 6.7. A tg 4x = egyenlet gyökei közül hány lesz eleme a [0; p] intervallumnak? 6.8. x Határozd meg a tg =, egyenlet gyökeinek összegét, amelyek a π; π.intervallumhoz tartoznak! ISMÉTLŐ GYAKORLATOK 6.9. Oldd meg az egyenletet: ) x x = ; ) x+ 4 x 5 = x + ; ) + 4x x + = x; 4) x + = 5 + x.! 5 + x 7. Algebrai egyenletekké alakítható trigonometrikus egyenletek A 5. és 6. pontokban olyan képleteket kaptunk, melyek segítségével megoldhatók a cos x = a, sin x = a, tg x = a alakú egyenletek. Ezeket egyszerű trigonometrikus egyenleteknek nevezzük. Különböző módszerek alkalmazásával sok összetett trigonometrikus egyenlet átalakítható egyszerű trigonometrikus egyenletekké.. f e l a d a t. Oldjuk meg a cos x 5cos x+ = 0. egyenletet! Megoldás. Hajtsuk végre a cos x = t helyettesítést. Ekkor az adott egyenlet átalakul t 5t + = 0 alakú egyenletté. Innen t =, t =. Mivel cos x m, ezért a cos x = egyenletnek nincsenek gyö-

98 7. Algebrai egyenletekké alakítható trigonometrikus egyenletek 97 kei. Tehát az eredeti egyenlet egyenértékű a cos x =. egyenlettel. π Végül a következőt kapjuk: x =± + πn, n. π Felelet: ± + πn, n.. f e l a d a t. Oldjuk meg a sin x cos x = egyenletet! Megoldás. A cos x = sin x képlet alkalmazásával átalakítjuk az eredeti egyenletet: sin x ( sin x) = 0; 6 sin x + sin x 5 = 0. Legyen sin x = t. A következő másodfokú egyenletet kapjuk: 6t 5 + t 5 = 0. Innen t =, t =. 6 Tehát az adott egyenlet a következő egyenletekkel lesz egyenértékű: sin x =, 5 sin x =. 6 π x = + πn, Ebből: n 5 x = ( ) arcsin + πn, n. 6 π n 5 Felelet: + πn, ( ) arcsin + π n, n. 6. f e l a d a t. Oldjuk meg a tg x + =. egyenletet! cos x Megoldás. Mivel az = + tg x, ezért az adott egyenletet cos x át lehet alakítani ilyen alakúvá: tg x+ ( + tg x) =. Innen tg x+ tg x = 0. Legyen tg x = t. Ebből: t + t = 0. Akkor t =, t =. Tehát az adott egyenlet a következő egyenletekkel lesz egyenértékű: tg x =, tg x =.

99 98.. Trigonometrikus függvények π x n Ebből: = + π, 4 x = arctg + πn, n. Felelet: π + πn, arctg + pn, n. 4 GYAKORLATOK 7.. Oldd meg az egyenletet: ) sin x + sin x = 0; ) sin x + sin x = 0; ) cos x 5 cos x = 0; 4) tg x tg x = 0.! 7.. Oldd meg az egyenletet: ) sin x sin x + = 0; ) 4 tg x tg x = 0; ) cos x x x cos x = 0; 4) cos + 5cos = 0.! Oldd meg az egyenletet: ) sin x cos x = 0; ) 4 cos x sin x = 0! ) sinx+ cos x = 0; 7.4. Oldd meg az egyenletet: ) sin x + cos x = 0; ) cos 4x sin 4x = 0! ) sinx cos x = 0; 7.5. Oldd meg az egyenletet: ) 6cos x+ 5sin x 7 = 0; 5) cos x + sin x = 0; ) sin x + 7 cos x + = 0; x x 6) cos 5cos = 0; ) cos x = + 4 cos x; x 7) cos + cos x = 0; 4) cosx cos x cos x = 0; 8) cosx 4 cos x+ 4 = 0.! 7.6. Oldd meg az egyenletet: ) 4 sin x + 8 cos x + = 0; 4) cos x + sin x = cos x; ) cos x = + sin x; x x 5) 5sin cos + = 0; 6 ) cos x + 8 sin x = ; x 6) cosx + sin = 0! Oldd meg az egyenletet: ) 8 sin x + 4 sin 6x = 5; ) tg x + 4 cos x = 7!

100 7.8. Oldd meg az egyenletet: Légy te is Osztrohradszkij! 99 ) cos 4x 6 cos x + = 0; ) tg x + = cos! x ISMÉTLŐ GYAKORLATOK 7.9. Hasonlítsd össze a számokat: ) és 47; ) és ; ) 5 5 és 5; 4) Oldd meg az egyenletet: ) 6x 4x = 0; ) x 5 + x 4 + 8x + 6 = 0; ) x 5x + 9x 45 = 0; 4) x x + x = 0! és 5.! LÉGY TE IS OSZTROHRADSZKIJ! Az ismert ukrán matematikus, Mihajlo Vasziljovics Osztrohradszkij Pasenyivka faluban született Poltava megyében között a harkivi egyetemen tanult, aztán Franciaországban folytatta matematikai tanulmányait. A francia fővárosban a matematika olyan korifeu sainak az előadásaira járt, mint Pierre-Simon Laplace (749 87), Siméon Denis Poisson (78 840), Augustin Louis Cauchy ( ), Jean-Baptiste Joseph Fourier (768 80). Hatalmas tudományos örökséget hagyott maga után Mihajlo Osztrohradszkij. Ezek között nagy jelentősége van a trigonometrikus sorok és hullámok vizsgálatának. Sok fontos tétel ma is Osztrohradszkij nevét viseli. A tudományos munkák mellett a kiváló tudós sok tankönyvet is írt az ifjúság számára. Ezek között a legismertebb a Trigonometria program és jegyzet című műve. A trigonometria oktatásának módszertanát annyira fontosnak vélte, hogy erről tartotta akadémiai székfoglalóját is. Osztrohradszkij tudományos teljesítménye olyan jelentős volt, hogy azokban az időkben a fiatalokat Légy te is Osztrohradszkij! útravalóval küldték tanulni. Ez a jókívánság ma is nagyon aktuális, ezért: Légy te is Osztrohradszkij! Mihajlo Vasziljovics Osztrohradszkij (80 86)

101 00.. Trigonometrikus függvények! A.. ÖSSZEFOGLALÁSA A szög ívmértéke Az egy radián mértékű szögnek azt a középponti szöget nevezzük, amely egy olyan ívre támaszkodik, melynek hossza a kör sugarával egyenlő. A szög ívmértéke (radián) és fokmértéke (fok) közötti összefüggés: 80 rad =, = π π rad. 80 Az elforgatási szög koszinusza, szinusza és tangense Az a elforgatási szög koszinuszának (szinuszának) az egységkör azon P (x; y) pontjának x abszcisszáját (y ordinátáját) nevezzük, melyet a P 0 (; 0) pontnak az origó körüli a szöggel történő elforgatása után kapunk. cos α sin α Az a elforgatási szög tangensének a szög szinuszának és koszinuszának arányát nevezzük: tg α =. sin α cos α A trigonometrikus függvények előjelei y sin α x y cos α x y tg α x

102 Periodikus függvények A.. összefoglalása 0 Az f függvényt periodikusnak nevezzük, ha létezik egy olyan T 0 szám, hogy az f függvény értelmezési tartományának bármely x értére teljesülnek a következő egyenlőségek: f (x T) = f (x) = f (x + T). A T számot az f függvény periódusának nevezzük. Ha az f függvénynek az összes periódusa között létezik legkisebb pozitív periódus, akkor ezt az f függvény fő periódusának nevezzük. Az azonos argumentumú trigonometrikus függvények közötti összefüggések sin a + cos a = ; + tg α =. cos α Addíciós (összegzési) képletek cos (a b) = cos a cos b + sin a sin b; cos (a + b) = cos a cos b sin a sin b; sin (a b) = sin a cos b cos a sin b; sin (a + b) = sin a cos b + cos a sin b; tg α tg β tg ( α β) = ; + tgα tg β tg α + tg β tg ( α+ β) =. tgα tg β Visszavezetési képletek Ahhoz, hogy felírjuk bármelyik visszavezetési képletet, a következő szabályokat kell alkalmazni: ) az egyenlőség jobb oldalának előjele megegyezik a bal oldal előjelével, ha 0 < α < π ; ) ha a bal oldalon az argumentum π α ± vagy π ± α,alakú, akkor a szinusz nevét koszinuszra, a koszinuszét pedig szinuszra kell cserélni. Ha a jobb oldalon az argumentum p ± a alakú, akkor a függvény nevét nem kell változtatni.

103 0.. Trigonometrikus függvények A kétszeres argumentumú trigonometrikus függvények képletei cos a = cos a sin a = cos a = sin a; sin a = sin a cos a; tg α tg α =. tg α Az arkusz koszinusz, arkusz szinusz és arkusz tangens A b szám arkusz koszinuszának, ahol b m, azt a [0; p] intervallumon vett a számot nevezzük, melynek koszinuszértéke b-vel egyenlő. A b szám arkusz szinuszának, ahol b m, azt a π π ;,intervallumon vett a számot nevezzük, amelynek szinuszértéke b-vel egyenlő. A b szám arkusz tangensének azt a π π ;,intervallumon vett a számot nevezzük, melynek tangense b-vel egyenlő. Az egyszerű trigonometrikus egyenletek megoldása Egyenlet Az egyenlet gyökeinek képlete cos x = b, b m x = ±arccos b + pn, n sin x = b, b m x = ( ) n arcsin b + pn, n tg x = b x = arctg b + pn, n

104 A DERIVÁLT ÉS ALKALMAZÁSA.. Ebben a paragrafusban megismerkedtek a függvény deriváltjának fogalmával; megtanuljátok alkalmazni a deriváltat a függvények vizsgálata, illetve a függvénygrafikon megrajzolása során. 8. A pillanatnyi sebességről és a függvénygrafikon érintőjéről szóló feladatok Ha a függvény egy reális folyamat matematikai modellje, akkor gyakran válik szükségessé az adott függvény két értéke közötti különbségének a meghatározása. Jelöljük például f (t)-vel, illetve f (t 0 )-val a t 0 időponttól t-ig felhalmozódott bankbetét összegét. Akkor az f (t) f (t 0 ) különbség, ha t > t 0, azt a hasznot mutatja, melyre a betét tulajdonosa tesz szert t t 0 idő alatt. Vizsgáljuk meg az y = f (x) függvényt. Legyen x 0 az f függvény értelmezési tartományának egy rögzített pontja. Ha az x az f függvény értelmezési tartományának egy olyan pontja, hogy x x 0, akkor az x x 0 különbséget az argumentum x 0 pontbeli növekményének nevezzük, és Dx-szel jelöljük (így olvassuk: delta iksz). Adott, hogy Dx = x x 0. Innen x = x 0 + Dx. Azt mondjuk, hogy az argumentum kapott egy Dx növekményt az x 0 pontban. Megjegyezzük, hogy az argumentum növekménye lehet pozitív és negatív is: ha x > x 0, akkor Dx > 0; ha x < x 0, akkor œx < 0. Ha az argumentum az x 0 pontban kap egy Dx növekményt, akkor az f függvény értéke a következő mennyiséggel fog megváltozni: f (x 0 + Dx) f (x 0 ). Ezt a különbséget az f függvény x 0 pontbeli növekményének nevezzük és Df-fel jelöljük (így olvassuk: delta ef). Ezt kaptuk: Df = f (x 0 + Dx) f (x 0 ) vagy Df = f (x) f (x 0 ). Bankbetét az a pénzösszeg, amelyet a betétes átad a banknak megőrzésre, és a bank erre bizonyos kamatot fizet a betétesnek. Az f függvény x 0 pontbeli növekményéről itt és a későbbiekben is feltételezzük, hogy bármilyen (x 0 e; x 0 + e) alakú intervallumon az f függvény értelmezési tartományában az x 0 ponton kívül más pontok is lesznek.

105 04.. A derivált és alkalmazása Az y = f (x) függvény növekményét Dy-nak is szokás jelölni, ekkor Dy = f (x) f (x 0 ) vagy Dy = f (x 0 + Dx) f (x 0 ). Az argumentum x 0 pontjának Dx növekményét, valamint az ennek megfelelő függvény Df növekményét a 8.. ábra szemlélteti. 8.. ábra Megjegyezzük, hogy egy rögzített x 0 pont esetén az f függvény x 0 pontbeli növekménye a Dx argumentumú függvény lesz. Feladat. Határozzuk meg az y = x függvény x 0 pontbeli növekményét, ha az argumentum Dx-szel változik. Megoldás. y = ( x + x) x = x + x x+ x x = x x+ x. 0 Felelet: x 0 x+ x A pillanatnyi sebességről szóló feladat Egy gépkocsi az egyenes vonalú útszakaszon egy adott irányban óra alatt 0 km-t tett meg. Ekkor a gépkocsi átlagsebessége 0 v atl. = = 60 (km/ó). Az adott mennyiség nem ad teljes képet a gépkocsi mozgásáról: az egyik szakaszon lehet, hogy gyorsabban ment, egy másikon pedig lehet, hogy állt. Ezzel egyidejűleg a gépkocsi sebeségmérője minden pillanatban mutat valamilyen értéket: ez a jármű sebessége az adott pillanatban. A pillanatnyi sebesség jobban jellemezi a gépkocsi mozgását, mint az átlagsebesség. Megvizsgálunk egy olyan feladatot, amely az adott pillanatban határozza meg az egyenletesen gyorsuló test sebességét. A feladat feltétele szerint egy anyagi pont a számegyenesen mozog, és az elindulásától számított t idő múlva a koordinátája s (t) lesz. Az így megadott y = s (t) függvény segítségével meghatározhatjuk az anya- 0 0

106 A pillanatnyi sebességről szóló feladat 05 gi pont pillanatnyi helyzetét. Ezt a függvényt a pont mozgástörvényének nevezzük. Fizikából már jól ismeritek, hogy az egyenes vonalú egyenletesen at gyorsuló mozgás képlete: s() t = s0 + v0t +, ahol az s 0 a pont koordinátája a mozgás kezdetén (ha t = 0), v 0 a kezdősebesség, a pedig a gyorsulás. Például legyen s 0 = 0, v 0 = m/mp, а = m/mp. Ekkor s (t) = t + t. Rögzítünk egy adott t 0 időpontot és a t 0 argumentumnak adunk egy Dt növekményt, vagyis megvizsgáljuk a t 0 és a t 0 + Dt közötti időintervallumot. Ez alatt az idő alatt az anyagi pont Ds elmozdulást végez. Ekkor: s = s( t0 + t) s( t0) = ( t0 + t) + ( t0 + t) t0 + t0 s( t0 + t) ( ) = s( t0 ) = t + t t+ t + t + t t t = t t+ t+ t A mozgás átlagsebessége v átl. (Dt) a t 0 és a t 0 + Dt közötti időintervallumban egyenlő a s.hányadossal. A következőt kapjuk: t s t t + t + t = = t0 + + t, vagy v t t átl. (Dt) = t Dt. Az átlagsebesség v átl. (Dt) jelölése azt jelenti, hogy az adott y = s (t) mozgásnál a rögzített t 0 -nál az átlagsebesség csak a Dt értékétől függ. Ha elég kis időintervallumot vizsgálunk a t 0 -tól a t + Dt-ig, akkor 0 a gyakorlati okoskodásból adódik, hogy a v átl. (Dt) értékei nagyon kicsit különböznek majd egymástól, vagyis a v átl. (Dt) lényegében nem változik. Minél kisebb a Dt értéke, annál közelebb áll az átlagsebesség értéke egy bizonyos számhoz, ami a t 0 pillanatban lévő sebességet adja meg. Más szóval, ha a Dt értéke a nullához közelít (így jelölik Dt 0), akkor a v átl. (Dt) értéke a v(t 0 ) számhoz tart. A v(t 0 ) számot a test t 0 időpontbeli pillanatnyi sebességének nevezzük. Ezt így írjuk át: v( t ) = lim v atl. ( t). Azt mondjuk, hogy a v (t 0 ) lesz a v átl. (Dt) függvény 0 0 t 0 határértéke, ha Dt 0. Ha az adott példában a Dt 0, akkor a t Dt közelíteni fog a t 0 + számhoz, amely a v (t 0 ) pillanatnyi sebesség értéke lesz, vagyis v( t ) = lim ( t + + t) = t +. 0 t 0 0 0

107 06.. A derivált és alkalmazása Ez a példa azt mutatja, hogy amikor az anyagi pont mozgását az y = s (t) képlet írja le, akkor a t 0 időpontban a sebességét a következő képlet alapján határozzuk meg: v( t ) = lim v atl. ( t), vagyis 0 t 0 s s t t s t v( t ) lim lim ( 0 + ) ( 0 ) 0 = = t 0 t t 0 t A függvénygrafikon érintőjéről szóló feladat Már ismert, hogy azt az egyenest, amelynek a körvonallal csak egy közös pontja van, érintőnek nevezzük. Ugyanakkor ez a meghatározás tetszőleges görbére már nem alkalmazható. Például az y = x parabolának és az ordinátatengelynek is csak egy közös pontja lesz (8.. ábra), de ezt mégsem tekinthetjük az adott görbe érintőjének. Ezzel együtt, az algebrában már gyakran találkozhattunk azzal, hogy az y = x parabolát az abszcisszatengely az x 0 = 0 pontban érinti. Pontosítjuk a függvénygrafikonhoz húzott érintőről alkotott elképzelésünket. 8.. ábra Legyen M az y = x parabola egy tetszőleges pontja. Meghúzzuk az OM szelőt (8.. ábra). Elképzeljük, hogy az M pont a parabolán mozogva az O pont felé tart. Ekkor az OM szelő az O pont körül elfordul. Az OM egyenes és az abszcisszatengely közötti szög egyre kisebb lesz és az OM szelő közelít az abszcisszatengelyhez. Ezért az abszcisszatengelyt az y = x parabola O pontba húzott érintőjének tekintjük. 8.. ábra 8.4. ábra

108 A függvénygrafikon érintőjéről szóló feladat 07 Vizsgáljuk meg egy tetszőleges f függvény grafikonját és az M 0 (x 0 ; f (x 0 )) pontot. Az x 0 pontban az argumentumnak egy Dx növekményt adunk, és megvizsgáljuk a grafikon M (x; f (x)) pontját, ahol x = x 0 + Dx (8.4. ábra). Az ábráról leolvasható, hogy egyre kisebb Dx esetén az M pont a grafikonon mozogva közelít az M 0 ponthoz. Ha a Dx 0, az M 0 M szelő közelít egy adott egyeneshez (a 8.4. ábrán ez az M 0 T egyenes), akkor ezt az egyenest az f függvény M 0 pontbeli érintőjének nevezzük. Legyen y = kx + b az M 0 M szelő egyenlete, amely az abszcisszatengellyel pozitív a szöget zár be. Mint ismert, az M 0 M egyenes k iránytényezője egyenlő tg a-val, vagyis k = tg a. Látható, hogy MM 0 E = a (8.4. ábra). Ekkor az MM 0 E háromszög alapján felírhatjuk, hogy: ME f tg α= =. ME x Bevezetjük a következő jelölést: a k szelő (Dx) az M 0 M szelő iránytényezője lesz, ezzel is aláhúzva, hogy az adott f függvényre és az adott x 0 pontra az M 0 M szelő iránytényezője csak a Dx növekménytől függ. f Ezt kaptuk: kszelo ( x) =. x Legyen az M 0 T érintő és az abszcisszatengely pozitív iránya közötti szög β (β 90 ). Ekkor a k(x 0 ) iránytényezője tg β-val lesz egyenlő. Természetesnek vehetjük, hogy minél kisebb a Dx, annál kisebb a metsző egyenes iránytényezője és az érintő iránytényezője közötti eltérés. Másképpen fogalmazva, ha Dx 0, akkor a k szelő (Dx) k (x 0 ). Általában, az f függvény x 0 abszcisszájú pontjába húzott érintő iránytényezőjét a következő képlettel határozzuk meg k( x ) = lim k ( x), 0 0 vagyis x 0 szelo f f x x f x k( x ) lim lim ( 0 + ) ( 0 ) 0 = = x 0 x x 0 x?. Mit nevezünk a függvény növekményének?. Milyen képlettel határozzuk meg a pillanatnyi sebességet?. Milyen képlettel határozzuk meg a függvény görbéjéhez húzott érintő iránytényezőjét?

109 08.. A derivált és alkalmazása GYAKORLATOK 8.. Határozd meg az f függvény növekményét az x 0 pontban, ha: ) f (x) = x, x 0 =, Dx = 0,; ) f (x) = x x, x 0 =, Dx = 0,! 8.. Határozd meg az f függvény növekményét az x 0 pontban, ha: ) f (x) = 4 x, x 0 =, Dx = 0,; ) f (x) = 0,5x, x 0 =, Dx = 0,8! 8.. Határozd meg az f (x) = x x függvény Df növekményét az x 0 pontban, az x 0 és az x által, ha: ) x 0 =, x =,5; ) x 0 =, x =! 8.4. Határozd meg az f (x) = x függvény Df növekményét az x 0 pontban, az x 0 és az x által, ha x 0 = 0,5, x = 0,4! 8.5. Az adott f (x) = x x függvénynek és az x 0 pontnak határozd meg a f f és lim. értékeit! x x 0 x 8.6. Az adott f (x) = 5x + függvénynek és az x 0 pontnak határozd meg a f f és lim. értékeit! x x 0 x 8.7. Az anyagi pont mozgását a számegyenesen az s (t) = t + képlet írja le (az elmozdulást méterekben, az időt másodpercekben mérjük). Határozd meg a pont pillanatnyi sebességét, ha a t 0 = mp! 8.8. A test mozgását a számegyenesen az s (t) = 5t képlet írja le (az elmozdulást méterekben, az időt másodpercekben mérjük). Határozd meg: ) a test átlagsebességét a t 0 = mp és a t = mp közötti időintervallumban; ) határozd meg a test pillanatnyi sebességet a t 0 = mp időpontban! FELKÉSZÜLÉS AZ ÚJ TÉMÁRA π 8.9. Adott, hogy tg a = és α 0;. Határozd meg az a értékét! π 8.0. Adott, hogy tg a = és α π ;. Határozd meg az a értékét! 9. A derivált fogalma Az előző pontban a pont pillanatnyi sebességének és az érintő iránytényezőjének meghatározásakor ugyanahhoz a matematikai modellhez jutottunk: a függvény növekménye és az argumentum növek-

110 9. A derivált fogalma 09 ménye arányának határértékéhez, amikor az argumentum növekménye a nullához tart: s v( t0 ) = lim, () t 0 t f k( x0 ) = lim. () x 0 x Hasonló képleteket kapunk több fizikai, kémiai, biológiai, gazdasági feladatok megoldása során is. Ez arról tanúskodik, hogy a vizsgált modell különleges figyelmet érdemel. Érdemes nevet adni neki, jelölést bevezetni rá, tanulmányozni a tulajdonságait és megtanulni az alkalmazását. D ef i n íció. Az f függvény x 0 pontbeli deriváltjának azt a számot nevezzük, amely egyenlő az f függvény x 0 pontbeli növekménye és az argumentum növekménye arányának határértékével, amikor az argumentum növekménye a nullához tart. Az y = f (x) függvény x 0 pontbeli deriváltját f ( x0 )-val jelöljük (így olvassuk: ef vessző az iksz nulla) vagy y ( x0 ). Ezt így lehet felírni: vagy f x + x f x f ( x ) = lim ( 0 ) ( 0 ) 0 x 0 x f ( x ) = lim 0 x 0 A pillanatnyi sebesség meghatározása alapján () az alábbi következtetést vonhatjuk le: ha az y = s (t) a számegyenesen mozgó anyagi pont mozgásának szabálya, akkor a pillanatnyi sebessége az adott t 0 időpontban egyenlő az y = s (t) függvény t 0 pontbeli deriváltjával, vagyis v( t ) = s ( t ) 0 0 Ez az egyenlőség fejezi ki a derivált mechanikai értelmezését. Az érintő iránytényezőjének meghatározása alapján () az alábbi következtetésre jutunk: az f függvény x 0 abszcisszájú pontjába húzott érintő iránytényezője egyenlő lesz az f függvény x 0 pontbeli deriváltjának az értékével, vagyis k( x ) = f ( x ) 0 0 Ez az egyenlőség fejezi ki a derivált geometriai értelmezését. Ha az f függvénynek az x 0 pontban van deriváltja, akkor az ilyen függvényt az x 0 pontban differenciálhatónak mondjuk. Ha az f függvény differenciálható az értelmezési tartomány minden pontjában, akkor azt differenciálható függvénynek nevezzük. f x

111 0.. A derivált és alkalmazása Az f függvény deriváltjának meghatározását az f függvény differenciálásának nevezzük.. f e l a d a t. Differenciáljuk az f (x) = kx + b függvényt! Megoldás. Meghatározzuk az f függvény x 0 pontbeli deriváltját, ahol az x 0 az f függvény értelmezési tartományának egy tetszőleges pontja. ) Df = f (x 0 + Dx) f (x 0 ) = (k (x 0 + Dx) + b) (kx 0 + b) = kdx; ) f k x = = k; x x f ) az f ( x0 ) = lim = lim k = k. x 0 x x 0 Tehát f ( x0 ) = k. Mivel az x 0 az f függvény értelmezési tartományának bármilyen pontja, ezért az utóbbi egyenlőség azt jelenti, hogy bármilyen x számra teljesül az f ( x) = k. egyenlőség. Az utóbbi képletből azt a következtetést vonhatjuk le, hogy az f (x) = kx + b függvény deriváltja egyenlő k-val, amit az alábbi képlettel írhatunk le: ( kx + b) = k () Ha a () képletbe behelyettesítjük a k = és b = 0 értékeket, akkor a következőt kapjuk: ( x ) = Ha a () képletbe behelyettesítjük a k = 0 értéket, akkor a következőt kapjuk: ( b ) = 0 Az utóbbi egyenlőség azt jelenti, hogy a konstans függvény deriváltja minden pontban nullával lesz egyenlő.. f e l a d a t. Differenciáljuk az f (x) = x függvényt! Megoldás. Meghatározzuk az f függvény x 0 pontbeli deriváltját, ahol az x 0 az f függvény értelmezési tartományának egy tetszőleges pontja. ) Df = f (x 0 + Dx) f (x 0 ) = (x 0 + Dx) x 0 = x 0 Dx + Dx ; ) f x x x = 0 + = x0 + x; x x ) ha a Dx 0, akkor bármely x 0 értékre a x 0 + Dx értéke a x 0 -hoz tart. Tehát f ( x ) = lim ( x + x) = x. 0 x Mivel az x 0 az f (x) = x függvény értelmezési tartományának tetszőleges pontja, ezért az utóbbi egyenlőség azt jelenti, hogy bármely x számra teljesül az f ( x) = x. egyenlőség. Az utóbbi egyenlőséget a következőképpen írhatjuk át: ( x ) = x (4)

112 9. A derivált fogalma A (4) képlet a következő általános képletnek egy külön esete: n n ( x ) = nx, n, n > (5) Például ( x ) = 5x, ( x ) = 7x. Az (5) képlet igaz lesz bármely n és x 0 esetén, vagyis n n ( x ) = nx, n (6) Például a (6) képlet alkalmazásával az f( x) =. függvény deriváltjának meghatározására a következőt kapjuk: x = ( x ) = x = x =. x x Tehát bármely x 0 esetében alkalmazható a következő egyenlőség: f ( x) = x vagy x = x A (6) képlet általánosítható tetszőleges r és x > 0 esetére is: r r ( x ) = rx, r (7) Például az f( x) = x, függvény deriváltját is meghatározhatjuk a ( ) = ( ) = = = (7) képlettel. Ekkor: x x x x x > 0, akkor felírhatjuk: f ( x) = x ( ) = x vagy x. Tehát, ha x n Általánosítva, az f( x) = x, n, n > függvény deriváltját a következő képlettel lehet meghatározni: n ( x) = (8) n n n x Ha az n páratlan természetes szám, akkor a (8) képlettel meghatározhatjuk az f függvény deriváltját minden x értékre, ha x 0. Ha az n páros természetes szám, akkor a (8) képlettel meghatározhatjuk az f függvény deriváltját minden pozitív x értékre.

113 .. A derivált és alkalmazása Visszatérünk az y = sin x és y = cos x trigonometrikus függvényekhez. Ezek a függvények differenciálhatók, és a deriváltjaikat a következő képletekkel lehet kiszámítani: (sin x) = cos x (cos x) = sin x A derivált kiszámítása során érdemes használni a. előzéken lévő deriváltak táblázatát. GYAKORLATOK 9.. Határozd meg a függvény deriváltját: ) y = 5x 6; ) y = 9; ) y = 8 x! 9.. Határozd meg a függvény deriváltját: ) y = x 4 ; ) y = x 5 ; ) y = 7 x 4) y x 5.! 9.. Határozd meg a függvény deriváltját: = ) y = x 0 ; ) y = 8 x ; ) y x 6 ; 4) y = x 0,! 9.4. Számítsd ki a függvény deriváltját az x 0 pontban: = 7 ) f (x) = sin x, x 0 = π ; ) f( x) = x, x 0 =.! Számítsd ki a függvény deriváltját az x 0 pontban: ) f( x) = x, x 0 = 9; ) f (x) = cos x, x 0 = π.! Differenciáld a függvényt: ) y = x; ) y = x ; ) y 9.7. Differenciáld a függvényt: = ; 4) y x ) y = x; ) y = x ; ) y =! 7 x =.! 8 5 x 9.8. Határozd meg annak az érintőnek az iránytényezőjét, amely az f függvényt x 0 abszcisszájú pontjában érinti: ) f (x) = x, x 0 = ; ) f( x) =, x x 0 = ; ) f( x) = x, x 0 = 4; 4) f (x) = sin x, x 0 = 0!

114 9. A derivált fogalma 9.9. Határozd meg annak az érintőnek az iránytényezőjét, amely az f függvényt x 0 abszcisszájú pontjában érinti: ) f (x) = x 4, x 0 = ; ) f( x) =, x x 0 = ; ) f( x) = x, x 0 = 7; 4) f (x) = cos x, x 0 = π.! 9.0. Az f függvény grafikonja alapján (9.. ábra) határozd meg az f ( x ) és f ( x ). értékét! a 9.. ábra b 9.. Az f függvény grafikonja alapján (9.. ábra) határozd meg az f ( x ) és f ( x ). értékét! a 9.. ábra 9.. Számítsd ki a függvény deriváltját az x 0 pontban: ) f( x) = x x, x 0 = 8; ) f( x) = x x, x 0 = 6; ) f( x) = x 4 x x, x 0 = ; 4) f( x) =, x 6 0 = 64! x 9.. Számítsd ki a függvény deriváltját az x 0 pontban: 4 ) f( x) = x x, x 0 = 56; ) f( x) = 8 x x, x 0 =! b

115 4.. A derivált és alkalmazása ISMÉTLŐ GYAKORLATOK 9.4. Hozd egyszerűbb alakra a kifejezést: a + a + a + a + a a a + +.! 8 ( 9) 9 + a Oldd meg az egyenletet: = 0.! x 4x + 4 x 4 x + 0. A derivált kiszámításának szabályai A deriváltszámításkor érdemes alkalmazni a következő tételeket. 0.. tétel (az összeg deriváltja). Ha az y = f (x) és az y = g (x) függvények differenciálhatók valamely pontban, akkor ebben a pontban az y = f (x) + g (x) függvény szintén differenciálható, és minden ilyen pontban teljesül a következő egyenlőség is: ( f ( x) + g( x)) = f ( x) + g ( x). Röviden: az összeg deriváltja egyenlő az összeadandók deriváltjainak összegével. Ezt rövidebben is fel lehet írni: ( f + g) = f + g A 0.. tétel tetszőleges véges számú összeadandóra kiterjeszthető: (f + f f n ) = f + f f n. 0.. tétel (a szorzat deriváltja). Ha az y = f (x) és az y = g (x) függvények differenciálhatók valamely pontban, akkor ebben a pontban az y = f (x) g (x) függvény szintén differenciálható, és minden ilyen pontban teljesül a következő egyenlőség is: (f (x) g (x)) = f (x) g (x) + g (x) f (x). Ezt rövidebben is fel lehet írni: ( fg) = fg + gf A tételek előirányozzák, hogy az f és g függvények differenciálhatók az x 0 pontban, és megfelelően az y = f (x) + g (x), az y = f (x) g (x) és az f ( x) y = g ( x) függvények értelmezve vannak az x pontnak valamely környezetében. 0

116 0. A derivált kiszámításának szabályai 5. következmény. Ha bizonyos pontokban differenciálható az y = f (x) függvény, akkor az y = kf (x) függvény is differenciálható lesz, ahol a k valamely szám, és minden ilyen pontban teljesül a következő egyenlőség: ( kf ( x)) = kf ( x). Röviden mondva: a konstans tényezőt ki lehet vinni a deriválás jele elé. Ezt rövidebben is fel lehet írni: ( kf) = kf Bizonyítás. Mivel az y = k függvény bármely pontban differenciálható, ezért alkalmazva a szorzat deriváltja tételt, felírhatjuk: ( kf ( x)) = ( k) f( x) + kf ( x) = 0 f( x) + kf ( x) = kf ( x).. következmény. Ha bizonyos pontokban az y = f (x) és az y = g (x) függvények differenciálhatók, akkor az y = f (x) g (x) függvény szintén differenciálható, és minden ilyen pontban teljesül a következő egyenlőség is: ( f ( x) g( x)) = f ( x) g ( x). Bizonyítás. A következőt kapjuk: ( f( x) g( x)) = ( f( x) + ( ) g( x)) = ( f( x)) + (( ) g( x)) = = f ( x) + ( ) g ( x) = f ( x) g ( x). 0.. tétel (a hányados deriváltja). Ha az x pontban az y = f (x) és az y = g (x) függvények differenciálhatók és ebben a pontban a g függvény nem egyenlő nullával, akkor az f x y = ( ) függvény szintén differenciálható, és teljesül a következő egyenlőség: g( x) f ( x) f ( x) g( x) g ( x) f ( x). g( x) = ( g( x)) Ezt rövidebben is fel lehet írni: f fg gf g = g Feladat. Határozzuk meg a következő függvény deriváltját: ) y = x+ 4x sin ; ) y = x ( 5x ); ) y = x x + cos x; 4) y =.! x x

117 6.. A derivált és alkalmazása Megoldás. ) Alkalmazzuk az összegre vonatkozó deriválási tétel és a szorzatra vonatkozó deriválási tétel következményeit, és a következőt kapjuk: = + y x x = x + x sin 4 (sin ) 4 ( ) = x x = cosx+ 4 x = cos x+ 8x. x x ) A szorzatra vonatkozó deriválási szabály alkalmazásával azt kapjuk, hogy: ( ) = ( ) + = y = x ( 5x ) x ( 5x ) ( 5x ) x 5x 5 5x + 0x + 5x = x ( 5x ) + 5 x = + = =. x x x x ) y = ( x cos x) = ( x ) cos x+ (cos x) x = = x cosx sin x x = x cosx x sin x. 4) A hányadosra vonatkozó deriválási szabály alkalmazásával azt kapjuk, hogy: = x + ( x + ) ( x ) ( x ) ( x + ) y = = x ( x ) 4x( x ) ( x + ) x 8x 6x 6x 8x = = =. ( x ) ( x ) ( x ) Alkalmazva a hányadosra vonatkozó deriválási szabályt könnyen igazolható, hogy (tg x) = cos x? Fogalmazd sin x (sin x) cos x (cos x) sin x Valóban, (tg x) = cos x = = cos x cosxcos x ( sin x)sin x cos x + sin x = = =. cos x cos x cos x meg: az ) összegre; ) szorzatra; ) hányadosra vonatkozó deriválási tételt! GYAKORLATOK 0.. Határozd meg a függvény deriváltját: ) y = x x 6 + 6x 0; ) y = 4x + 0 x;

118 0. A derivált kiszámításának szabályai ) y = x + 7x + ; x 5) y = tg x 9x; 4) y = 4 sin x 5 cos x; 6) y = x + x! 0.. Határozd meg a függvény deriváltját: ) y = x 5 x; ) y = sin x + cos x; ) y = x 4 x; 5 4) y = 04, x +.! 0.. Határozd meg a függvény deriváltját: ) y = (x + 5) (x ); ) y = ( x+ ) x; ) y = x sin x; 4) y = x cos x.! 0.4. Határozd meg a függvény deriváltját: ) y = (x ) (x + ); ) y = x 4 cos x; ) y = ( x+ 5 ) x; 4) y = x tg x! 0.5. Határozd meg a függvény deriváltját: x ) y = x + ; ) y x = x ; 5) y = ; 4+ xx 5 ) y = x ; 4) y x x 5x = ; 6) y = cos x x 7.! 0.6. Határozd meg a függvény deriváltját: x + 5 ) y = x 8 ; ) y x x = ; 5) y = 6x x + ; 7 ) y = 0x ; 4) y x = sin x + 6x ; 6) y = x x +.! 0.7. Mivel egyenlő az f függvény deriváltjának az értéke az x 0 pontban, ha: ) f( x) = x, x0 x = ; 4) f ( x ) = ( + x ) x, x 0 = 9; x ) f( x) = 5, x x + 0 = ; 5) f( x) = x 0 x, x 0 = ; x + ) f( x) = sin x, x x 0 = 0; 6) f (x) = x sin x, x 0 = 0? 0.8. Számítsd ki az f függvény deriváltjának az értékét az x 0 pontban: ) f( x) = x 6 x, x 0 = ; ) f (x) = x 4x, x 4 0 = ; cos x x x ) f( x) =, x x 0 = 0; 4) f( x) =, x x + 0 =! 0.9. A 4 kg tömegű anyagi pont mozgását a számegyenesen az s (t) = t + 4 törvény írja le (az elmozdulást méterekben, az időt másodpercben mérik). Határozd meg az anyagi pont P (t) = mv (t) impulzusát a t 0 = mp időpontban!

119 8.. A derivált és alkalmazása 0.0. A kg tömegű test mozgását a számegyenesen az s (t) = t 4t + törvény írja le (az elmozdulást méterekben, az időt mv () t másodpercben mérik). Határozd meg az E() t = megadott kinetikus energiát a t 0 = 4 mp időpontban! képlettel FELKÉSZÜLÉS AZ ÚJ TÉMÁRA 0.. Írd fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely az M ( ; ) pontra illeszkedik és párhuzamos az abszcisszatengellyel! 0.. Állítsd fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely az M (; 4) pontra illeszkedik, ha az egyenes iránytényezője: ) 4; ) 0; )!. Az érintő egyenlete Legyen az f függvény differenciálható az x 0 pontban. Akkor az f függvény grafikonjához az x 0 abszcisszájú pontba húzható egy nem függőleges érintő (.. ábra). A 9. osztályos mértan tananyagból már tudjátok, hogy a nem függőleges egyenes egyenlete y = kx + b alakú lesz, ahol k az egyenes iránytényezője. A derivált geometriai értelmezéséből következik: k = f ( x0 ). Ekkor az érintő egyenletét átírhatjuk a következő alakba: y = f ( x0 ) x+ b. () Ez az egyenes illeszkedik az M (x 0 ; f (x 0 )) pontra. Tehát ennek a pontnak a koordinátái kielégítik az () egyenletet. A következőt kapjuk: f( x0) = f ( x0) x0 + b. Innen b = f( x f 0) ( x0) x0. Ekkor az () egyenlet így írható át: y = f ( x x+ f x f 0) ( 0) ( x0) x0. Tehát, ha az f függvény differenciálható az x 0 pontban, akkor az érintő egyenlete, amely az f függvény x 0 abszcisszájú pontjára illeszkedik, a következő képlettel adható meg:.. ábra y = f ( x )( x x ) + f ( x ) 0 0 0

120 . Az érintő egyenlete 9 Feladat. Állítsuk fel az f (x) = 4x x egyenlettel megadott alakzat x 0 = abszcisszájú pontjához húzott érintőjének egyenletét! Megoldás. f( x0 ) = f ( ) = 4 ( ) ( ) = ; f ( x) = 4 6x; f ( x = 0) f ( ) = 4 6 ( ) = 8. Behelyettesítjük a meghatározott számot az érintő egyenletébe, és a következőt kapjuk: y = 8(x + ), vagyis y = 8x + 4.? Írjuk Felelet: y = 8x + 4. fel az f függvény x 0 abszcisszájú pontjához húzott érintőjének egyenletét! GYAKORLATOK.. Állítsd fel annak a függvénynek az egyenletét, melyet az f függvény x 0 abszcisszájú pontjába húzunk, ha: ) f (x) = x + x, x 0 = ; 4) f (x) = sin x, x 0 = 0; ) f( x) =, x 0 = ; 5) f (x) = cos x, x x 0 = p; x ) f( x) = 4 x, x 0 = 9; 6) f( x) =, x + x =! 0.. Állítsd fel annak a függvénynek az egyenletét, melyet az f függvény x 0 abszcisszájú pontjába húzunk, ha: ) f (x) = x x, x 0 = ; ) f (x) = cos x, x 0 = π ; ) f (x) = 0,5x x 4x x +, x 0 = 0; 4) f( x) =, x x 0 =!.. Írd fel az f (x) = x x függvény érintőjének az egyenletét az ordinátatengelyt metsző pontjában!.4. Írd fel az f (x) = x 5x + függvény érintőjének az egyenletét az ordinátatengelyt metsző pontjában!.5. Írd fel az f függvény érintőjének az egyenletét az abszcisszatengelyt metsző pontjában: ) f (x) = 8x ; ) f( x) = x.! x

121 0.. A derivált és alkalmazása.6. Írd fel az f függvény érintőjének az egyenletét az abszcisszatengelyt metsző pontjában: x ) f( x) = ; ) f (x) = x x! x + FELKÉSZÜLÉS AZ ÚJ TÉMÁRA.7. Oldd meg az egyenlőtlenséget: ) x + x > 0; ) 6x x l 0; ) x x 0 m 0; 4) x 5 x + 4 m 0.! x 6x + 9. A függvény növekedésének és csökkenésének (fogyásának) ismertetőjelei Már tudjátok, hogyha egy függvény konstans, akkor annak deriváltja nullával egyenlő. Felmerül a kérdés: ha az f függvény olyan, hogy az I intervallum minden x értékére teljesül az f ( x) = 0, akkor az f függvény konstans-e az I intervallumon?.. tétel (a függvény állandóságának ismertetőjele). Ha az I intervallum minden x értékére teljesül az f (x) = 0 egyenlőség, akkor az f függvény ezen az intervallumon konstans lesz. A.. ábrán az f (x) = x grafikonja látható. Ennek a függvénynek a következő tulajdonságai lesz- y nek: a ( ; 0) intervallumon a függvény csökkenő, a (0; + ) intervallumon pedig növekvő. Ebben az 0 x.. ábra esetben a ( ; 0) intervallumon az f ( x) = x deriváltja negatív értéket vesz fel, és a (0; + ) intervallumon a függvény pozitív értéket vesz fel. Ez a példa azt mutatja, hogy a függvény deriváltjának az előjele egy adott I intervallumon azzal kapcsolatos, hogy növekvő (csökkenő)-e az adott I intervallumon ez a függvény. A derivált előjele és növekedése (csökkenése) közötti kapcsolatot a következő két tétel határozza meg... tétel (a függvény növekedésének ismertetőjele). Ha az I intervallum minden egyes x elemére teljesül az f ( x) > 0, egyenlőtlenség, akkor az f függvény ezen az intervallumon növekvő... tétel (a függvény csökkenésének ismertetőjele). Ha az I intervallum minden egyes x elemére teljesül az f ( x) < 0, egyenlőtlenség, akkor az f függvény ezen az intervallumon csökkenő.

122 . A függvény növekedésének és csökkenésének ismertetőjelei. feladat. Határozzuk meg az f (x) = x x függvény növekedési (csökkenési) intervallumát! Megoldás. Az f ( x) = x. Megoldva a x > 0 és a x < 0 egyenlőtlenségeket, arra a következtetésre jutunk, hogy f ( x) > 0 az (; + ) intervallumon, és f ( x) < 0 a ( ; ) intervallumon. Tehát az f függvény növekvő az (; + ) intervallumon és csökkenő a ( ; ) intervallumon. A.. ábra az f (x) = x x függvény grafikonját szemlélteti. A rajzon látható, hogy az f függvény valóban növekvő az [; + ) intervallumon és csökkenő a ( ; ] intervallumon, az x = pontot is beleértve. A felelet felírásakor a következő szabályt fogjuk alkalmazni: ha a függvény differenciálható növekedési (csökkenési) intervallumának valamely végpontjá-.. ábra ban, akkor ezt a pontot is ezekhez az intervallumokhoz soroljuk. A fenti példában az f (x) = x x függvény differen ciálható az x = pontban, ezért ezt a pontot is hozzákapcsoljuk az (; + ) és a ( ; ) intervallumokhoz. Felelet: növekvő az [; + ) és csökkenő a ( ; ] intervallumon.. f e l a d a t. Határozzuk meg az f (x) = x + x 9x + függvény növekedési és fogyási intervallumait! Megoldás. Az f ( x) = x + 6x 9 = ( x+ )( x ). Megvizsgáljuk a derivált előjeleit (.. ábra) és figyelembe vesszük, hogy a függvény differenciálható az x = és az x = pontokban. Azt kaptuk, hogy az f függvény növekvő a ( ; ] és az [; + ) intervallumon és csökkenő a [ ; ] intervallumon... ábra?. Fogalmazd meg a függvény állandóságának ismertetőjelét!. Fogalmazd meg a függvény növekedésének ismertetőjelét!. Fogalmazd meg a függvény csökkenésének ismertetőjelét! GYAKORLATOK.. Határozd meg a függvény növekedésének és fogyásának intervallumait: ) f (x) = x + 4x 7; ) f (x) = x + 9x + x; ) f (x) = x x 4 + ; 4) f( x) = x 8x+ 9!. 4

123 .. A derivált és alkalmazása.. Határozd meg a függvény növekedésének és fogyásának intervallumait: ) f (x) = x + 6x 5; ) f (x) = x 4 + 4x 0; ) f (x) = x + x 9x; 4) f( x) = 8 4x x.!.. Határozd meg a függvény növekedésének és fogyásának intervallumait: 4 x ) f( x) = x x 7 ; ) f( x) = x + ; 5) f( x) = ; 4 x x + x + 5 ) f( x) = ; 4) f( x) = x + 9 x ; 6) f( x) =. x x x 9!.4. Határozd meg a függvény növekedésének és fogyásának intervallumait: ) f (x) = 9 + 4x x 4 x 9 x + 5x ; ) f( x) = ; ) f( x) =. x 5 x 4!.5. A.4. ábrán az f függvény deriváltjának grafikonja látható, amely differenciálható a valós számok halmazán. Nevezd meg az f függvény fogyási intervallumait!.4. ábra.5. ábra.6. A.5. ábrán az y = f (x) függvény grafikonja látható, amely a valós számok halmazán van értelmezve. A.6. ábrán látható függvények közül melyik lehet az y = f (x) függvény grafikonja! a b c d.6. ábra.7. Bizonyítsd be, hogy az f( x) = 6 x+ x x függvény csökkenő!.8. Bizonyítsd be, hogy az (x) = 0x 9x + 4x 90 függvény növekvő!

124 . A függvény extrémumpontjai ISMÉTLŐ GYAKORLATOK x Old meg az egyenletet + + =.! x + 4 x + 7x 4 x.0. Old meg az egyenlőtlenséget x 7 x > 0.!. A függvény extrémumpontjai Megismerkedve a függvény pontbeli differenciáljának fogalmával, ennek a pontnak a környékén vagy környezetében megvizsgáltuk a függvény viselkedését. Definíció. Az (a; b) intervallumot, amely tartalmazza az x 0 pontot, az x 0 pont környezetének nevezzük. Például a ( ; ) intervallum a,5 pont egyik környezete lesz. Ezzel együtt, viszont ez az intervallum nem környezete a -as pontnak. A.. ábrán két függvény grafikonja látható. A függvényeknek van egy közös sajátosságuk: létezik az x 0 pontnak egy olyan környezete, amelyben minden x-re ebből a környezetből teljesül az f( x0 ) l f( x). egyenlőtlenség... ábra.. ábra Definíció. Az x 0 pontot az f függvény maximumpontjának nevezzük, ha az x 0 pont valamely környezetének minden x elemére teljesül az f ( x0 ) l f ( x). egyenlőtlenség. Például az x 0 = π az y = sin x függvény maximumpontja lesz (.. ábra). Ezt így jelöljük: x max = π. A.. ábrán x max = x 0. Definíció. Az x 0 pontot az f függvény minimumpontjának nevezzük, ha az x 0 pont valamely környezetének minden x elemére teljesül az f ( x0 ) m f ( x). egyenlőtlenség.

125 4.. A derivált és alkalmazása Például az x 0 = π az y = sin x függvény minimumpontja lesz (.. ábra). Ezt így jelöljük: x min = π. A.. ábrán egy olyan függvény grafikonja látható, amelynek az x 0 pont a minimumpontja lesz, vagyis x min = x 0... ábra A függvény minimum- és maximumpontjait a függvény extrémumpontjainak (szélsőértékhelyeinek) nevezzük (a latin extremum szóból, amely valaminek a szélét, végét jelenti). A.4. ábrán az x, x, x, x 4, x 5, x 6 pontok extrémumpontok lesznek..4. ábra.5. ábra A.5. ábrán lévő f függvény grafikonja az [x ; x ] intervallumon állandó. Az x pont a maximumpontja, az x pont pedig a minimumpontja lesz, és az (x ; x ) intervallumhoz tartozó bármely pont egyszerre lesz az f függvény maximum- és minimumpontja. a b.6. ábra Az extrémumpont létezése az x 0 pontban a függvény viselkedésétől függ a pont környezetében. Ennek megfelelően a.6. ábrán látható függvények grafikonjai: a.6 a ábrán az (a; x 0 ] intervallumon a

126 . A függvény extrémumpontjai 5 függvény növekvő lesz, az [x 0 ; b) intervallumon pedig csökkenő; a.6. b ábrán az (a; x 0 ] intervallumon a függvény csökkenő, a [x 0 ; b) intervallumon pedig növekvő lesz. Már tudjátok, hogy a derivált segítségével meg lehet határozni a differenciálható függvény növekedési (csökkenési) intervallumait. A két következő tantételből azt tudjuk meg, hogy a derivált segítségével hogyan lehet meghatározni a differenciálható függvény extrémumait... tétel (a függvény maximumpontjának ismertetőjele). Legyen az f függvény differenciálható az (a; b) intervallumon, és legyen az x 0 az intervallum egy pontja. Ha minden x-re, ahol x (a; x 0 ], teljesül az f ( x) l 0, egyenlőtlenség, és minden x-re, ahol x [x 0 ; b) teljesül az f ( x) m 0, egyenlőtlenség, akkor az x 0 pontot az f függvény maximumpontjának nevezzük (.6. a ábra)... tétel (a függvény minimumpontjának ismertetőjele). Legyen az f függvény differenciálható az (a; b) intervallumon, és legyen az x 0 az intervallum egy pontja. Ha minden x-re, ahol x (a; x 0 ] teljesül az f ( x) m 0, egyenlőtlenség, és minden x-re, ahol x [x 0 ; b) teljesül az f ( x) l 0, egyenlőtlenség, akkor az x 0 pontot az f függvény minimumpontjának nevezzük (.6. b ábra). Néha érdemesebb az egyszerűbb megfogalmazásait alkalmazni ezeknek a tételeknek: ha az x 0 ponton történő átmenetkor a függvény deriváltja az előjelét pluszról mínuszra változtatja, akkor az x 0 -t a maximumpontnak; ha a derivált mínuszról pluszra vált, akkor az x 0 -t minimumpontnak nevezzük. Tehát az f függvény extrémumpontjait a következő pontok szerint határozhatjuk meg: ) Kiszámítjuk az f (x)-et. ) Megvizsgáljuk a derivált előjeleit. ) A megfelelő tételek alkalmazásával meghatározzuk az extrémumpontokat. Feladat. Határozzuk meg a függvény extrémumait: ) f (x) = x x x x + 4 x; ) f( x) =.! x Megoldás. ) f ( x) = 6x 6x = 6( x x ) = 6( x+ )( x ). Megvizsgáljuk a derivált előjeleit az x =, x = pontok környezeteiben (.7. ábra). A következőt kapjuk: x max =, x min =..7. ábra.8. ábra

127 6.. A derivált és alkalmazása ( x x + 4) ( x ) ( x ) ( x x + 4) ) f ( x) = = ( x ) ( x )( x ) ( x x + 4) x x ( x + )( x ) = = =. ( x ) ( x ) ( x ) Megoldva az x x > 0 egyenlőtlenséget, majd figyelembe véve, hogy (x ) > 0, ha x, azt kapjuk, hogy az f ( x) > 0 a ( ; ) és a (; + ) intervallumon. Hasonlóképpen gondolkodva azt is meg lehet állapítani, hogy f ( x) < 0 a ( ; ) és az (; ) intervallumon. A.8. ábra illusztrálja ezeket az eredményeket. Most már levonhatjuk az alábbi következtetést: x max =, x min =.?. Milyen intervallumot nevezünk az x0 pont környezetének?. Mit nevezünk a függvény maximumpontjának? A függvény minimumpontjának?. Fogalmazd meg a maximumpont, illetve minimumpont ismertetőjelét! GYAKORLATOK.. A.9. ábrán a [ 0; 9] intervallumon értelmezett y = f (x) függvény grafikonja látható Nevezd meg a: ) minimumpontját; ) maximumpontját!.9. ábra.. A.0. ábrán a [ 7; 7] intervallumon értelmezett y = f (x) függvény grafikonja látható. Nevezd meg a: ) minimumpontját; ) maximumpontját!

128 . A függvény extrémumpontjai 7.0. ábra.. Határozd meg a függvény minimum- és maximumpontjait: ) f (x) = 0,5x 4 ; ) f (x) = x x ; ) f (x) = x 6x; 4) f (x) = x 6x 5x + 7!.4. Határozd meg a függvény minimum- és maximumpontjait: x ) f( x) = x x; ) f( x) = + x 7x+ 4; ) f (x) = x + 4x ; 4) f (x) = x 4 4x +!.5. Az y = f (x) függvény differenciálható a valós számok halmazán. A.. ábrán a függvény deriváltjának grafikonja látható. Nevezd meg az y = f (x) függvény maximum- és minimumpontjait!.. ábra.. ábra.6. Az y = f (x) a valós számok halmazán értelmezett függvény, és az értelmezési tartományának minden pontjában van deriváltja. A.. ábrán az y = f ( x). függvény grafikonja látható. Hány extrémumpontja van az y = f (x) függvénynek?.7. Határozd meg a függvény növekedési és csökkenési intervallumait, valamint az extrémumpontjait: ) f( x) = x + 4 x 6x ; ) f( x) = ; ) f( x) =. x x + x +!

129 8.. A derivált és alkalmazása.8. Határozd meg a függvény növekedési és csökkenési intervallumait, valamint az extrémumpontjait: ) f( x) = x + 9 x ; ) f( x) = ; x x + x ) f( x) =. x! FELKÉSZÜLÉS AZ ÚJ TÉMÁRA.9. Határozd meg az y = x 8x + függvény legkisebb értékét a következő intervallumon: ) [ ; 4]; ) [ 4; ]; ) [4; 5]!.0. Határozd meg az y = x 8x + 0 függvény legnagyobb értékét a következő intervallumon: ) [ 5; ]; ) [ ; 0]; ) [ ; 0]! 4. A függvény legnagyobb és legkisebb értéke Mennyi terméket kell előállítani a vállalatnak ahhoz, hogy a maximális profitra tegyen szert? Hogyan lehet a lehető legkevesebb idő alatt végrehajtani a termelési feladatot, ha az alapanyagokhoz való hozzáférés korlátozott? Hogyan lehet megszervezni az áru kiszállítását úgy, hogy a lehető legkevesebb legyen az üzemanyag fogyasztása? Ilyen és ehhez hasonló feladatokat kell az embereknek a gyakorlatban megoldaniuk az optimális megoldás keresése során. Ebben a pontban megtanuljuk, hogyan kell meghatározni a függvény legnagyobb és legkisebb értékét az [a; b] intervallumon. Csak a differenciálható függvények vizsgálatával foglalkozunk majd. min f( x) = f( a) [ ab ; ] max f( x) = f( b) [ ab ; ] a min f( x) = f( a) [ ab ; ] max f( x) f( x ) [ ab ; ] b = 4.. ábra min f( x) f( x ) [ ab ; ] = max f( x) f( x ) [ ab ; ] c = Be lehet bizonyítani, hogy az [a; b] intervallumon differenciálható függvény a legnagyobb és a legkisebb értékét vagy az intervallum végein, vagy az extrémumpontban veszi fel (4.. ábra).

130 4. A függvény legnagyobb és legkisebb értéke 9 Ezt figyelembe véve, az [a; b] intervallumon differenciálható függvény legnagyobb és legkisebb értékének meghatározása során a következőképpen kell eljárnunk.. Meghatározzuk az f függvény azon pontjait, melyekben a függvény deriváltja nullával egyenlő.. Az így meghatározott pontokban kiszámítjuk a függvény értékeit az adott intervallumban, majd az intervallum végein is meghatározzuk a függvényértékeket.. Az összes meghatározott értékek közül kiválasszuk a legkisebbet, illetve a legnagyobbat.. f e l a d a t. Határozzuk meg az f (x) = 4x 9x x + 6 függvény legnagyobb és legkisebb értékét a [ ; 0] intervallumon! Megoldás. Meghatározzuk az adott függvény deriváltját. A következőt kapjuk: f ( x) = x 8x. Most megoldjuk a x 8x = 0 egyenletet. Innen: x x = 0; x = vagy x =. A [ ; 0] intervallumhoz csak az x =.pont tartozik. Ebből megkapjuk: f 7 =, f ( ) = 8, f (0) = 6. 4 Tehát max ( ) = 7 f x f, [ ; ] = min f( x) = f ( ) = [ 0 ; ] Felelet: 7 4 ; 8.. f e l a d a t. Adjuk meg a 8-as számot két nemnegatív szám öszszegeként úgy, hogy az egyik szám köbének és a másik négyzetének összege a legkisebb legyen! Megoldás. Legyen az első szám x, akkor a második szám 8 x lesz. A feladat feltételéből következik, hogy 0 m x m 8. Megvizsgáljuk a [0; 8] intervallumon értelmezett f (x) = x + (8 x) = = x x + x függvényt, majd meghatározzuk, hogy az x mely értékénél veszi fel a legkisebb értékét. Az f ( x) = x + x 6. Megoldjuk a x + x 6 = 0 egyenletet. Megkapjuk a gyökeit: x = vagy x = 8. A kapott gyökök közül csak a tartozik a [0; 8] intervallumhoz. Ezért: f () = 44, f (0) = 64, f (8) = 5. Tehát a függvény legnagyobb értékét az x = pontban veszi fel. Felelet: 8 = + 6.

131 0.. A derivált és alkalmazása? Ismertesd, hogyan kell meghatározni az [a; b] intervallumon differenciálható függvény legnagyobb és legkisebb értékét! GYAKORLATOK 4.. Határozd meg az f függvény legnagyobb és legkisebb értékét az adott intervallumon: ) f (x) = x x, [ ; ]; ) f (x) = x 9x, [ ; 4]; ) f (x) = x 4 x x , [0; ]; 4) f( x) =, [ ; 0]! x 4.. Határozd meg az f függvény legnagyobb és legkisebb értékét az adott intervallumon: ) f( x) = x 4 x, [0; ]; ) f (x) = x 4 8x, [ ; ]; ) f (x) = x x x, [ ; 0]; 4) f x x 4 ( ) = 8 x, [ ; ]! Add meg a 8-as számot két nemnegatív szám összegeként úgy, hogy az egyik számnak és a másik szám köbének szorzata a legnagyobb legyen! 4.4. Add meg a -es számot két nemnegatív szám összegeként úgy, hogy az egyik szám négyzetének és a másik szám kétszeres szorzatának szorzata a legnagyobb legyen! 4.5. Add meg a 80-as számot három nemnegatív szám összegeként úgy, hogy kettőnek az aránya : -höz legyen, és a három szám szorzata a lehető legnagyobb legyen! 4.6. Add meg a 8-as számot három nemnegatív szám összegeként úgy, hogy kettőnek az aránya 8 : -hoz legyen, és a három szám köbeinek összege a legkisebb legyen! FELKÉSZÜLÉS AZ ÚJ TÉMÁRA 4.7. Rajzolj meg egy olyan függvényt, amely a következő tulajdonságokkal rendelkezik: az értelmezési tartomány [ ; 4] intervallum; értékkészlete a [ ; ] intervallum; zérushelyei és ; az f ( x) > 0 bármilyen x értékre a [ ; 0) és (; 4] intervallumokon; f ( x) < 0 bármilyen x értékre a (0; ) intervallumon!

132 5. A függvény grafikonjának ábrázolása 5. A függvény grafikonjának ábrázolása Az előző osztályokban a függvények grafikonjainak megrajzolásakor a következőképpen jártunk el: a koordinátasíkon megjelöltünk néhány olyan pontot, amelyek az adott függvény grafikonjához tartoznak, majd összekötöttük ezeket a pontokat. A szerkesztés pontossága attól függött, hogy hány ilyen pontot jelöltetek meg. A 5.. ábrán az y = f (x) függvény grafikonjához tartozó pontokat látunk. A 5.. és a 5.. ábrák mutatják, hogy a pontok különbözőképpen köthetők össze. y x x x x 4 x 5.. ábra 5.. ábra Azonban, ha tudjuk azt, hogy az f függvény növekvő az [x ; x ], illetve az [x ; x 4 ] intervallumokon, és csökkenő az [x ; x ] intervallumon, valamint differenciálható, akkor legvalószínűbb, hogy a függvény grafikonja olyan lesz, mint a 5.4. ábrán látható. 5.. ábra 5.4. ábra Már ismeritek a páros, páratlan és a periodikus függvények grafikonjainak sajátosságait. Általában, minél több függvénytulajdonságot ismerünk, annál pontosabban tudjuk ábrázolni a függvény grafikonját. A függvényvizsgálatot az alábbi séma szerint végezzük:. Meghatározzuk a függvény értelmezési tartományát.. Megvizsgáljuk a függvény paritását.. Meghatározzuk a zéruspontjait. 4. Meghatározzuk a függvény növekedési és csökkenési intervallumait. 5. Meghatározzuk extrémumpontjait és a függvény értékeit ezekben a pontokban.

133 .. A derivált és alkalmazása 6. Megállapítjuk a függvény más különleges tulajdonságait (periodicitását, a függvény viselkedését a különleges pontok környezetében stb.). Megjegyezzük, hogy a függvényvizsgálat fentebb leírt módja nem teljes, csupán ajánló jellegű. A vizsgálat során a függvénynek olyan tulajdonságait kell kideríteni, amelyek segítségével aránylag pontosan le tudjuk rajzolni a függvény grafikonját. Feladat. Vizsgáljuk meg az f( x) = x x függvényt, és ábrázoljuk grafikonját! 4 Megoldás.. A függvény az egész számegyenesen értelmezhető, vagyis D() f =.. f( x) = ( x) ( x) = x + x. Ebből az következik, hogy 4 4 f ( x) f (x) és f ( x) f (x), vagyis az y = f ( x) nem esik egybe sem az y = f (x) sem az y = f (x) függvénnyel. Ezért az adott függvény se nem páros se nem páratlan.. f x x x x ( ) = = ( 6 x). A 0 és a 6 lesz az f függvény zérushelyei. 4 4 x x 4 5. f ( x) = x = ( 4 x). Megvizsgálva a derivált előjelét 4 4 (5.5. ábra), arra a következtetésre jutunk, hogy az f függvény növekvő a [0; 4] intervallumon, és csökkenő a ( ; 0] és a [4; + ) intervallumokon. Tehát x max = 4; x min = 0. A következőt kapjuk: f (4) = 8; f (0) = 0. A kapott eredmények alapján megrajzoljuk 5.5. ábra a keresett függvény grafikonját (5.6. ábra) ábra

134 5. A függvény grafikonjának ábrázolása? Sorold fel a függvényvizsgálat lépéseit! GYAKORLATOK 5.. Végezd el a függvényvizsgálatot, majd ábrázold grafikonját: ) f (x) = x x ; 4) f (x) = x x + ; ) f (x) = x x + 5; 5) f( x) = x x.! ) f( x) x x = ; Végezd el a függvényvizsgálatot, majd ábrázold grafikonját: ) f (x) = x + x ; ) f (x) = x x! ) f( x) = 4x x ;

135 4.. A derivált és alkalmazása! A.. ÖSSZEFOGLALÁSA Az x argumentum növekménye az x 0 pontban Dx = x x 0 Az f függvény növekménye az x 0 pontban Df = f (x 0 + Dx) f (x 0 ) vagy Df = f (x) f (x 0 ) A függvény deriváltja Az f függvény x 0 pontbeli deriváltjának azt a számot nevezzük, amely egyenlő az f függvény x 0 pontbeli növekménye és az argumentum növekménye arányának határértékével, amikor az argumentum növekménye a nullához tart. f x + x f x f ( x ) = lim ( ) ( ) 0 0 f 0 vagy f ( x0 ) = lim x 0 x x 0 x A derivált geometriai értelmezése Az f függvény x 0 abszcisszájú pontjába húzott érintő iránytényezője egyenlő lesz az f függvény x 0 pontbeli deriváltjának az értékével. A derivált mechanikai értelmezése Ha az y = s (t) a számegyenesen mozgó anyagi pont mozgásának képlete, akkor a pillanatnyi sebessége az adott t 0 időpontban egyenlő az y = s (t) függvény t 0 pontbeli deriváltjával. A függvény differenciálhatósága Ha a függvénynek létezik deriváltja az adott pontban, akkor ebben a pontban a függvény differenciálható. Ha az f függvény differenciálható az értelmezési tartomány minden pontjában, akkor azt mondjuk, hogy a függvény differenciálható. Az f függvény x 0 abszcisszájú pontjába húzott érintőjének egyenlete y = f ( x0)( x x0) + f( x0 ) A derivált kiszámításának szabályai Az összeg deriváltja ( f + g) = f + g A szorzat deriváltja ( fg) = fg + gf A hányados deriváltja f fg gf g = g A függvény állandóságának ismertetőjele Ha az I intervallum minden egyes x pontjában teljesül az f ( x) = 0, egyenlőség, akkor az f függvény állandó lesz ezen az intervallumon.

136 A.. összefoglalása 5 A függvény növekedésének ismertetőjele Ha az I intervallum minden egyes x pontjában teljesül az f ( x) > 0, egyenlőség, akkor az f függvény növekvő ezen az intervallumon. A függvény csökkenésének ismertetőjele Ha az I intervallum minden egyes x pontjában teljesül az f ( x) < 0, egyenlőség, akkor az f függvény csökkenő ezen az intervallumon. A pont környezete Az (a; b) intervallumot, amely tartalmazza az x 0 pontot, az x 0 pont környezetének nevezzük. A függvény extrémumpontjai Az x 0 pontot az f függvény maximumpontjának nevezzük, ha létezik az x 0 pontnak olyan környezete, amelyben minden x pontra ebből az intervallumból teljesül a következő egyenlőtlenség: f( x0 ) l f( x). Az x 0 pontot az f függvény minimumpontjának nevezzük, ha létezik az x 0 pontnak olyan környezete, amelyben minden x pontra ebből az intervallumból teljesül a következő egyenlőtlenség: f( x0 ) m f( x). A maximum és minimum pontokat extrémumpontoknak nevezzük. A maximum és minimum pontok ismertetőjelei Legyen az f függvény differenciálható az (a; b) intervallumon, és legyen az x 0 az intervallum egy pontja. Ha minden x-re, ahol x (a; x 0 ], teljesül az f ( x) l 0, egyenlőtlenség, és minden x-re, ahol x [x 0 ; b) teljesül az f ( x) m 0, egyenlőtlenség, akkor az x 0 pontot az f függvény maximumpontjának nevezzük. Ha minden x-re, ahol x (a; x 0 ] teljesül az f ( x) m 0, egyenlőtlenség, és minden x-re, ahol x [x 0 ; b) teljesül az f ( x) l 0, egyenlőtlenség, akkor az x 0 pontot az f függvény minimumpontjának nevezzük. A függvény tulajdonságainak vizsgálata:. Meghatározzuk a függvény értelmezési tartományát.. Megvizsgáljuk a függvény paritását.. Meghatározzuk a zéruspontjait. 4. Meghatározzuk a függvény növekedési és csökkenési intervallumait. 5. Meghatározzuk extrémumpontjait és a függvény értékeit ezekben az extrémumpontokban. 6. Megállapítjuk a függvény más különleges tulajdonságait (periodicitását, a függvény viselkedését a különleges pontok környezetében stb.).

137 6 6. A 0. osztályos algebra és analízis elemei tananyagának ismétlő gyakorlatai. Függvények, ezek tulajdonságai és grafikonjaik 6.. Határozd meg a függvény értelmezési tartományát: 4 ) f( x) = x 5 ; 4) f( x) = ; x + 4 7x + ) f( x) = ; 5) f( x) = ; 4 x x 7x 9 ) f( x) = ; x 5 6) f ( x ) = x x.! 6.. Határozd meg a függvény értékkészletét: ) f( x) = x + ; ) g( x) = x ; ) f( x) = x ; 4) f( x) = x +!. 6.. Határozd meg a függvény értelmezési tartományát, majd rajzold meg a függvény grafikonját: x 4 x 6x + 9 ) f( x) = ; ) f( x) =.! x + x 6.4. Határozd meg a függvény zérushelyeit: ) f( x) = x +7 ; ) f( x) = x 6; x + 4x 5 ) f( x) = ; 4) f( x) = ( x ) x 4!. x 6.5. Vizsgáld meg a függvény paritását: ) f( x) = 7x 6 ; 4) f( x) = x x+ ; 5 7 ) f( x) = x x ; 5) f( x) =.! x x ) f( x) = 9 x ; 6.6. Határozd meg a kifejezés értékét: ) ( 6 ) ; ) ! Határozd meg a függvény értelmezési tartományát: 4 ) y = x 5; ) y = x; ) y = x 4; 4) y = 6x x.! 6.8. Hozd egyszerűbb alakra a kifejezést: ) 6 a 6, ha a l 0; ) 4 b 4, ha b m 0; ) 7 c 7.! 6.9. Ábrázold a függvény grafikonját: 7 7 ) y = x ; ) y = 7 ( x ) 7 ; ) y = x 8 8 ; 4) y = 8 ( x ) 8.! ( ) ( )

138 6.0. Hozd egyszerűbb alakra a kifejezést: 6. Ismétlő gyakorlatok 7 ) 4 ( 7) 4 7; ) 5 ( ) ( 5 6 ) 6.! 6.. Vidd ki a tényezőt a gyökjel elé: ) 4 a ; ) 4 6m 0 n 7 4 ; ) 4y 5.! 6.. Hasonlítsd össze a számokat: 6 ) 80 és 9; ) Egyszerűsítsd a törtet: 4 és 5; ) és ; 4) 7 a b a ) ; ) ; ) m m.! 4 a b a 4 m m 6.4. Számítsd ki a kifejezés értékét: ), 07, 5, ; 4 4) 7 ; 4 és 9.! ) 4 ; 5) 05, + 08, 0, 6.! ) 6 07, 6 04, ; 6.5. Bizonyítsd be az azonosságot: m n m n n ) 4 = m n m m + m n m + n ) a+ b a b a b = b a.! a a b + b a + a b + b a b 6.6. Oldd meg az egyenletet: ) 4x+ 0 = x+ ; 5) x+ x+ 7 = ; ) 6 x = x 4; 6) x+ 5 + x = 4; ) 4+ x x = x ; 7) 4 x x 5 = 0; 4) x 4x+ = 5 x; 8) x 4x+ 4 + x = 0.!. Trigonometrikus függvények 6.7. Hasonlítsd össze nullával a kifejezés értékét: ) sin 68 cos 6 ; ) tg 06 cos ( )! 6.8. Határozd meg a kifejezés értékét: π ) sin 780 ; ) cos 00 ; ) cos.! 6 4 ;

139 8 6. Ismétlő gyakorlatok π 6.9. Számítsd ki a sin α értékét, ha π < α <.! 6.0. Határozd meg a kifejezés legnagyobb és legkisebb értékét: cos a sin a! 6.. Hozd egyszerűbb alakra a kifejezést: π π sin α+ sin ( π α) cos α cos ( π α). + +! 6.. Adott: sin a = 0,8, cos b = 0,6, π < α < π, π < β< π. Határozd meg a cos (α + β) értékét! 6.. Bizonyítsd be az azonosságot: ) sinα cos β sin( α β) = tg ( α+ β); cos( α β) sin α sin β π cosα cos + α ) 4 = tg α.! π sin + α sin α Hozd egyszerűbb alakra a kifejezést: sin α ) ; + cos α ) sin 6a tg a + cos a; ) cos 4 a sin a cos a + sin a cos a; cos α + sin α 4).! sinα sin α + cos α 6.5. Old meg az egyenletet: x π ) sin + 0; 6 + = ) + tg 0 x π 4 = ; π x x π ) cos 0; + = 4) tg. 5 5 =! 6.6. Határozd meg az egyenlet legkisebb pozitív gyökét: π sin x +. =! 6.7. Határozd meg az egyenlet legnagyobb negatív gyökét: π cos x. =!

140 6. Ismétlő gyakorlatok Hány gyöke van a tg x = egyenletnek a 0 9 π ;? intervallumon? 6.9. Oldd meg az egyenletet: ) cos x = sin x+ ; 4) tg x 8 cos x + = 0; ) cos x + sin x = 0; 5) sin x + cos x = 0; ) cos x cos x + = 0; 4 x 4 x 6) sinx = cos sin.!. A derivált és alkalmazása 6.0. Határozd meg a függvény deriváltját: 4 ) y = x x + 5; ) y = x + 7; x ) y = 4x ; 4) y = 5 sin x 7 cos x! x 6.. Határozd meg a függvény deriváltját: ) y = (x ) (x 5 + ); ) y = x cos x; 5) y x = x + ; ) y = x x + sin x; 4) y = x ; 6) y x x =.! cos x 6.. Határozd meg az f (x) = x 5x függvény azon pontjának abszcisszáját, melyben a függvény érintője az abszcisszatengely pozitív irányával 45 -os szöget alkot! x 6.. Határozd meg az f( x) = függvény érintőjének iránytényezőjét, amely a függvényt az ordinátatengely metszéspontjában x + érinti! 6.4. Állítsd fel az f függvény x 0 abszcisszájú pontjába húzott érintő egyenletét, ha: ) f( x) = x x + + x, x 0 = ; ) f( x) =, x x 4 0 = ; ) f( x) = x x, x 0 = 4; 4) f (x) = sin x, x 0 = π.! 6.5. Állítsd fel annak az érintőnek az egyenletét, amelyet az f( x) = x 4 x függvény görbéje és az abszcisszatengely metszéspontjába húztak!

141 40 6. Ismétlő gyakorlatok 6.6. A test mozgását a számegyenesen az s (t) = t + t képlet írja le (az elmozdulást méterekben, az időt másodpercekben mérjük). Mely t időpontjában lesz a test sebessége 0 m/mp? 6.7. Bizonyítsd be, hogy az y = x x + x 5 függvény növekvő! 6.8. Határozd meg a függvény növekedési és csökkenési intervallumait, valamint az extrémumpontjait: ) y = x x ; ) y = x+ 6 ; 5) y = x ( x ); x 5 x 4 ) y = x ; 4) y = x+ 4 5 ; 6) y x x = x x +.! 6.9. Határozd meg az f függvény legnagyobb és legkisebb értékeit az adott intervallumon: ) f( x) = x 4x x, [ ; 0]; ) f( x) =, [ ; 4]! x Add meg a 64-et két pozitív szám összegeként úgy, hogy a négyzeteik összege a legkisebb legyen! 6.4. Határozd meg azt a pozitív számot, amelyre igaz, hogy háromszoros négyzetének és köbének a különbsége a legnagyobb!

142 . fejezet Térmértan 4.. Párhuzamosság a térben 5.. Merőlegesség a térben 6.. Koordináták és vektorok a térben z B C A D A B 0 D C y x

143 PÁRHUZAMOSSÁG A TÉRBEN 4.. Ebben a paragrafusban a térmértan fogalmával, axiómáival és azok következményeivel fogtok megismerkedni. Alapismeretekre tesztek szert a soklapokról. Megismeritek két egyenes, az egyenes és a sík, valamint két sík kölcsönös helyzetét a térben. Elsajátítjátok a térbeli alakzatok síkbeli ábrázolásának szabályait. 7. A térmértan alapfogalmai. A térmértan axiómái A matematika elsajátítása során már eddig is számtalan fogalommal ismerkedtetek meg. A síkmértanból például már jól ismeritek a négyszög, a trapéz, a kör stb. meghatározásait. Bármilyen új fogalom meghatározása olyan ismert fogalmakra épül, amelyek tartalmával már tisztában vagyunk. Például vizsgáljuk meg a trapéz meghatározását: Trapéznak nevezzük azt a négyszöget, melynek két oldala párhuzamos, a másik két oldala pedig nem párhuzamos. Látjuk, hogy a trapéz definíciója olyan fogalmakra épül, mint a négyszög, a négyszög oldala, párhuzamos és nem párhuzamos oldalak stb. A meghatározás struktúrája a következő: egy korábbira épülő új fogalom. Nyilvánvaló, hogy létezniük kell olyan elsődleges fogalmaknak, melyet nem kell definiálni. Ezeket a fogalmakat alapfogalmaknak nevezzük (7.. ábra). Új fogalom Már bevezetett fogalom Már bevezetett fogalom Alapfogalmak 7.. ábra

144 7. A térmértan alapfogalmai. A térmértan axiómái 4 A síkmértanban nem adtuk meg a pont és az egyenes meghatározását. A már eddig megismert alapfogalmak mellett a sík a térmértan alapfogalmai közzé tartozik. A víztározó sima vízfelszínének segítségével szemléletes képet alkothatunk a síkról. De a tükörfelület, a csiszolt asztal lapja stb. is segíti a síkról alkotott elképzeléseink kialakítását. A sík fogalmára a síkmértanban úgy tekintettünk, hogy csak egy sík van, és minden alakzatot ebben a síkban vizsgáltunk. A térmértanban számtalan, a térben elhelyezkedő síkot vizsgálunk. A síkokat a görög ábécé betűivel jelöljük: a, b, g,. A rajzokon a síkokat paralelogrammáknak (7.. ábra) vagy egyéb síkrészeknek (7.. ábra) ábrázoljuk. α β 7.. ábra 7.. ábra A sík az egyeneshez hasonlóan pontokból áll, vagyis a sík a pontok halmaza. A pontok, az egyenesek és a síkok egymáshoz képest különbözőképpen helyezkedhetnek el a térben. Nézzünk néhány példát. A 7.4. ábrán az A pont az a síkhoz illeszkedik. Vagy másképpen fogalmazva: az A pont az a síkra illeszkedik, vagy az a sík átmegy az A ponton. Ezt röviden így jelöljük: A a. A 7.5. ábrán a B pont nem illeszkedik a b síkra. Ezt így írjuk fel: B b. B α À β α a 7.4. ábra 7.5. ábra 7.6. ábra A 7.6. ábrán az a egyenes az a síkhoz illeszkedik. Azt is mondjuk, hogy az a egyenes az a síkra illeszkedik vagy az a sík az a egyenesen megy át. Ezt röviden így írjuk le: a a.

145 Párhuzamosság a térben Ha az egyenesnek és a síknak csak egy közös pontja van, akkor azt mondjuk, hogy az egyenes metszi a síkot. A 7.7. ábrán lévő a egyenes az A pontban metszi az a síkot. Ezt így írjuk fel: a α= A. β α À α a 7.7. ábra 7.8. ábra A továbbiakban, amikor két pontról, három egyenesről, két síkról stb. beszélünk, akkor ezeken különböző pontokat, különböző egyeneseket és különböző síkokat értünk. Ha két síknak közös pontja van, akkor azt mondjuk, hogy metszik egymást. A 7.8. ábrán az a és b sík láthatók, melyek az a egyenesben metszik egymást. Ezt így írjuk le: α β = a. A térmértan tanulmányozásának kezdetén még nem lehet más állításokra alapozva tételeket bizonyítani, amikor még nincsenek ilyen állítások. Ezért a térbeli pontokra, egyenesekre és síkokra vonatkozó első tulajdonságokat bizonyítás nélkül fogadunk el, amit axiómának nevezzük. Azt is megjegyezzük, hogy a térmértan több axiómája megegyezik a síkmértanból már ismert axiómákkal. Például: bármilyen is legyen az egyenes, léteznek olyan pontok, melyek illeszkednek az egyenesre, és léteznek olyan pontok, melyek nem; bármely két ponton keresztül csak egy egyenes húzható. Nem fogjuk bemutatni a térmértan szigorú axiomatikus felépítését. Csak néhány olyan állítást vizsgálunk meg, amelyek a síkok tulajdonságait mutatják be a térben, és ezekre alapozva építjük fel az iskolai térmértant. A. axióma. A tér bármely síkján teljesülnek a síkmértan axiómái.

146 7. A térmértan alapfogalmai. A térmértan axiómái 45 Ha bármely síkon teljesülnek a síkmértan axiómái, akkor teljesülnek ezeknek az axiómáknak a következményei is, vagyis a síkmértan tételei is. Tehát a térmértanban alkalmazni lehet a síkbéli alakzatok összes ismert tulajdonságát. A. axióma. A tér bármely nem egy egyenesre illeszkedő három pontjára egy és csakis egy sík illeszkedik. Ezt a tulajdonságot a ábrák szemléltetik ábra 7.0. ábra 7.. ábra A fenti axiómákból következik, hogy a tér nem egy egyenesen fekvő három pontja egy síkot határoz meg, amelyre ezek a pontok illeszkedni fognak. Tehát a síkot bármely három pontjával meg lehet adni, ha ezek nem egy egyenesre illeszkednek. Például a 7.. ábrán az ABC sík látható. Az M ABC azt jelenti, hogy az M pont illeszkedik az ABC síkra. Az MN ABC azt jelenti, hogy az MN egyenes az ABC síkra illeszkedik (7.. ábra). M B A N C A B C 7.. ábra 7.. ábra A. axióma. Ha egy egyenes két pontja illeszkedik egy síkra, akkor az egyenes is illeszkedik erre a síkra. Például a 7.. ábrán az A, B és C pontok az ABC síkra illeszkednek. Ezt így is felírhatjuk: AB ABC, BC ABC. Ebből az axiómából következik, hogyha az egyenes nem illeszkedik a síkra, akkor ezzel a síkkal nem lehet egynél több közös pontja. Az A. axiómában megfogalmazott állítást gyakran alkalmazzuk a gyakorlatban is annak ellenőrzésére, hogy az adott felület sima-e

147 Párhuzamosság a térben (síkot alkot). Ehhez elegendő egy egyenes lécet különböző helyen ráhelyezni a felületre, és azt leellenőrizni, hogy a felület és a léc között van-e hézag (7.4. ábra). A4. axióma. Ha két síknak van közös pontja, akkor egy egyenesben metszik egymást. Ezt az axiómát illusztrálhatja egy kettéhajtott papírlap vagy a nyitott könyv (7.5. ábra) ábra 7.5. ábra Feladat. Bizonyítsuk be, hogy amikor két síknak van közös pontja, akkor egy olyan egyenesben metszik egymást, amelyre ez a pont illeszkedni fog. Megoldás. Legyen az A pont az a és a b síkok közös pontja, vagyis A a és A b (7.6. ábra). Az A4. axióma szerint az a és a b síkok metszik egymást. Legyen α β = a. β Ekkor az a és a b síkok összes közös pontja az a egyenesre illeszkedik. Az A pont az a és a b síkok közös pontja, tehát A a. α A a 7.6. ábra Az axiómán kívül más tulajdonságok is vannak, amelyek a pontok, az egyenesek és a síkok helyzetét írják le a térben. Az axiómákra támaszkodva be lehet bizonyítani a következő állításokat (a térmértan axiómáinak következményeit). 7.. tétel. Egy egyeneshez egy rajta kívül elhelyezkedő ponton át egy és csakis egy sík fektethető (7.7. ábra). 7.. t é t e l. Két egymást metsző egyenesre egy és csakis egy sík illeszkedik (7.8. ábra).

148 7. A térmértan alapfogalmai. A térmértan axiómái 47 α 7.7. ábra 7.8. ábra Az A. axiómából és a 7.., a 7.. tételekből következik, hogy a síkot egyértelműen meghatározza: ) három nem egy egyenesre illeszkedő pont; ) az egyenes és egy rajta kívül elhelyezkedő pont; ) két egymást metsző egyenes. Tehát a sík meghatározásának három módját ismerjük.?. Hogyan nevezzük a matematikában azokat az elsődleges fogalmakat, melyeknek nem adjuk meg a meghatározását?. Milyen alakzatok tartoznak a sztereometria alapfogalmai közé?. Milyen esetben mondjuk azt, hogy az egyenes metszi a síkot? 4. Milyen esetben mondjuk azt, hogy a síkok metszik egymást? 5. Fogalmazd meg az A., A., A., A4 axiómákat! 6. A térmértan axiómáinak milyen következményeit ismered? 7. Nevezd meg a sík megadásának módjait! α GYAKORLATOK 7.. Ábrázolj egy a síkot, egy M pontot, amely illeszkedik rá, és egy K pontot, amely nem illeszkedik a síkra. Írd ezt fel a megfelelő jelölések alkalmazásával! 7.. Ábrázolj egy g síkot és egy a egyenest, amelyen a sík átmegy. Írd ezt fel a megfelelő jelölések alkalmazásával! 7.. Ábrázolj egy a síkot, egy b egyenest, amely az A pontban metszi az adott síkot. Írd ezt fel a megfelelő jelölések alkalmazásával! A b egyenesnek hány pontja illeszkedik az a síkra? 7.4. Ábrázolj egy b és g síkot, amelyek a c egyenesben metszik egymást. Írd ezt fel a megfelelő jelölések alkalmazásával! 7.5. Írd fel a 7.9. ábrán látható pontok, egyenesek és síkok közötti összefüggéseket! 7.6. Hány sík fektethető egy adott egyenesen és ponton át? 7.7. Adottak az A, B és C pontok, melyek olyanok, hogy AB = 5 cm, BC = 6 cm, AC = 7 cm. Hány síkot fektethetünk az A, B és C pontokon át? α E m F 7.9. ábra D

149 Párhuzamosság a térben 7.8. Adottak a D, E és F pontok, melyek olyanok, hogy DE = cm, EF = 4 cm, DF = 6 cm. Hány síkot fektethetünk a D, E és F pontokon át? 7.9. Az AB és AC egyenesek az a síkot a B és C pontokban metszik, a D és E pontok erre a síkra illeszkednek (7.0. ábra). Szerkeszd meg a DE egyenes és az ABC sík metszéspontját! α B A D C E 7.0. ábra 7.. ábra 7.0. A BA egyenes az A pontban metszi az a síkot, a BC egyenes pedig a C pontban (7.. ábra). Az AB szakaszon jelöltünk egy D pontot, a BC szakaszon pedig egy E pontot. Szerkeszd meg a DE egyenes és az a sík metszéspontját! 7.. Az m egyenes az a és b síkok metszésvonala (7.. ábra). Az A és B pontok az a síkra illeszkednek, a C pont pedig a b síkra. Szerkeszd meg az ABC sík metszésvonalát az a, illetve a b síkkal! α A D C B E β C m B A α C F B A D 7.. ábra 7.. ábra C E D 7.. Az ABCD és az ABC D négyzetek nem egy síkban fekszenek (7.. ábra). Az AD szakaszon jelöltünk egy E pontot, a BC szakaszon pedig egy F-et. Szerkeszd meg a metszéspontjukat: ) a CE egyenesnek és az ABC síknak; ) az FD egyenesnek és az ABC síknak! 7.. Hogyan tudja az asztalos két cérnaszállal ellenőrizni, hogy a négy asztalláb végpontjai egy síkhoz illeszkednek? 7.4. Az M pont az ABC és BCD síkok közös pontja. Határozd meg a BC szakasz hosszát, ha BM = 4 cm, MC = 7 cm!

150 8. Térbeli testek. A soklapokra vonatkozó alapismeretek A K pont az MNF és MNE síkok közös pontja. Határozd meg az MN szakasz hosszát, ha MK = KN = 5 cm! ISMÉTLŐ GYAKORLAT 7.6. Az ABC egyenlő szárú háromszög (AB = BC) BD magasságán felvettek egy M pontot. Határozd meg az AMC háromszög és az ABC háromszög területeinek arányát, ha BD = cm, BM = 8 cm! 8. Térbeli testek. A soklapokra vonatkozó alapismeretek A térmértan tanulmányozása során a pontokon, egyeneseken és síkokon kívül a térbeli testekkel is foglalkozunk, vagyis olyan alakzatokkal, melynek nem minden pontja illeszkedik egy síkra. Már néhány térbeli testet megismertetek. Például a 8.. ábrán a henger, a kúp és a gömb látható. Ezekkel a testekkel részletesebben a. osztályban fogtok megismerkedni. 8.. ábra 8.. ábra A 8.. ábrán szintén egy már ismert térbeli test, a gúla látható. Ez a test a soklapok egyik fajtája. A 8.. ábrán különböző soklapot láthattok. 8.. ábra A soklap felszíne sokszögekből áll. Ezeket a sokszög lapjainak nevezzük. A sokszögek oldalait a soklap éleinek, a csúcsait pedig a soklap csúcsainak nevezzük (8.4. ábra).

151 Párhuzamosság a térben A 8.5. ábrán egy FABCDE ötoldalú gúla látható. A soklap felszíne öt db háromszögből áll, melyeket a gúla oldallapjainak nevezzük, és egy ötszögből, melyet a gúla alapjának nevezzük. Az F csúcsot, amely minden oldallap közös csúcsa a gúla csúcsának nevezzük. Az FA, FB, FC, FD és FE éleket a gúla oldaléleinek, az AB, BC, CD, DE és EA éleket a gúla alapéleinek nevezzük. Ðåáðî Él Âåðøèíà Csúcs F D A A E D Ãðàíü Lap B C B 8.4. ábra 8.5. ábra 8.6. ábra C A 8.6. ábrán egy ABCD háromoldalú gúla látható. A háromoldalú gúlát tetraédernek nevezzük. A soklapoknak egy másik fajtája a hasáb. A 8.7. ábrán egy ABCA B C hasáb látható. Ennek a soklapnak öt lapja van, melyek közül kettő egymással egybevágó háromszögek, ezek az ABC és A B C. Ezeket a hasáb alapjainak nevezzük. A hasáb többi lapja paralelogramma, amit a hasáb oldallapjainak nevezünk. Az AA, BB, CC éleket a hasáb oldaléleinek nevezzük. A C B C A D B A C B A B D 8.7. ábra 8.8. ábra C A 8.8. ábrán az ABCDA B C D hasáb látható. A felszíne két egybevágó ABCD és A B C D négyszögből (a hasáb alapjai) és négy paralelogrammából (a hasáb oldallapjai) áll.

152 8. Térbeli testek. A soklapokra vonatkozó alapismeretek 5 Már megismerkedtetek a négyoldalú hasáb egy külön esetével, a téglatesttel. A 8.9. ábrán az ABCDA B C D téglatest látható. A téglatest minden lapja téglalap. B C A D B C A D 8.9. ábra 8.0. ábra A kocka a téglatest egyik fajtája. A kocka minden lapja egybevágó négyzet (8.0. ábra). Azt a négyoldalú hasábot, melynek alapja paralelogramma, paralelepipedonnak nevezzük. A. osztályban majd részletesebben megismerkedtek a soklapokkal és azok tulajdonságaival is. Feladat. Az ABCDA B C D kocka AA és DD élein megfelelően M és N pontokat jelöltünk úgy, hogy AM DN (8.. ábra). Szerkesszük meg az MN egyenes és az ABC sík metszéspontját! B C B C A M A B N D D C A M A B N D D 8.. ábra 8.. ábra C X Megoldás. Az M és N pontok az AA D síkra illeszkednek. Ekkor az A. axióma alapján az MN egyenes is illeszkedik erre a síkra. Hasonlóan az AD egyenes is az AA D síkra illeszkedik. A síkmértanból tudjuk, hogyha az egyenesek egy síkra illeszkednek, akkor vagy párhuzamosak, vagy metszik egymást. Mivel az AM DN, ezért az AD és MN egyenesek metszik egymást. Legyen X a metszéspontjuk (8.. ábra).

153 5 4.. Párhuzamosság a térben Az A és D pontok az ABC síkra illeszkednek. Ekkor az A. axióma alapján az AD egyenes is illeszkedik erre a síkra. Az X pont az AD egyenesre illeszkedik. Tehát az X pont az ABC síkra is illeszkedik. Mivel az X pont az MN egyenesre is illeszkedik, ezért az MN egyenes az ABC síkot az X pontban metszi.?. Sorolj fel néhány térbeli testet!. Milyen alakzatokból áll a soklap felszíne? Hogyan nevezzük ezeket?. Mit nevezünk a soklap éleinek? A soklap csúcsainak? 4. Milyen soklap típusokat ismersz? Ismertest őket! GYAKORLATOK 8.. A 8.. ábrán az ABCDA B C D téglatest látható. Nevezd meg: ) a téglatest alapját; ) a téglatest oldallapjait; ) a téglatest oldaléleit; 4) a téglatest alsó alapéleit! B C M A D B C A C A D 8.. ábra 8.4. ábra B 8.. A 8.4. ábrán az MABC gúla látható. Nevezd meg: ) a gúla alapját; ) a gúla csúcsát; ) a gúla oldallapjait; 4) a gúla oldaléleit; 5) a gúla alapéleit! 8.. Az ABCS tetraéder BC élén jelöltünk egy D pontot. Melyik egyenes lesz az: ) ASD és ABC; ) ASD és BSC; ) ASD és ASC síkok metszésvonala?

154 8. Térbeli testek. A soklapokra vonatkozó alapismeretek Az M pont az ABCS tetraéder ASC lapjára illeszkedik, a D pont pedig a BC élre (8.5. ábra). Szerkeszd meg az ABC sík valamint az SD egyenesre és az M pontra illeszkedő sík metszésvonalát! S 8.5. Az ABCDS gúla SA és SB oldalélein megfelelően jelöltük az M és K pontokat. M Szerkeszd meg az MK egyenes és az ABC sík metszéspontját, ha az MK és az AB A C egyenesek nem párhuzamosak! 8.6. Az ABCDS gúla SA és SC oldalélein megfelelően jelöltük az M és K pontokat. Szerkeszd meg az MK egyenes és az ABC sík metszéspontját, ha az MK és az AC egyenesek nem párhuzamosak! 8.7. Adott az ABCDA B C D kocka. Szerkeszd meg azokat az egyeneseket, amelyek mentén az A, C és B pontokra illeszkedő sík metszi a kocka lapjait! 8.8. Adott az ABCA B C hasáb és egy sík, amely az AC és az AB egyenesekre illeszkedik. Szerkeszd meg azokat az egyeneseket, amelyek mentén a sík metszi a hasáb lapjait! 8.9. Az M pont az ABCS tetraéder ASB lapjára illeszkedik, a K pedig a BSC lapra (8.6. ábra). Szerkeszd meg az MK egyenes és az ABC sík metszéspontját! B D 8.5. ábra S S A M K C B M K C B A D 8.6. ábra 8.7. ábra 8.0. Az M pont az ABCDS gúla ASB lapjára illeszkedik, a K pedig a CSD lapra (8.7. ábra). Szerkeszd meg az MK egyenes és az ABC sík metszéspontját!

155 Párhuzamosság a térben 8.. Adott az ABCDS gúla (8.8. ábra). Szerkeszd meg az ASB és a CSD síkok metszésvonalát! 8.. Adott az ABCDES gúla (8.9. ábra). Szerkeszd meg az ASE és a BSC síkok metszésvonalát! 8.. Az ABCD tetraéder AB és CD élein megfelelően jelölték az E és F pontokat. Szerkeszd meg az AFB és CED síkok metszésvonalát! 8.4. Adott az ABCDM gúla, ahol a K pont a BD szakaszra illeszkedik (8.0. ábra). Szerkeszd meg az MCK és MAB síkok metszésvonalát! B A S D 8.8. ábra C S M A B C B D K E A D 8.9. ábra 8.0. ábra C ISMÉTLŐ GYAKORLAT 8.5. Az egyenlő szárú trapéz átlója a trapézt két egyenlő szárú háromszögre osztja. Határozd meg a trapéz szögeit! 9. Két egyenes kölcsönös helyzete a térben A síkmértanból már tudjátok, hogy két egyenest egymás metszőnek nevezzük, ha csak egy közös pontjuk van. Ugyanez a meghatározás vonatkozik a térmértanban az egymást metsző egyenesekre is. Azt is tudjátok, hogy az egyeneseket akkor nevezzük párhuzamosnak, amikor nem metszik egymást. Vajon igaz lesz-e ez a definíció a térmértanban?

156 9. Két egyenes kölcsönös helyzete a térben 55 Vizsgáljuk meg a 9.. ábrán lévő B C ABCDA B C D kockát. Az AB és az AA egyenesek közül egyiknek sincs közös pontja A D a DC egyenessel. Az AB és DC egyenesek viszont egy síkra illeszkednek, ez az ABC B C sík, az AA és DC egyenesek viszont nem A illeszkednek egy síkra, vagyis nem létezik D olyan sík, amely ezeket az egyeneseket tartalmazná. 9.. ábra A fenti példa azt mutatja, hogy a térmértanban két, közös ponttal nem rendelkező egyenes elhelyezkedésének két esete lehetséges: az egyenesek egy síkban vannak, vagy nem fekszenek egy síkban. Mindkét esetre megadjuk a megfelelő meghatározást. Definíció. Két egyenest a térben párhuzamosnak nevezzük, ha egy síkban vannak és nincs közös pontjuk. Az a és b egyenesek párhuzamosságát így jelöljük: a b. Definíció. Két egyenest kitérőnek nevezzük, ha nem egy síkra illeszkednek. Például a 9.. ábrán az AB és DC egyenesek párhuzamosak, az AA és DC egyenesek pedig kitérők lesznek. Nemzetközi Kulturális és Művészeti központ, Kijev Szálfaerdő 9.. ábra Faház Az épület oszlopai, az erdő fái, az egymásra helyezett farönkök (9.. ábra) olyan párhuzamos egyenesek, amelyekkel a mindennapokban találkozunk.

157 Párhuzamosság a térben 9.. ábra Az elektromos vezetékek, az épület szerkezeti elemei (9.. ábra) olyan kitérő egyenesek, amelyekkel a mindennapokban találkozunk. Tehát az egyenesek térbeli elhelyezkedésére három eset lehetséges (9.4. ábra): ) az egyenesek metszik egymást; ) az egyenesek párhuzamosak; ) az egyenesek kitérők. Két egyenes a térben egy síkban fekszenek kitérők metszik egymást párhuzamosak 9.4. ábra Két szakaszt párhuzamosnak (kitérőnek) nevezzük, ha párhuzamos (kitérő) egyeneseken fekszenek. A B Például az ABCA B C hasáb AA és BB élei (9.5. ábra) párhuzamosak, az AC és BB élei pedig kitérők lesznek. A C B 9.. t é t e l. Két párhuzamos egyenesen keresztül egy és csakis egy sík fektethető. C 9.5. ábra Bizonyítás. Legyen adva az a és a b párhuzamos egyenes. Bebizonyítjuk, hogy létezik egy olyan a sík, hogy a a és b a.

158 9. Két egyenes kölcsönös helyzete a térben 57 Az a és b egyeneseket tartalmazó a sík létezése a párhuzamos egyenesek definíciójából következik. Ha feltételezzük, hogy még egy olyan sík létezik, amely az a és b egyeneseket tartalmazza, akkor az a egyenesen és a b egyenes valamelyik pontján át két különböző sík fektethető, ami ellentmond a 7.. tételnek. A 7. pontban három módszert ismertettünk a sík megadására. A 9.. tételre úgy is tekinthetünk, mint a sík megadásának egy újabb esetére, amit két párhuzamos egyenes segítségével adunk meg. Két egyenes párhuzamosságának megállapítását a síkon, a síkmértanból ismert két egyenes párhuzamosságának ismertetőjelei alapján tudjuk meghatározni. De hogyan állapítjuk azt meg, hogy a két egyenes kitérő? Erre a kérdésre a választ a következő tétel adja meg. 9.. tétel (a kitérő egyenesek ismertetőjele). Ha két egyenes közül az egyik egyenes egy síkban fekszik, a másik pedig egy olyan pontban metszi ezt a síkot, amely nem illeszkedik az első egyenesre, akkor az adott egyenesek kitérők lesznek (9.6. ábra). b D α a M A C 9.6. ábra 9.7. ábra A 9.7. ábrán az ABCD tetraéder AB és DC élei kitérők. Valóban, a DC egyenes az ABC síkot egy olyan C pontban metszi, amely nem illeszkedik az AB egyenesre. Tehát a kitérő egyenesek definíciója alapján az AB és a DC egyenesek kitérők lesznek. B?. A tér mely két egyenesét nevezzük párhuzamosaknak? Kitérőknek?. Milyen esetei vannak két egyenes kölcsönös helyzetének a térben?. Milyen két szakaszt nevezünk párhuzamosaknak? Kitérőknek? 4. Fogalmazd meg a két párhuzamos egyenes által megadott síkról szóló tételt! 5. Fogalmazd meg a kitérő egyenesek ismertetőjelét!

159 Párhuzamosság a térben GYAKORLATOK 9.. Adott az ABCDA B C D kocka (9.8. ábra). Nevezd meg azokat az éleit, amelyek: ) párhuzamosak a CD éllel; ) kitérők a CD éllel! B C S A D A B D C 9.8. ábra 9.9. ábra 9.. Az osztályterem berendezési tárgyai segítségével nevezz meg kitérő egyeneseket! 9.. Adott az ABCDS gúla (9.9. ábra). Nevezd meg az SA élével kitérő éleit! 9.4. Adott az ABCDA B C D téglatest (9.0. ábra). Nevezd meg a következő egyenesek kölcsönös helyzetét: ) BC és A C; ) BD és CC ; 5) DC és BB ; ) AB és C D ; 4) АB és DC ; 6) AA és CC! D A A B B D D C C 9.0. ábra 9.. ábra 9.5. Igaz-e a következő állítás: ) két, egymással nem párhuzamos egyenesnek van közös pontja; ) két, nem kitérő egyenes egy síkban fekszik; ) két egyenes kitérő lesz, ha nem metszik egymást és nem párhuzamosak? 9.6. Adott az ABCDA B C D kocka (9.8. ábra). Bizonyítsd be, hogy AA és BC egyenesek kitérők! 9.7. Az ABC és ADB háromszögek különböző síkokban fekszenek (9.. ábra). Milyen az AD és BC egyenesek kölcsönös helyzete? Magyarázd meg a válaszodat! A A B B D C C

160 9. Két egyenes kölcsönös helyzete a térben Milyen lehet a b és c egyenesek kölcsönös helyzete, ha: ) az a és b egyenesek metszik egymást, az a és c egyenesek pedig párhuzamosak; ) az a és b egyenesek párhuzamosak, az a és c egyenesek pedig metszik egymást? 9.9. Hány síkot fog megadni három, páronként párhuzamos egyenes? Készíts rajzot is! 9.0. Az AB szakasz A végpontja az a síkhoz illeszkedik. A B és az AB szakaszra illeszkedő C ponton át párhuzamos egyeneseket fektettünk, melyek az a síkot megfelelően a B és C pontokban metszik. ) Határozd meg a BB szakaszt, ha a C pont az AB szakasz felezőpontja és CC = 5 cm! ) Határozd meg a CC szakasz hosszát, ha az AC : BC = : 4 és BB = 8 cm! 9.. A CD szakasz C végpontja a b síkra illeszkedik. A CD szakaszon egy E pontot jelöltünk úgy, hogy CE = 6 cm, DE = 9 cm. A D és E pontokon keresztül párhuzamos egyeneseket fektettek, amelyek a b síkot megfelelően a D és E pontokban metszik. Határozd meg a DD szakasz hosszát, ha EE = cm! 9.. Az a síkot nem metsző AB szakaszon egy C pontot jelöltünk úgy, hogy az AC = 4 cm, BC = 8 cm. Az A, B és C pontokon át párhuzamos egyeneseket fektettek, melyek az a síkot megfelelően az A, B és C pontokban metszik. Határozd meg az A C szakasz hosszát, ha B C = 0 cm! 9.. A C pont az AB szakasz felezőpontja, amely nem metszi a b síkot. Az A, B és C pontokon át párhuzamos egyeneseket fektettek, melyek a b síkot megfelelően az A, B és C pontokban metszik. Határozd meg az AA szakasz hosszát, ha BB = 8 cm, CC = 5 cm! 9.4. * Az a síkot metsző AB szakasz végpontjain és a C felezőpontján keresztül párhuzamos egyeneseket fektettünk, melyek az a síkot megfelelően az A, B és C pontokban metszik (9.. ábra). Határozd meg a CC szakasz hosszát, ha AA = 6 cm, BB = 8 cm! 9.5. * Az ABC háromszögnek és az a síknak nincsenek közös pontjaik. A A BM szakasz az ABC háromszög súlyvonala, az O pont pedig a BM szakasz felezőpontja lesz. Az A, B, C, M és O C pontokon keresztül párhuzamos egyeneseket fektettünk, melyek az a síkot α A B C megfelelően az A, B, C, M és O pontokban metszik. Határozd meg a B BB szakasz hosszát, ha AA = 7 cm, CC = cm, OO = cm! 9.. ábra

161 Párhuzamosság a térben ISMÉTLŐ GYAKORLAT 9.6. Az E pont az ABC háromszög BM súlyvonalának felezőpontja. Az AE egyenes a BC oldalt egy K pontban metszi. Milyen arányban osztja a K pont a BC szakaszt, ha a felosztás arányát a B csúcstól kezdjük számolni? 0. Az egyenes és a sík párhuzamossága B Már ismeritek az egyenes és a sík kölcsönös C helyzetének két lehetséges módját: A D ) az egyenes illeszkedik a síkra, vagyis az egyenes minden pontja illeszkedik erre a síkra; B C ) az egyenes metszi a síkot, vagyis az egyenesnek és a síknak csak egy közös pontja van. A D Érthető, hogy egy harmadik eset is fennáll, 0.. ábra amikor az egyenesnek és a síknak nincsenek közös pontjaik. Például az ABCDA B C D kocka A B élének az ABC síkkal nincs közös pontja (0.. ábra). Definíció. Az egyenest és a síkot párhuzamosnak nevezzük, ha nincs közös pontjuk. Az a egyenes és az a sík párhuzamossságát így jelöljük: a a. Azt is mondhatjuk, hogy az a egyenes párhuzamos az a síkkal, vagy azt, hogy az a sík párhuzamos az a egyenessel. Az egyenest, amely párhuzamos a síkkal, szemléltetni lehet néhány sportszerrel, például a párhuzamos korláttal, melynek rúdjai párhuzamosak a padló síkjával (0.. ábra). Másik példa az épület falával párhuzamos lefolyócső, amely az ereszcsatornában összegyűlő vizet vezeti le (0.. ábra). 0.. ábra 0.. ábra

162 0. Az egyenes és a sík párhuzamossága 6 A meghatározás alapján elég nehéz megállapítani, hogy az egyenes és a sík párhuzamos-e. Sokkal célravezetőbb alkalmazni a következő tételt. 0.. tétel (az egyenes és a sík párhuzamosságának ismertetőjele). Ha a síkhoz nem illeszkedő egyenes párhuzamos egy síkhoz illeszkedő egyeneshez, akkor magával a síkkal is párhuzamos lesz. Például a 0.. ábrán az A B és az AB egyenesek az ABB A négyzet szemközti oldalát tartalmazzák. Ezért ezek az egyenesek párhuzamosak. Mivel AB ABC, ezért az egyenes és a sík párhuzamosságának ismertetőjele alapján A B ABC. A szakasz akkor párhuzamos a síkkal, ha egy olyan egyeneshez illeszkedik, amely párhuzamos az adott síkkal. Például a kocka AB éle párhuzamos a CDD síkkal (0.. ábra). A síkmértanból ismert ismertetőjel alapján már meg tudjátok állapítani két egyenes párhuzamosságát. Vizsgáljunk meg egy tételt, amely két egyenes párhuzamosságának elégséges feltételét adja meg a térben. 0.. tétel. Ha a sík illeszkedik egy adott egyeneshez, amely párhuzamos egy másik síkkal és metszi ezt a síkot, akkor a síkok metszésvonala párhuzamos az adott egyenessel. A 0.4. ábrán az a egyenes párhuzamos az a síkkal. A b sík illeszkedik az a egyeneshez és az a síkot egy b egyenesben metszi. Ekkor b a. a β β b c α b α a 0.4. ábra 0.5. ábra 0.. tétel. Ha két párhuzamos egyenesre síkokat fektetünk, és ezek a síkok az eredeti egyenesektől különböző egyenesben metszik egymást, akkor a metszésvonal párhuzamos lesz a két adott egyenessel. A 0.5. ábrán az a és b egyenesek párhuzamosak, az a sík az a egyenesre illeszkedik, a b sík pedig a b egyenesre, az α β = c. Ekkor c a és c b tétel. Ha két egyenes mindegyike párhuzamos egy harmadikkal, akkor az első kettő is párhuzamos egymással.

163 6 4.. Párhuzamosság a térben Feladat. Bizonyítsuk be, hogyha az egyenes párhuzamos két egymást metsző síkkal, akkor metszőegyenesükkel is párhuzamos. b β n Megoldás. Legyen az a egyenes és az a és b síkok olyanok, hogy a a, a b, α β = b (0.6. ábra). Bebizonyítjuk, hogy a b. Az a és b síkokban találunk olyan m és n egyeneseket, m hogy m a és n a. Ha az m és n egye- α a nesek közül legalább az egyik egybeesik a b egyenessel, akkor az állítás bizonyított lesz. Ha az m és n egyenesek mindegyike különbözik a b egyenestől, akkor a 0.4. tétel alapján azt kapjuk, hogy 0.6. ábra m n. Alkalmazzuk a 0.. tételt, és arra a következtetésre jutunk, hogy b n. Viszont n a, tehát a b.?. Milyen esetben nevezzük az egyenest és a síkot párhuzamosnak?. Fogalmazd meg az egyenes és a sík párhuzamosságának ismertetőjelét!. Milyen szakasz lesz párhuzamos a síkkal? 4. Fogalmazd meg azokat a tételeket, amelyek az elégséges feltételét adják meg az egyenesek párhuzamosságának a térben! GYAKORLATOK 0.. Nevezd meg a környezetedben lévő tárgyak közül azokat, melyek az egyenes és a sík párhuzamosságát illusztrálják! 0.. Adott az ABCDA B C D kocka (0.7. ábra). Melyik lap síkja lesz párhuzamos a következő éllel: ) AD; ) C D ; ) BB? 0.. Adott az ABCDA B C D téglatest (0.8. ábra), ahol az E és F pontok megfelelően a CC és DD élek felezőpontjai. Írd fel a téglatest azon lapjait, melyekkel a következő egyenes párhuzamos: ) AB; ) CC ; ) AC; 4) EF! B C A D A B D B C B F A D A D 0.7. ábra 0.8. ábra C E C

164 0. Az egyenes és a sík párhuzamossága Az a egyenes párhuzamos az a síkkal. Igaz-e az állítás, hogy az a egyenes párhuzamos az a síkra illeszkedő bármely egyenessel? 0.5. Adott az a és b egyenes, valamint az a sík. Igaz-e a következő állítás: ) ha a a és b a, akkor a b; ) ha a b és b a, akkor a a? 0.6. Az a egyenes és az a sík párhuzamosak a b egyenessel. Milyen lehet az a egyenes és a a sík kölcsönös helyzete? 0.7. Az a és b egyenesek metszik egymást, és az a sík párhuzamos az a egyenessel. Milyen lehet az b egyenes és az a sík kölcsönös helyzete? 0.8. Az M és K pontok az ABC háromszög AB és BC megfelelő oldalainak a felezőpontjai. A D pont nem illeszkedik az ABC síkra. Bizonyítsd be, hogy az MK ADC.! 0.9. Az E és F pontok az ABCD trapéz AB és CD megfelelő szárainak a felezőpontjai. Az EF egyenes az a síkra illeszkedik, amely nem a trapéz síkja. Bizonyítsd be, hogy az AD és BC egyenesek párhuzamosak az a síkkal! 0.0. A BC és AD szakaszok az ABCD trapéz alapjai. A BMC háromszög és az ABCD trapéz nem egy síkra illeszkednek (0.9. ábra). Az E pont a BM szakasz felezőpontja, az F pont pedig a CM szakasz felezőpontja. Bizonyítsd be, hogy EF AD.! A M M E F B B C D A D 0.9. ábra 0.0. ábra K C 0.. Az ABCD és AMKD paralelogrammák nem egy síkra illeszkednek (0.0. ábra). Bizonyítsd be, hogy a BMKC négyszög paralelogramma lesz! 0.. Az a sík az ABC háromszög AC oldalával párhuzamos, és az AB és BC oldalakat megfelelően az A és C pontokban metszi (0.. ábra). Határozd meg az A C szakasz hosszát, ha AC = 8 cm és AA : A B = 7 : 5! α A B A C C 0.. ábra

165 Párhuzamosság a térben 0.. Az a sík az ABC háromszög AB oldalával párhuzamos, és az AC, illetve BC oldalakat megfelelően az E és F pontokban metszi. Határozd meg az AE : EC arányt, ha CF : CB = :! 0.4. Az ABC háromszög A és C csúcsa az a síkra illeszkedik, a B csúcs pedig nem illeszkedik ehhez a síkhoz. Az AB és BC oldalakon megfelelően jelölték az E és F pontokat úgy, hogy BA : BE = BC : BF. Bizonyítsd be, hogy az EF egyenes párhuzamos az a síkkal! 0.5. Az M pont az ABC háromszög AB oldalának a felezőpontja. Az a sík illeszkedik az M pontra és párhuzamos az AC egyenessel, a BC oldalt pedig a K pontban metszi. Bizonyítsd be, hogy a K pont a BC oldal felezőpontja! Határozd meg az AMKC négyszög területét, ha az ABC háromszög területe 8 cm! 0.6. Az ABCDA B C D téglatest CC élén jelöltünk egy M pontot (0.. ábra). Szerkeszd meg a következő síkok metszésvonalait: ) ADM és BB C ; AA M és DCC! B C K B C A A D B D M C A D B A D 0.. ábra 0.. ábra C 0.7. Az ABCDA B C D téglatest A B élén jelöltünk egy K pontot (0.. ábra). Szerkeszd meg a következő síkok metszésvonalait: ) CC K és ABB ; ) CDK és ABB! ISMÉTLŐ GYAKORLAT 0.8. A derékszögű trapéz szárai úgy aránylanak egymáshoz, mint : 5, az alapjaik hosszainak különbsége pedig 6 cm. Határozd meg a trapéz területét, ha a kisebbik átlója cm!. A síkok párhuzamossága Vizsgáljuk meg két sík kölcsönös helyzetének eseteit. Már tudjátok, hogy két síknak lehet közös pontjuk, vagyis metszhetik egymást. Olyan eset is lehet, hogy a két síknak nincsenek közös

166 . A síkok párhuzamossága 65 pontjaik. Például az ABC és az A B C síkoknak, melyek egy hasáb alapjai, nincsenek közös pontjaik (.. ábra). Definíció. Két sík párhuzamos, ha nincs közös pontjuk. A A B C D D Ha az a és a b síkok párhuzamosak, akkor azt így jelöljük: α β. Azt is mondhatjuk, hogy B C az a sík párhuzamos a b síkkal, vagy a b sík párhuzamos az a síkkal... ábra A szoba mennyezete és a padlója, vagy az akvárium vízfelülete és az alja (.. ábra) a párhuzamos síkok szemléletes példái... ábra A párhuzamos síkok definíciójából következik, hogy bármilyen egyenes, amely a párhuzamos síkok közül az egyikre illeszkedik, párhuzamos lesz a másik síkkal. Azokban az esetekben, amikor meg kell állapítani, hogy két sík párhuzamos-e, érdemes a következő tételt alkalmazni. A.. t é t e l (a párhuzamos síkok ismertetőjele). Ha egy sík két egymást metsző egyenese megfelelően párhuzamos egy má- B C sik sík két egyenesével, akkor ezek a síkok is párhuzamosak lesznek. D A B.. ábra D C Például a.. ábrán az ABCDA B C D téglatest látható. Adott, hogy AA DD és AB DC. Ekkor a síkok párhuzamosságának ismertetőjele alapján az AA B DDC.

167 Párhuzamosság a térben Azt mondhatjuk, hogy két sokszög akkor párhuzamos, ha párhuzamos síkokhoz illeszkednek. Például az ABCDA B C D téglatest AA B B és a DD C C lapjai párhuzamosak (.. ábra). Megvizsgáljuk a síkok párhuzamosságának néhány tulajdonságát... tétel. Egy síkhoz egy rajta kívül elhelyezkedő ponton át egy és csakis egy párhuzamos sík fektethető (.4. ábra). α β A α β a b γ α β A B A B.4. ábra.5. ábra.6. ábra.. tétel. Két párhuzamos síknak egy harmadik síkkal való metszésük által keletkező metszésvonalak párhuzamos egyenesek lesznek (.5. ábra). F e l a d a t. Bizonyítsuk be, hogy párhuzamos síkok párhuzamos egyenesekből egyenlő szakaszokat metszenek ki. Megoldás. Legyenek az a és a b párhuzamos síkok és az AB, valamint az A B párhuzamos egyenesek olyanok, melyeknél A a, A a, B b, B b (.6. ábra). Bebizonyítjuk, hogy az AB = A B. Az AB és A B párhuzamos egyenesek egy olyan g síkot képeznek, amelyekre igaz, hogy α γ = AA és β γ = BB. A.. tétel alapján azt kapjuk, hogy AA BB. Tehát az AA B B négyszög paralelogramma lesz. Ebből következik, hogy AB = A B.?. Milyen síkokat nevezünk párhuzamosoknak?. Fogalmazd meg két sík párhuzamosságának ismertetőjelét!. Milyen esetben mondjuk azt, hogy két sokszög párhuzamos? 4. Fogalmazd meg a párhuzamos síkok tulajdonságait!

168 . A síkok párhuzamossága 67 GYAKORLATOK.. Igazak-e a következő állítások: ) ha két sík párhuzamos, akkor az egyik sík bármely egyenese párhuzamos lesz a másik sík bármely egyenesével; ) ha az egyenes, amely az egyik síkra illeszkedik, párhuzamos a másik síkra illeszkedő egyenessel, akkor az adott síkok párhuzamosak?.. Az ABCD és az AEFD paralelogrammák nem egy síkra illeszkednek (.7. ábra). Bizonyítsd be, hogy az ABE és a DCF síkok párhuzamosak lesznek!.. Ki lehet-e jelenteni, hogy az a sík párhuzamos a trapéz síkjával, ha az a sík párhuzamos: ) a trapéz alapjaival; ) a trapéz száraival?.4. Igaz-e az állítás: ha két síkot egy harmadikkal metszünk, és a keletkezett metszésvonalak párhuzamosak, akkor az adott síkok is párhuzamosak lesznek?.5. Az a és b síkok párhuzamosak. Az a síkban kiválasztottunk egy C és D pontot, a b síkban pedig a C és D pontokat úgy, hogy a CC és DD egyenesek párhuzamosak. Határozd meg a DD és C D szakaszok hosszát, ha CD = cm, a CC = 4 cm!.6. Az ABC háromszög az a síkban fekszik. A csúcsain keresztül párhuzamos egyeneseket fektettünk, melyek az a síkkal párhuzamos b síkot A, B és C pontokban fogják metszeni. Határozd meg az A B C háromszög kerületét, ha az ABC háromszög kerülete 0 cm!.7. Az M, N és K pontok az ABCD tetraéder AB, AC és AD éleinek felezőpontjai. Bizonyítsd be, hogy az MNK és BCD síkok párhuzamosak!.8. Az ABCD tetraéder DA, DB és DC élein megfelelően jelölték az E, F és K pontokat úgy, hogy DE DF DK = =. Bizonyítsd be, hogy DA DB DC az EFK és az ABC síkok párhuzamosak! E A B F D.7. ábra C

169 Párhuzamosság a térben.9. Az a és b síkok párhuzamosak. Az AB szakasz és a C pont az a síkra illeszkedik, a D pont pedig a b síkra (.8. ábra). Szerkeszd meg: ) a b és az ABD síkok; ) a b és a BCD síkok metszésvonalát! α A B C α M N β D β K P.8. ábra.9. ábra.0. Az a és b síkok párhuzamosak. Az M és N pontok az a síkra illeszkednek, a K és P pontok pedig a b síkra (.9. ábra). Szerkeszd meg: ) az a és az MKP síkok; ) a b és az MNK síkok metszésvonalát!.. Az a és b párhuzamos síkok az ABC szög BA oldalát megfelelően az A és A pontokban metszi, a BC oldalt pedig a C és C pontokban. Határozd meg: ) az A C szakaszt, ha az A C = 6 cm, BA : BA = 5 : 9; ) a C C szakaszt, ha az A C = 4 cm, A C = cm, BC = cm!.. Az a és b síkok párhuzamosak. Az A és B pontok az a síkra illeszkednek, a C és D pontok pedig a b síkra. Az AC és BD szakaszok az O pontban metszik egymást. ) Bizonyítsd be, hogy AO BO =.! OC OD ) Határozd meg az AB szakasz hosszát, ha CD = cm, AC : AO = 7 :!.. Az M pont az ABCDA B C D kocka A D élére illeszkedik. Szerkeszd meg a BDD és CC M síkok metszésvonalát!.4. Az E pont az ABCDA B C D kocka B C élére illeszkedik. Szerkeszd meg az ACC és BED síkok metszésvonalát! ISMÉTLŐ GYAKORLAT.5. Az ABCD négyzet átlóinak metszéspontja az O pont. Az OC szakaszon jelöltünk egy M pontot úgy, hogy CM : MO = :. Határozd meg a tg BMO -et!

170 . Párhuzamos vetítés. Párhuzamos vetítés 69 Nagyon sok olyan jelenséggel és folyamattal találkozunk a mindennapi életben, amelyekben a térbeli testek olyan transzformációit alkalmazzuk, melynek a képe síkbeli alakzat lesz. A.. ábrán egy madár síkra vetett árnyékát figyelhetjük meg. Ekkor a testeknek olyan transzformációjáról beszélünk, amelyet párhuzamos vetítésnek nevezzük. Ennek a transzformációnak a segítségével a síkon megkapjuk a térbeli testek képét. l F α F.. ábra.. ábra A tankönyvben előforduló rajzok többsége térbeli testek ábrázolását tartalmazzák. Ezeket olyan árnyékoknak tekinthetjük, melyeket a test párhuzamos fénysugarakkal való megvilágítása során kapunk. Ismerkedjünk meg a párhuzamos vetítéssel részletesebben. Legyen adva az a sík, az l egyenes, amely metszi ezt a síkot, és az F alakzat (.. ábra). Az F alakzat minden pontján át egyenest fektetünk, melyek párhuzamosak lesznek az l egyenessel (ha az F alakzat az l egyenesre illeszkedne, akkor csak az l egyenest kell vizsgálni). Az egyenesek a síkkal való metszéspontjai egy F alakzatot adnak meg. Az F alakzat ilyen transzformációját párhuzamos vetítésnek nevezzük. Az F alakzatot az F alakzat az l egyenes menti a síkra vetített képének nevezzük, vagy az F alakzat az l egyenes menti vetületének nevezzük. Az a sík és az l egyenes megfelelő kiválasztásával az adott F alakzat szemléletes képét kapjuk meg. Ez azzal magyarázható, hogy a párhuzamos leképezésnek csodálatos tulajdonságai vannak (lásd a... tételeket). Ezeknek a tulajdonságoknak köszönhetően az eredeti alakzattal hasonló alakzatot kapunk. Tekintsük az a síkot és az l egyenest, amely metszi ezt a síkot.

171 Párhuzamosság a térben Ha az l egyenessel párhuzamos egyenesnek a vetülete az a síkra egy pont (.. ábra), l akkor az l egyenes vetülete is egy pont. Ha a szakasz az l egyenessel párhuzamos α vagy rá illeszkedik, akkor ennek a vetülete az a síkra szintén egy pont (.. ábra). A következő tételek olyan szakaszokra és.. ábra egyenesekre vonatkoznak, melyek nem párhuzamosak az l egyenessel, és nem is illeszkednek rá... tétel. Az egyenes párhuzamos vetülete egyenes, a szakasz párhuzamos vetülete pedig szakasz (.4. ábra). l A B a l l α A B a α α.4. ábra.5. ábra.6. ábra.. t é t e l. Két párhuzamos egyenes párhuzamos vetülete vagy egy egyenes lesz (.5. ábra), vagy két párhuzamos egyenes (.6. ábra). Két párhuzamos szakasznak a párhuzamos vetületei vagy egy egyenesre, vagy párhuzamos egyenesekre illeszkednek (.6. ábra)... tétel. Az egy egyenesre vagy párhuzamos egyenesekre illeszkedő szakaszok, illetve vetületeik aránya egyenlő (.7. ábra). Vizsgáljuk meg valamely sokszög vetületét az a síkra, ha a vetítés iránya az l B D egyenes. l A Ha az l egyenes párhuzamos a sokszög C síkjával, vagy ehhez a síkhoz illeszkedik, akkor a sokszög vetülete egy szakasz. D α A B C Most vizsgáljuk meg azt az esetet, amikor az l egyenes metszi a sokkszög AB AB síkját. = CD A párhuzamos vetítés tulajdonságaiból CD következik, hogy a háromszög párhuzamos vetülete háromszög lesz (.8. ábra)..7. ábra Mivel a párhuzamos vetítés során a szakaszok párhuzamossága megmarad, ezért a paralelogramma (a téglalap, a rombusz és a négyzet is) vetülete paralelogramma lesz (.9. ábra).

172 . Párhuzamos vetítés 7 l A B C A D B C l l α B B A A α C C D α.8. ábra.9. ábra.0. ábra A párhuzamos vetítés tulajdonságaiból következik, hogy a trapéz vetülete trapéz. A kör vetülete egy olyan alakzat, amelyet ellipszisnek nevezünk (.0. ábra). A testek párhuzamos vetítés során kapott képét széleskörűen alkalmazzák a különböző iparágakban, például a gépkocsigyártásban (.. ábra) ábra?. Írd le azt a transzformációt, melyet párhuzamos vetítésnek nevezünk!. Fogalmazd meg a párhuzamos vetítés tulajdonságait!

173 7 4.. Párhuzamosság a térben GYAKORLATOK.. Egy alakzat három pontból áll. Hány pontból állhat ennek az alakzatnak a párhuzamos vetülete?.. Lehet-e két egymást metsző egyenesnek a párhuzamos vetülete: ) két egymást metsző egyenes; ) két párhuzamos egyenes; ) egyenes; 4) egyenes és egy rajta kívüli pont?.. Lehet-e két kitérő egyenes párhuzamos vetülete: ) két párhuzamos egyenes; ) két egymást metsző egyenes; ) egyenes; 4) egyenes és egy rajta kívüli pont?.4. ) A nem egyenlő szakaszok párhuzamos vetületei lehetnek-e egyenlő szakaszok? ) Az egyenlő szakaszok párhuzamos vetületei lehetnek-e nem egyenlő szakaszok? ) Lehet-e a szakasznak olyan szakasz a párhuzamos vetülete, melynek a hossza nagyobb az eredeti szakasz hosszánál? 4) Lehet-e az egyenesnek a párhuzamos vetülete az eredeti egyenessel párhuzamos egyenes?.5. Lehet-e a.. ábrán látható alakzat a háromszög párhuzamos eltolásának a vetülete?.6. Lehet-e a trapéz párhuzamos vetülete az A B C D négyszög, melynek az A, B, C és D szögei megfelelően egyenlők: ) 0, 40, 40, 70 ; ) 50, 0, 50, 0?.7. Lehet-e a paralelogramma párhuzamos vetülete olyan négyszög, melynek oldalai 6 cm, 8 cm, 6 cm, 9 cm? A B C B C A D C A B.. ábra.. ábra.4. ábra

174 Ukrajnának vannak tehetségei! 7.8. Az A, B és C pontok megfelelően párhuzamos vetületei az A, B és C pontoknak, melyek egy egyenesre illeszkednek (a B pont az A és C pontok között van). Határozd meg a B C szakasz hosszát, ha AB = 8 cm, BC = 6 cm, A B = cm!.9. Az A, B és C pontok megfelelően párhuzamos vetületei az A, B és C pontoknak, melyek egy egyenesre illeszkednek (a B pont az A és C pontok között van). Határozd meg az A C szakasz hosszát, ha AB = 0 cm, AC = 6 cm, B C = cm!.0. Az A B C D paralelogramma az ABCD téglalap képe (.. ábra). Szerkeszd meg a téglalap átlóinak metszéspontjából a BC oldalra bocsátott merőleges vetületét!.. Az A B C háromszög az ABC derékszögű háromszög képe (.4. ábra). Szerkeszd meg a háromszög átfogójának felezőpontjából az AC befogóra bocsátott merőleges vetületét!.. Az A B C háromszög az ABC háromszög képe. Szerkeszd meg az ABC háromszög B csúcsából bocsátott szögfelező vetületét, ha AB : BC = :!.. Az A B C háromszög az ABC egyenlő szárú háromszög képe, melynek alapja az AC oldal. Szerkeszd meg az ABC háromszögbe írt körvonal középpontjának vetületét, ha AB : AC = 5 : 4! ISMÉTLŐ GYAKORLAT.4. Az ABCD téglalapban adott: AB = 6 cm, AD = cm. Határozd meg az AC és BD egyenesek közötti szöget! UKRAJNÁNAK VANNAK TEHETSÉGEI! Hogyan helyezhetünk el minél több narancsot egy ládában? Ez a kérdés első látásra nagyon egyszerűnek és komolytalannak tűnik, viszont régi története van. 6-ben Johann Kepler német csillagász, matematikus és filozófus, aki a Naprendszer bolygóinak mozgástörvényét alkotta meg, fogalmazta meg a gömbök optimális elrendezésének feladatát a térben. Kepler azt a hipotézist állította fel, hogy a gömböket optimálisan úgy kell elhelyezni, mint ahogy az üzletekben vagy a piacon rakják ki a narancsgúlákat az eladók (.5. ábra) 400 éven keresztül próbálták a világ legelismertebb matematikusai megmagyarázni ezt a feltevést. Ennek a kérdésnek a végső megoldá-

175 Párhuzamosság a térben sa 07-ben készült el. Kepler hipotézisének bizonyítása rengeteg eset számítógépes feldolgozása után sikerült csak, melyet 9 évig ellenőriztek le, és ezután lett elfogadva a megoldás..5. ábra Nagyon fontos szerepet játszottak a több évszázados probléma megoldásában a következő fiatal ukrán matematikusok: A. Bondarenko, M. Vjazovszka és D. Radcsenko, akik a Tarasz Sevcsenko Kijevi Nemzeti Egyetem diákjai voltak. 06-ban jelent meg Marina Vjazovszka tudományos cikke a Kepler-sejtés megoldásáról, amely a 8- és a 4-dimenziós terekre vonatkozott. A szerző ezért Salem-díjat kapott, melyet tehetséges fiatal matematikusoknak ítélnek oda. Ennél csak a Fields-érem nívósabb, amit gyakorta neveznek matematikai Nobeldíjnak. Ez az ukrán tudósok ragyogó eredménye!

176 ! A 4.. ÖSSZEFOGLALÁSA A 4.. összefoglalása 75 A térmértan legfontosabb axiómái A. A tér bármely síkján teljesülnek a síkmértan axiómái. A. A tér bármely nem egy egyenesre illeszkedő három pontjára egy és csakis egy sík illeszkedik. A. Ha az egyenes két pontja illeszkedik a síkra, akkor az egyenes is illeszkedik erre a síkra. A4. Ha két síknak van közös pontja, akkor egy egyenesben metszik egymást. A sík egyértelműen meghatározható: ) nem egy egyenesre illeszkedő három pont által; ) egyenessel és rá nem illeszkedő pont által; ) két egymást metsző egyenes által; 4) két párhuzamos egyenes által. Két egyenes kölcsönös helyzete a térben Két egyenest egymást metsző egyenesnek nevezünk, ha csak egy közös pontjuk van. Két egyenest a térben párhuzamosnak nevezünk, ha egy síkra illeszkednek, és nem metszik egymást. Két egyenest a térben kitérőnek nevezünk, ha nem illeszkednek egy síkhoz. Párhuzamos egyenesek tulajdonságai Két párhuzamos egyenesre egy és csakis egy sík illeszkedik. Kitérő egyenesek ismertetőjele Ha két egyenes közül az egyik egy síkra illeszkedik, a másik pedig olyan pontban metszi ezt a síkot, amely nem illeszkedik az első egyenesre, akkor az adott egyenesek kitérők lesznek. Párhuzamosság a térben Az egyenes és a sík akkor párhuzamos, ha nincsenek közös pontjaik. Két síkot párhuzamosnak mondunk, ha nincsenek közös pontjaik.

177 Párhuzamosság a térben Az egyenes és a sík párhuzamosságának ismertetőjele Ha az egyenes, amely nem illeszkedik az adott síkra, párhuzamos a síkra illeszkedő valamely egyenessel, akkor az adott egyenes magával a síkkal is párhuzamos lesz. Két egyenes párhuzamosságának ismertetőjelei Ha a sík illeszkedik az adott egyenesre, amely párhuzamos egy másik síkkal, és metszi ezt a síkot, akkor a síkok metszésvonala párhuzamos az adott egyenessel. Ha két párhuzamos egyenesre síkokat fektetünk, és ezek a síkok az eredeti egyenesektől különböző egyenesben metszik egymást, akkor a metszésvonal párhuzamos lesz a két adott egyenessel. Ha két egyenes mindegyike párhuzamos egy harmadikkal, akkor az első kettő is párhuzamos egymással. Két sík párhuzamosságának ismertetőjele Ha az egyik sík két egymást metsző egyenese megfelelően párhuzamos egy másik sík két egyenesével, akkor ezek a síkok párhuzamosak lesznek. Párhuzamos síkok tulajdonságai Az adott síkra nem illeszkedő ponton át egy és csakis egy az adott síkkal párhuzamos sík fektethető. Két párhuzamos síknak egy harmadik síkkal való metszésük által keletkező metszésvonalak párhuzamos egyenesek lesznek. Párhuzamos egyenesek szakaszai, melyek párhuzamos síkok között helyezkednek el, egyenlők lesznek.

178 MERŐLEGESSÉG A TÉRBEN 5.. Ebben a paragrafusban megismerkedtek az egyenesek közötti szöggel a térben, az egyenes és a sík közötti szöggel, két sík közötti szöggel; megtudjátok, hogy mit jelent az ortogonális vetítés, elsajátítjátok a sokszög ortogonális vetületének tulajdonságait.. Az egyenesek közötti szög a térben Mivel a tér bármely két egymást metsző egyenese egy síkra illeszkedik, ezért a köztük lévő szöget ugyanúgy határozzuk meg, mint a síkmértanban. Definíció. Két egymást metsző egyenes hajlásszögén, annak a metszéspontnál keletkező szögnek a mértékét értjük, amely nem nagyobb, mint 90 (.. ábra). Úgy tekintjük, hogy a párhuzamos egyenesek hajlásszöge 0 -os. Tehát, ha a j két egy síkra illeszkedő egyenes hajlásszöge, akkor 0 m j m 90. Bevezetjük a kitérő egyenes közötti szög fogalmát. Definíció. Két kitérő egyenes hajlásszögén azt a szöget értjük, amelyet olyan egymást metsző egyenesek alkotnak, melynek szárai párhuzamosak az adott kitérő egyenesekkel. b a M b α α a.. ábra.. ábra Legyen az a és b kitérő egyenesek. A tér M pontján át a és b egyeneseket fektetünk úgy, hogy a a, b b (.. ábra). Az a és b kitérő egyenesek hajlásszögének meghatározásából következik, hogy az egyenlő lesz az a és a b egymást metsző egyenesek közötti szöggel. Felmerül a kérdés: az a és b kitérő egyenesek hajlásszöge függ-e az M pont kiválasztásától? Erre a kérdésre a következő tétel adja meg a választ.

179 Merőlegesség a térben.. tétel. Két egymást metsző egyenes hajlásszöge egyenlő lesz két olyan egymást metsző egyenes hajlásszögével, melynek szárai párhuzamosak az adott egyenesekkel. Alkalmazva a.. tételt, be lehet bizonyítani, hogy az a és b kitérő egyenesek közötti szög egyenlő az a és a b egymást metsző egyenesek közötti szöggel, ha b b. Például a.. ábrán az ABCA B C háromoldalú hasáb látható. Az AA és a BC kitérő egyenesek közötti szög egyenlő a BB és a BC egymást metsző egyenesek közötti szöggel. Definíció. Két egyenest a térben merőlegesnek nevezünk, ha a köztük lévő szög 90 -os lesz. Azt is megjegyezzük, hogy a merőleges egyenesek lehetnek egymást metsző, és kitérő egyenesek is. Ha az a és b egyenesek merőlegesek, akkor ezt így jelöljük: a ^ b. Két szakaszt a térben merőlegesnek nevezzük, ha merőleges egyenesekre illeszkednek. Például az ABCDA B C D kockának az AD és CC élei merőlegesek egymásra (.4. ábra). Valóban, mivel a DD CC, ezért az AD és CC egyenesek közötti szög egyenlő az AD és DD közötti szöggel. Mivel ADD = 90, ezért AD ^ CC. Feladat. A.5. ábrán az ABCDA B C D kocka látható. Határozzuk meg az A D és a D C egyenesek közötti szöget! Megoldás. Kössük össze az A és a B pontokat. Mivel A D BC, ezért az A, D, C és B pontok egy síkra illeszkednek. Ez a sík az A B és D C párhuzamos egyenesekben metszi az AA B és DD C párhuzamos síkokat. Tehát az A D és a D C egyenesek közötti szög egyenlő a DA B szöggel. Összekötjük a B és D pontokat. Az A D, A B és BD szakaszok egyenlők lesznek, mint az egyenlő négyzetek átlói. Tehát az A BD háromszög egyenlő oldalú. Ezért a DA B = 60. Felelet: 60. A Ñ B Ñ B D Ñ B A D A A C B C B B A D A D.. ábra.4. ábra.5. ábra C

180 . Az egyenesek közötti szög a térben 79?. Mit nevezünk két egymást metsző egyenes közötti szögnek?. Mivel egyenlő két párhuzamos egyenes közötti szög?. Mit nevezünk két kitérő egyenes hajlásszögének? 4. Mikor lesz merőleges egymásra a tér két egyenese? 5. Mikor lesz merőleges egymásra a tér két szakasza? GYAKORLATOK.. Hány az adott egyenesre merőleges egyenest lehet húzni egy ponton keresztül, amely: ) az adott egyenesre illeszkedik; ) amely nem illeszkedik az adott egyenesre?.. Adott az ABCDA B C D kocka (.6. ábra). Határozd meg a következő egyenesek közötti szöget: ) CD és BC; ) AA és C D ; ) AA és D C; 4) AC és B D ; 5) A C és AC!.. Adott az ABCDA B C D kocka (.6. ábra). Határozd meg a következő egyenesek közötti szöget: ) AB és BB ; ) AB és B D ; ) A D és B C; 4) B D és C C! A B A B D D C C A B M.6. ábra.7. ábra.8. ábra.4. Az M pont nem illeszkedik az ABCD téglalap síkjához, a CMD háromszög viszont egyenlő oldalú (.7. ábra). Határozd meg az AB és MC egyenesek közötti szöget!.5. Az M pont nem illeszkedik az ABCD téglalap síkjához, az MBA = 40, MBC = 90. Határozd meg a következő egyenesek közötti szöget: ) MB és AD; ) MB és CD!.6. Az ABCD trapéz, melynek alapjai AD és BC, és az MEF háromszög nem illeszkednek egy síkra. Az E pont az AB szakasz felezőpontja, az F pont pedig a CD szakaszé, ME = FE, MEF = 0. Határozd meg a következő egyenesek közötti szöget: ) AD és EF; ) AD és ME; ) BC és MF!.7. Az ABCD paralelogramma és az AED háromszög nem illeszkednek egy síkra (.8. ábra). Határozd meg a BC és AE egyenesek közötti szöget, ha AED = 70, ADE = 0! D C C D E B A

181 Merőlegesség a térben.8. Adott, hogy AB ^ AC, AB ^ AD, AC ^ AD (.9. ábra). Határozd meg a CD szakasz hosszát, ha BC = 7 cm, AB = 5 cm, BD = 9 cm! B A C D A M B D.9. ábra.0. ábra.. ábra.9. Adott, hogy AB ^ AC, AB ^ AD, AC ^ AD (.9. ábra). Határozd meg a BC szakasz hosszát, ha CD = 4 cm, BD = cm, ABD = 60!.0. Az ABCD tetraéder minden éle a, az M és K pontok az AB és CD éleinek megfelelő felezőpontjai (.0. ábra). Határozd meg az MK szakasz hosszát!.. Az E, F, M és K pontok az ABCD tetraéder AB, BC, AD és BD éleinek a megfelelő felezőpontjai (.. ábra). Határozd meg az EF és MK egyenesek közötti szöget, ha a BAC = a!.. Az ABCDA B C D kocka ABCD lapjának átlói az O pontban metszik egymást. Határozd meg az OB és az A C egyenesek közötti szöget!.. Az ABCDA B C D téglatest alapja egy olyan négyzet, melynek oldala a. Határozd meg az AD és a B C egyenesek közötti szöget, ha a téglatest oldalélének hossza a.! K C A E M B D K F C ISMÉTLŐ GYAKORLATOK.4. Az ABCD paralelogramma AC és BD átlói megfelelően 4 cm és 0 cm, AD = cm. Határozd meg a paralelogramma kerületét! 4. Az egyenes és a sík merőlegessége A mindennapi életben azt mondjuk: a zászlórúd merőleges a föld felszínére (4.. ábra), az árbóc merőleges a fedélzet felszínére (4.. ábra), a csavart a deszka felületére merőlegesen kell becsavarni (4.. ábra) stb.

182 4. Az egyenes és a sík merőlegessége ábra 4.. ábra 4.. ábra A fenti példáknak segítségével elképzelést nyerhetünk a síkra merőleges egyenesről. Definíció. Az egyenest a síkra merőlegesnek mondjuk, ha az egyenes merőleges a sík minden egyenesére (4.4. ábra). Az a egyenes és az a sík merőlegességét így írjuk fel: a ^ a. Azt is szokás mondani, hogy az a sík merőleges az a egyenesre, vagy az a egyenes és az a sík merőlegesek egymásra. A meghatározásból következik, hogyha az a egyenes merőleges az a síkra, akkor az egyenes metszi a síkot. A szakaszt a síkra merőlegesnek nevezzük, ha a szakasz illeszkedik az egyenesre, amely merőleges az adott síkra. Például nyilvánvaló, hogy az ABCDA B C D téglatest AA éle merőleges az ABC síkra (4.5. ábra). Ezt az állítást egyszerű bizonyítani a következő tétel alapján. a B C α A D B A D 4.4. ábra 4.5. ábra C 4.. tétel (az egyenes és a sík merőlegességének ismertetőjele). Ha az egyenes merőleges a sík két egymást metsző egyenesére, akkor merőleges az adott síkra is.

183 8 5.. Merőlegesség a térben A 4.5. ábrán az AA egyenes merőleges az ABC sík AB és AD egyeneseire, amelyek metszik egymást. Ezért az egyenes és a sík merőlegességének ismertetőjele alapján AA ^ ABC, vagyis az AA él merőleges az ABC síkra. A 4.. tételt gyakran alkalmazzák a gyakorlatban is. Például a karácsonyfatartó kereszt alakú. Ha a karácsonyfát úgy állítjuk be, hogy a törzse merőleges a kereszt ágaira, akkor a karácsonyfa merőleges lesz a padló síkjára is (4.6. ábra). A következő tételt is alkalmazhatjuk az egyenes és a sík merőlegességének másik ismertetője ábra leként. 4.. tétel. Ha két párhuzamos egyenes közül az egyik merőleges egy síkra, akkor a másik is merőleges a síkra (4.7. ábra). Például a 4.5. ábrán az AA egyenes merőleges az ABC síkra, a CC egyenes párhuzamos az AA egyenessel. Tehát a 4.. tétel alapján a CC egyenes szintén merőleges lesz az ABC síkra. a b a b α α Ha a b és a ^ a, akkor Ha a ^ a és b ^ a, akkor b ^ a a b 4.7. ábra 4.8. ábra Megfogalmazzuk két egyenes párhuzamosságának ismertetőjelét. 4.. t é t e l. Ha két egyenes egy és ugyanarra a síkra merőleges, akkor ezek az egyenesek párhuzamosak (4.8. ábra). Igaz a következő tétel is tétel. Adott síkra egy ponton keresztül egy és csakis egy merőleges egyenes bocsátható. Feladat. Az a sík merőleges az ABC háromszög AC befogójára, az AC befogót az E pontban, az AB átfogót pedig az F pontban metszi (4.9. ábra). Határozzuk meg az EF szakasz hosszát, ha AE : EC = : 4, BC = cm!

184 4. Az egyenes és a sík merőlegessége 8 Megoldás. Mivel az AC egyenes merőleges az a síkra, ezért az AC egyenes merőleges ennek a síknak bármely egyenesére, tehát az EF egyenesre is. B C Az EF és a BC egyenesek egy síkra illeszkednek, és merőlegesek az AC egyenesre, ezért az EF BC. Ebből következik, hogy az AEF és ACB háromszögek hasonlóak. Tehát fel lehet írni, hogy: EF : CB = AE : AC. Innen az EF : = : 7, EF = 9 cm. Felelet: 9 cm. α F 4.9. ábra E A?. Milyen egyenest nevezünk a síkra merőlegesnek?. Milyen szakaszt nevezünk a síkra merőlegesnek?. Fogalmazd meg az egyenes és a sík merőlegességének ismertetőjelét? 4. Fogalmazd meg a két párhuzamos egyenesről szóló tételt, melyek közül az egyik merőleges a síkra! 5. Fogalmazd meg a két egyenesről szóló tételt, melyek merőlegesek ugyanarra a síkra! GYAKORLATOK 4.. Az a egyenes merőleges az a síkra. Létezik-e az a síkban olyan egyenes, amely nem lesz merőleges az a egyenesre? 4.. Az m egyenes merőleges az a síkra illeszkedő a és b egyenesekre. Következik-e ebből, hogy az m egyenes merőleges az a síkra? 4.. Igaz-e az állítás, hogyha az egyenes nem merőleges a síkra, akkor nem merőleges egyetlen egyenesre sem, amely a síkra illeszkedik? B C 4.4. Adott az ABCDA B C D kocka (4.0. ábra). D A Nevezd meg azokat a lapjait a kockának, melyekre a következő egyenes merőleges lesz: ) AA ; B ) AD! C 4.5. Adott az ABCDA B C D kocka (4.0. ábra). Nevezd meg azokat az éleit a kockának, melyek merőlegesek a következő lapjára: ) AA B B; ) A B C D! A D 4.0. ábra

185 Merőlegesség a térben 4.6. Igaz-e az állítás, hogy az egyenes merőleges a síkra, ha merőleges: ) az erre a síkra illeszkedő háromszög oldalaira és oldalfelezőire; ) az erre a síkra illeszkedő háromszög oldalaira és középvonalaira; ) az erre a síkra illeszkedő trapéz két oldalára; 4) az erre a síkra illeszkedő körvonal két átmérőjére? 4.7. Az ABC szabályos háromszög O középpontjából annak síkjára DO merőlegest állítottak (4.. ábra). Határozd meg a DO szakasz hosszát, ha AB = 6 cm, DA = 4 cm! A D M C B C O O A D B B D A B O A D 4.. ábra 4.. ábra 4.. ábra C C 4.8. Az ABCD négyzet O középpontjából a négyzet síkjára MO merőlegest bocsátottak (4.. ábra). Határozd meg az M pont és a D csúcs közötti távolságot, ha AD = 4 cm, MO = cm! 4.9. Az O pont az ABCDA B C D kocka ABCD lapjának a középpontja, a kocka éle pedig a (4.. ábra). Határozd meg: ) az O pont és a B csúcs közötti távolságot; ) a B O és a DD egyenesek közötti szög tangensét! 4.0. Az ABCDA B C D téglatest B D átlója 7 cm, az AA B B lapnak az AB átlója pedig 5 cm (4.4. ábra). Határozd meg a téglatest AD élének hosszát! A A B C D E F B C A B C O A D C D 4.4. ábra 4.5. ábra 4.6. ábra B

186 5. A merőleges és a ferde Az ABCD rombusz B csúcsán át BE merőlegest állítottak a rombusz síkjára (4.5. ábra). Bizonyítsd be, hogy az AC egyenes merőleges a BEO síkra! 4.. Az ABC derékszögű háromszög (ACB = 90 ) A csúcsában az ABC háromszög síkjára AF merőleges egyenest állítottak (4.6. ábra). Bizonyítsd be, hogy a BC egyenes merőleges az AFC síkra! 4.. Az AB szakasz nem metszi az a síkot. Az A és B pontokból merőleges egyeneseket bocsátottak az a síkra, melyek azt megfelelően a C és D pontokban metszik. Határozd meg a CD szakasz hosszát, ha AC = 4 cm, BD = 8 cm, AB = 0 cm! 4.4. Az AB szakasz nem metszi az a síkot. Az A és B pontokból merőleges egyeneseket bocsátottak az a síkra, melyek azt megfelelően az A és B pontokban metszik. Határozd meg az AB szakasz hosszát, ha AA = cm, BB = cm, AB = 0 cm! ISMÉTLŐ GYAKORLAT 4.5. Egy pontból az egyenesre két ferdét húztak, melyeknek a vetületei 5 cm és 9 cm. Határozd meg az adott pont és az adott egyenes közötti távolságot, ha az egyik ferde cm-rel nagyobb a másiknál! 5. A merőleges és a ferde Legyen az F alakzat, az F alakzat az l egyenes irányú párhuzamos vetülete az a síkra. Ha l ^ a, akkor az F alakzat az F alakzat ortogonális vetülete lesz az a síkra. Például az ABCDA B C D téglatest ABCD alapja az A B C D alapnak az AA irányú ortogonális vetülete lesz az ABC síkra (5.. ábra). B C A későbbiekben, ha az alakzat vetületéről beszélünk, és nem adnak meg mást, ak- A D kor az ortogonális vetületről lesz szó. B C Legyen adott az a sík és az A pont, mely A D nem illeszkedik erre a síkra. Az A ponton keresztül egy a egyenest fektetünk, amely 5.. ábra merőleges az a síkra. Legyen a α= B

187 Merőlegesség a térben (5.. ábra). Az AB szakaszt az A pontból az a síkra bocsátott merőlegesnek nevezzük, a B pontot pedig a merőleges talppontjának. A merőleges B talppontja az A pont vetülete lesz az a síkra. a A M α C B A O C 5.. ábra 5.. ábra Jelöljünk az a síkon egy B-től különböző tetszőleges C pontot. Meghúzzuk az AC szakaszt (5.. ábra). Az AC szakaszt az A pontból az a síkra bocsátott ferdének nevezzük. A C pont a ferde talppontja lesz. A BC szakasz az AC ferde vetülete lesz. 5.. tétel. Ha egy pontból a síkra egy merőlegest és egy ferdét bocsátunk, akkor a ferde hossza nagyobb lesz, mint a merőlegesé.. f e l a d a t. Bizonyítsuk be, hogy annak a pontnak a vetülete, amely nem illeszkedik a sokszög síkjára és egyenlő távolságra van a csúcsaitól, a sokszög köré írt körvonal középpontja lesz! Megoldás. A bizonyítást a háromszög esetére végezzük el. A bizonyítás a többi sokszögre is hasonlóan történik. Legyen az M pont, amely nem illeszkedik az ABC háromszög síkjához, és MA = MB = MC. Az M pontból MO merőlegest bocsátunk az ABC síkra (5.. ábra). Bebizonyítjuk, hogy az O pont az ABC háromszög köré írt körvonal középpontja. Mivel MO ^ ABC, ezért az MOA = MOB = MOC = 90. Az MOA, MOB, MOC derékszögű háromszögeknek az MO befogója közös, az átfogói egyenlők, tehát ezek a háromszögek egybevágók az átfogójuk és a befogójuk alapján. A háromszögek egybevágóságából következik, hogy az OA = OB = OC, vagyis az O pont lesz az ABC háromszög köré írt körvonal sugara. Megjegyezzük, hogy amikor meg kell határozni két mértani alakzat közötti távolságot, akkor a két legközelebbi pontjuk közötti távolságot határozzuk meg. Például a síkmértanból már ismert, hogy az B

188 5. A merőleges és a ferde 87 egyeneshez nem illeszkedő pont és az egyenes távolsága egyenlő az adott ponttól az egyenes legközelebbi pontjához mért távolsággal, vagyis a pontból az egyenesre bocsátott merőleges szakasz hosszával. A 5.. tételből következik, hogy érdemes elfogadni a következő meghatározást. Definíció. Ha az adott pont nem illeszkedik a síkra, akkor a sík és a pont közötti távolságon az adott pontból a síkra bocsátott merőleges szakasz hosszát értjük. Ha a pont illeszkedik a síkra, akkor a pont és a sík közötti távolságot nullának tekintjük.. f e l a d a t. Bizonyítsuk be, hogyha az egyenes párhuzamos a síkkal, akkor az egyenes minden pontja egyenlő távolságra lesz a síktól! Megoldás. Legyenek az A és B pontok a A B az a egyenes két tetszőleges pontja. Az A és B pontok az A és B pontokból az a síkra B bocsátott merőlegesek talppontjai (5.4. ábra). α A Bebizonyítjuk, hogy az AA = BB. A 4.. tétel alapján az AA BB. Tehát 5.4. ábra az A, A, B, B pontok egy síkra illeszkednek. Az ABB sík az a síkkal párhuzamos a egyenesre illeszkedik, és az a síkot az A B egyenesben metszi. Ekkor a 0.. tétel alapján: AB A B. Ezért az AA B B négyszög mindkét szemközti oldalpárja párhuzamos egymással. Ebből következik, hogy AA = BB. Mivel az A és B pontok az a egyenes tetszőleges pontjai, ezért a feladat állítását bebizonyítottuk. A fentebb bizonyított tulajdonság alapján elfogadhatjuk a következő meghatározást. Definíció. Az egyenes távolsága a vele párhuzamos síktól egyenlő lesz az egyenes tetszőleges pontjának távolságával a síktól. A. kulcsos feladat eredményére támaszkodva könnyen megoldhatjuk az alábbi feladatot.. f e l a d a t. Bizonyítsd be, hogyha két sík párhuzamos, akkor az egyik sík minden pontja ugyanolyan távolságra lesz a másik síktól. Definíció. Két párhuzamos sík közötti távolságnak nevezzük az egyik sík bármely pontjának a másik síktól való távolságát.

189 Merőlegesség a térben A. és. kulcsos feladat eredményeit gyakran alkalmazzák a gyakorlati feladatok megoldása során, például az építkezéseknél (5.5. ábra). A a C α 5.5. ábra 5.6. ábra B 5.. tétel (három merőleges tétele). Ha az egyenes, amely egy síkra illeszkedik, merőleges a ferde vetületére, akkor merőleges magára a ferdére is. És fordítva, ha a síkban fekvő egyenes merőleges a síkhoz húzott ferdére, akkor merőleges a ferde vetületére is. Bizonyítás. Bebizonyítjuk a tétel első részét. Legyen az a az a síkra illeszkedő egyenes, amely merőleges az AC ferde BC vetületére (5.6 ábra). Bebizonyítjuk, hogy a ^ AC. Adott: AB ^ a, a a, tehát AB ^ a. Azt kaptuk, hogy az a egyenes merőleges az ABC síkot alkotó egymásra merőleges AB és BC egyenesekre; tehát a ^ ABC. Mivel AC ABC, akkor a ^ AC. A második rész bizonyítása hasonló az első rész bizonyításához. 4. f e l a d a t. Az M pont nem illeszkedik a domború sokszög síkjára és egyenlő távolságra van az oldalegyeneseitől. Az M pont vetülete a sokszög síkjára az O pont lesz, amely a sokszögre illeszkedik. Bizonyítsuk be, hogy az O pont a beírt körvonal középpontja! Megoldás. Bebizonyítjuk a háromszög esetére a feladatot. Más sokszög esetén a bizonyítás hasonló lesz.

190 5. A merőleges és a ferde 89 Az O pontból merőlegeseket bocsátunk az AB, BC és CA egyenesekre, amelyek megfelelően az ON, OK és OE szakaszok lesznek (5.7. ábra). Az M pontot összekötjük az E, K és N pontokkal. Az ON szakasz az MN ferde vetülete lesz az ABC síkra. A szerkesztés szerint ON ^ AB. Ekkor a három merőleges tétele alapján az MN ^ AB. Hasonlóan be lehet bizonyítani, hogy MK ^ BC és ME ^ CA. Tehát az MN, MK és ME szakaszok hosszai az M pont megfelelő távolságai lesznek az AB, BC és CA egyenesektől. A feltétel alapján MN = MK = ME. Az MON, MOK, MOE derékszögű háromszögekben az MO befogó közös és az átfogók egyenlők, tehát ezek a háromszögek egybevágók a befogójuk és az átfogójuk alapján. A háromszögek egybevágóságából következik, hogy ON = OK = OE. Az ON, OK és OE szakaszok hosszai megegyeznek az O pont és az ABC háromszög oldalegyenesei közötti távolsággal. Bebizonyítottuk, hogy ezek a távolságok egyenlők. Mivel az O pont az ABC háromszögre illeszkedik, ezért az O pont az ABC háromszögbe írt körvonal középpontja lesz.?. Milyen esetben mondjuk azt, hogy az F alakzat az F alakzat ortogonális vetülete?. Milyen szakaszt nevezünk: ) a pontból a síkra bocsátott merőlegesnek; a pontból a síkra bocsátott ferdének?. Fogalmazd meg a pontból a síkra bocsátott ferdéről, illetve merőlegesről szóló tételt! 4. Mit nevezünk a pont és a sík közötti távolságnak? Az egyenes és a vele párhuzamos sík közötti távolságnak? Két párhuzamos sík közötti távolságnak? 5. Fogalmazd meg a három merőleges tételét! A N B M O E K 5.7. ábra C GYAKORLATOK 5.. A 5.8. ábrán az ABCDA B C D kocka látható. Nevezd meg a C D szakasz vetületét a következő síkra: ) ABC; ) AA B! ) BB C; B D A B A D 5.8. ábra C C

191 Merőlegesség a térben 5.. A 5.9. ábrán az ABCDA B C D téglatest látható. Nevezd meg a DB szakasz vetületét a következő síkra: ) A B C ; ) CDD ; ) AA D! B C A A A D B C α B C D D 5.9. ábra 5.0. ábra 5.. A pontból a síkra egy cm-es merőlegest és egy cm-es ferdét bocsátottak. Határozd meg ennek a ferdének a vetületét az adott síkra! 5.4. Az A pontból az a síkra egy merőlegest és egy 7 cm-es ferdét húztak. Az adott ferde vetülete cm. Határozd meg az A pont és az a sík közötti távolságot! 5.5. Az A pontból az a síkra egy AC merőlegest, valamint az AB és AD ferdéket húztak (5.0. ábra). Határozd meg az AD ferde vetületét az a síkra, ha ABC = 45, AB = 8 cm, AD = 9 cm! 5.6. Az M pontból az a síkra egy MH merőlegest, valamint az MA és MB ferdéket húztak (5.. ábra). Határozd meg az MA ferdét, ha BH = 6 6 cm, MB = 8 cm, MAH = 60! 5.7. Bizonyítsd be, hogy az egy adott pontból a síkra bocsátott egyenlő hosszúságú ferdéknek egyenlők a vetületei is! 5.8. Bizonyítsd be, hogy amikor az egy pontból a síkra bocsátott két ferde vetülete egyenlő, akkor a ferdék is egyenlők! 5.9. Az a és a b síkokra megfelelően illeszkedő a és b párhuzamos egyenesek közötti távolság 7 cm. Igaz-e az az állítás, hogy az a és a b síkok közötti távolság is 7 cm? 5.0. Az M pontból az a síkra MA, MB, MC és MD egyenlő hosszúságú ferdéket húztak. Lehetnek-e az A, B, C és D pontok: ) egy téglalapnak; ) egy derékszögű trapéznak; ) egy rombusznak; 4) egy egyenlő szárú trapéznak a csúcsai? 5.. A 5.. ábrán az ABCD négyzet látható, ahol az NC egyenes merőleges a négyzet síkjára. Bizonyítsd be, hogy a BD és NO egyenesek merőlegesek egymásra!

192 5. A merőleges és a ferde 9 M N F α A B C B H O B A D A D 5.. ábra 5.. ábra 5.. ábra C 5.. A 5.. ábrán az ABCD rombusz látható. Az FC egyenes merőleges a rombusz síkjára. Bizonyítsd be, hogy az AF és BD egyenesek merőlegesek egymásra! 5.. A 5.4. ábrán az ABC egyenlő oldalú háromszög látható, ahol a D pont a BC oldal felezőpontja. Az AM egyenes merőleges az ABC síkra. Bizonyítsd be, hogy az MD ^ BC! M A A C D B O B a 5.4. ábra 5.5. ábra 5.4. Az AO egyenes merőleges az O középpontú körlap síkjára (5.5. ábra). Az a egyenes a körlap síkjára illeszkedik, és az adott kört a B pontban metszi. Bizonyítsd be, hogy AB ^ a! 5.5. Bizonyítsd be, hogyha a pont illeszkedik egy egyeneshez, amely merőleges a sokszög síkjára és illeszkedik a sokszög köré írt körvonal középpontjára, akkor ez a pont egyenlő távoságra lesz a sokszög csúcsaitól! 5.6. Az A pontból az a síkra AB = 5 cm és AC = 7 cm ferdéket húztak. Határozd meg az A pont távolságát az a síktól, ha a síkra való vetületeik úgy aránylanak egymáshoz, mint 5 :! 5.7. A D pontból az a síkra DA és DB ferdéket húztak, melyek összege 8 cm lesz. Határozd meg ezeknek a ferdéknek a hosszát, ha az a síkra való vetületeik megfelelően 9 cm és 5 cm! 5.8. Az M pont 6 cm-re van az ABC szabályos háromszög minden csúcsától, melynek oldala 9 cm. Határozd meg az M pont távolságát az ABC háromszög síkjától!

193 9 5.. Merőlegesség a térben 5.9. Az ABC derékszögű háromszög (ACB = 90 ) befogói 6 cm és 8 cm. A D pont a háromszög minden csúcsától cm-re van. Határozd meg a D pont és az ABC sík közötti távolságot! 5.0. A BD szakasz merőleges az AC alapú ABC egyenlő szárú háromszög síkjára (5.6. ábra). Szerkessz merőlegest a D pontból az AC egyenesre! 5.. A BD szakasz merőleges az ABC derékszögű háromszög síkjára, melynek C a derékszöge (5.7. ábra). Szerkessz merőlegest a D pontból az AC egyenesre! D D E A B B B C C A C A D 5.6. ábra 5.7. ábra 5.8. ábra 5.. A BE szakasz merőleges az ABCD rombusz síkjára (5.8. ábra). Szerkessz merőlegest az E pontból az AC egyenesre! 5.. Az M pont egyenlő távolságra van az ABC egyenlő oldalú háromszög oldalaira illeszkedő egyenesektől. Az M pont vetülete az ABC háromszög síkjára az O pont lesz, amely a háromszögre illeszkedik. Határozd meg az M pont távolságát az AB oldaltól, ha az adott pont távolsága az ABC síktól cm és az AB = 8 cm lesz! 5.4. A rombusz oldala 0 cm, az egyik átlója 6 cm. Az M pont 5, cm-re lesz a rombusz oldalegyeneseitől. Határozd meg az M pont távolságát a rombusz síkjától! 5.5. Az M pontból az a síkhoz MN és MK ferdéket húztunk, melyek a síkbeli vetületeikkel 60 -os szögeket alkotnak. Határozd meg az adott ferdék talppontjai közötti távolságot, ha a ferdék közötti szög 90, az M pont és az a sík közötti távolság pedig cm! 5.6. Az A pontból az a síkhoz AB és AC ferdéket húztunk, melyek a síkbeli vetületeikkel 0 -os szögeket alkotnak. Határozd meg az adott ferdék hosszait, valamint az A pont és az a sík távolságát, ha a ferdék vetületei közötti szög 90, a ferdék talppontjai közötti távolság pedig 6 cm!

194 5. A merőleges és a ferde A DA szakasz merőleges az ABC háromszög síkjára, ahol AB = 0 cm, AC = 7 cm, BC = cm. Határozd meg a D pont és a BC egyenes távolságát, ha a D pont távolsága az ABC síktól 5 cm! 5.8. Az AB szakasz az O középpontú körvonal átmérője, a BC pedig a kör húrja, ahol AB = cm, ABC = 0. Az AE szakasz merőleges a körvonal síkjára. Határozd meg az E pont és a körvonal síkja közötti távolságot, ha az E pont a BC egyenestől 0 cm-re van! 5.9. Az MA szakasz merőleges az ABCD rombusz síkjára. Határozd meg az M pont és a CD egyenes közötti távolságot, ha BAD = 0, AD = 0 cm, MA = 5 cm! 5.0. A DA szakasz merőleges az ABC háromszög síkjára, ABC = 0, AB = 4 cm. Határozd meg a D pont távolságát az ABC síktól, ha ez a pont a BC egyenestől 4 cm-re van! 5.. Az M pont nem illeszkedik az ABC (ACB = 90 ) háromszög síkjára és 5 cm-re van mindegyik oldalegyenesétől. Az M pont vetülete az ABC síkra az O pont, amely az adott háromszögben fekszik. Az ABC háromszögbe írt körvonal érintési pontja az AB átfogót cm és 0 cm-es szakaszokra osztja. Határozd meg az M pont távolságát az ABC síktól! 5.. Az M pont nem illeszkedik a sokszög síkjára, az adott síkra való vetülete pedig a sokszögbe írt körvonal középpontja. Bizonyítsd be, hogy az M pont egyenlő távolságra lesz a sokszög oldalaitól! 5.. Az egyenlő szárú trapéz alapjai 6 cm és 6 cm. Ebbe a trapézba írt körvonal középpontja az O pont, amelyből a trapéz síkjára MO merőlegest állítottak. Az M pont a trapéz síkjától 6 cm távolságra van. Határozd meg az M pont távolságát a trapéz oldalaitól! 5.4. Az O pont az ABCD trapézba írt körvonal középpontja, BC AD, AB ^ AD, CD = cm, ADC = 45. Az MO szakasz merőleges a trapéz síkjára. Az M pont a trapéz síkjától 6 cm távolságra van. Határozd meg az M pont távolságait a trapéz oldalaitól! 5.5. * Adott az ABCDA B C D kocka. Bizonyítsd be, hogy CD ^ AB C!

195 Merőlegesség a térben ISMÉTLŐ GYAKORLAT 5.6. A kör köré írt szabályos háromszög oldala cm. Határozd meg e kör köré írt négyzet oldalát! 6. Az egyenes és a sík hajlásszöge Már tudjátok, hogy a régmúltban az utazók a csillagok szerint tájékozódtak. Ilyenkor azt a szöget határozták meg, amelyet a látóhatár síkja és az adott pontot az égitesttel összekötő félegyenes zár be. A mai kor emberének a tevékenysége során tudnia kell meghatározni egy adott sík és egy objektum között fekvő szögek nagyságát (6.. ábra). ϕ ϕ ϕ 6.. ábra Ezek a példák azt mutatják, hogy célszerű meghatározni az egyenes és a sík hajlásszögét. Def i n íció. Ha az egyenes párhuzamos a síkkal, vagy rá illeszkedik, akkor az egyenes és a sík hajlásszöge 0. Ha az egyenes merőleges a síkra, akkor úgy tekintjük, hogy az egyenes és a sík hajlásszöge 90. Ha az egyenes metszi a síkot és nem merőleges rá, akkor az egyenes és a sík hajlásszöge az a szög, amelyet az egyenes a síkon lévő merőleges vetületével bezár (6.. ábra).

196 6. Az egyenes és a sík hajlásszöge 95 α C B A D ϕ C B A D 6.. ábra 6.. ábra A meghatározásból következik, hogyha a j az egyenes és a sík hajlásszöge, akkor 0 m j m 90. Úgy is szokták mondani, hogy az egyenes a síkkal j szöget alkot. A szakasz és a sík hajlásszögének a szakaszt tartalmazó egyenes és a sík hajlásszögét tekintjük. Vizsgáljuk meg például az ABCDA B C D kockát (6.. ábra). Az AA B B lap AB átlója az ABC síkkal 45 -os szöget zár be. Valóban az AB egyenes az AB egyenesnek a vetülete lesz az ABC síkon. Ezért az AB egyenes és az ABC sík hajlásszöge egyenlő a B AB szöggel. Mivel az AA B B négyszög négyzet lesz, ezért a B AB = 45. Feladat. Bizonyítsuk be, hogy amikor egy pontból a síkra olyan ferdéket húzunk, melyek egyenlő szögeket zárnak be a síkkal, akkor az adott pont vetülete egyenlő távolságra lesz a ferdék talppontjaitól! Megoldás. Legyen az MA és MB olyan ferdék, melyek egyenlő szögeket zárnak be az a síkkal, az OA és OB pedig ezeknek a ferdéknek a vetületei M (6.4. ábra). Bebizonyítjuk, hogy OA = OB. Az OA egyenes az MA egyenesnek az a síkra való vetülete. Mivel az MAO szög hegyesszög, ezért egyenlő az OA és MA egye- α B O A nesek közti szöggel. Tehát az MAO szög egyenlő az MA ferde és az a sík hajlásszögével. Hasonlóan bizonyítható, hogy az 6.4. ábra MBO szög egyenlő az MB ferde és az a sík hajlásszögével. A feladat feltétele alapján MAO = MBO. Mivel az MO ^ a, ezért MOA = MOB = 90. Azt kaptuk, hogy az MOA és az MOB derékszögű háromszögek egybevágók a befogójuk és a szemközti hegyesszögük alapján. Ebből következik, hogy OA = OB.

197 Merőlegesség a térben?. Mivel egyenlő az egyenes és a sík hajlásszöge, ha az egyenes párhuzamos a síkkal? Ha az egyenes a síkra illeszkedik? Ha az egyenes merőleges a síkra?. Mit nevezünk az egyenes és a sík hajlásszögének, ha az egyenes metszi a síkot és nem merőleges rá? GYAKORLATOK 6.. Adott az ABCDA B C D kocka, ahol az O pont az ABCD oldallap középpontja (6.5. ábra). Nevezd meg: ) az AB egyenes és az A B C sík közötti; ) az AC egyenes és az ABC sík közötti; ) az AC egyenes és a CDD sík közötti; 4) az OA egyenes és az ABC sík közötti; 5) az AC egyenes és az ADD sík közötti szöget! 6.. Egy pontból a síkra egy merőlegest és egy ferdét húztak, amely az adott síkkal 50 -os szöget alkot. Mivel lesz egyenlő az adott ferde és az adott pontból bocsátott merőleges közötti szög? 6.. Az M pontból az a síkra egy MA merőlegest és egy MB ferdét állítottak, amely az a síkkal j szöget alkot. Határozd meg: ) az MB ferde vetületét az a síkra, ha az M pont és a sík közötti távolság d-vel egyenlő; ) az MB ferdét, ha az a síkra való vetülete a! 6.4. Az A pontból az a síkra egy ferdét állítottak. Mivel egyenlő a ferde és az a sík hajlásszöge, ha az A pont és az a sík közötti távolság: ) egyenlő a ferde vetületével az a síkra; ) kétszer rövidebb, mint maga a ferde? 6.5. Hány olyan ferde húzható a síkra nem illeszkedő A pontból, amely az a síkkal 40 -os szöget alkot? 6.6. Az MA egyenes merőleges az ABC síkra (6.6. ábra), AB = AM = 6 cm, AC = cm. Határozd meg azt a szöget, amelyet az ABC sík: ) az MB; ) az MC egyenessel alkot! 6.7. Az O pont az ABC szabályos háromszög középpontja (6.7. ábra), melynek oldala 6 cm. Az MA egyenes merőleges az ABC síkra. Határozd meg az MO egyenes és az ABC sík közötti szöget, ha MA = cm!

198 6. Az egyenes és a sík hajlásszöge 97 M M A B C 6.6. ábra 6.7. ábra 6.8. Bizonyítsd be, hogy a síkhoz ugyanabból a pontból húzott egyenlő hosszúságú ferdék az adott síkkal azonos szöget alkotnak! 6.9. Bizonyítsd be, hogyha a síkhoz ugyanabból a pontból húzott ferdék ugyanolyan szög alatt hajlanak a síkhoz, akkor a ferdék hosszai is egyenlők lesznek! 6.0. Az M pontból az a síkra MB merőlegest, valamint MA és MC ferdéket bocsátottak. Határozd meg az MC egyenes és az a sík közötti szöget, ha MA = 5 cm, MC = 0 cm, az MA és az a sík közötti szög pedig 45! 6.. Az A pontból az a síkra AH merőlegest, valamint AB és AC ferdéket bocsátottak, melyek az a síkkal 45 és 60 -os szögeket alkotnak. Határozd meg az AB szakasz hosszát, ha AC = 4 cm! 6.. A D pontból az a síkra DA és DB ferdéket húztak, amelyek az adott síkkal 0 -os szöget zárnak be. Az adott ferdék a síkra való vetületei közötti szög 0 -os. Határozd meg a ferdék talppontjai közötti távolságot, ha DA = cm! 6.. A B pontból az a síkra BA és BC ferdéket húztak, amelyek az adott síkkal 45 -os szöget zárnak be. A ferdék talppontjai közötti távolság 6 cm. Határozd meg a B pont távolságát az a síktól, ha a ferdék közötti szög 60 -os! 6.4. Az A pont az a síktól cm távolságra van. Az AB és AC ferdék a síkkal megfelelően 60 és 45 -os szögeket alkotnak, a ferdék közötti szög pedig 90 -os. Határozd meg a ferdék talppontjai közötti távolságot! 6.5. Az M pontból az a síkra MA és MB ferdéket húztak. Az MA ferde az a síkkal 45 -os szöget alkot, az MB ferde pedig 0 -os szöget. Határozd meg a ferdék talppontjai közötti távolságot, ha MA = 6 cm, a ferdék közötti szög pedig 45 -os! 6.6. Az M pont az ABCD négyzet minden csúcsától cm távolságra van, az MA egyenes a négyzet síkjával 60 -os szöget alkot. Határozd meg az M pont és a négyzet oldala közötti távolságot! A O B C

199 Merőlegesség a térben 6.7. Az M pont az ABCD négyzet minden oldalától egyenlő távolságra van. A négyzet oldala 9 6 cm, és 9 cm távolságra van a négyzet síkjától. Határozd meg az MA egyenes és a négyzet síkja közötti szöget! ISMÉTLŐ GYAKORLAT 6.8. A háromszög oldalai cm, 7 cm és 4 cm. Határozd meg a háromszög középső oldalával szemközti szögét! 7. Lapszögek. A síkok hajlásszöge A 7.. ábrán egy olyan alakzat látható, amely két félsíkból áll, melyeknek közös a határuk. Ez az alakzat a teret két részre osztja, amit a 7.. ábrán két szín jelöl. Mindkét részt a félsíkokkal együtt lapszögnek nevezzük. A határoló félsíkok a lapszög lapjai, közös határegyenesük a lapszög éle. A 7.. ábrán látható sárga és kék lapszögek lényegesen különböznek egymástól. Ezt a különbözőséget a következő tulajdonság adja meg. A lapszög lapjain kijelölünk tetszőleges M és N 7.. ábra pontokat (7.. ábra. Az MN szakasz a sárga lapszögben helyezkedik el, a kékben csak a szakasz végpontjai lesznek. A továbbiakban, ha lapszögről beszélünk, akkor ezen azokat a lapszögeket értjük, melyek olyan tetszőleges szakaszt tartalmaznak, melyeknek végpontjai a lapszög lapjaira illeszkednek (a sárga lesz a lapszög). N M 7.. ábra 7.. ábra

200 7. Lapszögek. A síkok hajlásszöge ábra A félig nyitott osztálytábla, a nyeregtető, a nyitott laptop (7.4. ábra) némi elképzelést nyújt számunkra a lapszögről. A lapszöget a síkon lévő szög térbeli analógiájának tekintjük. Már tudjátok, hogyan határozzuk meg a szög mértékét a síkon. Megismerkedünk a lapszög mértékének meghatározásával. A lapszög MN élén megjelölünk egy tetszőleges O pontot. Az O pontból a lapszög lapjaira illeszkedő OA és OB félegyeneseket húzunk, merőlegesen az MN élre (7.5. ábra). A félegyenesek által keletkezett AOB szöget a lapszög élszögének nevezzük. Mivel az MN ^ OA és MN ^ OB, ezért az MN ^ AOB. Így, ha a lapszög élének bármilyen pontjából merőleges síkot fektetünk a lapszög élére, akkor ez a sík a lapszöget az élszögében metszi. M B C A O B A D B N A D 7.5. ábra 7.6. ábra C Definíció. A lapszög mértéke az élszögének mértékével lesz egyenlő. A lapszöget hegyes-, derék-, tompa- vagy egyenesszögűnek nevezzük, ha az élszöge megfelelően hegyes-, derék-, tompa- vagy egyenesszög lesz. Például vizsgáljuk meg az ABCDA B C D kockát (7.6. ábra). A DD élű lapszög, melynek lapjai az AAD és CDD síkra illeszkednek, derékszögű lesz. Valóban, mivel AD ^ DD és CD ^ DD, ezért az ADC szög lesz a DD élű lapszög élszöge. Az ADC szög derékszög.

201 Merőlegesség a térben Két sík metszésekor négy lapszög keletkezik, melyek nem lesznek egyenesszögűek (7.7. ábra). Itt két eset lehetséges: ) mind a négy lapszög derékszögű (7.7. a ábra); ) a négy lapszög közül két egyenlő hegyesszögű és két egyenlő tompaszögű lapszög keletkezik (7.7. b ábra). a 7.7. ábra b Mindkét esetben a négy lapszög között mindig lesz olyan, melynek mértéke nem nagyobb 90 -nál. Definíció. Két egymást metsző sík hajlásszögének azt a lapszöget nevezzük, amely nem nagyobb 90 -nál. Két párhuzamos sík hajlásszöge 0 -os. A sokszög és a sík hajlásszögének, amelyre az adott sokszög nem illeszkedik, a sokszög síkja és az adott sík hajlásszögét nevezzük. Két különböző síkra illeszkedő sokszög hajlásszögének, azoknak a síkoknak a hajlásszögét nevezzük, amelyre az adott sokszögek illeszkednek. M B A 7.8. ábra C Feladat. Az ABC (A = 90 ) és ABM (B = 90 ) derékszögű háromszögek AB befogója közös (7.8. ábra). Az MB szakasz merőleges az ABC síkra. Adott, hogy MB = 4 cm, AC = 6 cm, MC = 0 cm. Határozd meg az ABC és AMC síkok közötti szöget!

202 7. Lapszögek. A síkok hajlásszöge 0 Megoldás. A BA szakasz az MA ferde merőleges vetülete az ABC síkon. Mivel BA ^ AC, ezért a három merőleges tétele alapján az MA ^ AC. Tehát az MAB szög az AC élű lapszög élszöge lesz, melyeknek lapjai az ABC és AMC síkok lesznek. Mivel az MAB szög hegyesszög, ezért az ABC és AMC síkok közötti szög egyenlő az MAB szöggel. Az AMC derékszögű háromszög AM oldalának hosszát a követke- ző képlettel számíthatjuk ki: AM = MC AC. Innen AM = 00 6 = 8 (cm). MB Az MAB derékszögű háromszög MAB szöge pedig a sin MAB =. MA képlettel számítható ki. Innen sin MAB = és MAB = 0. Felelet: 0. Igaz a következő tétel, amely az adott sokszög területét és a vetületének a területét kapcsolja össze. 7.. tétel (a sokszög ortogonális vetületének területe). A domború sokszög vetületének területe egyenlő a sokszög területének, valamint a sokszög és a vetülete közötti a szög koszinuszának szorzatával, ahol 0 m a m 90. Definíció. Két síkot merőlegesnek mondunk, ha a köztük lévő szög 90 -os. Ha az a és b síkok merőlegesek, akkor azt így jelöljük: a ^ b. Úgy is szokás mondani, hogy az a sík merőleges a b síkra, vagy a b sík merőleges az a síkra. A merőleges síkok szemléletes példái lehetnek: a szoba fala és a mennyezete, az ajtó síkja és a padló, a teniszpálya és a hálójának a síkja (7.9. ábra) ábra

203 0 5.. Merőlegesség a térben A B C D A B D C 7.0. ábra 7.. ábra Természetesen az egymásra merőleges síkok négy egyenlő lapszöget alkotnak (7.0. ábra). 7.. tétel (a merőleges síkok ismertetőjele). Ha két sík közül az egyik olyan egyenesre illeszkedik, amely merőleges a másik síkra, akkor ezek a síkok merőlegesek egymásra. Például az ABCDA B C D téglatest AA B B lapjának a síkja (7.. ábra) merőleges az ABCD lap síkjára. Valóban, az AA B sík az AA egyenesre illeszkedik, amely merőleges az ABC síkra.?. Milyen alakzatot nevezünk a lapszög élszögének?. Mit nevezünk a lapszög mértékének?. Mit nevezünk a két egymást metsző sík közötti szögnek? 4. Mivel egyenlő két párhuzamos sík közötti szög? 5. Fogalmazd meg a sokszög ortogonális vetületéről szóló tételt! 6. Milyen síkokat nevezünk merőlegeseknek? 7. Fogalmazd meg a merőleges síkok ismertetőjelét! GYAKORLATOK 7.. A környezettedben lévő tárgyakon mutasd meg a lapszögeket! 7.. Adott az ABCDA B C D kocka (7.. ábra). ) A felsorolt szögek közül melyik lesz az ABC és AB C síkok lapszöge: a) A AB ; b) A AB ; c) B DA ; d) B AB ; e) B DB? ) Határozd meg az adott lapszög értékét!

204 7. Lapszögek. A síkok hajlásszöge 0 B C D A A D A C E B B D 7.. ábra 7.. ábra C 7.. Az AD szakasz merőleges az ABC szabályos háromszög síkjára (7.. ábra), az E pont pedig a BC szakasz felezőpontja. A következő szögek közül nevezd meg annak a lapszögnek az élszögét, melynek lapjai az ABC és BCD síkokra illeszkednek: ) ABD ; ) AED ; ) BAD ; 4) ACD! 7.4. A 0 -os lapszög egyik lapján egy A pontot jelöltünk (7.4. ábra). Az A pont és a lapszög éle közötti távolság 8 cm. Mennyi az A pont és a lapszög másik lapja közötti távolság? 0 A F E B C A D 7.4. ábra 7.5. ábra 7.5. A hegyesszögű lapszög egyik lapján felvettünk egy pontot, amelynek a másik laptól való távolsága 4 cm, a lapszög élétől pedig 8 cm-re van. Mekkora az adott lapszög mértéke? 7.6. Az ABCD és BCEF téglalapok különböző síkokhoz illeszkednek (7.5. ábra), Az AF egyenes merőleges az ABC síkra. Határozd meg a lapszög mértékét, melynek lapjaira az adott téglalapok illeszkednek, ha AF = 5 cm, CD = 5 cm!

205 Merőlegesség a térben D M A B B C A C 7.6. ábra 7.7. ábra 7.7. Az ABC és ACD háromszögek különböző síkokra illeszkednek (7.6. ábra). A BD egyenes merőleges az ABC síkra. Határozd meg a lapszöget, melynek lapjaira illeszkednek az adott háromszögek, ha ismert, hogy ACD = 90, BC = 6 cm, CD = cm! 7.8. Adott az a sík és a vele párhuzamos a egyenes. Hány olyan síkot lehet fektetni az a egyenesre, hogy az a sík és a másik sík közötti j szögre teljesüljön a következő feltétel: ) j = 90 ; ) j = 0 ; ) 0 < j < 90? 7.9. Az MB szakasz merőleges az ABC egyenlő oldalú háromszög síkjára (7.7. ábra). Határozd meg az ABM és CBM síkok közötti szöget! 7.0. A CE szakasz merőleges az ABCD négyzet síkjára (7.8. ábra). Határozd meg a BCE és DCE síkok közötti szöget! 7.. A BK szakasz merőleges az ABCD rombusz síkjára (7.8. ábra), ahol ABC = 00. Határozd meg az ABK és CBK síkok közötti szöget! 7.. Határozd meg a sokszög vetületét egy adott síkra, ha a sokszög területe 8 cm, a sokszög síkja és a vetület síkja közötti szög pedig 45! 7.. Határozd meg a sokszög területét, ha vetületének területe egy adott síkra 4 cm, a sokszög síkja és a vetület síkja közötti szög pedig 0! E K B C B C A D A D 7.8. ábra 7.9. ábra

206 7. Lapszögek. A síkok hajlásszöge A környezetedben lévő tárgyak közül melyek alkotnak merőleges síkokat! 7.5. A 7.0. ábrán az ABCDA B C D kocka látható. Határozd meg, hogy merőlegesek-e a síkok: ) A B C és CDD ; ) AA C és ABC; ) ABC és A B C ; 4) ACC és BDD! A B C D A D B E A B D C C F 7.0. ábra 7.. ábra 7.6. A hegyesszögű lapszög egyik lapján felvettük az A és D pontokat (7.. ábra). Az A pontból AB és AC merőlegeseket bocsátunk a lapszög élére és a másik lapjára. A D pontból pedig DE és DF merőlegeseket a lapszög élére és a másik lapjára. Határozd meg a DE szakasz hosszát, ha AB = cm, AC = cm, DF = 0 cm! 7.7. A hegyesszögű lapszög egyik lapján felvettük az A és B pontokat, melyek megfelelően 4 és 8 cm-re lesznek a másik lapjától. Az A pont és a lapszög éle közötti távolság 4 cm. Határozd meg a B pont távolságát a lapszög élétől! 7.8. Az egyenlő szárú trapéz alapjai 0 cm és 8 cm, a szára pedig 8 cm. Határozd meg az adott trapéz vetületének területét az a síkra, ha a trapéz síkja és az a sík közötti szög 0 -os! 7.9. A rombusz egyik oldalán keresztül, melynek átlói 6 cm és cm, a síkot fektettünk, amely a rombusz síkjával 0 -os szöget alkot. Határozd meg a rombusz vetületét az a síkra! 7.0. A B pont a lapszög belsejében helyezkedik el, és a lapjaitól cm és cm távolságra van, az élétől pedig cm-re. Határozd meg a lapszög szögét! 7.. A C pont a lapszög belsejében helyezkedik el. A C pontból a lapszög lapjaira bocsátott merőlegesek közötti szög 0 -os. Határozd meg a lapszög szögét! 7.. A 45 -os lapszög lapjaira a lapszög élével párhuzamos egyeneseket fektettünk, melyek az élétől megfelelően cm és cm-re vannak. Határozd meg a párhuzamos egyenesek közötti távolságot!

207 Merőlegesség a térben 7.. Az a sík a lapszög lapjait az m és n párhuzamos egyenesekben metszi. A lapszög éle az m egyenestől cm-re, az n egyenestől pedig 5 cm távolságra van. Az m és n egyenesek közötti távolság 7 cm. Határozd meg a lapszög szögét! 7.4. Az ABCD és a CBFE téglalapok síkjai merőlegesek egymásra (7.. ábra). Határozd meg az E pont és az AD egyenes közötti, valamint a D pont és a BF egyenes közötti távolságot, ha AB = BF = 5 cm, BC = cm! F E D B C A B A D 7.. ábra 7.. ábra 7.5. Az ABC és ADC szabályos háromszögek merőleges síkokra illeszkednek. Határozd meg a BD egyenes és az ABC sík hajlásszögét! 7.6. Az ABC és ADC egyenlő szárú derékszögű háromszögek közös AC = 6 cm átfogóval rendelkeznek, a síkjaik pedig merőlegesek egymásra (7.. ábra). Határozd meg a B és D pontok közötti távolságot! 7.7. A szakasz végpontjai két merőleges síkra illeszkednek. A szakasz végpontjai és a síkok metszésvonala közötti távolság pedig 5 cm és 6 cm. A szakasz végpontjaiból a metszésvonalra bocsátott merőlegesek talppontjai közötti távolság cm. Határozd meg az adott szakasz hosszát! 7.8. Az A és B pontok megfelelően az a és b merőleges síkokra illeszkednek. Az A és B pontból AC és BD merőlegeseket bocsátottak az a és b síkok metszésvonalára. Határozd meg a B pont és az a és b síkok metszésvonala közötti távolságot, ha az A pont és a metszésvonal távolsága 9 cm, AB = 7 cm, CD = cm! 7.9. Az a és b merőleges síkok. Az A pont az a síkra illeszkedik, a B pont pedig a b síkra. Az A pont távolsága az a és b síkok metszésvonalától 5 cm, a B ponté pedig 5 cm. Határozd meg az AB egyenes és az a sík közötti szöget, ha az AB egyenes és a b sík közötti szög 0 -os! C

208 7. Lapszögek. A síkok hajlásszöge A 6 cm-es szakasz végpontjai két egymásra merőleges síkra illeszkednek, a szakasz végpontjainak távolsága a síkok metszésvonaláig cm és cm. Határozd meg azokat a szögeket, amelyeket ez a szakasz az adott síkokkal alkot! 7.. Az ABCD és AEFD közös AD alapú trapézok síkjai merőlegesek egymásra, BAD = EAD = 90, ADC = ADF = 60, CD = 4 cm, DF = 8 cm. Határozd meg: ) a BC és az EF egyenesek; ) a C és F pontok közötti távolságot! 7.. Az ABCD négyzet és az AEFD téglalap síkjai merőlegesek egymásra. Határozd meg a BC és EF egyenesek közötti távolságot, ha a négyzet területe 5 cm, a téglalap területe pedig 60 cm! 7.. Az ABCD tetraéder DA éle merőleges az ABC síkra (7.4. ábra), ahol AB = BC = AC = 8 cm, BD = 4 7 cm. Határozd meg az ABC és a BCD síkok által megadott lapszög szögét! D D A C A B B C 7.4. ábra 7.5. ábra 7.4. Az ABCD tetraéder DB éle merőleges az ABC síkra (7.5. ábra), ahol ACB = 90, AC = BC = 7 cm, AD = 7 5 cm. Határozd meg az ABC és ACD síkok által alkotott lapszög szögét! 7.5. * Az ABCDA B C D kocka CC élének az M pont a felezőpontja. Határozd meg a BMD és az A BD síkok hajlásszögét! ISMÉTLŐ GYAKORLAT 7.6. A háromszög két oldala 5 cm és 5 cm, a harmadik oldalra bocsátott súlyvonal pedig 6 cm. Határozd meg a háromszög harmadik oldalát!

209 Merőlegesség a térben! AZ 5.. ÖSSZEFOGLALÁSA Az egyenesek közötti szög a térben Két egymást metsző egyenes közötti szögnek annak a szögnek a mértékét nevezzük, amely a metszéspontjuknál keletkezik és nem nagyobb, mint 90. Két párhuzamos egyenes egymással 0 -os szöget zár be. Két kitérő egyenes hajlásszögén azt a szöget értjük, amelyet olyan egymást metsző egyenesek alkotnak, melynek szárai párhuzamosak az adott kitérő egyenesekkel. Két egyenest a térben merőlegesnek nevezzük, ha a köztük lévő szög 90 -kal egyenlő. Az egyenes és a sík merőlegessége Az egyenest a síkra merőlegesnek mondjuk, ha az egyenes merőleges a sík minden egyenesére. Ha az egyenes merőleges a sík két egymást metsző egyenesére, akkor merőleges erre a síkra is. Ha két párhuzamos egyenes közül az egyik merőleges a síkra, akkor a másik is merőleges ugyanerre a síkra. Ha két egyenes egy és ugyanarra a síkra merőleges, akkor ezek az egyenesek párhuzamosak. Az adott ponton keresztül az adott síkra egy és csakis egy merőleges bocsátható. Az alakzat ortogonális vetülete Legyen az F alakzat az F alakzat l egyenes menti párhuzamos vetülete az a síkra. Ha az l ^ a, akkor az F alakzatot az F alakzat ortogonális vetületének nevezzük az a síkra. A pont és a sík távolsága Ha az adott pont nem illeszkedik a síkra, akkor a sík és a pont közötti távolságon az adott pontból a síkra bocsátott merőleges szakasz hosszát érjük. Ha a pont illeszkedik a síkra, akkor a pont és a sík közötti távolságot nullának tekintjük.

210 Az 5.. összefoglalása 09 Az egyenes és a vele párhuzamos sík közötti távolság Az egyenes távolsága a vele párhuzamos síktól egyenlő lesz az egyenes tetszőleges pontjának távolságával a síktól. Két párhuzamos sík közötti távolság Két párhuzamos sík közötti távolságnak nevezzük az egyik sík bármely pontjának a másik síktól való távolságát. Három merőleges tétele Ha az egyenes, amely egy síkra illeszkedik merőleges a ferde vetületére, akkor merőleges magára a ferdére is. És fordítva, ha a síkban fekvő egyenes merőleges a síkhoz húzott ferdére, akkor merőleges a ferde vetületére is. Az egyenes és a sík hajlásszöge Ha az egyenes párhuzamos a síkkal, vagy rá illeszkedik, akkor az egyenes és a sík hajlásszöge 0. Ha az egyenes merőleges a síkra, akkor úgy tekintjük, hogy az egyenes és a sík hajlásszöge 90. Ha az egyenes metszi a síkot, és nem merőleges rá, akkor az egyenes és a sík hajlásszöge az a szög, amelyet az egyenes a síkon lévő merőleges vetületével bezár. A lapszög szöge A lapszög szögének az élszögének mértékét nevezzük. Két egymást metsző sík hajlásszöge Két egymást metsző sík hajlásszögének azt a lapszöget nevezzük, amely nem nagyobb 90 -nál. A sokszög ortogonális vetületének területe A domború sokszög vetületének területe egyenlő a sokszög területének, valamint a sokszög és a vetülete közötti a szög koszinuszának szorzatával, ahol 0 m a k 90. Merőleges síkok Két síkot merőlegesnek mondunk, ha a köztük lévő szög 90 -os. A merőleges síkok ismertetőjele Ha két sík közül az egyik olyan egyenesre illeszkedik, amely merőleges a másik síkra, akkor ezek a síkok merőlegesek egymásra.

211 KOORDINÁTÁK ÉS VEKTOROK A TÉRBEN 6.. Ebben a paragrafusban megismerkedtek a térbeli derékszögű koordináta-rendszerrel, megtanuljátok meghatározni a pontok térbeli koordinátáit, a szakasz hosszát és a felezőpontjának koordinátáit. Általánosítjátok és bővítitek a vektorokról eddig tanultakat. 8. A pont Descartes-féle koordinátái a térben Az előző osztályokban megismerkedtetek a derékszögű koordináta-rendszerrel a síkon, amit két, egy közös kezdőpontból kiinduló, egymásra merőleges számegyenes alkot (8.. ábra). y 0 Ordinátatengely Abszcisszatengely x x z Applikátatengelygely Abszcisszatengely 8.. ábra 8.. ábra O Ordinátatengely y A koordináta-rendszert a térben is megadhatjuk. A derékszögű (Descartes-féle) koordináta-rendszernek a térben három, egymásra kölcsönösen merőleges számegyenest nevezzük, melyeknek közös a kezdőpontjuk (8.. ábra). A három számegyenes metszéspontját O betűvel jelöljük, és origónak (a koordináta-rendszer kezdőpontjának) mondjuk. A koordinátaegyeneseket x, y és z betűkkel jelöljük, és megfelelően abszcisszatengelynek, ordinátatengelynek és applikátatengelynek nevezzük.

212 8. A pont Descartes-féle koordinátái a térben z z x xz Applikátatengely Abszcisszatengely yz Ordinátatengely O xy y x α O M x M z M γ β M y y 8.. ábra 8.4 ábra Azokat a síkokat, amelyek illeszkednek az x és y, x és z, y és z tengelypárokra, koordinátasíkoknak nevezzük, és jelölésük megfelelően: xy, xz, yz (8.. ábra). A koordináta-rendszer által meghatározott teret koordinátatérnek mondjuk. Ha a koordinátatengelyeket az x, y, z betűkkel jelöljük, akkor a koordinátateret xyz-vel. A síkmértanból már tudjuk, hogy minden M pontnak az xy koordinátasíkon egy (x; y) rendezett számpár felel meg, melyeket az M pont koordinátáinak nevezzük. Így jelöljük: M (x; y). Hasonlóan minden M pontnak a koordinátatérben egy (x; y; z) rendezett számhármas felel meg, melyet a következőképpen definiálunk. Az M ponton át három a, b és g síkot fektetünk, melyek megfelelően merőlegesek az x, y és z tengelyekre. A síkok koordinátatengelyekkel való metszéspontjait az M x, M y és M z betűkkel jelöljük (8.4. ábra). Az M x pont koordinátáját az x tengelyen az M pont abszcisszájának nevezzük és x-szel jelöljük. Az M y pont koordinátáját az y tengelyen az M pont ordinátájának nevezzük és y-nal jelöljük. Az M z pont koordinátáját az z tengelyen az M pont applikátájának nevezzük és z-vel jelöljük. Az ily módon kapott (x; y; z) számhármast az M pont térbeli koordinátájának nevezzük. Így írjuk fel: M (x; y; z). Ha az M pont koordinátája M (x; y; z), akkor az x, y, z számok egyenlők az M pont és az yz, xz, xy koordinátasíkok közötti távolságokkal. E tény ismeretében be lehet bizonyítani, hogy az

213 6.. Koordináták és vektorok a térben z M (x; y; z) és N (x; y; z) pontok például egy olyan egyenesre illeszkednek, amely merőleges az xy síkra, és egyenlő távolságra van ettől a síktól (8.5. ábra). O y Ebben az esetben azt mondjuk, hogy az M és N pontok szimmetrikusak az xy síkra. x Ha egy pont a koordinátasíkra vagy a koordinátatengelyre illeszkedik, akkor egyes koordinátái nullával lesznek egyenlők. Például az A (x; y; 0) pont az 8.5. ábra xy koordinátasíkra illeszkedik, a B (0; 0; z) pont pedig az applikátatengelyre. Igazak lesznek a következő állítások. 8.. tétel. Az A (x ; y ; z ) és a B (x ; y ; z ) pontok közötti távolság a következő képlettel határozható meg: AB = ( x x ) + ( y y ) + ( z z ). 8.. tétel. A végpontok koordinátáival megadott szakasz felezőpontjának koordinátái egyenlők a végpontok megfelelő koordinátáinak a számtani közepével, vagyis az A (x ; y ; z ) és a B (x ; y ; z ) pontok felezőpontja a következő pont lesz: M x + x y + y z + z ; ;. A 8.. és a 8.. tétel hasonlóan bizonyítható, mint a síkmértan megfelelő tételei. Például az A (x; y; z) és B ( x; y; z) pontok felezőpontja a koordináta-rendszer kezdőpontja, vagyis az O (0; 0; 0) pont. Az ilyen esetben azt mondjuk, hogy az A és B pontok szimmetrikusak a koordináta-rendszer kezdőpontjára.?. Hogyan nevezzük a közös kezdőpontú három, egymásra kölcsönösen merőleges koordinátatengelyt?. Hogyan nevezzük azt a koordinátatengelyt, melyet x-szel jelölünk? y-nal jelölünk? z-vel jelölünk?. Hogyan kell felállítani a kapcsolatot a koordinátatér minden M pontja és az (x; y; z) rendezett számhármasok között? 4. Milyen esetben mondjuk azt, hogy két pont szimmetrikus az xy koordinátasíkra? A xz koordinátasíkra? Az yz koordinátasíkra? 5. Hogyan kell meghatározni két pont közötti távolságot, ha ismertek a pontok koordinátái?

214 8. A pont Descartes-féle koordinátái a térben 6. Hogyan kell meghatározni a szakasz felezőpontjának koordinátáit, ha ismertek a szakasz végpontjainak koordinátái? 7. Milyen esetben mondjuk azt, hogy két pont szimmetrikus a koordináta-rendszer kezdőpontjára? GYAKORLATOK 8.. Állapítsd meg, hogy az adott pont illeszkedik-e koordinátatengelyre: ) A (4; ; 0); ) C ( 6; 0; 0); 5) E (0; 0; ); ) B (; 0; 5); 4) D (0; 7; 0); 6) F (; 0; 0)! Igenlő válasz esetén nevezd meg a tengelyt is! 8.. Állapítsd meg, hogy az adott pont illeszkedik-e koordinátasíkra: ) A (4; ; 5); ) C (; ; 0); 5) E (0; 4; 0); ) B (0; ; 6); 4) D (; 0; 8); 6) F ( ; ; )! Igenlő válasz esetén nevezd meg a koordinátasíkot is! 8.. Mekkora távolságra van az M (4; 5; ) pont a következő koordinátasíktól: ) xy; ) xz; ) yz? 8.4. Milyen az M ( ; ; 4) pont vetületének koordinátái a következő koordinátasíkra: ) xz; ) yz; ) xy? 8.5. Határozd meg az A és B pontok közötti távolságot, ha: ) A (; 4; ), B (5; 6; ); ) A ( ; ; ), B ( ; ; 0)! 8.6. Határozd meg a C (6; 5; ) és D (8; 7; ) pontok közötti távolságot! 8.7. Határozd meg a CD szakasz felezőpontjának koordinátáit, ha C ( ; 6; 7), D (4; 0; )! 8.8. Határozd meg a EF szakasz felezőpontjának koordinátáit, ha E (; ; 0), F (; 4; 8)! 8.9. Az A ( ; 6; ), B ( ; 6; ), C (; 6; ), D (; 6; ) pontok közül melyek illeszkednek az xz síkkal párhuzamos síkra? 8.0. Az M (5; 0; ), N (5; 9; ), K (4; 9; ), P (4; 9; ) pontok közül melyek illeszkednek az xy síkkal párhuzamos síkra? 8.. Nevezd meg annak a pontnak a koordinátáit, amely szimmetrikus az M (; 5; ) ponttal a következő koordinátasíkra: ) xz; ) yz; ) xy! 8.. Nevezd meg annak a pontnak a koordinátáit, amely szimmetrikus az N ( 7; ; 0) ponttal a koordináta-rendszer kezdőpontjához képest! 8.. Az A (5; 8; ), B (5; 8; ), C ( 5; 7; ), D (5; 7; ) pontok közül melyek illeszkednek egy az ordinátatengellyel párhuzamos egyenesre?

215 4 6.. Koordináták és vektorok a térben 8.4. A D (; ; 4), E ( ; ; 4), K (; ; 4), M ( ; ; 4) pontok közül melyek illeszkednek egy, az applikátatengellyel párhuzamos egyenesre? 8.5. Az ABCDA B C D kocka a derékszögű koordináta-rendszerben úgy helyezkedik el, mint ahogy a 8.6. ábrán látható. Az A pont koordinátái (; ; 0). Határozd meg a többi csúcsának a koordinátáit! z z B C B C A D A D A x B O D C y 8.6. ábra 8.7. ábra 8.6. Az ABCDA B C D téglatest oldalélei párhuzamosak az applikátatengellyel (8.7. ábra). AD =, AB = 5, AA = 8. A koordináta-rendszer O kezdőpontja a DD él felezőpontja. Határozd meg a téglatest csúcsainak a koordinátáit! 8.7. Az A (; ; 6) és C ( ; ; 4) pontok az ABCD négyzet csúcsai. Határozd meg a négyzet területét! 8.8. Az A (5; 5; 4) és B (8; ; ) pontok az ABC egyenlő oldalú háromszög csúcsai. Határozd meg a háromszög kerületét! 8.9. Az S pont az AD szakasz felezőpontja, ahol A ( ; ; ), S (5; ; 0). Határozd meg a D pont koordinátáit! 8.0. Az A (; y; ) és B (; 6; 5) pontok közötti távolság 6. Határozd meg az y értékét! 8.. Az A pont az abszcisszatengelyre illeszkedik. Az A pont távolsága a C (; ; ) ponttól egység. Határozd meg az A pont koordinátáit! 8.. Határozd meg az M ( ; 4; 9) pont és az applikátatengely közötti távolságot! 8.. Határozd meg a K (; 0; 5) pont és az ordinátatengely közötti távolságot! x A B O D C y ISMÉTLŐ GYAKORLAT 8.4. Az egyenlő szárú trapéz alapjai cm és 7 cm, az átlói pedig merőlegesek egymásra. Határozd meg a trapéz területét!

216 9. Vektorok a térben 9. Vektorok a térben 5 A síkmértanban megismerkedtünk a síkbeli vektorokkal. Most pedig megkezdjük az ismerkedést a térbeli vektorokkal. A síkbeli vektorok sok fogalma és tulajdonsága szinte megegyezik a térbeli vektorokéval. A tételek bizonyítása is teljesen hasonlóan történik a térbeli vektorokra, mint a megfelelő tétel bizonyítása a síkvektorokra. Vizsgáljuk meg az AB szakaszt. Ha az A pontot a szakasz kezdőpontjának tekintjük, a B pontot pedig a végpontjának, akkor az ilyen szakaszt nem csak a hossza, de az A pontból a B pontba való iránya is jellemezi. Ha meg van adva, hogy melyik pont a szakasz kezdőpontja, és melyik a szakasz végpontja, akkor az ilyen szakaszt irányított szakasznak vagy vektornak nevezzük. Azt a vektort, melynek kezdete az A pont, a végpontja pedig a B, így jelöljük: AB (így olvassuk: AB vektor). A vektorok jelölésére az ábécé kisbetűjét is használhatjuk, amely fölé kis nyilat teszünk. A 9.. ábrán az AB, MN és p. vektorok láthatók. N A B O D C α A M B p A B O D C 9.. ábra 9.. ábra A szakasztól eltérően, melynek végpontjai különböző pontok, a vektor kezdő- és végpontja egybeeshet. Azt a vektort, melynek a kezdő- és végpontja egybeesik, nullvektornak nevezzük, és 0.-val jelöljük. Az AB vektor abszolút értékének az AB szakasz hosszát nevezzük. Így jelöljük: AB. Az a abszolút értékét így jelöljük: a. Úgy tekintjük, hogy a nullvektor hossza nullával egyenlő: 0 = 0. Definíció. Két nem nullvektort kollineárisnak nevezzük, ha párhuzamos egyenesekre vagy egy egyenesre illeszkednek. A nullvektort minden vektorral kollineárisnak tekintjük. A 9.. ábrán az ABCDA B C D négyoldalú hasáb látható. Az AO és az AC vektorok kollineárisak. Ezt így írjuk fel: AO AC.

217 6 6.. Koordináták és vektorok a térben A nem nullvektorok lehetnek egyirányúak és ellentétes irányúak is. Például a 9.. ábrán az AO és AC vektorok egyirányúak. Ezt így jelöljük: AO AC. Az OD és DB vektorok ellentétes irányúak. Ezt így jelöljük: OD DB. Definíció. Két nem nullvektort egyenlőnek mondunk, ha az abszolút értékük egyenlő és egyirányúak. Bármilyen két nullvektor egyenlő. A 9.. ábrán AA = CC, BB = DD, OC = AO, AD = BC. Gyakran, amikor egy vektorról beszélünk, nem tisztázzuk, hogy melyik pont lesz annak a kezdőpontja. Így, a 9.. a ábrán az a. vektor látható. A 9.. b ábrán az a. vektorral egyenlő vektorok láthatók. Ezek mindegyikét a.vektornak szokás nevezni. a a a B A A a b c d 9.. ábra A 9.. c ábrán az a vektor és az A pont látható. Megszerkesztjük az AB, vektort, amely egyenlő az a vektorral. Ekkor azt mondjuk, hogy az a vektort az A pontból indítjuk (9.. d ábra). Vizsgáljuk meg a koordinátatérben az a x x z z O A y 9.4. ábra a y vektort. A koordináta-rendszer kezdőpontjából indítjuk az AB, vektort, amely az a vektorral egyenlő (9.4. ábra). Az a vektor koordinátáinak az A pont koordinátáit nevezzük. Az a ( x ; y ; z ) felírás azt jelenti, hogy az a vektornak a koordinátái (x; y; z) lesz. Az egyenlő vektoroknak a koordinátái is egyenlők és fordítva, ha két vektor megfelelő koordinátái egyenlők, akkor maguk a vektorok is egyenlők lesznek.

218 9. Vektorok a térben tétel. Ha az A (x ; y ; z ) és B (x ; y ; z ) pontok megfelelően az a vektor kezdő- és végpontjai, akkor az x x, y y és z z számok megfelelően az a vektor első, második és harmadik koordinátái lesznek. A két pont távolságának képletéből következik, hogyha az a vektornak a koordinátái (a ; a ; a ), akkor a = a + a + a.?. Hogyan jelöljük az A kezdőpontú és B végpontú vektort?. Mit nevezünk nullvektornak?. Mit nevezünk a vektor abszolút értékének? 4. Milyen vektorokat nevezünk kollineárisoknak? 5. Milyen két nem nullvektort nevezünk egyenlőknek? 6. Mit mondhatunk az egyenlő vektorok koordinátáiról? 7. Mit mondhatunk azokról a vektorokról, melyeknek a megfelelő koordinátái egyenlők? 8. Hogyan kell meghatározni a vektor koordinátáit, ha ismert a kezdő- és végpontjának a koordinátái? 9. Hogyan kell meghatározni a vektor abszolút értékét, ha ismertek a koordinátái? GYAKORLATOK 9.. A 9.5. ábrán az ABCA B C hasáb látható, melynek alapja szabályos háromszög. Egyenlők-e a következő vektorok: ) AC és AC ; ) AC és AB ; ) BB és CC ; 4) BB és AA? 9.. Az ABCDA B C D téglatest AA és AD éleinek megfelelő felezőpontjai az E és F pontok (9.6. ábra). AB AD. Nevezd meg azokat a vektorokat, melyeknek kezdő- és végpontjuk a téglatest csúcsai, és: ) egyirányúak az EF ;vektorral; ) ellentétes irányúak az AB ;vektorral; ) azonos az abszolút értékük a BC. vektorral! A B A B 9.5. ábra B D A E B A F D 9.6. ábra C C C C

219 8 6.. Koordináták és vektorok a térben 9.. Az ABCDA B C D téglatest CD és CC éleinek megfelelő felezőpontjai az M és K pontok. Nevezd meg azokat a vektorokat, melyeknek kezdő- és végpontjuk a téglatest csúcsai, és: ) egyirányúak az AD ;vektorral; ) ellentétes irányúak az MK ; vektorral; ) egyenlő az abszolút értékük az AC. vektorral! 9.4. Rajzolj egy ABCD tetraédert! Mérj fel: ) az A pontból a CA ;vektorral egyenlő vektort; ) a B pontból az AC ; vektorral egyenlő vektort; ) a D pontból a BC vektorral egyenlő vektort! 9.5. Rajzolj egy ABCDA B C D kockát! Mérj fel: ) az A pontból az AA ;vektorral egyenlő vektort; ) a C pontból az AC ; vektorral egyenlő vektort; ) a D pontból a BD. vektorral egyenlő vektort! 9.6. Mik a nullvektor koordinátái? 9.7. Határozd meg az AB, vektor koordinátáit, ha ) A (; 4; ), B (; 4; 5); ) A ( 6; 7; ), B (; 9; 8)! 9.8. Határozd meg a CD, vektor koordinátáit, ha C ( ; 0; 4), D ( ; 0; )! ( ) vektor abszolút értékét! 9.9. Határozd meg az m ; 5; Határozd meg az MK,vektor abszolút értékét, ha M (0; 4; 0), K (8; ; 9)! 9.. Határozd meg a PF (; ; 6), vektor végpontjának koordinátáit, ha P (; 5; )! 9.. Határozd meg az ST ( ; 4; ), vektor kezdőpontjának koordinátáit, ha T(4; ; 0)! 9.. Adottak az A ( ; ; 5), B (; ; 4), C (4; ; 6) pontok. Határozd meg a D pont koordinátáit, hogy teljesüljön a következő egyenlőség: AB = CD.! 9.4. Adott az A (5; ; 7), B (0; y, ), C (x; 7; 4), D (5; 0; z) pontok. Az x, y és z mely értékeinél teljesül az AB = CD?egyenlőség? 9.5. Az a ( 4; y ; ) abszolút értéke. Határozd meg az y értékét!

220 40. A vektorok összeadása és kivonása A k mely értékeinél lesznek az a ( 4; k + ; 0) és b (; k 4; k + 9) vektorok abszolút értékei egyenlők? 9.7. Vektorokat alkalmazva bizonyítsd be, hogy az ABCD négyszög paralelogramma, ha a csúcsainak koordinátái: A ( 4; ; 5), B ( 6; ; 0), C (; 8; ) és D (4; 9; 6)! 9.8. Adott az ABCD paralelogramma három csúcsának koordinátái: A (0; 8; ), C ( ; 4; 4) és D (; 0; 0). Határozd meg a B pont koordinátáit, és ehhez használj vektorokat! 9.9. Az m vektor abszolút értéke 4, a koordinátái pedig egyenlők. Határozd meg az m. vektor koordinátáit! 9.0. A c ( x ; yz ; ) vektor abszolút értéke 9, az x és z koordinátái egyenlők, az x és y koordináták pedig ellentett számok. Határozd meg a c.vektor koordinátáit! ISMÉTLŐ GYAKORLAT 9.. A kör középpontjának egyik oldalán 0 és 48 cm-es párhuzamos húrokat húztak. Határozd meg a húrok közötti távolságot, ha a kör sugara 5 cm! 40. A vektorok összeadása és kivonása Legyen adott a térben az a és b vektor. Fektessünk egy tetszőleges A pontból egy a vektorral egyenlő AB,vektort, majd a B pontból egy b vektorral egyenlő BC,vektort. Az AC vektort az a és b vektorok összegének nevezzük (40.. ábra) és így írjuk fel: a + b = AC. A két vektor összeadásának fenti algoritmusát háromszög-szabálynak nevezzük. b Be lehet bizonyítani, hogy az a + b összeg független az A pont kiválasztásától. a A Megjegyezzük, hogy tetszőleges A, B és C pontokra teljesül az AB + BC = AC. egyenlőség. B C Ez az egyenlőség a háromszög-szabályt fejezi ki ábra

221 0 6.. Koordináták és vektorok a térben A vektorok összeadásának tulajdonságai hasonlóak a számok öszszeadásának tulajdonságaival. Tetszőleges a, b és c vektorokra igazak a következő egyenlőségek: a + 0 = a; a + b = b + a (felcserélhetőségi tulajdonság); ( a + b)+ c = a + ( b + c) (csoportosítási tulajdonság). Három vagy több vektor összegét a következőképpen határozzuk meg: először összeadjuk az első két vektort, aztán a kapott összeghez hozzáadjuk a harmadik vektort és így tovább. Például a + b + c = ( a + b)+ c. A 40.. ábrán látható ABCD tetraéder esetében fel lehet írni a következő egyenlőséget: AC + CD + DB = AD + DB = AB. A C D B a A B b + a b 40.. ábra 40.. ábra Két nem kollieneáris a és b vektor összeadására célszerű alkalmazni a paralelogramma-szabályt. Egy közös A kezdőpontból indítjuk az a vektorral egyenlő AB, vektort és a b vektorral egyenlő AD, vektort (40.. ábra). Megszerkesztjük az ABCD paralelogrammát. Ekkor az a + b vektor egyenlő lesz az AC. vektorral. Megvizsgáljuk az OA, OB és OC, vektorokat, melyek nem illeszkednek egy síkra (40.4. ábra). Meghatározzuk ezeknek a vektoroknak az összegét. Megszerkesztünk egy olyan paralelepipedont, melynek az OA, OB és OC szakaszok lesznek az élei (40.5. ábra), az OD szakasz pedig az átlója. Bebizonyítjuk, hogy C OA + OB + OC = OD. Mivel az OBKA négyszög paralelogramma, ezért OA + OB = OK. A következőt A B O kaptuk: OA + OB + OC = OK + OC. Mivel az OCDK négyszög paralelogramma, ezért ábra OK + OC = OD. D C

222 B O C 40. A vektorok összeadása és kivonása D K A ábra ábra A három vektor összeadásának a fenti módszerét, amely az egy pontból induló és nem egy síkra illeszkedő vektorokról szól, paralelepipedon-szabálynak nevezzük. Definíció. Az a és b vektorok különbségének azt a c, vektort nevezzük, amelynek a b vektorral való összege egyenlő az a vektorral. Ezt így írjuk fel: c = a b. Megmutatjuk, hogyan kell megszerkeszteni azt a vektort, amely a és b. vektorok különbsége lesz. Egy tetszőleges O pontból felmérjük az OA és OB, vektorokat, melyek megfelelően egyenlők az a és b vektorokkal (40.6. ábra). Ekkor OB + BA = OA., vagyis a b = BA, tehát a BA vektor egyenlő az a és b vektorok különbségével. Megjegyezzük, hogy bármely három, O, A és B pontra teljesül az OA OB = BA. egyenlőség. Ez az egyenlőség két, egy pontból induló vektor különbsége meghatározásának szabályát adja meg tétel. Ha az a és b vektorok koordinátái megfele lően (a ; a ; a ) és (b ; b ; b ), akkor az a + b vektor koordinátái (a + b ; a + b ; a + b ), az a b vektor koordinátái pedig (a b ; a b ; a b ) koordináták lesznek.?. Írd le a két vektor összeadásának háromszög-szabályát!. Írd le a két vektor összeadásának paralelogramma-szabályát!. Írd le a három vektor összeadásának paralelepipedon-szabályát! 4. Mit nevezünk két vektor különbségének? 5. Mivel egyenlő két adott vektor összegének koordinátái? 6. Mivel egyenlő két adott vektor különbségének koordinátái? a O A b B

223 6.. Koordináták és vektorok a térben GYAKORLATOK 40.. Adott az ABCA B C hasáb (40.7. ábra). Határozd meg a következő vektorok összegét: ) BC + AA ; ) BA + AC.! 40.. Adott az ABCDA B C D kocka. Határozd meg a következő vektorok összegét: ) AB + DD ; ) AC + CD.! 40.. Adott az ABCDA B C D paralelepipedon (40.8. ábra). Határozd meg a AB + DD + CD + BC.vektorok összegét! A C B A C B C B A A B D B D C B A C ábra ábra ábra A D C D Adott az ABCDA B C D paralelepipedon (40.9. ábra). Határozd meg a AA+ CD + DB + BC.vektorok összegét! Adott az a (; 6; 4) és b ( ; 4; 5 ). vektor. Határozd meg az ) a + b; ) a + b. vektorok koordinátáit! Adott az m ( 7; ; 8 ) és n ( ; ; 4 ). vektor. Határozd meg az ) m+ n; ) m+ n. vektorok koordinátáit! Adott az a ( 0; 5; 0 ) és b (; 6; ). vektor. Határozd meg az ) a b; ) a b.vektorok koordinátáit! Adott az m (; ; ) és n ( 4; ; ). vektor. Határozd meg az ) m n; ) m n vektorok koordinátáit! Adott az ABCA B C hasáb (40.7. ábra). Határozd meg a következő vektorok különbségét: ) AB AC ; ) AA BC; ) BA BC.! Adott az ABCDA B C D kocka. Határozd meg a következő vektorok különbségét: ) AB DC ; ) AC DD.!

224 4. A vektor számmal való szorzása 40.. Egyszerűsítsd a kifejezést: AB + BM + MA + NK.! 40.. Egyszerűsítsd a kifejezést: AB + DE + EA + FD + BM.! 40.. Adott az ABCDA B C D kocka. Határozd meg azt a vektort, amely az AA + BC CD. vektorral egyenlő! Adott az ABCDA B C D kocka. Határozd meg azt a vektort, amely az AA DC + BC. vektorral egyenlő! Határozd meg annak az A pontnak a koordinátáit, amelyre igaz az AB + AC = 0,egyenlőség, ha B (4; ; ), C (; ; 4)! Határozd meg annak az M pontnak a koordinátáit, amelyre teljesül az CM MD = 0,egyenlőség, ha C (; 5; ), D ( ; 0; 6)! ISMÉTLŐ GYAKORLAT A körvonal AB és AC húrjai merőlegesek, AB = cm, AC = 6 cm. Határozd meg az A pont távolságát a BC egyenestől! 4. A vektor számmal való szorzása Definíció. Az a nem nullvektor és egy k nullától különböző szám szorzatának azt a b vektort nevezzük, amelyre teljesül, hogy: ) b = k a ; ) ha k > 0, akkor b a; ha k < 0, B O C akkor b a. A D Így írjuk fel: b = ka. Ha a = 0 vagy k = 0, akkor ka = 0. B O C A 4.. ábrán az ABCDA B C D paralelepipedon látható, amelyben AC = OC, A D BO = DB, AC = OA. 4.. ábra A meghatározásból következik, hogy a = a. 4.. tétel. Bármely a és b vektorra teljesül az a b = a + ( ) b. egyenlőség.

225 4 6.. Koordináták és vektorok a térben Ez a tétel lehetővé teszi a vektorok kivonásának összeadásra való visszavezetését: ahhoz, hogy az a vektorból kivonjuk a b,vektort, az a vektorhoz elegendő hozzáadni a ( ) b. vektort. A a vektort a -val jelöljük, és az a. vektor ellentettjének nevezzük. Például: a + ( ) b = a + ( b). A vektor számmal való szorzásának meghatározásából következik, hogyha b = ka, akkor az a és b vektorok kollineárisak. Tehát az OA = kob egyenlőségből következik, hogy az O, A és B pontok egy egyeneshez illeszkednek. 4.. tétel. Ha az a és b vektorok kollineárisak és a 0, akkor létezik egy olyan k szám, amelyre teljesül a b = ka.egyenlőség. 4.. tétel. Ha az a vektor koordinátái (a ; a ; a ), akkor a ka vektor koordinátái (ka ; ka ; ka ) lesznek egyenlők. A vektor számmal való szorzásának tulajdonságai: Bármely k, m számra és bármely a,és b vektorra teljesülnek a következő egyenlőségek: ( km) a = k( ma ) (csoportosítási tulajdonság); ( k+ m) a = ka + ma (az első széttagolási tulajdonság); k( a + b) = ka + kb (a második széttagolási tulajdonság). Az algebrai kifejezésekhez hasonlóan ezek a tulajdonságok lehetőséget adnak az olyan kifejezések átalakítására, melyek vektorok öszszegét és különbségét, valamint a vektor számmal való szorzását tartalmazza. Például ( a b)+ ( a + b) = a 6b + a + b = 5a b.?. Mit nevezünk az a nem nullvektor és a k nullától különböző szám szorzatának?. Milyen vektort nevezünk az adott vektor ellentett vektorának?. Mit mondhatunk az a és b,vektorokra, ha b = ka, ahol k egy tetszőleges szám? 4. Adott, hogy az a és b vektorok kollineárisak, és a 0. Hogyan lehet kifejezni a b vektort az a vektoron keresztül? 5. Az a vektor koordinátái (a ; a ; a ). Mivel egyenlők a ka?vektor koordinátái?

226 4. A vektor számmal való szorzása 5 6. Mit mondhatunk azokról a vektorokról, melyeknek koordinátái (a ; a ; a ) és (ka ; ka ; ka )? 7. Írd fel a vektor számmal való szorzásának csoportosítási és széttagolási tulajdonságait! GYAKORLATOK 4.. Az m vektor abszolút értéke 4. Mivel lesz egyenlő az n,vektor abszolút értéke, ha: ) n = m; ) n = 5 m? 4.. Egyirányúak vagy ellentétes irányúak lesznek-e az a és b, nem nullvektorok, ha: ) b = a ; ) a b =? 4.. Adott az a ( 4; 8; 0). vektor. Milyen koordinátái lesznek a b, vektornak, ha: ) b = 5 a; ) b = a 4? 4.4. Adottak az a ( ; ; 5 ) és b ( ; 4; ). vektorok. Határozd meg a c, vektor koordinátáit, ha: ) c = a + b; ) c = 4a b.! 4.5. Adottak az m (; 7; 8) és az n (; ; 6). vektorok. Határozd meg az a,vektor koordinátáit, ha: ) a = m + 5 n; ) a = m 6 n.! 4.6. Adott egy ABCDA B C D paralelepipedon (4.. ábra). Nevezd meg az összes B olyan vektort, melynek kezdő- és végpontja C a paralelepipedon csúcsai lesznek, és ellentétes A irányúak a következő vektorral: ) AD D ; ) BD ; ) AC.! B C 4.7. Adott egy ABCDA B C D paralelepipedon (4.. ábra). Nevezd meg az összes olyan vektort, melynek kezdő- és végpontja a paralelepipedon csúcsai lesznek, és ellentétes irányúak a következő vektorral: ) BB ; ) CD.! A D 4.. ábra 4.8. Nevezd meg annak a vektornak a koordinátáit, mely ellentétes irányú az a ( ; 0; 9)? vektorral!

227 6 6.. Koordináták és vektorok a térben 4.9. Határozd meg a c = 6a 7 b, vektor abszolút értékét, ha a ( ; ; ), b (; ; )! 4.0. Határozd meg a p = 8a 9 b, vektor abszolút értékét, ha a ( 05, ; 05, ; 5, ), b ; ;. 9! 4.. Kollineárisak-e az AB és CD, vektorok, ha A (4; ; 4), B (0; 5; 6), C (0; ; 7), D (; ; )? 4.. Kollineárisak-e az DE és FK, vektorok, ha D (; ; 4), E ( ; 6; ), F ( ; 8; 6), K ( ; ; 7)? 4.. Határozd meg az x és y értékeit, ha az a ( x ; y ; ) és a b ( ; ; ) vektorok kollineárisak! 4.4. Határozd meg az x és z értékeit, ha az m ( ; 7 ; z ) és az n ( x ; 4; 5 ) vektorok kollineárisak! 4.5. Adott az a (; ; ). vektor. Határozd meg a vele kollineáris AB,vektort, ha az A (; ; ), és a B pont az yz síkra illeszkedik! 4.6. Adottak az A ( ; 6; 4), B (6; ; ), C (0; ; ) pontok. Határozd meg a D pont koordinátáit, amely az xz síkra illeszkedik, és AD BC.! 4.7. Adott az a ( ; 6; ). vektor. Határozd meg a b,koordinátáit, ha az a és a b vektorok ellentétes irányúak, és a b vektor abszolút értéke! 4.8. Adott: m n, m = 5 6, n (; ; ). Határozd meg az m. koordinátáit! 4.9. Egy egyenesre illeszkednek-e a következő pontok: ) A (5; 6; 4), B (7; 8; ) és C (; 4; 4); ) D ( ; 7; 8), E (0; 4; 4) és F (; ; 4)? 4.0. Az A, B és C pontokra igaz, hogy AB ( 0; 5; 5) és AC ( 6 ; y ; z ). Az y és z mely értékeinél fognak az A, B és C pontok egy egyenesre illeszkedni? 4.. Az E pont az ABCDA B C D paralelepipedon CC élének a felezőpontja. Fejezd ki az AE vektort az AB, AD és AA. vektorok által! 4.. Adott az ABCDA B C D paralelepipedon. Az M pont az A B élének a felezőpontja, a K pont pedig a CC élének a felezőpontja. Fejezd ki az MK vektort az AB, AD és AA.vektorok által!

228 4. A vektorok skaláris szorzata Adott az ABCDA B C D kocka. Az E pont a CC élének a felezőpontja, az F pont pedig az AD élének a felezőpontja. Fejezd ki az EF vektort az AB, AD és AA.vektorok által! ISMÉTLŐ GYAKORLAT 4.4. Az egyenlő szárú háromszög alapja 48 cm, a területe pedig 4 cm. Határozd meg a háromszögbe írt körvonal sugarát! 4. A vektorok skaláris szorzata Legyen az a és b két nem egyirányú és nem nullvektor. Az O ponttól felmérjük az a és b vektorokkal megfelelően egyenlő OA és OB,vektorokat (4.. ábra). Az AOB szöget az a és b vektorok közötti szögnek nevezzük. Az a és b vektorok közötti szöget így jelöljük: ( a, b). Természetesen, ha a b, akkor ( a, b) = 80 (4.. ábra). A B B O a A b a 4.. ábra 4.. ábra 4.. ábra Ha a b, akkor ( a, b) = 0. Ha az a és b vektorok közül legalább az egyik nullvektor, akkor úgy tekintjük, hogy az ( a, b) = 0. Az a és b vektorokat merőlegeseknek nevezzük, ha a köztük lévő szög 90. Ezt így jelöljük: a ^ b. A 4.. ábrán egy háromoldalú hasáb látható, melynek az alaplapja szabályos háromszög, és az oldalélei merőlegesek az alaplap síkjára. A következőt kapjuk: ( CA, CB) = 60, ( BC, AB ) = 0, ( AA, BB) = 0, ( AA, BC) = 90, ( CC, BB ) = 80. b A C C B

229 8 6.. Koordináták és vektorok a térben Definíció. Két vektor skaláris szorzatának nevezzük e vektorok abszolút értékeinek és a köztük lévő szög koszinuszának szorzatát. Az a és b vektorok skaláris szorzatát így jelöljük: a b. A meghatározás matematikai nyelven való leírása: a b = a b cos ( a, b). Ha az a vagy a b vektorok közül legalább az egyik nullvektor, akkor természetesen az a b = 0. Az a a skaláris szorzatot az a vektor skaláris négyzetének nevezzük és a.-tel jelöljük. A vektor skaláris négyzete egyenlő a vektor abszolút értékének a négyzetével, vagyis a = a. 4.. tétel. Két nem nullvektor skaláris szorzata akkor és csakis akkor egyenlő nullával, ha ezek a vektorok merőlegesek egymásra. Például a 4.. ábrán látható vektorokra igazak a következő egyenlőségek: AA BC = 0, BA CC = t é t e l. Az a ( a ; a ; a ) és b ( b ; b ; b ) vektorok skaláris szorzatát a következő képlettel lehet meghatározni a b = ab + ab + ab 4.. tétel. Az a ( a ; a ; a ) és b ( b ; b ; b ) nem nullvektorok közötti szög koszinuszát a következő képlettel lehet kiszámítani: ab + ab + ab cos ( a, b) = a + a + a b + b + b A vektorok skaláris szorzatának néhány tulajdonsága megegyezik a számok szorzásának tulajdonságával. Például: bármely a, b, c vektorra és bármely k számra igazak a következő egyenlőségek: a b = b a; ( ka ) b = k( a b); a + b c a c b c. ( ) = +

230 4. A vektorok skaláris szorzata 9 A vektorok összeadását és számmal való szorzását, valamint a vektorok skaláris szorzatát tartalmazó kifejezéseket, az algebrai kifejezésekhez hasonlóan lehet átalakítani. Például ( a + b) = ( a + b) ( a + b) = a ( a + b)+ b ( a + b) = = a + a b + b a + b = a + a b + b. Feladat. A hasáb ABC alapja egy egyenlő szárú háromszög (AB = AC). Az AA oldaléle az AB és AC élekkel egyenlő szögeket alkot (4.4. ábra). Bizonyítsuk be, hogy AA ^ BC! Megoldás. Legyen a BAA = a. A feladat feltétele alapján fel lehet írni, hogy: B C CAA = a. Meghatározzuk az AA és BC. vektorok skaláris szorzatát. BC = AC AB. A 4.4. ábra Felírjuk a következőt: AA BC = AA ( AC AB) = AA AC AA AB = = AA AC cosα AA AB cos α. Mivel AC = AB, ezért a vizsgált skaláris szorzat egyenlő nullával. Tehát AA ^ BC.?. Mivel egyenlő két ellentétes irányú vektor hajlásszöge? Két egyirányú vektor hajlásszöge?. Mivel egyenlő az a és b, vektorok hajlásszöge, ha legalább az egyik nem nullvektor?. Milyen vektorokat nevezünk merőlegesnek? 4. Mit nevezünk két vektor skaláris szorzatának? Mivel egyenlő ez a szorzat? 5. Mit nevezünk a vektor skaláris négyzetének? Mivel egyenlő ez a szorzat? 6. Fogalmazd meg két nem nullvektor merőlegességének a feltételét! 7. Hogyan kell meghatározni a vektorok skaláris szorzatát, ha ismerjük a koordinátáikat? 8. Írd fel a vektorok skaláris szorzatának a tulajdonságait! B A C

231 0 6.. Koordináták és vektorok a térben GYAKORLATOK 4.. Adott egy ABCDA B C D kocka (4.5. ábra), ahol az O pont az ABCD lap középpontja. Mivel egyenlő a következő vektorok hajlásszöge: ) AC és AD ; 5) AA és BO ; ) AC és CD ; 6) AA és CC ; ) AC és BO ; 7) AA és BB ; 4) AD és AA ; 8) BO és CD? A A B D B O D 4.5. ábra C C 4.. Az a és b vektorok közötti szög 40. Mivel egyenlő a következő vektorok hajlásszöge: ) a és b ; ) a és b ; ) a és 5b ; 4) 7a és 0b? 4.. Határozd meg az a és b vektorok skaláris szorzatát, ha: ) a =, b = 5, ( a, b) = 0 ; ) a = 4, b = 7, ( a, b) = 5.! 4.4. Határozd meg az m és n, vektorok skaláris szorzatát, ha: m =, n =, ( m, n) = 0.! 4.5. Határozd meg az a és b, vektorok skaláris szorzatát, ha: ) a (; ; ), b (; 4; ); ) a ( 9; 4; 5 ), b (; ; 4).! 4.6. Határozd meg az a és b, vektorok skaláris szorzatát, ha: ) a ( 4; ; 6), b ( 7; ; 8 ); ) a (; ; 9), b ( ; ; 0 ).! 4.7. Adott az m (; ; 4) és n (; ; z) vektor. A z mely értékénél teljesül az m n = 8?egyenlőség? 4.8. Adott az a (; 9 c ; ) és b ( ; ; c). vektor. A c mely értékénél teljesül az a b = 4?egyenlőség? 4.9. Az a (; ; ), b (; ; ) és c ( 5; ; ) vektorok közül válaszd ki a merőleges vektorokat! 4.0. Az a és b vektorok közötti szög 45, a =, b =. Határozd meg: ) ( a + b) b; ) ( a b) a; ) a b ( ).!

232 4. A vektorok skaláris szorzata 4.. Az m és n vektorok közötti szög 50, m =, n =. Határozd meg: ) ( m 4n) m; ) ( m + n)! 4.. Az a és b vektorok közötti szög 0, a = b =. Határozd meg az ( a + b) ( 4a 7 b).skaláris szorzatot! 4.. Az a és b vektorok közötti szög 60, a = b =. Határozd meg az ( 5a + b) ( a 5b). skaláris szorzatot! 4.4. Az x mely értékei mellett lesznek merőlegesek az a ( x ; x ; ) és b ( x ; ; ) vektorok? 4.5. A p mely értékei mellett lesznek merőlegesek az a ( p ; ; ) és b ( p ; ; p ) vektorok? 4.6. Határozd meg a ( a b) ( a b), skaláris szorzatot, ha az a (; ; ), b ( 4; ; ).! 4.7. Határozd meg az ( m n) skaláris négyzetet, ha m (; ; ), n ( 4; ; 0).! 4.8. Az ABCD tetraéder minden éle a-val egyenlő, az M pont az AB él felezőpontja. Határozd meg a következő vektorok skaláris szorzatát: ) CM és DC ; ) AB és CD.! 4.9. Az ABCDM gúla alapja egy olyan négyzet, melynek minden éle a-val egyenlő. Határozd meg az AM és AC. vektorok skaláris szorzatát! 4.0. Határozd meg az m = a + b és az n = a b,vektorok hajlásszögét, ha a =, b =, ( a, b) = 5.! 4.. Határozd meg az a = m n és b = m + n,vektorok hajlásszögét, ha m =, n =, ( m, n) = 0.! 4.. Határozd meg az AB és CD, vektorok közötti szög koszinuszát, ha A (; ; ), B ( ; ; ), C (4; ; 5), D (; ; 0)! 4.. A háromszög csúcsai az A (; 0; ), B ( 5; 4; ) és C (0; ; ) pontok. Határozd meg a háromszög A szögét! ISMÉTLŐ GYAKORLAT 4.4. Az egyenlő szárú trapéz szára 0 cm, a beírt kör sugara pedig 4 cm. Határozd meg a trapéz területét!

233 6.. Koordináták és vektorok a térben! A 6.. ÖSSZEFOGLALÁSA Két pont távolsága Az A (x ; y ; z ) és a B (x ; y ; z ) pontok közötti távolság az AB = ( x x ) + ( y y ) + ( z z ). képlettel határozható meg. A szakasz felezőpontjának koordinátái A végpontok koordinátáival megadott szakasz felezőpontjának koordinátái egyenlők a végpontok megfelelő koordinátáinak a számtani közepével. Két vektor kölcsönös helyzete Két nem nullvektort kollineárisnak nevezzük, ha párhuzamos egyenesekre vagy ugyanarra az egyenesre illeszkednek. A nullvektor minden vektorral kollineáris lesz. A vektorok egyenlősége Két nem nullvektort egyenlőnek mondunk, ha az abszolút értékük egyenlő és egyirányúak. Bármely két nullvektor egyenlő egymással. A vektor koordinátái Ha az A (x ; y ; z ) és a B (x ; y ; z ) pontok megfelelően az a vektor kezdő- és végpontjai, akkor az x x, y y és z z számok megfelelően az a vektor első, második és harmadik koordinátái lesznek. Vektor abszolút értéke Ha az a vektor koordinátái (a ; a ; a ), akkor az a = a + a + a Műveletek a vektorokkal Bármilyen A, B és C pontra teljesül az AB + BC = AC. egyenlőség. Az a és b vektor különbségének azt a c,vektort nevezzük, melynek a b vektorral való összege egyenlő az a vektorral. Bármely három O, A és B pontra teljesül az OA OB = BA egyenlőség..

234 A 6.. összefoglalása Az a nem nullvektor és egy nullától különböző k szám szorzatának azt a b vektort nevezzük, amelyre tejesül: ) b = k a ; ) ha k > 0, akkor b a; ha k < 0, akkor b a. Ha az a és b vektor kollineáris, és a 0, akkor létezik egy olyan k szám, amelyre teljesül a b = ka. egyenlőség. A a -t a a -ral jelöljük és az a vektor ellentettjének nevezzük. Két vektor skaláris szorzatának nevezzük a vektorok abszolút értékeinek és a köztük lévő szög koszinuszának szorzatát. Két nem nullvektor skaláris szorzata akkor és csakis akkor egyenlő nullával, ha ezek a vektorok merőlegesek. Ha az a és b vektorok megfelelő koordinátái (a ; a ; a ) és (b ; b ; b ), akkor: az a + b vektor koordinátái (a + b ; a + b ; a + b ); az a b vektor koordinátái (a b ; a b ; a b ); a ka vektor koordinátái (ka ; ka ; ka ); az a és b vektorok skaláris szorzata a b + a b + a b lesz egyenlő; ) = cos ( a, b ab + ab + ab a + a + a b + b + b (ahol az a és b nem nullvektorok).

235 4 4. A 0. osztályos mértan tananyagának ismétlő gyakorlatai Párhuzamosság a térben 4.. Az ABCD téglalap átlói az O pontban metszik egymást. Az M pont nem illeszkedik az ABC síkhoz. Lehet-e olyan síkot fektetni, amely: ) az AM egyenesre és az O és C pontokra illeszkedik; ) az AC egyenesre és a B és M pontokra illeszkedik? 4.. Az M pont az ABCDA B C D kocka BB C C lapjának egy pontja, a K pedig az AD élének a pontja (4.. ábra). Szerkeszd meg az MK egyenes és az ABB sík metszéspontját! À A K B D B D M C C À A M B D B K 4.. ábra 4.. ábra D C C 4.. Az M pont az ABCDA B C D kocka AA B B lapjának egy pontja, a K pedig az AA D D lapjának a pontja (4.. ábra). Szerkeszd meg az MK egyenes és az A B C sík metszéspontját! 4.4. Az ABCDA B C D hasáb BB, CC és DD élein úgy vették fel az M, N és K pontokat, hogy BM CN, BM DK és CN DK. Szerkeszd meg az ABC és az MNK síkok metszésvonalát! 4.5. Az M pont ABCDA B C D hasáb A B élének felezőpontja, a K pont pedig a CD élének a felezőpontja. Szerkeszd meg az AMK és a BB C síkok metszésvonalát! 4.6. Az ABCD tetraéder AB, AD, AC és BC élein megfelelően jelölték az E, F, M és K pontokat. Szerkeszd meg az EFM és a DAK síkok metszésvonalát! 4.7. Az ABCD tetraéder DA és DB élein megfelelően jelölték az M és K pontokat. Szerkeszd meg az ABC és az MKC síkok metszésvonalát! 4.8. Az MK egyenes, amely nem illeszkedik az ABCD paralelogramma síkjához, párhuzamos az AD egyenessel. Milyen az: ) MK és BC; ) MK és AB egyenesek kölcsönös helyzete?

236 4. A 0. osztályos mértan tananyagának ismétlő gyakorlatai Adott, hogy az a és b egyenesek párhuzamosak, és a c egyenes metszi a b-t, de nem metszi az a-t. Bizonyítsd be, hogy az a és c egyenesek kitérő egyenesek lesznek? 4.0. Az AB és CD szakaszok egy kör átmérői. Az a síknak nincs közös pontja ezzel a körrel. Az A, B, C és D pontokon keresztül párhuzamos egyeneseket fektettek, melyek az a síkot megfelelően az A, B, C és D pontokban metszik. Határozd meg a CC szakasz hosszát, ha AA = 5 cm, BB = 9 cm, DD = cm! 4.. Az M pont nem illeszkedik az ABCD paralelogramma síkjára. Bizonyítsd be, hogy AB CMD! 4.. Az ABC és ABD háromszögek nem egy síkra illeszkednek. Az M pont az AC szakasz felezőpontja, az N pont pedig a BC-jé. Az AD szakaszon jelöltünk egy K pontot, a BD szakaszon pedig egy E pontot úgy, hogy KE ABC. Bizonyítsd be, hogy KE MN! 4.. Az ABCD tetraéder AD, BD és CD élein megfelelően úgy jelölték az E, F és M pontokat, hogy ABE = FEB, CBM = FMB. Bizonyítsd be, hogy az ABC és EFM síkok párhuzamosak! 4.4. Adott, hogy a b, a b. Az a egyenes az A pontban metszi az a síkot, a b síkot pedig a B pontban. A b egyenes a C pontban metszi a b síkot (4.. ábra). Szerkeszd meg a b egyenes és az a sík metszéspontját! b a α A α M K β B C a b β N 4.. ábra 4.4. ábra 4.5. Adottak az a és a b párhuzamos síkok, valamint az a és b egymást metsző egyenesek. Az a egyenes az a síkot az M pontban metszi, a b síkot pedig az N pontban, a b egyenes az a síkot a K pontban metszi (4.4. ábra). Szerkeszd meg a b egyenes és a b sík metszéspontját! 4.6. Az ABCD tetraéder ADB lapjának súlyvonalai az E pontban metszik egymást, a BDC lapé pedig az F pontban. Bizonyítsd be, hogy az EF egyenes párhuzamos az ABC síkkal!

237 6 4. A 0. osztályos mértan tananyagának ismétlő gyakorlatai 4.7. Igaz-e az állítás: ) ha két egyenes síkra eső vetületei párhuzamosak, akkor az adott egyenesek is párhuzamosak; ) ha egy síkbeli alakzat egybevágó a párhuzamos vetületével, akkor a sík, amelyre az adott alakzat illeszkedik, és az a sík, melyre a vetülete illeszkedik, párhuzamosak? 4.8. Az A, B és C pontok megfelelően az ABCD paralelogramma A, B és C csúcsainak a vetületei (4.5. ábra). Szerkeszd meg az ABCD para- B C lelogramma vetületét! 4.9. Az A B C háromszög az ABC derékszögű À háromszög vetülete lesz, az AB átfogójának a vetülete pedig az A B szakasz. Szerkeszd meg 4.5. ábra annak a négyzetnek a képét, melynek közös szöge van az ABC háromszöggel, és minden csúcsa a háromszög oldalán helyezkedik el! Merőlegesség a térben 4.0. Az m egyenes párhuzamos az ABC háromszög AC oldalával, és nem illeszkedik az ABC síkra, ABC = BAC = 0. ) Bizonyítsd be, hogy az m és a BC egyenesek kitérők! ) Határozd meg az m és a BC egyenesek közötti szöget! 4.. Az ABCDA B C D téglatest ABCD lapja négyzet, és az AA éle kétszer nagyobb az AB élnél. Határozd meg: ) AB és CD; AB és CD ; ) AB és A C egyenesek hajlásszögét! 4.. Az ABC háromszög B csúcsán keresztül BD egyenest fektettek, amely merőleges az D ABC síkra (4.6. ábra). Az M pont az AC szakasz felezőpontja. Határozd meg a DA és DM szakaszok hosszát, ha AB = BC = 0 cm, B C AC = cm, DB = 4 cm! M 4.. Az ABCD négyzet O középpontján át a A négyzet síkjára merőlegesen egy MO egyenest fektettünk. A K pont a CD szakasz felezőpontja, MC = 6 cm, MCK = ábra ) Bizonyítsd be, hogy a CD egyenes merőleges a MOK síkra! ) Határozd meg az MO szakasz hosszát! 4.4. Az AB szakasz nem metszi az a síkot, az AB egyenes viszont az a síkot a C pontban metszi. Az A és B pontokra illeszkedve az a síkra merőleges egyeneseket fektettünk, amelyek megfelelően az

238 4. A 0. osztályos mértan tananyagának ismétlő gyakorlatai 7 A és B pontokban metszik a síkot. Határozd meg a B C szakasz hosszát, ha AA = 6 cm, BB = 6 cm, A B = 4 cm! 4.5. Az AB szakasz metszi az a síkot. Az A és B pontokon és az AB szakasz C felezőpontján át merőleges egyeneseket bocsátottunk az a síkra, melyek ezt a síkot megfelelően az A, B és C pontokban metszik. Határozd meg a CC szakasz hosszát, ha AA = 8 cm, BB = 9 cm! 4.6. Az M pontból az a síkra MH merőlegest, valamint egymással egyenlő M MA és MB ferdéket bocsátottunk (4.7. ábra). Határozd meg a ferdék talppontjai közötti távolságot, ha MAH = 0, AMB = 60, MH = 5 cm! α A H B 4.7. Az ABCD téglalap átlója és egyik oldala közötti szög 0. Az M pont a téglalap minden csúcsától 5 cm-re van, 4.7. ábra a téglalap síkjától pedig 5 cm-re. Határozd meg a téglalap területét! 4.8. Az MC szakasz merőleges az ABC háromszög síkjára, ACB = 90, AC = BC = 6 cm. Az M pont és az AB egyenes közötti távolság 6 cm. Határozd meg az M pont és az ABC sík közötti távolságot! 4.9. Az MB szakasz merőleges az ABCD téglalap síkjára, AB = 5 cm, BC = 6 cm. Határozd meg az M pont távolságát az AD egyenestől, ha az M pont és a CD egyenes közötti távolság 0 cm! 4.0. A 6 cm, 5 cm és 9 cm oldalú ABC háromszögbe írt körvonal O középpontjából a háromszög síkjára DO merőlegest állítottak. A D pont és az ABC háromszög közötti távolság 5 cm. Határozd meg a D pont távolságát a háromszög oldalaitól! 4.. Az M pont az ABC szabályos háromszög csúcsaitól egyenlő távolságra van, a háromszög síkjától pedig 5 cm-re. Határozd meg az ABC háromszög területét, ha az MA egyenes az ABC háromszög síkjához 60 -os szög alatt hajlik! 4.. A DC szakasz merőleges az ABC derékszögű háromszög síkjára (ACB = 90 ), DC = 9 cm, AC = 5 cm, BC = 0 cm. A DE szakasz a D pontból az AB egyenesre bocsátott merőleges. Határozd meg a DE egyenes és az ABC sík hajlásszögét! 4.. Az MK szakasz nem metszi az a síkot. Határozd meg az MK egyenes és az a sík közötti szöget, ha MK = 6 cm, és az MK szakasz végpontjainak távolsága az a síktól 8 cm és 5 cm!

239 8 4. A 0. osztályos mértan tananyagának ismétlő gyakorlatai 4.4. Az ABC szabályos háromszög BC oldala az a síkra illeszkedik. A háromszög AH magassága az a síkhoz j szög alatt hajlik. Határozd meg az AB egyenes és az a sík közötti szöget! 4.5. Az A pont a lapszög lapjai között helyezkedik el, amelynek mértéke a. Az A pont távolsága a lapszög mindegyik lapjától h lesz. Határozd meg az A pont és a lapszög éle közötti távolságot! 4.6. Az MC szakasz merőleges az ABC háromszög síkjára (ABC = 90 ). Határozd meg az ABC és az ABM síkok hajlásszögét, ha AC = 8 cm, BAC = 0, az M pont és az AB egyenes közötti távolság pedig cm! 4.7. Az ABC háromszög AB oldalán keresztül a síkot fektettek. Az ABC háromszög síkja és az a sík közötti szög 60 -os. Határozd meg a C pont távolságát az a síktól, ha AC = 7 cm, AB = 0 cm, BC = cm! 4.8. Az ABCD négyzet síkja és az AEFD téglalap síkjának hajlásszöge 60 -os. A négyzet területe 6 cm, a téglalapé pedig cm. Határozd meg négyzet és a téglalap párhuzamos oldalai közötti távolságot! 4.9. A c egyenes az a és a b sík metszésvonala. Az M pont az a síktól 9 cm-re, a b síktól pedig cm-re van. Határozd meg az M pont és a c egyenes közötti távolságot! Az ABC háromszög C derékszögének csúcsán át egy m egyenest fektettek, amely merőleges az ABC síkra. Az m egyenesen úgy jelöltek egy D pontot, hogy az ABC és az ABD síkok közötti szög 0 -os lesz. Határozd meg az ABD háromszög területét, ha AB = 6 cm, BAC = 45! 4.4. A 40 cm területű trapéz vetülete egy síkra egy olyan egyenlő szárú trapéz, melynek alapjai 7 cm és cm, a szára pedig 5 cm. Határozd meg az adott trapézok síkjai közötti hajlászöget! Térkoordináták és térvektorok 4.4. Adott az A (7; ; ) és a B (x; 5; z) pont. Ismert, hogy az AB szakasz C felezőpontja az ordinátatengelyre illeszkedik. ) Határozd meg a C pont koordinátáit! ) Határozd meg az x és z értékeit! 4.4. Adottak az A (8; 0; 4), B (; 4; 7), C (; ; ) pontok. ) Bizonyítsd be, hogy az ABC háromszög derékszögű! ) Határozd meg az ABC háromszög köré írt körlap területét! Határozd meg az ABC egyenlő szárú háromszög területét, ha A (; ; ), C ( ; ; ), a B pont pedig az applikátatengelyre illeszkedik!

240 4. A 0. osztályos mértan tananyagának ismétlő gyakorlatai Adottak a következő pontok: A ( ; ; ), B (0; 5; 9) és C ( ; y; 6). Az y mely értékeinél lesz az AB szakasz hossza kétszer nagyobb az AC szakasz hosszánál? A C (; ; ) pontból induló CD, vektor egyenlő az AB. vektorral. Határozd meg a D pont koordinátáit, ha A ( ; 0; 5), B (0; 4; )! Adottak az A (; 0; ), B (; ; ) és C ( ; ; 0) pontok. Határozd meg a D pont koordinátáit, ha AB + CD = 0.! Az a ( x ; ; 4) és b ( 0; ; 6) vektorok a paralelogramma szemközti oldalaira illeszkednek. Határozd meg az x értékét! Adottak az A ( 4; ; ), B ( ; 0; ) és C (; ; 0) pontok. Határozd meg az yz síkra illeszkedő D pont koordinátáit, ha AB és CD vektorok kollineárisak! Az ABCD tetraéder BDC lapjának súlyvonalai az O pontban metszik egymást, az M pont az AD él felezőpontja. Fejezd ki az MO vektort az AB, AC és AD. vektorok által! 4.5. Határozd meg az a (; ; ) és a b (; 6 ; ). vektorok közötti szög koszinuszát! 4.5. Határozd meg az a (; ; 4) és a b (; ; 0 ). vektorok közötti szöget! 4.5. Az x mely értékeinél lesznek az a ( x ; ; ) és a b ( x; x; ) vektorok merőlegesek! Határozd meg annak az m, vektornak a koordinátáit, amely kollineáris az n (; ; ), vektorral, ha m n =.! Határozd meg az a ( ; ; 5 ) vektor és az abszcisszatengely pozitív iránya közötti szöget! Határozd meg a b (; 6 ; ) vektor és az applikátatengely negatív iránya közötti szöget! Adott, hogy a =, b =, ( a, b) = 5. Határozd meg az a b. értékét! Az M pont az ABCDA B C D kocka AB élének a felezőpontja, az A B él felezőpontja pedig a K pont. Határozd meg az MB és a DK egyenesek közötti szög mértékét!

241 40 Feleletek és útmutatások. fejezet. Algebra és az analízis elemei.. Függvények, ezek tulajdonságai és grafikonjaik.6. ) 6; ) m... ; 5... ;..8. ) { 6}..7. 4) min f( x ) = 56; legnagyobb értéke nem létezik... ) Ha ( ; ] a = 6, akkor egy gyöke van; ha a > 6, akkor gyöke; ha a < 6, akkor nincsenek gyökei; ) ha a = vagy a = 8, akkor egy gyöke van; ha a < 8 vagy a >, akkor gyöke van; ha 8 < a <, akkor nincsenek gyökei. ; ; ; [; + ).5. ) ( ; 0) Ÿ( 0 ; + ); ) ( ; ) Ÿ( ; + )..6. ) max f( x ) = 64, ; min f( x ) = ; ) max f( x ) = 64, min f( x ) = ; ) max f( x ) =, leg- kisebb értéke nem létezik..7. ) max f( x ) = 7, min f( x ) = ; ; ; 8 ) max f( x ) =, min f( x ) = ; ) legnagyobb értéke nem létezik, [ ; ] 8 [ ; ] min f( x) =. ( ; ] ) ) Nincsenek megoldásai; 9) 5; ) 0,5; 6) 0; , ) ; ) [ ; + ); ) ( ; ] [; + ) ) ( ; ]; ) ( ; ) (; + ); ) ( ; ] [; + ) ) 5 és ) ; ; ) ;. 4.. ; ) ) a ) a m 0, b m 0; ) a l 0, b m 0; ) a és b tetszőleges számok; 4) a és b tetszőleges számok ). 5.. ) n; 4) c ) 0x ) [ 4; + ); ) ) ) m 4 4 m; ) ab b ) a 4 a ; ) 5a 4 a ) 8 c 8 ; ) 6 6b 6, ha b l 0; 6 6b 6, ha b < 0; ) 6 a ) 6 a 7 ; ) 4 a [; 5] ) 6.

242 Feleletek és útmutatások ) 4 ; 6) ) ) ) ) 6; ) 00; ) 4 9 ; 4). 6.. ) 7; ) 0; ) ) a0,5 b 0,5 ; 5) a a b + b ) + b a 05, 05,. 05, 05, a a b + b 6.6. mn. 7.. ) ; ) 4 ; ) ; ) nincsenek gyökei; 4) ) Nincsenek gyökei ) ; ) ; ) ; ; 4) 5; 5) 4; 6) ) 5; ) 4; ) ; 4) ) 4; ) ; ) ; 7 ; ) 6; ) 5; 4) 8; 8 5) 0; 6; 6) ) 6; ) ; 5; ) 4; ; 4),8;,. 7.. ) 0; 5; 8 ) ) 6; ) ; ) ; ; 4) ) ; ) ) 6; 9; ) 7 ; ) nincsenek gyökei; 4) ; ) 5; 4; ) ) ; 4; 6 ) ; 6; 6; ; ) ; 4; 4) ; ) ; 5; ) ; ; ) 6; f (x) = x +... Trigonometrikus függvények 8.4. ) 0p ) 9 π ) Az I. negyedben ) A III. negyedben; 7) a II. negyedben ) (0; ); 6) (; 0). 8.. ) ( ; 0). 8.. ) π π ; ; ) p; p ) π + πk, k ; ) p + pk, π π k ; ) + πk, k ) + πk, k ; ) π + π 6 k, k ; π ) + πk, k ) ; ; 4 ) (0; ); ) (0; ), (0; ); 4) (; 0), ( ; 0) ) ; ) lakos. 9.. ) 5; 4) ) ; ). 9.. ) Nem; ) nem ) Nem; ) nem; ) igen ) ; ; ) ; ; 4) ; ) ; Útmutatás. Legyen a P és P pontok a P 0 pontnak a-val és α + π -vel történő elforgatásának az eredménye. P A és P B merőlegeseket bo-

243 4 Feleletek és útmutatások csátunk megfelelően az x és y tengelyre (9.. ábra). Mivel a POP = π, ezért megállapítható, hogy a DOP A = DOP B. Ebből következik, hogy OA = OB. Tehát a P pont abszcisszája egyenlő a P pont ordinátájával, vagyis cosα = sin α+ π. A P és P pontok elhelyezkedésének más eseteit hasonlóan lehet megvizsgálni. Vizsgáld meg külön azokat az eseteket, amikor a P és P pontok a koordinátatengelyekre illeszkednek ) ; ) , ) A II. negyedben. 0.. ) sin a; ) cos a; ) ) 0; ) 0; ) ) Páros; ) se nem páros, se nem páratlan ) Páratlan; ) páros ) 5; )... ) ; ) ; 5)... ) ; ) ; 4). 0π 5π 5π 7π.5. ) cos 0 > cos ; ) sin > sin..6. ) sin > sin ) sin 58 > cos 58 ; ) sin 8 < cos 8 ; ) cos 80 < sin ) [; + ); ) [; + )... 5) cos a. 6)... ) ; 4)..5. ) ) sin 4 a ; 4)..6. ) ; ) ; ) tg α= ; 4 cos ; ) cos α=, sin α=. 5 5 b 4) cos x. cos.8. ) sin α= 5, ; a ) sin a ;.7. ) cos α= 4, 5 tg α= Útmutatás. Osszuk el a tört számlálóját és nevezőjét cos a-val ;..4. ;..5. ) 5; )... ) 0; 4) 0... ) 0... ) ; ) 0; 4) ; 5) sin b; 6) tg ) ; ) ; 4) cos (a + b) ) )..9. ) cos a; ) tg a; ) cos a; 4) sin 5 ; a α 5) cosα+ sin α; 6) cos ; 7) cos ; 8) tg a..0. ) sin 40 ;

244 Feleletek és útmutatások 4 ) cos b; ) ; 4) ; 5) 4 sin 4a ; 6) sin a; 7) cos a ; 8) sin a... ) ; 4)... ) ; ) ; ) , ) ; ) tg a; 4 4 a ) sin a; 4) cos..7. ) ; ) tg a tg 4a Ha x =, akkor 9, 6, ; ha x = 9, akkor 4 4, 6, 8... Ha x =, akkor,, 9; ha x = 4 :, 5, 5. π 4.. ) cos 8 ; 4) sin. 8 π 4.4. ) sin ) cos a; ) ) ; ) ) 5 ; ). π πn 5.. ) ± +, n ; 6) ± arccos + 6 πn, n π 5.4. ) ± + 0πn, n ; ) 4 π 8πn +, n ) + 6p + 6 π π πn π + pn, n ; 4) ± +, n ) ± 6 + 4πn, 4 9 n π Például p gyöke van π ; π 5π π ; ; ) 0 ; ( ; ); 4 4 Ÿ + ) [ ; ) Ùc c Ù( ; ]. π πn ( ) πn 6.. ) +, n ; ) arcsin +, n n 6.4. ) ( ) + 5π 5πn 4π 4πn +, n ) +, n. 6 7 n 6.9. ) ( ) + π π n + + π n, n ) ( ) + 5 π π n, 8 6 n. 6.. ) πn π πn arctg +, n. 6.. ) + +, 8 n. 6.. π π π ; 5 π 7π ; gyöke 6 6 n +

245 44 Feleletek és útmutatások van gyöke van π ) 5; ) ; ) 7; 4) 4. n π π π 7.. ) ( ) + π n, + πn, n ; ) ± + πn, n ; 6 ) π π n π +, n ; 4) + n π πn, arctg + pn, n. 7.. ) ( ) + π n, π π + πn, n ; ) ± + πn, pn, n ; ) π π 4 + n, arctg + πn 4, n ; 4) ± 4arccos + 8πn, n. 7.. ) π π + πn, n ; ) + πn, 4 6 n ; ) arctg 4 + πn π, n ) + πn, n ; ) π π 4 + n, n ; ) arctg + πn n π n, n ) ( ) + π n, ( ) arcsin πn, n ; ) ± π + pn, n ; ) ± arccos( ) + pn, n ; 4) pn, ± π arccos + π n, n ; 5) ( ) n + æ π 6 + pn, π + pn, n ; 6) ±p + 6pn, n ; 7) ± π + 4pn, p + 4pn, n ; 8) ± π 4 + pn, n ) ± π + pn, n ; ) ( ) n æ π 6 + pn, π + pn, n ; ) ( )n arcsin ( ) + pn, n ; 4) π + pn, pn, n n ; 5) ( ) + π+ 6π n, n ; 6) ( ) n + æ π + pn, p + 4pn, n. π πn π 7.7. ) ± +, n ; ) ± 8 ) π + πn, pn, n ) ; 4). 6 ) ) π + pn, n ) ± +.. A derivált és alkalmazása m/s ) 0 m/s; ) 0 m/s. πn, n ; ) ) ) ; ) 4 ; ) ; 4) ) ; 4 7 ; ) 7 ; 4). 9.. ),5; ) 4 ; ) 76 ; 4). 9.. ) 5; 8 6.

246 Feleletek és útmutatások kgæm/s J. 0.. ) y = 4x 8; ) y = 4; ) y = x... ) y = x ; ) y = 4x + 4; ) y = x+ ; 4) y = x; 5) y = ; 6) y = x ) y = x 4; ) y = x + ; ) y = x+ π ; 4) y = 5x 8... y = x..4. y = 5x ) y = 6x ; ) y = x, y = x ) y = x ; ) y = x + 9, y = x..7. 4) [; ) ( ; 4]... ) Növekvő a [ ; + ) intervallumon, csökkenő a ( ; ] intervallumon; ) növekvő a ( ; 0] és [; + ) intervallumon, csökkenő a [0; ]; ) növekvő a [ ; 7] intervallumon, csökkenő a ( ; ] és a [7; + ) intervallumon; 4) növekvő a [; + ) intervallumon, csökkenő a ( ; ] intervallumon... ) Növekvő a ( ; ] intervallumon, csökkenő a [; + ) intervallumon; ) növekvő a ( ; ] és az [; + ) intervallumon, csökkenő a [ ; ] intervallumon; ) növekvő a [ ; + ) intervallumon, csökkenő a ( ; ] intervallumon... ) Növekvő az [; + ) intervallumon, csökkenő a ( ; ] intervallumon; ) növekvő a ( ; ) és a (; + ) intervallumon; ) növekvő az [; + ) intervallumon, csökkenő a ( ; 0) és a (0; ] intervallumon; 4) növekvő a ( ; ] és a [; + ) intervallumon, csökkenő a [ ; 0) és a (0; ] intervallumon..4. ) Növekvő a ( ; ] intervallumon, csökkenő a [; + ) intervallumon; ) növekvő a ( ; 0) és a [; + ) intervallumon, csökkenő a (0; ] intervallumon ) x min = 0; ) x min = ; ) x min =, x max = ; 4) x min = 5, x max =..4. ) x min =, x max = ; ) x min =, x max = ; ) x min =, x max = 7; 4) x min =..7. ) Növekvő a ( ; ] és a [; + ) intervallumon, csökkenő a [ ; 0) és a (0; ] intervallumon, x max = ; x min = ; ) Növekvő a ( ; 0] intervallumon, csökkenő a [0; + ) intervallumon, x max = ) Növekvő a ( ; ] és a [; + ) intervallumon, csökkenő a [ ; 0) és a (0; ] intervallumon, x max = ; x min = ; ) növekvő a [0; + ) intervallumon, csökkenő a ( ; 0] intervallumon, x min = ) 5; ) ; )..0. ) 6; ) 7; ) ) 4; 0; ) ; 4; ) ; 0; 4) 4; ) 0; 6 ; ) ; ; ) 48; 6; 4) 0; = = = = Lásd az ábrát! 5.. Lásd az ábrát!

247 46 Feleletek és útmutatások y x 0 4 y x 0 ) 4) y x y x 0 ) 5) y x ) A 5.. feladathoz

248 Feleletek és útmutatások 47 y 4 y 0 x x ) ) y 6 0 x 6 ) A 5.. feladathoz 6.6. ) 6; ) ) ) 4; ) ; ) ; 4) ; 5) ; 6) 0 ; ; 7) 65; 8) 5; ;. 6.. ) 0; 9 0 7π ) ) tg a; ) ; ) 0; 4) ) + πk, k ; ) 7 π + 4πk vagy p + 4pk, k ; ) π π + k, k π π gyöke van ) π π + k, ± arccos 4 + πk, k ; 4) π π k π +, k ; 6) + πk, k ) y = 4 4 π = 6x + ; 4) y = x y = 4x és y = 4x ,5 s.

249 48 Feleletek és útmutatások 6.8. ) Növekvő a ( ; 0] és a [4; + ) intervallumon, csökkenő a [0; 4] intervallumon, x max = 0; x min = 4; ) növekvő a ( ; 4] és a [4; + ) intervallumon, csökkenő a [ 4; 0) és a (0; 4] intervallumon, x max = 4; x min = 4; 6) növekvő a ( ; ] és az [; + ) intervallumon, csökkenő a [ ; ) és a ( ; 4] intervallumon, x max = ; x min = ) ; fejezet. Térmértan 4.. Párhuzamosság a térben 7.6. Végtelen vagy egy cm vagy cm cm : , 08, 7, Egy sík vagy három sík cm cm : ,5 cm : Útmutatás. Bizonyítsd be, hogy az ABCD ~ EBFD, és alkalmazd a hasonló háromszögek megfelelő szögeinek egyenlőségét cm... ) 4 cm..5., cm Merőlegesség a térben ) 90 ; ) ) 0 ; ) 70 ; ) a.8. 0 cm cm a vagy 80 a Útmutatás. Bizonyítsd be, hogy a keresett szög egyenlő lesz az OB és AC egyenesek közötti szöggel, valamint azt, hogy az AB C háromszög egyenlő szárú cm cm cm ) a 6 ; ) cm. 4.. cm cm cm cm cm cm cm, cm cm cm cm cm cm cm, 6 cm, 6 cm cm cm cm cm cm cm cm cm.

250 Feleletek és útmutatások cm. 6.. cm cm cm cm cm cm cm cm cm, cm cm cm cm , ) 5 cm; ) 8 cm. 7.. cm cm. 6.. Koordináták és vektorok a térben y = vagy y = A (; 0; 0) vagy A ( ; 0; 0) cm D (7; 4; 5) x = 0, y = 9, z = vagy vagy B ( ; 6; 7) ( ) vagy m ( 4; 4; 4 ) vagy m ( 4; 4; 4 ) c ; ; ( ) c ; ;. 9.. cm NK FM A (,5;,5; 8) ( 0,5;,5; 4,5) ,6 cm x = 4 7, z = AB 4 ; ; D (6; 0; 0) b 6 ; ; m (; 5 5; 0) ) Nem; ) igen y = 9, z =. 4.. AE = AB + AD + AA. 4.. MK = AB + + AD AA. 4.. EF = AB AD AA cm a és c , vagy ) a. Útmutatás. Fejezd ki a CM vektort a CA és CB ; vektorok által! ) 0. Útmutatás. Fejezd ki az AB vektort a DA és DB. vektorok által! 4.9. a. Útmutatás. Fejezd ki a AC vektort az AB és AD. vektorok által! arccos arccos ,7. 8

251 50 Feleletek és útmutatások cm cm ) ) arctg ; ) arctg ; 0 ) arccos cm, 8 0 cm. 4.. ) cm. 4.4.,4 cm ,5 cm cm cm cm cm cm. 4.. cm. 4.. arctg 4 4. h arcsin sin ϕ arccos. a sin cm cm cm cm ) C (0; 4; 0); ) x = 7, z = ) 69 4π y = vagy y = D (; ; 5) D ( ; ; ) D (0;,5;,5) MO = AB + AC AD x = vagy x = m ( 05, ; ; 0, 5 ) arccos arccos arccos

252 5 TÁRGYMUTATÓ Abszcissza Abszcisszatengely 0 Alakzat ortogonális vetülete 85 párhuzamos vetülete a síkra 69 Alapfogalmak 4 Applikáta Applikátatengely 0 Arccos 87 Arctg 9 Arcsin 9 Argumentum növekménye 0 Derivált 09 geometriai értelmezése 09 mechanikai értelmezése 09 Differenciálás 0 Differenciálható függvények 09 Egész kitevőjű hatványfüggvények 7 Egyenes és a vele párhuzamos sík távolsága 87 és sík közötti szög 94 merőlegességének ismertetőjele 8 párhuzamosságának ismertetőjele 6 Egyenlet hamis gyöke 40 Egyenlet-következmény 40 Egyenlő vektorok 6 Egyirányú vektorok 6 Egymást metsző síkok 44 Egységkör 5 Elforgatás szögének koszinusza 55 Elforgatási szög szinusza 55 szög tangense 56 Ellentétes irányú vektorok 6 Ellentett vektor 4 Ellipszis 7 Érintő egyenlete 8 Extrémumpont 4 Ferde 86 talppontja 86 vetülete 86 Függvény alapperiódusa 6 állandóságának ismertetőjele 0 csökkenésének ismertetőjele 0 grafikonjának érintője 07 legkisebb értéke az adott intervallumon 7 legnagyobb értéke az adott intervallumon 7 maximumpontjának ismertetőjele 5 minimumpontjának ismertetőjele 5 növekedésének ismertetőjele 0 növekménye 0 origóra szimmetrikus értelezési tartománya 8 periódusa 6 Gúla alapéle 50 alapja 50 csúcsai 50 oldaléle 50 oldallapja 50 Gyök alatti kifejezés Gyökjel Hányados deriváltja 5 Három merőleges tétele 88

253 5 Tárgymutató Háromszög-szabály 9 Hasáb 50 alapja 50 oldaléle 50 oldallapja 50 Hatványkitevő csökkentésének képletei 77 Irracionális egyenlet 40 Ívmérték 50 Két egymást metsző egyenes közötti szög 77 kitérő egyenes közötti szög 77 párhuzamos egyenes közötti szög 77 sík közötti távolság 87 sík közötti szög 00 párhuzamosságának ismertetőjele 65 sokszög közötti szög 00 Kétszeres argumentum koszinuszának képlete 77 szinuszának képlete 77 tangensének képlete 77 Kitérő egyenes ismertetőjele 57 egyenesek 55 szakaszok 56 Kocka 5 Kollineáris vektorok 5 Koordinátasík Koordinátatér Köbgyök Különbség koszinuszának képlete 76 szinuszának képlete 76 tangensének képlete 76 Lapszög 98 éle 98 élszöge 99 lapja 98 mértéke 99 Maximumpont Merőleges 86 egyenesek 78 síkok 0 szakaszok 78 talppontja 86 vektorok 7 Minimumpont n-edik gyök Nullvektor 5 Ordináta Ordinátatengely 0 Origó 0 Origóra szimmetrikus pontok Összeg deriváltja 4 koszinuszának képlete 76 szinuszának képlete 76 tangensének képlete 76 Összegzési képletek 76 Paralelepipedon 5 Paralelepipedon-szabály Paralelogramma-szabály 0 Páratlan függvények 8 Párhuzamos egyenesek 55 síkok 65 sokszögek 66 szakaszok 56 vetítés 69 Páros függvények 8 Periodikus függvények 6 Pont és a sík távolsága 87 koordinátái környezete Pontban differenciálható függvények 09 Racionális kitevőjű hatvány 4 hatványfüggvények 5 Radián 49

254 Tárgymutató 5 Sík 4 Síkkal párhuzamos egyenes 60 párhuzamos szakasz 6 Síkok merőlegességének ismertetőjele 0 Síkot metsző egyenes 44 Síkra illeszkedő egyenes 4 merőleges egyenes 8 merőleges szakasz 8 szimmetrikus pontok Soklap 49 csúcsa 50 éle 50 lapja 49 és sík közötti szög 00 Sokszög ortogonális vetületének a területe 00 Szakasz és sík közötti szög 95 Számtani n-edik gyök Szinuszoid 67 Szinuszvonal 66 Szorzat deriváltja 4 Téglatest 5 Térbeli Descartes- féle koordináta-rendszer 0 Térmértan axiómái 44 Természetes kitevőjű hatványfüggvények Tetraéder 50 Trigonometriai alapazonosságok 7 Trigonometrikus függvények 57 Vektor 5 abszolút értéke 5 koordinátái 6 számmal való szorzása Vektorok közötti szög 7 különbsége összege 9 skaláris négyzete 8 skaláris szorzata 8 Visszavezetési képletek 8

255 54 Tartalom A szerzőktől... Egyezményes jelek...4. fejezet. ALGEBRA ÉS AZ ANALÍZIS ELEMEI.. Függvények, ezek tulajdonságai és grafikonjaik. A függvény legnagyobb és legkisebb értékei. Páros és páratlan függvények...6. A természetes kitevőjű hatványfüggvény.... Az egész kitevőjű hatványfüggvény Az n-edik gyök meghatározása Az n-edik gyök tulajdonságai A racionális kitevőjű hatvány meghatározása és tulajdonságai Irracionális egyenletek... 9 A lembergi matematikai iskola Az.. összefoglalása Trigonometrikus függvények 8. A szög radiánmértéke A számargumentumú trigonometrikus függvények A trigonometrikus függvények előjelei. Páros és páratlan trigonometrikus függvények A trigonometrikus függvények tulajdonságai és grafikonjaik Az azonos argumentumú trigonometrikus függvények közötti összefüggések...7. Addíciós (összegzési) képletek Visszavezetési képletek A cos x = b egyenlet A sin x = b és a tg x = b egyenletek Algebrai egyenletekké alakítható trigonometrikus egyenletek Légy te is Osztrohradszkij! A.. összefoglalása A derivált és alkalmazása 8. A pillanatnyi sebességről és a függvénygrafikon érintőjéről szóló feladatok A derivált fogalma A derivált kiszámításának szabályai...4

256 Tartalom 55. Az érintő egyenlete...8. A függvény növekedésének és csökkenésének (fogyásának) ismertetőjelei A függvény extrémumpontjai A függvény legnagyobb és legkisebb értéke A függvény grafikonjának ábrázolása... A.. összefoglalása A 0. osztályos algebra és az analízis tananyagának ismétlő gyakorlatai Párhuzamosság a térben. fejezet. TÉRMÉRTAN 7. A térmértan alapfogalmai. A térmértan axiómái Térbeli testek. A soklapokra vonatkozó alapismeretek Két egyenes kölcsönös helyzete a térben Az egyenes és a sík párhuzamossága A síkok párhuzamossága Párhuzamos vetítés...69 Ukrajnának vannak tehetségei!...7 A 4.. összefoglalása Merőlegesség a térben. Az egyenesek közötti szög a térben Az egyenes és a sík merőlegessége A merőleges és a ferde Az egyenes és a sík hajlásszöge Lapszögek. A síkok hajlásszöge...98 Az 5.. összefoglalása Koordináták és vektorok a térben 8. A pont Descartes-féle koordinátái a térben Vektorok a térben A vektorok összeadása és kivonása A vektor számmal való szorzása A vektorok skaláris szorzata... 7 A 6.. összefoglalása A 0. osztályos mértan tananyagának ismétlő gyakorlatai... 4 Feleletek és útmutatások Tárgymutató...5

257 Навчальне видання МЕРЗЛЯК Аркадій Григорович НОМІРОВСЬКИЙ Дмитро Анатолійович ПОЛОНСЬКИЙ Віталій Борисович та ін. МАТЕМАТИКА АЛГЕБРА І ПОЧАТКИ АНАЛІЗУ ТА ГЕОМЕТРІЯ РІВЕНЬ СТАНДАРТУ Підручник для 0 класу закладів загальної середньої освіти з навчанням угорською мовою Рекомендовано Міністерством освіти і науки України Видано за рахунок державних коштів. Продаж заборонено Переклад з української мови Перекладач Поллої Дезидер Федорович Угорською мовою Зав. редакцією А. А. Варга Редактор Б. Б. Ковач Художнє оформлення та дизайн Д. В. Висоцький Коректор Г. М. Тирканич Формат 60 90/6. Ум. друк. арк. 6,00. Обл.-вид. арк. 4,86. Тираж 09 прим. Зам.?????. Державне підприємство Всеукраїнське спеціалізоване видавництво Світ м. Львів, вул. Галицька, Свідоцтво суб єкта видавничої справи ДК 486 від office@svit.gov.ua Віддруковано у ТДВ «Патент» м. Ужгород, вул. Гагаріна, 0 Свідоцтво суб єкта видавничої справи ДК 4078 від.05.0 р.

258 58 Tartalom УДК [7.5 : 7.85] : [ ] М5 Перекладено за виданням: Мерзляк А. Г. Математика : алгебра і початки аналізу та геометрія, рівень стандарту : підруч. для 0 кл. закладів загальної середньої освіти / А. Г. Мерзляк, Д. А. Номіровський, В. Б. Полонський, М. С. Якір. Х. : Гімназія, 08 Рекомендовано Міністерством освіти і науки України (наказ Міністерства освіти і науки України від ) Мерзляк А. Г. М5 Математика : алгебра і початки аналізу та геометрія, рівень стандарту : підруч. для 0 кл. закл. заг. серед. осв. з навч. угорською мовою / А. Г. Мерзляк, Д. А. Номіровський, В. Б. Полонський, М. С. Якір ; пер. Д. Ф. Поллої. Львів : Світ, с. : іл. ISBN УДК [7.5 : 7.85] : [ ] ISBN (угор.) ISBN (укр.) Мерзляк А. Г., Номіровський Д. А., Полонський В. Б., Якір М. С., 08 ТОВ ТО Гімназія, оригіналмакет, художнє оформлення, 08 Поллої Д. Ф., переклад угорською мовою, 08

259 60 Tartalom Навчальне видання МЕРЗЛЯК Аркадій Григорович НОМІРОВСЬКИЙ Дмитро Анатолійович ПОЛОНСЬКИЙ Віталій Борисович та ін. МАТЕМАТИКА АЛГЕБРА І ПОЧАТКИ АНАЛІЗУ ТА ГЕОМЕТРІЯ РІВЕНЬ СТАНДАРТУ Підручник для 0 класу закладів загальної середньої освіти з навчанням угорською мовою Рекомендовано Міністерством освіти і науки України Переклад з української мови Перекладач Поллої Дезидер Федорович Угорською мовою Зав. редакцією А. А. Варга Редактор Б. Б. Ковач Художнє оформлення та дизайн Д. В. Висоцький Коректор Г. М. Тирканич Формат 60 90/6. Ум. друк. арк. 6,00. Обл.-вид. арк. 4,86. Додатковий тираж 4 прим. Зам.?????. Державне підприємство Всеукраїнське спеціалізоване видавництво Світ м. Львів, вул. Галицька, Свідоцтво суб єкта видавничої справи ДК 486 від office@svit.gov.ua Віддруковано у ТДВ «Патент» м. Ужгород, вул. Гагаріна, 0 Свідоцтво суб єкта видавничої справи ДК 4078 від.05.0 р.

260 Форзац. előzék Форзац. előzék Властивості Az n-edik gyök кореня tulajdonságai n-го степеня k + k + a k k a = = a, a n a b n a = n k nk n a = b a n n n ab a b = æ ( ) k n k a a = a + n a A Властивості gyök tulajdonságai степеня a p : a q = a p q p q p q p æ p (a p ) q = a pq (ab) p = a p b p ( ) 0 Deriválási Таблиця похідних táblázat c = ( ) ( x ) = n n = nx ( ) n n n ( x ) nk k n = a a = a a a = b b x = (sin x) = cos x x = (cos x) = sin x x x x = (tg x ) = n x cos x p Правила Deriválási знаходження szabályok похідних ( f g) f g f f æg g æf ± = ± ( fg ) = f æg + g æf g = g Trigonometrikus Графіки тригонометричних függvények grafikonjai функцій y = sin x y = cos x y = tg x «Ìîÿ Szerelmem ëþáîâ Ukrajna Óêðà íà és a matematika ³ ìàòåìàòèêà». ezek a Ö³ szavak ñëîâà vannak Ìèõàéëvésve Ïèëèïîâè à Mihajlo Pilipovics Êðàâ óêà Kravcsuk (89 94) gránitból âèêàðáîâàíî készült sír íà fel ãðàí³òíîìó emlékére. ïîñòàìåíò³ ïàì ÿòíèêà íàóêîâöåâ³. Ìè Reméljük, ñïîä³âàºìîñÿ, hogy a kimagasló ùî öå ukrán ïàòð³îòè íå matematikus âèñëîâëþâàííÿ hazaszeretetről âèäàòíîãî árulkodó szavai óêðà íñüêîãî biztos útmutatóul ìàòåìàòèêà szolgálnak számotokra ñòàíå a äëÿ szakmai âàñ íàä³éíèì tudás megszerzésében. äîðîãîâêàçîì íà øëÿõó äî ïðîôåñ³îíàë³çìó. π y π 0 π π π x π y π 0 π π π π x π π y 0 π π x