A. H. Merzljak V. B. Polonszkij M. Sz. Jakir ALGEBRA. Tankönyv az általános oktatási rendszerű tanintézetek 8. osztálya számára

Átírás

1 A. H. Merzljak V. B. Polonszkij M. Sz. Jakir ALGEBRA Tankönyv az általános oktatási rendszerű tanintézetek 8. osztálya számára Ajánlotta Ukrajna Oktatási és Tudományos Minisztériuma Львів Видавництво Світ 06

2 УДК 7.67.:5 ББК.4я7 М5 Перекладено за виданням : Мерзляк А. Г. Алгебра : підруч. для 8 кл. загальноосвіт. навч. за кладів / А. Г. Мерзляк, В. Б. Полонський, М. С. Якір. Х. : Гімназія, 06 Рекомендовано Міністерством освіти і науки України (наказ МОН України від ) Видано за рахунок державних коштів. Продаж заборонено Експерти, які здійснили експертизу даного підручника під час проведення конкурсного відбору проектів підручників для учнів 8 класу загальноосвітніх навчальних закладів і зробили висновок про доцільність надання підручнику грифа «Рекомендовано Міністерством освіти і науки України»: В. В. Вдовенко, доцент кафедри математики Кіровоградського державного педагогічного університету імені Володимира Винниченка, кандидат педагогічних наук І. В. Мадей, методист Козятинського міського методичного кабінету Вінницької області, учитель-методист О. А. Барановська, учитель Острозької загальноосвітньої школи І ІІІ ступенів Рівненської області, старший учитель Мерзляк А. Г. М5 Алгебра : підруч. для 8 кл. загальноосвіт. навч. за кладів з навч. угорською мовою / А. Г. Мерзляк, В. Б. Полонський, М. С. Якір. : пер. Ю. І. Кулін. Львів : Світ, с. : іл. ISBN УДК 7.67.:5 ББК.4я7 ISBN (угор.) ISBN (укр.) Мерзляк А. Г., Полонський В. Б., Якір М. С., 06 ТОВ ТО Гімназія, оригінал-макет, художнє оформлення, 06 Кулін Ю. І., переклад угорською мовою, 06

3 A szerzőktől A TANULÓKNAK KEDVES NYOLCADIKOSOK! Ebben a tanévben tovább folytatjátok az algebra tanulását. Reméljük, hogy a 7. osztályban megszerettétek ezt a fontos és szép tantárgyat, és ezért fokozott érdeklődéssel fogtok hozzá az új ismeretek elsajátításához. Bízunk benne, hogy a kezetekben tartott tankönyv segítségetekre lesz ebben. Ismerkedjetek meg a tankönyv felépítésével! A tankönyv három paragrafusból áll, amelyek pontokra tagozódnak. Itt ismerkedhettek meg a tananyag elméleti részével. Fordítsatok különös figyelmet a félkövér betűkkel szedett szövegrészekre. Jól jegyezzétek meg a dőlt betűkkel kiemelt szavakat is. A hagyományoknak megfelelően az elméleti anyagot gyakorlópéldák és feladatok követik. Ezeket a feladatmegoldás egyik lehetséges változatának tekinthetitek. Minden pontban önálló munkára kijelölt feladatok vannak, amelyek megoldásához csak az elméleti rész elsajátítása után fogjatok hozzá. A gyakorlatok között vannak könnyűek, közepesek és nehezek (különösen a *-gal jelöltek). Tudásotokat az Ellenőrizzétek magatokat! című rubrikában található tesztfeladatok megoldásával ellenőrizhetitek. Minden pont egy különleges rubrikával fejeződik be, melynek a Nem hagyományos módszerek használata címet adtuk. Ezekben olyan feladatok szerepelnek, amelyek megoldásához legtöbbször nem matematikai tudásra van szükség, hanem csak a józan eszeteket, találékonyságotokat, felfogóképességeteket kell használni. E feladatokkal problémamegoldó gondolkodás fejlesztését tűztük ki célul, hogy ne csak a matematikai feladatok elvégzésekor kerüljétek a szokványos megoldásokat, hanem az élet minden területén. Ha a házi feladat megoldása után még marad szabad időtök, és szeretnétek többet tudni, akkor ismerkedjetek meg a Többletfeladatok című rubrikában leírt feladatokkal. Az ebben közölt tananyag nem tartozik az egyszerűek közzé, de itt aztán igazán kipróbálhatjátok képességeiteket. Sok sikert és kitartást kívánunk!

4 4 A szerzőktől A TANÁROKNAK TISZTELT KOLLÉGÁK! Őszintén reméljük, hogy e tankönyv megbízható segítségül szolgál egy nemes cél érdekében végzett áldozatos munkájukhoz. Szeretnénk, ha a könyv elnyerné tetszésüket. A tankönyv széles körű és változatos didaktikai anyagot tartalmaz. Egy tanév alatt a tankönyvben található valamennyi feladatot lehetetlen megoldani, de erre nincs is szükség. Sokkal kényelmesebb úgy dolgozni, hogy bőségesen válogathatunk a feladatokból. Ez az egyénre szabott fejlesztési módszerek alkalmazását teszi lehetővé az oktatásban. A Többletfeladatokban olyan példák találhatók, amelyeket matematikai körökre, illetve fakultatív foglalkozásokra javaslunk. Az alkotó munkához erőt, kedvet és sok sikert kívánunk! Egyezményes jelek: n alacsony és közepes felkészültségű tanulók részére ajánlott feladatok; n megfelelő felkészültségű tanulók részére ajánlott feladatok; n kiváló felkészültségű tanulók részére ajánlott feladatok; n * matematikai szakkörök részére és fakultatív foglalkozásokra ajánlott feladatok; vége a tétel bizonyításának; számítógéppel elvégezhető feladatok; többletfeladatok. A zöld számozású példákat házi feladatra, a kék számozásúakat pedig szóbeli feladatként ajánljuk.

5 . Racionális törtek.. RACIONÁLIS KIFEJEZÉSEK Ebben a paragrafusban olyan törtekkel ismerkedünk meg, amelyek nevezőiben és számlálóiban változókat tartalmazó kifejezések vannak; megtanuljuk összeadni, kivonni, megszorozni és elosztani az ilyen törteket; megismerkedünk az ilyen törtekből álló egyenletekkel. Megismerkedünk azokkal a szabályokkal, amelyek segítségével az adott egyenlet egyszerűbb alakra hozható. Bővítjük a hatvány fogalmát. Megtanuljuk a számokat negatív egész kitevőjű hatványra emelni. Megtanuljuk azon folyamatok matematikai modellezését, amelyekben az egyik mennyiség néhányszoros növelése (csökkenése) egy másik mennyiség néhányszoros csökkenését (növekedését) vonja maga után.. Racionális törtek Mielőtt hozzáfognátok e pont tanulásához, ismételjétek át a 6. oldalon található -es, és a 8. oldalon lévő 6-os pontokat. A 7. osztályos tananyagban egész kifejezések átalakításával foglalkoztunk. Ez alatt olyan kifejezéseket értettünk, amelyekben számok és változók összeadása, kivonása, szorzása és nullától különböző számmal való osztása szerepel. Egész kifejezések például: y, a + b 5, m + m + n, 4, c + d, : 5, y, A 8. osztályban a törtkifejezésekkel fogunk megismerkedni. A törtkifejezések abban különböznek az egész kifejezésektől, hogy bennük változót tartalmazó kifejezéssel való osztás is előfordul. Törtkifejezések például: a + a ;, ( y) : ( + y), b ;, 5 b c. d Az egész és törtkifejezéseket együtt racionális kifejezéseknek nevezzük. Ha a racionális kifejezésekben a változókat számokkal helyettesítjük, akkor számkifejezést kapunk. A helyettesítést csak akkor szabad elvégezni, ha az nem vezet nullával való osztáshoz.

6 6.. RACIONÁLIS KIFEJEZÉSEK Például a + a + a kifejezésnek nincs értelme, ha a =, azaz a kifejezésnek nincs helyettesítési értéke. Az a összes többi értékére a kifejezés értelmezve van. Meghatározás. A változók azon értékeit, amelyekkel a racionális kifejezés értelmezve van, a változók megengedett értékeinek nevezzük. A fenti kifejezésben például az a változó megengedett értéke az kivételével bármely szám. Az egész kifejezésekben szereplő változók megengedett értékei bármely szám. A racionális kifejezések részesete a racionális tört, amelyekben a számláló és a nevező is többtagú kifejezés. Például: 7, y, + y a, a+ b 5 Megjegyezzük, hogy a racionális tört lehet mind egész, mind törtkifejezés. A racionális tört nevezője nem lehet olyan többtagú kifejezés, amely azonosan egyenlő nullával. A racionális törtekben a változók megengedett értékei azok, amelyeknél a nevező helyettesítési értéke nem nulla. Az. ábrán látható vázlatrajz ebben a pontban megtalálható fogalmak közötti kapcsolatot szemlélteti. Racionális kifejezések Többtagú kifejezések Egész kifejezések Törtkifejezések Racionális törtek. ábra PÉLDA. Határozzátok meg az +.kifejezésben a változó megengedett 5 értékeit! Emlékeztetünk rá, hogy a számok és az egytagú kifejezések a többtagú kifejezések részesetei (lásd 8. oldal 6. pont).

7 . Racionális törtek 7 Megoldás. Az tört nincs értelmezve, ha = 0. Az összes többi szám esetén értelmezve van. tört az = 5 értékén kívül az összes 5 számra értelmezve van. Tehát az megengedett értékei a 0 és 5 kivételével valamennyi szám. Vagy másképpen fogalmazva: a kifejezés nincs értelmezve, ha = 0 vagy = 5.. Miben különböznek a törtkifejezések az egész kifejezésektől?. Hogyan nevezzük az egész és törtkifejezéseket együtt?. A változók mely értékeit nevezzük megengedett értéknek? 4. Milyen törteket nevezünk racionálisaknak? 5. Milyen kifejezések részesete a racionális tört? 6. Milyen többtagú kifejezés nem lehet egy racionális tört nevezője? GYAKORLATOK. A a 4b, 5 +, 4 7 n +, a b, t 6 t + 5, c 4 t +, 5 m n, ( y 4) +, 6 y 8 6 m mn kifejezések közül melyek: 8 ) egész kifejezések; ) törtkifejezések; ) racionális törtek?. Mennyi a c 4 c,tört helyettesítési értéke, ha: c + ) c = ; ) c = 0?. Határozzátok meg a m n,kifejezés helyettesítési értékét, ha: m + n ) m =, n = ; ) m = 4, n = Határozzátok meg az alábbi kifejezések értékét: ) a, ha a = 4; ) + y, ha = 5, y = 6. a 5 y + 5. Határozzátok meg a kifejezésben szereplő változó megengedett értékeit: 9 ) 5; ) 5 ; 5) + y + y ; ) 8 m ; 4) 5 9 ; 6) + 4 ;

8 8.. RACIONÁLIS KIFEJEZÉSEK 5 7) 4 ; 9) + + ; ) + ; 5 8) 4 ; 0) + 4 ( 6) ; ) ( ) ( + 5). 6. A változó mely értékére van értelmezve a ) 9 y ; ) m 4 ; 5) m ; ) ; 4) ; 6) ( + ) ( 0)? kifejezés? 7. Írjatok fel olyan változót tartalmazó racionális törtet, amely ) = 7; ) = ; ) = 0 és = 4 értékeinél nincs értelmezve! 8. Írjatok fel olyan y változót tartalmazó racionális törtet, amelynek megengedett értékei: ) 5 kivételével minden szám; ) és 0 kivételével minden szám; ), és 6 kivételével minden szám; 4) bármely szám! 9. Egy gépkocsi 75 km/h sebességgel a km-t tett meg műúton, és 40 km/h sebességgel b kilométert földúton. Mennyi idő alatt tette meg a teljes utat a gépkocsi? Adjátok meg a feladat megoldását kifejezéssel, majd határozzátok meg az értéket, ha a = 50, b = 0! 0. Egy tanuló m hrivnyáért 8 hrivnyás, n hrivnyáért pedig 4 hrivnyás füzeteket vásárolt. Hány füzetet vásárolt a tanuló? Állítsatok fel kifejezést, majd határozzátok meg az értékét, ha m = 4, n = 56!. Bizonyítsátok be, hogy az valamennyi megengedett értékénél a tört értéke: ) pozitív; ) + negatív! 6 9. Bizonyítsátok be, hogy az valamennyi megengedett értékénél a tört értéke: ) nem pozitív; ) nem negatív! Ismeretes, hogy 5 5y =. Határozzátok meg az alábbi kifejezések értékét: ) y; ) 8 y 6 ; 9 8 ) ; 4). 6y 6y + 9y 4. Tudjuk, hogy 4a + 8b = 0. Határozzátok meg a kifejezés értékét: 5 ) b + a; ) ; ) a ab b a + b a + 4b

9 . Racionális törtek 9 5. Határozzátok meg az alábbi függvények értelmezési tartományát: ) y = 4 4 ; ) y =. 6. A változó mely értékeinél van értelmezve az alábbi kifejezés? ) 9 ; ) 0 6?. + FELKÉSZÜLÉS AZ ÚJ TÉMÁHOZ 7. Egyszerűsítsétek az alábbi törteket: ) 5 ; 5 ) ; 8 7 ) ; ) Bővítsétek: ) a törtet úgy, hogy a nevezője 4 legyen; 7 ) a 8 törtet úgy, hogy a nevezője 60 legyen! 5 9. Adjátok meg a következő kifejezéseket hatványalakban: ) a 5 a ; ) (a 5 ) ; ) a 5 : a ; 4) (a 8 ) 4 : (a ) Bontsátok tényezőkre az alábbi kifejezéseket: ) 6a 5b; 5) a 6 + a ; ) a + ab; 6) m n 4mn; ) 7am + 7bn; 7) ; 4) 4 y; 8) 0a b 5a b + 5ab.. Bontsátok tényezőkre az alábbi kifejezéseket: ) ab ac + bd cd; ) a 5 + a + a + ; ) m + n m n; 4) 8a b a 4b + b.. Adjátok meg azokat a kéttagú kifejezéseket, amelyek négyzete: ) a 8a + 6; ) 40y y ; ) ; 4) a 8 4a 4 b + 4b.. Bontsátok tényezőkre az alábbi kifejezéseket: ) 9; 4) a b 8; 7) c d ; ) 5 4y ; 5) 00m 6 ; 8) a + 8; ) 6m 49n ; 6) a 0 b 6 ; 9) 7m 6 n Bontsátok tényezőkre a következő kifejezéseket: ) 7a 7; 4) 8a 5 + 8a a; ) b b; 5) 4y + 6y ; ) y ; 6) ab 6 ab 4 b 6 + b Melyik azonosság az alábbi egyenlőségek közül: ) 6y + 08y = ( 6y) ; ) 4m 500n 6 = 4 (m 5n) (m 5mn + 5n )? Frissítsétek fel a. pontban tanultakat (6. oldal)!

10 0.. RACIONÁLIS KIFEJEZÉSEK NEM HAGYOMÁNYOS MÓDSZEREK HASZNÁLATA 6. Adott az a = , b =... szám. Az a szám m számjegyű, a b m szamjegy n szamjegy szám n számjegyű. Megválaszthatók-e úgy az m és az n értékei, hogy: ) az a szám osztható legyen b-vel; ) a b szám osztható legyen a-val?. A racionális törtek alaptulajdonsága A a + a + 5 = 5a + 4 egyenlőség azonosság, mivel az a minden értékére teljesül. A a + a + 5 5a + 4 = egyenlőség első ránézésre ugyancsak azonosságnak tűnik, de az egyenlőség nem teljesül az a minden értékére. Az a + a + a = esetén kapott racionális tört nincs értelmezve. Vagyis a 7. osztályban bevezetett azonosan egyenlő kifejezések és az azonosság meghatározásait pontosítani kell. Meghatározás. Két kifejezést azonosan egyenlőnek nevezünk, ha a változók minden megengedett értékénél a megfelelő helyettesítési értékeik egyenlők. Meghatározás. Azonosságnak nevezzük az olyan egyenlőséget, amely a változó minden megengedett értékével teljesül. Például az a a = egyenlőség azonosság, mivel az a = kivételével a változó minden értékére igaz. A 7. osztályban tanultuk az egész kifejezések azonos átalakításait. Most pedig a törtkifejezések azonos átalakításával fogunk foglalkozni. Az arány alaptulajdonsága szerint az a am =, b bm egyenlőség teljesül a, b és m bármely értékeivel, ahol b 0 és m 0. A racionális törtek az arány alaptulajdonságához hasonló tulajdonsággal rendelkeznek:

11 . A racionális törtek alaptulajdonsága ha a racionális tört számlálóját és nevezőjét megszorozzuk ugyanazzal a nullától különböző többtagú kifejezéssel, akkor az adottal azonosan egyenlő törtet kapunk. A fenti tulajdonságot a racionális tört alaptulajdonságának nevezzük és így írhatjuk le: A A C =, B B C ahol A, B és C többtagú kifejezések, s emellett B és C nem egyenlő nullával. A fenti tulajdonság felhasználásával az A C kifejezést helyettesíthetjük a vele azonosan egyenlő A.törttel. Az ilyen azonos átalakításokat B C B a törtnek C tényezővel való egyszerűsítésének nevezzük.. PÉLDA. Egyszerűsítsük a ) 6 a b + 5y ; ) ; ) y + 4 y + 4 törteket. 4 4a b y + y Megoldás. ) A 6a b és 4a b 4 egytagú kifejezéseknek van közös 6a b tényezőjük. Ezért: 6ab 6 4 4ab = a ab a 4b 6ab =. 4b ) A tört számlálóját tényezőkre bontjuk: + 5y + 5y = ( ). A kapott tört számlálójának és nevezőjének közös tényezője, amivel egyszerűsíthetünk: ( + 5y) + 5y =. ) Először a tört számlálóját és nevezőjét tényezőkre bontjuk, majd a kapott törtet a y + tényezővel egyszerűsítjük: y + 4y + 4 ( y + ) y + = =. y + y y ( y + ) y A tört alaptulajdonságából következik, hogy A A = és A A = B B B B. A A B és A törtek mindegyikét felírhatjuk A alakban is, vagyis B B A A A = = B B B.. PÉLDA. Egyszerűsítsük a 4 a 0.törtet. 5a a Megoldás. 4a 0 4 a 5 4 a 5 4 5a a = ( ) a 5 a = ( ) ( ) a a 5 =. ( ) a

12 .. RACIONÁLIS KIFEJEZÉSEK. PÉLDA. Hozzuk: ) az a törtet 5ab c 5 nevezőre; 5bc a ) az a + b törtet a 4b nevezőre; a b ) az törtet b a nevezőre. a b Megoldás. ) Mivel 5ab c 5 = 5bc ab c, ezért az új nevező a ab c tényezővel különbözik az adott tört nevezőjétől. Tehát az adott tört számlálóját és nevezőjét a ab c pótszorzóval kell megszoroznunk: a a ab c abc = = 5. 5bc 5bc ab c 5ab c a a ( a b) a ab ) = =. a + b ( a + b) ( a b) a 4b ) Az adott tört számlálóját és nevezőjét is szorozzuk meg -gyel: a b ( a b) ( b a = ) =. a b ( a b) ( ) b a 4. PÉLDA. Hozzuk közös nevezőre a következő törteket: m ) 9a b és 5 n 6 4 6a b ; ) és a + b a b ; ) 4a 6 és. a 6 a + 6a Megoldás. ) Az adott tört nevezőinek szorzata 9a b 6 6a 4 b = = 54a 6 b 9 egyúttal közös nevezőjük is. Azonban célszerűbb közös nevezőnek a 8a 4 b 6 egytagú kifejezést választani, amelynek együtthatója 8, ami az adott nevezők együtthatóinak, a 9-nek és a 6-nak, a legkisebb közös többszöröse; az a és b változókat pedig a törtek nevezőiben szereplő legnagyobb kitevőkkel vesszük. Mivel 8a 4 b 6 = 9a b 6 a m, ezért a 9a b tört pótszorzója a 6 a egytagú kifejezés. Figyelembe véve, hogy 8a 4 b 6 = 6a 4 b b, ezért az 5 n 4 6a b tört pótszorzója a b egytagú kifejezés. Tehát, azt kapjuk, hogy m ab = m a am 9ab a = ; 8ab 5n ab = n b bn 6ab b =. 8ab

13 . A racionális törtek alaptulajdonsága ) Az adott törtek közös nevezője nevezőik szorzatával egyenlő. Így: a b a b = = ; a + b ( a + b) ( a b) a b a + b a + b = =. a b ( a b) ( a + b) a b ) A racionális törtek közös nevezőjének meghatározásánál hasznos lehet nevezőik tényezőkre bontása: a 6 = (a + 6) (a 6), a + 6a = a (a + 6). Tehát az adott törtek közös nevezője lehet az a(a + 6)(a 6) kifejezés. Ekkor a/ 4a 4a 4a 4a a 6 = a+ 6 a 6 = a a+ 6 a 6 = ; ( )( ) ( )( ) a 6a a 6/ 6 6 6( a 6) 6a 6 = = =. a + 6a a( a+ 6) a( a+ 6)( a 6) a 6a 5. PÉLDA. Ábrázoljuk az y = függvényt. Megoldás. Az adott függvény értelmezési tartománya az = kivételével bármely szám. Így: ( ) ( + ) = = +, tehát y = +, ha. Tehát az adott függvény grafikonja az abszcisszájú pont kivételével az y = + egyenes (. ábra). y 0. ábra 6. PÉLDA. Oldjuk meg a (a 9) = a + egyenletet az a paraméter bármely értékére. Megoldás. Felírjuk az adott egyenletet (a + )(a ) alakban, és három esetet vizsgálunk meg. ) a =. Ebben az esetben a 0 = 6 egyenletet kapjuk, amelynek nincs megoldása. ) a =. Az így kapott 0 = 0 egyenletnek végtelen sok megoldása van. ) a és a. a + Ekkor = =. ( a + ) ( a ) a Felelet: ha a =, akkor az egyenletnek nincs gyöke; ha a =, akkor az egyenletnek bármely szám a gyöke; ha a és a, akkor = a.

14 4.. RACIONÁLIS KIFEJEZÉSEK. Milyen kifejezéseket nevezünk azonosan egyenlőknek?. Mit nevezünk azonosságnak?. Fogalmazzátok meg a racionális törtek alaptulajdonságát! GYAKORLATOK 7. Az alábbi kifejezések közül melyikkel azonosan egyenlő a 6 a 4a tört: ) a 4 ; ) a ; ) 4 48 aa ; 4) 4 a a? 8. Azonosságok-e az alábbi egyenlőségek: ) m 7m = m 7 ; ) b 8b 5 = ; 5 c 0c ) 4 8 = ; 4) 8 5 m 8m =? n 9nm 9. Egyszerűsítsétek a következő törteket: ) 4 a a ; ) 5 0 ; 5) 4 abc 6ab ; 0 0n 7) ; 4 4 5n ) 8 b c bc ; 4) y 56m n ; 6) 5 0 y 4m n ; 8) 4 6 p q p q 0. Adjátok meg a hányadosokat tört alakban, majd egyszerűsítsétek azokat: ) 6a : (8a 5 ); ) 6b 7 : (48b 4 ); ) 5a 8 b 6 : ( 49a 6 b 8 )!. Egyszerűsítsétek a törteket: ) y ; ) ab ; 5) 5 0 cc 40ab ; 7) 8 a ; 4a ) 5 6 ; 4) m 6 y ; 6) 4 5 m 4 y ; 5 5 a b 8) 4 6a b.. Egyszerűsítsétek az alábbi kifejezéseket: ) a b ; ) a b ; ) a b ; 4) a b.. Pótoljátok a hiányzó kifejezéseket az egyenlőségekben: ) a a c = 6a = 4 9a = 5b = ; ) m 4 4m m n n = = = =. n mnp 4. Alakítsátok át: ) az a b kifejezést b5 nevezőjű törtté; ) az m 9n kifejezést 7n4 nevezőjű törtté; 6 ) a 7 y kifejezést 5 y nevezőjű törtté; 4) az 5 k 6p kifejezést 5 4p9 c nevezőjű törtté!

15 . A racionális törtek alaptulajdonsága 5 5. Alakítsátok át: ) az y alakú törtet y8 nevezőjűvé; ) az a b alakú törtet 6b nevezőjűvé; 9 ) a 4m n alakú törtet m n nevezőjűvé; 4) a c 5d alakú törtet 6 0bd7 nevezőjűvé! 6. Egyszerűsítsétek a következő törteket: ) a ( + ) b ( + ) ; 5) 7 y ; 9) y 5 ; 5 5y 0 + y ) 4 6 ( a ) ; 6) 4 a 0 b ; 0) a + 4 a + 4 ; ( a 6) ab 9a + 8 ) c c 5 ( 4) 6 c ( c 4) ; 7) 6 + ; ) c 6 c + 9 ; 6 c 9 4) a + b 7 ( a + b) ; 8) a 5b m + ; ) a 5ab m m Egyszerűsítsétek az alábbi törteket: a b ) ( b a) ; ) m 5 mn ; 5) 5 ; 5n m 5 ) 6 y ; 4) 7 4 a a b ; 6) y y y b 7ab 6 y 8. Egyszerűsítsétek a következő törteket: ) m n ; 4) 49 ; 7) b 5 b 4 ; 5 6 7m 7n b b 5a + 5b ) ; 5) a 6 a ; 8) 7 m + 7 m + 7 ; a + 0ab 6a m ) 4 6 y 9b ; 6) 6y 9b + 6b + ; 9) Alakítsátok át: a ) az törtet 4a + 8 nevezőjű törtté; a + m ) az m n törtet m 9n nevezőjű törtté; ) az törtet 7y 4 nevezőjű törtté; y 5b 4) az törtet 4a + ab + 9b nevezőjű törtté; a + b + 5) az törtet nevezőjű törtté! Írjátok fel át az 5y kifejezést: ) ; ) ; ) 4y ; 4) 5y nevezőjű tört alakban!

16 6.. RACIONÁLIS KIFEJEZÉSEK 6 4. Hozzátok a törtet: b 4 ) 5b 0; ) b; ) b 4b; 4) b 6 nevezőre! 4. Alakítsátok át az alábbi törtpárokat azonos nevezőjű törtekké: ) 8ab és a ; 5) és + ; ) 7m n és 4y m n ; 6) a b 4 a + b és a ; a b ) a + b a a és ; 7) és ; a b a b 4a 4 5 5a d 8p 4) és m n ( m n) ; 8) 7 a c és. b 9 b 4. Hozzátok közös nevezőre a következő törteket: 4 ) 5 y és 0 y ; 5) + y és y y y ; c ) 6a 4 b és d 5 9ab ; 6) 6a és a a b a + b ; ) y 5 és z ; 7) + c c és y 5 c 6 4 c ; m + n 4) és m n m + 9 m ; 8) és m mn m n m + 5m + 5 m Egyszerűsítsétek az alábbi törteket: ) ( a + b ) ; ) y + 5 y 5 ; a + b 4y + 4 ) ( ) 6 8y ; 4) a ab + b a. 9y a 4a Egyszerűsítsétek a következő törteket: ) m 7 n ( 4m + 4n) ; ) a 8 a + a b + ab ; ). ab a b + a ab 46. Egyszerűsítsétek a törtkifejezéseket, majd határozzátok meg a helyettesítési értéküket: 5a + 0ab ), ha a =, b = 0,4; ab + b 9b 4c ), ha b = b c 8bc, c = 6; ) 6 y + y, ha =,, y = ; y 6 4) a 8 a 6, ha a = 0,! 9 8 a + a 47. Határozzátok meg az alábbi kifejezés helyettesítési értékét: ) 6 4 y 49c 9, ha =,5, y = ; ), ha c = 4! 6 y 49c + 4c + 9

17 . A racionális törtek alaptulajdonsága Hozzátok közös nevezőre a következő törteket: p ) és ; 4) 5p 5 p 7, + és ; a + a a b ab ) és ; 5), és. 9a 6a + 9a a ab ac + bc a b 4a 4c a a + ) és ; a 7a a 4a Írjátok fel a törtkifejezéseket azonos nevezőjű törtek alakjában: a ) a, a a és ; 9a + 6 9a b 4b ), és. a 5b a + 7ac a + 7ac 5ab 5bc 50. Határozzátok meg a y y,kifejezés értékét, ha y + y =. 5. Határozzátok meg a 4 a ab kifejezés értékét, ha a ab + 4b b = Határozzátok meg az alábbi kifejezések értékét, ha tudjuk, hogy a 6b = : 8 a 9b ) ; ). a b 0, 5a +, 5b 5. m, 5n Határozzátok meg a kifejezés értékét, ha 4m + n = 8! m 8n 54. Létezik-e az a-nak olyan értéke, amelynél az a a a + tört helyettesítési értéke negatív? a + a + a Ábrázoljátok az alábbi függvényeket: ) y 4 = + ; ) y = ; 5 ) y = ; 4) y = Ábrázoljátok az alábbi függvényeket: ) y 8 = + 6 ; ) y = ; ) y = Ábrázoljátok az alábbi függvényeket: ) y = ; ) y =. 58. Oldjátok meg a következő egyenleteket: ) + + = ; ) = 0; ) 5 6 = Oldjátok meg a következő egyenleteket: ) 6 7 = 8; ) =

18 8.. RACIONÁLIS KIFEJEZÉSEK 60. * Az a valamennyi értékére oldjátok meg az alábbi egyenleteket: ) a = ; ) (a 6) = a a + 6; ) a = a; 4) (a 4) = a! 6. * Az a valamennyi értékére oldjátok meg az alábbi egyenleteket: ) (a + ) = ; ) (a 9a) = a 8a + 8! ISMÉTLŐ FELADATOK 6. Hozzátok egyszerűbb alakra a következő kifejezéseket: ) ( + ) ( 9) ( ); ) (a + 5) (a ) + (a + 4) (a 5); ) (y 8) (y + ) (y + ) (y 6); 4) ( y) ( + y) + ( + y) ( y); 5) ( + ) ( ) ( + ); 6) (y 4) (y + ) (y 6). 6. Ábrázoljátok az alábbi függvényeket: ) y = ; ) y = ; ) y =. 64. Milyen a és b értékeknél lesz az (a )(a + ) + 4b(b a) kifejezés értéke a legkisebb? Mennyi ez a legkisebb érték? 65. Meggyes faluhoz a vasútállomás 4 kilométerrel közelebb van, mint Almáshoz. Autóbusszal Meggyestől az állomásig 45 percig tart az út. Személygépkocsival az út Almásról az állomásra 5 perccel tovább tartott. A személygépkocsi sebessége km/h-val nagyobb az autóbusz sebességénél. Határozzátok meg mindegyik gépjármű sebességét! FELKÉSZÜLÉS AZ ÚJ TÉMÁHOZ 66. Végezzétek el a kijelölt műveleteket: ) ; ) ; ) 5 ; 4) NEM HAGYOMÁNYOS MÓDSZEREK HASZNÁLATA 67. A négyzet oldalaira 4 természetes számot írtak. A négyzet mindegyik csúcsában pedig olyan szám szerepel, amely egyenlő a csúcsot alkotó oldalakra írt számok szorzatával. A csúcsokban szereplő számok öszszege 55. Határozzátok meg az oldalakra írt számok összegét!

19 . Egyenlő nevezőjű racionális törtek összeadása és kivonása 9. Egyenlő nevezőjű racionális törtek összeadása és kivonása Már tudtok egyenlő nevezőjű közönséges törteket összeadni és kivonni. Az ide vonatkozó szabályok rövid matematikai felírása: a c b a b + = +, a b a b =. c c c c c E szabály szerint adjuk össze, illetve vonjuk ki egymásból az egyenlő nevezőjű racionális törteket is. Egyenlő nevezőjű törteket úgy adunk össze, hogy számlálóikat összeadjuk, a nevezőt pedig változatlanul hagyjuk. Egyenlő nevezőjű törteket úgy vonunk ki, hogy az első tört számlálójából kivonjuk a második tört számlálóját, a nevezőt pedig változatlanul hagyjuk.. PÉLDA. Végezzétek el a kivonást. ) ; ) y + y y 5 4 a ; ). 8 8 y 5 y 5 a a Megoldás ) ( 5) = = = = ) y y + y 5 y + y ( y 5) y + y y + 5 = = = y 5 y 5 y 5 y 5 y 0y + 5 ( y 5) y 5 = = =. y 5 ( y + 5) ( y 5) y a 4 a 4 a 4 + a a + ) = = + = =. a a a ( a ) a a a a. PÉLDA. Ismeretes, hogy m m + n =. Határozzuk meg a.kifejezés helyettesítési értékét. n m Megoldás. Felírjuk a törtet egy egész és egy törtkifejezés összegeként: m + n m n n = + = +. m m m m Ha m n =, akkor n m =. Tehát m + n n = + = =. m m

20 0.. RACIONÁLIS KIFEJEZÉSEK. PÉLDA. Határozzuk meg az n összes olyan természetes értékét, amely mellett a n + n 5 kifejezés helyettesítési értéke is egész szám n lesz. Megoldás. Felírjuk a törtet egy egész és egy törtkifejezés különbségeként: n + n 5 n n 5 5 = + = n +. n n n n n A n + kifejezés minden természetes n számra természetes értéket vesz fel. A n + 5 kifejezés akkor vesz fel egész értéket, ha a 5 n n kifejezés értéke is egész szám lesz. Ez csak a következő természetes n értékek esetén lehetséges:,, 5, 5. Felelet: n =, vagy n =, vagy n = 5, vagy n = 5.. Hogyan adunk össze egyenlő nevezőjű racionális törteket?. Hogyan vonunk ki egymásból egyenlő nevezőjű racionális törteket? GYAKORLATOK 68. Végezzétek el a műveleteket: ) + y ; 5) m + n m n ; ) a b ; 6) a b 9b a + ; 6ab 6ab ) m m + 4 5c + 4d 4d + 9c ; 7) + n n cd cd ; 4) 6c c ; 8) 8 m + m +. d d 0m 0m 69. Írjátok fel tört alakban a kifejezéseket: ) 7 k 4k ; 4) 7 y 4 y ; 8p 8p y y ) a b a 0a + 6b 6b a ; 5) ; b b a a a b a + 5b ) + ; 6) y y +. 7a 7a y y 70. Hozzátok egyszerűbb alakra a következő kifejezéseket: a 9 m 5 ) ; ) a + a + ( m 5) ( m 5) ; t 4 ) ; 4) ; t 6 t 6

21 . Egyenlő nevezőjű racionális törtek összeadása és kivonása b 0b + 00 c 4c 49 5) + ; 6). b + 0 b + 0 c 7 c 7 7. Egyszerűsítsétek a következő kifejezéseket: c 8 ) ; ) ; c 9 c a 6 ) ( a 6) ( a 6) ; y 4y 4 4). y y 7. Végezzétek el az alábbi műveleteket: ) a + b a + ; 4) 8 b a c 7 7 c 9b a + a 9b ; 5m 5n ) m n + n m ; 5) t 4 t t ; ) 4 y 4 4y y y ; 6). y y y y 7. Egyszerűsítsétek a következő kifejezéseket: ) + ; ) m + n m 8n ; y y m n n m c d ) c d + d c ; 4) b 49 b b. 74. Határozzátok meg az alábbi kifejezések helyettesítési értékét: ) a 48 6 a 8 a 8, ha a = ; ) c + c + 7 c + +, ha c =. c 8 8 c 75. Határozzátok meg az alábbi kifejezések helyettesítési értékét: ) , ha = 4,; ) a + a 7a 9, ha a = a 9 a Egyszerűsítsétek az alábbi kifejezéseket: ) 5 n 7n 8 8n + 7 k 4k + k ; ) n 0n 0n k k k ) 9 m + m 9 7m + ; m 4 4 m m Egyszerűsítsétek az alábbi kifejezéseket: ) 6 a 4a 7 a + + ; ) a + a 8a 9 a + 4a a 8 6a 8 8 6a a 5 5 a a Adjátok meg tört alakban a kifejezést: ) 5 8 a 4 7a ( a ) ( a) ; ) m 8n m 8n ( m ) ( n 5) ( m) ( 5 n). ) b + b + ( b ) ( b) ; 79. Egyszerűsítsétek a következő kifejezéseket: ) ( 7) ( 7 ) ; ) y + y y ( y 6) ( y + ) ( 6 y) ( + y).

22 .. RACIONÁLIS KIFEJEZÉSEK 80. Bizonyítsátok be az alábbi azonosságokat: ) ( ) a b ( ) + a b = ; ) ( ) ( ) a + b a b + =. 4ab 4ab a + b a + b Bizonyítsátok be, hogy a + kifejezés helyettesítési értéke nem függ az értékétől az változó minden megengedett értékére! 8. Bizonyítsátok be, hogy a 7 y y kifejezés helyettesítési értéke nem függ az y értékétől az y változó minden megengedett érté- y y kére! 8. Bizonyítsátok be, hogy a változó minden megengedett értékénél a a 6 7a 4 a kifejezés helyettesítési értéke pozitív! ( a ) ( a ) ( a ) 84. Bizonyítsátok be, hogy a változó minden megengedett értékénél a b 7 b 7b 0 + kifejezés helyettesítési értéke negatív! ( b 5) ( b 5) ( b 5) 85. Adjátok meg az adott törtet egy egész és egy törtkifejezés összegeként vagy különbségeként: ) + a a 5 ; ). a 86. Adjátok meg az adott törtet egy egész és egy törtkifejezés összegeként vagy különbségeként: ) 4a b b + 7b + ; ). a b Határozzátok meg a kifejezés értékét, ha y = 4.: ) y ; ) y ; ) + y. y y 88. Határozzátok meg a kifejezés értékét, ha a b =.: ) a b 4a + 5b ; ) ; ) a ab b +. a b ab 89. Határozzátok meg az n összes olyan természetes értékét, amelynél az alábbi kifejezés helyettesítési értéke pozitív szám: ) n + 6 n 4n 4 ; ) ; ) 4 n + 7 n n n. 90. Határozzátok meg az n összes olyan természetes értékét, amelynél az alábbi kifejezés helyettesítési értéke pozitív szám: ) 8n n 9 n + n 8 9n 4 ; ) ; ) n n 5.

23 . Egyenlő nevezőjű racionális törtek összeadása és kivonása ISMÉTLŐ FELADATOK 9. Az egymástól 9 km távolságra lévő két faluból egyszerre, egymással szemben két kerékpáros indult el. 0 perc múlva találkoztak. Ha a kerékpárosok azonos irányba haladnának, akkor az egyik a másikat óra múlva érné utol. Határozzátok meg a kerékpárosok sebességét! 9. Oldjátok meg a következő egyenleteket: ) 4 ( + ) =,8,6; ) (0,5 4) + 8,5 = 0! 9. Bizonyítsátok be, hogy az a változó minden megengedett értékénél a (a + 4)(a 8) + 4(a + 9) kifejezés helyettesítési értéke nem negatív! FELKÉSZÜLÉS AZ ÚJ TÉMÁHOZ 94. A csillagot helyettesítsétek olyan egytagú kifejezéssel, hogy az egyenlőség igaz legyen: ) ab * = ab; ) 6 5 * = 0. ) 5y * = 0y 4 6 ; 95. A csillagot helyettesítsétek olyan többtagú kifejezéssel, hogy az egyenlőség igaz legyen: ) * ( a b) = ( a+ b)( a b); ) ( a+ 0b) * = a 0ab. 96. Hozzátok közös nevezőre a következő törteket: ) a és b ; 4) 6 y és y + y ; ) 4 m n és p q p q ; 5) y és ; 6y 6 y 6y 5 6 ) és m n m + n ; 6) és a a + a. NEM HAGYOMÁNYOS MÓDSZEREK HASZNÁLATA 97. Előfordulhat-e, hogy egy páros számnak több páratlan osztója legyen, mint páros?

24 4.. RACIONÁLIS KIFEJEZÉSEK 4. Különböző nevezőjű racionális törtek összeadása és kivonása A különböző nevezőjű törtek összeadása és kivonása a törtek alaptulajdonságának alkalmazásával egyenlő nevezőjű törtek összeadására és kivonására vezethető vissza. Adjuk össze A B és C.racionális törteket! D Felírhatjuk, hogy: A A D =, C C B =. B B D D D B Akkor A C A D C B A D+ C B + = + =. B D B D D B B D Ebben az esetben közös nevezőül a törtek nevezőinek szorzatát választottuk. Megjegyezzük, hogy a nevezők szorzata nem mindig a legalkalmasabb közös nevező. A közönséges törtek közös nevezőjének meghatározásakor először a nevezőket prímtényezőkre bontjuk, majd megkeressük legkisebb közös többszörösüket. Hasonlóképpen ahhoz, hogy meghatározzuk a racionális törtek közös nevezőjét, célszerű a nevezőket tényezőkre bontani. Nyilvánvaló, hogy két racionális tört összege, illetve különbsége szintén racionális tört lesz.. PÉLDA. Hozzuk egyszerűbb alakra a kifejezéseket: ) b + a a + ; 4) ; abc a c 5 0a + a a 5 m n + ) ; 5) 7m + 7n 7m 7n 4. 0n ) n n ; Megoldás. ) A törtek közös nevezője az a bc egytagú kifejezés. Vagyis a/ b/ b + a ab + a+ b ab a+ b + = =. abc ac abc abc ) A törtek nevezőit tényezőkre bontjuk, így kapjuk: m n/ m+ n/ m n m n = = 7m+ 7n 7m 7n 7( m+ n) 7( m n) m ( m n) n ( m + n) m mn mn n m mn n = = =. 7 ( m + n) ( m n) 7 ( m n ) 7 ( m n ) n+ 7/ 0n n n+ 4 6( n+ 7) ) + = = = n 49 7 n ( n 7)( n+ 7) n 7 ( n 7)( n + 7)

25 4. Különböző nevezőjű racionális törtek összeadása és kivonása 5 4) 0n + 4 6n 4 4n 8 4 ( n 7) 4 = = = = ( n 7) ( n + 7) ( n 7) ( n + 7) ( n 7) ( n + 7) n + 7. a a 5 0a+ a a 5 = ( 5 a) ( a 5) = / a 5/ a 6a a+ 5 5a + 5 = = = ( a 5) ( a 5) ( a 5) ( a 5). 5) Ebben az esetben a közös nevező a törtek nevezőinek szorzata lesz. Ekkor / 4 / + ( ) ( + )( 4) = = = 4 ( 4)( ) ( 4)( ) 8 = ( 4)( ).. PÉLDA. Adjuk meg tört alakban a c c 7c.kifejezést. Megoldás. A c kifejezést nevezőjű tört alakban megadva azt kapjuk, hogy: 7c / c c c c c + 6c 6c c = = =. 7c 7c 7c 7c Megjegyezzük, hogy két racionális tört összege és különbsége szintén racionális tört.. Hogyan adunk össze, illetve vonunk ki egymásból különböző nevezőjű racionális törteket?. Milyen kifejezés lesz két racionális tört összege, illetve különbsége? GYAKORLATOK 98. Végezzétek el az alábbi műveleteket: ) 4 + ; 4) 4 ; 7) a + ; 4 y b ab ) 5 b b ; 5) m m 4 7 4n + 6n ; 8) c ; 5a 5ab ) m n ; 6) c d ; 9) m c b b abc abm 99. Adjátok meg tört alakban a következő kifejezéseket: ) y ; ) m n ; 5) 7 k + ; 8 n m cd cp ) 4 a a + ; 4) y + ; 6) 6 a 7 4 y 8 5c 9b. 4c 5

26 6.. RACIONÁLIS KIFEJEZÉSEK 00. Hozzátok egyszerűbb alakra az alábbi kifejezéseket: ) a a 4 9 ; 7) a + b a c + ; ab ac ) b 7 c b + c ; 8) p + ; 6 5 p p ) y y ; 9) k + 4 k 4 k ; k 4) 6 p + p + 8 ; 0) y y ; p p y 5) 5 m n m 6n ; ) m n 7 m n + ; 4m 7m m n mn 6) + 4 y y ; ) c d + c 8 d 4. cd c d 0. Végezzétek el az alábbi törtek kivonását: ) 9 5 b 7 5 c ; 5) 6 a + a + 4 ; b c ab a b ) 4 d + 7 d 6 7d 6d ; 6) c 6 c 9 c ; 6 5 c ) 5 k p + 0 5p 5k ; 7) + ; 5 4) m n p n ; 8) ab ad mn np abc acd. 0. Végezzétek el a következő műveleteket: ) + + ; ) a a a + ; 5) ; y + y ) m m n m + n ; 4) c c ; 6) a b a b c c + b a + b. 0. Alakítsátok át a kifejezéseket törtekké: a a ) a b + b ; ) ; ) b b b Egyszerűsítsétek a következő kifejezéseket: ) b ( a b) a ( a b) ; y y 4) ( y + ) 5 ( y + ) ; ) a a ( a 6) ; 5) 5 m + 7m + 4 ( m + ) ( m + ) ; + c a c + b ) ; 6) + ( ) a ( a + b) b ( a + b). 05. Végezzétek el a következő műveleteket: ) + a ( a + b) b ( a + b) ; ) 5 ( + 7) 6 ( + 7) ; ) 4 8 b b ( b + ) ; 4) 4 n + 5n + ( n ) 4 ( n ).

27 4. Különböző nevezőjű racionális törtek összeadása és kivonása Végezzétek el a törtek összeadását vagy kivonását: a a + ) a a 6 ; 5) m + m m 5 m 0 ; 8 6 ) ; 6) m n m n b + b b 6m + 6n 4m + 4 n ; c ) c + c + c ; 7) a + a + 4 a a ; + a + 4 4) d d + d 8 d 4 ; 8) 4 y y. y y y 07. Egyszerűsítsétek a következő kifejezéseket: b 4b ) b 5 4b 0 ; 4) a + b b + ; a + ab a + b ) 6 b + 4 a + 4 ; 5) ; m m + 8m ab b a ab ) a a a 6 a 9 ; 6) c 4 4c c + 4 c + 6c 08. Végezzétek el a következő műveleteket: + 4 ) + ; 4) a + b + ; + 9 a b a + b a a m m ) ; 5) ; a 64 a 8 m + 5 m + 0m + 5 6b ) 9b 4 b ; 6) b b a + b a + b + ab. 09. Egyszerűsítsétek az alábbi kifejezéseket: ) 4 y 0a + ; ) y y 5a 9 5a + ; y y n n ) ; 4). y 8 y + 9 n 7 n 4n Írjátok fel tört alakban a következő kifejezéseket: ) a 9 4 m + +; 4) + ; 7) 6m ; b p p m ) ; 5) b + a ; 8) 0 b + 5 0b. y a b ) m n + + ; 6) b + 4 ; n m b. Végezzétek el az alábbi műveleteket: ) a 4 ; ) m a n n m 9n + ; 5) n ; n ) + ; 4) k 4y k; 6) 5. k 5 y

28 8.. RACIONÁLIS KIFEJEZÉSEK. Egyszerűsítsétek az alábbi kifejezéseket: a + a + a a + 4 ) + ; 5) ; a a + a a 4a + 4 a 4 ) a b + a b ; 6) p 5 p + ; a b a + b p 5 p p ) c + 7 8c + c 7 49 c ; 7) y + 8 y 6 y y 4 ; 5a + 6 a 4) + ; 8) b 4b b a + 6a a 9 4b + 4b 6b. Egyszerűsítsétek a következő kifejezéseket: ) m + n m + n m n m n ; 4) b b ; b + 6b + 9 b 9 ) y y 6 + ; 5) + ; + y y + + y + + a a + 4 ) ; 6) y + y 6. 4a a + a y y + y 4 4. Bizonyítsátok be, hogy az adott kifejezés helyettesítési értéke nem függ a változó értékétől a változó minden megengedett értékére: ) ; ) 4 a a a a a Írjátok fel tört alakban a következő kifejezéseket: ) a + a ; ) c + 9 c ; a + c ) a b 8m + a b; 4) m a + b 4m. 6. Egyszerűsítsétek a következő kifejezéseket: b ) b b + 7 ; ) c c + c c Egyszerűsítsétek az alábbi kifejezéseket, majd határozzátok meg az értéküket: 7 ), ha a = 5; a 4 a 4 a + ) c + c 6c +, ha c = 0,8; c c c + c 4c 9 ) m n + 6 m + 4n, ha m =, n = 0,5. m 6n m 8n 8. Határozzátok meg az alábbi kifejezések helyettesítési értékeit: 6 5 ), ha = 5; ) y y y y y 4y, ha y = 7.

29 4. Különböző nevezőjű racionális törtek összeadása és kivonása 9 9. Bizonyítsátok be az alábbi azonosságokat: ) a + b a a b a b + a ab = 0; ) a + a = ; a + a a a ) a + 4 a a a a + + a = a. 0. Bizonyítsátok be az alábbi azonosságokat: a ) = ; 6a 4b 6a + 4b 4b 9a a b c + ) = 0. c + c c + 9 c. Határozzátok meg a törtek különbségét: ) a + b 6b ; ). a a + a + b + b + 7. Hozzátok egyszerűbb alakra a következő kifejezéseket: ) 9 m mn + n 9m + mn + n b b ; ). m n m + n 4b b + b +. Bizonyítsátok be a a =.azonosságot! a + 8 a a + 4 a + a + 4. Egyszerűsítsétek a következő kifejezéseket: 4b ) a b a b a + b + + ; ) + a + ab b ab ( a 5b) a 5b ( a + 5b) ; ) + + ; 4) y + y 6 y 5. Bizonyítsátok be az alábbi azonosságokat: a + a a ) + + = ; ) b 4 b b 4 =. a a a a a a ab 4 b + 8a a 6. Bizonyítsátok be az + = 0. azonosságot! ( a b) ( a c) ( a b) ( b c) ( c a) ( c b) 7. Bizonyítsátok be a bc ac ab + + =. azonosságot! ( a b) ( a c) ( b a) ( b c) ( c a) ( c b) 8. * Egyszerűsítsétek az + + ( a ) ( a ) ( a ) ( a ) ( a ) ( a 4). kifejezést! 9. * Egyszerűsítsétek az + + ( a ) ( a ) ( a ) ( a 5) ( a 5) ( a 7). kifejezést!

30 0.. RACIONÁLIS KIFEJEZÉSEK 0. * Bizonyítsátok be az = azonosságot! a + a + a + a + a + a a. * Bizonyítsátok be a = a + a + a + a + a a.azonosságot!. * Bizonyítsátok be, ha a c b a c b b + c + a + c + a + b =, akkor a + b b + c a + c + + = 4. b + c a + c a + b ISMÉTLŐ FELADATOK. Határozzátok meg az alábbi egyenletek gyökeit: ) + = 4; ) 4 = Oldjátok meg a következő egyenletrendszereket: + y = 8, + 5y =, ) ) y = 9; 5y =. 5. A háromnapos kerékpárverseny első napján a versenyzők a teljes út 4 5 részét, a másodikon részét, a harmadikon pedig a hátralévő 5 90 km-t tették meg. Mekkora távolságot tettek meg a kerékpárosok nap alatt? 6. (Bolgár népi feladat.) Öt testvér úgy akart elosztani egymás között 0 bárányt, hogy mindegyiküknek páratlan számú állat jusson. Lehetséges-e így osztozkodni? 7. Igaz-e az alábbi állítás: az n bármely természetes értékénél a (5n + 7) (n ) kifejezés maradék nélkül osztható 48-cal? FELKÉSZÜLÉS AZ ÚJ TÉMÁHOZ 8. Adjátok meg az alábbi számok reciprok értékét: ) 5 8 ; ) 7; ) 5 6 ; 4) ; 5) 0, Határozzátok meg a következő szorzatokat: ) 5 ; ) 6 7 ; ) ( ). 40. Végezzétek el az alábbi osztásokat: ) 5 5 : 8 ( ; 7 ) ) 8 : 4 ; ) 8 : ( 4); 4) :

31 Ellenőrizzétek magatokat!. sz. tesztfeladat 4. Határozzátok meg a hatvány értékét: 5 ( ) ; ) 5 ) ( ) ; ) ( ) ( ) ; 4) NEM HAGYOMÁNYOS MÓDSZEREK HASZNÁLATA. 4. Egy folyó szemközti partjaitól a partokra merőlegesen két komp indult el egymással szemben különböző, de állandó sebességgel. A kompok 70 méterre az egyik parttól találkoztak, majd partot érés után rögtön megfordultak, és elindulnak visszafelé. Ezúttal 400 méterre találkoztak a másik parttól. Mekkora a folyó szélessége? ELLENŐRIZZÉTEK MAGATOKAT!. SZ. TESZTFELADAT. Melyik kifejezés egész az alábbiak közül? A) m + n m + n ; B) m 7 ; C) m + n ; D) m + n. 7m 7 m a. A változó mely értékeire nincs értelmezve a?kifejezés? a 0 A) 0; B) 0; C) 5; D) 0; Az argumentum mely értékeire nem értelmezhető az y = függvény? A) ; ; B) ; C) ; ; ; D) ;. 4. Egyszerűsítsétek a 6 a 4a.törtet! A) a a ; B) ; C) a ; D) a. 5. Az 5 b 5 tört az alábbi törtek közül melyikkel azonosan egyenlő? b 9 A) b 5 ; B) b + 5 ; C) 5 b ; D) 5 b Egyszerűsítsétek a c 4 c törtet! c A) 4c; B) 4c; C) 4c ; D) 4c. 7. Végezzétek el az 5 0 kivonást! A) ; B) ; C) 5; D) 5.

32 .. RACIONÁLIS KIFEJEZÉSEK 8. Végezzétek el a 4 m m 5 + m m.összeadást! A) m m ; B) m ; C) ; D). m 9. Adjátok meg tört alakban a n n n 6.kifejezést! n A) n 4 ; B) n 4 n ; C) 8 n 8 ; D) n 6 6 n. 0. Hozzátok egyszerűbb alakra a m + m + m.kifejezést! m 9m m + 4 A) ( ) ; B) m m ; C) m ( m ) ; m D) m.. Egyszerűsítsétek az a a 4 a +.kifejezést! a + 4a a a + 4 A) 4 a ; B) ; C) a; D) a + 4. a. Melyik grafikon ábrázolja az y 4 = + 4?függvényt? y y y y A) B) C) D) 5. Racionális törtek szorzása és osztása. Racionális törtek hatványozása Már ismerjük a közönséges törtek szorzásának és osztásának szabályát, ami így írható fel: a c ac =, a c ad : =. b d bd b d bc Hasonló szabály szerint végezzük el a racionális törtek szorzását és osztását. Két racionális tört szorzata olyan tört, amelynek számlálója egyenlő e törtek számlálóinak szorzatával, nevezője pedig e törtek nevezőinek szorzatával.

33 5. Racionális törtek szorzása és osztása. Racionális törtek hatványozása Két racionális tört hányadosa olyan tört, amelynek számlálója egyenlő az első tört számlálójának és a második tört nevezőjének szorzatával, nevezője pedig az első tört nevezőjének és a második tört számlálójának szorzatával.. PÉLDA. Végezzük el az alábbi műveleteket: ) 6 c b 8 4 ; ) a ab + a 4b : ; b 4c a + 9 a + 7 ) 4 ( ) ; 4) 5 c 5 c : ( c 7). + 6 c + Megoldás. ) 6 6 c b c b c 8 4 = 8 4 = 6. b 4c b 4c b ) Felírjuk a többtagú kifejezést olyan tört alakban, amelynek nevezője. Akkor: 4 4 ( 6) 4 8 ( ) = = = ( 6) 6 ; ) a ab + a 4b a ( a + b) ( a + 9) a : = = ; a + 9 a + 7 a + 9 ( a b) ( a + b) a b 4) 5 5 c c 5c 5c c 7 5c c 7 5c :( c 7) = : = ( ) =. c + c + c+ c 7 c + Két racionális tört szorzásának szabálya kiterjeszthető három vagy több racionális törtből álló szorzatra is. Három tört esetén például: A C P A C P A C P = =. B D Q B D Q B D Q. PÉLDA. Egyszerűsítsük a a 0b 4a 4 : kifejezést. 5b 7c 9bc Megoldás a 0b 4a a 0b 9bc a 0b 9bc 4 : = 4 = 4 = 5b 7c 9bc 5b 7c 4a 5b 7c 4a abc a = 4 = abc 7c A törtek szorzási szabályának alkalmazásával meghatározható a racionális törtek hatványozásának szabálya. Ha n természetes szám, és n >, akkor: n tenyezo n n A A A A A A... A A ( B ) =... = = n. B B B B B... B B n tenyezo Megállapodás szerint n = esetén n tenyezo ( ) = A B A. B

34 4.. RACIONÁLIS KIFEJEZÉSEK Tehát ahol n természetes szám. n n ( ) =, n A B Racionális törtet hatványra úgy emelünk, hogy az adott hatványra emeljük mind a számlálót, mind a nevezőt, majd az első eredményt számlálóként, a másikat pedig nevezőként írjuk fel.. PÉLDA. Adjuk meg tört alakban a a bc Megoldás. = a a ( a ) = bc bc ( bc ) A B. Mi lesz két racionális tört szorzata?. Mi lesz két racionális tört hányadosa?. Hogyan emelünk racionális törtet hatványra? 4 7a = 8b c kifejezést. 6. GYAKORLATOK 4. Az alábbi kifejezések közül melyikkel egyenlő az a c 8 szorzat? c a ) c ; ) a c ; ) 4 c ; 4) a c Végezzétek el az alábbi szorzásokat: 4 ) a a ; ) y 9 ; 5) 4m c c yz 5 n 7m ; 7) 48 ab 5bc 4 4 ; 7c 40a ) a b ; 4) m 6 8n ; 6) a b b 8a 6n ; 8) c 9p. b 0a p 8c 45. Hozzátok egyszerűbb alakra a következő kifejezéseket: ) a b b 6 a ; ) a b a; 5) 5 y 8 7 ; y ) 4 5 m mk 5 ; 4) 5 y 4 ; 6) 7 8 k 7m 6. k 5 9mp 56k p 46. Hozzátok egyszerűbb alakra a következő kifejezéseket: ) a b 7a+ 7b b ; ) 6 b a b b a+ b ; ) mn + n m ; 4) a a 6m n ; a 9 8a 4 5

35 5. Racionális törtek szorzása és osztása. Racionális törtek hatványozása 5 5) c c + 6 ; 8) 9 + ; c + 6 c c ) m m + 7 ; 9) 4 a 4 a+ a + ; m 49 m a + a 7) a ( a + 4) ; 0) a 5 a a + 8 4a 4 a 5a. 47. Végezzétek el az alábbi szorzásokat: ) a+ b c 4c a+ b ; 4) 8b b + 4 ; b 6 b ) ab b 4 a 4 ; 5) 6 ( m 8 b m 9n n); ) 5 5 y 6 ; 6) c 9 c + y. 9c + 6c+ c 48. Az alábbi kifejezések melyikével egyenlő a : hányados? 9 c c ) c c6 ; ) 4 4 ; ) 4c ; 4) 4c Végezzétek el az alábbi osztásokat: ) 8m 4 m n : n ; ) 7 c c : ; 5) a a : ; 7) 4 a a : ; d d 5 b b b ) b 6a a : b; 4) a : ; 6) a : ; 8) 6 a : ( 4a c). 8 5b 0b b c c 50. Határozzátok meg a következő hányadosokat: ) : ; ) : ; 5) 49 4 m m : ; a a m m n n ) b 9 b : ; 4) : ( 0 y ); 6) 6 8 y 0 : y z 55z 5. Hozzátok egyszerűbb alakra a következő kifejezéseket: ) a b a b : ; 5) a 5 a 5 : ; 7a 7b a + 7 a + 7 ) y 6 + 6y : ; 6) a 4 a + 4 : ( a ); 5 a + c 5 c 5 p + 4k ) : ; 7) ( p 6k ) : ; c 4c 5c 0 p 4) y y : ; 8) a ab a ab + b :. y y a ab 5. Végezzétek el az alábbi osztásokat: ) 5 m n 5m n : ; ) a b a + b : ; 0k 0k ab ab p + p + ) : ; 4) a 6 a + 4 : ; p p 4p 8 a a

36 6.. RACIONÁLIS KIFEJEZÉSEK 5) y 9 y 8 7y : ; 6) ( 49y ) :. y 8 y 6y Emeljétek hatványra az alábbi törteket: ) ( a b ) 9 5 c ; ) ( d ) ; 5) 4 m ; n 8 m ) ( n ) ; 4) 5 6 a 5 ; 6) 6 6 a. 7 b b 54. Adjátok meg tört alakban az alábbi kifejezéseket: 6 0 a 4m ) ; ) b ( 9 ) ; ) 7 0c m n ; 4) n 5 8 d kp 55. Hozzátok egyszerűbb alakra a következő kifejezéseket: ) a b 4b 5a c m n m n ; 4) c a c 8b p : 54p ; ) m 88m m a 4a : : ; 5) : 8 ; 4n 5n 6n y y ) : ; 6) y 5y 0y 7 8y 5. 6y Hozzátok egyszerűbb alakra a következő kifejezéseket: ) 8 a b 4b c 5b : ; ) 5a b ; 0c 7a 9a c b 50a ) a 7c 9ab : : ; 4) 0 : 8. b c 6b 4c y y 57. Helyettesítsétek az változót olyan kifejezéssel, hogy azonosságot kapjunk: ) 4a 6a = ; ) 4 6 b b ( b b c ) : =. 58. Végezzétek el a törtek osztását és szorzását: ) 4 5 a a ; 6) y ; 8a a 6 + y ) 4 c d c d ; 7) m n + m + 4mn + 4n : ; c + cd 4c cd m m m ) b b b + 7 ; 8) a + 8 a a + 4 : ; b b+ 9 5b a a + 4 4) a a 6 ab ab 4a + 6 ; 9) ; ) a b + 7a 7b ; 0) a + 5 b 4a + 0b :. a b a ab+ b a 8b a 8ab + 8b 59. Hozzátok egyszerűbb alakra a következő kifejezéseket: 7a 5 a ) ; ) a b + b a ; a 5 a a b b+ a 4 6.

37 5. Racionális törtek szorzása és osztása. Racionális törtek hatványozása 7 4 ) a a ; 6) mn 6 m n + : ; a a + a m 8 6m 4) a ab 4 8 8b ab a a : ; 7) : ; b 4a a a + a + 5m 5n 5n 5m 5) : ; 8) 4 00 : ( ). m + n 4m + 4n Hozzátok egyszerűbb alakra a kifejezést, majd határozzátok meg helyettesítési értékét: ) a 8 a 9 :, ha a = 4; a 8a a 64 ) :, ha = 4,, y =,8; 4 4y 6 + 6y a 9 ) ( a 8a + 7) :, ha a = 0,5; 4) a 6 a a + a :, ha a = 0,8. 4a ( a ) 9a 9a 6. Határozzátok meg az alábbi kifejezések értékét: b ) :, ha a = a ab b a, b = 7.; ) a ab b a + 6b :, ha a = 4, b = 5. a 9b a 6b 6. Határozzátok meg az = 9.kifejezés értékét, ha tudjuk, hogy Határozzátok meg a + = 4 kifejezés értékét, ha tudjuk, hogy Határozzátok meg az + = 4 kifejezés értékét, ha tudjuk, hogy Határozzátok meg az + = 6.kifejezés értékét, ha tudjuk, hogy. 66. Hozzátok egyszerűbb alakra az alábbi kifejezéseket: a 6 a + ab + 6a + 6b ) : ; ) a a ab b + a a ab + b :. a + ab 6a 6b a + ab + b a + a + ab + b a a + ab b 67. Végezzétek el az alábbi műveleteket: ) a+ b ab ab 5a 5b+ 5 a ab + b a ab + 4a 4b ; ) : a 5b ab ab + 5a+ 5b+ 5 a ab 4a + 4b a a 6a a Bizonyítsátok be a : a b a 9b 4a+ b =.azonosságot! 69. Bizonyítsátok be az a a + 6a + 6 9a + 8a + 9a : =.azonosságot! a a + a 6 6

38 8.. RACIONÁLIS KIFEJEZÉSEK ISMÉTLŐ FELADATOK 70. Oldjátok meg a következő egyenleteket: ) ( + ) (5 + ) = 0; ) ( ) ( ) ( 6) ( + ) =. 7. Bizonyítsátok be, hogy a = egyenletnek nincsenek 6 gyökei! 7. Az A és a B helységek közötti távolság 9 km. Az A-ból a B-be egy motorkerékpáros indult el 60 km/h sebességgel. 0 perccel később a B-ből az A-ba egy másik motorkerékpáros indult el 75 km/h sebességgel. Mennyi ideig volt úton a második motoros a találkozásig? 7. Két kannában összesen 80 l tej van. Ha az első kannából áttöltjük a tej 0%-át a másikba, akkor a két edényben azonos mennyiségű tej lesz. Hány liter tej volt a kannákban külön-külön? 74. (Magnyickij Aritmetika című könyvéből.) embernél kenyér van. Minden férfinál kenyér, nőnél fél kenyér, gyereknél pedig negyed kenyér van. Határozzátok meg a férfiak, nők és gyerekek számát! NEM HAGYOMÁNYOS MÓDSZEREK HASZNÁLATA 75. Péter és László felváltva az 4 + * + * + * + * = 0 egyenletben a csillagokat számokra cserélik, mindig csak egyet. Az első lépést László teszi meg. Péter arra törekszik, hogy a kapott egyenletnek legyen gyöke. Megakadályozhatja-e ebben László? 6. Racionális kifejezések azonos átalakításai A racionális törtekkel végzett műveletek segítségével bármely racionális kifejezés átalakítható racionális törtté. Figyeljük meg példákon. L. F. Magnyickij (669 79) orosz pedagógus, matematikus, szerzője a híres Aritmetika című tankönyvnek (70), amiből számos nemzedék sajátította el a matematikát. Maga M. V. Lomonoszov is tudósi munkássága kapujának tekinti az Aritmetika tankönyvet.

39 6. Racionális kifejezések azonos átalakításai 9 ( ) a 6a a 4 a + 8a. PÉLDA. Egyszerűsítsétek a :. a a 4a + 4 a 4 a kifejezést. Megoldás. A többműveletes számkifejezésekhez hasonlóan a racionális kifejezéseket is lehet műveletenként egyszerűsíteni. A műveletek sorrendje is megegyezik: először a zárójelben lévő kivonást végezzük el, majd az osztást és a végén a második kivonást: ) a / a 6a a 6a a 6a 6a a a = = = ; a a 4a+ 4 a ( a ) ( a ) ( a ) ) a a a 4 a a a 4 a( a 4) ( a )( a+ ) : = = = ( a ) a 4 ( a ) a 4 ( a ) a 4 a( a+ ) a + 6a = = ; a a ) 6 a + a a + 8a a + 6a a 8a a a a ( a ) = = = = a. a a a a a Felelet: a. A racionális kifejezést nemcsak külön műveletekre bontva végezhetjük el, hanem úgynevezett lánc módszerrel. A következő példa ezt a módszert szemlélteti.. PÉLDA. Igazoljátok, hogy a a a a + kifejezés értéke a 8 6a 5a+ a nem függ a váltózó megengedett értékétől! Megoldás. Egyszerűsítjük az adott kifejezést: a a a a a a + = + = a 8 6a 5a+ a a 6( a) a( 5 + a) a 9 a 9 a 9 ( a ) = + = = = =. a a a a a a Tehát a változó bármely megengedett értékénél a kifejezés értéke. ( ) =. PÉLDA. Igazoljátok a a 7 a 7 a 4 +.azonosságot. a a + a 7a a + Megoldás. Alakítsuk át a bizonyítandó azonosság bal oldalát. Célszerűbb a zárójel felbontásával kezdeni, alkalmazzuk a szorzás széttagolási törvényét: a 7 a 7 a a 7 a a 7 a ( + a a + ) = + a 7a a a 7a a + a = 7a a+ / a a+ + a 4a 4 = + = = =. a a( a+ ) a( a+ ) a( a+ ) a + Az azonosságot igazoltuk.

40 40.. RACIONÁLIS KIFEJEZÉSEK PÉLDA. Egyszerűsítsétek az a b c kifejezést. + + ab bc ac Megoldás. Írjuk fel az adott kifejezést a számláló és a nevező hányadosaként: + + a b c = ( + + a b c ) :( + + ab bc ac ) = + + ab bc ac bc + ac + ab c+ a+ b bc + ac + ab abc bc + ac + ab = : = =. abc abc abc c+ a+ b c+ a+ b Az adott kifejezést másképpen is egyszerűsíthetjük. Alkalmazzuk a tört alaptulajdonságát, szorozzuk meg a számlálót és a nevezőt is az abc egytaggal: ( ) a + b c a b c abc a abc + = = b abc + c abc bc + ac + ab = ab bc ac ( ab bc ac ) abc ab abc bc abc ac abc c+ a+ b + + bc + ac + ab Felelet:. c + a + b GYAKORLATOK 76. Egyszerűsítsétek az alábbi kifejezéseket: ) a a m + 9n ( + 4) ; 6) ( a m n m + n ) : ; m + n ) ab a b ( b a); 7) + ( ) ; a a ) ( + ) ( b b ) : ; 8) + : ; 4) a a b + b b a b ; 9) 6 c : ( c c ) + ; 5) a ab b + a y + y ; 0) b a b ( + + y y) + y 77. Egyszerűsítsétek az alábbi kifejezéseket: ) + : ; 5) a a b a + b : ; y y b b b a a+ b ab ) ( + b a b) a + b ; 6) ; m m ) ( m ) : mn n ; 7) a 9a 9 a a ( a + ) : ; a + a b 4ab a 8 a + 8a 4) ( b a ) ; 8) ( a b a+ a+ ). 8 a 4.

41 6. Racionális kifejezések azonos átalakításai Végezzétek el a kijelölt műveleteket: a + a 4 ) : ; a a + a a ) b + b b b + ( + b + 9b b + b ); ) c + c c ( c c + ) : ; 6c + a 4) ( a 4ab + 4b 4b a ) : a 4b ; a 8 a a 0 5) ( a a + a ) : ; ( a 5) ( ) : ) Végezzétek el a kijelölt műveleteket: b + 4 b 6 ) : ; ) : b 6b + 9 b 6 b 4 ; y + y + y y ) m m + 4m a a a ( m + m ) : ; 4) m ( a 4a + 4 a a ) : a 4a. 80. Egyszerűsítsétek az alábbi kifejezéseket: ( ) ; ) a 6 a ) ( a a a ) :( a ) ; ) a ab ( + + a b b ) a b + b a ; a a a + a + a 4) : ; a a + a ( a ) + y y 6y 4y 5) y + y : ; 4y + y a 8 4a 8 a 4 6) ( + a a+ 4 a + a + 8 ) Egyszerűsítsétek az alábbi kifejezéseket: ) : ( + 6 ) ; ) ( 9 + ) : ; c 9 c + c 4 ) ( c c ) : + ; 4) y 9y + 6 y c 64 c y + y+ 4 y 8 y Igazoljátok az alábbi azonosságokat: ab b b a b ) ( + a b b a ) : = ; a b 4 8a a a + ) ( 4 a a + ) : + = ; a a