A. H. Merzljak V. B. Polonszkij M. Sz. Jakir. Tankönyv az általános oktatási rendszerű tanintézetek 9. osztálya számára

Átírás

1 . H. Merzljak V.. Polonszkij M. Sz. Jakir MÉRTN Tankönyv az általános oktatási rendszerű tanintézetek 9. osztálya számára jánlotta Ukrajna Oktatási és Tudományos Minisztériuma Львів Видавництво СВІТ" 017

2 УДК :51 М 5 Перекладено за виданням: Мерзляк А. Г. Геометрія : підруч. для 9 кл. загальноосвіт. навч. закладів / А. Г. Мерзляк, В. Б. Полонський, М. С. Якір. Х : Гімназія, 017. Рекомендовано Міністерством освіти і науки України (наказ МОН України від ) Видано за рахунок державних коштів. Продаж заборонено Експерти, які здійснили експертизу даного підручника під час проведення конкурсного відбору проектів підручників для 9 класу загальноосвітніх навчальних закладів і зробили висновок про доцільність надання підручнику грифа Рекомендовано Міністерством освіти і науки України : Л. І. Філозоф, доцент кафедри алгебри і математичного аналізу Східноєвропейського національного університету імені Лесі Українки, кандидат фізико-математичних наук; О. В. Тесленко, методист методичного центру Управління освіти адміністрації Слобідського району Харківської міської ради; Т. А. Євтушевська, учитель Черкаської загальноосвітньої школи І-ІІІ ступенів 7, учитель-методист Експертка з антидискримінації в освіті Н. М. Дашенкова, доцентка кафедри філософії, співробітниця ЦГО ХНУРЕ Мерзляк А. Г. М 5 Геометрія : підруч. для 9 кл. загальноосвіт. навч. закл. з навчанням угорською мовою / А. Г. Мерзляк, В. Б. Полонський, М. С. Якір ; пер. Д. Ф. Поллої. Львів : Світ, с. : іл. ISN УДК :51 ISN (угор.) ISN (укр.) Мерзляк А. Г., Полонський В. Б., Якір М. С., 017 ТОВ ТО Гімназія, оригіналмакет, художнє оформлення, 017 Поллої Д. Ф., переклад угорською мовою, 017

3 SZERZŐKTŐL Kedves gyerekek! Ebben a tanévben is folytatjuk a mértan tanulását. Reméljük, hogy sikerült megszeretni ezt a szép és fontos tantárgyat, és ezért fokozott érdeklődéssel fogtok hozzá az új ismeretek elsajátításához. ízunk benne, hogy a kezetekben tartott tankönyv segítségetekre lesz ebben. Ismerkedjetek meg a tankönyv felépítésével! tankönyv öt paragrafusból áll, amelyek pontokra tagozódnak. Ezek a pontok tartalmazzák az elméleti tananyagot. Fordítsatok különösen figyelmet a félkövér, a félkövér dőlt, valamint a dőlt betűs szövegre. Így vannak jelölve a meghatározások, a szabályok és a legfontosabb matematikai állítások. hagyományoknak megfelelően az elméleti tananyagot gyakorlópéldák és feladatok követik. Ezeket a feladatmegoldás egyik lehetséges változatának tekinthetitek. Mindegyik pont végén önálló munkához válogatott feladatok vannak, melyek megoldásához csak az elméleti tananyag elsajátítása után kezdjetek. feladatok között vannak könnyűek, közepesek és nehezek (különösen a csillaggal (*) jelöltek). tudásotokat tesztfeladatok megoldásával ellenőrizhetitek, melyek minden paragrafus végén megtalálhatók. Minden páratlan sorszámú pont a Figyeld meg, rajzold le, szerkeszd meg, képzeld el! rubrikával fejeződik be, melyben olyan feladatok találhatók, amelyek megoldásához nem különleges mértani tudásra van szükség, hanem csak a józan eszeteket, találékonyságotokat és leleményességeteket kell használni. Ezek nagyon hasznos feladatok, melyek fejlesztik a geometriai látást és a kreativitást. Segítenek abban is, hogy ne csak a matematikai feladatok során alkalmazzunk váratlan és innovatív megoldásokat, hanem a mindennapi életben is. Ha a házi feladat megoldása után még marad szabad időtök, szeretnétek többet tudni, akkor ismerkedjetek meg a Felkészültünk az órákhoz című rubrikában leírt feladatokkal. z ebben közölt tananyag nem tartozik az egyszerűek közzé, de itt aztán igazán kipróbálhatjátok képességeiteket. Sok sikert és kitartást kívánunk! Tisztelt kollégák! Őszintén reméljük, hogy e tankönyv megbízható segítségül szolgál egy nemes cél érdekében végzett áldozatos munkájukhoz. Szeretnénk, ha a könyv elnyerné tetszésüket. Ebben a könyvben nagy mennyiségű és változatos módszertani anyag található. Egy tanév alatt a tankönyvben található valamennyi feladatot lehetetlen megoldani, de erre nincs is szükség. Sokkal kényelmesebb úgy dolgozni, hogy bőségesen válogathatunk a feladatokból. Ez az individuális módszerek alkalmazását teszi lehetővé az oktatásban, és lehetőséget biztosít a megfelelő differenciálásra. 3

4 4 szerzőktől z általános és középiskolai tanintézmények 5 9. osztályos tanulóinak szóló matematika oktatási programjában a következő megállapítás szerepel: tananyag tartalma a megfelelő oktatási kurzusok témáinak megfelelően strukturált a tanulmányozásukra szánt óraszám meghatározásával. tartalom és a tanulmányi idő ezen felosztása tájékoztató jellegű. tanároknak és a tankönyvek szerzőinek jogukban áll módosítani azt az elfogadott módszertani koncepciónak megfelelően Erre való tekintettel célszerűnek látjuk, hogy néhány témát felcseréljünk. Ez lehetővé teszi a tankönyv didaktikai anyagának szélesebb körű alkalmazását. Zöld színnel vannak jelölve azoknak a feladatoknak a sorszámai, amelyeket házi feladatra ajánlunk, kék színnel pedig azok, melyeket a tanár megítélése szerint (figyelembe véve az osztály tanulóinak egyéni adottságait) szóbelileg is megoldhatók. Felkészültünk az órákhoz rubrikában szereplő feladatokat a matematika szakkörökön és fakultatív órákon lehet felhasználni. Ehhez nagyon sok türelmet és alkotói kedvet kívánunk! EGYEZMÉNYES JELEK alacsony és közepes felkészültségű tanulók részére ajánlott n feladatok; n megfelelő felkészültségű tanulók részére ajánlott feladatok; n kiváló felkészültségű tanulók részére ajánlott feladatok; n * matematika szakkörök részére és fakultatív foglalkozásokra ajánlott feladatok; kulcsfontosságú feladatok jelölése, melyek megoldásait más feladatok megoldása során is alkalmazni kell; tételek bizonyítása megfelelő felkészültségű tanulók részére; tételek bizonyítása kiváló felkészültségű tanulók részére; a tananyaghoz szorosan nem tartozó tétel bizonyítása; vége a tétel és a feladat bizonyításának; Felkészültünk az órákhoz rubrika.

5 HÁROMSZÖGEK MEGOLDÁS 1.. Ebben a paragrafusban megismerkedtek az α szög szinuszával, koszinuszával, tangensével és kotangensével, ahol 0 m α m 180. Megtanuljátok meghatározni a háromszög harmadik oldalát, ha ismert két oldala és az általuk bezárt szöge, valamint egy oldala és rajta fekvő két szöge alapján meghatározni a háromszög másik két oldalát. 8. osztályban a derékszögű háromszög megoldását tanulmányoztátok. Megismerve ennek a paragrafusnak a tananyagát, tisztába lesztek bármilyen háromszög megoldásával. Megismerkedtek a háromszög területének meghatározására szolgáló újabb képlettel tól 180 -ig terjedő szögek szinusza, koszinusza és tangense hegyesszög szinuszának, koszinuszának és tangensének fogalmával már a 8. osztályos mértan során megismerkedtetek. Ezeket a fogalmakat kibővítjük bármilyen α szögre, ahol 0 mα m180. koordinátasík felső félsíkjában megvizsgálunk egy félkört, melynek középpontja a koordináta-rendszer kezdőpontja (origó), sugara pedig 1 egység (1.1. ábra). z ilyen félkört egységsugarúnak nevezzük. z α szögnek ( 0 mα m180 ) az egységfélkörön az M pont felel meg, ha MO = α, ahol az O és pontok megfelelő koordinátái (0; 0) és (1; 0) (1.1. ábra). Például az 1.1. ábrán a 90 -kal egyenlő szögnek a C pont fog megfelelni, a 180 -kal egyenlő szögnek a pont, a 0 -kal egyenlő szögnek pedig az pont ábra

6 6 1.. HÁROMSZÖGEK MEGOLDÁS Legyen az α hegyesszög. kkor ennek az egységfélkör C ívén (1.. ábra) megfelel egy M (x; y) pont. z OMN derékszögű háromszögben: cos α= ON, OM sin α=mn OM. Mivel OM = 1, ON = x, MN = y, ezért cos a = x, sin a = y. Tehát az α hegyesszög koszinuszának és szinuszának az α szögnek megfelelő egységfélkörön lévő M pont abszcisszáját és ordinátáját tekintjük. kapott eredmény már előrevetíti azt, hogyan lehetne meghatározni egy tetszőleges α szög szinuszát és koszinuszát, ahol 0 mα m ábra 1.3. ábra Meghatározás. z α ( 0 mα m180 ) szög koszinuszának és szinuszának az egységfélkörön lévő, az α szögnek megfelelő M pont abszcisszáját és ordinátáját nevezzük (1.3. ábra). lkalmazva ezt a meghatározást megállapítható, hogy sin 0 = 0, cos 0 = 1, sin 90 = 1, cos 90 = 0, sin 180 = 0, cos 180 = 1. Ha M (x; y) az egységfélkör bármilyen pontja, akkor 1 m x m 1 és 0 m y m 1. Tehát ha 0 mα m180, akkor bármilyen α szögre igaz: 0 m sin α m 1, 1 m cos α m 1. Ha α tompaszög lesz, akkor ennek a szögnek az abszcisszája negatív. Tehát a tompaszög koszinusza negatív szám. Igaz a következő állítás is: ha cos α < 0, akkor az α tompa- vagy egyenesszög lesz.

7 1. 0º-tól 180º-ig terjedő szögek szinusza, koszinusza és tangense ábra 8. osztályban már tanultátok, hogy bármilyen α hegyesszögre igazak a következő egyenlőségek: sin (90 a) = cos a, cos (90 a) = sin a Ezek a képletek igazak maradnak az α = 0 -ra és az α = 90 -ra is (önállóan győződjetek meg erről). Legyen az α és a 180 α, ahol α 0, α 90 és α 180, megfelelő pontjai az egységfélkörön az M (x 1 ; y 1 ) és N (x ; y ) pontok (1.4. ábra). z OMM 1 és ONN 1 derékszögű háromszögek egybevágók az átfogójuk és a hegyesszögük alapján (OM = ON = 1, MOM 1 = NON 1 = α). Ebből következik, hogy y = y 1 és x = x 1. Tehát sin (180 a) = sin a, cos (180 a) = cos a Győződjetek meg arról önállóan, hogy a fenti egyenlőségek igazak maradnak α = 0, α = 90, α = 180 esetén is. Ha az α hegyesszög, akkor a 8. osztályból már ismert a következő azonosság, amelyet a trigonometria alapazonosságának neveznek: sin a + cos a = 1 Ez az azonosság igaz az α = 0, α = 90, α = 180 esetében is (önállóan győződjetek meg róla). Legyen az α tompaszög. Ekkor a 180 α hegyesszög lesz. következőt kapjuk: sin a + cos a = (sin (180 a)) + ( cos (180 a)) = = sin (180 a) + cos (180 a) = 1. Tehát a sin α + cos α = 1 azonosság teljesül bármilyen 0 mα m180. szögre is.

8 8 1.. HÁROMSZÖGEK MEGOLDÁS Meghatározás. z α szög tangensének a sin α, arányt nevezzük, cos α vagyis sin α tg α=, cos α ahol 0 mα m180, és α 90. Mivel cos 90 = 0, ezért tgα α = 90 esetén nincs értelmezve. Könnyen beláthatjuk, hogy az α ( 0 mα m180 ) mindegyik értékének az egységsugarú félkör egy-egy pontja felel meg. Tehát minden α szögnek megfelel egyetlen olyan szám, amely az adott szög szinusza (koszinusza, tangense, ha α 90 ). Ezért a szinusz érteke és a szög nagysága között függvénykapcsolat áll fenn. z f(α) = sin α, g(α) = cos α, h(α) = tg α függvényeket az α szög trigonometrikus függvényeinek nevezzük. 1. feladat. izonyítsátok be, hogy tg(180 α) = tg α! Megoldás. sin ( 180 α) sin α sin α tg ( 180 α) = = = = tg α. cos( 180 α) cos α cos α. feladat. Határozzátok meg sin 10, cos 10, tg 10 értékét! 3 Megoldás. sin10 = sin ( ) = sin 60 = ; 1 cos10 = cos ( ) = cos 60 = ; tg 10 = tg ( ) = tg 60 = 3.? 1. Mit nevezünk egységfélkörnek?. Magyarázzátok meg, milyen esetben mondjuk, hogy az a szögnek megfelel egy M pont az egységsugarú félkörön! 3. Mit nevezünk az a szög szinuszának, ahol 0 m α m 180? 4. Mit nevezünk az a szög koszinuszának, ahol 0 m α m 180? 5. Mivel lesz egyenlő sin 0, cos 0, sin 90, cos 90, sin 180, cos 180? 6. Milyen értékek között lesz a sin a értéke, ha 0 m α m 180? 7. Milyen értékek között lesz a cos a értéke, ha 0 m α m 180? 8. Pozitív vagy negatív lesz-e a hegyesszög szinusza; a tompaszög szinusza; a hegyesszög koszinusza; a tompaszög koszinusza? 9. Milyen lesz az a szög, ha cos a < 0? 10. Mivel egyenlő sin (180 a); cos (180 a)?

9 1. 0º-tól 180º-ig terjedő szögek szinusza, koszinusza és tangense Milyen kapcsolatban vannak egymással az ugyanazon szög szinusza és koszinusza? 1. Mit nevezünk az a szög tangensének, ha 0 m α m 180 és a 90? 13. Minek nincs értelmezve a tg a az a = 90 esetére? 14. Mi a közös neve az f (a) = sin a, g (a) = cos a és h (a) = tg a függvényeknek? GYKORLTI FELDTOK 1.1. Rajzoljatok egy egységsugarú félkört! z egységnek egy olyan szakaszt vegyetek, amely 5-ször nagyobb, mint a füzet négyzetrácsának oldala! Szerkesszetek olyan szöget, melynek csúcsa a koordináta-rendszer kezdőpontja, egyik szára pedig az abszcisszatengely pozitív felére esik, melynek: 1) koszinusza 1 ; 5 4) szinusza 1; ) koszinusza 0,4; 5) koszinusza 0; 3) szinusza 0,6; 6) koszinusza 1! GYKORLTOK 1.. Mivel egyenlő: 1) sin (180 a), ha sin α= 1 ; 3 ) cos (180 a), ha cos a = 0,7; 3) cos (180 a), ha cos α= 4 ; 9 4) tg (180 a), ha tg a = 5? 1.3. z a és β mellékszögek, cos α= ) Határozzátok meg a cos β értékét! ) z a és β szögek közül melyik lesz hegyesszög, és melyik tompa? 1.4. Határozzátok meg a kifejezés értékét: 1) sin cos 0 ; 4) 6 tg sin 180 ; ) 3 sin 0 5 cos 180 ; 5) cos sin 165 ; sin0 + sin 90 3) tg 3 tg 0 tg 106 ; 6). cos0 cos 90! 1.5. Számítsátok ki: 1) 4 cos 90 + cos 180 tg 180 ; ) cos 0 cos sin 90!

10 HÁROMSZÖGEK MEGOLDÁS 1.6. Mivel egyenlő a szög szinusza, ha a koszinusza egyenlő: 1) 1; ) 0? 1.7. Mivel egyenlő a szög koszinusza, ha a szinusza egyenlő: 1) 1; ) 0? 1.8. Határozzátok meg a sin 135, cos 135, tg 135 értékét! 1.9. Határozzátok meg a sin 150, cos 150, tg 150 értékét! Létezik-e olyan a szög, amelynek: 1) sin α= 1 ; 3) cos α= 3 ; 5 5) cos a = 1,001; ) sin a = 0,3; 4) cos a = 0,99; 6) sin α= 5? Határozzátok meg: 1) cos a értékét, ha sin α= 3 5 ) cos a értékét, ha sin α= 1 3 és 0 m a m 90 ; és 90 m a m 180 ; 3) cos a értékét, ha sin α= 3 ; 4 4) sin a értékét, ha cos a = 0,8; 5) tg a értékét, ha sin α= 4 és 90 m a m 180! Határozzátok meg: 1) cos a értékét, ha sin α= 5 ; 13 ) sin a értékét, ha cos α= 1 ; 6 3) tg a értékét, ha cos α= 5 és 0 m a m 90! Igaz-e a következő állítás (magyarázzátok meg a választ): 1) a hegyesszög koszinusza nagyobb a tompaszög koszinuszánál; ) létezik tompaszög, melynek szinusza és koszinusza egyenlő; 3) létezik olyan szög, melynek szinusza és koszinusza nullával egyenlő; 4) a háromszög szögének koszinusza lehet negatív szám is; 5) a háromszög szögének szinusza lehet negatív szám is; 6) a háromszög szögének koszinusza lehet nulla is; 7) a háromszög szögének szinusza lehet nulla is;

11 1. 0º-tól 180º-ig terjedő szögek szinusza, koszinusza és tangense 11 8) a háromszög szögének koszinusza lehet 1 is; 9) a háromszög szögének szinusza lehet 1 is; 10) a derékszögtől eltérő szög szinusza kisebb, mint a derékszög szinusza; 11) az egyenesszög koszinusza kisebb, mint a derékszögtől eltérő szög koszinusza; 1) a mellékszögek szinuszai egyenlők; 13) a nem egyenlő mellékszögek koszinuszai ellentett számok lesznek; 14) ha két szög koszinuszai egyenlők, akkor ezek a szögek is egyenlők; 15) ha két szög szinuszai egyenlők, akkor ezek a szögek is egyenlők; 16) a hegyesszög tangense nagyobb a tompaszög tangensénél? Hasonlítsátok össze a nullával a kifejezés értékét: 1) sin 110 cos 140 ; 3) sin 18 cos 130 tg 9 ; ) sin 80 cos 100 cos 148 ; 4) sin 70 cos 90 tg 104! Határozzátok meg a kifejezés értékét: 1) sin cos 150 tg 135 ; ) cos 10 8 sin cos 90 cos 16 ; 3) cos 180 (sin 135 tg 60 cos 135 )! Mivel egyenlő a kifejezés értéke: 1) sin cos 10 ; ) sin 90 (tg 150 cos 135 tg 10 cos 135 )? Számológép alkalmazása nélkül határozzátok meg a kifejezés értékét: 1) sin o o o 18 cos 18 tg 18 ; ) ; 3) o o o sin 16 cos 16 tg 16! Számológép alkalmazása nélkül határozzátok meg a kifejezés értékét: 1) sin o 8 ; ) cos o 49 tg 14 ; 3) o o o o sin 15 cos 131 tg 166! Határozzátok meg a derékszögű háromszög szögei szinuszainak négyzetét, majd ezek összegét! 1.0. Határozzátok meg a derékszögű háromszög szögei koszinuszainak négyzetét, majd ezek összegét! 1.1. z C háromszögben adott, hogy = 60, O pedig a beírt kör középpontja. Mivel lesz egyenlő az OC koszinusza? 1.. z O pont az C háromszögbe írt körvonal középpontja, cos OC = 3. Határozzátok meg a háromszög szögét!

12 1 1.. HÁROMSZÖGEK MEGOLDÁS ISMÉTLŐ GYKORLTOK 1.3. paralelogramma tompaszögének csúcsából bocsátott magassága 5 cm és a paralelogramma oldalát egyenlő részekre osztja. paralelogramma hegyesszöge 30. Határozzátok meg a paralelogramma tompaszögének csúcsából húzott átlóját, és az átlónak a paralelogramma oldalaival alkotott szögeit! 1.4 z CD trapézban a CE egyenes párhuzamos az szárával, és az D alapját E és DE szakaszokra ossza úgy, hogy E = 7 cm, DE = 10 cm. Határozzátok meg a trapéz középvonalát! FELKÉSZÜLTÜNK Z ÓRÁKHOZ 1.5. háromszög két oldala 8 cm és 11 cm. Lehet-e a 8 cm-es oldallal szemközti szöge: 1) tompaszög; ) derékszög? Válaszotokat magyarázzátok meg! 1.6. z C háromszögben D magasságot húztak, = 60, C = 45, = 10 cm. Határozzátok meg a C szakasz hosszát! 1.7. Határozzátok meg az C háromszög D magasságát, és az oldalának vetületét az C egyenesre, ha C = 150, = 1 cm! FIGYELD MEG, RJZOLD LE, SZERKESZD MEG, KÉPZELD EL! 1.8. izonyítsátok be, hogy bármilyen háromszöget fel lehet darabolni 3 részre úgy, hogy ezekből a részekből egy téglalapot lehet összerakni!. koszinusztétel háromszögek egybevágóságának első ismertetőjeléből következik, hogy a háromszög két oldala és közbezárt szöge egyértelműen meghatározza a háromszöget. Tehát az említett elemek segítségével meg lehet határozni a háromszög harmadik oldalát. következő tétel megmutatja, hogyan kell ezt végrehajtani..1. tétel (koszinusztétel). ármely háromszög egyik oldalának négyzetét megkapjuk, ha a másik két oldal négyzetének összegéből kivonjuk e két oldal és az általuk bezárt szög koszinuszának kétszeres szorzatát.

13 . koszinusztétel 13 izonyítás. Vizsgáljuk meg az C háromszöget. ebizonyítjuk, hogy például C = + C. C.cos. Három esetet vizsgálunk meg: 1) az szög hegyesszög; ) az szög tompaszög; 3) az szög derékszög. Első eset. Legyen az hegyesszög. kkor legalább az egyik szög, a vagy a C szög hegyesszög lesz. Legyen C < 90. Meghúzzuk a D magasságot. z teljesen az C háromszögben lesz (.1. ábra). z D derékszögű háromszögben: D =. sin, D =. cos. DC derékszögű háromszögben: C = D + CD = = D + ( C D) =. sin + ( C. cos ) = =. sin + C C..cos +. cos = =.(sin + cos ) + C C..cos = = + C. C.cos. D C.1. ábra.. ábra Legyen < 90. z C háromszög C csúcsából meghúzzuk a magasságot. z teljesen az C háromszögben lesz. Ennek az esetnek a bizonyítása teljesen hasonló az előbbi esethez. Végezzétek el önállóan! Második eset. Legyen az tompaszög. z C háromszögben meghúzzuk a D magasságot (.. ábra). z D derékszögű háromszögben: D = sin D = =. sin( 180 C ) =. sin C, D =. cos D =. cos( 180 C ) =. cos C. z DC derékszögű háromszögben: C = D + CD = = D + ( C + D) =. sin C + ( C. cos C ) = = + C. C.cos C.

14 HÁROMSZÖGEK MEGOLDÁS Harmadik eset. Legyen az derékszög (.3. ábra). Ekkor cos = 0. e kell bizonyítani, hogy C = + C. Pitagorasz-tételből következően ez az egyenlőség az C háromszögre igaz lesz. koszinusztétel bizonyítása megmutatta, hogy a Pitagorasz-tétel a koszinusztétel egy részesete, a koszinusztétel pedig a Pitagorasz-tétel általánosítása. C Ha alkalmazzuk az C háromszög oldalainak és a szögeinek jelölését, akkor például az a oldal.3. ábra hosszára fel lehet írni: a = b + c bc cos a Ha ismert a háromszög három oldalának hossza, akkor a koszinusztétel segítségével meg lehet állapítani, hogy hegyesszögű, tompaszögű vagy derékszögű-e az adott háromszög... tétel (a koszinusztétel következménye). Legyen a, b és c a háromszög oldalainak hossza, melyek közül az a oldal a leghosszabb. Ha a < b + c, akkor a háromszög hegyesszögű lesz, ha a > b + c, akkor tompaszögű, ha pedig a = b + c, akkor az adott háromszög derékszögű lesz. izony ítás: koszinusztétel alapján a = b + c bc cos a. Innen bc cos α = b + c a. Legyen a < b + c. Ekkor b + c a > 0. Ebből következik, hogy bc cos α > 0, vagyis cos α > 0. Ezért az α hegyesszög lesz. Mivel az a a háromszög legnagyobb oldala, ezért ezzel az oldallal szembe a háromszög legnagyobb szöge helyezkedik el, amelyről meggyőződtünk, hogy hegyesszög lesz. Tehát ebben az esetben a háromszög hegyesszögű lesz. Legyen a > b + c. Ekkor b + c a < 0. Ebből következik, hogy bc cos α < 0, vagyis cos α < 0. Ezért az α tompaszög lesz. Tehát ebben az esetben a háromszög tompaszögű. Legyen a = b + c. Ekkor bc cos α = 0. Innen következik, hogy cos α = 0. Vagyis α = 90. Ebben az esetben a háromszög derékszögű lesz. 1. feladat. izonyítsátok be, hogy a paralelogramma átlóinak négyzetösszege egyenlő a paralelogramma oldalainak négyzetösszegével. Megoldás..4. ábrán az CD paralelogramma látható. a b b.4. ábra D a C

15 . koszinusztétel 15 Legyen = CD = a, C = D = b, D = α, ekkor DC = = 180 α. z D háromszögben a koszinusztétel alapján: D = a + b ab cos a. (1) z CD háromszögben a koszinusztétel alapján: C = a + b ab cos (180 a). Innen C = a + b + ab cos a. () Összeadva az (1) és a () egyenlőségeket azt kapjuk, hogy: D + C = a + b.. feladat. z C háromszög oldala 4 cm-rel nagyobb, mint a C oldal, = 10, C = 14 cm. Számítsátok ki az és C oldalak hosszát! Megoldás. koszinusztétel alapján C = + C. C.cos. Legyen C = x cm, x > 0, ekkor = (x + 4) cm lesz. következőket kapjuk: 14 = (x + 4) + x x (x + 4) cos 10 ; 196 = x x x x( x ). ; 196 = x + 8x x (x + 4); 3x + 1x 180 = 0; x + 4x 60 = 0; x 1 = 6; x = nem elégíti ki az x > 0 feltételt. Tehát C = 6 cm, = 10 cm. Felelet: 10 cm, 6 cm. 3. feladat. z C háromszög C oldalán úgy jelöltek egy D pontot, hogy CD : D = 1 :. Határozzátok meg a D szakasz hosszát, ha = 14 cm, C = 13 cm, C = 15 cm! Megoldás. koszinusztétel alapján az C háromszögben (.5. ábra): = C + C C. C.cos C. C + C Ebből cos C = = C. C = = = Mivel CD : D = 1:, innen CD = C = 3 = 5 (cm)..5. ábra

16 HÁROMSZÖGEK MEGOLDÁS CD háromszögből kapjuk: 33 D = C + CD C. CD.cos C = = Tehát D = 18 = 8 (cm). Felelet: 8 cm. 4. feladat. háromszög két oldala 3 cm és 30 cm, a nagyobbik ismert oldalhoz húzott súlyvonal hossza 10 cm. Határozzátok meg a háromszög harmadik oldalát! Megoldás. Legyen az C háromszögben C = 3 cm, C = 30 cm, az M szakasz súlyvonal, M = 10 cm. z M szakasz M-en túli meghosszabbítására rámérjük az MD szakaszt, amelynek hossza megegyezik az M súlyvonal hosszával (.6. ábra). Ekkor D = 0 cm. z CD négyszög D és C átlói az M pontban metszik és felezik egymást (M = MC a feltétel alapján, M = MD a szerkesztés szerint). Tehát az DC négyszög paralelogramma M.6. ábra D C lesz. Mivel a paralelogramma átlóinak négyzetösszege egyenlő oldalainak négyzetösszegével (lásd az 1. feladatot), ezért D + C = ( + C ). Innen = ( + 3 ); = ( + 59); = 11; = 11 cm. Felelet: 11 cm.? 1. Fogalmazzátok meg a koszinusztételt!. Hegyesszögű, derékszögű vagy tompaszögű-e az a, b, c oldalú háromszög, melynek a legnagyobb oldala a, ha: 1) a < b + c ; ) a > b + c ; 3) a = b + c? 3. Milyen összefüggés van a paralelogramma átlói és oldalai között? GYKORLTOK.1. Határozzátok meg az C háromszög ismeretlen oldalát, ha: 1) = 5 cm, C = 8 cm, = 60 ; ) = 3 cm, C = cm, = 135!

17 . koszinusztétel 17.. Határozzátok meg az DEF háromszög ismeretlen oldalát, ha: 1) DE = 4 cm, DF = 3 cm, D = 30 ; ) DF = 3 cm, EF = 5 cm, F = 10!.3. háromszög oldalainak hossza 1 cm, 0 cm és 8 cm. Határozzátok meg a háromszög legnagyobb szögét!.4. háromszög oldalainak hossza 18 cm, 5 cm és 7 cm. Határozzátok meg a háromszög második legnagyobb szögét!.5. Állapítsátok meg, hogy hegyesszögű, derékszögű vagy tompaszögű-e az a háromszög, melynek oldalai egyenlők: 1) 5 cm; 7 cm és 9 cm; 3) 10 cm, 15 cm és 18 cm! ) 5 cm, 1 cm és 13 cm;.6. háromszög oldalainak hossza 7 cm, 8 cm és 1 cm. Hegyesszögű-e ez a háromszög?.7. izonyítsátok be, hogy az a háromszög, melynek oldalai 8 cm, 15 cm és 17 cm-esek, derékszögű háromszög lesz!.8. paralelogramma oldalai cm és 5 cm, az egyik szöge pedig 45. Határozzátok meg a paralelogramma átlóinak hosszát!.9. z CD trapézban C D, C = 3 cm, D = 10 cm, CD = 4 cm, D = 60. Határozzátok meg a trapéz átlóinak hosszát!.10. z C egyenlő oldalú háromszög oldalán jelöltek egy D pontot úgy, hogy D : D = : 1. Határozzátok meg a CD szakasz hosszát, ha = 6 cm!.11. z C derékszögű háromszög átfogóján jelöltek egy M pontot úgy, hogy M : M = 1 : 3. Határozzátok meg a CM szakasz hosszát, ha C = C = 4 cm!.1. háromszög két oldala 3 cm és 4 cm, a köztük lévő szög szinusza 35 pedig. Határozzátok meg a háromszög harmadik oldalát! Hány 6 megoldása lesz a feladatnak?.13. z C háromszögben adott, hogy C = 90, C = 0 cm, C = 15 cm. z oldalán jelöltek egy M pontot úgy, hogy M = 4 cm. Határozzátok meg a CM szakasz hosszát!.14. z C egyenlő szárú derékszögű háromszög átfogójának ponton túli meghosszabbításán úgy jelöltek egy D pontot, hogy D = C. Határozzátok meg a CD szakasz hosszát, ha az C háromszög befogója a!

18 HÁROMSZÖGEK MEGOLDÁS.15. z C háromszögben adott, hogy C = 90, = 13 cm, C = = 1 cm. z átfogójának -n túli meghosszabbításán úgy jelöltek egy D pontot, hogy D = 6 cm. Határozzátok meg a CD szakasz hosszát!.16. derékszögű háromszögbe írt körvonal középpontja az átfogó végpontjaitól a és b távolságra van. Határozzátok meg a háromszög átfogójának hosszát!.17. z C háromszögbe írt körvonal középpontja az O pont, C = a, C = b, O = 10. Határozzátok meg az oldal hosszát!.18. háromszög két oldala úgy aránylik egymáshoz, mint 5 : 8. két oldal 60 -os szöget zár be egymással, a harmadik oldalának hossza pedig 1 cm. Határozzátok meg a háromszög ismeretlen oldalait!.19. háromszög két oldala úgy aránylik egymáshoz, mint 1: 3. két oldal 30 -os szöget zár be egymással, a harmadik oldalának hossza 7 cm. Határozzátok meg a háromszög ismeretlen oldalait!.0. háromszög két oldalának összege 8 cm. két oldal 10 -os szöget zár be egymással, a harmadik oldalának hossza 7 cm. Határozzátok meg a háromszög ismeretlen oldalait!.1. háromszög két oldalának aránya 5 : 3, a köztük lévő szöge pedig 10. Határozzátok meg a háromszög oldalait, ha kerülete 30 cm!.. háromszög két oldala 16 cm és 14 cm, a kisebbik ismert oldallal szemközti szöge pedig 60. Határozzátok meg a háromszög ismeretlen oldalát!.3. háromszög két oldala 15 cm és 35 cm, a nagyobbik ismert oldallal szemközti szöge 10. Határozzátok meg a háromszög kerületét!.4. z C háromszög C oldalán úgy jelöltek egy D pontot, hogy CD = 14 cm. Határozzátok meg az D szakasz hosszát, ha = 37 cm, C = 44 cm és C = 15 cm!.5. z C háromszög oldalán jelöltek egy K pontot, a C oldal C utáni meghosszabbításán pedig egy M pontot. Határozzátok meg az MK távolságot, ha = 15 cm, C = 7 cm, C = 13 cm, K = 8 cm, MC = 3 cm!.6. háromszög egyik oldalának hossza kétszer nagyobb a másiknál, a köztük lévő szöge 60. izonyítsátok be, hogy az adott háromszög derékszögű!.7. izonyítsátok be, hogy amikor a háromszög egyik oldalának négyzete egyenlő a másik két oldal összegének nem teljes négyzetével, akkor az adott oldallal szemközti szöge 10!

19 . koszinusztétel izonyítsátok be, hogy amikor a háromszög egyik oldalának négyzete egyenlő a másik két oldal különbségének nem teljes négyzetével, akkor az adott oldallal szemközti szöge 60!.9. paralelogramma két oldalának hossza 7 cm és 11 cm, az egyik átlója pedig 1 cm. Határozzátok meg a paralelogramma másik átlóját!.30. paralelogramma átlói 13 cm és 11 cm, az egyik oldala 9 cm. Határozzátok meg a paralelogramma kerületét!.31. paralelogramma átlói 8 cm és 14 cm, az egyik oldala cm-rel nagyobb a másiknál. Határozzátok meg a paralelogramma oldalait!.3. paralelogramma két oldalának hossza 11 cm és 3 cm, átlóinak aránya : 3. Határozzátok meg a paralelogramma átlóit!.33. z CD trapézban ismert, hogy D C, = 5 cm, C = = 9 cm, D = 16 cm, cos = 1. Határozzátok meg a trapéz 7 CD oldalát!.34. z CD trapézban ismert, hogy D C, = 5 cm, = 15 cm, C = 6 cm, CD = 4 cm, D = 11 cm. Határozzátok meg a trapéz D szögének koszinuszát!.35. Határozzátok meg az CD négyszög C átlóját, ha a négyszög köré kör írható és = 3 cm, C = 4 cm, CD = 5 cm, D = 6 cm!.36. Lehet-e körvonalat írni az CD négyszög köré, ha = 4 cm, D = 3 cm, D = 6 cm és C = 30?.37. izonyítsátok be, hogy a paralelogramma nagyobbik szögével szemben a nagyobbik átló fekszik! Fogalmazzátok meg, és bizonyítsátok be ennek az állításnak a fordítottját!.38. háromszög oldalainak hossza 1 cm, 15 cm és 18 cm. Határozzátok meg a legnagyobb szögének csúcsából húzott szögfelezőjének a hosszát!.39. z egyenlő szárú háromszög alapja 5 cm, a szára 0 cm. Határozzátok meg az alapnál lévő szöge szögfelezőjének hosszát!.40. háromszög oldalai 16 cm, 18 cm és 6 cm. Határozzátok meg a legnagyobb oldalra húzott súlyvonal hosszát!.41. z egyenlő szárú háromszög alapja 4 cm, a szárához húzott súlyvonalának hossza 5 cm. Határozzátok meg a háromszög szárának hosszát!

20 0 1.. HÁROMSZÖGEK MEGOLDÁS.4. háromszög két oldala 1 cm és 14 cm, a harmadik oldalhoz húzott súlyvonalának hossza 7 cm. Határozzátok meg a háromszög ismeretlen oldalát!.43. z C háromszögben adott, hogy = C, C = 10. z oldal -n túli meghosszabbításán egy D pontot jelöltünk úgy, hogy D =. izonyítsátok be, hogy az CD háromszög egyenlő szárú!.44. izonyítsátok be, hogy az a, b és c oldalú háromszögben teljesül a következő egyenlőség: m = 1 c a + b c, ahol m c a háromszög c oldalára húzott súlyvonala! ISMÉTLŐ GYKORLTOK.45. körben egy C átmérőt és egy olyan húrt húztak, amely a sugárral egyenlő. Határozzátok meg az C háromszög szögeit!.46. paralelogramma szögfelezője és az oldalának metszésénél keletkező egyik szöge egyenlő a paralelogramma egyik szögével. Határozzátok meg a paralelogramma szögeit!.47. z C háromszögbe egy DEF paralelogrammát írtak, ahol az szög közös szögük, a D, E és F pontok pedig megfelelően az, C és C oldalakra illeszkednek. Határozzátok meg a DEF paralelogramma oldalait, ha = 8 cm, C = 1 cm, D : F = : 3! FELKÉSZÜLTÜNK Z ÓRÁKHOZ.48. Határozzátok meg az DC szög mértékét, ha C = 140 (.7. ábra). D D C α C C.7. ábra.8. ábra.9. ábra

21 3. szinusztétel Határozzátok meg az C szög mértékét, ha DC = 43 (.8. ábra)!.50. z szakasz az R sugarú körvonal átmérője, C = α (.9. ábra). Határozzátok meg az C húr hosszát! 3. szinusztétel következő tétel bizonyításához és nagyon sok feladat megoldásához is alkalmazni fogjuk a következő lemmát. Lemma. körvonal húrja egyenlő az átmérőjének és a neki megfelelő kerületi szög szinuszának szorzatával. izonyítás ábrán az MN szakasz az O középpontú körvonal húrja. Meghúzzuk az MP átmérőt. Ekkor az MNP = 90, mint az átmérőre támaszkodó kerületi szög. Legyen az MPN kerületi szög mértéke α. Ekkor az MPN derékszögű háromszögben kapjuk, hogy: MN = MP sin a. (1) Minden, az MN húrra támaszkodó kerületi szög mértéke α vagy 180 α lesz. Tehát szinuszaik egyenlők. Ezért az (1) egyenlőség minden, az MN húrra támaszkodó kerületi szögre igaz lesz. háromszögek egybevágóságának második ismertetőjeléből következik, hogy egy oldala és a rajta fekvő két szöge egyértelműen meghatározzák a háromszöget. Tehát ezen elemei alapján meg lehet határozni a háromszög másik két oldalát. Hogy hogyan kell ezt megvalósítani, ebben segít a következő tétel tétel (szinusztétel). háromszögek oldalai arányosak a szemben lévő szögek szinuszával. izonyítás. Legyen az C háromszögben = c, C = a, C = b. ebizonyítjuk, hogy a b c sin = sin = sin C. Legyen az C háromszög köré írt körének sugara R. Ekkor a lemma alapján a = R sin, b = R sin, c = R sin C. Innen M a b c = = = R sin sin sin C α 180 O α 3.1. ábra α P N

22 1.. HÁROMSZÖGEK MEGOLDÁS Következmény. háromszög köré írt körének sugara a következő képlettel határozható meg: a R = sin α, ahol a a háromszög oldalának hossza, α ezzel az oldallal szemközti szög mértéke. 1.feladat. z C háromszögben ismert, hogy C = C = 1 cm, = 45. Határozzátok meg az szög mértékét! Megoldás. szinusztétel alapján Innen C C sin = sin. sin sin. sin C = = = : =. C cm, Mivel C < C, ezért <. Tehát az szög hegyesszög lesz. Ebből következik, hogyha sin = 1, Felelet: 30. akkor = 30..feladat. z C háromszögben ismert, hogy C = C = 1 cm, = 30. Határozzátok meg a szög mértékét! C C Megoldás. szinusztétel alapján sin = sin. Ekkor cm, sin = C sin =. C Mivel C< C, ezért <. Ekkor a szög lehet hegyes- és tompaszög is. Ezért = 45 vagy = = 135. Felelet: 45 vagy feladat. z C háromszög oldalán D pontot jelöltek úgy, hogy DC = γ, D = m (3.. ábra). Határozzátok meg a D szakasz hosszát, ha = α, = β! Megoldás. DC szög az DC háromszög külső szöge. Tehát CD + = DC, innen CD = γ α. z DC háromszögből a szinusztétel alapján kapjuk, hogy: CD D =. sincd sin CD

23 3. szinusztétel 3 D sin CD m sin α Tehát CD = = sin CD sin( γ α). CD háromszögben a szinusztétel alapján kapjuk, hogy: Tehát D CD =. sin CD sin CD CD sin CD D = = sin CD msinα sin ( 180 ( β+ γ)) msinα sin ( β+ γ) = = sinβsin ( γ α) sinβsin ( γ α). C α γ m D 3.. ábra β Felelet: m sinα sin ( β+ γ) sinβsin ( γ α). 4.feladat. z C háromszögben a D szakasz szögfelező, C = 30, C = 105 (3.3. ábra). Határozzátok meg az C háromszög köré írt körvonal sugarát, ha a DC háromszög köré írt körvonal sugara 8 6 cm! C D Megoldás. Legyen R 1 a DC háromszög köré írt körvonal sugara R 1 = 8 6 cm. Mivel a D szakasz szögfelező, ezért ábra CD = C = 15. DC háromszögben: DC = 180 (CD + C ) = 180 ( ) = 60. szinusztétel következményéből kapjuk, hogy Innen C = R sin DC = sin 60 = 4 (cm). C R1. sin DC = z C háromszögből kapjuk: = 180 (C + C ) = 180 ( ) = 45. Legyen R az C háromszög köré írt körvonal keresett sugara. C Ekkor sin R C 4 =, ebből R = = = 4 (cm). sin sin 45 Felelet: 4 cm.

24 4 1.. HÁROMSZÖGEK MEGOLDÁS? 1. Hogyan kell meghatározni a körvonal húrjának hosszát, ha ismert az átmérője és a húrra támaszkodó kerületi szög?. Fogalmazzátok meg a szinusztételt! 3. Hogyan kell meghatározni annak a háromszög köré írt körvonalnak a sugarát, melynek oldala a, szemközti szöge pedig a? GYKORLTOK 3.1. Határozzátok meg a 3.4. ábrán látható C háromszög C oldalát (a szakaszok hossza cm-ben van megadva)! C ábra 3.5. ábra C 3.. Határozzátok meg a 3.5. ábrán látható C háromszög szögét (a szakaszok hossza cm-ben van megadva)! 3.3. Határozzátok meg az C háromszög oldalát, ha C = 6 cm, = 10, C = 45! 3.4. z C háromszögben adott, hogy = 1 cm, C = 10 cm, sin = 0,. Határozzátok meg a C szög szinuszát! 3.5. DEF háromszögben adott, hogy DE = 16 cm, F = 50, D = 38. Határozzátok meg az EF oldalt! 3.6. MKP háromszögben adott, hogy KP = 8 cm, K = 106, P = 3. Határozzátok meg az MP oldalt! 3.7. z pont és a folyó másik partján elhelyezkedő harangtorony közötti távolság meghatározására (3.6. ábra) mérőszalagot és a szög mérésére szolgáló eszközt (teodolitot) használtak. Jelöltek egy C pontot úgy, hogy C = 4, C = 64, C = 0 m. Hogyan határozható meg az pont és a harangtorony közötti távolság? Határozzátok meg ezt a távolságot!

25 3. szinusztétel 5 C 3.6. ábra 3.8. z C háromszögben adott, hogy C = a, = α, C = γ. Határozzátok meg az és C oldalait! 3.9. paralelogramma átlója d és az oldalaival α és β szögeket alkot. Határozzátok meg a paralelogramma oldalait! Határozzátok meg az C háromszög szögét, ha: 1) C = cm, C = 1 cm, = 135 ; ) C = cm, C = 3 cm, = 45! Hány megoldása lesz mindegyik esetben a feladatnak? Magyarázzátok meg a válaszokat! Létezik-e olyan C háromszög, melyben sin = 0,4, C = 18 cm, C = 6 cm? Válaszotokat indokoljátok! 3.1. DEF háromszögben adott, hogy DE = 8 cm, sin F = 0,16. Határozzátok meg a DEF háromszög köré írt körvonal sugarát! z MKP háromszög köré írt körének sugara 5 cm-rel egyenlő, sin M = 0,7. Határozzátok meg a KP oldal hosszát! z C háromszög oldalának -n túli meghosszabbításán jelöltek egy D pontot. Határozzátok meg az CD háromszög köré írt kör sugarát, ha C = 60, DC = 45, és az C háromszög köré írt kör sugara 4 cm! z C háromszög köré írt kör sugara 6 cm-rel egyenlő. Határozzátok meg az β OC háromszög köré írt kör sugarát, ahol az O pont az C háromszög szögfelezőinek metszéspontja, ha C = 60! γ ábra adatainak felhasználásával C a D határozzátok meg az D szakasz hosszát, ha CD = a, C = γ, D = β! 3.7. ábra

26 6 1.. HÁROMSZÖGEK MEGOLDÁS ábra adatainak felhasználásával határozzátok meg az C szakasz hosszát, ha D = m, C = α, DC = β! z C háromszög oldalán úgy jelöltek egy M pontot, hogy MC = ϕ. α β Határozzátok meg a CM szakaszt, ha C m D = c, = α, C = γ! z C háromszögben adott, hogy 3.8. ábra = α, = β. C oldalán úgy jelöltek egy D pontot, hogy D = ϕ, D = m. Határozzátok meg a C oldalt! 3.0. izonyítsátok be, hogy a háromszög szögfelezője a szemközti oldalt olyan szakaszokra osztja, melyek hosszainak aránya fordítottan arányos az oldalon lévő szögei szinuszaival! 3.1. háromszög két oldalának hossza 6 cm és 1 cm, a harmadik oldalra bocsátott magassága 4 cm. Határozzátok meg az adott háromszög köré írt kör sugarát! 3.. Határozzátok meg az egyenlő szárú háromszög köré írt kör sugarát, melynek alapja 16 cm, szára pedig 10 cm! 3.3. háromszög oldala 4 cm, a köré írt kör sugara 8 3 cm. Mivel lesz egyenlő az adott oldallal szemközti szöge? 3.4. háromszög alakú kerékpárút egyik szöge 50, a másik pedig 100. háromszög legkisebb oldalát a kerékpáros 1 óra alatt tette meg. Mennyi idő alatt ér körbe a kerékpáros? z eredményt adjátok meg órákban, és kerekítsétek tizedekre! 3.5. z C háromszögben adott, hogy C = b, = α, C = γ. Határozzátok meg a háromszög D szögfelezőjét! 3.6. z egyenlő szárú háromszög alapja a, az azzal szemben lévő szöge α. Határozzátok meg a háromszög alapon lévő csúcsából húzott szögfelező hosszát! 3.7. izonyítsátok be a szinusztétel alkalmazásával, hogy a háromszög szögfelezője a szemközti oldalt a szomszédos oldalak arányában osztja két részre 1! 1 Emlékeztetőül, ez az állítás az arányos szakaszok tételével bizonyítva volt a következő tankönyvben:. H. Merzljak, V.. Polonszkij, M. Sz. Jakir. Mértan: Tankönyv az általános oktatási rendszerű tanintézetek 8. osztálya számára. Lviv : Szvit, 016. következőkben erre így hivatkozunk: Mértan, 8. osztály.

27 3. szinusztétel z egyenlő szárú trapéz alapjai 9 cm és 1 cm, a magassága pedig 8 cm. Határozzátok meg a trapéz köré írt körvonal sugarát! 3.9. z C háromszögnek a CD szakasz a szögfelezője, az = α, = β. D ponton keresztül egy egyenest fektettünk, amely párhuzamos a C oldallal, és az C oldalt az E pontban metszi úgy, hogy E = a. Határozzátok meg a CE szakasz hosszát! z C háromszög M súlyvonalának hossza m, és az valamint C oldalakkal megfelelően α és β szögeket alkot. Határozzátok meg az C és C oldalakat! z C háromszög CD súlyvonala az és C oldalakkal megfelelően α és β szögeket alkot, C = a. Határozzátok meg a CD súlyvonal hosszát! 3.3. z C egyenlő szárú háromszög magasságai a H pontban metszik egymást. izonyítsátok be, hogy az H, HC, HC és C háromszögek köré írt körvonalak sugarai egyenlők! z, és C falvakat összekötő útvonalak háromszöget alkotnak (3.9. ábra). z és C falvak közötti út aszfaltozott, viszont az -ból -be vezető és a -ből C-be vezető utak földutak. z faluból a -be és C-be vezető utak 15 -os szöget alkotnak, faluból -ba és C-be vezető utak közötti szög pedig 5 -os. z aszfaltozott úton az autó sebessége kétszer nagyobb, mint a földúton. Milyen útvonalat kell választani, hogy a leggyorsabban jussunk el faluból -be? C 3.9. ábra z és falvakból vezető útvonalak a C elágazásnál találkoznak (3.10. ábra). z útvonalak egy olyan háromszöget alkotnak, amelynek csúcsnál lévő szöge 30 -os, a -nél lévő szöge pedig 70 -os. z faluból az elágazásig egy gépkocsi indult el 90 km/h sebességgel, ezzel egyidejűleg -ből egy autóbusz indult el 60 km/h-s sebességgel. Melyik fog hamarabb az elágazáshoz érkezni?

28 8 1.. HÁROMSZÖGEK MEGOLDÁS C ábra ISMÉTLŐ GYKORLTOK z CD téglalap és C szögeinek szögfelezői az D oldalt megfelelően az M és K pontokban metszik. izonyítsátok be, hogy M = CK! ábrán DE C, FK. Nevezzétek meg az ábra hasonló háromszögeit! z CD négyzet oldalán jelöltek egy K pontot, a CD-n pedig egy M-et úgy, hogy K : K = 1 :, DM : MC = 3 : 1. Határozzátok meg a négyzet oldalát, ha MK = 13 cm! D M K F E C ábra FELKÉSZÜLTÜNK Z ÓRÁKHOZ Oldjátok meg a derékszögű háromszöget, ha ismert: 1) két befogója: a = 7 cm, b = 35 cm; ) átfogója c = 17 cm és befogója a = 8 cm; 3) átfogója c = 4 cm és hegyesszöge α = 50 ; 4) befogója a = 8 cm és szemközti szöge α = 4! FIGYELD MEG, RJZOLD LE, SZERKESZD MEG, KÉPZELD EL! z 1 cm-es sugarú körbe ötszög van írva. izonyítsátok be, hogy az oldalainak és átlóinak összege 17 cm!

29 4. háromszögek megoldása 4. háromszögek megoldása 9 háromszöget megoldani annyit jelent, mint meghatározni ismeretlen oldalait és szögeit az ismert oldalai és szögei által osztályban megtanultátok megoldani a derékszögű háromszöget. koszinusztétel és a szinusztétel lehetőséget ad bármilyen háromszög megoldására. következő feladatokban a trigonometrikus függvények értékeit számológép segítségével határozzuk meg, majd századokra kerekítjük azokat. szögek mértékét számológéppel határozzuk meg, és ezeket egészre kerekítjük. z oldalak hosszának kiszámítása során az eredményt tizedekre kerekítjük. 1. feladat. Oldjátok meg a háromszöget (4.1. ábra), ha adott oldala a = 1 cm és két szöge β = 36, γ = 119! Megoldás. lkalmazva a háromszög szögeinek összegéről szóló tételt, az kapjuk, hogy: α = 180 (β + γ) = = = ábra b a szinusztétel alapján = sinβ sin α. a Innen b = sin β. Ebből azt kapjuk, hogy: sin α 1 sin , b = 16, 9 (cm). sin 5 04, Újra alkalmazva a szinusztételt, felírjuk: c a = sin γ sin α. a Innen c = sin γ. sin α 1 sin sin , c = = 4, 9 (cm). sin 5 sin 5 04, Felelet: b 16,9 cm, c 4,9 cm, α = 5.. feladat. Oldjátok meg a háromszöget két oldala a = 14 cm, b = 8 cm és közbezárt szöge γ = 38 alapján! 1 Ennek a pontnak a feladataiban a következő jelöléseket használjuk: a, b és c a háromszög oldalainak hossza, α, β és γ azoknak a szögeknek a mértéke, melyek megfelelően az a, b és c oldalakkal szemben helyezkednek el.

30 HÁROMSZÖGEK MEGOLDÁS Megoldás. koszinusztétel alapján c = a + b ab cos γ Innen: c = cos , = 8304, ; c 9,1 cm. Továbbiakban: a = b + c bc cos a; b + c a , 14 cos α= ; cos α 034,. bc , Innen kapjuk, hogy α 110. lkalmazva a háromszög szögeinek összegéről szóló tételt, az kapjuk, hogy: b = 180 (a + g); b = 3. Felelet: c 9,1 cm, a 110, b 3. 3.feladat. Oldjátok meg a háromszöget, ha ismert három oldala a = 7 cm, b = cm, c = 8 cm! Megoldás. koszinusztétel alapján a = b + c bc cos α. Innen b + c a cos α= ; bc α 54. szinusztétel alapján: cos α= 059,. Megkaptuk, hogy.. 8 a b = sinα sin β. Innen sin α sin β = b sin 54. 0, 81 ; sin β 03,. a 7 7 Mivel a b az adott háromszög legkisebb oldala, ezért a β hegyesszög lesz. Tehát β 13. lkalmazva a háromszög szögeinek összegéről szóló tételt, az kapjuk, hogy: g = 180 (a + b); g = 113. Felelet: a 54, b 13, g feladat. Oldjátok meg a háromszöget, ha adott két oldala és az egyikkel szemközti szöge: 1) a = 17 cm, b = 6 cm, a = 156 ; ) b = 7 cm, c = 8 cm, b = 65 ; 3) a = 6 cm, b = 5 cm, b = 50. a b Megoldás. 1) Szinusztétel alapján = sinα sin β. Innen sin α sin β = b 6 sin156 6sin , 41 ; sin β= = 014,. a

31 4. háromszögek megoldása 31 Mivel az adott háromszögben α tompaszög, ezért β hegyesszög lesz. Ebből adódik β 8. lkalmazva a háromszög szögeinek összegéről szóló tételt, az kapjuk, hogy: γ = 180 (α + β); γ 16. a c szinusztétel alapján = sinα sin γ. a Innen c = sin γ 17 sin , ; c 11, 6 (cm). sin α sin , Felelet: β 8, γ 16, c 11,6 cm. b c ) szinusztétel alapján = sinβ sin γ. sin β sin γ = c 8sin , 91 ; sin γ= = 104, > 1, ami nem lehetséges. b 7 7 Felelet: a feladatnak nincs megoldása. a b 3) szinusztétel alapján = sinα sin β. Innen sin β sin α = a 6sin , 77 ; sin α= 09,. b 5 5 Két eset lehetséges: α 67 vagy α = 113. Megvizsgáljuk azt az esetet, mikor α 67. lkalmazva a háromszög szögeinek összegéről szóló tételt, az kapjuk, hogy: γ = 180 (α + β); γ = 63. b c szinusztétel alapján = sinβ sin γ. b Innen c = sin γ 5sin , 89 ; c 58, (cm). sin β sin , Megvizsgáljuk azt az esetet, mikor α 113. lkalmazva a háromszög szögeinek összegéről szóló tételt, az kapjuk, hogy: g = 180 (a + b); g = 17. b Mivel c = sin γ 5sin , 9, így c 1,9 (cm). sin β sin , Felelet: α 67, γ 63, c 5,8 cm vagy α 113, γ 17, c 1,9 cm.? Mit jelent a megoldani a háromszöget?

32 3 1.. HÁROMSZÖGEK MEGOLDÁS GYKORLTOK 4.1. Oldjátok meg a háromszöget oldala és két szöge ismeretében: 1) a = 10 cm, b = 0, g = 85 ; ) b = 16 cm, a = 40, b = 110! 4.. Oldjátok meg a háromszöget oldala és két szöge ismeretében: 1) b = 9 cm, a = 35, g = 70 ; ) c = 14 cm, b = 13, g = 4! 4.3. Oldjátok meg a háromszöget két oldala és közbezárt szöge ismeretében: 1) b = 18 cm, c = cm, a = 76 ; ) a = 0 cm, b = 15 cm, g = 104! 4.4. Oldjátok meg a háromszöget két oldala és közbezárt szöge ismeretében: 1) a = 8 cm, c = 6 cm, b = 15 ; ) b = 7 cm, c = 5 cm, a = 145! 4.5. Oldjátok meg a háromszöget három oldala ismeretében: 1) a = 4 cm, b = 5 cm, c = 7 cm; ) a = 6 cm, b = 19 cm, c = 4 cm! 4.6. Oldjátok meg a háromszöget három oldala ismeretében: 1) a = 5 cm, b = 6 cm, c = 8 cm; ) a = 1 cm, b = 17 cm, c = 3 cm! 4.7. Oldjátok meg a háromszöget, melyben: 1) a = 10 cm, b = 3 cm, b = 10, az α hegyesszög; ) a = 10 cm, b = 3 cm, b = 10, az α tompaszög! 4.8. Oldjátok meg a háromszöget két oldala és az egyikkel szemközti szöge ismeretében: 1) a = 7 cm, b = 11 cm, b = 46 ; 3) a = 7 cm, c = 3 cm, g = 7! ) b = 15 cm, c = 17 cm, b = 3 ; 4.9. Oldjátok meg a háromszöget két oldala és az egyikkel szemközti szöge ismeretében: 1) a = 3 cm, c = 30 cm, g = 10 ; ) a = 18 cm, b = 5 cm, a = 36! z C háromszögben ismert, hogy = C = 0 cm, = 70. Határozzátok meg: 1) C oldalt; ) CM súlyvonalat; 3) D szögfelezőt; 4) az C háromszög köré írt kör sugarát! z CD egyenlő szárú trapéz (C D) C átlója 8 cm, CD = 38, D = 7. Határozzátok meg: 1) a trapéz oldalait; ) az C háromszög köré írt körvonal sugarát! 4.1. trapéz alapjai 1 cm és 16 cm, szárai pedig 7 cm és 9 cm. Határozzátok meg a trapéz szögeit!

33 trigonometria a háromszögek mérésével foglalkozó tudomány 33 ISMÉTLŐ GYKORLTOK z CD paralelogramma szögének szögfelezője az D oldalát egy M pontban metszi, a CD oldal D-n túli meghosszabbítását pedig a K pontban. Határozzátok meg a DK szakasz hosszát, ha M = 8 cm, és a paralelogramma kerülete 50 cm! Két hasonló háromszög kerületei közül az egyik 18 cm-rel kisebb, mint a másik, a háromszögek két megfelelő oldalának hossza 5 cm és 8 cm. Határozzátok meg az háromszögek kerületeit! FELKÉSZÜLTÜNK Z ÓRÁKHOZ z M pont az CD téglalap CD oldalának felezőpontja (4.. ábra), = 6 cm, D = 5 cm. Mivel egyenlő az CM háromszög területe? z C háromszög C oldalán úgy jelöltek egy D pontot, hogy az D = α. izonyítsátok be, hogy S = 1 C C. D sin α!. C M D 4.. ábra TRIGONOMETRI HÁROMSZÖGEK MÉRÉSÉVEL FOGLLKOZÓ TUDOMÁNY z ókori utazók a csillagok és más égitestek állásából tájékozódtak. Viszonylag pontosan meg tudták határozni a hajók és a karavánok tartózkodási helyét a tengereken, illetve a sivatagban. z egyik tájékozódási pont a mérés során az a magasság, amelyre az adott csillag vagy égitest a horizont fölé emelkedett az adott időpillanatban. Nyilvánvaló, hogy ez a magasság közvetlenül nem mérhető. Ezért a tudósok közvetett méréseket kezdtek alkalmazni. Ebben jelentős szerepet kapott a háromszögek megoldása, amelynek két csúcsa a földfelszínen helyezkedett el, a harmadik pedig egy csillag volt (4.3. ábra) a már általatok megismert feladathoz hasonlóan.

34 HÁROMSZÖGEK MEGOLDÁS α β γ h α α M 4.3. ábra 4.4. ábra hasonló feladatok megoldásához az ókori csillagászoknak választ kellett adniuk arra a kérdésre, hogy milyen összefüggés van a háromszög elemei között. Így alakult ki a trigonometria tudományág, amely a háromszögek oldalai és szögei közötti kapcsolatokat vizsgálja. trigonometria görög eredetű kifejezés, trigonom háromszög és metreo mérés szavakból ered, aminek jelentése háromszögek mérése ábrán az O középponti szög látható, amely egyenlő α. z OM derékszögű háromszögből kapjuk: M = O sin α. Tehát, ha az egységkörben a, 4, 6,, 180 nagyságú középponti szögekhez tartozó félhúrokat felmérjük, ezzel tulajdonképpen megkaptuk az 1,, 3,, 90 szögek szinuszát. Hipparkhosz ógörög csillagász (i. e. II. sz.) megmérte a félhúrok hosszát, majd ezek alapján összeállította az első csillagászati vagy trigonometrikus táblázatot. szinusz és a koszinusz fogalmak először a IV V. században alkotó indiai tudósok tanulmányaiban fordulnak elő. X. században az arab tudósok már alkalmazták a tangens fogalmát, amely a gnómonika a napóraszerkesztés tudománya szükségleteinek kielégítésére jött létre (4.5. ábra). O 4.5. ábra z első, Európában 1533-ban megjelent könyv, amely a trigonometriát önálló tudományként tárgyalta az Öt könyv mindenfajta há-

35 5. háromszög területének meghatározására szolgáló képletek 35 Leonhard Euler ( ) Kiemelkedő matematikus, fizikus, mechanikus, csillagász, több mint 860 jelentős értekezést írt. Tagja a Szentpétervári, erlini, Párizsi Tudományos kadémiának, a Londoni Királyi Társaságnak, és más akadémiáknak, illetve társaságoknak. Euler a matematika szinte valamennyi ágában maradandót alkotott. Számos matematikai fogalom kötődik nevéhez. Létezik Euler-tétel, Euler-azonosság, -függvény, -szög, -integrál, -képlet, -egyenlet stb. romszögekről című tanulmány. kötet szerzője a német származású Regiomontanus ( ). Ugyanő fogalmazta meg a tangenstételt is: α β β γ γ α tg a b =, b c tg a+ b α + β b+ c =, c a tg =, β+ γ c+ a γ + α tg tg tg ahol a, b és c a háromszög oldalai, az α, β és γ pedig a megfelelő oldalakkal szembeni szögei. ma használatos trigonometria megalkotója a jeles svájci matematikus, Leonhard Euler. 5. háromszög területének meghatározására szolgáló képletek 8. osztályos mértanból már tudjátok, hogy az a, b és c oldalú, valamint h a, h b és h c magasságú háromszög S területe a következő képlettel számítható ki S = aha = bhb = chc. Most már az is lehetővé vált, hogy néhány más képletet is levezessünk a háromszög területének meghatározására tétel. háromszög területe a háromszög két oldalának és az általuk közbezárt szög szinusza szorzatának a felével egyenlő. izonyítás: Vizsgáljuk meg azt az S területű C háromszöget, melyben C = a, C = b és C = γ. ebizonyítjuk, hogy S = 1 ab sin γ

36 HÁROMSZÖGEK MEGOLDÁS Három eset lehetséges: 1) a γ szög hegyesszög (5.1. ábra); ) a γ szög tompaszög (5.. ábra); 3) a γ szög derékszög. a γ b D C b 5.1. ábra 5.. ábra γ a 180 γ C D z 5.1. és az 5.. ábrákon megrajzoljuk az C háromszögben a D 1 magasságot. Ekkor S = D. 1 C = D. b. z első esetben DC derékszögű háromszögben (5.1. ábra) ezt kapjuk: D = a sin γ, a második esetben (5.. ábra): D = a sin(180 γ) = = a sin γ. Ebből következik, hogy az első két esetben: S = 1 ab sin γ. Ha a C szög derékszög, akkor sin γ = 1. z C derékszögű háromszögben az a és b befogók: S = ab = absin90 = ab sin γ. 5.. tétel (Hérón 1 képlete). z a, b és c oldalú háromszög területét a következő képlettel lehet meghatározni: S = p( p a)( p b)( p c), ahol p a háromszög kerületének fele. izonyítás. Vizsgáljuk meg az C háromszöget, melynek területe S, C = a, C = b, = c. ebizonyítjuk, hogy S = p( p a)( p b)( p c). 1 l e x a n d r i a i H é r ó n ógörög tudós, aki a Kr. u. I. században élt. Matematikai munkái az alkalmazott matematika enciklopédiája.

37 5. háromszög területének meghatározására szolgáló képletek 37 Legyen C = γ. Felírjuk a háromszög területének kiszámítására szolgáló képletet: S = 1 1 ab sin γ. Innen S = a b sin γ. 4 koszinusztétel alapján c = a + b ab cos g. a + b c Innen a cos γ=. ab Mivel sin g = 1 cos g = (1 cos g) (1 + cos g), ezért: 1 S = a b ( 1 cos γ)( 1+ cos γ) = = + + ab. a b c a b c 1 1 = 4 ab ab = ab. ab a b c. ab a b c = 4 ab ab 1 = ( c ( a b))(( a+ b) c ) = 16 c = a + b. c + a b. a + b c. a + b + c = ( a = + b + c) a. ( a + b + c) b. ( a + b + c) c. a + b + c = p a =. p b. p c. p = p( p a)( p b)( p c). Innen következik: S = p( p a)( p b)( p c) tétel. z a, b és c oldalú háromszög S területe a következő képlettel is meghatározható S = abc, 4 R ahol R a háromszög köré írt kör sugara. izonyítás: Vizsgáljuk meg az C háromszöget, melynek területe S, oldalai C = a, C = b, = c. ebizonyítjuk, hogy S = abc, ahol R a háromszög köré írt körvonal sugara. 4 R Legyen = α. Felírjuk a háromszög területképletét: S = 1 bc sin α. 3. pont lemmájából következik, hogy sin α= a. R 1 1 a abc Ekkor S = bcsin α = bc. =. R 4R

38 HÁROMSZÖGEK MEGOLDÁS bebizonyított tantétel lehetőséget ad a háromszög köré írt kör sugarának meghatározására R abc = 4S 5.4. tétel. háromszög területe egyenlő a fél kerületének és a beírt körvonal sugarának szorzatával. izonyítás: z 5.3. ábrán az C háromszög látható, amelybe egy r sugarú körvonal van írva. ebizonyítjuk, hogy N M S = pr, O ahol S az adott háromszög területe, p a P C kerületének fele. Legyen az O pont a beírt kör középpontja, amely az M, N és P pontokban 5.3. ábra érinti az C háromszög oldalait. z C háromszög területe egyenlő az O, OC, és CO területeinek összegével: S = S O + S OC + S CO. Meghúzzuk az érintési pontokhoz a sugarakat. zt kapjuk, hogy OM, ON C, OP C. Innen: S = 1 O OM. = 1 r. ; S = 1 OC ON. C = 1 r. C; S = 1 CO OP. C = 1 r. C. 1 C C Tehát S = r r. C+ r. C = r. = pr. z 5.4. tételt általánosítja a következő tétel tétel. kör köré írt sokszög területe egyenlő a fél kerü letének és a beírt körvonal sugarának szorzatával. izonyítsátok be önállóan ezt a tételt (5.4. ábra). Megjegyezzük, hogy az 5.5. tétel segítségével meghatározhatjuk a sokszögbe írt körvonal sugarát r S = p 5.4. ábra

39 5. háromszög területének meghatározására szolgáló képletek 39 1.feladat. izonyítsátok be, hogy a paralelogramma S területe meghatározható az alábbi képlettel a S = ab sin a, α ahol a és b a paralelogramma szomszédos oldalainak hossza, α a köztük lévő szög. b Megoldás. Vizsgáljuk meg az CD 5.5. ábra paralelogrammát, melyben = a, D = b, D = α (5.5. ábra). Meghúzzuk a D átlót. Mivel az D = CD, ezért felírhatjuk: SCD = SD =. 1 ab sinα = ab sin α. D C.feladat. izonyítsátok be, hogy a domború négyszög területe az átlói és a köztük lévő szög szinusza szorzatának felével egyenlő. C Megoldás. Legyen az CD négyszög C és D átlói közötti szög ϕ. z 5.6. ábrán O = ϕ. Ekkor a OC = OD = 180 ϕ és ϕ O a COD = ϕ. Vagyis: S CD = S O + S OC + S COD + S DO = D 1 1 = O. O.sin ϕ+ O. OC.sin( 180 ϕ) ábra OC. OD.sin ϕ+ OD. O.sin( 180 ϕ) = 1 1 = O ( O + OC). sin ϕ+ OD ( OC + O). sin ϕ = = O. C.sin ϕ+ OD. C.sin ϕ = C ( O + OD). sin ϕ = = 1 C. D.sin ϕ. 3.feladat. háromszög oldalai 17 cm, 65 cm és 80 cm. Határozzátok meg a háromszög legkisebb magasságát, valamint a beírt és a körülírt körök sugarait! Megoldás. Legyen a = 17 cm, b = 65 cm, c = 80 cm Meghatározzuk a háromszög félkerületét: p = = 81 (cm). háromszög területét Hérón képletével számítjuk ki: S = p( p a)( p b)( p c) = 81( 81 17)( 81 65)( 81 80) = = = = 88 (cm ).

40 HÁROMSZÖGEK MEGOLDÁS háromszög legkisebb magassága a c hosszúságú oldalra bocsátott magasság lesz. Ez az oldal a háromszög legnagyobb oldala. Mivel S = 1 S. 88 ch c, ezért h c = = = 7, (cm). c 80 S 88 beírt kör sugara r = = = p (cm). körülírt kör sugara R abc = = = = 4S (cm). Felelet: 7, cm, cm, cm. 9 7? 1. Hogyan lehet meghatározni a háromszög területét, ha ismert két oldala és az általuk bezárt szöge?. Írjátok fel a háromszög területének kiszámítására szolgáló Hérón-képletet! 3. Hogyan lehet meghatározni a háromszög területét, ha ismertek az a, b és c oldalai és a körülírt kör R sugara? 4. Hogyan lehet meghatározni a háromszög köré írt kör sugarát, ha ismert a háromszög területe és az oldalai? 5. Hogyan lehet meghatározni a háromszög területét, ha ismert a félkerülete és a beírt kör sugara? 6. Hogyan lehet meghatározni a háromszög beírt körének sugarát, ha ismert a háromszög területe és az oldalai? 7. Mivel egyenlő a kör köré írt sokszög területe? GYKORLTOK 5.1. Határozzátok meg az C háromszög területét, ha: 1) = 1 cm, C = 9 cm, = 30 ; ) C = 3 cm, C = 6 cm, C = 135! 5.. Határozzátok meg a DEF háromszög területét, ha: 1) DE = 7 cm, DF = 8 cm, D = 60 ; ) DE = 10 cm, EF = 6 cm, E = 150! 5.3. z MKN háromszög területe 75 cm. Határozzátok meg az MK oldal hosszát, ha KN = 15 cm, K = 30!

41 5. háromszög területének meghatározására szolgáló képletek Határozzátok meg az C háromszög adott oldalai közötti szöget, ha: 1) = 1 cm, C = 10 cm, a háromszög területe pedig 30 3 cm ; ) = 14 cm, C = 8 cm, a háromszög területe pedig 56 cm! 5.5. z C háromszög területe 18 cm. dott, hogy C = 8 cm, C = 9 cm. Határozzátok meg a C szög fokmértékét! 5.6. Határozzátok meg az egyenlő szárú háromszög területét, ha a szára 16 cm és az alapnál lévő szöge 15! 5.7. Határozzátok meg a háromszög területét, ha oldalai: 1) 13 cm, 14 cm, 15 cm; ) cm, 3 cm, 4 cm! 5.8. Határozzátok meg a háromszög területét, ha oldalai: 1) 9 cm, 10 cm, 17 cm; ) 4 cm, 5 cm, 7 cm! 5.9. Határozzátok meg a háromszög legkisebb magasságát, ha oldalainak hossza 13 cm, 0 cm és 1 cm! Határozzátok meg a háromszög legnagyobb magasságát, ha oldalainak hossza 11 cm, 5 cm és 30 cm! háromszög kerülete 3 cm, a beírt kör sugara 1,5 cm. Határozzátok meg a háromszög területét! 5.1. háromszög területe 84 cm, a kerülete 7 cm. Határozzátok meg a beírt kör sugarát! Határozzátok meg a beírt és a körülírt kör sugarait, ha a háromszög oldalai: 1) 5 cm, 5 cm és 6 cm; ) 5 cm, 9 cm és 36 cm! Határozzátok meg a beírt és a körülírt kör sugarait, ha a háromszög oldalai 6 cm, 5 cm és 9 cm! Határozzátok meg a paralelogramma területét, ha oldalai a és b valamint a köztük lévő szög α, ha: 1) a = 5 cm, b = 9 cm, a = 45 ; ) a = 10 cm, b = 18 cm, a = 150! Mivel egyenlő annak a paralelogrammának a területe, melynek oldalai 7 cm és 1 cm, az egyik szöge pedig 10? Határozzátok meg a rombusz területét, ha oldala 9 3 cm és szöge 60! domború négyszög átlói 8 cm és 1 cm, a köztük lévő szög pedig 30. Határozzátok meg a négyszög területét! Határozzátok meg a domború négyszög területét, ha átlói 3 3 cm és 4 cm, a köztük lévő szög pedig 60! 5.0. Határozzátok meg az egyenlő szárú háromszög szárát, ha területe 36 cm, a szárszöge pedig 30!

42 4 1.. HÁROMSZÖGEK MEGOLDÁS 5.1. Két adott oldallal rendelkező háromszög közül, melyiknek lesz nagyobb a területe? 5.. Lehet-e a 4 cm és 6 cm-es oldalakkal rendelkező háromszögnek a területe: 1) 6 cm ; ) 14 cm ; 3) 1 cm? 5.3. paralelogramma két szomszédos oldala megfelelően egyenlő a téglalap két szomszédos oldalával. Mivel egyenlő a paralelogramma hegyesszöge, ha a területe kétszer kisebb a téglalap területénél? 5.4. Határozzátok meg az 5.7. ábrán lévő S 1 és S területű háromszögek területeinek arányát (a szakaszok hossza centiméterben van megadva)! 3 1 S S S 1 S S 4 1 a b c 5.7. ábra S z D szakasz az C háromszög szögfelezője. z D háromszög területe 1 cm, az CD háromszögé pedig 0 cm. Határozzátok meg az és C oldalak arányát! 5.6. Határozzátok meg a háromszög területét, melynek oldala a, és a rajta fekvő két szöge β és γ! 5.7. háromszög köré írt kör sugara R. háromszög két szöge α és β. Határozzátok meg a háromszög területét! 5.8. z C háromszögben adott, hogy C = b, = α, = β. Határozzátok meg a háromszög területét! 5.9. z C háromszögben az egyenlő α-val, a D és CE magasságok pedig megfelelően h 1 és h. Határozzátok meg az C háromszög területét! z C háromszög magassága M, M = h, = α, C = β. Határozzátok meg az C háromszög területét! háromszögbe, melynek oldalai 17 cm, 5 cm és 8 cm, egy olyan kör van írva, melynek középpontja össze van kötve a háromszög csúcsaival. Határozzátok meg a keletkezett háromszögek területeit! 5.3. z C háromszögben az D szakasz szögfelező, = 6 cm, C = 8 cm, C = 10. Határozzátok meg az D szögfelező hosszát!

43 5. háromszög területének meghatározására szolgáló képletek Határozzátok meg annak a trapéznak a területét, melynek alapjai 10 cm és 50 cm, szárai pedig 13 cm és 17 cm! Határozzátok meg annak a trapéznak a területét, melynek alapjai 4 cm és 5 cm, átlói pedig 7 cm és 8 cm! M és CK szakaszok az C háromszög magasságai, = 45. Határozzátok az MK és C háromszögek területeinek arányát! háromszög oldalai 39 cm, 41 cm és 50 cm. Határozzátok meg annak a körnek a sugarát, melynek középpontja a háromszög legnagyobb oldalára illeszkedik, és a másik két oldalát a körvonal érinti! háromszög csúcsait összekötötték a beírt kör középpontjával. Ezek a szakaszok az adott háromszöget olyan háromszögekre bontják, melyek területei 6 cm, 8 cm és 30 cm. Határozzátok meg az adott háromszög oldalait! izonyítsátok be, hogy = 1, ahol a h h1 h h3 r 1, h és h 3 a háromszög magasságainak hossza, r pedig a beírt kör sugara! ISMÉTLŐ GYKORLTOK téglalap csúcsából az átlóra bocsátott merőleges a szöget 4 : 5 arányban osztja. Határozzátok meg a merőleges és a másik átló közötti szöget! z CD trapéz (C D) MK középvonala 56 cm. z oldal M felezőpontján át a CD oldallal párhuzamos egyenest fektettek, amely az D alapot E pontban úgy osztja fel, hogy E : ED = 5 : 8. Határozzátok meg a trapéz alapjait! z C háromszögben a CD szakasz szögfelező. D ponton át az C egyenessel párhuzamos egyenest fektettek, amely a C oldalt az E pontban metszi. Határozzátok meg a DE szakasz hosszát, ha C = 16 cm, C = 4 cm! FELKÉSZÜLTÜNK Z ÓRÁKHOZ 5.4. Határozzátok meg a domború hétszög szögeinek összegét! Létezik-e olyan domború sokszög, mely szögeinek összege: 1) 1080 ; ) 100? Létezik-e olyan sokszög, melynek minden szöge: 1) 7 ; ) 171?

44 HÁROMSZÖGEK MEGOLDÁS Igaz-e az állítás (magyarázzátok meg a választ): 1) ha a körbe írt sokszög minden oldala egyenlő, akkor szögei szintén egyenlők; ) ha a körbe írt sokszög minden szöge egyenlő, akkor oldalai szintén egyenlők; 3) ha a kör köré írt sokszög minden oldala egyenlő, akkor szögei szintén egyenlők; 4) ha a kör köré írt sokszög minden szöge egyenlő, akkor oldalai szintén egyenlők? FIGYELD MEG, RJZOLD LE, SZERKESZD MEG, KÉPZELD EL! dott egy négyzetrácsos négyzet. Mindegyik négyzet vagy feketére vagy fehérre van festve. Egyszerre át lehet olyan színre festeni egy oszlopot vagy egy sort, amelyik színű négyzetből az adott oszlopban vagy sorban eredetileg több volt, mint a másik színű négyzetből. Mindig el lehet-e így érni, hogy az összes négyzet egyszínű legyen? HÁROMSZÖGET KÍVÜLRŐL ÉRINTŐ KÖRVONLK Meghúzzuk az C háromszög két külső és C szögének a szögfelezőit (5.8. ábra). Legyen ezen szögfelezők metszéspontja O. Ekkor az O pont egyenlő távolságra lesz az, C és C egyenesektől. Meghúzunk három merőlegest: OM, OK C, ON C. Érthető, hogy OM = OK = ON. Tehát létezik egy O középpontú körvonal, amely érinti a háromszög oldalát, és a másik két oldal meghosszabbítását. z ilyen körvonalat az C háromszög kívülről érintő körének vagy a háromszög hozzáírt körének nevezzük (5.8. ábra). Mivel OM = ON, ezért az O pont az C szög szögfelezőjére illeszkedik. ármely háromszög három kívülről érintő körvonallal rendelkezik. z 5.9. ábrán ezeknek a köröknek a középpontjait O, O és O C -val, a hozzájuk tartozó körvonalak sugarait pedig r a, r b és r c -vel jelölték. körhöz egy pontból húzott érintők tulajdonsága alapján kapjuk, hogy CK = CN, K = M (5.8. ábra). Ekkor C = CN + M. Tehát az C háromszög kerülete egyenlő a M + CN összeggel. De a M = N. Ekkor a M = N = p, ahol a p az C háromszög félkerülete.

45 háromszöget kívülről érintő körvonalak 45 M K C O C O N C O O 5.8. ábra 5.9. ábra Innen a következőt kapjuk: 1 SC = SO + SOC SOC = OM. 1 + ON. 1 C OK. C = 1 a+ b+ c b p b = rb ( c+ a b) = r. b = r. b = rb ( p b). S dódik, hogy r b =, ahol S az C háromszög területe. p b S Hasonlóan be lehet bizonyítani, hogy r a = p a, r S c = p c. GYKORLTOK 1. izonyítsátok be, hogy 1 = , ahol az r az C háromszögbe r ra rb rc írt körvonal sugara!. izonyítsátok be, hogy a derékszögű háromszög S területét ki lehet számítani az S = r c r képlettel, ahol r c a derékszögű háromszöget kívülről érintő körvonal sugara, amely az átfogót érinti, r az adott háromszögbe írt kör sugara! 3. z a oldalú egyenlő oldalú háromszögbe kör van írva. körhöz olyan érintő van húzva, melynek a háromszögön belüli szakaszának hossza b-vel egyenlő. Határozzátok meg annak a háromszögnek a területét, melyet ez az érintő lemetsz az egyenlő oldalú háromszögből!

46 HÁROMSZÖGEK MEGOLDÁS 4. z CD négyszög D átlója merőleges az D oldallal, DC = 135, D = CD = 60. izonyítsátok be, hogy az C átló a D szög szögfelezője lesz! Útmutatás. izonyítsátok be, hogy a C pont az D háromszöget kívülről érintő körvonal középpontja! 5. z C háromszög szöge 10. z N, CF és K szakaszok az C háromszög szögfelezői. izonyítsátok be, hogy az NKF szög értéke 90! Útmutatás. z oldal -n túli meghosszabbításán jelöljünk egy M pontot. Ekkor az MC = KC = 60, vagyis a C félegyenes az K háromszög MK külső szögének a szögfelezője. Ebből következik, hogy az N pont az K háromszöget kívülről érintő körének középpontja. Hasonlóan bizonyítható, hogy az F pont CK háromszöget kívülről érintő körének középpontja. 6. z CD négyzet oldala 1 cm. z és C oldalakon megfelelően jelöltek egy M és N pontot úgy, hogy az MN háromszög kerülete cm legyen. Határozzátok meg az MDN szög mértékét! Útmutatás. izonyítsátok be, hogy a D pont az MN háromszöget kívülről érintő körének középpontja lesz!

47 1. sz. feladatsor. Önellenőrzés teszt formájában SZ. FELDTSOR. ÖNELLENŐRZÉS TESZT FORMÁJÁN 1. Melyik igaz az alábbi egyenlőségek közül? ) cos (180 α) = sin α; ) cos (180 α) = cos α; C) sin (180 α) = cos α; D) sin (180 α) = sin α.. Melyik igaz az alábbi egyenlőtlenségek közül? ) sin 100 cos 110 > 0; ) sin 100 cos 10 < 0; C) sin 100 cos 110 < 0; D) sin 100 cos 90 > Határozzátok meg a háromszög harmadik oldalát, ha két oldala 3 cm és 8 cm, a köztük lévő szöge pedig 10! А) 97 cm; ) 7 cm; C) 9 cm; D) 3 cm. 4. Milyen az a szög, amely a háromszög legnagyobb oldalával szemközt fekszik, ha az oldalai 4 cm, 7 cm és 9 cm? ) hegyes; ) tompa; C) derék; D) nem lehet megállapítani. 5. háromszög két oldala közötti szög 60, ezek közül az egyik oldala 10 cm-rel nagyobb a másiknál, a harmadik oldala pedig 14 cm. Milyen hosszú a háromszög legnagyobb oldala? А) 16 cm; ) 14 cm; C) 18 cm; D) 15 cm. 6. paralelogramma átlói 17 cm és 19 cm, oldalainak aránya pedig : 3. Mivel egyenlő a paralelogramma területe? А) 5 cm; ) 30 cm; C) 40 cm; D) 50 cm. 7. z C háromszögben adott, hogy = 8 cm, C = 30, = 45. Határozzátok meg a C oldal hosszát! А) 8 cm; ) 4 cm; C) 16 cm; D) 1 cm. 8. Mivel egyenlő az C háromszögben az C : C oldalak aránya, ha = 10, = 30? А) 3 ; ) 3; C) 3 3 ; D) 3.

48 HÁROMSZÖGEK MEGOLDÁS 9. z C háromszögben adott, hogy = 4 cm, C = 135. Határozzátok meg a háromszög köré írt körvonal átmérőjét! А) 4 cm; ) 8 cm; C) 16 cm; D) cm. 10. Legfeljebb mekkora lehet annak a háromszögnek a területe, melynek oldalai 8 cm és 1 cm? А) 96 cm ; ) 48 cm ; C) 4 cm ; D) nem lehet megállapítani. 11. Határozzátok meg a háromszögbe írt és körülírt körvonalak sugarainak összegét, ha a háromszög oldalai 5 cm, 33 cm és 5 cm! А) 36 cm; ) 30 cm; C) 3,5 cm; D) 38,5 cm. 1. háromszög két oldalának hossza 11 cm és 3 cm, a harmadik oldalhoz húzott súlyvonala pedig 10 cm. Határozzátok meg a háromszög ismeretlen oldalát! А) 15 cm; ) 30 cm; C) 5 cm; D) 0 cm.

49 ! z 1. paragrafus összefoglalása Z 1. PRGRFUS ÖSSZEFOGLLÁS Koszinusz és szinusz z α ( 0 mα m180 ), szög koszinuszának és szinuszának az egységfélkörön lévő, az α szögnek megfelelő M pont abszcisszáját és ordinátáját nevezzük. Tangens z α, ahol 0 mα m180 és α 90, a szög tangensének a sin α. arányt nevezzük. cos α koszinusztétel háromszög oldalának négyzetét megkapjuk, ha a másik két oldal négyzetének összegéből kivonjuk a két oldal és az általuk bezárt szög koszinuszának kétszeres szorzatát: a = b + c bc cos a. koszinusztétel következménye Legyen a, b és c a háromszög oldalainak hossza, melyek közül az a oldal a leghosszabb. Ha a < b + c, akkor a háromszög hegyesszögű lesz, ha a > b + c, akkor tompaszögű, ha pedig a = b + c, akkor az adott háromszög derékszögű lesz. körvonal húrjáról szóló lemma körvonal húrja egyenlő az átmérőjének és a neki megfelelő kerületi szög szinuszának szorzatával. szinusztétel háromszögek oldalai arányosak a szemben lévő szögek szinuszával: a b c = = sinα sin β sin γ. háromszög területének meghatározására szolgáló képletek S = 1 ab sin γ Hérón képlete: S = p( p a)( p b)( p c) S = abc 4R S = pr 49

50 HÁROMSZÖGEK MEGOLDÁS háromszögbe írt körvonal sugarának képlete S r = p háromszög köré írt körvonal sugarának képlete a R = sin α R abc = 4S kör köré írt sokszög területe kör köré írt sokszög területe egyenlő a fél kerületének és a beírt kör sugarának szorzatával.

51 SZÁLYOS.. SOKSZÖGEK Ebből a paragrafusól megtudjátok, milyenek a szabályos sokszögek. Megtudjátok azt is, hogyan lehet körző és vonalzó segítségével megszerkeszteni néhányat közülük. Megtanuljátok meghatározni a szabályos sokszögbe és köré írt körvonalak sugarát, a körív hosszát, a körcikk és a körszelet területét. 6. Szabályos sokszögek és ezek tulajdonságai Meghatározás. sokszöget szabályosnak nevezzük, ha minden oldala és minden szöge egyenlő. Már néhány szabályos sokszöggel találkoztatok: az egyenlő oldalú háromszög az egy szabályos háromszög, a négyzet pedig egy szabályos négyszög ábrán szabályos ötszög és nyolcszög látható. Megismerkedünk néhány olyan tulajdonsággal, amely minden szabályos n-szögre érvényes ábra 6.1. tétel. szabályos sokszög domború sokszög lesz. tétel bizonyítása a oldalakon található. szabályos n-szög mindegyik szöge 180 ( n ).-nel egyenlő. Valóban, a domború n-szög szögeinek összege egyenlő 180 (n ), és mivel n minden szöge ugyanakkora, ezért mindegyik szöge 180 ( n ). n szabályos háromszögben van olyan pont, amely egyenlő távolságra van mindegyik csúcsától és oldalától. Ez a pont a szabályos háromszög szögfelezőinek metszéspontja. négyzet átlóinak metszéspontjára is igaz ez a tulajdonság. zt, hogy bármilyen szabályos sokszögben van olyan pont, amely egyenlő távolságra van a csúcsaitól és az oldalaitól, a következő tétel igazolja.

52 5.. SZÁLYOS SOKSZÖGEK 6.. tétel. ármilyen szabályos sokszög egyszerre lesz körbe írt és kör köré írt is, és a beírt és körülírt körvonalainak középpontjai egybeesnek. izonyítás. 6.. ábrán egy szabályos 1 3 n sokszög látható. ebizonyítjuk, hogy bele is és köré is körvonal írható. Meghúzzuk az 1 és szögek szögfelezőit. Legyen az O pont ezek metszéspontja. z O pontot összekötjük az 3 ponttal. Mivel az O 1 és az O 3 háromszögekben a. és 3. szögek egyenlők, 1 = 3 és O a közös oldaluk, ezért ezek a háromszögek egybevágóak lesznek a háromszögek egybevágóságának első ismertetőjele alapján. Ezenkívül az 1. és. szögek egyenlők, mint az egyenlő szögek félszögei. Innen következik, hogy az O 1 egyenlő szárú háromszög lesz, tehát az O 3 háromszög szintén egyenlő szárú. Ezért O 1 = O = O 3. Összekötve az O pontot az 4, 5,, n-1, n pontokkal, hasonlóan be lehet bizonyítani, hogy O 3 = O 4 = = O n-1 = O. n Tehát az 1 3 n sokszögben létezik egy pont, amely egyenlő távolságra van mindegyik csúcstól. Ez az O pont, amely a sokszög köré írt körvonal középpontja. Mivel az O 1, O 3, O 3 4,, O n-1 n, O n 1, egyenlő szárú háromszögek egybevágóak, ezért az O pontból húzott magasságaik is egyenlők. Innen levonhatjuk azt a következtetést, hogy az O pont egyenlő távolságra lesz a sokszög minden oldalától. Tehát az O pont a sokszögbe írt körvonal középpontja. zt a pontot, amely a szabályos sokszög beírt körének és a körülírt körének a középpontja, a szabályos sokszög középpontjának nevezzük ábrán a szabályos n-szög egy része látható, melynek az O pont a középpontja és az a n hosszúságú oldala. z O szöget a szabá- 4 3 O 3 1 O n 1 1 n 6.. ábra 6.3. ábra

53 6. Szabályos sokszögek és ezek tulajdonságai 53 lyos sokszög középponti szögének nevezzük. Érthető, hogy 360 O =. n z O háromszögben meghúzzuk az OM magasságot. Ekkor 180 a OM = OM =, M = M = n. z OM háromszögből kap- n M an juk, hogy O = = sin OM 180 és OM M an = = tg OM 180. sin tg n n z O és OM szakaszok a szabályos n-szög körülírt és beírt körének sugarai. Ha ezek hosszát megfelelően R n és r n -nel jelöljük, akkor az eredmények a következő képletekkel írhatók fel: R n an = 180 sin n r n an = 180 tg n Ha a képletekbe az n helyett behelyettesítjük a 3, 4, 6 számokat, akkor megkapjuk a szabályos a oldalú háromszög, négyszög és hatszög beírt és körülírt körei sugarainak képletét. szabályos n-oldalú sokszög oldalainak száma n = 3 n = 4 n = 6 körülírt kör sugara R 3 a 3 = R 3 4 a = R 6 = a beírt kör sugara r 3 a 3 = r 6 4 a = r 6 a 3 = kapott eredményekből az következik, hogy a szabályos hatszög oldala egyenlő a körülírt körének sugarával. Ennek ismeretében felírhatjuk a szabályos hatszög szerkesztésének algoritmusát: a körvonal bármely M pontjából egymás után sorba rá kell mérni a körvonalra a sugárral egyenlő íveket (6.4. ábra). Így megkapjuk a szabályos hatszög csúcsait. M 6.4. ábra

54 54.. SZÁLYOS SOKSZÖGEK D 6.5. ábra 6.6. ábra szabályos hatszög minden második csúcsának összekötésével szabályos háromszöget kapunk (6.5. ábra). Szabályos négyszög szerkesztéséhez elegendő két, C és D egymásra merőleges átmérőt meghúzni (6.6. ábra). Ekkor az CD négyszög négyzet lesz (bizonyítsátok be önállóan). Egy szabályos n-szög megszerkesztése után könnyen megszerkeszthetjük a szabályos n-szöget is. Ehhez meg kell határozni az n-szög minden oldalának felezőpontját, majd ezeken a felezőpontokon keresztül meghúzni a körülírt körvonal sugarait. Ekkor a sugarak végpontjai és az adott n-szög csúcsai a szabályos n-szög csúcsai lesznek és a 6.8. ábrák a szabályos 8-szög és 1-szög szerkesztését szemléltetik. C 6.7. ábra 6.8. ábra 1. feladat. Létezik-e olyan szabályos sokszög, melynek szöge: 1) 155 ; ) 177? Ha a válaszotok igen, akkor nevezzétek meg a sokszög típusát! 1) Legyen n a keresett szabályos sokszög oldalainak száma. Egyrészt a sokszög szögeinek összege 180 (n ). Másrészt viszont 155 n. Tehát 180 (n ) = 155 n; 5 n = 360 ; n = 14,4. Mivel n-nek természetes számnak kell lennie, ilyen szabályos háromszög nem létezik.

55 6. Szabályos sokszögek és ezek tulajdonságai 55 ) 180 (n ) = 177 n; 180 n 360 = 177 n; n = 10. Felelet: 1) nem létezik; ) létezik, ez a szabályos sokszög százhúszszög lesz..feladat. körbe egy szabályos háromszög van írva, melynek oldala 18 cm. Határozzátok meg annak a szabályos hatszögnek az oldalát, amely az adott kör köré van írva! Megoldás. szabályos háromszög köré írt kör sugara az a 3 R3 =, képlettel számolható ki, ahol az a a háromszög oldala (6.9. ábra). Tehát R 3 = = (cm). feladat feltétele szerint a szabályos hatszögbe írt kör sugara egyenlő a szabályos háromszög köré írt kör sugarával, vagyis b 3 r6 = R3 = 6 3 cm. Mivel r6 =, ahol b a szabályos hatszög oldalának hossza, ezért r b = = = 1 (cm). 3 3 Felelet: 1 cm. b a 6.9. ábra? 1. Milyen sokszöget nevezünk szabályosnak?. Hogyan nevezik másképpen a szabályos háromszöget? 3. Hogyan nevezik másképpen a szabályos négyszöget? 4. Milyen szabályos sokszög köré lehet kört írni? 5. Milyen szabályos sokszögbe lehet kört írni? 6. Hogyan helyezkedik el a szabályos sokszögbe írt körvonal középpontja a szabályos sokszög köré írt kör középpontjához képest? 7. Mit nevezünk a szabályos sokszög középpontjának? 8. Írjátok fel a szabályos sokszögbe írt körvonal és a szabályos sokszög köré írt kör sugarainak képletét az n-szögre, a háromszögre, a négyszögre, a hatszögre! 9. Írjátok le a szabályos hatszög szerkesztésének folyamatát! 10. Írjátok le a szabályos négyszög szerkesztésének folyamatát! 11. Hogyan lehet megszerkeszteni egy szabályos n-szöget egy szabályos n-szög alapján?

56 56.. SZÁLYOS SOKSZÖGEK GYKORLTI FELDTOK 6.1. Rajzoljatok egy körvonalat, melynek sugara 3 cm! Szerkesszetek ebbe a körbe írt: 1) szabályos hatszöget; ) szabályos háromszöget; 3) szabályos tizenkétszöget! 6.. Rajzoljatok egy körvonalat, melynek sugara,5 cm! Szerkesszetek ebbe a körbe írt: 1) szabályos négyszöget; ) szabályos nyolcszöget! GYKORLTOK 6.3. Határozzátok meg a szabályos n-szög szögeit, ha: 1) n = 6; ) n = 9; 3) n = 15! 6.4. Határozzátok meg szögeit a szabályos: 1) nyolcszögnek; ) tízszögnek! 6.5. Hány oldala van a szabályos sokszögnek, ha a szöge egyenlő: 1) 160 -kal; ) 171 -kal? 6.6. Hány oldala van a szabályos sokszögnek, ha a szögei egyenlők: 1) 108 -kal; ) 175 -kal? 6.7. Létezik-e olyan szabályos sokszög, melynek szögei egyenlők: 1) 140 -kal; ) 130 -kal? 6.8. Hány oldalú a szabályos sokszög, ha szögének mellékszöge 1 -de a sokszög szögének? Állapítsátok meg a szabályos sokszög oldalainak számát, ha a szöge 168 -kal nagyobb a mellékszögénél! Hány oldala van a körbe írt szabályos sokszögnek, ha az oldalán lévő körív fokmértéke: 1) 90 ; ) 4? Határozzátok meg a szabályos sokszög oldalainak számát, ha az oldalára támaszkodó középponti szög: 1) 10 ; ) 7!

57 6. Szabályos sokszögek és ezek tulajdonságai Legyen a a szabályos háromszög oldalának hossza, R és r pedig megfelelően a körülírt és a beírt körének sugarai. Töltsétek ki a táblázatot (az adatok cm-ben vannak megadva)! a R r Legyen a a négyzet oldalának hossza, R és r pedig megfelelően a körülírt és a beírt körének sugarai. Töltsétek ki a táblázatot (az adatok cm-ben vannak megadva)! a R r szabályos háromszög magassága 15 cm. Mivel egyenlő a: 1) körülírt kör; ) beírt kör sugara? négyzet átlója 6 cm. Mivel egyenlő a: 1) körülírt kör; ) beírt kör sugara? kör sugara 1 cm-rel egyenlő. Határozzátok meg a beírt sokszög oldalát a szabályos: 1) hatszögnek; ) tizenkétszögnek! kör sugara 8 3 cm. Határozzátok meg a kör köré írt szabályos hatszög oldalát! izonyítsátok be, hogy a szabályos háromszög köré írt kör sugara kétszer nagyobb a háromszögbe írt kör sugaránál! szabályos háromszög köré írt kör sugara 4 cm-rel nagyobb a beírt kör sugaránál. Határozzátok meg a háromszögbe írt és a körülírt kör sugarát, valamint a háromszög oldalát!

58 58.. SZÁLYOS SOKSZÖGEK 6.0. szabályos sokszög oldala a, a köré írt kör sugara R. Határozzátok meg a beírt kör sugarát! 6.1. szabályos sokszög beírt és körülírt körének sugara r és R. Határozzátok meg a sokszög oldalát! 6.. szabályos sokszög oldala a, a beírt kör sugara pedig r. Határozzátok meg a körülírt kör sugarát! 6.3. kör köré írt szabályos hatszög oldala 4 3 cm. Határozzátok meg ebbe a körbe írt négyzetnek az oldalát! 6.4. körbe egy 6 cm oldalú négyzetet írtak. Határozzátok meg a kör köré írt szabályos háromszög oldalát! 6.5. kör átmérője 16 cm. Ki lehet-e ebből a körből egy 1 cm-es oldalú négyzetet vágni? 6.6. Legalább mekkora annak a rönknek az átmérője, melyből egy olyan gerenda készíthető, melynek keresztmetszete egy 15 cm-es oldalú szabályos háromszög? 6.7. Legalább mekkora annak a rönknek az átmérője, melyből olyan gerenda készíthető, melynek keresztmetszete egy 14 cm-es oldalú négyzet? 6.8. Hány oldalú az a szabályos sokszög, melynek szöge 36 -kal nagyobb, mint az oldalának megfelelő középponti szöge? 6.9. szabályos sokszögbe írt körvonal szomszédos érintési pontjaihoz húzott sugarak közötti szög 0 -os. Határozzátok meg a sokszög oldalainak számát! izonyítsátok be, hogy a szabályos ötszög minden átmérője egymással egyenlő! izonyítsátok be, hogy a szabályos ötszög minden átmérője párhuzamos valamelyik oldalával! 6.3. Két egymást metsző körvonal közös húrja az egyik körbe írt szabályos háromszög oldala, és a másik körbe írt négyzet oldala lesz. Ennek a húrnak a hossza a. Határozzátok meg a körök középpontjai közötti távolságot, ha: 1) a húr különböző oldalain helyezkednek el; ) a húr egyik oldalán vannak! Két egymást metsző körvonal közös húrja az egyik körbe írt szabályos háromszög oldala, és a másik körbe írt szabályos hatszög oldala lesz. Ennek a húrnak a hossza a. Határozzátok meg a körök középpontjai közötti távolságot, ha:

59 6. Szabályos sokszögek és ezek tulajdonságai 59 1) a húr különböző oldalain helyezkednek el; ) ha a húr egyik oldalán vannak! körbe egy szabályos háromszöget írtak és köré is írtak egy szabályos háromszöget. Határozzátok meg a háromszögek oldalainak arányát! körbe egy szabályos hatszöget írtak és köré is írtak egy szabályos hatszöget. Határozzátok meg a hatszögek oldalainak arányát! izonyítsátok be, hogy a szabályos nyolcszög oldala R, ahol R a köré írt kör sugara! izonyítsátok be, hogy a szabályos tizenkétszög oldala R 3, ahol R a köré írt kör sugara! Mekkora a villáskulcs pofanyílása (6.10. ábra), ha a csavar éle 5 mm, a csavar és a kulcspofa közötti távolság 0,5 mm? 5 0, ábra Határozzátok meg a szabályos nyolcszög területét, ha a köré írt kör sugara R! Határozzátok meg a szabályos hatszög átlóit és területét, ha az oldala a! cm-es négyzet szögeit úgy vágták le, hogy szabályos nyolcszöget kaptak. Határozzátok meg a keletkezett nyolcszög oldalát! cm-es szabályos háromszög szögeit úgy vágták le, hogy szabályos hatszöget kaptak. Határozzátok meg a keletkezett hatszög oldalát! Határozzátok meg az a oldalú szabályos nyolcszög átlóit! z a oldalú szabályos tizenkétszögben egymás után összekötötték minden második oldalának a felezőpontját. Határozzátok meg az így keletkezett szabályos hatszög oldalát!

60 60.. SZÁLYOS SOKSZÖGEK z a oldalú szabályos nyolcszögben egymás után összekötötték minden második oldalának a felezőpontját. Határozzátok meg az így keletkezett négyzet oldalát! * Milyen szabályos sokszög alakúnak kell lennie a parkettának, hogy lerakható legyen a padló? * dott egy szabályos hatszög, melynek oldala 1 cm. Csak vonalzót alkalmazva szerkesszetek egy 7 cm-es szakaszt! ISMÉTLŐ GYKORLTOK kör 5 egyenlő ívre van osztva: = C = CD = DE = E. Határozzátok meg a következő szögek mértékét: 1) C ; ) D ; 3) E ; 4) CD ; 5) DE z csúcsú szög egyik szárán és C pontokat jelöltek (a pont az és C pontok között fekszik), a másik szárán pedig D és E (a D pont pedig az és E pontok között), az = 8 cm, C = 8 cm, D = 4 cm, E = 4 cm, E = 1 cm. Határozzátok meg a CD szakasz hosszát! z egyenlő szárú tompszögű háromszög alapja 4 cm, a köré írt kör sugara pedig 13 cm. Határozzátok meg a háromszög területét! z ponton keresztül a körhöz két érintőt húztak. z pont és az érintési pont között a távolság 1 cm, az érintési pontok között pedig 14,4 cm. Határozzátok meg a kör sugarát! SZÁLYOS n-szögek SZERKESZTÉSÉRŐL ebizonyítjuk, hogy bármilyen szabályos n-szög domború sokszög lesz. Ehhez elegendő bizonyítani, hogy legalább egy szöge kisebb, mint 180. bból, hogy a szabályos n-szögnek minden szöge egyenlő következik, hogy mindegyik kisebb, mint 180, b vagyis a sokszög domború. Megvizsgálunk egy tetszőleges sokszöget és egy a egyenest, amelynek nincs vele közös pontja (6.11. ábra). a sokszög minden csúcsából merőlegest bocsátunk az a egyenesre ábra Összehasonlítva a merőlegesek hosszát, kiválaszthatjuk azt a csúcsot, amely legkisebb távolságra van az

61 szabályos n-szögek szerkesztéséről 61 a egyenestől (ha ezekből több is van, akkor bármelyiket választhatjuk). Legyen ez az csúcs (6.11. ábra). Ezen keresztül egy b egyenest fektetünk, amely párhuzamos lesz az a egyenessel. Ekkor a sokszögnek az szöge a b egyeneshez viszonyítva egy félsíkban fekszik. Tehát < 180. Már tudtok körző és vonalzó segítségével szabályos 4-szöget szerkeszteni, ami azt jelenti, hogy már 8-szöget, 16-szöget, 3-szöget is, vagyis bármilyen n -szöget (n természetes szám, n > 1). szabályos háromszög szerkesztése lehetőséget ad szabályos 6-szög, 1-szög, 4-szög és így tovább, vagyis bármilyen 3 n -szög (n természetes szám) szerkesztésére. Szabályos sokszög szerkesztését körző és vonalzó segítségével, már az ókori görög geométerek is tanulmányozták. fentebb felsorolt szabályos sokszögeken kívül már sikeresen megbirkóztak a szabályos 5-szögek, illetve 15-szögek szerkesztésével. z ókori tudósok, akik már tudtak szabályos n-szöget szerkeszteni, ha n = 3, 4, 5, 6, 8, 10, próbálkoztak ennek a feladatnak a megoldásával, ha n = 7, 9. Ez viszont nem sikerült nekik. Több mint kétezer éven át a matematikusoknak nem sikerült ezt a problémát megoldani ban a nagy német matematikus, Carl Friedrich Gauss körző és vonalzó alkalmazásával szerkesztett szabályos 17-szöget ben Gauss bebizonyította, hogy csak körző és vonalzó alkalmazásával akkor és csakis akkor lehet szabályos n-szöget szerkeszteni, ha n = k, k N, k > 1 vagy n = k p 1 p p t, ahol k nem negatív egész szám, p 1, p,, p t különböző prímszámok, melyek m + 1, alakúak, ahol m nem negatív egész szám, melyeket Ferma prímeknek neveznek 1. Most csak öt Ferma-prímet ismernek: 3, 5, 17, 57, Gauss olyan nagy jelentőséget tulajdonított a felfedezésének, hogy végrendeletében azt kérte, 17 szög legyen a sírkövén. sírkövére nem került fel ez a rajz, azonban a braunschweigi Gauss-emlékmű egy tizenhét szögű talapzaton áll. Carl Friedrich Gauss ( ) 1 P i e r r e d e F e r m a t ( ) francia matematikus, a számelmélet egyik alapítója.

62 6.. SZÁLYOS SOKSZÖGEK 7. körvonal hossza. körlap területe 7.1. ábrán körbe írt szabályos 4-szög, 8-szög és 16-szög látható. zt vesszük észre, hogy a szabályos sokszög oldalainak növelésével a szabályos n-szög P n kerülete egyre kisebb mértékben tér el a körülírt körvonal C hosszától. fentiekre igaz az alábbi egyenlőtlenség: C P 4 > C P 8 > C P 16. szabályos sokszög oldalainak végtelen számú növelése után, az nagyon kis mértékben fog eltérni a körvonal hosszától. Ez azt jelenti, hogy C P n különbséget nagyon kicsivé lehet alakítani, például 10 6, 10 9 vagy bármilyen pozitív számnál kisebbé. a n O R a n R 7.1. ábra 7.. ábra Vizsgáljunk meg két, a n és a n oldalú szabályos n-szöget, melyek megfelelően az R és R sugarú körbe vannak írva (7.. ábra). Ekkor a P n és P n kerületeiket a következő képletekkel lehet kiszámítani: Pn = nan = n. 180 R sin, n 1 P = na = n. 80 n n R sin. n Innen Pn R P = n R. (*) Ez az egyenlőség az n (n természetes szám, n l 3) tetszőleges értékére igaz. z n értékének végtelen növelése után a P n és P n kerületek nagyon kis mértékben fognak különbözni a köré írt körvonalak C és C hosszától. Vagyis az n értékének végtelen növelése után a P n P arány n nagyon kis mértékben különbözik a C.aránytól. Figyelembe véve a (*) C

63 7. körvonal hossza. körlap területe 63 összefüggést, arra a következtetésre jutunk, hogy a R szám alig fog R különbözni a C C. szám értékétől. Ez csak akkor lehetséges, ha C R = C R vagyis C C = R R. z utolsó egyenlőség azt jelenti, hogy minden körvonal esetén a körvonal hosszának és átmérőjének aránya mindig ugyanaz a szám. 6. osztályos matematikából már tudjátok, hogy ezt a számot a görög π (így olvassuk: pi ) betűvel jelöljük. C R =π egyenlőségből megkapjuk a körvonal hosszának kiszámítására szolgáló képletet: C = pr π irracionális szám, tehát nem lehet megadni véges tizedes tört alakban. feladatok megoldása során a π-nek közelítő értékével számolunk, ami 3,14. híres ógörög tudós, rchimédesz (i. e. III. század) a szabályos 96-szög köré írt kör átmérőjén keresztül kifejezte a sokszög kerületét, 10 1 megállapítva, hogy 3 < π < 3. Innen következik, hogy π 3, korszerű számítógépek és speciális programok alkalmazásával a π értékét nagy pontossággal meg lehet határozni. emutatjuk a π tizedesvessző utáni 47 számjegyet tartalmazó közelítő értékét: π = 3, ben a π számnak kiszámították a tizedesvessző után számjegy pontossággal. Ez a tény bekerült a Guinness-rekordok könyvébe. Maga a szám nem szerepel ebben a könyvben, mert ennek leírására közel ezer oldalra lenne szükség. 017-ben a π számnak már több mint billió számjegyét határozták meg. Meghatározzuk az n -os ív hosszának kiszámítására szolgáló képletet. Mivel a teljes kör fokmértéke 360 -kal egyenlő, ezért az 1 -os ív hossza πr πr =.lesz. Tehát az n -os ív l hossza a következő képlettel adható meg: l Rn = π 180

64 64.. SZÁLYOS SOKSZÖGEK Levezetjük a körlap területének meghatározására szolgáló képletet. Újra visszatérünk a 7.1. ábrához. Látható, hogy az oldalak számának növelésével az n-szög S n területe folyamatosan közelíteni fog a körlap S területének értékéhez. z oldalak számát a végtelenhez közelítve a sokszög területe meg fogja közelíteni a körlap területét ábrán a szabályos n-szög részlete látható, melynek középpontja az O pont, oldala = a n és a körülírt kör sugara R. ocsássunk egy OM merőlegest az szakaszra. Ekkor O 7.3. ábra 180 n ahol P n az adott szabályos n-szög kerülete. 1 SO =. 1 OM = a. 180 n R cos. n Mivel a szabályos n-szög csúcsaihoz húzott sugarak n egybevágó háromszögre osztja a sokszöget, ezért az n-szög S n területe n-szer nagyobb az O háromszög területénél. Ekkor Sn = n. SO = 1 = n. a. 180 n Rcos. Innen következik, n hogy 1 Sn = P. 180 n R cos, (**) n z n értékének végtelenhez való közelítése a 180o értékének a nullához való közeledését vonja maga után, és ekkor cos 180o értéke az n n egyhez fog közeledni. P n kerület a körvonal C hosszát közelíti meg, az S n terület pedig a körlap S területéhez fog közelíteni. Figyelembe véve 1 az (**) egyenlőséget fel lehet írni a következő képletet: S = C R. Ebből az egyenlőségből megkapjuk a körlap területének képletét: S = pr 7.4. ábrán az O és O sugarak a körlapot két részre osztják, melyeket különböző színűre festettek. Ezeket a részeket az O és az O sugarakkal együtt körcikknek nevezzük. Érthető, hogy az R sugarú körlapot 360 egyenlő körcikkre is fel lehet osztani, melyek ívei 1 -osak lesznek. Egy-egy ilyen körcikk területe

65 7. körvonal hossza. körlap területe 65 πr. Ekkor az n -os ívhez tartozó körcikk S területe a következő kép- 360 letettel számítható ki: S Rn = π ábrán az húr két részre osztja a körlapot, melyet különböző színnel jelöltek. Ezeket a részeket az húrral együtt körszeletnek nevezzük. z húrt a körszelet alapjának nevezzük. O O O 7.4. ábra 7.5. ábra 7.6. ábra hhoz, hogy meghatározzuk a rózsaszínű körszelet (7.6. ábra) területét, a húrt tartalmazó körcikkből ki kell vonni az O háromszög területét (O a körlap középpontja). hhoz, hogy meghatározzuk a kék színű körszelet területét, a húrt nem tartalmazó körcikkhez hozzá kell adni az O háromszög területét. Ha az húr a körvonal átmérője, akkor a körlapot két körszeletre R osztja, melyeket félkörnek nevezünk. félkör S területe az S = π, képlettel határozható meg, ahol R a körlap sugara. 1.feladat. 5 cm-es sugarú körlap körívének hossza π cm. Határozzátok meg a körív fokmértékét! Rn Megoldás. z l = π 180 képletből kifejezve n l = 180. Tehát a kere- πr sett fokmérték: n = 180π = 7 π.,. 5 Felelet: 7,.

66 66.. SZÁLYOS SOKSZÖGEK C D.feladat. z O középpontú, 8 cm sugarú körbe CDEFMK szabályos nyolcszöget E rajzoltak (7.7. ábra). Határozzátok meg az ívet tartalmazó körcikk és körszelet O területét! Megoldás. szabályos nyolcszög O F 360 középponti szöge O = = K M keresett körcikk területe S korcikk = π = = 8 π (cm ) ábra 360 körszelet területe: 1 Skorszelet = Skorcikk SO = 8π O sin O = ( 8π 16 ) (cm ). Felelet: 8p cm, ( 8π 16 ) cm.? 1. Milyen arányt jelöl a π?. Nevezzétek meg a π századokra kerekített közelítő értékét! 3. Milyen képlettel számítható ki a körvonal hossza? 4. Milyen képlettel számítható ki a körív hossza? 5. Milyen képlettel számítható ki a körlap területe? 6. Magyarázzátok meg, milyen mértani alakzatot nevezünk körcikknek! 7. Milyen képlettel számítható ki a körcikk területe? 8. Magyarázzátok meg, milyen mértani alakzatot nevezünk körszeletnek! 9. Magyarázzátok meg, milyen képlettel számítható ki a körszelet területe! GYKORLTOK 7.1. Határozzátok meg a körvonal hosszát, ha átmérője: 1) 1, cm; ) 3,5 cm! 7.. Határozzátok meg a körvonal hosszát, ha sugara: 1) 6 cm; ) 1,4 m! 7.3. Határozzátok meg a körlap területét, ha sugara: 1) 4 cm; ) 14 dm! 7.4. Határozzátok meg a körlap területét, ha átmérője: 1) 0 cm; ) 3, dm!

67 7. körvonal hossza. körlap területe Határozzátok meg a körlap területét, ha körvonalának hossza l! 7.6. Határozzátok meg a farönk keresztmetszetének területét, ha kerülete 15,6 cm! 7.7. Hogyan változik meg a körvonal hossza, ha sugarát: 1) kétszeresére növeljük; ) harmadára csökkentjük? 7.8. körvonal sugarát 1 cm-rel növelték. Mennyivel növekszik eközben a körvonal hossza? 7.9. Föld egyenlítőjének hossza m. Tekintve, hogy a Föld gömb alakú, számítsátok ki a sugarát kilométerekben! Határozzátok meg a 7.8. ábrán látható alakzatok piros vonalainak hosszát! a b a a a 7.8. ábra b Hogyan változik meg a körlap területe, ha a sugarát: 1) 4-szeresére növeljük; ) 5-ödére csökkentjük? 7.1. Számítsátok ki a 7.9. ábrán látható alakzatok vonalkázott területeit! a a a a a b c 7.9. ábra

68 68.. SZÁLYOS SOKSZÖGEK Számítsátok ki a ábrán látható alakzatok vonalkázott területeit, ha a négyzetrács oldala a egység! a ábra b Kétféle palacsintát árulnak: 30 cm-es és 0 cm-es átmérőkkel. Ha a palacsinták egyforma vastagok, akkor a vevő mikor jár jobban: ha egy nagyot, vagy ha két kicsit vásárol? Határozzátok meg az a oldalú szabályos háromszög köré írt körvonal hosszát! Határozzátok meg az a oldalú négyzetbe írt körvonal hosszát! Határozzátok meg az a oldalú négyzet köré írt körvonal hosszát! Határozzátok meg az a oldalú szabályos hatszögbe írt körlap területét! Határozzátok meg az a oldalú szabályos háromszögbe írt körlap területét! 7.0. Határozzátok meg a körlap területét, ha az a és b oldalú téglalap köré van írva! 7.1. Határozzátok meg az egyenlő szárú háromszög köré írt körlap területét, ha a háromszög szára b, az alapnál lévő szöge pedig α! 7.. Határozzátok meg a téglalap köré írt körvonal hosszát, ha a téglalap oldala a és ez az oldal az átlóval α szöget alkot! 7.3. kör sugara 8 cm. Határozzátok meg a körvonal körívének hoszszát, ha ívének fokmértéke: 1) 4 ; ) 18 ; 3) 160 ; 4) 30!

69 7. körvonal hossza. körlap területe kör ívének hossza 1π cm, fokmértéke pedig 7. Határozzátok meg a kör sugarát! 7.5. kör ívének hossza 3π cm, sugara pedig 4 cm. Határozzátok meg a körív fokmértékét! 7.6. Határozzátok meg a Föld egyenlítőjének azt az ívét, melynek fokmértéke 1, ha az egyenlítő sugara megközelítőleg 6400 km! 7.7. kör sugara 6 cm. Határozzátok meg a körcikk területét, ha a hozzá tartozó ív fokmértéke: 1) 15 ; ) 144 ; 3) 80! 7.8. körcikk területe a körlap területének 5 része. Határozzátok 8 meg a körív fokmértékét! 7.9. körcikk területe 6π cm. Határozzátok meg e körcikk ívét, ha a kör sugara 1 dm! körcikk területe 5p 4 cm, a körcikk ívének fokmértéke 75. Határozzátok meg a körlap sugarát, melynek része az adott körcikk! Lehet-e a körcikk, az adott körlap körszelete is egyben? 7.3. Határozzátok meg a körszelet területét, ha a kör sugara 5 cm, a körszelet körívének fokmértéke pedig: 1) 45 ; ) 150 ; 3) 330! Határozzátok meg a körszelet területét, ha a kör sugara cm, a körszelet körívének fokmértéke pedig: 1) 60 ; ) 300! gépkocsi kerekének átmérője 65 cm. gépkocsi olyan sebességgel halad, hogy a kereke másodpercenként 6 fordulatot tesz meg. Határozzátok meg a gépkocsi sebességét kilométer per órában! feleletet tizedekre kerekítsétek! Határozzátok meg annak a körívnek a hosszát, melyet az óra 6 cm-es kismutatója 1 óra alatt tesz meg! Határozzátok meg annak a körívnek a hosszát, melyet az óra 4 cm-es percmutatója 40 perc alatt tesz meg! kör sugarát a egységgel növelték. izonyítsátok be, hogy a körvonal hossza olyan mértékben növekedett, amely az adott kör sugarától független!

70 70.. SZÁLYOS SOKSZÖGEK háromszög oldala 6 cm, a rajta lévő szögei 50 és 100. Határozzátok meg azoknak a köríveknek a hosszát, amelyekre az adott háromszög csúcsai osszák a körülírt körvonalat! háromszög oldala 5 3 cm, a rajta lévő szögei 35 és 5. Határozzátok meg azoknak a köríveknek a hosszát, amelyekre az adott háromszög csúcsai osszák a körülírt körvonalat! z C háromszög (C = 90 ) C befogójára, mint átmérőre kört szerkesztettek. Határozzátok meg a háromszöghöz tartozó körív hosszát, ha = 4, C = 0 cm! z egyenlő szárú háromszög alapon fekvő szöge 70. z alapra bocsátott magassága 7 cm, és erre, mint átmérőre, körvonalat szerkesztettek. Határozzátok meg a háromszögbe tartozó körív hosszát! 7.4. z szakasz n részre van osztva. Mindegyik részre, mint átmérőre, félköröket szerkesztettek. Ezt a műveletet úgy ismételték meg, hogy az adott szakaszt m részre osztották. Határozzátok meg az első és a második esetben kapott félkörei összegének arányát! izonyítsátok be, hogy a derékszögű háromszög átfogójára, mint átmérőre szerkesztett félkör területe (7.11. ábra) egyenlő a befogókra, mint átmérőkre szerkesztett félkörök területének összegével! Két csövet, melynek átmérői 30 cm és 40 cm egy csőre kell kicserélni úgy, hogy az új cső áteresztőképessége 1 megegyezzen a két cső együttes áteresztőképességével. Milyen legyen ennek a csőnek az átmérője? Hány százalékkal fog növekedni a körlap területe, ha a sugarát 10%-kal növelik? körbe egy a oldalú négyzetet írtak. Határozzátok meg a kisebbik körszelet területét, melynek alapja az adott négyzet oldala lesz! Egy kör alakú lemezből a lehető ábra legnagyobb szabályos hatszöget vágjuk ki. Mekkora a hulladék összterülete? Hány százaléka ez a körlemez területének? 1 vízvezeték áteresztőképessége a cső keresztmetszetén egységnyi idő alatt átfolyó vízmennyiség.

71 7. körvonal hossza. körlap területe körbe a oldalú szabályos háromszög van írva. Határozzátok meg a kisebbik körszelet területét, melynek alapja a háromszög oldala! z R sugarú körcikkbe, melynek középponti szöge 60, körlap van írva. Határozzátok meg a körlap területét! Határozzátok meg a 7.1. ábrán látható alakzat vonalkázott részének területét, ha az CD négyzet oldala a! C Ñ M N K P D 7.1. ábra ábra D z CD négyzet csúcsaiból négy, a négyzet oldalával egyenlő sugarú körív megszerkesztése után a ábrán látható piros színnel jelölt alakzatot kaptuk. Határozzátok meg a piros vonal hosszát, ha a négyzet oldala a! ábra ábra 7.5. (Hippokratész feladata). téglalap köré kört írtak, és minden oldala fölé félköröket szerkesztettek (7.14. ábra). izonyítsátok be, hogy a színezett részek (Hippokratész holdjai) területeinek összege a téglalap területével egyenlő! Két, 1 cm oldalhosszúságú négyzetnek közös a középpontja (7.15. ábra). izonyítsátok be, hogy a közös részük területe nagyobb mint 3 4.!

72 7.. SZÁLYOS SOKSZÖGEK ISMÉTLŐ GYKORLTOK Határozzátok meg a rombusz oldalát, ha a magassága 6 cm és az oldala az egyik átlóval 15 -os szöget alkot! z CD téglalap szögének szögfelezője a C oldalát M és MC szakaszokra osztja, melyek hosszai megfelelően 10 cm és 14 cm. Milyen hosszú szakaszokra osztja ez a szögfelező a rombusz átlóját? trapéz nagyobbik alapjánál lévő szögek összege 90. izonyítsátok be, hogy a trapéz alapjai felezőpontjainak távolsága az alapok különbségének felével egyenlő! FELKÉSZÜLTÜNK Z ÓRÁKHOZ Mivel egyenlő a koordinátaegyenesre illeszkedő és pontok közötti távolság, ha: 1) (3) és (7); 3) ( ) és ( 6); ) ( ) és (4); 4) (a) és (b)? Rajzoljátok meg a koordinátasíkon az szakaszt, határozzátok meg a rajz alapján a szakasz felezőpontját, és hasonlítsátok össze az és pontok megfelelő koordinátáinak számtani közepével: 1) ( 1; 6), (5; 6); 3) (3; 5), ( 1; 3)! ) (3; 1), (3; 5); Szerkesszetek a koordinátasíkon egy C háromszöget, és határozzátok meg az oldalait, ha (5; 1), ( 3; 5), C ( 3; 1)! Melyik koordinátanegyedben helyezkedik el a pont: 1) (3; 4); ) ( 3; 1); 3) C ( 4; 5); 4) D (1; 9)? Melyik koordinátanegyedben helyezkedik el az M pont, ha: 1) az abszcisszája pozitív, ordinátája negatív; ) az abszcisszájának és ordinátájának szorzata negatív; 3) az abszcisszája és az ordinátája negatív? 7.6. Mit lehet mondani az pont koordinátáiról, ha: 1) az pont az abszcisszatengelyhez illeszkedik; ) az pont az ordinátatengelyhez illeszkedik; 3) az pont a negyedik negyed szögfelezőjéhez illeszkedik; 4) az pont a harmadik negyed szögfelezőjéhez illeszkedik; 5) az pont az első negyed szögfelezőjéhez illeszkedik?

73 7. körvonal hossza. körlap területe Nevezzétek meg az CD téglalap csúcsainak koordinátáit (7.16. ábra)! y C (7; 4) ( 4; 3) y C ( ; 1) 0 D x y a 0 x ( 1; 1) 0 x D ( 1; 5) b D c C (; ) ábra FIGYELD MEG, RJZOLD LE, SZERKESZD MEG, KÉPZELD EL! síkon jelöltek néhány pontot. Néhányat közülük pirosra színeztek, a többit pedig kékre. Ismert, hogy mindegyik színű pontból leg alább három van, és bármelyik három egyszínű pont nem egy egyenesre illeszkedik. izonyítsátok be, hogy bármilyen három egyszínű pont egy olyan háromszög csúcsai, melynek oldalára csak legfeljebb két másik színű pont illeszkedhet!

74 74.. SZÁLYOS SOKSZÖGEK. SZ. FELDTSOR. ÖNELLENŐRZÉS TESZT FORMÁJÁN 1. Határozzátok meg a szabályos sokszög oldalainak számát, ha a sokszög szöge 170! ) 30; C) 36; ) 3; D) ilyen sokszög nem létezik.. Mivel egyenlő a szabályos tízszög középponti szöge? ) 18 ; ) 36 ; C) 144 ; D) Milyen legnagyobb középponti szöge lehet a szabályos sokszögnek? ) 90 ; C) 150 ; ) 10 ; D) nem lehet megállapítani. 4. körbe egy szabályos a oldalú hatszöget írtak. Határozzátok meg e kör köré írt szabályos háromszög oldalát! ) a 3 3 ; ) a 3 ; C) a 3; D) 3 a. 5. Mivel egyenlő a szabályos hatszögbe írt körvonal sugara, ha a hatszög legkisebb átlója 1 cm? ) 6 cm; ) 6 3 cm; C) 3 cm; D) 1 cm. 6. Határozzátok meg a 4 cm sugarú körvonal körívének hosszát, ha fokmértéke 07! ) 3 cm; ) 4,6 cm; C) 3p cm; D) 4,6p cm. 7. kör területének hányad részét képezi annak a körcikknek a területe, melynek a középponti szöge 140? ) 7 9 ; ) 7 1 ; C) 7 15 ; D) körbe írt 40 -os szög egy 8 cm-es ívre támaszkodik. Mekkora az adott körvonal hossza? ) 7 cm; ) 7p cm; C) 36 cm; D) 36p cm. 9. Milyen hosszú az R sugarú körvonal húrja, ha a húr végpontjaival megadott ívek hosszának aránya : 1? ) R; ) R; C) R 3 ; D) R 3.

75 . sz. feladatsor. Önellenőrzés teszt formájában rajzon egy körbe írt C háromszög látható, melyben = 30, C = a. Mivel egyenlő annak a körszeletnek a területe, melynek alapja a C ívet köti össze? ( ) ; ) a π a C ( ) a π 3 3) ; 1 ( ) ; C) a 10π ( D) a 10π 3 3) z C háromszögben adott, hogy = 0, C = 30, C = 14 cm. z középpontú körvonal érinti a C egyenest. Számítsátok ki az C háromszöghöz tartozó körív hosszát! ) 7p 7p 7p 7p cm; ) cm; C) cm; D) cm. 1. szabályos sokszög köré írt körvonal sugara 6 3 cm, a beírt kör sugara pedig 9 cm. Hány oldalú ez a sokszög? ) 6; ) 1; C) 9; D) 18.

76 76.. SZÁLYOS SOKSZÖGEK!. PRGRFUS ÖSSZEFOGLLÁS Szabályos sokszög sokszöget szabályosnak nevezzük, ha minden oldala és minden szöge egyenlő. Szabályos sokszög tulajdonságai szabályos sokszög domború sokszög. ármilyen szabályos sokszög egyszerre lesz körbe írt és kör köré írt is, és a beírt és a körülírt körvonalainak középpontjai egybeesnek. szabályos sokszög körülírt köre és a beírt köre sugarának meghatározására szolgáló képletek szabályos n oldalú sokszög oldalainak száma n n = 3 n = 4 n = 6 körülírt kör sugara beírt kör sugara körvonal hossza C = pr z n -os ív hossza Rn l = π 180 körlap területe S = pr R n r n a = 180 sin n a = 180 tg n R r 3 3 a 3 = R 3 4 a 3 = r 6 a = R 6 = a 4 a = r 6 a 3 = z n -os ívet tartalmazó körcikk területe S Rn = π 360

77 DESCRTES-FÉLE KOORDINÁTÁK SÍKON 3.. Ennek a paragrafusnak a tananyagát elsajátítva szélesíteni fogjátok a koordinátasíkról szóló ismereteiteket. Megtanuljátok meghatározni a szakasz hosszát, illetve felezőpontjának koordinátáit a végpontjai koordinátáinak ismeretében. Elképzeléseket szereztek az alakzatok egyenleteiről, megismeritek az egyenes és a kör egyenletének levezetését. Megismerkedtek a koordináta-módszerrel, amely lehetőséget ad a geometriai feladatok megoldására algebrai módszerek alkalmazásával. 8. Két pont közötti távolság, ha ismeretesek a pontok koordinátái. szakasz felezőpontjának koordinátái 6. osztályban megismerkedtetek a koordinátasíkkal, vagyis az olyan síkkal, melyen két egymásra merőleges koordinátaegyenes (abszcisszatengely és ordinátatengely) helyezkedik el közös kezdőponttal (8.1. ábra). Már ábrázolni tudjátok rajta az ismert koordinátájú pontokat, és fordítva, meg tudjátok határozni a koordinátasíkon ábrázolt pontnak a koordinátáit. Ordinátatengely bszcisszatengely 8.1. ábra

78 DESCRTES-FÉLE KOORDINÁTÁK SÍKON x ábra x x z x (abszcissza) és y (ordináta) tengelyeket tartalmazó koordinátasíkot az xy síknak nevezzük. z xy síkon lévő pont koordinátáit Descartes-féle koordinátáknak nevezzük, a nagy francia matematikus, René Descartes tiszteletére (lásd a 101. oldalon lévő értekezést). Már tudjátok azt, hogyan kell meghatározni a koordinátatengelyen adott koordinátával rendelkező két pont távolságát. z (x 1 ) és (x ) pontokra (8.. ábra) a következőképpen történik: = x x 1. Megtanuljuk, hogy az xy koordinátasíkon hogyan lehet meghatározni az (x 1 ; y 1 ) és (x ; y ) végpontú szakasz hosszát, amikor az szakasz nem párhuzamos egyik koordinátatengellyel sem (8.3. ábra). z és pontokon át merőlegeseket bocsátunk a koordinátatengelyekre. z C derékszögű háromszöget kapjuk, melyben C = x x 1, C = y y 1. Ebből azt kapjuk, hogy = C + C = = x x 1 + y y 1 = (x x 1 ) + (y y 1 ). Tehát az (x 1 ; y 1 ) és (x ; y ) végpontú szakasz hosszának képletét így lehet felírni: = ( x x ) + ( y y ) 1 1 Önállóan bizonyítsátok be, hogy ez a képlet akkor is igaz, ha az szakasz merőleges valamelyik koordinátatengelyre. Legyenek az (x 1 ; y 1 ) és (x ; y ) pontok az xy koordinátasík pontjai. Meghatározzuk a M pont (x 0 ; y 0 ) koordinátáit, ahol M az szakasz felezőpontja lesz. y y 1 (x 1 ; y 1 ) y (x 1 ; y 1 ) M y (x ; y ) C x 1 x 0 x (x ; y ) 1 M x 1 x 0 x x 8.3. ábra 8.4. ábra

79 8. Két pont közötti távolság, ha ismeretesek a pontok koordinátái 79 zt az esetet vizsgáljuk meg, amikor az szakasz nem merőleges az egyik koordinátatengelyre sem (8.4. ábra). Legyen x > x 1 (az x < x 1 eset vizsgálata hasonlóan történik). z, és M pontokon át merőleges egyeneseket bocsátunk az abszcisszatengelyre, amelyek ezt a tengelyt megfelelően az 1, M 1 és 1 pontokban metszik. Thalész tételéből következik, hogyha 1 M 1 = M 1 1, akkor x 0 x 1 = x x 0. Mivel x > x 0 > x 1, ezért fel lehet írni, hogy x 0 x 1 = x x 0. Ebből azt kapjuk, hogy x 0 x = + x 1 Hasonlóan be lehet bizonyítani, hogy y 0 y = + y 1 szakasz felezőpontjának koordinátáit megadó képlet akkor is teljesülni fog, ha az szakasz merőleges valamelyik koordinátatengelyre. izonyítsátok ezt be önállóan. 1. feladat. izonyítsátok be, hogy az a háromszög, ahol a csúcsainak koordinátái ( 1; 7), (1; 3) és C (5; 5), egyenlő szárú derékszögű háromszög lesz! Megoldás. lkalmazva a szakasz hosszának képletét, meghatározzuk a háromszög oldalainak hosszát: = ( 1+ 1) + ( 3 7) = = 0; C = ( 5 1) + ( 5 3) = = 0; C = ( 5+ 1) + ( 5 7) = = 40. Tehát az = C, vagyis az C háromszög egyenlő szárú. Mivel + C = = 40 = C, ezért az C háromszög derékszögű is egyben.. feladat. z M (; 5) pont az szakasz felezőpontja, ( 1; 3). Határozzátok meg a pont koordinátáit! Megoldás. Megjelöljük a pont koordinátáit: (x ; y ), az pont koordinátáit: (x ; y ), az M pont koordinátáit: (x M ; y M ). Mivel x x + = x M, ekkor 1 + x = ; 1 + x = 4; x = 5. Ehhez hasonlóan y y + = y M ; 3 + y = 5 ; y = 13. Felelet: (5; 13).

80 DESCRTES-FÉLE KOORDINÁTÁK SÍKON 3. feladat. izonyítsátok be, hogy az CD négyszög, melynek csúcsai (; 1), (1; 3), C ( 3; ) és D ( ; ) pontok, ez téglalap! Megoldás. Legyen M pont az C átló felezőpontja. Ekkor x + xc 3 y + yc 1+ x M = = = 05,; y M = = = 05,. Tehát M ( 0,5; 0,5). Legyen K pont a D átló felezőpontja. Ekkor x + xd 1 y + yd 3 x K = = = 05,; y K = = = 05,. Tehát K ( 0,5; 0,5). Vagyis az M és K pontok egybeesnek, tehát az CD négyszög átlóinak közös felezőpontja van. Ebből következik, hogy az CD négyszög paralelogramma. Meghatározzuk a paralelogramma átlóit: C = ( 3 ) + ( + 1) = 34, D = ( 1) + ( 3) = 34. Tehát az CD paralelogramma átlói egyenlők. Ebből következik, hogy ez a paralelogramma téglalap lesz.? 1. Hogyan lehet meghatározni két pont közötti távolságot ismert koordinátáik alapján?. Hogyan lehet meghatározni a szakasz felezőpontjának koordinátáit, ha adottak a szakasz végpontjainak koordinátái? GYKORLTOK 8.1. Határozzátok meg az és pontok közötti távolságot, ha adottak: 1) (10; 14), (5; ); ) ( 1; ), (4; 3)! 8.. Határozzátok meg a C és D pontok közötti távolságot, ha adottak: 1) C ( ; 4), D (4; 1); ) C (6; 3), D (7; 1)! 8.3. háromszög csúcsai ( 1; 3), (5; 9), C (6; ). izonyítsátok be, hogy az C háromszög egyenlő szárú! 8.4. izonyítsátok be, hogy az M (0; 1) pont az C háromszög körülírt körének középpontja, ha (6; 9), ( 6; 7), C (8; 5)! 8.5. izonyítsátok be, hogy az C háromszög és C szögei egyenlők, ha (5; 7), ( 3; 8), C ( 10; 15)! 8.6. Határozzátok meg a C szakasz felezőpontjának koordinátáit, ha: 1) (5; 4), C (3; ); ) ( ; 1), C ( 1; 7)! 8.7. C pont az szakasz felezőpontja. Határozzátok meg a pont koordinátáit, ha: 1) (3; 4), C (; 1); ) ( 1; 1), C (0,5; 1)!

81 8. Két pont közötti távolság, ha ismeretesek a pontok koordinátái K pont az D szakasz felezőpontja. Töltsétek ki a táblázatot! Pont pont koordinátái ( 3; 1) ( 8; ) D ( 1; 3) ( 9; ) K ( 4; 6) (1; ) 8.9. Határozzátok meg a háromszög M súlyvonalának hosszát, ha adottak a háromszög csúcsai (3; ), (; 3) és C (7; 4)! dottak az ( ; 4) és (; 8) pontok. Határozzátok meg a koordináta-rendszer kezdőpontja és az szakasz felezőpontja közötti távolságot! izonyítsátok be, hogy a háromszög derékszögű, ha csúcsai az (; 7), ( 1; 4) és C (1; ) pontok! 8.1. z ( 1; ) és (7; 4) pont a derékszögű háromszög csúcsai. Lehet-e a harmadik csúcsának a koordinátái: 1) (7; ); ) (; 3)? Egy egyeneshez illeszkednek-e a következő pontok: 1) ( ; 7), ( 1; 4) és C (5; 14); ) D ( 1; 3), E (; 13) és F (5; 1)? mennyiben igen a felelet, akkor azt is mondjátok meg, hogy melyik fekszik a másik kettő között! izonyítsátok be, hogy az M ( 4; 5), N( 10; 7) és K (8; 1) egy egyeneshez illeszkednek, és állapítsátok meg, hogy melyik fekszik a másik kettő között! z x mely értékénél lesz a C (3; ) és D (x; 1) pontok között a távolság 5? z abszcisszatengelyen határozzátok meg azt a pontot, amely egyenlő távolságra lesz az ( 1; 1) és (; 4) ponttól! z ordinátatengelyen határozzátok meg azt a pontot, amely egyenlő távolságra lesz a D ( ; 3) és E (4; 1) ponttól! Határozzátok meg annak a pontnak a koordinátáit, amely az szakaszt 1 : 3 arányban osztja, ha (5; 3) és ( 3; 7)! számolást az ponttól kezdjük z CD négyszög paralelogramma, ( 5; 1), ( 4; 4), C ( 1; 5). Határozzátok meg a D csúcs koordinátáit! 8.0. z CD négyszög paralelogramma, ( ; ), C (4;1), D ( 1; 1). Határozzátok meg a csúcs koordinátáit! 8.1. izonyítsátok be, hogy az CD négyszög paralelogramma, ha csúcsai ( ; 8), (3; 3), C (6; ) és D (1; 13)! 8.. izonyítsátok be, hogy az CD négyszög rombusz, ha csúcsai ( 3; ), ( 1; ), C (1; ) és D ( 1; 6)!

82 8 3.. DESCRTES-FÉLE KOORDINÁTÁK SÍKON 8.3. izonyítsátok be, hogy az CD négyszög négyzet, ha csúcsai ( ; 6), ( 8; ), C (0; 8) és D (6; 0)! 8.4. D (1; 4) és az E (; ) pontok megfelelően az C háromszög C és C oldalainak felezőpontjai. Határozzátok meg az és C pontok koordinátáit, ha adott a ( 3; 1)! 8.5. Határozzátok meg annak a szakasznak a hosszát, melynek végpontjai a koordinátatengelyekhez illeszkednek, és felezőpontja az M ( 3; 8) pont lesz! 8.6. Határozzátok meg az C egyenlő oldalú háromszög C csúcsának koordinátáit, ha (; 3) és ( ; 3)! 8.7. Határozzátok meg a DEF egyenlő oldalú háromszög E csúcsának koordinátáit, ha D ( 6;0) és F (; 0)! 8.8. z C háromszögben adott, hogy = C, (5; 9) C (1; 3), a pont koordinátáinak abszolút értékei egyenlők. Határozzátok meg a pont koordinátáit! 8.9. Határozzátok meg az abszcisszatengelyhez illeszkedő összes olyan C pont koordinátáit, ha az C háromszög egyenlő szárú, valamint az (1; 1), (; 3)! Határozzátok meg az ordinátatengelyhez illeszkedő összes olyan pont koordinátáit, ha az C háromszög derékszögű, valamint az (1; 3), (3; 7)! ISMÉTLŐ GYKORLTOK z C háromszögben adott, hogy C = 90, = 9 cm, C = 3 cm. z átfogón jelöljetek egy M pontot úgy, hogy M : M = 1:. Határozzátok meg a CM szakasz hosszát! 8.3. Határozzátok meg a rombusz szögeit, ha az egy csúcsból induló magassága és átlója által bezárt szög mértéke 8! z CD paralelogramma D átlója 4 cm, az E pont pedig a C oldal felezőpontja. Határozzátok meg azokat a szakaszokat, melyekre az E egyenes osztja a D átlót! FELKÉSZÜLTÜNK Z ÓRÁKHOZ z (1; 6) pont a körvonal középpontja, a (10; 6) pont pedig a körvonal egy pontja. Mivel egyenlő a kör sugara? CD szakasz a kör átmérője. Határozzátok meg a kör középpontjának koordinátáit és a kör sugarát, ha C (6; 4), D ( ; 10)! Milyen alakzat lesz az egyenlet grafikonja: 1) y = 1; 3) x = ; 5) xy = 1; ) y = 3x 4; 4) (x + ) + (y 3) = 0; 6) y = x?

83 9. z alakzat egyenlete. körvonal egyenlete z alakzat egyenlete. körvonal egyenlete 7. osztályos algebrából már tudjátok, hogy milyen alakzatot nevezünk az y egyenlet grafikonjának. Ebben a pontban az alakzat egyenletével fogtok megismerkedni ábrán látható parabola minden pontjának (x; y) koordinátái megoldásai lesznek az y = x egyenletnek. És fordítva, az y = x kétváltozós egyenlet minden megoldása az ehhez a parabolához illeszkedő pontoknak a koordinátái lesznek. Ebben az esetben azt mondjuk, hogy a 9.1. ábrán látható parabola egyenletének az y = x felel meg ábra x Meghatározás. z xy síkon az F alakzat egyenletének azt az x és y kétváltozós egyenletet nevezzük, amely a következő tulajdonságokkal rendelkezik: 1) ha a pont illeszkedik az F alakzathoz, akkor a koordinátái igazzá teszik az egyenletet; ) az adott egyenlet bármilyen (x; y) megoldásai az F alakzathoz illeszkedő pont koordinátái lesznek. 9.. ábrán látható egyenes egyenlete az y = x 1, a 9.3. ábrán látható hiperbola egyenlete pedig y = 1. z y = x 1 és az y x = 1 x egyenletek megfelelően egy egyenest és hiperbolát adnak meg vagy írnak le. Ha az adott egyenlet az F alakzat egyenlete, akkor ezt az alakzatot úgy is vizsgálhatjuk, mint azon pontok mértani helye (PMH), melyek igazzá teszik az adott egyenletet. y y x 0 1 x 9.. ábra 9.3. ábra

84 DESCRTES-FÉLE KOORDINÁTÁK SÍKON fenti gondolatmenet alkalmazásával levezetjük az R sugarú és (a; b) középpontú körvonal egyenletét. y M (x; y) y R (a; b) R 0 x 0 x 9.4. ábra 9.5. ábra Legyen M (x; y) az adott kör egy tetszőleges pontja (9.4. ábra). Ekkor M = R. lkalmazva a pontok közötti távolság képletét, kapjuk: ( x a) + ( y b) = R. Innen (x a) + (y b) = R. (*) ebizonyítottuk, hogy az adott kör tetszőleges M pontjának (x; y) koordinátái megoldásai az (*) egyenletnek. Most igazoljuk, hogy az (x a) + (y b) = R egyenlet bármilyen megoldása az adott körvonalhoz tartozó pontok koordinátái lesznek. Legyen az (x 1 ; y 1 ) tetszőleges megoldása az (*) egyenletnek. Ekkor (x 1 a) + (y 1 b) = R. Innen ( x a) + ( y b) = R. 1 Ez az egyenlet azt bizonyítja, hogy az N(x 1 ; y 1 ) pont a körvonal (a; b) koordinátájú középpontjától a körvonal sugarával egyenlő távolságra lesz, tehát N(x 1 ; y 1 ) a körvonalhoz illeszkedik. Tehát bebizonyítottuk a következő tételt. 9.1.tétel. z R sugarú és (a; b) középpontú körvonal egyenlete: (x a) + (y b) = R Igaz a következő állítás: bármely (x a) + (y b) = R alakú egyenlet, ahol a, b és R tetszőleges számok, és R > 0, egy olyan R sugarú körvonal egyenlete, melynek középpontja az (a; b) koordinátájú pont. Ha a körvonal középpontja a koordináta-rendszer kezdőpontja (9.5. ábra), akkor a = b = 0. Ebben az esetben a körvonal egyenlete így alakul: x + y = R. 1

85 9. z alakzat egyenlete. körvonal egyenlete feladat. djátok meg annak a körvonalnak az egyenletét, melynek átmérője az szakasz, ha ( 5; 9), (7; 3)! Megoldás. Mivel a körvonal középpontja egyszersmind átmérőjének felezőpontja, ezért a C középpont (a; b) koordinátáit a következő képlettel adjuk meg: 5+ 7 a = = 9 3 1, b = = 3. Tehát C (1; 3). körvonal R sugara az C szakasz hossza. Ekkor R = (1 + 5) + (3 9) = 7. Tehát a keresett egyenlet: (x 1) + (y 3) = 7. Felelet: (x 1) + (y 3) = 7..feladat. izonyítsátok be, hogy az x + y + 6x 14y + 50 = 0 egy körvonal egyenlete! Határozzátok meg a körvonal középpontját és sugarát! Megoldás: z adott egyenletet (x a) + (y b) = R alakban adjuk meg: x + 6x y 14y = 0; (x + 3) + (y 7) = 8. Tehát az adott egyenlet egy olyan körvonal egyenlete, melynek középpontja ( 3; 7), sugara. Felelet: ( 3; 7),. 3.feladat. izonyítsátok be, hogy az a háromszög, melynek csúcsai ( ; 3), (1; 3) és C (5; 1) derékszögű, és határozzátok meg az C háromszög köré írt körvonalának egyenletét! Megoldás: Meghatározzuk az adott háromszög oldalhosszainak négyzetét: = (1 + ) + (3 + 3) = 45; C = (5 + ) + (1 + 3) = 65; C = (5 1) + (1 3) = 0. Mivel + C = C, ezért az adott háromszög derékszögű, melynek derékszöge a csúcsnál van. körülírt kör sugara az C átfogó felezőpontja lesz, vagyis az (1,5; 1) pont, sugara pedig az R = C = Tehát a keresett körvonal egyenlete a következő alakban írható fel: ( x 15, ) + ( y+ 1) = Felelet: ( x 15, ) + ( y+ 1) =. 4 65

86 DESCRTES-FÉLE KOORDINÁTÁK SÍKON? 1. Mit nevezünk az xy síkon megadott alakzat egyenletének?. Írjátok le az (a; b) középpontú és R sugarú körvonal egyenletét! 3. Írjátok le annak a körvonalnak az egyenletét, melynek középpontja a koordináta-rendszer kezdőpontja, sugara pedig R? GYKORLTOK 9.1. Határozzátok meg a körvonal egyenlete alapján a középpontját és a sugarát: 1) (x 8) + (y 3) = 5; 3) x + y = 7; ) (x + 5) + y = 9; 4) x + (y + 1) = 3! 9.. Állítsátok fel a körvonal egyenletét, ha adott az középpontjának koordinátái és az R sugara: 1) (3; 4), R = 4; 3) (7; 6), R = ; ) ( ; 0), R = 1; 4) (0; 5), R = Állítsátok fel a körvonal egyenletét, ha adott a középpontjának koordinátái és az R sugara: 1) ( 1; 9), R = 9; ) ( 8; 8), R = Határozzátok meg a 9.6. ábrán látható körvonalak középpontjának koordinátáit, illetve sugarát, és írjátok fel ezeknek a körvonalaknak az egyenletét! y y 0 3 x x y a y 6 c 0 x b 9.6. ábra 0 4 x d

87 9. z alakzat egyenlete. körvonal egyenlete dott az középpontú és 4 egység sugarú körvonal (9.7. ábra). Állítsátok fel a körvonal egyenletét! y y 0 x 0 x a 9.7. ábra 9.6. Szerkesszétek meg a koordinátasíkon azt a körvonalat, melynek egyenlete: 1) x + y = 4; ) (x + 1) + (y ) = 5! 9.7. Szerkesszétek meg a koordinátasíkon az (x 4) + y = 9 egyenletű körvonalat! 9.8. körvonal az (x + 6) + (y 1) = 10 egyenlettel van megadva. Állapítsátok meg, hogy az ( 3; 0), ( 5; ), C (1; 0), D ( 4; 3), E ( 7; 3), F ( 9; 0) pontok közül melyik illeszkedik: 1) a körvonalhoz; ) a körvonal középső részéhez (körlap belsejéhez); 3) a körvonalon kívül van! 9.9. z (x ) + (y + ) = 100 körvonalhoz illeszkedik-e a következő pont: 1) (8; 8); ) (6; 9); 3) C ( 3; 7); 4) D ( 4; 6)? Állítsátok fel annak a körvonalnak az egyenletét, melynek középpontja az M ( 3; 1) pont és a K ( 1; 5) ponton illeszkedik rá! Állítsátok fel annak a körvonalnak az egyenletét, melynek átmérője az szakasz, ha (; 7), ( ; 3)! 9.1. izonyítsátok be, hogy az szakasz az (x 5) + (y + 4) = 17 körvonal átmérője, ha (1; 5), (9; 3)! izonyítsátok be, hogy a CD szakasz az x + (y 9) = 169 körvonal húrja, ha C (5; 3), D ( 1; 4)! Állítsátok fel annak a körvonalnak az egyenletét, melynek középpontja a P ( 6; 7) pont, és érinti az ordinátatengelyt! Állítsátok fel annak a körvonalnak az egyenletét, melynek középpontja az y = 5 egyenletű egyeneshez illeszkedik, és az abszciszszatengelyt az S (; 0) pontban érinti! Hány olyan körvonal létezik, amelyre a (3; 5) pont illeszkedik, sugara 3 5 -tel egyenlő és a középpontja illeszkedik az ordinátatengelyhez? Írjátok fel valamennyi ilyen kör egyenletét! b

88 DESCRTES-FÉLE KOORDINÁTÁK SÍKON Állítsátok fel annak a körvonalnak az egyenletét, amelyhez az ( 4; 1) és a (8; 5) pontok illeszkednek, a középpontja pedig az abszcisszatengelyen van! izonyítsátok be, hogy az (x + 6) + (y 3) = 36 körvonal: 1) érinti az ordinátatengelyt; ) metszi az abszcisszatengelyt; 3) nincs közös pontja az y = 10 egyenletű egyenessel! Állapítsátok meg, hogy az adott egyenlet körvonal egyenlete lesz-e? Ha igen, akkor adjátok meg az adott kör középpontjának koordinátáit és sugarát: 1) x + x + y 10y 3 = 0; 3) x + y + 6y + 8x + 34 = 0; ) x 1x + y + 4y + 40 = 0; 4) x + y 4x 14y + 51 = 0! 9.0. izonyítsátok be, hogy az adott egyenlet egy körvonal egyenlete, és állapítsátok meg középpontjának koordinátáit, valamint az R sugarát: 1) x + y + 16y + 60 = 0; ) x + y 8x + 4y + 15 = izonyítsátok be, hogy a háromszög, melynek csúcsai az ( 1; ), ( 1; ), C (5; ) pontok derékszögű háromszög, és írjátok fel e háromszög köré írt körvonal egyenletét! 9.. Állítsátok fel annak a körvonalnak az egyenletét, amelynek sugara 5 egység, és a C ( 1; 5) és D (6; 4) pontok illeszkedjenek erre a körvonalra! 9.3. Állítsátok fel annak a körvonalnak az egyenletét, amelynek sugara 10 egység, és az M ( ; 1) és K ( 4; 1) pontok illeszkedjenek erre a körvonalra! 9.4. Állítsátok fel annak a körvonalnak az egyenletét, amely érinti a koordinátatengelyeket, és az y = 4 egyenest! 9.5. Állítsátok fel annak a körvonalnak az egyenletét, amely érinti a koordinátatengelyeket, és az x = egyenest! 9.6. * Állítsátok fel annak a körvonalnak az egyenletét, amelyhez a következő pontok illeszkednek: 1) ( 3; 7), ( 8, ), C ( 6, ); ) M ( 1; 10), N (1; 3), K (4; 9)! ISMÉTLŐ GYKORLTOK 9.7. z CD paralelogramma szögének szögfelezője az D oldalát egy E pontban metszi, = E = 1 cm, ED = 18 cm. Határozzátok meg a paralelogramma területét! 9.8. téglalap csúcsából az átlójára bocsátott merőleges az átlót egy 9 cm és egy 16 cm-es szakaszra osztja. Határozzátok meg a téglalap kerületét! 9.9. z egyenlő szárú trapézba egy 1 cm-es sugarú kör van írva. z egyik szárat az érintési pont két szakaszra osztja, melyek közül az egyik 16 cm. Határozzátok meg a trapéz területét!

89 10. z egyenes egyenlete 89 FIGYELD MEG, RJZOLD LE, SZERKESZD MEG, KÉPZELD EL! síkon egy és pont van jelölve. Csak körzőt alkalmazva, szerkesszetek egy olyan C pontot, hogy a pont az C szakasz felezőpontja legyen! (x 1 ; y 1 ) M (x; y) 0 x (x ; y ) 10. z egyenes egyenlete z előző pontban úgy vizsgáltuk a körvonalat, mint azon pontok mértani helyét (PMH), melyek egy adott ponttól egyenlő távolságra lesznek, és az egyenletét is levezettük. z egyenes egyenletének levezetése során úgy tekintünk rá, mint azon PMH, melyek két adott ponttól egyenlő távolságra lesznek. Legyen a az adott egyenes. Úgy választjuk ki az (x 1 ; y 1 ) és (x ; y ) pontokat, hogy az a egyenes az szakasz felezőmerőlegese legyen (10.1. ábra). Legyen M (x; y) az a egyenes egy tetszőleges pontja. Ekkor a szakasz felezőmerőlegesének tulajdonsága alapján teljesül az M = M egyenlőség, vagyis ( x x1 ) + ( y y1 ) = ( x x ) + ( y y ). (*) Igazoltuk, hogy az a egyenes tetszőleges M pontjának (x; y) koordinátái megoldásai az (*) egyenletnek. Most bizonyítjuk, hogy az (*) egyenlet bármely megoldása az a egyenesre illeszkedő pont koordinátái is egyben. Legyen (x 0 ; y 0 ) az (*) egyenlet bármilyen megoldása. Ekkor teljesül az ( x0 x1) + ( y0 y1) = ( x0 x) + ( y0 y). egyenlőség. Ez az egyenlőség viszont azt jelenti, hogy az N (x 0 ; y 0 ) pont egyenlő távolságra lesz az (x 1 ; y 1 ) és (x ; y ) pontoktól, tehát az N pont az szakasz felezőmerőlegesére illeszkedik. Vagyis az a egyenesre. Ily módon bizonyítottuk, hogy az (*) egyenlet az adott a egyenes egyenlete lesz. 7. osztályos algebra tananyagából már tudjátok, hogy az egyenes egyenletének jóval egyszerűbb alakja is van, mégpedig: ax + by = c, ahol az a, b és c tetszőleges számok, emellett az a és b egyszerre nem lehet egyenlő nullával. Négyzetre emeljük az (*) egyenlet mindkét oldalát: (x x 1 ) + + (y y 1 ) = (x x ) + (y y ). y ábra a

90 DESCRTES-FÉLE KOORDINÁTÁK SÍKON Felbontjuk a zárójeleket, és összevonjuk az egynemű összeadandókat. Ekkor a következőt fogjuk kapni: (x x 1 ) x + (y y 1 ) y = x + y x 1 y 1. Elvégezve a (x x 1 ) = a, (y y 1 ) = b, x + y x 1 y 1 = c helyettesítéseket, az ax + by = c egyenletet kapjuk. Mivel az (x 1 ; y 1 ) és (x ; y ) különböző pontok, ezért az x x 1 és az y y 1 különbségek közül legalább az egyik nem lesz 0. Tehát az a és b egyszerre nem egyenlő nullával. Ily módon a következő tételt bizonyítottuk be: tétel. z egyenes egyenlete a következő alakban írható fel: ax + by = c, ahol az a, b és c valamilyen szám, de az a és a b egyszerre nem egyenlő nullával. Igaz a következő állítás: bármilyen ax + by = c alakú egyenlet, ahol az a, b és c valamely szám, de az a és a b egyidejűleg nem egyenlő nullával, az egyenes egyenlete lesz. Ha az a = b = c = 0, akkor az ax + by = c alakú egyenlet grafikonja az xy koordinátasík. Ha a = b = 0 és c 0, akkor az egyenletnek nincs megoldása. 7. osztályos algebrából már tudjátok, hogy az ax + by = c alakú egyenletet kétváltozós lineáris egyenletnek nevezzük. z egyenes egyenlete a lineáris egyenletek egy speciális esete ábra illusztrálja a fenti állítást. Kétváltozós ˳í³éí³ ð³âíÿííÿ lineáris ç äâîìà egyenletek çì³ííèìè Egyenesek гâíÿííÿ egyenletei ïðÿìèõ 10.. ábra 7. osztályos algebra órákon bizonyítás nélkül fogadtuk el azt, hogy az y = kx + p lineáris függvény grafikonja egy egyenes. Most be is bizonyítjuk. Átírjuk az y = kx + p egyenletet a következőképpen: kx + y = p. Megkaptunk egy ax + by = c alakú egyenletet arra az esetre, ha a = k, b = 1, c = p. Mivel ebben az esetben b 0, tehát az egyenes egyenletét kaptuk meg. Vajon bármilyen egyenes egyenlete megadható y = kx + p alakban? Erre a kérdésre nemmel kell válaszolnunk.

91 10. z egyenes egyenlete 91 Ha az egyenes merőleges az abszcisszatengelyre, akkor nem lehet egy függvény grafikonja, tehát nem adható meg y = kx + p alakban. Ezzel együtt, ha az ax + by = c egyenes egyenletébe behelyettesítjük a b = 0, akkor így lehet átírni azt: x =. z egyenes egyenletének c a egy olyan alakját kaptuk meg, ahol minden pontjának az abszcisszája ugyanaz a szám lesz. Ezt függőlegesnek hívjuk. mikor b 0, akkor az ax + by = c egyenes egyenletét a következőképpen lehet átírni: y = x+. Elvégezve a = k, c = p,helyette- b b b b a c a sítéseket, megkapjuk az y = kx + p egyenletet. Tehát ha b = 0 és a 0, akkor az ax + by = c egyenes egyenlete egy függőleges egyenest ad meg; ha b 0, akkor pedig (nem függőleges egyenes) egy ferde egyenes lesz. nem függőleges egyenes egyenletét érdemes az y = kx + p alakban felírni. következő táblázatban összefoglaljuk az ebben a pontban tanultakat. Egyenlet z a, b és c értékei Grafikon b 0, az a és c bármilyen Nem függőleges egyenes szám ax + by = c b = 0, a 0, c bármilyen szám Függőleges egyenes a = b = c = 0 teljes koordinátasík a = b = 0, c 0 1. feladat. Írjátok fel az egyenes egyenletét, ha az illeszkedik a következő pontokhoz: 1) ( 3; 5) és ( 3; 6); ) C (6; 1) és D ( 18; 7)! Megoldás. 1) Mivel az adott pontok abszcisszái egyenlők, ezért az egyenes képe függőleges. Egyenlete az x = 3. ) Mivel az adott pontok abszcisszái különbözőek, ezért a CD egyenes nem függőleges. Ezért lehet alkalmazni az iránytényezős egyenletet, melynek alakja: y = kx + p. ehelyettesítve a C és D pontok koordinátáit az y = kx + p egyenletbe, a következő egyenletrendszert kapjuk: 6k+ p = 1, 18k+ p = 7.

92 9 3.. DESCRTES-FÉLE KOORDINÁTÁK SÍKON z egyenletrendszert megoldva azt kapjuk, hogy k = 1 3, p = 1. 1 Felelet: 1) x = 3; ) y = x feladat. Határozzátok meg annak a háromszögnek a kerületét és területét, melyet az 5x + 1y = 60 egyenes és a koordinátatengelyek határolnak! Megoldás. Meghatározzuk az adott egyenes és a koordinátatengelyek metszéspontjait. z abszcisszatengelyt: az y = 0 esetén 5x = 60; x = 1. z ordinátatengelyt: az x = 0 esetén 1y = 60; y = 5. y Tehát az adott egyenes és a koordinátatengelyek egy O (10.3. ábra) derékszögű háromszöget határolnak, melynek O csúcsai ( 1; 0), (0; 5) és O (0; 0) 1 x pontok lesznek. Meghatározzuk a háromszög oldalainak hosszát: O = 1, O = 5; 5 = O + O = 13. Tehát a keresett ábra kerület és terület: P = O + O + = S = O. O = 30. Felelet: P = 30, S = 30.? 1. Milyen alakja lesz az xy síkon elhelyezkedő egyenes egyenletének?. Hogyan nevezzük az olyan egyenest, ahol pontjainak abszcisszája egyenlő? Hogyan helyezkedik el ez az egyenes az abszcisszatengelyhez viszonyítva? 3. Megegyezik-e bármilyen kétváltozós lineáris egyenlet az egyenes egyenletével? 4. Milyen alakban célszerű felírni a nem függőleges egyenes egyenletét? 5. Megadható-e bármilyen egyenes az y = kx + p egyenlettel? 6. Milyen feltételek mellett tekinthető az ax + by = c egyenes egyenlete a függőleges egyenes egyenletének? nem függőleges egyenes egyenletének? GYKORLTOK felsorolt egyenletek közül melyik lesz az egyenes egyenlete: 1) x 3y = 5; 4) x = 5; 7) 0x + 0y = 0; ) x 3y = 0; 5) 3y = 5; 8) 0x + 0y = 5? 3) x 3y = 5; 6) x + 0y = 0;

93 10. z egyenes egyenlete Határozzátok meg a 4x 5y = 0 egyenesnek a koordinátatengelyekkel való metszéspontjainak koordinátáit! Illeszkednek-e az egyeneshez az alábbi pontok: 1) (10; 4); ) (6; 1); 3) C ( 1,5; 5,); 4) D ( 1; 5)? Határozzátok meg a 3x + 4y = 1 egyenes és a koordinátatengelyek metszéspontjainak koordinátáit! z M ( ; 4) és a K (8; 3) pont közül melyik illeszkedik az adott egyeneshez? Állítsátok fel annak az egyenesnek az egyenletét, amelyhez az (6; 3) pont illeszkedik, és az egyenes merőleges az x tengelyhez! Nevezzétek meg az egyenes és az x tengely metszéspontjának koordinátáit! Állítsátok fel annak az egyenesnek az egyenletét, amelyhez a (5; 8) pont illeszkedik, és az egyenes merőleges az y tengelyhez! Nevezzétek meg az egyenes és az y tengely metszéspontjának koordinátáit! Állítsátok fel annak az egyenesnek az egyenletét, amelyhez a C ( 4; 9) pont illeszkedik, és párhuzamos az: 1) abszcisszatengellyel; ) ordinátatengellyel! Állítsátok fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely a következő pontokhoz illeszkedik: 1) (1; 3) és ( ; 9); 3) E ( 4; 1) és F (9; 1); ) C (3; 5) és D (3; 10); 4) M (3; 3) és K ( 6; 1)! Állítsátok fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely a következő pontokhoz illeszkedik: 1) (; 5) és ( 3; 10); ) C (6; 1) és D (4; )! Határozzátok meg az egyenesek metszéspontjainak koordinátáit: 1) y = 3x 7 és y = 5x + 9; ) x 7y = 16 és 6x + 11y = Határozzátok meg az egyenesek metszéspontjainak koordinátáit: 1) y = 4x + 1 és y = x 11; ) 3x + y = 10 és x 8y = z ( 6; 1), (1; ) és C ( 5; 8) pontok az C háromszög csúcsai. Írjátok fel a háromszög súlyvonalát tartalmazó egyenes egyenletét! z ( 3; 4), ( ; ), C (1; 3) és D (3; ) pontok az CD (C D) trapéz csúcsai. Írjátok fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely a trapéz középvonalát tartalmazza! trapéz szárai felezőpontjainak abszcisszái egyenlők. Ki lehet-e jelenteni, hogy a trapéz alapjai merőlegesek az abszcisszatengelyre? Határozzátok meg annak a háromszögnek a kerületét, amelyet a koordinátatengelyek és a 4x 3y = 1 képlettel leírható egyenes határol! Határozzátok meg annak a háromszögnek a területét, amelyet a koordinátatengelyek és a 7y x = 8 képlettel leírható egyenes határol? Határozzátok meg annak a háromszögnek a területét, amelyet egyenesek és az ordinátatengelyek hatá- a 3x + y = 6 és y = 9 x rolnak! 4

94 DESCRTES-FÉLE KOORDINÁTÁK SÍKON izonyítsátok be, hogy az (x 5) + (y 5) = 9 kör és az x + y = 7 egyenes metszik egymást, majd határozzátok meg a metszéspontok koordinátáit! izonyítsátok be, hogy az (x 3) + (y + ) = 8 kör és az x + y = 5 egyenes érintik egymást, majd határozzátok meg az érintési pont koordinátáit! izonyítsátok be, hogy az (x 4) + (y ) = 1 körnek és a 3x + y = 3 egyenesnek nincs közös pontja! Határozzátok meg az 5x y = 10 egyenes és a koordinátarendszer kezdőpontja közötti távolságot! Határozzátok meg az x + y = 8 egyenes és a koordináta-rendszer kezdőpontja közötti távolságot! 10.. Határozzátok meg az (x + 1) + (y ) = 5 körvonal húrjának hosszát, ha az az y = 3x egyeneshez illeszkedik! Írjátok fel azon körvonalak középpontjai mértani helyének egyenletét, melyek az (1; 7) és ( 3; 5) pontokhoz illeszkednek! Írjátok fel azon körvonalak középpontjai mértani helyének egyenletét, melyek a C (; 3) és D ( 5; ) pontokhoz illeszkednek! Határozzátok meg annak a pontnak a koordinátáit, amely egyenlő távolságra van a koordinátatengelyektől és az (3; 6) ponttól! Határozzátok meg annak a pontnak a koordinátáit, amely egyenlő távolságra van a koordinátatengelyektől és a ( 4; ) ponttól! * Írjátok fel annak a körvonalnak az egyenletét, amely az (; 0) és a (4; 0) pontokra illeszkedik, a középpontja pedig a x + 3y = 18 egyenesre! * Határozzátok meg a körvonalak középpontjai mértani helyének egyenletét, ha sugara 5 egység és az abszcisszatengelyből egy 6 egység hosszúságú húrt metsz ki! ISMÉTLŐ GYKORLTOK paralelogramma átlói 6 cm és 8 cm, a köztük lévő szög pedig 45. Határozzátok meg a paralelogramma oldalait! háromszög egyik oldala 15 cm-rel nagyobb, mint a másik oldal, a harmadik oldalára bocsátott magasság 3 cm és 7 cm-es szakaszokra osztja azt. Határozzátok meg a háromszög kerületét! z egyenlő szárú trapéz köré írt kör középpontja a nagyobbik alapjára illeszkedik. Határozzátok meg a kör sugarát, ha a trapéz átlója 0 cm, magassága pedig 1 cm!

95 11. z egyenes iránytényezője 11. z egyenes iránytényezője 95 Megvizsgáljuk az y = kx egyenletet. Ez y egy nem függőleges egyenest ad meg, amelyhez illeszkedik a koordináta-rendszer kezdőpontja. ebizonyítjuk, hogy az y = kx és az y = kx + b, ahol b 0, párhuzamos egyenesek. C z O (0; 0) és a C (1; k) pontok az y = kx O 1 x egyeneshez, az (0; b) és a (1; k + b) pontok pedig az y = kx + b egyeneshez ábra illeszkednek (11.1. ábra). Könnyen meggyőződhetünk arról, hogy az OC négyszög C és O átlói felezik egymást (végezzétek ezt el önállóan). Tehát az OC négyszög paralelogramma. Ebből következik, hogy OC. z alábbi következtetést vonhatjuk le: ha k 1 = k és b 1 b, akkor az y = k 1 x + b 1 és az y = k x + b egyenesek párhuzamosak (1). Metssze az y = kx egyenes az egységsugarú félkört az M (x 0 ; y 0 ) pontban (11.. ábra). z OM szöget az egyenes és az abszcisszatengely pozitív iránya közötti szögnek nevezzük. Ha az y = kx egyenes egybeesik az abszcisszatengellyel, akkor az egyenes és az abszcisszatengely pozitív iránya közötti szöget 0 -nak tekintjük. y = kx + b y = kx y y 1 M (x 0 ; y 0 ) 1 O α 1 x y = kx O y = kx + b α α x 11.. ábra ábra Ha az y = kx egyenes az abszcisszatengely pozitív irányával α szöget alkot, akkor az y = kx + b egyenes, amely párhuzamos az y = kx egyenessel szintén α szög alatt hajlik az abszcisszatengely pozitív irányához (11.3. ábra).

96 DESCRTES-FÉLE KOORDINÁTÁK SÍKON Vizsgáljuk meg az y = kx egyenlettel megadott MO egyenest sin α y0 (11.. ábra). Ha MO = α, akkor tg α = =. Mivel az M (x cos α x 0 ; y 0 ) az y = kx egyeneshez illeszkedik, ezért y 0 = k. Ebből következik, hogy k = tgα. x0 Tehát az y = kx + b egyenes esetében is k = tg a, ahol az α az a szög, amely alatt az egyenes az abszcisszatengely pozitív irányához hajlik. Ezért a k tényezőt az egyenes iránytényezőjének vagy iránytangensének nevezzük. mikor a nem függőleges egyenesek párhuzamosak, akkor az abszcisszatengely pozitív irányával egyenlő szöget zárnak be. kkor ezeknek a szögeknek a tangensei is egyenlők, ezért az iránytényezőjük is egyenlő. Tehát ha az y = k 1 x + b 1 és az y = k x + b egyenesek párhuzamosak, akkor k 1 = k (). z (1) és () következményeket egy tételbe egyesítjük tétel. z y = k 1 x + b 1 és az y = k x + b egyenesek akkor és csakis akkor lesznek párhuzamosak, ha k 1 = k és b 1 b. Feladat. Írjátok fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely az ( 4; 3) ponthoz illeszkedik és párhuzamos az y = 0,5x 4 egyenessel! Megoldás. Legyen a keresett egyenlet y = kx + p alakú. Mivel ez az egyenes párhuzamos az y = 0,5x 4 egyenessel, ezért az iránytényezőjük is egyenlő, tehát k = 0,5. keresett egyenlet ezért y = 0,5x + p alakú. Mivel ez az egyenes illeszkedik az ( 4; 3) ponthoz, ezért 0,5 ( 4) + p = 3. Innen p = 3. keresett egyenes egyenlete: y = 0,5x + 5. Felelet: y = 0,5x + 5.? 1. Magyarázzátok meg, mit nevezünk az egyenes és az abszcisszatengely pozitív iránya közötti szögnek!. z abszcisszatengellyel párhuzamos, illetve a vele egybeeső egyenes és az abszcisszatengely pozitív iránya közötti szög egyenlő egymással. Miért? 3. Mit nevezünk az egyenes iránytényezőjének? 4. Hogyan függ össze az egyenes iránytényezője és az egyenes valamint az abszcisszatengely pozitív iránya közötti szög? 0

97 11. z egyenes iránytényezője Fogalmazzátok meg a koordinátasíkon lévő két nem függőleges egyenes párhuzamosságának szükséges és elégséges feltételét! GYKORLTOK Mivel egyenlő a következő egyenesek iránytényezői: 1) y = x 7; 3) y = x + 10; 5) y = 4; ) y = 3x; 4) y = 5 x; 6) 3x y = 4? z y = 6x 5, y = 0,6x + 1, y = x+ 4, y = 6x és az y = ,6x 5 egyenesek közül melyek lesznek párhuzamosak? Milyen számot kell a csillagok helyébe írni, hogy az egyenesek párhuzamosak legyenek: 1) y = 8x 14 és y = *x + ; ) y = *x 1 és y = 3 4x? Írjátok fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely illeszkedik a koordináta-rendszer kezdőpontjához, és párhuzamos a következő egyenessel: 1) y = 14x 11; ) y = 1,15x +! Írjátok fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely illeszkedik az ( 3; 7) ponthoz, az iránytényezője pedig: 1) 4; ) 3; 3) 0! Írjátok fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely illeszkedik a (; 5) ponthoz, az iránytényezője pedig 0,5! Írjátok fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely illeszkedik az M ( 1; 9) ponthoz, és párhuzamos a következő egyenessel: 1) y = 7x + 3; ) 3x 4y = 8! Írjátok fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely illeszkedik a K 1 ; 3 10 ponthoz, és párhuzamos a következő egyenessel: 1) y = 9x 16; ) 6x + y = 7! Írjátok fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely illeszkedik az (; 6) ponthoz, és az abszcisszatengellyel a következő szöget zárja be: 1) 60 ; ) 10! Írjátok fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely illeszkedik a (3; ) ponthoz, és az abszcisszatengellyel a következő szöget zárja be: 1) 45 ; ) 135!

98 DESCRTES-FÉLE KOORDINÁTÁK SÍKON Írjátok fel a ábrán látható egyenes egyenletét! y y x x a ábra Állapítsátok meg, hogy párhuzamosak-e egymással az egyenesek! 1) x 5y = 9 és 5y x = 1; 3) 7x y = 1 és 7x 3y = 1; ) 8x + 1y = 15 és 4x + 6y = 9; 4) 3x + y = 3 és 6x + 4y = 6! izonyítsátok be, hogy a 7x 6y = 3 és a 6y 7x = 6 egyenesek párhuzamosak! Írjátok fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely párhuzamos az y = 4x + egyenessel, és az y = 8x + 9 egyenest az ordinátatengely egy pontjában metszi! Írjátok fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely párhuzamos az y = 3x + 4 egyenessel, és az y = 4x + 16 egyenest az abszcisszatengely egy pontjában metszi! * Írjátok fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely merőleges az y = x + 3 egyenesre, és az (1; 5) ponthoz illeszkedik! b ISMÉTLŐ GYKORLTOK z CD domború sokszög és szögének szögfelezői az O pontban metszik egymást (11.5. ábra). izonyítsátok be, hogy az O szög mértéke egyenlő a sokszög C és D szögeinek fél összegével! rombusz tompaszögének csúcsából húzott magassága a rombusz oldalát 7 cm és 18 cm-es szakaszokra osztja, a hegyesszög O csúcsától kezdve a számolást. Határozzátok meg a rombusz átlóinak a hosszát! C z egyenlő szárú háromszög súlyvonalainak hossza 15 cm, 15 cm és 18 cm. Határoz- D zátok meg a háromszög területét! ábra

99 Koordináták módszere 99 FIGYELD MEG, RJZOLD LE, SZERKESZD MEG, KÉPZELD EL! Mekkora a sugara a lehető legkisebb körnek, melyből ki lehet vágni egy háromszöget, melynek oldalai: cm, 3 cm, 4 cm? KOORDINÁTÁK MÓDSZERE Gyakran azt mondjuk: az y = x 1 egyenes, az y = x parabola, az x + y = 1 körvonal, vagyis az alakzatot azonosítjuk az egyenletével. Ez a megközelítés lehetővé teszi, hogy az alakzat tulajdonságainak vizsgálatához elegendő az egyenlet vizsgálata. Ebben rejlik a koordináta módszer lényege. fentieket egy példán illusztráljuk. z egyenes és a kör ábrázolásából nyilvánvaló, hogy legfeljebb két közös pontjuk lehet. Ugyanakkor ez a kijelentés nem axióma, ezért bizonyítani kell. Ez a feladat visszavezethető a következő egyenletrendszer gyökei számának meghatározására: ax + by = c, ( x m) + ( y n) = R, ahol az a és b számok egyidejűleg nem egyenlők nullával és R > 0. z egyenletrendszer helyettesítési módszerrel történő megoldása után egy olyan másodfokú egyenletet kapunk, melynek lehet két megoldása, egy megoldása vagy egyáltalán nincs megoldása. Tehát három eset lehetséges: 1) az egyenletrendszernek két megoldása van a kör és az egyenes két pontban metszik egymást; ) az egyenletrendszernek egy megoldása van ekkor az egyenes érinti a kört; 3) az egyenletrendszernek nincs megoldása ekkor a kör és az egyenes nem metszi egymást. fenti esetek mindegyike előfordult a feladatok megoldása során. koordináták módszere különösen azokban az esetekben eredményes, mikor azt az alakzatot kell meghatározni, melynek pontjai eleget tesznek a feltételnek, vagyis meg kell határozni a PMH. Megjelölünk a síkon két pontot. Legyenek ezek az és pontok. Már tudjátok, hogy milyen alakzat lesz az M pontok mértani helyei, melyekre igaz, hogy M M = 1.

100 DESCRTES-FÉLE KOORDINÁTÁK SÍKON y M (x; y) Ez az szakasz felezőmerőlegese lesz. Érdekes lenne azt is megállapítani, hogy milyen alakzat lesz az, amikor az M = M k, ahol k 1. Oldjuk 0 1 x meg a feladatot k = 1.esetén. z és pontot tartalmazó síkot koordinátasíkká alakítjuk át. következőképpen járunk el: a koordináta-rendszer kezdőpontjának vegyük ábra az pontot, az egységnek pedig az szakaszt; az abszcisszatengely kijelölésénél a pont koordinátája legyen (1; 0) (11.6. ábra). Legyen M (x; y) a keresett F alakzat tetszőleges pontja. Ekkor M = M; 4M = M. Innen következik, hogy 4 (x + y ) = (x 1) + y ; 3x + x + 3y = 1; 1 x + x+ y = ; x + x+ + y = ; x+ y + =. (*) 3 9 Tehát ha az M (x; y) pont az F alakzathoz illeszkedik, akkor a koordinátái kielégítik az (*) egyenletet. Legyen (x 1 ; y 1 ) valamelyik megoldása a (*)-nak. Ekkor könnyen be lehet bizonyítani, hogy 4 (x 1 + y 1 ) = (x 1 1) + y 1. Ez azt jelenti, hogy az N(x 1 ; y 1 ) pontra teljesül a 4N = N. Ezért N = N. Tehát az N pont illeszkedik az F alakzathoz. Vagyis (*) az F alakzat egyenlete, következésképpen az F alakzat egy olyan körvonal, melynek középpontja az O 1 ; 3 0 pont, sugara pedig 3. Mi a feladat részesetét oldottuk meg, amikor k = 1. e lehet bizonyítani, hogy a keresett alakzat bármilyen pozitív k 1 esetén körvonal lesz. Ezt a kört pollóniusz körének 1 nevezzük. 1 Pergai pollóniosz (i. e. III II. sz.) ógörög matematikus és csillagász.

101 Miként vertek hidat az algebra és a mértan között? 101 MIKÉNT VERTEK HIDT Z LGER ÉS MÉRTN KÖZÖTT? koordináták ötlete már nagyon régen megszületett. z emberek az őskorban tanulmányozták a Földet, megfigyelték a csillagokat és a kapott adatok alapján rajzokat és térképeket készítettek. z i. e. II. században Hipparkhosz görög csillagász elsőként használta a koordinátákat helymegállapításhoz a Föld felszínén. Nicole Oresme (ejtsd: Nikol Orem) ( ) francia tudós a XIV. században alkalmazta először a matematikában Hipparkhosz ötletét: a síkot négyzetrácsokra osztotta (hasonlóan a kockás füzetlaphoz), majd a pontok helyzetét szélesség és hosszúság alapján adta meg. koordinátákban rejlő nagy lehetőségeket viszont csak a XVII. században fedezte fel Pierre Fermat (ejtsd: Pier Fermá) és René Descartes (ejtsd: Röné Dékárt) francia matematikusok. tudósok munkáikban bemutatták, hogy a koordináta-rendszer segítségével hogyan juthatunk el a pontoktól a számokig, a vonalaktól az egyenletekig, az algebrától a mértanig. Noha Fermat a tanulmányát Descartesnél egy évvel korábban publikálta, a matematikában ma is használt koordináta-rendszert mégis Descartes-féle koordináta-rendszernek nevezik. Ez annak köszönhető, hogy Descartes az Értekezés a módszerről című munkájában bemutatott egy új, kisebb változtatásokkal ma is használatos betűs jelölési módszert. Ennek alapján jelöljük az ismeretleneket a latin ábécé utolsó betűivel: x, y, z, az együtthatókat pedig az elsőkkel: a, b, c,. már ismert x, y 3, z 5 stb. hatványjelöléseket szintén Descartesnak köszönhetjük. Pierre Fermat ( ) René Descartes ( )

102 DESCRTES-FÉLE KOORDINÁTÁK SÍKON 3. SZ. FELDTSOR. ÖNELLENŐRZÉS TESZT FORMÁJÁN 1. Mik lesznek az szakasz felezőpontjának koordinátái, ha ( 6; 7), (4; 9)? ) ( 5; 8); C) ( 5; 1); ) ( 1; 1); D) ( 1; 8).. Mekkora a C (8; 11) és D (; 3) pontok közötti távolság? ) 100; C) 96; ) 10; D) Mik lesznek az (x 5) + (y + 9) = 16 körvonal középpontjának koordinátái? ) (5; 9); C) (5; 9); ) ( 5; 9); D) ( 5; 9). 4. Melyik körvonalnak lesz a középpontja a koordináta-rendszer kezdőpontja? ) x + (y 1) = 1; C) x + y = 1; ) (x 1) + y = 1; D) (x 1) + (y 1) = 1. 5.Határozzátok meg annak a körnek a sugarát, melynek átmérője az MK szakasz, ha M (14; 1) és K ( 10; )! ) 6; C) 5; ) 13; D) Mik lesznek az 5x 3y = 15 egyenes és az abszcisszatengely metszéspontjának koordinátái? ) (0; 5); C) (0; 3); ) ( 5; 0); D) (3; 0). 7. z CD négyszög paralelogramma. dott három csúcsa: ( ; 3), C (10; 9), D (7; 0). Határozzátok meg az csúcs koordinátáit! ) (1; 6); C) ( 5; 6); ) (19; 3); D) (6; 5). 8. Mik lesznek a koordinátái az ordinátatengelyen lévő pontnak, amely egyenlő távolságra van az ( 3; 4) és (1; 8) pontoktól? ) ( 5; 0); C) (5; 0); ) (0; 5); D) (0; 5).

103 3. sz. feladatsor. Önellenőrzés teszt formájában Határozzátok meg az egyenes azon pontjának abszcisszáját, melynek ordinátája, ha ( 7; 4), (9; 1)! ) 8,5; C) 4; ) 11; D). 10. Mekkora az x y = 4 és az x + 3y = 1 egyenesek metszéspontja és az M (1; 7) pont közötti távolság? ) 5; C) 5 ; ) 50; D) Milyen lesz annak az egyenesnek az egyenlete, amely illeszkedik a P ( 1; 6) ponthoz és párhuzamos az y = x 5 egyenessel? ) y = 6 5x; C) y = 5x 6; ) y = x + 8; D) y = x Mivel egyenlő az x + y + 14 y 1x + 78 = 0 körvonal sugara? ) 7; C) 14; ) 7; D) 14.

104 104! 3.. DESCRTES-FÉLE KOORDINÁTÁK SÍKON 3. PRGRFUS ÖSSZEFOGLLÁS Két pont közötti távolság z (x 1 ; y 1 ) és (x ; y ) végpontú szakasz hosszát a következő kép- lettel határozható meg: = ( x x ) + ( y y ). 1 szakasz felezőpontjának koordinátái 1 z (x 1 ; y 1 ) és (x ; y ) végpontú szakasz felezőpontjának (x 0 ; y 0 ) koordinátái a következő képlettel határozhatók meg: x + x y + y x =, y =. z alakzat egyenlete z F alakzat xy síkbeli egyenletének azt az x és y kétváltozós egyenletet nevezzük, amely a következő tulajdonságokkal rendelkezik: 1) ha a pont illeszkedik az F alakzathoz, akkor a koordinátái igazzá teszik az egyenletet; ) az adott egyenlet bármilyen (x; y) megoldásai az F alakzathoz illeszkedő pont koordinátái lesznek. körvonal egyenlete z R sugarú és (a; b) középpontú körvonal egyenlete a következőképpen írható fel: (x a) + (y b) = R. ármilyen (x a) + (y b) = R alakú egyenlet, ahol az a, b és R tetszőleges számok, és R > 0, egy olyan R sugarú körvonal egyenlete, melynek középpontja az (a; b) koordinátájú pont. z egyenes egyenlete z egyenes egyenlete a következő alakban írható fel: ax + by = c, ahol az a, b és c valamilyen szám, de az a és a b egyszerre nem egyenlő nullával. ármilyen ax + by = c alakú egyenlet, ahol az a, b és c valamilyen szám, de az a és a b egyszerre nem egyenlő nullával, az egyenes egyenlete lesz. Ha b = 0 és a 0, akkor az ax + by = c egyenes egyenlete egy függőleges egyenest ad meg; ha b 0, akkor pedig nem függőleges egyenes lesz.

105 3. paragrafus összefoglalása 105 z egyenes iránytényezője z y = kx + b egyenes egyenletében a k együtthatót az egyenes iránytényezőjének nevezzük, ami egyenlő az egyenes és az abszciszszatengely pozitív iránya közötti szög tangensével. nem függőleges egyenesek párhuzamosságának szükséges és elégséges feltétele z y = k 1 x + b 1 és az y = k x + b egyenesek akkor és csakis akkor lesznek párhuzamosak, ha k 1 = k és b 1 b.

106 VEKTOROK 4.. Megismerve ennek a paragrafusnak az anyagát megtudjátok, hogy a vektorokat nemcsak a fizikában, de a mértanban is alkalmazzák. Megtanuljátok a vektorokat összeadni és kivonni, számmal szorozni, meghatározni két vektor közötti szöget, alkalmazni a vektorok tulajdonságát a feladatok megoldása során. 1. vektor fogalma Már nagyon sok olyan mennyiséget ismertek, amit a számértékével fejezünk ki: ilyen volt a tömeg, terület, hosszúság, térfogat, idő, hőmérséklet stb. Ezeket a mennyiségeket skaláris mennyiségeknek vagy skalároknak nevezzük. fizikából már ismertek olyan mennyiségeket, melyeknek nem elegendő meghatározni a számbeli értékeit. Például ha egy rugóra 5 N erő hat, akkor nem világos, hogy ez a rugó összenyomott vagy széthúzott állapotban van (1.1. ábra). zt is meg kell adni, hogy az erő milyen irányba hat rá ábra zokat a mennyiségeket, melyek számértéken kívül iránnyal is rendelkeznek, vektormennyiségeknek vagy vektoroknak 1 nevezzük. z erő, elmozdulás, sebesség, gyorsulás, súly vektormennyiségnek tekinthető. vektorokat a mértanban is alkalmazzák. 1 vektor kifejezés először 1845-ben jelent meg, W. R. Hamilton ír matematikus és csillagász vezette be.

107 1. vektor fogalma 107 Vizsgáljuk meg az szakaszt. Ha az pontot tekintjük a szakasz kezdőpontjának, a pontot pedig a szakasz végpontjának, akkor a szakaszt már nemcsak a hosszával lehet jellemezni, hanem az pontból a pontig való irányával is. Ha adott, hogy melyik pont lesz a szakasz kezdőpontja, és melyik a végpontja, akkor az ilyen szakaszt irányított szakaszoknak vagy vektoroknak nevezzük. z kezdőpontú és végpontú vektort a következőképpen jelöljük: (így olvassuk: vektor). rajzon a vektort olyan szakasszal ábrázoljuk, amelynek a végén nyíl van, ami az irányát mutatja. 1.. ábrán az, CD és MN. vektorok láthatók. C D M N a b 1.. ábra 1.3. ábra 1.4. ábra vektorok jelölésére latin kisbetűket is használnak, melyek fölé nyilat tesznek ábrán az a, b és c.vektorok láthatók. zt a vektort, melynek a kezdő- és a végpontja ugyanaz a pont, nullvektornak nevezzük és 0.jelöljük. Ha a vektor kezdő- és végpontja az pont, akkor az ilyen vektort.-nak is jelölhetik. nullvektort egy ponttal ábrázoljuk. z vektor abszolút értékének (modulusának) az irányított szakasz hosszát nevezzük. z vektor abszolút értékét így je- löljük:,és az a vektor abszolút értékét pedig így: a. nullvektor abszolút értékét nullának tekintjük: 0 = 0. Meghatározás. nem nullvektorokat kollineárisnak nevezzük, ha ezek a vektorok párhuzamos egyeneseken helyezkednek el vagy egy egyenesen fekszenek. nullvektor bármilyen vektorral kollineáris ábrán az a, b és MN.kollineáris vektorok láthatók. z a és b kollineáris vektorokat így jelöljük: a b ábrán az a és b nem nullvektorok egyirányúak. z ilyen vektorokat egyirányú vektoroknak nevezzük és így jelöljük: a b. c a b M N

108 VEKTOROK a b a b c a b a b 1.5. ábra 1.6. ábra 1.7. ábra 1.8. ábra Ha a b és b c, akkor a c. Ehhez hasonló tulajdonságai vannak az egyirányú vektoroknak is, vagyis ha a b és b c, akkor a c (1.6. ábra) ábrán a kollineáris a és b nem nullvektorok ellentétes irányúak. Ezt így jelöljük: a b. Meghatározás. nem nullvektorokat egyenlőknek nevezzük, ha az abszolút értékűk egyenlő és egyirányúak. ármilyen két nullvektor egyenlő ábrán az a és b.vektorok egyenlők. Ezt így jelöljük: a = b. z a és b nullvektorok egyenlősége azt jelenti, hogy a b és a = b. Könnyen bizonyítható, hogyha az a = b és b = c, akkor a = c. Győződjetek meg erről önállóan. Gyakran, amikor a vektorról beszélünk, nem konkretizáljuk, melyik pont lesz a kezdőpontja ábrán az a vektor látható, és olyan vektorok, melyek az a -val egyenlők. Ezek mindegyikét a -nak nevezhetjük a ábrán az a vektor és egy pont látható. Ha megszerkesztjük az a vektorral egyenlő,vektort, akkor azt mondjuk, hogy az a az pontból induló (vagy kezdőpontú) vektor (1.10. b ábra). a a a 1.9. ábra ábra a b

109 1. vektor fogalma 109 Megmutatjuk, hogy bármilyen M pontból indíthatunk egy az a vektorral egyenlő vektort. Ha az a vektor nullvektor, akkor a keresett vektor az MM. vektor lesz. a E M F a E M F ábra 1.1. ábra Most megvizsgáljuk azt az esetet, amikor az a 0. Legyen az M pont azon az egyenesen, amelyen az a fekszik (1.11. ábra). Ezen az egyenesen létezik olyan E és F pont, melyekre igaz, hogy ME = MF = a. Ugyanezen az ábrán látható, hogy az MF vektor egyenlő az a -ral amit meg kellett határozni. Ha az M pont nem illeszkedik az a -t tartalmazó egyeneshez, akkor az M ponton át fektetünk egy egyenest, amely párhuzamos vele (1.1. ábra). Ezután a szerkesztés már az előzőhöz hasonlóan történik. dott pontból egyetlen olyan vektor indulhat, amely az adott vektorral egyenlő. Feladat. dott egy CD négyszög. Tudjuk, hogy = DC és C = D. Határozzátok meg az CD négyszög fajtáját! Megoldás. z = DC feltételből következik, hogy DC és = DC. Tehát az CD négyszög paralelogramma lesz. z C = D feltételből az következik, hogy az CD négyszög átlói egyenlők. z a paralelogramma, melynek az átlói egyenlők, téglalap lesz.? 1. Hozzatok fel példákat a skalár mennyiségekre!. Mit nevezünk vektormennyiségnek? 3. Mit értünk vektor alatt a geometriában? 4. következő mennyiségek közül melyek lesznek vektormennyiségek: idő, súly, gyorsulás, impulzus, tömeg, elmozdulás, út, terület, nyomás? 5. Milyen szakaszt nevezünk irányított szakasznak vagy vektornak?

110 VEKTOROK 6. Hogyan jelöljük az kezdőpontú és végpontú vektort? 7. Mit nevezünk nullvektornak? 8. Mit nevezünk az?vektor hosszának? 9. Mivel egyenlő a nullvektor abszolút értéke? 10. Milyen vektorokat nevezünk kollineáris vektoroknak? 11. Hogyan jelöljük az egyirányú vektorokat? Ellentétes irányú vektorokat? 1. Milyen vektorok lesznek egyenlők? GYKORLTI FELDTOK 1.1. Jelöljetek nem egy egyenesen fekvő, és C pontot. Rajzoljátok meg az, és C.vektorokat! 1.. motoros hajó az pontból észak felé a 40 km-re lévő pontba ment, majd nyugatra a pontból 60 km-re lévő C pontba. megfelelő méretarány kiválasztásával rajzoljátok meg azokat a vektorokat, melyek az -pontból a -be, a pontból a C-be, és az -ból a C-be való elmozdulást jelölik! 1.3. Rajzoljatok egy C háromszöget! Rajzoljatok egy olyan vektort, amely egyirányú a C,vektorral, de a kezdőpontja a pont! 1.4. dott egy a és egy pont (1.13. ábra). Ábrázoljátok azt a vektort, amelynek az pont a kezdőpontja és az a -ral egyenlő! a b ábra ábra 1.5. dott egy b és egy pont (1.13. ábra). Ábrázoljátok azt a vektort, amelynek a pont a kezdőpontja és a b -ral egyenlő! 1.6. Jelöljetek egy és pontot! Rajzoljatok egy olyan C,vektort, amely egyenlő az.-ral! 1.7. Rajzoljatok egy a -t, és jelöljétek az M és N pontokat! Szerkeszszetek ezekből a pontokból induló olyan vektorokat, melyek az a -ral lesznek egyenlők!

111 1. vektor fogalma Rajzoljatok egy C háromszöget, és jelöljetek egy M pontot a C oldalának felezőpontján! z M pontból szerkesszetek az M,-ral egyenlő vektort, a -ből pedig az C.-ral egyenlő vektort! izonyítsátok be, hogy az így kapott vektorok végpontjai egybeesnek! 1.9. Rajzoljatok egy C háromszöget! és C pontokból rajzoljatok C -ral és.-ral egyenlő vektorokat! izonyítsátok be, hogy az így kapott vektorok végpontjai egybeesnek! GYKORLTOK Nevezzétek meg azokat az egyenlő vektorokat, melyeknek végpontjai az CD négyzet csúcsai lesznek! z CD rombusz átlói az O pontban metszik egymást. Nevezzétek meg azokat az egyenlő vektorokat, melyeknek a kezdő- és végpontjai az,, C, D és O pontok lesznek! 1.1. Melyek: 1) egyenlők; ) egyirányúak; 3) ellentétes irányúak; 4) kollineárisak a ábrán lévő vektorok közül? a b g c d m n e f p ábra z CD paralelogramma és CD oldalának megfelelő felezőpontjai az M és N pont. Nevezzétek meg azokat a vektorokat, melyeknek kezdő- és végpontjai az,, C, D, M és N pontok, és: 1) egyenlő az M ;-ral;

112 VEKTOROK ) kollineáris a CD ;-ral; 3) ellentétes irányú az NC ;-ral; 4) egyirányú a C.-ral! Legyen az O pont az CD paralelogramma átlóinak metszéspontja. Nevezzétek meg azokat a vektorokat, melyeknek kezdő- és végpontjai az,, C, D és O pontok, és: 1) egyenlők egymással; ) egyirányúak; 3) ellenkező irányúak! z M, N és P pontok megfelelően az C háromszög, C és C oldalainak felezőpontjai. Nevezzétek meg azokat a vektorokat, melyeknek kezdő- és végpontjai az,, C, M, N és P pontok, és: 1) az MN ;-ral egyenlők; ) az ;-ral kollineárisak; 3) az MP ;-ral ellenkező irányúak; 4) a C.-ral egyirányúak! Igaz-e a következő állítás: 1) ha m = n, akkor m = n ; 3) ha m n, akkor m n? ) ha m = n, akkor m n ; izonyítsátok be, hogyha az CD négyszög paralelogramma, akkor = DC.! Állapítsátok meg az CD négyszög fajtáját, ha DC és C D.! Állapítsátok meg az CD négyszög fajtáját, ha a C vektorok kollineárisak és C D.! és D 1.0. Határozzátok meg az a és b vektorok abszolút értékét (1.16. ábra), ha a füzet négyzetrácsának oldala 0,5 cm! 1.1. z CD téglalapban adott, hogy = 6 cm, C = 8 cm, az O pont az átlók metszéspontja. Határozzátok meg a következő vektorok abszolút értékét: C, O és OC.! 1.. z CD téglalap átlói az O pontban metszik egymást. dott, hogy = 5 cm, O = 65, cm. Határozzátok meg a D és D. vektorok abszolút értékét! b a ábra

113 1. vektor fogalma dott, hogy = DC. Ki lehet-e jelenteni, hogy az,, C és D pontok egy paralelogramma csúcsai? 1.4. dott, hogy = DC. Milyen egyenlő vektorokat adnak meg az,, C és D pontok? 1.5. dott az CD négyszög. Igazak a következő állítások: = DC és = C. Állapítsátok meg az CD négyszög fajtáját! 1.6. dott az CD négyszög. Ismert, hogy és CD vektorok kollineárisak és C = D. Állapítsátok meg az CD négyszög fajtáját! 1.7. Mit lehet mondani az,-ról, ha =? 1.8. z C derékszögű háromszögben az átfogó felezőpontja az M pont lesz és = 30. Határozzátok meg az és MC,vektorok abszolút értékét, ha C = cm! 1.9. z C derékszögű háromszögben (C = 90 ) a CM súlyvonal 6 cm. Határozzátok meg az és C,vektorok abszolút értékét, ha = 30! dott, hogy a b és c.vektorok nem kollineárisak. z a kollineáris a b és c.vektorokkal. izonyítsátok be, hogy az a vektor nullvektor lesz! dott, hogy az és C vektorok kollineárisak. izonyítsátok be, hogy az, és C pontok egy egyeneshez illeszkednek! Igaz-e a fordított állítás: ha az, és C pontok egy egyeneshez illeszkednek, akkor az és C vektorok kollineárisak? 1.3. z,, C és D pontokra igaz, hogy = CD. izonyítsátok be, hogy az D és C szakaszok felezőpontjai egybeesnek! izonyítsátok be a fordított állítást: ha az D és C szakaszok felezőpontjai egybeesnek, akkor az = CD.! dott, hogy MO = ON. izonyítsátok be, hogy az O pont az MN szakasz felezőpontja! izonyítsátok be a fordított állítást: ha az O pont az MN szakasz felezőpontja, akkor MO = ON.! ISMÉTLŐ GYKORLTOK paralelogramma egyik szöge egyenlő a többi három szög összegének felével. Határozzátok meg a paralelogramma szögeit!

114 VEKTOROK Két hasonló háromszög közül az egyik kerülete 8 cm-rel nagyobb, mint a másiké. Határozzátok meg az adott háromszögek kerületeit, ha a hasonlósági arányuk 1 3.! z CD rombusz C és D oldalain megfelelően jelölték az M és K pontokat úgy, hogy M : MC = KD : K = 1 :. Határozzátok meg az MK szakasz hosszát, ha = a, C = 60! 13. vektor koordinátái Vizsgáljuk meg a koordinátasíkon az a.-t. koordináta-rendszer kezdőpontjától egy vele egyenlő O -t rajzolunk (13.1. ábra). z a vektor koordinátáinak az pont koordinátáit nevezzük. a ( x ; y ) felírás azt jelenti, hogy az a vektor koordinátái (x; y) koordináták lesznek. y y x O y a x b a 1 0 c x ábra 13.. ábra z x és y számokat megfelelően az a vektor első és második koordinátájának nevezzük. meghatározásból következik, hogy az egyenlő vektorok egyenlő koordinátákkal rendelkeznek. Például az a, b és c egyenlő vektorok (13.. ábra) mindegyikének a (; 1) lesznek a koordinátái. fordított állítás is igaz: ha a vektorok megfelelő koordinátái egyenlők, akkor a vektorok is egyenlők lesznek. Valóban, ha az ilyen vektorokat a koordináta-rendszer kezdőpontjától indítjuk, akkor a végpontjainak koordinátái egybeesnek. Természetesen a nullvektornak a koordinátái (0; 0) lesz tétel. Ha az (x 1 ; y 1 ) és (x ; y ) pontok megfelelően az a vektor kezdő- és végpontja, akkor az x x 1 és az y y 1 számok megfelelően az a vektor első és második koordinátái lesznek.

115 13. vektor koordinátái 115 izonyítás. Legyenek az,vektorral egyenlő a vektor koordinátái (a 1 ; a ). ebizonyítjuk, hogy a 1 = x x 1, a = y y 1. Ha a = 0, akkor a tétel állítása nyilvánvaló. Lgyen a 0. koordináta-rendszer kezdőpontjából fektetünk egy OM,vektort, amely egyenlő lesz az.vektorral. Ekkor az M koordinátái (a 1 ; a ) lesznek. Mivel = OM, ezért alkalmazva a 1.3. feladat eredményét, levonhatjuk azt a következtetést, hogy az O és M szakaszok felezőpontjai egybeesnek. z O és M szakaszok felezőpontjainak koordinátái megfelelően ; és x a y a x 0 + y ;.egyenlők. Vagyis 0 + x x1 + a 0 + y 1 =, y1 + a =. Ezek az egyenlőségek akkor is teljesülnek, ha az O pont egybeesik a -vel vagy az pont egybeesik az M-mel. Ebből következik, hogy a 1 = x x 1, a = y y 1. Két pont távolságának képletéből következik, hogyha az a vektor koordinátái (a 1 ; a ), akkor a = a + a Feladat. dott az CD paralelogramma csúcsainak koordinátái: (3; ), ( 4; 1), C ( ; 3). Határozzátok meg a D pont koordinátáit! Megoldás. Mivel az CD négyszög paralelogramma, ezért = DC. Tehát ezeknek a vektoroknak a koordinátái egyenlők. Legyen a D pont koordinátái (x; y). z és DC vektorok koordinátáinak meghatározására alkalmazzuk a tételt. következőt kapjuk: ( 4 3; 1 ( )) = ( 73 ; ); DC ( x ; 3 y ). Innen azt kapjuk, hogy: 7 = x, x = 5, 3= 3 y; y = 6. Felelet: D (5; 6). 1?1. Magyarázzátok meg, mit nevezünk a vektor koordinátáinak!. Mit lehet elmondani az egyenlő vektorok koordinátáiról? 3. Mit mondhatunk azokról a vektorokról, melyeknek a megfelelő koordinátái egyenlők? 4. Hogyan lehet meghatározni a vektor koordinátáit, ha ismertek a kezdő- és a végpontjának koordinátái? 5. Hogyan lehet meghatározni a vektor abszolút értékét, ha adottak a koordinátái?

116 VEKTOROK GYKORLTI FELDTOK Körző és vonalzó segítségével szerkesszétek meg azt a pontot, amelynek koordinátái az adott a vektor koordinátáival egyenlők (13.3. ábra)! y y a a b 1 O x d 0 1 c x ábra ábra 13.. Ábrázoljátok az origóból induló a ( 3; ), b ( 0; ) és c ( 4; 0 ). vektorokat! Ábrázoljátok az M ( 1; ) ponttól kezdődő a (; 1 3), b ( ; 0 ) és c ( 0; 1). vektorokat! GYKORLTOK Határozzátok meg a ábrán látható vektorok koordinátáit! Határozzátok meg az,vektor koordinátáit, ha adott: 1) (; 3), ( 1; 4); 3) (0; 0), ( ; 8); ) (3; 0), (0; 3); 4) (m; n), (p, k)! dott az (1; 3) pont és az a ( ; 1 ) vektor. Határozzátok meg a pont koordinátáit, ha = a.! dottak az (3; 7), (4; 5) és C (5; 8) pontok. Határozzátok meg a D pont koordinátáit, ha = CD.! z (4; 3) pont az m ( 1; 8 ). vektor kezdőpontja. Határozzátok meg a vektor végpontjának koordinátáit!

117 13. vektor koordinátái dottak az (3; 4), ( ; 7), C ( 4; 16) és D (1; 5) pontok. izonyítsátok be, hogy C = D.! izonyítsátok be, hogy az CD négyszög paralelogramma lesz, ha a csúcsai: (1; 5), (; 3), C ( 3; 1) és D ( 4; 7) pontok! z a (; 3 4), b ( 4; ), c 3; 11, ( ) d ( ; ), ( ) 4 e 1; 6 és f ( 4; 5 ) vektorok közül válasszátok ki az egyenlő abszolút értékű vektorokat! dottak az (1; 4) ( ; 5), C (1 + a; 4 + b) és D ( + a; 5 + b) pontok. izonyítsátok be, hogy C = D.! Határozzátok meg az x összes olyan értékét, melyre teljesül, hogy az a ( x ; 8 ) vektor abszolút értéke 10 lesz! z y mely értékénél lesz a b ( 1 ; y ) vektor abszolút értéke 13? M szakasz az C háromszög súlyvonala, melynek csúcsai: (3; 5), (; 3) és C ( 1; 7) pontok. Határozzátok meg a M.vektor abszolút értékét! z F pont az CD téglalap C oldalát 1 : arányban osztja (13.5. ábra). Határozzátok meg az F és FD. vektorok koordinátáit! y C D x y 6 E C 4 F O D 8 x ábra ábra z E pont az OCD téglalap C oldalának felezőpontja (13.6. ábra). Határozzátok meg a DE és EO.vektorok koordinátáit! z a abszolút értéke 10. z első koordinátája -vel nagyobb, mint a második. Határozzátok meg az a vektor koordinátáit! c abszolút értéke, és koordinátái egyenlők. Határozzátok meg az c vektor koordinátáit!

118 VEKTOROK z (; 5) és (7; 5) pontok az CD téglalap csúcsai. D vektor abszolút értéke 13. Határozzátok meg a C és D pontok koordinátáit! z (1; ) és D (1; 6) pontok az CD téglalap csúcsai. z C vektor abszolút értéke 17. Határozzátok meg a és C pontok koordinátáit! ISMÉTLŐ GYKORLTOK 13.. z D és CD két egybevágó egyenlő szárú háromszög ( = D = CD) közös szárral rendelkeznek (13.7. ábra). Határozzátok meg az CD C négyszög típusát! háromszög kerülete 48 cm, a szögfelezője a háromszög oldalát 5 cm és 15 cm-es részekre osztja. Határozzátok meg a háromszög oldalainak hosszát! D ábra z egyenlő szárú trapéz szára a, egyik szöge pedig 60. trapéz kör köré van írva. Határozzátok meg a trapéz területét! FIGYELD MEG, RJZOLD LE, SZERKESZD MEG, KÉPZELD EL! Lehet-e egy 10 cm-es oldalú négyzetből néhány kört kivágni, hogy átmérőinek összege nagyobb mint 5 cm? 14. vektorok összeadása és kivonása Ha a test az pontból elmozdult a -be, majd a -ből a C-be, akkor az elmozdulások összegét az pontból a C pontba C,vektor formában szokás megadni, amely az és C, vektorok összege lesz, vagyis + C = C (14.1. ábra) Ez a példa segíthet abban, hogyan kell értelmeznünk a vektorok összegét, vagy hogyan kell összeadni két a és b C ábra vektort.

119 14. vektorok összeadása és kivonása 119 Egy tetszőleges pontból felmérünk egy, vektort, mely egyenlő az a -ral. ztán a pontból felmérjük a C. vektort, amely a b -ral egyenlő. z C vektort az a és b vektorok összegének nevezzük (14.. ábra) és így írjuk fel: a + b = C. két vektor összeadásának ezt a módját háromszög-szabálynak (vagy láncmódszernek) nevezzük. z elnevezés azzal magyarázható, hogy amikor az a és b vektorok nem kollineárisak, akkor az, és C pontok egy háromszög csúcsai lesznek (14.. ábra). háromszög-szabállyal össze lehet adni a kollineáris vektorokat is ábrán az C vektor két, az a és b kollineáris vektor összege lesz. b a C a b a b C C a b 14.. ábra ábra Tehát tetszőleges három,, és C pontokra igaz + C = C, amely kifejezi a vektorok összegének háromszög-szabályát tétel. Ha az a és b vektorok megfelelő koordinátái (a 1 ; a ) és (b 1 ; b ), akkor az a + b koordinátái (a 1 + b 1 ; a + b ) lesznek. izonyítás. Legyenek az (x 1 ; y 1 ), (x ; y ) és C (x 3 ; y 3 ) pontok olyanok, hogy a = és b = C. Ekkor: a + b = C. ebizonyítjuk, hogy az C vektor koordinátái (a 1 + b 1 ; a + b ) lesznek. Meghatározzuk az a, b és C vektorok koordinátáit: a ( x x1 ; y y1 ), b ( x3 x ; y3 y ), C ( x3 x1 ; y3 y1 ). a + b = C ( x x ; y y ) = C ( x x + x x ; y y + y y ). Figyelembe véve, hogy x x 1 = a 1, x 3 x = b 1, y y 1 = a, y 3 y = b, azt kapjuk, hogy: a + b = C ( a + b ; a + b ). 1 1

120 VEKTOROK Megjegyzés. Miközben az a és b,vektorok összeadásának háromszög-szabályát írtuk le, akkor az a vektor kezdőpontja bármilyen pont lehet. Ha az pontot 1 -re cseréljük, akkor az C vektor helyett, amely az a és b,vektorok összege lesz, egy C 1 1 vektort kapunk tételből következik, hogy az C és C 1 1 vektorok koordinátái (a 1 + b 1 ; a + b )-vel lesznek egyenlők, tehát C = C 1 1. Ez azt jelenti, hogy az a és b,vektorok összege független attól, hogy milyen pontból indul az a. vektorok összeadásának tulajdonságai hasonlók lesznek a számok összeadásának tulajdonságaival. ármilyen a, b és c vektorra teljesülnek a következő azonosságok: 1) a + 0 = a ; ) a + b = b + a felcserélhetőségi törvény; 3) ( a + b)+ c = a + ( b + c) csoportosítási törvény. Ezeknek a törvényeknek a bizonyításához elegendő összehasonlítani a jobb és bal oldalon a megfelelő vektorok koordinátáit. Végezzétek ezt el önállóan! Három vagy több vektor összegének meghatározása úgy történik, hogy először összeadjuk az első és a második vektort, majd a kapott vektorhoz adjuk a harmadikat és így tovább. Például: a + b + c = ( a + b)+ c. vektorok felcserélhetőségi és csoportosítási törvényeiből az követ- kezik, hogy a vektorok összeadásánál felcserélhetjük az összeadandók helyét, és a zárójeleket is bármilyen módon kitehetjük. fizikában gyakran kell összeadni olyan vektorokat, melyeknek közös a kezdőpontjuk. Például ha a testre az F 1 és F erő hat (14.4. ábra), akkor a rá ható eredő erő F1 + F. lesz. Két, egy pontból kiinduló nem kollineáris vektor összeadásakor célszerű a vektorok összeadásának paralelogramma-szabályát alkalmazni. Meg kell határozni az és D nem kollineáris vektorok öszszegét (14.5. ábra). C,vektorral egyenlő D.vektort szerkesztünk. F 1 F 1 + F C F D ábra ábra

121 14. vektorok összeadása és kivonása 11 C, vektort az D -vel párhuzamosan az D vektor végpontjából vesszük fel. Ekkor + D = + C = C. Mivel a C és D vektorok egyenlők, ezért az CD négyszög egy olyan paralelogramma lesz, melynek C az átlója. fenti gondolatmenet alapján meg lehet fogalmazni a nem kollineáris a és b vektor összeadásának paralelogramma-szabályát. Egy közös kezdőpontból felvesszük az a vektorral egyenlő, vektort, és a b vektorral egyenlő D, vektort, majd megrajzoljuk az CD paralelogrammát (14.6. ábra). kkor a keresett a + b összeg az C.vektor lesz. Meghatározás. z a és b vektor különbségének azt a c, vektort nevezzük, amelynek a b vektorral való összege egyenlő az a vektorral. Ezt így írjuk fel: c = a b. emutatjuk azt, hogyan kell megszerkeszteni a vektorok különbségét, ha adott az a és b vektor. Egy tetszőleges O kezdőpontból felvesszük az O és O, vektorokat, melyek megfelelően egyenlők az a és b vektorokkal (14.7. ábra). Ekkor a vektor egyenlő lesz az a b különbséggel. Valóban, O + = O. Tehát a vektorok különbségének meghatározása alapján O O =, vagyis a b =. a b a + b D C ábra ábra ábrán az O és O vektorok nem kollineárisak. leírt algoritmussal meg lehet a kollineáris vektorok különbségét is határozni ábrán a vektor egyenlő az a és b kollineáris vektorok különbségével. a b a b O O a O b a ábra b

122 1 4.. VEKTOROK Tehát bármilyen O, és pontra teljesül az O O =, egyenlőség, amely az egy pontból kiinduló két vektor különbségének szabályát adja meg tétel. Ha az a és b vektorok koordinátái megfelelően (a 1 ; a ) és (b 1 ; b ), akkor az a b vektor koordinátái (a 1 b 1 ; a b ) lesz. izonyítsátok be önállóan ezt a tételt tételből következik, hogy bármilyen a és b vektornak létezik egyetlen olyan c vektora, melyre teljesül az a b = c egyenlőség. Meghatározás. Két nem nullvektort ellentett vektoroknak nevezünk, ha az abszolút értékük egyenlő, az irányuk pedig ellentétes. Ha az a és b vektorok ellentettek, akkor azt mondjuk, hogy az a ellentettje a b vektornak, a b pedig ellentettje az a -nak. nullvektor ellentettjének a nullvektort tartjuk. z a ellentettjét a -ral jelöljük. meghatározásból következik, hogy az ellentett vektora a. vektor lesz. Ezért bármilyen és pontra teljesül az =. egyenlőség. háromszög-szabályból következik, hogy a + ( a) = 0. Ebből az egyenlőségből az következik, hogyha az a koordinátái (a 1 ; a ), akkor a a vektornak a koordinátái: ( a 1 ; a ) lesznek tétel. ármilyen a és b vektorra teljesül az a b = = a + b a ( ) egyenlőség. b b a + ( b ) ábra a bizonyításához elegendő összehasonlítani a bal és jobb oldalon a megfelelő koordinátákat. Végezzétek el önállóan! tétel lehetőséget ad arra, hogy a vektorok kivonását az összeadásra vezessük vissza: ahhoz, hogy az a vektorból kivonjuk a b vektort, elegendő az a vektorhoz hozzáadni a b vektort (14.9. ábra).

123 14. vektorok összeadása és kivonása 13 Feladat. z CD paralelogramma átlói az O pontban metszik egymást ( ábra). Fejezzétek ki az, D és C vektorokat a CO = a és O = b.vektorok által! Megoldás. Mivel az O pont az C és D szakaszok felezőpontja, ezért O = C = CO = a és OD = O = b. b a Innen a következőt kapjuk: O = O + O = O O = a b; D = OD O = b a; D C = D = a b ábra?1. Magyarázzátok meg a vektorok összeadásának háromszög-szabályát!. Milyen egyenlőség fejezi ki a vektorok összeadásának háromszög-szabályát? 3. Mivel egyenlő az összegvektor (két vektor összegének) koordinátái? 4. Írjátok fel a vektorok összeadásának tulajdonságait kifejező egyenlőségeket! 5. Ismertessétek a vektorok összeadásának paralelogramma-szabályát! 6. Mit nevezünk különbségvektornak (vagy két vektor különbségének)? 7. Milyen egyenlőség fejezi ki az egy pontból induló két vektor különbségét? 8. Mivel egyenlő a különbségvektor (két vektor különbségének) koordinátái? 9. Mit nevezünk ellentett vektoroknak? 10. Hogyan jelöljük az a vektor ellentettjét? 11. Hogyan lehet a vektorok különbségét vektorok összegeként felírni? GYKORLTI FELDTOK háromszög-szabály alkalmazásával szerkesszétek meg a ábrán látható a és b vektorok összegét! 14.. paralelogramma-szabály alkalmazásával szerkesszétek meg a a d ábrán látható a és b vektorok összegét! ábrán látható a és b vektor alapján szerkesszétek meg az a b vektort!

124 VEKTOROK b a a b a b a b à b c d a b b a b a e f g ábra Rajzoljatok egy C háromszöget! Szerkesszétek meg az pontból induló: 1) ; ) C; 3) C.vektor ellentett vektorát! Rajzoljatok egy CD paralelogrammát! Szerkesszétek meg: C +, C + DC, C + C, C + D, C + D.vektorokat! Rajzoljatok egy MNP háromszöget! Szerkesszétek meg: MP + PN, MN + PN, MN + MP.vektorokat! Rajzoljatok egy CD paralelogrammát! Szerkesszétek meg: C, D, D, C D.vektorokat! Rajzoljatok egy C háromszöget! Szerkesszétek meg: C C, C C, C C.vektorokat! Vegyetek fel négy pontot: M, N, P és Q! Szerkesszétek meg az MN + NP + PQ.vektort! ábrán látható a, b és c,vektorok alapján szerkesszétek meg az: 1) a + b + c; ) a + b c; 3) a + b + c. vektorokat! a c b b a c b a c a b c ábra

125 14. vektorok összeadása és kivonása Rajzoljatok három olyan közös kezdőpontból kiinduló vektort, amelyek abszolút értéke egyenlő, a két vektor összege pedig egyenlő a harmadik vektorral! Rajzoljatok három olyan közös kezdőpontból kiinduló vektort, amelyek abszolút értéke egyenlő, az összegük pedig nullvektort ad! C ábrán látható,, C és D pontok alapján szerkesszétek meg azt az x, vektort, melyre igaz az D + C + CD + x = 0.egyenlőség! Rajzoljatok egy C háromszöget! ábra Szerkesszetek egy olyan X pontot, melyre igaz: 1) X = X + XC; ) X = XC X.! GYKORLTOK dott az C háromszög. Fejezzétek ki a C vektort, az alábbi vektorokon keresztül: 1) C és ; ) és C.! dott az CD paralelogramma. Fejezzétek ki az, C és D vektorokat a C = a és CD = c.vektorokon keresztül! dott az CD paralelogramma. Fejezzétek ki az C, D és C vektorokat a = a és D = b.vektorokon keresztül! dott az CD paralelogramma. Fejezzétek ki a C, DC és D vektorokat az = a és D = b.vektorokon keresztül! izonyítsátok be, hogy bármilyen,, C és D pontra teljesül a következő egyenlőség: 1) + C = D + DC ; 3) C + C D = D.! ) C C = D D; izonyítsátok be, hogy bármilyen,, C és D pontra teljesül a következő egyenlőség: 1) + C = D + DC ; 3) D + C = DC.! ) D = C CD; z M és N pontok az C háromszög és C oldalainak felezőpontjai. Fejezzétek ki az M, NC, MN és N vektorokat a M = m és N = n.vektorok által!

126 VEKTOROK 14.. z CD paralelogramma átlóinak metszéspontja az O pont. izonyítsátok be, hogy O + O + OC + OD = 0.! dott egy CD négyszög és egy O pont. Ismert, hogy O + O = DO + OC. izonyítsátok be, hogy az CD négyszög paralelogramma! dott egy CD négyszög és egy O pont. Ismert, hogy O OD = O OC. izonyítsátok be, hogy az CD négyszög paralelogramma! dott az a ( 4; 5) és b ( 1; 7 ). vektor. Határozzátok meg: 1) az a + b és a b vektorok koordinátáit; ) a + b és a b.! dottak a következő pontok: (1; 3), (4; 5), C ( ; 1) és D (3; 0). Határozzátok meg: 1) az + CD és CD; ) + CD és CD.vektorok koordinátáit! c (; y ). vektor az a (; 5 3) és a b ( x; 4 ) vektorok összege. Határozzátok meg az x és y értékét! z a ( x ; 1 ) és a b (; y) vektorok összege a c ( 3; 4 ). vektor lesz. Határozzátok meg az x és y értékét! dott az MN (; 3 5). vektor. Határozzátok meg az NM.vektor koordinátáit! z C egyenlő oldalú háromszög oldala 3 cm. Határozzátok meg az + C. értékét! z C egyenlő szárú derékszögű (C = 90 ) háromszög befogója 4 cm. Határozzátok meg az C + C értékét! dott az N (3; 5) és F (4; 1) pont. Határozzátok meg az ON OF és FO + ON értékeit, ha az O egy tetszőleges pont! z úszó a párhuzamos partokra merőlegesen 3 m/s sebességgel ússza át a folyót. vízfolyás sebessége 1 m/s. Milyen szög alatt fog haladni az úszó a párhuzamos partokra merőlegeshez képest? izonyítsátok be, hogy tetszőleges n esetén az 1,,, n pontokra teljesül a következő egyenlőség n 1n = 1 n.! izonyítsátok be, hogy tetszőleges,, C, D és E pontra teljesül a következő egyenlőség: + C + CD + DE + E = 0.!

127 14. vektorok összeadása és kivonása z vektort fejezzétek ki az a, b, c és d vektorokon keresztül ( ábra)! a d z CD paralelogrammában az M, N és K pontok megfelelően az, C és CD szakaszok felezőpontjai. Fejezzétek ki a és D b c ábra vektorokat az MN = m és KN = n.vektorokon keresztül! z CD paralelogrammában az átlók egy O pontban metszik egymást. Fejezzétek ki a és D vektorokat a DO = a és OC = b. vektorokon keresztül! z CD négyszög paralelogramma. izonyítsátok be, hogy: 1) D + D DC = ; ) + C D = 0.! z C háromszögben meghúzták a M oldalfelezőt. izonyítsátok be, hogy: 1) M + C + M = 0; ) M + C + M + = 0.! izonyítsátok be, hogy az a és b nem kollineáris vektorokra teljesül az a + b < a + b.egyenlőtlenség! izonyítsátok be, hogy az a és b nem kollineáris vektorokra teljesül az a b < a + b.egyenlőtlenség! z a és b nem nullvektorokra teljesül az a + b = a + b. egyenlőség! izonyítsátok be, hogy a b.! z a és b nem nullvektorokra teljesül az a + b = a + b. egyenlőség! izonyítsátok be, hogy a b.! Lehet-e nullvektor három olyan vektor összege, melyeknek hosszai: 1) 5; ; 3; ) 4; 6; 3; 3) 8; 9; 18? z CD négyszög átlói az O pontban metszik egymást. Ismert, hogy O + O + OC + OD = 0. izonyítsátok be, hogy az CD négyszög paralelogramma! z MN, PQ és EF páronként nem kollineárisak, és MN + PQ + EF = 0. izonyítsátok be, hogy létezik olyan háromszög, melynek oldalai az MN, PQ és EF szakaszok hosszaival egyenlők! izonyítsátok be, hogy az CD paralelogrammára és bármely X pontra teljesül a következő egyenlőség: X + XC = X + XD.!

128 VEKTOROK dott az és pont. Határozzátok meg azon X pontok mértani helyét, melyekre teljesül, hogy + X =.! dott az és pont. Határozzátok meg azon X pontok mértani helyét, melyekre teljesül, hogy + X = X.! Egy evezős az pontból 4 perc alatt állandó sebességgel úgy evezett át a 40 m széles folyón, hogy a csónak orrát merőlegesen irányította a szemközti parthoz viszonyítva. csónak a C pontba ért partot, amely a folyás irányában az ponttól 48 m-re lejjebb volt. Határozzátok meg a folyó folyásának sebességét, valamint a csónak sebességét a parthoz viszonyítva! Egy csónak az pontból állandó sebességgel haladva 100 s alatt kelt át a 300 m széles folyón. csónak a pontba éri el a túlsó partot. z egyenes merőleges a folyó mindkét partjára. folyó folyásának sebessége 3 m/s. folyó partjához képest milyen szög alatt haladt a csónak az átkelés során? * z C háromszög súlyvonalai az M pontban metszik egymást. izonyítsátok be, hogy M + M + MC = 0.! * z C háromszög oldalaira kívülről 1 1, C 1 C, CC paralelogrammákat szerkesztettek. z 1, 1, C 1 C egyenesek páronként nem párhuzamosak. izonyítsátok be, hogy létezik olyan háromszög, melynek oldalai megfelelően egyenlők az 1, 1 és C 1 C szakaszokkal! ISMÉTLŐ GYKORLTOK z C háromszögbe CDMK paralelogramma van úgy beírva, hogy a C szögük közös, a D, M és K pontok pedig megfelelően a háromszög C, és C oldalaira illeszkednek. Határozzátok meg a paralelogramma oldalait, ha a kerülete 0 cm, C = 1 cm, C = 9 cm! Három kör, melyeknek sugarai 1 cm, cm és 3 cm páronként kívülről érintik egymást. Határozzátok meg annak a körnek a sugarát, melyhez mindhárom kör középpontja illeszkedik! izonyítsátok be, hogy a körbe írt szabályos hatszög területe 3 -ed része a kör köré írt hatszög területének! 4

129 15. vektorok számmal való szorzása vektorok számmal való szorzása Legyen az a.egy nem nullvektor ábrán az, vektor látható, amely a + a, és a CD,vektor, amely egyenlő a ( a)+ ( a)+ ( a). Nyilvánvaló, hogy = a és a, CD = 3 a és CD a. z vektort a -val jelöljük, és úgy tekintjük, mintha az a a -t megszoroznánk -vel. Hasonlóan a CD vektort úgy kapjuk meg, ha az a C -t megszoroznánk 3-mal, és így írjuk: CD = 3 a. Ez a példa megmutatta, hogyan lehet bevezetni a ábra D vektor számmal való szorzását. Meghatározás. z a nem nullvektor és egy k szám szorzatának azt a b,vektort nevezzük, melyre teljesülnek a következő feltételek: 1) b = k a ; ) ha k > 0, akkor b a; ha k < 0, akkor b a. Így írják: b = ka. Ha a = 0 vagy k = 0, akkor ka = ábrán az a, a, 3 a, 3 a.vektorok láthatók. meghatározásból következik, hogy 1. a = a, a 1. a = a. a meghatározásból az is következik, hogyha b = ka, akkor az a és b 3 a vektorok kollineárisak lesznek. 3 a Ha az a és b vektorok kollineárisak, akkor a 15.. ábra b vektort felírhatjuk-e ka szorzataként? Erre a kérdésre a következő tétel ad választ tétel. Ha az a és b vektorok kollineárisak és a 0, akkor létezik egy olyan k szám, melyre teljesül a következő egyenlőség: b = ka. izonyítás. Ha b = 0, akkor a k = 0 estén azt kapjuk, hogy b = ka.

130 VEKTOROK Ha b 0, akkor a b,vagy a b. b 1) Legyen a b. Vizsgáljuk meg a c = ka vektort, ahol k =. a Mivel k > 0, ezért c a, tehát c b. Ezenkívül c = k a = b. Vagyis a b és c vektorok egyirányúak és abszolút értékeik egyenlő. Ebből következik, hogy b = c = ka. b ) Legyen a b. Vizsgáljuk meg a c = ka,vektort, ahol k =. a Erre az esetre önállóan fejezzétek be a bizonyítást tétel. Ha az a koordinátái (a 1, a ), akkor a ka vektornak a koordinátái (ka 1, ka ) lesznek. izonyítás. Ha a = 0 vagy k = 0, akkor az állítás nyilvánvaló. Legyen a 0 és k 0. Vizsgáljuk meg a b ( ka1 ; ka ). vektort. ebizonyítjuk, hogy b = ka. b = ( ka1 ) + ( ka ) = k a1 + a = k a. koordináta-rendszer kezdőpontjából O és O, vektorokat indítunk, melyek megfelelően egyenlők az a és b.vektorokkal. Mivel az O egyenes a koordináta-rendszer kezdőpontjához illeszkedik, ezért egyenlete ax + by = 0 alakú. Ehhez az egyeneshez az (a 1 ; a ) pont illeszkedik. Ezért aa 1 + ba = 0. Ebből következik, hogy a (ka 1 ) + b (ka ) = 0. Tehát a (ka 1 ; ka ) pont is illeszkedni fog az O egyeneshez, ezért az O és az O vektorok kollineárisak, vagyis a b. Ha k > 0, akkor az a 1 és ka 1 egyforma előjelűek (vagy mindkettő egyenlő nullával). Ugyan- y ilyen tulajdonsággal rendelkeznek a a és ka számok is. Tehát ha k > 0, akkor az és pontok ugyanahhoz a koordinátanegyedhez tartoz- nak (vagy ugyanarra a koordináta félegyenesre O x illeszkednek), ezért az O és az O vektorok egyirányúak (15.3. ábra), vagyis a b. Ha k < 0, akkor az O és az O vektorok ellentétes irányúak, vagyis a b ábra Tehát megkaptuk, hogy b = ka.

131 15. vektorok számmal való szorzása következmény. z a ( a1 ; a ) és b ( ka1 ; ka ) vektorok kollineárisak.. következmény. Ha az a ( a1 ; a ) és b ( b1 ; b ) vektorok kollineárisak és a 0, akkor létezik egy olyan k szám, melyre teljesül, hogy b 1 = ka 1 és b = ka tétel segítségével be lehet bizonyítani a vektor számmal való szorzásának következő tulajdonságait. ármilyen k, m számra és bármilyen a, b vektorra igazak a következő azonosságok: 1) ( km) a = k( ma ) csoportosítási tulajdonság; ) ( k+ m) a = ka + ma első széttagolási törvény; 3) k( a + b) = ka + kb második széttagolási törvény. Ezeknek a tulajdonságoknak a bizonyításához elegendő összehasonlítani az egyenlőtlenségek bal és jobb oldalán lévő vektorok megfelelő koordinátáit. Végezzétek el önállóan! Ezek a tulajdonságok az algebrai kifejezésekhez hasonlóan lehetőséget adnak az olyan kifejezések átalakítására, melyek vektorok összegét és különbségét, valamint a vektor számmal való szorzását tartalmazza. Például: ( a 3b)+ 3( a + b) = a 6b + 3a + 3b = 5a 3b. 1.feladat. izonyítsátok be, ha O = ko, akkor az O, és pontok egy egyeneshez illeszkednek! Megoldás. feladat feltételéből következik, hogy O és O vektorok kollineárisak. Emellett ezek a vektorok egy pontból, az O pontból indulnak. Tehát az O, és pontok egy egyeneshez illeszkednek..feladat. z M pont az szakasz felezőpontja, X pedig egy tetszőleges pont (15.4. ábra). izonyítsátok be, hogy XM = 1 ( X + X). Megoldás. háromszög-szabály alkalmazásával azt kapjuk, hogy: XM = X + M; M XM = X + M. Összeadjuk a két egyenlőséget: X XM = X + X + M + M. Mivel az M és M ellentett vektorok, ezért M + M = 0.és XM ábra = = X + X. Innen következik, hogy XM = 1 ( X + X ).

132 VEKTOROK O N M C D C 1 1 M ábra ábra 3. feladat. izonyítsátok be, hogy a trapéz alapjainak felezőpontjai és a szárai meghosszabbításainak metszéspontja egy egyenesen fekszenek! Megoldás. Legyen az M és N pontok az CD trapéz C és D oldalainak felezőpontjai, az O pont pedig az és CD egyenesek metszéspontja (15.5. ábra). lkalmazzuk a. feladatot, és felírjuk: OM = 1 ( O + OC), ON = 1 ( O + OD). Mivel O O és OC OD, ezért O = ko és OC = kod 1, ahol k és k 1 valamilyen számok. Mivel a OC ~ OD, ezért O OC =. Ebből következik, hogy k = k O OD 1. következőt kapjuk: OM = ( O + OC) = ( ko + kod) = k. ( O + OD) = kon. z 1. feladatból következik, hogy az O, M és N pontok egy egyeneshez illeszkednek. 4. feladat. izonyítsátok be, hogyha az M pont az C háromszög súlyvonalainak metszéspontja, akkor M + M + MC = 0! Megoldás 1. Legyen az 1, 1 és CC 1 az C háromszög oldalfelezői (15.6. ábra). Ekkor: 1 1 = ( + C) ; 1 1 = ( + C) ; 1 CC1 = ( C + C) feladat útmutatásában egy másik módszert ajánl a 4. feladat megoldására. C

133 15. vektorok számmal való szorzása 133 Innen következik, hogy CC1 = ( + + C + C + C+ C) = 0. háromszög súlyvonalának tulajdonságából következik, hogy M = 1. kkor M = 1. Hasonlóan M = , MC = = CC 1. Innen következik, hogy: 3 M + M + MC = 1 1 CC1 = ( CC1 ) = ? 1. Mit nevezünk az a nem nullvektor és a k (k 0) szám szorzatának?. Mivel egyenlő a ka,szorzat, ha k = 0 vagy a = 0? 3. Mit lehet elmondani az a és b,nem nullvektorokról, ha b = ka, ahol a k egy tetszőleges szám? 4. dott, hogy az a és b kollineáris vektorok, és a 0. Hogyan lehet a b vektort kifejezni az a?vektoron keresztül? 5. z a vektor koordinátái (a 1 ; a ). Mivel lesz egyenlő a ka?vektor koordinátái! 6. Mit lehet elmondani azokról a vektorokról, melyeknek koordinátái (a 1 ; a ) és (ka 1 ; ka )? 7. Milyen összefüggés van az a ( a1 ; a ) és b ( b ; b 1 ) vektorok megfelelő koordinátái között? 8. Írjátok fel a vektor számmal való szorzásának csoportosítási és széttagolási törvényét! GYKORLTI FELDTOK dottak az a, b és c vektorok (15.7. ábra). Szerkesszétek meg az alábbi vektort: 1) b ; ) 1 3 c ; 3) 3 a ; 4) 1 6 a.! 15.. dottak az a, b és c vektorok (15.7. ábra). Szerkesszétek meg az alábbi vektort: 1) 1 a ; ) b ; 3) 3 c.! dottak az a és b vektorok (15.8. ábra). Szerkesszétek meg az alábbi vektort: 1) a + b; ) 1 3 a b + ; 3) a 1 b ; 4) 1 3 a b.! 3

134 VEKTOROK a a b c b ábra ábra Szerkesszétek meg az x és y.nem kollineáris vektorokat! Jelöljetek egy tetszőleges O pontot. z O ponttól kezdődően szerkesszétek meg a következő vektort: 1 1 1) 3x + y; ) x + y; 3) x + 3y ; 4) x y.! Vegyetek fel három,, és C pontot úgy, hogy teljesüljön az alábbi egyenlőség: 1) = C; ) = 3 C; 3) C = 1 ; 4) C = 1 C.! Rajzoljatok egy C háromszöget! Jelöljétek meg az C oldal felezőpontját M-mel! 1) Szerkesszétek meg az M pontból induló 1 C.vektort! ) Szerkesszétek meg a pontból induló C.vektort! Rajzoljatok egy CD (C D) trapézt! Jelöljétek az oldal felezőpontját M-mel! Szerkesszétek meg az M pontból induló 1 1 C + D.vektort! Rajzoljatok egy C háromszöget. Szerkesszétek meg az 1 3 C, vektort, melynek a kezdőpontja az oldalra illeszkedik, a végpontja pedig a C oldalra! GYKORLTOK Határozzátok meg a 3m és a 1 m,vektor abszolút értékét, ha m = 4.!

135 15. vektorok számmal való szorzása a és 1 3 a,vektorok közül melyik lesz egyirányú az a,vektorral, ha a 0? Állapítsátok meg, hogy egyirányúak vagy ellentétes irányúak-e az a és b nem nullvektorok, ha: 1) b = a; ) a = 1 b 3 ; 3) b a =! Határozzátok meg az a arányt! b Fejezzétek ki a p vektort az egyenlőségekből: 1) q = 3 p; ) C = p; 3) 1 p q = ; 4) p = 3q! z CD paralelogrammában az O pont az átlók metszéspontja. Fejezzétek ki: 1) az O vektort az C;vektoron keresztül; ) a D vektort a O ;vektoron keresztül; 3) a CO vektort az C.vektoron keresztül! z CD paralelogramma átlóinak metszéspontja az O pont, és = a, D = b. Fejezzétek ki az O vektort az a és b.vekto- rokon keresztül! z CD paralelogramma C átlóján úgy vettünk fel egy M pontot, hogy M : MC = 1 : 3. Fejezzétek ki az MC vektort az a és b.vektorokon keresztül, ha a =, b = D.! z CD paralelogrammában az M pont a C szakasz felezőpontja, az = a, D = b. Fejezzétek ki az M és MD vektoro- kat az a és b.vektorokon keresztül! z C háromszögben az M és N pontok megfelelően az és C oldalak felezőpontjai. Fejezzétek ki: 1) az MN vektort a C;vektoron keresztül; ) az C vektort az MN.vektoron keresztül! cm hosszú szakaszon úgy jelöltek egy C pontot, hogy C = 6 cm. Fejezzétek ki: 1) az vektort az C ;vektoron keresztül; ) a C vektort az ;vektoron keresztül; 3) az C vektort a C.vektoron keresztül!

136 VEKTOROK dott az a ( 4; ). vektor. Határozzátok meg az alábbi vektorok koordinátáit és abszolút értékeit: 3a, 1 a és 3 a.! dott a b ( 6; 1 ). vektor. Határozzátok meg az alábbi vektorok koordinátáit és abszolút értékeit: b, 1 6 b és 3 b.! dott az a (; 3 ). vektor. b ( 3; ), c ( 6; 4 ), d 3 ; 1, e 1; és f ( 3 ; ) vektorok közül melyek lesznek kollineárisak az a vektorral? dottak az a (; 3 3) és b ( 16; 8 ). vektorok. Határozzátok meg a következő vektorok koordinátáit: ) a+ b; ) a + b ; 3) a 5 b 3 4 8! dottak az m ( ; 4 ) és n (; 3 1). vektorok. Határozzátok meg a következő vektorok koordinátáit: 1 1) 3m+ n; ) m+ n ; 3) m 3 n.! z C háromszög és C oldalain megfelelően jelölték az M és N pontokat úgy, hogy M : M = N : NC = 1 :. Fejezzétek ki az MN vektort a C. vektoron keresztül! z O, és pontok egy egyeneshez illeszkednek. izonyítsátok be, hogy létezik olyan k szám, melyre teljesül az O = ko. egyenlőség! z CD paralelogramma és C oldalain úgy jelöltek megfelelően M és N pontokat, hogy teljesülnek a következő egyenlőségek: M : M = 1 :, N : NC = : 1. Fejezzétek ki az NM vektort az = a és D = b.vektorokon keresztül! z CD paralelogramma C és CD oldalain úgy jelöltek megfelelően E és F pontokat, hogy teljesülnek a következő egyenlőségek: E : EC = 3 : 1, CF : FD = 1 : 3. Fejezzétek ki az EF vektort az = a és D = b vektorokon keresztül! izonyítsátok be, hogy az és CD vektorok kollineárisak, ha (1; 1), (3; ), C ( 1; 3), D (5; 6)! z a (; 1 ), b ( 3; 6 ), c ( 4; 8 ) és d ( 1; ) vektorok között keressetek kollineáris párokat! dott az m ( 4; 6), n 1; 3 és k 9 3; vektorok. Nevezzétek meg az egyirányú és az ellentétes irányú vektorokat!

137 15. vektorok számmal való szorzása 137 x Határozzátok meg az x értékét, melynél az a (; 1 x ) és b 4 ; 4 vektorok kollineárisak lesznek! z y mely értékénél lesznek az a (; 3 ) és b ( 1 ; y ) vektorok kollineárisak? dott a b ( 3; 1 ). vektor. Határozzátok meg annak a kollineáris vektornak a koordinátáit, amelynek abszolút értéke kétszer nagyobb a b vektor abszolút értékénél! Hány megoldása van a feladatnak? Határozzátok meg az n (; 5 1), vektorral ellentétes m, vektor koordinátáit, ha m = 39! Határozzátok meg a b ( 9; 1 ), vektorral egyirányú a,vektor koordinátáit, ha a = 5.! izonyítsátok be, hogy az CD négyszög trapéz, ha csúcsai az ( 1; ), (3; 5), C (14; 6) és D (; 3) pontok! izonyítsátok be, hogy az ( 1; 3), (4; 7) és D ( ; 5) pontok egy egyeneshez illeszkednek! dott az a (; 1 4), b ( 0; 3 ) és c (; 17). vektor. Határozzátok meg azokat az x és y számokat, melyekre teljesül a c = xa + yb egyenlőség! z CD paralelogramma átlói az O pontban metszik egymást. C oldalán jelöltek egy K pontot úgy, hogy K : KC = : 3. Fejezzétek ki az OK vektort az = a és D = b vektorokon keresztül! z CD négyszög átlói az O pontban metszik egymást úgy, hogy O : OC = 1 :, O : OD = 4 : 3. Fejezzétek ki az, C, CD és D vektorokat az O = a és O = b.vektorokon keresztül! z C háromszög és C oldalain megfelelően jelölték a K és F pontokat úgy, hogy K : K = 1 : és F : FC = : 3. Fejezzétek ki az C, F, KC és KF vektorokat a K = m és CF = n vektorokon keresztül! z C háromszög C és C oldalain megfelelően jelölték az M és N pontokat úgy, hogy M : MC = 1 : 3 és N : NC = 4 : 3. Fejezzétek ki a, N, M és NM vektorokat a N = k és M = p. vektorokon keresztül! z C háromszög súlyvonalai az M pontban metszik egymást. Fejezzétek ki a M vektort a és C.vektorokon keresztül! Vektorok segítségével bizonyítsátok be a háromszög középvonaláról szóló tételt!

138 VEKTOROK z M 1 és M pontok az 1 1 és szakaszok megfelelő 1 felezőpontjai. izonyítsátok be, hogy MM 1 = ( ).! feladat felhasználásával bizonyítsátok be a trapéz középvonaláról szóló tételt! z M és N pontok az CD négyszög C és D átlóinak a megfelelő felezőpontjai feladat felhasználásával bizonyítsátok be, hogy MN = 1 ( DC).! z M és N pontok az CD trapéz (C D) C és D átlóinak megfelelő felezőpontjai feladat felhasználásával bizonyítsátok be, hogy MN D! z C háromszög C oldalán úgy jelöltek egy M pontot, hogy 3 M : MC = : 3. izonyítsátok be, hogy M = + C.! z C háromszög C oldalán úgy jelöltek egy D pontot, hogy 1 D : DC = 1 :. izonyítsátok be, hogy D = + C.! * izonyítsátok be, hogy létezik olyan háromszög, melynek oldalai az adott háromszög súlyvonalaival egyenlők! * z M 1 és M pontok az 1 1 és szakaszok megfelelő felezőpontjai. izonyítsátok be, hogy az 1, M 1 M és 1 szakaszok felezőpontjai egy egyeneshez illeszkednek! * z CD paralelogramma D oldalán és az C átlóján megfelelően jelöltek egy M és N pontot úgy, hogy M = 1 D és N = 1 C. 5 6 izonyítsátok be, hogy az M, N és pontok egy egyeneshez illeszkednek! ISMÉTLŐ GYKORLTOK z egyenlő szárú trapéz kisebbik alapja és szára is egyaránt 1 cm, egyik szöge pedig 60 -os. Mivel egyenlő a trapéz középvonala? paralelogramma átlói 6 cm és 16 cm, az egyik oldala pedig 7 cm. Határozzátok meg a trapéz átlói közötti szögét és a területét! Egy húr az R sugarú körvonalat olyan ívekre osztja, melyek aránya : 1! Határozzátok meg a húr hosszát!

139 vektorok alkalmazása 139 FIGYELD MEG, RJZOLD LE, SZERKESZD MEG, KÉPZELD EL! dott egy négyzetrácsos négyzet. négyzet kis négyzeteit úgy festették sorba feketére és fehérre, hogy a középső négyzet fekete lett. Minden különböző színű négyzetpárra egy vektort fektettek úgy, hogy a kezdőpontja a fekete négyzet középpontja, végpontja pedig a fehér négyzet középpontja legyen. izonyítsátok be, hogy az összes így keletkezett vektor összege nullvektor! VEKTOROK LKLMZÁS feladatok megoldását gyakran vektorok alkalmazásával végzik, és eközben a következő lemmát is használják: Lemma. Legyen az M pont az szakasz olyan pontja, melyre teljesül az M m = egyenlőség (15.9. ábra). Ekkor bármilyen M n X pontra igaz lesz a következő egyenlőség: n m XM = X + X. m + n m + n izonyítás. Mivel XM X = M., m m és M =, ezért M =. m+ n m+ n m Felírjuk, hogy XM X =. m+ n M Mivel az = X X, ebből azt kapjuk, hogy m XM X = ( X X) ; X m+ n m m ábra XM = X X + X; m+ n m+ n n m XM = X + X. m+ n m+ n Megjegyezzük, hogy ez a lemma a 15. pont. feladatának általánosítása. Feladat. Legyen az M pont az C háromszög oldalfelezőinek a metszéspontja és X egy tetszőleges pont ( ábra). izonyítsátok be, hogy XM = 1 ( X + X + XC). 3

140 VEKTOROK X H O M K K C P ábra ábra C Megoldás. Legyen a K pont az C szakasz felezőpontja. Ez azt jelenti, hogy M : MK = : 1. Ekkor, felhasználva az előbbi lemmát, fel lehet írni: XM = X + XK = X +. ( X + XC) 1 = ( X + X + XC ) ebizonyítjuk a vektoregyenlőséget, amely összeköti a háromszög két nevezetes 1 pontját. Tétel. Ha az C háromszögben a H a háromszög ortocentruma, O pedig a köré írt körvonal középpontja, akkor igaz a következő egyenlőség OH = O + O + OC. (*) izonyítás. (*) egyenlőség a derékszögű háromszög esetén szemmel látható. Legyen az C háromszög nem derékszögű. z O pontból OK merőlegest bocsátunk az C háromszög C oldalára ( ábra). 8. osztályban bebizonyítottuk, hogy H = OK. z OK félegyenesen úgy jelölünk egy P pontot, hogy OK = KP. Ekkor H = OP. Mivel a H OP, ezért a HOP négyszög paralelogramma lesz. paralelogramma-szabály alapján OH = O + OP. Mivel a K pont az C szakasz felezőpontja, ezért az OCP négyszög átlói metszik és metszéspontjukban felezik egymást. Ebből következik, hogy OP = O + OC. következőt kaptuk: OH = O + OP = O + O + OC. Térjünk vissza az XM = 1 ( X + X + XC), vektoregyenlőséghez, 3 1 háromszög nevezetes pontjairól bővebben a 8. osztályos mértankönyvben olvashattok.

141 16. vektorok skaláris szorzata 141 ahol az M pont az C háromszög súlyvonalainak metszéspontja. Mivel X egy tetszőleges pont, ezért az egyenlőség akkor is teljesül, ha az X pontnak az O pontot fogjuk venni, ahol az O az C háromszög köré írt körvonal középpontja. Ebből azt kapjuk, hogy: 3OM = O + O + OC. Figyelembe véve a (*) egyenlőséget: 3OM = OH. Ez az egyenlőség azt jelenti, hogy az O, M és H pontok egy egyeneshez illeszkednek, ezt az egyenest pedig Euler-egyenesnek nevezzük. Emlékeztetünk arra, hogy ezt a nevezetes tulajdonságot a 8. osztályban egy másik módszerrel már bebizonyítottuk. 16. vektorok skaláris szorzata Legyen a és b két nem nullvektor és nem egyirányú vektorok (16.1. ábra). Indítsunk egy tetszőleges O pontból olyan O és O, vektorokat, melyek megfelelően egyenlők az a és b vektorokkal. z O szöget az a és b vektorok közötti szögnek nevezzük. z a és b vektorok közötti szöget ( a, b) jelöljük. Például a ábrán ( a, b) = 10, a 16.. ábrán pedig ( m, n) = 180. a b m n 10 O ábra 16.. ábra Ha az a és b egyirányúak, akkor úgy tekintjük, hogy az ( a, b) = 0. Ha legalább az a és b közül az egyik nullvektor, akkor szintén úgy tekintjük, hogy ( a, b) = 0. Tehát tetszőleges a és b vektorra igaz a következő egyenlőség: 0 m( a, b) m180. z a és b vektorokat merőlegeseknek nevezzük, ha a köztük lévő szög 90. Ezt így írjuk: a ^ b. Már ismeritek a vektorok összeadásának és kivonásának, valamint a vektorok számmal való szorzásának szabályát. Fizikából már tudjátok, hogyha állandó F erő hatására a test pontból pontba jut

142 VEKTOROK (16.3. ábra), akkor mechanikai munkavégzés történik, amely egyenlő F cos ϕ, ahol a ϕ=( F, ). F ϕ F ϕ ábra fentiek alapján célszerű lenne bevezetni egy újabb műveletet a vektorokkal. Meghatározás. Két vektor skaláris szorzatának e vektorok abszolút értékeinek és a köztük lévő szög koszinuszának szorzatát nevezzük. z a és b vektorok skaláris szorzatát a. b.-vel jelöljük. Tehát: a. b = a b cos ( a, b) Ha az a vagy a b vektorok közül legalább az egyik nullvektor, akkor természetesen az a. b = 0. Legyen a = b. kkor a. b a. = a = a a cos 0 = a. z a. a skaláris szorzatot az a vektor skaláris négyzetének nevezzük, és a.-nek jelöljük. Így azt kaptuk, hogy a = a, vagyis a vektor skaláris négyzete az abszolút értékének négyzetével egyenlő tétel. Két nem nullvektor skaláris szorzata akkor és csakis akkor egyenlő nullával, ha a két vektor merőleges egymásra. izonyítás. Legyen a ^ b. ebizonyítjuk, hogy a. b = 0. dott: ( a, b) = 90. Ebből következik, hogy a. b = a b cos 90 = 0. Legyen a. b = 0. ebizonyítjuk, hogy a ^ b. Felírjuk, hogy a b cos ( a, b) =0. Mivel a 0 és b 0, ezért a cos ( a, b) =0. Ebből következik, hogy ( a, b) = 90, vagyis a ^ b.

143 16. vektorok skaláris szorzata tétel. z a ( a1 ; a ) és b ( b1 ; b ) vektorok skaláris szorzatát a következő képlettel lehet kiszámítani: a. b = ab + ab 1 1 izonyítás. Először megvizsgáljuk azt az esetet, amikor az a és b y a vektorok nem kollineárisak. közös O kezdőpontból indított O és O,vektorok megfelelően egyenlők az a és b b vektorokkal (16.4. ábra). Ekkor az ( O x a, b) = O. z O háromszögre alkalmazzuk a koszinusztételt: ábra = O + O O. O.cos O. Innen O. 1 O.cos O = ( O + O ). Mivel a = O és b = O, ezért O. O.cos O = a b. Ezenkívül az = O O = b a. Tehát ( b1 a1 ; b a ). Ezekből következik, hogy a. 1 b = ( a + b ). Felhasználva a vektor abszolút értékének koordinátái alapján történő megha- tározásának képletét, azt kapjuk, hogy a. 1 b = ( ( a + a ) + ( b + b ) ( b a ) ( b a ) ) jobb oldal egyszerűsítése után a következőt kapjuk: a. b = ab 1 1+ ab. Vizsgáljuk meg azt az esetet, amikor a és b vektorok kollineárisak. Ha a = 0 vagy b = 0, akkor természetesen teljesül az a. b = = ab 1 1+ ab. Ha a 0 vagy b 0, akkor létezik egy olyan k szám, hogy b = ka, vagyis b 1 = ka 1, b = ka. Ha k > 0, akkor ( a, b) = 0. Ekkor: a. b = a. ( ka) = a ka cos 0 = k a = k( a1 + a ) = = a. ka + a. ka = ab + ab zt az esetet, amikor k < 0, önállóan vizsgáljátok meg.

144 VEKTOROK Következmény. Két, a ( a1 ; a ) és b ( b1 ; b ) nem nullvektor közötti szög koszinuszát a következő képlettel lehet kiszámítani: cos ( a, b) = ab + ab 1 1 a + a. b + b izonyítás. z a és b vektorok skaláris szorzatának meghatározásából következik, hogy cos ( a, b) = tétel és a a. b a b vektor abszolút értékének képlete felhasználásával megkapjuk a (*) tétel segítségével könnyen bebizonyíthatjuk a skaláris szorzat következő tulajdonságait. ármilyen a, b, és c vektorra és bármilyen k számra teljesülnek a következő egyenlőségek: 1) a b. = b. a felcserélhetőségi törvény; ) ( ka ). b = k( a. b ) csoportosítási törvény; 3) ( a + b). c = a. c + b. c széttagolási törvény. fenti egyenlőségek bizonyításához elegendő a skaláris szorzatokat koordinátás alakban felírni, majd összehasonlítani az egyenlőségek bal és jobb oldalát. Végezzétek el ezt önállóan. Ezek, valamint a vektor összeadásának és a vektorok számmal való szorzásának tulajdonságai az algebrai kifejezések átalakításához hasonlóan lehetőséget adnak az olyan kifejezések átalakítására, melyek skaláris szorzást is tartalmaznak. Például: ( a+ b) = ( a + b).( a + b) = ( a + b). a + ( a + b). b = = a + b. a + a. b + b = a + a. b + b. 1.feladat. Vektorok segítségével, bizonyítsátok be, hogy a rombusz átlói merőlegesek egymásra! a Megoldás ábrán az CD rombusz C látható. Legyen = a, D = b. Nyilvánvaló, hogy a = b. paralelogramma-szabály alapján: b C = a + b és D = a + b. Ebből következik, hogy D C. D = ( a + b).( a + b) = b a = b a = ábra Tehát C ^ D. 1 1 (*)

145 16. vektorok skaláris szorzata 145. feladat. dott, hogy a = 3, b = 1, ( a, b) = 10. Határozzátok meg a a 3b.értékét! Megoldás. Mivel a vektor skaláris négyzete egyenlő abszolút értékének négyzetével, ezért a 3b = a 3b ( ). Innen: a 3b = a 3b 4a 1a. b 9b ( ) = + = = 4 a 1 a b cos ( a, b) + 9 b = = 63 = 3 7. Felelet: feladat. z C háromszögben adott, hogy = 4 cm, C = = 6 3 cm, C = 30. Határozzátok meg a M súlyvonal hosszát! Megoldás. 15. pont. feladatának felhasználásával felírjuk: 1 M = ( + C) (16.6. ábra). Innen, 1 M = ( + C) = 4 1 = ( +. C + C ) = 4 1 = ( + C. cos C + C ) = 4 M 1 3 = = Tehát M = 49; M = 7 cm. C ábra Felelet: 7 cm.? 1. Magyarázzátok el, hogyan lehet megszerkeszteni két nem nullvektor és nem egyirányú vektor közötti szöget?. Mivel egyenlő két egyirányú vektor közötti szög? 3. Mivel egyenlő az a és b vektorok közötti szög, ha legalább az egyik nullvektor? 4. Hogyan jelölik az a és b vektorok közötti szöget? 5. Milyen határok közzé esik bármilyen a és b vektor közötti szög értéke? 6. Milyenek a merőleges vektorok? 7. Mit nevezünk két vektor skaláris szorzatának? 8. Mit nevezünk a vektor skaláris négyzetének?

146 VEKTOROK 9. Mivel egyenlő a vektor skaláris négyzete? 10. Fogalmazzátok meg két nem nullvektor merőlegességének feltételét! 11. Mi következik az a. b = 0 egyenlőségből, ha a 0 és b 0? 1. Hogyan határozzuk meg a vektorok skaláris szorzatát, ha adottak a koordinátáik? 13. Hogyan határozzuk meg két nem nullvektor közötti szög koszinuszát, ha adottak a koordinátáik? 14. Írjátok fel a vektorok skaláris szorzatának tulajdonságait! GYKORLTI FELDTOK Szerkesszétek meg azt a szöget, amely egyenlő az a és b vektorok közötti szöggel (16.7. ábra)! 16.. Szerkesszétek meg azt a szöget, amely egyenlő az m és n vektorok közötti szöggel (16.8. ábra)! a b n m a ábra ábra ábra ábrán az a vektor látható (egy négyzetrács mérete 0,5 cm). z ponttól mérjétek fel a b vektort, ha b = 3 cm és ( a, b) = 10! Hány megoldása van a feladatnak? GYKORLTOK ábrán az C egyenlő oldalú háromszög látható, az M és a K súlyvonalak az F pontban metszik egymást. Határozzátok meg a vektorok közötti szöget: 1) és C ; 5) és K ; ) és C ; 6) M és K ; 3) C és M; 7) CF és.! 4) és M ; M F K ábra C

147 16. vektorok skaláris szorzata 147 O C C D D ábra ábra ábrán az CD négyzet látható, melynek átlói az O pontban metszik egymást. Határozzátok meg a vektorok közötti szöget: 1) és D ; 3) és C ; 5) O és CD.! ) és C ; 4) D és C ; Határozzátok meg az a és b,vektorok skaláris szorzatát, ha: 1) a =, b = 5, ( a, b) = 60 ; ) a = 3, b =, ( a, b) = 135 ; 3) a = 4, b = 1, ( a, b) = 0 ; 4) a = 1, b = 6, ( a, b) = 180 ; 5) a = 03,, b = 0, ( a, b) = 137.! Határozzátok meg az m és n, vektorok skaláris szorzatát, ha: 1) m = 7, n = 4, ( m, n) = 45 ; ) m = 8, n = 3, ( m, n) = 150! Határozzátok meg az a és b vektorok skaláris szorzatát, ha: 1) a (; 1), b (; 1 3); 3) a (; 1 4), b ( 8; )! ) a ( 5; 1 ), b (; 7 ); Határozzátok meg az m és n,vektorok skaláris szorzatát, ha: 1) m (; 3 ), n (; 1 0 ); ) m 3 ; 1, n (; 6 9 ).! ábrán az CD rombusz látható, melyben = 6, C = 10. Határozzátok meg a következő vektorok skaláris szorzatát: 1) és D ; 3) és DC ; 5) D és C; 7) D és D.! ) és C ; 4) C és D; 6) D és DC ;

148 VEKTOROK z C háromszögben adott, hogy C = 90, = 30, C =. Határozzátok meg a következő vektorok skaláris szorzatát: 1) C és C ; ) C és ; 3) C és.! Mekkora a 6 N mértékű erő munkavégzése, amely 7 m távolságra elmozdítja a testet, ha az erő és az elmozdulás iránya közötti szög 60! Határozzátok meg az a (; 1 ) és b (; 3). vektorok közötti szög koszinuszát! Milyen előjelű lesz a vektorok skaláris szorzata, ha a közöttük lévő szög: 1) hegyes; ) tompa? Ismert, hogy a vektorok skaláris szorzata: 1) pozitív szám; ) negatív szám. Állapítsátok meg a köztük lévő szög típusát! z C egyenlő oldalú háromszög oldala 1 egység, az 1 és 1 súlyvonalai az M pontban metszik egymást. Számítsátok ki: 1). 1 1; ) M. M1.! z CDEF szabályos hatszög oldala 1 egység, középpontja az O pont. Számítsátok ki: 1). CD; ) D. CD; 3) O. ED; 4) C. CD.! z x mely értékénél lesznek az a (; 3 x ) és b (; 1 9 ) vektorok merőlegesek? dott, hogy x 0 és y 0. izonyítsátok be, hogy az a ( x ; y ) és b ( y ; x ) vektorok merőlegesek! z x mely értékénél lesznek a ( x ; 3) és b( x; 6 ) vektorok merőlegesek? z y mely értékénél lesz az a ( 4 ; y ) és b (; 3 ) vektorok skaláris szorzata 14? 16.. z x mely értékeinél lesz az a (; 5 ) és b ( x ; 4 ): vektorok közötti szög 1) hegyes; ) tompa? Határozzátok meg a b,vektor koordinátáit, amely kollineáris az a (; 3 4), vektorral, ha a. b = 100! dott, hogy az a és b nem kollineáris vektorok és a = b 0. z x mely értékeinél lesznek az a + xb és az a xb vektorok merőlegesek?

149 16. vektorok skaláris szorzata z a + b és a b vektorok merőlegesek. izonyítsátok be, hogy a = b.! dott, hogy a = 3, b =, ( a, b) = 45. Határozzátok meg a ( a b). b.skaláris szorzatot! Határozzátok meg az ( a b).( a+ b),kaláris szorzatot, ha a = b = 1, ( a, b) = 10.! dott, hogy a = 3, b = 1, ( a, b) = 150. Határozzátok meg a a + 5b.értékét! dott, hogy m = 1, n =, ( m, n) = 60. Határozzátok meg a m 3n.értékét! z CD négyszög csúcsai (3; ), (4; 0), C (; 1) és D (1; 1). izonyítsátok be, hogy az CD négyszög téglalap! z CD négyszög csúcsai ( 1; 4), ( ; 5), C ( 1; 6) és D (0; 5). izonyítsátok be, hogy az CD négyszög négyzet! Határozzátok meg a háromszög szögeinek koszinuszait, ha csúcsai az (1; 6), ( ; 3) és C (; 1) pontok! Határozzátok meg annak a háromszögnek a szögeit, melynek csúcsai az (0; 6), ( 4 3; 6) és C ( 3 3; 3)pontok! izonyítsátok be, hogy bármilyen a és b vektorra teljesül a következő egyenlőtlenség: a b ma. b m a b.! Állapítsátok meg az a és b nem nullvektorok kölcsönös helyzetét, ha: 1) a. b = a b ; ) a. b = a b.! Határozzátok meg az m és n,vektorok közötti szöget, ha: m + 3n. m n 11, m =, n = 3.! ( ) ( ) = Határozzátok meg az a és b vektorok közötti szöget, ha: ( a + b). 3 ( a + b) =, a = b = 1! z C háromszögben C = 90, C = 1, C =. izonyítsátok be, hogy az K és CM súlyvonalak merőlegesek egymásra!

150 VEKTOROK z CD négyszögben az C és D átlók merőlegesek, és az O pontban metszik egymást. dott, hogy O = OC = 1, O =, OD = 3. Határozzátok meg az és DC egyenesek közötti szöget! z C háromszögben meghúztuk a D súlyvonalat. dott, hogy DC = 90, D = 3. Határozzátok meg az D szöget! * z C háromszög és C oldalára kívülről MN és CKF négyzeteket szerkesztettek. izonyítsátok be, hogy az C háromszög D súlyvonala merőleges az MF egyenesre! ISMÉTLŐ GYKORLTOK z M pont az CD négyszög C átlójának felezőpontja ( ábra). izonyítsátok be, hogy az MD és CMD négyszögek területei egyenlők! M C rombusz átlóinak metszéspontjából bocsátott merőleges a rombusz oldalát olyan D szakaszokra osztja, melyek közül az egyik 7 cm-rel hosszabb, mint a másik. Határozzátok meg a rombusz kerületét, ha magassága ábra 4 cm! szabályos háromszög oldala 6 3 cm, magasságára, mint átmérőre körvonalat szerkesztünk. Határozzátok meg a háromszögön kívüli körív hosszát!

151 4. sz. feladatsor. Önellenőrzés teszt formájában SZ. FELDTSOR. ÖNELLENŐRZÉS TESZT FORMÁJÁN 1. Melyik lesz vektormennyiség az alábbi mennyiségek közül? ) tömeg; C) sebesség; ) térfogat; D) idő.. Mivel egyenlő annak a vektornak az abszolút értéke, melynek a kezdő- és végpontja egybeesik? ) 1; C) 5; ) 1; D) dott az CD paralelogramma. Melyik egyenlőség igaz? ) = DC ; C) C = D ; ) = CD; D) C = D. 4. dott, hogy M = M. Melyik állítás igaz? ) a pont az M szakasz felezőpontja; ) az pont az M szakasz felezőpontja; C) az M pont az szakasz felezőpontja; D) az M pont az M egyenlő szárú háromszög csúcsa. 5. dott az ( 3; 4) és (1; 8) pont. z M pont az szakasz felezőpontja. Határozzátok meg az M.vektor koordinátáit! ) (; 6); C) ( ; 6); ) ( ; 6); D) (6; ). 6. z x mely értékénél lesznek az a ( x ; ) és b ( 4; 8 ) vektorok kollineárisak? ) 1; C) 0; ) 1; D) Melyik igaz az alábbi egyenlőségek közül? ) + C = C; ) + C = D + DC; C) C = C; D) + C + CD = D. ( ) vektor. z alábbi vektorok közül melyik egyenlő 8. dott az a 3;. a 3a vektorral? ) m ( 1; 3) ; C) p (; 3 ); ) n 3; 3 ; D) q 3; 3. ( ) ( )

152 VEKTOROK 9. z M pont az C háromszög C oldalának felezőpontja. Melyik igaz az alábbi egyenlőségek közül? ) M = + C; ) M = + 1 C; 1 1 C) M = + C; 1 1 D) M = C. 10. Határozzátok meg az a (; 3) és b (; 3 ). vektorok skaláris szorzatát! ) 1; C) 0; ) 1; D) z x mely értékénél lesznek merőlegesek egymásra az a ( x ; 3) és a b (; 1 4 ) vektorok? ) 6; C) 1; ) 3; D) Határozzátok meg az a (; 5 1) és a b ( 3; 4 ). vektorok közötti szög koszinuszát! ) ; C) ; ) ; D) 1.

153 ! Vektor 4. paragrafus összefoglalása 4. PRGRFUS ÖSSZEFOGLLÁS 153 Ha ismerjük a szakasz kezdőpontját és végpontját, akkor az ilyen szakaszt vektornak nevezzük. Kollineáris vektorok nem nullvektorokat kollineárisnak nevezzük, ha ezek a vektorok párhuzamos egyeneseken vagy egy egyenesen fekszenek. nullvektor bármely vektorral kollineáris. Egyenlő vektorok nem nullvektorokat egyenlőknek nevezzük, ha abszolút értékük egyenlő és azonos irányúak. ármilyen két nullvektor egyenlő. z egyenlő vektoroknak koordinátái is egyenlők. Ha a vektorok koordinátái egyenlők, akkor maguk a vektorok is egyenlők lesznek. vektor koordinátái Ha az (x 1 ; y 1 ) és (x ; y ) megfelelően az a,vektor kezdő- és végpontja, akkor az x x 1 és az y y 1 számok megfelelően az a,vektor első és második koordinátája lesz. vektor abszolút értéke Ha az a vektor koordinátái (a 1 ; a ), akkor a = a + a vektorok összeadásának szabályai 1. Háromszög-szabály z pontból vegyük fel az a,-ral egyenlő,vektort, majd a pontból vegyük fel a b.-ral egyenlő C,vektort. z C vektort az a és b. vektorok összegének nevezzük. ármely három,, és C pontra teljesül a következő egyenlőség: + C = C. a b C

154 VEKTOROK Paralelogramma-szabály a b a + b D C z pontból vegyük fel az a,-ral egyenlő, vektort, majd ugyanebből a pontból a b.-ral egyenlő D,vektort. Megszerkesztjük az CD paralelogrammát. Ekkor az C vektor az a és a b.vektor összege. vektorok összegének koordinátái Ha az a és b vektorok megfelelő koordinátái (a 1 ; a ) és (b 1 ; b ), akkor az a + b koordinátái (a 1 + b 1 ; a + b ) lesznek. vektorok összeadásának tulajdonságai Tetszőleges a, b és c vektorra teljesülnek az alábbi azonosságok: 1) a + 0 = a; ) a + b = b + a felcserélhetőségi tulajdonság; 3) ( a + b)+ c = a + ( b + c) csoportosítási tulajdonság. vektorok kivonása z a és b vektor különbségének azt a c,vektor nevezzük, amelynek a b vektorral való összege megadja az a vektort. ármely O, és három pontra teljesül a következő egyenlőség: O O =. vektorok különbségének koordinátái Ha az a és b vektorok koordinátái megfelelően (a 1 ; a ) és (b 1 ; b ), akkor az a b vektor koordinátái (a 1 b 1 ; a b ). Ellentett vektorok Két nem nullvektort ellentett vektoroknak nevezünk, ha az abszolút értékük egyenlő, az irányuk pedig ellentétes. ármilyen és pontra teljesül az =.egyenlőség.

155 4. paragrafus összefoglalása 155 vektor számmal való szorzása z a nem nullvektor és egy k nullától különböző szám szorzatának azt a b vektort nevezzük, melyre teljesülnek a következő feltételek: 1) b = k a ; ) ha k > 0, akkor b a; ha k < 0, akkor b a. Ha a = 0 vagy k = 0, akkor ka = 0. Ha az a koordinátái (a 1, a ), akkor a ka vektor koordinátái (ka 1 ; ka ). kollineáris vektorok tulajdonságai Ha az a és b vektorok kollineárisak és a 0, akkor létezik egy olyan k szám, melyre teljesül a b = ka.egyenlőség. Ha az a ( a1 ; a ) és b ( b ; b 1 ) vektorok kollineárisak és a 0, akkor létezik egy olyan k szám, melyre teljesülnek a b 1 = ka 1 és b = ka egyenlőségek. vektor számmal való szorzásának tulajdonságai ármely k, m számra és bármely a, b vektorra igazak a következő azonosságok: 1) ( km) a = k( ma ) csoportosítási tulajdonság; ) ( k+ m) a = ka + ma első széttagolási tulajdonság; 3) k a + b ka kb ( ) = + második széttagolási tulajdonság. vektorok skaláris szorzata Két vektor skaláris szorzatának e vektorok abszolút értékeinek és a köztük lévő szög koszinuszának szorzatát nevezzük: a. b = a b cos ( a, b). z a ( a1 ; a ) és b ( b1 ; b ) vektorok skaláris szorzatát a következő képlettel lehet kiszámítani: a. b = ab + ab. 1 1

156 VEKTOROK vektorok skaláris szorzatának tulajdonságai ármely a, b, és c vektorra és bármely k számra teljesülnek a következő egyenlőségek: 1) a b. = b. a felcserélhetőségi tulajdonság; ) ( ka). b = k( a. b) csoportosítási tulajdonság; 3) a + b. c a. c b. c széttagolási tulajdonság. ( ) = + Két vektor merőlegességének feltétele Két nem nullvektor skaláris szorzata akkor és csakis akkor egyenlő nullával, ha ezek a vektorok merőlegesek egymásra. Két vektor közötti szög koszinusza Két, a ( a1 ; a ) és b ( b1 ; b ) nem nullvektor közötti szög koszinusza a következő képlettel számítható ki ab 1 1+ ab cos ( a, b) =. a + a. b + b 1 1

157 GEOMETRII TRNSZFORMÁCIÓK 5.. Ebben a paragrafusban megismerkedtek az alakzatok transzformációival. transzformáció olyan típusaival, mint a párhuzamos eltolás, középpontos tükrözés, tengelyes tükrözés, elforgatás, homotécia és hasonlóság fogtok megismerkedni. Megtanuljátok a transzformációk tulajdonságait alkalmazni a feladatok megoldása és a tételek bizonyítása során. 17. z alakzatok mozgatása (eltolása). Párhuzamos eltolás 1. példa ábrán az szakasz, az a egyenes és egy O pont látható, mely nem illeszkedik sem az a, sem az egyeneshez. z szakasz minden X pontjának megfeleltetünk az a egyenes egy X pontját úgy, hogy az O, X, X 1 pontok egy egyeneshez illeszkednek. Ekkor az pontnak meg fog felelni az 1 pont, a pontnak pedig a 1. Nyilvánvaló, hogy az 1 1 szakaszt az így keletkezett X 1 pontok alkotják. O X a 1 X ábra Így felállítottunk egy olyan szabályt, amely segítségével az szakasz minden X pontjának megfeleltettünk egy X 1 pontot az 1 1 szakaszról. Ebben az esetben azt mondjuk, hogy az 1 1 szakaszt az szakasz transzformációja által kapjuk meg.

158 GEOMETRII TRNSZFORMÁCIÓK. példa ábrán az félkör és egy a egyenes látható, amely párhuzamos az átmérővel. félkör minden X pontjának megfeleltetünk egy X 1 pontot az a egyenesen úgy, hogy az XX 1 egyenes merőleges legyen az a egyenesre. Nyilvánvaló, hogy az 1 1 szakaszt az így keletkezett X 1 pontok alkotják. Ebben az esetben azt mondjuk, hogy az 1 1 szakaszt az félkör transzformációja által kapjuk meg. a X a F X X 1 F 1 1 X ábra ábra 3. példa. Legyen adott egy F alakzat és egy a vektor (17.3. ábra). z F alakzat minden X pontjának megfeleltetünk egy olyan X 1 pontot, melyre teljesül az XX1 = a. Ennek következtében az F alakzatból kapunk egy F 1 alakzatot (17.3. ábra). z F alakzatnak ezt a transzformációját az a vektorral történő párhuzamos eltolásnak nevezzük. Általánosítjuk a fenti példákat. Legyen adott az F alakzat. z F alakzat minden pontjához valamilyen szabály szerint hozzárendelünk egy pontot. z összes így kapott pontok alkotják majd az F 1 alakzatot. z F 1 alakzatot az F alakzat transzformációja révén kaptuk. Ekkor az F 1 alakzatot az F alakzat képének szokás nevezni, az F alakzatot pedig az F 1 alakzat eredőjének (vagy kiinduló alakzatnak). Így az első példában az 1 1 szakasz lesz az szakasz képe, z X 1 pont az X pont képe, az szakasz pedig az 1 1 szakasz eredője. Figyeljük meg, hogy a 3. példában az F alakzat egybevágó lesz az F 1 alakzattal. z 1. és. példákban leírt transzformációknak nincs ilyen tulajdonsága. Milyen tulajdonsággal kell rendelkezni az olyan transzformációnak, hogy a kiinduló alakzat és a képe egybevágó legyen? Ehhez egy tulajdonság is elegendő: a transzformációnak távolságtartó leképezésnek kell lennie, vagyis ha az F alakzat bármilyen és pontjának képei az 1 és 1 pontok, akkor teljesülnie kell az = 1 1 egyenlőségnek.

159 17. z alakzatok mozgatása (eltolása). Párhuzamos eltolás 159 Meghatározás. zt a transzformációt, amely az F alakzat pontjai közötti távolságot megtartja, az F alakzat mozgatásának vagy eltolásának nevezzük. Ha az F alakzat minden X pontjának ugyanaz az X pont felel meg, akkor az ilyen transzformációt invariánsnak nevezzük. z F alakzat invariáns átalakítása során ugyanazt az F alakzatot kapjuk. z invariáns átalakítás szintén mozgatás. Korábban már alkalmaztuk az alakzatok egybevágóságát, de nem adtunk meg szigorú meghatározást. z, hogy a mozgatás az alakzatok egybevágóságával kapcsolatban van, a következő tulajdonságai tanúsítják. Ha a transzformáció mozgás, akkor: az egyenes képe is egyenes lesz; a szakasz képe is vele azonos hosszúságú szakasz lesz; a szög képe is vele egyenlő nagyságú szög lesz; a háromszög képe is vele egybevágó háromszög lesz. Ezeknek a tulajdonságoknak a bizonyítása nem tartozik az iskolai tananyag keretébe. mozgatás tulajdonságaiból az alábbi meghatározás adódik. Meghatározás. Két alakzatot egybevágónak mondunk, ha létezik olyan transzformáció, mely során az egyik alakzat a másik képe lesz. z F = F 1 felírás azt jelenti, hogy az F és F 1 alakzatok egybevágók. Ha létezik olyan mozgási transzformáció, mely során az F 1 az F alakzat képe, akkor feltétlen létezik olyan transzformáció, amelyben az F képe az F 1 -nek. z ilyen mozgásokat kölcsönösen fordítottnak nevezzük. M e g j e g y z é s. Korábban egybevágó alakzatoknak azokat az alakzatokat neveztük, amelyek egymásra helyezéssel fedésbe hozhatók. z egymásra helyezés ösztönösen érthető, és valós testek egymásra tevését értjük alatta. zonban a mértani alakzatokat nem lehet egymásra pakolni a szó szoros értelmében. z újabb meghatározás szerint az F-nek az F 1 alakzatra való helyezése azt jelenti, hogy az F alakzat képe az elmozdulás során az F 1 alakzat lett. mozgás kifejezés a fizikából ismert fogalom, amely a testek deformáció nélküli helyváltoztatását jelenti. matematika innen vette át ezt a fogalmat. mértanban nem az időben lezajló folyamatot vizsgáljuk, hanem csak az alakzat és annak képének tulajdonságait ábrán lévő F és F 1 alakzatok egybevágóságát csak vizuálisan észleljük. Ennek a ténynek a szigorú magyarázatát a következő tétel adja.

160 GEOMETRII TRNSZFORMÁCIÓK tétel (a párhuzamos eltolás tulajdonsága). párhuzamos eltolás az mozgás. izonyítás. Legyen az (x 1 ; y 1 ) és (x ; y ) az F alakzat tetszőleges pontjai (17.4. ábra), az 1 és 1 pontok pedig ezeknek a pontoknak a képei a (m; n) vektorral való párhuzamos eltolás után. ebizonyítjuk, hogy a 1 = 1 1. F 1 dott: 1 = 1 = a. z 1 és 1 koordinátái (m; n). Tehát az 1 és 1 pontok megfelelő koordinátái (x m; y 1 + n) és F (x + m; y + n). Meghatározzuk az és pontok közötti távolságot: Рис = ( x x1) + ( y y1). Meghatározzuk az 1 és 1 pontok közötti távolságot: = ( x + m x m) + ( y + n y n) = ( x x ) + ( y y ) Tehát az = 1 1, vagyis a párhuzamos eltolás távolságtartó. Következmény. Ha a párhuzamos eltolás során az F alakzatnak az F 1 alakzat a képe, akkor F 1 = F. Ezt a tulajdonságot alkalmazzák a szövetek, tapéták, csempék mintázatának elkészítése során (17.5. ábra) ábra Ha F 1 az F alakzat képe az a vektorral történő párhuzamos eltolásnál, akkor az F alakzat képe lesz az F 1 alakzat a a vektorral történő párhuzamos eltolás során (17.6. ábra). z a és a vektorral történő párhuzamos eltolások kölcsönösen fordított mozgási transzformációk lesznek. F a a ábra F 1

161 17. z alakzatok mozgatása (eltolása). Párhuzamos eltolás feladat. z F alakzat minden egyes X (x; y) pontjának megfelel X 1 (x + m; y + n) pont, ahol az m és n adott számok. izonyítsátok be, hogy az ilyen transzformáció az F alakzat a ( m ; n ). vektorral történő párhuzamos eltolása lesz! Megoldás. Vizsgáljuk meg az a ( m ; n ). vektort. Megjegyezzük, hogy az XX 1 vektor koordinátái (m; n)-nel egyenlő, vagyis XX1 = a. Tehát az F alakzat transzformációja a vektorral történő párhuzamos eltolás lesz..feladat. z 1 (; 3) pont az ( 1; ) pont képe lesz az a vektorral történő párhuzamos eltolásnál. Határozzátok meg az a vektor koordinátáit, és a ( 7; 3) pont képét ennél a párhuzamos eltolásnál! Megoldás. z adatokból következik, hogy 1 = a. Ebből adódik, hogy a ( 1; 1 ). Legyen a 1 (x; y) a ( 7; 3) pont képe. Ekkor 1 = a,vagyis x + 7 = 1 és y + 3 = 1. Innen x = 8, y =. Felelet: a ( 1; 1 ), 1 ( 8; ). 3.feladat. dott az C szög és egy p egyenes, amely nem párhuzamos a szög egyik szárával sem (17.7. ábra). Szerkesszetek egy olyan p 1 egyenest, amely párhuzamos az adott p egyenessel, és a szög szárai egy adott a hosszúságú szakaszt metszenek ki belőle! a M p 1 F p C p N E 1 C ábra ábra Megoldás. Vizsgáljuk meg az MN vektort, amelyre igaz, hogy MN p és MN = a (17.8. ábra). Megszerkesszük a 1 1 félegyenest, amely a félegyenesnek a képe az MN.vektorral történő párhuzamos eltolásnál. Jelöljük E-vel a C és 1 1 félegyenesek metszéspontját. Legyen az adott párhuzamos eltolásnál az F pont az E pontnak az eredője. Ekkor FE = MN, vagyis FE = a és FE p.

162 GEOMETRII TRNSZFORMÁCIÓK fenti gondolatmenetből az alábbi szerkesztési algoritmus adódik: 1) határozzátok meg az MN vektorral történő párhuzamos eltolásnál a félegyenes képét; ) jelöljétek meg a C félegyenes és a megszerkesztett kép metszéspontját; 3) a kapott ponton keresztül fektessetek egy a p egyenessel párhuzamos p 1 egyenest. p 1 lesz a keresett egyenes.? 1. Ismertessétek az alakzatok transzformációját?. Hozzatok fel példákat az alakzatok transzformációjára! 3. Írjátok le azt a transzformációt, amely párhuzamosan eltolja a vektorral az F alakzatot! 4. Milyen esetben lesz az F 1 alakzat az F alakzat képe, és az F az F 1 alakzat eredője? 5. z alakzatok milyen transzformációját nevezzük mozgásnak? 6. z alakzatok milyen transzformációját nevezzük invariánsnak? 7. Fogalmazzátok meg a mozgás tulajdonságait! 8. Milyen alakzatokat nevezünk egybevágóknak? 9. Írjátok le azokat a mozgásokat, melyek kölcsönösen inverzek! 10. Fogalmazzátok meg a párhuzamos eltolás tulajdonságait! 11. Milyen mozgások lesznek az a és a a?vektorral történő párhuzamos eltolások? GYKORLTI FELDTOK ábrán az O szög és egy olyan p egyenes látható, amely nem párhuzamos a szög száraival. z O szár minden X pontjának az O szár X 1 pontja felel meg úgy, hogy XX 1 p (az O pontnak maga az O pont fog megfelelni). Szerkesszétek meg az M pont képét és a K pont eredőjét az O félegyenes adott transzformációjánál! Milyen alakzat lesz az O félegyenes képe? M E O p K a F ábra ábra

163 17. z alakzatok mozgatása (eltolása). Párhuzamos eltolás ábrán egy szakasz és egy a egyenes látható. z szakasz minden X pontjának megfelel az adott pontból az a egyenesre bocsátott merőleges talppontja. Szerkesszétek meg az E pont képét és az F pont eredőjét az szakasz adott transzformációjánál! Létezik-e az a egyenesen olyan pont, melynek nincs eredője? Szerkesszétek meg az szakasz képét! Szerkesszétek meg az szakasz és az OM félegyenes képét az a vektorral történő párhuzamos eltoláskor ( ábra)! O a M a m M O O ábra ábra ábra ábrán az a egyenes képét egy másik egyenes m.vektorral történő párhuzamos eltolásával kaptuk. Szerkesszétek meg az a egyenes eredőjét! z O 1 középpontú körvonalat az O középpontú körvonalból az a vektor szerinti párhuzamos eltolással kaptuk ( ábra). Jelöljétek az a vektort úgy, hogy az M pontból induljon! Rajzoljátok meg az y = x parabola: 1) a ( 0; ); ) b ( 1; 0 ); 3) c ( 1; ). vektor szerinti eltolással kapott képét! Írjátok fel az y = x parabola párhuzamos eltolás utáni képének egyenletét! Rajzoljátok meg az x + y = 4 körvonal: 1) a (; 0 ); ) b ( 0; 1); 3) c (; 1). vektor szerinti eltolással kapott képét! Írjátok fel az x + y = 4 körvonal párhuzamos eltolás utáni képének egyenletét! O z a egyenes az O középpontú félkör érintője ( ábra). djatok meg egy olyan transzformációt, melynél az a egyenes lesz a képe az és pontban lyukas félkörnek! a ábra

164 GEOMETRII TRNSZFORMÁCIÓK C D O X X ábra ábra djatok meg egy olyan transzformációt, amelynél a CD szakasz az szakasznak a képe lesz ( ábra)! GYKORLTOK Vizsgáljuk meg az r sugarú és O középpontú kört. körvonal minden X pontjához rendelünk egy X 1 pontot, amely az OX sugárra 1 illeszkedik, olyat, hogy OX1 = r. Milyen alakzat lesz a körvonal képe? Mozgás lesz-e ez a transzformáció? dott egy O szög ( ábra). z O szár minden X pontjához hozzárendelünk egy X 1 pontot, amely az O szárra és az OX sugarú körre is illeszkedik (az O pontnak megfeleltetjük az O pontot). Milyen alakzat lesz az O szár képe? izonyítsátok be, hogy a leírt transzformáció mozgás lesz! dott egy MON szög. z OM szár minden X pontjához hozzárendelünk egy X 1 pontot, amely az ON szárra illeszkedik úgy, hogy az XX 1 egyenes merőleges az MON szög szögfelezőjére (az O pontnak megfeleltetjük az O pontot). izonyítsátok be, hogy a leírt transzformáció mozgás lesz! dott egy a egyenes és egy szakasz, melyeknek nincs közös pontjuk. z szakasz minden X pontjához hozzárendeljük az X pontból bocsátott, az a egyenesre merőlegesnek a talppontját. z a egyenes és az szakasz milyen kölcsönös helyzete esetén lesz ez a transzformáció mozgás? z 1 és 1 pontok nem illeszkednek az egyenesre, és ezek a pontok az egyenes és pontjainak a képei lesznek az egyenes párhuzamos eltolása során. izonyítsátok be, hogy az 1 1 négyszög paralelogramma! z 1 és 1 pontok az és pontok megfelelő képei lesznek az szakasz párhuzamos eltolásánál. Határozzátok meg az 1 1 szakasz hosszát, ha = 5 cm!

165 17. z alakzatok mozgatása (eltolása). Párhuzamos eltolás z m vektor párhuzamos az a egyenessel. Milyen alakzat lesz az a egyenes képe az m vektorral történő párhuzamos eltolás során? dott az CD paralelogramma. Milyen vektor adja meg azt a párhuzamos eltolást, amely során az D oldal a C oldal képe lesz? Létezik-e olyan párhuzamos eltolás, amelynél az C egyenlő oldalú háromszög oldala a C oldal képe lesz? Határozzátok meg azokat a pontokat melyek az ( ; 3) és (1; 4) pontok képei lesznek az a ( 1; 3 ). vektorú párhuzamos eltolás során? Létezik-e olyan párhuzamos eltolás, amely során az (1; 3) pont képe az 1 (4; 0) pont lesz, a ( ; 1) pontnak pedig a 1 (1; 4) pont? z a (; 1) vektorú párhuzamos eltolás során az pontnak a képe az 1 ( 3; 4) pont lesz. Határozzátok meg az pont koordinátáit! 17.. párhuzamos eltolás következtében az M 1 (x; ) pont az M (3; y) pontnak a képe lesz, és az (; 3) pont pedig a koordináta-rendszer kezdőpontjának a képe. Határozzátok meg az x és y értékeit! Hány olyan párhuzamos eltolás létezik, amely során az a egyenesnek a képe is az a egyenes lesz? Vizsgáljuk meg azt az alakzatot, amely a téglalap oldalaira illeszkedő pontokból áll. Írjátok le egy olyan transzformációját, amely során az alakzatból körvonal lesz! Vizsgáljuk meg azt az alakzatot, amely a téglalap oldalaira illeszkedő pontokból áll. Írjátok le egy olyan transzformációját, amely során az alakzatból, olyan alakzat lesz, amely egy rombusz oldalainak pontjaiból áll! dott, hogy az F alakzat transzformációjának a képe is az F alakzat lesz. Ki lehet-e jelenteni, hogy ez a transzformáció invariáns? dott az (3; ) és (5; 4) pont. z szakasz párhuzamos eltolása során a kapott szakasz felezőpontja M 1 ( 4; 3). Határozzátok meg ennél a párhuzamos eltolásnál az és pontok képeit? z (1; 3), (; 6) C ( 3; 1) pontok az CD paralelogramma csúcsai. z átlóinak felezőpontja a párhuzamos eltolás során az O 1 ( ; 4) pontba megy át. Határozzátok meg az,, C és D pontok képeit ennél a párhuzamos eltolásnál! Írjátok fel az x + y = 1 körvonal a ( ; ). 3 4 vektorral történő párhuzamos eltolás utáni képének egyenletét!

166 GEOMETRII TRNSZFORMÁCIÓK Írjátok fel az y = x parabola a (; 3). vektorral történő párhuzamos eltolás utáni képének egyenletét! Szerkesszetek trapézt az alapjai és az átlói alapján! Szerkesszetek trapézt a négy oldala alapján! Szerkesszetek az szakasszal egyenlő és párhuzamos szakaszt úgy, hogy az egyik vége az adott egyeneshez illeszkedik, a másik pedig az adott körhöz! Szerkesszétek meg az adott kör húrját, amely egyenlő és párhuzamos az adott szakasszal! * Szerkesszetek négyszöget négy szöge és két szemben fekvő oldala alapján, ha a szemben fekvő oldalai páronként nem párhuzamosak! M * z és településeket egy folyó választja el. Hol kell megépíteni az MN hidat ( ábra), ha azt akarjuk, hogy N az MN út a legrövidebb legyen (a folyó partjait párhuzamos egyeneseknek tekintjük, és a híd merőleges a partra)? ábra ISMÉTLŐ GYKORLTOK háromszög minden csúcsán át párhuzamos egyeneseket fektettek a szemközti oldalakkal. Mekkora a keletkezett háromszög kerülete, ha az eredeti háromszög kerülete 18 cm? Egy négyszög csúcsainak koordinátái ( 3; 4), (0; 3), C (7, 6) és D (4; 1). izonyítsátok be, hogy az ilyen négyszög rombusz, és határozzátok meg a területét! derékszögű trapézba kör van írva. z érintési pont a trapéz nagyobbik szárát 4 cm-es és 5 cm-es szakaszokra osztja. Határozzátok meg a trapéz területét! FIGYELD MEG, RJZOLD LE, SZERKESZD MEG, KÉPZELD EL! m oldalhosszúságú szabályos hatszög belsejében 7 pontot jelöltek. izonyítsátok be, hogy van köztük két olyan pont, melyek között a távolság legfeljebb 1 m!

167 18. Tengelyes szimmetria 18. Tengelyes szimmetria 167 Meghatározás. z és 1 pontokat az l egyeneshez viszonyítva szimmetrikusnak nevezzük, ha az l egyenes az 1 szakasznak a felezőmerőlegese (18.1. ábra). Ha az pont illeszkedik az l egyeneshez, akkor az l egyeneshez viszonyítva önmagával lesz szimmetrikus. y l 1 F X l X F x 0 x 0 x ábra 18.. ábra ábra Ha például az és 1 pontok ordinátái egyenlők, az abszcisszái pedig ellentett számok, akkor ezek a pontok szimmetrikusak az ordinátatengelyhez viszonyítva (18.. ábra). Vizsgáljuk meg az F alakzatot és az l egyenest. z F alakzat mindegyik X pontjának megfeleltetünk az F alakzat X 1 pontját szimmetrikusan az l egyeneshez képest. megfeleltetés következtében az F alakzatból megkapjuk az F 1 alakzatot (18.3. ábra). z F alakzat ilyen transzformációját l egyeneshez viszonyított tengelyes szimmetriának nevezzük. z l egyenest szimmetriatengelynek nevezzük. z F és az F 1 alakzatokat l egyeneshez viszonyítva szimmetrikusnak (egymás tükörképének) nevezzük tétel (a tengelyes szimmetria tulajdonsága). tengelyes szimmetria mozgás. izonyítás. Úgy válasszuk ki a koordináta-rendszert, hogy a szimmetriatengely egybeessen az ordinátatengellyel. Legyen (x 1 ; y 1 ) és (x ; y ) az F alakzat tetszőleges pontja. Ekkor az 1 ( x 1 ; y 1 ) és 1 ( x ; y ) pontok az előbbiek tükörképei az ordinátatengelyhez viszonyítva. Ekkor: = ( x x ) + ( y y ) ; = ( x ( x1)) + ( y y1) = ( x + x1) + ( y y1) =. Megkaptuk, hogy = 1 1, vagyis a tengelyes szimmetria megtartja a pontok közötti távolságot. Tehát a tengelyes szimmetria mozgás lesz. Következmény. Ha az F és az F 1 alakzatok szimmetrikusak az egyeneshez viszonyítva, akkor F = F 1. Meghatározás. z F alakzatot az l egyeneshez képest szimmetrikusnak nevezzük, ha az alakzat mindegyik pontjának az l egyeneshez viszonyított szimmetrikus pontja szintén ehhez az alakzathoz illeszkedik.

168 GEOMETRII TRNSZFORMÁCIÓK z l egyenest az alakzat szimmetriatengelyének nevezzük. Ilyenkor azt mondják, hogy az alakzatnak van szimmetriatengelye. emutatunk néhány szimmetriatengellyel rendelkező alakzatot ábrán egy egyenlő szárú háromszög látható. z alapra bocsátott magasságot tartalmazó egyenes a háromszög szimmetriatengelye. Minden szögnek van szimmetriatengelye ez a szögfelezőt tartalmazó egyenes (18.5. ábra). z egyenlő oldalú háromszögnek három szimmetriatengelye van (18.6. ábra) ábra ábra ábra ábra szakasznak két szimmetriatengelye van: a felezőmerőlegese és az az egyenes, amely tartalmazza ezt a szakaszt (18.7. ábra). négyzetnek négy szimmetriatengelye van (18.8. ábra). Léteznek olyan alakzatok, amelyeknek számtalan szimmetriatengelye van, például ilyen a kör is. ármilyen, a kör középpontjához illeszkedő egyenes a kör szimmetriatengelye is egyben (18.9. ábra). Számtalan szimmetriatengelye van az egyenesnek is: maga az egyenes, és az egyenesre bocsátott bármely merőleges is szimmetriatengelye lesz. C 1 l ábra ábra ábra 1.feladat. Rajzoltak egy C egyenlő szárú háromszöget, majd meghúztak egy olyan l egyenest, amely tartalmazza a C szög szögfelezőjét. Ezután a rajz egy részét letörölték, és csak az és pont valamint az l egyenes maradt meg. Újítsátok fel az C háromszöget! Megoldás. Mivel az l egyenes az C szög szimmetriatengelye, ezért az 1 pont, amely az l szimmetriatengelyhez viszonyítva a pont tükörképe, a C félegyeneshez illeszkedik. Ekkor az l és a

169 18. Tengelyes szimmetria egyenesek metszéspontja lesz az C háromszög keresett C csúcsa ( ábra). fenti gondolatmenet alapján tudjuk megszerkeszteni a keresett háromszöget: megszerkesztjük az 1 pontot, amely az l egyeneshez képest szimmetrikus az ponttal. Meghatározzuk a C csúcsot, mint az l és a 1 egyenesek metszéspontját..feladat. z O pont az C hegyesszöghöz illeszkedik ( ábra). és C szárain úgy határozzátok meg az E és F pontokat, hogy az OEF háromszög kerülete a lehető legkisebb legyen! O C ábra ábra Megoldás. Legyen az O 1 és az O az O pont képei megfelelően a és C egyenesekhez történő tengelyes szimmetriánál (18.. ábra), és metssze az O 1 O egyenes a és C szárakat megfelelően az E és F pontokban. ebizonyítjuk, hogy az E és F pontok lesznek a keresett pontok. Megjegyezzük, hogy az EO 1 és EO szakaszok szimmetrikusak a egyeneshez viszonyítva. Tehát EO 1 = EO. Hasonlóan az FO = FO. Ekkor az OEF háromszög kerülete egyenlő lesz O 1 O szakasz hosszával. ebizonyítjuk, hogy a megszerkesztett háromszög kerülete a legkisebb. Vizsgáljuk meg a KOM háromszöget, ahol a K és M pontok a és C megfelelő félegyenesek tetszőleges pontjai, és a K pont nem esik egybe az E ponttal vagy az M pont nem esik egybe az F ponttal. Nyilvánvaló, hogy KO = KO 1 és MO = MO. Ekkor a KOM háromszög kerülete egyenlő O 1 K + KM + MO összeggel. Viszont az O 1 K + KM + MO l O 1 O? 1. Milyen pontokat nevezünk szimmetrikusoknak az l egyeneshez viszonyítva? Hogy nevezzük az l egyenest?. Milyen alakzatokat nevezünk szimmetrikusnak az l egyeneshez viszonyítva? 3. Fogalmazzátok meg a tengelyes szimmetria tulajdonságait! 4. Milyen tulajdonságokkal rendelkeznek azok az alakzatok, melyek szimmetrikusak az egyeneshez képest? 5. Milyen alakzatról állítható, hogy van szimmetriatengelye? 6. Mondjatok példákat a szimmetriatengellyel rendelkező alakzatokra! K M O 1 E F O O C

170 GEOMETRII TRNSZFORMÁCIÓK GYKORLTI FELDTOK Szerkesszétek meg a ábrán látható alakzatokkal az l szimmetriatengelyhez képest szimmetrikus alakzatokat! l ábra 18.. Rajzoljatok egy háromszöget! Szerkesszetek egy olyan háromszöget, amely az egyik középvonalához képest szimmetrikus lesz az eredeti háromszöggel! z és pontok szimmetrikusak az l egyeneshez képest ( ábra). Szerkesszétek meg az l egyenest! C K СЕЗОН ДОЩІВ l ábra ábra ábra ábra Rajzoljatok két egymást metsző a és a 1 egyenest! Szerkesszétek meg azt az egyenest, amelyhez viszonyítva az a egyenes szimmetrikus az a 1 egyenessel! Hány megoldása van a feladatnak? Rajzoljatok két párhuzamos a és a 1 egyenest! Szerkesszétek meg azt az egyenest, amelyhez viszonyítva az a egyenes szimmetrikus az a 1 egyenessel! Szerkesszetek egy CD rombuszt, ha adott a és C csúcsa és a D átlót tartalmazó l egyenes ( ábra)! Szerkesszetek egy C egyenlő szárú háromszöget, ha adott az csúcsa, a C oldalhoz illeszkedő K pont és egy, az alapra bocsátott magasságot tartalmazó egyenes ( ábra)!

171 18. Tengelyes szimmetria Egy vízzel töltött kémcsőn keresztül nézzétek meg a ábrát! Miért látjátok a második szóban az egyes betűket fordítva, és az elsőben pedig nem? z O 1 és O középpontú körvonalaknak két közös pontjuk van ( ábra). Csak körző alkalmazásával szerkesszetek körvonalakat, melyek az egyeneshez viszonyítva szimmetrikusak lesznek ezekkel! O 1 O ábra GYKORLTOK z l egyenes az szakasz felezőpontjához illeszkedik. Minden esetben szimmetrikusak lesznek-e az és pontok az l egyeneshez képest? izonyítsátok be, hogy az egyenlő szárú háromszög alapjához húzott oldalfelezőt tartalmazó egyenes a háromszög szimmetriatengelye lesz! ábrán az C egyenlő szárú háromszög és egy l egyenes látható, amely tartalmazza az C alapra bocsátott magasságot. z M és CN szakaszok a háromszög súlyvonalai. Nevezzétek meg az és pontok, valamint a CN és C oldal képeit az l egyeneshez viszonyított szimmetriánál! C N M l C l D ábra ábra izonyítsátok be, hogy az egyenes, amely az egyenlő szárú trapéz alapjai felezőpontjaihoz illeszkedik, annak szimmetriatengelye lesz! ábrán az CD egyenlő szárú trapéz látható, és egy olyan l egyenes, amely az alapjainak felezőpontjaihoz illeszkedik. Nevezzétek meg a és D pontok, az C átló és a C alap képét az l egyenesre vonatkozó tengelyes tükrözésnél! izonyítsátok be, hogy a rombusz átlóit tartalmazó egyenesek a mértani alakzat szimmetriatengelyei! izonyítsátok be, hogy a téglalap szemközti oldalainak felezőpontjaira illeszkedő egyenesek a téglalap szimmetriatengelyei lesznek!

172 GEOMETRII TRNSZFORMÁCIÓK z 1 és 1 pontok tengelyes tükrözésnél az és pontok megfelelő képei. Határozzátok meg az 1 1 szakasz hosszát, ha = 5 cm! izonyítsátok be, hogy a szögfelezőt tartalmazó egyenes a szög szimmetriatengelye is egyben! Határozzátok meg az ( ; 1) és (0; 4) pontok koordinátatengelyekre vonatkozó tükörképeit! z (x; 3) és ( ; y) szimmetrikusak az: 1) abszcisszatengelyhez; ) ordinátatengelyhez. Határozzátok meg az x és y értékeit! z a egyenes l egyenesre vonatkozó tükörképe az a egyenes. Milyen lesz az a és l egyenesek kölcsönös helyzete? 18.. izonyítsátok be, hogy egyenlő szárú lesz! izonyítsátok be, hogy két szimmetriatengellyel rendelkező háromszög egyenlő oldalú lesz! Lehet-e a háromszögnek pontosan két szimmetriatengelye? izonyítsátok be, hogyha a paralelogrammának pontosan két szimmetriatengelye van, akkor ez vagy téglalap vagy rombusz! izonyítsátok be, hogyha a négyszögnek négy szimmetriatengelye van, akkor ez négyzet lesz! z O 1 és O középpontú körvonalak az és pontokban metszik egymást. izonyítsátok be, hogy az és pontok szimmetrikusak az O 1 O egyeneshez viszonyítva! z M pont az C derékszög belső pontja (18.1. ábra). z M 1 és M pontok az M pont és C egyenesekre vonatkozó megfelelő tükörképei. izonyítsátok be, hogy az M 1, és M pontok egy egyeneshez illeszkednek! Határozzátok meg az ( ; 0) és (3; 1) M pontokkal szimmetrikus pontok koordinátáit, M 1 ha a szimmetriatengely az: 1) első és harmadik koordinátanegyed; ) a második és negyedik koordinátanegyed szögfelezője! C z (x; 1) és a (y; ) pontok szimmetrikusak arra az egyenesre, amely az első és a harmadik koordinátanegyed szögfelezőjét tartalmazza. Határozzátok meg az x és y értékét! M z és pontok az a egyeneshez viszonyítva különböző félsíkhoz illeszkednek. Hatá ábra rozzátok meg az a egyenesen az X pontot, ha tudjuk, hogy az a egyenes az X szög szögfelezője!

173 z összukrajnai ifjú matematikusok első olimpiája z és pontok az a egyeneshez viszonyítva egy félsíkhoz illeszkednek. Határozzátok meg az a egyenesen az X pontot, ha tudjuk, hogy az X és X félegyenesek az adott egyenessel egyenlő szöget alkotnak! z és pontok az a egyeneshez viszonyítva egy félsíkhoz illeszkednek. z a D egyenesen úgy vették fel az X pontot, hogy az X + X összeg a lehető legkisebb legyen. C Határozzátok meg az X pontot! * Szerkesszetek egy C háromszöget két és az C oldala ( < C) és a és C szögének különbsége alapján! * C és D pontok az egyeneshez viszonyítva egy félsíkhoz illeszkednek X 18.. ábra (18.. ábra). z egyenesen úgy vettek fel egy X pontot, hogy 1 XC = DX. Határozzátok meg az X pontot! * izonyítsátok be, hogy az CD domború négyszög területe nem nagyobb, mint 1 (. CD + C. D).! * dott az C háromszög. Határozzátok meg azt a pontot, melynek szimmetriaképe a háromszög bármelyik oldalához képest a háromszög köré írt körvonalra illeszkedik! ISMÉTLŐ GYKORLTOK z CD paralelogramma kerülete 48 cm, D = 7 cm. paralelogramma melyik oldalát metszi a szögének szögfelezője? Határozzátok meg azokat a szakaszokat, melyekre a szögfelező osztja az oldalát! Két háromszögnek két oldala megfelelően egyenlő, és a megfelelő egyenlő oldalak közötti szögek összege 180. izonyítsátok be, hogy az adott háromszögek egyenlő nagyságúak lesznek! dottak a következő pontok: (5; ), ( 7; 1) és C (1; 5), az M szakasz pedig az C háromszög oldalfelezője. Írjátok fel az M egyenes egyenletét! Z ÖSSZUKRJNI IFJÚ MTEMTIKUSOK ELSŐ OLIMPIÁJ Nagyon reméljük, hogy a feladat tetszett nektek, és átéreztétek a megoldásával járó örömet. Ez a feladat azért is figyelmet érdemel, mert 1961-ben ezzel a feladattal kezdődött országunk ifjú matematikusainak első olimpiája.

174 GEOMETRII TRNSZFORMÁCIÓK Ukrajnában a matematikaversenyeknek már régi tradíciója van. z első városi ifjú matematikusok versenyét 1935-ben Kijevben rendezték meg. Több mint 80 éven keresztül a sok tehetséges iskolásnak a matematikai olimpiák voltak az első lépései a tudományos életben. Ma O. V. Pohorelov, Sz. H. Krejn, M. O. Krasznoszelszkij, V. H. Drinfeld neve az egész tudományos világ számára ismertek. Ők mindannyian, különböző években, Ukrajna matematikai olimpiáinak a győztesei voltak. Nagy megelégedésünkre szolgál, hogy ma is nagyon népszerűek a matematikaversenyek Ukrajnában. Országunkban több tízezer iskolás vesz részt különböző szintű matematikai megmérettetésen. versenyek szervezésében a legjobb tudósok, módszertanosok, tanárok vesznek részt. z ők lelkesedésének és professzionalizmusának köszönhetően Ukrajna csapata megfelelően képviseli országunkat a nemzetközi matematikai diákolimpiákon. Kedves kilencedikesek, azt ajánljuk nektek, hogy ti is vegyetek részt a matematikai olimpiákon. Most bemutatunk néhány feladatot az összukrajnai ifjú matematikusok első olimpiájának feladatai közül. Próbáljátok ki magatokat. 1. z C háromszögbe írt kör annak oldalait a K, L, M pontokban érinti. Legyen O 1, O, O 3 azoknak a körvonalaknak a középpontjai, melyek kívülről érintik a háromszöget. izonyítsátok be, hogy a KLM és O 1 O O 3 háromszögek hasonlók!. 4 m területű téglalap belsejébe 7 db egyenként 1 m területű téglalapot rajzoltak. izonyítsátok be, hogy legalább két téglalapnak van olyan közös része, melyek területe legalább 1 7 m! 3. Legyenek a négyszög oldalai a, b, c, d, területe pedig S. izonyítsátok be, hogy Sm 1 ( a c)( b d) ! Olekszij Vasziljovics Pohorelov ( ) Szelim Hrihorovics Krejn ( ) Mark Olekszandrovics Krasznoszelszkij ( ) Volodimir Hersovics Drinfeld (sz.:1954)

175 19. Középpontos szimmetria. Elforgatás Középpontos szimmetria. Elforgatás Meghatározás. z és 1 pontok az O pontra nézve szimmetrikusak, ha az O pont az 1 szakasz felezőpontja (19.1. ábra). z O pont önmagával szimmetrikus. O x 0 y y 0 O x 0 x F X O F 1 1 X 1 1 y ábra 19.. ábra ábra Például mivel az és az 1 pontok abszcisszái és az ordinátái is ellentett számok, ezért a koordináta-rendszer kezdőpontjára nézve szimmetrikusak (19.. ábra). Vizsgáljuk meg az F alakzatot és az O pontot. z F alakzat minden X pontjának az O pontra nézve szimmetrikusan megfeleltetünk egy X 1 pontot. z F alakzat ilyen átalakítása során kapunk egy F 1 alakzatot (19.3. ábra). z F alakzat ilyen átalakítását O pontra vonatkozó tükrözésnek nevezzük. z O pont az alakzat szimmetria-középpontja. zt is szokták ilyenkor mondani, hogy az F és F 1 alakzatok középpontosan szimmetrikusak az O ponthoz képest t é t e l (a középpontos szimmetria tulajdonsága). középpontos szimmetria mozgás lesz. izonyítás. Úgy válasszuk meg a koordináta-rendszert, hogy a szimmetria-középpont egybeessen a koordináta-rendszer kezdőpontjával. Legyen (x 1 ; y 1 ) és (x ; y ) az F alakzat tetszőleges pontjai. Ekkor az 1 ( x 1 ; y 1 ) és 1 ( x ; y ) pontok az (x 1 ; y 1 ) és (x ; y ) pontok origóra vonatkozó tükörképei lesznek. Ekkor: = ( x x ) + ( y y ), 1 1 = ( x ( x )) + ( y ( y )) = ( x + x ) + ( y + y ) = Megkaptuk, hogy = 1 1, vagyis a középpontos szimmetria megtartja a pontok közötti távolságot. Tehát a középpontos szimmetria mozgás. Következmény. Ha az F és F 1 alakzatok egymással középpontosan szimmetrikusak, akkor F = F 1.

176 GEOMETRII TRNSZFORMÁCIÓK Meghatározás. z alakzatot az O ponthoz képest középpontosan szimmetrikusnak nevezzük, ha az adott alakzat minden pontjának az O ponthoz képest szimmetrikus pontja is az adott alakzat pontja lesz. O z O pontot szimmetria-középpontnak nevezzük. Ilyenkor azt is mondják, hogy az alakzat középpontosan szimmetrikus ábra Lássunk néhány középpontosan szimmetrikus alakzatot. szakasz szimmetria-középpontja a felezőpontja is egyben (19.4. ábra). paralelogramma átlóinak felezőpontja a szimmetria-középpontja is egyben (19.5. ábra). X C O X 1 D ábra ábra Léteznek olyan alakzatok, melyeknek végtelen sok szimmetria-középpontja van. Például az egyenes bármely pontja szimmetria-középpont is egyben. Szintén végtelen sok szimmetria-középpontja van, annak az alakzatnak, amely két párhuzamos egyenesből áll (19.6. ábra). 1.feladat. izonyítsátok be, hogy az l egyeneshez nem tartozó O pontra vonatkozó tükrözésnél kapott egyenes képe párhuzamos az l egyenessel! Megoldás. Mivel a középpontos szimmetria mozgás, ezért az l egyenes képe egyenes lesz. z egyenes megszerkesztéséhez elegendő bármely két pontját ismerni. z l egyenesen választunk bármely két és pontot (19.7. ábra). Legyenek e pontoknak az O pontra vonatkozó tükörképei megfelelően az 1 és 1 pontok. Ekkor az 1 1 egyenes lesz az l egyenes képe. Mivel O = O 1, O = O 1, az O és 1 1 O 1 szögek mint csúcsszögek egyenlők, l ezért az O és az 1 O 1 háromszögek O egybevágóak a háromszögek egybevágóságának első ismertetőjele alapján. Innen következik, hogy 1 = (19.7. ábra). Tehát a párhuzamos egyenesek ismertetőjele 1 1 alapján l ábra

177 19. Középpontos szimmetria. Elforgatás 177 E M C 1 F M 1 C ábra ábra.feladat. z M pont az C szöghöz illeszkedik (19.8. ábra). szög és C szárán szerkesszetek olyan E és F pontokat, hogy az M pont az EF szakasz felezőpontja legyen! Megoldás. Legyen az 1 1 egyenes az egyenes M pontra vonatkozó tükörképe (19.9. ábra). Jelöljük F-fel az 1 1 és C egyenesek metszéspontját. Meghatározzuk az F pont tükörképét. Természetesen ez a pont az egyenesre fog illeszkedni. Ezért elegendő meghatározni az FM és az egyenesek metszéspontját. Jelöljük ezt a pontot E betűvel. Ekkor az E és F pontok lesznek a keresett pontok. Környezetünkben gyakran látunk példát a szimmetriára ( ábra). szimmetriatengellyel vagy szimmetria-középponttal rendelkező objektumok látványa megérintenek bennünket, és emellett kellemesek a szemnek. Ezért az ókori Görögországban a szimmetria szó szinonimája volt a harmónia, a szépség szavaknak ábra szimmetriát gyakran alkalmazzák a művészetben, építészetben és az iparban ( ábra) ábra