Jegyzet az Elektromágneses terek M.Sc. tantárgyhoz

Átírás

1 Jegyzet az Elektromágneses terek M.Sc. tantárgyhoz Tartalomjegyzék 1 A legfontosabb elõismeretek összefoglalása Főbb jelölések Műveletek, tételek Koordinátarendszer-független műveletek Műveletek Descartes-koordinátarendszerben Az elektromágneses tér alapjellemzői Az energiamérleg A térjellemzők viselkedése közeghatáron Távvezetékek A távvezeték modellje Szinuszos állandósult állapot lineáris közegben Speciális időfüggésű terek analízise Időfüggetlen eset Szinuszos állandósult állapot lineáris közegben Általános periodikus időbeli változás lineáris közegben Abszolút integrálható időfüggvény szerinti változás lineáris közegben Belépő jellegű időfüggvény szerinti változás A Maxwell-egyenletek egyértelmű megoldhatósága lineáris közegek esetében 10 4 Az elektrodinamika peremérték-feladatai A peremértékfeladat (p.e.f.) fogalma Elektrosztatika Sztatikus mágneses tér Stacionárius áramlási tér Stacionárius áramok mágneses tere Örvényáramú tér A - ϕ módszer T - ϕm módszer Elektromágneses hullámok Skaláris Poisson-egyenletre vezető p.e.f.-ok egyértelmű megoldhatósága A végeselem-módszer (FEM) alapjai A parciális differenciálegyenlet (PDE) gyenge alakja Példa: elektrosztatika

2 6 Az integrálegyenletek módszere Momentum-módszer Példa: Síkkondenzátor Az időbeli végesdifferenia-módszer (FDTD) Centrális másodrendű véges differencia Egydimenziós eset A rácsméretek megválasztása Az FDTD előnyei és hátrányai A Green-függvények P.e.f. 0: égtelen-végtelen távvezeték P.e.f. 1: Rövidzár-végtelen távvezeték P.e.f. 2: Szakadás-végtelen távvezeték A Green-függvény haszálata A Green-függvény meghatározása Green-függvény - Elektrosztatika A Green-függvény ellenőrzése Green-függvény - Stacionárius áramok mágneses tere Green-függvény - Elektromágneses hullámok Távvezeték-tranziensek számítása Abszolút integrálható időfüggvény szerinti változás Belépő jellegű időfüggvény szerinti változás Elektromágneses inverz feladatok Optimalizálási módszerek inverz és tervezési feladatokhoz Csőtápvonalak A Hertz-dipólus elektromágneses tere Síkhullámok 37 2

3 1 A legfontosabb elõismeretek összefoglalása 1.1 Főbb jelölések A jegyzetben használt főbb jelölések: Jelölés v M v v v 1 v 2 v 1 v 2 U v Jelentés 3D-s térbeli vektor Mátrix Skaláris szorzat ektoriális szorzat Diadikus szorzat Komplex csúcsérték ektor abszolút értéke 1.2 Műveletek, tételek Koordinátarendszer-független műveletek ektormező divergenciája - definíció (A egy zárt felület, a határolt térfogat): Műveleti azonosságok: div v = lim 0 A vd A (1.1) div ( v 1 v 2 ) = v 2 rot v 1 v 1 rot v 2 (1.2) div (u v) = v grad u + u div v (1.3) v = grad div v rot rot v (1.4) rot u v = grad u v + u rot v (1.5) Gauss-tétel (A egy zárt felület, a határolt térfogat, da a térfogatból kifele mutató felületi normális): vd A = div v d (1.6) A Stokes-tétel (L egy zárt görbe, A a határolt felület, L körüljárása és A felületi normálisa a jobbcsavar szabály szerint van összerendelve): vd l = rot v da (1.7) A Fourier-transzformációnak és inverzének formulája: L F (ω) = f(t) = 1 2π A f(t)e jωt dt (1.8) F (ω)e jωt dω (1.9) 3

4 A Laplace-transzformáció formulája: Függvények belső szorzata: F (s) = 0 f(t)e st dt (1.10) < f 1, f 2 >= f 1 f2 dω (1.11) ahol f 1 és f 2 az Ω tartományon értelmezett két függvény, melyek négyzetesen integrálhatók, valamint a konjugálást jelenti Műveletek Descartes-koordinátarendszerben Skalármező gradiense - kiszámítás: ektormező divergenciája - kiszámítás: Ω grad ϕ(x, y, z) = ϕ x e x + ϕ y e y + ϕ z e z (1.12) ektormező rotációja - kiszámítás: div v = v x x + v y y + v z z e x e y e z rot v = x y z v x v y v z (1.13) (1.14) 1.3 Az elektromágneses tér alapjellemzői Az elektromágneses térmennyiségek az időtartományban általánosan 4 változós függvények (3 db térdimenzió, 1 db idődimenzió). Az elektromos térerősség példájával: E = E( r, t), Descartes-koordinátarendszerben E(x, y, z, t), gömbi koordinátarendszerben E(r, ϑ, ϕ, t). A Maxwell-egyenletek differenciális alakja: rot H = J + D (1.15) Anyagegyenletek lineáris, izotróp közeg esetén: rot E = B (1.16) div B = 0 (1.17) div D = ϱ (1.18) B = µ H = µ 0 H + µ0 M (1.19) D = ε E = ε 0 E + P (1.20) 4

5 Energiasűrűség: w = 1 2 E D H B (1.21) Anizotróp lineáris közeg esetén az anyagegyenletekben tenzorokat használunk: D = ε E, és B = µ H. A differenciális Ohm-törvény: J = σ( E + Eb ) + J b (1.22) M a mágnesezettség. P a polarizáció, nincs mellette ε0 szorzó. Eb a beiktatott elektromos térerősség, Jb a beiktatott áramsűrűség, melyek nem külső elektromos forrásból származnak. Az elektromágneses tér erőhatása: F = Q( E + v B) (1.23) Az anyag viselkedésének leírása igen változatos lehet, gyakran egészen bonyolult kapcsolat is elképzelhető (ilyen pl. a hiszterézis jelensége a mágneses anyagoknál). Az anyag viselkedésével és ennek leírásával kapcsolatos további részletek Dr. eszely Gyula jegyzetében találhatók. 1.4 Az energiamérleg Az energiát elemezve jutunk el oda, hogy az elektromágneses tér tárolja az energiát (nem pedig pl. a töltés vagy az áram), valamint így jutunk el a Poynting vektorhoz, amely a téren belüli teljesítményáramlást írja le. Az energia időbeli változását többféle jelenség is okozhatja. Ezért fontos, hogy minderre meghatározzunk egy matematikai modellt. A levezetés végén egy olyan egyenletet szeretnénk látni, amelyik egyik oldalán az energia időbeli változása szerepel, a másik oldalán pedig a forrás- és térmennyiségeket tartalmazó, elkülöníthető kifejezések összege. Szorozzuk meg az első Maxwell-egyenletet E-vel, a másodikat pedig H-val: onjuk ki az elsőt a másodikból: E rot H = E J + E D H rot E = H B (1.24) (1.25) H rot E E rot H = H B E J E D (1.26) A jobb oldali összeg utolsó tagjában helyettesítsük E-t a differenciális Ohm-törvény alapján ( E = J Jb σ E b ), valamint a bal oldalon használjuk ki a 1.2 vektorműveleti azonosságot: div ( E H) = H B E D J 2 σ + J b J σ + E b J (1.27) Ezután integráljuk mindkét oldalt a vizsgált térfogatra, valamint a bal oldalon rögtön haszáljuk is fel a Gauss-tételt (1.6): A ( E H)d A = ( H B + E D ) d 5 J 2 σ d + Jb J σ d + σ E b Jd (1.28)

6 Szorozzunk be -1-gyel, és rendezzünk át, valamint használjuk ki az időbeli deriváltas kifejezések alakját ( külső függvény deriváltja a belső szerint, szorozva belső függvény deriváltjával ): ( 1 H 2 B + 1 E 2 D) d = J 2 σ d Jb J σ d E b Jd + ( E H)d A (1.29) Ez az egyenlet az elektromágneses tér energiamérlege. (Bővebben lásd Dr. eszely Gyula segédanyagát.) 1.5 A térjellemzők viselkedése közeghatáron A 1. ábra. Közeghatár jelölései A két közegbeli térellemzők közötti összefüggések: e n ( H 2 H 1 ) = K (1.30) e n ( E 2 E 1 ) = 0 (1.31) e n ( B 2 B 1 ) = 0 (1.32) e n ( D 2 D 1 ) = σ (1.33) Az 1 és 2 indexek rendre a közeghatár egyik és másik oldalán lévő térmennyiségeket jelölik. A mágneses térerősség tangenciális komponense a határon lévő K felületi áramsűrűség szerint változik. Az elektromos térerősség tangenciális komponense folytonos a határon. A mágneses indukció normális komponense folytonos a határon. A dielektromos eltolásvektor normális komponense a határon lévő σ felületi töltéssűrűség szerint változik. 1.6 Távvezetékek A távvezeték modellje A konvenció szerint a távvezeték a z irányban helyezkedik el. Az egyéb irányokban sztatikusan (azaz változás nélkül) modellezzük. A távvezetéket elosztott paraméterű hálózattal írjuk le. 6

7 2. ábra. Távvezeték rajzjele és egységnyi hosszú darabjának helyettesítő kapcsolása A távvezetékek feszültségét és áramát a távíró-egyenletekkel írjuk le: u z = R i + L i (1.34) i z = G u + C u (1.35) ahol R, L, C, G rendre a távvezeték hosszegységre eső ellenállása, hosszegységre eső induktivitása, hosszegységre eső kapacitása és hosszegységre eső vezetőképessége. Ideális távvezeték esetén R és G nulla. K (z) értelmezése: Pl. ha van egy I 0 áramforrás a z 0 helyen, akkor K (z) = I 0 δ(z z 0 ). (1.36) A távvezeték-számítások egyik kulcsfontosságú egyenletének levezetéséhez deriváljuk le z szerint az első egyenletet, majd helyettesítsük be i z -t. Eredményül egy homogén parciális differenciálegyenletet (PDEt) kapunk: 2 u z 2 R G u (R C + L G ) u L C 2 u 2 = 0 (1.37) A feszültségre vonatkozó hullámegyenletet megkapjuk, ha az első egyenlet hosszmenti deriváltját ( z ) behelyettesítjük a másodikba: 2 U(z) z 2 + k 2 U(z) = ak (z) (1.38) ahol 1 a = R + jωl, (1.39) k 2 = (R + jωl )(G + jωc ), (1.40) A differenciálegyenletek megoldásához természetesen a peremfeltételek is szükségesek Szinuszos állandósult állapot lineáris közegben A feszültséget és az áramot komplex csúcsértékekkel reprezentáljuk: u(z, t) = R{U(z)e jωt }, i(z, t) = R{I(z)e jωt }. A távvezeték-egyenletek szinuszos állandósult állapotban: U z = R I + jωl I (1.41) I z = G U + jωc U K (z) (1.42) 7

8 Így a homogén PDE-nk: d 2 U(z) dz 2 R G U(z) (R C + L G )jωu(z) L C (jω) 2 U(z) = 0 (1.43) Az áram és a feszültség komplex csúcsértéke közötti összefüggés: I(z) = du(z) dz A feszültség és az áram komplex csúcsértéke a távvezeték mentén: 1 R + jωl (1.44) U(z) = U + e γz + U e γz (1.45) Ahol a távvezeték hullámimpedanciája, I(z) = U + Z 0 e γz U Z 0 = Z 0 e γz (1.46) R + jωl G + jωc (1.47) γ = (R + jωl )(G + jωc ) = α + jβ (1.48) a feszültség- és áramhullám terjedési tényezője a távvezetéken, U + és I + a pozitív irányban haladó hullámösszetevők, U és I pedig a negatív irányban haladó hullámösszetevők. Ideális távvezeték L esetén Z 0 = C, γ = jβ = jω L C = j ω c, ahol c a fénysebesség az adott közegben. 2 Speciális időfüggésű terek analízise 2.1 Időfüggetlen eset A sztatikus Maxwell- Ekkor az időbeli deriválás egyenértékű a nullával való szorzással ( ) = 0. egyenletek: A Maxwell-egyenletek differenciális alakja: 2.2 Szinuszos állandósult állapot lineáris közegben rot H = J (2.1) rot E = 0 (2.2) div B = 0 (2.3) div D = ϱ (2.4) Ekkor a térmennyiségvektorok egyes komponensei ugyanakkora ω körfrekvenciával változnak, pl. Descarteskoordinátákban így írható fel az elektromos tér: E(r, t) = E x (r) cos(ωt + ϕ x ) e x + E y (r) cos(ωt + ϕ y ) e y + E z (r) cos(ωt + ϕ z ) e z (2.5) (az egyes komponensek amplitúdója és fázisszöge eltérhet). A térmennyiségeket ebben az esetben komplex csúcsértékekkel modellezzük. Például az elektromos térerősség: E(r, t) = Re{(E x (r) e x + E y (r) e y + E z (r) e z )e jωt } (2.6) 8

9 ennek x komponense: E x (r, t) = Re{E x (r)e jωt } (2.7) melynek komplex csúcsértéke: E x (r) = E x (r)e jϕ (2.8) igyázat, az E x (r) komplex csúcsérték az elektromos térerősségnek csak az x komponense, de a teljes r-től függ. Az időbeli deriválás egyenértékű jω-val való szorzással ( = jω). Így időben algebrai egyenletekkel lehet végezni a számítást, ami egyszerűbb. Továbbá már csak 3 db független változó van. A Maxwell-egyenletek a szinuszos állandósult állapotban, komplex csúcsértékekkel: Rossz vezetők esetén érdemes bevezetni a komplex permittivitást. kapjuk: A komplex permittivitás algebrai alakban ε = ε jε. szigetelők tervezésénél fontos mennyiség): rot H( r) = J( r) + jω D( r) (2.9) rot E( r) = jω B( r) (2.10) div B( r) = 0 (2.11) div D( r) = ϱ (2.12) Ezt az első Maxwell egyenletből rot H = σ E + jωε E = jω(ε j σ ω ) E = jωε E (2.13) Ebből adódik a veszteségi tényező (ami pl. tan δ = ε ε (2.14) 2.3 Általános periodikus időbeli változás lineáris közegben Ezek az időfüggvények Fourier-sorba fejthetők, azaz felírhatók különféle körfrekvenciájú sin és cos függvények lineáris kombinációjaként. Az analízist frekvenciakomponensenként kell elvégezni a szinuszos időbeli változásra ismert módszerekkel, majd az eredményeket a sorbafejtésnek megfelelően összegezni kell. 2.4 Abszolút integrálható időfüggvény szerinti változás lineáris közegben Ezek az időfüggvények Fourier-transzformálhatók. Az időbeli deriválás egyenértékű jω-val való szorzással ( = jω)a Maxwell-egyenletek alakja ez esetben: rot H( r, jω) = J( r, jω) + jω D( r, jω) (2.15) rot E( r, jω) = jω B( r, jω) (2.16) div B( r, jω) = 0 (2.17) div D( r, jω) = ϱ( r, jω) (2.18) Így is 4 darab független változónk van, de idő szerinti deriválás már nem szerepel az egyenletekben. Az időtartománybeli konvolúció művelete a frekvenciatartományban szorzásnak felel meg, ami tovább egyszerűsítheti a számításokat, pl. az időbeli diszperzióval rendelkező anyagoknál a frekvenciafüggetlen anyagjellemző bevezetésével. 9

10 2.5 Belépő jellegű időfüggvény szerinti változás Amennyiben a rendszer eredetileg energiamentes volt, a térjellemzőket leíró függvények idő szerint Laplace-transzformálhatók. Az időbeli deriválás egyenértékű s-sel való szorzással ( = s). Így időben algebrai egyenletekkel lehet végezni a számítást, ami egyszerűbb. Az időtartománybeli konvolúció művelete a komplex frekvenciatartományban szorzásnak felel meg, ami tovább egyszerűsítheti a számításokat. A Maxwell-egyenletek alakja ez esetben: rot H( r, s) = J( r, s) + s D( r, s) (2.19) rot E( r, s) = s B( r, s) (2.20) div B( r, s) = 0 (2.21) div D( r, s) = ϱ( r, s) (2.22) A Kirchhoff-hálózatok esetében a komplex frekvenciatartománybeli függvények (amelyeknek s a változója) mindig polinomok hányadosaként álltak elő. Az elektromágneses terek esetében viszont ez többnyire nem teljesül, így ekkor a részlettörtekre bontáson alapuló inverz transzformációs módszer sem alkalmazható. 3 A Maxwell-egyenletek egyértelmű megoldhatósága lineáris közegek esetében A Maxwell-egyenletek lineáris közegben egyértelműen megoldhatók, ha adottak az alábbiak: kezdeti értékek: E( r, t 0 ) és H( r, t 0 ) ( r ) beiktatott mennyiségek: E b ( r, t) és J b ( r, t) ( r, t t 0 ) tangenciális komponensek: vagy E t ( r, t) vagy H t ( r, t) ( r A, t t 0 ) ahol A a térfogatot határoló felület. Az elektromágneses teret leíró függvényeket a Maxwell-egyenletek segítségével akarjuk meghatározni. Ehhez két dolgot kell megvizsgálnunk: létezik-e megoldás (azaz teljesül-e az egszisztencia), és egyértelmű-e a megoldás (azaz teljesül-e az unicitás). Az egzisztencia teljesülésével a tantárgyban nem foglalkozunk. Az unicitás teljesülését indirekt módon bizonyítjuk (ez gyakori eljárás az olyan tételeknél, amelyekben egyértelműségről van szó). A Maxwell-egyenletek esetében tehát tételezzük fel, hogy a megoldás nem egyértelmű. együnk két eltérő megoldást: az elektromos térerősség esetén E 1 -et és E 2 -t, a mágneses térerősség esetén pedig H 1 -et és H 2 -t. Ezek időbeli kezdeti értékei, térbeli peremfeltételei és forrásai megegyeznek (hisz mindekét megoldás ugyanazon feladathoz tartozik). Képezzük a megoldások különbségét (azt kell bebizonyítanunk hogy ez nulla): H 0 = H 2 H 1 (3.1) melyekkel a gerjesztettségi mennyiségek különbségi függvényei: E 0 = E 2 E 1 (3.2) B 0 = µ H 0 (3.3) D 0 = ε E 0 (3.4) 10

11 valamint a beiktatott mennyiségek kiesése miatt J0 = σ E 0 (3.5) Az időbeli kezdeti értékek: E 0 ( r, t 0 ) = 0 (3.6) mert a két megoldás kezdeti értékei megegyeznek. Térbeli peremfeltételként vagy E, vagy H van megkötve, azaz vagy H 0 ( r, t 0 ) = 0 (3.7) E 0,t ( r, t) = 0 (3.8) vagy H 0,t ( r, t) = 0 (3.9) A Maxwell-egyenleteket az E 1 és az E 2 térre külön-külön írjuk fel, majd vonjuk ki az egyenleteket egymásból és helyettesítsük az E 1 E 2 kifejezést E 0 -val ( H-ra hasonlóan): rot H 0 = σ E 0 + ε E 0 (3.10) rot E 0 = µ H 0 (3.11) Szorozzuk meg az első Maxwell-egyenletet E 0 -val, a másodikat pedig H 0 -val és vonjuk ki a másodikból az elsőt: H 0 rot E 0 E 0 rot H 0 = µ H 0 H 0 σ E 0 E0 ε E 0 E 0 (3.12) A bal oldalon használjuk a (1.2) vektorműveleti azonosságot, és alakítsuk át időbeli deriváltat tartalmazó szorzatokat: div ( E 0 H 0 ) = J 0 2 σ ( 1 2 µ H ε E 0 2) (3.13) Integráljunk térfogatra, rendezzünk át és használjuk a Gauss-tételt a divergenciát tartalmazó kifejezésre: ( 1 2 µ H ε E 0 2) d = J 0 2 σ d A ( E 0 H 0 )d A (3.14) Ez az egyenlet a kulcs. A bal oldalon egy pozitív értékű integrál változása szerepel. A jobb oldal felületi integrált tartalmazó kifejezése nulla, mert a peremfelületen vagy E 0,t vagy H 0,t nulla (lásd feljebb). A jobb oldalon maradt tehát az áramsűrűséget tartalmazó kifejezés, mely (az integrál előjelével együtt tekintve) kisebb vagy egyenlő nullával. A bal oldali integrál változása tehát vagy negatív, vagy nulla. Ez a változás negatív viszont nem lehet, mivel a bal oldalon szereplő különbségi térmennyiségek időbeli kezdeti értéke nulla (lásd feljebb), és negatív változás esetén az integrál negatívvá válna, de nem lehet negatív a benne szereplő mennyiségek (pozitív konstansok és négyzetszámok) miatt. Ezért a jobb oldal nem lehet negatív. Marad tehát az, hogy a jobb oldal nulla, így a bal oldali integál változása is nulla, azaz nem változik. Összegezzünk: a bal oldali integrál időbeli kezdeti értéke nulla, és nem változik, tehát végig nulla is marad a vizsgált térben és időben ( r, t t 0 ). Ez csak úgy lehet, ha a bal oldali integrálban szereplő E 0 és H 0 is nulla a vizsgált térben és időben. Ha ezek a különbségi függvények nullák, akkor az elején feltett két megoldás megegyezik, és ez az amit be akartunk bizonyítani, tehát teljesül az unicitás. 11

12 4 Az elektrodinamika peremérték-feladatai 4.1 A peremértékfeladat (p.e.f.) fogalma Egy peremértékfeladatban a adottak a források, az anyagjellemzők és a peremfeltételek, és a cél az elektromágneses térmennyiségek meghatározása. Az elektrodinamika különféle területeire különböző p.e.f.-ot fogalmazunk meg. A mérnök feladata, hogy a fizikai valóságot modellezze egy p.e.f.-tal, ami a matematikusok által kidolgozott módszerekkel már metodikusan megoldható. Egy p.e.f. modellezésének és megoldásának folyamata: 1. írjuk fel a Maxwell-egyenleteknek a feladatra vonatkozó redukált alakját (pl. elektrosztatika); 2. vezessük be a teret jellemző potenciálokat (pl. ϕ( r)); 3. írjuk fel a potenciálokra vonatkozó differenciál-egyenleteket (pl. ϕ = ϱ ε ); 4. adjuk meg a peremfeltételeket; 5. végül adjuk meg az egyenletek megoldását (pl. ϕ( r) =... ). 4.2 Elektrosztatika Jellemzők: = 0, forrása ϱ (és E b ), és E meghatározása a cél, például az alábbi ábrán a -vel jelölt térfogatrészben. Ezt a modellt használjuk például szigetelőelrendezések tervezésénél. 3. ábra. Elektrosztatikai elrendezés két elektródával A vonatkozó egyenletek: rot E = 0 (4.1) div D = ϱ (4.2) D = ε E (4.3) A teret ebben az esetben az elektromos skalárpotenciállal (ϕ) célszerű jellemezni, azaz E = grad ϕ (mert E rotációmentes). Az erre felírható diff. egyenlet: A peremfeltételek: Γ D : ϕ adott, Γ N : ε ϕ n adott. div εgrad ϕ = ϱ (4.4) Ennek szabadtéri megoldása és illusztrációja: ϕ( r) = 1 4πε ϱ( r ) r r d (4.5) 12

13 4. ábra. Elektrosztatikai p.e.f. szabadtérben (A szabadtér azt jelenti, hogy a tér végtelen, a töltések pedig véges tartományon belül vannak.) 4.3 Sztatikus mágneses tér Jellemzők: = 0, J = 0. A tér forrása lehet állandó mágnes, vagy elektromágnes (amelynek áram alatt lévő vezetékei a vizsgált térrészen kívül vannak). A cél H meghatározása. Ezt a modellt használjuk például állandó mágneses generátorok, motorok méretezéséhez mágneses tulajdonságok szempontjából. 5. ábra. Elrendezés példa a sztatikus mágneses tér vizsgálatához A vonatkozó egyenletek: rot H = 0 (4.6) div B = 0 (4.7) B = µ 0 H + µ0 M (4.8) A teret ebben az esetben a mágneses skalárpotenciállal (ϕ m ) célszerű jellemezni, azaz H = grad ϕ m (mert H rotációmentes). Az erre felírható diff. egyenlet az első egyenlet alapján: div µ 0 grad ϕ m = div µ 0 M (4.9) A peremfeltételek: Γ D : ϕ m adott, Γ N : µ ϕm n adott. 4.4 Stacionárius áramlási tér Jellemzők: = 0, a tér forrása J b, és E meghatározása a cél. Erre példa a villámhárítók földelése körül kialakuló tér. Ezt a modellt használjuk áramköri rétegellenállások bevágással történő beállításához is. 13

14 6. ábra. Balra: illámhárító földelésének egyszerű modellje. Jobbra: Bevágással beállított rétegellenállás modellje. A vonatkozó egyenletek: div J = 0 (4.10) rot E = 0 (4.11) J = σ( E + Eb ) + J b (4.12) (Az első egyenlet az első Maxwell-egyenletből divergenciaképzéssel adódik.) A teret ebben az esetben is skalárpotenciállal (ϕ) célszerű jellemezni, azaz E = grad ϕ (mert E rotációmentes). Az erre felírható diff. egyenlet az első egyenlet alapján: A peremfeltételek: Γ D : ϕ adott, Γ N : σ ϕ n adott. 4.5 Stacionárius áramok mágneses tere div σgrad ϕ = div σ E b div J b (4.13) Jellemzők: = 0, a tér forrása J b, és H meghatározása a cél. Ezt a modellt használjuk például távvezetékek hosszegységre eső induktivitásának meghatározásához. A vonatkozó egyenletek: rot H = J (4.14) div B = 0 (4.15) B = µ H (4.16) A teret ebben az esetben vektorpotenciállal ( A) célszerű jellemezni, azaz B = rot A (mert B forrásmentes). ektorpotenciál bevezetésekor annak divergenciájt is elő lehet írni, amit szabadon megtehetünk (ezt mértékválasztásnak is nevezik). A diff. egyenletünkhöz az első egyenletet vegyük kiindulásképpen: ( 1 rot µ rot A ) = J (4.17) A mértékválasztás: div A = 0 (Coulomb-mérték). A peremfeltételek: Γ H : H t adott, Γ B : B n,i adott. Amennyiben a közeg permeabilitása mindenhol ugyanaz, használjunk fel egy vektorműveleti azonosságot (1.4), amivel a diff. egyenlet: grad div A A = µ J (4.18) A mértékválasztás miatt a bal oldal első tagja nulla. Az előjelet vigyük át a másik oldalra. A vektorpotenciálra felírható diff. egyenlet tehát: A = µ J (4.19) 14

15 A differenciálegyenlet szabadtéri megoldása: A( r) = µ 4π J( r ) r r d (4.20) Ebből az r változó szerinti rotációképzéssel megkapható a régebben megismert Biot-Savart törvény: B( r) = µ 4π J( r ) ( r r ) r r 3 d (4.21) A stacionárius áramok mágneses terét egy másik p.e.f. megfogalmazásával is vizsgálhatjuk. Eszerint H-t felbontjuk két tag összegére az alábbiak szerint: H = H s + H r (4.22) rot H s = J (4.23) rot H r = 0 (4.24) H r rotációmentessége miatt azt felírhatjuk egy skalárpotenciál gradienseként ( H r = grad ϕ r ), így kapunk egy újabb diff. egyenletet a harmadik Maxwell-egyenlet alapján: div (µ grad ϕ r ) = div µ H s (4.25) A peremfeltételek: Γ D : ϕ r adott, Γ N : µ ϕr n adott. H s szabadon megválasztható, az egyetlen megkötés, hogy elégítse ki az (4.23) egyenletet. Tipikusan a J által szabadtérben gerjesztett teret szokták választani, amely a Biot-Savart törvénnyel J-ből felírható: 4.6 Örvényáramú tér H s (r) = 1 4π J( r ) ( r r ) r r 3 d (4.26) Ez esetben van időbeli változás. A vizsgált térrészben van nem vezető (pl. levegő) és vezető közeg (pl. vas) is. A tér forrása J b, ami csak a nem vezető közegben van (pl. a levegőben elhelyezkedő, árammal átjárt vezető tekercs). A cél mind E, mind H meghatározása. Ez a modell hasznos pl. transzformátorok vasmaglemezelésének méretezésekor, vagy bármilyen indukciós elven működő fűtőeszköz tervezésekor. Jelöljük a nem vezető és a vezető térrészt Ω l -lel és Ω v -vel a sorrendnek megfelelően. 7. ábra. Az örvényáramú tér tartományai a jelölésekkel 15

16 Az Ω l -re vonatkozó egyenletek: Az Ω v -re vonatkozó egyenletek: rot H = J b vagy div J = 0 (4.27) div B = 0 (4.28) B = µ H (4.29) rot H = J (4.30) rot E = B (4.31) div B = 0 (4.32) B = µ H (4.33) J = σ E (4.34) A peremfeltételek: Nem vezető közeg: Γ l,h : H t adott, Γ l,b : B n adott, ezető közeg: Γ v,h : H t adott, Γ v,e : E t adott, A közegek határán: Γ v l,h : ( H l H v ) e n = 0, Γ v l,b : (B l,n B v,n ) = A - ϕ módszer Két potenciált írunk elő: egy vektor- és vektorpotenciált. Ezekre két diff. egyenletet kell felírnunk a közegekben összeszedett információk segítségével. Információink Ω l -ben: B = rot A; rot ( 1 µ rot A) = J b ; div A értéke adott (pl. Coulomb-mértékkel); a peremfeltételek adottak (kivéve a vektorpotenciálra vonatkozóan, mert azok összefüggenek a mértékválasztással). Tehát Ω l -ben csak A ismeretlen, ami ezekkel az információkkal meghatározható. Információink Ω v -ben: B = rot A; rot E = rot A; a mértékválasztás adott; a peremfeltételek adottak. 16

17 Itt be kell vezetnünk egy skalárpotenciált is hogy meg tudjuk határozni a szükséges mennyiségeket. Rendezzük át az Ω v -ben felírt diff. egyenletet: ( rot E + A ) = 0 (4.35) Ebben a rotáció belsejében lévő kifejezés felírható egy skalárpotenciál gradienseként: ( E + A ) = grad ϕ (4.36) Ezt rendezzük E-re: E = A grad ϕ (4.37) Majd helyettesítsük be az első Maxwell-egyenlet Ω v -re redukált változatába: ( 1 rot µ rot A ) = σgrad ϕ σ A (4.38) Ezt átrendezve kapjuk a p.e.f. első diff. egyenletét. A másodikat pedig E-t div J = 0-ba való helyettesítéssel kapjuk. A p.e.f. két diff. egyenlete Ω v -ben tehát: ( 1 rot µ rot A ) + σgrad ϕ + σ A = 0 (4.39) ( div σgrad ϕ + σ A ) = 0 (4.40) Ezeket kell a potenciálokra megfogalmazott peremfeltételek mellett megoldani A és ϕ-re, amelyekből a térmennyiségek meghatározhatók T - ϕm módszer Ω l -ben a redukált skalárpotenciálok módszerével definiálható a peremértékfeladat (lásd feljebb). Ω v -ben be kell vezetnünk egy skalárpotenciált is. Mivel div J = 0, J-t felírhatjuk egy vektorpotenciál rotációjaként: mivel J = rot T. Az első Maxwell-egyenlet vonatkozó változatát felhasználva ki tudjuk fejezni tervektorh-t a potenciálokkal: rot H = J = rot T (4.41) Ezt átrendezve: rot ( H T) = 0 (4.42) Ebben a rotáció belsejében lévő kifejezést felírhatjuk egy skalárpotenciál gradienseként: Ezt H-ra rendezve megkapjuk annak kifejezését a potenciálokkal: H T = grad ϕ m (4.43) H = T grad ϕ m (4.44) Most vegyük a második Maxwell-egyenletet és helyettesítsünk be E-be J-n keresztül: ( 1 rot σ rot T ) = B (4.45) 17

18 Ebbe behelyettesítve a H-ra kapott kifejezést és átrendezve kapjuk a p.e.f. első diff. egyenletét. A másodikat pedig H-t div B = 0-ba való helyettesítéssel kapjuk. A p.e.f. két diff. egyenlete Ω v -ben tehát: ( 1 rot σ rot T ) + µ T µ grad ϕ m = 0 (4.46) div (µ T µ grad ϕ m ) = 0 (4.47) Ezeket kell a potenciálokra megfogalmazott peremfeltételek mellett megoldani T és ϕ-re, amelyekből a térmennyiségek meghatározhatók. Bizonyos peremfeltételek esetén az egyik módszer nagymértékben leegyszerűsödhet, tehát érdemes azt választani. Például ha a vizsgált tartomány határán a normális irányú áram nulla, akkor a T - ϕ m módszer a jobb választás. 4.7 Elektromágneses hullámok Ez esetben van időbeli változás. A cél mind E, mind H meghatározása. Ilyen hullámjelenségek vizsgálata a hírközlésben igen fontos, pl. antennák tervezésekor és rádióhullámok terjedésének vizsgálatakor. A Maxwell-egyenletek teljes rendszerét használjuk ilyenkor. További információink: Peremfeltételek: Γ E : E t adott, Γ H : H t adott. Kezdeti értékek: H(t = t0 ) és E(t = t 0 ) adott. Források: E b (t) és J b (t) adott. A potenciálokat megadó diff. egyenleteket az A - ϕ módszerrel írjuk fel az örvényáramú térben közölt levezetéshez hasonlóan. A vektorpotenciált most is B = rot A módon vezetjük be, és most is a második Maxwell-egyenletből adódik E kifejezése a potenciálokkal: Ezt helyettesítsük be az első Maxwell-egyenletbe: E = grad ϕ A (4.48) ( 1 rot µ rot A ) = J εgrad ϕ A ε 2 2 (4.49) Ezt átrendezve kapjuk a p.e.f. első diff. egyenletét. A másodikat pedig E-t div D = ϱ-ba való helyettesítéssel kapjuk. A p.e.f. két diff. egyenlete tehát: ( 1 rot µ rot A ) + εgrad ϕ A + ε 2 2 = J (4.50) ( div ε grad ϕ + ε A ) = ϱ (4.51) Ezeket kell a potenciálokra megfogalmazott peremfeltételek mellett megoldani A és ϕ-re, amelyekből a térmennyiségek meghatározhatók. A mértékválasztás módja a következő. Tekintsük azt az esetet, amikor µ mindenhol ugyanaz, és szorozzuk be (4.50)-t µ-vel: rot rot A + µε grad ϕ + µε 2 A 2 = µ J (4.52) 18

19 Használjuk fel a (1.4) vektorműveleti azonoságot, így: grad div A A + µε grad ϕ + µε 2 A 2 = µ J (4.53) Ebben a Lorentz-mérték (div A = µε ϕ ) használatával két tag pont kiejti egymást, és egy egyszerűbb egyenlet adódik: A µε 2 A 2 = µ J (4.54) A Lorentz-mértéket (4.51)-be helyettesítve hasonló kifejezés adódik a skalárpotenciálra: ϕ µε 2 ϕ 2 = ϱ ε (4.55) Az utóbbi két egyenletben nincsen keresztbecsatolás a A-n és ϕ-n keresztül, holott tudjuk, hogy E és H hat egymásra. Az egymásra hatást a folytonossági egyenlet köti össze: div J + ϱ = 0 (4.56) 4.8 Skaláris Poisson-egyenletre vezető p.e.f.-ok egyértelmű megoldhatósága Azért foglalkozunk ismét ezzel a kérdéssel, mert most nem a téreloszlásokra, hanem a potenciálra vonatkoztatva kell egy olyan peremérték feladatot megfogalmaznunk, amely egyértelműen megoldható. Az unicitást teljesülését az elektrosztatikában kapott diff. egyenlet (4.4) példáján nézzük meg (a többi részterületen hasonlóan lehet belátni). Indirekt módon bizonyítunk, azaz tegyük fel hogy létezik két nem azonos megoldás: ϕ 1 ϕ 2. Különbségük legyen ϕ 0 = ϕ 2 ϕ 1, melyre a peremfeltételek: Γ Di : ϕ 0 = 0 és Γ Nj : ε ϕ0 n = 0, hiszen a két feltett megoldásra ugyanazon peremfeltételek vonatkoznak, melyek különbsége így nulla. Írjuk fel az elektromos tér energiáját (vagyis annak kétszeresét a tömörebb felírás érdekében): E 0D0 d = grad ϕ 0 (εgrad ϕ 0 )d (4.57) Használjunk fel egy műveleti azonosságot (1.3), így az energia: E 0D0 d = div (ϕ 0 εgrad ϕ 0 )d ϕ 0 div (εgrad ϕ 0 )d (4.58) A második integrálban látszik is az elektromos potenciál diff. egyenletének bal oldala (div (εgrad ϕ 0 )), ami nullával egyenlő, tehát a második intergrál nulla. Marad az első integrál, amit alakítsunk át a Gausstétellel felületi integrállá. Ezt még bontsuk ketté a két peremfeltétel-típus szerint, hogy a Dirichlet- és Neumann-peremeken történő integrálás külön álljon. Így továbbvive a számítást: E 0D0 d = ϕ 0 (εgrad ϕ 0 )dγ ϕ 0 (εgrad ϕ 0 )dγ (4.59) Γ N Γ D Ennek második integráljában a gradienst helyettesítsük ϕ 0 felületi normális irányú deriváltjával, hisz a felületi normális irányú dγ-val való skaláris szorzásuk ugyanarra vezet: E 0D0 d = ϕ 0 (εgrad ϕ 0 )dγ ( ε ϕ ) 0 dγ (4.60) n Γ D 19 Γ N ϕ 0

20 A Dirichlet-peremeken ϕ 0 értéke nulla (lásd feljebb), tehát az első integrál nulla. A Neumann-peremeken pedig ε ϕ0 n értéke nulla (lásd feljebb), tehát a második integrál is nulla. Összekötve a levezetés elejét és végét ezt kapjuk: E 0D0 d = 0 (4.61) A bal oldali integrál csak úgy lehet nulla, ha E 0 nulla, hisz D 0 lineárisan függ E 0 -tól. Ha viszont E 0 értéke nulla, akkor az előzetesen feltett két megoldásunkhoz tartozó E 1 és E 2 megegyezik, a hozzájuk tartozó skalárpotenciálok pedig konstanssal térnek el egymástól: ϕ 2 = ϕ 1 + ϕ const. A diff. egyenlet megoldása tehát a vektormezőkre konstans eltéréstől eltekintve egyértelmű. 5 A végeselem-módszer (FEM) alapjai A végeselem-módszert (Finite Element Method, FEM) gyakran alkalmazzák a mérnöki gyakorlatban nem csak elektrodinamikai, hanem pl. mechanikai feladatok megoldása során is. A FEM egy numerikus módszer, amely egy peremértékfeladatra szolgáltat közelítő megoldást. 5.1 A parciális differenciálegyenlet (PDE) gyenge alakja Induljunk ki az alábbi operátoregyenletből: Lu = f (5.1) ahol L egy lineáris operátor, u egy skalármező, f pedig a mező forrása. Rendezzük ezt át: Lu f = 0 (5.2) Az egyenlet bal oldalán egy függvény szerepel (ami két tag különbsége), és ez nullával egyenlő. Használjuk a vektoralgebrai analógiát, miszerint egy vektor akkor egyezik a nullvektorral, ha a bázis minden elemével vett skaláris szorzata nulla (minden tengelyre eső vetülete nulla): v = 0 v i e i = 0 (i = 1, 2,..., N) (5.3) Ahol e i -k a tér bázisának elemei. Most vektorok tere helyett egy függvények által alkotott végtelen dimenziós Euklideszi tér van, amelyben a skaláris szorzatot (1.11) szerint értelmezzük. együnk egy {w i }-vel jelölt bázist (i = 1, 2,... ) a W függvénytérben. A {w i } bázisnak végtelen eleme van (ez lehetséges, ilyen pédául a Fourier-sor esete, ahol végtelen számú sin és cos összegére bontjuk fel a vizsgált periodikus függvényt), és minden eleme kielégíti a homogén Dirichlet peremfeltételt. Egy függvény tehát akkor nulla, ha a függvénytér bázisának minden elemével nullát ad a skaláris szorzata. Ez a PDE-vel felírva: < Lu f, w i >= 0 (i = 1, 2,... ) (5.4) ami a PDE gyenge alakja. Írjuk most fel u-t a bázisfüggvények lineáris kombinációjaként (hasonlóan ahhoz amikor egy vektort írunk fel a bázisvektorokkal): u = u 0 + j c j v j (5.5) ahol {v j } a függvénytér egy másik bázisa, u 0 pedig egy tetszőleges függvény, ami Γ D -n kielégíti az előírt feltételeket (Dirichlet peremfeltételek). A v j -ről pedig előírjuk azt, hogy a Γ D -n nulla. 20

21 < L(u 0 + j c j v j ) f, w i >= 0 (i = 1, 2,... ) (5.6) A forrást és az u 0 -t tartalmazó tagot vigyük át a másik oldalra. Mivel az L operátor lineáris, és a szumma is lineáris művelet, a kifejezést felbonthatjuk. Így az egyenletünk: c j < Lv j, w i > = < f, w i > < Lu 0, w i > (i = 1, 2,... ) (5.7) j égtelen dimenziós függvényterekben keressük a megoldást, de végtelen tagú egyenletrendszert nem tudunk felírni, ezért a bázisfüggvények számát N-re korlátozzuk. Az esetek legnagyobb részében ugyanazt a bázist használjuk az ismeretlen u függvény sorfejtésére, és a projektció ellenőrzésére. Ezek után látható, hogy a (5.7) egyenlet egy N egyenletből álló lineáris egyenletrendszer. Ennek megoldásaként kaphajtuk meg a c j együtthatókat (j = 1, 2,..., N), amelyek és az ismert u 0 függvény segítségével felírható az u függvény (a (5.5) formula segítségével), amely a kitűzött peremértékfeladat megoldása. 5.2 Példa: elektrosztatika Adott egy Ω tartomány, amiben az elektrosztatika Poisson-egyenlete érvényes (4.4). Tehát az előző fejezet alapján a most vizsgált példában L(.) = div (εgrad (.)) és f = ϱ. A peremfeltételek adottak: Γ D : ϕ = ϕ 0 és Γ N : ε ϕ n = σ ábra. A vizsgált tartomány a jelölésekkel Írjuk fel a PDE gyenge alakját (5.4) a {w i } bázissal: div (ε grad ϕ) w i dω = Ω Ω ϱ w i dω i (5.8) Használjunk egy vektorműveleti azonosságot (1.3) az egyenlet bal oldalán (az azonosságban u = w i, v = ε grad ϕ): (ε grad ϕ)grad w i dω div ((ε grad ϕ)w i )dω = ϱ w i dω (5.9) Ω Ω A bal oldalon lévő különbség második tagját alakítsuk át a következők szerint. A bal oldal második tagját alakítsuk át a Gauss-tétel segítségével: div ((ε grad ϕ)w i )dω = (ε grad ϕ)w i dγ (5.10) Ω Γ Ω 21

22 Ezt alakítsuk tovább, kiemelve a felületi normálvektort: (ε grad ϕ)w i dγ = ε w i grad ϕ n dγ (5.11) Γ Ebben a gradiens és a normálvektor szorzata megegyezik a skalárpotenciál normális iránymenti deriváltjával. Bontsuk ketté az integrált a Dirichlet- és a Neumann-peremek szerint: ϕ ε w i grad ϕ n dγ = w i ε n dγ + ϕ w i ε dγ (5.12) n Γ Γ D Ebben az első integrál nulla, mivel a bázisfüggvényeket úgy választottuk meg, hogy azok értéke a Dirichlet-peremfeltétel nulla, azaz w ΓD i = 0. A második integrál pedig a Neumann-peremfeltétel miatt a következő alakban írható: ϕ w i ε n dγ = w i σ 0 dγ (5.13) Γ N Ezek után a (5.7) egyenlet az alábbi módon írható fel: (ε grad ϕ)grad w i dω = ϱ w i dω + Ω Γ N Keressük az ismeretlen ϕ függvényt a {w i } bázis segítségével a következő alakban: Γ Ω Γ N Γ N w i σ 0 dγ (5.14) ϕ = w 0 + j c j w j (5.15) ahol w 0 egy tetszőleges függvény ami kielégíti a Dirichlet-peremfeltételt (w 0 = ϕ 0 -val Γ D -n). Helyetesítsük ezt be (5.14)-be: c j (ε grad w j )grad w i dω = ϱ w i dω w i σ 0 dγ (ε grad w 0 )grad w i dω (5.16) j Ω Ω Most pedig alkalmazzunk egy közelítést. Korlátozzuk a W függvénytér dimenzióját, azaz vegyünk csupán N darab bázisfüggvényt: {w i } N 1, (i = 1, 2,..., N). Ez a közelítés befolyásolja a módszer pontosságát, de a szükséges számítási kapacitást is. Ha kevesebb bázisfüggvénnyel számolunk, pontatlanabb eredményt kapunk, viszont gyorsabban végez a program. A közelítéssel az egyenletünk: N c j (ε grad w j )grad w i dω = ϱ w i dω j=1 Ω Ω Γ N Γ N w i σ 0 dγ Ω Ω (ε grad w 0 )grad w i dω (i = 1, 2,..., N) (5.17) A w i bázisfüggvényeket mi választjuk meg, w 0 -t a Dirichlet-peremfeltételnek megfelelően mi választjuk meg, ϱ és σ 0 adott a feladatban, így csak a c j konstansok ismeretlenek. Minden (i, j) párhoz tartozik egy integrál a bal oldali szummán belül, és minden i-hez tartozik egy integrálokat tartalmazó kifejezés a jobb oldalon. Ezeket az integrálokat jelöljük A ij -vel és b i -vel, így az egyenlet: N c j A ij = b i (i = 1, 2,..., N) (5.18) j=1 22

23 Ezen keresztül pedig egy lineáris algebrai egyenletrendszerre jutunk: A c = b (5.19) ahol c = (c 1, c 2,..., c N ) T az ismeretlen, amit már könnyen meghatározhatunk. A ij = c j (ε grad w j )grad w i dω (i = 1, 2,..., N) (j = 1, 2,..., N) (5.20) Ω Ω b i = ϱ w i dω Γ N w i σ 0 dγ Ω (ε grad w 0 )grad w i dω (i = 1, 2,..., N) (5.21) A FEM-ben a bázisfüggvények kis területre koncentálódnak. Emiatt a kapott egyenletrendszerhez egy olyan A mártix tartozik, amelyben ritkán vannak az elemek, és ritka mátrixokkal való számításokra léteznek kifejezetten gyors számítógépes algoritmusok. Emellett az integrálok kiértékelése is könnyű, gyakran analitikusan is megtehető. 6 Az integrálegyenletek módszere A módszert egy elektrosztatikai peremértékfeladat példáján nézzük meg. Az elrendezésben találhatók elektródák, amelyek felületi töltéssűrűsége (σ) ismeretlen. Az elektródák végtelen térrészben és vákuumban helyezkednek el. Az elektromos potenciálra az alábbi integrál írható fel (lásd (4.5), a töltés esetünkben felületi sűrűséggel van megadva): ϕ( r) = A 1 4πε 0 r r σ( r )da (6.1) ahol A az elektródák felülete. Ennél összetettebb elrendezés esetén is kifejezhetők az elektromágneses térjellemzők Green-függvények segítségével egy integrál formájában (a Green-függvényeket lásd részletesen a róla szóló fejezetben később), ahol az integrál belsejében szerepel a tér ismeretlen forrása. Az így kifejezett elektromágneses jellemzőkkel a peremfeltételekre vonatkozóan megfogalmazhatók integrálokat tartalmazó egyenletek, amelyekben az ismeretlen források találhatók az integrálok belsejében. Az ilyen egyenleteket hívjuk integrálegyenleteknek. Általánosságban az integrálegyenlet egy olyan egyenlet, amelyben az ismeretlen az integrálon belül szerepel. Esetünkben a Green-függvények segítségével a potenciál a következő módon fejezhető ki: ϕ( r) = 1 g( r, r )σ( r )da (6.2) ε 0 A Ez utóbbi az elektrosztatika integrálegyenlete, ahol g( r, r 1 ) = 4π r r a későbbiekben tárgyalandó Greenfüggvény. E kifejezéssel úgy kapunk integrálegyenletet, hogy az elektródák felületén előírjuk a potenciált, mivel ez a potenciálérték a feladatban adott. Tehát az elektródák felületén: Φ( r) = 1 g( r, r )σ( r )da = ϕ 0 ( r A) (6.3) ε 0 A ahol Φ( r) az elektródák felületének potenciálja, amely a feladatban adott. Ez már egy integrálegyenlet, amely megoldása során célunk σ meghatározása. Ez egyébként egy Fredholm-típusú, elsőfajú integrálegyenlet. 23

24 6.1 Momentum-módszer A felületi töltéssűrűség numerikusan közelíthető N darab bázisfüggvény lineáris kombinációjával: σ( r) = N c j v j ( r) (6.4) j=1 ahol a v j ( r)-k az egymástól lineárisan független bázisfüggvények. Ily módon a c j konstans szorzókat kell meghatároznunk, mely egy fokkal egyszerűbb. Az integrálegyenletbe a felület megadott pontjain való behelyettesítéssel egy lineáris algebrai egyenletrendszerre jutunk. Ezzel olyan felületi töltéssűrűséget keresünk, amely kielégíti azt, hogy a felület kiválasztott r i pontjain (i = 1, 2,..., N) a potenciálérték megegyezik a feladatban előírttal. N Φ( r i ) = 1 g( r i, r ) v j ( r ) da (i = 1, 2,..., N) (6.5) ε 0 j=1 c j A Az integrálon belüli függvények ismertek, így maguk az integrálok kiértékelhetők. Így a fenti egyenlet a következő formát ölti: Φ 1 c 1 Φ 2. = S c 2 (6.6). Φ N c N ahol: S ij = 1 ε 0 A g( r i, r )v j ( r )da (i = 1, 2,..., N) (j = 1, 2,..., N) (6.7) Φ i = Φ( r i ) (i = 1, 2,..., N) (6.8) Az egyenletrendszer ezzel megoldható c = (c 1, c 2,..., c N ) T -re, amely alapján (6.3)-ból megkapjuk az ismeretlen töltéssűrűséget. A kapott töltéssűrűséggel bármilyen elektromos térjellemzőt ki tudunk fejezni a továbbiakban. A fenti egyenletrendszert a pontkollokáció módszerével kaptuk meg. Az integrálegyenletek megoldására más, az általunk használtnál numerikusan jobban viselkedő megoldások is léteznek, melyek túlmutatnak e jegyzet keretein. 6.2 Példa: Síkkondenzátor Tekintsünk egy síkkondenzátort az alábbi jelölésekkel: 9. ábra. Síkkondenzátor a jelölésekkel 24

25 (Megjegyzés: Abból, hogy az egyik elektródán Q töltés van, még nem következik hogy a másikon Q. A két elektródán lévő töltést mi most explicite kikötöttük.) A bázisfüggvényeket az alábbi módon érdemes megválasztani: { 1 ha r A i v i ( r) = (6.9) 0 ha r / A i 10. ábra. Síkkondenzátor lemezeinek felosztása A síkkondenzátor alsó lapjára felírható egyenletek: 2MN Φ = 1 g( r j, r )v i ( r )da c i ε i=1 0 A i (j = 1,..., MN) (6.10) A síkkondenzátor felső lapjára felírható egyenletek: 2MN Φ + U = 1 g( r j, r )v i ( r )da c i ε i=1 0 A i (j = MN + 1,..., 2MN) (6.11) Ezek mellett használjuk még fel, hogy a kondenzátorlapok töltése Q adott: MN Q = c i A i (6.12) Q = i=1 2MN i=mn+1 c i A i (6.13) ahol a felületegységek nagysága: A i = ab MN. Ezzel összesen 2MN + 1 darab egyenletünk van a megoldáshoz, azaz a c i együtthatók és u meghatározásához. A c i együtthatókkal megkapjuk az elektródák töltésének értékét, valamint a feszültséget felhasználva megkapjuk a kondenzátor kapacitását is. 7 Az időbeli végesdifferenia-módszer (FDTD) Az FDTD (Finite-Difference Time-Domain) módszer időbeli változás mellett nyújt segítséged, és lineáris anyagok esetén előnyös. A lényege, hogy a térmennyiségek diszkrét differenciáinak segítségével adott pontokból kiindulva az egész tartományban ki tudjuk számolni numerikusan a térértékeket. 25

26 7.1 Centrális másodrendű véges differencia Az FDTD módszer részben erre a matematikai fogalomra épül, ezért definiáljuk előbb. Adott egy f(x) függvény: 11. ábra. Egy egyváltozós függvény Aminek az (x 0 + δ 2 ) és (x 0 δ 2 ) pontbeli értékei kifejthetők az alábbi módon sorfejtéssel: ( f x 0 + δ ) = f (x 0 ) + δ ( ) 2 ( ) 3 δ 2 2 f 1 δ (x 0 ) + 2 2! f 1 (x 0 ) + 2 3! f (x 0 ) +... (7.1) f ( x 0 δ ) = f (x 0 ) δ 2 2 f (x 0 ) + onjuk ki a felső egyenletből az alsót: ( f x 0 + δ ) ( f x 0 δ ) 2 2 ( ) 2 δ 1 2 2! f (x 0 ) Ebből pedig már kifejezhető a függvény első deriváltja x 0 -ban: f (x 0 ) = df (x 0) = f ( ( ) x 0 + 2) δ f x0 δ 2 dx δ 7.2 Egydimenziós eset x = 0, y = 0 E y = E z = 0, H x = H z = 0 ( ) 3 δ 1 2 3! f (x 0 ) +... (7.2) ( ) 1 = δf (x 0 ) + δ 3 f (x 0 ) +... (7.3) 24 ( ) 1 δ 2 f (x 0 )... (7.4) 24 Fejtsük ki a mágneses térerősség rotációját: rot H e x e x e z = 0 0 z 0 H y 0 = H y z e x (7.5) Fejtsük ki a vonatkozó Maxwell-egyenlet másik oldalát: Így D = ε E = ε E x e x (7.6) H y z = ε E x 26 (7.7)

27 Hasonlóképpen E x z = µ H y Tehát kaptunk viszonylag egyszerű összefüggéseket a térerősségek z irányú és az időbeli változására. Diszkretizáljuk a teret és az időt, azaz jelöljünk ki rácspontokat az alábbi ábrának megfelelően. A teli pontokban az elektromos, az üres körrel jelölt pontokban a mágneses térerősség értékeit vizsgáljuk. (7.8) 12. ábra. Az FDTD-ben alkalmazott rács A szomszédos pontok közt felírhatunk összefüggéseket a diszkretizált tartományban: E x[m + 1, q] E x [m, q] z = µ[m ]H y[m + 1 2, q ] H y[m 1 2, q 1 2 ] t H y[m + 1 2, q ] H y[m 1 2, q ] = ε[m] E x[m, q + 1] E x [m, q] (7.10) z t Ha ezeket az egyenleteket átrendezzük, akkor azt látjuk, hogy három környező pontból ki tudjuk számolni a térértékeket a következő pontban: (7.9) H y [m + 1 2, q ] = H y[m + 1 2, q 1 2 ] t µ[m ] z (E x[m + 1, q] E x [m, q]) (7.11) E x [m, q + 1] = E x [m, q] t ε[m] z (H y [m + 12, q + 12 ] H y[m 12, q + 12 ] ) (7.12) Aztán a térerősségek ezen új pontokbeli értékének ismeretében ugyanezekkel a formulákkal kiszámolhatjuk a következő pontbeli értékeket, és így tovább. Az FDTD tehát három pontból ugrik egy következő pontba. Ez utóbbiért úgynevezett leap frog módszerek között is emlegetik. 7.3 A rácsméretek megválasztása Minél sűrűbb a rács, annál pontosabb a módszer, de annál számításigényesebb is. Emellett t és z aránya is korlátok közé van szorítva a fénysebesség miatt: ahol c a fény sebessége vákuumban. c εr µ r t z 2 (7.13) 27

28 7.4 Az FDTD előnyei és hátrányai Az FDTD során csak a függvények értékeit kell tárolni és nyomon követni, differenciálegyenletrendszereket nem kell. Pontos megoldáshoz sűrű rács szükséges, aminek viszont nagy a tárhely- és a számítási kapacitásigénye. Érzékeny a numerikus hibára. 8 A Green-függvények A Green-függvény egy elrendezésre vonatkozóan írja le a térmennyiségek viselkedését. Segítségével bármilyen gerjesztésre meghatározhatók az elrendezésben kialakuló térmennyiségek. A hálózatelméletben ehhez hasonló egy hálózat impulzusválasza, amellyel bármilyen gerjesztés esetén ki lehet számítani a hálózat válaszát. Minden peremértékfeladathoz definiálhatunk egy Green-függvényt, amelynek tulajdonságai: kettő darab független változója van; kielégíti a diff. egyenletet. A Green-függvényeket a távvezetékek példáján fogjuk megismerni. A tranziensszámítások a?? PDE-re épülnek. A célunk, hogy meghatározzuk a távvezeték mentén a feszültség és az áram függvényét. A Green-függvényt a távvezeték esetén g(z z )-ként írjuk, a rá vonatkozó diff. egyenlet pedig: ahol δ(.) a Dirac-delta P.e.f. 0: égtelen-végtelen távvezeték d 2 g(z z ) dz 2 + k 2 g(z z ) = δ(z z ) (8.1) Tekintsünk egy távvezetéket, amely mindkét irányban végtelen hosszú. A feszültség peremfeltételei: A Green-függvény peremfeltételei: 13. ábra. Mindkét irányban végtelen hosszú távvezeték du(z) = jku(z) dz (z ) (8.2) du(z) = jku(z) dz (z ) (8.3) dg(z z ) dz dg(z z ) dz = jkg(z z ) (z ) (8.4) = jkg(z z ) (z ) (8.5) 28

29 8.0.2 P.e.f. 1: Rövidzár-végtelen távvezeték együnk egy távvezetéket, amely a z = 0 pontban rövidre van zárva, a pozitív z irányban pedig végtelen hosszú. A feszültség peremfeltételei: A Green-függvény peremfeltételei: 14. ábra. Rövidzár-végtelen távvezeték du(z) dz dg(z z ) dz P.e.f. 2: Szakadás-végtelen távvezeték U(z) = 0 (z = 0) (8.6) = jku(z) (z ) (8.7) g(z z ) = 0 (z = 0) (8.8) = jkg(z z ) (z ) (8.9) együnk egy távvezetéket, amely a z = 0 pontban szakadással van lezárva, a pozitív z irányban pedig végtelen hosszú. A szakadás helyén az áram nulla, ami azon a ponton a feszültség z szerinti deriváltját határozza meg (lásd a távvezeték-egyenleteket). A peremfeltételek: 15. ábra. Szakadás-végtelen távvezeték 1 U(z) I(z) = R + jωl z = 0 U(z) z = 0 (z = 0) (8.10) du(z) = jku(z) dz (z ) (8.11) A Green-függvény peremfeltételei: dg(z z ) = 0 dz (z = 0) (8.12) dg(z z ) = jkg(z z ) dz (z ) (8.13) 29

30 8.1 A Green-függvény haszálata A Green-függvény segítségével meg tudjuk határozni a távvezeték feszültségét bármilyen gerjesztés esetén. Erre keressük a matematikai formulát. Szorozzuk be (1.38)-t g(z z )-vel és (8.1)-t U(z)-vel, és vegyük a két egyenlet különbségét: g(z z ) d2 U dz 2 U(z)d2 g(z z ) dz 2 = a g(z z )K(z) + U(z)δ(z z ) (8.14) Integráljuk ezt az egyenletet a vizsgált tartományra: z 2 z 1 g(z z ) d 2 U dz 2 dz z 2 z 1 U(z) d 2 g(z z ) z 2 z 2 dz 2 dz = a g(z z )K(z)dz + U(z)δ(z z )dz (8.15) z 1 z 1 Ennek a bal oldalán mindkét integrál értéke nulla, mivel vagy homogén Dirichlet vagy homogén Neumann peremfeltétel ki van kötve (azaz vagy U(z) és g(z z ) nulla, vagy du dz és dg(z z ) dz nulla). A jobb oldal második integrálját pedig egyszerűen elvégezhetjük. Marad tehát: z 2 0 = a z 1 g(z z )K(z)dz + U(z ) (8.16) Cseréljük meg az egyenletben z-t és z -t. Szerencsére a Green-függvényre teljesül, hogy g(a b) = g(b a), így ugyanazt a függvényt használhatjuk. Ezután kis átrendezéssel kapjuk a formulát, amit keresünk: z 2 U(z) = a z 1 g(z z )K(z )dz (8.17) Ezzel bármilyen K(z ) gerjesztésre meg tudjuk határozni a feszültséget, ha ismerjük az elrendezés Greenfüggvényét. Idézzük fel a hálozatelméletben megismert formulát, mely bármilyen gerjesztésre megadta egy lineáris, időinvariáns rendszer időbeli válaszát a rendszer impulzusválaszának ismeretében: y(t) = h(t τ)u(τ)dτ (8.18) és máris látszik a hasonlóság. invariancia fogalma is.) (Megjegyzés: Az időbeli invarianciával analóg módon létezik a térbeli 8.2 A Green-függvény meghatározása A Green-függvény meghatározásának módját a fentebb megadott peremértékfeladatok közül az elsőn (p.e.f. 0) foguk megismerni. Keressük a Green-függvényt a következő alakban, mely a peremfeltételeket kielégíti, így már csak a differenciálegyenlet kielégítését kell biztosítanunk. { g(z z Ae jkz (z > z ) ) = Be jkz (z < z (8.19) ) Mivel két ismeretlen paramétert kell meghatároznunk, két egyenletre van szükség. Az egyik a Greenfüggvény z -beli kötelező folytonosságból adódik: Ae jkz = Be jkz (8.20) 30

31 A másik pedig a Green-függvényre vonatkozó diff. egyenlet (8.1), amit integráljuk egy z körüli, ε sugarú szakaszra úgy hogy ε 0 (ε kicsi ): z +ε z ε d 2 g(z z z +ε ) dz 2 dz + z ε k 2 g(z z )dz = z +ε z ε δ(z z )dz (8.21) Mivel ε 0, a bal oldalon szereplő második integrál értéke nulla (nullához tart a szakasz amin integrálunk). Elvégezve az integrálokat: dg(z + ε z ) dz Ebbe helyettesítsük be a paraméteres függvényt (8.19): dg(z ε z ) dz = 1 (8.22) jkae jkz jkbe jkz = 1 (8.23) Ebből pedig a z -beli folytonosságot felhasználva (8.20) meghatározható az A és B paraméter. A keresett Green-függvény tehát: { 1 g(z z ) 2jk ) = e jk(z z (z > z ) 1 ) 2jk (z < z (8.24) ) ejk(z z Hasonló módon határozhatók meg a Green-függvények a rövidzár-végtelen távvezeték és a szakadásvégtelen távvezeték p.e.f.-ok esetében is. 8.3 Green-függvény - Elektrosztatika izsgáljuk a szabadtéri esetet. Az elektrosztatika Poisson egyenlete: ϕ = ϱ ε (8.25) Az ehhez tartozó Green-függvény diff. egyenlete: A szabadtér miatt lim ϕ = 0 és lim r r g( r r ) = 0. A Green-függvény diff. egyenletének megoldása: g( r r ) = δ( r r ) (8.26) g( r r ) = 1 4π r r (8.27) essük össze a potenciál feljebb megadott szabadtéri megoldásával: ϕ( r) = 1 1 ε 4π r r ϱ( r )d (8.28) Látszik, hogy a Green-függvény melett az integrálban ott a forrás, és az integrál előtt egy konstans szorzó. 31