Folyadékok Mechanikája Válogatott Példatár

Átírás

1

2 Budaesti Mőszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Géészménöki Ka 4 D. Blahó Miklós Folyadékok Mechanikája álogatott Példatá Hidosztatika... Kinematika... 8 Benoulli egyenlet... 4 Imulzustétel... Csısúlódás... 6 Összenyomható közegek áamlása... 4 Megoldások... 7 Hidosztatika... 7 Kinematika... 9 Benoulli egyenlet... 4 Imulzustétel... 4 Csısúlódás Összenyomható közegek áamlása... 8

3 Hidosztatika Minden éintett feladatnál R 87 J / kg K, g 9.8 N / kg /? [ Pa] /? [ Pa] / - szakaszon:. kg / m -4 szakaszon: 4? [ Pa] 4. kg / m /4 Pa ( kiszámításához) Kíül (leegı): Kéményben (füst):? [ Pa] T T o C 76 mmhg o C

4 Hidosztatika 4 / z ába egy gázezeték függıleges szakaszát tünteti fel. z alsó gázcsanál a túlnyomás Pa. Mekkoa a túlnyomás a felsı csanál? Áamlás nincsen. leegı gáz. kg / m.7 kg / m /6 z. N / m kg / m R leegı 88 J / kgk a.) T? [ K] b.)? [ Pa], ha a hıméséklet a z < m szakaszon mindenütt T. /7. N / m z N / m. kg / m leegı [ m] z? ha a hıméséklet a z < z szakaszon állandó. /8 jámő olajjal an tölte. a olaj m / s 9 kg / m? [ Pa]

5 Hidosztatika /9 jámő olajjal an tölte. olaj a? 9 kg / m Pa [ m / s ] / z ábán látható tatálykocsia kanyaban aló haladásko a m / s centietális gyosulás hat. tatálykocsi ízzel töltött. a.) b.) Milyen magasa emelkedik a íz felszíne az -B oldalon? Mekkoa eı hat a kocsi -B oldaláa, ha a kocsi hossza,6 m? / Hogyan helyezkednek el a felszínek, ha a csı g a gyosulással halad bala? / n / min íz kg / m? [ Pa]

6 Hidosztatika 6 / csı ízzel töltött. Pa Mekkoa szögsebességgel kell az ábán feltüntetett U csöet az -B szá köül fogatni, hogy a.) b.).8 Pa legyen? az -B szá kiüüljön és benne a nyomás.8 Pa legyen? Nyugalmi felszín /4 Nehézségi eı elhanyagolható. 8 kg / m n 6 / min? / Nehézségi eı elhanyagolható. ω / s íz olaj kg / m 8 kg / m? [ Pa] /6 Mekkoa teülető jégtábla tat fenn egy 76 N súlyú embet, ha a tábla cm astag és a jég sőősége 9 kg/m? /7 kötél súlytalan. gömb G kocka íz bólya a? kg / m mm N [ m/s ] kg / m

7 Hidosztatika 7 /8 Egy súlytalannak tekinthetı m átméıjő léggömböt 6 C hıméséklető leegıel töltünk meg. külsı leegı hıméséklete Mekkoa lesz az F emelı eı? C. nyomás a léggömbben és kíül egyaánt Pa. /9 N / m 8 kg / m ± mm leolasási hiba a fenti nyomáskülönbségnek ± % -a. α? [ ] / z U csöön megtöltés után mindkét csaot elzájuk. Fogás közben a bal oldalon szában a felszín a B ontig lesüllyed. telített göz Pa T konst. ω? [ / s] 4 Pa

8 Kinematika / nyomás megáltozása elhanyagolható. t t 4 m C 8 C / s? [ m / s]? [ m / s] / Síkáamlás: [( ot ) ]? [ / s] z / Hengeszimmetikus áamlás. átlag max? /4 Instacionáius síkáamlás. y x yt Mekkoa az '' ontban a lokális és a konektí gyosulás? t. s illanatban a

9 Kinematika 9 / Mekkoa a szaggatott onal mentén számított cikuláció? Γ? [ m / s] /6 m /s konst. [ a ]? [ m /s ] kon

10 Benoulli-egyenlet / Pa t? Pa [ m / s] / m / s u 4 m / s kg / m? [ Pa] / Súlódási eszteség elhanyagolható.. kg / m? [ m / s] /4 Stacionáius állaot. m / min. h? [ m]

11 Benoulli Egyenlet /.6 Pa.? Pa [ m /s] /6 a m s t.? Pa Pa [ m /s] /7 ω / s w? [ m / s] (w: elatí sebesség) /8 w m / s ω? [ /s] (w: elatí sebesség)

12 Benoulli Egyenlet /9 a N / m 4 m /s? [ m /s ] / Pa.9 Pa Súlódási eszteség elhanyagolható. a.) csa megnyitásako mekkoa a kezdeti gyosulás? b.) Stacionáius állaotban H? [ m] / csa megnyitásako mekkoa a kezdeti gyosulás a B ontban? / Mekkoa a kezdeti gyosulás a csı égén? 4 t N / m túlnyomás!

13 Benoulli Egyenlet / m / s a m / s Súlódás elhanyagolható. Mekkoa eıel kell a dugattyút tolni? /4 u 7 km / h 4 m /s Súlódás elhanyagolható. a.)? [ m / s] b.) Mekkoa teljesítmény kell a csı ontatásához? / alk le? 8 kg / m. kg / m [ m /s] /6 Egy méıeem lyukátméıje d mm. Átömlési tényezı α. 7 Összenyomhatósági tényezı ε. Mét nyomáskülönbség? [ m / s] 6 N / m.. kg / m. /7 z áamlás szélessége m. a.) Milyen a sebességmegoszlás a nyílás után a függıleges mentén? (Diagam) b.) Mekkoa a kiáamló [ m / s] téfogatáam?

14 Benoulli Egyenlet 4 /8 Rotációmentes, ízszintes síkáamlás.. m.8 m m / s a.) Milyen sebességmegoszlás alakul ki az íben? b.)? [ Pa] B B c.) f? (Rajzoljon diagamot!)

15 4 Imulzustétel 4/ Súlódás elhanyagolható. Mekkoa a konfúzoa ható ízszintes eı?. m / min 4/ m / s u m /s Súlódás és súlyeı elhanyagolható. a)? [ m / s] b) z eltéés szöge: [ ]? c) laáta ható eı: F? β ( és között)! d) Mekkoa kg íz mozgási enegiájának megáltozása? 4/ m / s Súlódás és súlyeı elhanyagolható. z ídaaba ható eı: F? 4/4 m / s u m /s Súlódás és súlyeı elhanyagolható. Mekkoa eı hat a mozgó kúos teste?

16 Imulzustétel 6 4/ m / s Hg 6 kg / m Súlódás és súlyeı elhanyagolható. Mekkoa eı hat a kúa? 4/6 4 m m /s Súlódás és súlyeı elhanyagolható. Hatáozza meg a test G [N] súlyát! 4/7 G N? [ m /s] Súlódás elhanyagolható. 4/8 Síkáamlás. m / s Súlódás és súlyeı elhanyagolható. a) F? [ N] b)? 4/9 Síkáamlás. Súlódás és súlyeı elhanyagolható. α? [ ]

17 Imulzustétel 7 4/ Síkáamlás. Súlódás és súlyeı elhanyagolható. α G? m / s [ N] 4/ Súlódás elhanyagolható. henget a ízsugá tatja egyensúlyban G N h? [ m] 4/ m / s u 6 m / s Súlódás elhanyagolható. Mekkoa a keéknek átadott teljesítmény? 4/ m / s u 6 m /s Súlódás elhanyagolható. Mekkoa a keéke ható átlagos eı x és y iányú összeteıje? 4/4 m / s t t '. kg / m C t C magasságkülönbség, a súlódás és a sőőségnek a nyomáskülönbség miatti megáltozása elhanyagolható.? [ Pa]

18 Imulzustétel 8 4/ m / s t t.9 kg / m C 7 C súlódás és a sőőségnek a nyomáskülönbség miatti megáltozása elhanyagolható.? [ m / s] 4/6 m / s kg / m h? [ m] 4/7 csıezeték súlódásmentesnek tekinthetı.? [ Pa] 4/8 két csöön azonos ízmennyiségnek kell kifolyni. felsı csınél a bıülés esztesége figyelembe eendı. h? [ m] 4/9 Stacionáius állaot. h? [ m]

19 Imulzustétel 9 4/ Hányszoosáa nöelhetı a kiáamló íztéfogat a álaszla eltáolításáal? la nélkül laal?

20 Csısúlódás / csúszótal szélessége (a ajz síkjáa meılegesen) mm.. m / s µ F?. kg / ms [ N] / konfúzo esztesége elhanyagolható.. m /s 8 kg / m ν m? /s [ Pa] / z átmeneti daab esztesége elhanyagolható. m /s. kg / m ν 4 6 m /s? [ Pa] /4 dott átáamló téfogat esetén hogyan függ a Reynolds-szám, alamint egy egyenes, sima csı nyomásesztesége, lamináis s tubulens áamlás esetén, az átméıtıl? / Hogyan függ egy egyenes, sima csı nyomásesztesége az átáamló téfogattól lamináis és tubulens áamlás esetén? 4 /6 Egy tíz méte hosszú, egyenes csöön m / s mennyiségő olajat kell szállítani 4 ( 8 kg / m, ν m / s ). endelkezése álló nyomáskülönbség Pa. Milyen D [ mm] átméıjő csı szükséges?

21 Csısúlódás /7 8 m / h. kg / m λ. η D.8? [ Pa] /8 l / min Hg h?.6 [ m] kg / m /9 z ábán ázolt kenıbeendezésnek. m /s olajat kell szállítania. csı egyenesnek tekinthetı. ν olaj olaj d? 8 kg / m 4 [ mm] m /s / csı egyenesnek tekinthetı acélcsı. ν íz.? 6 [ m /s] m /s

22 Csısúlódás 6 / ν. m / s íz? [ m /s] / Hidaulikailag sima csı. ν íz. l/s? 6 m [ Pa] /s / Hidaulikailag sima csı. ν íz. 6 m 8 l/ min? [ Pa] /s /4 Stacionáius állaot, hidaulikailag sima csı. ν íz. m /s 6 m /s a) H? [ m] b)? [ Pa]

23 Csısúlódás / Mekkoa teljesítmény kell egy 6 mm átméıjő, mm hosszú csa 88/ min fodulatszámmal aló fogatásához, ha a csaágyhézag. mm, az olaj iszkozitása µ. kg / ms? Hogyan csökkenthetı ez a teljesítmény? /6 a) Milyen d konfúzo kiléı átméıel kaunk h m magas ízsugaat? b) Mennyi a kiáamló [ m /s] ízmennyiség? ízsugának a leegıhöz aló súlódásától eltekintünk. z íek és a konfúzo esztesége elhanyagolható. /7 ázolt elendezéssel 8 m / h izet akaunk leszíni. a) Milyen átméıjő gumicsöet álasszunk? b) Milyen gátmagasságig lehetséges ilyen leszíás? (Eli álasz.)

24 6 Összenyomható közegek áamlása 6/. ba, ba T c K κ.4 J / kg K Izentoikus állaotáltozás.? [ m / s] 6/. Pa, Pa T R 7 K κ.4 87 J / kg K Izentoikus állaotáltozás. m? [ kg / s] 6/.4 ba, ba t C κ.4 Izentoikus állaotáltozás. a) t stat? [ C] b)? [ C] t össz (Tolóonthıméıel mée.) 6/4 4 ba, ba T R K κ.4 87 J / kg K Izentoikus állaotáltozás. m? [ kg / s]

25 Összenyomható közegek áamlása 6/ 4 ba, ba t R 7 C κ.4 87 J / kg K Izentoikus állaotáltozás. d min? [ mm] 6/6 Milyen kéletet használ kiszámításáa, ha a). 99 b). 6 c). 4 Izentoikus állaotáltozás. 6/7 t 4 C hıméséklető leegı 8 m / s sebességgel áamlik. κ. 4, R 87 J / kg K. Mekkoa a Mach-szám (Ma)? 6/8 t C hıméséklető széndioxid Ma. Mach-számmal áamlik. κ., R 89 J / kg K. Mekkoa az áamlás sebessége [ / s] m? 6/9 akéta t C hıméséklető leegıben halad u 4 m / s sebességgel. c J / kgk t? [ C]

26 Összenyomható közegek áamlása 6 6/ Egy eülıgé t C hıméséklető Pa nyomású leegıben u m / s sebességgel halad. szány egyik ontján a elatí sebesség R 87 J / kg K, κ. 4. Mekkoa az ehhez a onthoz tatozó Mach-szám? 6/ R 87 J / kg K, c J / kgk, κ.4. a) Izentoikus kiáamláshoz mekkoa d átméı szükséges? b) Mekkoa F [ N] emelıeıt fejt ki a akéta? w m / s.

27 Megoldások Hidosztatika / / / /4 6 N / m 6 N / m 4 9 N / m 486 N / m / túlnyomás a felsı csanál 6 Pa. /6 a.) b.) T 9 K R d dz g d ln g z g z g. 788 N / m /7 h 6 m

28 Megoldások 8 /8 7. N / m /9 a. 4 m / s / a) h.4 m b) F 4 N / baloldali felszín a baloldali saokban an, a másik a jobb oldali szában mm magasan. / Téfogat egyenlıségbıl: R π z πz Ekiotenciális ontoka: g z ω ; Behelyettesíte: gz ω gz z R z z z Rω. 6 m ω g R ω 4 g z N / m ω / gz konst. + töényt mindkét ismet nyomású onta felía: a.) b.) ω. 4 / ω 4. / s s ω /4 gz konst. + egyenletet a felszíne felía: const. ω ω [ ] 9.7 N / m ω / gz konst. + töényt külön az olaj- és külön a íztée alkalmaza: ω 4 [ (.. ) + (.. )] 9. N / m olal íz

29 Megoldások 9 /6 7. m /7 a. m /8 F N /9 h. mm ± mm l mm ±.. sin α. α. 9 / ω 8. 8 / s Kinematika / m / s ; 6.9 m / s / Megoldás Descates-féle koodináta-endszeben: x x y x y x y ( sin α) y x x y ; y y x + y 4 x + y 4 x 4 x + y cosα x 4 4 x x + y ( x + y ) y 4 x + y y y 4 ( x + y ) + y x 4 x y at oint : x, y x at oint y y x [( ot ) ] ( + ). 47. / s x z Megoldás oláis koodinátákkal: d [( ot ) ] / s z d. y (., ) x..

30 Megoldások / 7 max keesztmetszeteket elemi szélességő d kögyőőke oszta és az elemi átáamló téfogatokat integála: d d d () max átlag max max 9 max max 7 max átlag π π Általános kiteıel: n n max átlag n max + /4 [ ]. t y lok s a m / a kon / s /.6 m ds Γ /6 π π [ ] 4 kon 4 kon m /s a x x a x x x Benoulli-egyenlet

31 Megoldások / t + g h m /s 4 / ( u).8 Pa 4 / íz g h 7.4 m / s /4 h g.4 m /.79 m / s /6 + ( g + a) h t +.89 m /s /7 z álló tébıl néze az áamlás öénymentes ot. csıel együtt fogó koodinátaendszeben ot w ω, így a w ot w ds kifejezés egyenlı w ω ds -sel, a Coiolis-eıel. ( w elatí sebesség) Egyszeősítés után a Benoulli-egyenlet köetkezıkéen íható fel: ( ω) ω ω + g h z -es ontot a íz felszínén, a fogástengelytıl tetszés szeinti táolságban, a -es ontot a csı felsı égén, a kiömlésnél ettük fel..8 m / s /8 ω 4 / s s /9 + g h + d t

32 Megoldások a ds a t l a 4. m /s m / a.) [ ] 6. m / s b.) a t H. m B / ds a B 7.a B t + [ a ]. m / s B t / [ a ] 7.94 m / / F 4 N s t /4 a) Benoulli-egyenletet egy felszíni onta () és a kiömlési onta () íjuk fel, a csıhöz kötött koodinátaendszeben. felszíni ont elatí sebessége így Benoulli-egyenletbıl:.4 m / s.6 m / s 4 m / s lesz. b) ontatási teljesítmény egyészt a íz emeléséhez, másészt mozgási enegiájának megnöeléséhez szükséges. mozgási enegia megáltozását az abszolút sebességbıl () kell számítani, met a onóeıt is a földıl fejtjük ki. P g h kw. / 6 m / s le d π /6 α ε.67 m / s 4 /7 Miel a kiömlınyílásból kiléı áamonalak egyenesek, a függıleges mentén a hidosztatikai nyomásnöekedés lé fel. Így a kiléı sebesség a magasság függényében állandó.

33 Megoldások felgyosulás és a öid szakasz miatt a súlódástól eltekinthetünk. s /. m. /8 a) az íben csak K hiebolikus sebességmegoszlás otációmentes ( ot ). b) z átlagsebesség a kontinuitás miatt állandó átlag, tehát átlag ln K d K kontinuitás miatt: ( ). ln K átlag s m / 6.4 K, s m / 4 K B Benoulli-egyenletbıl: ( ) Pa. 4 B B c.) ( ) B B n n n ln n ahol n

34 Megoldások 4 4 Imulzustétel 4/ z imulzustételt a konfúzoban léı folyadéka alkalmaza és túlnyomással számola: F x N 4/ laáthoz ögzített ontoka felít Benoulli-egyenletbıl: a).6 [ m /s] b) β 7, iányától jobba, lefelé c) F N, iányától jobba, fölfelé -kal té el d) E E 9 mn kg 4/ F N jobba, fölfelé 4 alatt 4/4 F 9 N 4/ F 7 N 4/6 G 4 N 4/7 felsı iányeltéítést aánylag alacsony ellenızı felületbe záa, az imulzustétel:, ahol G az ellenızı felületbe beléı sebesség. Benoulli-egyenlet szeint: g h 4. m / s 4/8 z imulzustételt x és y iányban alkalmaza: a) F 66 N b) /. 8 Szekesztéssel, tekinte, hogy: ) +

35 Megoldások 4/9 a α acsin a 4/ G N 4/ h m 4/ P u ( u) W 4/ F F 8 N x y 4/4 ( ) ' ' ' ( Pa ' ) 4/ ( ) g h m /s ( ) 4/6 ( ) ( ) h 6. mm 4/7 Benoulli-egyenlet az. és a kiléési. onta (eszteség nélkül): + g h + +, miel a csı keesztmetszete konstans, konst., agy az. és a felszíni. onta, kiléési (Boda-Canot) eszteséggel: B C g h + ahol B C és. ( ) (Boda-Canot eszteség)

36 Megoldások 6 Mindkét egyenlet szeint: g h.96 N / m 4/8 h.8 m 4/9 két nyíláson átáamló téfogat egyenlıségének felhasználásáal: h m 4/ laal la nélkül Csısúlódás d / F µ 7. N dy / 74 Pa / Pa /4 d Re d π ν 4 4 konst d L 64 konst lam 4 d π d konst d 6 d tub 4 d π 6 L d 4.6 konst d konst d L 64 / lam konst d d ν tub L d.6 d ν 4 konst.7

37 Megoldások 7 /6 Feltételeze, hogy az áamlás lamináis lesz, a λ 64 / Re kélet felhasználásáal d.4 mm adódik. Ezzel Re 89 <, azaz az áamlás lamináis. /7 4 Pa /8 h 7 mm L /9 g h + λ d Lamináis áamlást feltételeze d 9. mm adódik. Re <, tehát az áamlás alóban lamináis. /. m / s /.87 m / s / 9 Pa / 8 Pa /4 a) H m b) 4 Pa / P 77 W teljesítmény csökkenthetı az olaj iszkozitásának csökkentéséel és a és nöeléséel. /6 eszteségmagasság h eszt m m m. L g h eszt λ + ζ d m 9.8m /s λ. -el, csı.87 m / s m. + 6.m Re λ.4 6. Új csı.7 m / s, toábbi iteáció nem szükséges. h m magassághoz szükséges kiáamlási sebesség: g h. m /s

38 Megoldások 8.7 m /s d mm mm. m /s.47 m /s /7 a) Tájékozódásul a eszteségmentes sebesség id g m 7.7m / s lenne, mellyel 8 6 m 4 6. m csıkeesztmetszet, ill. 9 mm csıátméı szükséges. 7.7 m /s /s alójában ennél lényegesen nagyobb csıátméıe an szükség. z iteációt λ. és d mm étékekkel kezdjük: Re m 9.8m /s.6 m /s. 4m m λ.8 6. (Ilyen Re számnál a gumicsı hidaulikailag simának ehetı.) 4 m d mm köetkezı iteációs léésben λ. 8 és d mm -el az új átméı. mm. Ezzel befejezhetı az iteáció. b) Ha a gát magasabb, a csıben a nyomás a telített gıznyomásig lecsökkenhet, és akko a ízoszlo elszakad. Legkisebb nyomás a gátkoona jobb sakánál, a szele után: L + L min g h max + d Melybıl h max kiszámítható. λ + ζ 6 Összenyomható közegek áamlása 6/ 6 m / s 6/ m.7 kg / m.74 kg / s m 6/ a) 4 C t stac b) + C t össz

39 Megoldások 9 * T 6/4. 8 T κ + a a * m κ R T T T * * a * * T T κ 46 m /s 6 m /s * *.9 kg / m *.8 kg /s 6/. kg / s m d * min m * d * *.4 7. mm 4 m 6/6 a) ( ) b) κ κ κ κ c) κ κ κ + 6/7 Ma. 9 6/8 8 m / s 6/9 t 6 C 6/ 6 K, Ma. 77 T 6/ a) d 8 mm b) F 9.8 N