Mechanika FBL101E előadás november 19.

Átírás

1 Mehanika FBLE- 5. előadás. noembe 9. Gázok nyomása Robet BOYLE Boyle-Maiotte töény: Adott hőmésékletű és tömegű gáz téfogatának és nyomásának szozata állandó. h h pv áll. Edme MARIOTTE (Film: gázok nyomása, FILM: 7/48) Baometikus magasságképlet: p( h) p e ρ( h) ρ e ρgh p ρgh p (Film: a légnyomás méése a Fujin, FILM: A légnyomás függ a tengeszint feletti magasságtól) h: a tengeszint feletti magasság p és ρ : a leegő nyomása és sűűsége a tengeszinten p 35Pa kg ρ.93 3 m

2 4 Nyomás (Pa) m 33m 348m Tengeszint feletti magasság (m) (Kísélet: Behn-féle ső FILM: 7/5) kémény huzat Molekuláis eők k folyadékokban adhézió, kohézió illeszkedési szög Felületi feszültség: (dimenziótól eltekinte) A folyadék szabad felszínének egységnyi megnöeléséhez szükséges munka. (enegetikai jelentés) A folyadék felszínét hatáoló göbe egységnyi hosszúságú daabjáa a felszín éintősíkjában a onaldaaba meőlegesen kifejtett húzóeő. (dinamikai jelentés) Minimálfelületek: α F l W A

3 Göbületi nyomás, kapillaitás p göbületi α kisi a bos de eős Kapilláis emelkedés: R ϑ h α osϑ h ρg íz higany a talaj ízfogalma Eötös s töt ény A felületi feszültség hőmésékletfüggése: ( T T) /3 αv ke ahol α V T felületi feszültség moláis téfogat kitikus hőméséklet k E 7 JK mol /3 meleg izes mosás

4 Áamlástan Az áamlási té leíása: ρ(, t ), p(, t), (, t) Joseph-Louis LAGRANGE Leonhad Paul EULER a sebességté Lagange-féle, ill. Eule-féle leíása A geometia té minden egyes pontjához minden pillanatban az éppen ott tatózkodó észeske sebességét endeljük hozzá. d dt, dy dt, dz dt d a + dt t d dt + y dy dt + z dz dt + t y + y + y z z z Az áamlások sopotosítása: összenyomhatatlan folyadék belső súlódás tekintetében időfüggés szeint lokális gyosulás ρ állandó - ideális, agy súlódásmentes öénymentes, öényes - súlódó éteges, tubulens - staionáius áamlások - időben áltozó áamlások Amennyiben a té szomszédos pontjaiban a sebesség áltozik, akko a észeske átjutása sak gyosulás één töténhet. Áamlástan Áamonalak és szemléltetésük A té minden egyes pontjában a sebesség az áamonal éintőjének iányába mutat, nagyságát pedig a felületegysége jutó áamonalak száma adja meg. Robet Wihad POHL (Pohl-féle áamonalkészülék ) Valójában a észeskék pályagöbéit tesszük láthatóá, melyek sak staionáium áamlás esetén esnek egybe az áamonalakkal! Az áamonalak a nulla sebességű pontok kiételéel nem metszhetik egymást. Áamlási ső: kisiny felületet hatáoló zát göbe pontjaiból indított áamonalak által hatáolt téész az ~ falán nem lép át fluidum A gázok áamlástani szempontból általában a folyadékokhoz hasonlóan összenyomhatatlan közegként iselkednek!

5 A kontinuitási egyenlet Az anyagmegmaadást fejezi ki: ρ A állandó összenyomhatatlan esetben: A állandó a beszűkült keesztmetszetnél az áamonalsűűség és az áamlási sebesség nagyobb pl. a folyók sodása a beszűkült szakaszokon nagyobb, észűkület Benoulli-tö ény Összenyomhatatlan, sulódásmentes (ún. ideális) folyadék staionáius áamlásában egy kis áamlási sőe fennáll, hogy Daniel BERNOULLI 7 78 p + ρ + ρ gh állandó a mehanikai enegia megmaadását fejezi ki (Filmek: ) áltozó keesztmetszetű ső FILM: 7/77-78 ) ping-pong labda tölsében FILM: 7/83

6 A Benoulli-tö ény leezetése A folyadék összenyomhatatlan ρáll. sulódásmentes mehanikai enegia megmaad áamlása staionáius a kontinuitási egyenlet éényes A állandó Íjuk fel a mehanikai enegia megmaadásának tételét egy kisiny áamlási sőe, melynek keesztmetszetein a sebesség állandónak tekinthető: E kin ρ ta W E ρ ta mehanikai p A t pa t ρ ta E kin + E E pot ρ ta pot ρ W p A t p A t ta gh ta gh + ρ ta gh ρ p A munkája + p A munkája - ρ ta gh endezés és egyszeűsítések után p + ρ + ρ gh állandó A Benoulli-tö ény alkalmazásai Pitot-ső (teljes nyomás) p Ventui-ső (sztatikai nyomás) p Toielli töény ρ Pitot- agy Pandtl-ső (tolónyomás) + ρ p p (Film: 7/84) gh V<A t sugákontakió! folyadékpemetező, ízlégsziattyú, Bunsen-égő... (Filmek: 7/8 7/79)

7 Foások és s nyelők Az áamonalak agy zát göbéket alkotnak, agy foásból indulnak és nyelőben égződnek. A foást jellemzi a Q foáseősség: V Q t a folyadék téfogatának áltozási gyosasága foás Q> nyelő Q< Pontszeű foás gömbszimmetikus áamlási teet hoz léte: s amennyiben a fluidum összenyomhatatlan az áamlás sebessége ( ) Q 4 π Öényes áamlás Akko jön léte, ha a fluidum alamely észe haladó mozgása mellett fogó mozgást is égez (ω). Öényté, öényonal (a sebességté és az áamonal analógiái) Homogén öényté (edénnyel együttfogó folyadék), záódó öényonalak (füstkaikák) Cikuláió: Γ s ds Egy áamlási té alamely tatománya akko és sak akko öénymentes, ha a tatományban felett bámely zát göbe mentén a ikuláió nulla. A B Figyelem! A paabolikus sebességpofillal leít áamlási té öényes! D C ma

8 Kámán-féle öényso zászló lobogása, kifeszített zsinóok búgása KÁRMÁN Tódo Sulódó,, iszkózus zus folyadék d Alambet: sulódásmentes, összenyomhatatlan folyadékban mozgó teste nem hatnak a folyadák mozgásából számazó eők. ( paadoon ) Tapadási feltétel: a fallal éintkező észeskék falhoz képesti elatí sebessége zéus. (Film: belső sulódás kátyasomag, Newton-féle iszkozitási töény: FILM: 7/64) η F A d F η A dz d σ nyíó η dz iszkozitási együttható, agy dinamikai iszkozitás z A F eősen függ T-től η : kinematikai iszkozitás ρ és függhet a nyíófeszültségtől is! Nyíófeszültség ideális Bingham (fogkém, pudding) Sebességgadiens dilatáns (folyékony golyóálló mellény?) newtoni pszeudoplasztikus (pl. é, tej, fejték)

9 Paabolikus sebességpofil A hengees sőben áamló iszkózus folyadékban olyan hengeszimmetikus sebességeloszlás alakul ki, amelyben a sebesség a tengely mentén maimális, a tengelytől kifelé halada a sugá négyzetéel sökken. ma Figyelem! A paabolikus sebességpofillal leít áamlási té öényes, hisz: A B ma Γ s ds > D C Hagen-Poiseuille Poiseuille-töény Egy ső keesztmetszetén időegység alatt átáamló folyadék mennyisége: Q pπ R 8lη 4 Gotthilf Heinih Ludwig HAGEN p: nyomásesés l: a ső hossza p : nyomásgadiens l R: a ső sugaa Jean-Louis Maie POISEUILLE

10 Reynolds-sz szám Az áamlástan legalapetőbb dimenziónélküli jellemzője: Re ρl η L: jellemző lineáis méet, pl. sősugá Osbone REYNOLDS 84 9 Hidodinamikai hasonlóság: két áamlási té hidodinamikailag hasonló, ha a geometiai hasonlóság mellett a Reynolds számaik is megegyeznek. Dimenzióanal analízis Bukingham-tétel: ha egy fizikai endszet n daab fizikai mennyiség jellemez, akko a endszet leíó összefüggések mindig leedukálhatóak k daab dimenziómentes áltozó közötti összefüggése. A edukióa éényes a k n j összefüggés, ahol j a endszet jellemző azon fizikai mennyiségek maimális száma, amelyekből még nem képezhető dimenziómentes szozat. Edga BUCKINGHAM agy

11 Bukingham-féle Π (pi) módszem. Válasszunk métékendszet! ((M, L, T, θ agy F, L, T, θ)). Sooljuk fel az összes fizikai mennyiséget, amelyek poblémánkban lényeges szeepet játszanak (Ez a legkitikusabb lépés!), és fejezzük ki ezek dimenzióit álasztott alapmennyiségeink segítségéel. 3. Válasszuk ki a legnagyobb számú fizikai mennyiséget, amelyekből még nem képezhető dimenziómentes szozat! 4. A megmaadt fizikai mennyiségek közül adjunk hozzá egyet az előző lépésben kiálasztott sopothoz, és képezzünk dimenziómentes szozatot! (Keessük meg a dimenziómentességet eedményezö hatánykiteőket.) 5. Ismételjük az előző pontot, amíg az összes fizikai mennyiség el nem fogy. Példa: milyen eő hat az áamló folyadékba meülő teste?. Dolgozzunk M, L, T, θ endszeben.. a. F f (L,, ρ, η). b. F L ρ η MLT - L LT - ML -3 M(LT) - 3. L,, ρ (sak ρ tatalmaz tömeget, időt)

12 4. Válasszuk első mennyiségnek az eőt Π L a b ρ F (L) a (LT - ) b (ML -3 ) (MLT - ) M L T L: a+b-3+ M: + T: -b a-, b-, - Π F ρ L 5. Még egy mennyiságünk maadt, a iszkozitás Π L a b ρ η - (L) a (LT - ) b (ML -3 ) (ML - T - ) - M L T L: a+b-3+ M: - T: -b a, b, Lρ Π Re η A égeedmény: F ρ L f (Re)

13 Reynolds beendezése Festék (Film: áamlások, FILM: 7/65) Üegső Szelep Lamináis Átmeneti Tubulens Re< <Re< <Re Lamináis, tubulens áamlás Lamináis: staionáius áamlás szabályos áamonalakkal Re< néhányszo Tubulens: időben endszetelenül áltozó áamlás, felismehetetlen áamonalak Re> néhány (Film: áamlási kép különféle testek mögött, FILM: 7/75)

14 Közegellenállás 5 gömb alakú testeke 4 Π 3 Π Π Π (Re) Π áll. lineáis (Stokes-féle) közegellenállás négyzetes ellenállási töény F 6πηR F ρ A e R: a golyó sugaa : a golyó közeghez iszonyított sebessége η: iszkozitási együttható kis sebességeknél lép fel (lamináis) a belső sulódásból számazik ρ: a közeg sűűsége A: a test homlokfelületének nagysága : a test közeghez iszonyított sebessége nagy sebességeknél lép fel (tubulens) az öényektől számazik A e közegellenállási együtthat ttható Gömb,47 Gömbhéj (domboú),4 Gömbhéj (homoú),4 Kúp,5 Koka,5 Koka (elfogata),8 Áamonalas test,4 (Kísélet: aeodinamikai ellenállás szemléltetése koonggal, gömbbel, seppalakkal)

15 Dinamikai felhajtóe eő,, epülés A közegellenállási eő függ az állásszögtől is. A teste ható eő felbontható áamlással páhuzamos és aa meőleges komponenseke. Míg az előző a közegellenállási eő, addig az utóbbi a ún. dinamikai felhajtóeő, mely egy olyan fajta felhajtóeő, mely sak akko lép fel, ha a közeg (a benne léő testhez képest) áamlik. F ke e ρ A F df f ρ A A dinamikai felhatóeő képezi a epülés alapját. F F df ke siklószám A felhajtóeő függ az állásszögtől. (átbukás!) (Kíséletek: ) fújjunk el egy göbe papílap domboú oldala felett ) nyomáskülönbség szemléltetése szánypofil alja és teteje között) Magnus-effektus Áamlásba helyezett fogó hengee a Benoulli-egyenlet ételmében felhajtóeő hat: F f (Kísélet: fogó papíhenge ejtése)

16 Speiális elatiitáselm selméletlet Ellentmondások a XIX. századi fizikában Az általános elatiitás ele VAGY a fénysebesség éte hipotézisen alapuló állandósága? Galilei VAGY Loentz tanszfomáió? (mehanika - Mawell egy.) Voigt, 887 és Loentz, 899 ' y' z' t' t t y z ' y' z' t' y z t Mihelson-Moley kísélet, (88) 887 t Mihelson-Moley Moley kísélet Mihelson és Moley felismeték, hogy a Föld nem lehet mindig nyugó az étehez képest. Toábbá a fénynek eltéő úthossza és fáziseltolódása kell legyen attól függően, hogy az éte sebességéel páhuzamosan, agy aa meőlegesen tejed. Éte iányú tejedés Tükö Mio Nyalábosztó Étee meőleges tejedés Tükö Albet MICHELSON A Föld étehez iszonyított sebessége Edwad MORLEY

17 Mihelson-Moley Moley kísélet Ha a fény tejedéséhez közege an szükség, akko a fénysebesség függ a közeg sebességétől. A sebességek ektoiálisan összegződnek. A ízszintes kaban A tükö felé eedő A tüköől fény éte fény eedő éte eedő fény+ éte eedő fény éte Mihelson-Moley Moley kísélet Az intefeométe függőleges kajában az eedő sebesség meőleges kell legyen a tüköe, ami miatt a fénynek szög alatt kell tejednie. A függőleges kaban A tükö felé A tüköől éte eedő fény eedő fény éte eedő fény éte JÓ

18 Mihelson-Moley Moley kísélet Jelöljük a fénysebességet -el, az éte sebességét pedig -el! Az intefeométe egyenlő kahossza L. t L L + + L( + ) L( ) + L L [ ] Az idők eltéő módon kellene függjenek az éte sebességétől. éte iányú tejedés t étee meőleges tejedés L L Mihelson-Moley Moley kísélet Miel nem ismejük az éte sebességét Mihelson és Moley kétsze égezték el a méést, melyek között 9 -kal elfogatták az elendezést. t L [ ] Ez esetben az idők megfodulnak, és az intefeenia síkok egymás komplementeei kell legyenek. t L Még ézékenyebb észlelést tett lehetőé, amiko a beendezést 8º-kal fogatták el, s az eltolódás szinuszos áltozását póbálták kiméni.

19 Kíséleti elendezés A nyalábot a fényút nöelése éljából összehajtogatták. Eedmények Az intefeométe képes kellett olna legyen az elfogatás okozta fáziseltolódás ézékeny kimutatásáa. Kb..4 peiódusnyi eltolódást átak, és.5 peiódust má ki tudtak olna mutatni. De eltolódást NEM láttak! A beendezés Eedmények A. A. Mihelson, Studies in Optis alapján

20 A speiális elatiitáselm selméletlet posztulátumai tumai A ákuumbeli fénysebesség állandó, függetlenül a fény fekeniájától, a tejedés iányától, a detekto, illete a foás mozgási sebességétől. Az egymáshoz képest egyenes onalú, egyenletes mozgást égző iszonyítási endszeek a fizika számáa egyenétékűek. Albet EINSTEIN A fenti posztulátumokból leezethető a Loentz tanszfomáió!!!!! Speiális elatiitáselm selmélet let köetkezményei Kinematikai Idődilatáió (ikepaadoon) Az egyidejűség elatiitása Hosszúság agy Loentz kontakió A sebességek összeadása Dinamikai Relatiisztikus tömeg Tömeg és enegia

21 Idődilat dilatáió Fényóa: t' B D T 6s B D 9. km t AB.5. km AC.4. km BD 9. km T t' t Az időegység hosszabb a mozgó endszeben. (az óa lassabban já ) Ikepaadoon Nins ellentmondás: az a fiatalabb, aki gyosult.

22 Az egyidej Az egyidejűség elatiit g elatiitása sa ' ' ' t t t t t A nyugó endszeben egyidejű jelenségek mozgó endszeben nem egyidejűek. ❶ ❷ Loentz kontaki Loentz kontakió ' ' ' ' ' ' t t + + Mozgó onatkoztatási endszeben a mozgás iányába eső hosszméet megöidül.

23 A sebességek összeadásasa A sebességgel mozgó K onatkoztatási endszeben () iányú u sebességgel mozog egy test. Mekkoa u sebességűnek méi a mozgást egy K-beli megfigyelő? u d dt u hasonlóan d' u' dt' d' + dt' d' dt' + u y d dy dt d' + dt' ( u ' ) dt' + u ' + u ' u ' dt' + + dy' d' dt' + dt d' dt' + u y ' u ' + Hatáesetek Kis sebességek összegzése: u << u' + u u' + u' + Galilei-tanszfomáió Ha u u + ( + ) +

24 Relatiisztikus tömegt Két észeske ugalmas ütközése: y az impulzus megmaad: függőleges iányban m w m u tgα w Mi a kapsolat u és w között? A két észeske szeepet seél. Az y iányú sebességek tanszfomáiója szeint: u tgα w u m w m ha most w tat -hoz m m Tömeg és s enegia Ha << m ha α kisi m m + m m + + α α m Bebizonyítható, hogy ez tetszőleges sebessége is éényes. m m + m A testnek adott kinetikai enegia a test tömegét nöeli. A klasszikus mehanika tömeg és enegiamegmaadási tételei a ealitiitás elméletben egy megmaadási tétellé oladnak össze.

25 Kíséleti bizonyítékok Idődilatáió utaztatott atomóák GPS műholdak (a műholdak atomóái a földi óákhoz képest napi km -t késnek) müonok detektálása a Föld felszínén (Loentz kontakió is!) Loentz kontakió a szabadelekton léze hullámhossza aká a látható fény tatományába is eshet (jóllehet a mágnesek peiódusa paktikus okokból nem lehet kisebb mint pá m) Relatiisztikus tömeg nagy enegiájú észeskék ütközését sokszo olyan észeskék keletkezése kíséi melyek tömege sokszoosan meghaladja az ütköző észeskék együttes tömegét maghasadás (az enegia tömegeszteségből számazik) Reptetett atomóák Két epülőgép atomóáal a fedélzetén kelet illete nyugat iányába keing a Föld köül. A epülőgépeken léő óák által mutatott időt a Föld felszínén méttel összehasonlíta igazolták, hogy a mozgó óák lassabban jának. fogás > epülő Iány Jósolt Mét Eastwad -4 ± 3 ns -59 ± ns Westwad 75 ± ns 73 ± 7 ns

26 Müonok észlelésese a Föld felszínén. A müonok.5 µs-os felezési időel bomlanak el, miközben.98 sebességgel haladnak a Föld felszíne felé. Relatiisztikus koekió nélkül (~ 6m) Relatiisztikus koekióal Az atmoszféa felső étege (kb. km) Az idődilatáió és a Loentz kontakió azt eedményezik, hogy a müonok eléik a Föld felszínét, met a földi onatkoztatási endszeben a müonok toább élnek és számuka a táolság leöidül. Müonok észlelésese a Föld felszínén. méte megtétele a fénysebesség 98%-káal 6.8 ms időbe telik, ami a müon felezési idejének kb. 4.5-szeese. Így idődilatáió nélkül minden müonból sak müon kellene ékezzen a tengeszinte. A nagy sebességgel mozgó müon számáa azonban a km-es táolság kb. 4m-e öidül le, s így a elatiitáselmélet besléséel összhangban 54 db ( -,87 ) müon ékezik a tengeszinte.

27 Jó készülést st kíánokk nok!