Relativitáselmélet. Giczi Ferenc SZE, Fizika és Kémia Tanszék 2005.

Átírás

1 Relatiitáselmélet Gizi Feren SZE, Fizika és Kémia Tanszék 005.

2 Relatiitáselmélet Milyen összefüggés an a fizikai törények között egymáshoz képest mozgó onatkoztatási rendszerekben? ineriarendszerek Speiális relatiitáselmélet gyorsuló rendszerek Általános relatiitáselmélet

3 Relatiitáselmélet Helymeghatározás Az anyagi pont helyét meghatározhatjuk pl. úgy, hogy a álasztott onatkoztatási rendszerhez rögzített derékszögű koordinátarendszerben megadjuk a pont x, y, z derékszögű koordinátáit. 3

4 ( ( ( Relatiitáselmélet Az anyagi pont mozgása r(t) x x(t) y y(t) z z(t) y f t), z f t 3 ), Ezek a kinematikai x f mozgásegyenletek meghatározzák a t), mozgó pont által leírt görbét, a pont pályáját. Megjegyzés: A pont pályája lehet térgörbe, síkgörbe, agy egyenes. 4

5 x f ( t), Relatiitáselmélet A relatiitás ele a klasszikus mehanikában z K z K r r r y y x x Ha ugyanazt a testet két különböző, egymáshoz képest mozgó onatkoztatási rendszerből figyeljük meg, akkor a mozgását jellemző adatok egy részét (pl. helyzetektor, sebesség, impulzus, energia) eltérőnek találjuk. y f( t), z f ( t 3 ), 5

6 x f ( t ), Relatiitáselmélet A relatiitás ele a klasszikus mehanikában z K z K r r r y Kérdés: x y Az adatok közötti összefüggések (a fizikai törények: pl. y f ( t ), z f ( t 3 ), Newton II. törénye, Coulomb törény, stb.) is különbözőek lesznek a különböző koordináta rendszerekben? x 6

7 x f ( t), Relatiitáselmélet A onatkoztatási rendszerek speiális fajtái Ineriarendszerek (Newton I. törénye) Tapasztalat: Egy ineriarendszerhez képest állandó y f( t), z f 3( t ), sebességgel mozgó bármely másik rendszer is ineriarendszer. 7

8 Relatiitáselmélet A klasszikus mehanika relatiitás ele Tapasztalat: Különböző ineriarendszerekből néze a mehanikai jelenségek ugyanúgy zajlanak le. A különböző ineriarendszerekben a mehanika törényei azonos matematikai alakban érényesek. A bennük szereplő fizikai állandók numerikus értéke ugyanaz. Köetkezmény: Az ineriarendszerek között mehanikai kísérletekkel nem lehet különbséget tenni. - Nins olyan mehanikai kísérlet, amellyel eldönthető lenne, hogy két ineriarendszer egymáshoz képest mozog. (Nem lehet találni egy abszolút, kitüntetett ineriarendszert.) 8

9 x f ( t ), Relatiitáselmélet Koordináta-transzformáiók z K z K r r r y y x x A koordináta-transzformáiók a test mozgását a K y f ( t ), z f ( t 3 ), és K koordinátarendszerekben jellemző adatok (helyzetektor, sebesség, energia, stb.) között teremtenek kapsolatot. 9

10 x f ( t), Relatiitáselmélet A fizikai törények koordinátatranszformáiókkal szembeni inarianiája Ha a törény matematikai alakját tekinte azonos a két koordinátarendszerben, akkor azt mondjuk, hogy a törény inariáns az adott transzformáióra. Módszer az ellenőrzésre A K rendszerben felírt fizikai törényben szereplő mennyiségeket a transzformáiós összefüggések y f( t), z f 3( t ), segítségéel fejezzük ki a K rendszer megfelelő mennyiségeiel. Így megkapjuk a kérdéses fizikai mennyiségek közötti összefüggést a K rendszerben. 0

11 x f ( t), Relatiitáselmélet A fizikai törények koordinátatranszformáiókkal szembeni inarianiája Ha az adott transzformáióal szemben az összes fizikai törény inariáns, akkor a transzformáió összhangban an a relatiitás eléel. Ha a relatiitás elét, mint tapasztalati tényt elfogadjuk, akkor sak a ele összhangban léő y f( t), z f 3( t ), koordináta transzformáiót használhatjuk.

12 Relatiitáselmélet A klasszikus mehanika Galileitranszformáiója z r =r +r K z K r r r y r =r -r y x x Ha a K rendszer a K -hez képest állandó sebességgel mozog (ineriarendszerek): r =t+r 0 r (t)=r (t)-t-r 0

13 x x f ( t), f ( t), Relatiitáselmélet A klasszikus mehanika Galileitranszformáiója r (t)=r (t)-t-r 0 r (t)=r (t)-t-r 0 x (t)=x (t)- x t-x 0 (t)= (t)- y (t)=y (t)- y t-y 0 z (t)=z (t)- z t-z 0 a (t)=a y f( t), z f 3( t ), y f( t), z f 3( t ), (t) t =t =t FONTOS! Az idő a K és a K rendszerben azonosan telik. 3

14 Relatiitáselmélet A klasszikus mehanika Galileitranszformáiója r (t)=r (t)-t-r 0 (t)= (t)- a (t)=a (t) A klasszikus mehanika törényei inariánsak a Galileitranszformáióal szemben. (Bebizonyítható) 4

15 x x f ( t), f ( t), Relatiitáselmélet Az egymáshoz képest mozgó ineriarendszerek speiális esete Koordináta transzformáiók x (t)=x (t)-t y (t)=y (t) z (t)=z (t) z z K K x y f( t), z f 3( t ), x t =t y y y f( t), z f 3( t ), 5

16 x x f ( t), f ( t), Relatiitáselmélet Az egymáshoz képest mozgó ineriarendszerek speiális esete Sebesség transzformáiók x (t)= x (t)- y (t)= y (t) z (t)= z (t) z z K K x y f( t), z f 3( t ), x y y y f( t), z f 3( t ), 6

17 x x f ( t), f ( t), Relatiitáselmélet Az egymáshoz képest mozgó ineriarendszerek speiális esete Gyorsulás transzformáiók a x (t)=a x (t) a y (t)=a y (t) a z (t)=a z (t) z z K K x y f( t), z f 3( t ), x y y y f( t), z f 3( t ), 7

18 Relatiitáselmélet A Galilei transzformáió alkalmazása Hogyan áltozik meg a hang terjedési sebessége, ha azt a közeghez képest állandó sebességgel mozgó koordinátarendszerben mérjük? A közeg és a hangforrás is nyugszik K -ben. z z K x K x = x - y x y x A forrástól táolodó megfigyelő kisebb, a közeledő nagyobb hangsebességet észlel, mint a forráshoz képest nyugó megfigyelő. 8

19 x x f ( t), f ( t), Relatiitáselmélet A Galilei transzformáió alkalmazása A megfigyelőnek a hangot hordozó közeghez iszonyított sebessége hangsebesség-mérésekkel meghatározható. y f( t), z f 3( t ), y f( t), z f 3( t ), Később felhasználjuk a mérés elét! 9

20 x x f ( t), f ( t), Relatiitáselmélet A relatiitás ele az elektrodinamikában A Maxwell-egyenletek a klasszikus fizikának ugyanolyan alapegyenletei, mint a Newton-törények. Korábban feltételezték, hogy a Maxwell-egyenletek az éterhez rögzített koordinátarendszerben érényesek. A fény nem más, mint egy olyan zaar, amely az éterben a rugalmas hullámokhoz hasonlóan terjed. A ákuumban terjedő fény sebességét az éterhez y f( t), z f 3( t ), y f( t), z f 3( t ), iszonyított sebességnek tekintették. 0

21 Relatiitáselmélet Próbálkozások az éter létezésének kimutatására Ötlet: Az éterhez képest mozgó Földön különböző irányokban meg kell mérni a fény terjedési sebességét. Ilyen mérésekkel meg lehetne határozni a Föld sebességét az éterhez képest. Ki lehet mutatni az éter létét. Mihelson-Morley kísérlet (a hangterjedésre onatkozó korábbi mérés analógiája alapján)

22 Relatiitáselmélet Mihelson-Morley kísérlet Az interfereniakép függ a két interferáló fénynyaláb terjedési sebességétől. Az interfereniaképben semmilyen áltozást nem tapasztaltak!

23 Relatiitáselmélet A fény terjedési sebessége egymáshoz képest mozgó rendszerekben Tapasztalat: A fény terjedési sebessége különböző ineriarendszerekben ugyanaz az érték, nem függ a rendszer mozgásállapotától. Köetkeztetés: A fény terjedésére nem alkalmazható a Galilei-transzformáió. 3

24 Relatiitáselmélet Az elektrodinamika és a relatiitás ele Tapasztalat: A Maxwell-egyenletek nem inariánsak a Galilei-transzformáióal szemben. Milyen transzformáióal szemben inariánsak a Maxwell-egyenletek? Lorentz-transzformáió 4

25 Relatiitáselmélet A Lorentz-transzformáió összefüggései x x t y y z z Az idő nem azonosan telik a két rendszerben! t t x Az időt is transzformálni kell! 5

26 Relatiitáselmélet Az elektrodinamika és a relatiitás ele Komoly eli probléma! A mehanika törényei nem inariánsak a Lorentz-transzformáióal szemben. 6

27 x x f ( t), f ( t), Relatiitáselmélet A kísérletek megerősítették, hogy az elektrodinamikában is érényes a relatiitás ele. Köetelmény: Egységes koordináta-transzformáió Elfogadjuk a Galilei-transzformáiót, és a Maxwellegyenleteket hibásnak minősítjük. Lorentz, Einstein, Poinaré: y f( t), z f 3( t ), Elfogadjuk a Lorentz-transzformáiót és a y f( t), z f 3( t ), mehanika törényeit úgy kell átalakítani, hogy azok inariánsak legyenek. 7

28 Relatiitáselmélet A speiális relatiitáselmélet Einstein-féle posztulátumai Minden fizikai folyamatra érényes a relatiitás ele. A ákuumban terjedő fény sebessége minden ineriarendszerben azonos, unierzális állandó. Leezethető belőlük a Lorentz-transzformáió. Elégezhető a mehanika törényeinek a szükséges átalakítása. 8

29 Relatiitáselmélet Köetkezmény: Az étert nem tekinthetjük fényhordozó közegnek. Az étert nem tekinthetjük kitüntetett onatkoztatási rendszernek. Eleszítette értelmét, hogy az éter létét feltételezzük. 9

30 Relatiitáselmélet A Lorentz-transzformáió összefüggéseinek izsgálata x x t y y z z t t x Kis sebességekre isszakapjuk a Galileitranszformáiót. A mehanika klasszikus törényeitől sak akkor árható eltérés, ha a két onatkoztatási rendszer relatí sebessége összemérhető a fénysebességgel. 30

31 Relatiitáselmélet A Lorentz-transzformáió összefüggéseinek izsgálata x x t y y z z t t x A ákuumbeli fénysebesség a relatiitáselmélet szerint határsebesség szerepét játssza. 3

32 Relatiitáselmélet A relatiisztikus mehanika alapjai Idő, időtartam, táolság konepionális áltozások. A mehanika törényeinek átalakítása inariania a Lorentz-transzformáióal szemben. 3

33 Relatiitáselmélet A hely- és idő meghatározása A jelenségek leírásához szükség an a jelenségek helyének és időpontjának megadására. Minden onatkoztatási rendszerben ki kell alakítani egy megfelelően sűrű koordináta és időhálózatot. 33

34 x x f ( t), f ( t), Relatiitáselmélet Hely meghatározása a relatiitáselméletben fényjelekkel x t Az origóból elindítunk egy fényjelet, a izsgált y f( t), z f 3( t ), y f( t), z f 3( t ), pontban pedig elhelyezünk egy tükröt, amelyről a fényjel isszaerődik az origóba. 34

35 Relatiitáselmélet Az órák szinkronizálása fényjelekkel t=0 időpillanatban az origóban egy fényjelet hozunk létre. Az origótól l táolságra léő pontba a fényjel t=l/ idő alatt ér. Az órát erre az időpontra kell beállítani és akkor indítani, amikor a fényjel odaér. 35

36 Relatiitáselmélet Az időtartamok relatiitása Tegyük fel, hogy a K rendszerben azonos helyen lejátszódik két esemény. I. esemény: pl. egy lámpa kigyullad II. esemény: pl. egy lámpa kialszik II. I. x x x t I., x t II., x A két esemény között eltelt idő K rendszerben: II. t t t I. 36

37 Relatiitáselmélet Az időtartamok relatiitása A két esemény között eltelt idő K ben: t I. t I. x t II. t t t II. t II. x I. t t II. t I. t 37

38 Relatiitáselmélet Mozgási és nyugalmi időtartam, idődilatáió t t II. t I. t Két esemény között eltelt időtartamok is különbözőek. Miel ezért Az események helyéhez képest mozgó megfigyelő az események között eltelt időt hosszabbnak találja, mint az eseményekhez képest nyugó megfigyelő. t t T T 0 38

39 Relatiitáselmélet Hogyan határozható meg egy rendszerhez képest mozgó tárgynak a mozgásirányba eső mérete? A tér különböző pontjaiban található szinkronizált órák közül kiálasztunk kettőt, amelyek közül az egyik a tárgy egyik égének elhaladását ugyanabban az időpillanatban jelzi, mint a másik a tárgy másik égének elhaladását. A mozgó tárgy mozgásirányba eső hossza egyenlő a két óra táolságáal. 39

40 Relatiitáselmélet A táolságok relatiitása Számítsuk ki, hogy milyen eredményre ezet egy rúd hosszának mérése egymáshoz képest mozgó ineriarendszerekben. A rúd a K -ben nyugszik. k x x x 40

41 Relatiitáselmélet A táolságok relatiitása A K rendszerben a hosszt az egyidejű kezdő és égpont koordináták leolasásáal kapjuk. k x x x k t t 4

42 x x f ( t), f ( t), Relatiitáselmélet A táolságok relatiitása x k t k x x t x k x k t k x x t x x k x x k x x y f( t), z f 3( t ), y f( t), z f 3( t ), 4

43 43 A mozgási és nyugalmi hossz Lorentz-kontrakió Relatiitáselmélet k k x x x x x x A hosszúság is koordinátarendszertől függő mennyiség. 0 L L A mozgó megfigyelő által mért hossz mindig kisebb, mint a nyugalmi hossz.

44 Relatiitáselmélet Az idődilatáió és a Lorentz-kontrakió kísérleti bizonyítéka. A müonok a felső légrétegben, kb. 4-5 km magasságban keletkeznek.. A müonok közel fénysebességgel haladnak, (=0,99). 3. A müonok átlagos élettartama laborban, 0-6 s. 4. A müonok a keletkezésüktől az elbomlásig kb. 660 m utat tudnak megtenni. 5. A müonok elérik a földfelszínt. Ellentmondás! 44

45 Relatiitáselmélet Az idődilatáió és a Lorentz-kontrakió kísérleti bizonyítéka Magyarázat: A müonok átlagos nyugalmi élettartama laboratóriumban mére, 0-6 s. T T 0. A müonok mozgási élettartama 5,6 0-6 s.. A befutott út a tapasztalattal egyezésben kb. 4,68 km. 45

46 Relatiitáselmélet A sebesség-transzformáió Galilei-transzformáió x = x - z z K x K x x y y Miel a fénysebesség minden ineriarendszerben azonos, a sebesség-transzformáiónak alapetően különbözni kell a Galilei-féle sebesség-transzformáiótól. 46

47 47 A sebesség-transzformáió Relatiitáselmélet Egy test x sebessége a K rendszerben: x t x x t t t x x Ahol x x t t x

48 x x f ( t), f ( t), Relatiitáselmélet A sebesség-transzformáió A számláló és a neező t -gyel aló osztása után: Miel x x t Kis sebességek esetén isszaadja a Galilei-féle sebesség-transzformáió összefüggését. x x t x t x y f( t), z f ( t 3 ), y f( t), z f 3( t ), x x 48

49 Relatiitáselmélet A relatiitáselmélet köetkezményei Egy mozgó rendszerben ugyanazon a helyen, de különböző időkben történő eseményeket a nyugó megfigyelő különböző helyeken történő eseményeknek látja. 49

50 Relatiitáselmélet A relatiitáselmélet köetkezményei Egy mozgó rendszerben ugyanazon időben, de különböző helyeken történő eseményeket a nyugó megfigyelő különböző időben történő eseményeknek látja. 50

51 Relatiitáselmélet A relatiitáselmélet köetkezményeinek szemléletes magyarázata (H. Minkowski) Koordinátarendszer elforgatás a háromdimenziós térben. 5

52 Relatiitáselmélet A háromdimenziós tér A háromdimenziós térben a ektor mintájául a helyzetektor szolgál. Fizikai értelemben ektornak neezünk minden olyan három komponenssel megadott mennyiséget, amelynek komponensei a koordinátarendszer elforgatásakor úgy transzformálódnak, mint a helyzetektor koordinátái. A skaláris mennyiségek értéke nem függ a koordinátarendszer álasztástól. s x y z x y z s Két pont táolságának négyzete inariáns a koordinátatranszformáióal szemben. 5

53 Relatiitáselmélet A relatiitáselmélet köetkezményeinek magyarázata Egy mozgó rendszerben ugyanazon a helyen, de különböző időkben történő eseményeket a nyugó megfigyelő különböző helyeken történő eseményeknek látja. 53

54 Relatiitáselmélet A relatiitáselmélet köetkezményei Egy mozgó rendszerben ugyanazon időben, de különböző helyeken történő eseményeket a nyugó megfigyelő különböző időben történő eseményeknek látja. 54

55 Relatiitáselmélet A négydimenziós téridő A Lorentz-transzformáió a térkoordináták mellett az időt is transzformálja. Ezért egy esemény koordinátáinak a téridőben az (x, y, z, t) mennyiséget tekintjük. Egy esemény a négydimenziós téridőben egy pontnak felel meg. Az esemény koordinátáit megadó négydimenziós mennyiség egy négydimenziós ektor, NÉGYESVEKTOR lesz. 55

56 Relatiitáselmélet Állapotáltozás a négyestérben Állandó sebességgel mozgó test ilágonala egyenes. Azok az események, amelyeknek a ilágonala párhuzamos az x tengellyel, azonos időben (de különböző helyeken) zajlanak le. 56

57 x f ( t), Relatiitáselmélet Négyes állapotektor, inariáns interallumnégyzet A négyes állapotektor komponensei a Lorentztranszformáióal transzformálódnak. Két esemény közötti négydimenziós táolság négyzete legyen inariáns a Lorentztranszformáióal szemben. Bebizonyítható, hogy az (x, y, z, t ) és az (x, y, z, t ) eseményekre felírt s t x y z interallumnégyzet agy négyes-táolságnégyzet inariáns a Lorentz-transzformáióal szemben. y f( t), z f ( t 3 ), 57

58 x x f ( t), f ( t), Relatiitáselmélet A négyestér tartományai s AB 0 s 0 AB fényszerű s AB 0 s t x y z y f( t), z f 3( t ), y f( t), z f 3( t ), Meghatározzuk, hogy milyen az előjele egy onatkoztatási esemény és a izsgált tartományba eső eseményt összekötő interallumnégyzetnek. 58

59 Relatiitáselmélet Tömegpont mozgása a négyestérben Tömegpont ilágonala Még sohasem figyeltek meg olyan részeskét, ami a fény ákuumbeli sebességénél gyorsabban mozgott olna. A tömegpontnak az időszerű téridő tartományba eső ilágonalat kell köetnie. 59

60 Relatiitáselmélet Az egymáshoz képest állandó sebességgel mozgó rendszerek ábrázolása négyestérben A t tengely helyzetének meghatározása Az x tengely helyzetét úgy kell megálasztani, hogy a fény ilágonala ugyanaz maradjon, és érényes legyen rá az x =t összefüggés. 60

61 Relatiitáselmélet Az időszerű téridő tartomány t s AB 0 x Ezekhez az eseményekhez lehet találni olyan, az eredetihez képest állandó sebességgel mozgó koordinátarendszert, amelyben az A és B esemény azonos helyen annak, sak az időpontjuk más. 6

62 Relatiitáselmélet Az időszerű téridő tartomány s t x y z AB s AB t x y z Az események -al jelölt időbeli szeparáióját sajátidőnek agy lokális időnek neezik. INVARIÁNS MENNYISÉG!!! 6

63 Relatiitáselmélet A makroszkopikus sajátidő Ha a tömegpont sebessége áltozik, a pillanatnyi sebességének megfelelően mindig más és más ineriarendszerben an nyugalomban. B Elemi sajátidő d ds dt dx dy dz Az elemi sajátidő is inariáns. 63

64 Relatiitáselmélet A makroszkopikus sajátidő Elemi sajátidő d ds dt dx dy dz dx dy dz d dt d dt dt dt dt pill Az inariáns makroszkópikus sajátidőt az elemi sajátidők összegzéséel kapjuk. B dt A pill (t) 64

65 Relatiitáselmélet A relatiisztikus dinamika alapjai Jellemezzük az m 0 nyugalmi tömegű tömegpont mozgását egy új négyesektorral: dt, dx, dy, dz m 0 d m 0 d egy inariáns skalár m0 m0 m0 x y m0 z,,, pill pill pill pill d dt pill 65

66 Relatiitáselmélet A relatiisztikus impulzus és tömeg m0 m0 m0 x y m0 z,,, pill pill pill pill A fenti négyesektor utolsó három komponense kis sebességekre ( pill <<) a közönséges impulzusektor három komponensét adja. px m x p y m y p m z z 66

67 Relatiitáselmélet A relatiisztikus impulzus és tömeg px m x p y m y p z m z A fenti négyesektor utolsó három komponense kis sebességekre ( pill <<) a közönséges impulzusektor három komponensét adja. Ennek alapján: p m 0 m m 0 Relatiisztikus tömegnöekedés (több direkt kísérlet igazolta) 67

68 Relatiitáselmélet A Lorentz-transzformáióal szemben inariáns mozgásegyenlet F dp dt d(m) dt d dt m 0 Kis sebességekre isszakapjuk a mozgásegyenlet szokásos alakját. 68

69 Relatiitáselmélet Az energia a relatiitáselméletben m0 m0 m0 x y m0 z,,, pill pill pill pill Mi lehet a szerepe? 69

70 Relatiitáselmélet Az energia a relatiitáselméletben A munkatétel értelmében: W Fdr m m Em Ha a tömegpontnak nins helyzeti energiája W E Teljes energia áltozás dp W Fdr dr (p) dp dt 70

71 Relatiitáselmélet Az energia a relatiitáselméletben dp W Fdr dr (p) dp dt p m 0 (p) m p 0 p W m0 p m0 p 7

72 Relatiitáselmélet Az energia a relatiitáselméletben W m0 p m0 p Ez azt jelenti, hogy ha nins helyzeti energia, akkor a munkatétel alapján az energiának az alábbi kifejezés felel meg: E(p) m 0 p E() m 0 7

73 Relatiitáselmélet Az energia a relatiitáselméletben E() m 0 E m E m E m E m Egy rendszerben az energia és a tömeg áltozása mindig együtt jár, egymással arányosan történik. 73

74 Relatiitáselmélet Az energia a relatiitáselméletben E() m 0 esetén E() m0 m0 E() megáltozása a klasszikus mozgási energia megáltozásáal egyenlő. 74

75 Relatiitáselmélet A nyugalmi energia és a tömeghiány E() m 0 m0 A relatiitáselméletben a klasszikus mozgási energiának megfelelő kifejezés: E m m m0 E Em m0 E 0 m0 Nyugalmi energia A tapasztalatok alapján a nyugalmi energia részben agy egészben át tud alakulni másfajta energiáá. 75

76 Relatiitáselmélet Ajánlott irodalom Gamow Cleeland: FIZIKA, Gondolat, Budapest, 977. Orear: MODERN FIZIKA, Műszaki Könykiadó, Budapest, 97. Taylor Wheeler: TÉRIDŐ FIZIKA, Gondolat, Budapest, 974. Norwood: SZÁZADUNK FIZIKÁJA, Műszaki Könykiadó, Budapest, 98. Feynman: HAT MAJDNEM KÖNNYŰ ELŐADÁS, Akkord Kiadó, 004. Holis: FIZIKA, Műszaki Kiadó, Budapest,