FIZIKA. Folyadékok fizikája (Hidrodinamika) Dr. Seres István

Átírás

1 (Hidrodinamika) Dr. Seres István

2 Hidrosztatika Ideális folyadékok áramlása Viszkózus folyadékok áramlása Felületi feszültség fft.szie.hu 2

3 Hidrosztatika Nyomás: p F A Mértékegysége: Pascal (Pa) 1 Pascal = 1 N/m 2 1 bar 1 atm 10 5 Pa = 100 kpa fft.szie.hu 3

4 Hidrosztatika Pascal törvény: Ideális folyadékban a nyomás gyengítetlenül terjed. F 1 A 1 p F A 2 2 F 1 F 2 A 1 A 2 Hidraulikus eszközök! fft.szie.hu 4

5 Hidrosztatikai nyomás: A folyadék saját súlyából származó nyomása: p F V g A ny A G A mg Ahg A A gh A Marianna árok mélyén ( m) a nyomás: = Pa = 1100 atm. h fft.szie.hu 5

6 Hidrosztatika kiegészítés: Folyadék nyomóerő számítás, ha a nyomás nem azonos a nyomott felület pontjaiban (pl., edény oldallapja) F = p A, ha p azonos a felület mentén. F =?, ha nem. fft.szie.hu 6

7 Hidrosztatika kiegészítés: Folyadék nyomóerő számítás, ha a nyomás nem azonos a nyomott felület pontjaiban Zsilipre ható nyomóerő és nyomaték: df = p da = gx a(x)dx F h df g x a(x)dx 0 a(x) Ahol a(x) a tartály szélessége a felszín alatt x mélységben (a zsilip alakja ismeretében a(x) meghatározható) b x a h dx fft.szie.hu 7

8 Hidrosztatika kiegészítés: Folyadék nyomóerő számítás, ha a nyomás nem azonos a nyomott felület pontjaiban Pl.: a fedőélű, a alapélű, ha magasságú trapéz: a df = p da = gx a(x)dx x a(x) (a b) / 2 a b a(x) a 2 x a x h h h F h df g x a x 0 a b h dx b dx F h 2 3 a b 2 h a b h 2 a b ga xdx g x dx ga g gh h 2 h h 0 fft.szie.hu 8

9 fft.szie.hu 9 Hidrosztatika kiegészítés: Folyadék nyomóerő számítás, ha a nyomás nem azonos a nyomott felület pontjaiban Pl.: a fedőélű, a alapélű, ha magasságú trapéz: Trükk: A nyomóerő kiszámolható az adott lap tömegközéppontjában mérhető nyomás, és a lap felületének szorzataként. Trapéz= téglalap + 2 háromszög F g h 2 F gh 2 bh a 6 2g b 3 h 3 (a b) / 2 a(x) 2h b x a h dx

10 Hidrosztatikai nyomás következménye: Archimédesz törvény: F 1 =p 1 A = ( g h 1 ) A F 2 =p 2 A = ( g h 2 ) A F e = F 2 F 1 = g (h 2 -h 1 ) A h 2 F 1 h 1 A F 2 Mivel (h 2 -h 1 ) A = V be F fel = V be g fft.szie.hu 10

11 Ideális folyadék áramlása Kontinuitási (folytonossági) törvény: Miért keskenyedik el a vízcsapból kifolyó vízsugár? fft.szie.hu 11

12 Miért keskenyedik el a vízcsapból kifolyó vízsugár? v t A A t idő alatt átfolyó térfogat egy henger térfogata: V = alapterület * magasság = A v t fft.szie.hu 12

13 Kontinuitási törvény: Miért keskenyedik el a vízcsapból kifolyó vízsugár? A 1 v 1 t = A 2 v 2 t fft.szie.hu 13

14 A 2 v 2 t = A 1 v 1 t /:t A 1 v 1 = A 2 v 2 Kontinuitási (folytonossági) törvény: Áramló ideális folyadék esetén a keresztmetszet és az áramlási sebesség szorzata állandó: A v = állandó Gyakorlati alkalmazás: locsolócső fúvókák fft.szie.hu 14

15 Kontinuitási (folytonossági) törvény: Hol áramlik gyorsabban a vér, az ütőérben vagy a kapillárisban? fft.szie.hu 15

16 azaz p Bernoulli törvény: 1 2 v gh fft.szie.hu 16 2 állandó p1 v1 gh1 p2 v2 gh 2 2 ahol:- az áramló közeg sűrűsége, - p a közegben mérhető nyomás, - v a közeg áramlási sebessége, - h az áramló közeg tömegközéppontjának a helyzeti energia nulla szintje feletti magassága. 2

17 Bernoulli törvény: hidrodinamikai paradoxon p v1 p2 v2 p v 1 v d d 2 p 2 p 1 < p 2 p 1 = p 2 p 1 > p 2? fft.szie.hu 17

18 Bernoulli törvény: hidrodinamikai paradoxon p 1 v 2 p v2 Ha v 1 < v 2 p 1 > p 2! Ha megnő a közeg áramlási sebessége, akkor lecsökken a nyomása! fft.szie.hu 18

19 Bernoulli törvény: hidrodinamikai paradoxon Ha megnő a folyadék áramlási sebessége, akkor lecsökken a nyomása! Gyakorlati példák, alkalmazások: Lefele fordított tölcsérből nem tudom kifújni a pingponglabdát (órai kísérlet) porlasztó parfümszóró sebességmérő (Prandtl cső, Pitot cső) nagy sebességű közeg szívó hatása (viharban a háztető) Repülőgépre ható emelő erő (dinamikai felhajtóerő) fft.szie.hu 19

20 Bernoulli törvény: Prandtl cső fft.szie.hu 20

21 Bernoulli törvény: Pitot cső fft.szie.hu 21

22 Bernoulli törvény: Pitot cső Műszaki összefoglaló Hossz (a pitot cső nélkül): 14.1m (46ft 3in) Fesztáv (beleértve a rakétaindító síneket): 8.4 m (27ft 6in) Magasság: 4.5 m (14ft 8in) Maximális felszálló súly: 14 tonna fft.szie.hu 22

23 Ideális folyadék áramlása A Bernoulli törvény következménye: Toricelli törvény: A lyukon kifolyó víz sebessége: h v v 2gh fft.szie.hu 23

24 Hidrodinamika kiegészítés: Mennyi idő alatt folyik ki egy tartályból a víz, ha kilyukasztom? Toricelli törvény: v 2gh h v Egy a keresztmetszetű csövön t idő alatt átfolyó víz mennyisége: v t A A t idő alatt átfolyó térfogat egy henger térfogata: V = alapterület * magasság = A v t fft.szie.hu 24

25 Hidrodinamika kiegészítés: Mennyi idő alatt folyik ki egy tartályból a víz, ha kilyukasztom? Tegyük fel, hogy a tartályban a dx lyuk felett éppen x magasságig áll a víz (0 x h)! x v Az A keresztmetszetű kifolyócsövön dt idő alatt kifolyó víz térfogata: dv A vdt A A kifolyó víz dx szintcsökkenést okoz: dv A(x) dx 2gx dt Ahol A(x) a tartály keresztmetszete a lyuk felett x magasságban. fft.szie.hu 25

26 Hidrodinamika kiegészítés: Mennyi idő alatt folyik ki egy tartályból a víz, ha kilyukasztom? Tegyük fel, hogy a tartályban a dx lyuk felett éppen x magasságig áll a víz (0 x h)! x v két egyenlet bal oldala azonos a jobb oldalak is: Átrendezve: A 2gx dt A(x)dx dt A 2gx A(x)dx fft.szie.hu 26

27 Hidrodinamika kiegészítés: Mennyi idő alatt folyik ki egy tartályból a víz, ha kilyukasztom? Tegyük fel, hogy a tartályban a dx lyuk felett éppen x magasságig áll a víz (0 x h)! x v azaz: t A(x)dx dt A 2gx dt Ahol A(x) a geometria alapján megadható. fft.szie.hu 27 h 0 A(x) dx A 2gx

28 Viszkózus közegek: Viszkozitás: folyadék belső súrlódási együttható Jele: h (éta görög betű) SI mértékegysége: Pas (pascal- szekundum) fft.szie.hu 28

29 Viszkózus közeg: Közegellenállási erő (viszkózus közegben mozgó testre ható erő): F = c h A v Ahol c az alaktényező, h a viszkozitás, A a homlokfelület, v a haladási sebesség Szabálytalan testekre c csak méréssel Szabályos test (pl. gömb) c számolható fft.szie.hu 29

30 Viszkózus közeg: Stokes törvény: viszkózus közegben mozgó gömb alakú testre ható közegellenállási erő: F 6Rh v ahol R a gömb sugara, h a viszkozitás, v a haladási sebesség. A törvény csak akkor igaz, ha nincsenek örvények a golyó mozgása közben! fft.szie.hu 30

31 Viszkózus közeg: Lamináris áramlás: nincsenek örvények az áramlási térben Turbulens áramlás: van örvényképződés Reynolds szám: Re Ha Re < Re krit, akkor nincsenek örvények! (golyó esetén Re krit = 1) R h v fft.szie.hu 31

32 Viszkózus közeg: szedimentáció Az olajban süllyedő golyóra mozgás közben három erő hat: lefele a gravitációs erő : G = g V g felfele a felhajtó erő : F f = o V g felfele a Stokes-féle közegellenállási erő : F s = 6 R h v Fs Ff G fft.szie.hu 32

33 Viszkózus közeg: szedimentáció A sebesség egy exponenciális függvény szerint beáll egy állandó értékre Fs Ff G v v m fft.szie.hu 33 t

34 Viszkózus közeg: szedimentáció Láttuk, hogy a test gyakorlatilag egyenes vonalú egyenletes mozgást végez, a golyóra ható erők eredője nulla, Azaz: g V g = o V g + 6 R h v m Fs Ff G fft.szie.hu 34

35 Viszkózus közeg: szedimentáció g V g = o V g + 6 R h v m Mivel a golyó térfogatára: V fft.szie.hu R Ezt behelyettesítve, R-el, 2-vel és -vel osztva és rendezve: h 2 9 ( )R g o s / t 2 g Fs Ff G

36 szedimentációs feladat: 10 cm magas vízzel teli üvegedénybe egy marék homokot szórunk. A víz zavarossá válik, majd 3 perc alatt kitisztul. Mekkora a homokszemcsék átlagos átmérője? Adatok: víz = 100 kg/m 3, homok = 2500 kg/m 3, h = 0,001 Pas, s = 10 cm = 0,1 m, t = 3 perc = 180 s. fft.szie.hu 36

37 szedimentációs feladat megoldása: Adatok: víz = 100 kg/m 3, homok = 2500 kg/m 3, h = 0,001 Pas, s = 10 cm = 0,1 m, t = 3 perc = 180 s. 2 2 ( g f )R h,innét 9 s / t 2 9hs 90,0010,1 R =1, ( )t 2( ) g f R = 4, m = 0,041 mm. fft.szie.hu 37

38 Viszkózus közeg áramlása: Newton-féle közegellenállási törvény: folyadékréteg tetején vontatott lapra ható közegellenállási erő F h A v h általánosítva F h A dv dy A F h v(y) fft.szie.hu 38

39 Viszkózus közeg áramlása: Csőben áramló súrlódó folyadékban a folyadék sebessége ne azonos a teljes keresztmetszeten: Parabolikus sebességprofil: v(r) p 4hL (R 2 r 2 ) fft.szie.hu 39

40 Viszkózus közeg áramlása: Hagen-Poiseuille törvény: A csövön időegység alatt átáramló folyadék térfogata (folyadékhozam): Q V p R 4 t 8hL fft.szie.hu 40

41 Viszkózus közeg áramlása: Hagen-Poiseuille törvény: Q V p R 4 t 8hL A törvény igaz, ha lamináris az áramlás, vagyis ha Re < Re krit. = fft.szie.hu 41

42 Felületi feszültség A nedvesítő folyadék konvex görbült szintje (meniszkusza) alacsonyabb a kapilláris belsejében, mint a falnál (pl. üveg víz). Nem-nedvesítő folyadéknál a görbület konkáv, a folyadékszint magasabb (pl. üveg Hg). belső Gyakorlati jelentősége nagy, pl: a talaj vízháztartásának szabályozásában, porózus anyagok nedvesedése (falak, itatóspapír) fft.szie.hu 42

43 Felületi feszültség Felületi molekulára az eredő erő nem nulla, és a folyadék belseje felé mutat Felületi feszültség (felületnöveléshez munka kell) Belső molekulára az eredő erő nulla fft.szie.hu 43

44 Felületi feszültség Definíció: Egységnyi felületnöveléshez szükséges munkavégzés W A Mértékegysége: J/m 2 = N/m fft.szie.hu 44

45 Felületi feszültség Munka = erő x elmozdulás drót hártya W A F x x csúszka x Innét: F fft.szie.hu 45

46 Felületi feszültség F 2R Egyensúly: F = G F V 2R g n G fft.szie.hu 46

47 Felületi feszültség mérése: (relatív mérés desztillált vízhez viszonyítunk) szorító gumicső pumpa a n a v n fft.szie.hu 47 v bejelölések kapilláris Ahol a sűrűség, n a cseppszám, a felületi feszültség. a index- alkohol v index desztillált víz a v csap körlap vízcsepp 1. ábra. A sztalagmométer állvá ny puff er üvegpohár

48 Felületi feszültség mérése: (relatív mérés desztillált vízhez viszonyítunk) szorító gumicső csap pumpa Mérés menete: Kicsepegtetem a deszt. vizet Kicsepegtetem az alkoholt Számolom a cseppszámokat Behelyettesítek a képletbe bejelölések kapilláris körlap állvá ny puf fer vízcsep p üvegpohár 1. ábra. A sztalagmométer fft.szie.hu 48

49 Felületi feszültség mérése: (relatív mérés desztillált vízhez viszonyítunk) szorító gumicső csap pumpa Adatok: Sűrűség: Desztillált víz: 998 kg/m 3, Izobutil alkohol: 808 kg/m 3, bejelölések kapilláris körlap állvá ny puf fer vízcsep p üvegpohár 1. ábra. A sztalagmométer Desztillált víz felületi fesz.: 0,0729 N/m fft.szie.hu 49

50 Felületi feszültség: Folyadék felszín illeszkedése az edény falához Illeszkedési szög: Nedvesítő folyadék: 0º Nem nedvesítő folyadék: 180º fft.szie.hu 50

51 Felületi feszültség: Kapilláris emelkedés: F = G 2Rcos (R 2 h)g 2 h cos gr fft.szie.hu 51

52 Felületi feszültség: Milyen magasra nőhet egy fa? Hogyan jutnak vízhez a növények? fft.szie.hu 52