8. HÁLÓSZERKESZTÉS. A CFD-ben használatos hálóknak két fő fajtája van: strukturált és nem-strukturált.
|
|
- Péter Lakatos
- 6 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 8. HÁLÓSZERKESZTÉS Megj.: CFD-ben a háló (angolul mesh ) és a rács (angolul grid ) megnevezések ugyanazt jelentik, mindkettőt használjuk a szaknyelvben. Amikor az alapegyenletek diszkretizációja megtörtént, egy hálót kell generálnunk, amelyen a csomópontokat (angolul node ) vagy cellákat (angolul cell ) jelöljük ki a számításos tartományon (angolul domain ) belül. Ebben a fejezetben a különböző típusú hálókat fogjuk áttekinteni, valamint útmutatót adunk ahhoz, hogy hogyan tervezzük meg a megfelelő hálótopológiát Strukturált és struktúrálatlan hálók A CFD-ben használatos hálóknak két fő fajtája van: strukturált és nem-strukturált. STRUKTURÁLT: STRUKTÚRÁLATLAN: - 2D-ben téglalapokból áll - 2D-ben háromszögekből áll [n61] Ábra 8.1. Strukturált háló. Ábra 8.2. Struktúrálatlan háló. - 3D-ben téglatestekből áll - 3D-ben tetrahéderekből áll [n62] Ábra 8.3. Téglatest elem. Ábra 8.4. Tetrahéder elem. STRUKTURÁLT: STRUKTÚRÁLATLAN: 1
2 ELŐNY: HÁTRÁNY: - a kapcsolódási információk pusztán a cellák - a kapcsolódási információt minden számozásából egyértelműen kikövetkeztethető cellára külön kell tárolni és előhívni - könnyű tárolás és manipuláció a számítógépben - nehezebb tárolás és manipulálás a számítógépben HÁTRÁNY: ELŐNY: - a cellák merőlegessége és karcsúsága bizonyos korlátok közé kell, hogy essen, ezért (is) - komplex geometriák hálózása nehezebb - komplex geometriák hálózása könnyű - kevésbé hatékony helyileg finom hálók - nagyon hatékony helyileg finom hálók esetében esetében [n63] finom cellák pocsékolása itt finom cellák ezen a helyen szükségesek Ábra 8.5. Strukturált háló. Ábra 8.6. Struktúrálatlan háló. - hálószerkesztés: NEHÉZ (manuális) - hálószerkesztés: KÖNNYŰ (sőt, általában automatizált) - az egyetlen lehetőség Véges Differencia - népszerű Véges Elem és Spektrális módszerekhez (ezek nem működnek Módszerekre, de sok Véges Térfogat strukturálatlan hálón), módszer is erre épül - népszerű Véges Térfogat módszerekhez 8.2. Hálótranszformálás A legtöbb gyakorlati problémában a test általában görbékből áll és az áramlás a folyadáktulajdonságok jelentős gradienseivel jellemezhető. Ahhoz, hogy ezeket a dolgokat megfelelően tudjuk kezelni, a hálónak a következő tulajdonságokkal kell rendelkeznie: - perem-illesztés: a háló becsomagolja a testet, azaz pl. egy szárnyprofil körüli perem-illeszett háló a következőképpen nézne ki [n64] 2
3 Ábra 8.7. Peremillesztett strukturált háló egy szárnyprofil körül. - görbevonalú: a cellák az x-y koordináta-rendszerhez képest el vannak forgatva [n65] Ábra 8.8. Egy görbevonalú háló illusztrálása. - nem-uniform: a cellák egyenlőtlen eloszlása bármyelik irányban [n66] 3
4 Ábra 8.9. Egy görbevonalú, perem-illesztett, nem-uniform strukturált háló egy szárnyprofil körül. Ez esetben, a hagyományos véges diferencia átalakításokat (pl. f f x x ) nehéz lenne kifejezni, ezért a hálót a fizikai síkból a számításos síkba kell transzformálnunk. Mindez a es ábrán van illusztrálva. 4
5 fizikai sík görbevonalú nem-uniform x y koordináták számításos sík merőleges uniform koordináták Ábra Szárnyprofil körüli háló transzformálása a fizikai síkból a számításos síkba. Mindez azt jelenti, hogy a független változókat (ρ, u, v, p, t, stb.) a fizikai térből (x, y, t) a számításos térbe ( ) transzformáljuk, ahol: (x, y, t) x, y, t) (t) Ezáltal a PDE-kben, mint alapegyenletekben levő minden első- és másod-rangú deriváltat tulajdonképpen a következő kifejezésekkel helyettesítjük: [n69] 5
6 Ha ezeket a kifejezéseket behelyettesítenénk az alapegyenletekbe, akkor a számításos térben használatos változók ( ) tekintetében igencsak komplikált matematikai kifejezéseket kapnánk. Éppen ezért a hálótranszformálás egy sokkal kényelmesebb, közérthetőbb formáját úgy fejezzük ki, hogy inverz metrikákat és az ezekre épülő Jacobi mátrixokat használunk: Inverz metrikák: [n70] Figyeljük meg, hogy ez egy két egyenletből álló kétsimeretlenes egyenletrendszert alkot, a következő ismeretlenekkel Ennek az egyenletrendszernek a megoldását a Cramer szabály segítségével a következőképpen határozhatjuk meg: [n71] Jacobi mátrix ( J -vel jelölve) 6
7 és ennek használatával aztán már sokkal könnyebben fejezhetőek ki az alapegyenletek a a számításos térben (az alább mutatott példában konkrétan az Euler egyenletek):[n72] amelyben: (Lásd Anderson oldalakat a teljes levezetésért) A Jacobi mátrixok használata szükséges tehát a hálótranszformálás hatékony elvégzéséhez. A következő szakaszokban válik világossá, hogy mely diszkretizációs módszerek (Véges Differencia, Véges Elem, Véges Térfogat) igényelnek hálótranszformációt és melyek nem Kartézi hálók A strukturált hálók egy különleges csoportja az ún. kartézi hálók (angolul Cartesian mesh ), amelyeknek az összes hálófajta közül a legmagasabb a rendezettségi foka. Ebben ugyanis minden egyes cella négyzet (vagy 3D-ben kocka) alakú, amelyek oldalai párhuzamosak a koordinátarendszer tengelyeivel (8.11 ábra). A kartézi hálók legnagyobb előnye az, hogy ötvözik a strukturált és strukturálatlan hálók fő erényeit, azaz - a könnyű és automatizálható hálószerkesztést (amely a strukturálatlan hálók jellemzője), és - a könnyű tárolás és szoftver manipulációt (ami pedig a strukturált hálók előnye) Éppen ezért a kartézi hálók nagyon népszerűvé váltak az ezredforduló óta az összetett és nagyobb léptékű problémák megoldásásra, ahol gyakran van szükség újrahálózásra a számítás alatt (pl. egy F-18-as vadászrepülőgépről kilőtt rakétának a 7
8 repülőgép közelében való pályájának a megjósolására, ahogy majd azt később illusztráljuk). A kartézi hálózás elterjedésében az áttörést a Véges Térfogat módszer fejlődése hozta meg: ez nyitotta meg ugyanis az utat ahhoz, hogy a vizsgált test körül megcsonkított cellák amelyek már nem négyzet vagy kocka alakúak - könnyedén megoldhatóak legyenek. A Véges Térfogat módszer számára ugyanis teljesen mindegy, hogy milyen a cella alakja, míg a Véges Differencia módszer esetében ez már nem igaz. Ábra Kartézi háló egy szárnyprofil körül. Figyeljük meg, hogy a cellák helyileg vannak sűrítve a test körül. Ezek a cellák csonka cellák, amelyek megoldása lehetetlen lenne pl. Véges Differencia módszerrel (mert a 4-oldalú négyzetek hirtelen 3 vagy 5 oldalú elemekké válnak). Viszont, a Véges Térfogat módszer könnyedén meg tudja oldani ezeket is! Ábra Kartézi háló egy szárnyprofil körül. Figyeljük meg, hogy a cellák a test körül meg vannak csonkítva, aminek következményeként többé már nem 4 oldalúak, hanem 3 vagy 5 oldalúvá válnak. A kartézi hálók különösen alkalmasak nagyon összetett problémák megoldására (pl. egy teljes F-18-as vadászgép modellje kiengedett futóművekkel, rakétákkal és segéd- üzemanyagtartályokkal a szárnyvégeken) ahol a hálószerkesztés más módszerekkel nagyon hosszú időt venne igénybe. Ha ezt a módszert az adaptív multiháló (angolul adaptive multigrid ) módszerrel ötvözzük, (amelyet később fogunk tárgyalni), akkor egy nagyon komoly teljesítménnyel bíró módszert kapunk, amely viszont sok esetben sajnos korlátozva van nem-viszkóz áramlásokra. Például, 8
9 a kereskedelmileg is forgalmazott VECTIS szoftver is kartézi hálózást használ, amivel alkalmassá válik nagyon komplex geometriák (pl, motortér) szimulációjára. Ábra Kartézi háló egy F-16 vadászrepülőgép körül Zónásított vagy blokkosított hálók ( Zonal or Block-structured grids) Sok CFD szoftver úgy van megtervezve, hogy képes legyen olyan hálókkal is dolgozni, amelyek zónákba (ezt a megnevezést inkább a strukturálatlan hálók esetében használjuk) vagy blokkokba (ezt pedig főleg strukturált hálók esetében használjuk) vannak osztva: [n74] STRUKTURÁLT HÁLÓ STRUKTURÁLATLAN HÁLÓ (minden szín egy külön zónát jelent)) Ábra Blokkosított strukturált (bal kép) és zónásított strukturálatlan (job kép) hálók. A különböző téglatestek/trapézok a bal képen valamint a különböző színű régiók a a job oldali képen a zónákat vagy blokkokat jelöli. 9
10 A zónák / blokkok használata a következő előnyöket kínálja: - a helyi hálósűrítés megkönnyítése - párhuzamos számítások (parallel processing) lehetővé tétele, mert minden zóna/blokk külön processzoron futtatható. A zónásított/blokkosított háló velejárói a következők: [n74] - a zónák/blokkok egymáshoz való kapcsolódását előre meg kell határozni és tárolni is kell a szoftverben - az egyes blokkok peremfeltételei a szomszédos blokkok megfelelő oldalainak a peremfeltételeivel egyenlőek - minden blokk/zóna oldal csak egyfajta peremfeltételt tartalmazhat, azaz a peremfeltételek keverése egyazon blokk-oldalon nem megengedett: Ábra A blokk-kapcsolódás szabályai: egy blokk oldala csak egyfajta peremfeltételt tartalmazhat! - a legtöbb CFD szoftver csak egymással kompatibilis blokkokat enged meg, azaz [n75] 10
11 Ábra A blokk-kapcsolódás szabályai: csak kompatibilis blokk-oldalakat lehet összekapcsolni! 8.5. Hibrid hálók Viszkóz áramlások esetében a határréteg megfelelő szimulálása legyen az akár lamináris, akár turbulens a fal közelében sűrű hálót igényel. Ahogy azt már korábban is említettük, az általános szabályok a következők: - legalább cella feküdjön a határrétegben. Ábra A határréteg helyes szimulációjához legalább cella szükséges a határrétegben. - turbulens határréteg esetén az első cella vastagsága y P + = (1~10) között kellene hogy legyen, ha nem használunk falfüggvényt. - turbulens határréteg esetén az első cella vastagsága y P + > 30 (azaz a viszkóz alrétegen kívül) kellene, hogy legyen, ha falfüggvényt használunk. 11
12 Ilyen hálósűrűség elérése a falnál strukturálatlan hálók esetében gyakran nem hatékony a cellaszám itt sokkal de sokkal nagyobbá válhat, mint strukturált hálók esetében. Éppen ezért sok szoftver, mint pl. az ANSYS-CFX, lehetővé teszi az ún. hibrid háló (angolul hybrid mesh ) szerkesztését, amely ötvözi a strukturált ls strukturálatlan hálók előnyeit. STRUKTURÁLATLAN HÁLÓ (könnyű és gyors generálás) alled STRUKTURÁLT HÁLÓ (INFLÁCIÓS RÉTEGnek is hívjuk): 10~15 cella Ábra Hibrid strukturált-strukturálatlan háló. A strukturált háló a fal mellett van használva a határréteg szimulálására, míg a strukturálatlan a távoltér szimulálására. Ezt a módszert használja a CFX és a Fluent is az ANSYS szoftver-csomagban. Figyeljük meg, hogy 3D-ben a hibrid háló prizmatikus (angolul prism ) cellákat használ az inflációs rétegben ( inflation layer ), míg a távoltérben tetrahéder ( tetrahedron ) cellák keletkeznek. PRISM cell TETRAHEDRON Ábra Cellák egy hybrid strukturált-strukturálatlan hálóban. A prizmatiukus (PRISM) cellák a strukturált háló részben keletkeznek, míg a tetrahéder (TETRAHEDRON) cellák a strukturálatlan háló részben Mozgó háló technikák (Moving mesh techniques) Sok áramlástani probléma követeli meg olyan helyzet megoldását, amelyben a vizsgált tárgy a számításos doménen keresztül mozog. Példaként említhetnénk egy repülőgépről kilőtt rakéta esetét, az űrsiklóról (Space Shuttle) lehulló törmelék pályáját (amely a Columbia űrsikló szerencsétlenségéhez vezetett 2003-ban), vagy egy helikopter rotorjának forgószárnyai körüli áramlás megoldását. 12
13 Ábra Egy F-16.os repülőgépről kilőtt rakéta pályájának megoldása CFD-fel. Az ilyen szimulációk elvégzéséhez ún. mozgó háló technikák alkalmazása szükséges, hogy a rakéta körüli áramlást meg tudjuk oldani a rögzített számításos térben. Az ilyen esetekhez különböző mozgó háló technikákat alkalmazhatunk, amelyek közül most a két legnépszerűbb technikát fogjuk ismertetni: - a csúszó hálók technikáját (Sliding Mesh technique) - a CHIMERA technikát Csúszó hálók technikája (Sliding mesh technique) Általában olyan problémák esetében alkalmazzuk, ahol a viszgált test mozgása nem véletlenszerű. Ez egy nagyon népszerű technika forgó testek, mint pl. turbinák, impellerek, propellerek, és helikopter rotorok esetében. [n76] 13 A csúszó hálók érintkezési felületén a fluxusokat külön algoritmussal kell kezelnünk, amely lehetővé teszi az olyan cellák megoldását is, amelyek egy éle több mint egy szomszédos cellával van érintkezésben.
14 [n77] A 4-es számú cella teljes EF élén átmenő fluxus az (e-b) és (b-f) szakaszok fluxusának összege lesz, amelyek viszont az AB és BC oldalak fluxusainak súlyozott megfelői. Ábra Csúszó hálókat akkor használunk, ha egy rögzített hálóban egy mozgó hálót helyezünk el CHIMERA technika Megj.: A CHIMERA szó a görög mitológiából ered és egy hibrid állatot jelent, amely különböző állatok keverékéből, - mint pl. egy oroszlán és egy szarvas, - áll. Ábra A Chimera egy görög mitológiai lény, amely különböző állatok testrészeiből tevődik össze. A CFD-ben a CHIMERA technika 2 átfedő hálóra épül, amelyből az egyik a mozgó testhez van rögzítve (ezt nevezzük mellékhálónak - Minor Grid), míg a másik rögzítve van a koordinátarendszerben (ezt nevezzük főhálónak - Major Grid). Ezeken a folyadéktulajdonságok egy, a két háló közti viszonylag komplex interpolációs technika segítségével számíthatóak ki. 14
15 CHIMERA háló: minden iteráció és testelmozdulás után interpolációra van szükség az átfedő cellákban. Ábra Chimera háló egy folyamatosan változó állászögű szárnyprofil körül. A CHIMERA technika ideális olyan problémák megoldásához, amelyben előre (latinul a priori ) nem ismerjük a mozgó test pályáját. Egy jó példa erre a már korábban említett F-16-os repülőgépről kilőtt rakéta esete, amelyben a rakéta 6 szabadságfokkal rendelkezik. Érdemes még megjegyezni, hogy a CHIMERA technika alkalmazásakor az interpolációs algoritmus mellett arra is szükség van, hogy kivágjuk a főháló azon celláit a számításból, amelyek a mozgó test által takarva vannak Deformálódó háló technikák (Deforming Mesh techniques) Amikor a vizsgált test csak kicsit mozog a számításos térben, akkor megfelelő módszer lehet a számításos tartomány (vagy számításos domén) celláinak deformálása egy automatikus regenerációs algoritmus által. Ezt a módszert a Deformálódó Háló technikájának hívjuk. Egy jó példa erre a háló regenerációja a falfelület mozgása alapján, amelyhez az ún. Trans-Finite-Interpolation (TFI) technika használható. [n78] 15
16 Ábra Deformálódó vagy dinamikus háló. Figyeljük meg, hogy ahhoz, hogy a lila zóna mozgását lehetővé tegyük, a a rózsaszín cellák össz-számát nem, viszont topológiájukat igenis változtatjuk Adaptív hálók (Adaptive Mesh) Az adaptív háló egy olyan rácsszerkezet, amely automatikusan sűrít pontokat azokban a régiókban, ahol nagyok a folyadék-tulajdonságok gradiensei. Az adaptív háló minden időlépésben fejlődik egy instacionáris szimuláció során. A módszer során általában inkább újraosszuk a háló már meglévő csomópontjait ahelyett, hogy újabbakat vezetnénk be a hálóba. ELŐNYÖK: - nem szükséges a megoldandó áramlás részleteinek ismerete (mint pl. a lökéshullámok helyzete, vagy a határréteg-áramlás vastagságának az ismerete) a számítás megkezdése előtt. - nagyobb pontosság, mint a klasszikus hálókon való számítások esetében HÁTRÁNY: - a háló folyamatos regenerálása növeli a számítás költségeit. Példa: B x g 1 b x ahol: g. tetszőleges változó, ( pl. ρ, u, v, w, p, e, T, stb.) B.kicsinyítő tényező 16
17 b. súlyzó tényező, amely a gradiensnek a hálósűrűségre való hatását írja le Ábra Az adaptív háló technikájával automatikusan sűríthetünk cellákat a nagy gradienseket mutató régiók környékén. Az adaptív hálózás viszonylag új dolog a CFD-ben és kimondottan érdekes technika az olyan összenyomható áramlások esetében, amelyek lökéshullámot vagy égési felületet is tartalmaznak (8.24.-es ábra). Ábra Adaptív hálótechnika egy tompa test körüli nagysebességű áramlás esetében. Figyeljük meg, hogy a cellák többsége automatikusan a nyomás-gradiensek maximuma köré azaz egy lökéshullám köré lettek sűrítve. Ez egy vékony, éles lökéshullámhoz vezet, közelebb ahhoz, mint amit a természetben is láthatunk. 17
18 8.9. Multigrid A multigrid technika nem is annyira a hálózáshoz, hanem inkább a nagyméretű egyenletrendszerek hatékony megoldásához köthető módszer, viszont mivel ez a hálózással is kapcsolatban van, ezért ebben a fejezetben kerül rövid megtárgyalásra. A multigrid módszer célja a szimulációk konvergenciájának felgyorsítása azáltal, hogy a számítások elején egy finom felbontású hálón futtatjuk a számítást, amelyet aztán folyamatosan átviszünk durvább és durvább felbontású hálókra. Az algoritmus főbb lépései a következők: 1) végezzünk el egy pár iterációt egy sűrű hálón 2) vetítsük rá a sűrű háló eredményeit egy ritka hálóra 3) végezzünk el egy pár iterációt a ritka hálón 4) vetítsük rá a ritka háló eredményeit a finom hálóra 5) térjünk vissza az 1. számú lépésre és ismételjük a folyamatot addig, amíg elérjük a megkívánt konvergencia-szintet Multigrid módszer használatakor úgy kell megtervezni a finom háló topológiáját, hogy amikor azt folyamatosan ritkább hálókká alakítjuk általában minden második pont eltávolításával akkor a háló ne legyen túl durva vagy esetleg teljesen értelmetlen a falak (azaz határrétegek) vagy lökéshullámok mentén Tanácsok hálógeneráláshoz Három fő szabálya van a hálógenerálásnak: 1. A számításos tartomány (computational domain) mérete legyen a megoldandó problémának megfelelő (azaz se nem túl nagy, se nem túl kicsi) 2. A cellák száma és sűrűsége legyen a megoldandó problémának megfelelő 3. Mindig tervezzük meg a hálót egy kézzel készített vázlaton, amelyen a peremfeltételek, a blokkok kapcsolódása, a falak mentén megkívánt hálósűrűségek, stb. fel vannak tüntetve. Ezen a három ponton fogunk most végighaladani a következő oladalakon. 1) A számításos tartomány (computatiojal domain) mérete SUBSZONIKUS ÁRAMLÁSOK: Mivel szubszonikus áramlások esetében az információ minden irányban beleértve előrefele is terjed (lásd a 4.6-os fejezetet), 18
19 a számításos tartománynak megfelelően nagynak kell lennie ahhoz, hogy elég teret adjunk az információt szállító hullámoknak. Ez különösen igaz külső áramlások esetében (pl. egy autó vagy repülő körül): [n79] Ábra Belső áramlások esetén a számításos domén mérete a test geomteriája által van behatárolva, viszont. 19
20 Ábra külső áramlás esetén, - ha az áramlás szubszonikus, a számításos domén mérete (fent) elég nagy kell, hogy legyen ahhoz, hogy az információ (a mi esetünkben a nyomáshullámok az alsó képen) minden irányban szabadon kifejlődhessenek. Figyeljük meg, hogy ebben a konkrét esetben a domén pereme 500-szor távolabb van, mint a szárnyprofil húrhossza (amely 1 egységnyi hosszú) a szárnyprofiltól. Általában, minimum 10 húrhossznyi távolság a megkövetelt a test és a perem között, de minél több, annál jobb. 20
21 SUPERSZONIKUS ÁRAMLÁS: Mivel az információ csak hátrafelé terjedhet, a cél az, hogy a számításos tartomány peremét a lehető legközelebb tegyük a lökéshullámhoz a belépőélnél. Biztosítanunk kell továbbá azt is, hogy a lökéshullám a kiömlés ( outlet ) peremet keresztezi, nem pedig a távoltér ( farfield ) peremet. A peremfeltételek a következő fejezetben lesznek részletesebben tárgyalva. [n80] Ábra Szuperszonikus külső áramlás esetén a számításos tartomány mérete sokkal kisebb lehet, mint szubszonikus áramlásnál, mivel az információ (azaz a nyomáshullámok) csak hátrafelé terjedhetnek. A fenti képen a háló, míg az alsón a Mach kontúrok láthatóak egy olyan lökéshullám esetében, amely 10 fokos ék körül keletkezik Mach 2 sebességnél. 21
22 Ábra Mach kontúrok egy szuperszonikus áramlásba helyezett szárnyprofil körül. Figyeljük meg, hogy az áramlás zavartalan a szárnyprofil előtt mivel információ csak hátrafele terjedhet. Ez teszi lehetővé, hogy sokkal kisebb számításos domént használjunk, mint a szubszonikus áramlásba helyezett szárnyprofil esetében, ahogy azt a ábrán láthattuk (az ábrán látható felület ettől függetlenül nem okvetlen egyezik a domén nagyságával). SÍKFELÜLET: Az olyan esetekben, ahol egy síkfelület körüli áramlást oldjuk meg, sok CFD szoftver megköveteli egy extra belépő blokk használatát, amely a hattárréteg rendes kifejlődéséhez szükséges. Enélkül a blokk nélkül szingularitás problémákat észlelhetünk, a síkfelület legelső pontjában azáltal, hogy két ellentmondó peremfeltételt szabunk meg erre a pontra: egy véges sebességet a távoltéri peremfeltétel alapján ( farfield boundary condition ), valamint nulla sebbességet a fal peremfeltétel alapján ( wall boundary condition ). Ha ezt az ellentmondást nem tudja kezelni a szoftver, akkor könnyen felrobban a számítás. [n81] Ábra Síkfelület körüli számításos domén. 22
23 HÁLÓTÍPUSOK: Szárnyprofilokra többfajta megszokott háló-topológia használata vált szokásossá, pl. O-háló, C-háló, C-H háló, stb. Ezek a nevüket az alakjukból származtatják, azaz egy O-háló kör topológiát követ, stb. Az alábbi ábrák szemléltetik mindezt. Ábra O-háló topológiája. Ábra C-háló topológiája. Ábra C-H háló topológiája. 23
24 2D HÁLÓK: Egy 2D CFD oldóban (pl. CFX-Fluent) a háló egyszerűen csak síkháló lehet (azaz, az x-y síkban fekvő háló). Egy 3D oldóban, amelynek nincs 2D modulja (mint pl. az ANSYS-CFX) a 2D eseteket úgy lehet megoldani, hogy szimmetria peremfeltételeket alkalmazunk a 3D háló első és hátsó élein. Ilyen esetekben ajánlott, hogy a domén 1 cella széles legyen a z-irányban a strukturált hálók esetében, ahol HEXAHÉDER ( HEXAHEDRON ) elemeket használunk. Nem strukturált hálók esetében próbáljunk meg PRIZMATIKUS ( PRISM ) cellákat használni (lásd a 8.5 szakaszt), vagy ha ez nem megengedett a hálógenerátor által, akkor 2-4 rétegnyi TETRAHÉDER ( TETRAHEDRON ) elemet. [n83] Ábra D számításos domén 2D szimuláláshoz: a z-irányban mindössze 1 cella vastagságot alkalmazhatunk, ha ezt a szoftver lehetővé teszi. TENGELYSZIMMETRIKUS ESETEK ( AXISYMMETRIC CASES ): Egy 2D modullal rendelkező CFD szoftverben általában lehetséges tengelyszimmetrikus szimulációk beállítása is. A tengelyszimmetrikus szimulációk esetében a 2D alapegyenletek további kifejezésekkel vannak kibővítve, amelyek a radiális irányú áramlás hatását szimulálják. Ennek eredményeként pl. a lökéshullám távolsága egy 2D hálón más lesz tengelyszimmetrikus szimuláció esetén mint egy 2D síkbeli geometria szimulálása esetén (lásd a 8.33 ábrát). [n84] Ábra D (balra) és tengelyszimmetrikus (jobbra) szimulációk ugyanazon a hálón. A dupla vonalak a lökéshullámok várható helyét mutatják szuperszonikus áramlás esetén. A lökéshullámok távolsága szuperszonikus áramlás esetén mindig kisebb lesz a tengelyszimmetrikus esetben. 24
25 2) Cellaszám és sűrűség Általános szabály: tömörítsük a cellákat ott, ahol a folyadéktulajdonságok nagy gradienseket mutatnak. HÁLÓTÖMÖRÍTÉS A HATÁRRÉTEGBEN: n85] - legyen legalább 10~15 cella a határrétegben (20 még jobb ) - használjunk folyamatosan bővülő hálót a falhoz normal irányban - a bővülés mértéke ( expansion ratio ) kb. 1.2~1.5 körül kellene, hogy legyen (sok szoftver nem képes ennél nagyobb bővüléssel megbirkózni) y j y j 1 (1.2 ~ 1.5) - használjunk változó hálósűrűséget hosszanti irányban olyan esetekben, határréteg leválás vagy újratapadás lép fel a fal mentén. Ne feledjük: ott sűrítsük a cellákat, ahol a gardiensek várhatóak. Ábra Irányvonalak a határrétegben való hálózás felállítására. - a falnál levő első cella magassága: - LAMINÁRIS HATÁRRÉTEG: tapasztalat alapján és úgy, hogy kb. 15 cella legyen a határrétegben - TURBULENS HATÁRRÉTEG.: y p + = (1~10) a falfüggvény nélküli turbulens modellekhez, y p + > 30 falfüggvénnyel rendelkező modellekhez 25
26 MEGJEGYZÉSEK: - mindig ellenőrizzük a sebesség-vektorok megjelenítésével, hogy pontosan mennyi cellánk van a határrétegben. - nagysebességű áramlások esetében a sebesség-határréteg és hőmérséklet-határréteg különböző vastagságú lehet - inviszkóz számítások esetében nem szükséges pontokat sűríteni a fal mentén. A számítások hatékonysága végett ajánlott különböző hálókat használni az Euler és Navier-Stokes szimulációk elvégzéséhez. HÁLÓSŰRÍTÉS MÁSHOL: - helyileg finomítsuk a hálót a nagy gradiensekkel rendelkező régiókban, azaz pl. lökéshullámok, nyírórétegek, csúszóvonalak mentén, stb. - a diszkontinuitások (pl. lökéshullámok) a CFD-ben általában 3 cellán keresztül vannak megoldva (vagy inkább szétkenődve ) egy térbelileg 2- ik rangú oldóban - o a valós életben, a lökéshullámok papírvékonyak (~0.2 mm) o egy jó CFD szimulációban éles, vékony lökéshullámoknak kellene lenniük - több iterációra is szükség lehet a hálógenerálás megoldás áramlás vizuálása körben, amíg egy elfogadható hálótopológiát sikerül megalkotnunk. CELLASZÁM: - egy elfogadható irányelv, hogy: ~ cellát használjunk 2D problémához - min ~ 1 millió cella 3D problémához - Large Eddy Simulation (LES) általában 2~6 millió cella nagyságú hálót is igényelhet 2D-ben - a Direct Numerical Simulation (DNS) tipikusan akár 10~12 millió cellát is igényelhet - nyugodtan használhatunk nagyon nagy cellákat messze a vizsgált testtől (a test karakterisztikus hosszától is nagyobbakat), ezek a cellák azért vannak, hogy teret adjunk az áramlásnak, nem nem pedig a finom felbontás cáljából: 26
27 [n86] A cella méretek a peremeknél akár még a szárnyprofil húrhosszától is nagyobbak lehetnek. Ábra Teret adni az áramlásnak annyit jelent, mint hogy a cellák mérete a peremek mentén akár még a vizsgált test hosszát is felülmúlhatják. HÁLÓFINOMÍTÁSI TANULMÁNYOK (a verifikáció lépéshez): - próbáljunk meg 3 háló-szintet létrehozni: MÉDIUM háló: RITKA háló: SŰRŰ háló: - válasszunk egy hálósűróséget a fenti iránymutatók alapján - távolítsunk el minden második hálóvonalat, ez - 4 x kevesebb cellához vezet 2D-ben - 8 x kevesebb celláhz vezet 3D-ben - duplázzuk meg a hálóvonalak számát minden irányban, ez - 4 x több cellát jelent 2D-ben - 8 x több cellát jelent 3D-ben - nem-strukturált hálókon a hálóvonalak megfelezése vagy megduplázása nem működik, ezért törekedjünk a következő 2 paraméter együttes ellenőrzésére: o az elem oldalhossza (próbáljuk meg felezni vagy duplázni ezt) o teljes cellaszám (és nem csomópont szám!!!) (törekedjünk 4x több vagy 4x kevesebb cellaszámra 2D-ben, vagy 8x több és 8x kevesebb cellaszámra 3D-ben) o ezeket az irányvonalakat valószínűleg nem lehet pontosan tartani, csak megközelíteni 27
28 - turbulens modellezés esetében figyeljünk arra, hogy az y p + > 30 ajánlást minden hálósűrűségnél tartsuk akkor, ha falfüggvényt alkalmazunk. - hálókonvergencia azt jelenti, hogy az áramlás megoldása nem változik többé még akkor sem, ha tovább finomítjuk a hálót, azaz olyan MÉDIUM és SŰRŰ hálók sorozatát keressük, amelyek ugyanazt a megoldást adják. - optimum hálósűrűség azt jelenti, hogy a MÉDIUM háló nem sűrűbb annaál a minimum megkívánt szintnél, amelyen az áramlás lényegi jellemzőit meg tudjuk oldani. Más szóval: a RITKA és MÉDIUM hálók megoldásai különbözőek. 28
Technikai áttekintés SimDay 2013. H. Tóth Zsolt FEA üzletág igazgató
Technikai áttekintés SimDay 2013 H. Tóth Zsolt FEA üzletág igazgató Next Limit Technologies Alapítva 1998, Madrid Számítógépes grafika Tudományos- és mérnöki szimulációk Mottó: Innováció 2 Kihívás Technikai
RészletesebbenOverset mesh módszer alkalmazása ANSYS Fluent-ben
Overset mesh módszer alkalmazása ANSYS Fluent-ben Darázs Bence & Laki Dániel 2018.05.03. www.econengineering.com1 Overset / Chimaera / Overlapping / Composite 2018.05.03. www.econengineering.com 2 Khimaira
Részletesebben6. TURBULENS MODELLEZÉS A CFD-BEN
6. TURBULENS MODELLEZÉS A CFD-BEN Mi is a turbulencia? A turbulens áramlás a viszkóz áramlások egyik fajtája (3 fajta viszkóz áramlás létezik: lamináris, átmeneti és turbulens). Turbulens áramlás esetén
RészletesebbenFluid-structure interaction (FSI)
Fluid-structure interaction (FSI) Készítette: Bárdossy Gergely tanársegéd 1111, Budapest, Műegyetem rkp. 3. D ép. 3. em Tel: 463 16 80 Fax: 463 30 91 www.hds.bme.hu Tartalom Bevezetés, alapfogalmak Áramlás
RészletesebbenSZIMULÁCIÓ ÉS MODELLEZÉS AZ ANSYS ALKALMAZÁSÁVAL
SZIMULÁCIÓ ÉS MODELLEZÉS AZ ANSYS ALKALMAZÁSÁVAL MAGYAR TUDOMÁNY NAPJA KONFERENCIA 2010 GÁBOR DÉNES FŐISKOLA CSUKA ANTAL TARTALOM A KÍSÉRLET ÉS MÉRÉS JELENTŐSÉGE A MÉRNÖKI GYAKORLATBAN, MECHANIKAI FESZÜLTSÉG
RészletesebbenSZAKDOLGOZAT VIRÁG DÁVID
SZAKDOLGOZAT VIRÁG DÁVID 2010 Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Gépészmérnöki Kar Áramlástan Tanszék SZÁRNY KÖRÜLI TURBULENS ÁRAMLÁS NUMERIKUS SZIMULÁCIÓJA NYÍLT FORRÁSKÓDÚ SZOFTVERREL VIRÁG
RészletesebbenA végeselem módszer alapjai. 2. Alapvető elemtípusok
A végeselem módszer alapjai Előadás jegyzet Dr. Goda Tibor 2. Alapvető elemtípusok - A 3D-s szerkezeteket vagy szerkezeti elemeket gyakran egyszerűsített formában modellezzük rúd, gerenda, 2D-s elemek,
RészletesebbenHÍDTARTÓK ELLENÁLLÁSTÉNYEZŐJE
HÍDTARTÓK ELLENÁLLÁSTÉNYEZŐJE Csécs Ákos * - Dr. Lajos Tamás ** RÖVID KIVONAT A Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Hidak és Szerkezetek Tanszéke megbízta a BME Áramlástan Tanszékét az M8-as
RészletesebbenÍrja fel az általános transzportegyenlet integrál alakban! Definiálja a konvektív és konduktív fluxus fogalmát!
Írja fel az általános transzportegyenlet integrál alakban! Definiálja a konvektív és konduktív fluxus fogalmát! Írja fel az általános transzportegyenletet differenciál alakban! Milyen mennyiségeket képviselhet
RészletesebbenTERMÉKTERVEZÉS NUMERIKUS MÓDSZEREI. 1. Bevezetés
TERMÉKTERVEZÉS NUMERIKUS MÓDSZEREI Dr. Goda Tibor egyetemi docens Gép- és Terméktervezés Tanszék 1. Bevezetés 1.1. A végeselem módszer alapjai - diszkretizáció, - szerkezet felbontása kicsi szabályos elemekre
RészletesebbenA mikroskálájú modellek turbulencia peremfeltételeiről
A mikroskálájú modellek turbulencia peremfeltételeiről Adjunktus Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Gépészmérnöki Kar Áramlástan Tanszék 27..23. 27..23. / 7 Általános célú CFD megoldók alkalmazása
RészletesebbenInfobionika ROBOTIKA. X. Előadás. Robot manipulátorok II. Direkt és inverz kinematika. Készült a HEFOP P /1.0 projekt keretében
Infobionika ROBOTIKA X. Előadás Robot manipulátorok II. Direkt és inverz kinematika Készült a HEFOP-3.3.1-P.-2004-06-0018/1.0 projekt keretében Tartalom Direkt kinematikai probléma Denavit-Hartenberg konvenció
RészletesebbenNumerikus szimuláció a városklíma vizsgálatokban
Numerikus szimuláció a városklíma vizsgálatokban BME Áramlástan Tanszék 2004. 1 Tartalom 1. Miért használunk numerikus szimulációt? 2. A numerikus szimuláció alapjai a MISKAM példáján 3. Egy konkrét MISKAM
RészletesebbenRobotok inverz geometriája
Robotok inverz geometriája. A gyakorlat célja Inverz geometriai feladatot megvalósító függvények implementálása. A megvalósított függvénycsomag tesztelése egy kétszabadságfokú kar előírt végberendezés
RészletesebbenSzennyezőanyagok terjedésének numerikus szimulációja, MISKAM célszoftver
Szennyezőanyagok terjedésének numerikus szimulációja, MISKAM célszoftver 1. A numerikus szimulációról általában A szennyeződés-terjedési modellek numerikus megoldása A szennyeződés-terjedési modellek transzportegyenletei
RészletesebbenMolekuláris dinamika I. 10. előadás
Molekuláris dinamika I. 10. előadás Miről is szól a MD? nagy részecskeszámú rendszerek ismerjük a törvényeket mikroszkópikus szinten minden részecske mozgását szimuláljuk? Hogyan tudjuk megérteni a folyadékok,
RészletesebbenCFX számítások a BME NTI-ben
CFX számítások a BME NTI-ben Dr. Aszódi Attila igazgató, egyetemi docens BME Nukleáris Technikai Intézet CFD Workshop, 2005. április 18. Dr. Aszódi Attila, BME NTI CFD Workshop, 2005. április 18. 1 Hűtőközeg-keveredés
RészletesebbenBiomechanika előadás: Háromdimenziós véráramlástani szimulációk
Biomechanika előadás: Háromdimenziós véráramlástani szimulációk Benjamin Csippa 1111, Budapest, Műegyetem rkp. 3. D ép. 3. em www.hds.bme.hu Tartalom Mire jó a CFD? 3D szimuláció előállítása Orvosi képtől
RészletesebbenRobotika. Kinematika. Magyar Attila
Robotika Kinematika Magyar Attila amagyar@almos.vein.hu Miről lesz szó? Bevezetés Merev test pozíciója és orientációja Rotáció Euler szögek Homogén transzformációk Direkt kinematika Nyílt kinematikai lánc
RészletesebbenBME HDS CFD Tanszéki beszámoló
BME HDS CFD Tanszéki beszámoló Hős Csaba csaba.hos@hds.bme.hu Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem CFD Workshop, 2007. június 20. p.1/16 Áttekintés Nyíltfelszínű áramlások Csatornaáramlások,
RészletesebbenAz egyenes ellipszishenger ferde síkmetszeteiről
1 Az egyenes ellipszishenger ferde síkmetszeteiről Vegyünk egy a és b féltengelyekkel bíró ellipszist a vezérgörbét, majd az ellipszis O centrumában állítsunk merőlegest az ellipszis síkjára. Ez a merőleges
RészletesebbenKapcsolt aeroakusztika számítások
Kapcsolt aeroakusztika számítások Vaik István BME-HDR Miről lesz szó? 1 Aeroakusztika, Áramlás-Akusztika kapcsolat 2 Egy kapcsolt hibrid szimuláció lépései 3 Lépésről lépésre - az Élhang példáján keresztül
RészletesebbenPélda: Tartó lehajlásfüggvényének meghatározása végeselemes módszer segítségével
Példa: Tartó lehajlásfüggvényének meghatározása végeselemes módszer segítségével Készítette: Dr. Kossa Attila (kossa@mm.bme.hu) BME, Műszaki Mechanikai Tanszék 213. október 8. Javítva: 213.1.13. Határozzuk
RészletesebbenGázturbina égő szimulációja CFD segítségével
TEHETSÉGES HALLGATÓK AZ ENERGETIKÁBAN AZ ESZK ELŐADÁS-ESTJE Gázturbina égő szimulációja CFD segítségével Kurucz Boglárka Gépészmérnök MSc. hallgató kurucz.boglarka@eszk.org 2015. ÁPRILIS 23. Tartalom Bevezetés
Részletesebbenidőpont? ütemterv számonkérés segédanyagok
időpont? ütemterv számonkérés segédanyagok 1. Bevezetés Végeselem-módszer Számítógépek alkalmazása a szerkezettervezésben: 1. a geometria megadása, tervkészítés, 2. műszaki számítások: - analitikus számítások
Részletesebben2015. évi Bolyai János Megyei Matematikaverseny MEGOLDÁSI ÉS ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ 12. évfolyam
01. évi Bolyai János Megyei Matematikaverseny MEGOLDÁSI ÉS ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ 1. évfolyam A közölt megoldási utak a feladatoknak nem az egyetlen helyes megoldási módját adják meg, több eltérő megoldás
RészletesebbenKeresztmetszet másodrendű nyomatékainak meghatározása
BUDAPEST MŰSZAK ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNY EGYETEM Keresztmetszet másodrendű nyomatékainak meghatározása Segédlet a Szilárdságtan c tárgy házi feladatához Készítette: Lehotzky Dávid Budapest, 205 február 28 ábra
Részletesebben3 Technology Ltd Budapest, XI. Hengermalom 14 3/24 1117. Végeselem alkalmazások a tűzvédelmi tervezésben
1117 Végeselem alkalmazások a tűzvédelmi tervezésben 1117 NASTRAN végeselem rendszer Általános végeselemes szoftver, ami azt jelenti, hogy nem specializálták, nincsenek kimondottam valamely terület számára
Részletesebbenλ 1 u 1 + λ 2 v 1 + λ 3 w 1 = 0 λ 1 u 2 + λ 2 v 2 + λ 3 w 2 = 0 λ 1 u 3 + λ 2 v 3 + λ 3 w 3 = 0
Vektorok a térben Egy (v 1,v 2,v 3 ) valós számokból álló hármast vektornak nevezzünk a térben (R 3 -ban). Használni fogjuk a v = (v 1,v 2,v 3 ) jelölést. A v 1,v 2,v 3 -at a v vektor komponenseinek nevezzük.
RészletesebbenVégeselem modellezés alapjai 1. óra
Végeselem modellezés alapjai. óra Gyenge alak, Tesztfüggvény, Lagrange-féle alakfüggvény, Stiness mátrix Kivonat Az óra célja, hogy megismertesse a végeselem módszer (FEM) alkalmazását egy egyszer probléma,
RészletesebbenArtériás véráramlások modellezése
Artériás véráramlások modellezése Csippa Benjamin 1111, Budapest, Műegyetem rkp. 3. D ép. 3. em www.hds.bme.hu Előadás tartalma Bevezetés Aneurizmák Modellezési lehetőségek Orvosi képfeldolgozás Numerikus
RészletesebbenGauss-Seidel iteráció
Közelítő és szimbolikus számítások 5. gyakorlat Iterációs módszerek: Jacobi és Gauss-Seidel iteráció Készítette: Gelle Kitti Csendes Tibor Somogyi Viktor London András Deák Gábor jegyzetei alapján 1 ITERÁCIÓS
RészletesebbenSzá molá si feládáttí pusok á Ko zgázdásá gtán I. (BMEGT30A003) tá rgy zá rthelyi dolgozátá hoz
Szá molá si feládáttí pusok á Ko zgázdásá gtán I. (BMEGT30A003) tá rgy zá rthelyi dolgozátá hoz 1. feladattípus a megadott adatok alapján lineáris keresleti, vagy kínálati függvény meghatározása 1.1. feladat
RészletesebbenA LÉGKÖRBEN HATÓ ERŐK, EGYENSÚLYI MOZGÁSOK A LÉGKÖRBEN
A LÉGKÖRBEN HATÓ ERŐK, EGYENSÚLYI MOZGÁSOK A LÉGKÖRBEN Egy testre ható erő, a más testekkel való kölcsönhatás mértékére jellemző fizikai mennyiség. A légkörben ható erők Külső erők: A Föld tömegéből következő
RészletesebbenArtériás véráramlások modellezése
Artériás véráramlások modellezése Csippa Benjamin 1111, Budapest, Műegyetem rkp. 3. D ép. 3. em www.hds.bme.hu Előadás tartalma Bevezetés Aneurizmák Modellezési lehetőségek Orvosi képfeldolgozás Numerikus
RészletesebbenKinematika szeptember Vonatkoztatási rendszerek, koordinátarendszerek
Kinematika 2014. szeptember 28. 1. Vonatkoztatási rendszerek, koordinátarendszerek 1.1. Vonatkoztatási rendszerek A test mozgásának leírása kezdetén ki kell választani azt a viszonyítási rendszert, amelyből
RészletesebbenA gradiens törésmutatójú közeg I.
10. Előadás A gradiens törésmutatójú közeg I. Az ugrásszerű törésmutató változással szemben a TracePro-ban lehetőség van folytonosan változó törésmutatójú közeg definiálására. Ilyen érdekes típusú közegek
Részletesebben10. Koordinátageometria
I. Nulladik ZH-ban láttuk: 0. Koordinátageometria. Melyek azok a P x; y pontok, amelyek koordinátái kielégítik az Ábrázolja a megoldáshalmazt a koordináta-síkon! x y x 0 egyenlőtlenséget? ELTE 00. szeptember
RészletesebbenKoordinátageometria. , azaz ( ) a B halmazt pontosan azok a pontok alkotják, amelynek koordinátáira:
005-0XX Emelt szint Koordinátageometria 1) a) Egy derékszögű háromszög egyik oldalegyenese valamelyik koordinátatengely, egy másik oldalegyenesének egyenlete x + y = 10, egyik csúcsa az origó. Hány ilyen
RészletesebbenTartószerkezet-rekonstrukciós Szakmérnöki Képzés
1_1. Bevezetés Végeselem-módszer Számítógépek alkalmazása a szerkezettervezésben: 1. a geometria megadása, tervkészítés, 2. mőszaki számítások: - analitikus számítások gyorsítása, az eredmények grafikus
RészletesebbenKoordináta-geometria feladatok (emelt szint)
Koordináta-geometria feladatok (emelt szint) 1. (ESZÉV Minta (2) 2004.05/7) Egy ABC háromszögben CAB = 30, az ACB = 45. A háromszög két csúcsának koordinátái: A(2; 2) és C(4; 2). Határozza meg a harmadik
RészletesebbenHálózat hidraulikai modell integrálása a Soproni Vízmű Zrt. térinformatikai rendszerébe
Hálózat hidraulikai modell integrálása a térinformatikai rendszerébe Hálózathidraulikai modellezés - Szakmai nap MHT Vízellátási Szakosztály 2015. április 9. Térinformatikai rendszer bemutatása Működési
RészletesebbenNavigáci. stervezés. Algoritmusok és alkalmazásaik. Osváth Róbert Sorbán Sámuel
Navigáci ció és s mozgástervez stervezés Algoritmusok és alkalmazásaik Osváth Róbert Sorbán Sámuel Feladat Adottak: pálya (C), játékos, játékos ismerethalmaza, kezdőpont, célpont. Pálya szerkezete: akadályokkal
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT 1) Adott két pont: A 4; 1 felezőpontjának koordinátáit! AB felezőpontja legyen F. Koordináta-geometria és B 3 1; Írja fel az AB szakasz 1 3 4
RészletesebbenTermék modell. Definíció:
Definíció: Termék modell Összetett, többfunkciós, integrált modell (számítógépes reprezentáció) amely leír egy műszaki objektumot annak különböző életfázis szakaszaiban: tervezés, gyártás, szerelés, szervízelés,
RészletesebbenMatematikai geodéziai számítások 10.
Matematikai geodéziai számítások 10. Hibaellipszis, talpponti görbe és közepes ponthiba Dr. Bácsatyai, László Matematikai geodéziai számítások 10.: Hibaellipszis, talpponti görbe és Dr. Bácsatyai, László
RészletesebbenProgramozási nyelvek 2. előadás
Programozási nyelvek 2. előadás Logo forgatás tétel Forgatás tétel Ha az ismétlendő rész T fok fordulatot végez és a kezdőhelyére visszatér, akkor az ismétlések által rajzolt ábrák egymás T fokkal elforgatottjai
RészletesebbenGyőri HPC kutatások és alkalmazások
Győri HPC kutatások és alkalmazások dr. Horváth Zoltán dr. Környei László Fülep Dávid Széchenyi István Egyetem Matema5ka és Számítástudomány Tanszék 1 HPC szimulációk az iparban Feladat: Rába- futómű terhelés
RészletesebbenLehet hogy igaz, de nem biztos. Biztosan igaz. Lehetetlen. A paralelogrammának van szimmetria-középpontja. b) A trapéznak két szimmetriatengelye van.
Geometria, sokszögek, szögek, -, 2004_01/5 Lili rajzolt néhány síkidomot: egy háromszöget, egy deltoidot, egy paralelogrammát és egy trapézt. A következő állítások ezekre vonatkoznak. Tegyél * jelet a
RészletesebbenA CFD elemzés minőségéről és megbízhatóságáról. Modell fejlesztési folyamata. A közelítési rendszer. Dr. Kristóf Gergely Október 11.
A CFD elemzés minőségéről és megbízhatóságáról Dr. Kristóf Gergely 2016. Október 11. Modell fejlesztési folyamata I. Ellenőrzés: Jól oldjuk-e meg a leíró egyenleteket? Teljesülnek-e az elvárt konvergencia
Részletesebben8. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, , oldal. 8. előadás Mátrix rangja, Homogén lineáris egyenletrendszer
8. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 51. 56., 70. 74. oldal. Gondolkodnivalók Elemi bázistranszformáció 1. Gondolkodnivaló Most ne vegyük figyelembe, hogy az elemi bázistranszformáció során ez
RészletesebbenAz elliptikus hengerre írt csavarvonalról
1 Az elliptikus hengerre írt csavarvonalról Erről viszonylag ritkán olvashatunk, ezért most erről lesz szó. Az [ 1 ] munkában találtuk az alábbi részt 1. ábra. 1. ábra Itt a ( c ) feladat és annak megoldása
RészletesebbenSzélsőérték feladatok megoldása
Szélsőérték feladatok megoldása A z = f (x,y) függvény lokális szélsőértékének meghatározása: A. Szükséges feltétel: f x (x,y) = 0 f y (x,y) = 0 egyenletrendszer megoldása, amire a továbbiakban az x =
RészletesebbenGauss elimináció, LU felbontás
Közelítő és szimbolikus számítások 3. gyakorlat Gauss elimináció, LU felbontás Készítette: Gelle Kitti Csendes Tibor Somogyi Viktor London András Deák Gábor jegyzetei alapján 1 EGYENLETRENDSZEREK 1. Egyenletrendszerek
RészletesebbenMinimum követelmények matematika tantárgyból 11. évfolyamon
Minimum követelmények matematika tantárgyból. évfolyamon A hatványozás általánosítása pozitív alap esetén racionális kitevőre. Műveletek hatványokkal. A, a 0 függvény. Az eponenciális függvény. Vizsgálata
RészletesebbenSzámítási feladatok a Számítógépi geometria órához
Számítási feladatok a Számítógépi geometria órához Kovács Zoltán Copyright c 2012 Last Revision Date: 2012. október 15. kovacsz@nyf.hu Technikai útmutató a jegyzet használatához A jegyzet képernyőbarát
RészletesebbenGeometria. a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk)
1. Térelemek Geometria a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk) b. Def: félegyenes, szakasz, félsík, féltér. c. Kölcsönös helyzetük: i. pont és (egyenes vagy
RészletesebbenBolyai János Matematikai Társulat. 1. Az a és b valós számra a 2 + b 2 = 1 teljesül, ahol ab 0. Határozzuk meg az. szorzat minimumát. Megoldás.
Bolyai János Matematikai Társulat Oktatási Minisztérium Alapkezelő Igazgatósága támogatásával Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 005/00-os tanév első iskolai) forduló haladók II. kategória nem speciális
RészletesebbenAx-DL100 - Lézeres Távolságmérő
Ax-DL100 - Lézeres Távolságmérő 1. Áttekintés Köszönjük, hogy a mi termékünket választotta! A biztosnágos és megfelelő működés érdekében, kérjük alaposan olvassa át a Qick Start kézikönyvet. A globálisan
RészletesebbenPanorámakép készítése
Panorámakép készítése Képregisztráció, 2009. Hantos Norbert Blaskovics Viktor Összefoglalás Panoráma (image stitching, planar mosaicing): átfedő képek összeillesztése Lépések: Előfeldolgozás (pl. intenzitáskorrekciók)
RészletesebbenNÉMETH LÁSZLÓ VÁROSI MATEMATIKA VERSENY 2014 HÓDMEZŐVÁSÁRHELY OSZTÁLY ÁPRILIS 7.
1. Falióránk három mutatója közül az egyik az órát, a másik a percet, harmadik a másodpercet mutatja. Egy bolha ráugrik déli órakor a másodpercmutatóra és megkezdi egy órás körutazását. Ha fedésbe kerül
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett
RészletesebbenM. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak!
Magyar Ifjúság 6 V SOROZATOK a) Három szám összege 76 E három számot tekinthetjük egy mértani sorozat három egymás után következő elemének vagy pedig egy számtani sorozat első, negyedik és hatodik elemének
Részletesebbenegyenletrendszert. Az egyenlő együtthatók módszerét alkalmazhatjuk. sin 2 x = 1 és cosy = 0.
Magyar Ifjúság. X. TRIGONOMETRIKUS FÜGGVÉNYEK A trigonometrikus egyenletrendszerek megoldása során kísérletezhetünk új változók bevezetésével, azonosságok alkalmazásával, helyettesítő módszerrel vagy más,
RészletesebbenParciális differenciálegyenletek numerikus módszerei számítógépes alkalmazásokkal Karátson, János Horváth, Róbert Izsák, Ferenc
Karátson, János Horváth, Róbert Izsák, Ferenc numerikus módszerei számítógépes írta Karátson, János, Horváth, Róbert, és Izsák, Ferenc Publication date 2013 Szerzői jog 2013 Karátson János, Horváth Róbert,
RészletesebbenMolekuláris dinamika. 10. előadás
Molekuláris dinamika 10. előadás Mirőlis szól a MD? nagy részecskeszámú rendszerek ismerjük a törvényeket mikroszkópikus szinten? Hogyan tudjuk megérteni a folyadékok, gázok, szilárdtestek makroszkópikus
RészletesebbenCsatlakozás a végeselem modulhoz SolidWorks-ben
Csatlakozás a végeselem modulhoz SolidWorks-ben Meglévő alkatrész vagy összeállítás modellt ellenőrizhetünk különböző terhelési esetekben a CAD rendszer végeselem moduljával ( SolidWorks Simulation ).
RészletesebbenGörbe- és felületmodellezés. Szplájnok Felületmodellezés
Görbe- és felületmodellezés Szplájnok Felületmodellezés Spline (szplájn) Spline: Szakaszosan, parametrikus polinomokkal leírt görbe A spline nevét arról a rugalmasan hajlítható vonalzóról kapta, melyet
RészletesebbenHenger és kúp metsződő tengelyekkel
Henger és kúp metsződő tengelyekkel Ebben a dolgozatban egy forgáshenger és egy forgáskúp áthatását tanulmányozzuk abban az egyszerűbb esetben, amikor a két test tengelye egyazon síkban fekszik, vagyis
RészletesebbenGauss-Jordan módszer Legkisebb négyzetek módszere, egyenes LNM, polinom LNM, függvény. Lineáris algebra numerikus módszerei
A Gauss-Jordan elimináció, mátrixinvertálás Gauss-Jordan módszer Ugyanazzal a technikával, mint ahogy a k-adik oszlopban az a kk alatti elemeket kinulláztuk, a fölötte lévő elemeket is zérussá lehet tenni.
RészletesebbenAktuális CFD projektek a BME NTI-ben
Aktuális CFD projektek a BME NTI-ben Dr. Aszódi Attila igazgató, egyetemi docens BME Nukleáris Technikai Intézet CFD Workshop, 2005. szeptember 27. CFD Workshop, 2005. szeptember 27. Dr. Aszódi Attila,
RészletesebbenFirst Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Többváltozós függvények (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Egyváltozós függvények esetén a differenciálhatóságból következett a folytonosság. Fontos tudni, hogy abból, hogy egy
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata
Részletesebben1. feladatsor: Vektorterek, lineáris kombináció, mátrixok, determináns (megoldás)
Matematika A2c gyakorlat Vegyészmérnöki, Biomérnöki, Környezetmérnöki szakok, 2017/18 ősz 1. feladatsor: Vektorterek, lineáris kombináció, mátrixok, determináns (megoldás) 1. Valós vektorterek-e a következő
RészletesebbenA LÉGKÖRBEN HATÓ ERŐK, EGYENSÚLYI MOZGÁSOK A LÉGKÖRBEN
A LÉGKÖRBEN HATÓ ERŐK, EGYENSÚLYI MOZGÁSOK A LÉGKÖRBEN Egy testre ható erő, a más testekkel való kölcsönhatás mértékére jellemző fizikai mennyiség. A légkörben ható erők Külső erők: A Föld tömegéből következő
RészletesebbenAz egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:
Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x
RészletesebbenBonded és No Separation
Bonded és No Separation Kun Péter Z82ADC Bonded A bonded contact magyarul kötöttséget, kötött érintkezést jelent. Két olyan alkatrészről van szó, amelyek érintkezési felületeiken nem tudnak elválni egymástól,
RészletesebbenÉrettségi feladatok Koordinátageometria_rendszerezve / 5
Érettségi feladatok Koordinátageometria_rendszerezve 2005-2013 1/ 5 Vektorok 2005. május 28./12. Adottak az a (4; 3) és b ( 2; 1) vektorok. a) Adja meg az a hosszát! b) Számítsa ki az a + b koordinátáit!
RészletesebbenTartószerkezet-rekonstrukciós Szakmérnöki Képzés
1_5. Bevezetés Végeselem-módszer Végeselem-módszer 1. A geometriai tartomány (szerkezet) felosztása (véges)elemekre.. Lokális koordináta-rendszer felvétele, kapcsolat a lokális és globális koordinátarendszerek
Részletesebben6. MECHANIKA-STATIKA GYAKORLAT Kidolgozta: Triesz Péter egy. ts. Négy erő egyensúlya, Culmann-szerkesztés, Ritter-számítás
ZÉHENYI ITVÁN EGYETE GÉPZERKEZETTN É EHNIK TNZÉK 6. EHNIK-TTIK GYKORLT Kidolgozta: Triesz Péter egy. ts. Négy erő egyensúlya ulmann-szerkesztés Ritter-számítás 6.. Példa Egy létrát egy verembe letámasztunk
RészletesebbenFelső végükön egymásra támaszkodó szarugerendák egyensúlya
1 Felső végükön egymásra támaszkodó szarugerendák egyensúlya Az [ 1 ] példatárban találtunk egy érdekes feladatot, melynek egy változatát vizsgáljuk meg itt. A feladat Ehhez tekintsük az 1. ábrát! 1. ábra
RészletesebbenÁramlástan kidolgozott 2016
Áramlástan kidolgozott 2016 1) Ismertesse a lokális és konvektív gyorsulás fizikai jelentését, matematikai leírását, továbbá Navier-Stokes egyenletet! 2) Írja fel a kontinuitási egyenletet! Hogyan egyszerűsödik
RészletesebbenPárhuzamos programozási feladatok
Párhuzamos programozási feladatok BMF NIK 2008. tavasz B. Wilkinson és M. Allen oktatási anyaga alapján készült Gravitációs N-test probléma Fizikai törvények alapján testek helyzetének, mozgásjellemzőinek
RészletesebbenEgyenes és sík. Wettl Ferenc szeptember 29. Wettl Ferenc () Egyenes és sík szeptember / 15
Egyenes és sík Wettl Ferenc 2006. szeptember 29. Wettl Ferenc () Egyenes és sík 2006. szeptember 29. 1 / 15 Tartalom 1 Egyenes és szakasz Egyenes Szakasz Egyenesvonalú egyenletes mozgás Egyenes és pont
RészletesebbenTájékoztató. Értékelés Összesen: 60 pont
A 10/2007 (II. 27.) SzMM rendelettel módosított 1/2006 (II. 17.) OM rendelet Országos Képzési Jegyzékről és az Országos Képzési Jegyzékbe történő felvétel és törlés eljárási rendjéről alapján. Szakképesítés,
RészletesebbenFelhasználói kézikönyv
Felhasználói kézikönyv 5040 Lézeres távolságmérő TARTALOMJEGYZÉK 1. Bevezetés... 2 2. Az elemek cseréje... 2 3. A készülék felépítése... 2 4. Műszaki jellemzők... 3 5. A lézeres távolságmérő bekapcsolása...
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások
Megoldások 1. Tekintsük az alábbi szabályos hatszögben a következő vektorokat: a = AB és b = AF. Add meg az FO, DC, AO, AC, BE, FB, CE, DF vektorok koordinátáit az (a ; b ) koordinátarendszerben! Alkalmazzuk
RészletesebbenFolyami hidrodinamikai modellezés
Folyami hidrodinamikai modellezés Dr. Krámer Tamás egyetemi docens BME Vízépítési és Vízgazdálkodási Tanszék Numerikus modellezés 0D 1D 2D 3D Alacsony Kézi számítások Részletesség és pontosság Bonyolultság
Részletesebben(Solid modeling, Geometric modeling) Testmodell: egy létező vagy elképzelt objektum digitális reprezentációja.
Testmodellezés Testmodellezés (Solid modeling, Geometric modeling) Testmodell: egy létező vagy elképzelt objektum digitális reprezentációja. A tervezés (modellezés) során megadjuk a objektum geometria
RészletesebbenEGY ABLAK - GEOMETRIAI PROBLÉMA
EGY ABLAK - GEOMETRIAI PROBLÉMA Írta: Hajdu Endre A számítógépemhez tartozó két hangfal egy-egy négyzet keresztmetszetű hasáb hely - szűke miatt az ablakpárkányon van elhelyezve (. ábra).. ábra Hogy az
RészletesebbenHŐÁTADÁS MODELLEZÉSE
HŐÁTADÁS MODELLEZÉSE KOHÓMÉRNÖKI MESTERKÉPZÉSI SZAK HŐENERGIAGAZDÁLKODÁSI SZAKIRÁNY TANTÁRGYI KOMMUNIKÁCIÓS DOSSZIÉ MISKOLCI EGYETEM MŰSZAKI ANYAGTUDOMÁNYI KAR TÜZELÉSTANI ÉS HŐENERGIA INTÉZETI TANSZÉK
RészletesebbenTamás Ferenc: Nevezetes szögek szögfüggvényei
Tamás Ferenc: Nevezetes szögek szögfüggvényei A derékszögű háromszögekben könnyedén fel lehet írni a nevezetes szögek szögfüggvényeit. Megjegyezni viszont nem feltétlenül könnyű! Erre van egy könnyen megjegyezhető
RészletesebbenKoordináta-geometria feladatok (középszint)
Koordináta-geometria feladatok (középszint) 1. (KSZÉV Minta (1) 2004.05/I/4) Adott az A(2; 5) és B(1; 3) pont. Adja meg az AB szakasz felezőpontjának koordinátáit! 2. (KSZÉV Minta (2) 2004.05/I/7) Egy
Részletesebben7. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 7. előadás Elemi bázistranszformáció
7. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 57. 61. oldal. Gondolkodnivalók Bázis, dimenzió 1. Gondolkodnivaló Legyenek a v vektor koordinátái a v 1,..., v n bázisban: (1, α 2,..., α n ). Igazoljuk, hogy
RészletesebbenGeometria 1 normál szint
Geometria 1 normál szint Naszódi Márton nmarci@math.elte.hu www.math.elte.hu/ nmarci ELTE TTK Geometriai Tsz. Budapest Geometria 1 p.1/4 Vizsga 1 Írásban, 90 perc. 2 Személyazonosságot igazoló okmány nélkül
RészletesebbenA szabályos sokszögek közelítő szerkesztéséhez
1 A szabályos sokszögek közelítő szerkesztéséhez A síkmértani szerkesztések között van egy kedvencünk: a szabályos n - szög közelítő szerkesztése. Azért vívta ki nálunk ezt az előkelő helyet, mert nagyon
RészletesebbenI. A CFD alkalmazási területei Néhány érdekes korábbi CFD projekt
2005. december 15. I. A CFD alkalmazási területei Néhány érdekes korábbi CFD projekt Kristóf Gergely egyetemi docens BME Áramlástan Tanszék Áramlás katalizátor blokkban /Mercedes-Benz/ Égés hengertérben
RészletesebbenSzívókönyökök veszteségeinek és sebességprofiljainak vizsgálata CFD szimuláció segítségével
GANZ ENGINEERING ÉS ENERGETIKAI GÉPGYÁRTÓ KFT. Szívókönyökök veszteségeinek és sebességprofiljainak vizsgálata CFD szimuláció segítségével Készítette: Bogár Péter Háznagy Gergely Egyed Csaba Zombor Csaba
RészletesebbenNumerikus integrálás
Közelítő és szimbolikus számítások 11. gyakorlat Numerikus integrálás Készítette: Gelle Kitti Csendes Tibor Somogyi Viktor Vinkó Tamás London András Deák Gábor jegyzetei alapján 1. Határozatlan integrál
RészletesebbenA -Y és a Y- átalakítás bemutatása. Kiss László április havában
A -Y és a Y- átalakítás bemutatása Kiss László 2011. április havában -Y átalakítás ohmos ellenállásokra Mint ismeretes, az elektrotechnikai gyakorlatban többször előfordul olyan kapcsolási kép, ami a megszokott
Részletesebben