A Lee-Carter módszer magyarországi

Méret: px

Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "A Lee-Carter módszer magyarországi"

Dániel Kelemen
7 évvel ezelőtt
Látták:

1 A Lee-Carter módszer magyarországi alkalmazása Baran Sándor, Gáll József, Ispány Márton, Pap Gyula Alkalmazott Matematika és Valószínűségszámítás Tanszék, Debreceni Egyetem, Informatikai Kar 1

2 Feladatok: hazai mortalitási adatokra a Lee-Carter modell illesztése előrejelzés, Lee-Carter variánsok vizsgálata, CI, (becslési) hibák Jelölések: m x,t : halálozási ráta (Demográfiai Évkönyv) x: életkor (1,..., 100) t: év ( ) 2

3 Lee-Carter módszer: Lee, R. D., and Carter, L. R Modelling and forcasting the time series of U.S. mortality, Journal of the American Statistical Association 87, no. 419 (September): Lee, R. D The Lee-Carter method for forcasting mortality, with various extensions and applications, North American Actuarial Journal 4, no. 1: Booth, H., Maindonald, J., and Smith, L Age-time interactions in mortality projection: applying Lee-Carter to Australia, Working Paper, The Australian National University Renshaw, A. E., and Haberman, S Lee-Carter mortality forcasting with age-specific enchancement, Insurance: Mathematics and Economic 33:

4 Lee-Carter modell: ln(m x,t ) = a x + b x k t + ε k,t a x : életkori,,fő összetevő k t : halálozási szint a t évben, b x : érzékenység az x életkorban ε x,t N (0, σ ε ): hiba ln(m x,t ) t = b x k t t, 4

5 Nem egyértelmű paraméterek: a x + b x k t = (a x cb x ) + b x (k t + c), a x + b x k t = a x + (cb x )(k t /c), Feltételek: N x=1 b x = 1, T t=1 k t = 0 5

6 Paraméterek becslése: â x = 1 T T t=1 ln(m x,t ) M = ( M x,t ) M x,t := ln(m x,t ) â x ˆb x és ˆk t : SVD (szinguláris felbontás) az M-re, azaz: M = UDV, ˆb x = 1 c U x,1, ˆk t = cd 1,1 V 1,t, ahol c = N x=1 U x,1 6

7 Illesztés és előrejelzés: ˆk t idősorra illesztés (ARIMA), ˆk t, majd mortalitás előrejelzés: ˆm x,t = exp ( ) â x + ˆb xˆk t Megjegyzés: T t=1 ˆk t = 0, ˆk t tipikusan csökkenő, ha ˆb x < 0 akkor a ráta növekvő! Két illesztés: 55 év ( ) és 15 év ( ) alapján 7

8 â x, férfiak 0 Férfiak a x Életkor 8

9 â x, nők 0 Nök a x Életkor 9

10 ˆb x, férfiak 0.14 Férfiak b x (1) Életkor 10

11 ˆb x, nők 0.04 Nök b x (1) Életkor 11

12 További szinguláris értékek használata: M = U DV b (1) x, b (2) x, b (3) x,... k t (1), k t (2), k t (3),... becsléseik: ahol c i = N x=1 U x,i ˆb (i) x = 1 c i U x,i, ˆk (i) t = c i D i,i V i,t, előrejelzés: ˆm x,t = exp â x + i ˆb x (i) ˆk t (i) 12

13 Halálozási szintek (indexek): férfiak (k (1) t, k (2) t, k (3) t ) KTF1 KTF2-20 KTF Sequence number 13

14 Halálozási szintek (indexek): nők (k (1) t, k (2) t, k (3) t ) KTN1-40 KTN2-60 KTN Sequence number 14

15 Idősorok illesztése a halálozási szintekre, példa: k t (1) esete, autokorreláció: KTF1 1,0,5 0,0 -,5 Confidence Limits ACF -1,0 Coefficient Lag Number 15

16 k (1) t esete, parciális autokorreláció: KTF1 1,0,5 0,0 -,5 Confidence Limits Partial ACF -1,0 Coefficient Lag Number 16

17 k (1) t elsőrendű differenciái, autokorreláció: KTF1, diff(1) 1,0,5 0,0 -,5 Confidence Limits ACF -1,0 Coefficient Lag Number Transforms: difference (1) 17

18 k (1) t elsőrendű differenciái, parciális autokorreláció: KTF1, diff(1) 1,0,5 0,0 -,5 Confidence Limits Partial ACF -1,0 Coefficient Lag Number Transforms: difference (1) 18

19 k t (1) -re illesztett néhány (legjobb) modell összefoglalása: ARIMA AIC SBC P (konstans) P (paraméter) (0,1,0) 97,63 99,62, (1,0,0) 124,45 126,45,000 (0,1,1) 95,91 99,89,000,0617 (1,1,0) 95,67 99,65,000,

20 Az elfogadott modellek: 55 év esetén ˆk (1) : ARIMA(0,1,0), negatív konstanstag, ˆk (2) : az elsőrendű diff. fehér zaj, ˆk (3) : ARIMA(0,1,0) (férfiak), ARIMA(1,0,0) (nők) 15 év esetén ˆk (1) : ARIMA(0,1,0), negatív konstanstag, ˆk (2) : ARIMA(1,0,0) (férfiak), fehér zaj (nők), ˆk (3) : fehér zaj, 20

21 További kérdések, megjegyzések: intervallum becslés, hibák: ln(m x,t+s ) = â x + α x + (ˆb x + β x )(ˆk t+s + u t+s ) + ε x,t+s β x szórásbecslése: bootstrap, kevés adat, M véletlenítése, majd SVD kicsi mintaméret, nagy szórások!!! 21

22 Előrejelzések: 1. modell: az eredeti Lee-Carter (1 szinguláris érték használata), 2. modell: 2 szinguláris érték használata, 3. modell: 3 szinguláris érték használata 22

23 55 (minta)év esetén, 25 éves férfi: 4 x éves férfi 3.5 megfigyelt adatok Halálozási ráta modell 2. modell 3. modell Évek 23

24 55 (minta)év esetén, 50 éves férfi: éves férfi megfigyelt adatok 1. modell Halálozási ráta modell 3. modell Évek 24

25 55 (minta)év esetén, 75 éves férfi: éves férfi Halálozási ráta megfigyelt adatok 1. modell 2. modell 3. modell Évek 25

26 55 (minta)év esetén, 25 éves nő: 3 x éves nö 2.5 megfigyelt adatok 1. modell Halálozási ráta modell 3. modell Évek 26

27 55 (minta)év esetén, 50 éves nő: 7.5 x éves nö Halálozási ráta megfigyelt adatok 1. modell 2. modell 3. modell Évek 27

28 55 (minta)év esetén, 75 éves nő: éves nö 0.08 megfigyelt adatok 1. modell Halálozási ráta modell 3. modell Évek 28

29 15 (minta)év esetén, 25 éves férfi: 1.8 x éves férfi megfigyelt adatok 1. modell 2. modell Halálozási ráta Évek 29

30 15 (minta)év esetén, 50 éves férfi: éves férfi megfigyelt adatok 1. modell 2. modell Halálozási ráta Évek 30

31 15 (minta)év esetén, 75 éves férfi: éves férfi 0.08 megfigyelt adatok 1. modell Halálozási ráta modell Évek 31

32 55 év esetén, minden életkorra Férfiak 0.15 Halálozási ráta Életkor Évek

33 15 év esetén, minden életkorra Férfiak Halálozási ráta Életkor Évek

Hasonló dokumentumok

Autoregresszív és mozgóátlag folyamatok. Géczi-Papp Renáta

Autoregresszív és mozgóátlag folyamatok Géczi-Papp Renáta Autoregresszív folyamat Az Y t diszkrét paraméterű sztochasztikus folyamatok k-ad rendű autoregresszív folyamatnak nevezzük, ha Y t = α 1 Y t 1