Előfeltétel (tantárgyi kód) - Tantárgyfelelős neve és beosztása Dr. Toledo Rodolfo Calixto, főiskolai tanár Tantárgyfelelős tanszék/intézet kódja MI

Átírás

1 Halmazok és függvények MTO1001 Meghirdetés féléve 1 Kreditpont 4 Heti kontakt óraszám (elm.+gyak.) 2+2 Gyakorlati jegy - Tantárgyfelelős neve és beosztása Dr. Toledo Rodolfo Calixto, főiskolai tanár A tantárgy általános célja, hogy megismertesse a hallgatót a logika és a halmazelmélet alapműveleteivel és azok tulajdonságaival. Ezen kívül bevezesse a függvény általános fogalmát és megtanítsa a hallgatókat elkészíteni a függvények elemi ábrázolását, egyenlőtlenségeket megoldani, illetve megalapozza a további analízis jellegű tantárgyaknál megszerzendő ismereteit. Tegye képessé arra, hogy önállóan gondolkodva tudjon feladatokat megoldani, olyanokat, melyek illeszkednek az előadás anyagához. A tárgy általában véve felkészíti a hallgatót az önálló matematikai, elemző gondolkodásra. Logikai alapfogalmak, ítéletkalkulus, logikai törvények. Tételbizonyítási módszerek. Halmazok, halmazműveleti tulajdonságok, halmazrendszerek. Descartes-szorzat, relációk és tulajdonságai, ekvivalencia és rendezési relációk. A függvény fogalma, halmazok képe és ősképe, összetett és inverz függvény. Valós függvények és tulajdonságai, elemi függvények (pozitív egész kitevőjű hatványfüggvények és inverzeik, exponenciális és logaritmus függvények, trigonometrikus függvények és inverzeik), elemi ábrázolási módszerek. A valós számok axiómarendszere, felső korlát, szupremum. Számhalmazok, tizedes törtek. Nevezetes egyenlőtlenségek és egyenlőtlenségek megoldása. Halmazok számossága. Valós számsorozatok és tulajdonságai. 1. Peller József: Exponenciális és logaritmus függvény. Differenciálszámítás. Tankönyvkiadó, Budapest, Rimán János: Matematikai analízis I. Liceum, Eger, Rimán János: Matematikai analízis feladatgyűjtemény I-II. Liceum, Eger, Szabó Tamás: Kalkulus I. Polygon, Szeged, 2003.

2 Algebrai alapismeretek MTO1002 Meghirdetés féléve 1 Kreditpont 4 Heti kontakt óraszám (elm.+gyak.) 2+2 G Tantárgyfelelős neve és beosztása Dr. Kurdics János főiskolai tanár A hallgatók ismerjék meg a modern algebra fogalmait, problémafelvetéseit, legyenek képesek az eredmények alkotó alkalmazására felsőbb matematika más területein is. Mélyítsék el a halmaz- és számfogalmat, továbbá az algebra, a számelmélet és a polinomelmélet legalapvetőbb tételeit és eljárásait. Erősödjön a hallgatókban a matematikai fogalomalkotás készsége és alakuljon ki a bizonyítási rutin. Legyenek képesek ezen a bázison a további, nemcsak algebrai jellegő, kurzusok anyagának mélyebb feldolgozására, szerezzenek biztos előismereteket továbbbi matematikai tanulmányaikhoz Műveletek, műveletek tulajdonságai, alapvető algebrai struktúrák, példák, alkalmazások. Természetes számok, egész számok, racionális számok. Rendezés. Valós számok. Elemi algebrai azonosságok: ninomiális és polinomiális tétel.. Az n-edik hatványok különbségének szorzattá alakítása. A racionális kitevőjű hatvány fogalma, a hatványozás azonosságai (bizonyításaikkal együtt). A számelmélet alaptétele. Az oszthatóság és tulajdonságai az egész számok gyűrűjében. Prímszám, összetett szám, prímtényezős alak, legnagyobb közös osztó, legkisebb közös többszörös. Polinomok és racionális törtfüggvények, parciális törtekre bontás. Polinomok osztása. A polinomelmélet alaptétele. Az oszthatóság és tulajdonságai a test feletti polinomgyűrűkben. Többszörös gyökök, gyöktényezős alak. Másodfokú egyenlet gyöktényezős alakja. Egyenletek megoldásai. Speciális harmad-és negyedfokú egyenletek. Abszolútértékes egyenletek. Gyökös egyenletek. Két-és háromismeretlenes egyenletrendszerek. 5. Burris S.-Sankappanavar H.P.: Bevezetés az univerzális algebrába, Tankönyvkiadó, Filep László : Algebra és számelmélet, Bessenyei Kiadó, Kurdics János: Algebrai alapismeretek, Bessenyei Kiadó, Sárközy András : Számelmélet, Műszaki, Szendrei János : Algebra és számelmélet, Tankönyvkiadó, több kiadásban 10. van der Waerden, B.L.: Algebra, Springer, 2003

3 Bevezetés a geometriába MTO1003 Meghirdetés féléve 1. Kreditpont 4 Heti kontakt óraszám (elm.+gyak.) 2+2 K Tantárgyfelelős neve és beosztása Dr. Kovács Zoltán főiskolai tanár A középiskolás geometriai ismeretek áttekintésével és rendszerezésével a hallgató kapjon naiv (nem axiomatikus) betekintést az elemi geometria ismeretkörébe, módszereibe és gondolkodásmódjába. Térelemek kölcsönös helyzete, párhuzamossága. Szög, töröttvonal, sokszög. Az irányítás szemléletes fogalma. Egybevágósági transzformációk síkban és térben. Egybevágó alakzatok. Szög mérése. Térelemek szöge, távolságuk. Merőleges vetítés. Párhuzamos szelők tétele, középpontos hasonlóság, hasonlósági transzformációk síkban és térben. Hasonló alakzatok. Elemi tételek háromszögre és sokszögre. Konvex halmazok, konvex burok. Poliéderek szemléletes fogalma, konvex poliéder. Euler-tétel konvex poliéderekre. Szabályos sokszögek, szabályos konvex poliéderek. Euklideszi szerkesztés. Nevezetes szerkesztések. Geometriai vektorfogalom, bázis, koordináták. Skaláris, vektoriális és vegyes szorzás, geometriai jelentésük. Egyenesek és síkok egyenletei. Távolság-és szögfeladatok analitikus megoldása. Kör és gömb egyenlete. Súlyozott pontrendszerek, osztóviszony és alkalmazásaik tételek bizonyításában. 1. Coxeter, H.S.M.: A geometriák alapjai (2. kiadás). Műszaki Könyvkiadó, Budapest, Hajós György: Bevezetés a geometriába. Tankönyvkiadó, Budapest, Kovács Zoltán: Geometria. Kossuth Egyetemi Kiadó, Debrecen, Reiman István: A geometria és határterületei. Gondolat, Budapest, 1986.

4 Informatika TO1008 Meghirdetés féléve 1 Kreditpont 2 Heti kontakt óraszám (elm.+gyak.) 0 2 Tantárgyfelelős neve és beosztása Dr. Ionescu Klára főiskolai docens A hallgató az alapszintről elindulva sajátítsa el a minimális informatikai és számítógép kezelési alapismereteket, szerezzen jártasságot néhány gyakran használt felhasználói program alkalmazásában. Készüljön fel a matematika tanulásában kiemelkedő eredményeket elérő tanulók motiválására, segítésére, a tehetséggondozásra, valamint ösztönözze az informatikai ismereteknek a matematika tanulása során való felhasználását. Sajátítsa el programcsomagok használatát a matematikai jelenségek illusztrálására, kísérletek végzésére, illetve az eredmények megsejtésének elősegítésére. Használja magabiztosan a szövegszerkesztő és táblázatkezelő szoftvereket. Információtechnológiai alapismeretek. Operációs rendszerek, a Windows és a Linux. Számítógép hálózatok. Az Internet. Elektronikus levelezés. Szövegszerkesztési alapismeretek és prezentációkészítés. Táblázatkezelés. Adatbázis-kezelés alapjai. 1. Bártfai Barnabás: Hogyan használjam? (8. kiadás) BBS-Info Kft., Budapest, Iszáj-Kató-Nagy: Számítástechnika: Az alapoktól az Internetig. Bessenyei György Könyvkiadó, Nyíregyháza, Kovácsné-Nagy-Ozsváth: Office XP. Computerbooks Kft., Budapest, Lengyel Veronika: Az Internet világa. Computerbooks Kft., Budapest, 1995.

5 Analízis I. MTO1102, MTO1003E Meghirdetés féléve 2 Kreditpont 3 Heti kontakt óraszám (elm.+gyak.) 2+0 K MTO1001 Tantárgyfelelős neve és beosztása Dr. Gát György Tamás, egyetemi tanár A tantárgy általános célja, hogy megismertesse a hallgatót a matematikai analízis alapvető fogalmaival és eredményeivel. Tegye képessé arra, hogy önállóan gondolkodva tudjon feladatokat megoldani, olyanokat, melyek illeszkednek az előadás anyagához. A tárgy megalapozza a hallgató további matematikai tanulmányait. Általában véve is felkészíti a hallgatót az önálló matematikai, elemző gondolkodásra. Valós számok: axiomatikus és konstruktív megalapozás. Korlátos számhalmazok, alsó és felső határ. Hatványozás. (természetes távolság, környezet, a valós számok metrikus tulajdonságai) Számsorozatok határértéke. Konvergens és divergens sorozatok. Végtelenhez tartó sorozatok. Határérték és műveletek. Határérték és egyenlőtlenségek. Monoton sorozatok. A Bolzano- Weierstass-tétel és a Cauchy-kritérium. Megszámlálható halmazok. Valós függvények globális tulajdonságai. Monotonitás, konvexitás. Függvények folytonossága és határértéke. Átviteli elvek. Folytonosság, határérték és műveletek. Folytonosság, határérték és egyenlőtlenségek. Korlátos zárt intervallumban folytonos függvények. Monotonitás és határérték. Monotonitás és folytonosság. Konvexitás és folytonosság. Néhány fontos függvényosztály (polinom-függvények, racionális törtfüggvények, exponenciális függvények, hatványfüggvények, logaritmusfüggvények, trigonometrikus függvények és ezek inverzei, a hiperbolikus függvények és inverzeik). 1. Császár Ákos: Valós analízis I. Tankönyvkiadó, Budapest, Lajkó Károly: Analízis I. Egyetemi Kiadó, Debrecen, Leindler László, Schipp Ferenc: Analízis I. Tankönyvkiadó, Budapest, B.P.Gyemidovics: Matematikai analízis feladatgyűjtemény, Tankönyvkiadó, Budapest, 1987.

6 Analízis I. gyakorlat MTO1103 Meghirdetés féléve 2 Kreditpont 2 Heti kontakt óraszám (elm.+gyak.) 0+2 G MTO1001 Tantárgyfelelős neve és beosztása Dr. Gát György Tamás, egyetemi tanár A tantárgy általános célja, hogy megismertesse a hallgatót a matematikai analízis alapvető fogalmaival és eredményeivel. Tegye képessé arra, hogy önállóan gondolkodva tudjon feladatokat megoldani, olyanokat, melyek illeszkednek az előadás anyagához. A tárgy megalapozza a hallgató további matematikai tanulmányait. Általában véve is felkészíti a hallgatót az önálló matematikai, elemző gondolkodásra. Valós számok: axiomatikus és konstruktív megalapozás. Korlátos számhalmazok, alsó és felső határ. Hatványozás. (természetes távolság, környezet, a valós számok metrikus tulajdonságai) Számsorozatok határértéke. Konvergens és divergens sorozatok. Végtelenhez tartó sorozatok. Határérték és műveletek. Határérték és egyenlőtlenségek. Monoton sorozatok. A Bolzano- Weierstass-tétel és a Cauchy-kritérium. Megszámlálható halmazok. Valós függvények globális tulajdonságai. Monotonitás, konvexitás. Függvények folytonossága és határértéke. Átviteli elvek. Folytonosság, határérték és műveletek. Folytonosság, határérték és egyenlőtlenségek. Korlátos zárt intervallumban folytonos függvények. Monotonitás és határérték. Monotonitás és folytonosság. Konvexitás és folytonosság. Néhány fontos függvényosztály (polinom-függvények, racionális törtfüggvények, exponenciális függvények, hatványfüggvények, logaritmusfüggvények, trigonometrikus függvények és ezek inverzei, a hiperbolikus függvények és inverzeik). 1. Császár Ákos: Valós analízis I. Tankönyvkiadó, Budapest, Lajkó Károly: Analízis I. Egyetemi Kiadó, Debrecen, Leindler László, Schipp Ferenc: Analízis I. Tankönyvkiadó, Budapest, B.P.Gyemidovics: Matematikai analízis feladatgyűjtemény, Tankönyvkiadó, Budapest, 1987.

7 Lineáris algebra előadás MTO1104 Meghirdetés féléve 2 Kreditpont 3 Heti kontakt óraszám (elm.+gyak.) 2+0 K MTO1003 Tantárgyfelelős neve és beosztása Dr. Lénárd Margit egyetemi docens A lineáris algebra tantárgy célja a lineáris algebra klasszikus fejezeteinek megismerése (mátrixok, determinánsok) és a modern lineáris algebra alapjainak elsajátítása (végesen generált vektorterek, lineáris leképezések) a lineáris egyenletrendszerek megoldásán kereszt. A tantárgy nyújtson biztos alapot a matematika további fejezeteinek tanulmányozásához. Lineáris egyenletrendszerek, megoldásuk kiküszöböléssel (együttható mátrix, bővített mátrix, elemi sorműveletek, Gauss-módszer, Gauss-Jordán-módszer). Lineáris egyenletrendszerek megoldhatóságának feltétele (mátrix rangja). Homogén és inhomogén lineáris egyenletrendszer megoldáshalmaza. Vektortér, altér, lineáris függetlenség és összefüggőség, kifeszített altér, vektor-rendszer rangja, bázis, dimenzió, alterek. Mátrix sortere, oszloptere, nulltér és kapcsolatuk. Faktortér, direkt összeg. Mátrixok algebrája (mátrixműveletek és tulajdonságaik, speciális mátrixok, mátrix inverze). Determináns (tulajdonságai, kifejtési tétel, Cramer szabály) Lineáris leképezések, transzformációk, mátrixuk. Képtér, magtér. Sajátérték, karakterisztikus polinom, sajátvektor, sajátaltér. Mátrix diagonalizálása. 1. Wettl Ferenc, Lineáris algebra ( BME TTK Matematika Intézet, Freud Róbert: Lineáris algebra. ELTE Eötvös Kiadó, Budapest, Gaál István-Kozma László: Lineáris algebra. Kossuth Egyetemi Kiadó, Debrecen Halmos, P.R.: Véges dimenziós vektorterek. Műszaki Könyvkiadó, Kovács Zoltán: Feladatgyűjtemény lineáris algebra gyakorlatokhoz. Kossuth Egyetem Kiadó, Debrecen, 1998.

8 Lineáris algebra gyakorlat MTO1105 Meghirdetés féléve 2 Kreditpont 2 Heti kontakt óraszám (elm.+gyak.) 0+2 G MTO1003, MTO1104E Tantárgyfelelős neve és beosztása Dr. Lénárd Margit egyetemi docens A gyakorlat célja az előadáson tárgyalt elmélet megértése és feldolgozása feladatokon keresztül. A lineáris egyenletrendszerek megoldhatóságának és megoldási módszereinek vizsgálatából kiindulva adunk betekintést a lineáris algebra klasszikus és modern fejezeteibe. Lineáris egyenletrendszerek, megoldásuk kiküszöböléssel (együttható mátrix, bővített mátrix, elemi sorműveletek, Gauss-módszer, Gauss-Jordan-módszer). Lineáris egyenletrendszerek megoldhatóságának feltétele (mátrix rangja). Homogén és inhomogén lineáris egyenletrendszer megoldáshalmaza. Vektortér, altér, lineáris függetlenség és összefüggőség, kifeszített altér, vektorrendszer rangja, bázis, dimenzió, alterek. Mátrix sortere, oszloptere, nulltér és kapcsolatuk. Faktortér, direkt összeg. Mátrixok algebrája (mátrixműveletek és tulajdonságaik, speciális mátrixok, mátrix inverze). Determináns (tulajdonságai, kifejtési tétel, Cramer szabály) Lineáris leképezések, transzformációk, mátrixuk. Képtér, magtér. Sajátérték, karakterisztikus polinom, sajátvektor, sajátaltér. Mátrix diagonalizálása. 1. Wettl Ferenc, Lineáris algebra ( BME TTK Matematika Intézet, Freud Róbert: Lineáris algebra. ELTE Eötvös Kiadó, Budapest, Gaál István-Kozma László: Lineáris algebra. Kossuth Egyetemi Kiadó, Debrecen, Halmos, P.R.: Véges dimenziós vektorterek. Műszaki Könyvkiadó, Kovács Zoltán: Feladatgyűjtemény lineáris algebra gyakorlatokhoz. Kossuth Egyetem Kiadó, Debrecen, 1998.

9 Kombinatorika és gráfelmélet MTO1106 Meghirdetés féléve 2 Kreditpont 3 Heti kontakt óraszám (elm.+gyak.) 1+2 G - Tantárgyfelelős neve és beosztása Dr. Lénárd Margit egyetemi docens A kombinatorika és a gráfelmélet itt tárgyalt kérdéseinek egy része szerepel az általános és középiskolai oktatásban is, és hozzátartozik az általános matematikai alapműveltséghez. Ezek készségszintű ismerte elvárható a hallgatóktól. Binomiális és polinomiális tétel. Alapvető leszámlálási eljárások. Szitaformula. Generátorfüggvények módszere. Rekurzív sorozatok. Gráfelméleti alapfogalmak. Speciális gráfok, tulajdonságaik. Gráfok színezése, az ötszíntétel. Páros gráfok és független élrendszerek, párosítási algoritmusok, Kőnig tétele. Euler-vonal, Hamilton-kör. Síkba rajzolható gráfok jellemzése. Fák, Kruskal-algoritmus. Lineáris algebra és gráfok. Algoritmikus és bonyolultsági kérdések a kombinatorikában és gráfelméletben. A kombinatorika és a gráfok az általános iskolában. Stratégiás játékok. 1. Andrásfai Béla: Ismerkedés a gráfelmélettel. Tankönyvkiadó, Budapest, Hajnal Péter, Elemi kombinatorikai feladatok. Polygon, Szeged, Lovász László: Kombinatorikai problémák és feladatok, Typotex, Budapest, Lovász, Pelikán, Vesztergombi: Kombinatorika, Typotex, Budapest, Urbán János: Kombinatorikai feladatok éveseknek, Mozaik, Szeged, Vilenkin, Kombinatorika, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1987.

10 Analízis II MTO1107 Meghirdetés féléve 3 Kreditpont 3 Heti kontakt óraszám (elm.+gyak.) 2+0 Kollokvium MTO1102, MTO1108E Tantárgyfelelős neve és beosztása Dr. Gát György Tamás, egyetemi tanár A tantárgy általános célja, hogy az analízis I tanulmányokat folytatva bővítse hallgató ismereteit a matematikai analízis alapvető fogalmaival és eredményeivel. Bővítse és fejlessze képességeit, hogy még jobban legyen képes önállóan gondolkodva feladatokat megoldani, olyanokat, melyek a differenciál- és integrálszámítás témaköréhez tartoznak. A tárgy megalapozza a hallgató további matematikai tanulmányait. Általában véve is felkészíti a hallgatót az önálló matematikai, elemző gondolkodásra. A differenciálhányados fogalma, geometriai jelentése, a differenciálhatósság és a folytonosság kapcsolata. Differenciálási szabályok és az elemi függvények deriváltjai. Magasabb rendű differenciálhányadosok. Középértéktételek, függvényvizsgálat. Alkalmazások: szélsőértékszámítás, L Hospital-szabály, Taylor-formula. A primitív függvény fogalma. Primitívfüggvény-keresési módszerek (parciális integrálás, helyettesítéses integrálás), racionális törtfüggvények primitív függvényeinek keresése. Valós függvények Riemann integrálja. Integrálhatósági feltételek. A Riemann integrál alapvető tulajdonságai. A Newton-Leibniz formula. Az integrálfüggvény folytonossága, differenciálhatósága. Alkalmazások: terület-és térfogatszámítás. 1. Császár Ákos: Valós analízis II. Tankönyvkiadó, Budapest, B.P. Gyemidovics: Matematikai analízis feladatgyűjtemény. Tankönyvkiadó, Budapest, Lajkó Károly: Analízis II. Egyetemi jegyzet, Debrecen, Lajkó Károly: Kalkulus I-II példatár. Egyetemi jegyzet, Debrecen, Pál Jenő, Schipp Ferenc, Simon Péter: Analízis II. Tankönyvkiadó, Budapest, 1998.

11 Analízis II MTO1108 Meghirdetés féléve 3 Kreditpont 2 Heti kontakt óraszám (elm.+gyak.) 0+2 Gyakorlati jegy - Tantárgyfelelős neve és beosztása Dr. Gát György Tamás, egyetemi tanár A tantárgy általános célja, hogy az analízis I tanulmányokat folytatva bővítse hallgató ismereteit a matematikai analízis alapvető fogalmaival és eredményeivel, illetve olyan gyakorlati feladatokat oldjon meg, melyek kapcsolódnak az elméleti foglalkozásokon tanultakhoz. Bővítse és fejlessze képességeit, hogy még jobban legyen képes önállóan gondolkodva feladatokat megoldani, olyanokat, melyek a differenciál- és integrálszámítás témaköréhez tartoznak. A tárgy megalapozza a hallgató további matematikai tanulmányait. Általában véve is felkészíti a hallgatót az önálló matematikai, elemző gondolkodásra. A differenciálhányados fogalma, geometriai jelentése, a differenciálhatósság és a folytonosság kapcsolata. Differenciálási szabályok és az elemi függvények deriváltjai. Magasabb rendű differenciálhányadosok. Középértéktételek, függvényvizsgálat. Alkalmazások: szélsőértékszámítás, L Hospital-szabály, Taylor-formula. A primitív függvény fogalma. Primitívfüggvény-keresési módszerek (parciális integrálás, helyettesítéses integrálás), racionális törtfüggvények primitív függvényeinek keresése. Valós függvények Riemann integrálja. Integrálhatósági feltételek. A Riemann integrál alapvető tulajdonságai. A Newton-Leibniz formula. Az integrálfüggvény folytonossága, differenciálhatósága. Alkalmazások: terület-és térfogatszámítás. 1. Császár Ákos: Valós analízis II. Tankönyvkiadó, Budapest, B.P. Gyemidovics: Matematikai analízis feladatgyűjtemény. Tankönyvkiadó, Budapest, Lajkó Károly: Analízis II. Egyetemi jegyzet, Debrecen, Lajkó Károly: Kalkulus I-II példatár. Egyetemi jegyzet, Debrecen, Pál Jenő, Schipp Ferenc, Simon Péter: Analízis II. Tankönyvkiadó, Budapest, 1998.

12 Algebra és számelmélet MTO1109 Meghirdetés féléve 3 Kreditpont 3 Heti kontakt óraszám (elm.+gyak.) 2+0 K MTO1002, MTO1110E Tantárgyfelelős neve és beosztása Dr. Kurdics János főiskolai tanár A hallgatók ismerjék meg a modern algebra fogalmait, problémafelvetéseit, legyenek képesek az eredmények alkotó alkalmazására felsőbb matematika más területein is. Sajátítsák el a polinomelmélet és a számelmélet alapvető tételeit, legfontosabb eljárásait. Erősödjön a hallgatókban a matematikai fogalomalkotás készsége és alakuljon ki a bizonyítási rutin. Legyenek képesek ezen a bázison a további kurzusok anyagának mélyebb feldolgozására. Komplex számok, egységgyökök. Alkalmazások geometriai feladatok megoldására. Polinomok gyökei. Harmad-és negyedfokú egyenlet. Az algebra alaptétele. Egyértelmű irreducibilis faktorizáció a test feletti polinomgyűrűkben. Irreducibilis polinomok a racionális, valós és komplex együtthatós polinomok gyűrűjében. Test feletti racionális függvénytest. Többhatározatlanú polinomok gyűrűje, szimmetrikus polinomok. Lineáris kongruenciák, kongruenciarendszerek és lineáris diofantikus egyenletek. Pitagoraszi számhármasok. Euler- Fermat tétel. Klasszikus kongruenciatételek. Számelméleti függvények. Elemi prímszámelmélet. Prímek száma, prímek reciprokainak összege. Tökéletes számok, Mersenne-és Fermat-féle prímek. Irracionális és racionális számok kapcsolata (approximáció), algebrai és transzcendens számok. Diofantoszi egyenletek. Nevezetes számelméleti problémák. 1. Freud Róbert, Gyarmati Edit: Számelmélet. Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, Kiss Péter, Mátyás Ferenc: A számelmélet elemei, Líceum Kiadó, Kurdics, J., Algebra I, Bessenyei Kiadó, Nyíregyháza, Szendrei János : Algebra és számelmélet, Tankönyvkiadó, több kiadásban 5. van der Waerden, B.L.: Algebra, Springer, 2003

13 Algebra és számelmélet gyakorlat MTO1110 Meghirdetés féléve 3 Kreditpont 2 Heti kontakt óraszám (elm.+gyak.) 0+2 G MTO1002 Tantárgyfelelős neve és beosztása Dr. Kurdics János főiskolai tanár A hallgatók ismerjék meg a modern algebra problémafelvetéseit, legyenek képesek az eredmények alkotó alkalmazására. Sajátítsák el a polinomelmélet és a számelmélet legfontosabb eljárásait. Alakuljon ki a problémamegoldási rutin. Legyenek képesek ezen a bázison a további kurzusok anyagának mélyebb feldolgozására. Komplex számok, egységgyökök. Alkalmazások geometriai feladatok megoldására. Harmadés negyedfokú egyenlet megoldása. Irreducibilis polinomok a racionális, valós és komplex együtthatós polinomok gyűrűjében. Test feletti racionális függvénytest. Többhatározatlanú polinomok, szimmetrikus polinomok. Lineáris kongruenciák, kongruenciarendszerek és lineáris diofantikus egyenletek megoldása, alkalmazások. Euler-Fermat tétel.alkalmazásai. Klasszikus kongruenciatételek alkalmazásai. Számelméleti függvények kiszámítása. Elemi prímszámelmélet és alkalmazásai.. Irracionális és racionális számok kapcsolata (approximáció), algebrai és transzcendens számok, számolás algebrai számokkal. Diofantoszi egyenletek megoldása. Vegyes számelméleti problémák megoldása. 1. Bálintné Szendrei Mária, Czédli Gábor, Szendrei Ágnes : Absztrakt algebrai feladatok. 2. Tankönyvkiadó, Kiss Péter, Mátyás Ferenc: A számelmélet elemei, Líceum Kiadó, Láng Csabáné: Számelmélet, Példák és feladatok, Felsőoktatási tankönyv, ELTE IK Budapest, Szendrei János : Algebra és számelmélet, Tankönyvkiadó, több kiadásban 6. Szendrei János : Matematikai feladatgyűjtemény I.-II., Tankönyvkiadó (jegyzet) 7. Sárközy András, Surányi János: Számelmélet feladatgyűjtemény. Nemzeti Tankönyvkiadó.

14 Problémamegoldó szeminárium MTO1111 Meghirdetés féléve 3 Kreditpont 2 Heti kontakt óraszám (elm.+gyak.) 0+2 Gyakorlati jegy - Tantárgyfelelős neve és beosztása Dr. Blahota István, főiskolai tanár A tárgy célja, hogy hallgató megismerje a problémamegoldó gondolkodás tudományos alapjait, valamint tipikus példákon keresztül azok gyakorlati megvalósítását. A matematika különböző területeiről feladatok megoldása heurisztikus probléma-megoldási stratégiáknak megfelelő csoportosításban, önálló feladatmegoldások. Tipikus problémakörök áttekintése. Algoritmikus gondolkodás: algoritmusok megértése, végrehajtása, helyességének és alkalmazhatóságának belátása, tervezése, leírása mások számára. Problémamegoldás, problémamegoldó gondolkodás: a problémamegoldási folyamat tervezése (Pólyai alapokon), automatizálható problémamegoldási folyamatok megvalósítása. 3. Kötelező, ajánlott irodalom : 1. Pólya György: Indukció és analógia A matematikai gondolkodás művészete I. Gondolat Kiadó, Pólya György: A plauzibilis következtetés A matematikai gondolkodás művészete II. Gondolat Kiadó, Pólya György: A gondolkodás iskolája, Akkord Kiadó, Pólya György: A problémamegoldás iskolája I. Typotex Kiadó, Pólya György: A problémamegoldás iskolája II. Typotex Kiadó, 2012.

15 Analízis III. MTO1112 Meghirdetés féléve 4 Kreditpont 3 Heti kontakt óraszám (elm.+gyak.) 2+0 K MTO1007, MTO1113E Tantárgyfelelős neve és beosztása Dr. Gát György Tamás, egyetemi tanár A tantárgy általános célja, hogy megismertesse a hallgatót a numerikus sorok és függvénysorok alapvető fogalmaival és eredményeivel. Tegye képessé arra, hogy önállóan gondolkodva tudjon feladatokat megoldani, olyanokat, melyek illeszkednek az előadás anyagához. A tárgy megalapozza a hallgató további matematikai tanulmányait. Általában véve is felkészíti a hallgatót az önálló matematikai, elemző gondolkodásra. Végtelen sorok. Abszolút konvergencia. Konvergencia-kritériumok (összehasonlító-, gyök-, hányados-, integrálkritérium, Leibniz-sorok). Sorok átrendezése. Riemann tétele (bizonyítás nélkül). Hatványsorok, Taylor-sorok, konkrét függvények előállítása Taylor-sorok összegeként. Függvénysorok tagonkénti differenciálása, integrálása (exponenciális függvények, hatványfüggvények, logaritmusfüggvények, trigonometrikus függvények), a Fourier sorok elméletének alapjai. 1. Császár Ákos: Valós analízis I. Tankönyvkiadó, Budapest, Lajkó Károly: Analízis I. Egyetemi Kiadó, Debrecen, Leindler László, Schipp Ferenc: Analízis I. Tankönyvkiadó, Budapest, B.P. Gyemidovics: Matematikai analízis feladatgyűjtemény, Tankönyvkiadó, Budapest, Szőkefalvi-Nagy Béla: Valós függvények és függvénysorok, Polygon Kiadó - SZTE Bolyai Intézet, 2002.

16 Analízis III. gyakorlat MTO1113 Meghirdetés féléve 4 Kreditpont 2 Heti kontakt óraszám (elm.+gyak.) 0+2 G MTO1007 Tantárgyfelelős neve és beosztása Dr. Gát György Tamás, egyetemi tanár A tantárgy általános célja, hogy megismertesse a hallgatót a numerikus sorok és függvénysorok alapvető fogalmaival és eredményeivel. Tegye képessé arra, hogy önállóan gondolkodva tudjon feladatokat megoldani, olyanokat, melyek illeszkednek az előadás anyagához. A tárgy megalapozza a hallgató további matematikai tanulmányait. Általában véve is felkészíti a hallgatót az önálló matematikai, elemző gondolkodásra. Végtelen sorok. Abszolút konvergencia. Konvergencia-kritériumok (összehasonlító-, gyök-, hányados-, integrálkritérium, Leibniz-sorok). Sorok átrendezése. Riemann tétele (bizonyítás nélkül). Hatványsorok, Taylor-sorok, konkrét függvények előállítása Taylor-sorok összegeként. Függvénysorok tagonkénti differenciálása, integrálása (exponenciális függvények, hatványfüggvények, logaritmusfüggvények, trigonometrikus függvények), a Fourier sorok elméletének alapjai. 1. Császár Ákos: Valós analízis I. Tankönyvkiadó, Budapest, Lajkó Károly: Analízis I. Egyetemi Kiadó, Debrecen, Leindler László, Schipp Ferenc: Analízis I. Tankönyvkiadó, Budapest, B.P. Gyemidovics: Matematikai analízis feladatgyűjtemény, Tankönyvkiadó, Budapest, Szőkefalvi-Nagy Béla: Valós függvények és függvénysorok, Polygon Kiadó - SZTE Bolyai Intézet, 2002.

17 Geometria I MTO1114 Meghirdetés féléve 4. Kreditpont 4 Heti kontakt óraszám (elm.+gyak.) 2+2 K MTO1003 Tantárgyfelelős neve és beosztása Dr. Kovács Zoltán főiskolai tanár A tárgy célja, hogy a hallgató megértse a geometriai transzformációk szerepét a matematikai gondolkodásban és az iskolai geometriában. Ennek megfelelően a hallgató szintetikus és analitikus szemléletű bevezetést kap a geometriai transzformációk elméletébe. A gyakorlaton a cél a transzformációs módszer elsajátítása a geometriai feladatok megoldásában. Egybevágósági és hasonlósági transzformációk síkban és térben. Invariáns tulajdonságok. Fixelemek. Osztályozásuk. Az egybevágósági és hasonlósági transzformációk csoportja, részcsoportjaik. Affinitások. Invariáns tulajdonságok. Osztályozásuk. Affin transzformációk csoportja. Síkbeli affinitások, tengelyes affinitás. Síkbeli affinitás megadása. Párhuzamos vetítés. Ábrázolás merőleges és párhuzamos vetítéssel. Geometriai transzformációk analitikus leírása a síkban és térben. 1. Baziliev, Dunyicsev, Ivanyickaja: Geometria I-II. Tankönyvkiadó, Budapest, Audin, M.: Geometry. Springer Verlag, Berlin, Berger, M: Geometry I-II. Springer Verlag, Berlin, Radó Ferenc Orbán Béla: A geometria mai szemmel. Dacia Könyvkiadó, Kolozsvár- Napoca, Ryan, P.: Euclidean and non-euclidean Geometry. Cambridge University Press, Cambridge, 1987.

18 Elemi matematika I MTO1116 Meghirdetés féléve 4 Kreditpont 2 Heti kontakt óraszám (elm.+gyak.) 0+2 G - Tantárgyfelelős neve és beosztása Dr. Szalontai Tibor, főiskolai tanár Az elemi matematika gyakorlatok célja, hogy fejlődjön a hallgatók feladatmegoldó készsége általános iskolai felső tagozatos és a középiskolai tanterv kereteibe illeszkedő, ötletet vagy kreativitást igénylő problémák, problématípusok megoldása útján és matematikai problémakezelő stratégiák megismerése útján. Az általános- és középiskolai matematika tananyaghoz szorosan kötődő témakörök feldolgozása a magyar matematikatanítási hagyományoknak megfelelően feladatokon, problémákon keresztül. Az elemi (általános és középiskolai) megoldások mellett - ahol lehetséges - megjelennek felsőbb matematikai megoldások is, lehetőséget adva az egyetemi matematika elemi alkalmazásaira és a megoldások összehasonlítására. Feladatmegoldás a fő tantervi tárgykörökben: Gondolkodási módszerek (halmazok, logika, kombinatorika, skatulya-elv, teljes indukció, matematikai játékok, feladatok a sakktáblán). Számok, algebra, kiemelten számelméleti feladatok (oszthatóság, maradékok, prímszámok, négyzetszámok, diofantoszi egyenletek, egyenletek, egyenletrendszerek és egyenlőtlenségek, szöveges problémák). Geometriai feladatok (például területátalakítási, szögszámítási, szerkesztési feladatok, vektorgeometriai, koordináta-geometriai problémák). Relációk, függvények, sorozatok (arányossági feladatok, elemi valós függvények, számsorozatok, mértani sorok). Valószínűségi, statisztikai feladatok. 1. Róka Sándor: 2000 feladat az elemi matematika köréből. Typotex, Pogáts Ferenc: Varga Tamás matematikai versenyek. I-II. Typotex, 1995, Reiman István, Dobos Sándor: Nemzetközi Matematikai Diákolimpiák , Typotex, Róka Sándor: A Kalmár László Matematikaverseny feladatai. Nyíregyházi Főiskola, Skljarszkij, Csencov, Jaglom: Válogatott feladatok és tételek az elemi matematika matematika köréből. Typotex, 2004.

19 Geometria II MTO1117 Meghirdetés féléve 5. Kreditpont 4 Heti kontakt óraszám (elm.+gyak.) 2+2 K MTO1114 Tantárgyfelelős neve és beosztása Dr. Kovács Zoltán főiskolai tanár A tárgy elsődleges célja a mértékfogalom geometriai szemléletű kialakítása, megalaopzása. Emellett a gömbi geometria alapjaival bővítjük a geometriai ismereteket. Sokszögek területe. Az elemi területfogalom. Kör és részeinek területe. Poliéderek térfogata. Elemi térfogatfogalom. Henger és kúp térfogata. Cavalieri elv. Gömb és részeinek térfogata. Transzformációk hatása a területre és a térfogatra. Elemi kerület-és felszínfogalom konvex síkidomok és mértani testek esetén. Kör kerülete, körív hossza. Gömb és részeinek felszíne. A gömbi geometria elemei. Gömbi trigonometria. Kör és gömb (kölcsönös helyzet, szögük). Pont körre (gömbre) vonatkozó hatványa. Hatványvonal, hatványpont illetve hatványsík, hatványvonal, hatványpont. Inverzió és tulajdonságai. Alkalmazása szerkesztési feladatokban. A sztereografikus vetítés. 1. Coxeter, H.S.M.: A geometriák alapjai (2. kiadás). Műszaki Könyvkiadó, Budapest, Hajós György: Bevezetés a geometriába. Tankönyvkiadó, Budapest, Kovács Zoltán: Geometria. Kossuth Egyetemi Kiadó, Debrecen, Reiman István: A geometria és határterületei. Gondolat, Budapest, 1986.

20 Matematikai programcsomagok MTO1118 Meghirdetés féléve 5 Kreditpont 4 Heti kontakt óraszám (elm.+gyak.) 0+3 G MTO1107, MTO1109 Tantárgyfelelős neve és beosztása Dr. Vattamány Szabolcs, főiskolai docens A tantárgy célja, hogy a hallgatók megismerkedjenek olyan programcsomagokkal, amelyek amellett, hogy elősegítik a tanulmányaik során szerzett ismeretek megértését, elmélyítését, képessé teszik matematikai kísérletek végzésére és az eredmények megsejtésének az elősegítésére. Komputeralgebrai rendszerek, szimbolikus számítások elvégzése, függvények, felületek megadása, ábrázolása. Lineáris algebrai feladatok megoldása. Számelméleti feladatok megoldása. Maxima és wxmaxima, GAP, Maple. 1. Blahota István: Alkalmazott matematika, I. fejezet, 2. maxima manual, 3. André Heck: Bevezetés a MAPLE használatába. JGYF Kiadó, Szeged, 1999.

21 Elemi Matematika II MTO 1119 Meghirdetés féléve 5 Kreditpont 2 Heti kontakt óraszám (elm.+gyak.) 0+2 G MTO 1116 Tantárgyfelelős neve és beosztása Dr. Szalontai Tibor, főiskolai tanár Az elemi matematika gyakorlatok célja, hogy fejlődjön a tanárjelöltek feladatmegoldó készsége az általános iskolai felső tagozatos és a középiskolai tanterv kereteibe illeszkedő, ötletet és kreativitást igénylő problémák, problématípusok megoldása útján és matematikai problémakezelő stratégiák megismerése útján. A gazdag változatosságú matematikai gondolkodásmódok példái a tanárjelöltek tehetséggondozásra való felkészülését is célozzák. A félév során a versenyszintű feladatok megoldása tematikus csoportosításban történik. A klasszikusnak számító iskolai témakörökben, többek között: - Számelméleti (például prímszámokkal, oszthatósággal, négyzetszámokkal kapcsolatos, diofantoszi egyenletes, teljes indukciós, nem tízes alapú számrendszeres) problémák. - Algebrai (például szorzattá alakítási, egyenletes, egyenletrendszeres, egyenlőtlenségi) problémák. - Sík- és térgeometriai, geometriai transzformációs, szerkesztési, bizonyítási feladatok, területátalakítási problémák, méretes geometriai (szög-, terület-, kerület-, felszín- és térfogatszámítással kapcsolatos) problémák. - Vektorokkal megoldható feladatok, koordináta-geometriai problémák. - Elemi valós függvényekre (trigonometrikus, exponenciális, logaritmikus függvények is) vonatkozó problémák, szélsőérték-problémák elemi úton. - Trigonometriai problémák. - Számsorozatokkal, egyszerű számsorokkal kapcsolatos problémák. 1. Hajdu Sándor (szerk): Matematika 5-6, 7-8 Feladatgyűjtemény, Műszaki, 2003, Pogáts Ferenc: Varga Tamás matematikai versenyek I-II, Typotex, 1995, Róka Sándor: 2000 feladat az elemi matematika köréből, Typotex, Reiman István, Dobos Sándor: Nemzetközi Matematikai Diákolimpiák , Typotex, Urbán János: A Kalmár László Matematikaverseny feladatai és megoldásai Mozaik, 1999

22 Sztochasztika MTO1120 Meghirdetés féléve 6. Kreditpont 4 Heti kontakt óraszám (elm.+gyak.) 3+0 K MTO1112, MTO1122(E) Tantárgyfelelős neve és beosztása Dr. Gát György Tamás egyetemi tanár

23 Sztochasztika gyakorlat MTO1121 Meghirdetés féléve 6. Kreditpont 2 Heti kontakt óraszám (elm.+gyak.) 0+2 G MTO1112 Tantárgyfelelős neve és beosztása Dr. Gát György Tamás egyetemi tanár

24 A technológia felhasználása az oktatásban MTO1122 Meghirdetés féléve 6. Kreditpont 3 Heti kontakt óraszám (elm.+gyak.) 0+2 G MTO1107, MTO1109, MTO1114 Tantárgyfelelős neve és beosztása Dr. Gát György Tamás egyetemi tanár A hallgató ismerkedjen meg a matematikai fogalmak, fogalmi rendszerek kialakítását megalapozó tapasztalatszerzés eszközeivel, a matematika tanítását támogató technológiával. A hallgató ismerje meg az információs technológiák szerepét a kommunikációban, munkában, szórakozásban. Használja biztosan a tanítást és tanulást segítő eszközöket (manipulációs eszközök, számítógép, internet, interaktív tábla), és ismerje meg ezek integrált alkalmazási lehetőségeit. Szemléltetés régen és ma: ábrák, modellek, manipulativ tevékenység, számítógép, korszerű oktatástechnolgiai eszközök alkalmazása különböző korosztályoknál. Dinamikus geometriai szoftverek (DGS) jellemzői és alkalmazásuk. Egy dinamikus geometriai szoftver részletes megismerése. Komputeralgebrai rendszerek (CAS) alkalmazási lehetőségei. Esettanulmányok az analízis elemeinek tanításánál. A tantervi követelményekben megjelenő statisztika témakör támogatása táblázatkezelő programmal. Az internet lehetőségei a tanulás támogatásában. Közhasználatú információs felületek használata az információszerzésben, alkalmazása különböző kooperatív technikákban és a csoportmunkában a tanítás során (Pl. Sulinet, Wolfram Alpha, MathWorld). Manipulatív tevékenység számítógéppel, komputeralgebrai rendszerek és dinamikus geometriai rendszerek alkalmazási lehetőségei. Az adatfeldolgozás eszközei, adatok grafikus reprezentációja. Az internet lehetőségei a tanulás támogatásában: dinamikus weblapok fejlesztésének eszközei. Az interaktív tábla használatának didaktikai kérdései. 1. Bedő Andrea, Schlotter Judit: Az interaktív tábla. Műszaki Könyvkiadó, ISBN Judith Hohenwarter, Markus Hohenwarter: Bevezetés a GeoGebrába. Műszaki Könyvkiadó, ISBN Komenczi Bertalan: Elektronikus tanulási környezetek. Gondolat Kiadó, ISBN

25 Elemi matematika III MTO1123 Meghirdetés féléve 6 Kreditpont 2 Heti kontakt óraszám (elm.+gyak.) 0+2 G MTO 1119 Tantárgyfelelős neve és beosztása Dr. Szalontai Tibor főiskolai tanár Az elemi matematika gyakorlatok célja, hogy megfelelő szintre fejlődjön a tanárjelöltek feladatmegoldó jártassága az általános iskolai felső tagozatos és a középiskolai versenyszintű feladatok, problémák megoldásában. A tanárjelöltek a válogatott témakörök feladatanyaga alapján képesek annak a vizsgálatára, hogy mit és miként lehet egy-egy témakörből továbbadni a tanulóknak az egyes iskolatípusokban úgy, hogy abban korrekt matematikai tartalom jelenjen meg az életkornak megfelelő formában. Az általános- és középiskolai matematika tananyaghoz kötődő témakörök feldolgozása a magyar matematikatanítási hagyományoknak megfelelően feladatokon, problémákon keresztül. Az elemi (általános és középiskolai) megoldások mellett - ahol lehetséges - megjelennek felsőbb matematikai megoldások is, lehetőséget adva az egyetemi matematika elemi alkalmazásaira és a megoldások összehasonlítására. Az ABACUS, a Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok, valamint a korosztályos magyar és külföldi matematika versenyek kitűzött feladatainak figyelemmel kísérése, válogatott mintájuk megoldása. Néhány más témájú (például kódelméleti, mozgásgeometriai, optimalizálási, logisztikai, lineáris programozási, geometriai valószínűségi) probléma. 1. KöMaL, Bolyai János Matematikai Társulat 2. ABACUS 3. Ujvári István: A problémamegoldás iskolája, Észak-Pest Megyei Matematika Tehetséggondozó Központ, Vác, 1996

26 Fejezetek az analízisből MTO1201 Meghirdetés féléve 7 Kreditpont 4 Heti kontakt óraszám (elm.+gyak.) 2+1 Kollokvium MTO1112 Tantárgyfelelős neve és beosztása Dr. Gát György Tamás, egyetemi tanár A tantárgy általános célja, hogy az analízis tanulmányokban elsajátított módszereket alkalmazza a matematika más területeire, ezzel bővítse hallgató ismereteit a matematikai analízis alapvető fogalmaival és eredményeivel. Bővítse és fejlessze képességeit, hogy még jobban legyen képes önállóan gondolkodva feladatokat megoldani. Általában véve is felkészíti a hallgatót az önálló matematikai, elemző gondolkodásra. A differenciál-és integrálszámítás egyes további alkalmazásai: a Wallis-formula és a Stirlingformula. A Newton-féle gyökkereső algoritmus. Metrikus terek, környezet, belső-, külső-, határpontok, torlódási pontok. Topológiai alapok. Konvergens pontsorozatok. A folytonosság és a függvényhatárérték fogalmának általánosítása. Sorozatok R n -ben, dimenzió, fraktálok. Többváltozós függvények határértéke és folytonossága. Többváltozós függvények differenciálszámítása. Iránymenti és parciális derivált. Szélsőérték-feladatok megoldása. Integrálfogalmak többváltozós függvényekre. Térfogatszámítás. Explicit elsőrendű differenciálegyenletek, kezdeti érték probléma, szétválasztható differenciálegyenletek és alkalmazásuk különféle fizikai és geometriai feladatok megoldásában. Egzakt differenciálegyenletek, integráló tényező. Másodrendű lineáris differenciálegyenletek. 1. Császár Ákos: Valós analízis I-II, Tankönyvkiadó, Budapest, Lajkó Károly: Analízis III. Egyetemi jegyzet, Debrecen Kósa András: Differenciálegyenletek. Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, 1996.

27 Fejezetek az algebrából és a számelméletből MTO1202 Meghirdetés féléve 7 Kreditpont 4 Heti kontakt óraszám (elm.+gyak.) 2+1 K MTO1109 Tantárgyfelelős neve és beosztása Dr. Kurdics János főiskolai tanár A hallgatók ismerjék meg a modern algebra fogalmait, problémafelvetéseit, legyenek képesek az eredmények alkotó alkalmazására. Sajátítsák el a csoport, test- és számelmélet néhány nevezetes tételét, eljárását. Erősödjön a hallgatókban a matematikai fogalomalkotás készsége, alakuljon ki a bizonyítási és problémamegoldási rutin. A csoportelmélet alapfogalmai, Lagrange-tétel. Permutációcsoportok, Cayley-tétel. Integritástartomány, euklideszi gyűrűk. Testbővítések. A geometriai szerkeszthetőség alapjai. Kitekintés: egyenletek megoldhatósága gyökjelekkel. Gauss-egészek. A két négyzetszámtétel. Hatványmaradékok, kvadratikus reciprocitás. 1. Bálintné Szendrei Mária, Czédli Gábor, Szendrei Ágnes : Absztrakt algebrai feladatok. Tankönyvkiadó, Kiss Péter, Mátyás Ferenc: A számelmélet elemei, Líceum Kiadó, Kurdics, J., Algebra II, Bessenyei Kiadó, Nyíregyháza, Sárközy András, Surányi János: Számelmélet feladatgyűjtemény. Nemzeti Tankönyvkiadó 5. Szendrei János : Algebra és számelmélet, Tankönyvkiadó, több kiadásban 6. van der Waerden, B.L.: Algebra, Springer, 2003

28 Elemi matematika IV MTO1203 Meghirdetés féléve 7 Kreditpont 2 Heti kontakt óraszám (elm.+gyak.) 0+2 G MTO1123 Tantárgyfelelős neve és beosztása Dr. Vattamány Szabolcs, főiskolai docens Az elemi matematika tantárgy célja, hogy fejlessze a hallgatók feladatmegoldó képességét, logikus gondolkodását, analógiák felismerését a különböző témájú feladatokban. Összeszámlálási feladatok. Skatulya-elv. A gráfok alkalmazása különböző típusú feladatokban. Középértékek: számtani, mértani, harmonikus, négyzetes közép és a közöttük fennálló egyenlőtlenségekre vonatkozó feladatok. Szélsőérték-feladatok megoldása különböző módszerekkel. Geometriai egyenlőtlenségek, szélsőértékfeladatok. Elemi függvények (hatvány, gyök, exponenciális, logaritmus, trigonometrikus) alkalmazása különböző típusú feladatokban. Függvénytranszformációk és alkalmazásaik. Valószínűségi kísérletek, játékok. Klasszikus valószínűségi mező. Geometriai valószínűség. Matematikai játékok, rejtvények. 1. Róka Sándor: 2000 feladat az elemi matematika köréből. Typotex, Róka Sándor: A Kalmár László Matematikaverseny feladatai. Nyíregyházi Főpiskola, Skljarszkij, Csencov, Jaglom: Válogatott feladatok és tételek az elemi matematika matematika köréből. Typotex, 2004.

29 Fejezetek a geometriából MTO1204 Meghirdetés féléve 8. Kreditpont 4 Heti kontakt óraszám (elm.+gyak.) 2+1 K MTO1117 Tantárgyfelelős neve és beosztása Dr. Kovács Zoltán főiskolai tanár A geometriai ismeretek bővítése a kúpszeletek elméletének elemeivel, a differenciálgeometria és a projektív geometria alapjaival valamint az axiomatikus módszer megismerésével. Kúpszeletek definíciója, geometriai tulajdonságok. Származtatásuk forgáskúp síkmetszeteként. Kúpszeletek egyenletei. Térgörbék analitikus megadása. Felületek megadása egyenlettel. Néhány felülettípus. Betekintés a projektív geometriába. Centrális vetítés. Az euklideszi sík és tér projektív bővítései. Pont-és sugárnégyes kettősviszonya, Papposz tétel. Perspektívitások és projektívitások. Az euklideszi geometria axiomatikus megalapozása. A párhuzamossági axióma jelentősége, helyettes axiómák. Bolyai Farkas és Bolyai János szerepe a hiperbolikus geometria felfedezésében. A hiperbolikus síkgeometria néhány elemi tétele. 1. G. Horváth Ákos Szirmai Jenő: Nemeuklideszi geometriák modelljei. Typotex, Budapest, Radó Ferenc Orbán Béla: A geometria mai szemmel. Dacia Kiadó, Kolozsvár-Napoca, Reiman István: A geometria és határterületei. Gondolat, Budapest, 1986.

30 A matematika története MTO1205 Meghirdetés féléve 8 Kreditpont 3 Heti kontakt óraszám (elm.+gyak.) 2+0 K Tantárgyfelelős neve és beosztása Dr. Kurdics János főiskolai tanár A főiskolán tanult ismeretek szintetizálása. A fontos fogalmak kialakulásának, nagy matematikusok tevékenységének bemutatása. A történeti szemlélet kialakítása a hallgatókban a motivációs bázis erősítése a hatékonyabb tanári munka érdekében. Matematika történetének korszakai (a matematika fejlődésének csomópontjai). A matematika keletkezése. Az ókori Egyiptom és Babilónia matematikája. Görög matematika az ókorban. A matematika első axiomatikus felépítése (Euklidesz: Elemek). A kínai és az indiai matematika fejlődésének sajátosságai. Európai matematika a középkorban és a reneszánsz korában. A természettudományok fejlődésének hatása a matematikára és viszont. Az analitikus geometria kialakulása, a számítási módszerek és eszközök fejlődése, az analízis alapjainak kidolgozása, apparátusának alakulása, fferenciálegyenletek alkalmazásai, variációszámítás megjelenése, a differenciál-geometria kialakulása. Újabb tudományágak megjelenése (projektív geometria, kombinatorika, valószínűségszámítás). Gauss munkássága. A nem-euklideszi geometria felfedezésének jelentősége (Bolyai J. és N. I. Lobacsevszkij). A matematika főbb ágainak fejlődése és differenciálódása (algebrai egyenletek általános elmélete, Galois-elmélet, csoportelmélet, komplex változós függvények elmélete, topológia, funkcionálanalízis). A matematika megalapozására vonatkozó törekvések. A matematika fejlődési irányai napjainkban. A magyar matematika rövid története. Kötelező, ajánlott irodalom (3-5 db): 1. Filep László : A tudományok királynője. (A matematika fejlődése.) Typotex- Bessenyei, Sain Márton : Matematikatörténeti ABC. Tankönyvkiadó, több kiadás. 3. Sain Márton : Nincs királyi út. (Matematikatörténet) Gondolat, Szénássy Barna : A magyarországi matematika története. Akadémiai Kiadó, 1970.

31 A matematika alapjai MTO1206 Meghirdetés féléve 8 Kreditpont 3 Heti kontakt óraszám (elm.+gyak.) 2+0 K - Tantárgyfelelős neve és beosztása Dr. habil. Nagy Károly, főiskolai tanár A hallgató legyen képes megkülönböztetni a termeket és a formulákat, legyen képes adott formulát és termet az induktív definíció alapján felépíteni, logikai műveleteket elvégezni, formulák igazságtáblázatát elkészíteni. Tudjon adott mondatokat nulladrendű illetve elsőrendű nyelvben formalizálni, a mondatokban szereplő összekötő jeleket a megfelelő logikai összekötő jelekkel helyettesíteni. Az ítéletlogika nyelve, logikai műveletek, ítéletlogikai formulák, ítéletkalkulus. Kielégíthetőség. tautológiák, ekvivalens formulák, a konjunktív és diszjunktív normálforma. A logikai következmény fogalma. Elsőrendű nyelvek, termek, formulák, kvantorok, kötött és szabad változók, kötött változók átnevezése. Az elsőrendű nyelv modellje, kielégíthetőség, logikai törvények, ekvivalens formulák, a formula prenex alakja. A predikátumkalkulus, dedukció-tétel, Gödel tételei, a természetes levezetés technikája. Formális axiomatikus elméletek (axiómarendszerek). Naiv halmazelmélet. Halmazok megadása, halmazműveletek, hatványhalmaz. Halmazok ekvivalenciája. Számosságok és összehasonlításuk, műveletek számosságokkal. Megszámlálható és kontinuum számosságú halmazok. 1. Dragálin Albert, Buzási Szvetlána: Bevezetés a matematikai logikába. Kossuth Egyetemi Kiadó, Debrecen, Hajnal András, Hamburger Péter: Halmazelmélet. Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, Pásztorné Varga Katalin, Várterész Magda: A matematikai logika alkalmazásszemléletű tárgyalása. Panem Kiadó, Budapest, Sashalminé Kelemen Éva: A matematikai logika és a halmazelmélet elemei. EKTF Líceum Kiadó, Eger, Urbán János: Matematikai Logika. Műszaki Könyvkiadó Kft, 2006.

32 Szakmódszertan I MTO8001 Meghirdetés féléve 5. Kreditpont 2 Heti kontakt óraszám (elm.+gyak.) 2+0 K Tantárgyfelelős neve és beosztása Dr. Czeglédy István János főiskolai tanár Tantárgyfelelős tanszék/intézet kódja TK TANTÁRGYLEÍRÁS A pedagógia és a pszichológia kutatási eredményeinek alkalmazása a matematikatanításban. Külön kiemelendők azon specifikumok, amelyek elősegítik a matematikai ismeret-elsajátítási folyamatot. A matematikatanítás cél-, feladat- és követelményrendszere. Nevelési, oktatási, képzési célrendszer a társadalmi elvárások tükrében. Matematikai fogalomalkotás, a matematikai ismeretszerzés folyamata, fázisai. A matematikai ismeretek jellemzői. A matematikatanítás alapelvei. A tanár gondolkodásfejlesztő munkájának és a tanuló gondolkodásának jellemző hibái, illetve ezek kiküszöbölése. A tanulók gondolkodási szintjei, az egyes szintekhez igazított szakdidaktikai modellek kialakítása. Motiválási lehetőségek a matematikaórákon. A matematikatanításban alkalmazható korszerű munkaformák, módszerek, eszközök, kooperatív matematikatanulási technikák. A differenciálás szükségessége és lehetősége a matematikaoktatásban. Tehetséggondozás, felzárkóztatás a nívócsoportok helye a tanítási gyakorlatban. Az ellenőrzés, értékelés, osztályzás pedagógiája és pszichológiája a matematikaoktatásban. 1. Dr. Czeglédy István: Matematika tantárgypedagógia I., Bessenyei Kiadó, Nyíregyháza Kelemen László: Pedagógiai pszichológia, Tankönyvkiadó, Budapest, Richard R. Skemp: A matematikatanulás pszichológiája, Gondolat Kiadó, Budapest, Dr. Spencer Kagan: Kooperatív tanulás, Önkonet Kft. Budapest, 2004.

33 Szakmódszertan II MTO8002 Meghirdetés féléve 6. Kreditpont 2 Heti kontakt óraszám (elm.+gyak.) 0+2 G MTO8001 Tantárgyfelelős neve és beosztása Dr. Czeglédy István János főiskolai tanár Tantárgyfelelős tanszék/intézet kódja TK TANTÁRGYLEÍRÁS Megmutatni a hallgatóknak: azért tanítjuk a matematikát, hogy a társadalmi beilleszkedéshez nélkülözhetetlen pszichés tulajdonságokat, kompetenciákat kialakítsuk, fejlesszük a tanulókban. A tananyag feldolgozása során olyan feladatsorok összeállítására, elemzésére, értékelésére kerül sor, amelyekkel az alább felsorolt kompetenciákat fejleszteni tudjuk: - Algoritmikus gondolkodás - Értelmes, elemző olvasás - Számolási készség - Ítéletalkotás, döntés - Tervezés - Problémamegoldás, ismeretek alkalmazása - Konstrukciós képesség - Függvényszerű gondolkodásmód - Helyes következtetésekre való képesség - Motiváltság 1. Dr. Czeglédy István: Matematika tantárgypedagógia I., Bessenyei Kiadó, Nyíregyháza, Dr. Csapó Benő: Tudás és iskola, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, Dr. Hajdu Sándor szerkesztésében: i. Matematika Tankönyvek, Feladatgyűjtemények ii. Műszaki Könyvkiadó, Budapest,