Segédlet. a Hőtan tárgycsoport tantárgyaihoz

Átírás

1 Segédlet a Hőtan tárgycsoport tantárgyaihoz 5

2

3 SEGÉDLET A HŐTAN TÁRGYCSOPORT TÁRGYAIHOZ 3

4 Segédlet a Hőtan tárgycsoport tárgyaihoz Első kiadás Összeállította: DR. BIHARI PÉTER BOTH SOMA DOBAI ATTILA GYÖRKE GÁBOR Bihari Péter, Both Soma, Dobai Attila, Györke Gábor 4. Verzió:. 4

5 TARTALOMJEGYZÉK. Termodinamikai összefüggések.... Állapotdiagramok Hősugárzás Fontosabb összefüggések és állandók Sugárzásos hőáram meghatározása Egyszerű geometriák esetei Összetett geometriák esetei Sugárzási tényezők különböző helyzetű felületek között Időben állandósult hővezetés Összetett szerkezetek hőellenállása Kontakt (érintkezési) hőellenállások tájékoztató értékei Bordák hővezetése Állandó keresztmetszetű rúd- és lemezbordák Változó keresztmetszetű bordák Tüskebordák Lemezbordák Tárcsabordák Állandó vastagságú tárcsaborda Változó vastagságú tárcsabordák Időben változó hővezetés Alapvető összefüggések Fontosabb mennyiségek és jelölésük Hővezetés általános differenciálegyenlete Derékszögű (DESCARTES) koordinátarendszerben Henger koordinátarendszerben Gömbi koordinátarendszerben Hasonlósági kritériumok Számítást segítő nomogramok Dimenziótlan hőmérsékletek elsőfajú peremfeltétel esetén Dimenziótlan hőmérsékletek harmadfajú peremfeltétel esetén Hőleadási (Gröber-féle) diagramok Végtelen vastag sík fal dimenziótlan hőmérséklete Közelítő összefüggések Többdimenziós testek dimenziótlan hőmérséklete Numerikus módszerek (véges differencia sémák) Időben állandósult hővezetés Időben változó hővezetés Explicit differencia-séma Implicit differencia-séma Crank Nicolson differencia-séma Hőátadás Halmazállapot változás nélküli hőátadás Természetes áramlás Határolatlan nagy térben történő hőátadás Hőátadás függőleges vagy ferde izotermikus sík lap mentén Hőátadás vízszintes izotermikus sík lap mentén Hőátadás izotermikus függőleges henger külső palástfelületén Hőátadás izotermikus vízszintes henger külső palástfelületén Hőátadás izotermikus gömb külső felületén Határolt térben történő hőátadás Hőátadás vízszintes izotermikus sík lapok közötti résben Hőátadás függőleges izotermikus sík lapok közötti résben Hőátadás ferde helyzetű izotermikus sík lapok közötti résben Függőleges lemezbordázattal ellátott felszín hőátadása

6 Közös tengelyű, vízszintes helyzetű izotermikus hengerek közötti hőátadás Közös középpontú, izotermikus gömbök közötti hőátadás Kényszerített áramlás Sík lap mentén történő áramlás Izotermikus sík lap lamináris áramlásban Izotermikus sík lap vegyes (lamináris és turbulens) áramlásban Izotermikus sík lap vegyes turbulens áramlásban Egyedülálló henger, ill. hasáb körüli áramlás Egyedülálló henger, ill. hasáb körüli áramlás határolatlan térben Egyedülálló henger, ill. hasáb körüli áramlás határolt térben Egyedülálló gömb hőátadása Kör keresztmetszetű csövekből álló csőkötegre merőleges áramlás Sima falú, egyenes csőben (csatornában) történő áramlás Teljesen kialakult (félépült) lamináris áramlás, állandó falhőmérséklet Teljesen kialakult (félépült) lamináris áramlás, állandó hőáramsűrűség a fal mentén Turbulens áramlás Hőátadás simafalú csőspirálban Lamináris áramlás a csőspirálban Turbulens áramlás a csőspirálban Átmeneti áramlás a csőspirálban Hőátadás csövek közötti gyűrűs térben Lamináris áramlás a gyűrűs térben Turbulens áramlás a gyűrűs térben Természetes és kényszerített áramlás egyidejű fennállása Halmazállapot változással járó hőátadás Forrás Nagy térfogatban történő buborékos forrás (tetszőleges közeg) Víz nagy térfogatban történő buborékos forrása Stabil filmforrás Kondenzáció Lamináris filmkondenzáció ferde vagy függőleges sík felületen vagy hengerpaláston Átmeneti filmkondenzáció ferde vagy függőleges sík felületen vagy hengerpaláston Turbulens filmkondenzáció ferde vagy függőleges sík felületen vagy hengerpaláston Lamináris filmkondenzáció egyedülálló vízszintes cső vagy gömb külső felületén Lamináris filmkondenzáció vízszintes csövekből álló függőleges csőköteg külső felületén Filmkondenzáció vízszintes cső belső felületén Hőcserélő készülékek Fontosabb mennyiségek Egyszerű hőcserélők Egyenáramú hőcserélő Ellenáramú hőcserélő Egyszeres keresztáramú hőcserélők Tiszta (nem keveredő közegű) keresztáramú hőcserélő Keveredő közegű keresztáramú hőcserélő Részlegesen keveredő közegű keresztáramú hőcserélők Többjáratú csőköteges hőcserélők Korrekciós tényező Bošnjaković-féle hatásosság Anyagjellemzők A száraz levegő fizikai jellemzői A száraz levegő fizikai jellemzői bar nyomáson A száraz levegő izobár fajhője A száraz levegő hővezetési tényezője A száraz levegő köbös tágulási együtthatója A száraz levegő kinematikai viszkozitása..... A víz és vízgőz fizikai jellemzői Telített víz és gőz fizikai jellemzői A víz fizikai jellemzői bar nyomáson A víz/gőz izobár fajhője A víz/gőz sűrűsége

7 ..5. A víz/gőz köbös tágulási együtthatója A víz/gőz hővezetési tényezője A víz kinematikai viszkozitása Néhány szilárd anyag sűrűsége, hővezetési tényezője és fajhője Néhány fém és ötvözet sűrűsége, hővezetési tényezője és fajhője C hőmérsékleten Egyes anyagok relatív emisszióképessége a teljes spektrumra vonatkozóan Fémek Nemfémes anyagok

8

9 I. rész Termodinamika

10

11 . TERMODINAMIKAI ÖSSZEFÜGGÉSEK Jelölések, fogalmak, definíciók p, nyomás V, térfogat T, absz. hőmérséklet m, tömeg R = RU M = cp cv, specifikus gázállandó; gázállandó, kitevő; κ R U vagy R, univerzális κ = c p cv, adiabatikus κr c p =, izobár, 834,37 J/(kmol K) n, politrop kitevő R N, mólszám (anyagmennyiség) fajhő c V =, izochor κ M, moláris tömeg, U, belső energia, J H = U + pv, entalpia, J W munka, J kg/kmol Q, hőmennyiség, J x = X m, tömegre dqrev ds =, entrópia ω KE = m, kinetikus fajlagosított extenzív T energia ( ω sebesség) PE = mgz, potenciális E = U + PE + KE, teljes E = H + PE + KE, teljes n κ energia (z, magasság) energia (zárt rendszer) energia (nyitott r.) cn = cv, pol. fajhő n Ideális gáz állapotegyenlet: pv = mrt, pv = RT, pv = állandó (állandó tömegű rendszer) T fajlagos belső energia: du = c dt ; fajlagos entalpia: dh = c dt T v fajlagos entrópia-változás: s = s s = cv ln + R ln T v általános állapotváltozás: V n pv = állandó, n pv speciális állapotváltozások: n =, izotermikus;, p T p s = s s = cp ln R ln T p n n n T p V = állandó, = = T p V n = κ, adiabatikus; n =, izobár; n =, izochor. I. főtétel zárt rendszer nyitott rendszer U U = Q + Wf, nyugvó H H = Q + Wt, E E = Q + Wf, mozgó E E = Q + Wt, V fizikai munka: ( ) W p V dv f = technikai munka: t = ( ) V p p W V p dp hőmennyiség: dq = cmdt (ha az adott fajhő értelmezve van) Körfolyamatra: d U = d W + d Q = Q = W Q bevezetett Q elvont = W W Q termikus hatásfok (erőgép): η = ; hatásosság (hűtőgép/hőszivattyú): ε = Q W dq dq dwdiss ds = + dsprod = + T T T transzportált entrópia produkált entrópia bevezetett II. főtétel hasznos, ahol W diss : disszipációs munka (belső irreverzibilitások) Belső hatásfok

12 wvalós w expanziós gép (pl. turbina): ηexp = kompressziós gép: η w comp = izentrop w Termikus együtthatók v p izobár hőtágulási együttható: β = izochor nyomás együttható: σ = v T p T izoterm kompresszibilitási tényező: χ T p v = v p T izentrop valós, izoterm rugalmassági modulus: p ε T = v v. T Általános összefüggések HELMHOLTZ-féle szabad energia: F = U TS ; GIBBS-féle szabad entalpia: G = H TS T p MAXWELL-egyenletek: = v s s, T v s p =, = v p s s p v T T, s v =. v p T T p p v Tds egyenletek: Tds = cvdt + T dv, Tds = cpdt T dp. T T fajlagos belső energia: u p u du = dt + T p dv T v T és cv = v T fajlagos entalpia: h v h dh = dt + v T dp és cp = T p T p T p Többfázisú rendszerek (gőz-folyadék egyensúlyi rendszerek) az egyik fázis tömege Fajlagos gőztartalom: x =. ( ): folyadék fázis, ( ) gőz fázis a két fázis együttes tömege v xv x v h xh x h s = xs + x s. vegyes fázis esetén: = + ( ), = + ( ), ( ) dp r CLAPEYRON-egyenlet: = dt T v v ( ) v. CLAPEYRON CLAUSIUS-egyenlet: ln p r. p R T T Valós közegek (van der Waals modell) pv vmért kompresszibilitási (reál) faktor: Z = RT = v. vdw áll. egyenlet: a p + ( v b ) RT = ideális v RTC vdw együtthatók: b = 8 p és 7 a = RT 8 C b, ahol T C : kritikus hőmérséklet, p C : kritikus nyomás. C v p v

13 tömegarány: g i = n m i= i m i ; mólarány: Gázelegyek mi Ni Mi yi = = n n mi Ni M i= i= i ; parciális nyomás: p N RT V i i = = yip. Extenzív állapothatározók: U = U, H Keveredési entrópia: n i= n i= mi Se = yi Rln y M i i n n = Hi, cx,e gicx, i i= i= i =, n S = S. i= i Nedves levegő m p víz gőz Abszolút nedvességtartalom: x = =,6 m p p Relatív páratartalom: ϕ = p p gőz gőz, telítési levegő, száraz össz gőz Fajlagos entalpia: h + x cp,levegő t x ( r cp,gőz t) = + + (telítetlen állapotban), 3

14

15 . ÁLLAPOTDIAGRAMOK Állapotdiagramok R79: Levegő; R744: Szén-dioxid (CO ) R78: Víz-vízgőz (H O); R77: Ammónia (NH 3 ); R6a: Izobután (-metil propán, CH(CH 3 ) ); R34a:,,,-tetrafluoretán (CH FCF 3 ). Nedves levegő MOLLIER-féle entalpia-koncentráció diagramja Nedves levegő pszichrometrikus diagramja 5

16 6 Hőmérséklet, C 3, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3,,,, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3,,,, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3,,,, -, -, -3, -4, -5, -6, -7, -8, -9, -, -, -, -3, -4, -5, -6, -7, -8, -9, -, R79 Ref :W.C.Reynolds: Thermodynamic Properties in SI DTU, Departm ent of Energy Engineering h in [kj/kg]. v in [m^3/kg]. p in [Bar] M.J. Skovrup & H.J.H Knudsen Levegő v=,5 v=, v=,5 v=,5 v=, 5 v=,5 7,5 5,,5 x =,,,3,4,5,6,7,8,9 h = Fajlagos entrópia, J/(kg K),,75,5,5,,5 h = 3 5,5 h = 34 5 h = 36, h = 38 h = 4 h = 4 7,5 5,,5 h = 46 h = 44,5 h = 5 h = 48,5, h = 54 h = 5 h = 58 h = 56,,75,5,5 h = 64 h = 6 h = 6 5, h = 7 h = 68 h = 66 h = 78 h = 76 h = 74 h = 7 h = 8

17 Hőmérséklet, C R78 Ref :W.C.Reynolds: Thermodynamic properties in SI DTU, Department of Energy Engineering h in [kj/kg]. v in [m^3/kg]. p in [Bar] M.J. Skovrup & H.J.H Knudsen v=,5 v=, v=,5 v=,5 v=, v=,5 v=,5 v=, v=,5 v= 5, v=,,5,5,,5,5, x =,5,,5,,5,3,35,4,45,5,55,6,65,7,75,8,85,9,95 h = v= 5 v= 5 5,5 5 5, 5, 5,5,5,5, 5 5,5,5, 5,,5,5 5,,,5 h = 6 h = 7,5 5 h = 8 h = 3 h = 9,,5,5 5 h = 3 h = 3 5 h = 34 h = 33 h = 36 h = 35, h = 4 5 h = 4 h = 39 h = 38 h = Fajlagos entrópia, J/(kg K)

18 8 R744 Ref :W.C.Reynolds: Thermodynamic Properties in SI, DTU, Department of Energy Engineering h in [kj/kg]. v in [m^3/kg]. p in [Bar] 95, M.J. Skovrup & H.J.H Knudsen ,,4, ,8, 5 4, 3 5,4 5,6 9, 8, 7,,8, h = 56 85, 8, h = 55 75, 7, h = 54 65, 6, h = 53 55, 5, 45, h = 5 4, 35, h = 5 Temperature [şc] 3, 5,, 5, h = 49 h = 5, 5,, -5, -, -5, -, -5, -3, -35, -4, -45, -5, v=,4 v=,6 v=,8 v=, Entropy [J/(kg K)] , 8, 7, x =,,,3,4,5,6,7,8,9 h = v=, v=,4 h = 44 h = 45 h = 46 h = 47 h = 48

19 ,8,9,,5 s =,6 s =,65 s =,7 s =, s =,75 s =,5 s =, s =,5 s =,8 s =, s =,85 s =,95 s =,9 s =,85 s =,8 s =,9 s =,75 s =,7 s =,95 s =, s =, s =,5 s =,5 s =, s =,5 s =,3 s =,35 s =,4 s =,45, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3,,, Enthalpy [kj/kg] ,,3,4,6,5,7,6,5,4,3,,5 R744 Ref :W.C.Reynolds: Thermodynamic Properties in SI DTU, Department of Energy Engineering s in [kj/(kg K)]. v in [m^3/kg]. T in [şc] M.J. Skovrup & H.J.H Knudsen v=,3 v=,4 v=,6 v=,8 v=, v=,5 v=, v=,3 x =,,,3,4,5,6,7,8,9 s =,8,,,4,6,8, Pressure [Bar] 9

20 p =, p =,5 p =,5 p =, p =,5 p =,5 p =, p =,5 p = 5, p = p = 5 p = 5 p = p = 5 p = 5 p = R78 Ref :W.C.Reynolds: Thermodynamic properties in SI,5, 5, 5,,5 DTU, Department of Energy Engineering T in [ C]. v in [m^3/kg]. p in [Bar] M.J. Skovrup & H.J.H Knudsen ,,9,8,7,6,5,4,3,,,,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,,, Fajlagos entrópia, kj/(kg K) Fajlagos entalpia, kj/kg

21 ,5,,5, 5, R78, Víz-vízgőz t, C; v, m 3/kg, p, bar p =, p =,5 p =, p =,4 p =,3 p =, 6 p =,8 p =, p =,5 p =, p =,3 p =,4 p =,6 p =,8 p =,5 p =, p = 3, p = 4, p = 6, p = 8, p = p = 5 p = p = 3 p = 4 p = 6 p = 8 p = p =, p = 5 p = p = 3 p = 4 p = 6 p = ,9 5,9,8 5 5, 8,75,6,55,5, , 5, 6, 7, 8, 9,,,7,65 Fajlagos entrópia, kj/(kg K) Fajlagos entalpia, kj/kg

22

23 R77 Ref :R.Döring. Klima+Kälte ingenieur Ki-Extra 5, , 6, 4,,,,8,6 9, DTU, Department of Energy Engineering h in [kj/kg]. v in [m^3/kg]. p in [Bar] M.J. Skovrup & H.J.H Knudsen ,5,,5,5,,5,5,,5 5, h = 9 7, h = 85 5, h = 8 3,, 8 h = 75 Hőmérséklet, C 9, 7, 6 4 h = 7 h = 65 5, 3,, v=,5 v=, v=,5 v=,5 v=, 8, 6, 4, h = 5 h = 55 h = 6 -, -3, -5, v=,5,,,8,6 x =,,,3,4,5,6,7,8,9 h = v=,5 v=, h = 4 h = Fajlagos entrópia, J/(kgK)

24 ,,5,, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3,,, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3,,,,9,8,7,6,5,4,3, R77 Ref :R.Döring. Klima+Kälte ingenieur Ki-Extra 5, 978,3 s = 4,5 s = 4,75,4,5 s = 5, s = 5,5 s = 5,5 s = 5,75 s = 6, s = 6,5 s = 6,5-9,6 8,7,8,9 7, 6 5,5 4, 3,3,4,5,6,7,8,9, s = 6,75 s = 7, s = 7,5 s = 7,5 s = 7,75 s = 8, s = 8, , 4, 5,,5, 6, 7, 8, 9, Fajlagos entalpia, kj/kg Nyomás, bar DTU, Department of Energy Engineering s in [kj/(kg K)]. v in [m^3/kg]. T in [şc] M.J. Skovrup & H.J.H Knudsen v=,8 v=,6 v=, v=,5 v=, v=,3 v=,4 v=,8 v=,6 v=, v=,5 v=, v=,3 v=,4 v=,6 v=,8 v=, v=,5 v=, v= 3, x =,,,3,4,5,6,7,8,9 s =,, 3, 4, 5, 6, 4

25 ,,5,,3,4,6,8,,5,,3,4,6,8,,5, 3,,8,6,4 s =,7 s =,6 s =,5 s =,4 s =,8 s =,9 s = 3, s = 3, s = 3, 5, 4, 3,,, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3,,,,9,8,7,6,5,4,3, R6a Ref :W.C.Reynolds: Thermodynamic Properties in SI Fajlagos entalpia, kj/kg Nyomás, bar DTU, Department of Energy Engineering s in [kj/(kg K)]. v in [m^3/kg]. T in [şc] M.J. Skovrup & H.J.H Knudsen v=,6 v=,8 v=, v=,5 v=, v=,3 v=,4 v=,6 v=,8 v=, v=,5 v=, v=,3 v=,4 v=,6 v=,8 v=, x =,,,3,4,5,6,7,8,9 s =,8,,,4,6,8,, 5

26 ,6,7,8,9,,5,,3,4,5,6,7,8,9,,5,,3,4,5,6,5,4,3,,5 s =,7 s =,95 s =,9 s =,85 s =,75 s =,8 s =, s =,5 s =, s =,5 s =, s =,5 5, 4, 3,,, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3,,,,9,8,7,6,5 R34a Ref :D.P.Wilson & R.S.Basu, ASHRAE Transactions 988, Vol. 94 part Fajlagos enthalpia, kj/kg Nyomás, bar DTU, Department of Energy Engineering s in [kj/(kg K)]. v in [m^3/kg]. T in [şc] M.J. Skovrup & H.J.H Knudsen v=, v=,3 v=,4 v=,6 v=,8 v=, v=,5 v=, v=,3 v=,4 v=,6 v=,8 v=, v=,5 v=, x =,,,3,4,5,6,7,8,9 s =,,,4,6 6

27 5, 5,, 75, % %, 3 % 9, C 4 % 5 % 8, C 6 % 7 % 75, 8 % 7, C 9 % % 6, C 5, C 5, 4, C 3, C 5,, C, C I,x-Diagram for moist air PB =,35. T =,. T = 4,. T3 = 75, DTU, Departm ent of Energy Engineering M.J. Skovrup & H.V. Holm. 4--9, C,,5,,5,,5,3,35,4,45 Abszolút nedvességtartalom, kg/kg Fajlagos entalpia, kj/kg 7

28 8

29 II. rész Hőközlés 9

30

31 3. HŐSUGÁRZÁS 3.. Fontosabb összefüggések és állandók ( ) C PLANCK-törvény: Eλ = 5 C λ exp λt ahol λ µm egységben helyettesítendő és C = π = 8 hc 3,747 W µm 4 /m = 6 3,747 W m, hc 4 C = =,43854 µm K =,43854 m K. k STEFAN-BOLZTMANN-törvény: ahol 8 ( = ) λ ( λ, ) dλ = σ 4 ( ) ( ) σ = 5,674 W/(m K4 ). qɺ T E T T, W/(m µm), (fajlagos sugárzási teljesítmény-sűrűség), (sugárzási teljesítmény-sűrűség) Látható fény (,38..,75 µm) K (a Nap felszíne) Fajlagos sugárzási teljesítmény-sűrűség, W/(m m) K 4 K 3 K 5 K K 5 K K 5 K 3 K K Maximumok burkológörbéje, Hullámhossz, µm 3-. ábra. Az abszolút fekete test fajlagos sugárzási teljesítmény-sűrűsége a hullámhossz és a felszíni hőmérséklet függvényében (logaritmikus koordinátarendszerben) 3

32 # 4 Fajlagos sugárzási teljesítmény-sűrűség, W/(m m) 8 # 3 6 # 3 4 # 3 # 3 5 K 4 K 578 K (a Nap felszíne) 3 K Hullámhossz, µm 3-. ábra. Az abszolút fekete test fajlagos sugárzási teljesítmény-sűrűsége a hullámhossz és a felszíni hőmérséklet függvényében (lineáris koordinátarendszerben) A WIEN-féle eltolódási törvény (lásd a 3-. ábrát): λ T = µm K. ( ) max 897,8 Az abszolút fekete test sugárzási függvénye: továbbá f ( T ) f ( T ) f ( T ) λ λ λ λ =. ( ) f T λ = λ E ( ) ( λ T ) λ σ, dλ T 4, 3

33 3. táblázat. Az aboszlút fekete test sugárzási függvényének számértékei λ T, µm K f λ ( T ) λ T, µm K f λ ( T ), 6,7544 4, 64, , 66, ,6 68,7969,3 7,889,34 7,897 4,779 74,8957 6,978 76,839 8, ,8485,6678 8,85688,888 85, ,456 9,899 6,83 95,9385 8,7897,9499 3,733 5,937 3,38, , , ,4367, , , , , ,564 5, , , ,5798 8, ,67559,9856 5, ,995 5, , ,6836 4, ,746 5, ,758 75, ,73788,99995 Napállandó az atmoszféra határán: G S = 373 W/m. 33

34 3.. Sugárzásos hőáram meghatározása 3... EGYSZERŰ GEOMETRIÁK ESETEI geometria kisméretű test nagyméretű burkolófelületen belül, A A, φ, = hőáram T, A, ε T, A, ε 4 4 ( ) Qɺ = σ ε A T T összemérhető felületű egymást burkoló testek, A < < A, φ, = nagyméretű, párhuzamos, izotermikus sík lapok, A φ = A =,, Qɺ = σ 4 4 ( ) A T T A ε + A ε 4 4 ( T ) A T Qɺ = σ + ε ε 3... ÖSSZETETT GEOMETRIÁK ESETEI Összetett geometriák esetén az alábbi összefüggést célszerű használni a hőáram kiszámítására 4 4 ( ) Qɺ = σ ε ε φ A T T,, ahol φ, sugárzási tényező (térszögarány, view factor) értékét a 3.3. alfejezet szerint kell meghatározni. 34

35 3.3. Sugárzási tényezők különböző helyzetű felületek között Sugárzási tényező ( φ, ) az a mennyiség, ami megmutatja, hogy az -jelű testet elhagyó sugárzás hányad része éri el a -jelű testet. Használatára érvényes a reciprocitási szabály: φ,a = φ,a.., Két végtelen hosszú, párhuzamos sík lemez egymással szemben w w h., Két végtelen hosszú, merőleges, közös oldalélű sík lemez h 3., Két végtelen hosszú, azonos szélességű, közös oldalélű, egymással α szöget bezáró sík lemez w α w 4., Két végtelen hosszú, párhuzamos, azonos átmérőjű henger s r 4., Két végtelen hosszú, párhuzamos, eltérő átmérőjű henger s r w r r ha w w : φ, = ha w = w = w : φ, φ W w w = ; W = h h,5, ( W W ) ( W W ), W ( ) ( ) φ, = + h w h w h H = w ( H H ) φ, =,5 + + α φ, = φ, = sin s X = + r = arcsin + X X π X r s R = ; S = ; C = + R + S r r = π + C ( R + ) C ( R ) π R R + + ( R ) arccos ( R + ) arccos C C 35

36 5., Végtelen hosszú henger és végtelen hosszú, véges szélességű sík lemez, melyek párhuzamosak A r B b b = ; B = a a a φ = arctan arctan π ( B B ), A b b 6., Párhuzamos síkú, függőleges eltolással fedésbe hozható, véges méretű sík lemezek a b A c φ a b X = ; Y = c c ( + )( + ),5 X Y X πxy + X + Y + Y, = ln + X + Y arctan Y + Y + X arctan X arctanx Y arctany + X A 7., Merőleges síkú, közös oldalú, véges méretű sík lemezek l A w h φ, A ( )( ) ( ) ( )( ) h w H = ; W = l l = W arctan H arctan H W arctan πw + + W H H + W ( ) ( )( ) W H + W + H W + W + H H + W + H + ln 4 + W + H + W W + H + H W + H 36

37 8., Párhuzamos síkú, közös felületi normálisú, egymás alatti középpontú, kör alakú lemezek r r r + R = ; = ; = + a a R R R X a r 9., Henger külső felülete és a talpánál található kör alakú lemez r φ, R = X X 4 R = r ; = l ; = + ; = + R L A L R B L R r r l φ B A ( A + ) AR A = + arccos 4 arccos arcsinr RL π B L R B RL, r., Téglalap és egyik csúcspontja felett elhelyezkedő gömb alkalmazható, ha r<d A r d D d d = ; D = l l l l A φ = arctan, 4π D + D + DD., Gömb és alatta elhelyezkedő kör alakú lemez. A lemez középpontjából állított felületi normális átmegy a gömb középpontján A r R = a r A a φ, = + R 37

38 ., Hengersor és végtelen nagy sík lemez s D,5 A,5 φ D D s D = + arctan s s D, 3., Henger belső palástfelülete önmagára r A h A h H = r,5 φ = + + H ( H), 4., Henger egyik véglapja a belső palástfelülete r A h H = r A h ( ),5 φ, = H + H H 38

39 4. IDŐBEN ÁLLANDÓSULT HŐVEZETÉS 4.. Összetett szerkezetek hőellenállása., A felületű fal hőátadása α T T w R = / ( α A)., A felületű sík fal hővezetése T R = δ /( λ A) δ T 3., L hosszúságú, n oldalú szabályos sokszög alapú hasáb, furattal T r r T ha r r ln( r / r ) K r R =, ha > L π λ r n K n K 3,5696 8,57 4,78 9,44 5,67,354 6,67, 7,76 T T 4., gömbhéj ( / r ) ( / r ) R = 4 π λ 5., L hosszúságú cső ln( r / r ) R = L π λ r r 6., L hosszúságú henger excentrikus furattal T r T arch( x / y) R =, L π λ x = r + r e, y = r r e r 39

40 7., L hosszúságú elliptikus cső T T b B ln(( A + B) / ( a + b)) R =, L π λ ha A B = a b a A 8., L hosszúságú négyzet kereszt-metszetű hasáb négyzetes furattal T ha a / b >,4,93 ln( a / b),5 R = L π λ T b a ha a / b <,4,785 ln( a / b) R = L π λ 9., L hosszúságú téglalap keresztmetszetű furatos hasáb b T T r a [ π ] ln ( a) / ( r ) K R =, L π λ ha a / r > b/a K b/a K,,658,5,34,5,793,5,6,5,356 3,,3,75,63.,,75 ha b/a= és a>r ln a,54 r R = π L λ., szilárd felszínen lévő izotermikus körlap (vékony lemez) T r R T = 4 r λ λ a szilárd közeg hővezetési tényezője 4

41 ., szilárd felszínen lévő izotermikus téglalap (vékony lemez) L T b ha L b 4 L ln R = b L π λ λ a szilárd közeg hővezetési tényezője T., szilárd közegbe (pl. földbe) ágyazott L hosszúságú henger T h arch r R = π λ L T r h ha h>3r h ln r R = π λ L λ a szilárd közeg hővezetési tényezője 3., szilárd közegbe (pl. földbe) ágyazott gömb T r T h ha h / r > r R = h, 4 π λ r λ a szilárd közeg hővezetési tényezője 4., szilárd közegbe (pl. földbe) ágyazott hosszú hasáb ha L>(a, b, h) b T T h R = h h,756 L λ ln + a b,59,78 λ a szilárd közeg hővezetési tényezője a L 4

42 5., szilárd közegbe (pl. földbe) ágyazott vékony körlap T T h D 5,67 h R = 4,45 D λ λ a szilárd közeg hővezetési tényezője D 6., szilárd közegbe (pl. földbe) ágyazott függőleges henger T T h 4 h ln D R = π h λ λ a szilárd közeg hővezetési tényezője D 7., tetszőleges közegben lévő L hosszúságú hengerek (csövek) közötti hővezetés D D T T x ha L ( D, D ) 4x D D arch D D R = π λ L λ a közeg hővezetési tényezője 8., szilárd közegbe (pl. földbe) ágyazott vízszintes helyzetű, azonos átmérőjű, azonos osztású csövekből álló csősor T ha L D, z és w >,5D R egy henger ln w πz sh Dπ w = πλl z L w w w D, T 4

43 9., az A felületű, T és T hőmérsékletű (tetszőleges helyzetű) testek közötti sugárzásos hőtranszporthoz rendelhető hőellenállás ha T T << T + T R = sug. 3 T T 4σA εεφ +, 43

44 4.. Kontakt (érintkezési) hőellenállások tájékoztató értékei anyagpáros, közrezárt közeg és egyéb jellemzők szilícium (pl. microchip) és alumínium közrezárt levegővel és 7..5 kpa szorítónyomás mellett alumínium/alumínium, indium fóliával kpa szorítónyomás mellett hőellenállás, m ( 3,..6, ) 3,7 3 alumínium/alumínium, ólombevonat mellett (,..,) 3 szilícium (pl. microchip) és alumínium, mm vastagságú epoxy ragasztóréteggel (,..9, ) 3 kerámia/kerámia és levegő (,5..3, ) 3 kerámia/fém és levegő (,5..8,5) 3 grafit/fém és levegő ( 3,..6, ) 3 rozsdamentes acél/rozsdamentes acél és levegő (,7..3,7 ) 3 3 alumínium/alumínium és levegő 7,5 3 alumínium/alumínium és szilikonolaj 5,5 rozsdamentes acél/alumínium és levegő ( 3,..4,5) 3 réz/réz és levegő (,..5,) 3 vas/alumínium és levegő ( 4,..4,) 3 K W 44

45 5. BORDÁK HŐVEZETÉSE 5.. Állandó keresztmetszetű rúd- és lemezbordák Eset Peremfeltétel a borda véglapjánál t, α t ( ) = t H x U = w+ t A = wt A w t A Végtelen hosszúság B Q x Adiabatikus véglap. x t(h). d t Q x = λa dx = x = H x =H t = t t. Q b közeg, t. Q konv. t (H) = t H t t, α C Előírt véglap hőmérséklet x = H (x) = t (x) t t t.. Q b = dq konv. H x A D D. Q x t (H). Q conv.. Q x = Q konv. t λa d = αa t (H) dx x = H x x U= π D A = π D /4 Harmadfajú peremfeltétel x = H 5-. ábra. Az állandó keresztmetszetű rúd- és lemezbordák jellemzői és véglap peremfeltételei eset A B C D 5. táblázat. Az állandó keresztmetszetű rúd- és lemezbordák hőfokeloszlását és leadott hőáramát megadó egyenletek az 5-. ábra jelöléseinek felhasználásával, ahol véglap peremfeltétel végtelen hosszú rúd, H, t H = ( ) adiabatikus véglap, = d t dx x=h előírt hőmérsék- t H = t let, ( ) H harmadfajú, d t λ A = dx α A t ( H ) x= H t H cosh hőfokeloszlás, / t sinh cosh cosh t t ( x) ( ) = α U m = λ A leadott hőáram, Q ɺ b = M = α U λ A t m x e [ m ( H x) ] ( mh ) ( m H ) + sinh[ m ( H x) ] sinh( m H ) α λ m α λ m [ m ( H x) ] + sinh[ m ( H x) ] cosh ( m H ) + sinh( m H ) t M t sinh M cosh M tanh H ( m H ) cosh + sinh α λ m α λ m ( m H ) ( m H ) ( m H ) + cosh( m H ) ( m H ) + sinh( m H ) 45

46 5.. Változó keresztmetszetű bordák Bordaparaméter ezekben az esetekben: m = α λ d 5... TÜSKEBORDÁK α, T α, T T λ d T λ d H H a) kúp alakú tüskeborda b) konkáv parabolikus tüskeborda α, T T λ d H c) konvex parabolikus tüskeborda 5-. ábra. Változó keresztmetszetű tüskebordák geometriai jellemzői típus a) b) c) 5. táblázat. A 5-. ábrán szereplő bordatípusok számítási összefüggései hőmérsékleteloszlás, t ( x) leadott hőáram, = Q ɺ b = bordahatásfok, η b = t ( ) ( ) H I M x x I M H x H,5+,5 9+ 4M 4 I Mx 3 4 I MH 3,75,75 πλd ( ) M t I M H I ( M H ) 4 H I ( M H ) M H I ( M H ) ( M ) πλd t πλ 8 H 4 I Mx,75 dm t 3,5 H 4,75 I MH 3 8 m H 9 segédparaméter, M = 4αH λd + + λd 4 I mh mh I 3 mh 4αH 4α H λd 46

47 5... LEMEZBORDÁK α, T T L T L α, T λ d d λ H H x e a) háromszög oldalprofil b) trapéz oldalprofil T L α, T T L α, T λ d d λ H H típus c) konkáv parabola oldalprofil hőmérsékleteloszlás, I ( m Hx ) a) I d) konvex parabola oldalprofil 5-3. ábra. Változó keresztmetszetű lemezbordák geometriai jellemzői 5 3. táblázat. A 5-3. ábrán szereplő bordatípusok számítási összefüggései ( mh ) ( ) t x t = leadott hőáram, Q ɺ b = λ ( ) ( ) I mh mdl t I mh b) lásd a táblázat alatt külön sorban c),5+,5 + 4m H x λdl t ( 4m H ) H H,5,75 ( 4 3 mh x ),5 x I 3 d) H I 3 ( 4 3 mh ) Trapéz oldalprofilú borda hőfokeloszlása: leadott hőárama: hatásfoka: ( ) t x ɺ t = λ 3 mdl t I 3 bordahatásfok, η b = ( ) ( ) I mh mh I mh m H I ( 4 3 mh ) ( 4 3 mh ) I mh I ( ) ( e ) + ( ) ( e ) I ( mh ) K ( m Hxe ) + K ( mh ) I ( m Hxe ) I ( mh ) K ( m Hxe ) K ( mh ) I ( m Hxe ) ( ) ( e ) ( ) ( e ) I ( mh ) K ( m Hxe ) K ( mh ) I ( m Hxe ) ( ) ( e ) K ( mh ) I ( m Hx e ) I m Hx K m Hx K m Hx I m Hx Qb = λmdl t I mh K m Hx K mh I m Hx λ md I mh K m Hx ηb =. Hα 3 3,, ( 4 3 mh) ( 4 3 mh ) 47

48 8 n = 3 In (x ) 6 4,5,5,5 3 3,5 4 x,5,5,75,5 n = 3 In (x ),5,75,5,5,5, ábra. A módosított elsőfajú n-ed rendű BESSEL-függvény ( I n ) helyettesítési értékei x 48

49 5 4 3 n = 3 Kn (x ),5,5,5 3 3,5 4 x n = 3 Kn (x ),5, ábra. A módosított másodfajú n-ed rendű BESSEL-függvény ( K n ) helyettesítési értékei x 49

50 5..3. TÁRCSABORDÁK Állandó vastagságú tárcsaborda 8 6 η b (%) = r c /r 4 3 r r L t r c = r + t/ L c = L + t/ A p = L c t,5,,5,,5 L,5 C α λa 5-6. ábra. Állandó vastagságú tárcsaborda hatásfoka a borda jellemzőinek függvényében p 5 Bordaparaméter: Hőfokeloszlás: Leadott hőáram: Hatásfok: α m = λ t t x K mr I mr + I mr K mr = t I mr K mr + I mr K mr ɺ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) I ( mr ) K ( mr ) K ( mr ) I ( mr ) = λ ( ) ( ) + ( ) ( ) r I ( mr ) K ( mr ) K ( mr ) I ( mr ) = m r r I ( mr ) K ( mr ) + I ( mr ) K ( mr ) Qb r mt t I mr K mr I mr K mr η ( ) b 5

51 Változó vastagságú tárcsabordák Qɺ = π r r α t η Hőáram az alábbi két esetben: ( ) b a b 5-7. ábra. Háromszög profilú tárcsaborda hatásfoka a bordára jellemző paraméter függvényében 5-8. ábra. Hiperbolikus profilú tárcsaborda hatásfoka a bordára jellemző paraméter függvényében 5

52

53 6. IDŐBEN VÁLTOZÓ HŐVEZETÉS 6.. Alapvető összefüggések 6... FONTOSABB MENNYISÉGEK ÉS JELÖLÉSÜK hőfokvezetési (termikus diffúziós) tényező: λ a =, m /s, ρ c térfogati hőforrássűrűség: Q qɺ V = ɺ, W/m 3, V jellemző méret (általában): térfogat X =, m, felület a megállapodás szerinti jellemző méret ettől eltérhet dimenziótlan hőmérséklet: Ttényleges ϑ =. T 6... HŐVEZETÉS ÁLTALÁNOS DIFFERENCIÁLEGYENLETE 6... Derékszögű (DESCARTES) koordinátarendszerben FOURIER-BIOT-féle egyenlet: t qɺ V t t t qɺ V = a t + = a τ ρ cp x y z ρ cp Állandósult állapotra t = τ, POISSON-egyenlet: qɺ V t t t qɺ V = a t + = a ρ cp x y z ρ cp q ɺ = (diffúzióegyenlet, FICK-törvény): Hőforrásmentes állapot ( ) V t t t t = a t = a + +. τ x y z Állandósult állapot, hőforrásmentes eset, LAPLACE-egyenlet: t t t = a t = a + +. x y z 6... Henger koordinátarendszerben Koordináták közötti összefüggések: FOURIER-BIOT-féle egyenlet: p kezdeti x = r cosφ, y = r sin φ, z = z. t t t t qɺ V = a r + r + + τ r r r r φ φ z ρ c Gömbi koordinátarendszerben Koordináták közötti összefüggések: FOURIER-BIOT-féle egyenlet: x = r cosφsin θ, y r sin φsinθ p. =, z = cosθ. t t t t qɺ V = a r τ r r r r sin θ φ φ r sinθ θ θ ρ c p.

54 6..3. HASONLÓSÁGI KRITÉRIUMOK a τ α X FOURIER-szám: Fo =, BIOT-szám: Bi =. X λ A koncentrált paraméterű problémaként való kezelhetőség feltétele: Bi,. 6.. Számítást segítő nomogramok A következő ábrák (HEISLER-féle diagramok) végtelen nagy, véges vastagságú sík falra (jellemző méret: X, a vastagság fele), végtelen hosszú hengerre (jellemző méret: X=R, a sugár) és gömbre (jellemző méret: T T X=R, a sugár) vonatkoznak. A dimenziótlan hőmérséklet: ϑ =, ahol T a kérdéses hely hőmérséklete. Harmadfajú peremfeltétel esetén a helytől függő dimenziótlan hőmérsékletet korrekciós tényezőjét a T T ϑx T T θ = = egyenlet szerint kell értelmezni. A hőleadási (GRÖBER-féle) diagramokon a τ időtartam ϑ T T C C alatt leadott Q hőmennyiség aránya szerepel a kezdeti (tárolt) Q ( ) = cm T T hőmennyiséghez képest DIMENZIÓTLAN HŐMÉRSÉKLETEK ELSŐFAJÚ PEREMFELTÉTEL ESETÉN 6-. ábra. Sík fal dimenziótlan hőmérséklete elsőfajú peremfeltétel esetén 54

55 6-. ábra. Henger dimenziótlan hőmérséklete elsőfajú peremfeltétel esetén 6-3. ábra. Gömb dimenziótlan hőmérséklete elsőfajú peremfeltétel esetén 55

56 6... DIMENZIÓTLAN HŐMÉRSÉKLETEK HARMADFAJÚ PEREMFELTÉTEL ESETÉN Bi = α L λ Bi Fo = L 6-4. ábra. Sík fal középsíkjának dimenziótlan hőmérséklete harmadfajú peremfeltétel esetén T (, ) T T T τ 56

57 57 Fo 6-5. ábra. Henger középvonalának dimenziótlan hőmérséklete harmadfajú peremfeltétel esetén

58 58 Fo 6-6. ábra. Gömb középpontjának dimenziótlan hőmérséklete harmadfajú peremfeltétel esetén

59 ,,7,5,4,3,,,,5,4,8,, ,5,,8,6, ábra. Sík fal középsíkjának dimenziótlan hőmérséklete harmadfajú peremfeltétel esetén a 6-4. ábra nagyított részlete Fo 4 esetére Fo,,,9,8,4,7,6 x X =,6,5,4,3,8,,,9,,,,5,,,5,, 5, 5 /Bi 6-8. ábra.sík fal dimenziótlan hőmérsékletének helyfüggő korrekciós tényezője (használható ha Fo>,) x 59

60 6-9. ábra. Henger középvonalának dimenziótlan hőmérséklete harmadfajú peremfeltétel esetén a 6-5. ábra nagyított részlete Fo 4 esetére Fo,,9,8,,4,7,6 r R =,6,5,4 R,3,8,,,9, r,,,5,,,5,, 5, 5 /Bi 6-. ábra.henger dimenziótlan hőmérsékletének helyfüggő korrekciós tényezője 6

61 ,,7,5,4, , 5,,,35,5,,75,,8,6,4 3, 3,5 4, ábra. Gömb középpontjának dimenziótlan hőmérséklete harmadfajú peremfeltétel esetén a 6-6. ábra nagyított részlete Fo 3 esetére, Fo,4,,8,6,,9, Ez a diagram Fo>, esetén használható!,8,7,6,5 r R =,4,6 R r,4,3,,,8,9,,,,5,,,5,, 5, 5 /Bi 6-. ábra. Gömb dimenziótlan hőmérsékletének helyfüggő korrekciós tényezője 6

62 6..3. HŐLEADÁSI (GRÖBER-FÉLE) DIAGRAMOK,9 Q Q,8,7,6,5,4,3,, Bi =,,,5,,,5,,,5, , 5, Sík lap által leadott hőmennyiség 6-3. ábra. 5 Bi Fo 3 4,9 Q Q,8,7,6,5,4,3,, Bi =,,,5,,,5,,,5,, , Henger által leadott hőmennyiség 6-4. ábra. 5 Bi Fo 6

63 Q Q,,9,8,7,6,5,4,3,,,,5,,,5,,,5,, , Gömb által leadott hőmennyiség 6-5. ábra. 5 Bi Fo 63

64 6..4. VÉGTELEN VASTAG SÍK FAL DIMENZIÓTLAN HŐMÉRSÉKLETE 6. táblázat. A GAUSS-féle hibaintegrál értékei u erf(u) -erf(u) u erf(u) -erf(u),,,,,847,5799,5,5637,94368,,885,9795,,463,887537,,934,89686,5,67996,834,3,9348,6599,,73,77797,4,9585,4775,5,7636,73674,5,9665,33895,3,3867,67373,6,976348,365,35,37938,668,7,98379,6,4,4839,5768,8,9899,99,45,47548,5458,9,9979,7,5,55,4795,,9953,4678,55,56333,436677,,997,979,6,63856,39644,,99837,863,65,649,35797,3,998857,43,7,6778,399,4,9993,689,75,756,88844,5,999593,47,8,74,57899,6,999764,36,85,77668,933,7,999866,34,9,79698,39,8,99995,75,95,889,799,9,999959,4,,847,5799 3,,999978, Megjegyzés: erfc(u)=-erf(u) Jellemző méret: a sík fal felszínétől mért távolság: x. A dimenziótlan hőmérséklet ezen a helyen: ( ) ( ) ( ) Fo Bi +Bi ϑ = erf + e erfc Fo Bi + Fo Fo ϑ = t t Bi=,,5,,,3,4,5,6,7,8,9,5,5 t t Δt t = t t x 64

65 Fo<3 esetén használható nomogram A görbék paramétere a Bi szám,,5,5 ϑ = t t,75,,5,,3 t x t Δt t = t t 5,6,4,5,7 4,8,9,5 3 65

66

67 6.3. Közelítő összefüggések Egyes esetekben, a gyors konvergencia miatt, a megoldást adó végtelen sok tagból álló függvénysor közelíthető egyetlen tagból álló kifejezéssel. Ennek feltétele, hogy vizsgált időtartam első, rövid szakaszán túl végezzük a számítást. Az alábbi kifejezések ezeket a közelítő függvényeket mutatják, melyek alkalmazásának feltétele, hogy Fo>, legyen. sík fal: ( ) hengeres fal: (, ) dimenziótlan hőmérséklet ν Fo νx ϑ sík x, τ = Ψe cos X ν Fo νr ϑ henger r τ = Ψe J R sin R gömb Ψ νr leadott hő/tárolt hő aránya Q sin ν = ϑsík, Fo Q ν ; ( ) ; Q ( ) ( ν ) = ϑhenger, Fo J Q ν ν Fo gömb alakú fal: ϑ ( r, τ ) = e ; 3 (, Fo) ν r R Q sin ν ν cos ν = ϑgömb 3 Q ν 6. táblázat. A ν és Ψ segédparaméter értékei a Bi szám függvényében sík fal hengeres fal gömb alakú fal Bi ν Ψ ν Ψ ν Ψ,,998,7,4,5,73,3,,4,33,995,5,445,6,4,987,66,84,99,345,,6,45,98,3438,48,47,79,8,79,3,396,97,486,39,,3,6,447,46,543,98,,438,3,67,483,7593,59,3,58,45,7465,7,98,88,4,593,58,856,93,58,64,5,6533,7,948,43,656,44,6,75,84,84,345,644,73,7,756,98,873,539,355,978,8,79,6,49,74,43,36,9,874,7,48,9,544,488,,863,9,558,7,578,73,,769,785,5995,3384,88,4793 3,,95,,7887,49,889,67 4,,646,87,98,4698,4556,7 5,,338,43,9898,59,574,787 6,,3496,479,49,553,6537,8338 7,,3766,53,937,54,765,8673 8,,3978,57,86,556,7654,89 9,,449,598,566,56,844,96,,489,6,795,5677,8363,949,,496,699,88,599,9857,978 3,,5,77,36,5973 3,37,9898 4,,535,73,3455,5993 3,63,994 5,,54,77,357,6 3,788,996,,555,73,389,65 3,,999,578,73,448,6 3,46, A nullad- (J ) és elsőrendű (J ) BESSEL-függvény helyettesítési értékei z J (z) J (z),,,,,9975,499,,99,995,3,9776,483,4,964,96,5,9385,43,6,9,867,7,88,39,8,8463,3688,9,875,459,,765,44,,796,479,,67,4983,3,6,5,4,5669,549,5,58,5579,6,4554,5699,7,398,5778,8,34,585,9,88,58,,39,5767,,666,5683,,4,556,3,555,5399,4,5,5,6,968,478,8,85,497 3,,6,339 3,,3,63 67

68 6.4. Többdimenziós testek dimenziótlan hőmérséklete Az egyszerű testmodellek (sík fal, henger, gömb és végtelen vastag fal) dimenziótlan hőmérsékleteinek segítségével multidimenziós testek egyes pontjaiban is meghatározhatók a hőmérsékletek. Az egyes lehetőségeket és számítási összefüggéseket a 6 3. táblázat tartalmazza táblázat. Többdimenziós test egyes pontjainak dimenziótlan hőmérsékletét meghatározó egyenletek végtelen hosszú henger véges hosszú henger végtelen térnegyed r x r x y x ( r, x, τ) ϑ ( r, τ ) ϑ ( x, τ) ϑ = henger félv.sík fél sík lemez ( r, x, τ ) ϑ ( r, τ) ϑ ( x, τ ) ϑ = henger sík negyed sík lemez ( x, y, τ ) ϑ ( x, τ ) ϑ ( y, τ) ϑ = félv.sík félv.sík végtelen térnyolcad X y x X y z x z x y ( x, y, τ ) ϑ ( x, τ ) ϑ ( y, τ ) ϑ = sík félv.sík végtelen hosszú hasáb ( x, y, z, τ) ϑ ( x, τ) ϑ ( y, τ) ϑ ( z, τ) ϑ = sík félv.sík félv.sík félvégtelen hosszú hasáb ( x, y, τ ) ϑ ( x, τ) ϑ ( y, τ) ϑ ( z, τ ) ϑ = félv.sík félv.sík félv.sík véges hasáb y x ( x, y, τ ) ϑ ( x, τ ) ϑ ( y, τ ) ϑ = sík sík z y x ( x, y, z, τ ) ϑ ( x, τ ) ϑ ( y, τ ) ϑ ( z, τ ) ϑ = sík sík félv.sík z y x ( x, y, z, τ ) ϑ ( x, τ ) ϑ ( y, τ ) ϑ ( z, τ ) ϑ = sík sík sík 68

69 7. NUMERIKUS MÓDSZEREK (VÉGES DIFFERENCIA SÉMÁK) 7.. Időben állandósult hővezetés Az alábbi összefüggések használata esetén négyzetes rácsosztást kell használni, azaz x = y. α x Egyes esetekben a BIOT-számot a Bi = összefüggéssel kell meghatározni. λ Eset geometriai jellemzői test belsejében lévő csomópont 7. táblázat. Időben állandósult hővezetés véges-differencia összefüggései a jelű csomópont hőmérséklete T T T T 3 T = ( T T T T ) 3 4 x x T 4 felszíni csomópont, a felszínen harmadfajú peremfeltétellel (hőátadás) T T x T T α T + T + Bi 3 T = T + + Bi T x T 3 felszíni csomópont, a felszínen másodfajú peremfeltétellel (előírt hőáramsűrűség) T T x x T. q T T T + T qɺ x λ 3 = T 3 külső sarokpont, a felszínen harmadfajú peremfeltétellel (hőátadás) x T x T α, T T T + T + Bi = + Bi T T A táblázat folytatódik. 69

70 A táblázat folytatása. Eset geometriai jellemzői belső sarokpont, a felszínen harmadfajú peremfeltétellel (hőátadás) a jelű csomópont hőmérséklete T x T T T 3 T + T 3 + Bi 4 T = T + T3 + + Bi T T α T 4 x szabálytalan szélű felszín közelében fekvő belső pont, ahol a felszín nem izotermikus T b a x T a T x T b x T T T T T b + + a + b a( + a) b( + b) a b a = T x 7.. Időben változó hővezetés Az következő módszerek egydimenziós és hőforrásmentes esetekre vonatkoznak EXPLICIT DIFFERENCIA-SÉMA Hely szerint centrális közelítést, az időben pedig előrelépő közelítést alkalmazva a következő egyenletet kapjuk eredményül: t i-,j+ t i,j+ t i+,j+ τ= j τ t i,j t i+,j t i-,j τ t x = i x a τ a τ t( x, τ τ) + = [ t( x + x, τ) + t( x x, τ) ] + t( x, τ). x x 7

71 7... IMPLICIT DIFFERENCIA-SÉMA Hely szerint centrális közelítést, az időben pedig előrelépő közelítést alkalmazzuk mint az explicit módszernél, azzal a különbséggel, hogy a hely szerinti második differenciálhányadost nem a τ helyen, hanem a τ+ τ helyen számítjuk: t i-,j+ t i,j+ t i+,j+ τ = j τ t i,j t i+,j t i-,j τ t x = i x a τ a τ t( x, τ) = + t( x, ) τ + τ [ t( x + x, τ + τ) + t( x x, τ + τ) ]. x x CRANK NICOLSON DIFFERENCIA-SÉMA JOHN CRANK és PHYLLIS NICOLSON a hely szerinti második differenciahányadost a τ + τ időpontra vonatkoztatva írták fel, és az így kapott egyenletre alapuló eljárást alkotóik után CRANK-NICOLSON módszernek nevezzük. A CRANK és NICOLSON differencia egyenlet a következő: t i-,j+ t i,j+ t i+,j+ τ = j τ t i,j+/ t i,j t i+,j t i-,j τ t x = i x a τ ahol p = a differencia modulus. x ( + p) t p ( t + t ) = ( p) t + p ( t + t ) i, j+ i+, j+ i, j+ i, j i+, j i, j 7

72

73 8. HŐÁTADÁS 8.. Halmazállapot változás nélküli hőátadás 8... TERMÉSZETES ÁRAMLÁS 8... Határolatlan nagy térben történő hőátadás 8... HŐÁTADÁS FÜGGŐLEGES VAGY FERDE IZOTERMIKUS SÍK LAP MENTÉN φ L Jellemző méret: áramlási hossz ( L ). Egyéb szükséges geometriai adat: a függőlegestől való eltérés szöge ( φ ). A szükséges hőmérsékletek: a lap felszínének hőmérséklete ( T w ) és a határrétegen kívüli (zavartalan) áramlás hőmérséklete ( T ). Mértékadó hőmérséklet: T = ( Tw + T ) / Dimenzió nélküli számok: Nu = α L / λ, Pr ν / a =, = = ( cos( φ) 3 β ( w )) ( ν ) Ra Gr Pr g L T T a. A számított hőátadási tényezők pontossága: ± %. lamináris áramlás turbulens áramlás Az átlagos Nusselt-szám: Az átlagos Nusselt-szám: Érvényes, ha,67 Ra Nu =,68 + +,67 / Pr,5 9/6 4/9 9 < Ra és φ 6.. /3 Nu =, Ra. Érvényes, ha 9 3 Ra és φ HŐÁTADÁS VÍZSZINTES IZOTERMIKUS SÍK LAP MENTÉN Jellemző méret ( L ) : a lap felületének ( A ) és kerületének ( U ) aránya, L = A U. A szükséges hőmérsékletek: a lap felszínének hőmérséklete ( T w ) és a határrétegen kívüli (zavartalan) áramlás hőmérséklete ( T ). Mértékadó hőmérséklet: T = ( + ) Dimenzió nélküli számok: Nu = α L / λ, Pr ν / a Tw T ( ) ( ν ) 3 =, β (( w () Ra = Gr Pr = g L T T a. A számított hőátadási tényezők pontossága: ± %. A lap felső felülete fűtött, vagy az alsó felülete hűtött,5 4 7 Nu =,54 Ra, ha Ra, Nu = Ra < Ra,5, ha,33 7 A lap felső felülete hűtött, vagy az alsó felülete fűtött Nu = Ra Ra,7, ha,5 5 73

74 HŐÁTADÁS IZOTERMIKUS FÜGGŐLEGES HENGER KÜLSŐ PALÁSTFELÜLETÉN A szükséges méretek: áramlási hossz ( L ) és a külső átmérő ( D ) Jellemző méret: áramlási hossz ( L ). A szükséges hőmérsékletek: a lap felszínének hőmérséklete ( T w ) és a határrétegen kívüli (zavartalan) áramlás hőmérséklete ( T ). Mértékadó hőmérséklet: T = ( Tw + T ) / Dimenzió nélküli számok: 3 Nu = α L / λ, Pr ν / a Ra = Gr Pr = g L β T T ν a. Amennyiben D L,5 > 35 Gr : Az átlagos Nusselt-szám: =, ( ( w )) ( ) Nu =,68 +,67 Ra +,67 Pr Nu, /3 Ra,5 9/6 4/9 9, ha ( Ra ) < ; =, ha ( 9 Ra 3 ) HŐÁTADÁS IZOTERMIKUS VÍZSZINTES HENGER KÜLSŐ PALÁSTFELÜLETÉN Jellemző méret: a henger átmérője ( D ). A szükséges hőmérsékletek: a henger felszínének hőmérséklete ( T w ) és a határrétegen kívüli (zavartalan) áramlás hőmérséklete ( T ). Mértékadó hőmérséklet: T = ( + ) Tw T Dimenzió nélküli számok: Nu = α D / λ, Pr ν / a Az átlagos Nusselt-szám: 5 Érvényes, ha Ra. ( ) ( ν ) 3 =, β (( w (),387 Ra Nu =,6 + +,7 Pr Ra = Gr Pr = g D T T a. /6 9/6 4/ HŐÁTADÁS IZOTERMIKUS GÖMB KÜLSŐ FELÜLETÉN Jellemző méret: a gömb átmérője ( D ). A szükséges hőmérsékletek: a gömb felszínének hőmérséklete ( T w ) és a határrétegen kívüli (zavartalan) áramlás hőmérséklete ( T ). Mértékadó hőmérséklet: T = ( + ) Tw T Dimenzió nélküli számok: Nu = α D / λ, Pr ν / a,589 Ra Nu = + +,653 / Pr Érvényes, ha Ra. /6 9/6 4/9. =, Ra = Gr Pr = ( g D 3 T T ) ( a) β ν. w 74

75 8... Határolt térben történő hőátadás 8... HŐÁTADÁS VÍZSZINTES IZOTERMIKUS SÍK LAPOK KÖZÖTTI RÉSBEN L S g Jellemző méret: a lemezek távolsága ( S ). Egyéb szükséges méret: a lapok rövidebb oldalhossza ( L ). A szükséges hőmérsékletek: a lapok felszínének hőmérséklete (T és T ). Mértékadó hőmérséklet: T = ( T + T ) /. Dimenzió nélküli számok: 3 Nu = α S λ, Pr ν / a Ra = Gr Pr = g S β T T ν a. A [ ] + ( ) ( ) ( ) =, ( ) 3 78 Ra Ha az alsó lap a melegebb: Nu = +,44 + Ra 8 Ha a felső lap a melegebb: Nu =. jel azt jelenti, hogy amennyiben a [ ]-en belüli kifejezés negatív, akkor helyette -val kell számolni HŐÁTADÁS FÜGGŐLEGES IZOTERMIKUS SÍK LAPOK KÖZÖTTI RÉSBEN H S T > T. q Jellemző méret: a lemezek távolsága ( S ). Egyéb szükséges méret: a lapok magassága ( H ). + A szükséges hőmérsékletek: a lapok felszínének hőmérséklete (T és T ). Mértékadó hőmérséklet: T = ( T + T ) /. Dimenzió nélküli számok: ( α S) Nu = λ, Pr = ν / a, 3 ( β ( )) ( ν ) Ra = Gr Pr = g S T T a. + érvényességi tartomány < H S és < H S és < H S 4 és Ra Pr >, + Pr Ra < 4 7 < Ra < és 3 4 < Pr < 6 9 < H S 4 és < Ra < és < Pr < átlagos Nusselt-szám Pr Nu =,8 Ra, + Pr,9,8,5 Pr H Nu =, Ra, Pr + S,3,8, H = Nu,4 Ra Pr Nu =,46 Ra 3 S 75

76 HŐÁTADÁS FERDE HELYZETŰ IZOTERMIKUS SÍK LAPOK KÖZÖTTI RÉSBEN H. q T < T S φ Jellemző méret: a lemezek távolsága ( S ). Egyéb szükséges méret: a lapok magassága ( H ), vízszintessel bezárt szög: ( ϕ ). A szükséges hőmérsékletek: a lapok felszínének hőmérséklete (T és T ). Mértékadó hőmérséklet: T = ( T + T ) /. Dimenzió nélküli számok: ( α S) Nu = λ, Pr = ν / a, 3 ( β ( )) ( ν ) Ra = Gr Pr = g S T T a. A [ ] + 76 Az átlagos Nusselt-szám, ha az alsó lap a melegebb (lásd az ábrát): ( φ) ( φ) +, sin,8 Ra cos + Nu = +,44 Ra cosφ + Ra cosφ 8 Érvényes, ha H S >. jel azt jelenti, hogy amennyiben a [ ]-en belüli kifejezés negatív, akkor helyette -val kell számolni. Az átlagos Nusselt-szám, ha a felső lap a melegebb: Nu = + ( X ) cosφ, ahol X függőleges izotermikus sík lapon esetén érvényes Nu-szám, lásd: 8... alpont FÜGGŐLEGES LEMEZBORDÁZATTAL ELLÁTOTT FELSZÍN HŐÁTADÁSA Jellemző méretek: A) Állandó felszíni (átlag) hőmérséklet ( T = állandó ) Az átlagos Nusselt-szám: w 576,873 Nu = + S S Ra S RaS L L bordák közötti távolság: ( S ) bordák magassága: ( L ) Jellemző hőmérséklet: a borda felszínének átlagos hőmérséklete: ( T w ). Egyéb szükséges hőmérséklet: környezeti közeg hőmérséklete: ( T ). A borda végének hőmérséklete: ( T L ) Mértékadó hőmérséklet: T = ( Tw + T ) /. Dimenzió nélküli számok: ( α S) ( 3 β ( w )) ( ν ) = ( 3 β ( w )) ( ν ). Nu = λ, Pr = ν / a, Ra S = g S T T a, Ra L g L T T a,5.

77 Az optimális (maximális hőátadási tényezőt eredményező) osztásköz: 3 L S L Sopt =,74 =,74,5 RaL RaS Az optimális osztásköz alkalmazása esetén: Nu =,37. B) Állandó felületi hőáramsűrűség a lapok felszínén ( qɺ = állandó ) 48,5 Az átlagos NUSSELT-szám: Nu = +, ahol,4 * S Ra * S S Ra L L L 4 4 * g β qɺ S * g β qɺ L RaS = Pr és Ra Pr L = a módosított RAYLEIGH-számok. λ ν λ ν Az optimális (maximális hőátadási tényezőt eredményező) osztásköz: S opt =, RaS 4 S L opt *,.,5, KÖZÖS TENGELYŰ, VÍZSZINTES HELYZETŰ IZOTERMIKUS HENGEREK KÖZÖTTI HŐÁTADÁS D i D o Egyéb szükséges méret: a csövek hossza ( L ). 3 Dimenzió nélküli számok: β ( ) ( i o ) ( ν ) Ra = g S T T a eff A csövek felszíne közötti hőáram: Q = ( T T ) Do Di Jellemző méret a rés mérete: S =. Mértékadó hőmérséklet a hengerek (csövek) falhőmérsékletének számtani középértéke: i T ɺ πλ L i o. Do ln D T + T o i =. Az effektív hővezetési tényező: λ = λ,386 ( F Ra) ahol a segédparaméter F eff o ln D = Di S D Pr,86 + Pr 4 ( i + Do ) H 5 3 3/5 3/5 < λ eredményre vezetnek, ak- Érvényességi tartomány:,5 < Pr < 6 és < FH Ra <. Amennyiben F H Ra <, úgy λeff = λ, továbbá, ha a számítások λeff kor is λeff = λ értékkel kell számolni. 7.,5 H,5, 77

78 KÖZÖS KÖZÉPPONTÚ, IZOTERMIKUS GÖMBÖK KÖZÖTTI HŐÁTADÁS Do Di Jellemző méret a rés mérete: S =, ahol D o a külső, D i a belső gömb átmérője. To + Ti Mértékadó hőmérséklet a gömbök falhőmérsékletének számtani középértéke: T =. 3 Ra = g S β T T ν a ( i o ) ( ) Dimenzió nélküli számok: ( ) ɺ D D eff i o. S o i A gömbök felszíne közötti hőáram: Q = λ π ( T T ) Az effektív hővezetési tényező: λ = λ,74 ( F Ra) ahol a segédparaméter F eff = Pr,86 + Pr S,5 G 5 4,4,4 ( Di Do ) ( D i + Do ) Érvényességi tartomány:,5 < Pr < 4 és < FG Ra <. Amennyiben F G Ra <, úgy λeff = λ, továbbá, ha a számítások λeff < λ eredményre vezetnek, akkor is λeff = λ értékkel kell számolni. 4. G,5, 8... KÉNYSZERÍTETT ÁRAMLÁS 8... Sík lap mentén történő áramlás Jellemző méret: áramlási hossz ( L ). A belépő éltől vett távolság jele: x. Mértékadó hőmérséklet: a határrétegen kívüli (zavartalan) áramlás hőmérséklete ( ) Más szükséges hőmérséklet: a lap felszínének hőmérséklete ( T w ). Mértékadó sebesség: a határrétegen kívüli (zavartalan) áramlás sebessége ( w ). Dimenzió nélküli számok: Nu = α L / λ, Nu = α x / λ, Pr = μ c / λ = ν / a, Re = w L / ν, Rex = w x / ν. Az anyagjellemzők hőmérséklettől való függését figyelembe vevő korrekció: folyadékokra ( Pr Pr ),5 gázokra Φ ( T T ), T Φ T = w, ahol w =. w x p T. Pr a fal hőmérsékletén vett Prandtl-szám, A Nusselt-szám nagyságát a határrétegen kívüli ( zavartalan ) áramlás turbulenciája és a belépő él kialakítása jelentősen befolyásolja. A számított hőátadási tényezők pontossága: % ± IZOTERMIKUS SÍK LAP LAMINÁRIS ÁRAMLÁSBAN Az átlagos Nusselt-szám: Nu = C Pr Re Pr Φ, /3 ( ) T ahol C( Pr ) =,664, ha,6 Pr 5 és vagy C( Pr ) =,73, ha Pr = és Az átlagos Nusselt-szám: Érvényes, ha Re Pr és 5 Re < 5, 5 Re < 5. /3,6774 Re Pr Nu = Φ 4 /3 T. + (,468 / Pr) 5 Re < 5. 78

79 8... IZOTERMIKUS SÍK LAP VEGYES (LAMINÁRIS ÉS TURBULENS) ÁRAMLÁSBAN Ezt az összefüggést abban az esetben kell alkalmazni, ha a lap elején lévő lamináris zóna összemérhető hosszúságú a turbulens zónával.,8 /3 Az átlagos Nusselt-szám: Nu =,37 ( Re 87) Pr ΦT Érvényes, ha,6 Pr 6 és 5 Re IZOTERMIKUS SÍK LAP VEGYES TURBULENS ÁRAMLÁSBAN Ezt az összefüggést abban az esetben kell alkalmazni, ha a lap elején lévő lamináris zóna hosszúsága elhanyagolható a turbulens zóna hosszúságához képest Re Pr Az átlagos Nusselt-szám: Nu = Φ /3. T ( Pr ) / Re Érvényes, ha.5 Pr és 5 Re Egyedülálló henger, ill. hasáb körüli áramlás 8... EGYEDÜLÁLLÓ HENGER, ILL. HASÁB KÖRÜLI ÁRAMLÁS HATÁROLATLAN TÉRBEN Tw + T Mértékadó hőmérséklet: a film hőmérséklete, azaz T =. Más szükséges hőmérséklet: a henger, vagy rúd felszínének hőmérséklete ( T w ). a határrétegen kívüli (zavartalan) áramlás hőmérséklete ( ) Mértékadó sebesség: a hengertől távoli (zavartalan) áramlás sebessége ( w ). Dimenzió nélküli számok: Nu = α L / λ, Pr = μ c / λ = ν / a, Re = w L / ν. p T A zavartalan áramlás sebessége és a henger alkotói által bezárt szög nagyságát figyelembe vevő korrekció, ha az áramlás a hengerre nem merőleges: ψ, Φ Ψ,,,99,95,86,75,63,5 A jellemző méret értelmezése: henger négyzet hatszög w L w L w L négyzet hatszög vékony sík lemez w L w L w L A CHURCHILL-BERNSTEIN-féle átlagos NUSSELT-szám:,8,5,33 5/8,6 Re Pr Re Nu =,3 + Φ,5 + /3 5 T Φ ψ (,4 / Pr),8, + Érvényes, ha, Re Pr. 79

80 8... EGYEDÜLÁLLÓ HENGER, ILL. HASÁB KÖRÜLI ÁRAMLÁS HATÁROLT TÉRBEN Az alábbi összefüggés akkor alkalmazandó, ha az áramlás zárt csatornában történik és a test körül ennek következtében jelentősen megváltozik az áramlási sebesség. w Mértékadó hőmérséklet: T w* D h Dπ Jellemző méret: L =, az áramlás által érintett felületi hossz. * Jellemző sebesség: w = w 4 h ( 4 h D π). ahol Nu =,3 + X + Y / Z ΦT Φψ, Az átlagos Nusselt-szám: ( ) X /3 =,664 Re Pr, Érvényes, ha,6 Pr és Y,8 =,37 Re Pr, Z,443 ( Pr /3 ) / Re, 7 Re. = Egyedülálló gömb hőátadása Jellemző méret: a gömb átmérője ( D ). Mértékadó hőmérséklet: a határrétegen kívüli (zavartalan) áramlás hőmérséklete ( T ). Más szükséges hőmérséklet: a gömb felszínének hőmérséklete ( T w ). Mértékadó sebesség: a határrétegen kívüli (zavartalan) áramlás sebessége ( w ). Dimenzió nélküli számok: Nu = α D / λ, Pr = μ c / λ = ν / a, Re = w D / ν. Az anyagjellemzők hőmérséklettől való függését figyelembe vevő korrekció:,5 folyadékokra Φ T = ( Pr / Prw ), ahol Pr w a fal hőmérsékletén vett Prandtl-szám,, gázokra ΦT = ( T / Tw ). A számított hőátadási tényezők pontossága: ± 3%. / /3,4 Az átlagos Nusselt-szám: Nu = + (,4 Re +,6 Re ) Pr ΦT. 4 Érvényes, ha,7 Pr 4 és 3,5 Re 7, Kör keresztmetszetű csövekből álló csőkötegre merőleges áramlás p a) b) s* s s D w*? w*? s. sor n.sor. sor n. sor a = s D és b = s D Csősorok elrendezés: a) soros, b) eltolt (sakktáblás) Mértékadó hőmérséklet: a határrétegen kívüli (zavartalan) áramlás hőmérséklete ( T ). Más szükséges hőmérséklet: a csövek felszínének hőmérséklete ( T w ). s 8