Csordás Mihály Konfár László Kothencz Jánosné Kozmáné Jakab Ágnes Pintér Klára Vincze Istvánné. tankönyv. Hetedik, javított kiadás

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Csordás Mihály Konfár László Kothencz Jánosné Kozmáné Jakab Ágnes Pintér Klára Vincze Istvánné. tankönyv. Hetedik, javított kiadás"

Átírás

1 Csordás Mihály Konfár László Kothencz Jánosné Kozmáné Jakab Ágnes Pintér Klára Vincze Istvánné tankönyv 6 Hetedik, javított kiadás Mozaik Kiadó Szeged, 0

2 Tartalomjegyzék Oszthatóság. A természetes számok többszörösei és osztói (ismétlés) Vizsgáljuk a maradékot!.... Az összeg, a különbség és a szorzat oszthatósága Oszthatósági szabályok.... Oszthatóság a szám számjegyeinek összege alapján További oszthatósági szabályok Prímszámok, összetett számok Összetett számok felírása prímszámok szorzataként Közös osztók, legnagyobb közös osztó Közös többszörösök, legkisebb közös többszörös.... Vegyes feladatok... 9 Hogyan oldjunk meg feladatokat?. Mi a kérdés? Vizsgáljuk meg az adatokat! Következtessünk visszafelé! Készítsünk ábrát!.... Tartsunk egyensúlyt! Ellenõrizzük a megoldást! Válaszoljunk a kérdésre! A feladatmegoldás lépései Vegyes feladatok... 9 A racionális számok I.. Az egész számok (ismétlés) Az egész számok összeadása, kivonása (ismétlés) Az összevonás Az egész számok szorzása Az egész számok osztása A tizedes törtek összevonása A tizedes törtek szorzása Osztás a tizedes törtek körében Vegyes feladatok

3 Tengelyes szimmetria. A tengelyes szimmetria a környezetünkben.... A tengelyesen szimmetrikus háromszögek A tengelyesen szimmetrikus sokszögek és a kör.... A körzõ és a vonalzó használata.... Merõleges egyenesek szerkesztése Párhuzamos egyenesek szerkesztése Szögfelezés, szögmásolás, szögszerkesztés Alakzatok tengelyes tükörképének szerkesztése Tengelyesen szimmetrikus sokszögek szerkesztése Vegyes feladatok... 8 A racionális számok II.. A törtekrõl tanultak ismétlése Mûveletek törtekkel (ismétlés) A negatív törtek Tört szorzása törtszámmal A számok reciproka Osztás törttel Mûveleti sorrend A racionális számok Vegyes feladatok... Arányosság. Az egyenes arányosság Egyenes arányossággal megoldható feladatok A fordított arányosság.... Fordított arányossággal megoldható feladatok Az arány Arányos osztás.... Vegyes feladatok... 8

4 Százalékszámítás. A tört kiszámítása.... Az egész kiszámítása A százalék fogalma A százalékérték kiszámítása A százalékalap kiszámítása A százalékláb kiszámítása Vegyes feladatok... Valószínûség, statisztika. Biztos esemény, lehetetlen esemény Diagramok Grafikonok Átlagszámítás Vegyes feladatok... 9 Kiegészítõ anyagek. Nyitott mondatok Szimmetria a térben Sorozatok... 0 Az új szakszavak jegyzéke... 0 Elõszó és útmutató a tankönyv használatához Gondolkodni jó! De ne higgyétek, hogy ezt csak azok érezhetik, akiknek jó jegyük van matekból! Mindenki, aki örült már annak, hogy következetes és logikus gondolkodással meg tudott birkózni egy megoldhatatlannak tûnõ problémával, átélhette a siker élményét. Ebben az évben nagyon sok gyakorlati feladattal találkozhattok. Megérthetitek majd például, mit jelent a hirdetésekben naponta látott-hallott százalék fogalma; megtanultok egyszerû diagramokat készíteni; körzõvel és vonalzóval alakzatokat szerkeszteni. És legfõképpen a sok-sok feladat megoldása során fejleszthetitek a gondolkodásotokat. A leckék legtöbbször kidolgozott példákkal kezdõdnek. Ezeket érdemes elemezni és megérteni, mert mintát nyújtanak a további feladatok megoldásához is. A megtanulandó legfontosabb szabályokat és meghatározásokat a könyv zöld aláfestéssel és vastag betûs kiemeléssel jelzi. A *-gal jelölt gyakorló feladatok megoldásához ügyes ötletek szükségesek. A lapszélen olvasható apró betûs információk a mindennapi élettel, a matematika alkalmazásával kapcsolatos érdekességek, magyarázatok, kiegészítõ ismeretek vagy kérdések. 8

5 . Oszthatósági szabályok Az oszthatóság megállapítása az utolsó számjegy alapján A 0; 0 és 00 számok utolsó számjegye 0. Ezek a számok felírhatók 0 = 0; 0 = 0; 00 = 0 0 alakban, ezért oszthatók 0-zel. El tudják-e egyenlõen osztani a gyerekek az ajándékkosár árát? Ha egy természetes szám utolsó számjegye 0, akkor osztható 0-zel. Ha egy természetes szám osztható 0-zel, akkor felírható egy természetes szám tízszereseként. Például 0 =0; 96 0 =960; 0 0 = 00. Minden természetes szám tízszeresének utolsó számjegye 0. Ha egy természetes szám osztható 0-zel, akkor az utolsó számjegye 0. A két elõbbi szabály együtt megfogalmazva: Egy természetes szám pontosan akkor osztható 0-zel, ha az utolsó számjegye 0.. példa Jóska sétálni indul. Melyik lábbal teszi meg a., az 8. és a 8. lépést, ha az elsõ lépést jobb lábbal teszi meg? Megoldás Jobb lábbal teszi meg az.,.,.,., 9.,... lépést. Bal lábbal teszi meg a.,., 6., 8., 0.,... lépést, köztük a 0 valamennyi többszörösét is. Minden további lépésszámot felbonthatunk olyan kéttagú összegre, melynek az elsõ tagja 0 valamely többszöröse, a második tagja pedig egyjegyû szám. = = = 80 + bal jobb bal bal bal jobb Jóska a. és a 8. lépést jobb, az 8. lépést bal lábbal teszi meg. -vel nem osztható számok: ; ; ; ; 9;... -vel osztható számok: 0; ; ; 6; 8; 0;...

6 OSZTHATÓSÁG Ha egy természetes szám utolsó számjegye 0; ; ; 6 vagy 8, akkor osztható -vel. Ha egy természetes szám osztható -vel, akkor az utolsó számjegye 0; ; ; 6 vagy 8. A két elõbbi szabály együtt megfogalmazva: Egy természetes szám pontosan akkor osztható -vel, ha az utolsó számjegye 0; ; ; 6 vagy 8. = ( )+. példa Gyöngyi egy könyvet olvasott, és észrevette, hogy minden olyan oldalon (és csak azokon) van kép, amelyek oldalszáma -tel osztható. Soroljuk fel, hányadik oldalakon talált képet Gyöngyi, ha a könyv 8 oldalas! Mit veszünk észre? Megoldás A képet tartalmazó oldalszámok: 0; 0; ; 0; ; 0; ; 0; ; 0; ; 60; 6; 0; ; 80. Észrevehetõ, hogy azokon az oldalakon van kép, amelyek sorszáma 0-ra vagy -re végzõdik A 0-nek osztója az. Magyarázzuk meg a példában szereplõ észrevételt! A 0-ra végzõdõ számok (0; 0; 0; 0; 0; 60;...) tízzel oszthatók, ezért a 0 osztójával, az -tel is oszthatók. Az -re végzõdõ számokat felírhatjuk kéttagú összeg alakban: Pl.: = 0 + ; = 0 + ; = 0 + ;... = 0 +. Az összeg mindkét tagja osztható -tel, ezért az összeg is osztható -tel. A 0-ra és az -re végzõdõ számok oszthatók -tel. Ha a szám ; ; ; ; 6; ; 8; 9-re végzõdik, akkor nem osztható -tel. = ( )+ Egy természetes szám -ös maradéka megegyezik utolsó jegyének ötös maradékával. ötös osztási ötös osztási maradék maradék Például: = = = 0 + = 0 + = = = = ² ² osztható nem osztható osztható nem osztható -tel -tel -tel -tel Egy természetes szám pontosan akkor osztható -tel, ha az utolsó számjegye 0 vagy. 8

7 Az oszthatóság megállapítása az utolsó két számjegy alapján Egy természetes szám pontosan akkor osztható 00-zal, ha az utolsó két számjegye nulla. Például: = = = = ² ² az utolsó osztható osztható az utolsó két számjegy 0 00-zal 00-zal két számjegy 0 Ha egy szorzat egyik tényezõje 00, akkor a szorzat osztható 00-zal és a 00 valamennyi osztójával, így a -gyel, -tel, 0-szal és 0-nel is példa Állapítsuk meg az osztás elvégzése nélkül, hogy a 8, az 8 és az 8 osztható-e -gyel! Megoldás A számokat felírhatjuk kéttagú összeg alakban a következõképpen: 08 = = = A szorzat osztható 00-zal, ezért a 00 osztójával, a -gyel is. Az utolsó két számjegybõl álló számot kell vizsgálni! 8-nak osztója a ; -nek osztója a ; -nek nem osztója a. A 8 és az 8 osztható -gyel, az 8 nem osztható -gyel. Egy természetes szám pontosan akkor osztható -gyel, ha az utolsó két számjegyébõl álló kétjegyû szám osztható -gyel. Ha egy természetes szám utolsó két számjegyébõl álló kétjegyû szám osztható -gyel, akkor a szám osztható -gyel. Ha egy természetes szám osztható -gyel, akkor az utolsó két számjegyébõl álló kétjegyû szám osztható -gyel. Hasonlóan belátható, hogy egy természetes szám 0-szal, -tel és 0-nel való oszthatóságának vizsgálatakor elég az utolsó két számjegyébõl álló kétjegyû számot vizsgálnunk. Például a osztható -tel, mert: = 00 + A szorzat osztható 00-zal, ezért a 00 osztójával, a -tel is. Az utolsó két számjegybõl álló szám osztható -tel. Egy természetes szám pontosan akkor osztható -tel, ha az utolsó két számjegyébõl álló kétjegyû szám osztható -tel. 9

8 OSZTHATÓSÁG Egy természetes szám -gyel osztva ugyanannyit ad maradékul, mint amennyit az utolsó két számjegyébõl álló szám. Pl.: = 00 + és = 8 + 0, tehát a négyes maradéka 0; 69 = és 69 = +, tehát a 69 négyes maradéka. Hasonlóan megmutatható, hogy egy természetes szám 0-szal, -tel, 0-nel és 00-zal osztva ugyanannyit ad maradékul, mint amennyit az utolsó két számjegyébõl álló szám. Az oszthatóság megállapítása az utolsó három számjegy alapján Egy természetes szám pontosan akkor osztható 000-rel, ha az utolsó három számjegye 0. Például: 000 = = = = ² ² az utolsó osztható osztható az utolsó számjegy rel 000-rel számjegy Az 000-nek osztója a 8. Ha egy szorzat egyik tényezõje 000, akkor a szorzat osztható 000-rel és az 000 valamennyi osztójával, így a 8-cal, a -tel, a 0-nel és az 00-zal is.. példa Állapítsuk meg az osztás elvégzése nélkül, hogy az, a 8 és a osztható-e 8-cal! Megoldás Írjuk fel a számokat kéttagú összeg alakban a következõ módon: 0 = = = A szorzat osztható 000-rel, ezért az 000 osztójával, a 8-cal is. Az utolsó három számjegybõl álló számot kell vizsgálni. = 8 -nek osztója a 8; 8 = nak osztója a 8; = nek nem osztója a 8. Az és a 8 osztható 8-cal, a nem osztható 8-cal. Egy természetes szám pontosan akkor osztható 8-cal, ha az utolsó három számjegyébõl álló háromjegyû szám osztható 8-cal. 0

9 Hasonlóan belátható, hogy egy természetes szám -tel, 00-zal, 0-nel és 00-zal való oszthatóságának vizsgálatakor elég az utolsó három számjegyébõl álló háromjegyû számot vizsgálnunk. Például a 6 0 osztható -tel, mert: 6 0 = A szorzat osztható 000-rel, ezért az 000 osztójával, a -tel is. Az utolsó három számjegybõl álló szám osztható -tel. Az 000-nek osztója a. Egy természetes szám pontosan akkor osztható -tel, ha az utolsó három számjegyébõl álló háromjegyû szám osztható -tel. Egy természetes szám 8-cal osztva ugyanannyit ad maradékul, mint amennyit az utolsó három számjegyébõl álló szám. Pl.: = és = 9 8+0, tehát a 8-as maradéka 0, 69 = és 69 = 8 8+, tehát a 69 8-as maradéka. Hasonlóan megmutatható, hogy egy természetes szám 0-nel, -tel, 00-zal, 0-nel, 00-zal és 000-rel osztva ugyanannyit ad maradékul, mint amennyit az utolsó három számjegyébõl álló szám. Mennyi maradékot ad a 6 és az 6, a) -tel; b) 00-zal; c) 00-zal osztva? a) 6 = = = b) 6 = = = c) 6 = = = A maradékokat szemléltethetjük számegyenesen: a) 6 6 b) c) Feladatok. a) Hová kerülne a halmazábrán a rel osztható számok halmaza? b) Írjunk igaz, illetve hamis állításokat a halmazábra alapján! 0-zel osztható számok zal oszthatók rel oszthatók

10 OSZTHATÓSÁG. a) Soroljuk fel azokat a kétjegyû számokat, amelyek a -gyel osztható számok végzõdései lehetnek! b) Mely számokkal oszthatók azok a számok, melyek a következõ háromjegyû számokra végzõdnek: 000,, 0,, 00, 6, 0, 8?. Soroljuk fel azokat a -tel osztható számokat, amelyek nem kisebbek, mint 00, és nem nagyobbak, mint 6 000! Hány ilyen szám van?. Soroljuk fel azokat a -tel osztható számokat, amelyek nem kisebbek 0-nél, de nem nagyobbak 80-nél!. Állapítsuk meg a 8; 689; 9; 80; 999 számok a) -es; b) -es; c) -ös; d) 8-as; e) -ös; f) -ös maradékát! 6. Mennyi a összeg a) -es; b) -es; c) -ös; d) -ös; e) -ös; f) 8-as maradéka?. Készítsünk a füzetbe az itt láthatóhoz hasonló halmazábrát, és írjuk bele a következõ számokat! 0; ; ; ; 0; 8; 60; 9; 8; ; 9; ; 900. Fogalmazzuk meg, milyen tulajdonságú számok kerültek a két halmaz közös ébe! Az adott számok halmaza -vel oszthatók -tel oszthatók 8. Készítsünk a füzetbe az itt láthatóhoz hasonló halmazábrát, és írjuk bele a következõ számokat! 6; 800; 9 00; 0; 8; ; 9; 000; 8; ; ; 0 900; 9. Fogalmazzuk meg, milyen tulajdonságú számok kerültek a két halmaz közös ébe! Az adott számok halmaza -gyel oszthatók -tel oszthatók 9. Készítsünk a füzetbe az itt láthatóhoz hasonló halmazábrát, és írjuk bele a következõ számokat! 8; ; 6; 0; 6; ; 0; 9 ; 000; 00; 6 06; 6 8; Fogalmazzuk meg, milyen tulajdonságú számok kerültek a két halmaz közös ébe! Az adott számok halmaza 8-cal oszthatók -tel oszthatók 0. Jelöljük halmazábrán a -gyel és 8-cal osztható számok halmazát, majd írjuk be a következõ számokat! Mit vehetünk észre? 6; 0; 00; ; 6; ; 900; 9; 000; 8; 0 000; ; 680 6; 0.

11 . Állapítsuk meg a következõ számok hiányzó számjegyeit úgy, hogy -gyel és -tel is oszthatók legyenek! Mit állapíthatunk meg a -gyel és -tel osztható számokról? a) ÂÒ0 ÂÒ = b) ÀÐ8 ÀÐ = 0. A számkártyákból képezzük az összes lehetséges háromjegyû számot! Készítsünk halmazábrát, jelöljük a -vel és az -tel osztható számok halmazát, és írjuk be a számokat! 0. A számkártyákból alkossunk a) -gyel osztható háromjegyû számokat! Ezek közül melyek oszthatók -tel is? Mit mondhatunk a -gyel is és -tel is osztható számokról? b) -tel, -tel és 0-nel osztható háromjegyû számokat, és írjuk ezeket halmazábrába! Mondjunk igaz állításokat a halmazábra alapján!. Döntsük el, hogy az alábbi állítások közül melyik igaz, melyik hamis! a) Ha egy szám utolsó két számjegyébõl álló szám osztható -gyel, akkor maga a szám is osztható -gyel. b) Egy szám akkor osztható -gyel, ha utolsó két számjegye osztható -gyel. c) Ha egy szám -gyel és -tel is osztható, akkor 0-szal is osztható. d) Ha egy szám -gyel és -vel is osztható, akkor 8-cal is osztható.. Döntsük el, hogy az alábbi állítások közül melyik igaz, melyik hamis! a) Ha egy szám osztható 0-nel, akkor -tel is osztható. b) Minden -tel osztható szám 0-nel is osztható. c) Ha egy szám többszöröse -nek, akkor -nek is többszöröse. d) Van olyan -tel osztható szám, amelynek minden számjegye páratlan. 6. Egy országos matematikaverseny szervezõi tréfás kiszámolóba rejtve közölték a tvevõkkel, hogy mi a fõdíj. Számoljatok balról jobbra és jobbról balra egyesével -tõl kezdve a következõ módon:. A,. B,. C,. D,. E, 6. D,. C, 8. B, 9. A, 0. B,. C...! Ha így haladtok tovább, akkor 000-hez érve éppen a fõdíjra mutattok. Mi a verseny fõdíja? E) B) D) A) C) Rejtvény Egy vastag könyvbõl kiesett néhány egymás után következõ lap. A legelsõ a. oldal volt, a legutolsó kiesett oldalon pedig ugyanezek a számjegyek szerepeltek, csak más sorrendben. Hány lap esett ki a könyvbõl?

12 HOGYAN OLDJUNK MEG FELADATOKAT?. Következtessünk visszafelé! Géza a térképvázlat alapján haladt, és minden útelágazásnál eldöntötte, hogy milyen irányban menjen tovább. Melyik pontból indult, ha az útelágazásoknál az alább jelölt irányokba fordulva ért a sajthoz? Több probléma megoldásakor segítséget jelenthet, ha a végsõ helyzetbõl kiindulva visszafelé következtetünk. Játsszátok el a feladatot, majd találjatok ki hasonlókat!. példa Gondoltam egy számra, elosztottam -tel, hozzáadtam 6-ot, ezt megszoroztam 8-cal, és így 80-at kaptam. Melyik számra gondoltam? Megoldás Kövessük nyomon az eredeti szám változását! a gondolt szám +6 8 a kapott szám. szám. szám. szám. szám =0 µ6 8 0µ 6= 80 8=0 80 Az eredeti szám a 0. Ellenõrzés: Válasz: 0 = ; + 6 = 0; 0 8 = 80, ami a feladat szövegének megfelel. Tehát a 0-ra gondoltam. 0

13 . példa A házunk elõtt három fa áll, egy barack-, egy dió- és egy meggyfa. Reggel 8 veréb repült a házunkhoz, és leszállt a három fára. Késõbb 8 veréb a barackfáról átszállt a diófára, majd 6 veréb átszállt a diófáról a meggyfára. Ekkor mindegyik fán ugyanannyi veréb ült. Hány veréb telepedett le eredetileg a barackfán, a diófán és a meggyfán? Megoldás A röpködések után a 8 veréb úgy helyezkedett el a három fán, hogy mindegyiken ugyanannyi veréb ült, vagyis mindhárom fán 8 =6 veréb volt. Foglaljuk táblázatba a verebek számát a fákon! Végsõ állapot Közbülsõ állapot Eredeti helyzet barackfa diófa meggyfa = µ8 +8 µ = µ 8 = 6 µ6 +6 µ6 +6 6µ 6=0 0 Ellenõrzés: A barackfán µ 8 = 6 veréb maradt. A diófán + 8 µ 6 = 6 veréb maradt. A meggyfán = 6 veréb lett. Válasz: A táblázatból leolvasható a megoldás: eredetileg a barackfára veréb szállt le, a diófára, a meggyfára pedig 0.. példa Egy tál teli volt gombóccal. Elõször Bence ért haza, és megette a gombócok felét és még egy fél gombócot. Majd megjött Ákos, és megette a maradék gombócok felét. Ezután gombóc maradt. Hány gombóc volt eredetileg a tálban? Megoldás Jelöljük egy szakasszal az összes gombócot! az összes gombóc fele a maradék ez is a maradék Bence ennyi gombócot evett fele fele Ákos ennyi gombócot evett Hogyan ehette meg Bence a gombócok felét és még egy fél gombócot úgy, hogy egy gombócot sem kellett kettévágnia? Ákos a Bence által meghagyott gombócok felét ette meg. A másik fele a maradék gombóc, azaz Ákos is gombócot evett meg. Így Bence = 0 gombócot hagyott. Ha Bence nem ette volna meg a fél gombócot, akkor épp az összes gombóc felét ette volna meg, ami 0. Tehát a tálon eredetileg 0 = gombóc volt.

14 HOGYAN OLDJUNK MEG FELADATOKAT? Ellenõrzés: A tálon gombóc volt. Bence megevett + = 0 + = gombócot. Maradt 0 gombóc. Ákos megevett 0 = gombócot. Valóban gombóc maradt. Válasz: Eredetileg gombóc volt a tálban. Feladatok. Gondoltam egy számot, elvettem belõle 9-et, megszoroztam -tel, elosztottam - gyel, és -et kaptam. Melyik számra gondoltam?. Gondoltam egy számot, hozzáadtam 8-at, elosztottam 0-zel, a kapott számot megszoroztam 9-cel, majd hozzáadtam 9-et, és 00-at kaptam. Melyik számra gondoltam?. Melyik az a szám, amelyiknek a felénél -tel kisebb szám a?. Peti egy mûveletsor végén 0-at kapott. Késõbb rájött, hogy az utolsó mûveletet eltévesztette, és ahelyett, hogy 89-et kivont volna, 89-et hozzáadott. Mennyi a helyes végeredmény?. Pali egy mûveletsor végén 80-at kapott. Késõbb rájött, hogy az utolsó mûveletet eltévesztette, és ahelyett, hogy -gyel osztott volna, -gyel szorzott. Mennyi a helyes végeredmény? 6. András, Béla és Csaba társasjátékot játszottak. A játékszabály szerint aki egy fordulót megnyert, az a vesztesektõl kapott - zsetont. A 6. kör végén egyformán osztoztak a 60 zsetonon. A 6. kört Béla nyerte, az. kört Csaba, a. kört András. Kinek hány zsetonja volt a. kör végén?. Egy méhraj repült az udvarunkba. A méhek fele a barackfára szállt, a maradék fele az aranyvesszõre, a többi 8 méh pedig a tulipánokra. Hány méh röpült az udvarunkba? 8. A párizsi kiránduláson Réka és Árpi sokat fotózott. Szerdán a képek felét az Eiffeltoronynál, a maradék kétharmad ét a Notre Dame-nál, a maradék 8 képet pedig a Diadalívnél készítették. Összesen hány képet készítettek szerdán?

15 9. Egy vég szövetbõl az üzletben elõször m-t, aztán m-t, majd, m-t adtak el. Utána egy varrónõ megvette a maradék szövet felét, majd egy másik is elvitt 0 m-t, így az utolsó vevõnek m maradt. Hány méter szövet volt a végben? 0. Ha egy téglalap egyik szemközti oldalpárját kétszeresére, másik szemközti oldalpárját pedig háromszorosára növeljük, akkor egy olyan négyzetet kapunk, amelynek a kerülete 8 cm. Mekkorák az eredeti téglalap oldalai?. A 6. C osztályban a tanulók harmada lány. A fiúk negyede kosárlabdázik. Ha olyan fiú van, aki nem kosárlabdázik, akkor hány tanuló jár az osztályba? *. Egy használtautó-kereskedõ egy hétig nem vett autót, csak eladott. Hétfõn eladta az autók felét meg még egy fél autót, kedden a maradék felét meg még egy fél autót, szerdán a maradék felét meg még egy felet, így egy autója maradt, amivel elment nyaralni. Hány autót adott el hétfõn? *. Egy gazdag ember a vagyona felét és még 000 aranyat a feleségére hagyott. A maradék felét és még 000 aranyat a leányára, a maradék felét és még 000 aranyat az inasára, a maradék felét és még 000 aranyat a kutyájára, a megmaradt aranyat pedig jótékonysági célra hagyományozta. Hány arany volt a gazdag ember vagyona? Játék Ezt a játékot ketten játsszátok egy bábuval! A bábu a START-ról indul, és felváltva léphettek vele egyszerre legalább -et, de legfeljebb -öt. Az gyõz, aki be tud lépni a CÉL-ba. Tud-e a kezdõ játékos úgy játszani, hogy biztosan gyõzzön? Rejtvény Egy hordóban 0 liter drága olaj van. Hogyan lehet ebbõl egy literes és egy 9 literes edény segítségével pontosan 6 litert kimérni, ha nincs más edényünk, és egyetlen cseppje sem veszhet kárba?

16 A RACIONÁLIS SZÁMOK I.. A tizedes törtek szorzása Beszélgessetek a fotókon látható mérõeszközökrõl! Fogalmazzatok meg szorzásokat! Tizedes tört szorzása egész számmal. példa Egy lépcsõs piramis alsó három lépcsõfokát betemette a sivatag homokja. A piramis egy lépcsõfoka,8 m magas. a) Milyen magasan van a piramis csúcsa a homokfelszín felett, ha a piramis összesen lépcsõbõl áll? b) Hol kezdõdik a piramis elsõ lépcsõje a homokfelszínhez képest? Megoldás a) A piramis lépcsõbõl áll, ezért lépcsõ van a homokfelszín felett., 8 8,,8 +,8 +,8 +,8 = =,8 = 8,. A piramis csúcsa 8, m magasan van a sivatag homokfelszíne felett. b) A homokfelszín alatti elsõ lépcsõ µ,8 méteren van., 8, (µ,8) + (µ,8) + (µ,8) = (µ,8) = µ,. A piramis alja a homokfelszínhez képest µ, méteren van. Ha tizedes törtet egész számmal szorzunk, a szorzatban annyi tizedesjegyet jelölünk, amennyi a tizedes törtben van. A szorzat elõjelét ugyanúgy állapítjuk meg, mint az egész számok szorzásakor.

17 Tizedes tört szorzása tizedes törttel. példa Egy téglalap alakú terasz méretei láthatóak az ábrán. Hány négyzetméter területû ez a terasz?,6 m Megoldás a =,6 m b =, m, m b T =? Becslés: T = a b T» 6 m = 8 m a T =,6, m Induljunk ki az egész számok szorzásából, és figyeljük meg a szorzat változásait! A mértékegységek közti összefüggések alapján a terület: T = 6 dm T = 9 dm T =,9 m 6 = 9 0 0,6 = 9, 0 0,6, =, Tizedes törttel számolva: T =,6, m T =,9 m, 6, 6 8, 9 A terasz területe,9 m.. példa A. példában szereplõ teraszt a kert felõli szélén zöld, a többi en drapp színû járólappal akarjuk lefedni. Hány négyzetméter lesz a zöld színû téglalap, ha a hossza,6 m, a szélessége cm? Megoldás A zöld színû téglalap egyik oldala,6 m, a másik cm hosszú., m a =,6 m c = cm = 0, m cm T =? Becslés: T = a c T» 6 0, m =,8 m T =,6 0, m,6 m a b c A mértékegységek közti összefüggések alapján a terület: T = 60 cm T = 90 cm T =,9 m A szorzat változásai alapján: 6 = ,6 0, =,9 A zöld színû területe,9 m. Tizedes törttel számolva: T =,6 0, m T =,9 m, 6 0, 6 8, 9

18 A RACIONÁLIS SZÁMOK I. Tizedes törtek szorzásakor a szorzatban annyi tizedesjegyet jelölünk, amennyi a tényezõkben összesen van. Például:, 6, 0 8, 8 8, , 8 6, 0, , 9 0 A többtényezõs szorzatokat lépésenként számoljuk. (µ0,), (µ,) = (µ,8) (µ,) =,69 µ,8 +,69 Feladatok. Hány tizedesjegy szerepel a következõ szorzatokban, ha a szorzatot nem egyszerûsítjük vagy nem bõvítjük? Becsüljük meg a szorzatot! Végezzük el a szorzást! a), ; b) 0,0 06; c), (µ); d), 0; e),6,; f),8,; g) 0,6,; h) 0, 0; i),0,0; j),0 00; k),,,8; l), 0,6.. Számítsuk ki a szorzatokat! Mit veszünk észre? a) 68 ; b) 6,8 ; c) 6,8,; d) 6,8 ; e),68 ; 6,8 ;,68 ;,68,;,68 0,;,68 0,0;,68 ; 0,68 ; 0,68,; 0,68 0,0;,68 0,00.. Végezzük el a szorzást! Elõtte becsüljük meg a szorzatot! a) (+,) (+0,8) (µ); b) (µ,) (+) (µ0,08) (µ000).. Végezzük el a,, szorzást! Változtassuk úgy valamelyik tényezõt, hogy a szorzat a) kétszeresére; b) négyszeresére; c) tízszeresére változzon!. Rendezzük a szorzatokat csökkenõ sorrendbe! Hányszorosa a legnagyobb a legkisebbnek? (Próbáljunk a szorzatok kiszámítása nélkül válaszolni!) a) A),,8 ; B),,8 ; C) µ,,8 ; D) 0,,8 ; b) A) 0,, ; B) µ0,, ; C) 0, 0, ; D) 0, 0, 0 ; c) A) µ,6 8, ; B) µ,6 (µ0,8), ; C) µ,6 (µ0,8) (µ,).

19 6. Döntsük el, hogy melyik szorzat, illetve összeg a nagyobb! Számolással ellenõrizzük a döntésünk helyességét! a), vagy,0 0; b) 6, 0, vagy 0,6,; c) 6,8, vagy,68 ; d) µ, +,, vagy (µ, +,),.. A gyógyszeek a gyógyszerek elõállításánál nagyon kis tömegekkel dolgoznak. Az egyik gyógyszer tablettájában 0, mg hatóanyag és, mg tejcukor van. Hány grammot fogyaszt egy évben a hatóanyagból és a tejcukorból az a beteg, aki minden nap tablettát szed be ebbõl a gyógyszerbõl? 8. Péter és apukája az országúton egyszerre indulnak el kerékpárral a faluból a városba. Péter 8, km-t, az apukája 6,8 km-t tesz meg óránként. Péter, óra múlva beér a városba. Mennyi utat kell még megtennie az apukájának, hogy õ is a városba érjen? 9. Egy villanyszerelõ-mûhelyben elosztókat állítanak össze. Egy elosztó vezetéke, m hosszú, és a szereléshez még 8 cm vezeték kell. Egy mûszak alatt 8 elosztó készül el. Hány méter vezetéket használnak fel? Számoljunk többféleképpen! 0. Egy méteráruboltban függönyöket veszünk. Sötétítõ függönynek, m-t vásárolunk,, m-rel kevesebbet, mint csipkefüggönynek. A sötétítõ függöny méterének ára 60 Ft, a csipkefüggönyé 6 Ft. Mennyit fizetünk?. Egy négyzet alakú asztalterítõ oldalai,6 m hosszúak. A terítõre csipkeszegélyt varrunk. Hány méter csipkét vegyünk, ha a terítõ sarkainál - cm a ráhagyás?. A házunk olyan téglalap alakú telekre épül, amelynek egyik oldala, m, a másik ennek a,-szerese. Hány méteren kell kerítést készíteni, ha a ház a telekhatárból,6 m-t, a kapu pedig, m-t foglal el? Hány m a telek területe? a =, m Kapu Ház. Számítsuk ki a téglalapok területét négyzetméterben, ha oldalaik hossza:. a = 6 m dm;. a = 9 dm;. a = 0 cm; b = 0 m dm; b =, dm; b =,8 m!. Hány négyzetcentiméter a felszíne és hány köbcentiméter a térfogata egy olyan fakockának, amelynek egy éle, cm? Ezekbõl a fakockákból egy olyan nagyobb kockát építünk, amelyik kis kockából áll. Mekkora a nagyobb kocka felszíne és térfogata?. Egy akvárium hossza 8, dm; szélessége cm; magassága pedig mm. Hány négyzetdeciméter területû üveglapot használtak fel a készítésekor, ha az akváriumnak nincs teteje? Hány literes az akvárium? (Az üveg vastagságától eltekinthetünk.) Rejtvény Melyik kétjegyû számra igaz, hogy az,-szerese ugyanazokból a számjegyekbõl áll, mint maga a szám?

20 A RACIONÁLIS SZÁMOK II. 6. Osztás törttel 6 = = 60 = = reciproka. példa Hány embert tudunk megkínálni pizzából, ha mindenkinek a) ; b) ; c) pizzát adunk?. megoldás A fenti ábráról leolvashatjuk a keletkezett szeletek számát. Ugyanezt osztással is megkaphatjuk: a) =; b) =6; c) =.. megoldás A hányados tulajdonságai alapján tudjuk, hogy ha az osztandó változatlan és az osztó felére, ötödére csökken, akkor a hányados kétszeresére, ötszörösére nõ. b) = c) = ² ² = ² ² =. Az egész pizzákkal, a fél pizzákkal 6, az egyötöd pizzákkal embert tudunk megkínálni. Az -del való osztás -vel való szorzást, az -del való osztás -tel való szorzást jelent.. példa Négy liter õszibaracklevet áttöltünk a) literes üvegekbe; b) literes poharakba; c) literes korsókba. Hány üveg, hány pohár és hány korsó telik meg? 0

21 Megoldás üvegek poharak korsók egész számot osztunk Az ábra alapján: a) az üvegek száma: =. b) a poharak száma: = =. c) a korsók száma: = 6. A hányados változása alapján: = ² ² = ² ² =. 6 A -dal való osztás -del való szorzást jelent. A a reciproka.. példa Végezzük el a következõ osztásokat! a) ; b) ; c). Megoldás a) Az elsõ példában láttuk, hogy = =. b) A hányados változásai alapján számolunk. = az osztó -szeresére nõ ² ² a hányados -ed ére csökken = ( ) = = = = c) A hányados változásai alapján számolunk. A b) esetbõl indulunk ki. = az osztandó -ed ére csökken ² ² a hányados -ed ére csökken = = 8 = egész számot osztunk törtet osztunk 8 Törttel úgy osztunk, hogy az osztandót az osztó reciprokával szorozzuk.

22 Feladatok A RACIONÁLIS SZÁMOK II. Törttel való osztáskor az egyszerûsítést akkor végezhetjük el, ha az osztást átírtuk reciprokkal való szorzásra. Ha az osztásban vegyes szám szerepel, akkor a vegyes számot elõször törtté alakítjuk = = = = 8 Ha elõjeles számokat osztunk, a hányados elõjelét az egész számoknál tanult módon állapítjuk meg. = = = Ê ˆ Ê ˆ Ê ˆ 6 µ = µ =µ Á =µ =µ Ë Á Ë Á Á Ë Ê ˆ Ê ˆ Ê ˆ Ê ˆ µ µ = µ µ = = = Ë Á 8 Ë Á Ë Á 8 Ë Á Végezzük el a kijelölt osztásokat, majd ellenõrizzük számításunk helyességét! 8 a) ; b) ; c) ; d) ; e) ; f) Ê ˆ ( µ ) µ ; g) Ê ˆ Ê ˆ µ µ ; h). Ë Ë Ë. Mennyi a hányados? Ellenõrizzük! 6 0 a) ; b) ; c) ; d) Ê ˆ µ ; 9 Ë 0 e) ; f) Ê ; g) Ê ; h) Ê µ8 ˆ µ ˆ µ 9 ˆ Ê µ ˆ. 8 Ë Ë 9 Ë 0 8 Ë. Mekkora számot visznek a teljes szerelvényen?

23 . Milyen számot írhatunk a jelek helyére, hogy az egyenlõség igaz legyen? 9 a) Ò = ; b) Ê ˆ µ Ò = ; c) Ò = ; Ë 0 8 d) Ê µ ˆ Ò = ; e) Ò = ; f) Ò = 9. Ë 6 0 Ê. a) Mennyi a hányados, ha a µ6 ˆ -et -dal osztjuk? Ë 6 Ê b) Hányszorosa a µ6 ˆ a -nak? Ë 6 Ê c) Hányszorosa a a µ6 ˆ -nek? 6 Ë Ê d) Mennyivel kell szorozni a -ot, hogy µ6 ˆ -et kapjunk? 6 Ë 6. Végezzük el az osztásokat! Állapítsuk meg, hogy az osztandó vagy a hányados a nagyobb! 9 a) ; ;. b) ; ; Egy téglalap területe m. Mennyi a téglalap kerülete, ha az egyik oldala 8 m? 8. Írjunk fel minél több osztást, ha a tényezõket és a hányadost is az alábbi számok közül választhatjuk! 9 6 ; µ; ; ; ; µ ; Vince és Csabi már másfél órája bicikliznek, amikor a túrájuk énél tartanak. Hányad ét tették meg az útjuknak óra alatt? Mennyi idõ telik el a túra befejezéséig, ha az eddigi tempóban haladnak tovább? Rejtvény Egy számot megszoroztunk -del, utána elosztottuk -del. Az alábbiak közül melyik mûvelettel helyettesíthetõ ez a két mûvelet? 9 9 A) osztás -dal; B) osztás -dal; C) szorzás -dal; D) szorzás -del; E) osztás -del. 0 0

24 SZÁZALÉKSZÁMÍTÁS. Az egész kiszámítása. példa Egy alpinista már 80 m magasra mászott, amikor a szikla jutott. Hány méter magas a szikla? éig Megoldás egész = 80 m?m 80m =60m 60 m = 0 m Az alpinista 0 m magas sziklára mászik fel. 80 m Mennyi a 0-nek a e? Mennyi a 80 és a hányadosa? = 80 = 0 Melyik szám e a 80? Ha a 80 az egésznek a e, akkor az egész t úgy is kiszámít- hatjuk, hogy a 80-at elosztjuk -del. 60

25 . példa Ádám a hónap elején megkapta a havi zsebpénzének 800 Ft-ot. Hány forint Ádám havi zsebpénze?. megoldás (következtetéssel) A zsebpénz e. megoldás (osztással) egész = 800 Ft?Ft ét, azaz Ha 800 Ft; 00 a 800 Ft = 800 Ft = 00 Ft. Mindkét esetben ugyanazt az eredményt kaptuk. Ádám havi zsebpénze 00 Ft. 800 Ft = 00 Ft 00 Ft = 00 Ft ( ) 800 = = = = = 800 Egy szám ébõl úgy számítjuk ki az egész ét, hogy a számot el- osztjuk -dal.. példa Egy kerékpártúra elsõ napján az egész út, a második napon pedig a ét tettük meg. Hány kilométer van még hátra, ha az elsõ nap 0 km-t haladtunk? Megoldás Az elsõ nap megtett út az egész út Az egész út 0 km. e, azaz 0 km. 0 km?ft 0km =km km = 0 km

MATEMATIKA VERSENY --------------------

MATEMATIKA VERSENY -------------------- Eötvös Károly Közös Fenntartású Általános Iskola 2013. és Alapfokú Művészetoktatási Intézmény 831 Vonyarcvashegy, Fő u. 8/1. 2. osztály MATEMATIKA VERSENY -------------------- név Olvasd el figyelmesen,

Részletesebben

Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit!

Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit! 1. 2. 3. 4. Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg a kivonásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg a szorzásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg az osztásban szereplő számok

Részletesebben

Számelmélet. 4. Igazolja, hogy ha hat egész szám összege páratlan, akkor e számok szorzata páros!

Számelmélet. 4. Igazolja, hogy ha hat egész szám összege páratlan, akkor e számok szorzata páros! Számelmélet - oszthatóság definíciója - oszthatósági szabályok - maradékos osztás - prímek definíciója - összetett szám definíciója - legnagyobb közös osztó definíciója - legnagyobb közös osztó meghatározása

Részletesebben

Matematika (alsó tagozat)

Matematika (alsó tagozat) Matematika (alsó tagozat) Az értékelés elvei és eszközei A tanév során az értékelés alapja a tanulók állandó megfigyelése. Folyamatos fejlesztő célzatú szóbeli értékelés visszajelzést ad a tanuló számára

Részletesebben

MEGOLDÓKULCSOK. 1. feladatsor (1. osztály)

MEGOLDÓKULCSOK. 1. feladatsor (1. osztály) MEGOLDÓKULCSOK 1. feladatsor (1. osztály) 1. feladat 8 9 10 14 15 16 10 11 12 18 19 20 1. pontdoboz: Hibátlan számszomszédok írása 1 pont, hiba 0 pont. 2. feladat 20 17 14 11 8 5 2 2. pontdoboz: Szabályfelismerésért

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I. Számelmélet I. DEFINÍCIÓ: (Osztó, többszörös) Ha egy a szám felírható egy b szám és egy másik egész szám szorzataként, akkor a b számot az a osztójának, az a számot a b többszörösének nevezzük. Megjegyzés:

Részletesebben

Oszthatósági problémák

Oszthatósági problémák Oszthatósági problémák Érdekes kérdés, hogy egy adott számot el lehet-e osztani egy másik számmal (maradék nélkül). Ezek eldöntésére a matematika tanulmányok során néhány speciális esetre látunk is példát,

Részletesebben

Árvainé Libor Ildikó Lángné Juhász Szilvia Szabados Anikó. Második félév. Tizenegyedik, javított kiadás Mozaik Kiadó Szeged, 2013

Árvainé Libor Ildikó Lángné Juhász Szilvia Szabados Anikó. Második félév. Tizenegyedik, javított kiadás Mozaik Kiadó Szeged, 2013 Árvainé Libor Ildikó Lángné Juhász Szilvia Szabados Anikó Második félév Tizenegyedik, javított kiadás Mozaik Kiadó Szeged, 0 SZORZÁS ÉS OSZTÁS -VEL Mesélj a képrõl! Hány kerékpár és kerék van a képen?

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Számelmélet

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Számelmélet MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Számelmélet A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

0644. MODUL SZÁMELMÉLET. Közös osztók, közös többszörösök KÉSZÍTETTE: PINTÉR KLÁRA

0644. MODUL SZÁMELMÉLET. Közös osztók, közös többszörösök KÉSZÍTETTE: PINTÉR KLÁRA 0644. MODUL SZÁMELMÉLET Közös osztók, közös többszörösök KÉSZÍTETTE: PINTÉR KLÁRA 0644. Számelmélet Közös osztók, közös többszörösök Tanári útmutató MODULLEÍRÁS A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály

Részletesebben

50. modul 1. melléklet 2. évfolyam tanítói fólia

50. modul 1. melléklet 2. évfolyam tanítói fólia 50. modul 1. melléklet 2. évfolyam tanítói fólia 50. modul 2. melléklet 2. évfolyam tanítói fólia 50. modul 3. melléklet 2. évfolyam tanítói fólia 50. modul 4. melléklet 2. évfolyam tanítói fólia és csoport

Részletesebben

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA. 9. Nyelvi előkészítő osztály

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA. 9. Nyelvi előkészítő osztály MINŐSÉGIRÁNYÍTÁSI ELJÁRÁS MELLÉKLET Tanmenetborító Azonosító: ME-III.1./1 Változatszám: 2 Érvényesség 2013. 01. 01. kezdete: Oldal/összes: 1/6 Fájlnév: ME- III.1.1.Tanmenetborító SZK- DC-2013 MATEMATIKA

Részletesebben

NÉGYOSZTÁLYOS FELVÉTELI Részletes megoldás és pontozás a Gyakorló feladatsor II.-hoz

NÉGYOSZTÁLYOS FELVÉTELI Részletes megoldás és pontozás a Gyakorló feladatsor II.-hoz NÉGYOSZTÁLYOS FELVÉTELI Részletes megoldás és pontozás a Gyakorló feladatsor II.-hoz Gedeon Veronika (Budapest) A javítókulcsban feltüntetett válaszokra a megadott pontszámok adhatók. A pontszámok részekre

Részletesebben

A III. forduló megoldásai

A III. forduló megoldásai A III. forduló megoldásai 1. Egy dobozban pénzérmék és golyók vannak, amelyek vagy ezüstből, vagy aranyból készültek. A dobozban lévő tárgyak 20%-a golyó, a pénzérmék 40%-a ezüst. A dobozban levő tárgyak

Részletesebben

43. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY ORSZÁGOS DÖNTŐ, 1. forduló ÖTÖDIK OSZTÁLY- MEGOLDÁSVÁZLATOK

43. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY ORSZÁGOS DÖNTŐ, 1. forduló ÖTÖDIK OSZTÁLY- MEGOLDÁSVÁZLATOK Telefon: 37-8900 Fax: 37-8901 43. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY ORSZÁGOS DÖNTŐ, 1. forduló ÖTÖDIK OSZTÁLY- MEGOLDÁSVÁZLATOK 1. 1. Egy osztási műveletben az osztandó és az osztó összege 89.

Részletesebben

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A Matematika 6. évfolyam eszközök diákok és csoportok részére 1. félév A kiadvány KHF/4632-14/2008. engedélyszámon 2008.12.16. időponttól tankönyvi engedélyt kapott Educatio

Részletesebben

148 feladat 20 ) + ( 1 21 + 2 21 + + 20 200 > 1 2. 1022 + 1. 5. Igazoljuk minél rövidebben, hogy a következő egyenlőség helyes: 51 + 1 52 + + 1

148 feladat 20 ) + ( 1 21 + 2 21 + + 20 200 > 1 2. 1022 + 1. 5. Igazoljuk minél rövidebben, hogy a következő egyenlőség helyes: 51 + 1 52 + + 1 148 feladat a Kalmár László Matematikaversenyről 1. ( 1 19 + 2 19 + + 18 19 ) + ( 1 20 + 2 20 + + 19 20 ) + ( 1 21 + 2 21 + + 20 21 ) + ( 1 22 + 2 22 + + 21 22 ) =? Kalmár László Matematikaverseny megyei

Részletesebben

MATEMATIKA C 12. évfolyam 4. modul Még egyszer!

MATEMATIKA C 12. évfolyam 4. modul Még egyszer! MATEMATIKA C 1. évfolyam 4. modul Még egyszer! Készítette: Kovács Károlyné Matematika C 1. évfolyam 4. modul: Még eygszer! Tanári útmutató A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási pontok

Részletesebben

MATEMATIKA TANMENET 6.OSZTÁLY KÉSZÍTETTE: KULCSÁRNÉ BALÁZSI ERIKA

MATEMATIKA TANMENET 6.OSZTÁLY KÉSZÍTETTE: KULCSÁRNÉ BALÁZSI ERIKA MATEMATIKA TANMENET 6.OSZTÁLY KÉSZÍTETTE: KULCSÁRNÉ BALÁZSI ERIKA JELÖLÉSEK: Nem szakrendszerű órák jelölése zöld színnel, számok a programterv A 6. évfolyam tanmenetből valók Infokommunikációs technológia

Részletesebben

Feladatgyűjtemény matematikából

Feladatgyűjtemény matematikából Feladatgyűjtemény matematikából 1. Pótold a számok között a hiányzó jelet: 123: 6 a 45:9.10 2. Melyik az a kifejezés, amelyik 2c-7 tel nagyobb, mint a 3c+7 kifejezés? 3. Határozd meg azt a legnagyobb természetes

Részletesebben

Munkaformák Módszerek Eszközök Modul készségek, célok Szervezési feladatok Rendezés, a füzet vezetése EM Magyarázat Tankönyv, füzetek.

Munkaformák Módszerek Eszközök Modul készségek, célok Szervezési feladatok Rendezés, a füzet vezetése EM Magyarázat Tankönyv, füzetek. Idő Óraszám 09. 01. 1. 09. 03. 1. 09. 04. 2. 09.07. 3. 09. 08. 4. 09. 10. 2. 09.11. 5. 09.14. 6 09.15. 7. Tananyag Fejlesztési képességek, Munkaformák Módszerek Eszközök Modul készségek, célok Szervezési

Részletesebben

MATEMATIKA 5-6. Motiváció és közelítés a mindennapokhoz az OFI kísérleti tankönyveiben

MATEMATIKA 5-6. Motiváció és közelítés a mindennapokhoz az OFI kísérleti tankönyveiben A Nemzeti Alaptantervhez illeszkedő tankönyv-, taneszköz-, és Nemzeti Közoktatási Portál fejlesztése TÁMOP-3.1.2-B/13-2013-0001 MATEMATIKA 5-6. Motiváció és közelítés a mindennapokhoz az OFI kísérleti

Részletesebben

Számok és műveletek 10-től 20-ig

Számok és műveletek 10-től 20-ig Számok és műveletek től 20ig. Hány gyerek vesz részt a síversenyen? 2. Hányas számú versenyző áll a 4. helyen, 3. helyen,. helyen? A versenyzők közül hányadik helyen áll a 4es számú, 3as számú, es számú?

Részletesebben

Elméleti kérdés minták (3 x 5 pont) 1. Definiálja két halmaz unióját! Készítsen hozzá Venn-diagramot!

Elméleti kérdés minták (3 x 5 pont) 1. Definiálja két halmaz unióját! Készítsen hozzá Venn-diagramot! Elméleti kérdés minták (3 x 5 pont) 1. Deiniálja két halmaz unióját! Készítsen hozzá Venn-diagramot!. Csoportosítsa a négyszögeket az oldalak párhuzamossága, és egyenlősége alapján! 3. Határozza meg a

Részletesebben

PYTAGORIÁDA A járási forduló feladatai 34. évfolyam, 2012/2013-as tanév KATEGÓRIA P3

PYTAGORIÁDA A járási forduló feladatai 34. évfolyam, 2012/2013-as tanév KATEGÓRIA P3 KATEGÓRIA P3 1. Két kalácsért 32 centet fizetnénk. Hány centet fizet Peti, ha saját magának és három testvérének is vesz egy-egy kalácsot? 2. Írjátok le egy szóval, hogy milyen műveleti jelet kell a példában

Részletesebben

Matematika kisérettségi

Matematika kisérettségi Matematika kisérettségi 2010. május 11. I. rész Fontos tudnivalók 1. A feladatok megoldására 30 percet fordíthat, az idő elteltével a munkát be kell fejeznie. 2. A megoldások sorrendje tetszőleges. 3.

Részletesebben

Melléklet a Matematika című részhez

Melléklet a Matematika című részhez Melléklet a Matematika című részhez Az arányosság bemutatása Az első könyvsorozatban 7. osztály, Tk-2 és Tk-3-ban 6. osztály, Tk-3b-ben 5. osztály(!), Tk-4-ben ismét 6. osztály, és végül Tk-4b-ben 5-6.

Részletesebben

KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA

KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA ÉRETTSÉGI VIZSGA 2011. május 3. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2011. május 3. 8:00 I. Időtartam: 45 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM Matematika középszint

Részletesebben

Curie Matematika Emlékverseny 7. évfolyam I. forduló 2011/2012.

Curie Matematika Emlékverseny 7. évfolyam I. forduló 2011/2012. Curie Matematika Emlékverseny 7. évfolyam I. forduló 2011/2012. A feladatokat írta: Kozma Lászlóné, Sajószentpéter Tóth Jánosné, Szolnok Lektorálta: Fodor Csaba, Szeged Név:..... Iskola:. Beküldési határidő:

Részletesebben

P R Ó B A É R E T T S É G I 2 0 0 4. m á j u s KÖZÉPSZINT JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

P R Ó B A É R E T T S É G I 2 0 0 4. m á j u s KÖZÉPSZINT JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ P R Ó B A É R E T T S É G I 0 0 4. m á j u s MATEMATIKA KÖZÉPSZINT JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Formai előírások: A dolgozatot a vizsgázó által használt színűtől eltérő színű tollal kell javítani, és a

Részletesebben

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 0511 ÉRETTSÉGI VIZSGA 005. május 10. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÉRETTSÉGI VIZSGA Az írásbeli vizsga időtartama: 180 perc JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 0813 ÉRETTSÉGI VIZSGA 008. május 6. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

Mintafeladatsor Matematikaverseny ált. iskola 7-8.osztályosainak Bajza József Gimnázium és Szakközépiskola, Hatvan

Mintafeladatsor Matematikaverseny ált. iskola 7-8.osztályosainak Bajza József Gimnázium és Szakközépiskola, Hatvan Mintafeladatsor Matematikaverseny ált. iskola 7-8.osztályosainak Bajza József Gimnázium és Szakközépiskola, Hatvan TOLLAL DOLGOZZ, SZÁMOLÓGÉPET NEM HASZNÁLHATSZ, A LAPRA SZÁMOLJ! 1. A következő ábrán egy

Részletesebben

TANANYAGBEOSZTÁS. Kompetencia alapú matematika 6. osztály. A kompetencia alapú oktatás, egyenlő hozzáférés megteremtése

TANANYAGBEOSZTÁS. Kompetencia alapú matematika 6. osztály. A kompetencia alapú oktatás, egyenlő hozzáférés megteremtése TANANYAGBEOSZTÁS TÁMOP 3.1.4. 08/2-2008-0149 A kompetencia alapú oktatás, egyenlő hozzáférés megteremtése Mátészalkán Implementáló pedagógus: Nagy Gusztávné Implementációs terület: Kompetencia alapú matematika

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2011. május 3. KÖZÉPSZINT

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2011. május 3. KÖZÉPSZINT MATMATIKA ÉRTTSÉGI 011. május 3. KÖZÉPSZINT 1) gyszerűsítse a következő törtet, ahol b 6 b b 36 6 I. Az egyszerűsítés utáni alak: b 6 Összesen: pont ) A, 4 és 5 számjegyek mindegyikének felhasználásával

Részletesebben

Ismétlő feladatsor: 10.A/I.

Ismétlő feladatsor: 10.A/I. Ismétlő feladatsor: 0.A/I. Harasztos Barnabás 205. január. Feladat Mekkora az alábbi ábrán (szürkével) jelölt síkidom összterülete? A terület egységének a négyzetrács egy négyzetének területét tekintjük!

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2008. május 06. KÖZÉPSZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2008. május 06. KÖZÉPSZINT I. 1) Adja meg a Például: 1 ; 8 8 M 1 ; 10 5 MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 008. május 06. KÖZÉPSZINT I. nyílt intervallum két különböző elemét! ( pont) ( pont) ) Egy 7-tagú társaságban mindenki mindenkivel egyszer

Részletesebben

I. rész. Feladatsor. 2. Andi keresett két olyan számot, amelyre teljesül, hogy a < b. Igaz-e, hogy a < b?

I. rész. Feladatsor. 2. Andi keresett két olyan számot, amelyre teljesül, hogy a < b. Igaz-e, hogy a < b? 1. Feladatsor I. rész 1. Adott két halmaz. A a 9-nél kisebb páros pozitív egészek; B a 30-nál kisebb, 6-tal osztható pozitív egészek halmaza. Adja meg az A B és a B \ A halmazokat!. Andi keresett két olyan

Részletesebben

Érettségi feladatok: Halmazok, logika

Érettségi feladatok: Halmazok, logika Érettségi feladatok: Halmazok, logika 2005. május 10 18. Egy rejtvényújságban egymás mellett két, szinte azonos rajz található, amelyek között 23 apró eltérés van. Ezek megtalálása a feladat. Először Ádám

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2006. február 21. KÖZÉPSZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2006. február 21. KÖZÉPSZINT I. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 006. február 1. KÖZÉPSZINT I. 1) Mennyi annak a mértani sorozatnak a hányadosa, amelynek harmadik tagja 5, hatodik tagja pedig 40? ( pont) 3 1 5 a a q 5 6 1 40 a a q Innen q Összesen:

Részletesebben

TANMENETJAVASLAT. Matematika. 1. osztály

TANMENETJAVASLAT. Matematika. 1. osztály TANMENETJAVASLAT Matematika 1. osztály 2 1. Tájékozódás a tanulók készségeirôl, képességeirôl Játék szabadon adott eszközökkel Tk. 5. oldal korongok, pálcikák építôkockák GONDOLKODÁSI MÛVELETEK ALAPOZÁSA

Részletesebben

Azonosító jel: ÉRETTSÉGI VIZSGA 2005. május 10. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA. Időtartam: 45 perc OKTATÁSI MINISZTÉRIUM

Azonosító jel: ÉRETTSÉGI VIZSGA 2005. május 10. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA. Időtartam: 45 perc OKTATÁSI MINISZTÉRIUM ÉRETTSÉGI VIZSGA 2005. május 10. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA I. Időtartam: 45 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Matematika középszint írásbeli vizsga I. összetevő

Részletesebben

SZÁMÉRTÉKEK (ÁT)KÓDOLÁSA

SZÁMÉRTÉKEK (ÁT)KÓDOLÁSA 1 ELSŐ GYAKORLAT SZÁMÉRTÉKEK (ÁT)KÓDOLÁSA A feladat elvégzése során a következőket fogjuk gyakorolni: Számrendszerek közti átváltás előjelesen és előjel nélkül. Bináris, decimális, hexadexcimális számrendszer.

Részletesebben

KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA

KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA ÉRETTSÉGI VIZSGA 2011. május 3. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2011. május 3. 8:00 I. Időtartam: 45 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM Matematika középszint

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Halmazok

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Halmazok MTEMTIK ÉRETTSÉGI TÍPUSFELDTOK MEGOLDÁSI KÖZÉP SZINT Halmazok szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

3. MINTAFELADATSOR KÖZÉPSZINT

3. MINTAFELADATSOR KÖZÉPSZINT Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet TÁMOP-3.1.1-11/1-2012-0001 XXI. századi közoktatás (fejlesztés, koordináció) II. szakasz MATEMATIKA 3. MINTAFELADATSOR KÖZÉPSZINT 2015 I. Időtartam: 45 perc Oktatáskutató

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 091 ÉRETTSÉGI VIZSGA 011. május 3. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

4. Számelmélet, számrendszerek

4. Számelmélet, számrendszerek I. Elméleti összefoglaló A maradékos osztás tétele: 4. Számelmélet, számrendszerek Legyen a tetszőleges, b pedig nullától különböző egész szám. Ekkor léteznek olyan, egyértelműen meghatározott q és r egész

Részletesebben

SZÁMELMÉLET FELADATSOR

SZÁMELMÉLET FELADATSOR SZÁMELMÉLET FELADATSOR Oszthatóság 1. Az 123x4 számban milyen számjegy állhat x helyén, ha a szám osztható a) 3-mal; e) 6-tal; b) 9-cel; f) 24-gyel; c) 4-gyel; g) 36-tal; d) 8-cal; h) 72-vel? 2. Határozd

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 1 I. HALmAZOk 1. JELÖLÉSEk A halmaz fogalmát tulajdonságait gyakran használjuk a matematikában. A halmazt nem definiáljuk, ezt alapfogalomnak tekintjük. Ez nem szokatlan, hiszen

Részletesebben

Év végi ismétlés 9. - Érettségi feladatok

Év végi ismétlés 9. - Érettségi feladatok Halmazok, logika Év végi ismétlés 9. - Érettségi feladatok 1. Egy rejtvényújságban egymás mellett két, szinte azonos rajz található, amelyek között 23 apró eltérés van. Ezek megtalálása a feladat. Először

Részletesebben

IV. Matematikai tehetségnap 2013. szeptember 28. IV. osztály

IV. Matematikai tehetségnap 2013. szeptember 28. IV. osztály IV. osztály 1. feladat. Ha leejtünk egy labdát, akkor az feleakkora magasságra pattan fel, mint ahonnan leejtettük. Milyen magasról ejtettük le a labdát, ha ötödször 10 cm magasra pattant fel? 2. feladat.

Részletesebben

7. OSZTÁLY TANMENETE MATEMATIKÁBÓL 2014/2015

7. OSZTÁLY TANMENETE MATEMATIKÁBÓL 2014/2015 7. OSZTÁLY TANMENETE MATEMATIKÁBÓL 2014/2015 Évi óraszá: 108 óra Heti óraszá: 3 óra 1. téa: Racionális száok, hatványozás 11 óra 2. téa: Algebrai kifejezések 12 óra 1. téazáró dolgozat 3. téa: Egyenletek,

Részletesebben

Matematika kisérettségi I. rész 45 perc NÉV:...

Matematika kisérettségi I. rész 45 perc NÉV:... Matematika kisérettségi I. rész 45 perc NÉV:... 1. Az A halmaz elemei a háromnál nagyobb egyjegyű számok, a B halmaz elemei pedig a húsznál kisebb pozitív páratlan számok. Sorolja fel az halmaz elemeit!

Részletesebben

SULINOVA PROGRAMTANTERVÉHEZ ILLESZKEDŐ TANMENET 9. ÉVFOLYAM SZÁMÁRA

SULINOVA PROGRAMTANTERVÉHEZ ILLESZKEDŐ TANMENET 9. ÉVFOLYAM SZÁMÁRA 1 SULINOVA PROGRAMTANTERVÉHEZ ILLESZKEDŐ TANMENET 9. ÉVFOLYAM SZÁMÁRA Heti óraszám: 3 Éves óraszám: 37 x 3 = 111 A tanmenet 101 óra beosztását tartalmazza. A dolgozatok írása és javítása 10 órát foglal

Részletesebben

Halmazműveletek feladatok

Halmazműveletek feladatok Halmazműveletek feladatok Soroljuk fel a {a; b; c} halmaz összes részhalmazát! Határozza meg az A és B halmazokat, ha tudja, hogy A B ={1;2;3;4;5}; A B ={3;5}; A\B={1}; B\A={2;4 A={-1; 0; 1; 2; 5; 7; 8}

Részletesebben

Tehetséggondozás az általános iskola 4-6. osztályában Dr. Csóka Géza, Győr

Tehetséggondozás az általános iskola 4-6. osztályában Dr. Csóka Géza, Győr Dr. Csóka Géza: Tehetséggondozás az általános iskola 4-6. osztályában Tehetséggondozás az általános iskola 4-6. osztályában Dr. Csóka Géza, Győr Kilencedik éve vezetek győri és Győr környéki gyerekeknek

Részletesebben

Felkészülés a Versenyvizsgára

Felkészülés a Versenyvizsgára Felkészülés a Versenyvizsgára Feladatok 6. osztályosoknak 1. Ha egy tégla 2 kg meg egy fél tégla, akkor hány kg két tégla? 2. Elköltöttem a pénzem felét, maradt 100 Ft-om. Mennyi pénzem volt eredetileg?

Részletesebben

BOLYAI MATEMATIKA CSAPATVERSENY KÖRZETI SZÓBELI FORDULÓ 2005. OKTÓBER 29. 5. osztály

BOLYAI MATEMATIKA CSAPATVERSENY KÖRZETI SZÓBELI FORDULÓ 2005. OKTÓBER 29. 5. osztály 5. osztály Józsi bácsi egy farkassal, egy kecskével és egy fej káposztával egy folyóhoz érkezik, amin át szeretne kelni. Csak egy olyan csónak áll rendelkezésére, amellyel a felsoroltak közül csak egyet

Részletesebben

Szöveges feladatok és Egyenletek

Szöveges feladatok és Egyenletek Szöveges feladatok és Egyenletek Sok feladatot meg tudunk oldani következtetéssel, rajz segítségével és egyenlettel is. Vajon mikor érdemes egyenletet felírni? Van-e olyan eset, amikor nem tanácsos, vagy

Részletesebben

I. Egyenlet fogalma, algebrai megoldása

I. Egyenlet fogalma, algebrai megoldása 11 modul: EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK MEGOLDÁSA 6 I Egyenlet fogalma, algebrai megoldása Módszertani megjegyzés: Az egyenletek alaphalmazát, értelmezési tartományát később vezetjük be, a törtes egyenletekkel

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 0711 ÉRETTSÉGI VIZSGA 007. május 8. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

3) András és Béla életkorának összege 23 év. Mennyi lesz az életkoruk összege 15 év múlva?

3) András és Béla életkorának összege 23 év. Mennyi lesz az életkoruk összege 15 év múlva? PANNONHALMA TKT RADNÓTI MIKLÓS ÁLTALÁNOS ISKOLA, ÓVODA ÉS ALAPFOKÚ MŐVÉSZETOKTATÁSI INTÉZMÉNY Akik vonzódnak a matematikához, azokat izgalomba hozza a feladat, akiknek nincs érzékük hozzá, azokat elriasztja.

Részletesebben

FELADATOK ÉS MEGOLDÁSOK

FELADATOK ÉS MEGOLDÁSOK 3. osztály Hány olyan háromjegyű szám létezik, amelyben a számjegyek összege 5? 15 darab ilyen szám van. 5 = 5+0+0 = 4+1+0 = 3+2+0 = 3+1+1=2+2+1 A keresett számok: 500, 401, 410, 104, 140, 302, 320,203,

Részletesebben

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 051 ÉRETTSÉGI VIZSGA 005. május 9. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÉRETTSÉGI VIZSGA Az írásbeli vizsga időtartama: 180 perc JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók

Részletesebben

1.1. Halmazok. 2. Minta - 5. feladat (2 pont) Adott két halmaz:

1.1. Halmazok. 2. Minta - 5. feladat (2 pont) Adott két halmaz: 1.1. Halmazok 2009. május id. - 11. feladat (3 pont) A H halmaz elemei legyenek a KATALINKA szó betűi, a G halmaz elemei pedig a BICEBÓCA szó betűi. Írja fel a H U G halmaz elemeit! 2010. október - 1.

Részletesebben

KOMPETENCIA ALAPÚ FELADATGYÛJTEMÉNY MATEMATIKÁBÓL 5. ÉVFOLYAM MEGOLDÁSOK

KOMPETENCIA ALAPÚ FELADATGYÛJTEMÉNY MATEMATIKÁBÓL 5. ÉVFOLYAM MEGOLDÁSOK KOMPETENCIA ALAPÚ FELADATGYÛJTEMÉNY MATEMATIKÁBÓL 5. ÉVFOLYAM MEGOLDÁSOK 1. a) I; b) H; c) I; d) I; e) I.. a) I; b) I; c) H; d) I; e) H. Természetes számok. 5555 < 7788< 7878< 7887< 8787< 8877< 8888. 4.

Részletesebben

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS Matematika PRÉ megoldókulcs 0. január. MTEMTIK PRÓBÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS = KÖZÉP SZINT = I. rész: z alábbi feladat megoldása kötelező volt! ) Oldd meg az alábbi egyenletet a valós számok halmazán! tg

Részletesebben

KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA

KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA Név:... osztály:... ÉRETTSÉGI VIZSGA 2006. május 9. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2006. május 9. 8:00 I. Időtartam: 45 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Matematika

Részletesebben

Számtani alapok. - Alapmőveletek, anyaghányad számítás - Mértékegység-átváltások - Százalékszámítás - Átlagszámítás, súlyozott átlag TÉMAKÖR TARTALMA

Számtani alapok. - Alapmőveletek, anyaghányad számítás - Mértékegység-átváltások - Százalékszámítás - Átlagszámítás, súlyozott átlag TÉMAKÖR TARTALMA Számtani alapok TÉMAKÖR TARTALMA - Alapmőveletek, anyaghányad számítás - Mértékegység-átváltások - Százalékszámítás - Átlagszámítás, súlyozott átlag ALAPMŐVELETEK A matematikai alapmőveletek az összeadás

Részletesebben

A fordított út módszere és a gráfok

A fordított út módszere és a gráfok A fordított út módszere és a gráfok 1. feladat: Ilonka az els nap elköltötte pénzének felét, a második nap a meglév pénzének egyharmadát, a harmadik nap a meglév pénz felét, negyedik nap a meglév pénz

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 061 ÉRETTSÉGI VIZSGA 006. május 9. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások: A dolgozatot

Részletesebben

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 051 É RETTSÉGI VIZSGA 005. október 5. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások: A dolgozatot

Részletesebben

Megoldás: Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7

Megoldás: Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7 A = {1; 3; 5; 7; 9} A B = {3; 5; 7} A/B = {1; 9} Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7 Azonos alapú hatványokat

Részletesebben

Kalandtúra 6. Tanári kézikönyv

Kalandtúra 6. Tanári kézikönyv Kalandtúra 6. Tanári kézikönyv A Klett Kiadó 6. osztályos matematika-ének és munkafüzetének használatához Makara Ágnes Általános jellemzők, felépítés Az iskola dolga, hogy megtaníttassa velünk, hogyan

Részletesebben

Felkészülés a Versenyvizsgára

Felkészülés a Versenyvizsgára Felkészülés a Versenyvizsgára Feladatok 5. osztályosoknak 1. Mennyi a -10, -9, -8,..., 9, 10 számok összege? 2. Mennyi a -10, -9, -8,..., 9, 10 számok szorzata? 3. Mennyi az öt legkisebb természetes szám

Részletesebben

Azonosító jel: MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA. 2008. május 6. 8:00. Az írásbeli vizsga időtartama: 240 perc

Azonosító jel: MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA. 2008. május 6. 8:00. Az írásbeli vizsga időtartama: 240 perc ÉRETTSÉGI VIZSGA 2008. május 6. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2008. május 6. 8:00 Az írásbeli vizsga időtartama: 240 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM

Részletesebben

Komplex számok algebrai alakja

Komplex számok algebrai alakja Komplex számok algebrai alakja Lukács Antal 015. február 8. 1. Alapfeladatok 1. Feladat: Legyen z 1 + 3i és z 5 4i! Határozzuk meg az alábbiakat! (a) z 1 + z (b) 3z z 1 (c) z 1 z (d) Re(i z 1 ) (e) Im(z

Részletesebben

BEVEZETŐ MATEMATIKA 5-8. Célok, feladatok:

BEVEZETŐ MATEMATIKA 5-8. Célok, feladatok: BEVEZETŐ Célok, feladatok: Az iskolai matematikatanítás célja, hogy hiteles képet nyújtson a matematikáról mint tudásrendszerről és mint sajátos emberi megismerési, gondolkodási, szellemi tevékenységről.

Részletesebben

Matematika, 1 2. évfolyam

Matematika, 1 2. évfolyam Matematika, 1 2. évfolyam Készítette: Fülöp Mária Budapest, 2014. április 29. 1. évfolyam Az előkészítő időszakot megnyújtottuk (4-6 hét). A feladatok a tanulók tevékenységére épülnek. Az összeadás és

Részletesebben

Matematika Mozaik Kiadó. 5. osztály

Matematika Mozaik Kiadó. 5. osztály Matematika Mozaik Kiadó 5. osztály Tematikai egység címe órakeret Gondolkodási módszerek, halmazok, matematikai logika, 3+folyamatos kombinatorika, gráfok Számtan, algebra 78 Függvények, az analízis elemei

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 1414 ÉRETTSÉGI VIZSGA 014. május 6. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

M A T EMATIKA 9. év fo ly am

M A T EMATIKA 9. év fo ly am Fővárosi Pedagógiai és Pályaválasztási Tanácsadó Intézet 1088 Budapest, Vas utca 8-10. Az iskola kódja: Az osztály kódja: A tanuló kódja: A tanuló neme: Kompetenciaalapú mérés 2008/2009. M A T EMATIKA

Részletesebben

MATEMATIKA TANMENET 9.B OSZTÁLY FIZIKA TAGOZAT HETI 6 ÓRA, ÖSSZESEN 216 ÓRA

MATEMATIKA TANMENET 9.B OSZTÁLY FIZIKA TAGOZAT HETI 6 ÓRA, ÖSSZESEN 216 ÓRA MATEMATIKA TANMENET 9.B OSZTÁLY FIZIKA TAGOZAT HETI 6 ÓRA, ÖSSZESEN 216 ÓRA A TÁMOP 3.1.4. EU-s pályázat megvalósításához a matematika (9. b/fizika) tárgy tanmenete a matematika kompetenciaterület A típusú

Részletesebben

Scherlein Márta Dr. Hajdu Sándor Köves Gabriella Novák Lászlóné MATEMATIKA 2. TANANYAGBEOSZTÁS, KÖVETELMÉNYEK KOMPETENCIÁK, FEJLESZTÉSI FELADATOK

Scherlein Márta Dr. Hajdu Sándor Köves Gabriella Novák Lászlóné MATEMATIKA 2. TANANYAGBEOSZTÁS, KÖVETELMÉNYEK KOMPETENCIÁK, FEJLESZTÉSI FELADATOK Scherlein Márta Dr. Hajdu Sándor Köves Gabriella Novák Lászlóné MATEMATIKA 2. TANANYAGBEOSZTÁS, KÖVETELMÉNYEK KOMPETENCIÁK, FEJLESZTÉSI FELADATOK TANANYAGBEOSZTÁS, KÖVETELMÉNYEK A tanmenetet három lehetséges

Részletesebben

MATEMATIKA HELYI TANTERV 5-8. ÉVFOLYAM

MATEMATIKA HELYI TANTERV 5-8. ÉVFOLYAM Matematika 5-8. évfolyam Helyi tanterv MATEMATIKA HELYI TANTERV 5-8. ÉVFOLYAM Vásárosdombói Általános Iskola, Egységes Oktatási és Alapfokú Művészetoktatási Intézmény Vásárosdombó Matematika 5-8. évfolyam

Részletesebben

Hasonlósági transzformációk II. (Befogó -, magasság tétel; hasonló alakzatok)

Hasonlósági transzformációk II. (Befogó -, magasság tétel; hasonló alakzatok) Hasonlósági transzformációk II. (Befogó -, magasság tétel; hasonló alakzatok) DEFINÍCIÓ: (Hasonló alakzatok) Két alakzat hasonló, ha van olyan hasonlósági transzformáció, amely az egyik alakzatot a másikba

Részletesebben

MATEMATIKA a 8. évfolyamosok számára. Mat1 JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA a 8. évfolyamosok számára. Mat1 JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ 8. évfolyam Mat1 Javítási-értékelési útmutató MTEMTI a 8. évfolyamosok számára Mat1 JVÍTÁSI-ÉRTÉEÉSI ÚTMUTTÓ 201. január 18. javítókulcsban feltüntetett válaszokra a megadott pontszámok adhatók. pontszámok

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2013. május 7. KÖZÉPSZINT

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2013. május 7. KÖZÉPSZINT MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 01. május 7. KÖZÉPSZINT 1) Az A és B halmazokról tudjuk, hogy B\ A 1; ; 4; 7. Elemeinek felsorolásával adja meg az A halmazt! A ; 5; 6; 8; 9 I. AB 1; ; ; 4; 5; 6; 7; 8; 9 és ) Egy

Részletesebben

KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA

KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA Név:... osztály:... ÉRETTSÉGI VIZSGA 2006. október 25. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2006. október 25. 8:00 I. Időtartam: 45 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM

Részletesebben

VERSENYFELADATOK 5 12. évfolyam részére I. FELADATSOR

VERSENYFELADATOK 5 12. évfolyam részére I. FELADATSOR VERSENYFELADATOK 5 12. évfolyam részére I. FELADATSOR 5. osztály 1. Az ötödik osztályban 13 fiúból négy szemüveges. A lányok harmada visel szemüveget. Összesen nyolc szemüveges van az osztályban. Mennyi

Részletesebben

Garay János Általános Iskola és Alapfokú Művészetoktatási Intézmény. Helyi tanterv Matematika 5-8. évfolyam. Alapelvek, célok

Garay János Általános Iskola és Alapfokú Művészetoktatási Intézmény. Helyi tanterv Matematika 5-8. évfolyam. Alapelvek, célok MATEMATIKA Alapelvek, célok Az iskolai matematikatanítás célja, hogy hiteles képet nyújtson a matematikáról, mint tudásrendszerről és mint sajátos emberi megismerési, gondolkodási, szellemi tevékenységről.

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2005. május 28. KÖZÉPSZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2005. május 28. KÖZÉPSZINT I. ) Mely valós számokra igaz, hogy 7 7 MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 005. május 8. KÖZÉPSZINT I. 7? Összesen: pont ) Egy 40 000 Ft-os télikabátot a tavaszi árleszállításkor 0%-kal olcsóbban lehet megvenni. Mennyi

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Halmazok

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Halmazok MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Halmazok A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA

KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA ÉRETTSÉGI VIZSGA 2008. május 6. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2008. május 6. 8:00 I. Időtartam: 45 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Matematika középszint

Részletesebben

1. Olvassuk be két pont koordinátáit: (x1, y1) és (x2, y2). Határozzuk meg a két pont távolságát és nyomtassuk ki.

1. Olvassuk be két pont koordinátáit: (x1, y1) és (x2, y2). Határozzuk meg a két pont távolságát és nyomtassuk ki. Számítás:. Olvassuk be két pont koordinátáit: (, y) és (2, y2). Határozzuk meg a két pont távolságát és nyomtassuk ki. 2. Olvassuk be két darab két dimenziós vektor komponenseit: (a, ay) és (b, by). Határozzuk

Részletesebben

Választható matematika 5-8. évfolyam

Választható matematika 5-8. évfolyam 1. Tantárgyi címoldal Választható matematika 5-8. évfolyam Helyi tantárgyi tanterv A tantárgy nevelési és fejlesztési célrendszere megvalósításának iskolai keretei: a választható matematika tantárgy oktatása

Részletesebben

2013. május 16. MINIVERSENY Csapatnév:

2013. május 16. MINIVERSENY Csapatnév: 1. Az ábrán látható ötszög belsejében helyezzetek el 3 pontot úgy, hogy az ötszög bármely három csúcsa által meghatározott háromszög belsejébe pontosan egy pont kerüljön! El lehet-e helyezni 4 pontot ugyanígy?

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 1313 ÉRETTSÉGI VIZSGA 013. május 7. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben