Matematika. Első kötet KÍSÉRLETI TANKÖNYV

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Matematika. Első kötet KÍSÉRLETI TANKÖNYV"

Átírás

1 Matematika Első kötet 9 KÍSÉRLETI TANKÖNYV

2 A tankönyv megfelel az 5/0 (XII. ) EMMI-rendelet:. sz. melléklet: Kerettanterv a gimnáziumok 9 évfolyama számára..0 Matematika 6. sz. melléklet: Kerettanterv a szakközépiskolák 9 évfolyama számára 6..0 Matematika megnevezésű kerettantervek előírásainak. Tananyagfejlesztő: Barcza István, Basa István, Tamásné Kollár Magdolna Alkotószerkesztő: Barcza István Vezetőszerkesztő: Tóthné Szalontay Anna Tudományos szakmai lektor: Pálfalvi Józsefné Pedagógiai lektor: Bánky Judit Olvasószerkesztő: Füleki Lászlóné, Mikes Vivien Fedél: Korda Ágnes terve alapján készítette Orosz Adél Látvány- és tipográfiai terv: Gados László, Orosz Adél IIlusztráció: Szabó Amanda, Szórády István Ödön Szakábra: Szalóki Dezső, Szalókiné Tóth Annamária Fotók: PIXABAY: 0., 5., 80., 8., 9, 96.,., 9. FLICKR:., 5., 8.,., 7., 8., 5, 5., 56., 58., 59., 60., 68., 69., 77., 87., 98., 99., 00., 0.,,,., 7.,,, 9.,.,., 50., 5., 5., 58., 60., 6., 65., 66., 69., 70., 7 WIKIPEDIA:,., 7., 8.,,., 6., 9.,.,., 5., 6., 66., 67., 7., 7., 75., 99.,,.,., 9., 6. SK:.,., 6., 7., 8., 0.,, 8., 50., 5., 58., 6, 69., 08. A tankönyv szerkesztői ezúton is köszönetet mondanak mindazoknak a tudós és tanár szerzőknek, akik az elmúlt évtizedek során olyan módszertani kultúrát teremtettek, amely a kísérleti tankönyvek készítőinek is ösztönzést és példát adott. Ugyancsak köszönetet mondunk azoknak az íróknak, költőknek, képzőművészeknek, akiknek alkotásai tankönyveinket gazdagítják. ISBN Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet Felelős kiadó: dr. Kaposi József, főigazgató Raktári szám: FI Műszaki szerkesztő: Orosz Adél Grafikai szerkesztő: Kováts Borbála Nyomdai előkészítés: Gados László, Hontvári Judit Terjedelem:,66 (A/5 ív), tömeg: 55 gramm A könyvben felhasználásra került a Matematika 9. Közel a mindennapokhoz című mű, Konsept-H Könyvkiadó, Nemzeti Tankönyvkiadó Zrt., 0 Szerzők: dr. Korányi Erzsébet, dr. Marosvári Péter és Dömel András. Alkotószerkesztő: Környei László. Felelős szerkesztő: Bognár Edit. Lektor: Somfai Zsuzsa. kiadás, 0 Nyomtatta és kötötte az Alföldi Nyomda Zrt., Debrecen Felelős vezető: György Géza vezérigazgató A nyomdai megrendelés törzsszáma:

3 Kedves kilencedik osztályos! Újfajta matematikakönyvet tartasz a kezedben. Száz leckét találsz a két idei kötetben, minden órára egyet. Igyekeztünk úgy válogatni, hogy sok újdonság, de régről ismert probléma is legyen benne. Szeretnénk megmutatni, hogy a valóság és a tananyag, a hétköznapi tapasztalat és matematikai szabály szoros kapcsolatban áll egymással. Segítünk abban, hogy más szemmel nézz szét a környezetedben és a világban; olyan kérdéseket tegyél fel, amelyek a matematikához tartoznak és amelyekre egy kis gondolkodás után magad is megadhatod a választ. Reméljük, hamar megszereted így ezt a tárgyat még akkor is, ha eddig hadilábon álltál vele. Mit találsz a 00 leckében? Mindenekelőtt egy sereg érdekes, gyakorlati problémát, amelyek többségével a mindennapokban is találkozhatsz. Változatos HÁZI FELADATOKAT, köztük sok könnyűt és szórakoztatót. Kérjük, mindig a füzetedben dolgozz, hogy az utánad érkező évfolyamok is használhassák a könyvet! RÁADÁS címen gyűjtöttünk össze számos olyan érdekességet, amelyet nem kérdeznek ugyan az érettségi vizsgán, de hasznodra válik, gazdagítja a műveltségedet. KIEGÉSZÍ- TŐ ANYAGOT is találsz, ezeket azoknak ajánljuk elsősorban, akik mélyebben érdeklődnek a matematika iránt: nélkülözhetetlen fogalmak, néhány nehezebb feladat, illetve a fontos matematikai tételek és bizonyításaik is kerültek ide. Könyvünk lapjait végigkíséri egy háttértörténet, megismerkedhetsz a tíztagú Arany családdal, tankönyvünk állandó szereplőivel. Arany Bence veled együtt kilencedik osztályos, a nővére, Hajni tizedikes, kishúguk, Csilla még óvodás. Bence szülei, nagyszülei minduntalan olyan problémákkal szembesülnek, amelyek megoldásához matematikai ismeretekre is szükségük van. Bence a testvéreivel és barátaival részt vesz ezek megoldásában. Az év során számítunk kreativitásodra, hogy minél ötletesebben oldj meg egy-egy kitűzött problémát. Sokszor szükség lesz együttműködési készségedre is, hogy a csoportos munkára kijelölt feladatokat sikeresen tudjátok közösen megoldani.a legfontosabb azonban, hogy legyen benned kíváncsiság, hogy meg akard ismerni a világot, és ezért szívesen dolgozz is. Sok örömöt és kitartást kívánnak a SZERZŐK. Kedves tanár kolléga! A könyv Dr. Marosvári Péter, Dr. Korányi Erzsébet, Dömel András és Környei László tankönyvének átdolgozása. Köszönjük munkájukat és támogató segítségüket. Igyekeztünk olyan könyvet írni, amely illeszkedik napjaink kihívásaihoz, ennek megfelelően szemléletében, tartalmában, kivitelében kissé formabontó is. Könyvünk készítésekor fontos szempont volt számunkra, hogy a tanári munkához is a lehető legtöbb segítséget adjuk, hogy a diákok zöme esetében eredményesen tanítható mennyiségű, ugyanakkor szakmai szempontból igényes tananyagot állítsunk össze. Nem számítunk különleges matematikai előképzettségű diákokra; szinte mindent átismétlünk, amit az általános iskolában már tanultak. Tapasztalataink szerint a száz lecke mindegyike feldolgozható egy-egy tanítási órán. Mindegyik lecke egy-egy lehetséges tanári óravázlat, együttesük akár tanmenet is lehet egyben. Úgy gondoljuk, hogy ha a tanár a könyv leckéi szerint halad, akkor heti legalább tanórával számolva a tanév végére biztosan befejezi az anyagot, és semmi sem marad ki abból, ami az érettségin előkerülhet. A könyv nagy szerepet szán a szövegértés fejlesztésére. Tudatosan törekedtünk arra, hogy ne a matematikai problémához találjunk ki mesterkélt feladatot, hanem fordítva, a hétköznapi tapasztatból kiindulva irányítsuk rá a figyelmet sok olyan problémára, amelyek matematikai eszközökkel már középiskolás szinten is megoldhatók. Sok feladathoz a számítógépes feldolgozást is ajánljuk. Tankönyvünkben a hagyományostól eltérő szemléletű, a tanulói kompetenciák bővebb halmazát igénylő feladatokat jelzéssel láttuk el. Könyvünkben BEVEZETŐ veti fel a lecke témáját, majd PÉLDA vezet el az új jgondolatokhoz. Újszerű a könyvben, hogy a FELADATOK nemcsak egyéni, de páros vagy csoportos munkára is alkalmasak. Ezekhez szükség lesz a tanár és a diák kreativitására, együttműködésére egyaránt. A CSOPORTMUNKÁ -ra szánt feladatokat külön megjelöltük, és sok segítséget is adunk hozzájuk. Kérjük, hívják fel diákjaik figyelmét, hogy a tankönyv tartós, ne írjanak bele! ELMÉLET címszóval foglaltuk össze a problémák megoldásából levont következtetéseket, amelyeket a középszintű érettségihez tudni kell. A közös munka sikerében bízva sok örömöt kívánnak a SZERZŐK. Előszó

4 MIT REJT KÖNYVÜNK SZÁZ LECKÉJE? BEVEZETŐ Nézd meg könyvedben a száz lecke címét! Ugye mennyi minden ismerős? Ilyen lesz a tanév is: sok-sok régi baráttal találkozunk a matematikaórákon. A matematikai problémákkal is az a helyzet, mint az emberekkel; minél többször látjuk egymást, annál alaposabb képet formálhatunk a kedves ismerősökről. Talán már most is meg tudjuk oldani azokat a feladatokat, amelyek a hónapok során majd elénk kerülnek. Tegyünk egy próbát! 8. LECKE. A cukrásziskola vizsgájára előkészítettek,5 kg mazsolát. Ennek részét Klári dolgozza fel, majd Andi kapja a maradék részét. Ami még ezután maradt, annak az részét Zsolt használja fel, amit ő hagyott, annak a része kell Emese tortáihoz. Hányadrésze maradt meg a mazsolának? Első módszer Számold ki, melyik tanuló hány dkg mazsolát dolgoz fel, és mennyi marad! Ez hányadrésze a,5 kg-nak? Második módszer Számolj törtekkel! Hányadrésze maradt meg a mazsolának, amikor Klári elvitte a részét? Ennek mennyi a része? Hányadrész marad, ha Andi ezt elviszi? és így tovább. Harmadik módszer Gondolatban oszd el a mazsolát bögrébe egyenlően. Mennyit visz el Klári? Mennyi marad? Mennyi a maradék része? Mennyi marad? és így tovább. 5. LECKE. Az iskola kosárlabdaedzéseire az idén 5%-kal több lány jár, mint tavaly. Az edző úgy döntött, hogy jövőre csak annyi lánnyal akar dolgozni, mint tavaly. Hány százalékosos csökkenés lesz ez az idei évhez képest? Első módszer Szemléltesd téglalappal a tavalyi, az idei és a jövő évi létszámot! Az első téglalapot látod az ábrán. A harmadik téglalap is ugyanekkora. Hányadrészét kell hozzáadnunk, hogy megkapjuk a másodikat? Hányadrészével kell csökkentenünk a második téglalapot, hogy megkapjuk a harmadikat? Ez hány százalékos csökkenés? Második módszer Tételezzük fel, hogy tavaly N lány kosárlabdázott az iskolában. Akkor az idén hányan voltak? Mennyivel kell ezt a számot megszorozni, hogy a jövő évi létszámra újra N-et kapjunk? Ez hány százalékos csökkenést jelent? Negyedik módszer Kitalálsz egyet?

5 5. LECKE kőkerítés. Vili nagypapáék téglalap alakú baromfiudvart akarnak elkeríteni m hosszú drótkerítéssel. A baromfiudvar egyik oldala a hátsó kőkerítéshez támaszkodik. Mekkorára válasszák a téglalap oldalait, hogy a baromfiudvar a lehető legnagyobb legyen? kőkerítés a b a b Kísérletezz! Válaszd a falra merőleges oldal hosszát ½,,,,, méternek, számítsd ki a másik oldal hosszát és a baromfiudvar területét! Mekkora lehet a falra merőleges oldal hossza? Készíts táblázatot a füzetedben! a (méterben) ½ b (méterben) a + b (méterben) Terület (négyzetméterben) Mekkora a legnagyobb terület? 7. LECKE 9. LECKE. Balázs, Máté és az édesapjuk együtt 78 évesek. 6 év múlva az életkoruk aránya : : 7 lesz. Hány éves a két fiú? Első módszer Mennyi lesz 6 év múlva az életkoruk összege? Oszd fel ezt a számot : : 7 arányban! ( rész + rész rész = rész, ebből rész jut Máténak, Balázsnak, 7 az édesapjuknak). Melyikük hány éves lesz 6 év múlva? Hány éves most Máté? Hány éves most Balázs?. Szerkessz olyan derékszögű háromszöget, amelynek két csúcsa az A és a B pont, a harmadik csúcsa pedig az e egyenesen van! Hány megoldása van a feladatnak? A B e Második módszer Fogalmazd meg a feladatot egyenlettel! Ha 6 év múlva Máté x éves lesz, akkor Balázs éves, az édesapjuk éves lesz. Összesen hány évesek lesznek? Most összesen 78 évesek. Mennyi lesz 6 év múlva az életkoruk összege? Írd fel az egyenletet, és oldd meg! Hogyan kapod meg az x-ből Máté mostani életkorát? Harmadik módszer Kitalálsz egyet? Legyen a derékszögű csúcs először az A, azután a B. Ezeket a háromszögeket könnyű megszerkeszteni, mert hiszen az AB szakasz az egyik befogójuk. Van-e olyan derékszögű háromszög, amelynek a C pont a derékszögű csúcsa? Van, mégpedig kettő! Ezeknek a C csúcsát kísérletezéssel keresd meg az egyenesen! Mire eljutunk a 9. leckéhez, már nem kell kísérletezned, egyszerű módszert fogsz ismerni e feladat megoldására. lecke MIT REJT KÖNYVÜNK SZÁZ LECKÉJE? 5

6 HÁZI FELADAT Válassz hármat a következő feladatok közül, és oldd meg őket!. Számold össze, hány ismeretlen szót találsz a Tartalomjegyzékben! Oldd meg a 76. lecke házi feladatát!.. Oldd meg a 8. lecke házi feladatát! Oldd meg a 99. lecke feladatát! 5 5 A B 7 millió forint 6 5 összköltség előállítási költség egyéb költség 0 b c mennyiség (ezer kg) 6

7 Az Arany család lecke MIT REJT KÖNYVÜNK SZÁZ LECKÉJE? 7

8 HÁNYFÉLEKÉPPEN LEHET? BEVEZETŐ Születésnapján a család tagjai felköszöntik a déd ma mát. Először Teri mama, majd Gyula papa. Ezután az Arany család öt tagja következik (Anya, Apa, Hajni, Bence és Csilla). Hányféle sorrendben köszönthetik fel ők a dédmamát, ha Csilla akar az első lenni a virágcsokor átadásával? Bence egy gráf segítségével lerajzolta az összes lehetőséget és megállapította, hogy különböző sorrendben követhetik Csillát. Cs Cs Cs Cs An Ap H B Ap H B An H B An Ap B An Ap H H B Ap B Ap H H B An B An H Ap B An B An Ap Ap H An H An Ap B H B Ap H Ap B H B An H An B Ap B An Ap An H Ap H An Ap An Hajni is ugyanerre az eredményre jutott, de ő így okoskodott: Csilla az első; Csilla után -féleképpen választhatjuk ki, hogy ki a má sodik; A. helyen álló ünneplőt már csak -féleképpen, mert ember már szerepelt; mind a korábbi kiválasztást folytathatjuk -féleképpen, ez eddig összesen lehetőség; A. helyen állót már csak -féleképpenválaszthatjuk, ez lehetőség; s az utolsó felköszöntő pedig már egyértelmű. Csilla: -féle -féle. Összesen: = -féle. -féle. -féle 5. 8 MATEMATIKA A MINDENNAPOKBAN Vegyes problémák

9 FELADAT Hányféle sorrendben köszöntheti fel az Arany család öt tagja a dédmamát, ha közülük a virágcsokrot át adó első köszöntő nem csak Csilla lehet?. Hányféle felköszöntési sorrend lehetséges, ha a hét köszöntő családtag bármely sorrendben követheti egymást? PÉLDA Egy 0-tagú társaságban mindenki mindenkivel kezet fogott. Hány kézfogás történt?. a) Mennyi az ábrán látható tízszög szögeinek összege? b) Hány átlója van az ábrán látható tízszögnek? Megoldás a) Az egyik csúcsból meghúzott 7 átlóval 8 háromszögre bontottuk fel a tízszöget. A nyolc háromszög szögeinek összege éppen a tízszög szögeinek összegét adja meg, ami tehát 8 80 = 0. b) Minden egyes csúcsból 7 átló indul ki, mert önmagához és a két szomszédos csúcshoz nem vezet átló. A 0 csúcsból ez összesen 0 7 = 70 átló lenne, de mivel minden átlót két csúcsnál is figyelembe vettünk, ennek a fele a megoldás. A tízszögnek tehát 5 átlója van összesen. Megoldás Emese 9-szer nyújtotta a kezét, ugyanígy a többiek is. Ez összesen 90 kéznyújtás. Egy kézfogás kéznyújtás eredménye, ezért minden kézfogást kétszer számoltunk. A kézfogások száma tehát 90 : = 5. FELADAT. a) Mennyi egy konvex négyszög, illetve egy konvex ötszög szögeinek összege? b) Mennyi a. feladat ábráján látható nyolcszög belső szögeinek összege?. Hány átlója van összesen az ábrán látható nyolcszögnek? (Az egyik csúcsba futó átlókat már berajzoltuk.). lecke HÁNYFÉLEKÉPPEN LEHET? 9

10 ELMÉLET n(n ) Az n-oldalú konvex sokszögnek összesen átlója van. Az n-oldalú konvex sokszög szögeinek összege (n ) 80º. A konvex sokszög valamely szögének a mellékszögét a sokszög külső szögének nevezzük. A külső szögek összege minden konvex sokszög esetében 60º. A külső szögekhez viszonyítva a sokszög szögeit sokszor belső szögeknek nevezzük. FELADAT Öt nagyvárost közvetlen repülőjáratok kötnek össze, azaz bármelyikből bármelyikbe egyetlen repülőúttal el lehet jutni. Hány repülőjárat van összesen az öt város között? Töltsd ki az alábbi táblázatot a füzetedben! Szabályos sokszög oldalainak száma Ennyi átlója van a sokszögnek összesen A szabályos sokszög egy belső szöge ennyi fokos HÁZI FELADAT. Az Arany család autóba ül. Elöl ül anya és apa, hátul a három gyerek. Hányféleképpen helyezkedhetnek el a kocsiban, ha anyának és apának is van jogosítványa? A születésnapi ebédnél a család nyolc tagja egy asztal köré ült. Hány különböző módon ülhettek le, ha dédmama az asztalfőn foglalt helyet, jobbján Csilla, balján pedig Hajni ült? 0 MATEMATIKA A MINDENNAPOKBAN Vegyes problémák

11 . a) Hány átló húzható egy konvex 6-szögben? b) Mennyi a konvex 6-szög belső szögeinek öszszege? És mennyi a külső szögeinek az összege? c) Hány fokos a szabályos 6-szög egy belső szöge? Hat település mindegyikéből pontosan három másik településre lehet eljutni közvetlen, egyenes műúton. Hány közvetlen út vezet a települések között? Rajzolj egy lehetséges esetet!. KIEGÉSZÍTŐ ANYAG Bizonyítsuk be a konvex sokszögek néhány tulajdon ságát! II. Minden konvex sokszög külső szögeinek összege 60º. I. Minden n-oldalú konvex sokszög szögeinek összege (n ) 80º. Bizonyítás Legyen az n a -nél nagyobb egész szám. Egy n-oldalú konvex sokszögben egy csúcsból (n ) átló húzható, mert átlót kapunk, ha a kiválasztott csúcsot nem önmagával vagy a szomszédos csúcsokkal kötjük össze. Bizonyítás Egy külső szög és a hozzá tartozó belső szög összege 80º, ezért az n-oldalú konvex sokszögben az n belső és külső szög összege n 80º, ebből a belső szögekre jut (n ) 80º, tehát a külső szögek összege 80º = 60º. Ezek az átlók felbontják a sokszöget (n ) háromszögre. E háromszögek szögeinek összege adja meg a sokszög szögeinek az össze gét. Ezért az n-oldalú konvex sokszög szögeinek az összege: (n ) 80º. III. Minden n-oldalú konvex sokszög átlóinak száma: n(n ). Bizonyítás Egy n-oldalú konvex sokszög mindegyik csúcsából meghúzzuk az (n ) átlót. Mivel mindegyik átló két csúcshoz tartozik, ezért mindegyik átlót kétszer húztuk meg. n(n ) Így az összes átló száma:.. lecke HÁNYFÉLEKÉPPEN LEHET?

12 SZÁMZÁRAK BEVEZETŐ (Csoportmunka - fős csoportokban; mindegyik csoport mind a három feladatot megoldja, vagy kooperatív módszerrel, például szakértői csoportok* létrehozásával dolgozzák fel.). A számzáras lakat négy kereke egymástól függetlenül elforgatható. Mindegyik keréken 0 számjegy van 0-tól 9-ig. a) Hány különböző számnégyes állítható be ezen a záron? b) Hány olyan számnégyes állítható be, amelyben mind a négy számjegy különböző? c) Hány olyan számnégyes állítható be, amelyben három számjegy egyforma? d) Hány olyan számnégyes állítható be, ami egyben egy négyjegyű természetes szám? Egy széfet elektronikus számzárral védenek. A számzáron beállítható számkombináció 6, 7, 8, 9 vagy 0 számjegyből állhat. a) X úr babonás, ezért csak a szerencseszámai, a -as és a 7-es számjegyek fordulhatnak elő az ő kódjában, ráadásul a kód is csak 7 számjegyű lehet. Hány lehetősége van?. b) Hány tízjegyű kód állítható be a záron, ha mind a 0 számjegyet felhasználjuk a kód elkészítéséhez? c) Összesen hányféle kód állítható be az elektronikus záron? Az elektronikus számzárat biztonsági megoldásokkal is fel lehet vértezni az illetéktelen behatolással szemben. Egy ilyen megoldás a reteszelés, ami azt jelenti, hogy ha rossz kóddal próbálkoznak, akkor az elektronika bizonyos ideig nem enged újabb számbevitelt. Egy elektronikus számzár használati útmutatójából való a következő részlet. Amennyiben egymás utáni esetben rossz kódot adott meg, perces reteszelési idő lép életbe (piros LED villog). Minden további hibás kódbevitel esetén duplázódik a reteszelés ideje (max. 6 perc). Amenynyiben a reteszelési idő lejárt, a helyes kóddal a szokott módon nyitható a széf. Legalább mennyi ideig tartana véletlenszerű próbálkozással egy számjegyű kóddal védett széfet kinyitni, ha csak az utolsó próbálkozás lenne sikeres? * Szakértői csoport létrehozása és működése: Minden csoportban A, B, C, D betűjelek kiosztása. Az azonos betűjelűek ugyanazt a feladatot kapják. Mindenki elolvassa a saját feladatát. Az azonos betűjelűek egy-egy szakértői csoportba gyűlnek, és a feladatukat közösen megoldják. A megoldásból a szakértői csoport mindegyik tagja vázlatot készít. Mindenki visszamegy az eredeti csoportjába, és megtanítja a többieknek a saját feladatát. MATEMATIKA A MINDENNAPOKBAN Vegyes problémák

13 HÁZI FELADAT. Az 5 éves Csilla is szeretne jelszót készíteni, amit Bencének kell kitalálnia. Csilla csak az A és a B betűt ismeri fel biztonságosan, ezért a következő négy betűkártyát használja: A A B B a) Hányféle jelszót készíthet Csilla, ha a színek is számítanak, illetve ha csak a betűk sorrendje számít? b) Bence azt mondja, hogy a jelszó BABA. Mekkora az esélye annak, hogy eltalálta a betűk sorrendjét? (Azt kell kiszámítanod, hogy az összes lehetséges eset hányadrészében találja meg Bence a jelszót.) Kerékpárunkat számzáras védelemmel láttuk el. Biztonságban van-e a kerékpár, ha órán keresztül őrizetlenül hagyjuk, tudván azt, hogy egy gyakorlott zárfeltörő percenként kb. 50 lehetőséget is meg tud vizsgálni?. Egy megadott jelszót egy bizonyos rendszer 6 biten tárol (egy bit értéke 0 vagy lehet). Pl. ez egy jelszó: a) Hány különböző jelszó adható meg ebben a rendszerben? b) Egy gyors kódfeltörő program másodpercenként próbálkozást végez. Legfeljebb mennyi idő kell a programnak a jelszó feltöréséhez (ha tudja, hogy 6 bites a jelszó)? c) Egy interneten is elérhető film megnézéséhez jelszó szükséges. A megadott jelszó 0 bites. Mennyi idő alatt tudná ezt a kódot egy olyan kódvisszafejtő program feltörni, amely másodpercenként próbálkozást hajt végre (ha tudja, hogy 0 bites a jelszó)? RÁADÁS Egy PISA-mérés feladata nyomán Pizzás feladat Egy pizzériában az alappizzát kétféle feltéttel kínálják: sajttal és paradicsommal. Ezenkívül összeállíthatjuk saját pizzánkat extra feltétekből. Négy különböző extra feltétből választhatunk: olajbogyó, sonka, gomba és szalámi. Gabi kétféle extra feltétet szeretne rendelni a pizzájára. Hány különböző kombináció közül választhat Gabi?. lecke SZÁMZÁRAK

14 FOLYTATJUK AZ ÖSSZESZÁMLÁLÁST BEVEZETŐ Bence új jelszót állít be a számítógépén. Szereti az érthetetlen, szerinte mások által megjegyezhetetlen jelszavakat. Kitalálta, hogy most az f, h, j, l betűkből és a -as számból fog állni a jelszava. Hányféle lehetőség közül választhat, ha mind az öt karaktert pontosan egyszer szeretné felhasználni, de nem akar számjeggyel kezdeni? Bence azt gondolta végig, hány olyan eset van, melyre NEM teljesül az állítás, s ezt vonta ki az összes eset számából. Összesen az 5 karaktert 5 = 0-féleképpen állíthatjuk sorba. Ezek közül a hármas számjeggyel kezdődő jelszavak száma: =, mert a hármas után -féleképpen, majd utána -féleképpen, majd utána -féleképpen, majd végül -féleképpen folytathatjuk a jelszót. Azoknak az eseteknek a száma tehát, amelyek NEM hármassal kezdődnek: 0 = 96. Hajni úgy gondolkodott, hogy : az a. a. a. az 5. karakter karakter karakter karakter karakter -féle -féle -féle -féle -féle Hányféle lehetőség közül választhat, ha mind az öt karaktert pontosan egyszer szeretné felhasználni, de ezen kívül úgy gondolja, hogy a számjegy vagy a jelszó közepére, vagy a végére kerüljön? Most két jól elkülönülő csoportra lehet szétválasztani a lehetséges jelszavakat. Nagyon fontos, hogy olyan csoportokat keressünk, amelyekben egy jelszó csak egyszer fordul elő, de mindegyik benne van valamelyik csoportban. Mindkét csoport elemeit külön összeszámoljuk, s az eredményeket összeadjuk. Az egyik csoportot azok a jelszavak alkotják, amelyekben a hármas számjegy a középső, és a többi betűt helyezem el a maradék helyre. Ezt az elrendezést megtehetem = -féleképpen. A másik csoportot azok a jelszavak alkotják, amelyekben a hármas számjegy az utolsó. Ilyen jelszó is -féle lehet, ekkor az első helyre kell be- sorolni a betűt. Összesen + = 8 lehetőség van. lehet, ezért az összes lehetőség száma: = 96. FELADAT Hajnit születésnapján felköszöntik a barátai. Heten jönnek el a születésnapi vendégségbe: Klári, Detti, Luca, Pali, Jocó, Isti és Ádám. a) Hányféle sorrendben köszönthetik fel Hajnit, ha Luca nem akar első lenni a sorban? b) Hányféle lehet a sorrend, ha Luca ragaszkodik hozzá, hogy ő legyen a negyedik? c) Hányféle lehet a sorrend akkor, ha Luca inkább úgy dönt, hogy vagy negyedik, vagy utolsó? d) S úgy hányféle sorrend van, ha Luca ahhoz ragaszkodik, hogy ő következzen Detti után?. a) Hány darab hatjegyű természetes szám van? b) Hány olyan hatjegyű természetes szám van, melynek minden számjegye különböző? c) Hány olyan hatjegyű természetes szám van, amelyben nem szerepel az 5-ös számjegy? d) Hány olyan hatjegyű természetes szám van, amely 0-zel osztható? e) Hány olyan hatjegyű természetes szám van, amelynek minden számjegye páratlan? f) Hány olyan hatjegyű természetes szám van, amelyben 7-es az első vagy az utolsó számjegy (lehet mindkettő is hetes)? MATEMATIKA A MINDENNAPOKBAN Vegyes problémák

15 . g) Hány olyan természetes szám van, amely legföljebb hatjegyű? Négy számkártya van az asztalon. Az egyiken egyes, a másikon hármas, a harmadikon hatos, a negyediken hetes szerepel. Csilla egy négyjegyű számot rakott ki a négy kártyával. 6 7 a) Hány különböző négyjegyű számot tud kirakni? b) Vajon hány olyan szám van ezek között, amelyik nyolccal osztható? c) Felírta egy papírra az összes így kapott számot. Mennyi ezeknek a számoknak az összege? Keress többféle ötletet, hogyan lehetne ezt kiszámolni!. Egy társasjáték egyik szerencsekártyáján ez olvasható: Dobj újra! Ha egyest dobsz, nyertél egy aranyat. Ha kettest, vesztettél egy aranyat. Ha hármast, nyertél három aranyat. Ha négyest vagy ötöst vagy hatost, akkor dobj újra addig, amíg végül egyest, kettest vagy hármast nem dobsz! Hajninak háromszor kellett dobnia. Mit dobhatott elsőre és másodikra? Bencének négyszer kellett dobnia, s végül vesztett egy aranyat. Hányféle dobássorozata lehetett? Csilla is kihúzta ezt a szerencsekártyát. Ő csak háromszor dobott, végül nyert. Hányféle dobássorozata lehetett? HÁZI FELADAT. Bence és két barátja egy csocsóbajnokságon mérik össze ügyességüket. Hányféle végeredmény alakulhatott ki, ha tudjuk, hogy nincs holtverseny, és nem Bence lett az első? Hány mérkőzésre került sor, ha mindenki mindenkivel pontosan egyszer játszott? Csupa páratlan számjegyből szeretnénk négyjegyű számokat alkotni. Hány különböző számot alkothatunk? Ezek közül hány olyan van, amely nem osztható öttel? S hány olyan van, amely nem osztható öttel, és amelynek minden számjegye különböző?. Egy társasjáték táblája úthálózatot ábrázol, a csomópontok egy-egy kisvárost jelentenek. Az a feladat, hogy mindenki húz öt különböző várost, és a kiinduló helyéről tetszőleges sorrendben mind az öt városba el kell jutnia a játék folyamán. Bencének nagy szerencséje van, mert az egyik város szomszédos az indulási helyével. Van ezen kívül még két másik, amelyik szomszédos egymással. Ezért elhatározza, hogy elsőként az indulási helyével szomszédos városba lép, s a másik két szomszédost pedig majd a játék folyamán egymás után fogja teljesíteni. Így hányféle sorrendben járhatja be az általa húzott öt várost?. Hadd legyek én az első vagy az utolsó! ez volt Hajni kérése, amikor az iskolai fogászatra vártak. Ha figyelembe vették Hajni kérését, hányféle sorrendben mehetett be a rendelőbe az ott várakozó kilenc gyerek?. lecke FOLYTATJUK AZ ÖSSZESZÁMLÁLÁST 5

16 5 HALMAZOK BEVEZETŐ Néhány egyszerű, már ismert fogalom Akkor mondjuk, hogy megadtunk egy halmazt, ha minden dologról pontosan el lehet dönteni, hogy a halmazhoz tartozik-e (eleme-e), vagy nem. A 0 elemű halmazt üres halmaznak nevezzük. Egy halmazt véges halmaznak mondunk, ha van olyan szám, amelynél nincs több eleme. Az üres halmaz is véges halmaz. Ha egy halmaz nem véges, akkor végtelen halmaznak nevezzük. Halmaz megadása történhet a halmaz elemeinek felsorolásával (véges halmaz esetén). Megadhatjuk szavakkal vagy jelekkel, hogy mely elemek tartoznak a halmazba. Szemléltehetjük a halmazt Venn-diagrammal. Két halmazt egyenlőnek mondunk, ha ugyanazok az elemeik. Üres halmazból egy van bár sokféle módon megadható. Ha egy halmaz mindegyik eleme benne van egy másik halmazban, akkor ezt a halmazt a másik halmaz részhalmazának nevezzük. Az üres halmaz minden halmaznak részhalmaza. Ha egy A halmaz részhalmaza egy B halmaznak, de A B, akkor A-t a B valódi részhalmazának mondjuk. Például a természetes számok halmazt alkotnak, osztályod tanulói halmazt alkotnak, a Nap bolygói halmazt alkotnak. De: a szép őszi napok nem alkotnak halmazt, a nagy számok nem alkotnak halmazt (mert nem lehet egyértelműen eldönteni, melyik őszi nap szép vagy melyik szám nagy). Jele: Ø vagy { }. Például egy téglalap csúcsainak a halmaza véges (-elemű) halmaz. Például egy körvonal pontjainak a halmaza végtelen halmaz. Halmaz megadása az elemek felsorolásával: {Anikó, Kriszti, Béla, Zsombor, Dóri}. Szemléltetés halmazábrával: Péterék kerékpárjainak a halmaza (-elemű halmaz) Sanyiék kerékpárjainak a halmaza (0-elemű halmaz) Például az egyjegyű prímszámok halmaza egyenlő a {; ; 5; 7} halmazzal. Például a Békés megyei városok halmaza részhalmaza az európai városok halmazának; a prímszámok halmaza részhalmaza az egész számok halmazának; az osztályod tanulóinak halmaza részhalmaza az U iskolád tanulóiból álló halmaznak. V Jelölés: V halmaz részhalmaza U-nak: V U. Például a prímszámok halmaza valódi részhalmaza az egész számok halmazának; a {; ; 5; 7} nem valódi részhalmaza az egyjegyű prímszámok halmazának (egyenlő a két halmaz). egész számok,, 6, prímszámok,, 5, 7,, 8, 9, 0,,, 0 6 MATEMATIKA A MINDENNAPOKBAN Vegyes problémák

17 PÉLDA Olvassuk le az ábráról, melyik betűk az U halmaz elemei, és melyik betűk a V halmaz elemei! a) b) a U U h g b e h k c d n m z f V V y Megoldás a) Az U elemei: a, b, c, d, e, g, h; a V elemei: c, d, f; b) az U elemei: h, k, m, n, y, z; a V elemei: k, m, z. A b) esetben a V mindegyik eleme benne van az U-ban is, tehát a V részhalmaza az U-nak: V U. Az U halmaznak azok az elemei, amelyek nincsenek benne a V-ben, alkotják a V-nek az U-ra vonatkozó kiegészítő (komp lementer) halmazát. Ez a b) feladatban a {h; n; y} halmaz. FELADAT. Legyen A = {h, a; j; n; i}. Ennek a halmaznak hány kételemű részhalmaza van? Hány háromelemű részhalmaza van? Milyen kapcsolatot fedezel fel a háromelemű és a kételemű részhalmazok között? Melyik véges, melyik végtelen halmaz? a) A tanteremben lévő vízmolekulák halmaza. b) Az egész számok halmaza. c) A Föld 8950 méternél magasabban fekvő hegycsúcsainak halmaza. d) A 00-zal osztható pozitív egész számok halmaza. e) A 0 és az közötti számok halmaza (beleértve a 0-t és az -et is). f) A Naprendszer összes bolygójának halmaza. g) Azoknak az embereknek a halmaza, akik a 008. évi pekingi olimpia 00 méteres férfi gyorsúszás döntőjét televízión keresztül, elejétől a végéig látták. PÉLDA. Soroljuk fel az {a; b; c; d} halmaz részhalmazait! Megoldás -elemű részhalmazok: {a}, {b}, {c}, {d} ( db). -elemű részhalmazok: {a; b}, {a; c}, {a; d}, {b; c}, {b; d}, {c; d} (6 db). -elemű részhalmazok: {a; b; c}, {a; b; d}, {a; c; d}, {b; c; d} ( db). -elemű részhalmaz: {a; b; c; d} ( db). Ez 5 részhalmaz. Rajtuk kívül még az üres halmaz is részhalmaza az adott halmaznak, vagyis van még egy 0-elemű részhalmaz is: { } ( db). Tehát az {a; b; c; d} halmaznak 6 részhalmaza van. 5. lecke HALMAZOK 7

18 FELADAT. Szotyi kutyát sétáltatni kell. Ez a feladat Hajnira, Bencére és apára vár. Ha nagyon csúnya az idő, akkor persze Szotyi otthon marad. Van úgy, hogy mindhárman együtt sétálnak Szotyival, van, hogy ketten, és van, hogy egyetlen sétáltatója van csak. Hányféleképpen alakulhat a sétáltatók csapata? Add meg az összes lehetőséget!. Van-e olyan halmaz, és ha igen, hány elemű az a halmaz, amelynek a) ; b) ; c) ; d) részhalmaza van? HÁZI FELADAT. Halmazt adunk-e meg a következő meghatározásokkal? a) Az idei iskolai szünnapok. b) A múlt év legszebb hónapja. c) Az Arany család tagjainak születésnapja. d) Az idei holdtölték napja. Egy gazdaság 8-féle terméke közül 7-félét kizárólag hazai fogyasztásra gyárt. -féle terméket szállítanak Horvátországba, -félét Szlovákiába. Más országokkal nem állnak üzleti kapcsolatban. Hányféle árut szállítanak Horvátországba is és Szlovákiába is?.. Az egyjegyű prímszámok is és az egyjegyű összetett számok is halmazt alkotnak. Sorold fel mindkét halmaznak a -elemű és a -elemű részhalmazait! Rajzolj egy koordináta-rendszert! a) Színezd kékre azokat a pontokat, amelyek az x tengelytől egység távolságra vannak! b) Színezd zöldre azokat a pontokat, amelyek az y tengelytől egység távolságra vannak! c) Színezd pirosra azokat a pontokat, amelyek mindkét tengelytől egység távolságra vannak! d) Melyik ponthalmaz véges és melyik végtelen? ELMÉLET Kiegészítő halmaz A egy halmaz, és H ennek egy részhalmaza. Azoknak az A-beli elemeknek a halmazát, amelyek nem elemei a H-nak, a H halmaz A-ra vonatkozó kiegészítő vagy komplementer halmazának nevezzük. Itt az A halmazt alaphalmaznak is mondjuk. Például az {; ; ; 5; 7} halmaznak a {0; ; ; ; ; 5; 6; 7} halmazra vonatkozó kiegészítő halmaza a {0; ; 6} halmaz; a páros számok halmazának az egész számok halmazára vonatkozó kiegészítő halmaza a páratlan számok halmaza. H A kiegészítő halmaz 8 MATEMATIKA A MINDENNAPOKBAN Vegyes problémák

19 RÁADÁS Állítsuk párba a pozitív egész számok halmazának az elemeit és a pozitív páros számok halmazának az elemeit! A pozitív egész számok:,,,, 5, 6, 7, 8, 9, 0,,, a pozitív páros számok:,, 6, 8, 0,,, 6, 8, 0,,. Az egymás alatti számokból alkotjuk a párokat: (; ), (; ), (; 6), (; 8), (5; 0), (6; ), (7; ), (8; 6), (9; 8), (0; 0), (; ),. Érdekes: azt gondolnánk, hogy kétszer annyi pozitív egész szám van, mint ahány pozitív páros szám, mégis párba állíthatók a két halmaz elemei. Ilyesmi csak végtelen halmazoknál lehetséges, végeseknél nem. KIEGÉSZÍTŐ ANYAG FELADAT A-val jelöljük a kétjegyű pozitív egész számok halmazát, B-vel a 65-nél nagyobb egész számok halmazát, C-vel a 50-nél kisebb pozitív egész számok halmazát. Hány olyan szám van, amely a) A-nak is, B-nek is és C-nek is eleme; b) A, B, C közül legalább az egyikben benne van; c) A-ban és C-ben benne van, de B-ben nincs benne; d) A-ban benne van, de B-ben és C-ben nincs benne? ELMÉLET Ekvivalens halmazok Két halmazt ekvivalensnek mondunk, ha elemeik párba állíthatók. Úgy is szokták definiálni a végtelen halmazt, hogy ekvivalens valamely valódi részhalmazával... Állítsd párba a pozitív egész számokat és a pozitív négyzetszámokat! Helytálló-e az alábbi okoskodás? A kilencjegyű számokból pont annyi van, mint a tízjegyűek ből. Állítsuk ugyanis párba őket a következő módon: Lehet-e egy körlemez és egy egyenes közös pontjainak a halmaza a) véges halmaz; b) végtelen halmaz? Lehet-e egy körvonal és egy egyenes közös pontjainak a halmaza a) véges halmaz; b) végtelen halmaz? Meglepő, de az is bizonyítható, hogy az egész számok halmaza ekvivalens a pozitív egész számok halmazával. Hogyan kellene sorba rakni az egész számokat és a pozitív egész számokat, hogy az állítás igazsága látható legyen? 5. lecke HALMAZOK 9

20 6 HALMAZOK UNIÓJA, METSZETE, KÜLÖNBSÉGE BEVEZETŐ Anya és Csilla Identikit társasjátékot játszanak. A játék lényege, hogy a játékosok a megadott személy tulajdonságaira kérdeznek rá egymástól, így próbálják egyre szűkíteni a kört, és végül kitalálni, hogy melyik személyre gondolt a másik játékos. Az nyer, akinek ez kevesebb kérdésből sikerül. Csilla már jó sokat kérdezett, és így csak hét személy maradt, de most már türelmetlen, és egyszerre két kérdést is feltesz: Férfi? Fekete a haja? Igen, férfi, és igen, fekete a haja, de egyszerre csak egyet szabad kérdezni! Vajon kire gondolt Anya és vajon számít-e, hogy melyik kérdést teszi fel először Csilla? Rendezzük csoportokba (halmazokba) a még szóba jöhető személyeket: Mária fekete hajúak férfiak Dániel között: János, és egyetlen fekete hajú van a férfiak között: ugyancsak János. Úgy is mondhatjuk, hogy a fekete hajúak és a férfiak halmazának metszetében egyetlen elem található. Vajon ha a kitalálandó személy férfi, de nem fekete a haja, akkor is egyértelmű lenne, hogy kiről van szó? Ebben az esetben a férfiak halmazának (pöttyös) és a nem fekete hajúak halmazának (zöld) a metszetében már három elem áll, ezért nem tudjuk egyértelműen eldönteni, hogy kire gondolt Anya. Lenke János Péter Mária fekete hajúak férfiak Dániel Anna Gábor Lenke János Péter Láthatóan mindegy, hogy először a fekete hajúakat karikázzuk be és aztán a férfiakat, vagy fordítva, az eredmény mindenképpen ugyanaz. Egyetlen férfi van a fekete hajúak Anna Gábor FELADAT Kitalálható-e, hogy ki a keresett személy, ha azt tudjuk, hogy: a) fekete hajú, de nem férfi; b) nem fekete hajú, és nem is férfi? 0 MATEMATIKA A MINDENNAPOKBAN Vegyes problémák

Matematika. Első kötet KÍSÉRLETI TANKÖNYV

Matematika. Első kötet KÍSÉRLETI TANKÖNYV Matematika Első kötet 9 KÍSÉRLETI TANKÖNYV A tankönyv megfelel az 5/0 (XII. ) EMMI-rendelet:. sz. melléklet: Kerettanterv a gimnáziumok 9 évfolyama számára..0 Matematika 6. sz. melléklet: Kerettanterv

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Számelmélet

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Számelmélet MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Számelmélet A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Érettségi feladatok: Halmazok, logika

Érettségi feladatok: Halmazok, logika Érettségi feladatok: Halmazok, logika 2005. május 10 18. Egy rejtvényújságban egymás mellett két, szinte azonos rajz található, amelyek között 23 apró eltérés van. Ezek megtalálása a feladat. Először Ádám

Részletesebben

Készítette: Ernyei Kitti. Halmazok

Készítette: Ernyei Kitti. Halmazok Halmazok Jelölések: A halmazok jele általában nyomtatott nagybetű: A, B, C Az x eleme az A halmaznak: Az x nem eleme az A halmaznak: Az A halmaz az a, b, c elemekből áll: A halmazban egy elemet csak egyszer

Részletesebben

2 2 = 2 p. = 2 p. 2. Végezd el a kijelölt műveleteket! 3. Végezd el a kijelölt műveleteket! 4. Alakítsad szorzattá az összeget!

2 2 = 2 p. = 2 p. 2. Végezd el a kijelölt műveleteket! 3. Végezd el a kijelölt műveleteket! 4. Alakítsad szorzattá az összeget! Matematika vizsga 014. 9. osztály Név: Az 1-1. feladatok megoldását a feladatlapra írd! A 1-19. feladatokat a négyzetrácsos lapon oldd meg! 1. Számítsd ki az alábbi kifejezések pontos értékét! 0, = = p

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 1 I. HALmAZOk 1. JELÖLÉSEk A halmaz fogalmát tulajdonságait gyakran használjuk a matematikában. A halmazt nem definiáljuk, ezt alapfogalomnak tekintjük. Ez nem szokatlan, hiszen

Részletesebben

PRÓBAÉRETTSÉGI 2004.május MATEMATIKA. KÖZÉPSZINT I. 45 perc

PRÓBAÉRETTSÉGI 2004.május MATEMATIKA. KÖZÉPSZINT I. 45 perc PRÓBAÉRETTSÉGI 2004.május MATEMATIKA KÖZÉPSZINT I. 45 perc A feladatok megoldására 45 perc fordítható, az idő leteltével a munkát be kell fejeznie. A feladatok megoldási sorrendje tetszőleges. A feladatok

Részletesebben

1.1. Halmazok. 2. Minta - 5. feladat (2 pont) Adott két halmaz:

1.1. Halmazok. 2. Minta - 5. feladat (2 pont) Adott két halmaz: 1.1. Halmazok 2009. május id. - 11. feladat (3 pont) A H halmaz elemei legyenek a KATALINKA szó betűi, a G halmaz elemei pedig a BICEBÓCA szó betűi. Írja fel a H U G halmaz elemeit! 2010. október - 1.

Részletesebben

Az egyszerűsítés utáni alak:

Az egyszerűsítés utáni alak: 1. gyszerűsítse a következő törtet, ahol b 6. 2 b 36 b 6 Az egyszerűsítés utáni alak: 2. A 2, 4 és 5 számjegyek mindegyikének felhasználásával elkészítjük az összes, különböző számjegyekből álló háromjegyű

Részletesebben

XVIII. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny

XVIII. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny 9. osztály 1. feladat: Oldjuk meg a természetes számok halmazán az 1 1 1 egyenletet? x y 009 Kántor Sándor (Debrecen). feladat: B Az ABCD deltoidban az A és C csúcsnál derékszög van, és a BD átló 1 cm.

Részletesebben

Tanmenetjavaslat. Téma Óraszám Tananyag Fogalmak Összefüggések Eszközök Kitekintés. Helyi érték, alaki érték. Számegyenes.

Tanmenetjavaslat. Téma Óraszám Tananyag Fogalmak Összefüggések Eszközök Kitekintés. Helyi érték, alaki érték. Számegyenes. Heti 4 óra esetén, 37 tanítási hétre összesen 148 óra áll rendelkezésre. A tanmenet 132 óra beosztását tartalmazza. Heti 5 óra esetén összesen 37-tel több órában dolgozhatunk. Ez összesen 185 óra. Itt

Részletesebben

PYTAGORIÁDA Az országos forduló feladatai 35. évfolyam, 2013/2014-es tanév. Kategória P 6

PYTAGORIÁDA Az országos forduló feladatai 35. évfolyam, 2013/2014-es tanév. Kategória P 6 Kategória P 6 1. Írjátok le azt a számot, amely a csillag alatt rejtőzik: *. 5 = 9,55 2. Babszem Jankó 25 ször kisebb, mint Kukorica Jancsi. Írjátok le, hogy hány centiméter Babszem Jankó, ha Kukorica

Részletesebben

TANMENETJAVASLAT. Dr. Korányi Erzsébet MATEMATIKA. tankönyv ötödikeseknek. címû tankönyvéhez

TANMENETJAVASLAT. Dr. Korányi Erzsébet MATEMATIKA. tankönyv ötödikeseknek. címû tankönyvéhez TANMENETJAVASLAT Dr. Korányi Erzsébet MATEMATIKA tankönyv ötödikeseknek címû tankönyvéhez A heti 3 óra, évi 111 óra B heti 4 óra, évi 148 óra Javaslat témazáró dolgozatra: Dr. Korányi Erzsébet: Matematika

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Halmazok

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Halmazok MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Halmazok 1) Egy rejtvényújságban egymás mellett két, szinte azonos rajz található, amelyek között 23 apró eltérés van. Ezek megtalálása a feladat.

Részletesebben

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI 2013 I. rész

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI 2013 I. rész MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI 203 I. rész. Oldja meg a következő egyenletet: x 2 25. Az egyenlet megoldása: 2. Egy vállalat 280 000 Ft-ért vásárol egy számítógépet. A számítógép évente 5%-ot veszít az értékéből.

Részletesebben

MATEMATIKA VERSENY --------------------

MATEMATIKA VERSENY -------------------- Eötvös Károly Közös Fenntartású Általános Iskola 2013. és Alapfokú Művészetoktatási Intézmény 831 Vonyarcvashegy, Fő u. 8/1. 2. osztály MATEMATIKA VERSENY -------------------- név Olvasd el figyelmesen,

Részletesebben

az Energetikai Szakközépiskola és Kollégium kisérettségiző diákjai számára ; halmaz összes részhalmazát!

az Energetikai Szakközépiskola és Kollégium kisérettségiző diákjai számára ; halmaz összes részhalmazát! 1. témakör: HALMAZELMÉLET A feladatok megoldásához használjuk a Négyjegyű függvénytáblázatot! Halmazok: 8-9. oldal 1. Sorold fel az a b x y halmaz összes részhalmazát!. AdottU alaphalmaz, és annak két

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Halmazok

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Halmazok MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Halmazok 1) Egy rejtvényújságban egymás mellett két, szinte azonos rajz található, amelyek között 23 apró eltérés van. Ezek megtalálása a feladat. Először

Részletesebben

Matematika kisérettségi I. rész 45 perc NÉV:...

Matematika kisérettségi I. rész 45 perc NÉV:... Matematika kisérettségi I. rész 45 perc NÉV:... 1. Az A halmaz elemei a háromnál nagyobb egyjegyű számok, a B halmaz elemei pedig a húsznál kisebb pozitív páratlan számok. Sorolja fel az halmaz elemeit!

Részletesebben

Matematika (alsó tagozat)

Matematika (alsó tagozat) Matematika (alsó tagozat) Az értékelés elvei és eszközei A tanév során az értékelés alapja a tanulók állandó megfigyelése. Folyamatos fejlesztő célzatú szóbeli értékelés visszajelzést ad a tanuló számára

Részletesebben

Színes érettségi feladatsorok matematikából középszint írásbeli

Színes érettségi feladatsorok matematikából középszint írásbeli Színes érettségi feladatsorok matematikából középszint írásbeli I. rész 1. Mivel egyenlő ( x 3) 2, ha x tetszőleges valós számot jelöl? A) x 3 B) 3 x C) x 3 2. Mekkora az a és b szöge az ábrán látható

Részletesebben

HALMAZOK, SZÁMHALMAZOK, PONTHALMAZOK

HALMAZOK, SZÁMHALMAZOK, PONTHALMAZOK I. Témakör: feladatok 1 Huszk@ Jenő IX.TÉMAKÖR I.TÉMAKÖR HALMAZOK, SZÁMHALMAZOK, PONTHALMAZOK Téma A halmaz fogalma, alapfogalmak, elemek száma, üres halmaz, egyenlő halmazok, ábrázolás Venn-diagrammal

Részletesebben

Érettségi feladatok: Halmazok, logika

Érettségi feladatok: Halmazok, logika Érettségi feladatok: Halmazok, logika 2005. május 10 18. Egy rejtvényújságban egymás mellett két, szinte azonos rajz található, amelyek között 23 apró eltérés van. Ezek megtalálása a feladat. Először Ádám

Részletesebben

III. osztály 1 Orchidea Iskola IV. Matematika verseny 2011/2012 II. forduló

III. osztály 1 Orchidea Iskola IV. Matematika verseny 2011/2012 II. forduló III. osztály 1 Orchidea Iskola IV. Matematika verseny 2011/2012 II. forduló 1. Mennyi az eredmény 15+17 15+17 15+17=? A) 28 B) 35 C) 36 D)96 2. Melyik szám van a piramis csúcsán? 42 82 38 A) 168 B) 138

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Halmazok

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Halmazok MTEMTIK ÉRETTSÉGI TÍPUSFELDTOK KÖZÉP SZINT Halmazok szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek megoldásához!

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I. Számelmélet I. DEFINÍCIÓ: (Osztó, többszörös) Ha egy a szám felírható egy b szám és egy másik egész szám szorzataként, akkor a b számot az a osztójának, az a számot a b többszörösének nevezzük. Megjegyzés:

Részletesebben

I. Egyenlet fogalma, algebrai megoldása

I. Egyenlet fogalma, algebrai megoldása 11 modul: EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK MEGOLDÁSA 6 I Egyenlet fogalma, algebrai megoldása Módszertani megjegyzés: Az egyenletek alaphalmazát, értelmezési tartományát később vezetjük be, a törtes egyenletekkel

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2008. május 06. KÖZÉPSZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2008. május 06. KÖZÉPSZINT I. 1) Adja meg a Például: 1 ; 8 8 M 1 ; 10 5 MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 008. május 06. KÖZÉPSZINT I. nyílt intervallum két különböző elemét! ( pont) ( pont) ) Egy 7-tagú társaságban mindenki mindenkivel egyszer

Részletesebben

MATEMATIKA ÍRÁSBELI VIZSGA 2009. május 5.

MATEMATIKA ÍRÁSBELI VIZSGA 2009. május 5. MATEMATIKA ÍRÁSBELI VIZSGA 2009. május 5. I. rész Fontos tudnivalók A megoldások sorrendje tetszőleges. A feladatok megoldásához szöveges adatok tárolására és megjelenítésére nem alkalmas zsebszámológépet

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Halmazok

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Halmazok MTEMTIK ÉRETTSÉGI TÍPUSFELDTOK MEGOLDÁSI KÖZÉP SZINT Halmazok szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Feladatok MATEMATIKÁBÓL II.

Feladatok MATEMATIKÁBÓL II. Feladatok MATEMATIKÁBÓL a 12. évfolyam számára II. 1. Alakítsuk át a következő kifejezéseket úgy, hogy teljes négyzetek jelenjenek meg: a) x 2 2x + b) x 2 6x + 10 c) x 2 + x + 1 d) x 2 12x + 11 e) 2x 2

Részletesebben

Érettségi feladatok: Síkgeometria 1/6

Érettségi feladatok: Síkgeometria 1/6 Érettségi feladatok: Síkgeometria 1/6 2005. május 10. 4. Döntse el, hogy a következő állítások közül melyik igaz és melyik hamis! A: A háromszög köré írható kör középpontja mindig valamelyik súlyvonalra

Részletesebben

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2005-2006. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai. 81f 2 + 90l 2 f 2 + l 2

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2005-2006. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai. 81f 2 + 90l 2 f 2 + l 2 Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2005-2006. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai matematikából, a II. kategória számára 1. Két iskola tanulói műveltségi vetélkedőn vettek részt. A 100

Részletesebben

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 0511 ÉRETTSÉGI VIZSGA 005. május 10. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÉRETTSÉGI VIZSGA Az írásbeli vizsga időtartama: 180 perc JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók

Részletesebben

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS Matematika PRÉ megoldókulcs 0. január. MTEMTIK PRÓBÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS = KÖZÉP SZINT = I. rész: z alábbi feladat megoldása kötelező volt! ) Oldd meg az alábbi egyenletet a valós számok halmazán! tg

Részletesebben

Próbaérettségi feladatsor_a NÉV: osztály Elért pont:

Próbaérettségi feladatsor_a NÉV: osztály Elért pont: Próbaérettségi feladatsor_a NÉV: osztály Elért pont: I. rész A feladatsor 1 példából áll, a megoldásokkal maximum 30 pont szerezhető. A kidolgozásra 45 perc fordítható. 1. feladat Egy osztály tanulói a

Részletesebben

835 + 835 + 835 + 835 + 835 5

835 + 835 + 835 + 835 + 835 5 Orchidea Iskola VI. Matematika verseny 20/20 II. forduló. A macska és az egér jobbra indulnak el. Ha az egér négyzetet ugrik, akkor a macska 2 négyzetet lép előre. Melyik négyzetnél éri utol a macska az

Részletesebben

Árvainé Libor Ildikó Lángné Juhász Szilvia Szabados Anikó. Második félév. Tizenegyedik, javított kiadás Mozaik Kiadó Szeged, 2013

Árvainé Libor Ildikó Lángné Juhász Szilvia Szabados Anikó. Második félév. Tizenegyedik, javított kiadás Mozaik Kiadó Szeged, 2013 Árvainé Libor Ildikó Lángné Juhász Szilvia Szabados Anikó Második félév Tizenegyedik, javított kiadás Mozaik Kiadó Szeged, 0 SZORZÁS ÉS OSZTÁS -VEL Mesélj a képrõl! Hány kerékpár és kerék van a képen?

Részletesebben

Matematika kisérettségi

Matematika kisérettségi Matematika kisérettségi 2010. május 11. I. rész Fontos tudnivalók 1. A feladatok megoldására 30 percet fordíthat, az idő elteltével a munkát be kell fejeznie. 2. A megoldások sorrendje tetszőleges. 3.

Részletesebben

NÉGYOSZTÁLYOS FELVÉTELI Részletes megoldás és pontozás a Gyakorló feladatsor II.-hoz

NÉGYOSZTÁLYOS FELVÉTELI Részletes megoldás és pontozás a Gyakorló feladatsor II.-hoz NÉGYOSZTÁLYOS FELVÉTELI Részletes megoldás és pontozás a Gyakorló feladatsor II.-hoz Gedeon Veronika (Budapest) A javítókulcsban feltüntetett válaszokra a megadott pontszámok adhatók. A pontszámok részekre

Részletesebben

A III. forduló megoldásai

A III. forduló megoldásai A III. forduló megoldásai 1. Egy dobozban pénzérmék és golyók vannak, amelyek vagy ezüstből, vagy aranyból készültek. A dobozban lévő tárgyak 20%-a golyó, a pénzérmék 40%-a ezüst. A dobozban levő tárgyak

Részletesebben

Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit!

Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit! 1. 2. 3. 4. Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg a kivonásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg a szorzásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg az osztásban szereplő számok

Részletesebben

K O M B I N A T O R I K A P e r m u t á c i ó k, k o m b i n á c i ó k, v a r i á c i ó k

K O M B I N A T O R I K A P e r m u t á c i ó k, k o m b i n á c i ó k, v a r i á c i ó k K O M B I N A T O R I K A P e r m u t á c i ó k, k o m b i n á c i ó k, v a r i á c i ó k. Az 1,, 3,, elemeknek hány permutációja van, amelynek harmadik jegye 1- es? Írjuk fel őket! Annyi ahányféleképpen

Részletesebben

PRÓBAÉRETTSÉGI 2004.május MATEMATIKA. KÖZÉPSZINT II. 135 perc

PRÓBAÉRETTSÉGI 2004.május MATEMATIKA. KÖZÉPSZINT II. 135 perc PRÓBAÉRETTSÉGI 2004.május MATEMATIKA KÖZÉPSZINT II. 135 perc A feladatok megoldására 135 perc fordítható, az idő leteltével a munkát be kell fejeznie. A feladatok megoldási sorrendje tetszőleges. A II/B

Részletesebben

Próbaérettségi 2004 MATEMATIKA. PRÓBAÉRETTSÉGI 2004. május EMELT SZINT. 240 perc

Próbaérettségi 2004 MATEMATIKA. PRÓBAÉRETTSÉGI 2004. május EMELT SZINT. 240 perc PRÓBAÉRETTSÉGI 2004. május MATEMATIKA EMELT SZINT 240 perc A feladatok megoldására 240 perc fordítható, az idő leteltével a munkát be kell fejeznie. A feladatok megoldási sorrendje tetszőleges. A II. részben

Részletesebben

VII. Apáczai Matematika Kupa 7. osztály 2011. Pontozási útmutató

VII. Apáczai Matematika Kupa 7. osztály 2011. Pontozási útmutató 1. feladat: VII. Apáczai Matematika Kupa 7. osztály 011. Pontozási útmutató Egy szöcske ugrál a számegyenesen. Ugrásainak hossza egység. A számegyenesen a 10-et jelölő pontból a 1-et jelölő pontba ugrással

Részletesebben

Halmazműveletek feladatok

Halmazműveletek feladatok Halmazműveletek feladatok Soroljuk fel a {a; b; c} halmaz összes részhalmazát! Határozza meg az A és B halmazokat, ha tudja, hogy A B ={1;2;3;4;5}; A B ={3;5}; A\B={1}; B\A={2;4 A={-1; 0; 1; 2; 5; 7; 8}

Részletesebben

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 0513 ÉRETTSÉGI VIZSGA 005. május 8. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÉRETTSÉGI VIZSGA Az írásbeli vizsga időtartama: 180 perc JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Érettségi feladatok: Trigonometria 1 /6

Érettségi feladatok: Trigonometria 1 /6 Érettségi feladatok: Trigonometria 1 /6 2003. Próba 14. Egy hajó a Csendes-óceán egy szigetéről elindulva 40 perc alatt 24 km-t haladt észak felé, majd az eredeti haladási irányhoz képest 65 -ot nyugat

Részletesebben

Megoldások IV. osztály

Megoldások IV. osztály Bolyai Farkas Elméleti Líceum Marosvásárhely, 2015. március 20-22. Megoldások IV. osztály 1. Számkeresztrejtvény: Az alábbi keresztrejtvény ábra abban különbözik a hagyományos keresztrejtvényektől, hogy

Részletesebben

PRÓBAÉRETTSÉGI VIZSGA 2014. január 18.

PRÓBAÉRETTSÉGI VIZSGA 2014. január 18. MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI VIZSGA 2014. január 18. Matematika KÖZÉPSZINTŰ PRÓBAÉRETTSÉGI VIZSGA Név E-mail cím Tanárok neve Pontszám 2014. január 18. I. Időtartam: 45 perc STUDIUM GENERALE MATEMATIKA SZEKCIÓ

Részletesebben

Dudás Gabriella Hetényiné Kulcsár Mária Machánné Tatár Rita Sós Mária. sokszínû. 5 gyakorló. kompetenciafejlesztõ munkafüzet. 2.

Dudás Gabriella Hetényiné Kulcsár Mária Machánné Tatár Rita Sós Mária. sokszínû. 5 gyakorló. kompetenciafejlesztõ munkafüzet. 2. Dudás Gabriella Hetényiné Kulcsár Mária Machánné Tatár Rita Sós Mária sokszínû gyakorló kompetenciafejlesztõ munkafüzet. kötet Mozaik Kiadó Szeged, Színesrúd-készlet. Törtek bõvítése és egyszerûsítése

Részletesebben

Tananyag: Kiss Béla - Krebsz Anna: Lineáris algebra, többváltozós függvények, valószínűségszámítás,

Tananyag: Kiss Béla - Krebsz Anna: Lineáris algebra, többváltozós függvények, valószínűségszámítás, // KURZUS: Matematika II. MODUL: Valószínűség-számítás 17. lecke: Kombinatorika (vegyes feladatok) Tananyag: Kiss Béla - Krebsz Anna: Lineáris algebra, többváltozós függvények, valószínűségszámítás, 3.1.

Részletesebben

148 feladat 21 + + 20 20 ) + ( 1 21 + 2 200 > 1 2. 1022 + 1 51 + 1 52 + + 1 99 2 ) (1 1 100 2 ) =?

148 feladat 21 + + 20 20 ) + ( 1 21 + 2 200 > 1 2. 1022 + 1 51 + 1 52 + + 1 99 2 ) (1 1 100 2 ) =? 148 feladat a Kalmár László Matematikaversenyről 1. ( 1 19 + 2 19 + + 18 19 ) + ( 1 20 + 2 20 + + 19 20 ) + ( 1 21 + 2 21 + + 20 21 ) + ( 1 22 + 2 22 + + 21 22 ) =? Kalmár László Matematikaverseny megyei

Részletesebben

Ismétlés nélküli permutáció

Ismétlés nélküli permutáció Ismétlés nélküli permutáció Hányféleképpen lehet sorba rendezni n különböz elemet úgy, hogy a sorrend számít? (Ezt n elem ismétlés nélküli permutációjának nevezzük.) Például hány féleképpen lehet sorba

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata

Részletesebben

6. OSZTÁLY. Az évi munka szervezése, az érdeklõdés felkeltése Feladatok a 6. osztály anyagából. Halmazok Ismétlés (halmaz megadása, részhalmaz)

6. OSZTÁLY. Az évi munka szervezése, az érdeklõdés felkeltése Feladatok a 6. osztály anyagából. Halmazok Ismétlés (halmaz megadása, részhalmaz) 6. OSZTÁLY Óraszám 1. 1. Az évi munka szervezése, az érdeklõdés felkeltése a 6. osztály anyagából Tk. 13/elsõ mintapélda 42/69 70. 96/elsõ mintapélda 202/16. 218/69. 2 3. 2 3. Halmazok Ismétlés (halmaz

Részletesebben

Számelmélet. 4. Igazolja, hogy ha hat egész szám összege páratlan, akkor e számok szorzata páros!

Számelmélet. 4. Igazolja, hogy ha hat egész szám összege páratlan, akkor e számok szorzata páros! Számelmélet - oszthatóság definíciója - oszthatósági szabályok - maradékos osztás - prímek definíciója - összetett szám definíciója - legnagyobb közös osztó definíciója - legnagyobb közös osztó meghatározása

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2005. május 28. KÖZÉPSZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2005. május 28. KÖZÉPSZINT I. ) Mely valós számokra igaz, hogy 7 7 MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 005. május 8. KÖZÉPSZINT I. 7? Összesen: pont ) Egy 40 000 Ft-os télikabátot a tavaszi árleszállításkor 0%-kal olcsóbban lehet megvenni. Mennyi

Részletesebben

Minta 2. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI FELADATSOR. I. rész

Minta 2. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI FELADATSOR. I. rész 2. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI FELADATSOR I. rész A feladatok megoldására 45 perc fordítható, az idő leteltével a munkát be kell fejeznie. A feladatok megoldási sorrendje tetszőleges. A feladatok megoldásához

Részletesebben

Feladatok és megoldások a 8. hétre Építőkari Matematika A3

Feladatok és megoldások a 8. hétre Építőkari Matematika A3 Feladatok és megoldások a 8. hétre Építőkari Matematika A3 1. Oldjuk meg a következő differenciálegyenlet rendszert: x + 2y 3x + 4y = 2 sin t 2x + y + 2x y = cos t. (1 2. Oldjuk meg a következő differenciálegyenlet

Részletesebben

Érettségi feladatok: Sorozatok

Érettségi feladatok: Sorozatok Érettségi feladatok: Sorozatok 2005. május 10. 8. Egy mértani sorozat első tagja 8, hányadosa 2. Számítsa ki a sorozat ötödik tagját! 14. Egy számtani sorozat második tagja 17, harmadik tagja 21. a) Mekkora

Részletesebben

Kísérleti matematika-tankönyvek 9-10.

Kísérleti matematika-tankönyvek 9-10. Kísérleti matematika-tankönyvek 9-10. Alkotók Barcza István Basa István Tamásné Kollár Magdolna Környei László Dr. Korányi Erzsébet Dr. Marosvári Péter Dömel András Órákra tervezett leckék A kísérleti

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 1411 ÉRETTSÉGI VIZSGA 014. október 14. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2006. február 21. KÖZÉPSZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2006. február 21. KÖZÉPSZINT I. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 006. február 1. KÖZÉPSZINT I. 1) Mennyi annak a mértani sorozatnak a hányadosa, amelynek harmadik tagja 5, hatodik tagja pedig 40? ( pont) 3 1 5 a a q 5 6 1 40 a a q Innen q Összesen:

Részletesebben

1 = 1x1 1+3 = 2x2 1+3+5 = 3x3 1+3+5+7 = 4x4

1 = 1x1 1+3 = 2x2 1+3+5 = 3x3 1+3+5+7 = 4x4 . Orchidea Iskola VI. Matematika verseny 0/0 II. forduló = x + = x ++ = x +++ = x Ennek ismeretében mennyivel egyenlő ++++...+9+99=? A ) 0. D ) 0 000 6 C ) 0 D ) A Földközi-tengerben a só-víz aránya :

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 0711 ÉRETTSÉGI VIZSGA 007. május 8. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

Halmazok. A és B különbsége: A \ B. A és B metszete: A. A és B uniója: A

Halmazok. A és B különbsége: A \ B. A és B metszete: A. A és B uniója: A Halmazok Érdekes feladat lehet, amikor bizonyos mennyiségű adatok között keressük az adott tulajdonsággal rendelkezők számát. A következőekben azt szeretném megmutatni, hogy a halmazábrák segítségével,

Részletesebben

Azonosító jel: MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA. 2005. október 25., 8:00. Az írásbeli vizsga időtartama: 240 perc OKTATÁSI MINISZTÉRIUM

Azonosító jel: MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA. 2005. október 25., 8:00. Az írásbeli vizsga időtartama: 240 perc OKTATÁSI MINISZTÉRIUM É RETTSÉGI VIZSGA 2005. október 25. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2005. október 25., 8:00 Az írásbeli vizsga időtartama: 240 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Matematika

Részletesebben

Mintafeladatsor Matematikaverseny ált. iskola 7-8.osztályosainak Bajza József Gimnázium és Szakközépiskola, Hatvan

Mintafeladatsor Matematikaverseny ált. iskola 7-8.osztályosainak Bajza József Gimnázium és Szakközépiskola, Hatvan Mintafeladatsor Matematikaverseny ált. iskola 7-8.osztályosainak Bajza József Gimnázium és Szakközépiskola, Hatvan TOLLAL DOLGOZZ, SZÁMOLÓGÉPET NEM HASZNÁLHATSZ, A LAPRA SZÁMOLJ! 1. A következő ábrán egy

Részletesebben

P R Ó B A É R E T T S É G I 2 0 0 4. m á j u s KÖZÉPSZINT JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

P R Ó B A É R E T T S É G I 2 0 0 4. m á j u s KÖZÉPSZINT JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ P R Ó B A É R E T T S É G I 0 0 4. m á j u s MATEMATIKA KÖZÉPSZINT JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Formai előírások: A dolgozatot a vizsgázó által használt színűtől eltérő színű tollal kell javítani, és a

Részletesebben

FELADATOK ÉS MEGOLDÁSOK

FELADATOK ÉS MEGOLDÁSOK 3. osztály Egy fa tövétől a fára mászik fel egy csiga. Nappalonként 3 métert mászik felfelé, de éjszakánként 2 métert visszacsúszik. Az indulástól számított 10. nap délutánjáig felér a csúcsra. Milyen

Részletesebben

Feladatok és megoldások az 1. sorozat Építőkari Matematika A3

Feladatok és megoldások az 1. sorozat Építőkari Matematika A3 Feladatok és megoldások az 1. sorozat Építőkari Matematika A3 1. Tegyük fel, hogy A és B egymást kölcsönösen kizáró események, melyekre P{A} = 0.3 és P{B} = 0.. Mi a valószínűsége, hogy (a A vagy B bekövetkezik;

Részletesebben

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit.

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 2. A VALÓS SZÁMOK 2.1 A valós számok aximómarendszere Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 1.Testaxiómák R-ben két művelet van értelmezve, az

Részletesebben

4) Hány fecskének van ugyanannyi lába, mint 33 kecskének? 6) A hét törpe életkorának összege 484 év. Mennyi lesz az életkoruk összege 4 év múlva?

4) Hány fecskének van ugyanannyi lába, mint 33 kecskének? 6) A hét törpe életkorának összege 484 év. Mennyi lesz az életkoruk összege 4 év múlva? PANNONHALMA TKT RADNÓTI MIKLÓS ÁLTALÁNOS ISKOLA, ÓVODA ÉS ALAPFOKÚ MŐVÉSZETOKTATÁSI INTÉZMÉNY Akik vonzódnak a matematikához, azokat izgalomba hozza a feladat, akiknek nincs érzékük hozzá, azokat elriasztja.

Részletesebben

Azonosító jel: MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA. 2010. október 19. 8:00. Az írásbeli vizsga időtartama: 240 perc

Azonosító jel: MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA. 2010. október 19. 8:00. Az írásbeli vizsga időtartama: 240 perc ÉRETTSÉGI VIZSGA 2010. október 19. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2010. október 19. 8:00 Az írásbeli vizsga időtartama: 240 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM

Részletesebben

AGRÁRMÉRNÖK SZAK Alkalmazott matematika, II. félév Összefoglaló feladatok 2. 4. A síkban 16 db általános helyzetű pont hány egyenest határoz meg?

AGRÁRMÉRNÖK SZAK Alkalmazott matematika, II. félév Összefoglaló feladatok 2. 4. A síkban 16 db általános helyzetű pont hány egyenest határoz meg? KOMBINATORIKA FELADATSOR 1 1. Hányféleképpen rendezhető egy sorba egy óvodás csoport ha 9 lány és 6 fiú van és a lányokat mindig előre akarjuk állítani? 2. Hány 6-jegyű telefonszám van ahol mind 35-tel

Részletesebben

1 pont Az eredmény bármilyen formában elfogadható. Pl.: 100 perc b) 640 cl 1 pont

1 pont Az eredmény bármilyen formában elfogadható. Pl.: 100 perc b) 640 cl 1 pont 2012. január 28. 8. évfolyam TMat1 feladatlap Javítókulcs / 1 Javítókulcs MATEMATIKA FELADATOK 8. évfolyamosok számára, tehetséggondozó változat TMat1 A javítókulcsban feltüntetett válaszokra a megadott

Részletesebben

M/D/13. Szorozzuk meg az egyenlet mindkét oldalát a közös nevezővel, 12-vel; így a következő egyenlethez jutunk: = 24

M/D/13. Szorozzuk meg az egyenlet mindkét oldalát a közös nevezővel, 12-vel; így a következő egyenlethez jutunk: = 24 OKTATÁSI MINISZTÉRIUM M/D/13 Dolgozók gimnáziuma Dolgozók szakközépiskolája Szakmunkások szakközépiskolája intenzív tagozat) 003. május ) Határozza meg a következő egyenlet racionális gyökét! 1 3 4 + 5

Részletesebben

Azonosító jel: MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA. 2009. május 5. 8:00. Az írásbeli vizsga időtartama: 240 perc

Azonosító jel: MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA. 2009. május 5. 8:00. Az írásbeli vizsga időtartama: 240 perc ÉRETTSÉGI VIZSGA 2009. május 5. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2009. május 5. 8:00 Az írásbeli vizsga időtartama: 240 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM

Részletesebben

4. évfolyam A feladatsor

4. évfolyam A feladatsor Név: 4. évfolyam A feladatsor Osztály: Kedves Vizsgázó! Olvasd el figyelmesen a feladatokat, gondold át a megoldások menetét! Eredményes, sikeres munkát kívánunk!. a) Írd le számjegyekkel! Rendezd a számokat

Részletesebben

FELADATOK ÉS MEGOLDÁSOK

FELADATOK ÉS MEGOLDÁSOK 3. osztály A mellékelt ábrán két egymás melletti mező számának összege mindig a közvetlen felettük lévő mezőben szerepel. Fejtsétek meg a hiányzó számokat! 96 23 24 17 A baloldali három mezőbe tartozó

Részletesebben

A lehetetlenségre visszavezetés módszere (A reductio ad absurdum módszer)

A lehetetlenségre visszavezetés módszere (A reductio ad absurdum módszer) A lehetetlenségre visszavezetés módszere (A reductio ad absurdum módszer) Ezt a módszert akkor alkalmazzuk, amikor könnyebb bizonyítani egy állítás ellentettjét, mintsem az állítást direktben. Ez a módszer

Részletesebben

Azonosító jel: ÉRETTSÉGI VIZSGA 2005. május 10. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA. Időtartam: 45 perc OKTATÁSI MINISZTÉRIUM

Azonosító jel: ÉRETTSÉGI VIZSGA 2005. május 10. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA. Időtartam: 45 perc OKTATÁSI MINISZTÉRIUM ÉRETTSÉGI VIZSGA 2005. május 10. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA I. Időtartam: 45 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Matematika középszint írásbeli vizsga I. összetevő

Részletesebben

KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA

KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA Név:... osztály:... ÉRETTSÉGI VIZSGA 2007. május 8. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2007. május 8. 8:00 I. Időtartam: 45 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM

Részletesebben

1.) Csaba egy 86 oldalas könyv 50 oldalát elolvasta. Hány nap alatt fejezi be a könyvet ha egy nap 9 oldalt olvas belőle? A) 6 B) 4 C) 3 D) 5

1.) Csaba egy 86 oldalas könyv 50 oldalát elolvasta. Hány nap alatt fejezi be a könyvet ha egy nap 9 oldalt olvas belőle? A) 6 B) 4 C) 3 D) 5 WWW.ORCHIDEA.HU 1 1.) Csaba egy 86 oldalas könyv 50 oldalát elolvasta. Hány nap alatt fejezi be a könyvet ha egy nap 9 oldalt olvas belőle? A) 6 B) 4 C) 3 D) 5 2.) Számítsd ki a végeredményt: 1 1 1 1 1

Részletesebben

KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA

KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA ÉRETTSÉGI VIZSGA 2010. október 19. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2010. október 19. 8:00 I. Időtartam: 45 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM Matematika középszint

Részletesebben

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS KÖZÉPSZINT

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS KÖZÉPSZINT Matematika Próbaérettségi Megoldókulcs 016. január 16. MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS KÖZÉPSZINT I. rész: Az alábbi 1 feladat megoldása kötelező volt! 1) Egyszerűsítse a következő kifejezést: Válaszát

Részletesebben

Matematika PRÉ megoldókulcs 2013. január 19. MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS KÖZÉPSZINT

Matematika PRÉ megoldókulcs 2013. január 19. MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS KÖZÉPSZINT Matematika PRÉ megoldókulcs 013. január 19. MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS KÖZÉPSZINT I. rész: Az alábbi 1 feladat megoldása kötelező volt! 1) Adott A( 1; 3 ) és B( ; ) 7 9 pont. Határozza meg

Részletesebben

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 051 ÉRETTSÉGI VIZSGA 005. május 9. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÉRETTSÉGI VIZSGA Az írásbeli vizsga időtartama: 180 perc JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók

Részletesebben

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA. 9. Nyelvi előkészítő osztály

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA. 9. Nyelvi előkészítő osztály MINŐSÉGIRÁNYÍTÁSI ELJÁRÁS MELLÉKLET Tanmenetborító Azonosító: ME-III.1./1 Változatszám: 2 Érvényesség 2013. 01. 01. kezdete: Oldal/összes: 1/6 Fájlnév: ME- III.1.1.Tanmenetborító SZK- DC-2013 MATEMATIKA

Részletesebben

MATEMATIKA TAGOZAT 5-8. BEVEZETŐ. 5. évfolyam

MATEMATIKA TAGOZAT 5-8. BEVEZETŐ. 5. évfolyam BEVEZETŐ Ez a helyi tanterv a kerettanterv Emelet matematika A változata alapján készült. Az emelt oktatás során olyan tanulóknak kívánunk magasabb szintű ismerteket nyújtani, akik matematikából átlag

Részletesebben

1 pont Bármely formában elfogadható pl.:, avagy. 24 4

1 pont Bármely formában elfogadható pl.:, avagy. 24 4 2012. február 2. 8. évfolyam TMat2 feladatlap Javítókulcs / 1 Javítókulcs MATEMATIKA FELADATOK 8. évfolyamosok számára, tehetséggondozó változat TMat2 A javítókulcsban feltüntetett válaszokra a megadott

Részletesebben

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II.

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II. 8 Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II Elméleti összefoglaló Az a + b+ c, a egyenletet másodfokú egyenletnek nevezzük A D b ac kifejezést az egyenlet diszkriminánsának nevezzük Ha D >, az

Részletesebben

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A Matematika 6. évfolyam eszközök diákok és csoportok részére 1. félév A kiadvány KHF/4632-14/2008. engedélyszámon 2008.12.16. időponttól tankönyvi engedélyt kapott Educatio

Részletesebben

Hatvány, gyök, normálalak

Hatvány, gyök, normálalak Hatvány, gyök, normálalak 1. Számítsd ki a következő hatványok pontos értékét! 3 5 3 3 1 4 3 3 4 1 7 3 3 75 100 3 0,8 ( ) 6 3 1 3 5 3 1 3 0 999. 3. Számológép használata nélkül számítsd ki a következő

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 063 ÉRETTSÉGI VIZSGA 006. február. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások: A dolgozatot

Részletesebben

MEGOLDÓKULCSOK. 1. feladatsor (1. osztály)

MEGOLDÓKULCSOK. 1. feladatsor (1. osztály) MEGOLDÓKULCSOK 1. feladatsor (1. osztály) 1. feladat 8 9 10 14 15 16 10 11 12 18 19 20 1. pontdoboz: Hibátlan számszomszédok írása 1 pont, hiba 0 pont. 2. feladat 20 17 14 11 8 5 2 2. pontdoboz: Szabályfelismerésért

Részletesebben