Matematika. Első kötet KÍSÉRLETI TANKÖNYV

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Matematika. Első kötet KÍSÉRLETI TANKÖNYV"

Átírás

1 Matematika Első kötet 9 KÍSÉRLETI TANKÖNYV

2 A tankönyv megfelel az 5/0 (XII. ) EMMI-rendelet:. sz. melléklet: Kerettanterv a gimnáziumok 9 évfolyama számára..0 Matematika 6. sz. melléklet: Kerettanterv a szakközépiskolák 9 évfolyama számára 6..0 Matematika megnevezésű kerettantervek előírásainak. Tananyagfejlesztő: Barcza István, Basa István, Tamásné Kollár Magdolna Alkotószerkesztő: Barcza István Vezetőszerkesztő: Tóthné Szalontay Anna Tudományos szakmai lektor: Pálfalvi Józsefné Pedagógiai lektor: Bánky Judit Olvasószerkesztő: Füleki Lászlóné, Mikes Vivien Fedél: Korda Ágnes terve alapján készítette Orosz Adél Látvány- és tipográfiai terv: Gados László, Orosz Adél IIlusztráció: Szabó Amanda, Szórády István Ödön Szakábra: Szalóki Dezső, Szalókiné Tóth Annamária Fotók: PIXABAY: 0., 5., 80., 8., 9, 96.,., 9. FLICKR:., 5., 8.,., 7., 8., 5, 5., 56., 58., 59., 60., 68., 69., 77., 87., 98., 99., 00., 0.,,,., 7.,,, 9.,.,., 50., 5., 5., 58., 60., 6., 65., 66., 69., 70., 7 WIKIPEDIA:,., 7., 8.,,., 6., 9.,.,., 5., 6., 66., 67., 7., 7., 75., 99.,,.,., 9., 6. SK:.,., 6., 7., 8., 0.,, 8., 50., 5., 58., 6, 69., 08. A tankönyv szerkesztői ezúton is köszönetet mondanak mindazoknak a tudós és tanár szerzőknek, akik az elmúlt évtizedek során olyan módszertani kultúrát teremtettek, amely a kísérleti tankönyvek készítőinek is ösztönzést és példát adott. Ugyancsak köszönetet mondunk azoknak az íróknak, költőknek, képzőművészeknek, akiknek alkotásai tankönyveinket gazdagítják. ISBN Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet Felelős kiadó: dr. Kaposi József, főigazgató Raktári szám: FI Műszaki szerkesztő: Orosz Adél Grafikai szerkesztő: Kováts Borbála Nyomdai előkészítés: Gados László, Hontvári Judit Terjedelem:,66 (A/5 ív), tömeg: 55 gramm A könyvben felhasználásra került a Matematika 9. Közel a mindennapokhoz című mű, Konsept-H Könyvkiadó, Nemzeti Tankönyvkiadó Zrt., 0 Szerzők: dr. Korányi Erzsébet, dr. Marosvári Péter és Dömel András. Alkotószerkesztő: Környei László. Felelős szerkesztő: Bognár Edit. Lektor: Somfai Zsuzsa. kiadás, 0 A kísérleti tankönyv az Új Széchenyi Terv Társadalmi Megújulás Operatív Program.-B/ számú, A Nemzeti alaptantervhez illeszkedő tankönyv, taneszköz és Nemzeti Közoktatási Portál fejlesztése című projektje keretében készült. A projekt az Európai Unió támogatásával, az Európai Szociális Alap társfinanszírozásával valósult meg. Nyomtatta és kötötte az Alföldi Nyomda Zrt., Debrecen Felelős vezető: György Géza vezérigazgató A nyomdai megrendelés törzsszáma:

3 Kedves kilencedik osztályos! Újfajta matematikakönyvet tartasz a kezedben. Száz leckét találsz a két idei kötetben, minden órára egyet. Igyekeztünk úgy válogatni, hogy sok újdonság, de régről ismert probléma is legyen benne. Szeretnénk megmutatni, hogy a valóság és a tananyag, a hétköznapi tapasztalat és matematikai szabály szoros kapcsolatban áll egymással. Segítünk abban, hogy más szemmel nézz szét a környezetedben és a világban; olyan kérdéseket tegyél fel, amelyek a matematikához tartoznak és amelyekre egy kis gondolkodás után magad is megadhatod a választ. Reméljük, hamar megszereted így ezt a tárgyat még akkor is, ha eddig hadilábon álltál vele. Mit találsz a 00 leckében? Mindenekelőtt egy sereg érdekes, gyakorlati problémát, amelyek többségével a mindennapokban is találkozhatsz. Változatos HÁZI FELADATOKAT, köztük sok könnyűt és szórakoztatót. Kérjük, mindig a füzetedben dolgozz, hogy az utánad érkező évfolyamok is használhassák a könyvet! RÁADÁS címen gyűjtöttünk össze számos olyan érdekességet, amelyet nem kérdeznek ugyan az érettségi vizsgán, de hasznodra válik, gazdagítja a műveltségedet. KIEGÉSZÍ- TŐ ANYAGOT is találsz, ezeket azoknak ajánljuk elsősorban, akik mélyebben érdeklődnek a matematika iránt: nélkülözhetetlen fogalmak, néhány nehezebb feladat, illetve a fontos matematikai tételek és bizonyításaik is kerültek ide. Könyvünk lapjait végigkíséri egy háttértörténet, megismerkedhetsz a tíztagú Arany családdal, tankönyvünk állandó szereplőivel. Arany Bence veled együtt kilencedik osztályos, a nővére, Hajni tizedikes, kishúguk, Csilla még óvodás. Bence szülei, nagyszülei minduntalan olyan problémákkal szembesülnek, amelyek megoldásához matematikai ismeretekre is szükségük van. Bence a testvéreivel és barátaival részt vesz ezek megoldásában. Az év során számítunk kreativitásodra, hogy minél ötletesebben oldj meg egy-egy kitűzött problémát. Sokszor szükség lesz együttműködési készségedre is, hogy a csoportos munkára kijelölt feladatokat sikeresen tudjátok közösen megoldani.a legfontosabb azonban, hogy legyen benned kíváncsiság, hogy meg akard ismerni a világot, és ezért szívesen dolgozz is. Sok örömöt és kitartást kívánnak a SZERZŐK. Kedves tanár kolléga! A könyv Dr. Marosvári Péter, Dr. Korányi Erzsébet, Dömel András és Környei László tankönyvének átdolgozása. Köszönjük munkájukat és támogató segítségüket. Igyekeztünk olyan könyvet írni, amely illeszkedik napjaink kihívásaihoz, ennek megfelelően szemléletében, tartalmában, kivitelében kissé formabontó is. Könyvünk készítésekor fontos szempont volt számunkra, hogy a tanári munkához is a lehető legtöbb segítséget adjuk, hogy a diákok zöme esetében eredményesen tanítható mennyiségű, ugyanakkor szakmai szempontból igényes tananyagot állítsunk össze. Nem számítunk különleges matematikai előképzettségű diákokra; szinte mindent átismétlünk, amit az általános iskolában már tanultak. Tapasztalataink szerint a száz lecke mindegyike feldolgozható egy-egy tanítási órán. Mindegyik lecke egy-egy lehetséges tanári óravázlat, együttesük akár tanmenet is lehet egyben. Úgy gondoljuk, hogy ha a tanár a könyv leckéi szerint halad, akkor heti legalább tanórával számolva a tanév végére biztosan befejezi az anyagot, és semmi sem marad ki abból, ami az érettségin előkerülhet. A könyv nagy szerepet szán a szövegértés fejlesztésére. Tudatosan törekedtünk arra, hogy ne a matematikai problémához találjunk ki mesterkélt feladatot, hanem fordítva, a hétköznapi tapasztatból kiindulva irányítsuk rá a figyelmet sok olyan problémára, amelyek matematikai eszközökkel már középiskolás szinten is megoldhatók. Sok feladathoz a számítógépes feldolgozást is ajánljuk. Tankönyvünkben a hagyományostól eltérő szemléletű, a tanulói kompetenciák bővebb halmazát igénylő feladatokat jelzéssel láttuk el. Könyvünkben BEVEZETŐ veti fel a lecke témáját, majd PÉLDA vezet el az új jgondolatokhoz. Újszerű a könyvben, hogy a FELADATOK nemcsak egyéni, de páros vagy csoportos munkára is alkalmasak. Ezekhez szükség lesz a tanár és a diák kreativitására, együttműködésére egyaránt. A CSOPORTMUNKÁ -ra szánt feladatokat külön megjelöltük, és sok segítséget is adunk hozzájuk. Kérjük, hívják fel diákjaik figyelmét, hogy a tankönyv tartós, ne írjanak bele! ELMÉLET címszóval foglaltuk össze a problémák megoldásából levont következtetéseket, amelyeket a középszintű érettségihez tudni kell. A közös munka sikerében bízva sok örömöt kívánnak a SZERZŐK. Előszó

4 MIT REJT KÖNYVÜNK SZÁZ LECKÉJE? BEVEZETŐ Nézd meg könyvedben a száz lecke címét! Ugye mennyi minden ismerős? Ilyen lesz a tanév is: sok-sok régi baráttal találkozunk a matematikaórákon. A matematikai problémákkal is az a helyzet, mint az emberekkel; minél többször látjuk egymást, annál alaposabb képet formálhatunk a kedves ismerősökről. Talán már most is meg tudjuk oldani azokat a feladatokat, amelyek a hónapok során majd elénk kerülnek. Tegyünk egy próbát! 8. LECKE. A cukrásziskola vizsgájára előkészítettek,5 kg mazsolát. Ennek részét Klári dolgozza fel, majd Andi kapja a maradék részét. Ami még ezután maradt, annak az részét Zsolt használja fel, amit ő hagyott, annak a része kell Emese tortáihoz. Hányadrésze maradt meg a mazsolának? Első módszer Számold ki, melyik tanuló hány dkg mazsolát dolgoz fel, és mennyi marad! Ez hányadrésze a,5 kg-nak? Második módszer Számolj törtekkel! Hányadrésze maradt meg a mazsolának, amikor Klári elvitte a részét? Ennek mennyi a része? Hányadrész marad, ha Andi ezt elviszi? és így tovább. Harmadik módszer Gondolatban oszd el a mazsolát bögrébe egyenlően. Mennyit visz el Klári? Mennyi marad? Mennyi a maradék része? Mennyi marad? és így tovább. 5. LECKE. Az iskola kosárlabdaedzéseire az idén 5%-kal több lány jár, mint tavaly. Az edző úgy döntött, hogy jövőre csak annyi lánnyal akar dolgozni, mint tavaly. Hány százalékosos csökkenés lesz ez az idei évhez képest? Első módszer Szemléltesd téglalappal a tavalyi, az idei és a jövő évi létszámot! Az első téglalapot látod az ábrán. A harmadik téglalap is ugyanekkora. Hányadrészét kell hozzáadnunk, hogy megkapjuk a másodikat? Hányadrészével kell csökkentenünk a második téglalapot, hogy megkapjuk a harmadikat? Ez hány százalékos csökkenés? Második módszer Tételezzük fel, hogy tavaly N lány kosárlabdázott az iskolában. Akkor az idén hányan voltak? Mennyivel kell ezt a számot megszorozni, hogy a jövő évi létszámra újra N-et kapjunk? Ez hány százalékos csökkenést jelent? Negyedik módszer Kitalálsz egyet?

5 5. LECKE kőkerítés. Vili nagypapáék téglalap alakú baromfiudvart akarnak elkeríteni m hosszú drótkerítéssel. A baromfiudvar egyik oldala a hátsó kőkerítéshez támaszkodik. Mekkorára válasszák a téglalap oldalait, hogy a baromfiudvar a lehető legnagyobb legyen? kőkerítés a b a b Kísérletezz! Válaszd a falra merőleges oldal hosszát ½,,,,, méternek, számítsd ki a másik oldal hosszát és a baromfiudvar területét! Mekkora lehet a falra merőleges oldal hossza? Készíts táblázatot a füzetedben! a (méterben) ½ b (méterben) a + b (méterben) Terület (négyzetméterben) Mekkora a legnagyobb terület? 7. LECKE 9. LECKE. Balázs, Máté és az édesapjuk együtt 78 évesek. 6 év múlva az életkoruk aránya : : 7 lesz. Hány éves a két fiú? Első módszer Mennyi lesz 6 év múlva az életkoruk összege? Oszd fel ezt a számot : : 7 arányban! ( rész + rész rész = rész, ebből rész jut Máténak, Balázsnak, 7 az édesapjuknak). Melyikük hány éves lesz 6 év múlva? Hány éves most Máté? Hány éves most Balázs?. Szerkessz olyan derékszögű háromszöget, amelynek két csúcsa az A és a B pont, a harmadik csúcsa pedig az e egyenesen van! Hány megoldása van a feladatnak? A B e Második módszer Fogalmazd meg a feladatot egyenlettel! Ha 6 év múlva Máté x éves lesz, akkor Balázs éves, az édesapjuk éves lesz. Összesen hány évesek lesznek? Most összesen 78 évesek. Mennyi lesz 6 év múlva az életkoruk összege? Írd fel az egyenletet, és oldd meg! Hogyan kapod meg az x-ből Máté mostani életkorát? Harmadik módszer Kitalálsz egyet? Legyen a derékszögű csúcs először az A, azután a B. Ezeket a háromszögeket könnyű megszerkeszteni, mert hiszen az AB szakasz az egyik befogójuk. Van-e olyan derékszögű háromszög, amelynek a C pont a derékszögű csúcsa? Van, mégpedig kettő! Ezeknek a C csúcsát kísérletezéssel keresd meg az egyenesen! Mire eljutunk a 9. leckéhez, már nem kell kísérletezned, egyszerű módszert fogsz ismerni e feladat megoldására. lecke MIT REJT KÖNYVÜNK SZÁZ LECKÉJE? 5

6 HÁZI FELADAT Válassz hármat a következő feladatok közül, és oldd meg őket!. Számold össze, hány ismeretlen szót találsz a Tartalomjegyzékben! Oldd meg a 76. lecke házi feladatát!.. Oldd meg a 8. lecke házi feladatát! Oldd meg a 99. lecke feladatát! 5 5 A B 7 millió forint 6 5 összköltség előállítási költség egyéb költség 0 b c mennyiség (ezer kg) 6

7 Az Arany család lecke MIT REJT KÖNYVÜNK SZÁZ LECKÉJE? 7

8 HÁNYFÉLEKÉPPEN LEHET? BEVEZETŐ Születésnapján a család tagjai felköszöntik a déd ma mát. Először Teri mama, majd Gyula papa. Ezután az Arany család öt tagja következik (Anya, Apa, Hajni, Bence és Csilla). Hányféle sorrendben köszönthetik fel ők a dédmamát, ha Csilla akar az első lenni a virágcsokor átadásával? Bence egy gráf segítségével lerajzolta az összes lehetőséget és megállapította, hogy különböző sorrendben követhetik Csillát. Cs Cs Cs Cs An Ap H B Ap H B An H B An Ap B An Ap H H B Ap B Ap H H B An B An H Ap B An B An Ap Ap H An H An Ap B H B Ap H Ap B H B An H An B Ap B An Ap An H Ap H An Ap An Hajni is ugyanerre az eredményre jutott, de ő így okoskodott: Csilla az első; Csilla után -féleképpen választhatjuk ki, hogy ki a má sodik; A. helyen álló ünneplőt már csak -féleképpen, mert ember már szerepelt; mind a korábbi kiválasztást folytathatjuk -féleképpen, ez eddig összesen lehetőség; A. helyen állót már csak -féleképpenválaszthatjuk, ez lehetőség; s az utolsó felköszöntő pedig már egyértelmű. Csilla: -féle -féle. Összesen: = -féle. -féle. -féle 5. 8 MATEMATIKA A MINDENNAPOKBAN Vegyes problémák

9 FELADAT Hányféle sorrendben köszöntheti fel az Arany család öt tagja a dédmamát, ha közülük a virágcsokrot át adó első köszöntő nem csak Csilla lehet?. Hányféle felköszöntési sorrend lehetséges, ha a hét köszöntő családtag bármely sorrendben követheti egymást? PÉLDA Egy 0-tagú társaságban mindenki mindenkivel kezet fogott. Hány kézfogás történt?. a) Mennyi az ábrán látható tízszög szögeinek összege? b) Hány átlója van az ábrán látható tízszögnek? Megoldás a) Az egyik csúcsból meghúzott 7 átlóval 8 háromszögre bontottuk fel a tízszöget. A nyolc háromszög szögeinek összege éppen a tízszög szögeinek összegét adja meg, ami tehát 8 80 = 0. b) Minden egyes csúcsból 7 átló indul ki, mert önmagához és a két szomszédos csúcshoz nem vezet átló. A 0 csúcsból ez összesen 0 7 = 70 átló lenne, de mivel minden átlót két csúcsnál is figyelembe vettünk, ennek a fele a megoldás. A tízszögnek tehát 5 átlója van összesen. Megoldás Emese 9-szer nyújtotta a kezét, ugyanígy a többiek is. Ez összesen 90 kéznyújtás. Egy kézfogás kéznyújtás eredménye, ezért minden kézfogást kétszer számoltunk. A kézfogások száma tehát 90 : = 5. FELADAT. a) Mennyi egy konvex négyszög, illetve egy konvex ötszög szögeinek összege? b) Mennyi a. feladat ábráján látható nyolcszög belső szögeinek összege?. Hány átlója van összesen az ábrán látható nyolcszögnek? (Az egyik csúcsba futó átlókat már berajzoltuk.). lecke HÁNYFÉLEKÉPPEN LEHET? 9

10 ELMÉLET n(n ) Az n-oldalú konvex sokszögnek összesen átlója van. Az n-oldalú konvex sokszög szögeinek összege (n ) 80º. A konvex sokszög valamely szögének a mellékszögét a sokszög külső szögének nevezzük. A külső szögek összege minden konvex sokszög esetében 60º. A külső szögekhez viszonyítva a sokszög szögeit sokszor belső szögeknek nevezzük. FELADAT Öt nagyvárost közvetlen repülőjáratok kötnek össze, azaz bármelyikből bármelyikbe egyetlen repülőúttal el lehet jutni. Hány repülőjárat van összesen az öt város között? Töltsd ki az alábbi táblázatot a füzetedben! Szabályos sokszög oldalainak száma Ennyi átlója van a sokszögnek összesen A szabályos sokszög egy belső szöge ennyi fokos HÁZI FELADAT. Az Arany család autóba ül. Elöl ül anya és apa, hátul a három gyerek. Hányféleképpen helyezkedhetnek el a kocsiban, ha anyának és apának is van jogosítványa? A születésnapi ebédnél a család nyolc tagja egy asztal köré ült. Hány különböző módon ülhettek le, ha dédmama az asztalfőn foglalt helyet, jobbján Csilla, balján pedig Hajni ült? 0 MATEMATIKA A MINDENNAPOKBAN Vegyes problémák

11 . a) Hány átló húzható egy konvex 6-szögben? b) Mennyi a konvex 6-szög belső szögeinek öszszege? És mennyi a külső szögeinek az összege? c) Hány fokos a szabályos 6-szög egy belső szöge? Hat település mindegyikéből pontosan három másik településre lehet eljutni közvetlen, egyenes műúton. Hány közvetlen út vezet a települések között? Rajzolj egy lehetséges esetet!. KIEGÉSZÍTŐ ANYAG Bizonyítsuk be a konvex sokszögek néhány tulajdon ságát! II. Minden konvex sokszög külső szögeinek összege 60º. I. Minden n-oldalú konvex sokszög szögeinek összege (n ) 80º. Bizonyítás Legyen az n a -nél nagyobb egész szám. Egy n-oldalú konvex sokszögben egy csúcsból (n ) átló húzható, mert átlót kapunk, ha a kiválasztott csúcsot nem önmagával vagy a szomszédos csúcsokkal kötjük össze. Bizonyítás Egy külső szög és a hozzá tartozó belső szög összege 80º, ezért az n-oldalú konvex sokszögben az n belső és külső szög összege n 80º, ebből a belső szögekre jut (n ) 80º, tehát a külső szögek összege 80º = 60º. Ezek az átlók felbontják a sokszöget (n ) háromszögre. E háromszögek szögeinek összege adja meg a sokszög szögeinek az össze gét. Ezért az n-oldalú konvex sokszög szögeinek az összege: (n ) 80º. III. Minden n-oldalú konvex sokszög átlóinak száma: n(n ). Bizonyítás Egy n-oldalú konvex sokszög mindegyik csúcsából meghúzzuk az (n ) átlót. Mivel mindegyik átló két csúcshoz tartozik, ezért mindegyik átlót kétszer húztuk meg. n(n ) Így az összes átló száma:.. lecke HÁNYFÉLEKÉPPEN LEHET?

12 SZÁMZÁRAK BEVEZETŐ (Csoportmunka - fős csoportokban; mindegyik csoport mind a három feladatot megoldja, vagy kooperatív módszerrel, például szakértői csoportok* létrehozásával dolgozzák fel.). A számzáras lakat négy kereke egymástól függetlenül elforgatható. Mindegyik keréken 0 számjegy van 0-tól 9-ig. a) Hány különböző számnégyes állítható be ezen a záron? b) Hány olyan számnégyes állítható be, amelyben mind a négy számjegy különböző? c) Hány olyan számnégyes állítható be, amelyben három számjegy egyforma? d) Hány olyan számnégyes állítható be, ami egyben egy négyjegyű természetes szám? Egy széfet elektronikus számzárral védenek. A számzáron beállítható számkombináció 6, 7, 8, 9 vagy 0 számjegyből állhat. a) X úr babonás, ezért csak a szerencseszámai, a -as és a 7-es számjegyek fordulhatnak elő az ő kódjában, ráadásul a kód is csak 7 számjegyű lehet. Hány lehetősége van?. b) Hány tízjegyű kód állítható be a záron, ha mind a 0 számjegyet felhasználjuk a kód elkészítéséhez? c) Összesen hányféle kód állítható be az elektronikus záron? Az elektronikus számzárat biztonsági megoldásokkal is fel lehet vértezni az illetéktelen behatolással szemben. Egy ilyen megoldás a reteszelés, ami azt jelenti, hogy ha rossz kóddal próbálkoznak, akkor az elektronika bizonyos ideig nem enged újabb számbevitelt. Egy elektronikus számzár használati útmutatójából való a következő részlet. Amennyiben egymás utáni esetben rossz kódot adott meg, perces reteszelési idő lép életbe (piros LED villog). Minden további hibás kódbevitel esetén duplázódik a reteszelés ideje (max. 6 perc). Amenynyiben a reteszelési idő lejárt, a helyes kóddal a szokott módon nyitható a széf. Legalább mennyi ideig tartana véletlenszerű próbálkozással egy számjegyű kóddal védett széfet kinyitni, ha csak az utolsó próbálkozás lenne sikeres? * Szakértői csoport létrehozása és működése: Minden csoportban A, B, C, D betűjelek kiosztása. Az azonos betűjelűek ugyanazt a feladatot kapják. Mindenki elolvassa a saját feladatát. Az azonos betűjelűek egy-egy szakértői csoportba gyűlnek, és a feladatukat közösen megoldják. A megoldásból a szakértői csoport mindegyik tagja vázlatot készít. Mindenki visszamegy az eredeti csoportjába, és megtanítja a többieknek a saját feladatát. MATEMATIKA A MINDENNAPOKBAN Vegyes problémák

13 HÁZI FELADAT. Az 5 éves Csilla is szeretne jelszót készíteni, amit Bencének kell kitalálnia. Csilla csak az A és a B betűt ismeri fel biztonságosan, ezért a következő négy betűkártyát használja: A A B B a) Hányféle jelszót készíthet Csilla, ha a színek is számítanak, illetve ha csak a betűk sorrendje számít? b) Bence azt mondja, hogy a jelszó BABA. Mekkora az esélye annak, hogy eltalálta a betűk sorrendjét? (Azt kell kiszámítanod, hogy az összes lehetséges eset hányadrészében találja meg Bence a jelszót.) Kerékpárunkat számzáras védelemmel láttuk el. Biztonságban van-e a kerékpár, ha órán keresztül őrizetlenül hagyjuk, tudván azt, hogy egy gyakorlott zárfeltörő percenként kb. 50 lehetőséget is meg tud vizsgálni?. Egy megadott jelszót egy bizonyos rendszer 6 biten tárol (egy bit értéke 0 vagy lehet). Pl. ez egy jelszó: a) Hány különböző jelszó adható meg ebben a rendszerben? b) Egy gyors kódfeltörő program másodpercenként próbálkozást végez. Legfeljebb mennyi idő kell a programnak a jelszó feltöréséhez (ha tudja, hogy 6 bites a jelszó)? c) Egy interneten is elérhető film megnézéséhez jelszó szükséges. A megadott jelszó 0 bites. Mennyi idő alatt tudná ezt a kódot egy olyan kódvisszafejtő program feltörni, amely másodpercenként próbálkozást hajt végre (ha tudja, hogy 0 bites a jelszó)? RÁADÁS Egy PISA-mérés feladata nyomán Pizzás feladat Egy pizzériában az alappizzát kétféle feltéttel kínálják: sajttal és paradicsommal. Ezenkívül összeállíthatjuk saját pizzánkat extra feltétekből. Négy különböző extra feltétből választhatunk: olajbogyó, sonka, gomba és szalámi. Gabi kétféle extra feltétet szeretne rendelni a pizzájára. Hány különböző kombináció közül választhat Gabi?. lecke SZÁMZÁRAK

14 FOLYTATJUK AZ ÖSSZESZÁMLÁLÁST BEVEZETŐ Bence új jelszót állít be a számítógépén. Szereti az érthetetlen, szerinte mások által megjegyezhetetlen jelszavakat. Kitalálta, hogy most az f, h, j, l betűkből és a -as számból fog állni a jelszava. Hányféle lehetőség közül választhat, ha mind az öt karaktert pontosan egyszer szeretné felhasználni, de nem akar számjeggyel kezdeni? Bence azt gondolta végig, hány olyan eset van, melyre NEM teljesül az állítás, s ezt vonta ki az összes eset számából. Összesen az 5 karaktert 5 = 0-féleképpen állíthatjuk sorba. Ezek közül a hármas számjeggyel kezdődő jelszavak száma: =, mert a hármas után -féleképpen, majd utána -féleképpen, majd utána -féleképpen, majd végül -féleképpen folytathatjuk a jelszót. Azoknak az eseteknek a száma tehát, amelyek NEM hármassal kezdődnek: 0 = 96. Hajni úgy gondolkodott, hogy : az a. a. a. az 5. karakter karakter karakter karakter karakter -féle -féle -féle -féle -féle Hányféle lehetőség közül választhat, ha mind az öt karaktert pontosan egyszer szeretné felhasználni, de ezen kívül úgy gondolja, hogy a számjegy vagy a jelszó közepére, vagy a végére kerüljön? Most két jól elkülönülő csoportra lehet szétválasztani a lehetséges jelszavakat. Nagyon fontos, hogy olyan csoportokat keressünk, amelyekben egy jelszó csak egyszer fordul elő, de mindegyik benne van valamelyik csoportban. Mindkét csoport elemeit külön összeszámoljuk, s az eredményeket összeadjuk. Az egyik csoportot azok a jelszavak alkotják, amelyekben a hármas számjegy a középső, és a többi betűt helyezem el a maradék helyre. Ezt az elrendezést megtehetem = -féleképpen. A másik csoportot azok a jelszavak alkotják, amelyekben a hármas számjegy az utolsó. Ilyen jelszó is -féle lehet, ekkor az első helyre kell be- sorolni a betűt. Összesen + = 8 lehetőség van. lehet, ezért az összes lehetőség száma: = 96. FELADAT Hajnit születésnapján felköszöntik a barátai. Heten jönnek el a születésnapi vendégségbe: Klári, Detti, Luca, Pali, Jocó, Isti és Ádám. a) Hányféle sorrendben köszönthetik fel Hajnit, ha Luca nem akar első lenni a sorban? b) Hányféle lehet a sorrend, ha Luca ragaszkodik hozzá, hogy ő legyen a negyedik? c) Hányféle lehet a sorrend akkor, ha Luca inkább úgy dönt, hogy vagy negyedik, vagy utolsó? d) S úgy hányféle sorrend van, ha Luca ahhoz ragaszkodik, hogy ő következzen Detti után?. a) Hány darab hatjegyű természetes szám van? b) Hány olyan hatjegyű természetes szám van, melynek minden számjegye különböző? c) Hány olyan hatjegyű természetes szám van, amelyben nem szerepel az 5-ös számjegy? d) Hány olyan hatjegyű természetes szám van, amely 0-zel osztható? e) Hány olyan hatjegyű természetes szám van, amelynek minden számjegye páratlan? f) Hány olyan hatjegyű természetes szám van, amelyben 7-es az első vagy az utolsó számjegy (lehet mindkettő is hetes)? MATEMATIKA A MINDENNAPOKBAN Vegyes problémák

15 . g) Hány olyan természetes szám van, amely legföljebb hatjegyű? Négy számkártya van az asztalon. Az egyiken egyes, a másikon hármas, a harmadikon hatos, a negyediken hetes szerepel. Csilla egy négyjegyű számot rakott ki a négy kártyával. 6 7 a) Hány különböző négyjegyű számot tud kirakni? b) Vajon hány olyan szám van ezek között, amelyik nyolccal osztható? c) Felírta egy papírra az összes így kapott számot. Mennyi ezeknek a számoknak az összege? Keress többféle ötletet, hogyan lehetne ezt kiszámolni!. Egy társasjáték egyik szerencsekártyáján ez olvasható: Dobj újra! Ha egyest dobsz, nyertél egy aranyat. Ha kettest, vesztettél egy aranyat. Ha hármast, nyertél három aranyat. Ha négyest vagy ötöst vagy hatost, akkor dobj újra addig, amíg végül egyest, kettest vagy hármast nem dobsz! Hajninak háromszor kellett dobnia. Mit dobhatott elsőre és másodikra? Bencének négyszer kellett dobnia, s végül vesztett egy aranyat. Hányféle dobássorozata lehetett? Csilla is kihúzta ezt a szerencsekártyát. Ő csak háromszor dobott, végül nyert. Hányféle dobássorozata lehetett? HÁZI FELADAT. Bence és két barátja egy csocsóbajnokságon mérik össze ügyességüket. Hányféle végeredmény alakulhatott ki, ha tudjuk, hogy nincs holtverseny, és nem Bence lett az első? Hány mérkőzésre került sor, ha mindenki mindenkivel pontosan egyszer játszott? Csupa páratlan számjegyből szeretnénk négyjegyű számokat alkotni. Hány különböző számot alkothatunk? Ezek közül hány olyan van, amely nem osztható öttel? S hány olyan van, amely nem osztható öttel, és amelynek minden számjegye különböző?. Egy társasjáték táblája úthálózatot ábrázol, a csomópontok egy-egy kisvárost jelentenek. Az a feladat, hogy mindenki húz öt különböző várost, és a kiinduló helyéről tetszőleges sorrendben mind az öt városba el kell jutnia a játék folyamán. Bencének nagy szerencséje van, mert az egyik város szomszédos az indulási helyével. Van ezen kívül még két másik, amelyik szomszédos egymással. Ezért elhatározza, hogy elsőként az indulási helyével szomszédos városba lép, s a másik két szomszédost pedig majd a játék folyamán egymás után fogja teljesíteni. Így hányféle sorrendben járhatja be az általa húzott öt várost?. Hadd legyek én az első vagy az utolsó! ez volt Hajni kérése, amikor az iskolai fogászatra vártak. Ha figyelembe vették Hajni kérését, hányféle sorrendben mehetett be a rendelőbe az ott várakozó kilenc gyerek?. lecke FOLYTATJUK AZ ÖSSZESZÁMLÁLÁST 5

16 5 HALMAZOK BEVEZETŐ Néhány egyszerű, már ismert fogalom Akkor mondjuk, hogy megadtunk egy halmazt, ha minden dologról pontosan el lehet dönteni, hogy a halmazhoz tartozik-e (eleme-e), vagy nem. A 0 elemű halmazt üres halmaznak nevezzük. Egy halmazt véges halmaznak mondunk, ha van olyan szám, amelynél nincs több eleme. Az üres halmaz is véges halmaz. Ha egy halmaz nem véges, akkor végtelen halmaznak nevezzük. Halmaz megadása történhet a halmaz elemeinek felsorolásával (véges halmaz esetén). Megadhatjuk szavakkal vagy jelekkel, hogy mely elemek tartoznak a halmazba. Szemléltehetjük a halmazt Venn-diagrammal. Két halmazt egyenlőnek mondunk, ha ugyanazok az elemeik. Üres halmazból egy van bár sokféle módon megadható. Ha egy halmaz mindegyik eleme benne van egy másik halmazban, akkor ezt a halmazt a másik halmaz részhalmazának nevezzük. Az üres halmaz minden halmaznak részhalmaza. Ha egy A halmaz részhalmaza egy B halmaznak, de A B, akkor A-t a B valódi részhalmazának mondjuk. Például a természetes számok halmazt alkotnak, osztályod tanulói halmazt alkotnak, a Nap bolygói halmazt alkotnak. De: a szép őszi napok nem alkotnak halmazt, a nagy számok nem alkotnak halmazt (mert nem lehet egyértelműen eldönteni, melyik őszi nap szép vagy melyik szám nagy). Jele: Ø vagy { }. Például egy téglalap csúcsainak a halmaza véges (-elemű) halmaz. Például egy körvonal pontjainak a halmaza végtelen halmaz. Halmaz megadása az elemek felsorolásával: {Anikó, Kriszti, Béla, Zsombor, Dóri}. Szemléltetés halmazábrával: Péterék kerékpárjainak a halmaza (-elemű halmaz) Sanyiék kerékpárjainak a halmaza (0-elemű halmaz) Például az egyjegyű prímszámok halmaza egyenlő a {; ; 5; 7} halmazzal. Például a Békés megyei városok halmaza részhalmaza az európai városok halmazának; a prímszámok halmaza részhalmaza az egész számok halmazának; az osztályod tanulóinak halmaza részhalmaza az U iskolád tanulóiból álló halmaznak. V Jelölés: V halmaz részhalmaza U-nak: V U. Például a prímszámok halmaza valódi részhalmaza az egész számok halmazának; a {; ; 5; 7} nem valódi részhalmaza az egyjegyű prímszámok halmazának (egyenlő a két halmaz). prímszámok egész számok,, 5, 7,,,, 6, 8, 9, 0,,, 0 6 MATEMATIKA A MINDENNAPOKBAN Vegyes problémák

17 PÉLDA Olvassuk le az ábráról, melyik betűk az U halmaz elemei, és melyik betűk a V halmaz elemei! a) b) a U U h g b e h k c d n m z f V V y Megoldás a) Az U elemei: a, b, c, d, e, g, h; a V elemei: c, d, f; b) az U elemei: h, k, m, n, y, z; a V elemei: k, m, z. A b) esetben a V mindegyik eleme benne van az U-ban is, tehát a V részhalmaza az U-nak: V U. Az U halmaznak azok az elemei, amelyek nincsenek benne a V-ben, alkotják a V-nek az U-ra vonatkozó kiegészítő (komp lementer) halmazát. Ez a b) feladatban a {h; n; y} halmaz. FELADAT. Legyen A = {h, a; j; n; i}. Ennek a halmaznak hány kételemű részhalmaza van? Hány háromelemű részhalmaza van? Milyen kapcsolatot fedezel fel a háromelemű és a kételemű részhalmazok között? Melyik véges, melyik végtelen halmaz? a) A tanteremben lévő vízmolekulák halmaza. b) Az egész számok halmaza. c) A Föld 8950 méternél magasabban fekvő hegycsúcsainak halmaza. d) A 00-zal osztható pozitív egész számok halmaza. e) A 0 és az közötti számok halmaza (beleértve a 0-t és az -et is). f) A Naprendszer összes bolygójának halmaza. g) Azoknak az embereknek a halmaza, akik a 008. évi pekingi olimpia 00 méteres férfi gyorsúszás döntőjét televízión keresztül, elejétől a végéig látták. PÉLDA. Soroljuk fel az {a; b; c; d} halmaz részhalmazait! Megoldás -elemű részhalmazok: {a}, {b}, {c}, {d} ( db). -elemű részhalmazok: {a; b}, {a; c}, {a; d}, {b; c}, {b; d}, {c; d} (6 db). -elemű részhalmazok: {a; b; c}, {a; b; d}, {a; c; d}, {b; c; d} ( db). -elemű részhalmaz: {a; b; c; d} ( db). Ez 5 részhalmaz. Rajtuk kívül még az üres halmaz is részhalmaza az adott halmaznak, vagyis van még egy 0-elemű részhalmaz is: { } ( db). Tehát az {a; b; c; d} halmaznak 6 részhalmaza van. 5. lecke HALMAZOK 7

18 FELADAT. Szotyi kutyát sétáltatni kell. Ez a feladat Hajnira, Bencére és apára vár. Ha nagyon csúnya az idő, akkor persze Szotyi otthon marad. Van úgy, hogy mindhárman együtt sétálnak Szotyival, van, hogy ketten, és van, hogy egyetlen sétáltatója van csak. Hányféleképpen alakulhat a sétáltatók csapata? Add meg az összes lehetőséget!. Van-e olyan halmaz, és ha igen, hány elemű az a halmaz, amelynek a) ; b) ; c) ; d) részhalmaza van? HÁZI FELADAT. Halmazt adunk-e meg a következő meghatározásokkal? a) Az idei iskolai szünnapok. b) A múlt év legszebb hónapja. c) Az Arany család tagjainak születésnapja. d) Az idei holdtölték napja. Egy gazdaság 8-féle terméke közül 7-félét kizárólag hazai fogyasztásra gyárt. -féle terméket szállítanak Horvátországba, -félét Szlovákiába. Más országokkal nem állnak üzleti kapcsolatban. Hányféle árut szállítanak Horvátországba is és Szlovákiába is?.. Az egyjegyű prímszámok is és az egyjegyű összetett számok is halmazt alkotnak. Sorold fel mindkét halmaznak a -elemű és a -elemű részhalmazait! Rajzolj egy koordináta-rendszert! a) Színezd kékre azokat a pontokat, amelyek az x tengelytől egység távolságra vannak! b) Színezd zöldre azokat a pontokat, amelyek az y tengelytől egység távolságra vannak! c) Színezd pirosra azokat a pontokat, amelyek mindkét tengelytől egység távolságra vannak! d) Melyik ponthalmaz véges és melyik végtelen? ELMÉLET Kiegészítő halmaz A egy halmaz, és H ennek egy részhalmaza. Azoknak az A-beli elemeknek a halmazát, amelyek nem elemei a H-nak, a H halmaz A-ra vonatkozó kiegészítő vagy komplementer halmazának nevezzük. Itt az A halmazt alaphalmaznak is mondjuk. Például az {; ; ; 5; 7} halmaznak a {0; ; ; ; ; 5; 6; 7} halmazra vonatkozó kiegészítő halmaza a {0; ; 6} halmaz; a páros számok halmazának az egész számok halmazára vonatkozó kiegészítő halmaza a páratlan számok halmaza. H A kiegészítő halmaz 8 MATEMATIKA A MINDENNAPOKBAN Vegyes problémák

19 RÁADÁS Állítsuk párba a pozitív egész számok halmazának az elemeit és a pozitív páros számok halmazának az elemeit! A pozitív egész számok:,,,, 5, 6, 7, 8, 9, 0,,, a pozitív páros számok:,, 6, 8, 0,,, 6, 8, 0,,. Az egymás alatti számokból alkotjuk a párokat: (; ), (; ), (; 6), (; 8), (5; 0), (6; ), (7; ), (8; 6), (9; 8), (0; 0), (; ),. Érdekes: azt gondolnánk, hogy kétszer annyi pozitív egész szám van, mint ahány pozitív páros szám, mégis párba állíthatók a két halmaz elemei. Ilyesmi csak végtelen halmazoknál lehetséges, végeseknél nem. KIEGÉSZÍTŐ ANYAG FELADAT A-val jelöljük a kétjegyű pozitív egész számok halmazát, B-vel a 65-nél nagyobb egész számok halmazát, C-vel a 50-nél kisebb pozitív egész számok halmazát. Hány olyan szám van, amely a) A-nak is, B-nek is és C-nek is eleme; b) A, B, C közül legalább az egyikben benne van; c) A-ban és C-ben benne van, de B-ben nincs benne; d) A-ban benne van, de B-ben és C-ben nincs benne? ELMÉLET Ekvivalens halmazok Két halmazt ekvivalensnek mondunk, ha elemeik párba állíthatók. Úgy is szokták definiálni a végtelen halmazt, hogy ekvivalens valamely valódi részhalmazával... Állítsd párba a pozitív egész számokat és a pozitív négyzetszámokat! Helytálló-e az alábbi okoskodás? A kilencjegyű számokból pont annyi van, mint a tízjegyűek ből. Állítsuk ugyanis párba őket a következő módon: Lehet-e egy körlemez és egy egyenes közös pontjainak a halmaza a) véges halmaz; b) végtelen halmaz? Lehet-e egy körvonal és egy egyenes közös pontjainak a halmaza a) véges halmaz; b) végtelen halmaz? Meglepő, de az is bizonyítható, hogy az egész számok halmaza ekvivalens a pozitív egész számok halmazával. Hogyan kellene sorba rakni az egész számokat és a pozitív egész számokat, hogy az állítás igazsága látható legyen? 5. lecke HALMAZOK 9

20 6 HALMAZOK UNIÓJA, METSZETE, KÜLÖNBSÉGE BEVEZETŐ Anya és Csilla Identikit társasjátékot játszanak. A játék lényege, hogy a játékosok a megadott személy tulajdonságaira kérdeznek rá egymástól, így próbálják egyre szűkíteni a kört, és végül kitalálni, hogy melyik személyre gondolt a másik játékos. Az nyer, akinek ez kevesebb kérdésből sikerül. Csilla már jó sokat kérdezett, és így csak hét személy maradt, de most már türelmetlen, és egyszerre két kérdést is feltesz: Férfi? Fekete a haja? Igen, férfi, és igen, fekete a haja, de egyszerre csak egyet szabad kérdezni! Vajon kire gondolt Anya és vajon számít-e, hogy melyik kérdést teszi fel először Csilla? Rendezzük csoportokba (halmazokba) a még szóba jöhető személyeket: Mária fekete hajúak férfiak Dániel között: János, és egyetlen fekete hajú van a férfiak között: ugyancsak János. Úgy is mondhatjuk, hogy a fekete hajúak és a férfiak halmazának metszetében egyetlen elem található. Vajon ha a kitalálandó személy férfi, de nem fekete a haja, akkor is egyértelmű lenne, hogy kiről van szó? Ebben az esetben a férfiak halmazának (pöttyös) és a nem fekete hajúak halmazának (zöld) a metszetében már három elem áll, ezért nem tudjuk egyértelműen eldönteni, hogy kire gondolt Anya. Lenke János Péter Mária fekete hajúak férfiak Dániel Anna Gábor Lenke János Péter Láthatóan mindegy, hogy először a fekete hajúakat karikázzuk be és aztán a férfiakat, vagy fordítva, az eredmény mindenképpen ugyanaz. Egyetlen férfi van a fekete hajúak Anna Gábor FELADAT Kitalálható-e, hogy ki a keresett személy, ha azt tudjuk, hogy: a) fekete hajú, de nem férfi; b) nem fekete hajú, és nem is férfi? 0 MATEMATIKA A MINDENNAPOKBAN Vegyes problémák

21 ELMÉLET Halmazműveletek Két halmaz metszete (közös része) azoknak az elemeknek a halmaza, amelyek mindkét halmazban benne vannak. Egy A és egy B halmaz metszetének a jele: A B. Például ha A = {; ; 5; 7; 9} és B = {; ; ; }, akkor A B = {; } (zölddel színezve). A B Két halmaz uniója (egyesítése) azoknak az elemeknek a halmaza, amelyek legalább az egyik halmazban benne vannak. Egy A és egy B halmaz uniójának a jele: A B. Például ha A = {; ; 5; 7; 9} és B = {; ; ; }, akkor A B = {; ; ; ; 5; 7; 9} (zölddel színezve). A B Az A és a B halmaz különbséghalmazának nevezzük azoknak a dolgoknak a halmazát, amelyek az A-nak elemei, de a B-nek nem elemei. Az A és a B különbséghalmazának a jele: A \ B. Például ha A = {; ; 5; 7; 9} és B = {; ; ; }, akkor A \ B = {5; 7; 9} (zölddel színezve) és B \ A = {; }. A B FELADAT. Hajni szoknyát vásárol. A kedvenc boltjában nagy a választék. Tetszik neki a zöld szín sötét árnyalata, ilyen szoknyából az ő méretében 0 darab is van az üzletben. Szeretné, ha kedvére való rövid szoknyát találna. Rövid szoknyából darab jöhet számításba, ezek között 8 olyan zöld szoknya van, amelyik tetszik Hajninak. a) Szemléltesd halmazábrával a Hajninak megfelelő szoknyaválasztékot! b) Hány szoknya közül választhat Hajni, ha csak azok a szoknyák érdeklik, amelyek zöldek vagy rövidek? c) Hajni végül egy hosszú zöld szoknyát vett meg. Hány hosszú szoknya közül választotta ki a neki megfelelőt?. Egy osztályban tanuló van. Közöttük 9 szőke és kék szemű, a kék szeműek között 9 szőke. Legyen az osztály tanulóinak halmaza U, az osztály szőke tanulóinak halmaza S, a kék szeműeké pedig K. a) Készíts halmazábrát az U, S, K halmazokról! b) Hány eleműek a következő halmazok? S K; K S; K \ S; S \ K; U K; U \ S; K \ U. c) Fogalmazd meg, kik tartoznak a K halmaz U halmazra vonatkozó komplementer halmazába! 6. lecke HALMAZOK UNIÓJA, METSZETE, KÜLÖNBSÉGE

22 . Anna néni színházba hívta két unokáját, Sárit és Hányan mentek színházba, ha a meghívottak Dórit a barátnőikkel együtt. Sári barátnőjét, Dóri mindannyian elfogadták a meghívást? pedig barátnőjét hívta meg. ELMÉLET Ugye emlékszel? N a természetes számok halmaza, Z az egész számok halmaza, Q a racionális számok halmaza, Q* az irracionális számok halmaza, R a valós számok halmaza. N Z Q Q* R Ezek mind végtelen halmazok. A halmazábra mutatja, hogy melyik számhalmaz melyiknek részhalmaza. FELADAT Melyik halmaz véges, melyik végtelen? Amelyik véges, annak hány eleme van? Z \ N; N \ Z; N \ Q; Z \ Q*. Mely számok alkotják a) a természetes számok halmazának az egész számok halmazára vonatkozó kiegészítő (komplementer) halmazát; b) a racionális számok halmazának a valós számok halmazára vonatkozó kiegészítő (komplementer) halmazát; c) az irracionális számok halmazának a valós számok halmazára vonatkozó komplementer halmazát; d) a valós számok halmazának a valós számok halmazára vonatkozó komplementer halmazát? HÁZI FELADAT.. A = {a; k; á; c}, B = {r; a; k; á; s}. a) Add meg elemeik felsorolásával a következő halmazokat! A B; B \ A; A \ B; A B; (A B) \ (A B); (A B) \ (A B). b) Add meg a B \ A halmaznak a B halmazra vonat kozó kiegészítő (komplementer) halmazát! a) Rajzold meg egy derékszögű koordináta-rendszerben az ABC és DEF háromszögeket, ha A(0; 0), B(5; 0), C(; ), D(; 6); E( ; ) és F(; )! b) Színezd a két háromszöglap unióját és metszetét, add meg e két ponthalmaz határoló sokszögének csúcsait a koordinátáikkal! Igaz vagy hamis minden A és B halmaz esetén? Válaszodat szemléltesd halmazábrával!. a) A B A c) A B B b) A B B d) A B A Milyen legyen a kakaó? Mindenféle van kikészítve az étterem reg ge li ző asztalára. Van forró és langyos, van cukorral és cukor nélkül is. Írd le halmazműveletekkel az egyes óhajoknak megfe le lő kakaók halmazát! Le gyen az összes kikészí tett kakaó halmaza T, a forró kakaók halmaza F, a cukorral édesítetteké pedig C. a) Cukorral, de ne legyen meleg! b) Ne legyen benne cukor! c) Nekem mindegy, csak gyorsan megkapjam! d) Forrón és cukorral kérem! e) Csak forró ne legyen! f) Ki nem állhatom a langyos kakaót! g) Forrón és keserűn kérem! h) Cukor nélkül és langyosan a legjobb a kakaó! MATEMATIKA A MINDENNAPOKBAN Vegyes problémák

23 RÁADÁS Könyvespolcok Egy asztalosnak egy könyvespolc elkészítéséhez a következő dolgokra van szüksége: db hosszú bútorlap, 6 db rövid bútorlap, db kisméretű kapocs, db nagyméretű kapocs és db csavar. Az asztalosnál 6 db hosszú bútorlap, db rövid bútorlap, 00 db kisméretű kapocs, 0 db nagyméretű kapocs és 50 db csavar van raktáron. Hány könyvespolcot tud ezekből készíteni?. Gördeszka Erik nagy gördeszkarajongó. Elmegy a DESZKÁS nevű boltba, hogy tájékozódjon az árakról. A boltban lehet kész gördeszkát kapni, vagy magunk is összeállíthatjuk saját gördeszkánkat úgy, hogy megveszünk egy deszkát, egy négydarabos kerékkészletet, egy kétdarabos tengelykészletet és a tartozékcsomagot. A boltban kapható cikkek ára a táblázatban látható. Erik maga szeretné összeállítani a gördeszkáját. a) Ebben a boltban mi az a minimum-, illetve maximumár, amennyiért egy gördeszkát össze lehet állítani? Árucikk Ár (zedben) Kész gördeszka 8 vagy 8 Deszka 0, 60 vagy 65 Egy négydarabos kerékkészlet vagy 6 Egy kétdarabos tengelykészlet 6 Tartozékcsomag (golyós csapágyak, gumi alátétek, csavarok és anyák) 0 vagy 0 b) A boltban három különböző típusú deszka, két különböző fajta kerékkészlet és két különböző tartozékcsomag kapható. Tengelykészletből csak egyfélét tartanak. Hányféle különböző gördeszkát állíthat össze Erik? c) Erik 0 zedet költhet, és a lehető legdrágább gördeszkát szeretné megvenni, amit még ki tud fizetni. Mennyi pénzt költhet Erika gördeszka egyes részeire? Másold át a füzetedbe a megadott táblázatot, és írd bele a válaszodat! A gördeszka részei Deszka Összeg (zedben) Kerekek Tengelyek Tartozékok 6. lecke HALMAZOK UNIÓJA, METSZETE, KÜLÖNBSÉGE

24 7 INTERVALLUMOK BEVEZETŐ A számegyenes Mindegyik valós számnak megvan a helye a számegyenesen, és a számegyenes minden pontjának megfelel egy valós szám Például a helyét így kapjuk meg: a és a közötti szakaszt 5 egyenlő részre bontjuk, és a -at jelölő ponttól a második 5 osztópontot választjuk. ELMÉLET Számok abszolút értéke Minden pozitív szám abszolút értéke önmaga, a 0 abszolút értéke önmaga, minden negatív szám abszolút értéke a szám ellentettje. a = a, ha a 0 a, ha a <0 FELADAT Hány olyan egész szám van, amelynek az abszolút értéke a) ; c) nagyobb, mint ; b) kisebb, mint ; d) egyjegyű prímszám?. Melyik egész számot jelölheti a c betű, ha a) c 5 = 0; b) c 5 = ; c) c 5 =? PÉLDA Jelöljük meg a számegyeneseken azokat a számokat, amelyek abszolút értéke a) ; b) kisebb -nál; c) nem nagyobb -nél; d) nagyobb -nél; e) és közötti szám! Megoldás a) Megoldás: { ; }. 0 b) Megoldás: a ] ; [ nyílt intervallum. 0 c) Megoldás: [ ; ] zárt intervallum. 0 d) Megoldás: R \ [ ; ]. 0 e) Megoldás: a ] ; [ és a ]; [ intervallum uniója. 0 MATEMATIKA A MINDENNAPOKBAN Vegyes problémák

25 ELMÉLET Intervallumok Ha a < b, akkor a közöttük lévő számok halmazát a, b nyílt intervallumnak nevezzük. Jele: ]a; b[. Ha ehhez az a-t és a b-t is hozzávesszük, akkor ezt a halmazt a, b zárt intervallumnak nevezzük. Jele: [a; b]. Ha az [a; b]-ből elhagyjuk az a-t, illetve a b-t, akkor az ]a; b] -vel jelölt balról nyílt, jobbról zárt intervallumot, illetve az [a; b[-vel jelölt balról zárt, jobbról nyílt intervallumot kapjuk. Példa Az alábbi ábrán a [ ; 0] zárt intervallumot és az [; [ balról zárt, jobbról nyílt intervallumot szemléltettük. 0 5 Az intervallumok számhalmazok, ezért uniójuk, metszetük, különbségük értelmezhető. Példa a számegyenesen megjelölt számhalmazt többféle módon leírhatjuk, megadunk két leírást: [ ; 7 ] \ { 5 } = [ ; 5 [ ] 5 ; 7 ] FELADAT.. Jelöld meg egy számegyenesen azokat a számokat, amelyeknek az abszolút értéke a) és 5 közötti szám; b) kisebb, mint ; c) nagyobb, mint! Melyik halmaz véges és melyik végtelen? Melyik halmazt tudod felírni intervallum alakjában? Ábrázold számegyenesen, s írd fel intervallum alakban az összes olyan x valós szám halmazát, amelyekre igaz, hogy a) < x b) 8 x 5 5. A számegyenesen megjelölt halmazt add meg intervallumokkal! Keress többféle leírást! a) b) 0, c) 0 d) 0 7. lecke INTERVALLUMOK 5

26 PÉLDA. A cukorkászacskón ez áll: tömege 00 g ± g. Ha a cukorka tömege x gramm, akkor az alábbi kijelentések közül melyik fejezi ki matematikai formában ugyanezt az információt? a) 98 x 0 c) x 0 b) x 98 d) x 00 Megoldás A cukorkászacskó felirata azt fejezi ki, hogy a cukorka tömege legalább 98 gramm, de legfeljebb 0 gramm. Más szavakkal kifejezve: a cukorka tömegének a 00 grammtól való eltérése legfeljebb gramm lehet. Az a) kijelentés és a d) kijelentés is pontosan ezt jelenti, a b) és a c) kijelentés nem. A b) kijelentés ugyanis azt mondja, hogy a cukorka tömege legalább 98 gramm, azaz akár 60 gramm is lehetne; a c) kijelentés pedig azt állítja, hogy a cukorka tömege 0 gramm és 0 gramm között van, tehát akár 0 gramm is lehetne. FELADAT 6. Az osztály mind a 0 tanulója mérőszalaggal megmérte a tanterem szélességét. A legkisebb mérési eredmény 5 cm, a legnagyobb 5 cm volt. Ha a tanterem valódi szélessége s cm (és ez a két fenti mérési eredmény közé esik), akkor hogyan lehetne matematikai formába önteni a tanulók mérésének eredményét egyenlőtlenség, illetve abszolút érték segítségével? HÁZI FELADAT. Melyik kijelentés igaz és melyik hamis? a) Minden természetes szám egész szám. b) A nulla természetes szám. c) A 6, racionális szám. d) Van olyan irracionális szám, amelyik felírható két egész szám hányadosaként is. e) Minden egész szám felírható két egész szám hányadosaként is. Az elkészült csapszegeket dobozokba csomagolták, és ezt írták a dobozra: átmérő,5 mm ± 0,0 mm. Írd fel ennek a kijelentésnek a matematikai meg-. felelőjét egyenlőtlenségek, illetve az abszolút érték használatával! A csapszeg átmérőjét jelöld d-vel! A számegyenesen megjelölt halmazt add meg intervallumokkal! a) b), c) 0 0 0, 6 MATEMATIKA A MINDENNAPOKBAN Vegyes problémák

27 7 x 7 5 x 9 0 x 7 x 0 x x 7 7 x 7 x 7 x Kösd össze azokat, amelyek ugyanazt fejezik ki! a) Hány megoldása van az x = egyenlet- Melyik a kakukktojás? nek a természetes számok halmazán, az egész számok halmazán, illetve a racionális számok halmazán? b) Hány megoldása van az x egyenlőtlenségnek a természetes számok halmazán, az egész számok halmazán, illetve a racionális számok halmazán? RÁADÁS A modern halmazelmélet egyik megalapítója és kidolgozója Georg Cantor (85 98) német tudós volt. Ő így jellemezte a végtelen halmazokat: van olyan valódi részhalmazuk, amellyel azonos a számosságuk. Ezen azt értette, hogy a halmaz és a részhalmaz elemei párba állíthatók. Erre már mi is láttunk példát a 9. oldalon, a RÁADÁS-ban. Cantor azt a nagyon érdekes dolgot is megmutatta, hogy az N és a Q halmaz elemeit is párba tudja állítani, vagyis ezeknek is egyenlő a számosságuk. De, amint kimutatta, a Q és a Q* elemei között már lehetetlen ilyen párosítást létrehozni. Vagyis a racionális számok halmaza és az irracionális számok halmaza nem azonos számosságú. KIEGÉSZÍTŐ ANYAG FELADAT Figyeljük meg a következő halmazokat! A legyen a 5-nél nagyobb egész számok halmaza, B legyen a 5-nél kisebb egész számok halmaza, K legyen a ( 0)-nél nagyobb egész számok halmaza, L legyen a ( 0)-nél kisebb egész számok halmaza, N a természetes számok halmaza, Z az egész számok halmaza. a) Melyik halmaz véges, melyik végtelen? b) Melyik halmazok között van részhalmaz kapcsolat? c) Vannak-e köztük olyan halmazok, amelyeknek a metszete véges halmaz? Ha vannak, akkor melyik metszet hány elemű? d) Vannak-e köztük olyan halmazok, amelyeknek az uniója véges halmaz? Ha vannak, akkor melyik unió hány elemű?.. Mik az elemei a következő halmazoknak? (A halmazokat az feladatban adtuk meg.) a) A B, A B b) N K, N B c) N \ A, N \ B, N \ K, N \ L d) Z \ A, Z \ B, Z \ K, Z \ L, Z \ N e) N (A B), N \ (A B) f) Z (A B), Z \ (A B), Z (K L), Z \ (K L) Szemléltesd számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldásainak halmazát, ha az alaphalmaz a valós számok halmaza! Írd fel a megoldáshalmazt intervallumok segítségével! a) x b) x c) x + 7. lecke INTERVALLUMOK 7

28 8 MŰVELETEK SZÁMHALMAZOKBAN FELADAT Helyezd el a színes halmazábrán a következő szá mokat! A füzetedben dolgozz! a) 6,, 9 98, 0, π, 0,775 b) 6, , 8 : ( ), 0 π, : ( 7) Q* Z Q N R. Melyik tört tizedes tört alakja véges, melyiké végtelen? a),, 5, 6, 7, 8, 9, 0,, b),, 5, 6, 7, 8, 9, 0,, c), 5, 6, 7, 8, 9, 0,, d) 5, 5, 5, 5, 6 5, 7 5, 8 5, 9 5, 0 5 PÉLDA Egy 0-as létszámú osztály mindegyik tanulója vásárolt egy 50 forintos történelemkönyvet, egy 860 forintos matematikakönyvet és egy 0 forintos irodalomkönyvet. tanuló vett 00 forintos angoltankönyvet és 900 forintos angolszótárt. a) Mennyibe került a angoltankönyv és -szótár? b) Mennyit fizetett a 0 tanuló a történelem-, matematika- és irodalomkönyvekért? Megoldás a) Összeadjuk az 00 és a 900 számot, vagy kiszámítjuk, hogy tanuló könyve és szótára = 000 forintba kerül, tanulóé -szer ennyibe: 000 = 000 forintba. Most a második módszer sokkal egyszerűbb. b) A 0 tanuló 90 könyvének az ára: ( ) 0 forint. Ha észrevesszük, hogy = 000, akkor fejben is elvégezhetjük az összeadást. Tehát a 90 könyv ára összesen ( ) 0 = 50 0 = (forint). ELMÉLET Az alapműveletek műveleti azonosságai Ha a, b és c valós számok, akkor a + b = b + a a b = b a felcserélhetőség (kommutativitás) (a + b) + c = a + (b + c) (a b) c = a (b c) csoportosíthatóság (asszociativitás) (a + b) c = a c + b c széttagolhatóság (disztributivitás) 8 MATEMATIKA A MINDENNAPOKBAN Vegyes problémák

29 PÉLDA. Aranyék dédmamája egy ebédküldő szolgálatnál fizet be. Hetenként megkapja az étlapot, onnan választ kedve szerint. Holnap kell befizetni a jövő hétre. Dédmama felírja, miket akar rendelni: Hétfő Nyugdíjas menü (húsleves, szilvalekváros gombóc) 95 Ft Kedd Zöldborsófőzelék vagdalt hússal 50 Ft Szerda Nyugdíjas menü (zöldségleves, magyaros csirkemell tarhonyával) 95 Ft Csütörtök Babgulyás 5 Ft Somlói galuska 70 Ft Péntek Kanászpecsenye párolt rizzsel 595 Ft Bence meglátta a somlói galuskát, ebből ő is szeretne. Apa pedig észrevette, hogy sztrapacska is van az étlapon (55 Ft/adag), ezt nem akarja kihagyni. Anya tehát nem egy, hanem három somlói galuskát rendel, és felír még három sztrapacskát is. Mennyit kell fizetni ezen a héten az ebédrendelésért? Megoldás Anya a legjobb fejszámoló, ő szereti kitölteni a megrendelőlapot. Így jegyzi fel az árakat: = ( ) = 805 = 5; = 85 (Ft) = 0. Tehát a heti ebédrendelés összege 85 forint. ELMÉLET Zárójelek felbontása, elhagyása Csak összeadás és kivonás szerepel a műveletek között + (7 9 6) = = 9 5 = 6; (7 9 6) = = 7 7 = 0. Csak szorzás és osztás szerepel a műveletek között 6 (7 : 0) = 6 7 : 0 = 6 : 7 0 = 7 0 = 0 = 0; 6 : (0 : 7) = 6 : 0 : 7 = 6 : 7 : 0 = 7 : 0 = : 0 =,. 8. lecke MŰVELETEK SZÁMHALMAZOKBAN 9

Matematika KÍSÉRLETII TANKÖNYVV

Matematika KÍSÉRLETII TANKÖNYVV Matematika KÍSÉRLETII TANKÖNYVV A tankönyv megfelel az 5/0. (XII..) EMMI rendelet:. sz. melléklet: Kerettanterv a gimnáziumok 9. évfolyama számára..0 Matematika 6. sz. melléklet: Kerettanterv a szakközépiskolák

Részletesebben

23. Kombinatorika, gráfok

23. Kombinatorika, gráfok I Elméleti összefoglaló Leszámlálási alapfeladatok 23 Kombinatorika, gráfok A kombinatorikai alapfeladatok esetek, lehetőségek összeszámlálásával foglalkoznak Általában n jelöli a rendelkezésre álló különbözőfajta

Részletesebben

148 feladat 21 + + 20 20 ) + ( 1 21 + 2 200 > 1 2. 1022 + 1 51 + 1 52 + + 1 99 2 ) (1 1 100 2 ) =?

148 feladat 21 + + 20 20 ) + ( 1 21 + 2 200 > 1 2. 1022 + 1 51 + 1 52 + + 1 99 2 ) (1 1 100 2 ) =? 148 feladat a Kalmár László Matematikaversenyről 1. ( 1 19 + 2 19 + + 18 19 ) + ( 1 20 + 2 20 + + 19 20 ) + ( 1 21 + 2 21 + + 20 21 ) + ( 1 22 + 2 22 + + 21 22 ) =? Kalmár László Matematikaverseny megyei

Részletesebben

ÉLETPÁLYA- ÉPÍTÉS MATEMATIKA TANÁRI ÚTMUTATÓ KOMPETENCIATERÜLET B. 6. évfolyam

ÉLETPÁLYA- ÉPÍTÉS MATEMATIKA TANÁRI ÚTMUTATÓ KOMPETENCIATERÜLET B. 6. évfolyam ÉLETPÁLYA- ÉPÍTÉS KOMPETENCIATERÜLET B MATEMATIKA TANÁRI ÚTMUTATÓ 6. évfolyam A kiadvány az Educatio Kht. kompetenciafejlesztő oktatási program kerettanterve alapján készült. A kiadvány a Nemzeti Fejlesztési

Részletesebben

Boronkay György Műszaki Középiskola és Gimnázium

Boronkay György Műszaki Középiskola és Gimnázium Boronkay György Műszaki Középiskola és Gimnázium 2600 Vác, Németh László u. 4-6. : 27-317 - 077 /fax: 27-315 - 093 WEB: http://boronkay.vac.hu e-mail: boronkay@vac.hu Levelező Matematika Szakkör Halmazok

Részletesebben

3. Öt alma és hat narancs 20Ft-tal kerül többe, mint hat alma és öt narancs. Hány forinttal kerül többe egy narancs egy

3. Öt alma és hat narancs 20Ft-tal kerül többe, mint hat alma és öt narancs. Hány forinttal kerül többe egy narancs egy 1. forduló feladatai 1. Üres cédulákra neveket írtunk, minden cédulára egyet. Egy cédulára Annát, két cédulára Pétert, három cédulára Bencét és négy cédulára Petrát. Ezután az összes cédulát egy üres kalapba

Részletesebben

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS KÖZÉPSZINT

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS KÖZÉPSZINT Matematika Próbaérettségi Megoldókulcs 016. január 16. MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS KÖZÉPSZINT I. rész: Az alábbi 1 feladat megoldása kötelező volt! 1) Egyszerűsítse a következő kifejezést: Válaszát

Részletesebben

HALMAZOK TULAJDONSÁGAI,

HALMAZOK TULAJDONSÁGAI, Halmazok definíciója, megadása HALMAZOK TULAJDONSÁGAI,. A következő definíciók közül melyek határoznak meg egyértelműen egy-egy halmazt? a) A:= { a csoport tanulói b) B:= { Magyarország városai ma c) C:=

Részletesebben

KOMBINATORIKA Permutáció

KOMBINATORIKA Permutáció Permutáció 1) Három tanuló, András, Gábor és Miklós együtt megy iskolába. Hányféle sorrendben léphetik át az iskola küszöbét? Írja fel a lehetséges sorrendeket! 2) Hány különböző négyjegyű számot alkothatunk

Részletesebben

4. modul Poliéderek felszíne, térfogata

4. modul Poliéderek felszíne, térfogata Matematika A 1. évfolyam 4. modul Poliéderek felszíne, térfogata Készítette: Vidra Gábor Matematika A 1. évfolyam 4. modul: POLIÉDEREK FELSZÍNE, TÉRFOGATA Tanári útmutató A modul célja Időkeret Ajánlott

Részletesebben

1. Melyek azok a kétjegyű számok, amelyek oszthatók számjegyeik

1. Melyek azok a kétjegyű számok, amelyek oszthatók számjegyeik 1991. évi verseny, 1. nap 1. Számold össze, hány pozitív osztója van 16 200-nak! 2. Bontsd fel a 60-at két szám összegére úgy, hogy az egyik szám hetede egyenlő legyen a másik szám nyolcadával! 3. Van

Részletesebben

Helyi tanterv. Batthyány Kázmér Gimnázium Matematika emelt (5+6+6+6 óra/hét) 9-12 évfolyam Készült: 2013 február

Helyi tanterv. Batthyány Kázmér Gimnázium Matematika emelt (5+6+6+6 óra/hét) 9-12 évfolyam Készült: 2013 február Helyi tanterv Batthyány Kázmér Gimnázium Matematika emelt (5+6+6+6 óra/hét) 9-12 évfolyam Készült: 2013 február 1 A TANTERV SZERKEZETE Bevezető Célok és feladatok Fejlesztési célok és kompetenciák Helyes

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szint 0613 ÉRETTSÉGI VIZSGA 007. május 8. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Formai előírások: Fontos tudnivalók

Részletesebben

MATEMATIKA TAGOZAT 5-8. BEVEZETŐ. 5. évfolyam

MATEMATIKA TAGOZAT 5-8. BEVEZETŐ. 5. évfolyam BEVEZETŐ Ez a helyi tanterv a kerettanterv Emelet matematika A változata alapján készült. Az emelt oktatás során olyan tanulóknak kívánunk magasabb szintű ismerteket nyújtani, akik matematikából átlag

Részletesebben

Halmazelmélet alapfogalmai

Halmazelmélet alapfogalmai 1. Az A halmaz elemei a kétjegyű négyzetszámok. Adja meg az A halmaz elemeit felsorolással! 2. Adott három halmaz: A = {1; 3; 5; 7; 9}; B = {3; 5; 7}; C = {5;10;15} Ábrázolja Venn-diagrammal az adott halmazokat!

Részletesebben

MATEMATIKA C 8. évfolyam 6. modul ATTÓL FÜGG?

MATEMATIKA C 8. évfolyam 6. modul ATTÓL FÜGG? MATEMATIKA C 8. évfolyam 6. modul ATTÓL FÜGG? Készítette: Surányi Szabolcs MATEMATIKA C 8. ÉVFOLYAM 6. MODUL: ATTÓL FÜGG? TANÁRI ÚTMUTATÓ 2 A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási

Részletesebben

MATEMATIKA 9. osztály Segédanyag 4 óra/hét

MATEMATIKA 9. osztály Segédanyag 4 óra/hét MATEMATIKA 9. osztály Segédanyag 4 óra/hét - 1 - Az óraszámok az AROMOBAN követhetőek nyomon! A tananyag feldolgozása a SOKSZÍNŰ MATEMATIKA (Mozaik, 013) tankönyv és a SOKSZÍNŰ MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY

Részletesebben

Feladatok MATEMATIKÁBÓL a 12. évfolyam számára

Feladatok MATEMATIKÁBÓL a 12. évfolyam számára Feladatok MATEMATIKÁBÓL a. évfolyam számára I.. Egy 35 fős osztályból mindenki részvett valamelyik iskolai kiránduláson. 5-en Debrecenbe utaztak, 8-an pedig Pécsre. Hányan utaztak mindkét városba?. Állapítsa

Részletesebben

MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA. 2013. május 7. 8:00. Időtartam: 45 perc EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA

MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA. 2013. május 7. 8:00. Időtartam: 45 perc EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA ÉRETTSÉGI VIZSGA 2013. május 7. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2013. május 7. 8:00 I. Időtartam: 45 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Matematika középszint

Részletesebben

Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet TÁMOP-3.1.1-11/1-2012-0001 XXI. századi közoktatás (fejlesztés, koordináció) II. szakasz. Fejlesztőfeladatok

Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet TÁMOP-3.1.1-11/1-2012-0001 XXI. századi közoktatás (fejlesztés, koordináció) II. szakasz. Fejlesztőfeladatok Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet TÁMOP-3.1.1-11/1-2012-0001 XXI. századi közoktatás (fejlesztés, koordináció) II. szakasz Fejlesztőfeladatok MATEMATIKA 4. szint 2015 Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet

Részletesebben

MATEMATIKA KOMPETENCIATERÜLET A

MATEMATIKA KOMPETENCIATERÜLET A MATEMATIKA KOMPETENCIATERÜLET A Matematika 7. évfolyam TANULÓI MUNKAFÜZET 2. félév A kiadvány KHF/4002-17/2008 engedélyszámon 2008. 08. 18. időponttól tankönyvi engedélyt kapott Educatio Kht. Kompetenciafejlesztő

Részletesebben

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A Matematika 6. évfolyam TANULÓI MUNKAFÜZET 2. FÉLÉV A kiadvány KHF/4356-14/2008. engedélyszámon 2008.11.25. időponttól tankönyvi engedélyt kapott Educatio Kht. Kompetenciafejlesztő

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2008. október 21. KÖZÉPSZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2008. október 21. KÖZÉPSZINT I. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 008. október 1. KÖZÉPSZINT I. 1) Adja meg a 4 egyjegyű pozitív osztóinak halmazát! A keresett halmaz: {1 4 6 8}. ) Hányszorosára nő egy cm sugarú kör területe, ha a sugarát háromszorosára

Részletesebben

0663 MODUL SÍKIDOMOK. Háromszögek, nevezetes vonalak. Készítette: Jakucs Erika, Takácsné Tóth Ágnes

0663 MODUL SÍKIDOMOK. Háromszögek, nevezetes vonalak. Készítette: Jakucs Erika, Takácsné Tóth Ágnes 0663 MODUL SÍKIDOMOK Háromszögek, nevezetes vonalak Készítette: Jakucs Erika, Takácsné Tóth Ágnes Matematika A 6. évfolyam 0663. Síkidomok Háromszögek, nevezetes vonalak Tanári útmutató 2 MODULLEÍRÁS A

Részletesebben

Halmazelmélet. Halmazok megadása

Halmazelmélet. Halmazok megadása Halmazok megadása Halmazelmélet 145. Amikor a halmazt körülírással vagy valamilyen tulajdonságával adjuk meg, bármilyen elemrôl egyértelmûen el kell tudnunk dönteni, hogy beletartozik a halmazba vagy sem.

Részletesebben

I. Gondolkodási módszerek: (6 óra) 1. Gondolkodási módszerek, a halmazelmélet elemei, a logika elemei. 1. Számfogalom, műveletek (4 óra)

I. Gondolkodási módszerek: (6 óra) 1. Gondolkodási módszerek, a halmazelmélet elemei, a logika elemei. 1. Számfogalom, műveletek (4 óra) MATEMATIKA NYEK-humán tanterv Matematika előkészítő év Óraszám: 36 óra Tanítási ciklus 1 óra / 1 hét Részletes felsorolás A tananyag felosztása: I. Gondolkodási módszerek: (6 óra) 1. Gondolkodási módszerek,

Részletesebben

Szent István Tanulmányi Verseny Matematika 3.osztály

Szent István Tanulmányi Verseny Matematika 3.osztály SZENT ISTVÁN RÓMAI KATOLIKUS ÁLTALÁNOS ISKOLA ÉS ÓVODA 5094 Tiszajenő, Széchenyi út 28. Tel.: 56/434-501 OM azonosító: 201 669 Szent István Tanulmányi Verseny Matematika 3.osztály 1. Hányféleképpen lehet

Részletesebben

KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA

KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA ÉRETTSÉGI VIZSGA 2016. május 3. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2016. május 3. 8:00 I. Időtartam: 45 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Matematika középszint

Részletesebben

MATEMATIKA C 9. évfolyam

MATEMATIKA C 9. évfolyam MATEMATIKA C 9. évfolyam 6. modul GONDOLKODOM, TEHÁT VAGYOK Készítette: Kovács Károlyné MATEMATIKA C 9. ÉVFOLYAM 6. MODUL: GONDOLKODOM, TEHÁT VAGYOK TANÁRI ÚTMUTATÓ 2 MODULLEÍRÁS A modul célja Időkeret

Részletesebben

C Í M K E É V F O L Y A M ORSZÁGOS KOMPETENCIAMÉRÉS 2007 JAVÍTÓKULCS MATEMATIKA. Oktatási Hivatal Országos Közoktatási Értékelési és Vizsgaközpont

C Í M K E É V F O L Y A M ORSZÁGOS KOMPETENCIAMÉRÉS 2007 JAVÍTÓKULCS MATEMATIKA. Oktatási Hivatal Országos Közoktatási Értékelési és Vizsgaközpont 8. Í M K E É V F O L Y A M TANULÓI AZONOSÍTÓ: ORSZÁGOS KOMPETENIAMÉRÉS 2007 JAVÍTÓKULS MATEMATIKA Oktatási Hivatal Országos Közoktatási Értékelési és Vizsgaközpont ÁLTALÁNOS TUDNIVALÓK Ön a 2007-es Országos

Részletesebben

3. Az y=x2 parabolához az y=x egyenletű egyenes mely pontjából húzható két, egymásra merőleges érintő?

3. Az y=x2 parabolához az y=x egyenletű egyenes mely pontjából húzható két, egymásra merőleges érintő? Észforgató középiskolásoknak 1.Egy tálba egymás után felütünk tíz darab tojást. A tojások közül kettő romlott, de ez csak a feltöréskor derül ki. A záptojások az összes előttük feltört tojást használhatatlanná

Részletesebben

22. szakkör (Csoportelméleti alapfogalmak 1.)

22. szakkör (Csoportelméleti alapfogalmak 1.) 22. szakkör (Csoportelméleti alapfogalmak 1.) A) A PERMUTÁCIÓK CIKLIKUS SZERKEZETE 1. feladat: Egy húsztagú társaság ül az asztal körül. Néhányat közülük (esetleg az összeset) párba állítunk, és a párok

Részletesebben

Matematika felvételi feladatok bővített levezetése 2013 (8. osztályosoknak)

Matematika felvételi feladatok bővített levezetése 2013 (8. osztályosoknak) Matematika felvételi feladatok bővített levezetése 2013 (8. osztályosoknak) Erre a dokumentumra az Edemmester Gamer Blog kiadványokra vonatkozó szabályai érvényesek. 1. feladat: Határozd meg az a, b és

Részletesebben

2. Halmazelmélet (megoldások)

2. Halmazelmélet (megoldások) (megoldások) 1. A pozitív háromjegy páros számok halmaza. 2. Az olyan, 3-mal osztható egész számok halmaza, amelyek ( 100)-nál nagyobbak és 100-nál kisebbek. 3. Az olyan pozitív egész számok halmaza, amelyeknek

Részletesebben

JÓ GYAKORLATOK MEGOSZTÁSA

JÓ GYAKORLATOK MEGOSZTÁSA JÓ GYAKORLATOK MEGOSZTÁSA A jó gyakorlatok megosztása kiscsoportos munka keretében történt, az alábbi előre megadott témák mentén: Munkaerő-piaci igények, vállalati együttműködés, gyakorlati képzés Tanulási

Részletesebben

A két csapatra osztás leggyakoribb megvalósításai: Lyukas teli (vagy sima vagy nem lyukas)

A két csapatra osztás leggyakoribb megvalósításai: Lyukas teli (vagy sima vagy nem lyukas) Eredeti forrás: Pintér Klára: Játsszunk Dienes Zoltán Pál logikai készletével! http://www.jgypk.u-szeged.hu/methodus/pinter-klara-jatsszunk-logikat-logikai-keszlettel/ A logikai készlet lapjaival kapcsolatos

Részletesebben

7. évfolyam I. félév, 2. feladatsor 1/6

7. évfolyam I. félév, 2. feladatsor 1/6 7. évfolyam I. félév, 2. feladatsor 1/6 6. Egy kocka élei 2 cm hosszúak. A kocka fehér, de rendelkezésünkre áll sok a) 1cm 3cm-es b) 1cm 4cm-es c) 1cm 5cm-es d) 1cm 6cm-es piros papírszalag, amelyeket

Részletesebben

MATEMATIKA C 7. évfolyam 5. modul KI MARAD A VÉGÉN?

MATEMATIKA C 7. évfolyam 5. modul KI MARAD A VÉGÉN? MATEMATIKA C 7. évfolyam 5. modul KI MARAD A VÉGÉN? Készítette: Kovács Károlyné MATEMATIKA C 7. ÉVFOLYAM 5. KI MARAD A VÉGÉN? TANÁRI ÚTMUTATÓ 2 MODULLEÍRÁS A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási

Részletesebben

6. modul Egyenesen előre!

6. modul Egyenesen előre! MATEMATIKA C 11 évfolyam 6 modul Egyenesen előre! Készítette: Kovács Károlyné Matematika C 11 évfolyam 6 modul: Egyenesen előre! Tanári útmutató A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási

Részletesebben

ESZTÉTIKAI-MŰVÉSZETI TUDATOSSÁG ÉS KIFEJEZŐKÉSZSÉG KOMPTETENCIA

ESZTÉTIKAI-MŰVÉSZETI TUDATOSSÁG ÉS KIFEJEZŐKÉSZSÉG KOMPTETENCIA TÁMOP 3.1.4-08/2 2008-0085 Kompetencia alapú oktatás, egyenlő hozzáférés Innovatív intézményekben HAMMIDO Alapfokú Művészeti Iskola (6722 Szeged, Kossuth L. sgt. 23.) ESZTÉTIKAI-MŰVÉSZETI TUDATOSSÁG ÉS

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2006. május 9. EMELT SZINT

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2006. május 9. EMELT SZINT ) A PQRS négyszög csúcsai: MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 006. május 9. EMELT SZINT P 3; I., Q ;3, R 6; és S 5; 5 Döntse el, hogy az alábbi három állítás közül melyik igaz és melyik hamis! Tegyen * jelet a táblázat

Részletesebben

Útmutató a Matematika 1. tankönyv használatához

Útmutató a Matematika 1. tankönyv használatához Útmutató a Matematika 1. tankönyv használatához ELŐSZÓ Kedves Tanító Kollégák! Ebben a rövid útmutatóban összefoglaljuk azokat a szerintünk alapvető tudnivalókat, amelyek az 1. évfolyam matematikaóráinak

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szint 051 ÉRETTSÉGI VIZSGA 007. május 8. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Formai előírások: Fontos tudnivalók

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szint 1613 ÉRETTSÉGI VIZSGA 016. május 3. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

Osztályozóvizsga követelményei

Osztályozóvizsga követelményei Osztályozóvizsga követelményei Képzés típusa: Tantárgy: Nyolcosztályos gimnázium Matematika Évfolyam: 5 Emelt óraszámú csoport Emelt szintű csoport Vizsga típusa: Írásbeli Követelmények, témakörök: Gondolkodási

Részletesebben

Szeminárium-Rekurziók

Szeminárium-Rekurziók 1 Szeminárium-Rekurziók 1.1. A sorozat fogalma Számsorozatot kapunk, ha pozitív egész számok mindegyikéhez egyértelműen hozzárendelünk egy valós számot. Tehát a számsorozat olyan függvény, amelynek az

Részletesebben

MATEMATIKA A 10. évfolyam

MATEMATIKA A 10. évfolyam MATEMATIKA A 10. évfolyam 8. modul Hasonlóság és alkalmazásai Készítették: Vidra Gábor, Lénárt István Matematika A 10. évfolyam 8. modul: Hasonlóság és alkalmazásai A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály

Részletesebben

PRÓBAÉRETTSÉGI VIZSGA

PRÓBAÉRETTSÉGI VIZSGA STUDIUM GENERALE MATEMATIKA SZEKCIÓ MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI VIZSGA 2016. január 16. KÖZÉPSZINTŰ PRÓBAÉRETTSÉGI VIZSGA Név E-mail cím SG-s csoport Pontszám 2016. január 16. II. Időtartam: 135 perc STUDIUM

Részletesebben

A bemutató órák feladatai

A bemutató órák feladatai A bemutató órák feladatai 1, A dobozban van 7 narancsos, 4 epres, 3 szilvás, 2 banános cukorka. Becsukott szemmel hányat kell kivenned ahhoz, hogy biztosan legyen a) 1 db epres ízű b) 1 db narancsos ízű

Részletesebben

Azonosító jel: MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA. 2015. október 13. 8:00. Az írásbeli vizsga időtartama: 240 perc

Azonosító jel: MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA. 2015. október 13. 8:00. Az írásbeli vizsga időtartama: 240 perc É RETTSÉGI VIZSGA 2015. október 13. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2015. október 13. 8:00 Az írásbeli vizsga időtartama: 240 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA

Részletesebben

Matematika 9. évfolyam

Matematika 9. évfolyam I. Vezetői összefoglaló Matematika 9. évfolyam A tankönyv a megkérdezett pedagógusok többségének nem nyerte el a tetszését. A pedagógusok fele egyáltalán nem szeretne a jövőben a tankönyvből tanítani,

Részletesebben

Árvainé Libor Ildikó Murátiné Szél Edit. Tanítói kézikönyv. tanmenetjavaslattal. Sokszínû matematika. 4

Árvainé Libor Ildikó Murátiné Szél Edit. Tanítói kézikönyv. tanmenetjavaslattal. Sokszínû matematika. 4 Árvainé Libor Ildikó Murátiné Szél Edit Tanítói kézikönyv tanmenetjavaslattal Sokszínû matematika. 4 Mozaik Kiadó - Szeged, 2007 Készítette: ÁRVAINÉ LIBOR ILDIKÓ szakvezetõ tanító MURÁTINÉ SZÉL EDIT szakvezetõ

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Síkgeometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Síkgeometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Síkgeometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Vári Péter-Rábainé Szabó Annamária-Szepesi Ildikó-Szabó Vilmos-Takács Szabolcs KOMPETENCIAMÉRÉS 2004

Vári Péter-Rábainé Szabó Annamária-Szepesi Ildikó-Szabó Vilmos-Takács Szabolcs KOMPETENCIAMÉRÉS 2004 Vári Péter-Rábainé Szabó Annamária-Szepesi Ildikó-Szabó Vilmos-Takács Szabolcs KOMPETENCIAMÉRÉS 2004 2005 Budapest Értékelési Központ SuliNova Kht. 2 Országos Kompetenciamérés 2004 Tartalom 1. Bevezetés...4

Részletesebben

TÖRTSZÁMOK, MÉRÉSEK. 34. modul

TÖRTSZÁMOK, MÉRÉSEK. 34. modul Matematika A 3. évfolyam TÖRTSZÁMOK, MÉRÉSEK 34. modul Készítette: SZITÁNYI JUDIT matematika A 3. ÉVFOLYAM 34. modul TÖRTSZÁMOK, MÉRÉSEK MODULLEÍRÁS A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási

Részletesebben

Kódelméleti elemi feladatgyűjtemény Összállította: Hraskó András és Szőnyi Tamás

Kódelméleti elemi feladatgyűjtemény Összállította: Hraskó András és Szőnyi Tamás Kódelméleti elemi feladatgyűjtemény Összállította: Hraskó András és Szőnyi Tamás 1. Mérlegelés 1.1 Egy cég 10 szériában gyártott egész kg-os súlyokat. Az első szériában 1, a másodikban 2, a harmadikban

Részletesebben

Matematika 8. PROGRAM. általános iskola 8. osztály nyolcosztályos gimnázium 4. osztály hatosztályos gimnázium 2. osztály. Átdolgozott kiadás

Matematika 8. PROGRAM. általános iskola 8. osztály nyolcosztályos gimnázium 4. osztály hatosztályos gimnázium 2. osztály. Átdolgozott kiadás Dr. Czeglédy István fôiskolai tanár Dr. Czeglédy Istvánné vezetôtanár Dr. Hajdu Sándor fôiskolai docens Novák Lászlóné tanár Dr. Sümegi Lászlóné szaktanácsadó Zankó Istvánné tanár Matematika 8. PROGRAM

Részletesebben

Matematika A 1. évfolyam. páros, páratlan. 22. modul. Készítették: Szabóné Vajna Kinga Harzáné Kälbli Éva Molnár Éva

Matematika A 1. évfolyam. páros, páratlan. 22. modul. Készítették: Szabóné Vajna Kinga Harzáné Kälbli Éva Molnár Éva Matematika A 1. évfolyam páros, páratlan 22. modul Készítették: Szabóné Vajna Kinga Harzáné Kälbli Éva Molnár Éva matematika A 1. ÉVFOLYAM 22. modul Páros, páratlan modulleírás A modul célja Időkeret Ajánlott

Részletesebben

Matematika C 3. évfolyam. Melyikhez tartozom? 4. modul. Készítette: Abonyi Tünde

Matematika C 3. évfolyam. Melyikhez tartozom? 4. modul. Készítette: Abonyi Tünde Matematika C 3. évfolyam Melyikhez tartozom? 4. modul Készítette: Abonyi Tünde Matematika C 3. évfolyam 4. modul Melyikhez tartozom? MODULLEÍRÁS A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási

Részletesebben

2) = 0 ahol x 1 és x 2 az ax 2 + bx + c = 0 ( a,b, c R és a 0 )

2) = 0 ahol x 1 és x 2 az ax 2 + bx + c = 0 ( a,b, c R és a 0 ) Fogalom gyűjtemény Abszcissza: az x tengely Abszolút értékes egyenletek: azok az egyenletek, amelyekben abszolút érték jel szerepel. Abszolútérték-függvény: egy elemi egyváltozós valós függvény, mely minden

Részletesebben

az összeadás, kivonás értelmezéseinek gyakorlása; szöveges feladatok

az összeadás, kivonás értelmezéseinek gyakorlása; szöveges feladatok Matematika A 1. évfolyam az összeadás, kivonás értelmezéseinek gyakorlása; szöveges feladatok 34. modul Készítették: szabóné vajna kinga molnár éva matematika A 1. ÉVFOLYAM 34. modul: az összeadás, kivonás

Részletesebben

Valószínűségszámítás feladatgyűjtemény

Valószínűségszámítás feladatgyűjtemény Valószínűségszámítás feladatgyűjtemény Összeállította: Kucsinka Katalin Tartalomjegyzék Előszó 4 1. Kombinatorika 5 2. Eseményalgebra 14 3. Valószínűségszámítás 21 3.1. Klasszikus valószínűség.....................

Részletesebben

LINEÁRIS ALGEBRA PÉLDATÁR MÉRNÖK INFORMATIKUSOKNAK

LINEÁRIS ALGEBRA PÉLDATÁR MÉRNÖK INFORMATIKUSOKNAK Írta: LEITOLD ADRIEN LINEÁRIS ALGEBRA PÉLDATÁR MÉRNÖK INFORMATIKUSOKNAK Egyetemi tananyag COPYRIGHT: Dr. Leitold Adrien Pannon Egyetem Műszaki Informatika Kar Matematika Tanszék LEKTORÁLTA: Dr. Buzáné

Részletesebben

Scherlein Márta Dr. Hajdu Sándor Köves Gabriella Novák Lászlóné MATEMATIKA 1. MÓDSZERTANI AJÁNLÁSOK MÁSODIK FÉLÉV

Scherlein Márta Dr. Hajdu Sándor Köves Gabriella Novák Lászlóné MATEMATIKA 1. MÓDSZERTANI AJÁNLÁSOK MÁSODIK FÉLÉV Scherlein Márta Dr. Hajdu Sándor Köves Gabriella Novák Lászlóné MATEMATIKA. MÓDSZERTANI AJÁNLÁSOK MÁSODIK FÉLÉV Tankönyv második kötet Számok és műveletek 0-től 0-ig Kompetenciák, fejlesztési feladatok:

Részletesebben

Matematika emelt szintû érettségi témakörök 2013. Összeállította: Kovácsné Németh Sarolta (gimnáziumi tanár)

Matematika emelt szintû érettségi témakörök 2013. Összeállította: Kovácsné Németh Sarolta (gimnáziumi tanár) Matematika emelt szintû érettségi témakörök 013 Összeállította: Kovácsné Németh Sarolta (gimnáziumi tanár) Tájékoztató vizsgázóknak Tisztelt Vizsgázó! A szóbeli vizsgán a tétel címében megjelölt téma kifejtését

Részletesebben

Kombinatorika. 9 10. évfolyam. Szerkesztette: Surányi László Ábrák: Hraskó András. 2015. december 6.

Kombinatorika. 9 10. évfolyam. Szerkesztette: Surányi László Ábrák: Hraskó András. 2015. december 6. Kombinatorika 9 10. évfolyam Szerkesztette: Surányi László Ábrák: Hraskó András 2015. december 6. A kötet létrehozását 2008-tól 2010-ig a Fővárosi Közoktatásfejlesztési Közalapítvány támogatta Technikai

Részletesebben

Miskolci Egyetem. Diszkrét matek I. Vizsga-jegyzet. Hegedűs Ádám Imre 2010.12.28.

Miskolci Egyetem. Diszkrét matek I. Vizsga-jegyzet. Hegedűs Ádám Imre 2010.12.28. Miskolci Egyetem Diszkrét matek I. Vizsga-jegyzet Hegedűs Ádám Imre 2010.12.28. KOMBINATORIKA Permutáció Ismétlés nélküli permutáció alatt néhány különböző dolognak a sorba rendezését értjük. Az "ismétlés

Részletesebben

MATEMATIKA 1-12. ÉVFOLYAM

MATEMATIKA 1-12. ÉVFOLYAM MATEMATIKA 1-12. ÉVFOLYAM SZERZŐK: Veppert Károlyné, Ádám Imréné, Heibl Sándorné, Rimainé Sz. Julianna, Kelemen Ildikó, Antalfiné Kutyifa Zsuzsanna, Grószné Havasi Rózsa 1 1-2. ÉVFOLYAM Gondolkodási, megismerési

Részletesebben

Érettségi feladatok: Halmazok, logika 1/5

Érettségi feladatok: Halmazok, logika 1/5 Érettségi feladatok: Halmazok, logika 1/5 I. Halmazműveletek 2006. február/12. Az A és a B halmazokról a következőket tudjuk: A B = {1; 2}, A U B = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7}, A \ B = {5; 7}. Adja meg az A

Részletesebben

Matematikai és matematikai statisztikai alapismeretek

Matematikai és matematikai statisztikai alapismeretek Kézirat a Matematikai és matematikai statisztikai alapismeretek című előadáshoz Dr. Győri István NEVELÉSTUDOMÁNYI PH.D. PROGRM 1999/2000 1 1. MTEMTIKI LPOGLMK 1.1. Halmazok Halmazon mindig bizonyos dolgok

Részletesebben

Számtani- és mértani sorozatos feladatok (középszint)

Számtani- és mértani sorozatos feladatok (középszint) Számtani- és mértani sorozatos feladatok (középszint) (KSZÉV Minta (2) 2004.05/II/16) a) Egy számtani sorozat első tagja 9, különbsége pedig 4. Adja meg e számtani sorozat első 5 tagjának az összegét!

Részletesebben

s z a k á c s Te v a g y! Borbás Marcsi A sűrűje 10 0 sz í v m e l enge t ő r e cep t

s z a k á c s Te v a g y! Borbás Marcsi A sűrűje 10 0 sz í v m e l enge t ő r e cep t A l e g f o n t o s a b b s z a k á c s Te v a g y! Borbás Marcsi A sűrűje 10 0 sz í v m e l enge t ő r e cep t Borbás Marcsi Asűrűje A könyv alkotói: Borbás Marcsi Antal Csilla Borbás Dorottya Krisztics

Részletesebben

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A Matematika 3. évfolyam Diák mérőlapok A kiadvány KHF/3992-8/2008. engedélyszámon 2008.08.8. időponttól tankönyvi engedélyt kapott Educatio Kht. Kompetenciafejlesztő oktatási

Részletesebben

A Fogyatékos Személyek Esélyegyenlőségéért Közalapítvány és Dobbantó projektje

A Fogyatékos Személyek Esélyegyenlőségéért Közalapítvány és Dobbantó projektje A Fogyatékos Személyek Esélyegyenlőségéért Közalapítvány és Dobbantó projektje 173 Ecsédi Edit A diákok megismerése Az Egyéni Fejlődési Terv alkalmazásának tapasztalatai A Dobbantó program egyik fontos

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Gráfelmélet II. Gráfok végigjárása

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Gráfelmélet II. Gráfok végigjárása Gráfelmélet II. Gráfok végigjárása DEFINÍCIÓ: (Séta) A G gráf egy olyan élsorozatát, amelyben a csúcsok és élek többször is szerepelhetnek, sétának nevezzük. Egy lehetséges séta: A; 1; B; 2; C; 3; D; 4;

Részletesebben

KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA

KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA ÉRETTSÉGI VIZSGA 2007. október 25. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2007. október 25. 8:00 I. Időtartam: 45 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Matematika

Részletesebben

A Szekszárdi I. Béla Gimnázium Helyi Tanterve

A Szekszárdi I. Béla Gimnázium Helyi Tanterve A Szekszárdi I. Béla Gimnázium Helyi Tanterve Matematika Készítette: a gimnázium reál szakmai munkaközössége 2015. Tartalom Emelt szintű matematika képzés... 3 Matematika alapóraszámú képzés... 47 Matematika

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2012. május 8. EMELT SZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2012. május 8. EMELT SZINT I. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 01. május 8. EMELT SZINT I. 1) Egy 011-ben készült statisztikai összehasonlításban az alábbiakat olvashatjuk: Ha New York-ban az átlagfizetést és az átlagos árszínvonalat egyaránt

Részletesebben

II. Halmazok. Relációk. II.1. Rövid halmazelmélet. A halmaz megadása. { } { } { } { }

II. Halmazok. Relációk. II.1. Rövid halmazelmélet. A halmaz megadása. { } { } { } { } II. Halmazok. Relációk II.1. Rövid halmazelmélet A halmaz (sokaság) jól meghatározott, megkülönböztetett dolgok (tárgyak, fogalmak, stb.) összessége. A halmaz alapfogalom. Ez azt jelenti, hogy csak példákon

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 1413 ÉRETTSÉGI VIZSGA 015. május 5. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

10. Valószínűségszámítás

10. Valószínűségszámítás . Valószínűségszámítás.. Események A valószínűségszámítás nagyon leegyszerűsítve események bekövetkezésének valószínűségével foglalkozik. Példák: Ha egy játékban egy dobókockával dobunk, akkor a kockadobás

Részletesebben

A Taní tó i/tana ri ké rdó ívré békü ldó tt va laszók ó sszésí té sé

A Taní tó i/tana ri ké rdó ívré békü ldó tt va laszók ó sszésí té sé A Taní tó i/tana ri ké rdó ívré békü ldó tt va laszók ó sszésí té sé A Matematika Közoktatási Munkabizottságot az MTA III. osztálya azzal a céllal hozta létre, hogy felmérje a magyarországi matematikatanítás

Részletesebben

ÍRÁSBELI ÖSSZEADÁS, KIVONÁS. A MŰVELETI SORREND SZÁMÍTÁSOKBAN ÉS SZÖVEGES FELADATOK MEGOLDÁSA SORÁN. 9. modul

ÍRÁSBELI ÖSSZEADÁS, KIVONÁS. A MŰVELETI SORREND SZÁMÍTÁSOKBAN ÉS SZÖVEGES FELADATOK MEGOLDÁSA SORÁN. 9. modul Matematika A 4. évfolyam ÍRÁSBELI ÖSSZEADÁS, KIVONÁS. A MŰVELETI SORREND SZÁMÍTÁSOKBAN ÉS SZÖVEGES FELADATOK MEGOLDÁSA SORÁN 9. modul Készítette: KONRÁD ÁGNES matematika A 4. ÉVFOLYAM 9. modul ÍRÁSBELI

Részletesebben

44. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY. Országos döntő, 1. nap - 2015. május 29.

44. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY. Országos döntő, 1. nap - 2015. május 29. 44. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY Országos döntő, 1. nap - 015. május 9. ÖTÖDIK OSZTÁLY - ok 1. Egy háromjegyű szám középső számjegyét elhagyva egy kétjegyű számot kaptunk. A két szám összege

Részletesebben

Valószínűségszámítás

Valószínűségszámítás Eszterházy Károly Főiskola Matematikai és Informatikai Intézet Tómács Tibor Valószínűségszámítás programtervező informatikusok részére Eger, 010. szeptember 0. Tartalomjegyzék 1. Véletlen események...............................

Részletesebben

Nyitott mondatok Bennfoglalás maradékkal

Nyitott mondatok Bennfoglalás maradékkal Matematika A 2. évfolyam Nyitott mondatok Bennfoglalás maradékkal 35. modul Készítette: Szitányi Judit 2 modulleírás A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási pontok A képességfejlesztés

Részletesebben

Bolonyai Gábor (szerk.): Antik szónoki gyakorlatok Hamp Gábor: Kölcsönös tudás Kárpáti Eszter: A szöveg fogalma

Bolonyai Gábor (szerk.): Antik szónoki gyakorlatok Hamp Gábor: Kölcsönös tudás Kárpáti Eszter: A szöveg fogalma Í R Á S 1. 0 További olvasnivaló a kiadó kínálatából: Bolonyai Gábor (szerk.): Antik szónoki gyakorlatok Hamp Gábor: Kölcsönös tudás Kárpáti Eszter: A szöveg fogalma Blaskó Ágnes Hamp Gábor Í R Á S 1.

Részletesebben

MATEMATIKA tankönyvcsaládunkat

MATEMATIKA tankönyvcsaládunkat Bemutatjuk a NAT 01 és a hozzá kapcsolódó új kerettantervek alapján készült MATEMATIKA tankönyvcsaládunkat 9 10 1 MATEMATIKA A KÖTETEKBEN FELLELHETŐ DIDAKTIKAI ESZKÖZTÁR A SOROZAT KÖTETEI A KÖVETKEZŐ KERETTANTERVEK

Részletesebben

KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA

KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA ÉRETTSÉGI VIZSGA 2009. május 5. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2009. május 5. 8:00 I. Időtartam: 45 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Matematika középszint

Részletesebben

5. modul Térfogat és felszínszámítás 2

5. modul Térfogat és felszínszámítás 2 Matematika A 1. évfolyam 5. modul Térfogat és felszínszámítás Készítette: Vidra Gábor Matematika A 1. évfolyam 5. modul: TÉRFOGAT ÉS FELSZÍNSZÁMÍTÁS Tanári útmutató A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály

Részletesebben

Matematikaóra-tervezet

Matematikaóra-tervezet Matematikaóra-tervezet "Mondd el és elfelejtem; Mutasd meg és megjegyzem; Engedd, hogy csináljam és megértem." (Kung Fu-Ce) Készítette: Horváth Judit Osztály: 3. osztály (év vége) Tantárgy: matematika

Részletesebben

,,Tele vagyunk fiatallal,,

,,Tele vagyunk fiatallal,, t a v a s z t ó l õ s z i g,,tele vagyunk fiatallal,, Vakáció, szabadidõ: mindannyiunk iskolája! A nyári, a családi, közösségi idõtöltés, a táborok, minden, ami nem az iskolában, nem a televízióban, nem

Részletesebben

1. Az ábrán a pontok a szabályos háromszögrács 10 pontját jelentik (tehát az ABC háromszög egyenlőoldalú, a BDE háromszög egyenlőoldalú, a CEF

1. Az ábrán a pontok a szabályos háromszögrács 10 pontját jelentik (tehát az ABC háromszög egyenlőoldalú, a BDE háromszög egyenlőoldalú, a CEF 1. Az ábrán a pontok a szabályos háromszögrács 10 pontját jelentik (tehát az ABC háromszög egyenlőoldalú, a BDE háromszög egyenlőoldalú, a CEF háromszög egyenlőoldalú, stb ). A 10 pont közül ki kell választani

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szint 0 ÉRETTSÉGI VIZSGA 00. február. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Matematika emelt szint Fontos tudnivalók Formai

Részletesebben

TÉGLATEST, KOCKA, GÖMB TÉGLALAP, NÉGYZET, KÖR

TÉGLATEST, KOCKA, GÖMB TÉGLALAP, NÉGYZET, KÖR Matematika A 3. évfolyam TÉGLATEST, KOCKA, GÖMB TÉGLALAP, NÉGYZET, KÖR 40. modul Készítette: SZILI JUDIT (A 11., 13., 15. PONTOT: LÉNÁRT ISTVÁN) matematika A 3. ÉVFOLYAM 40. modul TÉGLATEST, KOCKA, GÖMB

Részletesebben

Matematika helyi tanterv,5 8. évfolyam

Matematika helyi tanterv,5 8. évfolyam Matematika helyi tanterv - bevezetés Matematika helyi tanterv,5 8. évfolyam A kerettanterv B változatának évfolyamonkénti bontása Bevezető Az iskolai matematikatanítás célja, hogy hiteles képet nyújtson

Részletesebben

Azonosító jel: MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA. 2007. május 8. 8:00. Az írásbeli vizsga időtartama: 240 perc

Azonosító jel: MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA. 2007. május 8. 8:00. Az írásbeli vizsga időtartama: 240 perc ÉRETTSÉGI VIZSGA 2007. május 8. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2007. május 8. 8:00 Az írásbeli vizsga időtartama: 240 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM

Részletesebben

10. JAVÍTÓKULCS ORSZÁGOS KOMPETENCIAMÉRÉS MATEMATIKA. példaválaszokkal. s u l i N o v a K h t. É R T É K E L É S I K Ö Z P O N T É V F O L Y A M

10. JAVÍTÓKULCS ORSZÁGOS KOMPETENCIAMÉRÉS MATEMATIKA. példaválaszokkal. s u l i N o v a K h t. É R T É K E L É S I K Ö Z P O N T É V F O L Y A M 10. É V F O L Y A M ORSZÁGOS KOMPETENCIAMÉRÉS JAVÍTÓKULCS MATEMATIKA s u l i N o v a K h t. É R T É K E L É S I K Ö Z P O N T 2 0 0 6 példaválaszokkal Hány órából áll egy hét? Válasz: A feleletválasztós

Részletesebben

Valószínűségszámítás

Valószínűségszámítás 1. Kombinatorika Valószínűségszámítás 2004.03.01. Készítette: Dr. Toledo Rodolfo 1.1. Tétel. Ha n darab különböző elemet az összes lehetséges módon sorba rendezünk, akkor ezt n! := n (n 1) (n 2) 2 1-féle

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2009. október 20. EMELT SZINT

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2009. október 20. EMELT SZINT MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 009. október 0. EMELT SZINT ) Oldja meg az alábbi egyenleteket! a), ahol és b) log 0,5 0,5 7 6 log log 0 I., ahol és (4 pont) (7 pont) log 0,5 a) Az 0,5 egyenletben a hatványozás megfelelő

Részletesebben