Negyedik fejezet. meglehetősen nagy, de az is lehet, hogy az X szín 5 évvel ezelőtt elő sem fordult. Tehát két. P (a ξ b, c η d)

Átírás

1 Negyedik fejezet Többdimenziós eloszlások Több valószínűségi változó együttes vizsgálatához nem elegendő az egyes változók eloszlásának ismerete. Ez a tény jól érzékelhető a következő hétköznapi életből vett pédából. Tegyük fel, hogy ismerjük a magyar személygépkocsik kor szerinti eloszlását, és szín szerinti eloszlását. E két adat alapján nem tudjuk megmondani, hogy mi a valószínűsége, hogy egy 5 éves autó X színű. Lehetséges, hogy 5 évvel ezelőtt X a legnagyobb divatszín volt, így ez a valószínűség meglehetősen nagy, de az is lehet, hogy az X szín 5 évvel ezelőtt elő sem fordult. Tehát két véletlen mennyiségre vonatkozó kérdések nem válaszolhatók meg az egyes változók eloszlása ismeretében, a sztochasztikus kapcsolatot a két eloszlás maga nem tartalmazza. Egy elvontabb, de ugyanilyen következtetésre vezető példa: Ha ξ és η jelöli a két valószínűségi változót, akkor ξ és η eloszlásfüggvénye semmit nem mond például a P (a ξ b, c η d) valószínűségről, ami az ún. együttes eloszlás segítségével adható meg. Az együttes eloszlás az a fogalom, amely különböző valószínűségi változók egymással való sztochasztikus kapcsolatát kifejezi. 4.. A többdimenziós eloszlás- és sűrűségfüggvény A ξ és η valószínűségi változók együttes eloszlásfüggvénye az a kétváltozós F : IR 2 IR + függvény, amelyre F (x, y) = P (ξ < x, η < y) (x, y IR). (4..) Az F eloszlásfüggvény mindkét változójában növekedő és balról folytonos. Amennyiben ξ és η független, akkor P (ξ < x, η < y) = P (ξ < x)p (η < y), és F (x, y) = F ξ (x)f η (y), tehát két független valószínűségi változó együttes eloszlása egyszerűen a két eloszlásfüggvény szorzata. Ha létezik olyan f : IR 2 IR + függvény, amelyre F (x, y) = x y f(u, v) dv du, (4..2) akkor ezt ξ és η együttes sűrűségfüggvényének nevezzük. (Szokás azt is mondani, hogy f a (ξ, η) valószínűségi vektorváltozó sűrűségfüggvénye.) (4..2) megfordítása a 2 F (x, y) = f(x, y) (4..3) x y

2 2 4. A TÖBBDIMENZIÓS ELOSZLÁS- ÉS SŰRŰSÉGFÜGGVÉNY formula. Ebben az esetben (ξ, η) folytonos valószínűségi vektor változóról beszélünk. Ha a ξ és η valószínűségi változóknak van együttes sűrűségfüggvénye, akkor ξ-nek és η-nak külön-külön is van f ξ és f η sűrűségfüggvénye. f ξ (x) = + f(x, y) dy, f η (y) = + f(x, y) dx. (4..4) Az f ξ és f η sűrűségfüggvényeket a (ξ, η) valószínűségi vektorváltozó peremsűrűségeinek nevezzük. Az f ξ -re vonatkozó képletet a következőképpen láthatjuk be. Ha (4..2)-ben végrehajtjuk az y + határátmenetet, akkor a F ξ (x) = x + f(u, v) dv du formulát kapjuk. Ezt x szerint differenciálva a bal oldalon ξ sűrűségfüggvénye, a jobb oldalon pedig az együttes sűrűségfüggvény második változó szerinti integrálja adódik, (4..4)-nek megfelelően. A (4..) és (4..2) képletek kombinációja a P (ξ < x, η < y) = x y f(u, v) dv du formula, ami nagy mértékben általánosítható. A bal oldalon annak a valószínűsége áll, hogy a (ξ, η) véletlen pont a síknak az A = (u, v) IR 2 : u < x, v < y} részhalmazába esik, a jobb oldal pedig az együttes sűrűségfüggvénynek ezen halmazon vett kettős integrálja. Ez az összefüggés nem csak erre a speciális negyedsíkra, hanem a síknak bármilyen A részhalmazára teljesül: P ((ξ, η) A) = f(u, v) du dv (4..5) Az eddigiekben az egyszerűség kedvéért csak két valószínűségi változó együttes eloszlásés sűrűségfüggvényével foglalkoztunk. A definíciók és formulák természetes módon akárhány valószínűségi változóra is kiterjeszthetők. Ha ξ, ξ 2,..., ξ n n darab valószínűségi változó, akkor az együttes sűrűségfüggvényük n-változós függvény, x, x 2,..., x n változókkal, és például (4..3)-ban n-szeres deriválás, (4..4)-ben egy (n )-szeres, (4..5)-ben egy n-szeres integrálás lesz. Kettőnél több valószínűségi változó főleg a normális eloszlással kapcsolatban fog a továbbiakban szerepelni. 4.. példa: Tegyük fel, hogy két véletlen történés következik be egy időtartam, például egy óra alatt. A ξ valószínűségi változó jelenti egy bizonyos szállítmány beérkezésének az idejét, η pedig annak a szállító vállalathoz intézett telefonhívásnak az idejét, amelyben a szállítmányról érdeklődnek. Tételezzük fel, hogy mind ξ mind η egyenletes eloszlású. Ennek alapján az együttes eloszlásuk nem meghatározott, tehát további feltevésre van szükség. Legyen ξ és η egymástól független. Ekkor az együttes sűrűségfüggvényük: ha x, y, f(x, y) = egyébként. A

3 A sűrűségfüggvény tartója az a halmaz, ahol nullától különböző értékeket vesz fel tehát az egységnégyzet. Az együttes sűrűség ismeretében számos ξ-re és η-ra vontatkozó kérdésre válaszolhatunk. Például: mi a valószínűsége, hogy η < ξ? Annak a valószínűségét számoljuk tehát ki, hogy azelőtt telefonálnak, hogy a szállítmány beérkezett. P (η < ξ) = x f(x, y) dy dx = x dy dx = 2. 3 Az előző példában az együttes sűrűségfüggvény állandó a tartóján. Általában azt mondjuk, hogy a ξ és η valószínűségi változók együttesen egyenletes eloszlásúak az A IR 2 halmazon, ha együttes sűrűségfüggvényük f(x, y) = c ha (x, y) A, különben. Mivel egy sűrűségfüggvény integrálja, a c állandó az A halmaz területének reciproka. Figyelmeztetés: Két együttesen egyenletes eloszlású valószínűségi változó nem mindig független! 4.2. példa: Egy berendezés A és B részegységének meghibásodási idejét a ξ és az η valószínűségi változó fejezi ki. Együttes sűrűségfüggvényük: f(x, y) = 2e (x+2y) ha x, y, különben. Mi annak a valószínűsége, hogy (i) A és B legalább egy évig nem mondja fel a szolgálatot, (ii) B előbb megy tönkre mint A? Az (i) esetben a P (ξ, η ), (ii)-ben P (η < ξ) valószínűség a kérdés. számolással: P (ξ, η ) = = P (η ξ) = = e x dx x 2e (x+2y) dx dy 2e 2y dy = e e 2 = e 3 =.5, 2e (x+2y) dy dx = e x dx x e x ( e 2x )dx = e 2y dy Egyszerű 4.3. példa: A ξ és η valószínűségi változók együttes sűrűségfüggvénye a következő: 2 ha x és y x, h(x, y) = egyébként. Határozzuk meg ξ és η peremsűrűségfüggvényét!

4 4 4.2 FÜGGETLENSÉG Az együttes sűrűség tartója az a háromszög, amelynek csúcsai a (, ), (, ) és (, ) pont. Így ξ és η egyaránt a [, ] intervallumban veszi fel értékeit, de nem akárhogy, mivel y kisebb, mint x. Tehát f ξ (x) = f ξ (x) = x 2x ha x egyébként, 2dy = 2x, f η (y) = f η (y) = y 2dx = 2( y). 2( y) ha y egyébként. Érdemes hangsúlyozni, hogy annak ellenére, hogy (ξ, η) együttesen egyenletes eloszlású, a peremeloszlások még csak nem is egyenletesek, és nem is függetlenek Függetlenség Azt feltételezzük, hogy a folytonos ξ és η valószínűségi változóknak létezik együttes sűrűségfüggvénye. Ha ξ és η független, akkor együttes eloszlásfüggvényükre igaz, hogy amiből differenciálással adódik F (x, y) = F ξ (x)f η (y), f(x, y) = f ξ (x)f η (y). (4.2.) Azt is szoktuk mondani, hogy függetlenség esetén az együttes sűrűségfüggvény tényezőkre bomlik (faktorizál). 4.. tétel: Azt feltételezzük, hogy a ξ és az η valószínűségi változóknak létezik együttes sűrűségfüggvénye. Ekkor ξ és η pontosan akkor függetlenek, ha (4.2.) fennáll példa: A 4.2. példában szereplő ξ és η valószínűségi változók függetlenek, mert amint megmutatható együttes sűrűségfüggvényük szorzattá bomlik. Valószínűségi változók különböző transzformáltjainak eloszlását nem olyan könnyű meghatározni, de van néhány eset, amelyben egyszerű dolgunk van. Most két független valószínűségi változó összegének eloszlás- ill. sűrűségfüggvényét fogjuk kiszámolni. Tehát legyenek ξ és η függetlenek, ζ = ξ + η. A ζ < z esemény azt jelenti, hogy a (ξ, η) pont az y = z x egyenes által határolt (alsó) félsíkba esik. Jelöljük A-val ezt a félsíkot. F ζ (z) = P (ζ < z) = f ξ (x)f η (y) dx dy A kettős integrálban helyettesítést hajtunk végre: u = x + y, v = y. Ez a transzformáció az A félsíkot az u v sík u = z függőleges egyenese által határolt baloldali félsíkba viszi. A transzformáció függvénydeterminánsa, ezért z F ζ (z) = f ξ (u v)f η (v) du dv = f ξ (u v)f η (v) dv du. Differenciálással kapjuk ζ sűrűségfüggvényét B f ζ (z) = A f ξ (z v)f η (v) dv, (4.2.2) és ezt az f ξ és f η sűrűség konvolúciójának nevezzük.

5 4.5. példa: Legyenek ξ és η független, azonos eloszlású valószínűségi változók. Közös sűrűségfüggvényük e x ha x, és y f(x, y) = egyébként. Számítsuk ki ξ + η sűrűségfüggvényét! A konvolúció (4.2.2) képletét kell használni. Mivel ξ és η pozitív értékeket vesz fel, a ξ + η valószínűségi változó g sűrűségfüggvénye negatív z értékekre. Ha z >, akkor g(z) = f ξ (z x)f η (x) dx = z e (z x) e x dx = ze z. Megemlítjük, hogy ez a g függvény egy másodrendű gamma eloszlás sűrűségfüggvénye, lásd (3.2.2)-t Több valószínűségi változó függvényei Ha a ξ, ξ 2,..., ξ n valószínűségi változók együttes eloszlása ismeretes, akkor egy n változós h függvényre a h(ξ, ξ 2,..., ξ n ) valószínűségi változó eloszlása meghatározott. Leggyakrabban, például a statisztikában, a ξ + a 2 ξ a n ξ n alakú lineáris kifejezések fordulnak elő, és ξ, ξ 2,..., ξ n teljesen független változók példa: ξ, ξ 2 független N(, σ) eloszlású valószínűségi változók. Határozzuk meg az η = ξ 2 + ξ2 2 valószínűségi változó sűrűségfüggvényét! A függetlenség miatt ξ, ξ 2 együttes sűrűségfüggvénye f(x, y) = = 2πσ exp ( 2 x2 /2σ 2 ) exp ( y 2 /2σ 2 ) 2πσ exp ( 2 (x2 + y 2 )/2σ 2 ). Először η eloszlásfüggvényét számoljuk ki. ( ) F η (z) = P ξ 2 + ξ2 2 < z = P (ξ 2 + ξ2 2 < z 2 ) = x 2 +y 2 <z 2πσ exp ( 2 2 (x2 + y 2 )/2σ 2 ) dx dy. Itt a kettős integrált a z sugarú körlemezen vesszük. Célszerű áttérni polárkoordinátákra. 2π ( z ) F η (z) = r exp ( r 2 /2σ 2 ) dr dθ 2πσ 2 = z r exp ( r 2 /2σ 2 ) dr = exp ( z 2 /2σ 2 ). σ 2

6 6 4.4 KOVARIANCIA ÉS KORRELÁCIÓS EGYÜTTHATÓ A sűrűségfüggvényt differenciálással kapjuk: f η (z) = d dz F η(z) = σ 2 z exp ( z 2 /2σ 2 ). (4.3.) (A σ = esetben ez 2-szabadságfokú χ 2 -eloszlás.) Ez az eloszlás a statisztikai vizsgálatokban játszik fontos szerepet. Legelterjedtebben a χ 2 próbát alkalmazzuk, ha arról akarunk dönteni, hogy az adott minta jellemezhető-e egy bizonyos, általunk feltételezett eloszlással. A következő tételt valószínűségi változók függvényének várható értékéről bizonyítás nélkül közöljük tétel: Ha a ξ és ξ 2 valószínűségi változók együttes sűrűségfüggvénye f, és h tetszőleges kétváltozós függvénye ξ és ξ 2 -nek, akkor M(h(ξ, ξ 2 )) = h(x, y)f(x, y) dx dy példa: A ξ és η valószínűségi változók együttes sűrűségfüggvénye a következő: 2 ha x és y x, f(x, y) = egyébként. Határozzuk meg ξη várható értékét! Az előző tétel szerint az xyf(x, y) kifejezést kell integrálni a (,), (,) és (,) pontokkal meghatározott háromszögön, azaz M(ξη) = 2 xy dx dy = 2 H ( x ) xy dy dx = x 3 dx = / Kovariancia és korrelációs együttható Legyen ξ és η két tetszőleges valószínűségi változó. Egymástól való függőségüket mérhetjük az ( ) M (ξ M(ξ))(η M(η) (4.4.) várható értékkel, amit kovarianciának nevezünk. (A kovariancia jelölésére a σ ξ,η, vagy Cov(ξ, η) jelölés használatos.) Ha ξ és η független, akkor kovarianciájuk. A 2.2 tételből adódik, hogy a kovariancia a M(ξη) M(ξ)M(η) (4.4.2) formában is írható. A kovariancia segítségével értelmezhető egy másik összefüggőségi mérőszám, a korrelációs együttható: r = M[(ξ M(ξ))(η M(η))] σ(ξ)σ(η) (4.4.3)

7 A korrelációs együttható és közé esik, és abszolút értékben az értéket csak akkor veszi fel, ha ξ és η egymásnak lineáris függvénye, azaz vannak olyan a és b számok, hogy ξ = aη+b. A 2.7 és 4.3 feladat két nem független, de korrelációs együtthatójú (azaz korrelálatlan) valószínűségi változóra ad példát. A korrelálatlanság tehát még nem jelent függetlenséget. A korrelációs együttható egy szög koszinuszaként értelmezhető, ha a ξ és η valószínűségi változókat olyan vektorként képzeljük el, amelyek hossza a szórásuk. A σ 2 (ξ + η) = σ 2 (ξ) + σ 2 (η) + 2rσ(ξ)σ(η) (4.4.4) összefüggésben a háromszög-geometria koszinusztételére ismerhetünk példa: A ξ és η valószínűségi változók együttes sűrűségfüggvénye a következő: 2 ha x és y x, h(x, y) = egyébként. Számoljuk ki ξ és η korrelációs együtthatóját! A 4.3. példa tartalmazza a peremsűrűségeket, felhasználásukkal kiszámoljuk ξ és η várható értékét: M(ξ) = M(η) = x 2x dx = 2 3, σ2 (ξ) = y 2( y) dy = 3, σ2 (η) = Végül a 4.7. példából tudjuk, hogy M(ξη) = /4 és így (x 2/3) 2 2x dx = 8, (y /3) 2 2( y)dy = 8. 7 r = M(ξη) M(ξ)M(η) σ(ξ)σ(η) = 2. Több valószínűségi változó esetén a páronkénti kovarianciákat és korrelációs együtthatókat egy-egy mátrixban foglalhatjuk össze. Legyen (ξ, ξ 2,..., ξ n ) n valószínűségi változó. Azt a C mátrixot, amelynek i-edik sorának j-edik eleme a Cov(ξ i, ξ j ) kovariancia, a valószínűségi változók kovarianciamátrixának nevezzük. Hasonlóan definiáljuk az R korrelációmátrixot a páronkénti korrelációs együtthatókkal. Mivel bármely valószínűségi változónak önmagával vett korrelációs együtthatója, az R mátrix diagonálisa csupa egyesből áll tétel: C és R pozitív szemidefinit mátrix, és közöttük a C = S R S kapcsolat áll fent, ahol a közönséges mátrixszorzást jelöli, és S = Diag(σ(ξ ), σ(ξ 2 ),..., σ(ξ n )) egy olyan diagonális mátrix, amely a szórásokból áll. Megjegyezzük, hogy egy mátrix pozitiv szemidefinit volta azt jelenti, hogy a mátrix X t X alakú valamilyen X mátrixra, amelynek transzponáltja X t. Pozitív szemidefinit mátrix sajátértékei nemnegatívak.

8 8 4.5 A TÖBBDIMENZIÓS NORMÁLIS ELOSZLÁS 4.5. A többdimenziós normális eloszlás A ξ, ξ 2,..., ξ n valószínűségi változók együttes eloszlását normálisnak nevezzük, ha együttes sűrűségfüggvényük B ( f(x, x 2,..., x n ) = (2π) exp n 2 n i= n j= ) b ij (x i m i )(x j m j ) (4.5.) alakú, ahol m, m 2,..., m n valós számok és B = (b ij ) egy n n-es szimmetrikus pozitív definit mátrix. Mind az m i paraméterek, mind pedig a B mátrix valószínűségelméleti jelentéssel bír. Az m i szám nem más mint ξ i várhatóértéke, a B mátrix pedig a C kovariancimátrix inverze. A vektor-mátrix írásmóddal (4.5.) jóval tömörebbé válik: B f(x) = (2π) exp ( < B(x m), (x m) > ) n 2 = C (2π) n exp ( 2 < C (x m), (x m) > ) 4.9. példa: Ellenőrizzük, hogy az alábbi kétváltozós függvény kétdimenziós normális eloszlás sűrűségfüggvénye-e! f(x, y) = ( π 3 exp 2 ) 3 (x2 xy + y 2 ) Keressük meg az eloszlás kovarianciamátrixát! Azt kell megvizsgálni, hogy az adott függvény (4.5.) alakú-e. Először a kitevőt nézzük meg. (4.5.)-ben az áll, hogy ( b (x m ) 2 + (b 2 + b 2 )(x m )(y m 2 ) + b 22 (y m 2 ) 2 ), 2 ami akkor lesz 2 3 (x2 xy + y 2 ), ha B = ( ) 4/3 2/3 = 2 2/3 4/3 3 ( ) 2, 2 és m = m 2 =. B determinánsa 4/3, és a kis számolással kapott 4/3 (2π) 2 = π 3 összefüggés azt mutatja, hogy f (4.5.) alakú. A kovarianciamátrix B inverze, ami a lineáris algebrában tanultak alapján számolható ki, és ( ) 2 nek 2 2 adódik.

9 Ha a (ξ, ξ 2,..., ξ n ) valószínűségi változók együttes eloszlása normális (azaz (4.5.) alakú), akkor ξ, ξ 2,..., és ξ n külön-külön is normális eloszlásúak. Az egyszerűség kedvéért szorítkozzunk az n = 2 esetre, és legyen ξ i N(m i, σ i ) eloszlású. Ha r a ξ és ξ 2 valószínűségi változók korrelációs együtthatója, akkor együttes sűrűségük 9 ( f(x, y) = 2πσ σ exp 2 r 2 2( r 2 ) [ (x m ) 2 2r x m y m 2 + (y m 2) 2 ]) σ 2 σ σ 2 σ2 2 (4.5.2) alakú. Megfigyelhetjük, hogy r = esetén az együttes sűrűségfüggvény faktorizál egy x-től és egy y-től függő sűrűségfüggvény szorzatára, tehát ilyenkor ξ és ξ 2 függetlenek tétel: Ha két valószínűségi változó együttes eloszlása normális, és a változók korrelálatlanok, akkor függetlenek is. Mint azt már több ízben hangsúlyoztuk, teljes általánosságban a korrelálatlanság nem vonja maga után a függetlenséget. A tételben az együttes eloszlás normalitásának a feltételezése igen lényeges. 4.. példa: Mi a 4.9. példában szereplő együttes eloszlással adott valószínűségi változók korrelációs együtthatója? A korrelációs együtthatót az együttes sűrűségfüggvény (4.5.2)-vel való összevetésével kaphatjuk meg: π 3 = 2πσ σ, 2 r 2 amiből 3 = 4σσ 2 2( 2 r 2 ). A szórásnégyzetek a 4.9. példából ismert kovarianciamátrixból kipotyognak, σ 2 = σ2 2 =, és r = / tétel: Ha a ξ és ξ 2 valószínűségi változók együttes eloszlása normális, akkor bármilyen λ, λ 2 R esetén λ ξ + λ 2 ξ 2 normális eloszlású. ξ és ξ 2 is normális eloszlású. Ez a tétel azt is jelenti, hogy ha az együttes eloszlás normális, akkor a peremeloszlások is normálisak. 4.. példa: Határozzuk meg a 4.9. példában szereplő együttes eloszlással adott valószínűségi változók peremeloszlását! A peremeloszlások normálisak, így elegendő tudnunk várható értéküket és szórásukat. Ezek kiderülnek a 4.9. példából. Tehát mindkét peremeloszlás standard normális példa: Legyen ξ egy véletlenszerűen kiválasztott házaspárból a nő, ξ 2 pedig a férfi testmagassága. Tételezzük fel, hogy ξ és ξ 2 együttesen normális eloszlású, ξ várható értéke 69 cm, szórása 5 cm, ξ 2 várható értéke 77 cm, szórása 5 cm, továbbá ξ és ξ 2 korrelációs együtthatója.68. Mi a valószínűsége, hogy egy feleség magasabb a férjénél?

10 4.6 A FELTÉTELES SŰRŰSÉGFÜGGVÉNY ÉS A REGRESSZIÓ A P (ξ ξ 2 > ) valószínűséget kell kiszámolni. A 4.4. tétel szerint ξ ξ 2 normális eloszlású. M(ξ ξ 2 ) = = 8 σ 2 (ξ ξ 2 ) = σ 2 (ξ ) + σ 2 (ξ 2 ) 2Cov(ξ, ξ 2 ) = = 6 Így ξ ξ 2 szórása 4 és η = (ξ ξ 2 + 8)/4 standard normális eloszlású. ξ ξ 2 > ekvivalens η > 2 egyenlőtlenséggel. Ezért P (ξ ξ 2 > ) = P (η > 2) = Φ(2) = 2.3%. Tehát 2.3 % annak a valószínűsége, hogy egy feleség magasabb a férjénél A feltételes sűrűségfüggvény és a regresszió Legyen ξ és η két olyan folytonos valószínűségi változó, amelyek f együttes sűrűségfüggvénye létezik. Tudjuk, hogy ekkor η-nak van sűrűségfüggvénye, és tegyük fel, hogy f η (y) >. Rögzített y mellett f(x y ) = f(x, y ) (4.6.) f η (y ) egy sűrűségfüggvény, hiszen f(x y ) dx = f η (y ) f(x, y ) dx = f η (y ) f η(y ) =. f(x y )-t ξ-nek az η = y feltételre vonatkozó feltételes sűrűségfüggvényének nevezzük. Az x f(x y ) sűrűségfüggvényhez tartozó valószínűségi változóra a ξ feltéve η = y elnevezést, és a ξ η = y jelölést használjuk. A ξ η = y feltételes valószínűségi változó arról ad felvilágosítást, hogy ξ milyen valószínűséggel veszi fel értékeit feltéve, hogy η-ról tudunk valamit, nevezetesen, hogy η = y. Ha ξ és η függetlenek, akkor f(x y ) = f(x, y ) f η (y ) = f ξ(x)f η (y ) f η (y ) = f ξ (x) példa: ξ és η együttes sűrűségfüggvénye +xy f(x, y) = ha < x < 2 és < y <, 3 különben. Írjuk fel az f(x y ) feltételes sűrűségfüggvényt! Először η peremsűrűségét számoljuk ki. ha < y <, egyébként f η (y) =. f η (y) = 2 + xy 3 dx = 2 + 2y 3 A feltételes sűrűségfüggvény definíciója alapján + xy ha < x <, < y <, f(x y ) = 2 + 2y különben.

11 Azt a függvényt, amelyik y -hoz az M(ξ η = y ) várható értéket rendeli, a ξ valószínűségi változó η-ra vonatkozó regressziójának, vagy elméleti regressziójának nevezzük. Az y M(ξ η = y) függvény a regressziós görbe. Ha ξ és η független, akkor mint fent láttuk a ξ és a ξ η = y változók azonosak, ezért ξ-nek az η-ra vonatkozó regressziója az M(ξ) állandó függvény. A regressziós görbe meredeksége ξ és η sztochasztikus összefüggését mutatja. Legjobban látszik ez abban az esetben, amikor ξ és η együttes eloszlása normális. (Az egyszerűség érdekében tételezzük fel, hogy ξ és η várható értéke.) Ekkor az u = M(ξ η = v) regressziós görbe az u = rσ(η)/σ(ξ) egyenes. (r jelöli a korrelációs együtthatót.) 4.4. példa: Egy hőkezelési folyamattal kapcsolatban ξ a kezelés időtartama és η a kezelés által kiváltott keményedés mélysége. (ξ-t másodpercben, η-t mm-ben mérjük.) Egy modell szerint ξ és η együttes eloszlása normális, M(ξ) = 8, M(η) = 9, σ(ξ) = 4.8, σ(η) = 2 és a korrelációs együttható r =, 87. (a) Adja meg az x M(η ξ = x) regressziót! (b) Számolja ki a feltételes sűrűségfüggvényt, a kezelés hossza 5 másodperc feltételre vonatkozóan! (c) Mi a valószínűsége, hogy a keményedés mélysége 9 és 2 mm közé esik, feltéve, hogy a hőkezelés időtartama 5 másodperc? Az m = 8, m 2 = 9, σ = 4.8, σ 2 = 2, r =.87 adatok felhasználásával (4.5.2)-be helyettesítve felírjuk az f együttes sűrűségfüggvényt, és azt elosztjuk ξ-nek az f ξ sűrűségfüggvényével. Így kapjuk az ( f(y x) =.336 exp 2 (y.36x 2.52) 2 ) (4.6.2) 2 feltételes sűrűségfüggvényt, amely normális. Kiolvassuk, hogy 2 a szórásnégyzete és.36x+2.52 a várhatóértéke. A (b) kérdés válaszához úgy jutunk, hogy (4.6.2)-ben x = 5-öt helyettesítünk. Így egy normális ζ valószínűségi változót kapunk, amelynek 7.92 a várható értéke és 2 a szórása. A (c) kérdés megválaszolásához a P (9 ζ 2) valószínűséget kell megadni, ami standardizálással Φ(3.5) Φ(.92) =.777. A mérnöki-statisztikai problémákban gyakran ismerjük két sztochasztikusan összefüggő valószínűségi változó néhány össszetartozó értékpárját, és keressük a változók közötti kapcsolat legjobb lineáris közelítését. Adott ξ és η. Ha η-t Aξ + B alakban akarjuk közelíteni, A és B értékét úgy kell meghatározni, hogy az η (Aξ + B) valószínűségi változó szórása a lehető legkisebb legyen. A g(a, B) = M((η (Aξ + B)) 2 ) = M(η 2 ) + A 2 M(ξ 2 ) + B 2 2AM(ξη) 2BM(η) + 2ABM(ξ) függvény minimumát az ismert módon parciális deriválással határozzuk meg. Az adódik, hogy A = Cov(ξ, η) Cov(ξ, η), B = M(η) D 2 (ξ) D 2 (ξ) η legjobb megközelítése a legkisebb négyzetek értelmében. A regressziós görbékkel a következő fejezetben részletesen foglalkozunk. (4.6.3)

12 2 4.7 A SZTOCHASZTIKUS FOLYAMAT 4.7. A sztochasztikus folyamat Egy időtől függő véletlen mennyiséget sztochasztikus folyamatnak nevezünk. Itt nem célunk a sztochasztikus folyamatok kimerítő ismertetése, elsősorban a Poisson-folyamat példájára szorítkozunk. A Poisson-folyamat jól szemléltethető a polimerizáció egyszerű valószínűségelméleti modelljén. A polimerizáció láncmolekulák növekedési folyamata, amelynek során a már kialakult lánchoz újabb és újabb monomer csoport kapcsolódik. A láncok végének összekapcsolódását az egyszerű modellben kizárjuk, és azt gondoljuk, hogy a láncmolekula és a monomer csoport véletlen találkozásakor a csoport hozzákötődik a lánchoz, és annak hosszát eggyel megnöveli. η legyen az a véletlen időtartam, ami az első monomer csoport kapcsolódásáig eltelik, η 2 időtartam múlva kötődik a második csoport az első kapcsolódása után, és így tovább. Tehát η, η 2,... valószínűségi változók egy sorozata. A valóságban ezek a véletlen időtartamok nagyon rövidek, ez azonban elvi megfontolásainkat nem zavarja. Mivel η i egy,,emlékezet nélküli várakozási idő, η i exponenciális eloszlású kell, hogy legyen, mondjuk α i paraméterrel, és feltételezhető, hogy az η i valószínűségi változók teljesen függetlenek. Amennyiben a polimerizáció során bizonyos körülmények változatlanok (például hőmérséklet, a nagy feleslegben jelenlévő szabad monomerek koncentrációja, stb.), akkor feltételezhető, hogy η, η 2... azonos eloszlásúak, azaz α i = α, i-től függetlenül. Vizsgáljuk meg, hogy t idő eltelte után milyen hosszúak a láncmolekulák! Jelölje N t azt a valószínűségi változót, amely a t időpontban véletlenül választott lánc hosszát adja meg. N t értékei pozitív egész számok és P (N t n) = P (η + η η n t), (4.7.) azaz a láncmolekula hossza pontosan akkor nagyobb vagy egyenlő mint n a t időpontban, ha az η, η 2,..., η n várakozási idők összege legfeljebb t. (4.7.)-ből kiindulva számoljuk ki N t eloszlását. Nyilván P (N t = n) = P (N t n) P (N t n ). (4.7.2) Érdemes bevezetni a ξ n = η + η η n valószínűségi változót. Mivel független változókat adunk össze, ξ n momentumgeneráló függvénye ( α ) n M(e tξn ) = (4.7.3) α t (a 2. példa és 2.4 tétel alapján), amiből a Laplace-transzformáció táblázatát használva kapjuk, hogy ξ n sűrűségfüggvénye f n (x) = αn (n )! xn e αx (x > ). (4.7.4) (Különben (3.2.2)-vel összevetve megállapítható, hogy ez gamma eloszlás.) Némi parciális integrálással látszik, hogy t t P (N t = n) = f n (x) dx f n (x) dx = (αt)n e αt. (4.7.5) n! Tehát N t Poisson-eloszlású, αt paraméterrel. Amit így megkonstruáltunk, az a Poisson-folyamat. Tételezzük fel, hogy minden t IR + számra adott egy X t valószínűségi változó úgy, hogy (a) X, (b) ha t < s < t 2 <... < s n, akkor az X s X t, X s2 X t2,..., X sn X tn függetlenek, valószínűségi változók (c) X s X t Poisson-eloszlású α(s t) paraméterrel, ha s > t. Az ilyen (X t ) valószínűségiváltozócsaládot α intenzitású Poisson-folyamatnak nevezzük. A (b) és (c) feltételek úgy fogalmazhatók meg,

13 3 hogy a folyamat növekményei (diszjunkt időintervallumokban) függetlenek, és Poisson-eloszlásúak az időintervallumok hosszával arányos paraméterrel. Ellenőrizhető, hogy a fent konstruált N t folyamat eleget tesz az (a)-(c) feltételeknek, tehát egy konkrét példa az absztrakt Poisson-folyamatra. A példában a folyamat α intenzitása a reakciósebességgel függ össze, α az időegység alatt bekövetkezett átlagos láncnövekedés, másként a vizsgált nulladrendű reakció sebességi együtthatója példa: Egy polimerizációs folyamatot Poisson-féle sztochasztikus folyamat ír le. Miután a polimerizáció percig folyt, a láncmolekulák átlagosan 28 monomercsoportból álltak. Még hány percig kell folytatni az eljárást ahhoz, hogy a molekulaláncok 95 %-a tartalmazzon legalább 2 monomer csoportot? Legyen λ a folyamat intenzitása, ekkor perc után a láncok eloszlása λ paraméterű Poisson-eloszlás. A Poisson-eloszlás várható értéke maga a paraméterérték, így λ = 28 és λ = 28. Kiszámoljuk, hogy milyen Λ paraméterű Poisson-eloszlásra igaz, hogy a 2-nál nagyobb értékeket 95 % valószínűséggel vesz fel. Ehhez a n=2 Λ n n! e Λ =.95 egyenletet kell megoldani Λ-ra. Ez numerikusan, számítógép segítségével lehetséges, Λ = 44, 575 (lásd függelék). A (t + )λ = Λ egyenletekből kapjuk a megoldást, t = Λ/λ = példa: Mi a magyarázata annak a tapasztalati ténynek, hogy a polimerek lánchosszának eloszlása akkor is Poisson-eloszlás, ha a reakciósebesség a polimerizáció során időben változik? Gondoljunk arra, hogy a polimerizáció 3 percig α intenzitással folyik, és 3 perc után megváltozik az intenzitása β-ra. Ekkor a lánchossz t > 3-ra N (α) 3 + N (β) t 3. Ezért összegük is Poisson- Itt mindkét változó Poisson-eloszlású, és egymástól függetlenek. eloszlású a 3.2 tétel következtében. Poisson-folyamattal írható le egy üzletbe betérő vásárlók száma, vagy egy telefonközpontba beérkező hívások száma is.