DIFFERENCIÁLIS EVOLÚCIÓS ALGORITMUS ALKALMA- ZÁSA GEODÉZIAI HÁLÓZATOK KIEGYENLÍTÉSÉRE

Átírás

1 DIFFERENCIÁLIS EVOLÚCIÓS ALGORITMUS ALKALMA- ZÁSA GEODÉZIAI HÁLÓZATOK KIEGYENLÍTÉSÉRE Laky Sándor* Geodetic network adjstment sing differential evoltion algorithm Evoltionary algorithms are nmerical methods for solving mltivariate optimization problems. Mimicking the natral evoltion of poplations, they mtate and combine possible soltion vectors to give birth to a next generation of soltion vectors that drives the poplation closer to the global optimm of the objective fnction (besides satisfying the given conditional eqations). Geodetic application of evoltionary-related algorithms is not completely novel: for example, they have been sed to optimize the srveying of GPS networks, and to solve the first order network design problem. In this work differential evoltion, a relatively new algorithm is proposed as a soltion to the free network adjstment problem. Keywords: evoltionary algorithm, differential evoltion, network adjstment Az evolúciós algoritmsok többváltozós optimmszámítási feladatok megoldására kidolgozott nmeriks módszerek. Lényegük, hogy a keresési térben felvett különböző megoldásvektorokat oly módon mtáljk és keresztezzük, hogy az egyes iterációk tán az új megoldásvektorok a célfüggvény értékét a feltételi egyenletek teljesítése mellett átlagosan egyre közelebb vigyék az optimmhoz. Az evolúciós algoritmsokkal rokon eljárások alkalmazására a geodézia területén már korábban is volt példa (pl. GPS hálózatok észlelési tervének optimalizálása, vagy geodéziai hálózatok elsőrendű tervezése). Dolgozatnkban egy viszonylag új eljárásnak, a differenciális evolúciós algoritmsnak alkalmazási lehetőségét mtatjk be geodéziai szabadhálózatok kiegyenlítésével kapcsolatban. Klcsszavak: evolúciós algoritms, differenciális evolúció, hálózatkiegyenlítés 1 Bevezetés Az evolúciós algoritmsok (Bäck és Hoffmeister 1991) olyan sztochasztiks optimalizációs eljárások, amik biológiai közösségek fejlődésének tánzásával törekednek a szélsőértékek feltérképezésére. Fejlődésük az 1950-es években indlt útjára, gyakorlati alkalmazásk pedig a számítógépek elterjedésével együtt teljesedett ki. Az alapvető változatok a természetes evolúció eszköztárából a természetes kiválasztódást, a mtációt, és a keresztezést alkalmazzák. (Egyes, az evolúciós algoritmsokkal rokon algoritmsok még tovább mennek a biológiai elvek matematikai alkalmazásában, példál hangyarajok élelemkeresési szokásait veszik alapl.) Általánosságban jellemző rájk továbbá, hogy az optimalizálandó célfüggvénnyel kapcsolatban különösebb feltételeket (pl. linearitás, folytonosság, differenciálhatóság) nem támasztanak, és hatékonyan alkalmazhatók a globális szélsőérték, vagy több helyi szélsőérték egyidejű megkeresésére. Dolgozatnkban a differenciális evolúciós (Storn és Prince 1997) algoritms egy lehetséges geodéziai alkalmazását vizsgáljk meg. Ez egy evolúciós algoritmsokkal rokon eljárás, azonban a mtációt a hagyományos eljárásokhoz képest másképp értelmezi. Az algoritms részletes leírását a 2.3 részben közöljük. A geodéziai alkalmazás lehetőségét egy teljesen mindennapi példán, egy geodéziai szabadhálózat kiegyenlítésén mtatjk be. A példa tekinthető állatorvosi lónak, hiszen segítségével az algoritms alkalmazásának több előnyére is rávilágíthatnk: 1. Az algoritms nemlineáris célfüggvény esetén is alkalmazható, ami jelen esetben azt eredményezi, hogy a távolságmérés és az iránymérés közvetítő egyenletei eredeti formájkban alkalmazhatók. 2. Globális optimmkeresést végzünk lokális optimmkeresés helyett. Ez, és az 1. pontban megfogalmazott tlajdonság együtt azt eredményezi, hogy nincs szükség előzetes értékek *MTA-BME Fizikai Geodézia és Geodinamikai Ktatócsoport BME Általános és Felsőgeodézia Tanszék 1521 Bdapest, Pf. 91., laky.sandor@fre .h

2 2 LAKY S felvételére. Mint azt a későbbiekben látni fogjk, technikai okokból fel kell azonban venni egy intervallmot, amin belül keressük a paraméterek értékeit; illetve geodéziai szabadhálózatok esetén minimm három paraméterre szükséges előzetes értékek felvétele, azonban ezeknek pontossága a hagyományos eljárásokkal ellentétben nem befolyásolja a módszer konvergenciáját. 3. A célfüggvénynek nem kell differenciálhatónak lennie. Ez a gyakorlatban jelentheti egyrészt azt, hogy a célfüggvénynek nem kell matematikailag differenciálhatónak lennie (azaz rendelkezhet szakadásokkal, törésekkel), másrészt azt is, hogy a célfüggvényt megfogalmazhatjk egy algoritms formájában is (azaz nem kell zárt matematikai formlával megadnnk). Vizsgálataink során ezt a tlajdonságot a legkisebb négyzetek mellett más lehetséges kiegyenlítési normák bevezetésével szemléltetjük. Az evolúciós algoritmsokkal rokon eljárások alkalmazására a geodézia területén további példákat adnak példál (Saleh és Dare 2001), (Berné és Baselga 2004). 2 A vizsgálat elvi háttere Az alábbiakban áttekintjük a vizsgálat során alkalmazott elveket és eljárásokat: a vegyeshálózat kiegyenlítésének nemlineáris közvetítő és javítási egyenleteit (Detrekői 1991), az alkalmazott kiegyenlítési normákat, a differenciális evolúciós algoritmst (Storn és Prince 1997), és ennek speciális adaptációját szabadhálózatok kiegyenlítésére. 2.1 Közvetítő és javítási egyenletek Az A álláspontról a B irányzott pontra menő irányértéket (I AB ) a két pont koordinátái (Y A, X A, Y B, X B ) és az állásponton a tájékozási szög (z A ) ismeretében az ismert módon számíthatjk 1 : I Y Y z B A AB = arctg A. (1) X B X A Az irány mért értékének (L IAB ) ismeretében az iránymérésre vonatkozó javítás (v IAB ): A két pont közötti távolság (t AB ) számítása: v Y Y z L B A IAB = arctg A IAB. (2) X B X A t AB ( Y Y ) + ( X X ) 2 B 2 A B A =. (3) A távolság mért értékének (L tab ) ismeretében a távolságmérésre vonatkozó javítás (v tab ): v tab = 2 2 ( YB YA ) + ( X B X A ) LtAB. (4) 2.2 Alkalmazott kiegyenlítési normák Hálózat kiegyenlítésekor célnk az ismeretlen paraméterek (a pontok Y i, X i koordinátái, valamint a z i tájékozási szögek) meghatározása oly módon, hogy az egyes mérések javításai (v i ) által alkotott v javításvektor valamely normája minimális legyen. A geodézia gyakorlatában általánosan elterjedt eljárások a javításvektor L2 normáját, azaz a javításvektor elemeinek négyzetösszegét minimalizálják. A különböző pontossággal végzett mérések matematikai kezelhetősége végett bevezetjük a súlyokat, amik a normális eloszlásúnak feltételezett 1 A dolgozat során végig az EOV-ban megszokott módon balsodrású koordináta-rendszert alkalmaznk, és az irányszögeket az X tengely pozitív ágától az óramtató járásával megegyező irányban mérjük.

3 DIFFERENCIÁLIS EVOLÚCIÓS ALGORITMUS ALKALMAZÁSA GEODÉZIAI HÁLÓZATOK KIEGYENLÍTÉSÉRE 3 mérések varianciájával fordítottan arányos mennyiségek (p i ). Méréseinket itt egymástól függetlennek tekintjük, így a mérési eredmények közötti kovarianciákat zérsnak vesszük. Ekkor a minimalizálandó célfüggvény az f(p, v) = Σ p i v i 2 összeg, azaz a javítások súlyozott négyzetösszege. Annak szemléltetésére, hogy a dolgozatban felvázolt módszer könnyedén alkalmazható más normák esetén is, illetve hogy olyan esetben is alkalmazható, amikor a vektornormát egy zárt matematikai formlával nem, csak algoritmiksan megadható R n R 1 leképzéssel helyettesítjük, a számításokat az alábbi célfüggvényekre végezzük el. L2 norma (legkisebb négyzetek, az előzőekben részletezve): f 2 (p, v) = Σ p i v i 2 min. (5) L1 norma (a javítások abszolút értékeinek súlyozott összegét minimalizáljk): f 1 (p, v) = Σ p i v i min. (6) L norma (a javítások súlyozott abszolút értékeinek maximmát minimalizáljk): f (p, v) = max{p i v i } min. (7) Medián szerinti kiegyenlítés (a javítások súlyozott abszolút értékeinek mediánját minimalizáljk): f M (p, v) = medián{p i v i } min. (8) Megjegyezzük, hogy a (8) képletben megfogalmazott célfüggvény nem tekinthető vektornormának, mivel ehhez szükséges feltételek közül kettőt is megsért (pozitív definitás, háromszögegyenlőtlenség teljesítése). 2.3 Differenciális evolúciós algoritms Célnk tehát az ismeretlen Y i, X i, z i paraméterek értékeinek meghatározása az (5) (8) célfüggvények valamelyikének minimalizálása mellett. A hálózati pontok számát jelölje n, a meghatározandó paraméterek számát pedig jelölje p (ez esetünkben a hálózati pontok számának háromszorosa), a paramétereket magában foglaló vektort jelölje x: x = [Y 1 X 1 z 1 Y 2 X 2 z 2 Y n X n z n ]. (9) Első lépésként határoljk le a keresési teret. Minden Y i, X i és z i paraméterre meghatározzk az elfogadható maximális és minimális értékeket. Az így lehatárolt intervallmoknak nem kell azonban szűknek lenniük, elegendő ha a mnkaterületet észak-dél illetve kelet-nygat irányban lehatároljk, illetve a tájékozási szögek esetén használhatjk a [0..2π) tartományt: x min = [Y min X min 0 Y min X min 0 Y min X min 0], x max = [Y max X max 2π Y max X max 2π Y max X max 2π]. (10) A keresési tér lehatárolása tán előállíthatjk a kezdeti poplációt. A kezdeti popláció olyan x i megoldásvektorok halmaza, amely megoldásvektorokat véletlenszerűen vettünk fel úgy, hogy a keresési teret egyenletesen fedjük le. Egy ilyen lehetséges megoldásvektort (biológiai analógiával) egyednek nevezünk. A poplációban az egyedek száma n P. x i = [Y i1 ~ U(Y min, Y max ) X i1 ~ U(X min, X max ) z i1 ~ U(0, 2π) Y i2 ~ U(Y min, Y max ) ] (11) Eztán kezdődik az iteratív megoldás. A poplációt minden iteráció végén egy új generáció váltja fel. Célnk, hogy az újabb generációkban a célfüggvény egyes egyedekre vett értékeinek átlaga egyre jobban megközelítse annak globális optimmát (azaz nem biztos hogy az evolúció során minden egyed a kezdetektől fogva a globális optimm felé fejlődik, de az egész popláció összességében a felé tart). Ennek eléréséhez rendelkezésünkre áll a mtáció, a keresztezés, és a természetes kiválasztódás. Első lépésként minden egyes egyednek előállítjk egy mtáns párját. A differenciális evolúciós algoritms a mtáció fogalmát a hagyományos evolúciós algoritmsokhoz képest kicsit eltérően értelmezi. Az i-edik egyed mtáns párját három véletlenszerűen kiválasztott, egymással nem megegyező egyedből állítjk elő. Legyen ezeknek az egyedeknek a sorszáma r 1, r 2 és r 3 :

4 4 LAKY S r 1 ~ U(1, n p ); r 2 ~ U(1, n p ); r 3 ~ U(1, n p ); r 1 r 2 r 3 ; v i = x r1 + f (x r2 x r3 ). (12) Látható tehát (12) alapján, hogy végső soron a v i mtáns három véletlenszerűen kiválasztott x i egyed lineáris kombinációjaként áll elő. A lineáris kombináció f szorzótényezőjét nevezzük mtációs faktornak, értéke a (0..1] intervallmba esik. Eztán következik a keresztezési lépés: v i mtánst az x i egyeddel keresztezve kapjk az i tódjelöltet. Azt, hogy az tódjelöltben egy paraméter helyére melyik szülőből kerül át az érték, egy 0 és 1 közötti egyenletes eloszlású véletlen szám határozza meg. Ha ez a szám meghaladja a felvett kereszteződési valószínűséget (CR), akkor az adott paraméter az x i egyedben felvett értéket kapja, ha nem, akkor az v i -ben felvett értéket. A minimálisan szükséges kereszteződés elérése végett a véletlenszerűen kiválasztott r-edik paraméter mindenképpen a mtánsból kerül át (j-vel itt a paraméter sorszámát jelöltük, j [1..p]): v ha rcr CR vagy ri = j r CR ~ U(0, 1); r i ~ U(1, p); =. (13) x ha rcr > CR és ri j A keresztezéssel kapcsolatban felmerülhet egy probléma: mi történjen, ha az i tódjelölt kívül esik az [x min..x max ] tartományon? A szakirodalomban számos lehetőséget találhatnk ennek a helyzetnek kezelésére. Alkalmazzk most az alábbi módszert: amennyivel az érték túllépi a megengedett határértéket, annyival a megengedett minimális érték fölé vagy maximális érték alá helyezzük vissza: = x x minj maxj + ( xmaxj ) ( x ) minj ha ha ha [ x minj > x < x.. x maxj minj maxj ]. (14) Ha biztosítottk, hogy az tódjelöltek is a keresési tartományon belül helyezkedjenek el, következhet az egyedek és az tódjelöltek versenye (természetes kiválasztódás). A versenyző felek közül a rátermettebbek kerülhetnek át a következő generációba. A rátermettség matematikai mértéke jelen esetben az (5) (8) célfüggvények valamelyikének értéke az egyedek illetve az tódjelöltek helyén kiszámítva: először (2) és (4) alkalmazásával számítjk a mérések javításait x i illetve i paramétervektorok esetén, majd mindkét esetben kiértékeljük a célfüggvényt. Amelyik esetben a célfüggvény értéke közelebb van az optimmhoz (esetünkben: kisebb), azt visszük tovább a következő generációba. Ezeket a számításokat minden egyedre elvégezve kezdődhet a következő iteráció. Az iteráció leállásának feltételét több módon is megfogalmazhatjk. Esetünkben azt a megközelítést alkalmaztk, hogy ha az optimmhoz legközelebbi egyednél a célfüggvény értéke, és az összes egyedre számítva a célfüggvény átlagos értéke egymástól már csak egy kicsiny ε mértékben tér el, akkor az iteráció leállhat. Ekkor az egyedek már olyan közel kerültek egymáshoz, hogy további mtációval és keresztezéssel már nem érhető el számottevő javlás. A folyamat végén a paraméterek elfogadott értékei az optimmhoz legközelebbi egyed esetén felvett értékek lesznek. A fentiekben leírt differenciális evolúciós algoritms (1. ábra) a hagyományos evolúciós algoritmsokhoz képest több előnyt is kínál. Az egyik, hogy a mtációs lépés során az egyedek közötti különbségeket használjk fel, így nem szükséges valamilyen önkényes eloszlás felvétele a mtációhoz. 1. ábra. A differenciális evolúciós algoritms folyamata.

5 DIFFERENCIÁLIS EVOLÚCIÓS ALGORITMUS ALKALMAZÁSA GEODÉZIAI HÁLÓZATOK KIEGYENLÍTÉSÉRE 5 A másik, hogy a folyamat önszabályozó: amíg az egyedek szórása a keresési térben nagy, addig a differenciák is nagyok lesznek, így az optimm keresése széleskörű, ám ahogy az egyedek egyre közelebb kerülnek az optimmhoz, a különbségek is kisebbek lesznek, így az effektív keresési tér beszűkül. Megjegyezzük, hogy a differenciális evolúciónak több változata is létezik, a fentiekben a legalapvetőbb DE/rand/1/bin eljárást mtattk be. A jelölés magyarázata: - DE = Differential Evoltion : az eljárás angol megnevezése. - Rand = random : véletlenszerűen kiválasztott egyedekkel végezzük a mtációt. - 1 : a mtációt egyszeres különbségképzéssel végeztük. - Bin = binomial : a keresztezés jellegére tal. Egymástól függetlenül, azonos valószínűségek mellett hol az x i egyedből, hol az v i mtánsból veszünk át egy-egy paramétert, így a mtánsból átvett paraméterek száma binomiális eloszlást követ. 2.4 A differenciális evolúciós algoritms adaptálása szabadhálózatok kiegyenlítésére A fentiekben bemtatott eljárás elviekben már önmagában is alkalmas lehetne szabadhálózatok kiegyenlítésére: a helytelen alakú és méretű hálózatváltozatok kiküszöbölése tán már csak olyan változatok maradnak a poplációban, amik a célfüggvényt mind gyanolyan jól teljesítik. Az iterációk végeztével végül egy változat kerül ki végső megoldásként, ám ennek elhelyezése továbbra is véletlenszerű marad, és a gyakorlatban a kiegyenlítés számítási ideje drasztiksan megnő. Célszerű valami olyan feltétel beiktatása, ami a hálózat elhelyezését is figyelembe veszi a számítások során. Ha a hálózati pontokra (vagy a hálózati pontok némelyikére) rendelkezésünkre állnak megfelelő előzetes koordináták, akkor több lehetőségünk adódik. Beiktathatnk egy másodlagos célfüggvényt, ami kifejezi, hogy a kiegyenlítés táni koordináták valamilyen norma szerint optimálisan közelítsék meg az előzetes koordinátákat. Ekkor a probléma mltiobjektív ( több célfüggvényes ) optimalizációs feladattá válik. Szerencsére azonban esetünkben a célfüggvények nem dolgoznak egymás ellen: az összes, az eredeti célfüggvényre nézve optimális megoldáslehetőség közül csak egy olyan van, ami a másodlagos célfüggvényre nézve is optimális. Ez lehetővé teszi számnkra, hogy a feladatot a továbbiakban ismertetett egyszerűbb módszerrel is megoldhassk. Megjegyezzük, hogy a differenciális evolúciós eljárás mltiobjektív eljárássá fejlesztésére több, egymástól eltérő megoldás is született már, ilyen példál a DEMO algoritms (Robič és Filipič 2005). A másik lehetőség, hogy az eljárás során valamelyik lépésben úgy befolyásoljk az egyedek továbbfejlődését, hogy a paraméterek értékei a lehető legjobban közelítsék meg az előzetes értékeket. Esetünkben ezt úgy érjük el, hogy az tódjelölt előállítása tán az általa meghatározott hálózatot egy merevtest-szerű átalakítással (súlyponti eltolás, súlypont körüli elforgatás) az előzetes értékekre rátranszformáljk. Ez az átalakítás nem érinti a célfüggvény értékét, hiszen a hálózat geometriája nem változik meg, azonban a hálózat elhelyezését megköti. 3 Gyakorlati alkalmazási példa A továbbiakban az előző részben leírt algoritmst fogjk alkalmazni egy konkrét geodéziai szabadhálózat kiegyenlítésére (2. ábra). Vizsgálatnk tárgya a BME Általános és Felsőgeodézia Tanszékének sóskúti geodéziai mikrohálózata (Dede és Szűcs 2000). A vizsgálat céljai: Annak megmtatása, hogy a differenciális evolúciós algoritms a 2.4 részben leírt kiegészítésekkel alkalmas geodéziai szabadhálózatok kiegyenlítésére. Egy hatékony paraméterkombináció (n p, f, CR) meghatározása a lehető legkisebb ftási idő elérésére, a konvergencia robsztsságának elvesztése nélkül. Az (5) (8) célfüggvények vizsgálata drvahibától mentes esetben, nagy fölösmérés-szám esetén. A célfüggvények vizsgálata drvahibás esetben, nagy fölösmérés-szám esetén. A célfüggvények vizsgálata drvahibás esetben, kis fölösmérés-szám esetén.

6 6 LAKY S 2. ábra. A sóskúti geodéziai mikrohálózat elrendezése A vizsgálathoz a méréseket a sóskúti hálózat legtóbbi, 2008-as újramérése (Babcsány, személyes közlés) biztosította. Az észlelés minden pontról két távcsőállásban, két fordlóban történt. Az irányértékek kiszámítása tán a két fordló irány- és távmérési eredményeit kiközepeltük, így összesen 30 iránymérési és 30 távmérési adat állt rendelkezésünkre. Az eredmények a feldolgozás előtt már átestek a drvahiba-szűrésen. A mérések a priori középhibáit a méréskor használt Leica TCA 1800 típsú műszer gyári adatai alapján vettük fel: az iránymérések középhibája így ±1 lett, a távmérések középhibája pedig ±(1 mm + 2 mm / km ). A mérések súlyozása ezen a priori középhibák alapján történt: az (5) célfüggvény esetén a súlyok a középhiba négyzetével, míg a (6) (8) célfüggvények esetén a középhibával voltak fordítottan arányosak. A szabadhálózat elhelyezésének megkötése végett egy régebbi meghatározásból származó koordináták méterre kerekített értékeit vettük fel előzetes értékeknek. 3.1 Implementáció Az algoritms megvalósítása C nyelven készült, Linx operációs rendszeren (az egész vizsgálat alatt kizárólag szabadon hozzáférhető, nyílt forrású szoftvereket alkalmaztnk). A program elkészítése során törekedtünk a mai modern többmagos processzorokban rejlő lehetőségek kiaknázására, ezért az algoritms legszámításigényesebb részét, az egyes egyedekre a célfüggvény értékének kiszámítását, több párhzamosan ftó szál végzi. A modern operációs rendszerek lehetővé teszik, hogy egy programon belül a szálak végrehajtása a magok között a terhelés függvényében ftás közben is átadódhasson, így ezzel a továbbiakban több teendő nincsen. A szálak között az adatátvitel nem probléma, mivel a programon belül gyanazokat a memóriaterületeket minden szál felhasználhatja. A párhzamosan ftó szálak működésének összehangolását, illetve a megosztott memóriaterületekhez való hozzáférés szabályozását szemaforokkal oldottk meg. A program elkészítése során a szálakat a libpthread függvénykönyvtárral kezeltük (ez a szabvány POSIX szálkezelési API egy linxos implementációja), véletlen számok generálásához a libgsl függvénykönyvtárat használtk (GNU Scientific Library), a grafiks kimenetet pedig a libg2 függvénykönyvtár segítségével állítottk elő. A többszálú végrehajtást 2 és 4 maggal rendelkező processzorokon teszteltük, mindkét esetben a vártnak megfelelően nagymértékű sebességnövekedést tapasztaltnk az egyszálú végrehajtáshoz képest. 3.2 Az algoritms paramétereinek meghatározására A szakirodalomban a differenciális evolúciós algoritms paramétereire (n p a popláció egyedszáma, f mtációs faktor, CR keresztezési valószínűség) találnk ökölszabályként alkalmazható értékeket, amik a feladatok nagy részénél megfelelő szintű robsztsságot biztosítanak a folyamat számára (azaz a folyamat nagy valószínűséggel a globális optimmhoz fog konvergálni, és nem

7 DIFFERENCIÁLIS EVOLÚCIÓS ALGORITMUS ALKALMAZÁSA GEODÉZIAI HÁLÓZATOK KIEGYENLÍTÉSÉRE 7 valamelyik lokális szélsőértékhez). Ezek az értékek: n p = 10 p (p a paraméterek száma); f = 0,8; CR = 0,9. Céll tűztük ki annak vizsgálatát, hogy ezen értékeknél jobbakat tdnk-e találni a konkrét probléma megoldására. A vizsgálatok során a koordináták megengedett értéke Y i [ ] méter, X i [ ] méter; a konvergencia kritérima ε = 10-3 volt. Mivel paramétereink száma p = 18, ezért esetünkben n p = 180 egyedszám mellett kerestük f és CR használható értékeit (3. ábra). A vizsgálatok során az (5) célfüggvényt használtk. A nyertes paraméterkombináció végül f = 0,5; CR = 0,8 lett. Eztán kerestük az előbb megtalált f és CR paraméterek mellett az egyedszám minimális szükséges értékét. Az iterációk számát tekintve az n p = 90-nél kezdődő vizsgált tartomány nagyjából egyenletes eredményeket hozott, azonban ne feledjük el, hogy bár az iterációk száma nagyjából azonos, a megnövekedett egyedszám iterációnként megnövekedett számítási feladatot is jelent, így a ftási idő szempontjából célszerű minél kisebb egyedszámot alkalmazni. A kiválasztott egyedszám végül n p = 36 lett. A szemléltetés végett a 4. ábrán látható a konvergencia folyamata n p = 1800; f = 0,5; CR = 0,8 paraméterkombináció mellett (itt a megnövelt egyedszám csak a látványosság miatt szükséges). Látható, ahogy a rendszer bizonytalan kezdeti útkeresése tán a iteráción túl a konvergencia látványosan beindl. 3.3 A kiegyenlítés eredménye Mint azt a 3. rész elején említettük, a különböző célfüggvények mellett célnk a drvahibás, és a kis fölösmérés-számmal rendelkező esetek vizsgálata is. A drvahibás esetet egy mesterséges drvahiba beiktatásával állítottk elő: az 1-2 irányt rontottk el 1 -al. A fölösmérés-szám csökkentését az álláspontok számának csökkentésével oldottk meg. Először minden mérést megtartva a fölösmérésszám 42 volt. Csak az 1, 2 és 3 pontokról végzett méréseket felhasználva ez 12-re csökkent, míg csak az 1 és 3 pontokról végzett méréseket felhasználva 2-re. Összefoglalva: a négy kiegyenlítési norma, három fölösmérés-szám és a drvahibás vagy drvahibától mentes eseteket figyelembe véve összesen 24 kombinációt vizsgáltnk. A kiegyenlítés eredményének vizsgálatakor kétféle eredmény segítségével hasonlítottk össze az egyes eseteket: néztük egyrészt a pontok koordinátáinak kiegyenlített értékeit, másrészt a koordináták 95%-os konfidencia-intervallmainak méretét. A kiegyenlítésből kapott koordináták viszonyítási alapjának a legkisebb négyzetek módszerével 42-es fölösmérés-szám mellett és drvahiba nélkül kapott eredményeket tekintettük. Minden más vizsgált esetben kiszámoltk a kapott ponthelyek ettől való átlagos távolságát. A konfidenciaintervallmok vizsgálatakor az Y és X koordináták 95%-os konfidencia-intervallmait átlagoltk. Az eredményeket az 1. és 2. táblázat tartalmazza. 3. ábra. Konvergencia az iterációk számának függvényében. Balra különböző f és CR paraméterkombinációk mellett, rögzített n p = 180 egyedszámmal. Jobbra különböző egyedszámok mellett, rögzített f = 0,5; CR = 0,8 paraméterek mellett. A Célfüggvény átlagos értéke a célfüggvény értéke egy-egy generáción belül az összes egyedre kiszámolva majd átlagolva.

8 LAKY S 8 1. táblázat. Átlagos ponthely-távolságok (méterben). Viszonyítási alap: L2 norma, fölösmérés-szám 42, drvahiba-mentes. Fölösmérés Drvahiba-mentes L1 L Medián L2 42 0,000 0,000 0,338 0,000 1, ,386 1, ,836 1,554 1,203 L2 Drvahibás L1 L Medián 2. táblázat. A koordináták átlagos 95%-os konfidencia-intervallmai (milliméterben). Fölösmérés L2 Drvahiba-mentes L1 L Medián L2 Drvahibás L1 L 42 ±1 ±1 ±1 ±1 ±770 ±3 12 ±5 ±971 2 ±3 ±3 ±12 ±3 ±776 ±12 Medián 4. ábra. A konvergencia folyamata, balról jobbra, fentről lefele haladva: a hálózati pontok elhelyezkedése 1, 2500, 2700, 3000, 3500 és 5000 iteráció tán. Az algoritms paraméterei: np = 1800; f = 0,5; CR = 0,8 (az egyedszám az ábrák szemléletessé tétele végett lett megnövelve). Az 1. és 2. táblázatok adatait szemrevételezve megállapíthatjk, hogy a hagyományosan elterjedt L2 norma szerinti kiegyenlítés az elvárásoknak megfelelően teljesített: drvahiba-mentes esetekben a paraméterek értékeit alacsony fölösmérés-szám mellett is torzítatlanl és kis szórással (hiszen ebben az esetben a minimalizált mennyiség tlajdonképpen maga a súlyegység középhibája) határozta meg, míg a drvahibás esetekre a vártnak megfelelően igen érzékenynek mtatkozott. Drvahibától mentes esetekben hasonlóan szép eredményeket prodkált az L1 norma, a drvahibás esetben, nagyobb fölösmérés-számok mellett pedig megmtatkozott, hogy robsztsságára ebben az esetben számíthatnk. Az L norma szerinti kiegyenlítés a konfidencia-intervallmok tekintetében már a drvahibamentes esetekben is rosszabbl teljesít az előző kettőnél, azonban viselkedése igazán a drvahibás esetekben érdekes.

9 DIFFERENCIÁLIS EVOLÚCIÓS ALGORITMUS ALKALMAZÁSA GEODÉZIAI HÁLÓZATOK KIEGYENLÍTÉSÉRE 9 Végül pedig a medián szerinti kiegyenlítés a drvahibás esetekben bizonylt igazán használhatónak. Igaz a fölösmérés-szám csökkenésével a módszer szórása romlott, ám ez torzítatlanságára szinte semmi hatással nem volt. Valamely, a drvahibákra érzékeny normával párban alkalmazva így hatékony módszer lehet a drvahibák kiszűrésére. 4 Összefoglalás Dolgozatnkban bemtattk egy evolúciós algoritmsokkal rokon eljárás, a differenciális evolúciós algoritms egy geodéziai alkalmazását. Természetesen a hálózatkiegyenlítés csak egy a lehetséges alkalmazási területek közül, az algoritms bármely olyan problémára megoldást jelenthet, ahol a matematikai modellt leíró egyenletek linearizálása instabilitást eredményezhet, vagy a megfelelő előzetes értékek nem állíthatók elő nagy biztonsággal; esetleg a legkisebb négyzetek helyett más kiegyenlítési normára van szükségünk, vagy ezen problémák kombinációja lép fel. Példaként említenénk a módszer további sikeres alkalmazását szatellitageodéziai műholdak nyers mérési idősoraiban fellépő szabályos hibajelenségek leíró függvényének illesztésére, ahol a függvény összetettsége miatt a linearizáció nem vezetett célra, a magas zajszint miatt pedig az előzetes értékek becslése vált igen bizonytalanná. Konkrét alkalmazási példán keresztül bemtattk az algoritms paramétereinek hatását a kiegyenlítés konvergenciájára, a különböző normák szerint végzett kiegyenlítések pedig alkalmat adtak egyes alternatív kiegyenlítési normák viselkedésének megfigyelésére alacsony fölösmérésszám és drvahiba fellépése esetén. A gyakorlati életben kevésbé gyakran alkalmazott kiegyenlítési normák közül robsztsságát tekintve kiemelkedően jó teljesítményt nyújtott a medián szerinti kiegyenlítés, ami a hagyományos L2 norma szerinti kiegyenlítés mellett a drvahiba-szűrés hatékony eszköze is lehet (a medián szerinti kiegyenlítést sikeresen alkalmaztk példál Eötvös-inga mérések drvahibás leolvasás-értékeinek megkeresésére). Gyakorlati megfontolásból igyekeztünk a módszer számításigényét az algoritms paramétereinek megfelelő megválasztásával minimalizálni. A kapott paraméterkészlet mellett a hatpontos hálózat kiegyenlítéséhez a célfüggvényt kb alkalommal kellett kiértékelni. Érdekességképpen megemlítjük, hogy ha a feladatot egy egzakt (nem sztochasztiks) módszerrel, a Gass-Jakobi kombinatoriks algoritmssal (Awange 2002) szerettük volna megoldani, akkor az kb darab 18 egyenletes nemlineáris egyenletrendszer megoldására vezetett volna. Köszönetnyilvánítás. Köszönettel tartozom Babcsány Jánosnak és Dr. Rózsa Szabolcsnak (BME Általános és Felsőgeodézia Tanszék) a sóskúti geodéziai mikrohálózat évi mérési eredményeinek rendelkezésemre bocsátásáért. Hivatkozások Bäck T, Hoffmeister F (1991): Global Optimization by Means of Evoltionary Algorithms. Random Search as a Method for Adaption and Optimization of Complex Systems. Krasnojarsk Space Technology University, Storn R, Price K (1997): Differential Evoltion A Simple and Efficient Heristic for Global Optimization over Continos Spaces. Jornal of Global Optimization 11, Saleh H A, Dare P (2001): Effective Heristics for the GPS Srvey Network of Malta: Simlated Annealing and Tab Search Techniqes. Jornal of Heristics 7, Berné J L, Baselga S (2004): First-order design of geodetic networks sing the simlated annealing method. Jornal of Geodesy 78, Detrekői Á (1991): Kiegyenlítő számítások. Tankönyvkiadó, Bdapest. Robič T, Filipič B (2005): DEMO: Differential Evoltion for mltiobjective optimization. Proceedings of the 3 rd International Conference on Evoltionary Mlticriterion Optimization (EMO 2005), Dede K, Szűcs L (2000): Geodéziai mérések a sóskúti hálózatban. Geomatikai Közlemények III., Awange J L (2002): Gröbner bases, mltipolynomial resltants and the Gass-Jacobi combinatorial algorithms adjstment of nonlinear GPS/LPS observations. Doktori disszertáció, Stttgarti Egyetem, Geodéziai Intézet