Erről ezt olvashatjuk [ ] - ben: Az éjszakai rovarok repüléséről Az a kijelentés, miszerint a repülés pályája logaritmikus spirális, a következőképpen igazolható [ 2 ].. ábra Az állandó v nagyságú sebességgel haladó P pont mozgásegyenletei polárkoordinátákban. ábra: dr v cos, dt ( ) d r v sin. dt ( 2 ) Képezzük ( ) és ( 2 ) hányadosát!
2 dr dt v cos ctg, d r v sin dt innen, szétválasztva a változókat: dr d ; ( 3 ) r tg integrálva, figyelemmel a r r ( 4 ) kezdeti feltételre is, ( 3 ) és ( 4 ) - gyel: r ln, ( 5 ) r tg amiből tg r( ) r e. ( 6 ) Ez a keresett logaritmikus spirális egyenlete. ~ Abban az esetben, ha < α < 9, a pálya az origóba tart; ugyanis végtelen sok körülfordulás után: tg tg lim r( ) lim r e r lim e r e r, lim r( ) ; ( 7 ) ez valóban az origót jeleníti meg célként. ~ Abban az esetben, ha α = 9, akkor a P pont köröz az origó körül; ugyanis ekkor: tg9 r, 9 r e r e r e r r, r, 9 r, ami körpályát jelent, a körülfordulás szögétől függetlenül. ~ Az α = esetet később vizsgáljuk. Most térjünk vissza ( ) - hez! ( 8 )
Integrálva: r(t) r v cos t, ( 9 ) ahol már figyelembe vettük a r t r ( ) kezdeti feltételt is. ( 9 ) szerint a sugár hossza az eltelt idővel arányosan csökken. Ezután térjünk vissza ( 2 ) - höz! Innen ( 9 ) - cel is a vezérsugár szögsebessége: d v sin v sin (t), ( * ) dt r(t) r v cos t d v sin. dt r v cos t Átalakítjuk ( ) jobb oldalát: v sin v sin r k, r v cos t v cos t k 2 t r ahol átmenetileg bevezettük a v k sin, r v k 2 cos r jelöléseket. Most ( ), ( 2 ), ( 3 ) - mal: d k ; dt k2 t idő szerint integrálva: t,f,a t k (t) dt. k t 2 t 3 ( ) ( 2 ) ( 3 ) ( 4 ) ( 5 ) Az integrálást helyettesítéssel végezzük: u k t, du k dt, u, u k t. ( 6 ) 2 2 a f 2 Most ( 5 ) és ( 6 ) - tal:
4 uf k k uf k uf k k2 t du ln u u ln ln, a u k k k u k u a 2 2 2 a 2 azaz: k v (t) ln k2 t tg ln cos t, k 2 r v r (t) tg ln cos t. ( 7 ) Az utóbbi eredményre ellenőrzést végezhetünk; ( 5 ) - ből: r tg ln ; ( 8 ) r most ( 9 ) - ből: r v cos t, ( 9 ) r r majd ( 8 ) és ( 9 ) - cel visszakapjuk ( 7 ) - et. A spirálison haladás addig tart, amíg a P pont el nem éri az origót. A ( 9 ) szerinti r(t) r v cos T egyenletből kapjuk, hogy r T. v cos ( 2 ) Azt kaptuk, hogy az origó körüli végtelen sok körülfutás véges idő alatt megy végbe. Az állandó nagyságú sebességgel megtett út, azaz a spirális ívhossza: r L v T. ( 2 ) cos Ezek után ábrázoljuk a kapott függvényeket, a Graph rajzoló szoftver alkalmazásával! Ehhez némi kozmetika: ( 2 ) és ( 6 ) - tal: tg r e tg tg sin e e, d v sin v sin v dt r r
5 tg ( ) e, v sin. r ( 22 ) Látjuk, hogy a vezérsugár szögsebessége exponenciálisan növekszik. Továbbá ( 2 ) és ( 9 ) - cel: v sin d v sin v sin r, dt r r v cos t v cos t v cos t r r t t r tg (t). v cos ( 23 ) Az aláhúzott képletek összegyűjtve: tg r( ) r e ; r(t) r v cos t; v r (t) tg ln cos t ; tg ( ) e, v ; sin r (t). t tg Ezeket a függvényeket ábrázoljuk alább. Adatok: r = m; v = m / s; α = 45 ; ω =,77 / s.
6 y.6.5 A repülő P pont pályája.4.3.2. x -...2.3.4.5.6.7.8.9. -. -.2 r(t)=*exp(-t) -.3 2. ábra ~ α = esetén a mozgás egyenletei így alakulnak: ( 9 ) szerint: r(t) r v t ; ( 24 ) ( 7 ) szerint: v r (t) ln t. ( 25 ) ( 25 ) szerint a vezérsugár nem forog, ( 24 ) szerint pedig a hossza az időben lineárisan csökken. Ezt ( 6 ) - ból nem tudtuk egyszerűen kiolvasni. Ezért is érdemes a feladat egyenleteit több formában is felírni. ~ Abban az esetben, ha 9 < α < 8, akkor a tangens negatív, a hatványkitevő pozitív lesz, vagyis a vezérsugár hossza a körülfordulásokkal együtt növekszik. ~ α = 8 esetén a P pont vízszintes egyenes mentén távolodik az origótól, az idővel arányosan egyre messzebb jutva.
7 r ( m ).8.6 r = r ( t ).4.2 f(x)=-.77*x.8.6.4.2 -.4 -.2.2.4.6.8.2.4.6.8 2 2.2 2.4 t ( s ) -.2 Megjegyzések: 3. ábra M. ( 7 ) - ben az ln - függvény argumentumát azért nem tettük az abszolút - érték jele alá, mert az argumentum nem válik negatívvá, legfeljebb nullává; ez kiderül ( 7 ) és ( 2 ) együttes alkalmazásából. M2. Az. ábra függvénye egy negatív kitevős exponenciális függvény. A Graph program nem egészen ezt jeleníti meg, hanem a P pont ;r( ) polárkoordinátáiból az x( ) r( ) cos, y( ) r( ) sin képletekkel számítható derékszögű koordinátáknak megfelelő P( x, y ) pontot. ( 26 ) M3. A kapott függvények grafikonjainak megjelenítése nem teljesen öncélú játék: segíti a fizikai jelenség kvalitatív elképzelését is.
8 fi ( rad ) 2.5 φ = φ ( t ) 2.5 f(x)=-ln(-.77*x).5 t ( s ) - -.5.5.5 2 2.5 3 4. ábra
9 9 8 omega ( / s ) ω = ω (φ) 7 6 5 4 f(x)=.77*exp(x) 3 2-2 - 2 3 4 5 6 7 8 9 fi ( rad ) - 5. ábra
9 omega ( / s ) 8 ω = ω ( t ) 7 6 5 4 3 f(x)=.77/(-.77*x) 2-4 -3-2 - 2 3 4 5 6 7 8 t ( s ) 6. ábra Irodalom: [ ] http://fenyszennyezes.csillagaszat.hu/files/fenycsapda.pdf [ 2 ] Tasnádi Péter ~ Skrapits Lajos ~ Bérces György: Mechanika I. Dialóg Campus Kiadó, Budapest - Pécs, 24. Sződliget, 2. augusztus 28. Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár