LOGIKA hetkoznapi jelentese: a rendszeresseg, kovetkezetesseg szinonimaja { Ez logikus beszed volt. { Nincs benne logika. { Mas logika szerint gondolkodik. tudomanyszak elnevezese, melynek feladata a helyes kovetkeztetes { fogalmanak szabatos meghatarozasa, { torvenyeinek feltarasa. Kovetkeztetes gondolati eljaras adott ismeretek =) uj ismeret # nyelvi # megnyilvanulas kijelent}o mondatok kijelent}o mondat premisszak konkluzio

Helyes a kovetkeztetes (koznapi ertelemben!), ha a premisszak igaz volta eseten a konkluzio is igaz. Pelda. (premissza:) Imrenek tud}ogyulladasa van. (konkluzio:) Imrenek antibiotikumot kell szednie. A logika nem tartalmaz egyetlen mas szaktudomanyt sem, gy nem ismerheti ezek eredmenyeit!! potpremissza: Ha valakinek tud}ogyulladasa van, antibiotikumot kell szednie. Pelda. (1. premissza:) Erika Sandornak a felesege. (2. premissza:) Katalin Sandornak az edesanyja. (konkluzio:) Katalin Erikanak az anyosa. A logika nem vizsgalja a (magyar) nyelv szavainak jelenteset!! potpremissza: Ha x y-nak a felesege, es z y-nak az edesanyja, akkor z x-nek az anyosa.

Egy kovetkeztetes logikai vizsgalata soran mit hasznalunk fel a mondatokbol? logikai szavakat: nem : negacio es ^ konjunkcio vagy _ diszjunkcio ha :::akkor implikacio minden 8 univerzalis kvantor van 9 egzisztencialis kvantor a mondatreszek, szavak jelentese kozombos, helyettuk { termek { atomi formulak + LOGIKAI NYELV Miert van szuksege a logikanak sajat nyelvre? a logika nem tartozhat egyetlen nemzeti nyelvhez sem; a termeszetes nyelvek nyelvtani rendszerei kulonboz}oek es bonyolultak; a logika sajat nyelveben minden (abc, nyelvtani szabalyok, kategoriak) a logika feladatanak ellatasat szolgalhatja.

Logikai nyelv szintaktika! szemantika Alltas: olyan kijelent}o mondat, melyr}ol modunkban all egyertelm}uen eldonteni, hogy igaz vagy hamis. Pelda. alltas nem alltas 5 < 3 x < 3 XV. Lajos parokat viselt. A most uralkodo francia kiraly parokat visel. Peter hazudik. Most epp hazudok. A Fold a Nap korul kering. Nincs elet a Foldon kvul. Klasszikus szemantika: (Arisztotelesz) az ellentmondastalansag elve: Egyetlen alltas sem lehet igaz is es hamis is. a kizart harmadik elve: Nincs olyan alltas, amely sem nem igaz, sem nem hamis. modern logika - szimbolikus logika - mat. logika

Logikai szavak A negacio: Alfred diak. Alfred nem diak. DE: A javaslatot az ellenzek buktatta meg. A javaslatot nem az ellenzek buktatta meg. Nem igaz, hogy a javaslatot az ellenzek buktatta meg. A konjunkcio: Amalia es Bella kerteszek. "Lement a nap. De csillagok nem jottenek." (Pet}o) Juli is, Mari is tancol. Kevesre vitte, noha becsuletesen dolgozott. DE: Amalia es Bella testverek. A diszjunkcio: Esik az es}o, vagy fuj a szel. Vagy busszal jott, vagy taxival.

Az implikacio: Ha megtanulom a lecket, akkor otosre felelek. Csak akkor felelek otosre, ha megtanulom a lecket. Gyakran az egyszer}u alltasok szerkezetet is fel kell tarnunk. Dezs}o postas. Amalia es Bella testverek. Az Erzsebet hd osszekoti Budat Pesttel. predikatum + objektumnevek Az univerzalis kvantor: Amalia mindegyik testvere lany. Az egzisztencialis kvantor: Amalianak van testvere.

Az els}orend}u logikai nyelv Allando szimbolumok logikai jelek: : ^ _ 8 9 elvalaszto jelek: ( ) ; Denialando szimbolumok (negy halmazba sorolva) =< Srt; Cnst; F n; P r > Srt, elemei a tpusok. Minden 2 Srt tpushoz tartoznak valtozok: x 1;x 2;::: Cnst konstansok halmaza. Minden c 2 Cnst valamely 2 Srt tpushoz tartozik. Fn fuggvenyszimbolumok halmaza. Minden f 2 Fn fuggvenyszimbolumot a ( 1 ; 2 ;:::; k!) un. alakja jellemez. (k 1) Pr 6= ; predikatumszimbolumok halmaza. Minden P 2 Pr predikatumszimbolumhoz egy ( 1 ; 2 ;:::; k ) alakot rendelunk. (k 0)

Peldak logikai nyelvekre 1. A Geom nyelv Srt = fpt (ponttpus);et (egyenestpus);st (sktpus)g pt tpusu valtozok: A; B; C;::: et tpusu valtozok: e;f;g;::: st tpusu valtozok: a, b, c,::: Cnst = ; Fn = ; Pr = fp (pt;pt) ;Q (pt;et) ;R (pt;st) g Megjegyzes: a geometriaban a P; Q; R szimbolumok helyett rendre az =; 2; 2 jeleket szokas inkabb hasznalni. 2. Az Ar nyelv Srt = fszt (szamtpus)g szt tpusu valtozok: x; y; z; : : : Cnst = fnullag Fn = ff (szt!szt) ;g (szt;szt!szt) ;h (szt;szt!szt) g Pr = fp (szt;szt) g Megjegyzes: az aritmetikaban a g es h szimbolumok helyett a + es jeleket, P helyett pedig az = jelet szokas hasznalni. 3. nulladrend}u nyelvek =< ;; ;; ;;Pr >, ahol minden P 2 Pr alakja (), azaz P propozcionalis bet}u.

tpusu termek c, ha c 2 Cnst; x, ha x valtozo; logikai kifejezesek f(t 1 ;t 2 ;:::;t k ), ha f ( 1; 2 ;:::; k!) 2 Fn es t 1 1 ;t 2 2 ;:::;t k k termek; minden term { vagy a nyelv konstansa, vagy valtozoja, { vagy az indukcios lepes veges sokszori alkalmazasaval bel}oluk nyerhet}o. formulak P (t 1 ;t 2 ;:::;t k ) atomi formula, ha P ( 1; 2 ;:::; ) k 2 Pr es t 1 1 ;t 2 2 ;:::;t k k termek; (A ^ B); (A _ B); (A B) es :A; ha A es B formulak; 8xA es 9xA; ha A formula es x tetsz}oleges valtozo; minden formula { vagy atomi formula, { vagy az indukcios lepesek veges sokszori alkalmazasaval atomi formulakbol megkaphato.

Peldak logikai kifejezesekre 1. A Geom nyelv kifejezesei: termek: A; f; b atomi formulak: a geometriaban szokasosan P (A; B) (A = B) Q(B;e) (B 2e) R(A;a) (A2 a) formula: 9A(Q(A;e)^Q(A;f)) 9A((A 2 e)^(a 2 f)) 2. Az Ar nyelv kifejezesei: termek: az arimetikaban szokasosan nulla; x; f(nulla) g(x; f(nulla)) (x + f(nulla)) h(f(f(x));x) (f(f(x)) x) atomi formula: P (g(x; f(nulla)); nulla) formula: ((x+f(nulla)) = nulla) 9uP (g(x; u);y) 9u((x + u) = y)

kozvetlen reszterm valtozonak es konstansnak nincs kozvetlen resztermje; az f(t 1 ;t 2 ;:::;t k ) term kozvetlen resztermjei a t 1 ;t 2 ;:::;t k termek. Jeloles: 4 Q ^ _ 8 9 kozvetlen reszformula atomi formulanak nincs kozvetlen reszformulaja; a :A kozvetlen reszformulaja az A formula; az (A4B) formula kozvetlen reszformulai az A es a B formulak; a QxA formula kozvetlen reszformulaja az A formula. reszkifejezes maga a kifejezes; a kozvetlen reszkifejezesek; reszkifejezesek reszkifejezesei.

funkcionalis osszetettseg (jele: ~ l(t)) ha t = c 2 Cnst; vagy t = x, akkor ~ l(t) *) 0; ~ l(f(t 1 ;t 2 ;:::;t k )) *) P k i=1 ~ l(t i ) + 1: logikai osszetettseg (jele: l(a)) ha A atom, l(a) *) 0; l(:a) *) l(a) + 1; l(a4b) *) l(a) + l(b) + 1; l(qxa) *) l(a) + 1: A formulak lerasakor szokasos rovidtesek: formula-kombinaciok helyett specialis jelolesek; Pelda. (A B) *) ((A B) ^ (B A)) kuls}o zarojelek elhagyasa; logikai jelek prioritasa csokken}o sorrendben: 8 9 : _^ azonos prioritas eseten a jobbra allo az er}osebb; jobbrol allo pont jeloli a zarojelen beluli leggyengebb logikai jelet.

Qx A " " kvantoros el}otag a kvantor hataskore Egy valtozo valamely el}ofordulasa a formulaban kotott: Egy atomi formula egyetlen valtozoja sem kotott. A :A-ban x egy adott el}ofordulasa kotott, ha A-ban x-nek ez az el}ofordulasa kotott. Az A4B-ben x egy adott el}ofordulasa kotott, ha ez az el}ofordulas vagy A-ban van, es ott kotott, vagy B-ben van, es ott kotott. A QxA-ban x minden el}ofordulasa kotott, es az x-t}ol kulonboz}o y egy adott el}ofordulasa kotott, ha ez az el}ofordulas A-ban kotott. Egy valtozo valamely el}ofordulasa a formulaban szabad, ha nem kotott. Ha egy valtozonak egy formulaban van szabad el}ofordulasa, akkor ez a valtozo a formula parametere. Jelolesek: Fv(A): az A formula parametereinek a halmaza. A(x 1 ;x 2 ;:::;x n ): formula, melyben legfeljebb az x 1 ;x 2 ;:::;x n valtozok lehetnek parameterek.

A kotott valtozok atnevezese A QxA-ban x-nek a Q kvantor altal kotott minden el}ofordulasat az x-szel azonos tpusu y valtozora cserelve kapunk egy QyA x y formulat. Milyen formulat eredmenyez ez az atalaktas? Az Ar nyelven a termeszetes szamok halmazaban a 9x(u + x = v); 9y(u + y = v); 9z(u + z = v) formulak mindegyike a (u v) relaciot fejezi ki. Vigyazat!! A 9u(u + u = v) formula viszont v parossagat alltja. A jelentesvaltozas oka a valtozoutkozes. Pelda: 8x(P (x; z) 9yR(x; y)) Az x y-ra atnevezesevel a formulat kapjuk!! 8y(P (y; z) 9yR(y; y))

A kotott valtozok szabalyosan vegrehajtott atnevezese Ha a QxA formulaban az y nem parameter, es az x valtozo egyetlen Q altal kotott el}ofordulasa sem tartozik egyetlen y-t kot}o kvantor hataskorebe sem, akkor a QxA-bol a QyA x y formulat az x kotott valtozo szabalyosan vegrehajtott atnevezesevel kaptuk. Az A es A 0 kongruens formulak, ha egymastol csak kotott valtozok szabalyosan vegrehajtott atnevezeseben kulonboznek. Jelolese: A A 0 A kongruencia egy nyelv formulai halmazaban reexv, szimmetrikus es tranzitv relacio. Osztalyozast general: az egy kongruenciaosztalyba tartozo formulak kozott a logikaban nem teszunk kulonbseget.

Hogyan donthetjuk el, hogy ket formula kongruense? a formula osszetettsege szerinti indukcioval: { Egy atomi formula egyetlen mas formulaval sem kongruens, csak onmagaval. { :A :A 0, ha A A 0. { A 4 B A 0 4 B 0, ha A A 0 es B B 0. { QxA QyA 0, ha minden z-re, mely kulonbozik QxA es QyA 0 (kotott es szabad) valtozoitol, A x z A 0 y z. a formula vazaval { rajzoljuk be a formulaban a kotesi viszonyokat; { hagyjuk el az osszekotott valtozokat. Ket formula pontosan akkor lesz egymassal kongruens, ha megegyez}o a vazuk.

Egy formula valtozo-tiszta, ha benne a kotott valtozok nevei kulonboznek a szabad valtozok neveit}ol; barmely ket kvantor kulonboz}o nev}u valtozokat kot meg. Lemma. Legyen A egy formula es S valtozoknak egy veges halmaza. Ekkor konstrualhato olyan valtozo-tiszta A 0 formula, hogy A A 0, es A 0 egyetlen kotott valtozojanak neve sem eleme S-nek.

A szabad valtozok helyettestese termekkel Az Ar nyelvben a termeszetes szamok halmazaban szeretnenk kifejezni az (x z z) relaciot. Ha az (x y)-t kifejez}o 9u(x + u = y) formulaban y helyere zz-t helyettestunk, a kvant formula megkaphato. Vigyazat! 9u(x + u = z z) Ha az (x z u) relaciot akarjuk kifejezni hasonlo modon eljarva, nem a kvant formulat, hanem az 9u(x + u = z u) kapjuk. A problema oka a valtozoutkozes. Megoldas: Nevezzuk at a kotott valtozot peldaul w-re, es csak utana hajtsuk vegre a termhelyettestest: 9w(x + w = z u)

A formalis helyettestes Egy x valtozonak es egy vele megegyez}o tpusu t termnek a parosat bindingnek nevezzuk. Jelolese: x=t. A formalis helyettestes bindingek egy = fx 1 =t 1 ;x 2 =t 2 ;:::;x k =t k g halmaza, ahol x i 6= x j ; ha i 6= j (i; j = 1; 2;:::;k; k 0): A helyettestest megadhatjuk meg tablazattal: = 0 B x 1 x 2 ::: x k @ t 2 ::: t k t 1 1 C A; amit egy sorba is rhatunk: = (x 1 ;x 2 ;:::;x k jjt 1 ;t 2 ;:::;t k ): A helyettestes ertelmezesi tartomanya: dom = fx 1 ;x 2 ;:::;x k g ertekkeszlete: rng = ft 1 ;t 2 ;:::;t k g

Egy kifejezesbe valo formalis helyettestes eredmenye Legyen K logikai kifejezes, = fx 1 =t 1 ;x 2 =t 2 ;:::;x k =t k g formalis helyettestes. Az x i valtozok osszes K-beli szabad el}ofordulasat helyettestsuk egyidej}uleg K- ban a t i termekkel. Az gy kapott kifejezes a K- ba valo formalis helyettestesenek eredmenye. Jelolese: K; vagy K x 1;:::;x k t 1 ;:::;t k Egy kifejezesbe valo formalis helyettestes eredmenyenek meghatarozasa: x = 8 >< >: x ha x 62 dom (x) ha x 2 dom f(t 1 ;t 2 ;:::;t k ) = f(t 1 ;t 2 ;:::;t k ) P (t 1 ;t 2 ;:::;t k ) = P (t 1 ;t 2 ;:::;t k ) (:A) = :(A) (A4B) = A4B (QxA) = Qx(A(, x)), ahol, x azt a helyettestest jeloli, melyre dom (, x) = (dom ) n fxg; es (, x)(z) = (z) minden z 2 dom (, x)-re.

Egy kifejezes szamara megengedett helyettestes megengedett a K kifejezes szamara, ha egyetlen x i 2 dom -nak egyetlen K-beli szabad el}ofordulasa sem esik a (x i ) term valamely valtozoja szerinti kvantor hataskorebe. Pelda. A 9u(x + u = y) formula szamara fy=z zg megengedett, de fy=z ug nem. Annak meghatarozasa, hogy egy helyettestes megengedett-e egy kifejezes szamara: Termek es atomi formulak szamara minden megengedett. :A szamara megengedett, ha megengedett A szamara. A4B szamara megengedett, ha megengedett mind A, mind B szamara. QxA szamara megengedett, ha {, x megengedett A szamara, es { egyetlen z 2 Fv(QxA) \ dom eseten sem szerepel x a (z) termben.

A szabalyos helyettestes Legyen K egy kifejezes, es egy helyettestes. Keressunk K-val kongruens olyan K 0 kifejezest, mely szamara a helyettestes megengedett. Ekkor a K 0 kifejezes a szabalyos helyettestesenek eredmenye K-ba. Jelolese: [K]. A szabalyos helyettestes eredmenyenek meghatarozasa: Ha K term vagy atomi formula, akkor [K] = K. [(:A)] = :[A] [(A4B)] = [A]4[B] { Ha egyetlen z 2 Fv(QxA) \ dom eseten sem szerepel x a (z) termben, akkor [(QxA)] = Qx[A(, x)]. { Ha van olyan z 2 Fv(QxA) \ dom, hogy x parameter (z)-ben, akkor valasszunk egy uj valtozot, peldaul u-t, mely nem szerepel sem QxA-ban, sem -ban, es [(QxA)] = Qu[(A x u )(, x)].

A logikai nyelv klasszikus szemantikaja Az =< Srt; Cnst; F n; P r > els}orend}u logikai nyelv I interpretacioja (modellje, algebrai strukturaja) egy olyan I =< Srt; d d Cnst; Fn; d Pr d > fuggvenynegyes, melyben dom Srt d = Srt; es Srt d : 7! D, ahol a D objektumtartomany a tpusu objektumok nemures halmaza; dom Cnst d d = Cnst; es a Cnst : c 7! ~c fuggveny olyan, hogy ha a c tpusu konstans, akkor ~c 2 D ; dom Fn d = Fn; es az Fn d : f 7! f ~ fuggveny minden f ( 1; 2 ;:::; k!) fuggvenyszimbolumhoz olyan ~f fuggvenyt rendel, melyben dom f ~ = D 1 D 2 :::D k, es rng f ~ = D, azaz ~f : D 1 D 2 :::D k!d ; dom d Pr = Pr; es a d Pr : P 7! ~ P fuggveny olyan, hogy a P ( 1; 2 ;:::; k ) (k 1) predikatumszimbolum eseten, ~P : D 1 D 2 :::D k!f0;1g, ha pedig P propozcionalis bet}u, akkor ~ P vagy 0, vagy 1.

Legyen az nyelv I interpretaciojaban D *) [ 2Srt d D n f~cj Cnst(c) = ~c; c 2 Cnstg: B}ovtsuk ki a nyelvet az objektumtartomanyok objektumait jelol}o uj konstansokkal: ahol (D) =< Srt; Cnst(D); F n; P r >; Cnst(D) *) Cnst[faja az a 2 D-hoz rendelt uj szimbolumg: Az (D) nyelv zart logika kifejezeseit I-beli ertekelhet}o kifejezeseinek nevezzuk. Az (D) nyelv formalis helyettesteset I-beli ertekel}o helyettestesenek nevezzuk, ha Fv(rng ) = ;: Egy ertekel}o helyettestes minden K kifejezes szamara megengedett. Ha a ertekel}o helyettestes es a K kifejezes olyanok, hogy F v(k) dom ; akkor K ertekelhet}o kifejezese -nak, es -at K I-beli ertekelesenek nevezzuk.

Pelda. 1. Az Ar nyelv termeszetes interpretacioja d Srt(szt) = N d Cnst(nulla) = 0 d Fn(f) = ~ f; ahol ~ f : N! N ; es ~f(n) = n + 1; ( ha n 2 N ) d Fn(g) = ~g; ahol ~g : N N! N ; es ~g(n; m) = n + m; ( ha n; m 2 N ) d Fn(h) = ~ h; ahol ~ h : N N! N ; es ~h(n; m) = n m; ( ha n; m 2 N ) d Pr(P) = P; ~ ahol P ~ : N N! f0; 1g; es (ha n; m 2 N ); ~P (n; m) = 8 >< >: 1 ha n = m 0 egyebkent 2. A Subset nyelv Srt = frh (egy alaphalmaz reszhalmazai) g rh tpusu valtozok: x; y; z ::: Cnst = ; Fn = ; Pr = fp (rh;rh) g A Subset nyelv egy interpretacioja d Srt(rh) = f a fpiros, kek, zoldg alaphalmaz reszhalmazai g d Pr(P) = ~ P;ahol, ha S; Z az alaphalmaz ket reszhalmaza ~P (S; Z) = 8 >< >: 1 ha S Z 0 egyebkent

Legyen I egy interpretacioja. Az tpusu, ertekelhet}o termenek erteke I- ben egy D -beli objektum. Jelolese: jtj I { Ha d Cnst(c) = ~c, akkor jcj I *) ~c. { Ha a 2 Cnst(D) az a 2 D objektumhoz rendelt uj a szimbolum, akkor jaj I *) a. { Ha f(t 1 ;t 2 ;:::;t k ) ertekelhet}o term, ahol a t 1 ;t 2 ;:::;t k termek ertekei I-ben rendre jt 1 j I ; jt 2 j I ;:::;jt k j I, es ~ f = d Fn(f), akkor jf(t 1 ;t 2 ;:::;t k )j I *) ~ f(jt 1 j I ;jt 2 j I ;:::;jt k j I ). Az ertekelhet}o formulajanak erteke I-ben vagy 0, vagy 1. Jelolese: jjcjj I { Ha P (t 1 ;t 2 ;:::;t k )ertekelhet}o atomi formula, ahol a t 1 ;t 2 ;:::;t k termek ertekei I-ben rendre jt 1 j I ; jt 2 j I ;:::;jt k j I, es ~ P = d Pr(P), akkor jjp (t 1 ;t 2 ;:::;t k )jj I *) ~ P (jt 1 j I ; jt 2 j I ;:::;jt k j I ).

{ Ha :A ertekelhet}o formula, ahol az A formula erteke jjajj I, akkor jj:ajj I *) 1, jjajj I : { Ha A4B ertekelhet}o formula, ahol az A es B formulak ertekei rendre jjajj I ; jjbjj I, akkor jja ^ Bjj I jja _ Bjj I jja Bjj I *) minfjjajj I ; jjbjj I g *) maxfjjajj I ; jjbjj I g *) maxf1, jjajj I ; jjbjj I g { Ha 8xA ertekelhet}o formula, ahol x tpusu valtozo, akkor 8 >< 1; ha minden a 2 D jj8xajj I *) eseten jja x ajj I = 1; >: 0 egyebkent. { Ha 9xA ertekelhet}o formula, ahol x tpusu valtozo, akkor 8 >< 1; ha van olyan a 2 D jj9xajj I *) hogy jja x ajj I = 1; >: 0 egyebkent. Legyen I egy interpretacioja es A ertekelhet}o formula. Az A formula igaz I-ben (jelolese: I j= A), amikor jjajj I = 1, egyebkent hamis I-ben.

Pelda. 1. Az Ar nyelv termeszetes interpretaciojaban jnullaj = 0 jf(nulla)j = ~ f(jnullaj) = 1 j(f(1) + 3)j = ~g (jf(1)j; j3j) = ~g ~ f(j1j); 3! = = ~g ~ f(1); 3! = ~g(2; 3) = 5 jj ((f(nulla) 3) = (f (f(nulla)) + 1)) jj = ~P (jf(nulla) 3j; jf (f(nulla)) + 1j) = ~P ~ h (jf(nulla)j; j3j) ; ~g (jf (f(nulla)) j; j1j)! = ~P ~ h(1; 3); ~g ~ f(jf(nulla)j); 1!! = ~ P 3; ~g( ~ f(1); 1)! = ~P (3; ~g(2; 1)) = ~ P (3; 3) = 1 jj9u ((3 + u) = 4) jj = 1; mert az 1 2 N olyan, hogy jj ((3 + u) = 4) u 1 jj = jj (3 + 1 = 4) jj = ~ P (j3 + 1j; j4j) = ~P (~g(j3j;j1j) ; 4) = ~ P (~g(3; 1); 4) = ~ P (4; 4) = 1

2. A Subset nyelv el}obbi interpretaciojaban jjp (fpiros,zoldg; fpiros,kekg)jj = ~P (jfpiros,zoldgj; jfpiros,kekgj) = ~P (fpiros,zoldg; fpiros,kekg) = 0 jj8yp(y; fpiros,kek,zoldg)jj = 1; mert minden S reszhalmazra jjp (S; fpiros,kek,zoldg)jj = ~ P (jsj; jfpiros,kek,zoldgj) = ~P (S; fpiros,kek,zoldg) = 1 jj8yp(y; fpiros,kekg)jj = 0; mert peldaul az fzoldg reszhalmazra jjp (fzoldg; fpiros,kekg)jj = ~ P (jfzoldgj; jfpiros,kekgj) = ~P (fzoldg; fpiros,kekg) = 0 3. A Subset nyelv egy olyan interpretaciojaban, ahol d Srt(rh) = ffpiros, kek, zold, sargag reszhalmazai g jj8yp(y; fpiros,kek,zoldg)jj = 0; mert peldaul a fsargag reszhalmazra jjp (fsargag; fpiros,kek,zoldg)jj = ~P (jfsargagj; jfpiros,kek,zoldgj) = ~P (fsargag; fpiros,kek,zoldg) = 0

Lemma. Legyen I az nyelv egy interpretacioja es r egy olyan term, melyben legfeljebb egy parameter, a tpusu x szerepel. Legyen a t tpusu ertekelhet}o term erteke jtj I. Ekkor jrfx=tgj I = jrfx=jtj I gj I ; azaz egy ertekelhet}o term erteke csak resztermjei ertekeit}ol fugg. Lemma. Legyen I az nyelv egy interpretacioja es A egy olyan formula, melyben legfeljebb egy parameter, a tpusu x szerepel. Legyen a t tpusu ertekelhet}o term erteke jtj I. Ekkor I j= [Afx=tg] akkor es csak akkor, ha I j= Afx=jtj I g:

Logikai torveny, logikai ellentmondas Az nyelv egy A formulaja logikai torveny, ha barmely I interpretaciojaban es A barmely I-beli ertekelese eseten I j= A. Jelolese: j= A. Az nyelv egy A formulaja logikai ellentmondas, ha barmely I interpretaciojaban es A barmely I- beli ertekelese eseten A hamis. Jelolese: =j A. Lemma. =j A akkor es csak akkor, ha j= :A. Az nyelv egy A formulaja kielegthet}o, ha van -nak olyan I interpretacioja es ertekelese, amelyre I j= A. Lemma. Az A formula pontosan akkor kielegthet}o, ha nem igaz, hogy j= :A. Az A es B formulak logikailag ekvivalensek, ha j= A B: Jelolese: A B.

A Boole-kombinacio Legyenek A 1 ;A 2 ;:::;A n ; n 1 az nyelv formulai. A 1 ;A 2 ;:::;A n Boole-kombinacioja A i barmelyik 1 i n-re; :B, ha B A 1 ;A 2 ;:::;A n Boole-kombinacioja; Boole- B4C, ha ha B es C is A 1 ;A 2 ;:::;A n kombinacioi. Pelda. 8xP (x) _ 9yQ(x; y) a 8xP (x) es a 9yQ(x; y) Boole-kombinacioja. A Quine-tablazat Legyen B az A 1 ;A 2 ;:::;A n Boole-kombinacioja. Kesztsuk el a kovetkez}o, 2 n kulonboz}o sort tartalmazo tablazatot: A 1 A 2 :::::: A n,2 A n,1 A n B 0 0 :::::: 0 0 0 0 0 :::::: 0 0 1 0 0 :::::: 0 1 0 0 0 :::::: 0 1 1.. ::::::... 1 1 :::::: 1 1 1

Megjegyzes: A sorok az A 1 ;A 2 ;:::;A n formulak osszes kulonboz}o lehetseges ertekeit tartalmazzak, fuggetlenul attol, hogy van-e olyan interpretacio es kozos ertekeles, melyre ilyen ertekek adodnanak. Olyan interpretacio es kozos ertekeles viszont nincs, ahol a formulak ertekei rendre ne lennenek megtalalhatok valamely sorban. Toltsuk ki a B alatti f}ooszlopot: minden sorban szamoljuk ki B erteket a kombinalotenyez}ok sorbeli ertekeinek fuggvenyeben. A Boole-kombinacio propozcionalis tautologia, ha a Quine-tablaja f}ooszlopaban csupa 1 ertek van. Lemma. Ha egy Boole-kombinacio propozcionalis tautologia, akkor logikai torveny. Lemma. Ha a Boole-kombinalo tenyez}ok propozcionalis bet}uk, es a Boole-kombinacio logikai torveny, akkor propozcionalis tautologia.

Pelda. 1. Vizsgaljuk az (A B) :(A ^ :B) formulat, mint az A es B formulak Boole-kombinaciojat. (A B) : (A ^ : B) 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 (A B) : (A ^ : B) 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 A Boole-kombinacio propozcionalis tautologia, tehat a formula logikai torveny. 2. Dontsuk el, hogy A^:A logikai ellentmondas-e? : (A ^ : A) 0 0 1 1 : (A ^ : A) 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 :(A^:A) propozcionalis tautologia, azaz logikai torveny, tehat A ^ :A logikai ellentmondas.

3. Vizsgaljuk a 9x(A(x)^B(x)) 9xA(x)^9xB(x) formulat, mint a 9x(A(x) ^ B(x)); 9xA(x) es a 9xB(x) formulak Boole-kombinaciojat. 9x(A(x) ^ B(x)) 9xA(x) ^ 9xB(x) 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 9x(A(x) ^ B(x)) 9xA(x) ^ 9xB(x) 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 A Boole-kombinacio nem propozcionalis tautologia, pedig logikai torveny.

4. Lassuk be, hogy j= 9x(A(x) ^ B(x)) 9xA(x) ^ 9xB(x): Bizonytas: Tekintsunk egy tetsz}oleges I interpretaciot es ertekelest. Vizsgalnunk kell a jj (9x(A(x) ^ B(x)) 9xA(x) ^ 9xB(x)) jj I = jj (9x(A(x) ^ B(x))) (9xA(x))^(9xB(x))jj I = jj (9x(A(x)(, x) ^ B(x)(, x)) 9x(A(x)(, x)) ^ 9x(B(x)(, x))jj I = jj9x(a 0 (x) ^ B 0 (x)) 9xA 0 (x) ^ 9xB 0 (x)jj I erteket. Ha jj9x(a 0 (x) ^ B 0 (x))jj I = 0; akkor az implikacio erteke 1; Ha jj9x(a 0 (x) ^ B 0 (x))jj I = 1; akkor van olyan a 2 D x ; hogy jj (A 0 (x) ^ B 0 (x)) x a jj I = jja 0 (x) x a ^ B 0 (x) x ajj I = 1: Ekkor viszont jja 0 (x) x ajj I = 1 es jjb 0 (x) x ajj I = 1; azaz jj9xa 0 (x)jj I = 1 es jj9xb 0 (x)jj I = 1; gy jj9xa 0 (x) ^ 9xB 0 (x)jj I = 1: Mivel az implikacio utotagja 1 ertek}u, az implikacio erteke most is 1.

5. Lassuk be, hogy 6j= 9xA(x) ^ 9xB(x) 9x(A(x) ^ B(x)): Bizonytas: Tekintsunk egy olyan I interpretaciot, melyben d Srt( x ) = f;; fpirosgg d Pr(P) = P; ~ ahol, ha S; Z 2 f;; fpirosgg ~P (S; Z) = A(x) *) 8uP (x; u) B(x) *) 8uP (u; x) 8 >< >: 1 ha S Z 0 egyebkent Ebben az interpretacioban jj9xa(x)jj I = 1 es jj9xb(x)jj I = 1; mert peldaul jja(;)jj I = 1 es jjb(fpirosg)jj I = 1: Ugyanakkor jj9x(a(x) ^ B(x))jj I = 0; mert jja(;) ^ B(;)jj I = 0 es jja(fpirosg) ^ B(fpirosg)jj I = 0:

6. A 9xA(x) ^9xB(x) 9x(A(x) ^ B(x)) formula kielegthet}o. Bizonytas: Legyen most az interpretacionk az el}oz}ohoz hasonlo, csak A(x) *) 8u (P (u; x) (8zP(u; z) _ (P (u; x) ^ P (x; u)))) : Ebben az interpretacioban jj9xa(x)jj I = 1; mert jja(fpirosg)jj I = 1, es jj9x(a(x) ^ B(x))jj I = 1; mert jja(fpirosg) ^ B(fpirosg)jj I = 1:

Nehany fontos logikai torveny asszociativitas A ^ (B ^ C) (A ^ B) ^ C A _ (B _ C) (A _ B) _ C kommutativitas A ^ B B ^ A disztributivitas A _ B B _ A A ^ (B _ C) (A ^ B) _ (A ^ C) A _ (B ^ C) (A _ B) ^ (A _ C) idempotencia A ^ A A A _ A A eliminacio A ^ (B _ A) A A _ (B ^ A) A De Morgan torvenyei :(A ^ B) :A _ :B :(A _ B) :A ^ :B

negacio az implikacioban :(A B) A ^ :B A :A :A :A A A j= :(A :A) logikai jelek kozotti osszefuggesek kontrapozcio ketszeres tagadas A ^ B :(:A _ :B) A ^ B :(A :B) A _ B :(:A ^ :B) A _ B :A B A B :(A ^ :B) A B :A _ B A B :B :A ::A A implikacios el}otagok felcserelese A (B C) B (A C) implikacio konjunktv el}otaggal A ^ B C A (B C)

kiszamtasi torvenyek (> *) C _:C;? *) C ^:C) A^> A A^?? A_> > A_? A A > > A? :A > A A? A > az azonossag torvenye b}ovtes el}otaggal j= A A j= A (B A) az implikacio ondisztributivitasa esetelemzes tranzitivitas A (B C) (A B) (A C) A _ B C (A C) ^ (B C) j= (A B) ^ (B C) (A C) reductio ad absurdum j= (A B) ^ (A :B) :A az ellentmondasbol barmi kovetkezik j= A (:A B)

a kizart harmadik torvenye j= A _ :A az ellentmondas torvenye Pierce-torveny ktv kvantorok Ha x 62 Fv(A), akkor j= :(A ^ :A) j= ((A B) A) A 8xA A 9xA A az egyforma kvantorok helycsereje 8x8yA(x; y) 8y8xA(x; y) 9x9yA(x; y) 9y9xA(x; y) kvantor-csere implikacioban j= 8xA(x) 9xA(x) j= 9y8xA(x; y) 8x9yA(x; y) De Morgan kvantoros torvenyei :9xA(x) 8x:A(x) :8xA(x) 9x:A(x)

kvantor-felcsereles 9xA(x) :8x:A(x) 8xA(x) :9x:A(x) kvantorok egyoldali kiemelese Ha x 62 Fv(A), akkor A ^ 8xB(x) 8x(A ^ B(x)) A ^ 9xB(x) 9x(A ^ B(x)) A _ 8xB(x) 8x(A _ B(x)) A _ 9xB(x) 9x(A _ B(x)) A 8xB(x) 8x(A B(x)) A 9xB(x) 9x(A B(x)) 8xB(x) A 9x(B(x) A) 9xB(x) A 8x(B(x) A) kvantorok ketoldali kiemelese 8xA(x) ^ 8xB(x) 8x(A(x) ^ B(x)) 9xA(x) _ 9xB(x) 9x(A(x) _ B(x)) j= 8xA(x) _ 8xB(x) 8x(A(x) _ B(x)) j= 9x(A(x) ^ B(x)) 9xA(x) ^ 9xB(x) kongruens formulak ekvivalenciaja Ha A B; akkor A B:

helyettesteskor fellep}o kvantorok kvantorhataskor-atjeloles Ha y 62 Fv(A), akkor j= 8xA [A x t ] j= [A x t ] 9xA 8xA 8y[A x y ] 9xA 9y[A x y ] kvantor-redukcio Ha x es y azonos tpusu valtozok, akkor j= 8x8yA 8x[A y x ] j= 9x[A y x ] 9x9yA helyettestes ekvivalens formulakba Ha A B; akkor [A x t ] [Bx t ]

A logikai kovetkezmeny Legyenek A 1 ;A 2 ;:::;A n (n 1) es B az nyelv tetsz}oleges formulai. A B formula logikai (szemantikai) kovetkezmenye az A 1 ;A 2 ;:::;A n formulaknak, ha minden olyan I interpretaciojaban es az A 1 ;A 2 ;:::;A n es B formulak tetsz}oleges olyan I-beli ertekelese eseten, amikor akkor I j= A 1 ;I j= A 2 ;:::;I j= A n ; I j= B: Jelolese: A 1 ;A 2 ;:::;A n j= B: Lemma. (a) A 1 ;A 2 ;:::;A n j= B akkor es csak akkor, ha j= A 1 ^ A 2 ^ :::^A n B. (b) A 1 ;A 2 ;:::;A n j= B akkor es csak akkor, ha =j A 1 ^ A 2 ^ :::^A n^:b. Lemma. A B pontosan akkor, ha A j= B es B j= A.

Pelda. Bizonytsuk be, hogy helyesen kovetkeztettunk: P 1 Nehany republikanus kedvel minden demokratat. P 2 Nincs olyan republikanus, aki szeretne a szocialistakat. K Tehat egyik demokrata sem szocialista. Kesztsunk alkalmas logikai nyelvet. Legyenek x; y; z; : : : embereket jelol}o valtozok; R(x) jelentse, hogy x republikanus; D(x) jelentse, hogy x demokrata; S(x) jelentse, hogy x szocialista; K(x; y) jelentse, hogy x kedveli y-t. Ezen e nyelven formalizalva az alltasokat: P 1 9x(R(x) ^ 8y(D(y) K(x; y))) P 2 :9x(R(x) ^ 9z(S(z) ^ K(x; z))) K :9y(D(y) ^ S(y)) Rogztsunk tetsz}olegesen egy olyan I interpretaciot, melyben jjp 1 jj I = 1 es jjp 2 jj I = 1: Ekkor jjp 1 jj I = 1 miatt van olyan a 2 D; hogy jj(r(x) ^ 8y(D(y) K(x; y))) x ajj I = 1; azaz jjr(a)jj I = 1 es minden b 2 D-re jj(d(y) K(a;y)) y bjj I = 1:

jjp 2 jj I = 1 miatt viszont minden b 2 D-re, gy eppen a-ra is jj(r(x) ^ 9z(S(z) ^ K(x; z))) x ajj I = 0; azaz mivel jjr(a)jj I = 1; ezert jj9z(s(z) ^ K(a;z)))jj I = 0: Ez azt jelenti, hogy minden b 2 D-re jj(s(z) ^ K(a;z))) z bjj I = 0: Ez a konjunkcio vagy azert 0, mert b olyan, hogy jjs(b)jj I = 0; de ekkor jj(d(y) ^ S(y)) y bjj I = 0; vagy azert, mert b olyan, hogy jjk(a;b)jj I = 0: Ilyen b-re viszont, mivel jj(d(y) K(a;y)) y bjj I = 1; jjd(b)jj I = 0; tehat ilyenkor is jj(d(y) ^ S(y)) y bjj I = 0: Azaz minden b 2 D-re jj(d(y)^s(y)) y bjj I = 0; tehat jj9y(d(y) ^ S(y))jj I = 0; azaz jj:9y(d(y) ^ S(y))jj I = 1:

A logikai kalkulus Fel lehet epteni a logikat szemantikai fogalmakra hivatkozas nelkul is: szintaktika szemantika logikai nyelv interpretacio formula logikai ertek levezethet}oseg kovetkezmeny A levezethet}oseg fogalmat kalkulus megadasaval denialhatjuk. Egy kalkulus megadasakor felsoroljuk az alapsemait es a levezetesi szabalyait. Ekkor denialhato a, = fa 1 ;A 2 ;:::;A n g (n0) formulahalmazbol valo levezethet}oseg fogalma: ha B alapformula, vagy B 2,; akkor levezethet}o,-bol; jelolese:, ` B ha,-bol levezet}o B 1 ;B 2 ;:::; akkor a levezetesi szabalyok megmondjak, hogy mely tovabbi formulak lesznek meg levezethet}ok. Egy kalkulus helyes, ha, ` B; akkor, j= B: Egy kalkulus teljes, ha, j= B; akkor, ` B: Egy kalkulus adekvat, ha helyes is, teljes is.

Egy logikai rendszer megalkotasakor el}oszor egy szemantikai rendszert denialunk, majd megkserlunk ehhez legalabb helyes, de ha lehet, adekvat logikai kalkulust szerkeszteni. Alapsemak: 1. A (B A) A predikatumkalkulus 2. (A (B C)) ((A B) (A C)) 3. A (B A ^ B) 4. A ^ B A 5. A ^ B B 6. (A C) ((B C) (A _ B C)) 7. A A _ B 8. B A _ B 9. (A B) ((A :B) :A) 10. ::A A 11. 8xA(x) A(x) x t 12. 8x(C A(x)) (C 8xA(x)); x 62 Fv(C) 13. A(x) x t 9xA(x) 14. 8x(A(x) C) (9xA(x) C); x 62 Fv(C)

Levezetesi szabalyok: modus ponens A A B B altalanostasi szabaly A semakban es szabalyokban az A; B; C formulakkal; x valtozoval; t x-szel azonos tpusu termmel A 8xA helyettesthet}o be. Az alapsemakbol gy alapformulakat kapunk. Lemma. A predikatumkalkulus minden alapformulaja logikai torveny. Lemma. A; A B j= B Lemma. Ha, j= A(x) es x 62 Fv(,); akkor, j= 8xA(x):

A levezethet}oseg A predikatumkalkulusban a formula-fa es magassaganak induktv dencioja: minden A formula 1 magassagu formula-fa, melyben A also formula, es nincs nala feljebb lev}o formula; ha D 1 m 1 es D 2 m 2 magassagu olyan formulafak, melyben az also formulak A es A B alakuak, akkor a D 1 D 2 B alakzat is formula-fa, melyben B also formula, melynel D 1 es D 2 minden formulaja feljebb van, es a formula-fa magassaga max fm 1 ;m 2 g+1; ha D m magassagu olyan formula-fa, amelyben az also formula A, akkor a D 8xA alakzat is formula-fa, melyben 8xA also formula, melynel D minden formulaja feljebb van, es a formula-fa magassaga m + 1.

A formulafaban azon formulak, melyeknel nincs feljebb lev}o: alapformulak, hipotezisek, vagy nylt premisszak. Pelda. Q(x) P 8x(Q(x) P ) 8x(Q(x) P ) (9xQ(x) P ) 9xQ(x) P 3 magassagu formulafa also formula: 9xQ(x) P alapformula: 8x(Q(x) P ) (9xQ(x) P ) hipotezis: Q(x) P Levezetes-fa egy formula-fa, melyben ha A-bol az altalanostas szabalyaval akarjuk a 8xA-t nyerni, akkor x nem parameter egyetlen a 8xA-nal feljebb lev}o hipotezisben sem. A, veges formulahalmazbol a B formula levezethet}o, ha keszthet}o olyan levezetes-fa, melyben B also formula, es a hipotesisek mind elemei,-nak. Jelolese:, ` B (szekvencia) Tetel. A predikatumkalkulus adekvat logikai kalkulus.

A termeszetes levezetes Az azonossag torvenye,;a`a Strukturalis szabalyok b}ovtes, ` A,;B `A felcsereles,;b;c;`a,;c;b;`a sz}uktes,;b;b;`a,;b;`a vagas,`a ;A`B,;`B

Logikai szabalyok BEVEZET ES implikacio,;a`b,`ab konjunkcio, ` A, ` B, ` A ^ B diszjunkcio, ` A, ` A _ B ELT AVOL IT AS,`A,`AB,`B,;A;B `C,;A^B `C,;A`C,;B `C,;A_B `C,`B,`A_B negacio,;a`b,;a`:b,`:a ekvivalencia,;a`b,;b `A,`AB,`::A, ` A,`A,`AB,`B,`B,`AB,`A