MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Paraméter A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek megoldásához! 1) Tekintsük a valós számokon értelmezett f x p 3,5 x p x függvényt, ahol p tetszőleges valós paraméter! a) Mutassa meg, hogy tetszőleges p érték mellett az x zérushelye a függvénynek! ( pont) b) Milyen p érték esetén lesz a függvény másik zérushelye 1-nél nagyobb? (14 pont) a) Behelyettesítve x értékét: f p p 3,5 4 4 4p 14 4p 8 0 ( pont) b) p 3,5, mert ekkor az egyenlet nem másodfokú Az egyenlet gyökei: x 1, p p p p 3,5 4 4 3,5 p p 10p 5 p 3,5 p p 5 p 3,5 3 x1 ; x p 3,5 3 A 1 egyenlőtlenséget kell megoldani. p 3,5 p 0,5 Az egyenlőtlenséget rendezve: 0 p 3,5 nevező számláló 0 0,5 3,5 ( pont) ( pont) A számláló és a nevező pozitív (teli vonal) és negatív (szaggatott vonal) intervallumainak feltüntetéséért - pont jár. (4 pont) Az egyenlőtlenség teljesül, ha 0,5 p 3,5 ( pont) Összesen: 1 pont
) a) Ábrázolja derékszögű koordinátarendszerben az f : 0; 7, f x x x 5 függvényt! (4 pont) b) Adja meg az f függvény értékkészletét! ( pont) c) A p valós paraméter értékétől függően hány megoldása van az x x 5 p 0;7 intervallumon? (8 pont) egyenletnek a a) f x x x x 5 3 4 (3 pont) b) f értékkészlete: 0;1 ( pont) c) A lehetséges megoldások a grafikonról leolvashatók Ha p 0, akkor nincs megoldás Ha p 0, akkor megoldás van Ha 0 p 4, akkor 4 megoldás van Ha p 4, akkor 3 megoldás van Ha 4 p 5, akkor megoldás van Ha 5 p 1, akkor 1 megoldás van Ha 1 p, akkor nincs megoldás Összesen: 14 pont 3) A TOJÁS farmon átlagosan 10000 tyúkot tartanak. Ezek egy év alatt mintegy,0 millió tojást tojnak. A tenyésztők azt tapasztalták, hogy valószínűleg a zsúfoltság csökkenése miatt ha a tyúkok számát 4%-kal csökkentik, akkor az egy tojóra jutó átlagos tojástermelés 8%-kal nő. a) A tyúkok számának 4%-os csökkentése után, mennyi lett a tojásfarmon az évi termelés? (5 pont) Az a tapasztalat, hogy a tyúkok számának p %-kal történő csökkenése p %-kal növeli az egy tyúkra vonatkozó tojásmennyiséget, csak p 30 esetén érvényes. b) Hány százalékkal csökkentették tavaly a tyúkok számát, ha ezzel évi 8%-os termelésnövekedést értek elegy év alatt? (11 pont)
a) A tyúkok számát 4%-kal csökkentve 10000 0,9 900 tyúk lesz, 10 1,08 37, az 1 tojóra jutó tojástermelés 10000 lett ( pont), 10 Tehát az évi termelés 10000 0,9 1,08 10000 azaz 8090,8 10. Tehát az évi termelés,8 millió tojás b) A keresett százalékot p-vel jelölve p 30, a tyúkok számát p %-kal p csökkentve adódik, hogy számuk 10000 1 100, 10 p Az 1 tojóra jutó termelés 1 lett 10000 100 ( pont) p, 10 p A szöveg szerint 10000 1 1, 10 1,08 100 10000 100 p p Azaz 1 1 1,08 100 100 100 p 100 p 10800 Az egyenlet mindkét oldalát 10000-el beszorozva A szorzás elvégzése után: 10000 100p p 10800 Rendezés után: p 50p 400 0 másodfokú egyenlethez jutunk Ennek megoldásai: 40 és 10 Mivel p 30, így csak 10 lehet a megoldás Ellenőrizve, ha a 9000-re csökkentett létszám esetén 0%-kal nő az egy tyúkra jutó tojásmennyiség, azaz, 10 1, lesz, ekkor az évi termelés 10000, 10 1,08. Tehát 10%-kal kell csökkenteni a tyúkok számát. Összesen: 1 pont
4) a) Értelmezzük a valós számok halmazán az f függvényt az 3 f x x kx 9x képlettel! (A k paraméter valós számot jelöl). Számítsa ki, hogy k mely értéke esetén lesz x 1 a függvénynek lokális szélsőértékhelye a függvénynek! Állapítsa meg, hogy az így kapott k esetén x 1 a függvények lokális maximumhelye vagy lokális minimumhelye! Igazolja, hogy a k ezen értéke esetén a függvénynek van másik lokális szélsőértékhelye is! (11 pont) 3 b) Határozza meg a valós számok halmazán a g x x 9x képlettel értelmezett g függvény inflexiós pontját! (5 pont) a) A differenciálható f függvénynek az x 1 akkor lehet szélsőértékhelye, ha itt az első deriváltja nulla Mivel f x 3x kx 9 Ezért f 1 3 k 9 0 Innen k Erre a k értékre f x 3x 1x 9 ( pont) A másodfokú polinom szorzatalakja: f x 3 x 1 x 3 Az x 1 helyen a derivált pozitívból negatívba vált ezért itt az f függvénynek lokális maximuma van A derivált x 3 helyen negatívból pozitívba vált ezért itt az f függvénynek lokális minimuma van g x 3x 18x b) Mivel Ebből g x x 18 A második derivált zérushelye x 3 Itt a második derivált előjelet vált A g függvény egyetlen inflexiós pontja az x 3 Összesen: 1 pont 5) Legyen p valós paraméter. Tekintsük a valós számok halmazán értelmezett f függvényt, amelynek hozzárendelési szabálya 3 f x 3x p 3 x p x. 0 a) Számítsa ki a f x dx határozott integrált, ha p 3 (4 pont) b) Határozza meg p értékét úgy, hogy az x 1 zérushelye legyen az f függvénynek! (3 pont) c) Határozza meg p értékét úgy, hogy az f függvény deriváltja az x 1 helyen pozitív legyen! (7 pont)
a) Ha 3 p, akkor 3 f x 3x 9x 3 4 3x 9x dx 0,75x 4,5x x ( pont) 0 0 3 p 3 p 0 b) Rendezve: p p1 0 Ennek a megoldásából adódik, hogy p 3 vagy p 4 esetén lesz a megadott függvénynek zérushelye az 1. f x 9x p 3 x p ( pont) c) Deriváltfüggvény: x 1-hez tartozó helyettesítési érték: p p p p 15 p15 0 egyenlőtlenség megoldható p15 0 egyenlet megoldásai 3 és 5 mivel p p15 0 bal oldalának főegyütthatója pozitív ezért az egyenlőtlenség teljesül, ha p 5 vagy p 3 Összesen: 14 pont ) Az a és b vektor koordinátái a t valós paraméter függvényében: a cos t;sin t és b sin t;cos t 5 a) Adja meg a és b vektorok koordinátáinak pontos érékét, ha t az számot jelöli! ( pont) b) Mekkora az a és b vektorok hajlásszöge t 5 esetén? (A keresett szöget fokban, egészre kerekítve adja meg!) (5 pont) c) Határozza meg t olyan valós értékeit, amelyek esetén a és b vektorok merőlegesek egymásra! (7 pont) a) 5 5 3 1 acos ;sin a ; 5 5 bsin ;cos b ; 3 4 4 b) Jelöljük a két vektor által bezárt szöget -val. A koordinátáival adott vektorok 3 1 1 3 3 3 skaláris szorzata kétféleképpen is kiszámítható: ab 4 4 8 illetve ab a b cos Mivel a 1 és 10 10 b 1 4
Ezért 10 3 3 3 3 cos, ebből cos 0,005 4 8 10 Innen 78,43. Tehát a két vektor ebben az esetben kb. 78 -os szöget zár be. c) A két vektor akkor és csak akkor merőlege egymásra, ha ab 0 A keresett t ismeretlent a szokásosabb módon x jelöli. Mivel ab cos x sin x sin x cos x, így a cos x sin x sin x cos x 0 egyenlet megoldása a feladat. Azonos átalakítással adódik: cos x sin x sin x cos x 0 7) Ez a szorzat pontosan akkor nulla, ha cos x 0 vagy sin x 0 vagy sin x cos x 0 (1) x n, ahol n vagy () x k, ahol k vagy (3) sin x cos x 0 A (3) alatti egyenletnek nem megoldásai azok az x számok, amelyek koszinusza 0, így az egyenlet megoldáshalmaza azonos a tgx 1 egyenletével 3 Azaz x m, ahol m 4 A két vektor tehát pontosan akkor merőleges egymásra, ha t n vagy 3 t m, ahol nm, 4 Összesen: 14 pont a) Egy derékszögű háromszög egyik oldalegyenese valamelyik koordinátatengely, egy másik oldalegyenesének egyenlete x y 10, egyik csúcsa az origó. Hány ilyen tulajdonságú háromszög van? ( pont) b) Jelölje e azokat az egyeneseket, amelynek egyenlete x y b, ahol b valós paraméter. Mekkora lehet b értéke, ha tudjuk, hogy van közös pontja az így megadott e egyenesnek és az origó középpontú 4 egység sugarú körnek? (8 pont)
a) A megadott x y 10 egyenletű egyenes az A 5;0 és 0;10 B pontokban metszi a tengelyeket Az origóból az egyenesre bocsátott, rá merőleges egyenes egyenlete x y 0 D A két egyenes D metszéspontjának koordinátái: 4; A megadott feltételeknek három derékszögű háromszög felel meg A 5;0, O 0;0, B 0;10 AOB háromszög, ahol ADO háromszög, ahol A 5;0, D 4,, O 0;0 BDO háromszög, ahol B 0;10, D 4,, O 0;0 b) Az egyenesnek és a körnek akkor és csak akkor van közös pontja, ha az egyenleteikből álló egyenletrendszernek van megoldása A kör egyenlete: x y 1 Az egyenes egyenletéből y b x. Behelyettesítés után: x b x 1 5x 4bx b 1 0 A kapott másodfokú egyenletnek van megoldása, ha a D diszkrimináns nem negatív D 30 4b 0 ahonnan b 4 5 A b paraméter lehetséges értékei tehát a 4 5; 4 5 elemei Összesen: 14 pont
8) a) Ábrázolja a derékszögű koordinátarendszerben az f : 0;5, f x x 4x 3 függvényt! (5 pont) b) Tekintsük az x 1 k paraméteres egyenletet, ahol k valós paraméter. Vizsgálja a megoldások számát a k paraméter függvényében! (7 pont) c) Ábrázolja a megoldások számát megadó függvény a k ; intervallumon! ( pont) d) Adja meg a c)-beli függvény értékkészletét! ( pont) a) f x x x x 4 3 1 Az y x 1 parabola tengelypontja (;-1) az x tengelyt az (1;0) és (3;0) pontokban metszi Jó ábrázolás, leszűkítés a 0;5 intervallumra Az abszolút érték figyelembe vétele Helyes ábra: b) A megoldások számát az f x teljes grafikonja és az y k egyenes közös pontjainak száma adja ( pont) Ha k 1, akkor két közös pontja van Ha k 1, akkor három közös pontja van Ha 0 k 1, akkor négy közös pontja van Ha k 0, akkor két közös pontja van Ha k 0, akkor nincs közös pont
c) Helyes ábra d) Értékkészlete: ( pont) R 0;;3; 4 ( pont) f Összesen: 1 pont 9) A derékszögű koordináta-rendszerben az ABC háromszög csúcsai: A ;1, B 7; 4, C11; p. Határozza meg a p paraméter pontos értékét, ha a háromszög B csúcsánál levő belső szöge 0 -os. (1 pont) Az ABC háromszög AC oldalára felírva a koszinusz tételt: AC AB BC AB BC 0,5 ( pont) AB 50 BC p AC p 1 4 8p 3 p 81 1 p p 8 A kapott értékeket visszahelyettesítve a koszinusztételbe a következőt kapjuk: p p 8 p 8p 3 50 p 8p 1 Rendezve: 50 p 8p 3 10p ( pont) Mivel a baloldalon pozitív szám áll ezért p 0 Négyzetre emelve és egyszerűsítve: p 8p 3 p Amiből adódik p 8p 3 0 Ebbek az egyenletnek a gyökei: p 4 4 3 p 4 4 3 ( pont) 1 Mivel p 0, ezért csak a p 1 = 4 + 4 3 megoldás lesz jó Összesen: 1 pont