A Galilei-csoportok projektív ábrázolásai

TDK-dolgozat Holló László A Galilei-csoportok projektív ábrázolásai Témavezető Dr. Andai Attila Egyetemi adjunktus BME Matematika Intézet Analízis Tanszék 2

i Tartalomjegyzék Előszó ii Bevezetés. Csoportok ábrázolása, projektív ábrázolás 3 2. Unitér ábrázolások 8 2.. Csoporthatás................................ 8 2.2. Féldirekt szorzat.............................. 2.3. Megengedett hatos............................. 2.4. Fourier-transzformáció........................... 4 3. A csoport 6 4. A csoport kommutátor kociklusai és unitér kociklusai 7 4.. A kommutátor kociklusok......................... 7 4.2. Unitér kociklusok.............................. 22 5. Az n térdimenziós Galilei-csoport projektív ábrázolásai 25 5.. A csoport.................................. 25 5.2. A kibővített csoport szerkezete...................... 25 5.3. Az A µ csoport karakterei.......................... 26 5.4. Pályák és stabilzátorok µ csoporton................... 27 5.5. A mérték.................................. 28 5.6. Sugárábrázolásra vezető pályák kiválasztása............... 28 5.7. Az ábrázolás................................. 28 5.8. Ábrázolások ekvivalenciája......................... 3 5.9. Ábrázoló operátorok a valós térben.................... 3 5.. Kapcsolat a Schrödinger-egyenlettel.................... 32 6. Összefoglalás 34 7. Kitekintés 35

ii Előszó Köszönettel tartozom a TDK-dolgozat megírásában nyújtott ösztönző segítségért, valamint a dolgozat átnézéséért Andai Attilának.

Bevezetés A kvantummechanika első axiómája kimondja, hogy egy fizikai állapotnak egyértelműen megfelel egy absztrakt Hilbert-tér projektor-hálójának egy eleme, második axiómája pedig kimondja, hogy minden fizikai mennyiség megfeleltethető egy ezen a projektor-hálón ható önadjungált operátornak. Amennyiben meg akarjuk tudni, hogy a fizikai téridő egy adott matematikai modelljében egy elemi részecske milyen tulajdonságokkal rendelkezik, ábrázolnunk kell a téridő-modell szimmetriacsoportját egy Hilbert-tér projektor-hálóján. Ezt az eljárást nevezzük projektív ábrázolásnak. A TDK-dolgozatomban a téridő nemrelativisztikus modeljét vizsgálom, azaz a téridő invariáns a Galilei-transzformációk alatt. Ezen matematikai model szimmetriacsoportját nevezzük Galilei-csoportnak. A TDK-dolgozatomban azokat az eseteket fogom vizsgálni, amikor a téridő idődimenziója egy, és a térdimenziója pedig legalább négy. A huszadik század eleje óta ismert tény, hogy a három térdimenziós nemrelativisztikus kvantummechanikában minden elemi részecskét két paraméterrel jellemezhetünk, az egyik a részecske tömege, ami egy pozitív valós szám, a másik pedig a részecske spinje, ami egy félegész szám. Sokáig azt gondoltuk, hogy a két térdimenziós eset a három térdimenziós eset megszorítása kétdimenziós mozgásra, tehát minden elemi részecskét csak a tömeg és a spin jellemez. Grigore 996-ban megjelent cikkében megadta a két térdimenziós Galilei-csoport irreducibilis projektív ábrázolásait, amiből kiderült, hogy egy elemi részecskének van egy harmadik jellemző paramétere, egy saját belső mágneses fluxusa, amit azóta kísérletileg is igazoltak. A négy és több térdimenziós eset azonban azóta is nyitott kérdés maradt. Miután kiderült, hogy a két és a három térdimenziós eset alapjaiban különbözik, egyáltalán semmi garancia nincs arra nézve, hogy magasabb térdimenziók hasonló viselkedést mutassanak, mint a három térdimenziós eset. A TDK-dolgozatomban megmutatom, hogy a három és a magasabb térdimenziós esetek ugyanarra a végeredményre vezetnek, viszont némileg eltérő módon. A dolgozatomban tehát meg fogom adni a négy és több térdimenziós Galilei csoport összes folytonos irreducibilis projektív ábrázolását. Ennek érdekében az. felyezetben áttekintünk néhány fontosabb, és a dolgozatomban használt ábrázoláselméleti fogalmat és tételt [2], [4] és [5] alapján. Ennek a fejezetnek egyik legfontosabb konklúziója az lesz, hogy a csoport projektív ábrázolásai kölcsönösen egyértelműen megfeleltethetők a csoport Lie-algebráján értelmezett úgynevezett kommutátor-kociklusok gyenge kohomológia-osztályainak. Továbbá, ha már ismerjük a kommutátor-kociklusok kohomológia-osztályait, akkor a projektív ábrázolás megkapható a Galilei-csoport centrális kibővítésének unitér ábrázolásaiból. Az unitér ábrázolások pedig Mackey tétele értelmében mind megkaphatóak az inukált ábrázolások módszerével. A Neumann-féle axima-renszert tekintjk

2 A 3. fejezetben [2] alapján bemutatásra kerül maga az ábrázolandó csoport, a nemrelativisztikus téridő szimmetria-csoportja. A 4. fejezet a vízválasztó a három eset, a két-, a három-, illetve a magasabb térdimenziós esetek között. Ebben a fejezetben keresem meg a kommutátor-kociklusok gyenge kohomológia-osztályait, amik indexelik az irreducibilis projektív ábrázolásokat, tehát indexelik a lehetséges elemi részecskéket is. Három térdimenzió esetén [2] -ben levezetésre kerül, hogy minden kohomológia-osztály egyetlen µ pozitív valós számmmal indexelhető és megmutatható, hogy ez maga a tömeg. A spin pedig a csoport cetrális kibővítésének unitér ábrázázolása során jön ki. Két térdimenzió esetén [3] alapján azonban már nem egy, hanem három számmal indexelhetők a kommutátor-kociklusok, és ezek lesznek a tömeg, egy saját impulzusmomentum és egy belső mágneses fluxus. Tehát két- és három térdimenzió esetén a spin eredete is különbözik. A négy és több térdimenzós esetben eltérő számolási módszerrel kapok hasonló végeredményt mint három térdimenzióban, a kommutátor-kociklusok gyenge kohomológia-osztályait egyelten µ paraméter indexeli. Később megmutatom, hogy ez maga a tömeg. A 5. felyezetben először elkészítem a Galilei csoport centrális kibővítését, majd megadom ennek az összes irreducibilis ábrázolását az impulzustérben. Miután kissé meglepő módon a három és a több térdimenziós esetben ugyanazt kaptam a kommutátor-kociklusok kohomológia-osztályaira, így ebben a fejezetben már nem meglepő, hogy a három és a több térdimenziós esetben a kibővített csoport unitér ábrázolásai hasonlóak. Az eltértés a két eset között a forgáscsoport ábrázolása, míg három térdimenzió esetén az SU2) csoport ábrázolásaiból származik a spin, addig magasabb dimenziókban az SOn) fedőcsoportjának ábrázolásaira lenne szükség. A nulla-spinű ábrázolás esetén megadom a valós térbeli projektív ábrázolásait a Galilei-csoportoknak. A 6. felyezetben az eredmények fizikai konklúzióit mutatom meg. Lényegében három kiemelkedően fontos fizika eredményt kapunk meg. Az első fontos eredmény az, hogy a Galilei-csoport összes irreducibilis folytonos projektív ábrázolását visszavezetjük egy kompakt Lie-csoport, az SOn) fedőcsoportjának unitér ábrázolásaira, ami minden n esetén ismert. A fedőcsoport trivilis ábrázolása esetén meg is adtuk a valós térbeli ábrázolásokat. Második fontos eredmény az, hogy a négy és több térdimenziós nemrelativisztikus kvantummechanikában minden elemi részecske két paraméterrel jellemezhető, az egyik egy poztív valós szám, a tömeg, a másik pedig az SOn) fedőcsoportjának ábrázolásából adódó kvantumszám. A harmadik fontos eredmény pedig az, hogy csupán a kvantummechanika két axiómáját kihasználva a téridő szimmetriájából levezetjük a Schrödinger-egyenletet, azaz hogy egy fizikai állapot időfejlődéséért a teljes energia felelős.

3. Csoportok ábrázolása, projektív ábrázolás.. Definíció. Legyen G egy csoport. Azt mondjuk, hogy γ a G csoport ábrázolása egy X halmazon, ha γ : G S X csoporthomomorfizmus, ahol S X jelöli az X halmaz önmagára történő bijektív transzformációinak csoportját. Legyen γ ábrázolása a G csoportnak az X halmazon. Ekkor - az X halmazt a γ ábrázolás terének nevezzük; - minden g G esetén a γs): X X bijekciót az s csoportelem ábrázoló operátorának nevezzük..2. Definíció. - Azt mondjuk, hogy γ topologikus ábrázolása a G csoportnak az X topologikus téren, ha minden s G esetén a γs): X X ábrázoló operátor folytonos. - Azt mondjuk, hogy V lineáris ábrázolása a G csoportnak az E vektortéren, ha minden s G esetén a V s): E E ábrázoló operátor lineáris. - Azt mondjuk, hogy V unitér ábrázolása a G csoportnak a H Hilbert-téren, ha H Hilbert-tér, és V olyan ábrázolása a G csoportnak a H halmazon, amelyre minden s G esetén V s): H H ábrázoló operátor lineáris izometria. Ekkor V s) unitér..3. Definíció. Legyen V illetve V 2 unitér ábrázolása a G csoportnak a H illetve H 2 Hilbet-téren. Ekkor CV ; V 2 ) := {u LH ; H 2 ) s G : V 2 s) u = u V s)} halmazt a V és V 2 ábrázolásokat összekötő folytonos lineáris operátorok halmazának nevezzük. Azt mondjuk, hogy a V és V 2 unitér ábrázolások unitér ekvivalensek, ha CV ; V 2 ) tartalmaz unitér operátort..4. Definíció. Ha γ ábrázolása a G csoportnak az X halmazon, akkor egy H X halmazt γ-invariánsnak nevezünk, ha minden s G esetén γs) H H teljesül.

4.5. Definíció. Legyen V unitér ábrázolása a G csoportnak a H Hilbert-téren. Azt mondjuk, hogy - V algebrailag irreducibilis, ha H {} és CV ; V ) = C id H, vagyis csak azok a H H folytonos lineáris operátorok kötik össze V -t önmagával, amelyek az identikus operátor számszorosai; - V geometriailag irreducibilis, ha H {} és minden F H zárt V -invariáns lineáris altérre F = {} vagy F = H teljesül... Tétel. A V unitér ábrázolása a G csoportnak a H Hilbert-téren, pontosan akkor algebrailag irreducibilis, ha geometriailag irreducibilis..2. Tétel. Legyen H egy Hilbert-tér, és PH) a H projekcióinak halmaza. Ekkor a projekciók és a zárt alterek között megadható egy α egy-egyértelmű megfeleltetés. Minden P PH) esetén α: P Ran P, és egy zárt altérhez α az erre az altérre vetítő projekciót rendeli hozzá. A PH) halmazon értelmezzük az és a műveletet a következő képpen. Minden P, Q PH) esetén P Q P Q = α Ran P Ran Q), = α Ran P Ran Q). Az és művelettel ellátva PH) háló lesz..6. Definíció. Egy H Hilbert-tér PH) a H projektorainak halmazát az és a művelettel ellátotva a H Hilbert-tér projektorhálójának nevezzük..7. Definíció. Legyen G csoport, és e az egységeleme. Legyen H egy kettőnél nagyobb dimenziós Hilbert tér, és jelölje PH) ennek projektorhálóját. A G csoport projektív ábrázolása egy A: G AutPH)) csoporthomomorfizmus, melyre minden g, h G esetén A g A h = A gh..).3. Tétel. Wigner) Ha A AutPH)) és a H Hilbert-tér dimenziója kettőnél nagyobb, akkor létezik egy egységnyi abszolútértékú szorzó erejéig meghatározott U

5 unitér vagy antiunitér operátor, ami A-t generálja. Ha A a G csoport projektív ábrázolása, akkor minden g G csoportelemhez létezik egy egységnyi abszolútértékú szorzó erejéig meghatározott U g unitér vagy antiunitér operátor, melyre A g P ) = U g P U g.2) teljesül minden P PH) esetén. Ha G összefüggő Lie-csoport, akkor minden U g unitér operátor. Jelölje T az egységnyi abszolútértékű számok halmazát. Legyen A: G AutPH)) a G csoport egy projektív ábrázolása egy H Hilberttéren, és legyen U : G AutH) az A ábrázolást generáló unitér vagy antiunitér operátor. Legyen U e := I, így a csoportszorzás.) alapján minden g, h G esetén U g U h = ωg, h)u gh,.3) ahol ω : G G T. Ekkor.2) alapján az asszociativitást felhasználva kapjuk az alábbi relációt minden f, g, h G esetén. ωe, e) =.4) ωg, h)ωgh, f) = ωh, f)ωg, hf).5).8. Definíció. Legyen G csoport. Egy ω : G G T függvényt, ami rendelkezik az.4) és az.5) tulajdonsággal unitér kociklusnak nevezünk. Két unitér kociklus ω és ω kohomológ egymással, ha létezik egy olyan τ : G T függvény, melyre minden g, h G esetén ω g, h) = ωg, h) τg)τh) τgh). Két unitér kociklus gyengén kohomológ, ha ω és ω vagy ω és ω kohomológ, ahol a ω jelöli az ω szám komplex konjugáltját..4. Tétel. A G csoport unitér kociklusainak halmazán a gyenge) kohomológia ekvivalenciarelációt határoz meg..9. Definíció. A G csoport unitér kociklusainak halmazán az egymással gyengén) kohomológ unitér kociklusok ekvivalenvia-osztályainak összességét gyenge) kohomológia-osztálynak hívjuk.

6 Megmutatható, hogy ha G Lie-csoport, akkor minden unitér kociklus kohomológ egy olyan ω unitér kociklussal, amelyre ωg, g ) = teljesül minden g G esetén, valamint ωg, h) = ha g és h ugyanannak az egyparaméteres részcsoportnak az egységelem egy alkalmas környezetébe eső elemei. Az ilyen unitér kociklust lokálisan kanonikus unitér kociklusnak nevezzük... Definíció. Az U, ω) párt a G csoport H Hilbert-téren megvalósított sugárábrázolásának hívjuk, ha ω a G unitér kociklusa, és U a csoporton értelmezett olyan leképezés, mely minden g G elemhez H egy U g unitér operátorát rendeli úgy, hogy U e = I és.3) teljesülnek... Definíció. Egy G csoport U, ω) sugárábrázolása hű, ha g h esetén U g nem számszorosa U h -nak; irreducibilis, ha nincs nemtriviális altér, amely minden U g -re invariáns. Az U, ω) és U, ω ) sugárábrázolás ekvivalens, ha létezik olyan V unitér vagy antiunitér leképezés és τ : G T úgy, hogy a V U g = τg)u gv összefüggés teljesül, azaz következésképpen ω és ω gyengén kohomológ..2. Definíció. Egy G Lie-csoport U, ω) sugárábrázolását folytonosnak nevezzük, ha a ω analitikus az egységelem egy környezetében, és a g U g hozzárendelés erősen folytonos. Láttuk tehát, hogy egy sugárábrázolás egyértelműen meghatároz egy projektív ábrázolást, egy projetív ábrázolást viszont több sugárábrázolás is adhat. Viszont két sugárábrázolás akkor vezet ugyanarra a projektív ábrázolásra, ha ekvivalensek, vagyis, ha ω és ω gyengén kohomológ. A G csoport minden projektív ábrázolása egyértelműen meghatároz egy őt generáló unitér ábrázolást és az ehhez tartozó unitér kociklusok egy gyenge kohomológia-osztályát, valamint minden unitér ábrázolás és a hozzá tartozó unitér kociklusok egy gyenge kohomológiaosztálya egyértelműen meghatározza a G csoport egy projektív ábrázolását. A kvantummechanikában szükség van egy adott csoport összes gyengén irreducibilis folytonos projektív ábrázolására. Ezért a továbbiakban feltesszük, hogy ω lokálisan analitikus. Mivel a projektív ábrázolások szempontjából csak az unitér kociklusok gyenge kohomológiaosztályai lényegesek, így feltehetjük, hogy ω az egységelem környezetében analitikus, lokálisan kanonikus unitér kociklus.

7.3. Definíció. Legyen G összefüggő Lie-csoport g a Lie-algebrája, és [, ] a kommutátor. Egy κ: g g R bilineáris, antiszimmetrikus zárt κ[a, b], c) + κ[c, a], b) + κ[b, c], a) = ) függvényt a g Lie-algebra kommutátor kociklusának nevezzük. A κ és κ kommutátor kociklus kohomológ egymással, ha létezik olyan η : g R lineáris függvény, amelyre minden a, b g esetén κ a, b) = κa, b) + η[a, b]). Két kommutátor kociklus gyengén kohomológ, ha κ és κ vagy κ és κ kohomológ..5. Tétel. Legyen G egy Lie-csoport, és jelölje g a csoport Lie algebráját. Minden a g elem esetén létezik egy ε > paraméter, és egy ehhez egy egyértelműen meghatározott ρ a : ] ε, ε[ G folytonos leképezés, mely egyparaméteres részcsoportot határoz meg, és melyre ρ a ) = a teljesül. A jelölések egyszerűsítése végett, alkalmasan kicsi t R paraméter esetén a továbbikban a ρ a t) értékét a [ta] szimbólummal jelöljük..6. Tétel. Egy-egyértelmű megfeleltetés létezik egy G Lie-csoport lokális kociklusainak gyenge) kohomolgia-osztályai és a csoport g Lie-algebrájának kommutátor kociklusainak gyenge) kohomológiaosztályai között. A megfeleltetést a ) κa, b) = i lim t t log ω[ta][tb], [ ta][ tb])ω[ta], [tb])ω[ ta], [ tb]) 2.6) összefüggés adja meg, ahol a, b g és a t [ta] a G-beli a irányú egyparaméteres részcsoportot jelöli. Tehát a G csoport minden projektív ábrázolása egyértelműen meghatároz egy őt generáló unitér ábrázolást és az ehhez tartozó kommutátor kociklusok egy gyenge kohomológia-osztályát, valamint minden unitér ábrázolás és a hozzá tartozó kommutátor kociklusok egy gyenge kohomológiaosztálya egyértelműen meghatározza a G csoport egy projektív ábrázolását..4. Definíció. Legyen G csoport, és ω a G unitér kociklusa. Ekkor legyen G ω az a csoport, melynek alaphalmaza G T, és a csoportszorzás g, λ)h, µ) := gh, ωg, h)λµ)..7)

8.7. Tétel. Legyen U, ω) a G Lie-csoport sugárábrázolása. Ekkor az U ω g,λ) := λ U g g, λ) G T formulával meghatározott U ω a G ω csoport unitér ábrázolását adja. Fordítva, ha g, λ) V g,λ) a G ω csoport unitér ábrázolása, amelyre igaz, hogy minden λ T elemre V e,λ = λ id.8) teljesül, akkor bevezetve az U g := V g, jelölést az U : g U g formulával meghatározott leképezéssel U, ω) a G csoport sugárábrázolása. Továbbá teljesül minden g G és minden λ T esetén. V g,λ) = λ U g.9).8. Tétel. Egy G csoport G univerzális fedőcsoportjának folytonos projektív ábrázolásai között megtaláljuk a G csoport összes folytonos projektív ábrázolását. Tehát elegendő a csoport helyett annak univerzális fedőcsoportjának projektív ábrázolásait meghatároznunk, és kiválogatni a csoport projektív ábrázolásait. A.7 tétel értelmében pedig, amennyiben ismerjük egy G csoport unitér kociklusait, akkor G sugárábrázolása visszavezethető egy másik csoport unitér ábrázolására, ami egy egyszerűbb feladat. Ennek elméletével foglalkozunk a következő fejezetben. 2. Unitér ábrázolások 2.. Csoporthatás 2.. Definíció. Legyen S M az M halmaz bijektív transzformációinak a csoportja és G egy tetszőleges csoport. A G csoport hatása az M halmazon egy T : G S M ; g T g leképezés amely rendelkezik a T e x = x T a T b x = T ab x tulajdonságokkal minden x M és a, b G elemre. A G, M, T ) hármast transzformációcsoportnak nevezzük.

9 2.2. Definíció. Legyen G, M, T ) transzformációcsoport. - Az M halmaz fixpontjainak halmaza az M G = {x M T g x = x, g G} halmaz. - Az x M pont stabilizátora vagy az x ponthoz tartozó kiscsoport a G x = {g G T g x = x } halmaz, melyről egyszerűen belátható, hogy csoport. - Az M halmazon értelmezünk egy relációt, x y g G: x = T g y. A reláció ekvivalenciareláció. - Az M halmaz ekvivalenciaosztályait hívjuk pályáknak vagy orbitoknak. Minden x M pont egyetlen pálya eleme, melyre a Gx) = {T g x M g G} jelölést használjuk. - Egy transzfomációcsoportot tranzitívnak hívunk, ha M egyetlen pályából áll. 2.3. Definíció. Egy G, M, T ) transzformációcsoportot topologikus transzformációcsoportnak nevezünk, ha G topologikus csoport, M topologikus tér, T : G HomM), és a g, x) T g x leképezés folytonos, ahol HomM) jelöli az M M homeomorfizmusok halmazát. A továbbiakban a topologikus transzformációcsoportok egy speciális osztályára lesz szükségünk. Nevezetesen a továbbiakban feltesszük, hogy mind a G topologikus csoport, mind az M topologikus tér lokálisan kompakt, teljesen metrizálható és eleget tesz a második megszámlálhatósági axiómának. 2.4. Definíció. Legyen G, M, T ) tranzitív topologikus transzformációcsoport, és x M. Egy c: M G függvényt x ponthoz tartozó Borel metszet-függvénynek nevezünk, ha T cx) x = x x M és c Borel-mérhető függvény az M és G topologikus terek között 2.. Tétel. Ha G, M, T ) tranzitív topologikus csoport, akkor minden x M ponthoz létezik Borel metszetfüggvény.

2.2. Tétel. Stone) Legyen G egy Lie-csoport és g a Lie-algebrája. Legyen [ta] a G csoport egy egyparaméteres részcsoportja, valamint U ennek egy folytonos unitér ábrázolása egy H Hilbert-téren. Ekkor egyértelműen létezik egy H H önadjungált operátor úgy, hogy minden t R esetén U t = e ith teljesül. 2.2. Féldirekt szorzat 2.5. Definíció. Legyen A és H csoport, és továbbá t: H AutA) h t h csoporthomomorfizmus. A H és A csoport féldirekt szorzata a t leképezésre nézve a G = H t A szimbólummal jelölt csoport, melynek elemei h, a) párokból állnak, és a csoportműveletet a h, a)h, a ) = hh, at h a )) összefüggés adja meg. Ha A és H topologikus csoportok, és t HomH, AutA)) olyan, hogy t : H A A h, a) t h a) leképezés folytonos, akkor a H t A féldirektszorzatot a szorzattopológiával ellátva topologikus féldirektszorzatnak nevezzük. Ha A és H szeparált, lokálisan kompakt, második megszámlálhatósági axiómának eleget tevő topologikus csoport, valamint A kommutatív, akkor speciális lokálisan kompakt féldirekt szorzatról beszélünk. 2.6. Definíció. Az A topologikus csoport folytonos unitér karaktereinek a halmaza a halmaz. Â = {f : A T ffolytonos homomorfizmus} 2.)

Az  halmaz a pontonkénti szozással csoporttá tehető. Ezen a csoporton a kompakt halmazon történő uniform konvergencia topológiát ad meg, erre a topológiára nézve a csoportműveletek folytonosak, azaz  topologikus csoport. 2.3. Tétel. Az ˆR n, mint topologikus csoport izomorf R n topologikus csoporttal, azonban mivel nincs közöttük kitűntetett bijekció, ezért a P n = ˆR n jelölést használjuk. Továbbá, ha T jelöli az egységnyi abszolútértékű komplex számok csoportját, akkor ˆT = Z, és Ẑ = T. Legyen G = H t A a H és A topologikus csoportok topologikus féldirekt szorzata. Ekkor H hatása a  csoporton a leképezés, melyet a Q: H AutÂ) h Q h Q h â := â t h h H â  egyenlőség definiál. Ekkor H, Â, Q) hármast a H t A féldirekt szorzathoz rendelt transzformációcsoportnak nevezzük. 2.3. Megengedett hatos 2.7. Definíció. Legyen Z egy lokálisan kompakt T 2 topologikus tér. Jelölje C Z, C) a Z C folytonos, kompakt tartójú függvények terét. Egy µ: C Z, C) C függvényt Radon-mértéknek nevezünk, ha i) lineáris; ii) pozitív, azaz minden f C Z, R), f függvény esetén µf) ; iii) Minden K Z, K kompakt halmazra létezik olyan C K R + szám úgy, hogy minden f C Z, C) esetén, ha Suppf) K, akkor µf) C k f. Ha f C Z, C) és µ Radon-mérték, akkor µf) helyett gyakran fp)dµp) alakot Z írunk, ahol Suppf) jelöli az f függvény tartóját. 2.8. Definíció. Legyen G = H t A speciális lokálisan kompakt féldirekt szorzat. Az Z, µ, ϕ, a, c a, m) rendszert megengedett hatosnak nevezünk, ha

2 ) Z egy lokálisan kompakt H pálya az  csoportban, 2) µ nem nulla Radon-mérték a Z pályán, 3) ϕ: H Z R + olyan folytonos függvény, hogy minden h H és minden f C Z, C) esetén teljesül, 4) a Z pont a Z pályán, Z ϕh, p)fp)dµp) = 5) c a egy a ponthoz tartozó Borel metszet-függvény, Z fq h p)dµp) 6) m a G a kiscsoportnak folytonos unitér ábrázolása egy K Hilbert téren. Legyen X egy lokálisan kompakt, T 2 -tér, µ pozitív mérték X-en, K komplex Hilberttér és jelölje K a normát K-n. Ekkor { } L 2 X, µ, K) := f : X K fmérhető f 2 K dµx) < + komplex lineáris tér és a : L 2 X, µ, K) R + f f := X X f 2 K dµx) félnormával ellátva teljes prehilbert-tér C felett. Az L 2 X, µ, K)-hoz asszociált Hilbertteret jelöljük L 2 X, µ, K)-val. 2.4. Tétel. Legyen H := L 2 Z, µ, K). Ekkor a féldirekt szorzat folytonos unitér ábrázolása az adott hatos által U : H t A) H H h, a, f) U h,a) f) Uh,a) f) ) p) = = pa) ϕh, p)m c a a ) ) m c a p) h c a Q h p) ) m c a a ) ) f Qh p ) alakú, ahol a A, h H, f H, p Z Â.

3 Speciálisan, ha h = e H, akkor az ábrázoló operátor Ua f) ) p) = pa)fp). 2.) Az ábrázolás alakja sokat egyszerűsödik, ha µ egy H-invariáns mérték a Z pályán, ugyanis ekkor ϕ, ) = ; valamint, ha a c a a ) = e H is teljesül, akkor az ábrázoló operátor Uh,a) f) ) p) = pa)m c a p) h c a Q h p) ) fq h p) 2.2) lesz. Tehát a megengedett hatos megtalálásával meg tudjuk adni a csoport unitér ábrázolását. A következő néhány tétel ezen ábrázolások ekvivalenciájával foglalkozik. 2.5. Tétel. Legyen H t A topologikus féldirekt szorzatnak Z, µ, ϕ, c a, m ) és Z 2, µ 2, ϕ 2, c a2, m 2 ) két megengedett hatosa. Az ezek által generált ábrázolások akkor és csak akkor unitér ekvivalensek, ha létezik olyan g, V ) pár, mellyel i) g H és ga = a 2 ii) V : K K 2 olyan unitér operátor, hogy m 2 ghg ) = V mh) V teljesül minden h H a kiscsoportbeli elemre. 2.6. Tétel. Legyen H t A topologikus féldirekt szorzatnak Z, µ, ϕ, c a, m ) egy megengedett hatosa. Legyen Z := {p  p Z}, p := p, c p : Z H, c p p) := c p p ). Jelöljön µ egy nemnulla, pozitív, H-kváziinvariáns mértéket Z -en a kövezkező tulajdonságokkal: van hozzá ϕ: H Z R + melyre hµ = ϕ h, )µ teljesül minden h H esetén. Ekkor Z, µ, ϕ, p, c p, m ) a féldirekt szorzat megengedett hatosa, valamint, ha m és m ábrázolások antiunitér ekvivalensek, akkor a két megengedett hatos által generált ábrázolások is antiunitér ekvivalensek.

4 2.7. Tétel. Mackey) Legyen H t A topologikus féldirekt szorzat. Tegyük fel, hogy minden Â-beli H-pálya lokálisan kompakt, és tegyük fel, hogy létezik az  topologikus térben olyan Borel-halmaz, amely az Â/H faktorhalmaznak teljes reprezentáns rendszere. Ekkor a H t A minden komplex, szeparábilis Hilbert-térbeli folytonos unitér irreducibilis ábrázoláshoz létezik H t A-nak olyan megengedett hatosa, mely által generált Hilbert-térbeli ábrázolás az adott ábrázolással unitér ekvivalens. 2.4. Fourier-transzformáció Legyen n N + rögzített, és minden p R n esetén vezessük be a χ p : R n C; x e i p,x függvényt, ahol, jelöli az R n feletti euklideszi skaláris szorzást. Legyen továbbá F egy rögzített komplex Hilbert-tér. Jelölje a Lebesgue-mértéket R n -en. Ha f L R n, dµ n, F ), akkor minden p R n -re fχ p, fχ p L R n, dµ n, F ) és az Ff : R n F ; p 2π) n 2 fχ p dµ n = 2π) R n Ff : R n F ; p 2π) n 2 fχ p dµ n = 2π) R n n 2 n 2 függvények folytonosak, végtelenben eltűnők, továbbá Ff f µn, Ff f µn, R n fx)e i p,x dµ n x), R n fx)e i p,x dµ n x), teljesül, ahol a sup-normát az R n F korlátos függvények terén. 2.9. Definíció. Az Ff illetve az Ff) függvényt az f Fourier-transzformáltjának illetve konjugált Fourier-transzformáltjának) nevezzük. 2.8. Tétel. Ha f L R n, dµ n, F ) és g L R n, dµ n, C), akkor ffg), Ff)g, ffg), Ff)g f L R n, dµ n, F ), továbbá ffg)dµ n = Ff)gdµ n, R n R n ffg)dµ n = Ff)gdµ n. R n R n

5 2.9. Tétel. Fourier-féle inverziós tétel) Ha f L R n, dµ n, F ) olyan függvény, hogy Ff L R n, dµ n, F ), akkor Ff L R n, dµ n, F ) és f = FFf) = FFf) teljesül R n -en µ n -majdnem mindenütt. 2.. Tétel. Plancherel) Legyen F egy komplex Hilbert-tér. Egyértelműen léteznek olyan F, F: L 2 R n, dµ n, F ) L 2 R n, dµ n, F ) unitér operátorok, amelyekre minden f : R n F kompakt tartójú végtelenszer differenciálható függvény esetében Ff ) = Ff) és Ff ) = Ff) teljesül, ahol f jelöli az f függvénnyel µ-majdnem mindenütt egyenlő függvények ekvivalencia-osztályát. Ekkor az F unitér operátort az L 2 R n, dµ n, F ) Hilbert-tér feletti Fourier-transzformációnak nevezzük.

6 3. A csoport A továbbiakban egyetlen speciális csoporttal, az n térdimenziós n 4) Galileicsoporttal foglalkozunk. A csoport, mint halmaz G = SOn) R R n R n, és a szorzási szabály pedig R, R SOn), τ, τ R, v, v R n és u, u R n esetén R, τ, v, u)r, τ, v, u ) = RR, τ + τ, Rv + v, Ru + u + τ v) alakú, ami éppen a Galilei-transzformációnak felel meg. A csoport egy R, τ, v, u) elemének az inverze R, τ, v, u) = R, τ, R v, R tv u)) lesz. A csoport féldirekt szorzat szerkezetű; legyen A = {, τ,, u)} G és H = {R,, v, )} G. Ekkor t: H AutA) a H csoporthatása az A csoporton t R,,v,), τ,, u) =, τ,, Ru + τv) alakú lesz. A csoport felírható az n + 2) n + 2) mátrix-csoport részcsoportjaként. Ugyanis, ha R SOn), τ R, v R n és u R n, akkor ezeket R v u τ módon mátrixba rendezve, és ezt ellátva a szokásos mátrix-szorzással éppen a Galileicsoporttal izomorf csopotot kapunk. ) A Galilei-csoport topologikus csoport, hiszen topológiát ad meg rajta az R k k = + n + n + ) szokásos topológiája. Továbbá Lie-csoport is, hiszen a szorzás és az n 2 inverz-képzés is differenciálható.

7 4. A csoport kommutátor kociklusai és unitér kociklusai Az.6 tétel és következménye értelmében a csoport kommutátor-kociklusainak gyenge kohomológia-osztályai indexelik a lehetséges elemi részecskéket. A fejezet első részében tehát megkeresem a kommutátor-kociklusok gyenge kohomológia-osztályait. Ennek végeredménye az lesz, hogy minden gyenge kohomológia-osztályt egyetlen pozitív valós µ paraméter indexel, amiről később memutatjuk, hogy maga a tömeg. A számolás során sokszor ki fogjuk használni.3 definícióban szereplő kommutátor-kociklusok három tulajdonságát, a bilinearitást, az antiszimmetriát valamint a zártságot. Ennek segítségével meg fogjuk keresni azt a.3 definícióban szereplő, gyenge kohomológiát megadó η függvényt, ami minden kommutátor-kociklushoz megadja azt a vele gyengén kohomológ kommutátor-kociklust, amit már csupán a µ paraméter jellemez A fejezet második fele az unitér kociklusok megadásáról fog szólni. A.6 tétel értelmében a kommutátor-kociklusok gyenge kohomológia-osztályai bijekcióban állnak az unitér kociklusok gyenge kohomológia-osztályaival. A kommutátor kociklusok gyenge kohomológia-osztályaiból reprezentáns elemnek az imént megkeresett, egyetlen µ paraméterrel indexelhető kommutátor-kociklust választjuk. Ehhez fogunk megadni egy reprezentánst az unitér kociklusok gyenge kohomológia-osztályaiból. Erre azért van szükség, mert a.7 tétel értelmében a Galilei-csoport sugárábrázolásai megkaphatók a csoport centrális kibővítésének unitér ábrázolásaiból. A kibővített csoport megadásához pedig szükség van az unitér kociklusok gyenge kohomológia-osztályainak ismeretére. 4.. A kommutátor kociklusok 4.. Tétel. Az n térdimenziós Galilei-csoport kohomológia-osztályai egyetlen paraméterrel indexelhetők n 4 esetén. Bizonyítás. Legyen κ a csoport egy tetszőleges kommutátor kociklusa. Meg fogunk adni egy κ kommutátor kociklusát a csoportnak, amely gyengén kohomológ a κ kommutátor kociklussal, valamint κ B i, D i ) i n) kivételével az összes többi helyen felvett értéke nulla. Továbbá meg fogjuk mutatni, hogy κ B i, D i ) = µ µ R + ) az i indextől függetlenül. A gyenge kohomológiát megadó lineáris függvényt jelölje η, azaz κ, ) = κ, ) + η[, ]). Legyen A ij az SOn) azon infinitezimális generátora, azaz A ij ) kl = δ ik δ jl δ jk δ il i, j n k, l n + 2 ahol δ kl a Kronecker-szimbólum. Számunkra azok az A ij mátrixok számítanak, ahol i < j n, de a számítások egyszerűbb alakban való felírhatósága érdekében értelmeztük ellenkező esetben is A ij = A ji összefüggéssel.

8 Az eltolások infinitezimális generátora legyen B i, a két koordinátarendszer közötti áttérés infinitezimális generátorát jelölje D i, valamint az időfejlődés infinitezimális generátora legyen F, vagyis B i ) kl = δ ik δ l,n+2 i n, D i ) kl = δ ik δ l,n+ i n, F ) kl = δ k,n+ δ l,n+2. Ekkor egyszerű számolással igazolhatók a következő kommutációs relációk [A ij, A jk ] = A ik, [A ij, B j ] = B i, [A ij, D j ] = D i, [D i, F ] = B i, és az összes többi kommutátor nulla. Ezek közül most belátunk egyet, a többi hasonló módon megy. [A ij, B t ]) kl = δ ik δ js δ jk δ is ) δ ts δ l,n+2 ) δ tk δ s,n+2 ) δ is δ jl δ js δ il ) = ha t i, t j, = δ ik δ jt δ l,n+2 δ jk δ it δ l,n+2 δ tk δ i,n+2 δ jl + δ tk δ j,n+2 δ il = B j ) kl ha t = i, B i ) kl ha t = j. Vagyis i és j is legfeljebb n lehet, így az utolsó két tag nullát ad. Tehát a kommutátor akkor nem lesz csak nulla, ha t = i vagy t = j. Mivel A ij = A ji, így elég csak a t = j esetet vizsgálni, ez pedig éppen a fenti kommutátor-relációt adja vissza. A fent definiált mátrixok bázisát képezik a Lie-algebrának, így elég csak ezek kommutátor kociklusának kohomológia-osztályait vizsgálni. Először vizsgáljuk SOn) kommutátor kociklusait. Ha az i, j, k és l indexek mind különbözőek, akkor κ A ij, A kl ) = κ [A ik, A kj ], A kl ) = κ [A kj, A kl ], A ik ) κ [A kl, A ik ], A kj ) = másfelől viszont = κ A jl, A ik ) κ A li, A kj ), κ A ij, A kl ) = κ [A il, A lj ], A kl ) = κ [A lj, A kl ], A il ) κ [A kl, A il ], A lj ) = = κ A ik, A jl ) κ A kj, A li ) = κ A jl, A ik ) κ A li, A kj ). A két egyenletet összeadva azt kapjuk, hogy κ A ij, A kl ) =,

9 ha az összes index különbözik. Viszont ekkor [A ij, A kl ] =, és mivel η ) =, így a κ-val kohomológ κ -re is teljesük a κ A ij, A kl ) =. Definiáljuk η értékeit az összes A-ra. Legyen η A ij ) := κ A i,i+, A i+,j ) i n 2, i + < j; η A i,i+ ) := κ A i+,i+2, A i,i+2 ) i n ; ηa n,n ) := κa n,, A n, ). Ezzel az összes A mátrixon definiáltuk η-t. Ezzel a definicióval elértük, hogy κ A i,i+, A i+,j ) =, ha i n 2 és i + < j, κ A i+,i+, A i,i+2 ) =, ha i n. κ A n,, A n, ) =. Vizsgáljuk meg κ értékeit a többi A mátrix-páron. Már láttuk, hogy ha a mátrixoknak nincs egyező indexük, akkor a kommutátor kociklusuk nullával egyenlő. További egyszerűsítő feltevéseket tehetünk. - Feltehető, hogy a két egyező index az első változó második, illetve a második változó első indexe, ugyanis ellenben A ij = A ji cserével ilyen alakra hozható. Vizsgálandó tehát κ A ij, A jk ). - Feltehető továbbá, hogy k i, ugyanis ellenkező esetben κ A ij, A jk ) = κ A ji, A kj ) = κ A kj, A ji ). - Megállapíthatjuk továbbá, hogy i k, ugyanis ebben az esetben az antiszimmetria miatt lesz κ A ij, A ij ) =. Ezekkel az egyszerűsítő feltételekkel az alábbi eseteket kell megvizsgálnunk.. Ha j = i +, így k > i + ekkor éppen a már fent leírt egyenletet kapjuk, miszerint κ A i,i+, A i+,k ) = κ A i,i+, A i+,k ) + η A ik ) =. 2. Ha j i + és k > i +, akkor κ A i,j, A j,k ) = κ A i,j, A j,k ) + η [A ij, A jk ]) = κ [A i,i+, A i+,j ], A j,k ) + η A ik ) = = κ [A i+,j, A i,i+ ], A i,i+ ) κ[a j,k, A i,i+ ], A }{{} i+,j ) + η A ik ) = = κ A i+,k, A i,i+ ) κ A i,i+, A i+,k ) =. 3. Ha j i + és k = i +, akkor

2 j i + 2 esetén κ A i,j, A j,i+ ) = κ A ij, A i+,j ) η [A ij, A i+,j ]) = = κ [A i,i+2, A i+2,j ] A i+,j ) + ηa i,i+ ) = = κ, A i+2,j ) + κ[a i+2,j, A i+,j ] }{{} A i+2,i+, A i,i+2) κ A i+,i+2, A i,i+2) =, j = i + 2 esetén κ A i,i+2, A i+,i+2 ) = κ A i,i+2, A i+,i+2 ) + η[a i,i+2, A i+,i+2 ]) = }{{} A i,i+2 = κ A i,i+2, A i+,i+2 ) + κ A i+,i+2, A i,i+2 ) =. Tehát n 4 esetén az SOn) minden kommutátor kociklusa az azonosan nulla függvénnyel kohomológ. Vizsgáljuk az E n + Euklideszi csoport kommutátor kociklusainak kohomológia-osztályait. Két megfigyeléssel kezdjük.. Mivel [B i, B j ] =, így κ B i, B j ) = κ [A ik, B k ] B j ) = κ [B k, B j ] A }{{} ik ) κ [B j, A ik ] B }{{} k ) =. 2. Amennyiben i, j és k indexek különbözőek, akkor az l indexet ezektől különbözőnek választva κ A ij, B k ) = κ [A il, A lj ] B k ) = κ [B k, A il ] A }{{} lj ) = κ [A lj, B k ] A }{{} il ) = adódik. Ezek után definiáljuk η értékét minden B-re η B i+ ) := κ A i,i+, B i ) i n ; ηb ) := κa n,, B n ). Így már csak azt kell megvizsgálni, amikor B indexe egyezik A valamelyik indexével. Feltehető, hogy ez A első indexe, κ A ij, B i ). Az alábbi eseteket kell vizsgálnunk. Legyen j = i +. Ekkor κ A i,i+, B i ) = κ A ij, B i ) + η [A i,i+, B i ]) = κ A ij, B i ) + η B i+ ) = = κ A ij, B i ) + η [A i,i+, B i ]) κ A ij, B i ) + η [A i,i+, B i ]) =.

2 Legyen j i +, ekkor κ A ij, B i ) = κ A ij, B i ) + η [A ij, B i ]) = κ [A i,j, A j,j ], B i ) + η B j ) = = κ[b i, A i,j ], A }{{} j,j) κ[a j,j, B i ], A }{{} i,j ) + η [A j,j, B j ]) = B j = κ B j, A j,j ) + η [A j,j, B j ]) = κ A j,j, B j ) = adódik, ahol az utolsó egyenlőségben az előző pont eredményét használtuk fel. Tehát E + n minden kommutátor kociklusa a nullával kohomológ. A fent leírtak igazak maradnak akkor is, ha a B mátrixok helyébe a D mátrixokat helyettesítjük be, hiszen ugyanúgy kommutálnak egymással és az A mátrixokkal is. Vizsgáljuk az F mátrixszal vett kommutátor kociklusokat. - Az antisszimetria miatt κ F, F ) =. - Az s indexet az i és j indexektől különbözőnek választva κ A ij, F ) = κ [A is, A sj ] F ) = κ [A sj, F ] A is ) κ [F, A is ] A sj ) =. - Továbbá κ B i, F ) = κ [A ij, B j ] F ) = κ [B j, F ] A ij ) κ [F, A ij ] B j ) =. - Végül κ D i, F ) = κ [A ij, D j ] F ) = κ [D j, F ] A ij ) κ [F, A ij ] D j ) =. Tehát már csak a κ kommutátor kociklus B és D mátrixokon felvett értékeit kell vizsgálni. Mivel κ antiszimmetrikus, így elég κ B i, D j ) értékét vizsgálni. Ha i j, akkor a k indexet ezektől különbözőnek választva κ B i, D j ) = κ [A ik, B k ] D j ) = κ [D j, A ik ] B k ) κ [B k, D j ] A ik ) =. Ha k i, akkor κ B i, D i ) = κ [A ik, B k ] D i ) = κ [D i, A ik ] B k ) κ [B k, D i ] A ik ) = κ B k, D k ). Legyen tehát κ B i, D i ) := µ, minden i n esetén, ahol µ R. Megmutatjuk, hogy erre a paraméterre mindig szükség lesz. Ehhez az kell, hogy akárhogyan is írjuk fel B i -t és D i -t kommutátorként, a kommutátor-kociklusok zártságát kihasználva azonosságot kapunk. Tehát három lehetőség van.. Kihaszálva a [A ij, B j ] = B i relációt κ B i, D i ) = κ [A ij, B j ], D i ) = κ [D i, A ij ], B j ) κ [B j, D i ], A ij ) = κ D j, B j ). 2. Kihaszálva a [D i, F ] = B i relációt κ B i, D i ) = κ [D i, F ], D i ) = κ [D i, D i ], F ) κ [F, D i ], D i ) = κ B i, D i ).

22 3. Kihasználva a [A ij, D j ] = D i relációt κ B i, D i ) = κ B i, [A ij, D j ]) = κ [D j, A ij ], B i ) = = κ [A ij, B i ], D j ) κ [B i, D j ], A ij ) = κ B j, D j ). Tehát mind a három lehetőség azonosságra vezetett, így az n térdimenziós Galileicsoport kommutátor-kociklusainak kohomológiaosztályai egyetlen µ R indexel jellemezhetőek, a gyenge kohomológiaosztályok amelyekre a későbbiekben szükségünk lesz) pedig egyetlen µ R + indexszel. 4.2. Unitér kociklusok 4.2. Tétel. Az n térdimenziós Galilei csoport kommutátor kociklusainak µ-vel indexelt kohomológiaosztályaihoz tartozó unitér kociklus ω µ R, τ, v, u), R, τ, v, u )) = e iµ 2 u,rv v,ru +τ v,rv ). 4.3) Bizonyítás. A fenti definícióval megadott függvény akkor lesz unitér kociklus, ha.4) és.5) alapján minden g, h, f G esetén teljesülnek a ω µ e, e) =, ω µ g, h)ω µ gh, f) = ω µ h, f)ω µ g, hf) relációk, ahol e a G csoport egységeleme. Ezek egyszerű helyettesítéssel ellenőrizhetők. Az.4) egyenletbe helyettesítéssel ω µ,,, ),,,, )) = e iµ 2 +) = adódik. Legyen ekkor g = R, τ, v, u), h = R, τ, v, u ), f = R, τ, v, u ), gh = RR, τ + τ, v + Rv, u + Ru + τ v), hf = R R, τ + τ, v + R v, u + R u + τ v ). Ekkor az.5) egyenlőség jobb oldala ω µ g, h)ω µ gh, f) = = e iµ 2 u,rv v,ru +τ v,rv + Ru +u+τ v,rr v Rv +v,rr u +τ Rv +v,rr v ) = = e iµ 2 u,rv v,ru +τ v,rv + u,r v + u,rr v +τ v,rr v v,r u v,rr u e τ v,r v +τ v,rr v ),

23 és bal oldala ω µ h, f)ω µ g, hf) = e iµ 2 u,r v v,r u +τ v,r v + u,rr v +v ) v,rr u +u +τ v ) +τ +τ) v,rr v +v ) ) = = e iµ 2 u,rv v,ru +τ v,rv + u,rr v + u,rv v,rr u v,ru τ v,rv +τ v,rr v e iµ 2 +τ v,rv )+τ v,rr v +τ v,rv ). A kettőt összevetve azonosságot kapunk. Tehát a 4.3) összefüggéssel definiált leképezés valóban kommutátor kociklus, ami lokálisan analitikus is. Tehát az.6) egyenlet alapján, ha minden a, b g esetén ahol g jelöli a G csoport Lie-algebráját) κa, b) := i lim t t 2 log ω µ [ta][tb], [ ta][ tb])ω µ [ta], [tb])ω µ [ ta], [ tb]) ) akkor κ kommutátor kociklust határoz meg, így κ antiszimmetrikus lesz. Ezek az egyparaméteres részcsoportok pedig a mátrixos felírásban az alábbiak. ), [ta ij ] =... cos t sin t [tb i ] = sin t... cos t...... t [td i ] = [tf ] =... t... t Ahol az indexeknek megfelelő sorokban és oszlopokban áll cos t, sin t és t, a főáltóban a jelölt elemeken kívül csupa áll, és a nem jelölt elemek pedig mind nullák. Mivel κ antiszimmetrikus, így elég csak az A ij, D k ), A ij, B k ), A ij, F ), D i, B j ), D i, F ) és B i, F ) párokon felvett értékeit vizsgálni, és ezekről bizonyítani, hogy egyeznek az imént kiszámolt κ értékeivel. Először is vegyük észre, hogy ω µ [ta], [tb]) = kivéve, ha a, b) = D i, B i ); ebben az esetben pedig ω µ [td i ], [tb i ]) = ω µ [ td i ], [ tb i ]) = e iµ 2 t2. Továbbá [ta][tb] és [ ta][ tb] ugyanolyan alakú csoportelem, ezért ω µ [ta][tb], [ ta][ tb]) akkor lesz -től különböző, ha [ta][tb]-ben van v és u vagy van v és τ.

24 Azonban [ta ij ][td k ] -ban u = és τ =, [ta ij ][tb k ]-ban v =, [ta ij ][tf ]-ban v = és [tb i ][tf ]-ban is v =. Ezekben az esetekben tehát κa ij, D k ) = κa ij, B k ) = κa ij, F ) = i lim t t 2 log =. Vizsgáljuk D i, F ) esetét. A mátrixok szorzását elvégezve [td i ][tf ] =, t,. t.,. t 2. [ td i ][ tf ] =, t,. t.,. t 2. adódik, és így κd i, F ) = i lim t t 2 e iµ 2 t3 t 3 t 3) = 2µ 2 lim t t 3 t 2 =. Tehát már csak D i, B j )-t kell vizsgálni. Ekkor [td i ][tb j ] =,. t.,. t. [ td i ][ tb j ] =,. t.,. t. Tehát, ha i j akkor ω µ [td i ][tb j ], [ td i ][ tb j ]) =, ezért κd i, B j ) =. Azonban, ha i = j, akkor ω[td i ][tb i ], [ td i ][ tb i ]) = e iµ 2 t2 +t 2) =, ω[td i ], [tb i ]) = e iµ 2 t2, ω[ td i ], [ tb i ]) = e iµ 2 t2, és ez alapján κd i, B i ) = i lim t t 2 log e iµ 2 t2 e iµ 2 t2 = i lim t t 2 iµt2 ) = µ. Azaz minden a, b g-re κa, b) = κ a, b) tehát a 4.3) összefüggéssel definiált ω µ valóban az n térdimenziós Galilei csoporthoz tartozó unitér kociklus.

25 5. Az n térdimenziós Galilei-csoport projektív ábrázolásai 5.. A csoport A 3. felyezetben bemutatásra került a négy és több térdimenziós Galilei-csoport szerkezete. Ennek projektív ábrázolásához viszont.7 tétel értelmében egy másik csoport, az.4 definícióban megadott G µ kibővített csoport unitér ábrázolásait kell megadni. Ehhez szükséges az eredeti Galilei-csoport unitér kociklusainak ismerete, amely 4.3) szerint ω µ R, τ, v, u), R, τ, v, u )) = e iµ 2 u,rv v,ru +τ v,rv ) alakú. Így.4 definíció alapján a kibővített csoport G µ = {R, τ, v, u, ζ) R SOn), τ R, v, u R n, ζ T}, valamint a csoportszorzás a.7) definíciós egyenlőség alapján R, τ, v, u, ζ) R, τ, v, u, ζ ) = = RR, τ + τ, Rv + v, Ru + u + τ v, ζζ ω µ R, τ, v, u), R, τ, v, u ))). 5.2. A kibővített csoport szerkezete Legyen A µ = {, τ,, u, ζ) G µ τ R, u R n, ζ T} a tér- és időbeli eltoláscsoport, ami egy Abel-részcsoport. A továbbiakban ennek egy általános elemét jelölje, τ,, u, ζ) = τ, u, ζ). Legyen továbbá H µ = {R,, v,, ) G µ R SOn), v R}. Ennek a csoportnak egy általános elemét a továbbiakban jelölje R, v, ). Ekkor tetszőleges G µ -beli elem egyértelműen felbontható egy A µ -beli és egy H µ -beli elem szorzatára τ, u, ζe i µ 2 u,v ) R, v, ) = R, τ, v, u, ζ) 5.4) módon. Továbbá a H µ csoportnak van egy természetes hatása az A µ csoporton. t : H µ Aut A µ R, v, ) t R,v,) ) t R,v,) τ, u, ζ) = τ, Ru + τv, ζe i µ 2 2 v,ru +τ v,v )

26 Rövid számolással meggyőződhetünk arról, hogy ez a hatás kompatibilis a G µ csoport szorzásával. Tetszőleges R, τ, v, u), R, τ, v, u ) G µ esetén R, τ, v, u, ζ) R, τ, v, u, ζ ) = = τ, u, ζe i µ 2 u,v ) R, v, ) τ, u, ζ e i µ 2 u,v ) R, v, ) = = τ, u, ζe i µ 2 u,v ) τ, Ru + τ v, ζ e i µ 2 u,v +2 v,ru +τ v,v ) ) RR, Rv + v, ) = = RR, τ + τ, Rv + v, Ru + u + τ v, ζζ e i µ 2 u,v + u,v +2 v,ru ) e i µ 2 Ru +u+τ v,rv +v +) ) = = RR, τ + τ, Rv + v, Ru + u + τ v, ζζ ω µ R, τ, v, u, ζ), R, τ, v, u, ζ ))), ahol az első egyenlőségnél a két G µ -beli elemet felbontottuk A µ és H µ csoportbeli elem szorzatára, a második egyenlőségnél pedig vettük a szorzat második tényezőjének hatását a harmadik tényezőre és alkalmaztuk a csoportszorzás szabályait. Eredményül pedig pont a fent definiált szorzási szabályt kaptuk meg, azaz a csoporthatás jól definiált. Ezzel a definícióval elértük azt, hogy a G µ csoport féldirekt szorzat szerkezetű legyen. 5.3. Az A µ csoport karakterei Vizsgáljuk A µ karaktereit, ezek 2.) egyenlet szerint a µ = {A µ T} folytonos csoporthomomorfizmusok halmaza. Ekkor, mint topologikus csoportok µ = P P n Z. Így az µ csoport egy általános eleme p, p, k) µ alakban írható, mely a p, p, k) τ, u, ζ) = ζ k e ip τ+ u,p ) folytonos csoporthomomorfizmust reprezentálja. Keressük meg H µ adjungált hatását az µ csoporton, vagyis azt a Q : H µ Aut µ függvényt, melyre minden h H µ és â µ esetén Q h â := â t h. Mivel R, v, ) = R, R v, ), ezért ha a A µ, akkor t h a) = t R, R v,) τ, u, ζ) = = τ, R u τr v, ζe i µ 2 2 R v,r u +τ R v,r v ) ), és így p, p, k) τ, R u τr v, ζe i µ 2 2 R v,r u +τ R v,r v ) ) = = ζ k e i µ 2 k 2 v,u +τ v,v ) e iτp + R u τr v,p ),

27 ami alapján Q R,v,) p, p, k) = p v, Rp 2 kµ v, v, Rp + kµv, k ). 5.4. Pályák és stabilzátorok µ csoporton A µ csoporton értelmezett θ :  µ R p, p, k) p, p + 2kµp függvény invariáns lesz a Q h csoporthatásra, hiszen a h = R, v, ) elemmel transzformálva θq h p, p, k)) = Rp + kµv, Rp + kµv + 2kµ p v, Rp 2 kµ v, v ) = = Rp, Rp + 2kµ v, Rp + k 2 µ 2 v, v + 2kµp 2kµ v, Rp k 2 µ 2 v, v = = p, p + 2kµp = θp, p, k) adódik, ahol kihasználtuk, hogy R unitér. Tehát a Z k,ρ = {p, p, k) p, p + 2kµp = ρ} halmaz invariáns a H µ csoporthatására nézve, ha k Z\ {} és ρ R vagy ha n = és ρ R +. A Z k,ρ egy általános pontja 2nµ) ρ p, p ), p, n). A k esetban Z k,ρ ; valamint ρ esetén Z,ρ pálya lesz. Azonban Z, nem lesz pálya, viszont ennek minden pontja fix marad H µ alatt. Vegyünk egy reprezentáns elemet az egyik pályáról a k,ρ := 2kµ) ρ,, k ). Az ezen ponthoz tartozó Borel metszet-függvény k esetén ugyanis c ak,ρ 2kµ) ρ p, p ), p, k )) =, kµ) p, ) H µ, Q,kµ) p,) 2kµ) ρ,, k ) = = 2kµ) ρ kµ) p, 2 kµ kµ) p, kµ) p, + kµ kµ) p, k ) = = 2kµ) ρ p, p ), p, k)). Az a k,ρ pontbeli stabilizátor, k esetén éppen a forgáscsoport, mivel Q R,v,) 2kµ) ρ,, k ) = 2kµ) ρ 2 ) kµ v, v, kµv, k, ami csak v = esetén hagyja helyben a 2kµ) ρ,, k ) pontot.

28 5.5. A mérték Rögzített k esetén a ξ : P n Z k,ρ p 2kµ) ρ p, p ), p, k ) leképezés egy homeomorfizmus, tehát a pálya lokálisan kompakt, valamint a p, p 2,..., p n komponenseket tekinthetjük koordinátáknak a Z k,ρ pályán. A dp Lebesgue-mérték egy H µ invariáns mérték lesz a Z k,ρ pályán, hiszen ez invariáns a forgatásokra Q R,,) p, p, ) = p, Rp, k), valamint az eltolásokra Q,v,) p, p, ) = p v, p 2 kµ v, v, p + kµv, k ). 5.6. Sugárábrázolásra vezető pályák kiválasztása Ha U a G µ csoport Z k,ρ pályájához tartozó irreducibilis ábrázolás, akkor U hat a Z k,ρ -ból egy adott véges dimenziós K Hilbert-térre képző függvények H = L 2 P n, K, dp) Hilbert-terén. Viszont.8) alapján G µ -nek csak azon unitér ábrázolásai határozzák meg G sugárábrázolásait, amelyekre U,,,,ζ) = ζ id, így nem minden Z k,ρ pályához tartozó U unitér ábrázolás lesz jó. Általános esetben egy a Aµ és f H esetén 2.) alapján U a f) p, p, k) = p, p, k) a) f p, p, k), azaz az eltoláshoz rendelt unitér operátor egy fázisfaktorral történő szorzás operátora. Mivel,, ζ) :=,,,, ζ) A µ, és p, p, k),, ζ) = ζ k e i = ζ k, így csak k = esetén kapjuk meg G µ unitér reprezentációjából G sugárábrázolását. 5.7. Az ábrázolás Azonosítsuk a megengedett hatos elemeit. Mindegyik megengedett hatos egy ρ R és egy µ R számmal indexelhető. Rögzített ρ R és µ R esetén a megengedett hatos elemei a következő alakúak. { )}. A H µ pálya µ -n: Z,ρ = ρ p, p ), p, =: {p)}. 2µ 2. Minden pályán a H µ invariáns mérték a Lebesgue-mérték dp.

29 3. Mivel invariáns a mérték, ϕ. 4. A reprezentáns pont a Z,ρ pályán a,ρ = ). ρ,, 2µ )) 5. Az ezen ponthoz tartozó Borel metszet-függvény c ρ p, p ), p, = 2µ ), µ p, H µ. 6. A kiscsoport minden esetben G a,ρ = {R,, )} = SOn), és ennek folytonos unitér ábrázolása a K Hilbert-téren legyen m : R mr) minden R SOn) esetén. Ekkor 2.2) alapján, ha a g G µ, és g = ah, ahol a A µ, h H µ, akkor a g G elemhez rendelt unitér opetátor U g LinH) hatása U g f) p) = p a) m c p) h c Q }{{} h p) ) f Q h p)) }{{}}{{} 3. 2.. minden f H és p Z,ρ esetén. Legyen g = R, τ, v, u, ζ), ekkor 5.4) alapján a = τ, u, ζe i µ u,v ) 2 és h = R, v, ), tehát h = R, R v, ). Ezek alapján az U kifejezésében szereplő tényezők az alábbiak. A H µ adjungált hatásának kifejezése alapján f Q R, R v,) p) ) = f R p µ R v )) = f R p + µv) ). ) ) 2. Felhasználva, hogy c p) =, µ p, =, µ p, H µ és, hogy c Q h p) = ) c R p + µv)) =, µ R p + µv), H µ, így és R SOn) ) )) m, µ p, R, v, ), µ R p + µv), = ) )) = m R, v + µ p,, µ R p + µv), = )) = m R, µ p + µv) + v + µ p, = R,, )) = m R), 3. Felhasználva µ hatását az A µ csoporton ) τ, ρ p, p ), p, 2µ u, ζe i µ u,v ) 2 = ζ e i µ 2 u,v e i τ ρ p,p )+ u,p ) 2µ = = ζ e iτρ 2µ e i u,p+ µ 2 v + τ 2µ p,p ).

3 Tegyük fel, hogy létezik egy olyan S halmaz, hogy minden s S esetén m s egy folytonos, irreducibilis unitér ábrázolása a kiscsoportnak, és s s 2 esetén m s és m s 2 nem ekvivalnesek. Ekkor U µ,s,ρ R,τ,v,u,ζ) f ) p) = ) ζe iτρ 2µ e i u,p+ µ 2 v + τ p,p ) 2µ m s R) f R p + µv) ). Ezek után áttérhetünk az eredeti G Galilei-csoport sugárábrázolásaira. Wigner tétele szerint a projektív ábrázolást generáló unitér vagy antiunitér operátor csak egy egységnyi abszolútértékű fázisfaktor erejéig meghatározott, így az e iτρ 2µ faktor elhagyható. Tehát.9) alapján a sugárábrázolás operátora ) V µ,s R,τ,v,u) f p) = e i u,p+ µ 2 v + τ p,p ) 2µ m s R) f R p + µv) ), 5.5) valamint a csoportszorzás.3) összefüggéssel összhangban V g µ,s nek adódik minden g, g 2 G esetén. V µ,s g 2 = ω g, g 2 ) V µ,s g g 2-5.8. Ábrázolások ekvivalenciája A. definíció értelmében az eredeti Galilei-csoport unitér kociklusainak csak gyenge kohomológiaosztályai adnak nem ekvivalens projektív ábrázolást, így a µ index pozitív kell, hogy legyen. A 2.7 tétel értelmében a kibővített csoport minden unitér ábrázolásához létezik olyan megengedett hatos, amely őt generálja. Mivel megadtuk az összes megengedett hatos által generát unitér ábrázolást, így megtaláltuk a kibővített csoport összes unitér ábrázolását. A 2.5 tétel érlemében két megengedett hatos által generált ábrázolás akkor unitér ekvivalens, ha egyrészt a reprezentáns pontok a n,ρ ) egyazon pálya elemei, másrészt a kiscsoport ábrázolásai unitér ekvivalensek. Tehát 5.5) összefüggéssel megadott V µ,m és V µ 2,m 2 operátorok akkor és csak akkor vezetnek ekvivalens projektív ábrázolásra, ha µ = µ 2 és az m és m 2 kiscsoport-ábrázolások unitér ekvivalensek. 5.9. Ábrázoló operátorok a valós térben Az 5.5) ábrázoló operátor az L 2 P n, dp, K) Hilbert-tér egy unitér operátora. Mivel P n = R n mint topologikus csoport, és az izomorfizmus a Fourier-transzformáció, így az ábrázoló operátor megadható, mint az L 2 R n, dx, K) Hilbert-tér unitér operátora, ahol dx jelöli az R n halmazon a Lebesgue-mértéket. Tehát, ha F jelöli a 2.9 definicióval megadott Fourier-transzformációt, akkor minden R, τ, v, u) G, µ R +, és s

3 S esetén, ha V µ,s R,τ,v,u) operátor, akkor a Lin L2 P n, dp, K)) az 5.5 összefüggéssel megadott unitér W µ,s µ,s R,τ,v,u) = FV R,τ,v,u) F definicióval megadott operátor az R, τ, v, u) G csoportelemet az L 2 R n, dx, K) Hilbert-téren ábrázoló unitér operátor lesz. A Fourier-transzformáció elvégzése érdekében bevezetünk néhány operátort. Legyen L a, M φ, K R LinL 2 P n, dp, K)) a következő, minden f L 2 P n, dp, K), p, b P n, R SOn) és φ CP n, T) esetén Lb f ) p) = fp b), Mφ f ) p) = φp) fp), KR f ) p) = fr p). A továbbiakban a Fourier-transzformáció egyszerűbb elvégzése érdekében, egy speciális esettel foglalkozunk, amikor a kiscsoport ábrázolása a K Hilbert-téren a triviális nulla spinű) ábrázolás, azaz minden R SOn) esetén m: R id K. Az 5.5) egyenletben szereplő operátort a következő alakra tudjuk hozni. V µ R,τ,v,u) f) p) = Ezek alapján legyen = e i τµ 2 v,v µ 2 u,v ) e i τ 2µ R p+µv),r p+µv) e i R u,r p+µv) e iτ R v,r p+µv) fr p + µv)) α = e i τµ 2 v,v µ 2 u,v ), Mφ3 f ) p) = e i τ 2µ p,p fp), Mφ2 f ) p) = e i R u,p fp), Mφ f ) p) = e iτ R v,p fp), és ekkor az 5.5) egyenletben szereplő operátor a V µ R,τ,v,u) = αm φ 3 M φ2 M φ L µr vk R alakot ölti. A valós térbeli ábrázoló operátor pedig W µ R,τ,v,u) = α FM φ 3 F FM }{{} φ2 F FM }{{} φ F FL }{{} vf FK µr R F }{{}}{{ } z 5 z 4 z 3 z 2 z lesz. Ki fogjuk számolni az összes operátor Fourier-transzformáltját. Először a z 2, z 3 és z 4 operátorok meghatározását végezzük el. Legyen f C R n, K) tetszőleges függvény, ekkor minden u P n és x R n esetén Fp e i u,p fp)) = L u Ff)