Kötélstatika I. A síkbeli kötelek egyensúlyi egyenleteiről és azok néhány alkalmazásáról Úgy találjuk, hogy a kötelek statikájának népszerűsítése egy soha véget nem érő feladat. Annyi szép dolog tárháza a kötélstatika, hogy szinte nem lehet betelni vele. A hajlékony, síkbeli kötelek egyensúlyi egyenleteinek jóformájú levezetése megtalálható pl. egy korábbi dolgozatunkban, melynek címe: A drótfeszítés alapegyenletének újabb levezetése. Ott a feladat természetéből fakadóan is alkalmaztuk a megoszló terhelésnek a kötélgörbe érintője és normálisa szerinti felbontását. Úgy tűnik, ez valahogyan kevésbé alkalmazott megoldási mód, pedig sokszor nagyon hatékony. Egy másik korábbi dolgozatunkban melynek címe: Rugalmas láncgörbe -- alapvető összefüggések és tudnivalók, I. rész is megtalálhatók az egyensúlyi egyenletek alkalmazásai, csak függőleges megoszló terhelésre. Mostani forrásaink: [ 1 ], [ 2 ], [ 3 ]. A továbbiakban alkalmazott közelítések az alábbiak. A kötélről feltesszük, hogy ~ tökéletesen hajlékony, azaz benne hajlítónyomaték nem ébred; ~ húzómerevsége végtelen nagy, azaz benne húzóerő ébred, de nem nyúlik. Az egyensúlyi egyenletek levezetéséhez tekintsük az 1. ábrát is! 1. ábra Az érintő - irányú vetületi egyenlet: Ft T cos T T cos qs 0; 2 2 elvégezve az összevonást: Tcos qs 0; 2 T cos q 0; s 2 képezve a
2 s 0, illetve 0 ( * ) határátmenetet: dt q 0. ( 1 ) A normális - irányú vetületi egyenlet: Fn Tsin T Tsin ps 0; 2 2 2Tsin Tsin ps 0; 2 2 tekintettel a kis szögek esetén érvényes sin, s R 2 2 összefüggésekre, kapjuk, hogy 2T T pr 0; 2 2 innen egyszerűsítés után: T T p R 0; 2 végül ( * ) - gal és T 0 - val: TpR 0. ( 2 ) Az ( 1 ) és ( 2 ) képletek fontos következményei az alábbiak. K1.) Tangenciális terhelés hiányában a kötélerő a kötél hossza mentén állandó nagyságú. Ugyanis ( 1 ) - ből q = 0 - val: dt 0 T(s) T0 konst. ( 3 ) K2.) A kötél görbülete egyenesen arányos a normális terheléssel. Ugyanis ( 2 ) - ből: 1 p. R T ( 4 )
3 K3.) A kötél csak olyan szakaszon lehet egyenes, ahol a normális terhelés zérus. Ugyanis ( 4 ) alapján T mellett κ = 0, ha p = 0. ( 5 ) K4.) Egy r sugarú csigán átvetett, a csigával súrlódásmentesen érintkező kötél a csigára, ill. a csiga a kötélre T 0 / r intenzitású normális megoszló terhelést fejt ki. Ugyanis a kötél és a csiga közti súrlódás hiányában q = 0, ekkor pedig K1.) szerint fennáll ( 3 ); továbbá T = T 0 és R = r miatt ( 2 ) - ből: T 0 p. ( 6 ) r A helyzetet a 2. ábra szemlélteti [ 1 ]. 2. ábra A 2. ábra kapcsán utalunk még egy másik korábbi dolgozatunkra is, melynek címe: A csigáról és annak működéséről. Megjegyezzük, hogy a síkbeli Statika harmadik egyensúlyi egyenletét nem használtuk fel, mivel az csak annyit mondana, hogy a kötélerők érintőirányúak. Ellenkező esetben ugyanis a kötélerőnek lenne a kötélkeresztmetszet síkjába eső összetevője, azaz a kötelet nyíróerő is terhelné. Ámde ennek léte a hajlítónyomatékoknak a kötél tengelyvonala mentén való változását feltételezné, ezek azonban a kötél zérusnak tekintett hajlítómerevsége miatt nem léphetnek fel: tehát a kötélerőknek a kötél tengelyvonalához érintőlegesnek kell lenniük. A mennyiségi tárgyalást illetően ld. egy korábbi dolgozatunkat is, melynek címe: Ohtsuki. Ennek bizonyos Takashi Ohtsukitól átvett eredményeit itt is levezetjük.
4 Ehhez tekintsük a 3. ábrát is! 3. ábra Jelölések: ~ T: húzóerő; ~ Q: nyíróerő; ~ M: hajlítónyomaték; ~ p, q: megoszló teher - intenzitások. A 3. ábra valójában a síkbeli, hajlékony rúd / hajlításra merev kötél Δs hosszúságú elemi darabját, valamint a külső terheléseket és a belső erőket / igénybevételi komponenseket tünteti fel. Az egyensúlyi egyenletek az alábbiak. Az érintő - irányú vetületi egyenlet: Ft T cos T T cos q s Q sin Q Q sin 0; 2 2 2 2 Tcos qs2qsin Qsin 0; 2 2 2 kis szögek esetén: T qs 2Q Q 0; 2 2 T q Q Q 0; s s s s 0: dt d Q q 0. ( 7 )
5 A normális - irányú vetületi egyenlet: Fn Tsin T Tsin ps Qcos Q Qcos 0; 2 2 2 2 2Tsin Tsin ps Qcos 0; 2 2 2 kis szögek esetén: 2T T ps Q 0; 2 2 Q T T p 0; s s s s 0: dq d T p 0. ( 8 ) Nyomatéki egyenlet O - ra: (O) M T R T T R M M M qs R 0; TR M qsr 0; kiemelve R - t: R T qs M 0; T M R q 0; s s s 0: dt dm R q 0; felhasználva, hogy ( 7 ) szerint dt d q Q, kapjuk, hogy d dm R Q 0, vagy a
6 d 1 ( 9 ) R összefüggés miatt: dm Q 0. ( 10 ) Lineárisan rugalmas, hajlékony rudak esetén: 1 M, ( 11 ) R E I ahol EI: a keresztmetszet hajlítómerevsége. ( 11 ) - ből: EI M ; ( 12 ) R innen leolvasható, hogy EI = 0 esetén M = 0, így ( 10 ) szerint Q = 0, ami ( 8 ) - cal: d T p 0, ( 13 ) majd ( 9 ) és ( 13 ) - mal: 1 T p 0, R vagy T pr 0 ( 2 ) egyenletre vezet. Hasonlóképpen ( 7 ) - ből Q = 0 - val dt q 0 ( 1 ) egyenlet adódik. Érdekessége miatt gyűjtsük össze a síkbeli, hajlékony, rugalmas rudak alapegyenleteit v. ö.: [ 3 ]! Ehhez ld. a 4. ábrát is! 4. ábra
7 dt d Q q 0; dq d T p 0; dm Q 0; d M EI ; dx cos ; dy sin. ( 14 ) Ezt a meglehetősen bonyolult nemlineáris differenciálegyenlet - renzert általában közelítőleg oldják meg, manapság főként numerikus mózerekkel, számítógéppel. Az analitikus megoldás csak néhány egyszerű esetben fordul elő a szakirodalomban. Meglepő módon vannak kivételek is; ilyen pl.takashi Ohtsuki megoldása, melyet a már említett egyik előző dolgozatunkban tettünk közzé. Irodalom: [ 1 ] Lawrence E. Goodman ~ William H. Warner: Statics Dover Publications, Inc., Mineola, New York, 2001. [ 2 ] B. A. Bugajenko ~ V. E. Magula: Szpecialnüje szudovüje usztrojsztva Szudosztrojenyije, Leningrad, 1983. [ 3 ] V. I. Uszjukin: Sztroityelnaja mehanyika konsztrukcij koszmicseszkoj tyehnyiki Moszkva, Masinosztrojenyije, 1988. Sződliget, 2010. február 27. Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár