Mtemtik 0. elődás Végezzük el műveleteket!. 6... Alkítsuk szorzttá következő kifejezéseket!. 8 6 6. 7. 8. y Oldjuk meg z lái egyenleteket! 9. 0. 7 0 7 6. 7. Egy kétjegyű szám számjegyeinek összege. H felseréljük számjegyeket, 8-l ngyo számot kpunk. Melyik ez szám? Oldjuk meg következő egyenleteket!. 7 9 6 6. 6 6. 9 0 6. 7. 0
8. 9. 6 7 0 0..... 0 0 8 8 0 0 Alkítsuk szorzttá z lái polinomokt!. 6. 7. 6 8 Oldjuk meg z lái egyenleteket! 8. 9. 0.. 6 0 0 8 0 6 0 8 6 8. 6. 6. 6
Mtemtik 0. elődás.... y y 9 y 9 y y y y y 6. 6 y 0 0y 0. H egy tégllp egyik oldlát m-rel, másikt pedig m-rel növeljük, kkor területe 0. m -rel nő. H z eredeti tégllp oldlit (ugynilyen sorrenden) 0. m- rel sökkentjük ill.. m-rel növeljük, kkor területe. m -rel nő. Mekkorák z eredeti tégllp oldli? 6. H egy tégllp egyik oldlát m-rel, másikt pedig m-rel növeljük, kkor területe 0. m -rel nő. H z eredeti tégllp oldlit (ugynilyen sorrenden) 0. m- rel ill. m-rel sökkentjük, kkor területe tégllp oldli?.7 m -rel sökken. Mekkorák z eredeti 7. H egy tégllp egyik oldlát m-rel, másikt pedig m-rel növeljük, kkor területe 0. m -rel nő. H z eredeti tégllp oldlit (ugynilyen sorrenden) 0. m- rel ill. m-rel sökkentjük, kkor területe tégllp oldli?. m -rel sökken. Mekkorák z eredeti 8. 9. y 6 y 6 y y
y 0. 7. 0 y... y y 6 y y y y y. y. 6. 7. 8. 9. 0. y y y y y 9 y y y 0 y y y y y y y 9 y y y y 6 y y. y y y y
. y y.. y 0 y y y 6 6 Mtemtik 0. elődás Árázolj lineáris trnszformáiók segítségével z lái függvényeket! Adj meg függvények értelmezési trtományát és értékkészletét is!. f f. f f 8.... f f ln f sin 6. 7. f ros 8. Mtemtik 0. elődás Oldjuk meg z lái egyenlőtlenségeket!. 8. 7.. 0 0
Mi vlós számok legőve részhlmz, melyen z lái függvények értelmezhetők?. f 6. f 7. f log 7 8. f 9. f 8 log 7 0. f 6. f. f ln. f ln 0. f log. f ln 9 6. f ln tg 7. f log 6
Mtemtik 0. elődás Alkosson kétféle módon összetett függvényt z lái függvény párokól! 9. f tg, g 0. f, g lg. f g os Htározz meg, hogy z lái összetett függvények esetén mi külső és mi első függvény! f sin.. f ln f e.. f rsin Htározz meg z lái függvényekhez, vgy megfelelő leszűkítésükhöz trtozó inverz függvény hozzárendelési utsítását! Adj meg z eredeti és z inverz függvény értelmezési trtományát és értékkészletét is! 6. f 7. f 8. f e 9. f lg 0. f sin. f rtg Árázolj z lái függvényeket! A grfikonok lpján htározz meg, hogy melyik függvény páros, melyik pártln, melyik periodikus, melyik egyik sem! Döntse el, korlátoske függvények, és h igen, djon meg lsó és felső korlátot! Htározz meg, hogy függvények hol növekvők és hol sökkenők, vlmint hol és milyen szélsőértékük vn! f. f. f e. f. 6. f e 7. f e 8. f 9. f sin sin
Mtemtik 0 6. elődás Oldj meg z lái egyenleteket és egyenlőtlenségeket! A 0.. és. feldtok kivételével oldj meg feldtot grfikusn is!.. 8. 0. 8. 6. 7. 8. 9. 0...... 6. 7 7. 8. 9. 6 0. 0 0. 0., h pozitív. 0.0, h pozitív egész
Mtemtik 0 7. elődás A htványozás és gyökvonás fontos zonossági:,,,, n n n, n, n p q q, n n n, k n kn p,. Írjuk fel tört helyett negtív kitevővel z lái kifejezéseket! y,,,,,. Írjuk fel negtív kitevő helyett törtekkel z lái kifejezéseket!,,, y,. Végezzük el kijelölt műveleteket kétféle módon, egyszer negtív kitevős htványokkl, egyszer törtekkel számolv! y y y, y, y y,. Írjuk fel négyzetgyökjel nélkül z lái kifejezéseket!,, 6,, 8 y. A változó mely értékeire áll fenn z egyenlőség?, 6 9, 6. Hozzuk ki négyzetgyökjel elé, mit lehet!, 8, 7 7, 8, y 8y 7. Vigyünk mindent négyzetgyökjel lá!,,,,
8. Végezzük el műveleteket! 7 0 7 0, y y, y : y, y y : y, y : y y 9. Gyöktelenítsük nevezőt!,, 7, 7, 7 0. Vigyünk mindent gyökjel lá!,,, 9. Végezzük el műveleteket!, 8, y :, 0 9 0 9 y. Írjuk fel egyetlen gyökjellel!,,,,. Írjuk fel törtkitevő helyett gyökjellel!, 0.8,,,. Írjuk fel törtkitevővel!,,,,. Végezzük el műveleteket!,,,,
Mtemtik 0 8. elődás A logritmus zonossági: log, log log log log, log log log log log, log log log log, log log log Oldj meg következő egyenleteket!. 8.... 6. 7. 8. 9 8 8 9 9. 9 0.. 9 80. 0 Htározz meg z lái kifejezések értékét?. lg000. lg 0.0. log 8 6. log 9 7. log 8. log 9. ln e 0. ln e log.
. 0.. lg6 lg log 7 ln e Oldj meg következő egyenleteket!. log 6. log 7. lg 8. ln 9. log 6 0. log 9. log. lg lg lg. log log log 8. ln ln ln lg lg lg. 6. lg lg 7. log log Oldj meg grfikus úton következő egyenleteket! 7 8. 9. log log 6 0.. Oldj meg következő egyenlőtlenségeket! Készítsen árát is!. 9.. lg. log 7
Mtemtik 0 9. elődás. Egy színház nézőterén 0 sor vn. Minden sorn kettővel töen férnek el, mint z előzően. Hány emer fér el nézőtéren, h. sorn 0 férőhely vn?. Egy számtni sorozt első tgj, differeni pedig. E sorozt első k tgjánk z összege háromjegyű, de z első k+ tg összege már négyjegyű szám. Htározz meg k értékét!. Adj meg zon mértni sorozt első tgját és hánydosát, melynek hrmdik eleme, s. eleme pedig /.. Egy mértni sorozt első három tgjánk összege, következő három tg összege pedig. Melyik ez sorozt?. Egy számtni sorozt első három tgjánk z összege. H z első tghoz -et, másodikhoz -t, hrmdikhoz -öt dunk, egy mértni sorozt szomszédos tgjit kpjuk. Htározz meg számtni sorozt első elemét és különségét! 6. Egy mértni sorozt első három tgjánk szorzt 6. H hrmdik számot -ml sökkentjük, egy számtni sorozt első három tgját kpjuk. Htározz meg mértni sorozt első elemét és hánydosát! 7. Egy számtni sorozt második tgj 7; e sorozt első, hrmdik és nyoldik tgj egy mértni sorozt három egymást követő tgj. Htározz meg e mértni sorozt hánydosát! 8. Öt szám közül ez első három egy mértni sorozt három egymás utáni tgj, négy utolsó pedig egy számtni sorozt négy egymást követő tgj. A négy utolsó szám összege 0, második és z ötödik szám szorzt 6. Melyik ez z öt szám? 9. Egy öltöny árát %-kl felemelték, mjd z emelt árt új 0 %-kl megemelték. Az eredeti árhoz képest hány százlékkl emelkedett z öltöny ár? 0. Mivel egy ngyo vásárlást szerettünk voln leonyolítni, ezért kölsönt vettünk fel egy évre évi %-os kmtlár. Mire zonn hitelt elintéztük, elfogyott z termék, mit meg krtunk venni. A pénzt ezért nk tettük, hogy sökkentsük veszteségünket. A nketét kmtlá 8 %. Hány százléknyi veszteségünk vn hitelen, nkn történő elhelyezéshez viszonyítv?. Egy országn, hol személyi jövedelemdózás sávosn történik, következő dósávok vnnk érvényen. (Az ország pénznemét jelöljük Pe-vel.) 0 0 000 Pe dómentes 0 00 600 000 Pe 0 % dó 600 00 00 000 Pe 0 % dó 00 000 Pe fölött 0 % dó Mennyi dót fizet egy olyn állmpolgár, kinek ruttó jövedelme 80 000 Pe?. Az előző feldtn szereplő ország egyik állmpolgár 90 000 Pe dót fizetett e z állmnk. Mennyi volt ruttó jövedelme?. Beteszünk nk 00 000 Ft-ot évi %-os kmtlár. Mekkor összeg lesz számlánkon év múlv, h ) nk lineáris kmtozássl számol? ) nk kmtos kmttl számol?. ) Mennyi ideig trtsuk pénzünket nkn, h minimum dupláját krjuk visszkpni? Az éves kmtlá 0 %, s nk sk teljes évekre fizet kmtot. ) Mekkor z éves kmtlá, h pénzünk év ltt duplázódik meg?. Egy ingtln eldásáól ngyo összeghez jutottunk. A pénz egy részét válllkozásunk fejlesztésére fordítjuk, másik részéől egyetlen gyermekünk, ki most éves, jövőjét kívánjuk meglpozni. A jelenleg elérhető legmgs fi éves
kmtlá 8 %. Mekkor összeget helyezzünk el most nkn, h zt szeretnénk, hogy gyermekünk éves korán, mikor várhtón efejezi z egyetemet, megvehessen egy 0 000 000 Ft értékű lkást? 6. Egy telket krunk eldni. Az érdeklődők közül négyen tesznek érdemleges vételi jánltot. A vevő jánlt: most fizet 000 000 Ft-ot B vevő jánlt: most fizet 000 000 Ft-ot, s év múlv 00 000 Ft-ot C vevő jánlt: most fizet 600 000 Ft-ot, mjd évenként még háromszor 600 000 Ftot D vevő jánlt: most fizet 00 000 Ft-ot, mjd kétévente kétszer 000 000 Ft-ot Melyik legkedvező jánlt, h z éves kmtlá %? 7. Elhelyezünk 00 000 Ft-ot 8 % nominális kmtlár nkn. Mennyi pénz lesz számlánkon egy év elteltével, és mekkor reális kmtlá, h ) hvont tőkésít nk? ) npont tőkésít nk? ) folymtosn tőkésít nk? 8. Egy dolgozó 0 000 Ft-os nettó jövedelme z év során %-kl emelkedik. Mennyi z emelt fizetés vásárlóértéke, h z infláiós rát 0%? Hány százlékkl nőtt fizetés vásárlóértéke z év során? 9. Leglá hány százlékos jövedelmezőséggel kell efektetni pénzünket, h zt krjuk, hogy vásárlóértéke 0 év ltt, 6 %-os infláió mellett megduplázódjon? 0. 0 éven keresztül efizetünk 0 000 Ft-ot z év elején 8 %-os kmtlár. Mennyi pénzünk lesz 0. év végén?. Autór szeretnénk gyűjteni, ezért éven keresztül minden hónp elején e fogunk fizetni egy izonyos összeget egy számlár. Mekkor legyen ez z összeg, h. év végére 000 000 Ft-ot krunk összegyűjteni és nominális kmtlá %?. Nyugdíjs éveinkre szeretnénk összespórolni egy kis pénzt, ezért gyűjtése krunk kezdeni. A nyugdíj vonulásunk előtt leglá mennyi idővel kezdjünk el tkrékoskodni, h hvont 000 Ft-ot szánunk erre élr, nominális kmtlá %, és leglá 000 000 Ft-ot szeretnénk összegyűjteni?. Év elején felvettünk 00 000 Ft kölsönt 0 %-os kmtlá mellet év futmidővel úgy, hogy évente egy-egy lklomml zonos részletet fizetünk. Az első efizetésre kölsön felvétele után egy évvel kerül sor. Mekkor összeget kell fizetnünk egy éven?. Kölsönt szeretnénk felvenni %-os kmtlá mellett úgy, hogy évente egy lklomml törlesztünk, s z első részletet felvétel után egy évvel fizetjük. Legfelje mekkor összeget tudunk felvenni, h 00 000 Ft-nál töet nem tudunk egy éven fizetni, s futmidő ) év? ) 0 év?. Öröklés révén 0 éves korunkn 000 000 Ft-hoz jutottunk. Időse npjinkr gondolv nk tettük pénzt %-os kmtlár. H 6 éves korunkn nyugdíj megyünk kkor minden éven szeretnénk 00 000 Ft-ot kivenni, hogy szerény nyugdíjunkt kiegészítsük. Hány éven keresztül tehetjük meg ezt? 6. 0 éven keresztül minden év elején eteszünk nk 000 Ft-ot. A következő 0 éven minden év elején kiveszünk 7 00 Ft-ot. Mennyi pénz lesz számlánkon 0. év végén, h kmtlá 7 %? 7. Szó úr gondos emer, ezért gyermeke 0 éves korán elkezd tkrékoskodni, hogy támogthss mjd z egyetemi évek ltt. Minden éven 0 000 Ft-ot fizet e egy
számlár 8 éven keresztül. Mekkor összeggel tudj évenként segíteni gyermeke tnulmányit, h kmtlá %, s gyermek év ltt fejezi e tnulmányit? Mtemtik 0. elődás. Írjuk fel P, ponton áthldó n, normálvektorú egyenes egyenletét.. Írjuk fel nnk z egyenesnek z egyenletét, mely áthld P, ponton és irány vektor v,.. Írjuk fel 9,6 és, koordinátájú pontokon átmenő egyenes egyenletét.. Írjuk fel nnk z egyenesnek z egyenletét, melynek tengelymetszetei: - és.. Rjt vn-e y P, pont? egyenesen 6. Adjuk meg y egyenletű egyenesnek zt pontját, melynek szisszáj kétszer kkor, mint z ordinátáj. 7. Árázoljuk tengelymetszetek segítségével 8 y 0 egyenletű egyenest. 8. Htározzuk meg p prméter értékét úgy, hogy y és py 0 egyenletű egyenesek párhuzmosk legyenek egymássl. 9. Htározzuk meg p prméter értékét úgy, hogy z y és z y p egyenletű egyenesek merőlegesek legyenek egymásr., 0. Htározzuk meg nnk z egyenesnek z egyenletét, mely, és z pontokt összekötő szkszt merőlegesen felezi. A 6,, B,, mgsságpontj. Egy háromszög két súspontjánk koordinátái: M,. Htározzuk meg hrmdik sús koordinátáit.. Számítsuk ki z ABC háromszög B és C súsánk koordinátáit, h z A sús koordinátái, és két mgsságvonlánk egyenlete 7 y 0 és 7y 6 0.. Írjuk fel kör egyenletét, h középpontj, pont, és sugr egység.. Htározzuk meg nnk körnek z egyenletét, melynek középpontj z, pont, és áthld, ponton.. Egy kör átmérőjének végpontji:,,,. Írjuk fel kör egyenletét. 6. Írjuk fel kör egyenletét, h sugr egység, középpontj z egyenesre illeszkedik, és érinti z tengelyt., ponton hld át, és mindkét 7. Írjuk fel nnk körnek z egyenletét, mely koordináttengelyt érinti. 8. Mi nnk körnek z egyenlete, melynek sugr egység, áthld 9,9 ponton, és érinti z y tengelyt? 9. Döntsük el, hogy y 6y 0 és y 0 egyenletek közül melyik kör egyenlete. Adjuk meg kör sugrát és középpontjánk koordinátáit. 0. A sík mely pontjink koordinátái elégítik ki y y 0 egyenlőtlenséget?. Htározzuk meg z y körnek y 7 egyenessel párhuzmos érintőit.