20. novembe 2. D. Vincze Szilvia
Tatalomjegyzék.) Számtani és métani soozatok Métani soozatok alkalmazásai: 2.) Kamatos kamat számítás a.) Egyszeű kamatszámítás b.) Kamatos kamat számítás c.) Kamatszámítás inflációval 3.) Jáadékszámítás a.) Gyűjtőjáadék b.) Tölesztőjáadék c.) Tölesztőtev 4.) Beuházások matematikája
Bevezetés Számoljuk ki, hogy egy dohányos, aki napi egy doboz cigit szív (legolcsóbb 500 Ft ost), az húsz év alatt mennyi pénztől esik el feltételezve, hogy a cigie szánt pénzt endszeesen befektette volna éves 8% kamatláb mellett? (Az egyszeűség miatt tekintsünk el az inflációtól.)
Bevezetés Egy év alatt dohányosunk 80.000 Ft ot költ. 20 év alatt ez 3.650.000 Ft kiadás.
Soozatok fajtái Beszélhetünk számtani és métani soozatokól. Mi a különbség közöttük? A számtani soozatnál az egymást követő tagok különbsége állandó (mintha egy lépcsőn mennénk felfelé vagy lefelé) pl:;4;7;0;3;6;..., vagy: 02;94;86;78;70..., A métani soozatnál az egymást követő tagok hányadosa az állandó. Pl: 3;6;2;24;48;96;92;..., vagy pl: 02; 34; 34/3; 34/9; 34/27;...
Számtani soozat definíciója Az a, a 2, a 3, soozatot számtani soozatnak nevezzük, ha létezik d R úgy, hogy az a n+ a n d egyenlőség teljesül minden n N estén. A d állandót a számtani soozat különbségének vagy diffeenciájának nevezzük. Ha d >0, akko a számtani soozat szigoúan monoton növekedő, ha d < 0 akko szigoútan monoton csökkenő, ha d 0, akko a soozat minden tagja egyenlő.
Métani soozat definíciója Az a, a 2, a 3, soozatot métani soozatnak nevezzük, ha létezik q R úgy, hogy az a n+ q a n egyenlőség teljesül minden n N estén. A q állandót a métani soozat hányadosának vagy kvóciensének nevezzük. Az a >0 estében () ha q <0, akko a métani soozat tagjai váltakozó előjelűek; (2) ha 0 <q <, akko a métani soozat szigoúan monoton csökkenő; (3) ha q, akko a soozat minden tagja egyenlő; (4) ha q >, akko a métani soozat szigoúan monoton növekedő; (5) ha q 0, akko a métani soozat többi tagja (azaz a 2, a 3, ) 0 val egyenlő.
Bevezető alapfogalmak Kamat (p): a kölcsönök után az adós által (vagy a betétek után a bank által) időaányosan fizetett pénzösszeg. Kamatláb (I,i): a pénz használatáét egy megállapodás szeinti időtatama fizetendő kamat és a tőke közötti százalékban megadott aány; 00 pénzegysége vonatkozó kamat egy meghatáozott időe (kamatidőe). A kamatidő általában év. I kamatláb, i matematikai kamatláb
Alapfogalmak, képletek Kiindulási összeg: C 0 Kamat: p C 0 i, ahol i a matematikai kamatláb A kamattal megnövelt összeg ( C ) kiszámolása: C C 0 + C 0 i C 0 (+i) C 0, ahol + i kifejezést kamattényezőnek nevezzük.
Megjegyzések.) A kamatlábat általában éves futamidőe adjuk meg, de előfodul, hogy az év töt észée, n napa kell a kamatot kiszámolni. Ekko az éves kamatot elosztjuk a 365 tel. Megkapjuk az egy napa eső kamatot, majd megszoozzuk a napok számával: p n C0 i 365 n
Megjegyzések 2.) A kamatszámítás képletében 3 mennyiség szeepel, közülük kettő ismeetében a hamadik egyenletendezéssel mindig számolható. Gyakoi, hogy a felkamatolt összeg és a kamattényező ismeetében keessük a kiindulási összeget, azaz visszadiszkontálunk, diszkontálunk: C C 0 C 0 C C C v Az / kifejezést v vel jelöljük és diszkonttényezőnek nevezzük.
Kamat és annak számítása A kamat a kölcsönadott pénz használatáét fizetett díj. A kamatozási időszak az az időtatam, amelye a kamat já. Kamatszámítás Egyszeű kamatszámítás Kamatoskamatszámítás
Egyszeű kamatszámítás Egyszeű kamatszámításnál a kamatot nem csatolják a tőkéhez, a kamat nem kamatozik. Az időegység alatti tőkenövekmény météke időben állandó. Ez azt jelenti, hogy minden kamatozási peiódus végén a kezdőtőke és a kamatláb szozataként kapjuk meg a kamat összegét. Egy éve jutó kamat kezdőtőke * éves kamatláb
Egyszeű kamatszámítás Számítsuk ki 200.000 Ft nak 24% os kamatláb melletti kamatát fél éve! Egy éve jutó kamat 200.000 * 0,24 48.000 Féléve jutó kamat 48.000 / 2 24.000 Jövőéték 200.000 + 24.000 224.000
Kamat számítása 5.000 Ft kölcsönt kapunk úgy, hogy év múlva 7.400 Ft ot kell visszafizetnünk. Hány százalék a kamat? Induló összeg 5.000 C 0 A kamattal megnövelt összeg 7.400 C 7. 400 5. 000 6, C C 0 A C C 0 képletből,6, azaz + i,6, vagyis a matematikai kamatláb i 0,6, vagyis I 6 %.
Kamat számítása C 0 0.000 Ft I 8% C év 0.000 * 0,08 + 0.000 0.800 Ft Mi a helyzet akko, ha mondjuk meghidetik az éves 8% kamatot (a bankos hidetményekben mindig az éveset látjuk) de csak 3 hónapa kötjük le a pénzünket?
Kamat számítása Számoljuk a kamatláb /2 ed észét (ez a havi kamat) és szoozzuk meg a lekötés hónapjainak számával: C 3/2 0.000* (3/2 * 8%) + 0.000 0.200 Ft
Diszkontálás Egy jövőbeni pénz jelenétékének meghatáozása Képzeld el azt, hogy megveszik tőled a házad, melyet 0.000.000 Ft ét adtál el, de a vevő úgy fizet, hogy azonnal 5.000.000 Ft ot ad, a többit viszont csak fél év múlva fizetné. A tüelmedét viszont akko majd 5.50.000 Ft adna neked. Megéi e Neked ez az üzlet, ha a banki kamatláb 8%?
Kamatos kamatszámítás A kamatos kamat azt jelenti, hogy a kamatpeiódus végén a kiindulási összeghez hozzáadjuk az addig temelődött kamatot (tőkésítjük a kamatot), és az összeget úja kamatoztatjuk az előzővel azonos kamatlábbal és kamatozási peiódussal. Ez a folyamat többszö (nsze) ismétlődhet, és az n edik időszak végén szeetnénk hozzájutni a pénzünkhöz.
Befektetési alapismeetek: 72 es szabály A 72 es szabály : egy bizonyos éves százaléknövekmény mellett hány év alatt duplázódik meg a pénzed? Ez úgy töténik, hogy a 72 őt el kell osztani a százalékban megadott éves növekmény étékével. Ha egyévi 8% os hozamól van szó, akko 72 osztva nyolccal 9. Tehát kilenc év alatt duplázódik meg a pénz évi nyolc százalékos hozam és kamatos kamat mellett. Ha a növekmény például 3 százalék, akko 72:3 24. Tehát 24 év alatt. Ha a százalék 6, akko nagyjából négy és fél év elegendő a duplázáshoz.
a különbség USD Ft Példa: Kamatos kamat számítás 60000 40000 20000 00000 80000 60000 40000 20000 Mi töténik 5.000 USD befektetéssel 30 év alatt különböző hozamokkal? 0 0 évig nem jelentős 8% os kamattal 3 5 7 9 3 5 7 9 2 23 25 27 29 3 évek 2% os kamattal 49 800 50 33
Befektetési alapismeetek: 72 es szabály Tegyük fel, hogy most 33 éves vagy és 60 éves koodban szeetnél 00 millió fointtal nyugdíjba menni. Adva van egy évi 8% os befektetés. Az a kédés, hogy mekkoa kezdőtőkét kellene most elindítanod ahhoz, hogy évi 8% mellett 60 éves kooda eléd a 00 milliót? Hogyan tudod ezt kiszámolni a 72 es szabály segítségével?
Befektetési alapismeetek: 72 es szabály Előszö számoljuk ki, hogy a nyolc százalék mellett hány év alatt töténik egy duplázás? 72:8 9. Tehát kilenc évente duplázódik meg a tőke. 33 42 5 60 2.500 eft 9 év 25.000 eft 9 év 50.000 eft 9 év 00.000 eft
Kamatos kamatszámítás Legyen a kezdőtőke K 0, évente tőkésítjük I% os évi kamatláb mellett. Az. év elejei kezdőtőke az év végée K 0 e növekszik. A 2. év elején a kiindulási összeg K 0, az I% os növekedés az + i vel való szozással íható le, vagyis év végén az összeg: K 0 K 0 2. A 3. év elején meglevő K 0 2 összeg az év végée szeesée nő és K 0 3 lesz. Az n edik év végée a felnövekedett összeg: K n K 0 n.
Kamatos kamat számítás Az év elején az Este Banknál 7% os kamata elhelyezett 30.000 Ft a hamadik év végée milyen étéke növekszik? Kamatidőszak Tőke az időszak elején Egyszeű kamat Tőke az időszak végén (c 0 ) 30.000 30.000 0,07 c 30.000 + 30.000 0,07 30.000 (+0,07) 32.00 2 (c ) 32.00 32.00 0,07 c 2 32.00 + 32.00 0,07 34.437 3 (c 2 ) 34.437 34.437 0,07 c 3 34.737 + 34.437 0,07 36.757,59
Kamatos kamat számítás I / 00 Kamatidőszak Tőke az időszak elején Egyszeű kamat Tőke az időszak végén c 0 c 0 i c c 0 +c 0 i c 0 (+i) c 0 kamattényező
Kamatos kamat számítás Kamatidőszak Tőke az időszak elején Egyszeű kamat Tőke az időszak végén c 0 c 0 i c c 0 +c 0 ic 0 (+i) c 0 2 c 0 c 0 i c 2 c 0 + c 0 i c 0 (+i) c 0 2
Kamatos kamat számítás Kamatidőszak Tőke az időszak elején Egyszeű kamat Tőke az időszak végén c 0 c 0 i c c 0 +c 0 ic 0 (+i) c 0 2 c 0 c 0 i c 2 c 0 + c 0 i c 0 (+i) c 0 2 n c 0 n c 0 n i c n c 0 n +c 0 n i c 0 n (+i) c 0 n
Kamat számítása infláció figyelembe vételével Ha kölcsönadunk egy éve 6% os kamatláb mellett, de közben az éves infláció 8%, akko hány százalékkal változik a pénzünk vásáló étéke?
Vásálóéték változása Ha az éves kamatláb I%, az éves infláció F%, akko a vásálóéték változását egy éve vonatkozóan az + + i f hányados adja, ahol az f az inflációs áta, az F százalékláb századésze.
Kamat számítása infláció figyelembe vételével + i + f + + 0,6 0,08,6,08,074 Kiindulásko egységnyi pénzünkét egységnyi éékű áut vásáolhatunk. A kölcsönidőszak végén a pénzünk,6 egységnyie nő, az eedetileg egységbe keülő áu áa,08 lesz, azaz pénzünkét ekko,6/,08,074 áuegységet kapunk, vagyis a vásálóéték,074 szeesée nőtt, vagyis 7,4% kal.
Jáadékszámítás (annuitás számítás) Annuitás az, amiko endszeesen féleaksz pénzt egy időszakon keesztül. A számítás megmondja, hogy adott kamatláb mellett endszees befizetéseket eszközölve (pl. életbiztosítást fizetsz, endszeesen bankba akod a pénzed, hiteledet töleszted) mennyi lesz a befizetési időszak végén a kamatokkal növelt végösszeg?
Jáadékszámítás Jáadékon általában egyenlő időközökben töténő azonos nagyságendű befizetések soozatát étjük, adott kamatfeltételekkel. Alapesetben a pénzmozgás n évig tatson, I% évi kamatlábban és év elején töténő a Ft befizetéssel. (Az a az annuitás övidítése.) A jáadék lehet gyűjtő, ekko a befizető magának gyűjti a pénzt, vagy tölesztő, amiko egy felvett kölcsönt töleszt.
Gyűjtőjáadék 5 éven keesztül minden év elején 0.000 Ft ot helyezünk el ifjúsági takaékbetétbe. Mekkoa a betétek felnövekedett étékének az összege a 5. év végén évi 3% os kamatozás mellett? állandó jáuléktag: a kamattényező: időközök száma: n
Gyűjtőjáadék A feladat az a +a 2 +a 3 + +a n +a n soozat összegének meghatáozása. métani A métani soozat összegképlete alapján: S n a n q q a n ( + i)
Gyűjtőjáadék A feladatunkban: a 0 000;,03 és n 5. A keesett jáadékéték:
Gyűjtőjáadék 5 éven át minden év elején hány Ft ot kell a takaékba tenni, ha azt akajuk, hogy az 5. év végén évi 4% os kamatozás mellett 200.000 Ft ot kapjunk vissza? S n n a A képletből most az a étékét keessük, azaz a S ( n n ) ( )
Gyűjtőjáadék A feladatunkban: a 200.000 0,04,04 (,04 ) 5 35.555 5 éven keesztül minden év elején 35.555 Ft ot kell betenni a takaékba, hogy a befizetés után 5 évvel megkapjuk a 200.000 Ft ot.
Tölesztőjáadék 500.000 Ft kölcsönt veszünk fel 28% os kamata. Évente 50.000 Ft ot tölesztünk. Mennyi tatozásunk maad az 5. év végén? K: kölcsön I: kamat k: évente a tölesztőészlet
Tölesztőjáadék Az n edik év végén a tatozásunk: K n K n k n A képletbe behelyettesítve az adatokat: 5,28 K n 500.000,28 50.000 0,28.77.987.304.986 43.00Ft 5
Tölesztőjáadék Fontos kédés, hogy hány év alatt tölesztenénk tatozásunkat, ha évente pl. 200.000 Ft ot tölesztenénk? Nyilvánvalóan K n 0, azaz 0 n 500.000,28 ln0 ln3 ln,28 n 4,877,28 200.000 0,28 n
Tölesztőjáadék Mekkoa kölcsönt vehetünk fel, ha évi a Ft tölesztést tudunk vállalni n éven keesztül évi I% kamatláb mellett? A V () n gyel jelölt kölcsönt annak felvétele után évvel kezdjük töleszteni. () Vn. év vége 2. év vége (n ). év vége n. év vége a a 2 az első év végén befizetett a fointnak akkoa tőkeész felel meg a kölcsönösszegben, amely egy év alatt a a nőne fel: a/. a második év végén befizetett a fointnak akkoa tőkeész felel meg a kölcsönösszegben, amely két év alatt a a nőne fel: a/ 2 (az éves növekedést az 2 tel való szozással íjuk le) a n
Tölesztőjáadék A kölcsönt ezeknek a tőkeészeknek az összege adja: + + + n n n n n i a a a a a a V... 2 ()
Tölesztőjáadék Felvettünk millió Ft kölcsönt évi 5% kamat mellett, 0 éves futamidőe, évente azonos nagyságú befizetést ( a Ft) vállalva. A tölesztést a kölcsön felvétele után egy évvel kezdjük. Mekkoa összeget kell fizetnünk évente? V n ( ) 0 6 ; I 5%; n 0 V () n 0 6 a n ; i a 0,5,5 0 a 99.252 Ft
Tölesztőtev A tölesztő jáadék alkalmazásako tölesztő tevet készíthetünk, amelyben évente feltűntetjük, hogy mennyi a tatozásunk év elején, a befizetésünkből (annuitás) mennyi megy kamata, mennyi tőketölesztése és mekkoa az összes tőketölesztésünk. Első lépésben a felvett kölcsön nagysága, a kamatláb és a futamidő ismeetében ki kell számolni az annuitást, majd kitöltjük a táblázatot.
Tölesztőtev Felvettünk mft kölcsönt évi 5% kamat mellett, 0 éves futamidőe évente azonos nagyságú ( a Ft) befizetése mellett. A tölesztést évvel a kölcsön felvétele után kezdjük. Készítsünk tölesztő tevet. Az a 99.252 Ft (melyet az előzőekben megkaptunk).
Tölesztőtev Tatozás az Az annuitásból Összes Év év elején kamata tölesztése tölesztés 000 000 50 000 49 252 49 252 2 950 748 42 62 52 640 05 892 3 894 08 x G A tölesztő tev k adik soában (ahol a k és n közötti szám): x k x x i ( k ) n és Gk
Tölesztőtev
Tölesztőtev Az első tölesztőészt úgy kapjuk, hogy az annuitásból kivonjuk a kölcsön egy évi kamatát: 49.252 0,5 0 99.252 ; 6 () x i V a x n ( ) ( ) x i x i x x i x i V a i x V a x n n + + () () 2 3 3 4 2 2 3 k k k x x x x x x x x x
Beuházások matematikája A beuházási számításoknál a kamatos kamat és a jáadékszámítás módszeeit alkalmazzuk. Jelöljük az időszakok számát n nel; az egyes időszakok beuházást a, a 2,, a n nel, az egyes időszakok tiszta jövedelmét: A, A 2,, A n nel és a beuházási tényezőt b vel.
Beuházások matematikája Az első beuházás: a A b, a következő év tiszta jövedelme: A 2 A. A második beuházás: a 2 A 2 ba ba, a következő év tiszta jövedelme: A 3 A 2 A 2. A hamadik beuházás: a 3 A 3 ba 2 ba 2, a következő év tiszta jövedelme: A 4 A 3 A 2 3. A beuházás összegét az a, a, a 2,, a n métani soozat összege adja: B n a n
Beuházások matematikája Legyen mft egy gazdaság tiszta jövedelme az egyik évben. Beuházásoka ennek és minden következő év tiszta jövedelmének 25% át fodítjuk. A beuházások az előző év tiszta jövedelmét 5% kal emelik. Mekkoa a beuházások összege 5 év alatt? Feladat az ismétlődő beuházások összegének meghatáozása! B n a n
Beuházások matematikája Legyen mft egy gazdaság tiszta jövedelme az egyik évben. Beuházásoka ennek és minden következő év tiszta jövedelmének 25% át fodítjuk. A beuházások az előző év tiszta jövedelmét 5% kal emelik. Mekkoa a beuházások összege 5 év alatt? Feladat az ismétlődő beuházások összegének meghatáozása!
Beuházások matematikája Az első beuházás:.000.000 0,25 250.000 Ft, a következő év tiszta jövedelme:.000.000,05.050.000 Ft A második beuházás:.050.000 0,25 262.500 Ft; a következő év tiszta jövedelme:.050.000,05.02.500 Ft. n Bn a B 5,05 250.000 0,05 5
Beuházások matematikája Fontos kédés, hogy mekkoa étéket kell a beuházott eszközöknek évente hozniuk, hogy a beuházás megtéüljön? Egy mg i vállalkozó.500.000 Ft étékben vásáol olyan gépet, amelynek az élettatalmát 2 éve becsülik. Mekkoa étéket kell ennek a gépnek évente hoznia, hogy ezt az étéket az évenkénti beuházásnak tekintve a beuházások felnövekedett étéke egyenlő legyen az.500.000 Ft felnövekedett étékével. A beuházás átlagos jövedelmeződése 5% os.
Beuházások matematikája A beuházás akko entábilis, ha a hozadékokból nyehető összeg nem kisebb, mint az a pénzösszeg, amelyhez akko jutnánk, ha a beuházást nem hajtottuk volna vége, hanem a beuházása szánt pénzt n évig kamatoztatnánk.
Beuházások matematikája A beuházása fodított.500.000 Ft 2 év alatt.500.000,5 2 étéke növekedne fel. Jelöljük H val az ismeetlen évenkénti beuházásnak tekintett hozadék étékét, aminek felnövekedett étéke:,5 2 H 0,5
Beuházások matematikája.500.000,5 2 2,5 H 0,5 H 276.72,64 Évenkénti 276.72,64 Ft hozadék mellett 2 év alatt megtéül az egyszei.500.000 Ft os beuházás.