Gyakorló feladatok a. dolgozathoz. Tíz darab tízforintost feldobunk. Mennyi annak a valószínűsége hogy vagy mindegyiken írást vagy mindegyiken fejet kapunk? 9. Egy kör alakú asztal mellett tízen ebédelnek: férfi és nő. Mennyi annak a valószínűsége hogy két nő nem kerül egymás mellé ha a helyeket találomra osztják szét azaz mindenki a többiektől függetlenül akármelyik helyre ugyanolyan valószínűséggel kerül? 4!! = 9! 6. Egy dobozban piros golyó van. Legalább hány fehér golyót kell hozzátenni ahhoz hogy fehér golyó húzásának valószínűsége nagyobb legyen 0.9-nél? Legalább 46-ot. 4. 0 darab 40 wattos és 0 darab 60 wattos égőből egymás után kiveszünk két darabot visszatevés nélkül. Mennyi annak a valószínűsége hogy 0 mindkettő 40 wattos lesz; 0 0. 0 egyik sem lesz 40 wattos; 0 0. 0 csak az egyik lesz 40 wattos? 0 0.49 0. Véletlenszerűen felírunk két egynél nem nagyobb nem negatív számot. Tehát a számpár egyenletes eloszlású a [0 ] [0 ] egységnégyzetben Mennyi annak a valószínűsége hogy összegük kisebb -nél; szorzatuk kisebb 9 -nél; 9 ln 9 összegük kisebb -nél és szorzatuk kisebb 9 -nél? + 9 ln 6. Egységsugarú kör alakú céltáblára lövünk. A találat helye a céltáblán egyenletes eloszlású. A céltáblát koncentrikus körökkel 0 részre akarjuk osztani úgy hogy minden részbe ugyanolyan valószínűséggel essen a találat. Mekkorák legyeneke a körök sugarai? 0. 0. 0.... 0.9 7. Egy asztalnál négyen kártyáznak. A lapos magyar kártyát egyenlően szétosztják egymás között azaz mindenki lapot kap. Ha az egyik kiválasztott játékosnak nem jutott ász akkor mennyi annak a valószínűsége hogy az utána következőnek sem jutott? 0 4 = 6 4 0.7 4. Három kockával dobunk. Mennyi annak a valószínűsége hogy az egyik kockával 6-ost dobunk feltéve hogy a dobott számok összege? 9. Egy kockával kétszer dobunk. Mennyi annak a valószínűsége hogy a dobott számok összege 7? 6 Mennyi annak a valószínűsége hogy a dobott számok összege 7 feltéve hogy az első dobás eredménye páros szám? 6 0. Bizonyos fajta búzavetőmag összetételének vizsgálatakor megállapították hogy az négyféle magot tartalmaz mégpedig 96 %-a az I-es fajtából %-a a II-es fajtából %-a a III-as fajtából %-a a IV-es fajtából való. Annak valószínűsége hogy egy I-es fajta szemből legalább 0 szemet tartamazó kalász fejlődik 0.. Ugyanez a valószínűség a többi fajtánál rendre 0.. és 0.0. Mennyi annak a valószínűsége hogy egy véletlenszerűen kiválasztott magból legalább 0 szemet tartalmazó kalász fejlődik? 0.46
. Két dobozban golyók vannak. Az egyikben fehér és 4 piros a másikban piros és 7 fehér. Az egyik dobozból kiveszünk két golyót visszatevés nélkül. Feltételezve hogy a dobozok között egyforma valószínűséggel választottunk mennyi annak a valószínűsége hogy mindkét golyó fehér színű lesz; 4 + 7 6 9 legalább az egyik fehér színű lesz? + 6. Egy dobozban -től 4-ig számozott 4 darab papírlap van. Véletlenszerűen kihúzunk egy lapot. Az A B és C események jelentése legyen: A : a kivett lapon vagy 4 van; B : a kivett lapon -nél nem nagyobb szám áll; C : a kivett lapon -nál nem kisebb szám áll. Igazoljuk hogy az A B és C események páronként függetlenek de nem teljesen függetlenek.. Egy dobozban -től -ig számozott darab papírlap van. Véletlenszerűen kihúzunk egy lapot. Az A B és C események jelentése legyen: A : a kivett lapon páros szám van; B : a kivett lapon 4-nél nem nagyobb szám áll; C : a kivett lap vagy -nél nagyobb. Igazoljuk hogy PA B C = PA PB PC de az adott események nem páronként függetlenek. 4. Egy ξ valószínűségi változó sűrűségfüggvénye: 0 ha x f ξ x = A x ha x >. Mekkora az A érték? Mennyi annak a valószínűsége hogy ξ a intervallumba esik? Írjuk fel ξ eloszlásfüggvényét is. A = P < ξ < = { 0 ha x F ξ x = x ha x >. x. Egy ξ valószínűségi változó sűrűségfüggvénye: { A cos x ha 0 < x < π f ξ x = π Mekkora az A érték? Mennyi annak a valószínűsége hogy ξ értéke nagyobb mint Írjuk fel ξ eloszlásfüggvényét is. A = P ξ > π = 0 ha x 0 F ξ x = sin x ha 0 < x π ha x > π.?
6. Legyen a ξ valószínűségi változó eloszlásfüggvénye 0 ha x 0 F ξ x = cos x ha 0 < x π/ ha π/ < x. Határozzuk meg az η = ξ + valószínűségi változó eloszlás- és sűrűségfüggvényét. 0 ha x F η x = cos x ha < x π + ha π + < x 7. Legyen a ξ valószínűségi változó eloszlásfüggvénye f η x = F ηx F ξ x = π arctg x + x R. Határozzuk meg az η = ξ valószínűségi változó eloszlás- és sűrűségfüggvényét. F η x = π arctg x + + x R f η x = F ηx. Legyen a ξ valószínűségi változó sűrűségfüggvénye ha 0 < x < /4 x f ξ x = a Határozzuk meg ξ eloszlásfüggvényét várható értékét és varianciáját. b Mennyi annak a valószínűsége hogy ξ-nek a 0-tól való eltérése kisebb mint 0. E ξ = 4 0 0 ha x 0 F ξ x = x ha 0 < x 4 ha < x 4 x x dx = var ξ = 4 0 x dx = x Pξ < 0 = F ξ 0 = 0 0 6 0 44. 9. 9 Legyenek a ξ valószínűségi változó lehetséges értékei: és a megfelelő valószínűségek Pξ = = / Pξ = = / Pξ = = /6. a Írjuk fel és ábrázoljuk ξ eloszlásfüggvényét! b Számítsuk ki ξ várható értékét és varianciáját! F ξ x = 0 ha x ha < x ha < x 6 ha < x E ξ = + + 6 = 6 var ξ = + + 6 E ξ = 7 6
0. Számítsuk ki ξ várható értékét és varianciáját ha sűrűségfüggvénye { x ha < x < f ξ x = E ξ = 0 var ξ =. A ξ η valószínűségi változó lehetséges értékeit és a megfelelő valószínűségeket az alábbi táblázatban adjuk meg η 0 ξ 0 p p p =. p p p 4p Számítsuk ki a ξ η peremeloszlásokat ξ és η várható értékét és varianciáját továbbá értékeket. covξ η corrξ η A peremeloszlások várható értékük és varianciájuk: Pξ = 0 = 4 Pξ = = Pξ = = 6 E ξ = 4 var ξ = 9 Pη = 0 = 4 Pη = = E η = var η =. 9 Legyen ζ = ξ η akkor Pζ = 0 = Pζ = = 4 Pζ = = E ζ = covξ η = Eξ η E ξ E η = corrξ η = 6 4. 0. A ξ η valószínűségi változó ugyanaz mint az előző feladatban. Határozzuk meg a valószínűségi változók eloszlását. Legyen p ij = Pξ = i η = j akkor ; ζ = ξ + η ζ = ξ η ζ = ξ η ζ 4 = ξ η a Pζ = 0 = p 00 = Pζ = = p 0 + p 0 = Pζ = = p + p 0 = Pζ = = p = 4 b Pζ = = p 0 = Pζ = 0 = p 00 + p = 4 Pζ = = p 0 + p = Pζ = = p 0 = c Pζ = 0 = 4 Pζ = = 6 Pζ = = d Pζ 4 = 0 = p 00 + p 0 + p 0 + p 0 = Pζ 4 = = p = Pζ 4 = = p = 4. A ξ η együttes eloszlását az alábbi táblázatban adjuk meg: η ξ - 0 - p p 6p p p 0p a Mennyi p értéke? Független-e ξ és η? b Számítsuk ki ξ + η szórását!
c Mekkora Pη 0? a p = ξ és η függetlenek 60 b varξ + η = varξ + varη = Dξ + η = 0 0 c Pη 0 = Pη = 0 + Pη = = 0 + 6 0 = 9 0 4. Legyen a ξ eloszlásfüggvénye 0 ha x 0 x F ξ x = ha 0 < x x ha < x ha x >. Határozza meg az eloszlás mediánját és interkvartilisét! m = interkvartilis c /4 c /4 = 0. Legyen ξ sűrűségfüggvénye f ξ x = 0 ha x x ha x >. Határozza meg az eloszlás mediánját q-kvantilisét és interkvartilisét! c q = q m = c / = c /4 c /4 = 4 6. Egy részvény kiinduló ára két US dollár. Egy év múlva vagy kétszeresére növekszik az ára vagy felére csökken mindkét lehetőség ugyanolyan valószínűségű. A következő két évben vagy 0%-kal növekszik az ára vagy %-kal csökken vagy pedig változatlan marad mindegyik lehetőség ugyanolyan valószínűségű. Mi lesz három év múlva a részvényár eloszlása? Azaz milyen értékeket vehet fel milyen valószínűséggel? Mennyi három év múlva a részvényár várható értéke? Legyen ξ a részvény ára három év múlva akkor ξ lehetséges értékei a megfelelő valószínűségek rendre a részvényár várható értéke 9; 6; 4 ; 4; ; ; ; ; ; 0 7; 0 6 ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; E ξ = 9 + 6 + 4 + 4 + + + + + +0 7 + 0 6 = 9 7. Egy augusztusi éjszakán átlagosan 0 percenként látunk csillaghullást. Mennyi annak a valószínűsége hogy egy félóra alatt hat csillaghullást látunk feltételezzük hogy a csillaghullások száma Poisson eloszlású. Legyen ξ a félóra alatt hulló csillagok száma akkor félóra alatt átlagosan csillaghullást látunk így E ξ = λ = Pξ = 6 = 6 6! e 0 00