Alapmőveletek koncentrált erıkkel /a. példa Az.7. ábrán feltüntetett, a,5 [m], b, [m] és c,7 [m] oldalú hasábot a bejelölt erık terhelk. A berajzolt koordnátarendszer fgyelembevételével írjuk fel komponens-alakban az erıvektorokat, az erık A, B, C, D, E támadáspontjanak helyvektorat és az E-ból B-be mutató helyvektort!.7. ábra A helyvektorok: r A a.5 [m] r B a + ck.5 +.7k [m] r C b j + ck. j +.7k [m] r D a + bj.5 +.j [m] r E a + bj + ck.5 +.j+.7k [m] r EB - bj -.j [m] Az erıvektorokat (.) képlet alapján, úgy határozzuk meg, hogy az erınagyságot megszorozzuk az rányt mutató egységvektorral. Az általános helyzető egységvektort megkapjuk, ha a hatásvonal két smert pontja között lévı helyvektort elosztjuk annak nagyságával, azaz a két pont távolságával. A valamelyk tengellyel párhuzamos rányú erı vektor a megfelelı egységvektorral (, j, k) közvetlenül felírható. Ezek alapján az alább erıvektorok írhatók fel: j j [N] x y [N] z - - [N] x -[N] y z r CD r D - r C a + bj -b j ck a ck.5.7k r CD a + c.5 +.7.86 r CD a c.5.7 e3 k k.58.84k r CD a + c a + c.86.86 3 3 e 3 3 (.58,84 k) 74 44 k [N]
r D a b c e 4 j + k.338.83j +.474k r D a + b + c a + b + c a + b + c 4 4 e 4-84.5 3. j + 8.5 k [N] r E a b e5 j.385.93j r E a + b a + b 5 5 e 5-57.7 38.5 j [N]./b Határozzuk meg az elızı példában szereplı erık vektoröszszegét! A (.) képlet szernt : 5 ( ) + ( ) j + ( ) k + + + + 3 4 5 x y ( + 74-84.5-57.7) + ( + + 3. 38.5 )j + ( + 44 + 8.5 +)k -68. 4.7 j 5.5 k z./c. Határozzuk meg az elsı példában szereplı 5 és r EB vektorok skalárs szorzatát! A (.3) képlet alapján : 5 r EB 5x r EBx + 5y r EBy + 5z r EBz ( - 57.7) + ( - 38.5 [N]) ( -. [m]) + 66. [Nm]./d Határozzuk meg az elsı példában szereplı 4 erı támadáspontja hekyvektorának és az erı vektorának vektoráláls szorzatát! A (.4) képletnek megfelelıen: j k r D 4.5. 84.5 3. 8.5 (. 8.5 ) (.5 8.5 ) j + (.5 ( 3.) ( 84.5).) k 4. 59.5 j. k [Nm]
Általános síkbel erırendszer eredıjének meghatározása. példa: Határozzuk meg az.8. ábrán látható síkbel erırendszereredıjét! Az merev testre ható erık egyenlı nagyságúak, azaz 3 4 [N] Az erıvektorokat helyezzük át a koordnátarendszer "" pontjába. A redukcó eredménye a.9. ábrán látható..8. ábra Így nyerünk egy ponton átmenı hatásvonalú l,, 3 és 4 erırendszert és M l, M 3 nyomatékokat. (Az erı -ra számított M nyomatéka és az 4 erı -ra számított nyomatéka zérus, mert hatásvonala keresztül.9. ábra megy az orgón) Keressük az ponton átmenı erık e összegét. Elıször összegezzük az x rányú erıket, ez adja az eredı x rányú összetevıjét / ex /, majd összegezzük az y rányú erıket, ez adja az eredı y rányú összetevıjét / ey /. Ezek smeretében az eredı az alábbak szernt adódk + e ex ey Példánkban: 4 M e M a 3 a 4 [ Nm] 4 ex x x 4 x 4 ey y + + y 3y [ N] [ N] Tehát az e az y rányában felfelé mutató [N] nagyságú vektor. Az M e vektor az M és M 3 összege. Az M e negatív elıjele arra utal, hogy a nyomaték forgatás értelme az óramutató járásával megegyezı értelmő. Poztvnak az óramutató járásával ellentétes forgatás értelmét tekntjük. 3
Tehát az M e vektor abszolút értéke 4 [Nm], forgatás értelme az óramutató járásával megegyezı. Az e és M e vektorok összegezhetık (erı és erıpár összegezése) és így nyerjük az alább.. ábra.. ábrán látható erırendszerrel egyenértékő legegyszerőbb erırendszert, vagys az e hatásvonalával párhuzamosan "a" távolsággal eltolt hatásvonalú egyetlen e erıt. Ez lesz az erırendszer EEDİJE, vagys a vele egyenértékő legegyszerőbb erırendszer. 3.példa Határozzuk meg a.. ábrán feltüntetett erırendszer eredıjét! Adatok: [N]; [N]; 3 5 [N]; 4 5 [N]. A számításhoz felhasználjuk az x, y koordnátarendszert.az erıket x és y rányú összetevıre bonjuk és a (.) képletnek megfelelıen a komponenseket összegezzük. Az eredı komponenset :.. ábra x x - + 3 cos 45 + 4 cos 3 - + 5,77 + 5,866 6,7 [N] y y + 3 sn 45-4 sn 3 + 5,77-5,5 3.8[N] 4
Az eredı nagysága: + 6.7 + 3.8 365.8 [ N] x y Az eredı az x tengellyel bezárt szöge: y 3.8 tg α.46 α 55º 35 6.7 x Az eredı hatásvonalának távolsága az orgótól: M x k.5.587[ m] 365.8 y 3 sn 45 5 4 sn 3 5.77 5 5.5 365.8 Az eredı hatásvonala az x tengelyt az orgótól x távolságban metsz: x M.5.7 [m] 3.8 y 5
Párhuzamos térbel erırendszer eredıje 4.példa Határozzuk meg a.. ábrán látható és a következı adatokkal megadott párhuzamos térbel erırendszer eredıjét! [N], x l 3 [cm]; y l [cm]; -5 [N]; x 5 [cm]; y 3 [cm]; 3 [N]; x 3 - [cm]; y 3 [cm]; 4 5 [N], x 4 - [cm]; y 4 - [cm]; 5-3 [N]; x 5 [cm]; y 5-5 [cm];.. ábra Az eredı erı nagysága: Σ + + 3 + 4 + 5-5 + + 5-3 [N] Az eredı hatásvonalának döféspontkoordnátá a (.) képletek felhasználásával: x x y y x l 3 3 [Ncm] y l [Ncm] x 5 (-5) - 5 [Ncm] y 3 (-5) - 45 [Ncm] x 3 3 - - [Ncm] y3 3 4 [Ncm] x 4 4-5 - 5 [Ncm] y 4 4-5 - 5 [Ncm] x 5 5 ( -3 ) - 3 [Ncm] y 5 5-5 (-3 ) 75 [Ncm] x x 95[ Ncm] y 3[ Ncm] 95 3 9.5[ cm] y 3[ cm] Az eredményt az.3. ábra szemléltet..3 ábra
Általános síkbel erırendszer egyensúlya 5. példa:.4. ábra Az ábrán látható 4 [m] hosszú vzszntes egyenes rúd. A vége helytálló csuklóhoz kapcsolódk B végéhez pedg G [N] súllyal terhelt függıleges fonál csatlakozk. A rúdon 5 [N] súlyú henger mozoghat. Kérdés, hogy a henger mlyen helyzetében /x?/ marad az AB rúd egyensúlyban? Mekkora az A csuklóban ébredı A reakcóerı nagysága? Egyensúly esetén a (.6) és (.7) képletek szernt e és M e. Az e feltétel azt jelent, hogy az AB rúdra, mnt merev testre ható erık x és y koordnáta rányú összetevı s zérusok. Így az egyensúlyt kfejezı, egymástól független skalárs STATIKAI EGYENSULYI EGYENLETEK általános síkbel erırendszer esetén az alábbak lesznek: ex Σ x ey Σ y M e Σ M Példánkra alkalmazva az egyensuly egyenleteket /az erık nyomatékát az "A" pontra írjuk fel/ + () ex x () ey y A B M l 4 5 B e MA x + B l (3) x.6[ m] A () egyenletbıl: A - B 5-3 [N] 8 5 3
Közös ponton átmenı síkbel erırendszer egyensulya 6. példa: Határozzuk meg az.5. ábrán látható, négy erıbıl álló, közös pontban metszıdı síkbel erırendszer eredıjé! Az erık nagyságát és rányát kjelölı szögeket az táblázatban foglaltuk össze. 5 [N] α 45 35 [N] α 3 3 6 [N] α 3 3 4 45 [N] α 4 6.5 ábra A vzsgált erırendszer eredıje a négy vektor összege lesz, amt az alább.6.ábrán.láthatóan szerkesztéssel s meghatároztunk..6 ábra 4
A feladatot számítással s megoldottuk. Az erıket x és y rányú összetevıkre bontjuk. x cos α 5 cos 45 5.77 35.4 x cos α 35 cos 3 35.866-3.3 3x 3 cos α 3 6 cos 3 6.866-5 4x 4 cos α 4 45 cos 6 45.5.5 y sn α 5 sn 45 5.77 35.4 y sn α 35 sn 3 35.5 7.5 3y 3 sn α 3 6 sn 3 6.5-3 4y 4 sn α 4 45 sn 6 45.866-39 A komponenseket a (.) képlet szernt összegezzük. x 4 x 35.4 3.3 5 +.5 4.4 [ N] 4 y y x + y [ ] 35.4 + 7.5 3 39 6. N 9.[ N] y 6. tg ϕ.66 ϕ 33 5 4.4 x Látható a számítás eredményetıl a szerkesztés eredménye kssé eltérnek. Ez a szerkesztésbıl adódó pontatlanságok matt van. 5
7.példa Az.7. ábra derékszögő hasáb alakú testet mutat, amelyet térbel csuklóval és három rúddal rögzítettünk. Határozzuk meg az,, 3 aktív erık hatására ébredı reakcóerıket! Adatok: [N] ; 5 [N]; 3 3 [N]. Az.8. ábrán láthatóan megválasztottuk a derékszögő koordnátarendszert és bejelöltük a reakcóerık poztív rányát..7 ábra Elıször meghatározzuk az α szöget: 3 tg α.5 α 56 ' majd az erıvektorokat: - k - k [N] A A x + A y j + A z k; - j - 5 j [N] B B k 3-3 -3 [N]; C C cos α + C sn α k, 554 C +, 83 C k; D - D cos α j + D sn α k -, 554 D j +, 83 D k. Ezután írjuk fel az egyensúly egyenleteket: () X () Y (3) Z.8. ábra (4) M x (5) M y (6) M z () -3 + A x +. 554 C () -5 + Ay.554 D 6
(3) - + A z + B +.83 C +.83 D (4) B - C sn α - 3 D cos α 5 - B.664 C.664 D (5) - - 3 + D sn α - C sn α + 3 C cos α - 4-3 +. 664 D.664 C +.664 C - 7 +.664 D (6) - 3 + C cos α + D cos α -6 +.9 C +,9 D. Az egyenletrendszer megoldása: 7 (5)-bıl: D 4 [N] (6)-ból: C.664 6 - D 54-4 [N].9 5.664 C.664 D 5.664.664 4 (4)-bıl: B [N] ()-bıl: A x 3.554 C 3.554 33 [N]; ()-bıl: A y 5 +.554 D 5 +.554 4 733 [N]; (3)-ból: A z B.83 C.83 D 3 - -.83 54-35 [N]; A A + B + C 33 + 733 + 35 845 [N]; x y z 8.példa Az AB l hosszúságú, homogén, G súlyú rúd a függıleges falnak és a vízszntes padlónak támaszkodk. A nyugvásbel súrlódás értéke a padlón µ l, a falon µ. A tapasztalat azt mutatja, hogy ha a rudnak a padlóval bezárt α szöge egy meghatározott α o érték alá csökken, a rúd lecsúszk, nem marad egyensulyban. Határozzuk meg az egyensúly határhelyzetét jellemzı ' α o szög értékét!.9. ábra A G súlyerı hatására a rúd csak lecsúszhat, ezért az ébredı Sl és S surlódóerık ránya csak az.9 ábrán berajzolt rányú lehet. A surlódóerık nagysága, mvel az egyensúly HA- TÁHELYZET-érıl van szó: S µ l N S µ N 7
A STATIKAI EGYENSÚLYI EGYENLETEK: x N µ N () y N + µ N G () nyomaték "B" pontra B M l G cosα N l snα µ N l cosα (3) A (3) egyenlet rendezésével és átalaktásával, G l cos α N l sn α + µ N l cos G N tg α o + µ N (4) A ()- bıl kfejezhetjük N -et N µ N a () egyenletbe behelyettesítve és G -re rendezve kapjuk G N + µ N (5) µ A (4) (5) és N -vel egyszerősítve kapjuk + µ µ tg α µ α tg α µ µ µ Egyensúly van ha a rúd α hajlásszöge α o 8
Súlypont számítás 9.példa Határozzuk meg az.3. ábrán vázolt T alakú síkdom súlypontját! Az domot két téglalapra bonthatjuk, amelyeknek a területe: A l 6 mm ; A 4 8 mm. A keresett súlypont az dom szmmetratengelyén (a y tengelyen ) helyezkedk el. x s.3 ábra A számítást az x, y koordnátarendszer felhasználásával végezhetjük el y Sl 4 + 5 mm; y S mm; y y y + y 5 + 8 S S S S A A + A 38 példa Határozzuk meg az.3. ábrán vázolt síkdom súlypontját! A síkdom érdekessége, hogy a körön belül lévı terület nem tartozk a tartományhoz. Bontsuk fel e tartományt három részre, a teljes négyzetre (), a kör belsejére () és a háromszögre (3). A kör területét negatv elıjellel kell számítan, így kompenzáljuk a teljes négyzet fgyelembevételével keletkezı többletet. A.3. ábra negatív elıjel azt jelent, hogy ezen a területen a többvel ellentétes rányú megoszló erı hat. Ez az erı és a teljes négyzet ugyanezen poztív területrészén ható erı egyensúly erırendszert alkot. Ez megfelel a valóságnak: s kör belseje nem tartozk a tartományhoz, benne erı nem hat. A részterületek: 9
A 5 5 mm ; A -5 Π - 7854 mm ; A 3.5 A 5 mm A vázolt koordnátarendszerben a részdomok sulypontjanak koordnátá: x Sl 75 mm; x S 6 mm; x S3 5 + 5 mm; y Sl 75 mm; y S 9 mm; 5 y S3 5 mm 3 A sulypont koordnátá: x y x x + x + x 75 5 6 7854 + 5 5 7854 + 5 S S S S3 3 S A A + A + A 3 y y + y + y 75 5 9 7854 + 5 5 5 7854 + 5 S S S S3 3 S A A + A + A 3 34[mm] 59.6[mm]