7.4.. DIGITÁLIS TECHNIK Dr. Lovassy Rita Dr. Pődör álint Óbudai Egyetem KVK Mikroelektronikai és Technológia Intézet INÁRIS SZÁMRENDSZER 3. ELŐDÁS EVEZETŐ ÁTTEKINTÉS 6. előadás témája a digitális rendszerekben központi szerepet játszó számrendszerek és aritmetikák.. Számrendszerek. ináris számok 3. ritmetikai műveletek bináris számokkal jelen és a következő előadáshoz kapcsolódó jegyzetrészek: Áttekintjük a digitális technikában használatos számrendszereket, az aritmetikai műveletek elvégzésének szabályait és célszerű algoritmusait, valamint az egyes számrendszerek közti áttérések algoritmusait is. digitális rendszerekben, célszerűségi okokból a -es (bináris) számrendszer terjedt el. Mindezek sokféle digitális funkcionális egység működésének alapjait képezik. Rőmer jegyzet 46-6 old., 79-8 old. Zsom jegyzet I, 9-49 old., 97-99 old. Gál könyv 3-45 old., 67- old. z előadások ezen könyvek megfelelő fejezetein alapulnak. 3 4 HELYÉRTÉK INÁRIS SZÁMRENDSZER 38 = 3 + + 8 38 = 3 + + 8 Szám helyértéke () = 7 6 5 4 3 + + + + + + + Szám alaki értéke Számjegyek:,,,3,4,5,6,7,8,9 Számjegyek:, 38 = 3 + + 8 Szám valódi értéke Számrendszer alapja: Decimális számrendszer 5 számítástechnika és a digitális technika a bináris számrendszerre épül 6
7.4.. -ES SZÁMRENDSZER kettes számrendszert Leibniz dolgozta ki, még 679-ben, majd 854-ben George oole alakította ki hozzá az algebrát. oole-féle algebrában nem csupán az összeadás és szorzás művelete lehetséges, hanem az ún. logikai műveletek is: és, vagy, negáció. -es számrendszer használatakor az adattárolás lényegesen egyszerűbben oldható meg, mint a - es számrendszerben. 936-ban R. Valtat szabadalmaztatta egy -es számrendszerben dolgozó számítógép elvét. Ebben az időben kezdett hozzá Konrad Zuse is egy -es számrendszert alkalmazó, mechanikus működésű, programvezérelt számítógép kifejlesztéséhez. Valtat és Zuse felismerte, hogy a -es számrendszer használata egyszerűsíti a HEXDECIMÁLIS SZÁMRENDSZER 3 4F = 6 + 4 6 + F 6 + Számjegyek:,,..., 9,,, C, D, E, F számítástechnikát. 7 8 6 = 496 + 4 56 + 5 6 + = 537 () Megkülönböztető jelölés $, pl. $4F -ES ÉS -ES SZÁMRENDSZER Pl. 9 tízes számrendszerbeli alakja azért ez, mert 9 = x 3 + x + x + 9x kettes számrendszerbeli alakja, mert 9 = x + x 9 + x 8 + x 7 + x 6 + x 5 + x 4 + x 3 + x + x + x Hexadecimális rendszerben pedig $7D9 SZÁMRENDSZEREK ÉS SZÁMJEGYEIK Megnevezés lap Számjegyek ináris (duális), Ternális 3,, Tetrális 4,,,3 Kvintális 5,,,3,4 Oktális 8,,,3,4,5,6,7 Decimális,,,3,4,5,6,7,8,9 Duodecimális,,,3,4,5,6,7,8,9,a,b Hexadecimális 6,,,3,4,5,6,7,8,9,,,C,D,E,F 9 ÁTSZÁMÍTÁS KÉT SZÁMRENDSZER KÖZÖTT Egy természetes szám átírása egyik számrendszerből a másikba: a számot elosztjuk az új rendszer alap-számával, és a maradékokat jobbról balra haladva leírjuk. Pl. 9 = x4 +, 4 = x5 +, 5 = x5 +, 5 = x5 +, 5 = x6 +, 6 = x3 +, 3 = x5 +, 5 = x7 +, 7 = x3 +, 3 = x +, = x +. Tehát -ESŐL -ESE VLÓ ÁTLKÍTÁS LGORITMUS -esből -esbe való átalakítás algoritmusa így is megfogalmazható (a kapott számjegyeket jobbról balra kell leírni): Ismételd Ha a szám páratlan, írj le -et, és vonj ki a számból -et, különben írj le -t oszd el a számot -vel amíg a szám nem
7.4.. POZITÍV ÉS NEGTÍV INÁRIS SZÁMOK bináris szám éppen úgy mint egy decimális szám, lehet pozitív vagy negatív. számítógépekben az előjel ábrázolása és szimbólumokkal valósul meg. plusznak, a mínusznak felel meg. Ez az ún, előjelbit, mely után következik a szám abszolút értéke. -ES KOMPLEMENS (-es kiegészítős számábrázolás) Ha egy n-bites pozitív szám (egész szám) szimbolikus jelölése N = a a... a a P n n 3 az azonos abszolút értékű negatív számé N = a a... a a Q n n 3 -ES KOMPLEMENS (-es kiegészítős számábrázolás) POZITÍV ÉS NEGTÍV NÉGYITES INÁRIS SZÁMOK ÁRÁZOLÁS pozitív számok ábrázolása azonos a két előbbi számábrázolással. Egy n-bites pozitív szám (egész szám) szimbolikus jelölése M = a a... a a P n n 3 az azonos abszolút értékű negatív számé pedig a következő összeg eredménye M = a a a a + Q n n 3... -ES SZÁMRENDSZER ELŐNYEI z áramköri megvalósítás szempontjából előnyös, hogy a leképezéséhez csak két stabil állapot szükséges, így kétállapotú elemekkel: relékkel, tranzisztorokkal, mágnesezhető elemekkel könnyen leképezhető. két egymástól távol eső stabil állapot következtében viszonylag érzéketlen a fellépő zavarokkal szemben, illetve azok könnyen elháríthatók. digitális technika természetes számrendszere a kétértékű megvalósításból adódóan is a kettes számrendszer. Ehhez jól illeszkedik a hexadecimális számrendszer. Ebben a technikában a tízes számrendszer használata, néhány kivételtől (pl. decimális számlálók) eltekintve nehézkes, és -ES SZÁMRENDSZER ELŐNYEI: MTEMTIKI SZEMPONTOK bináris számrendszer matematikai szempontból is előnyös. z aritmetikai műveletek igen egyszerűen hajthatók végre, és igen egyszerű a logikai ítéletalkotás is. Ugyanazok a számjegyek használhatók fel mind az aritmetikai, mind a logikai műveletekhez. sok helyen indokolatlan. 7 8 3
7.4.. 8-S ÉS 6-OS SZÁMRENDSZER hexadecimális számrendszert kényelmi szempontból használják, pl. mert a kettes számrendszerrel nagy számokat hosszú leírni. hexadecimálisból könnyű a binárisra átváltani és viszont. hexadecimális rendszert a $ jellel is jelölik. in-hex átváltás: négy bináris számjegy egy hexa számjegyet ad ki, pl. = $F. Egy byte két hexa számjeggyel adható meg. INÁRIS ÖSSZEDÁS Két bináris számjegy + = C, S alakú bináris összeadása: S - eredeti helyértéken mutatkozó összeg (sum vagy magyarul summa), C - következő helyértékre való átvitel (carry). Igazságtábla és logikai függvények: S C S = + = C = Megvalósító elem: félösszeadó 9 FÉLÖSSZEDÓ (HLF-DDER) Feladata két bit összeadása S = + = INÁRIS ÖSSZEDÁS: FÉLÖSSZEDÓ S FÖ C S: összeg, sum C: maradék, átvitel, carry C = Félösszeadó: két bemenet és két kimenet. Két bináris számjegyet tud összeadni, előállítja az összeget és átvitelt. Nem veszi figyelembe a kisebb helyértékről jövő átvitelt. = & félösszeadó S C INÁRIS/HEXDECIMÁLIS ÖSSZEDÁS IN DEC 3 + 7 3 3 7 6 z összeadás hasonló a -e számrendszerbelihez: két számjegyet és az előző helyértékről származó maradékot kell összeadni. z összeg egyes helyértékén lévő számot le kell írni, a kettes helyértéken lévőt tovább kell vinni. 3 TELJES ÖSSZEDÓ Funkciója két bit és az előző helyi értékből származó maradék (átvitel) összeadása C in TÖ S C out 4 4
7.4.. TELJES ÖSSZEDÓ (FULL DDER) Z ÖSSZEGFÜGGVÉNY (D i ) INDEX i 3 4 5 6 7 FÜGGETLEN VÁLTOZÓKHOZ RENDELT "SÚLYOK" (4) () () i i C i- D i C i FÜGGŐ VÁLTOZÓK teljes összeadónak három bemenete, a két operandus, és az alacsonyabb hely-értékről érkező átvitel ( i, i és C i- ) és két kimenete, az összeg és az átvitel) (S i (a táblázatban D i jelöli) és C i ) van. D i = (,,4,7) C i = (3,5,6,7) 5 i 3 4 5 6 7 (4) () () i i C i- D i sakktábla Szimmetrikus függvény D i i C i- 3 6 7 4 5 i 6 TELJES ÖSSZEDÓ EGY LEHETSÉGES MEGVLÓSÍTÁS KÉT 4-ITES SZÁM ÖSSZEDÁS Soros átvitel terjedés (ripple carry adder) i i i i Ci- 3 3 C in C in C in C in (i + i) Ci- TÖ TÖ TÖ FÖ C out S C out S C out S C out S i + i Q 3 Q Q Q ii ii + (i + i) Ci- 7 Carry flag 8 INÁRIS KIVONÁS Két bináris számjegy - = D, (K) alakú bináris kivonása: K - magasabb helyértékről vett kölcsön (borrow); D - eredeti helyértéken mutatkozó különbség (difference) K D _ D = K = 9 INÁRIS SZÁMOK KIVONÁS ináris számok kivonásának algoritmusa hasonló a decimális számokéhoz ( > ): = n n-... - = n n-... K = K n K n-... K K D = D n D n-... (kölcsön) (különbség) a különbség i-edik bitje D i = D i ( i, i,k i+ ) az i-edik különbségnél szükséges kölcsön K i = K i ( i, i,k i+ ) és K = 3 5
7.4.. INÁRIS SZORZÁS z x = P bináris szorzás szorzótáblája (bináris egyszeregy ) igen egyszerű P Lényegében azonos a logikai ÉS kapcsolattal (logikai szorzás) INÁRIS SZÁMOK SZORZÁS bináris számok szorzása ugyanúgy történik, mint a decimális számoké: - ha a szorzó soronkövetkező számjegye -es, akkor összeadás következik, - ha -as, akkor nincs összeadás. Minden helyértéknél léptetjük a részletszorzatot a megfelelő irányba. 3 3 INÁRIS SZORZÁS ELVÉGZÉSE x 36 x. részletszorzat. részletszorzat összeg 3. részletszorzat összeg 4. részletszorzat végösszeg 396 Kódok, kódolás: alapfogalmak 33 34 Code (m) Kód KÓD - francia szó, eredeti szűkebb értelme a rejtjellel kapcsolatos. - információ kifejezésének, közlésének, megjelenítésének egyik formája. KÓDOLÁS ÉS DEKÓDOLÁS C C C C Kódoló Dekódoló Kód Kód - információt hordozó szimbólumok, - szimbólumokból felépített szavak, - szimbólumok és szavak összekapcsolási szabályai. - előírás, mely egyazon információ két ábrázolási formája (két C) közötti kapcsolatot adja meg. hozzárendelésnek nem kell feltétlenül egyértelműen megfordíthatónak lennie. 35 ár a a kódolás és dekódolás egymással felcserélhető, a gyakorlatban kódolás ha a szokásosabb, vagy eleve adott C a kiindulási alap, és dekódolás a fordított eset. Pl. -es számrendszer -es rendszer - kódolás -es számrendszer -es rendszer - dekódolás 36 6
7.4.. SZIMÓLUMKÉSZLET zon elemi jelek összessége melyeket a kódolásra felhasználhatunk. Pl. tízes számrendszer (a mennyiségi információ egyik kódja): - tíz darab számjegy, - tizedesvessző, - előjel, - szóköz. Pl. bináris kód a digitális technikában: - csak két szimbólum, és. KÓDSZÓ, KÓDVEKTOR szimbólumkészletből alkotott sorozat. Definiálni kell az egyes jelek összekapcsolási, illetve az egyes szavak megkülönböztetésének szabályait. Kétértékű (bináris) kód: az alkotóelem a bit. kódszavak különböző hosszúságúak lehetnek. 8 bit byte, a kódszavak hosszát gyakran byte-ban adják meg. 37 38 KÓDSZÓ KÉSZLET INÁRIS ÉS NEM INÁRIS KÓDOK Egy rendszerben használt kódszavak összessége. Pl. egy beszélt nyelvben a használt összes szó. használt szavak a megengedett, az értelmetlen szavak a tiltott kódszavak. Pl. szokásos CD kód: megengedett, tiltott kódszó (tetrád, illetve pszeudotetrád). ináris kód két elemű szimbólumkészlet. Nem bináris kód többelemű szimbólumkészlet. Gyakorlati megvalósíthatóság: kétállapotú elemek előnyös tulajdonságai bináris kód. 39 4 KÓDOLT INFORMÁCIÓ TOVÁÍTÁS Soros átvitel Párhuzamos átvitel Vegyes üzemmód DTÁTVITEL Kódolt információ átvitele: többféle üzemmódban lehet - soros, - párhuzamos, - vegyes. Soros átvitel: csatornák száma kicsi, adatátvitel ideje nagy. Párhuzamos átvitel: egyidejűleg több csatornán. Vegyes üzemmód: a két átvitelfajta valamilyen kombinációja. z adó és vevőoldali berendezések bonyolultabbak, és költségesebbek. 4 4 7
7.4.. Kódok hibavédelmi képessége datforrás Hiba felismerés feltétele: D Átvivő közeg Zaj, zavar Rendeltetési hely Hiba javítás feltétele: D 3 Általánosságban k m + k HIFELISMERŐ ÉS HIJVÍTÓ KÓDOK Legegyszerűbb hibafelismerési eljárás: paritásbit átvitele Két lehetőség Kód Paritásbit páros paritás páratlan paritás m információs bithez k ellenőrző bit szükséges 43 44 HIJVÍTÁS DECIMÁLIS SZÁMJEGYEK INÁRIS KÓDOLÁS DÓ PRITÁS GEN. JEL ITEK PRITÁS IT PRITÁS VIZSG. VEVŐ PRITÁS HI JELZŐ hibajavítást blokkrendszerű adatátvitel esetén SOR és OSZLOP paritás ellenőrzésével is elvégezhetjük. Ily módon egyetlen hiba a hibás sor és oszlop Információ ábrázolás és feldolgozás: tiszta bináris (és -es, valamint -es komplemens) kód. dat be- és kivitel: tízes számrendszer. -es számrendszer egyes számjegyei (a szimbólum,,,... 9) kifejezése bináris kóddal: binárisan kódolt decimális kód inary Coded Decimal (CD) 45 46 metszéspontjában van, így a hiba értékcserével javítható NORMÁL CD KÓD Természetes kód - Minden számjegyhez a 4-bites bináris kódját rendeli - Természetes helyérték: 8 4 Érvényes kódszavak PSZEUDOTETRÁDOK ZONOSÍTÁS KRNUGH TÁLÁN C Minimalizálás után P = + C d = 8a 4 + 4a 3 + a +a hat nem megengedett kombináció (,... ) neve pszeudotetrád. Nem használt, illetve érvénytelen kódszavak 47 D Hibajelző: & & C 48 8
7.4.. Példa: decimális CD (84) ÖSSZEDÁS CD 47 + 3 + 558 Mivel egyetlen helyértéken sem volt az összeg 9-nél nagyobb, ezért korrekcióra nem volt szükség CD ÖSSZEDÁS: +6 KORREKCIÓ 789 + 3 + + +6 korrekció + +6 korrekció + +6 korrekció 49 5 CD (84) ÖSSZEDÁS LGORITMUS CD + CD CD = CD + bin CD Átvitel két dekád között CD KÓDÚ ÖSSZEDÁS + > 9. érvénytelen kódszó Decimális 6 (bináris ) korrekció C4 CD + CD CD = CD + bin CD + bin 6 CD ha CD + bin CD 9 ha CD + bin CD > 9 3 3 3 ináris összeadó 3 C4 C S3 S S S & & 3 ináris összeadó 3 C S3 S S S S3 S S S 5 5 9