Bevezetés a matematikába. http://jgypk.u-szeged.hu/tanszek/szamtech/oktatas/matematika.pdf Galambos Gábor JGYPK 2013-2014 Bevez. a mat.-ba Felsıoktatási Szakképzés 1 Az elıadás fıbb témái: Halmazok: Alapfogalmak, mőveletek halmazokkal, számhalmazok, végtelen halmazok. Relációk: Alapfogalmak, relációk tulajdonságai (reflexív, szimmetrikus, tranzitív, ekvivalencia reláció, trichotómia, rendezés, jólrendezés). Függvények: Alapfogalmak, függvények ábrázolása, mőveletek függvényekkel, speciális függvények (pl. rekurzív függvények). Matematikai Logika: Alapfogalmak, logikai mőveletek, logikai függvények, következtetések és szabályaik. A lineáris algebra alapjai: Lineáris egyenletrendszerek, mátrixok, determinánsok, lineáris egyenletrendszerek numerikus megoldásai. Kombinatórika: Alapfogalmak, permutáció és tulajdonságai, kombinációk, binomiális együtthatók, variációk. Gráfelmélet: Alapfogalmak, gráfok ábrázolása, klasszikus gráfbejárások, párosítások, magyar módszer, fagráfok. Bevez. a mat.-ba Felsıoktatási Szakképzés 2 1 A Matematika II. fıbb témái: Valószínőségszámítás Intervallum, távolság, környezet Valós függvények Számsorozatok és sorok Függvények határértéke, folytonosság Differenciálszámítás Differenciálható függvények vizsgálata Integrálszámítás Az elıadás Bánhegyesiné Topor Gizella, Bánhegyesi Zoltán: Matematika, nem matematika szakosoknak.okj informatika sorozat. Mőszaki Kiadó, Budapest, 2002. ISBN 963-16-2266-5. (Megrendelhetı: www.muszakikiado.hu.) Csernyák László: Analízis, Matematika közgazdászoknak sorozat. Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, 2005, ISBN 963 19 3510 8. alapján lett összeállítva. (Keress rá a Google-n: Csernyák László ) Bevez. a mat.-ba Felsıoktatási Szakképzés 3 Bevez. a mat.-ba Felsıoktatási Szakképzés 4 2
A közös tulajdonságok alapján csoportba foglalható tárgyakat, fogalmakat halmazoknak nevezzük. Pl. bélyeggyőjtemény, embercsoportok, számok, függvények. A halmazhoz tartozó egyedeket a halmaz elemeinek nevezzük. Melyek az elemek legfontosabb tulajdonságai? Egyértelmően eldönthetı, hogy az elem hozzátartozik-e a halmazhoz. A halmaz minden eleme a többi elemtıl megkülönböztethetı. Egy halmazban egy elem csak egyszer fordul elı. Egy halmaz nem lehet önmagának az eleme. Georg Cantor (1845-1918) alapozta meg a halmazelmélet fogalmát. Bevez. a mat.-ba Felsıoktatási Szakképzés 5 Azt, hogy egy h dolog eleme a H halmaznak a h H jelöléssel írjuk le. Ha h nem eleme a H halmaznak, akkor a h H jelölést alkalmaz-zuk. Pl. Ha N-nel jelöljük a természetes számok halmazát, akkor 5 N és -13 N. Bármely halmazt egyértelmően meghatározzák az elemei: ha H egy halmaz, akkor bármely x dologra vagy x H vagy x H áll fenn. Két halmazt akkor tekintünk azonosnak, ha elemei ugyanazok, azaz a H és K halmaz akkor egyenlı, ha h H esetén h K is teljesül, és ha h H akkor h K is igaz. Jelölése: H = K. Bevez. a mat.-ba Felsıoktatási Szakképzés 6 3 Egy halmazt megadhatunk elemeinek felsorolásával vagy egy olyan tulajdonsággal, amely a halmaz elemeit egyértelmően meghatározza. Pl. A 3-mal osztható természetes számok halmaza így írható le: H = {0, 3, 6, 9, } vagy H = {x x N és x osztható 3-mal}. Halmazok ábrázolása: Venn-diagram Azt a halmazt, amelynek egyetlen eleme sincs, üres halmaznak nevezzük, és -val vagy { }-val jelöljük. Pl. Tekintsük a következı halmazt: A = {azon valós x számok, amelyekre sin x + cos x = 2 igaz} Mivel sin x és cos x mindig csak -1 és +1 közé esı értékeket vehet fel, ezért az egyenlet csak akkor lehet igaz, ha sin x = 1 és cos x = 1 egyszerre teljesül. A sin x = 1 megoldása: A cos x = 1 megoldása: Ezért nincs olyan x valós szám, amely egyenletünknek megoldása lenne. Ezért A =. Bevez. a mat.-ba Felsıoktatási Szakképzés 7 Bevez. a mat.-ba Felsıoktatási Szakképzés 8 4
Változtassuk meg az A halmaz definícióját: B = {azon valós számok halmaza, amelyekre sin x + cos x = 2 igaz} Van különbség a két definíció között? Induljunk ki az autók halmazából. Keressünk olyan tulajdonságokat, amelyek alapján tovább bonthatjuk az autók halmazát! Mondjunk további halmazokat, és bontsuk ezeket részekre! Az A halmaz üres halmaz, a B halmaz nem üres halmaz, mert egyetlen elemet tartalmaz, ti. az A üres halmazt. Könnyő belátni, hogy csak egy üres halmaz van. (Használni kell a két halmaz azonosságára vonatkozó definíciót.) Venn diagrammal: Személyautók Autók Bevez. a mat.-ba Felsıoktatási Szakképzés 9 Bevez. a mat.-ba Felsıoktatási Szakképzés 10 5 Egy K halmazt a H halmaz részhalmazának nevezünk, ha a K halmaz minden eleme egyben H-nak is eleme. Jelölése: K H. A definícióból következik, hogy minden halmaz része saját magának, hiszen minden x H -ból következik, hogy x H, tehát a H H tartalmazás mindig igaz. Az üres halmaz minden halmaznak részhalmaza. Tekintsünk egy A halmazt, amely részhalmaza H-nak. Azt a halmazt, amely a H valamennyi A-hoz nem tartozó elemét tartalmazza, az A halmaz H-ra vonatkoztatott komplementer (kiegészítı) halmazának nevezzük. Jelölése: A = {x x H és x A } H Egy K halmazt a H halmaz valódi részhalmazának nevezünk, ha a K részhalmaza H-nak és H-nak van legalább egy eleme, amely nem eleme K-nak. Jelölése: K H. Tétel: K H akkor és csak akkor igaz, ha K H, de H K. Tétel: Ha K H és H K, akkor H = K. A A Bevez. a mat.-ba Felsıoktatási Szakképzés 11 Bevez. a mat.-ba Felsıoktatási Szakképzés 12 6
Néhány egyszerő megállapítás: Egy halmaz önmagára vonatkoztatott komplementere az üres halmaz. Az üres halmaz komplementere maga a halmaz. Egy halmaz bármely másik halmazra vonatkoztatott komplementerének a komplementere maga a halmaz. Ha két halmaznak ugyanarra a halmazra vonatkoztatott komplementere egyenlı, akkor a két halmaz is egyenlı egymással. (Ez megfordítva is igaz.) Mőveletek halmazokkal Az A és B halmazoknak az A B szimbólummal jelölt Descartes-féle szorzatán az összes olyan rendezett (a,b) párokból álló halmazt értjük, amelyekre a A és b B. Jelölése: A B = { (a,b) a Aés b B}. Ha A = B, akkor az A A helyett az A 2 jelölést is használjuk. Pl. Legyen A = {1, 2, 3} és B = {e, f} A B = Bevez. a mat.-ba Felsıoktatási Szakképzés 13 Bevez. a mat.-ba Felsıoktatási Szakképzés 14 7 A táblázat felfogható egy speciális szorzótáblának. A szorzathalmaz elemeinek a számát a két halmaz elemeinek szorzata adja. Tétel: A Descartes-szorzás mővelete nem kommutatív. (Nem felcserélhetı). A szorzathalmaz kettınél több halmaz szorzatára is értelmezett, ekkor rendezett hármasok, négyesek, stb. lesznek a szorzathalmaz elemei. N A szorzathalmaz lehetıvé teszi matematikai alakzatok konstrukcióját is: N Bevez. a mat.-ba Felsıoktatási Szakképzés 15 Bevez. a mat.-ba Felsıoktatási Szakképzés 16 8
A mőveletekrıl általában Egy H halmazon értelmezett (belsı, kétváltozós) mővelet nem más, mint a H H szorzathalmaz leképezése önmagába a H halmazba, azaz minden (x,y) H H rendezett párhoz H egy elemét rendeljük. Matematika jelöléssel: φ: (x,y) H H z = f(x,y) H Három alapvetı mőveleti tulajdonságot fogunk definiálni: Asszociativitás (csoportosíthatóság) Kommutativitás (felcserélhetıség) Disztributivitás (széttagolhatóság) Asszociativitás Egy H halmazon értelmezett mőveletet akkor mondunk asszociatívnak, ha bármely x, y, z H elemre fennáll, hogy (x y) z = x (y z) = x y z. Ha egy mővelet asszociatív, akkor a zárójelet bárhova lehet rakni, de az elemek sorrendje lényeges. Asszociatív mővelet a valós számok halmazán értelmezett összeadás és szorzás. Nem asszociatív mővelet a hatványozás, hiszen A bal oldal eredménye 8 2 = 64, a jobb oldalé 2 9 = 512. Bevez. a mat.-ba Felsıoktatási Szakképzés 17 Bevez. a mat.-ba Felsıoktatási Szakképzés 18 9 Kommutativitás Egy H halmazon értelmezett mőveletet akkor mondunk kommutatívnak, ha bármely x, y H elemre fennáll, hogy x y = y x. Ha egy mővelet kommutatív, akkor a mővelet eredménye független a mőveletben résztvevı elemek sorrendjétıl Kommutatív mővelet a valós számok halmazán értelmezett összeadás és szorzás, vagy az egybevágósági transzformációk egymás utáni végrehajtása. Nem kommutatív mővelet a kivonás, hiszen 5 3 3 5. Bevez. a mat.-ba Felsıoktatási Szakképzés 19 Disztributivitás Legyen adott a H halmazon értelmezett két mővelet és. A mőveletet balról disztributív a mőveletre nézve, ha bármely x, y z H elemre fennáll, x (y z) = (x y) (x z). Legyen adott a H halmazon értelmezett két mővelet és. A mőveletet jobbról disztributív a mőveletre nézve, ha bármely x, y z H elemre fennáll, (x y) z = (x z) (x y). Ha egy mővelet balról is és jobbról is disztributív egy másik mőveletre nézve, akkor egyszerően disztributivitásról beszélünk. A valós számok körében definiált szorzás mővelete disztributív az ugyanitt definiált összeadás mőveletére nézve. Bevez. a mat.-ba Felsıoktatási Szakképzés 20 10
Zártság A H halmaznak egy K részhalmazát a mőveletre nézve zártnak mondunk, bármely x, y K elemekre igaz, hogy x y K. Pl. a pozitív páratlan számok halmaza az összeadásra nézve nem zárt, de a szorzásra nézve zárt. Halmazok uniója Az A és B halmazok unióján (egyesítésén) azt a halmazt értjük, amely azokat és csak azokat az elemeket tartalmazza, amelyek A és B közül legalább az egyiknek elemei. Jelölése: A B. Az A és B halmazokat az unió tagjainak nevezzük. A B A halmazok egyesítés három vagy több tagra is definiálható: Az A 1, A 2,, A n, halmazok unióján (egyesítésén) azt a halmazt értjük, amely azokat és csak azokat az elemeket tartalmazza, amelyek A i (i=1,2,, n) halmazok közül legalább az egyiknek elemei. Jelölése: A 1 A 2 A n. Bevez. a mat.-ba Felsıoktatási Szakképzés 21 Bevez. a mat.-ba Felsıoktatási Szakképzés 22 11 Az unióképzés mőveletének legfontosabb tulajdonságai: Az unióképzés mővelete kommutatív. Az unióképzés mővelete asszociatív. Az unióképzés mővelete idempotens: A A = A. A = A. A B = B akkor és csak akkor, ha A B. A B = akkor és csak akkor, ha A = és B =. Legyen A egy halmaz, és legyen A B. Ha A' az A halmaz B-re vonatkoztatott komplementer halmaza, akkor A A' = B. Halmazok metszete Az A és B halmazok metszetén (közös részén) azt a halmazt értjük, amely azokat és csak azokat az elemeket tartalmazza, amelyek mind az A mind a B halmaznak elemei. Jelölése: A B. Az A és B halmazokat az metszet tagjainak nevezzük. Pl. Legyen K = {12 osztói}, és L = {20 osztói}. Ekkor K = {1, 2, 3, 4, 6, 12} és L = {1, 2, 4, 5, 10, 20}. Így K L ={1, 2, 4}. A metszethalmaz éppen a 12 és 20 közös osztóinak halmaza. A halmazok metszete három vagy több tagra is definiálható: Az A 1, A 2,, A n, halmazok metszetén azt a halmazt értjük, amely azokat és csak azokat az elemeket tartalmazza, amelyek A i (i=1,2,, n) halmazok mindegyikének eleme. Jelölése: A 1 A 2 A n. Bevez. a mat.-ba Felsıoktatási Szakképzés 23 Bevez. a mat.-ba Felsıoktatási Szakképzés 24 12
Az metszetképzés mőveletének legfontosabb tulajdonságai: Az metszetképzés mővelete kommutatív. Az metszetképzés mővelete asszociatív. Az metszetképzés mővelete idempotens: A A = A. A =. A B=Aakkor és csak akkor, ha A B. Legyen A egy halmaz, és legyen A B. Ha A' az A halmaz B-re vonatkoztatott komplementer halmaza, akkor A A' =. Az unió a metszetképzésre nézve disztributív. A metszet az unióképzése nézve disztributív. Szemléltessük, hogy unió a metszetképésre nézve disztributív! A (B C) = (A B) (A C) A (B C) (A B) (A C) A B A B C C Bevez. a mat.-ba Felsıoktatási Szakképzés 25 Bevez. a mat.-ba Felsıoktatási Szakképzés 26 13 Halmazok különbsége Az A és B halmazok különbségén az A halmaznak azt a részét értjük, amelyek nem tartoznak a B halmazhoz. Jelölése: A \ B. A különbségképzés mőveletének legfontosabb tulajdonságai: Az A \ B különbséghalmaz mindig részhalmaza A-nak. Amennyiben egy A halmazból kivonjuk annak egy B részhalmazát, akkor a B halmaznak A-ra vonatkozó komplementerét kapjuk: A \ B = A'. A B \ A különbséghalmazt az A \ B szimmetrikus párjának nevezzük. A B \ A és az A \ B halmazoknak nincs közös eleme (diszjunktak). A \ = A és \ A = és A \ A =. A különbségképzés mővelete nem kommutatív. A különbségképzés mővelete nem asszociatív. Bevez. a mat.-ba Felsıoktatási Szakképzés 27 Szimmetrikus differencia Az A és B halmazok szimmetrikus differenciáján az A B = {A \ B} {B \ A} halmazt értjük, A A B A definícióból a következı tulajdonságok következnek: A A= A B=B A A = A = A. ( A B) C = A (B C ) ( a mővelet asszociatív). Bevez. a mat.-ba Felsıoktatási Szakképzés 28 B 14
halmaz- Venn diagramm segítségével ábrázoljuk a ( A B) C mőveletet! Számhalmazok Természetes számok A B A természetes számok halmazát a Peano axómákkal (1889) írhatjuk le. Giuseppe Peano (1858 1932). C Kurt Gödel: Minden axiómarendszerben léteznek olyan állítások, amelyek nem eldönthetık, azaz amelyeknek bizonyítása és cáfolata az adott rendszeren belül nem végezhetı el. Bevez. a mat.-ba Felsıoktatási Szakképzés 29 Bevez. a mat.-ba Felsıoktatási Szakképzés 30 15 A Peano axiómák: 1. A 0 természetes szám, azaz 0 N. 2. Bármely n természetes számnak létezik egy és csak egy az n számtól különbözı n' rákövetkezıje, amelyik szintén természetes szám. 3. Nincs olyan természetes szám, amelynek a 0 a rákövetkezıje. 4. Különbözı természetes számoknak különbözı a rákövetkezıje. 5. Ha egy K halmaz az N részhalmaza, továbbá K rendelkezik az 1- es axióma szerinti tulajdonsággal, és minden K-beli elem rákövetkezıje is a K halmazban van, akkor K = N. A Peano axiómák (formalizáltan): 1. 0 N. 2. Ha n N, akkor n' N. 3. Ha n' = 0, akkor n N. 4. Ha m, n N, és m n, akkor n' m'. 5. Ha egy K halmazra igaz, hogy (i) K N, (ii) 0 K, (iii) ha n K, akkor n' K, akkor K = N. Bevez. a mat.-ba Felsıoktatási Szakképzés 31 Bevez. a mat.-ba Felsıoktatási Szakképzés 32 16
Az 5-ös axiómát szokás a teljes indukció axiómájának nevezni. Legyen α(n) minden n N-re értelmezett állítás, és tegyük fel, hogy teljesül a következı két feltétel: azα(1) állítás igaz, ha valamely n N eseténα(n) igaz, akkorα(n+1) is igaz, Ekkor α(n) minden n N esetén igaz. A teljes indukció axiómájának változata: Legyen k N, ésα(n) minden k n N-re értelmezett állítás, és tegyük fel, hogy teljesül a következı két feltétel: azα(k) állítás igaz, ha valamely n N eseténα(n) igaz, akkorα(n+1) is igaz, Ekkor α(n) minden k n N esetén igaz. Bevez. a mat.-ba Felsıoktatási Szakképzés 33 Nézzünk egy teljes indukciós bizonyítást: Bizonyítsuk be, hogy az elsı n természetes szám összege Biz. 1. A tétel állítása n = 1-re igaz, hiszen S(1) = 1. 2. Tegyük fel, hogy az állítást valamely n 1-re már beláttuk. Ekkor Ezért a tétel állítása igaz. Bevez. a mat.-ba Felsıoktatási Szakképzés 34 17 N-ben két mővelet definiálható: az összeadás, és a szorzás. mindkét mőveletre bebizonyítható, hogy asszociatív és kommutatív, és belátható, hogy a z összeadás a szorzásra nézve disztributív mővelet. Esetleg beszélni az egységelemrıl és a zérus elemrıl. Egész számok Próbáljuk meg kiterjeszteni a természetes számok halmazát, és az azon értelmezett összeadás és szorzás mőveletét. A halmaz kiterjesztésénél tartsuk be a következı elveket: Az új halmaznak a természetes számok halmaza legyen részhalmaza. Az új halmaz elemein legyen elvégezhetı a kivonás mővelete. Az összeadás és a szorzás mőveletét úgy kell értelmezni az új halmazon, hogy ha a mőveleteket N-beli elemekre alkalmazzuk, akkor ugyanazt az eredményt kell kapnunk, mint korábban. Érvényesüljön a permanencia elve, azaz mőveletekre minél több azonosság maradjon érvényben. Bevez. a mat.-ba Felsıoktatási Szakképzés 35 Bevez. a mat.-ba Felsıoktatási Szakképzés 36 18
Az n természetes szám ellentettjének nevezzük, és n-nel jelöljük az n + x = 0 egyenlet megoldását. Tehát n-et az n +( n) = ( n) + n = 0 összefüggés értelmezi. A pozitív természetes számok ellentettjei a természetes számokkal együtt alkotják az egész számok halmazát. Az egész számok halmazának jele: Z. A permanencia elvének megfelelıen az összeadás az egész számok halmazán a következıképpen értelmezhetı: Tetszıleges n, m N-re, ( n) +( m) = (n + m). Racionális számok Legyen p, q N és q 0. Keressük qx = p egyenlet megoldását az egész számok halmazán. Ha a megoldás nem egész, akkor a p-nek q- val való osztását jelöljük p/q-val, és ezt egy új számnak tekintjük. A p/q alakú számokat, ahol q 0, racionális (tört)számoknak nevezzük, ahol p a törtszám számlálója és q a törtszám nevezıje. A racionális számok jelölése: Q. Az egész számok olyan törtszámok, amelyeknek nevezıje 1. A racionális számok halmazán a racionális mőveletek összeadás, kivonás, szorzás, osztás elvégezhetık. (Ez azt jelenti, hogy e mőveletek eredménye nem vezet ki a racionális számok halmazából.) Bevez. a mat.-ba Felsıoktatási Szakképzés 37 Bevez. a mat.-ba Felsıoktatási Szakképzés 38 19 Amennyiben azt akarjuk, hogy a alakú számok ugyanúgy viselkedjenek, mint az egész számok továbbá az eddigi mőveletek tulajdonságai (asszociativitás, kommutativitás, disztributivitás) érvényben maradjanak, az összeadást és a szorzást a következıképpen kell definiálni: Bizonyítsuk be, hogy a 3,2121212 végtelen szakaszos tizedes tört egy racionális szám tizedes tört alakja! Keressünk általános megoldást egy végtelen szakaszos tizedes tört racionális törtszámmá alakítására! Bevez. a mat.-ba Felsıoktatási Szakképzés 39 Bevez. a mat.-ba Felsıoktatási Szakképzés 40 20
A racionális pontok a számegyenesen ábrázolhatók. Belátható, hogy a számegyenesen bármely két racionális pont között van egy a két számtól eltérı újabb racionális pont. A racionális pontok a számegyenesen egyenletesen sőrőn helyezkednek el. Valós számok Vannak olyan számok, amelyek nem írhatók fel két egész szám hányadosaként. Ilyen pl. a. Bizonyítsuk be, hogy a nem írható fel alakban, ahol p,q Z. Biz. Tfh. az állítás nem igaz. Ekkor ahol (p,q) = 1. Emeljük mindkét oldalt négyzetre: Ebbıl adódik, hogy 2q 2 = p 2, ami lehetetlen, hiszen p és q relatív prímek. Bevez. a mat.-ba Felsıoktatási Szakképzés 41 Bevez. a mat.-ba Felsıoktatási Szakképzés 42 21 Azokat a számokat, amelyek nem írhatók fel két egész szám hányadosaként, irracionális számoknak nevezzük. Jele: Q. Az irracionális számok azok a számok, amelyek végtelen nem szakaszos tizedes tört formájában felírhatók. Tétel: Az irracionális számok halmaza a racionális számok komplementer halmaza a valós számok halmazára vonatkozóan. Q* = R Q. A racionális pontok bár mindenütt sőrőn helyezkednek el a számegyenesen, mégsem töltik azt teljesen ki. A lukakban helyezkednek az irracionális számok. A racionális és az irracionális pontok teljesen kitöltik a számegyenest. Természetes számok Egész számok Racionális számok Valós számok A számegyenes pontjainak megfeleltethetı számok halmazát a valós számok alkotják. Jele: R. Bevez. a mat.-ba Felsıoktatási Szakképzés 43 Bevez. a mat.-ba Felsıoktatási Szakképzés 44 22
Algebrai és transzcendens számok Láttuk azt, hogy a számhalmazok között a valós számok halmaza a legtágabb halmaz, amely két diszjunkt halmazra a racionális és az irracionális bontható. Létezik a valós számok halmazának másféle felbontása részhalmazokra? Kis kitérı következik Polinomokról általában A polinom (többtagú algebrai kifejezés) egy olyan kifejezés, melyben csak számok és változók egész kitevıjő hatványainak szorzatai illetve ilyenek összegei szerepelnek. Például: p(x,y,z,u) = 5x 4 y 6-3xz 3 +11y 15 u 7 q(x) = 2x 2 + 6x + 9 A polinomban a számokkal szorzott hatványszorzatokat monomnak (egytagoknak) nevezzük. Pl. p-nél az 5x 4 y 6, a 3xz 3 és az 11y 15 u 7 tagok). A monomokban lévı számszorzókat a polinom együtthatóinak hívjuk. Bevez. a mat.-ba Felsıoktatási Szakképzés 45 Bevez. a mat.-ba Felsıoktatási Szakképzés 46 23 Mőveletek polinomokkal Az egyes monomokban a változók kitevıinek összege adja meg az adott monom fokát. A polinom fokának a benne lévı monomok fokának maximumát tekintjük. A 0 fokú monomokat konstans polinomoknak nevezzük. A polinomok szorzásakor minden tagot minden taggal beszorzunk és a keletkezı szorzatokban az azonos változók hatványait az azonos alapú hatványok szorzásának szabályával számítjuk ki. Pl.: Egynemőnek nevezünk két monomot, ha csak együtthatóban különböznek. Polinomokat úgy adunk össze, hogy az egynemő egytagok együtthatóit összeadjuk: Bevez. a mat.-ba Felsıoktatási Szakképzés 47 Bevez. a mat.-ba Felsıoktatási Szakképzés 48 24
Speciális polinomok A polinomok legegyszerőbb megjelenési formái az egyváltozós polinomok. Például az 8x 3 7x 2 + 36 egy harmadfokú, egyváltozós polinom. Az x fokszáma szerint csökkenı sorrendbe írva, az elsı monom foka 3, a másodiké 2, a harmadiké 0. A harmadfokú tag együtthatója 8, a másodfokúé -7, a konstans tag 36. Egy polinomot homogén fokszámúnak nevezünk, ha benne minden monom foka egyenlı. Pl. a binomiális tétel: (a + b) 4 = a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 + 4ab 3 + b 4 Egy a számot algebrai számnak nevezünk, ha létezik olyan racionális együtthatós polinom, amelynek a gyöke. Ha az a számhoz ilyen polinom nem található, akkor a transzcendens szám. Ha az a számhoz található egy n-ed fokú polinom, amelynek ı gyöke, de egyetlen alacsonyabb fokú polinomnak a már nem gyöke, akkor a egy n-ed fokú algebrai szám. Tétel: az elsıfokú algebrai számok a racionális számok. Tétel: Elsınél magasabb fokú algebrai szám nem lehet racionális szám. Bevez. a mat.-ba Felsıoktatási Szakképzés 49 Bevez. a mat.-ba Felsıoktatási Szakképzés 50 25 Az irracionális algebrai számok megközelíthetık racionális számok sorozatával. A esetében ez a sorozat: Számhalmazok számossága Végtelen halmazok Liouville: A végtelen sor határértéke minden q > 1 esetén transzcendens szám. Aπ és az e is transzcendens szám. (Errıl többet a gyakorlaton) Bevez. a mat.-ba Felsıoktatási Szakképzés 51 Természetes számból vagy a négyzeteikbıl van több? Az A és a B halmazról akkor mondjuk, hogy egyenlı számosságúak, ha van olyan kölcsönösen egyértelmő megfeleltetés az elemeik között, amely A minden eleméhez B egy meghatározott elemét rendeli hozzá, és amely B minden elemét hozzárendeli A valamely eleméhez. 0 0 1 1 2 4 3 9 Bevez. a mat.-ba Felsıoktatási Szakképzés 52 4 16 n n 2 26
Azt az eredményt kaptuk, hogy a természetes számok és a négyzeteik ugyanannyian vannak, azaz N és a négyzetszámok halmaza azonos számosságú. Az eredmény meglepı,hiszen azt kaptuk, hogy a rész ugyanannyi, mint az egész! Végtelen halmazok esetében nincs értelme a több, a kevesebb vagy az ugyannyi kifejezéseknek. Végtelennek nevezzük azt a halmazt, amelynek van önmagával egyenlı számosságú valódi részhalmaza. Bevez. a mat.-ba Felsıoktatási Szakképzés 53 Megszámlálhatóan végtelen halmazok Megszámlálhatóan végtelen vagy megszámlálható halmazoknak nevezzük azokat a halmazokat, amelyeknek ugyanannyi elemük van, mint amennyi természetes szám. Ha A megszámlálható halmaz, akkor elemei kölcsönösen megfeleltethetık a természetes számok halmazának elemeivel. Könnyő belátni, hogy a természetes számok helyett tekinthetjük a pozitív természetes számok halmazát. Miért? A pozitív természetes számoknak való egyértelmő megfeleltetés azt jelenti, hogy a halmaz elemei sorbarendezhetık. Bevez. a mat.-ba Felsıoktatási Szakképzés 54 27 Ha az elemek sorbarendezhetık, akkor az A halmaz felírható végtelen sorozat formájában: a 1, a 2, a 3, a 4,,a n, Ennek az a következménye, hogy ha egy halmaz elemei sorbarendezhetık, akkor a halmaz elemeinek számossága megegyezik a természetes számok számosságával. Egyszerő példák: A pozitív páros számok és a prímszámok halmaza megszámlálható. Tétel: Egy megszámlálható halmaz bármely végtelen részhalmaza szintén megszámlálható. Bizonyítás egyszerő. Bevez. a mat.-ba Felsıoktatási Szakképzés 55 Tétel: Megszámlálható és véges halmaz egyesítésével nyert halmaz is megszámlálható. Biz. Ha A = {a 1, a 2, a 3, a 4,,a n, } az adott megszámlálható halmaz és b 1, b 2, b 3,, b k a véges halmaz elemei, akkor az új halmaz elrendezése: b 1, b 2, b 3,, b k, a 1, a 2, a 3, a 4,,a n, és a hozzárendelés eltolással ismét megoldható. Az összes egész számok halmaza is megszámlálható. Nagyság szerint az elemek nem alkotnak sorozatot, de a sorba rendezés más módon elérhetı: 0 1 2 3 4 5 0-1 1-2 2-3 Bevez. a mat.-ba Felsıoktatási Szakképzés 56 28
Következmény: N és Z azonos számosságúak: N = Z. Általánosítás-1: két megszámlálható halmaz egyesítésével kapott halmaz is megszámlálható. Általánosítás-2: megszámlálhatóan végtelen sok megszámlálható halmaz egyesítésével kapott halmaz is megszámlálható. A racionális számok halmaza megszámlálható. Figyelem: ez azt jelenti, hogy ugyanannyi racionális szám van, mint ahány pozitív egész szám! Bevez. a mat.-ba Felsıoktatási Szakképzés 57 Az elıbbi állítás bizonyításához elıször belátjuk, hogy a pozitív racionális számok halmaza megszámlálható: Alkossuk meg a következı elrendezést: 1/1 2/1 3/1 4/1 1/2 2/2 3/2 4/2 1/3 2/3 3/3 4/3 1/4 2/4 3/4 4/4 Járjuk be a táblázatot átlósan! Hagyjuk ki a táblázatból az egyszerősíthetı törteket balra tolva a sort! A maradék táblázatban minden pozitív racionális szám egyszer szerepel. Bevez. a mat.-ba Felsıoktatási Szakképzés 58 29 Ugyanezt a rendezést elvégezhetjük a negatív racionális számokra is, és alkalmazzuk a két megszámlálható halmaz egyesítésére kimondott tételt! Ha fenti kiinduló táblázatban a p/q alakú törtek helyére (p,q) alakú rendezett párokat írunk, akkor azt kapjuk, hogy a pozitív egész számokból képezhetı rendezett párok halmaza is megszámlálható. Kontinuum számosságú halmazok Vizsgáljuk meg a valós számok halmazát, és bevezetıként tegyük fel, hogy ezek a számok is megszámlálhatóan végtelen halmazt alkotnak. Ekkor a (0,1) intervallumba esı valós számok halmaza mint a valós számok halmazának végtelen részhalmaza megszámlálható. Ezért ebbe az intervallumba esı elemek sorozatba rendezhetık. Legyen a sorozat tagjainak tizedestört kifejtése a következı: ahol a nk az n-edik valós szám k-adik tizedes jegyét jelöli. Bevez. a mat.-ba Felsıoktatási Szakképzés 59 Bevez. a mat.-ba Felsıoktatási Szakképzés 60 30
Most állítsuk elı a számot a következıképpen: b 1 -et úgy választjuk, hogy a 11 b 1. Ezért a 1 b. b 2 -et úgy választjuk, hogy a 22 b 2. Ezért a 2 b. b 3 -et úgy választjuk, hogy a 33 b 3. Ezért a 3 b. és így tovább Olyan számot konstruáltunk tehát, amely nincs a megszámlálhatóan végtelen sok szám között. Mivel ilyen konstrukcióból végtelen sok készíthetı, ezért a (0,1) intervallum valós számainak halmaza nem megszámlálhatóan végtelen. Egy olyan halmazhoz jutottunk, amelyben az elemek száma több, mint a megszámlálhatóan végtelen számosságú halmazok elemszáma. Bevez. a mat.-ba Felsıoktatási Szakképzés 61 A végtelennek ezt a másik fokozatát Cantor nyomán kontinuumszámosságnak nevezzük. A valós számok halmaza tehát nem megszámlálható. Ez csak akkor lehet, ha az irracionális számok halmaza sem megszámlálható. Cantor: Létezik-e olyan számosság, amely a végtelen számosságnál nagyobb, de a kontinuumszámosságnál kisebb? P. Cohen (1963): A kérdés a halmazelmélet axiómáiból nem cáfolható meg, de bizonyítani sem lehet. Létezik-e a kontinuumszámosságnál nagyobb számosság? Bevez. a mat.-ba Felsıoktatási Szakképzés 62 31 Egy A halmaz összes részhalmazainak halmazát az A hatványhalmazának nevezzük. Jele: P(A). Bizonyítható, hogy minden A halmazra A < P(A). Következmény: Minden számosságnál van nagyobb számosság. A tételnek olyan következményei vannak, amelyek antinómiához vezetnek. Az antinómia olyan állítás, amelynek az igazsága is és a tétel tagadása is bizonyítható Relációk, függvények A mindennapi életben kapcsolatok vesznek körül bennünket: Szülı gyermek Adós hitelezı Eladó vevı stb A matematika többek között tanulmányozza a halmazok ill. azok elemei közötti kapcsolatokat. Ezeket relációknak nevezzük. Jelölése: a R b (a relációban van b-vel). Bevez. a mat.-ba Felsıoktatási Szakképzés 63 Bevez. a mat.-ba Felsıoktatási Szakképzés 64 32
Pl. Legyen H = {1, 2, 3, 4, 5}. Az a R b jelentse: a kisebb b-nél. Elıször ábrázoljuk a relációt egy ábrával, amelyben a pontok jelölik a számokat, és a nyilak a relációt: Ha a relációban van b-vel, akkor a-ból irányított nyíl (él) mutat b-be: 1 Pl. Legyen H = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}. Az a R b jelentse: a osztója b-nek. Az ábránkon az elızıhöz hasonlóan ha a relációban van b-vel, akkor a-ból irányított nyíl (él) mutat b-be. Vegyük figyelembe, hogy bármely a N + -ra: a a. (Ezt egy hurok éllel jelöljük.) 8 10 5 2 4 5 2 6 7 4 3 Mely számokat jelölik az egyes pontok? 3 Mely számokat jelölik az egyes pontok? 9 Bevez. a mat.-ba Felsıoktatási Szakképzés 65 Bevez. a mat.-ba Felsıoktatási Szakképzés 66 33 Binér (kételemő) reláció Az A és B halmazok közötti binér R reláció az az (a, b) (a A, b B) rendezett párok egy részhalmaza. A részhalmaznak azon (a, b) párok lesznek az elemei, amelyekre a R b teljesül. Általánosan fogalmazva: a reláció két vagy több halmaz Descartesféle szorzatának egy részhalmaza. Pl. Legyen A = {1, 3, 6} és B = {0, 2, 4, 5}. Határozzuk meg az a + b < 7 reláció elemeit, ahol a A, b B. 0 2 4 5 1 (1, 0) (1, 2) (1, 4) (1, 5) 3 (3, 0) (3, 2) (3, 4) (3, 5) 6 (6, 0) (6, 2) (6, 4) (6, 5) Egy relációt meghatározhatunk Az alaphalmaz és valamely tulajdonság megadásával A relációhoz tartozó rendezett párok felsorolásával Gráffal Táblázattal A matematika gyakran csak egy halmaz elemei közötti relációkkal foglalkozik. Ilyenkor az A A szorzathalmaz részhalmazait kell megadni. Bevez. a mat.-ba Felsıoktatási Szakképzés 67 Bevez. a mat.-ba Felsıoktatási Szakképzés 68 34
Binér relációk tulajdonságai Ha R a H halmazon értelmezett reláció, és az a R a a halmaz minden elemére teljesül, akkor az R reláció reflexív. Példák reflexív relációkra: h 1 h 2 h 4 h 1 h 3 h 5 h 2 h 3 h 4 h 5 h 1 A pozitív természetes számok halmazán: a osztója b-nek. A sík valamennyi egyenesének a halmazán: a párhuzamos b-vel. A valós számok halmazán: a egyenlı b-vel. h 5 h 2 Hogyan néz ki a reláció, ha azt táblázatosan vagy gráffal adjuk meg? h 4 h 3 Bevez. a mat.-ba Felsıoktatási Szakképzés 69 Bevez. a mat.-ba Felsıoktatási Szakképzés 70 35 Egy H halmazon értelmezett R binér relációt akkor mondunk szimmetrikusnak, ha bármely a,b H-ra a R b és b R a egyaránt fennáll. Példák szimmetrikus relációkra: h 1 h 2 h 4 h 1 h 3 h 5 h 2 h 3 h 4 h 5 h 1 A pozitív természetes számok halmazán: a egyenlı b-vel. A sík valamennyi háromszögének a halmazán: a hasonló b-hez. A sík valamennyi egyenesének a halmazán: a merıleges b-re. A valós számok halmazán: a nem egyenlı b-vel. h 5 h 2 h 3 Hogyan néz ki a reláció, ha azt táblázatosan vagy gráffal adjuk meg? h 4 Bevez. a mat.-ba Felsıoktatási Szakképzés 71 Bevez. a mat.-ba Felsıoktatási Szakképzés 72 36
Antiszimmetrikusnak nevezünk egy relációt, ha bármely a,b H-ra az a R b és a b R a relációk közül legfeljebb az egyik áll fent. Ha az a R a reláció jelenlétét kizárjuk, akkor szigorú értelemben antiszimmetrikus a reláció, ellenkezı esetben tágabb értelemben antiszimmetrikus. Példák szigorúan antiszimmetrikus relációkra: A pozitív természetes számok halmazán: a kisebb b-nél. A valódi részhalmaza B-nek. A természetes számok halmazán: a rákövetkezıje b-nek. Egy H halmazon értelmezett R binér relációt akkor mondunk tranzitívnak, ha bármely a,b,c H-ra a R b és b R c-bıl következik, hogy a R c. Példák tranzitív relációkra: A pozitív természetes számok halmazán: a kisebb b-nél. A pozitív természetes számok halmazán: a osztója b-nek. A sík valamennyi háromszögének a halmazán: a hasonló b-hez. A sík valamennyi egyenesének a halmazán: a párhuzamos b-vel. Az A részhalmaza B-nek (A B). A szigorúan antiszimmetrikus reláció gráfreprezentációja nem tartalmaz hurkot. Bevez. a mat.-ba Felsıoktatási Szakképzés 73 Bevez. a mat.-ba Felsıoktatási Szakképzés 74 37 Ekvivalenciarelációk A reflexív, szimmetrikus és tranzitív relációt ekvivalenciarelációnak nevezzük. Jelölése: a ~ b. Pl. Legyen H egy cég összes dolgozóinak a halmaza. Az a R b jelentse azt, hogy a ugyanazon az emeleten dolgozik, mint b. Világos, hogy ez a reláció reflexív, mert a R a. szimmetrikus, mert ha a R b, akkor b R a. tranzitív, hiszen a R b és b R c, akkor a R c. További példák: A pozitív természetes számok halmazán: a egyenlı b-vel. A sík valamennyi egyenesének a halmazán: a párhuzamos b-vel. A részhalmaza B-nek (A B). Egy nevezetes ekvivalencia reláció a kongruencia reláció: Legyen a,b Z és m N. Olvasva: a kongruens b-vel modulo m. Jelentése: a és b m-mel osztva ugyanazt a maradékot adja. Azok a számok, amelyek kongruensek egymással (modulo m), azok egy maradékosztályba tartoznak. Tétel: A maradékosztályok az egész számok halmazának diszjunkt részhalmazait alkotják, ha m-et rögzítjük. Bizonyítsuk be (esetleg a gyakorlaton), hogy a kongruencia ekvivalenciareláció. Bevez. a mat.-ba Felsıoktatási Szakképzés 75 Bevez. a mat.-ba Felsıoktatási Szakképzés 76 38
Ekvivalenciosztályok Legyen R a T halmazon értelmezett ekvivalenciareláció, és legyen a T. Az a ekvivalenciaosztályának nevezzük T-nek az a-val ekvivalens elemeinek halmazát, azaz az a-val relációban lévı elemek halmazát. Jelölése: T(a). (T(a) T ). Tétel: Legyen a,b T, és a b. Ha T(a)-nak és T(b)-nek van nem üres metszete, akkor a két ekvivalenciaosztály megegyezik. Tegyük fel, hogy a T(a) és T(b) ekvivalenciosztályoknak van közös eleme. Legyen ez x. Mivel x T(a) és x T(b), ezért x ~ a és x ~ b egyidejőleg. Így a tranzitivitás miatt a ~ b., ezért a T(b), ami miatt T(a) T(b). Hasonlóan megmutatható, hogy T(b) T(a). Így T(a) = T(b). Bevez. a mat.-ba Felsıoktatási Szakképzés 77 Következmény: Két különbözı ekvivalanciaosztály metszete az üres halmaz. Egy ekvivalenciaosztályt bármely eleme meghatározza. Ha T az alaphalmaz, akkor T* jelöli a T halmazhoz tartozó ekvivalenciaosztályok halmazát. Példa. Legyen T az egész számok halmaza. Az egész számokat írjuk tört alakba, és a T halmazon értelmezzük a következı relációt:ωrω', aholω=a/bésω' = a' / b' és a b' = a' b, b 0. Ezért például R. Lássuk be, hogy az így definiált reláció reflexív, szimmetrikus és tranzitív. (Azaz ekvivalenciareláció.) Határozzuk meg az ekvivalenciaosztályok számát! Bevez. a mat.-ba Felsıoktatási Szakképzés 78 39 Vannak más relációk is, amelyek tulajdonságai miatt kitüntetett figyelmet érdemelnek. A H halmazt rendezettnek mondjuk, ha elemein értelmezve van egy a breláció, amely rendelkezik az alábbi tulajdonságokkal: a ahamis (irreflexivitás) ha a bigaz, akkor b ahamis (asszimetria) ha a bigaz, és b cigaz, akkor a cigaz (tranzitivitás) ha a b, akkor az a bés a b aközül legalább az egyik igaz (trichotómia). A természetes számok halmaza, a racionális számok halmaza és a valós számok halmaza rendezett a < ( > ) relációra nézve. Egy rendezett halmazt jólrendezettnek mondunk, ha bármely nem üres részhalmazának van kezdı eleme, azaz olyan eleme, amelyet az adott rendezés szerint az adott részhalmaz egyetlen eleme sem elız meg. Példák A természetes számok nagyság szerint rendezett halmaza jólrendezett. A racionális és a valós számok halmaza nem jólrendezett halmaz. Bizonyítsuk be, hogy a racionális számok halmaza nem jólrendezett! Bevez. a mat.-ba Felsıoktatási Szakképzés 79 Bevez. a mat.-ba Felsıoktatási Szakképzés 80 40
Függvények Ha valamely A halmaz elemeihez adott utasítás szerint egy B halmaz elemeit rendeljük hozzá úgy, hogy A minden elemének megfeleltünk legalább egy B-beli elemet, akkor azt mondjuk, hogy az A halmazt leképezzük a B halmazra vagy halmazba. Ha a B halmaz összes elemét megfeleltjük A elemeinek, akkor a B halmazra képezünk. Ha a B halmaz egy részhalmazát feleltjük meg A elemeinek, akkor a B halmazba képezünk. Az A-t tárgyhalmaznak, elemeit tárgyelemeknek nevezzük. Az B-t képhalmaznak, elemeit képelemeknek nevezzük. Ha minden a A-ra (a;φ(a)) A B, akkor aφrelációt leképezésnek nevezzük. Aφ ésδleképezéseket akkor tekintjük egyenlınek, ha bármely a A esetén φ(a) = δ(a). A leképezéseket a tárgyelemekhez rendelt képelemek száma, ill. a képelemekhez rendelt tárgyelemek száma szerint osztályozhatjuk: Ha minden egyes képelemnek csak egy tárgyeleme van, akkor a leképezés egy-egyértelmő vagy kölcsönösen egyértelmő. A leképezést a hozzárendelési elıírás és a tárgyhalmaz egyértelmően meghatározza. Jelölése:φ: A B, vagy a φ(a), ha a A. A B Bevez. a mat.-ba Felsıoktatási Szakképzés 81 Bevez. a mat.-ba Felsıoktatási Szakképzés 82 41 Ha valamely képelemnek több tárgyeleme van, akkor a leképezés több-egyértelmő. Ha több képelemnek egy tárgyeleme van, akkor a leképezés egytöbbértelmő. A B A B Pl. háromszögek területük Pl. anya gyerekei Bevez. a mat.-ba Felsıoktatási Szakképzés 83 Bevez. a mat.-ba Felsıoktatási Szakképzés 84 42
Ha több képelemnek több tárgyeleme is lehet, akkor a leképezés több-többértelmő. A függvény mint leképezés Legyen adott két halmaz, A és B. Függvénynek nevezünk minden olyan binér (kételemő) relációt, amely az A halmaz minden elemének a B halmaz egyetlen elemét felelteti meg. A Pl. tulajdonosok cégek B Következmény: Minden függvény reláció, de nem minden reláció függvény: a függvény egy A halmaznak egyértelmő leképezése egy B halmazra. Az A halmazt a függvény értelmezési tartományának, a B halmazt a függvény értékkészletének nevezzük. A függvénykapcsolat jelölése: y = f(x). Bevez. a mat.-ba Felsıoktatási Szakképzés 85 Bevez. a mat.-ba Felsıoktatási Szakképzés 86 43 A fentiek értelmében egy függvény akkor van pontosan meghatározva, ha megadjuk Az értelmezési tartományt (az A halmazt) az értékkészletet (a B halmazt) A hozzárendelést, azaz azt a leképezést, amely minden x A elemet társít egy y B elemmel. Ha B minden eleme képe az A halmaz egy elemének, akkor az f függvényt szürjektívnek nevezzük. Ha az A halmaz két különbözı elemének mindig különbözık a B- beli képei, akkor a leképezés injektív. Ha egy függvény egyszerre szürjektív és injektív (azaz kölcsönösen egyértelmő), akkor bijektív. A függvények ábrázolása, megadása A függvények, mint speciális binér relációk megadását négy módon végezhetjük: utasítás táblázat Descartes diagram Venn diagram Függvények ábrázolása utasítással Például: f: R R, f(x) = 2x 2 3. Bevez. a mat.-ba Felsıoktatási Szakképzés 87 Bevez. a mat.-ba Felsıoktatási Szakképzés 88 44
Függvények megadása táblázattal Függvények megadása Descartes diagrammal b 1 b 2 b 3 b 4 b 5 a 1 + a 2 + a 3 a 4 a 5 + + + ahol a i A és b i B, i = 1,2,,5. Vegyük észre, hogy a diagram elkészítését egy y = (x-3) 2 függvénykapcsolat alapján végeztük el. Bevez. a mat.-ba Felsıoktatási Szakképzés 89 Bevez. a mat.-ba Felsıoktatási Szakképzés 90 45 A Függvények megadása Venn diagrammal A két halmazt zárt síkidomban elhelyezett pontok ábrázolják. Minden pontot nyíl köt össze a képével. A kiinduló halmaz minden pontja egyetlen nyíl kiindulópontja. Bevez. a mat.-ba Felsıoktatási Szakképzés 91 B Az összetett függvény Legyen adott három halmaz, A, B, C, és legyen f az A egy leképezése B-be, és g a B leképezése C-be. Feleltesse meg f az A minden elemének a B egy és csakis egy y elemét, és feleltesse meg g a B ezen y elemének C egy és csakis egy z elemét. Így az A minden x elemének megfelel C egy és csakis egy z eleme. Az így definiált hozzárendelés leképezte az A halmazt a C halmazba: z = g(f(x)). Ez az új leképezés az f és g függvénybıl álló összetett leképezés, a két leképezés szorzata. Jelölése: g f. Az f és g leképezések g f szorzatán az f és g leképezések egymás utáni végrehajtását értjük ebben a sorrendben. (Az f függvény értékkészletét tartalmaznia kell a g függvény értelmezési tartományának!) Bevez. a mat.-ba Felsıoktatási Szakképzés 92 46
Tétel: Két leképezés összetétele nem kommutatív. Példa: Legyen f : R R, f(x) = 2x 2 3, g : R R, g(x) = cos x. Ekkor g f = cos (2x 2 3 ) és f g = 2 cos 2 x 3. Ábrázoljuk a két függvényt! Inverz függvény Az f: A B létesítsen az A és B elemei között kölcsönösen egyértelmő hozzárendelést. Ekkor B minden eleme egyetlen A-beli elemnek a képe, azaz minden y B-hez tartozik egyetlen x A úgy, hogy y = f(x). Így a B-n értelmezett g függvényt kaptunk: g: B A. Ha y B, akkor g(y) az az egyértelmően meghatározott x A, amelyre f(x) = y. Ezt a függvényt az f függvény inverz függvényének nevezzük. Jelölése: f -1. Ha f -1 az f függvény inverze, akkor f értelmezési tartománya az f -1 függvény értékkészlete, és f értékkészlete az f -1 értelmezési tartománya. Bevez. a mat.-ba Felsıoktatási Szakképzés 93 Bevez. a mat.-ba Felsıoktatási Szakképzés 94 47 Ha az (x, f(x)) az f grafikonjának egy pontja, akkor az (f(x), x) az f -1 függvény grafikonjának egy pontja, azaz a két függvény grafikonjai egymásnak tükörképei, ahol a tükrözés tengelye az y = x egyenes. f : R R, f(x) = 2 x, f -1 (x) = log 2 x, f(x) = 2 x f -1 (x) = log 2 x Rekurzív sorozatok Oldjuk meg a következı feladatot: Hány nyúl származik egyetlen pár nyúltól, ha tudjuk, hogy minden pár havonta új párnak ad életet, és az újszülött nyulak két hónapos koruktól lesznek szülıképesek? hónap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 nyúlpár 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 Fibonacci sorozat: a n = a n-1 + a n-2 Bevez. a mat.-ba Felsıoktatási Szakképzés 95 Bevez. a mat.-ba Felsıoktatási Szakképzés 96 48
A Fibonacci-sorozat néhány tulajdonsága: A sorozat n. eleme 1-gyel nagyobb, mint az elsı n-2 elem összege. a n akkor osztható 2-vel, ha ha n = 3k alakú. 4 oszója a n -nek, ha n = 6k alakú. Nyitott probléma: A Fibonacci-sorozatban véges sok, vagy végtelen sok prímszám van-e? Az ítélet mint függvény Az a táncolt b-vel reláció egy alaphalmazon értelmezett tulajdonság. Ha az (a,b) párra a tulajdonság fennáll azaz az állítás igaz akkor a pár a relációhoz tartozik. Az így elıállított függvény értelmezési tartománya az összes lehetséges párok halmaza, az A Bhalmaz. A szorzathalmaz minden eleméhez egy igaz vagy egy hamis érték tartozik. Ezért a kapott függvény minden elempárhoz egy logikai értéket rendel. Az így kapott függvényt kijelentésfüggvénynek (predikátumfüggvénynek) nevezzük. Bevez. a mat.-ba Felsıoktatási Szakképzés 97 Bevez. a mat.-ba Felsıoktatási Szakképzés 98 49 A matematikai logika alapjai A logika a gondolkodás tárgyát képezı konkrét problémáktól, tartalmi információktól elvonatkoztat, és a gondolkodási folyamat elemeinek, megállapításainak közös, a következtetés szempontjából lényeges tartalmát használja fel. Ez a közös tartalom, vagy közös jellemzı az állítások igazságértéke, ami alatt a klasszikus kétértékő logikában azt a tényt érjük, hogy egy állítás igaz vagy nem igaz (hamis). A logikának azt az ágát, amely a fenti módon közelíti a gondolkodás kérdéseit klasszikus kétértékő logikának nevezzük.(ez azt jelenti, hogy a klasszikus kétértékő logika számára az állítások két lehetséges igazságértéke az alap. Ez az igazságérték bizonytalanságot nem tartalmaz, a két igazságérték kizárja egymást. Egy megállapítást a logika szempontjából akkor tekintünk állításnak, ha eldönthetı róla, hogy igaz vagy hamis. Többértékő logikák létezése: fuzzy logika. A matematikai logikát elsısorban a matematikai kutatásokban alkalmazzák, de a mindennapi élet és a kutatások minden olyan területén használható, ahol az igazságérték mint absztrakció elfogadható. Így a számítástudomány és a mesterséges intelligencia is alkalmazza a matematikai logikát. A matematikai logika kiemelkedı alakjai: Gottfried Wilhelm Leibnitz (1646 1716) George Boole (1815 1864) Bevez. a mat.-ba Felsıoktatási Szakképzés 99 Bevez. a mat.-ba Felsıoktatási Szakképzés 100 50
Állításon vagy kijelentésen olyan kijelentı mondatot értünk, amely egyértelmően igaz vagy hamis. Egy állítás egyidejőleg nem lehet igaz is és hamis is (ellentmondástalanság elve). Egy állítás nem lehet sem nem igaz sem nem hamis (kizárt harmadik elve). Vannak olyan kijelentések, amelyekkel a logika nem foglalkozik: x < 5, mert adott x nélkül az állításnak nincs meghatározott igazságértéke. az út holnap csúszós lesz, mert az adott pillanatban nem dönthetı el az állítás. az azért, mert típusú állítások. Mőveletek állításokkal, logikai értékekkel Logikai mőveleten olyan eljárást értünk, amely egy vagy több kijelentésbıl (ezek a mővelet tagjai) olyan kijelentést képez (ez a mővelet eredménye), amelynek igaz vagy hamis voltát a tagok igaz, ill. hamis volta egyértelmően meghatározza. A mőveleteket egy-, két-, három-, n-változósnak nevezzük aszerint, hogy egy-, két-, három-, n kijelentésbıl képeznek új kijelentést. Az állítások körében is elegendı a logikai értékek közötti mőveleteket tisztázni. Bevez. a mat.-ba Felsıoktatási Szakképzés 101 Bevez. a mat.-ba Felsıoktatási Szakképzés 102 51 Negáció Egy p kijelentés negációján (tagadásán) a nem igaz, hogy p kijelentést (vagy ennek egy nyelvtanilag átfogalmazott alakját) értjük. A számítógép nem síkidom. Ez egy egyváltozós ítélet, amely egy állítás (ti. A számítógép síkidom ) tagadásából áll. (Nem vizsgáljuk az eredeti állítás igazságtartalmát.) A negáció mőveletének igazságtáblája: p p i h h i Konjunkció Két kijelentés, p és q konjunkcióján (összekapcsolásán) a p és q kijelentést (vagy ennek egy nyelvtanilag átfogalmazott alakját) értjük. A 3 osztója a 12-nek és a 4 osztója a 16-nak. Ez az állítás igaz, mert az elıtagja és az utótagja is igaz. A konjunkció akkor és csak akkor igaz, ha mindkét tagja igaz. Jelölése: p q. A konjunkció mőveletének igazságtáblája: p q p q i i i i h h h i h h h h Bevez. a mat.-ba Felsıoktatási Szakképzés 103 Bevez. a mat.-ba Felsıoktatási Szakképzés 104 52
Diszjunkció Két kijelentés, p és q diszjunkcióján (szétválasztásán) a p vagy q kijelentést (vagy ennek egy nyelvtanilag átfogalmazott alakját) értjük. (Megengedı értelmő összekapcsolás.) Tejet vagy kakaót reggelizünk. Ez az állítás akkor igaz, ha legalább az egyik tagja igaz. Jelölése: p q. A diszjunkció mőveletének igazságtáblája: p q p q i i i i h i h i i h h h Az ítéletkalkulusban a logikai értékeket, a logikai változókat és a rajtuk végzett mőveleteket leíró jelsorozatokat az ítéletkalkulus formuláinak nevezzük. Két formulát azonosnak nevezünk, ha a két formula a benne szereplı változók minden lehetséges értékére ugyanazt a logikai értéket állítja elı. Példa: A (A B ) = A A bizonyítás abból áll, hogy kimutatjuk az a A (a A a B ) állítás akkor és csak akkor igaz, amikor az a Aállítás. Elegendı azt bebizonyítani, hogy az állítások a változók logikai értékeire megegyeznek. Bevez. a mat.-ba Felsıoktatási Szakképzés 105 Bevez. a mat.-ba Felsıoktatási Szakképzés 106 53 Tehát azt kell igazolnunk, hogy p, q tetszıleges állítások esetén a fönnáll-e a p = p (p q ) egyenlıség. Készítsük el az igazságtáblázatot: p q r = p q p r i i i i i h h i h i h h h h h h Mivel táblázatunk elsı és utolsó oszlopa megegyezik, ezért az állításunk igaz. Tétel: Bármely logikai mővelet kifejezhetı a negáció és a konjunkció mőveletével. Nem bizonyítjuk, de megmutatjuk az elıállításokat: p q = ( p q ) p q p q p q ( p q) i i h h i i i h h i i i h i i h i i h h i i h h Bevez. a mat.-ba Felsıoktatási Szakképzés 107 Bevez. a mat.-ba Felsıoktatási Szakképzés 108 54
A logikai mőveletek tulajdonságai Logikai vagy : kommutatív: p q = q p asszociatív: (p q) r = p (q r) disztributív: p (q r) = (p q) (p r) idempotens: p p = p Logikai és : kommutatív: p q = q p asszociatív: (p q) r = p (q r) disztributív: p (q r) = (p q) (p r) idempotens: p p = p Bevez. a mat.-ba Felsıoktatási Szakképzés 109 További logikai mőveletek A p akkor q alakú kifejezéseket implikációnak nevezzük. (Itt p az elıtag és q az utótag.) Ha a részvények ára csökken, akkor nem adom el ıket. (Amennyiben a részvények ára nem csökken, akkor igaznak tekintjük az állítást akár eladtam a részvényeket, akár nem, mert erre vonatkozóan nem mondtunk elıre semmit.) Jelölése: p q. Az implikáció mőveletének igazságtáblája: p q p q i i i i h h h i i h h i Bevez. a mat.-ba Felsıoktatási Szakképzés 110 55 Tétel: Az implikáció nem kommutatív és nem asszociatív mővelet. Az implikáció kifejezése diszjunkcióval és negációval: p p q p q i h i i i h h h h i i i h i h i p q p q i i i i h h h i i h h i Ezért: p q = p q. Amennyiben figyelembe vesszük az implikáció kifejezhetıségét a negációval és a konjunkcióval, azt kapjuk, hogy: p q = (p q). Bevez. a mat.-ba Felsıoktatási Szakképzés 111 A ha p akkor q, és ha q akkor p alakú kifejezéseket ekvivalenciának nevezzük. Egy négyszög akkor és csak akkor húrnégyszög, ha szemközti szögeinek összege 180. (Figyeljük meg, hogy itt két állítást tettünk egyszerre.) Jelölése: p q. A definíció szerint p q=(p q) ( q p) Az ekvivalencia mőveletének igazságtáblája: p q p q p q=(p q) ( q p) p q=( p q) ( q p) p q= (p q) ( p q) i i i i h h h i h h h i Bevez. a mat.-ba Felsıoktatási Szakképzés 112 56
A nem igaz, hogy ha p akkor q, és ha q akkor p alakú kifejezéseket antivalenciának nevezzük. A mővelet a kizáró vagy ismert (XOR). Az antivalencia akkor és csak akkor igaz, ha a két állítás logikai értéke különbözı. Jelölése: p q. A mővelet az igazságtáblázatból kizárja azokat az eseteket, amelyekben mindkét állítás igaz, tehát formálisan az ekvivalencia tagadását jelenti. p q = (p q) Az antivalencia mőveletének igazságtáblája: p q p q p q = q p p q = (p q) p q = (p q) ( p q) p q = ( p q) (p q) i i h i h i h i i h h h Bevez. a mat.-ba Felsıoktatási Szakképzés 113 A sem p sem q alakú összetett kifejezéseket sem-sem (Webb-féle) mőveletnek nevezzük. A mővelet a diszjunkció tagadása (NOR). Jelölése: p q. Érvényes a következı azonosság: p q = (p q ) A Webb-féle mővelet igazságtáblája: p q p q p q=q p i i h i h h h i h h h i Bevez. a mat.-ba Felsıoktatási Szakképzés 114 57 A nem p vagy nem q alakú kifejezéseket Sheffer-féle mőveletnek nevezzük. Vagy iszik az ember vagy vezet. A mővelet a konjunkció tagadása (NAND). Ebben az esetben a két kijelentés közül legfeljebb az egyik igaz. Jelölése: p q. Érvényes a következı két azonosság: p q = (p q ) p q = p q Az Sheffer-féle mővelet igazságtáblája: p q p q i i h i h i h i i h h i Bevez. a mat.-ba Felsıoktatási Szakképzés 115 A logikai függvény fogalma Az eddigiekben kétváltozós mőveleteket vizsgáltunk, amelyek tekinthetık kétváltozós függvényeknek is. Ebben az esetben az értelmezési tartomány az {i, h} halmaz és az értékkészlet is az {i, h} halmazból való. Legyen i = 1 és n = 0. Az ilyen típusú függvényeket igazságfüggvénynek vagy Boolefüggvénynek nevezzük. A kétváltozós Boole-függvények mintájára definiálható az n- változós Boole-függvény is: ekkor mind az értelmezési tartomány, mind az értékkészlet egy olyan szám n-es, amelynek elemei a {0, 1} halmazból származnak. Bevez. a mat.-ba Felsıoktatási Szakképzés 116 58
Hány darab n-változós Boole-függvény van? Az értéktáblázatnak n oszlopa van, és minden helyre vagy 0-t vagy 1-et írunk. Ezért összesen 2 n sorunk lesz. Minden sorban kétféle módon választhatjuk meg a függvényértéket, ti. vagy 0-t vagy 1-t. Így a Boole függvények száma: n 2 n 1 2 4 Bevez. a mat.-ba Felsıoktatási Szakképzés 117 p 1 0 1 0 q 1 1 0 0 f 1 1 1 1 1 f 1 = q q mindig f 2 1 1 1 0 f 2 = p q diszjunkció f 3 1 1 0 1 f 3 = p q= p q implikáció f 4 1 1 0 0 f 4 = q q f 5 1 0 1 1 f 5 = q p= q p implikáció f 6 1 0 1 0 f 6 = p p f 7 1 0 0 1 f 7 = p q=(p q) ( q p) ekvivallencia f 8 1 0 0 0 f 8 = p q konjunkció f 2 4 16 9 0 0 0 0 f 9 = q q soha f 10 0 0 0 1 f 10 = p q= (p q ) sem-sem 3 8 256 f 11 0 0 1 0 f 11 = (p q) = p q implikáció tagadása 4 16 65536 f 12 0 0 1 1 f 12 = q negáció f 5 32 4294967296 13 0 1 0 0 f 13 = (q p) = q p implikáció tagadása f 6 64 1,84 10 19 14 0 1 0 1 f 14 = p negáció f 15 0 1 1 0 f 15 = p q antivalencia f Bevez. a mat.-ba Felsıoktatási Szakképzés 118 16 0 1 1 1 f 16 = p q = (p q ) Sheffer mővelet 59 Normálformák és függvényrendszerek A kétváltozós függvényeknél láttuk, hogy mindegyik felírható a negáció, a konjunkció valamint a diszjunkció mőveleteinek segítségével. Megmutatható ez érvényes az n-változós Boole-függvényekre is oly módon, hogy felírható egy olyan formula, amely az adott n változóból épül fel, és mőveletként a, a és a logikai mőveleteket használjuk. Az így felírt formula értéke pontosan akkor lesz igaz, amikor az átalakítandó függvény értéke is igaz. A fenti állítást nem bizonyítjuk, hanem egy példát mutatunk a konstrukcióra. x 1 x 2 x 3 g(x 1,x 2,x 3 ) 1 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 g(x 1,x 2,x 3 ) = (x 1 x 2 x 3 ) ( x 1 x 2 x 3 ) ( x 1 x 2 x 3 ) Bevez. a mat.-ba Felsıoktatási Szakképzés 119 Bevez. a mat.-ba Felsıoktatási Szakképzés 120 60
Eljárás-1: olyan formulát állítottunk elı, amivel az értéktáblázattal megadott igazságfüggvényt ki tudjuk fejezni. A formula jellemzıi: a formula konjunkciók diszjunkciója, minden konjunkciós tag vagy egy változó vagy annak a negáltja, minden diszjunkciós tagban minden változó szerepel, ugyanaz a változó egy konjunkcióban csak egyszer szerepel, nincs két olyan diszjunkciós tag, amelyek csak a változók sorrendjében különböznek. x 1 x 2 x 3 h(x 1,x 2,x 3 ) 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 A fenti tulajdonságú formulát teljes diszjunktív normálformának nevezzük. Bevez. a mat.-ba Felsıoktatási Szakképzés 121 h(x 1,x 2,x 3 ) = ( x 1 x 2 x 3 ) (x 1 x 2 x 3 ) (x 1 x 2 x 3 ) (x 1 x 2 x 3 ) Bevez. a mat.-ba Felsıoktatási Szakképzés 122 61 Eljárás-2: olyan formulát állítottunk elı, amivel az értéktáblázattal megadott igazságfüggvényt ki tudjuk fejezni. A formula jellemzıi: a formula diszjunkciók konjunkciója, minden diszjunkciós tag vagy egy változó vagy annak a negáltja, minden konjunkciós tagban minden változó szerepel, ugyanaz a változó egy diszjunkcióban csak egyszer szerepel, nincs két olyan konjunkciós tag, amelyek csak a változók sorrendjében különböznek. A fenti két elıállítás következménye, hogy a három mővelet (,, ) teljes függvényrendszert alkot, azaz bármely igazságfüggvény elıállítható ezek segítségével. Tétel: A negáció és konjunkció (, ) önmagukban is teljes függvényrendszert alkotnak. Biz. A tétel állítása azonnal következik abból, hogy a diszjunkció kifejezhetı a fenti két mővelet segítségével: p q = ( p q ) A fenti tulajdonságú formulát teljes konjunktív normálformának nevezzük. Bevez. a mat.-ba Felsıoktatási Szakképzés 123 Bevez. a mat.-ba Felsıoktatási Szakképzés 124 62
Gyakorlat anyaga: A következtetés Gyakran használt következtetési szabályok Leválasztási szabály Elvevı szabály Hipotetikus szillogizmus Indirekt bizonyítás Kontrapozíció Logikai áramkörök Gyakran elıfordul, hogy adott elemekbıl kell összeállítani áramkört oly módon, hogy az elıre meghatározott gyakorlati célt elégítsen ki. A legegyszerőbb esetekben az áramkört áramforrásból, kapcsolókból és fogyasztókból kell felépíteni. Soros kapcsolás esetében annak feltétele, hogy az áramkörben áram folyjék az, hogy mindkét kapcsoló be legyen kapcsolva: x 1 x 2 Legyen x i értéke igaz, ha az x i kapcsoló bekapcsolt állapotban van. Annak logikai feltétele, hogy a lámpa égjen: x 1 x 2. Bevez. a mat.-ba Felsıoktatási Szakképzés 125 Bevez. a mat.-ba Felsıoktatási Szakképzés 126 63 Párhuzamos kapcsolás esetében annak feltétele, hogy az áramkörben áram folyjék az, hogy legalább az egyik kapcsoló be legyen kapcsolva: x 1 x 2 Legyen x i értéke igaz, ha az x i kapcsoló bekapcsolt állapotban van. Annak logikai feltétele, hogy a lámpa égjen: x 1 x 2. Bevez. a mat.-ba Felsıoktatási Szakképzés 127 Az automaták A kibernetikában (informatikában) a különféle információ átalakító eszközöket automatáknak nevezzük. Egy automatának véges sok bemenete van, ezek kívülrıl kapják az információt. Az automata mőködése úgy jellemezhetı, hogy megadjuk a kimeneteken megjelenı adatot a bemenı adatok függvényében, azaz megadjuk a k darab kimeneti információt leíró n-változós függvényeket (ahol k a kimenetek száma, n pedig a bemenetek számának felel meg). Az is nyilvánvaló, hogy mind a bemenetek mind a kimenetek igazságfüggvények (az értékkészlete a {0, 1} halmazból kerül ki. Az automaták ennél bonyolultabbak, de nekünk most ennyi elég. Bevez. a mat.-ba Felsıoktatási Szakképzés 128 64
Egyszerő véges automatáknak nevezzük azokat az elektronikus áramköri egységeket, amelyek az egyes logikai áramköröknek felelnek meg. Mivel minden logikai mővelet elıállítható a konjunkció, a diszjunkció és a negáció segítségével (ezek teljes függvényrendszert alkotnak), ezért ezek a leggyakrabban alkalmazott áramkörök. Jellemzıik: A diszjunkciónak megfelelı VAGY kapunak két (esetleg több) bemenete és egy kimenete van. A kimeneten akkor és csak akkor van impulzus ezt jelöljük 1-gyel ha legalább bemeneten van impulzus. Jelölése: VAGY A konjunkciónak megfelelı ÉS kapunak két (esetleg több) bemenete és egy kimenete van. A kimeneten akkor és csak akkor van impulzus ezt jelöljük 1-gyel ha mindegyik bemeneten van impulzus. Jelölése: ÉS A negációnak megfelelı NEM (INVERTER) kapunak egy bemenete és egy kimenete van. A kimeneten akkor és csak akkor van impulzus ezt jelöljük 1-gyel ha a bemeneten nincs impulzus. Jelölése: NEM Bevez. a mat.-ba Felsıoktatási Szakképzés 129 Bevez. a mat.-ba Felsıoktatási Szakképzés 130 65 A digitális készülékek építıelemeinek legjelentısebb csoportját az un. logikai áramkörök alkotják. A logikai áramkörök bármely teljes logikai függvényrendszernek megfelelı áramkörökbıl így az ÉS, a VAGY és a NEM áramkörökbıl felépíthetık. Példa A logikai kizáró vagy (XOR) normál formája: x 1 x 2 = ( x 1 x 2 ) (x 1 x 2 ) Gyakorlat: Készítsük el más logikai függvény áramkörét! Logikai programozás Nem kétértékő logikák x 1 NEM ÉS VAGY x 2 NEM ÉS Bevez. a mat.-ba Felsıoktatási Szakképzés 131 Bevez. a mat.-ba Felsıoktatási Szakképzés 132 66
A lineáris algebra alapjai Oldjunk meg egy kétismeretlenes lineáris egyenletrendszert! Induljunk ki az elsıfokú kétismeretlenes lineáris egyenletrendszer általános alakjából: Szorozzuk meg az elsı egyenletet b 2 -vel, a másodikat (-b 1 )-gyel, majd adjuk össze az egyenleteket. Azt kapjuk, hogy: Ebbıl kapjuk: Az un. egyenlı együtthatók módszerét fogjuk alkalmazni: olyan konstansokkal szorozzuk a két egyenletet, hogy az egyenletek összeadása után csak az x (ill. az y) maradjon ismeretlenként az egyenletben. Az így kapott egyismeretlenes elsıfokú egyenletet már egyszerően megoldhatjuk. (Ennek a kifejezésnek akkor van csak értelme, ha ) Hasonlóan kapjuk, hogy Bevez. a mat.-ba Felsıoktatási Szakképzés 133 Bevez. a mat.-ba Felsıoktatási Szakképzés 134 67 Figyeljük meg a kapott megoldások szerkezetét! Mind a számlálóban, mind a nevezıben négy-négy számból azonos módon képeztünk egy új számot. Vezessük be erre a mőveleti utasításra a következı jelölést: A másodrendő determináns segítségével az egyenletek megoldásai a következı alakban írhatók fel: Ezt az új objektumot az a 1, a 2, b 1, b 2 számokból képzett másodrendő determinánsnak nevezzük. Azt mondjuk, hogy az a 1, b 2 elemek a fıátló mentén, míg az a 2, b 1 elemek a mellékátló mentén fekszenek. Egy másodrendő determináns értékét úgy számoljuk ki, hogy a fıátlóbeli elemek szorzatából kivonjuk a mellékátló mentén fekvı számok szorzatát. Bevez. a mat.-ba Felsıoktatási Szakképzés 135 ahol Itt D-t az egyenletrendszer determinánsának nevezzük. A D x (ill. a D y ) determinánst a D-bıl úgy kapjuk, hogy az x (ill. az y) együtthatóinak helyébe beírtuk az egyenletrendszer jobb oldalán álló számokat. Bevez. a mat.-ba Felsıoktatási Szakképzés 136 68
Példa: Most a rendszer determinánsa: A másodrendő determináns tulajdonságai Tétel: A determináns értéke elıjelet vált, ha két sorát (vagy két oszlopát) megcseréljük. Biz. és Ezért: Helyettesítéssel ellenırizzük az eredmény helyességét! Bevez. a mat.-ba Felsıoktatási Szakképzés 137 Következmény-1: A determináns értéke nem változik, ha az elemeket a fıátlóra tükrözzük. Bevez. a mat.-ba Felsıoktatási Szakképzés 138 69 Következmény-2: Minden olyan tétel, amely érvényes egy másodrendő determináns soraira kimondva, érvényes marad akkor is, ha azt a determináns oszlopaira mondjuk ki. Tétel: Ha a másodrendő determináns két sora elemrıl-elemre megegyezik, akkor a determináns értéke nulla. Biz. Tétel: Ha egy determinánst egy sorának minden elemét megszorozzuk egy k konstanssal, akkor a determináns értéke k-szorosára nı. Biz. Következmény-3: Ha a másodrendő determináns egyik sora a másik sorának többszöröse, akkor a determináns értéke nulla. Biz. Bevez. a mat.-ba Felsıoktatási Szakképzés 139 Bevez. a mat.-ba Felsıoktatási Szakképzés 140 70
Tétel: Ha másodrendő determinánsban valamelyik sor (vagy oszlop) felbontható két elem összegére, akkor a determináns felírható két determináns összegeként. Biz. Tétel: Egy determináns értéke nem változik, ha egy sorának konstans-szorosát hozzáadjuk a másik sorhoz. Biz. Bevez. a mat.-ba Felsıoktatási Szakképzés 141 Bevez. a mat.-ba Felsıoktatási Szakképzés 142 71 Gyakorlat: Harmadrendő determinánson a következı 3 3-as elrendezést értjük: Oldjuk meg a 100. oldalon levı 3 feladatot! amelynek értékét a következı képlettel számítjuk ki: Bevez. a mat.-ba Felsıoktatási Szakképzés 143 Bevez. a mat.-ba Felsıoktatási Szakképzés 144 72
Egy harmadrendő determináns fıátlóján az a 11 és az a 33 elemeket összekötı egyenes szakaszt értjük: Kifejtési Tétel: A harmadrendő determináns értéke kiszámítható másodrendő determinánsok súlyozott összegeként. Biz. A determináns mellékátlója az a 13 és az a 31 elemeket összekötı egyenes szakasz. A determináns értékét a Sarrus szabállyal határozhatjuk meg: Bevez. a mat.-ba Felsıoktatási Szakképzés 145 Bevez. a mat.-ba Felsıoktatási Szakképzés 146 73 Egy harmadrendő determináns a ij eleméhez tartozó aldeterminánson azt a másodrendő determinánst értjük, amelyet úgy kapunk, hogy elhagyjuk a determináns i. sorát és j. oszlopát. Az a ij elemhez tartozó Az elsıfokú három ismeretlenes egyenletrendszer Tekintsük a következı egyenletrendszert! Jelölése: Jelıljük az egyenletrendszer determinánsát D-vel, és jelölje D i azt a harmadrendő determinánst, amelyet D-bıl úgy kapunk, hogy D i- dik oszlopát az egyenletrendszer jobboldalán álló értékekkel helyettesítjük. Pl. Megjegyzés: a Kifejtési Tételben az aldetermináns elıjele +1, ha a az indexek összege páros, és ( 1), ha az indexek összege páratlan. Bevez. a mat.-ba Felsıoktatási Szakképzés 147 Bevez. a mat.-ba Felsıoktatási Szakképzés 148 74
Tétel(Cramer szabály): Ha az egyenletrendszer determinánsa nem 0, akkor az egyenletrendszernek pontosan egy megoldása van. Az i-dik ismeretlen értéke egy olyan törttel egyenlı, amelynek nevezıje a rendszer determinánsa, számlálója pedig D i : Gyakorlat: könyv 103-104. oldalon lévı példák. Megjegyzés: A tétel állítása igaz n ismeretlenes egyenletrendszer esetén is. Bevez. a mat.-ba Felsıoktatási Szakképzés 149 Bevez. a mat.-ba Felsıoktatási Szakképzés 150 75 Oldjuk meg a következı egyenletrendszert: Ezért az egyenletrendszer megoldása: Az egyenletrendszer determinánsa: Számoljuk most ki a D i determinánsok értékeit: Az értékek visszahelyettesítésével ellenırizzük a megoldás helyességét! Bevez. a mat.-ba Felsıoktatási Szakképzés 151 Bevez. a mat.-ba Felsıoktatási Szakképzés 152 76
A determináns fogalmának általánosítása n-ed rendő determinánsnak nevezzük azt az n 2 elembıl álló, n sorba és n oszlopba rendezett táblázatot, amelynek értékét a következıképpen számítjuk ki: ahol A ij az a ij elemhez tartozó (n-1)-ed rendő aldetermináns. Megjegyzés: a fenti kifejtést az aldeterminánsokon addig folytatjuk, amíg másodrendő aldeterminánsokhoz nem jutunk. (Rekurzív definíció) Bevez. a mat.-ba Felsıoktatási Szakképzés 153 Az n-ed rendő determinánsokra érvényes tételek I. A determinánst bármely sora vagy oszlopa szerint kifejtve ugyanazt az eredményt kapjuk. A determináns értéke nem változik, ha elemeit a fıátlóra tükrözzük. (Következmény: a sorokra kimondott tételek érvényesek az oszlopokra is.) A determináns értéke elıjelet vált, ha két sorát megcseréljük. Ha a determináns két sora megegyezik, akkor a determináns értéke zérus. Ha a determináns valamely sora csupa zérus elemet tartalmaz, akkor a determináns értéke zérus. Ha egy determináns valamely sorának elemeit egy másik sorhoz tartozó aldeterminánsokkal szorozzuk, akkor a kapott szorzat értéke zérus Bevez. a mat.-ba Felsıoktatási Szakképzés 154 77 Az n-ed rendő determinánsokra érvényes tételek II. Határozzuk meg az alábbi determináns értékét: Ha a determináns fıátlója felett (alatt) csupa zérus elem áll, akkor a determináns értékét a fıátlóbeli elemek szorzatából megkaphatjuk. Ha egy determináns egy sorában minden elem felbontható két elem összegére, akkor a determináns felírható két determináns összegeként. Ha a determináns egy sorának minden elemét megszorozzuk egy k konstanssal, akkor a determináns értéke k-szorosára növekszik. (Következmény: ha a determináns egyik sora egy másik sor többszöröse, akkor a determináns értéke zérus.) A determináns értéke nem változik, ha valamely sorához egy másik sorának konstansszorosát hozzáadjuk. Bevez. a mat.-ba Felsıoktatási Szakképzés 155 Bevez. a mat.-ba Felsıoktatási Szakképzés 156 78
Határozzuk meg az alábbi determináns értékét: Mátrixok Mátrixnak nevezünk n m darab téglalap alakban elrendezet valós számot. Jelölése A(n,m) vagy A n m, ahol n m a mátrix típusa, n a mátrix sorainak, m a mátrix oszlopainak száma. Határozzuk meg az alábbi determináns értékét: A mátrixban található a ij számok a mátrix elemei, ahol i-t sorindexnek, j-t oszlopindexnek nevezzük. Bevez. a mat.-ba Felsıoktatási Szakképzés 157 Bevez. a mat.-ba Felsıoktatási Szakképzés 158 79 Két mátrix akkor és csak akkor egyenlı, ha azonos típusúak, és az azonos helyen álló elemeik megegyeznek. Azaz A = (a ij ) n m és B = (b ij ) p q esetén A = B, ha n = p és m = q, továbbá a ij = b ij minden i,j párra, ahol 1 i n, 1 j m. Speciális mátrixok: négyzetes (kvadratikus) mátrix: n = m. sormátrix: n = 1. oszlopmátrix: m = 1. zérusmátrix: a ij = 0, minden i,j párra. egységmátrix: a ii = 1 és a ij = 0, ha i j. szimmetrikus mátrix: a ij = a ji antiszimmetrikus mátrix: a ij = -a ji, ha i j, és a ii = 0 Mőveletek mátrixokkal Az A = (a ij ) n m és B = (b ij ) n m mátrixok összegén azt a C = (c ij ) n m mátrixot értjük, amelyre c ij = a ij + b ij. Összeadni csak azonos típusú mátrixokat lehet! Példa: Bevez. a mat.-ba Felsıoktatási Szakképzés 159 Bevez. a mat.-ba Felsıoktatási Szakképzés 160 80
Mátrixot egy λ skalárral úgy szorzunk, hogy a mátrix minden elemét szorozzuk a konstanssal. Ha A = (a ij ) n m ésλegy valós szám, akkor C = (c ij ) n m =λa, ha c ij = λ a ij 1 i n, 1 j m. Példa: Az A = (a ij ) n m és B = (b ij ) p q mátrixokat ebben a sorrendben konformábilisnek nevezünk, ha m = p. Az A = (a ij ) n m és B = (b ij ) m l mátrixok szorzatán azt a C = (c ij ) n l mátrixot értjük, amelyre Legyenek A 1, A 2,, A n azonos típusú mátrixok, és legyenek adot-tak a k 1, k 2, k n konstansok. Ekkor a Példa kifejezést az A 1, A 2,, A n nevezzük. mátrixok lineáris kombinációjának Tétel: A mátrixszorzás nem kommutatív, és nem zérusosztómentes, de asszociatív és az össze-adásra nézve disztributív. Bevez. a mat.-ba Felsıoktatási Szakképzés 161 Bevez. a mat.-ba Felsıoktatási Szakképzés 162 81 Az A = (a ij ) n m mátrix transzponáltján azt az Az A * mátrixot értjük, amelyre a ij = a * ji = (a ji ) * m n Az E n n mátrixot egységmátrixnak nevezzük, ha e ii = 1, és e ij = 0, ha i j. Példa: Egy A = (a ij ) n n négyzetes mátrix inverzén azt a A -1 mátrixot értjük, amelyre igaz, hogy = (a ij ) -1 n n Egy négyzetes A mátrix determinánsán a mátrix eleemeibıl képzett determinánst értjük. Jelölése: A vagy det A. Az A mátrixot regulárisnak nevezzük, ha det A 0. Az A mátrixot szingulárisnak nevezzük, ha det A = 0 Példa: A mátrixszorzás segítségével a számítás helyességét! Bevez. a mat.-ba Felsıoktatási Szakképzés 163 Bevez. a mat.-ba Felsıoktatási Szakképzés 164 82
Tétel: Legyen A invertálható mátrix, az inverzét jelölje B=(b ij ). Ekkor fennáll, hogy ahol A ji az A mátrix a ji eleméhez tartozó adjungált aldetermináns. Példa: Számítsuk ki az A mátrix inverzét, ha Bevez. a mat.-ba Felsıoktatási Szakképzés 165 Bevez. a mat.-ba Felsıoktatási Szakképzés 166 83 Lineáris egyenletrendszerek Legyen A mxn egy mátrix, b 1, b 2,, b m pedig skalárok. Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az alábbi egyenletrendszert Az n számot az ismeretlenek számának, míg m-et az egyenletek számának nevezzük. Bevez. a mat.-ba Felsıoktatási Szakképzés 167 Bevez. a mat.-ba Felsıoktatási Szakképzés 168 84
Bevezetve az ismeretlenekbıl és a jobb oldali skalárokból képezett Ha a b 1, b 2,, b m skalárok mindegyike zéró, akkor homogén lineáris egyenletrendszerrıl beszélünk, míg ellenkezı esetben inhomogén lineáris egyenletrendszerrıl. oszlopmátrixokat (oszlopvektorokat), a lineáris egyenletrendszert rövidített (mátrix alakban megadott) formában is felírhatjuk: AX = B A lineáris egyenletrendszerhez tartozó alapmátrix az A mátrix, míg az un. bıvített alapmátrix: A (ξ 1,ξ 2,,ξ n ) vektort a lineáris egyenletrendszer megoldásának nevezzük, ha teljesül. Triviális megoldás alatt a csupa zérusból álló megoldást értjük. Az ettıl eltérı megoldást nemtriviális megoldásnak nevezzük. Bevez. a mat.-ba Felsıoktatási Szakképzés 169 Bevez. a mat.-ba Felsıoktatási Szakképzés 170 85 Tétel: A homogén lineáris egyenletrendszernek mindig van megoldása, hiszen a triviális megoldás egy ilyen rendszernek megoldása. A Cramer szabály állítása igaz n ismeretlenes egyenletrendszer esetén is. Tétel(Cramer szabály): Ha az egyenletrendszer determinánsa nem 0, akkor az egyenletrendszernek pontosan egy megoldása van. Az i-dik ismeretlen értéke egy olyan törttel egyenlı, amelynek nevezıje a rendszer determinánsa, számlálója pedig D i : Lineáris egyenletrenszerek numerikus megoldása Gauss elimináció a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = a 1n+1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = a 2n+1 a n1 x 1 + a n2 x 2 + + a nn x n = a nn+1 ahol a in+1 =b i Az eljárás lényege: Olyan egyenletrendszer kialakítása, amelynek együttható mátrixa háromszög alakú. Bevez. a mat.-ba Felsıoktatási Szakképzés 171 Bevez. a mat.-ba Felsıoktatási Szakképzés 172 86
Az algoritmus: a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = a 1n+1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = a 2n+1 A számítások befejezése után a következı feladatot kapjuk: a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = a 1n+1 a (1) 22 x 2 + + a (1) 2n x n = a (1) 2n+1 a n1 x 1 + a n2 x 2 + a + nn x n = a nn+1 1. Minden 1 és n-1 közé esı i-re végezzük el a következıket: 2. Jelöljük s j (i-1) -vel az egyenletrendszer j. sorát az i. lépésben. Tegyük fel, hogy a ii (i-1) 0. Legyen q j (i-1) =a ji (i-1) /a ii (i-1). Amibıl a megoldás: a (n-1) nn x n = a nn+1 (n-1) 3. Legyen s j (i) = s j (i-1) q j (i-1) s i (i-1) minden j>i-re. Bevez. a mat.-ba Felsıoktatási Szakképzés 173 Bevez. a mat.-ba Felsıoktatási Szakképzés 174 87 Határozzuk meg a következı egyenletrendszer megoldását! 2x 1 +3x 2 -x 3 =9 Mekkora a mőveletigény (osztások és a szorzások száma)? Az algoritmusból adódik, hogy minden j-re (n-j) osztást és (n-j)(nj+1) szorzást kell elvégezni. Ezért: x 1 +2x 2 +x 3 =4 x 1 -x 2-2x 3 =1 q 2 =1/2 q 3 =1/2 A megoldás: x 3 = -1 q 3 (1) = -5 A visszahelyettesítés mőveletigénye n osztás és n(n-1)/2 szorzás. Ezért az összes mővelet: Bevez. a mat.-ba Felsıoktatási Szakképzés 175 Bevez. a mat.-ba Felsıoktatási Szakképzés 176 88
Gauss elimináció fıelem kiválasztással 1. Minden 1 és n-1 közé esı i-re végezzük el a következıket: 2. Legyen 3. Ha k j, akkor cseréljük meg a k. sort a j. sorral. Tétel: Ha a lineáris egyenletrendszer A mátrixa nem szinguláris, akkor a fenti eljárással kiválasztott elemek egyike sem lehet zérus. Biz.: Mivel az A mátrix nem szinguláris, ezért det(a) 0. A fıelemkiválasztásos Gauss módszer végén fejtsük ki a kiháromszögelt mátrixot a fıátlóba esı elemek szerint: 4. Folytassuk az eljárást, a Gauss-elimináció (2) és (3) lépésével. Attól függıen, hogy páros vagy páratlan számú sorcserét hajtottunk végre. Bevez. a mat.-ba Felsıoktatási Szakképzés 177 Bevez. a mat.-ba Felsıoktatási Szakképzés 178 89 Határozzuk meg a az elızı egyenletrendszer megoldását a fıelem kiválasztásának módszerével! 2x 1 +3x 2 -x 3 =9 x 1 +2x 2 +x 3 =4 Gauss elimináció teljes fıelem kiválasztással Az elızı módszert szokás részleges fıelem kiválasztásnak nevezni. x 1 -x 2-2x 3 =1 q 2 =1/2 q 3 =1/2 q 3 (1) = 1/5 Teljes fıelem kiválasztásnál az együttható mátrix maradék részének legnagyobb abszolút értékő elemét sor- és oszlopcserékkel a mátrix diagonális elemének helyére visszük. Azaz a j. lépésben legyen x 3 =-1, x 2 =2, x 1 =1 Bevez. a mat.-ba Felsıoktatási Szakképzés 179 Bevez. a mat.-ba Felsıoktatási Szakképzés 180 90
p j =j (j=1,2,,n) j=1 Hibajelzés meghatározása =0 t=p j p j =p q p q =t (i=j+1,,n) (i=j+1,..,n k=j+1,,n+1) j=j+1 j n-1 VÉGE Határozzuk meg az elızı egyenletrendszer megoldását a fıelem kiválasztásának módszerével! 2x 1 +3x 2 -x 3 =9 x 1 +2x 2 +x 3 =4 x 1 -x 2-2x 3 =1 p = (1,2,3) 3x 2 +2x 1 -x 3 =9 2x 2 +x 1 +x 3 =4 -x 2 +x 1-2x 3 =1 p = (2,1,3) q 2 =2/3 q 3 =-1/3 Bevez. a mat.-ba Felsıoktatási Szakképzés 181 Bevez. a mat.-ba Felsıoktatási Szakképzés 182 91 Gauss-Jordan elimináció a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = a 1n+1 p = (2,3,1) q (1) 3 = -5/7 x 1 =1, x 3 =-1, x 2 =2 Figyeljük meg az indexeket és permutáció vektor viszonyát! Bevez. a mat.-ba Felsıoktatási Szakképzés 183 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = a 2n+1 a n1 x 1 + a n2 x 2 + + a nn x n = a nn+1 ahol a in+1 =b i Az eljárás lényege: Ekvivalens átalakításokkal olyan egyenletrendszer kialakítása, amelynek együttható mátrixa egységmátrix. Bevez. a mat.-ba Felsıoktatási Szakképzés 184 92
a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = a 1n+1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = a 2n+1 a n1 x 1 + a n2 x 2 + + a nn x n = a nn+1 a 11 x 1 + a (1) 12 x 2 + + a (1) 1n x n = a 1n+1 a 21 x 1 + a (1) 22 x 2 + + a (1) 2n x n = a (1) 2n+1 a n1 x 1 + a (1) n2 x 2 + + a (1) nn x n = a (1) nn+1 1.Minden 1 és n-1 közé esı i-re végezzük el a következıt: 2.Legyen s j (i-1) az egyenletrendszer j. sora az i. lépésben. Tegyük fel, hogy a ii (i-1) 0. 3. Legyen s (i) i = s (i-1) i /a (i-1) ii, és s (i) j = s (i-1) j a (i) ij s (i) i minden j i-re. s 1 (1) =s 1 /a 11, s j (1) = s j a 11 (1) s 1 (1) minden j i-re. j=2,,n Bevez. a mat.-ba Felsıoktatási Szakképzés 185 Bevez. a mat.-ba Felsıoktatási Szakképzés 186 93 Az i. lépésben: x 1 + + a +a 1n x n = a 1i x 2 + 1n+1 a a 2n x n a ii x 2 + + = 2n+1 a a (1) n2 x 2 + + nn x n = a nn+1 Határozzuk meg az elızı egyenletrendszer megoldását a fıelem kiválasztásának módszerével! 2x 1 +3x 2 -x 3 =9 x 1 +2x 2 +x 3 =4 x 1 -x 2-2x 3 =1 = s 1 (1) =s 1 /a 11, s j (1) = s j a 11 (1) s 1 (1) minden j i-re. j=2,, n = = Bevez. a mat.-ba Felsıoktatási Szakképzés 187 Bevez. a mat.-ba Felsıoktatási Szakképzés 188 94
Mátrix invertálása Gauss-Jordan eliminációval Amibıl a megoldás: = x 3 = -1 x 2 = 2 x 1 = 1 Bevez. a mat.-ba Felsıoktatási Szakképzés 189 Az elızıekben leírt módszer egyszerő gyakorlati módszert ad mátrixok invertálhatóságának eldöntésére és az inverzmátrix meghatározására. Megjegyzés. (Mátrix invertálása szimultán Gauss eliminációval.) Legyen adva egy négyzetes mátrix, melyet Gauss eliminációval egységmátrixszá alakítottunk: A mátrix tehát invertálható és inverze: Ez azt jelenti, hogy ha az A mátrixot Gauss eliminációval, azaz elemi sorátalakításokkal egységmátrixszá alakítjuk, s ugyanezeket az elemi sorátalakításokat végrehajtjuk az egységmátrixon, a végeredmény A inverze lesz. Tehát az eliminációt egyszerre, szimultán hajtjuk végre a két mátrixon, de az elemi sorátalakításokat az A határozza meg, az egységmátrix csak elszenvedi. Bevez. a mat.-ba Felsıoktatási Szakképzés 190 95 (A módszer végrehajtásakor természetesen nem kell az elemi mátrixokat felírni, azoknak csak a bizonyításnál van szerepük.) Gyakorlatilag leírjuk egymás mellé az invertálandó mátrixot (bal oldal) és az egységmátrixot (jobb oldal), majd Határozzuk meg a következı mátrix inverzét! = = 1. Gauss eliminációval lépcsıs alakúra hozzuk ezt a hosszú mátrixot. Ha a baloldali négyzetes mátrix nem tartalmaz csupa zéróból álló sort (háromszög alakú és a fıátlóban nincs zérus), akkor a mátrix invertálható, s az eljárást folytatjuk. 2. Elemi sorátalakításokkal alulról fölfelé haladva elérjük, hogy a baloldalon egységmátrix legyen. A jobb oldalon az inverzmátrix van. = Ellenırzés: = = Bevez. a mat.-ba Felsıoktatási Szakképzés 191 Bevez. a mat.-ba Felsıoktatási Szakképzés 192 96
Gráfelmélet alapjai Megoldható, hogy a kombinatórika a gyakorlat anyaga legyen?? Javaslat: Kezdjük a félév gyakorlatát a kombinatórikával. Ez elegendı idıt ad az elıadásnak ahhoz, hogy elıre haladjon! Legyen V elemeknek egy véges halmaza, és E a V elemeibıl képezett rendezett párok esetleg üres halmaza. Gráfnak nevezzük a V és E által meghatározott struktúrát. Jelölése: G(V,E) V(G) A G csúcshalmaza E(G) A G élhalmaza v 1 v 3 v 2 e 5 v e 3 e 4 1 e e 2 4 v 5 e 1 = {v 1,v 4 } összeköti a v 1 és v 4 csúcsokat v 3 és v 2 szomszédos csúcsok, e 2 és e 4 szomszédos élek, e 4 és v 5 illeszkednek. Idınként a v 1 v 2 jelölést fogjuk használni a {v 1,v 2 } helyett. Bevez. a mat.-ba Felsıoktatási Szakképzés 193 Bevez. a mat.-ba Felsıoktatási Szakképzés 194 97 V(G) elemeinek a számát a gráf rendjének nevezzük. Jelölése: n(g). e 1 E(G) elemeinek a számát a gráf méretének nevezzük. Jelölése: m(g). v 1 v 2 Az n-ed rendő, m mérető gráfot G(n,m) vagy G n,m jelöli. e 2 e 3 e 4 Legyen a G gráf csúcshalmaz V(G) = {v 1, v 2,, v n } és élhalmaza E(G) = {e 1, e 2,, e m }. A gráf leírható mátrixokkal. A szomszédsági mátrix A(G) = [a ij ] nxn ahol a ij = { 1 ha v iv j E(G) 0 ha v i v j E(G) Az illeszkedési mátrix B(G) = [b ij ] nxm ahol b ij = { 1 ha v i és e j illeszkedik 0 különben. Bevez. a mat.-ba Felsıoktatási Szakképzés 195 v 3 e 5 v 1 v 2 v 3 v 4 e 1 e 2 e 3 e 4 e 5 Egy gráf, és a hozzá tatozó szomszédsági és illeszkedési mátrixok Bevez. a mat.-ba Felsıoktatási Szakképzés 196 v 4 v 1 v 1 v 2 v 2 v 3 v 3 v 4 v 4 98
Csúcsok fokszáma Egy G gráf v csúcsának fokszámán a csúcshoz illeszkedı élek számát értjük. Jelölése: deg G v vagy deg v. Jelılje a v csúccsal szomszédos csúcsok halmazátγ(v). deg G v= Γ(v). Egy csúcsot párosnak vagy páratlannak nevezzük attól függıen, hogy a fokszáma páros vagy páratlan. Egy csúcsot izoláltnak nevezünk, ha deg v = 0, és vég-csúcsnak, ha deg v = 1. δ(g) = min deg G v a G gráf minimális fokszáma. v G (G) = max deg G v a G gráf maximális fokszáma. v G Bevez. a mat.-ba Felsıoktatási Szakképzés 197 v 1 v 6 v 7 v 8 2 5 3 1 2 v 5 3 2 4 2 v 2 v 3 v 4 v 9 deg G v 2 = 3 deg G v 4 = 4 deg G v 9 = 2 δ(g) = deg G v 8 = 1 (G) = deg G v 6 = 5 Csúcsfokszámok egy gráfban Bevez. a mat.-ba Felsıoktatási Szakképzés 198 99 Tétel ( Kézfogási Lemma): Tekintsük a G(n,m) gráfot, ahol V(G) = {v 1, v 2,, v n }. Ekkor n deg G v i = 2m Biz.: i=1 Az állítás azonnal következik abból a ténybıl, hogy minden él két csúcsra illeszkedik. Következmény: Bármely gráfban a páratlan csúcsok száma mindig páros. Bevez. a mat.-ba Felsıoktatási Szakképzés 199 Azt a gráfot, amelynek nincsenek élei üres gráfnak nevezzük. A H gráf a G gráf részgráfja, ha V(H) V(G) és E(H) E(G). Részgráfok és indukált részgráfok Legyen v V(G) és V(G) 2. A H = G v gráf a v csúcs törlésével áll elı G-bıl, ha V(H) = V(G) {v} és E(H) a G azon éleit tartalmazza, amelyek nem illeszkednek v-re. Ha e E(G), akkor H = G e (egy él kitörlése) G-nek egy olyan részgráfja, amelyre V(H) = V(G) és E(H) = E(G) {e}. v Bevez. a mat.-ba Felsıoktatási Szakképzés 200 100
e v G G v G e Ha u és v a G nem szomszédos csúcsai, akkor G + f, ahol f = uv, jelöli azt a gráfot, amelynek csúcshalmaza V(G) és élhalmaza E(G) { f }. Ezért G G + f. Ha G egy H részgráfjának rendje megegyezik G rendjével, akkor H- t G feszítı részgráfjának nevezzük. Ha U a V(G) egy részhalmaz, akkor U a G-nek egy olyan U által indukált gráfja, amely csúcshalmaza U V(G) és élhalmaza minden olyan élet tartalmaz G-bıl, amely illeszkedik az U két elemére. Bevez. a mat.-ba Felsıoktatási Szakképzés 201 Bevez. a mat.-ba Felsıoktatási Szakképzés 202 101 Speciális gráfok Egy G gráfot r-reguláris gráfnak nevezünk, ha deg v = r a G gráf minden v csúcsára. Egy gráf teljes, ha bármely két csúcsa szomszédos. Ha G = G(m,n), akkor G (n-1)-reguláris, és m = n(n-1)/2. Jelölése: K n. 4-reguláris gráfok. Bevez. a mat.-ba Felsıoktatási Szakképzés 203 A Petersen gráf Bevez. a mat.-ba Felsıoktatási Szakképzés 204 102
Egy G gráf komplemens gráfján azt a gráfot értjük, amelyre V( )= V(G) u,v V(G), uv E( ) akkor és csak akkor, ha uv E(G). Állítás-1: Ha G = G(m,n), akkor amelynek mérete: egy olyan n-ed rendő gráf, Egy G gráfot k-részesnek mondunk, k 1, ha a V(G) csúcspontjainak halmaza úgy particionálható k részhalmazra (V 1,V 2,,V k ), hogy E(G) elemei V i és V j -beli csúcsokat kötnek össze, ahol i j. Ha k = 2, akkor a gráf kétrészes. Tétel: Ha G egy r-reguláris kétrészes gráf, r 1, akkor V 1 = V 2. Egy teljes kétrészes gráfot, ahol V 1 = r és V 2 = s K(r,s)-el vagy K r,s - el jelöljük. (A K 1,s gráfot csillagnak nevezzük). Állítás- 2: A K n teljes gráf komplemens gráfja üres. az n-ed rendő Bevez. a mat.-ba Felsıoktatási Szakképzés 205 Bevez. a mat.-ba Felsıoktatási Szakképzés 206 103 v 1 v 4 v 5 v 7 Mőveletek gáfokon Két gráf egyesítésén (unióján) azt a G = G 1 U G 2 gráfot értjük, amelyre V(G) = V(G 1 ) U V(G 2 ) és E(G) = E(G 1 ) U E(G 2 ). v 2 v 3 v 6 v 1 v 3 v 5 v 7 V 1 Példa: 3K 1 U 2K 3 U K 2,2. v 2 v 4 v 6 V 2 Egy kétrészes gráf két különbözı (izomorfikus) ábrázolása Bevez. a mat.-ba Felsıoktatási Szakképzés 207 Bevez. a mat.-ba Felsıoktatási Szakképzés 208 104
Két gráf összekapcsolásán azt a G = G 1 +G 2 gráfot értjük, amelyre V(G) = V(G 1 ) U V(G 2 ) és E(G) = E(G 1 ) U E(G 2 ) U{uv u V(G 1 ) és v V(G 2 )}. Két gráf direkt szorzatán azt a G = G 1 G 2 gráfot értjük, amelyre V(G) = V(G 1 ) V(G 2 ) és két csúcs: (u 1,u 2 ) és (v 1,v 2 ) akkor és csak akkor szomszédos, ha vagy u 1 = v 1 és u 2 v 2 E(G 2 ) vagy u 2 = v 2 és u 1 v 1 E(G 1 ) Példa: Példa: u 1 u 2 v 2 (u 1,u 2 ) (u 1,v 2 ) (u 1,w 2 ) v 1 (v 1,u 2 ) (v 1,v 2 ) w 1 w 2 (v 1,w 2 ) G 1 G 2 G 1 +G 2 G 1 G 2 G = G 1 G 2 Bevez. a mat.-ba Felsıoktatási Szakképzés 209 Bevez. a mat.-ba Felsıoktatási Szakképzés 210 105 Gráfok bejárása Legyen u és v a G gráf nem szükségképpen különbözı két csúcsa. Egy W-vel jelölt u v séta a G gráfban a csúcspontoknak és az éleknek egy olyan W: u = u 0,e 1,u 1,e 2,u 2,.,u k-1,e k,u k = v véges, alternáló sorozata, amely az u csúcsponttal kezdıdik, a v csúccsal végzıdik, és e i = u i-1 u i mindig egy él, i=1,2,,k. A k számot a W séta hosszának nevezzük. u 1 u 4 Egy u v sétát zártnak vagy nyitottnak nevezünk attól függıen, hogy u = v vagy u v. A u-v ösvény az egy olyan u v séta, amelyben él nem ismétlıdik, és egy u v út az egy olyan u v séta, amelyben csúcspont nem ismétlıdik. Következmény-1: minden út egyben ısvény is. Következmény-2: Minden út egyben séta is, de a megfordítottja általában nem igaz. u e 1 e 2 e 5 e4 k=6 u 6 =v e 6 e 3 u u3 2 =u 5 Bevez. a mat.-ba Felsıoktatási Szakképzés 211 Bevez. a mat.-ba Felsıoktatási Szakképzés 212 106
Példa: v 2 v 4 Tétel: Ha A a G szomszédsági mátrixa, és V(G) = {v 1,v 2,,v n }, akkor az A k hatványmátrix (i,j) eleme, k 1, megadja a k hosszúságú v i -v j sétákat a G gráfban. Példa: v 1 v 5 v3 egy v 1 -v 4 séta de nem ösvény. egy ösvény de nem út. egy út. v 1 v3 v 2 v 4 Bevez. a mat.-ba Felsıoktatási Szakképzés 213 Bevez. a mat.-ba Felsıoktatási Szakképzés 214 107 Egy nem triviális zárt ösvényt körútnak nevezünk, és azt a körutat, amelyben n különbözı csomópont szerepel, kırnek nevezzük. Egy aciklikus gráfban nincs kör. Egy kör páros, ha hossza páros, egyébként a kör páratlan. Egy k hosszúságú kört k-körnek nevezünk. A 3-kör a háromszög. Azt az n-ed rendő gráfot, amely út, P n jelöli, és C n egy n csúcspontú kört jelöl. Egy u csúcsról azt mondjuk, hogy összeköthetı a v csúccsal, a gráfban létezik egy u v út. Egy gráf összefüggı, ha bármely két csúcsa összeköthetı. Egyébként a gráf nem összefüggı. Bevez. a mat.-ba Felsıoktatási Szakképzés 215 Tétel: Egy G gráf csúcshalmazán értelmezett összefüggı reláció egy ekvivalancia reláció. Biz.: Házi feladat Azokt a részgráfokat, amelyek az ekvivalencia reláció eredményeként létrejött ekvivalencia osztályoknak felelnek meg, a G gráf összefüggı komponensének nevezzük. A G gráf komponenseinek számát k(g) jelöli. Egy összefüggı gráfban az u és v csúcsok d(u,v) távolságán a két csúcspont között megadható u v utak minimális hosszát értjük. Bevez. a mat.-ba Felsıoktatási Szakképzés 216 108
A feszítı fa probléma v 1 0 1 2 3 v 2 v v 4 3 v 1 v 6 v 7 v 8 1 2 3 2 v 5 2 v 9 v 2 v 6 v 3 v 5 v 9 v 7 v 4 Távolsági szintek a v 1 csúcsból kiindulva. Bevez. a mat.-ba Felsıoktatási Szakképzés 217 v 8 szint 0 szint 1 szint 2 szint 3 Egy G gráf feszítı fáján azt a feszítı részgráfot értjük, amely fa. Tétel: Minden összefüggı fának van feszítı részgráfja Proof. Konstrukcióval. Válasszunk egy tetszıleges x V csúcspontot. Legyen V i ={ y G : d(x,y)= i, i=1,2,,m }. Ha y i V i, i > 0 és x,z 1,z 2,,z i-1,y i egy x y i út, akkor d(x,z j )= j, 0 < j < i. Az világos, hogy V j Ø, ha j < M, és bármely y V i -hez, i M, létezik legalább egy y' V i-1, amely szomszédos y-nal. ({y',y} E(G)). Bevez. a mat.-ba Felsıoktatási Szakképzés 218 109 x Az optimalizáció-elmélet egyik ismert problémája az, hogy hogyan lehet megtalálni egy gráf valamilyen speciális tulajdonsággal rendelkezı feszítı fáját. Legyen adott a G=(V,E) gráf és egy pozitív értékő f függvény, amely a gráf élein van definiálva: f: E R +. Keressük azt a T=(V,E ) összefüggı feszítı fát, amelyre minimális. V 0 V 1 V 2 V M-2 V M-1 V M Az ilyen tulajdonságú feszítı részfát gazdaságos feszítı fának nevezzük. Következmény-1: A G(n,m) feszítıfája: T(n,n-1). Bevez. a mat.-ba Felsıoktatási Szakképzés 219 Bevez. a mat.-ba Felsıoktatási Szakképzés 220 110
Egy valós probléma: Egy adott régióban falvakat akarunk összekötni vízvezetékkel. Ismerjük, hogy mennyibe kerül az egyes flvak közötti vezetékek felépítése. Keressük meg azt a hálózatot, mely a legkevesebb költséggel építhetı fel! Példa: 3 3 3 3 5 4 1 4 1 4 2 2 2 Kruskal Algoritmus (1956): Válasszuk ki a legolcsóbb élet G-bıl, azaz azt az élet, amelyre f(e) minimális. A következı élet a még ki nem választottak közül mindig úgy választjuk, hogy az a legolcsóbb legyen. A választásnál arra kell ügyelnünk, hogy nem képezhetünk körutat a kiválasztott élekbıl. Ha ilyen él már nincs, akkor véget ér az algoritmus. 3 3 3 3 5 1 4 4 1 4 2 2 2 f(t 1 )=15 Bevez. a mat.-ba Felsıoktatási Szakképzés 221 Bevez. a mat.-ba Felsıoktatási Szakképzés 222 111 2. Algoritmus: Az algoritmus lényege az, hogy drága élet csak akkor szabad választani, ha biztosítanni akarjuk a gráf összefüggıségét. Töröljük tehát a legdrágább élet a gráfból minaddig, amíg a gráf összefüggı marad. Ha ilyen él már nincs, akkor véget ér az algoritmus. A legrövidebb út problémája Rendeljünk a G gráf minden (u,v ) E(G) éléhez egy w(u,v) függvényt, és nevezzük ezt súlynak. Azt a, amelynek élei súlyozva vannak, súlyozott gráfnak nevezzük. 3 1 4 2 Legyen w: E(G) R + egy függvény. Terjesszük ki a függvény definícióját egy gráf H Grészgráfjára: 3 3 3 5 4 1 4 2 2 f(t 2 )=15 Számos olyan optimalizációs probléma létezik, amely egy súlyozott gráfban keres egy olyan részgráfot, amely valamilyen tulajdonság szerint minimális (vagy maximális). Bevez. a mat.-ba Felsıoktatási Szakképzés 223 Bevez. a mat.-ba Felsıoktatási Szakképzés 224 112
A legrövidebb út problémája: adott egy súlyozott gráf, (vasút hálózat). Határozzuk meg a legrövidebb utat a gráf elıre adott két csúcspontja (városa) között. Ebben a környezetben az út hosszán a út által reprezentált részgráf súlyát fogjuk érteni. The Dijkstra algorithm (1959) Tegyük fel, hogy az u 0 és a v 0 csúcsok közötti út hosszát akarjuk meghatározni: Az algoritmus egy fokozatosan növekvı S i halmazt készít, ahol 0 i n 1, és {u 0 } S i V(G). Minden lépésben egy cimkét rendelünk a csúcspontokhoz: l:(g) R { } úgy, hogy a v S csúcshoz tartozó l(v) címke a v csúcs távolságát adja meg az u 0 csúcstól az S indukált részgráfban. Bevez. a mat.-ba Felsıoktatási Szakképzés 225 Elıkészítı lépés: Iterációs lépés: Ha S i = V(G) akkor az algoritmus befejezıdik. Ha S i V(G) akkor és legyen u i+1 a W egy tetszıleges csúcspontja. Ha l(u i+1 ) = vagy u i+1 = v 0 akkor az algoritmus megáll. Ha l (u i+1 ) < akkor S i+1 = S i U {u i+1 }, és legyen i=i+1. Bevez. a mat.-ba Felsıoktatási Szakképzés 226 113 Mi a Dijkstra's Algoritmus bonyolultsága? n-ben polinomiális: O(n 2 ). Példa: Step l(u 0 ) l(v 1 )l(v 2 )l(v 3 )l(v 0 ) S i v 2 2 v 3 0 0 7 1 2 u 0 4 1 2 1 1 1 0 7 1 2 2 u 0 v 2 7 3 2 0 5 1 2 2 u 0 v 2 v 0 u 0 v 1 v 0 3 0 5 1 2 2 u 0 v 2 v 0 v 3 4 0 5 1 2 2 u 0 v 2 v 0 v 3 v 1 Euler gráfok Egy olyan körutat a G gráfban, amely tartalmazza a G összes élét Euler körnek mondjuk. Egy Euler ösvény tartalmazza az összes élet, de nem zárt. Egy gráf Euler gráf, ha benne létezik Euler-kör. Egy G gráfot párosnak (páratlannak) mondunk, ha minden csúcsa páros (páratlan). Tétel : Egy összefüggı gráfban akkor és csak akkor van Euler-körút, ha a gráf minden csúcsa páros. Bevez. a mat.-ba Felsıoktatási Szakképzés 227 Bevez. a mat.-ba Felsıoktatási Szakképzés 228 114
Definiáljuk a következı sorozatot: a sorozatban egy bető azt a szárazföldet jelenti, amelyhez az út során elérkeztünk, és két egymás utáni elem azt a hidat jelenti, amelyen át kell kelni útban az egyik területrıl a másikra. Ha ilyen út létezne, akkor az leírható lenne 8 betővel, amelyek mindegyikét az A, B, C és D betőkbıl választjuk Mivel minden hídon pontosan egyszer szabad átmenni, ezért az A és B betők ebben a sorozatban kétszer fordulnak úgy elı, hogy ık egymást követik. Ugyanez a helyzet az A és C betőpárral is. Mivel öt híd vezet az A által jelölt területre, ezért A-nak a jó megoldásban háromszor kell megjelenni. (Két pár jelöl egy-egy belépést és kilépést az A területre, egy pedig vagy kilépést vagy belépést A-ra.) Hasonló megfontolásból, B, C és D kétszer jelenik meg a sorozatban. Ezért legalább 9 betőbıl kell állni a sorozatnak. Ez pedig lehetetlen. Bevez. a mat.-ba Felsıoktatási Szakképzés 229 Bevez. a mat.-ba Felsıoktatási Szakképzés 230 115 Hamilton utak A C D Az utazó ügynök problémája: egy utazóügynök n várost akar meglátogatni úgy, hogy az út végén visszaérjen a központi irodába. Bármely két város közötti utazás költsége ismert. Keressünk egy hatékony algoritmust, amely megtalálja a legolcsóbb utat. Mit jelent a hatékony algoritmus? The seven bridges on the Pregel in Königsberg Bevez. a mat.-ba Felsıoktatási Szakképzés 231 B A válasz meglepı: nem ismert az, hogy létezik-e hatékony algoritmus a probléma megoldására. Variáns: Ha az úttól azt követeljük meg, hogy körút legyen, azaz nincs megengedve az, hogy az utazás alatt ugyanazt a várost kétszer is érintse. Bevez. a mat.-ba Felsıoktatási Szakképzés 232 116