Mágneses szuszceptibilitás mérése Mérő neve: Márkus Bence Gábor Mérőpár neve: Székely Anna Krisztina Szerda délelőtti csoport Mérés ideje: 10/19/2011 Beadás ideje: 10/26/2011 1
1. A mérés rövid leírása Mérésem során adott anyagminták mágneses szuszceptibilitásának meghatározása volt a feladatom. Ezt az úgy nevezett Gouy-módszerrel végeztem. Ez azt jelentette, hogy a mintákat egy elektromágnes által keltett inhomogén mágneses térbe helyeztük, majd mértük a mágneses indukció nagyságát és a mintára ható erőt. Előbbit egy, a mérés elején hitelesített Hall-szondával végeztem, az erőt pedig egy nagy pontosságú analitikai mérleggel mértem. Az így mért adatok segítségével kiszámoltam a szuszceptibilitást. 2. Méréshez használt eszközök Hall-szonda hitelesítéséhez szükséges minta Hall-szonda Áramgenerátor Digitális voltméter Leybold fluxméter Mettler analitikai mérleg 0.7 T maximális mágneses teret előállító elektromágnes 19-es számú réz, 11-es számú alumínium és grafit minták Mobil-szonda 3. Rövid elméleti összefoglaló 3.1. Anyagok mágneses tulajdonságai Ismert, hogy az anyagok, külső H mágneses tér hatására dipólmomentumot vesznek fel. Ezt legkönnyebben egy M mágnesezettség vektorral tudjuk jellemezni. Kis térerősségek és izotróp anyagok esetén igaz lesz az alábbi kapcsolat a mágnesezettség és a térerősség között: M = µ 0 χh, 2
ahol µ 0 = 4π10 7 Vs a levegő permeabilitása, χ pedig az anyag szuszceptibilitása. Fennáll továbbá a térerősség és az indukció között az alábbi össze- Am függés: B = µh. Amennyiben a térben található minta, az összefüggés az alábbiak szerint módosul: B = µh + M. Mivel µ = µ 0 µ r = µ 0 (1 + χ), ahol µ r a relatív permeabilitás. Ilyen módon: B = µ 0 (1 + χ)h. Ezek alapján az anyagokat három csoportba oszthatjuk: 1. Diamágneses anyagok: Diamágnesnek azokat az anyagokat nevezzük melyek szuszceptibilitása kicsi, de negatív. Tehát a mágnesezettség vektor a térrel ellentétes irányt zár be: 1 χ < 0. 2. Paramágneses anyagok: Paramágnesnek nevezzük azon anyagokat melyek kicsiny, ám pozitív előjelű szuszceptibilitással rendelkeznek: 3. Ferromágneses anyagok: A ferromágneses anyagok esetén 0 < χ 1. χ 1, ekkor a szuszceptibilitás már a külső tér χ(h) függvénye (egy bizonyos telítési értékig). 3.2. A Hall-effektus kihasználása Mivel a mintát egy inhomogén mágneses térbe helyezzük, ezért, ahhoz, hogy a mágneses szuszceptibilitást meg tudjuk határozni mérnünk kell a mágneses indukció nagyságát a két mágnespofa között. Itt használjuk ki a Hall-effektust, ami alapján állandó I H Hall-áram esetén a mérhető U H Hallfeszültség arányos lesz a mágneses térrel: U H = B R H d I H, 3
ahol d a félvezető vastagsága, B pedig a mágneses indukció nagysága. A Hall-szondát, amit mérésem során használtam először hitelesíteni kellett. Ez azt jelenti, hogy meghatározzuk a B(U H ) függvényt. Ennek a fentebb látottak értelmében egy egyenesnek kell lennie. Mivel azonban parazita feszültség is létrejön, így a görbe egy konstans értékkel el lesz tolva: B = αu H + β. Itt U H -t tudjuk mérni a szondára kapcsolt voltméterrel. B értékét a fluxusváltozásból tudjuk meghatározni, az alábbi módon: B = ϕ nf. A ϕ fluxusváltozást a Leybold fluxméterrel tudjuk mérni, tekercs n menetszáma, adott volt, az átlagos menetfelületet, F -et pedig az alábbi módon számíthatjuk ki: F = π 3 (r2 k + r k r b + r 2 b). Ezen ismereteket felhasználva már a mérőegyenes α és β paramétere meghatározhatóak. 3.3. Gouy-módszer A mágnespofák közé helyezett mintára, az inhomogén tér következtében az alábbi erő hat: F = 1 2 (χ χ 0)Aµ 0 H 2 = 1 2µ 0 (χ χ 0 )AB 2, ahol A a minta keresztmetszete, χ 0 = 3.77 10 7 pedig a levegő szuszceptibilitása. Vegyük észre, hogy F és B 2 között lineáris kapcsolat áll fent. Ennek értelmében az így illeszthető egyenes megadja az anyag szuszceptibilitását: χ = χ 0 + 2µ 0 A η, ahol η az illesztett egyenes meredeksége. 4
4. Mérési eredmények 4.1. Hall-szonda hitelesítése Hitelesítéshez az alábbi paraméterekkel rendelkező mérőtekercset használtam: n 194 r k (mm) 4.8 ± 0.01 r b (mm) 3.15 ± 0.01 F (mm 2 ) 50.35 ± 0.25 Itt F -et a parciális hibaszámítás módszerét alkalmazva számoltam ki: F = π 3 [(2r b + r k ) r b + (r b + 2r k ) r k ] = 0.25 mm 2. Mérésem megkezdése előtt a Hall-áramot rögzítettem, RI H = 50.1 ± 0.1 mv, I H = 5.01 ± 0.01 A-on. B kiszámításához szükséges: nf = 9767.9 mm 2 = 9.7679 10 3 m 2. A Hall-szonda hitelesítéséhez mért adatok és a számolt indukció: Hall-szonda hitelesítése I (A) U H (mv) ϕ (mvs) B (T) 0 2.2 0.1 0.010 0.5 23 1.11 0.114 1 49.1 2.17 0.222 1.5 75.3 3.21 0.329 2 101.7 4.24 0.434 2.5 126.9 5.24 0.536 3 152.6 6.25 0.640 3.5 175.4 7.3 0.747 4 196.9 8.1 0.829 Ahol I = 0.1 A, U H = 0.1 mv, ( ϕ = 0.01 ) mvs. B maximális abszolút ϕ hibáját megadhatjuk: B = B ϕ min + F = 0.1B. A B(U F H ) függvény megillesztve: 5
0,8 0,7 Mért pontok Illesztett egyenes 0,6 0,5 B (T) 0,4 0,3 0,2 0,1 0,0 Value Standard Error Intercept 0,0184 0,00256 Slope 0,00411 2,14343E-5 0 25 50 75 100 125 150 175 200 A kapott illesztési paraméterek: U H (mv) 1. ábra. Hall-szonda B(U H ) függvénye B = αu H + β, α = 4.11 ± 0.02 T V, β = 0.018 ± 0.002 T. Tehát a hitelesítési egyenes egyenlete: [ ] T B [T] = 4.11 10 3 U H [mv] + 0.018 [T]. mv 6
Innen meghatározható, egy a Hall-szondát jellemző állandó (ezt lehet közelítéssel végezni, vagy egy újabb egyenes illesztésével): U H = R H d I HB, U H = HB. I H B értékeire egy origón átmenő egyenest kell illesztenünk. Innen: H = R H d = 47.03 ± 0.35 V AT. U H /I H (mv/ma) 40 35 30 25 20 15 10 U H /I H transzformált pontok Illesztett egyenes Value Standard Error Intercept 0 -- Slope 47,03312 0,35213 5 0 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 B (T) 2. ábra. Hall-szonda H állandója 7
4.2. Szuszceptibilitás mérése Három anyag szuszceptibilitását kellett megmérnem: a 19-es számú réz mintáét, a 11-es számú alumínium mintáét, és egy grafit mintáét. 4.2.1. A 19-es réz minta Első lépésként meg kellett határoznom a minta keresztmetszetét. Mivel henger alakú, így az átmérőét kellett, lemérnem. Az alábbi táblázat tartalmazza a mérési adatokat: Réz rúd adatai 2r (mm) 7.85 7.91 8.07 7.93 8.01 7.92 Ahol 2r = 0.01 mm. Az adatokból kiszámolható az átlagos sugár és keresztmetszet: A belógatáskor mért adatok: r = 3.98 ± 0.06 mm, A = r 2 π = 49.76 ± 0.12 mm 2. Réz minta mért és számolt adatai I (A) U H (mv) F/g (mg) B (T) B 2 (T 2 ) F (µn) 0 2.9 0 0.006 4.2 10 5 0 0.5 23.7 0.3 0.116 0.0134 2.9 1 49.2 0.9 0.221 0.0487 8.8 1.5 75 1.8 0.327 0.1067 17.7 2 101.5 3.1 0.436 0.1897 30.4 2.5 126.9 4.7 0.54 0.2916 46.1 3 153.7 7 0.65 0.4226 68.7 3.5 175.5 8.7 0.74 0.5472 85.3 4 197.1 10.8 0.828 0.6864 105.9 Számolásom során g = 9.81 m s 2 -tel számoltam. 8
0-25 Value Standard Error Intercept 0 -- Slope -156,8247 1,19406 F ( N) -50-75 -100 Transzformált pontok Illesztett egyenes 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 B 2 (T 2 ) 3. ábra. 19-es réz minta F (B 2 ) grafikonja Az F (B 2 ) függvényre egyenest illesztve megkapjuk a keresett szuszceptibilitást: η = 156.8 ± 1.2 µn T 2, χ = χ 0 + 2µ 0 A η = 7.92 10 6 ± 0.08 10 6. Itt a hibát a [1] könyvben leírtak alapján számoltam, χ 0 hibáját elhanyagolva. Az eredményből látszik, hogy a réz diamágnesként viselkedik, pont ahogy vártuk. 9
4.2.2. A 11-es alumínium minta Alumínium rúd adatai 2r (mm) 7.77 7.75 7.75 7.76 7.75 7.75 Ahol 2r = 0.01 mm. Az adatokból kiszámolható az átlagos sugár és keresztmetszet: A belógatáskor mért adatok: r = 3.88 ± 0.01 mm, A = 47.29 ± 0.02 mm 2. Alumínium minta mért és számolt adatai I (A) U H (mv) F/g (mg) B (T) B 2 (T 2 ) F (µn) 0 2.9 0 0.006 4.2 10 5 0 0.5 23.3 0.5 0.114 0.013 4.9 1 47.7 1.8 0.214 0.046 17.7 1.5 75 4.1 0.327 0.1067 40.2 2 100.7 7.3 0.432 0.1869 71.6 2.5 127.4 11.4 0.542 0.2938 111.8 3 152.5 15.9 0.645 0.4163 156 3.5 175.2 20.7 0.738 0.5453 203.1 4 196.8 25.8 0.827 0.6843 253.1 10
250 200 Transzformált pontok Illesztett egyenes Value Standard Error Intercept 0 -- Slope 372,73964 1,29491 150 F ( N) 100 50 0 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 B 2 (T 2 ) 4. ábra. 11-es alumínium minta F (B 2 ) grafikonja Az illesztett görbe meredeksége és az abből számolt szuszceptibilitás: η = 372.7 ± 1.3 µn T 2, χ = 19.81 10 6 ± 0.08 10 6. Látszik tehát, hogy az alumínium paramágnesként viselkedik. 11
4.2.3. Grafit rúd Grafit rúd adatai 2r (mm) 7.80 7.73 7.78 7.72 7.74 7.73 Ahol 2r = 0.05 mm. Az adatokból kiszámolható az átlagos sugár és keresztmetszet: A belógatáskor mért adatok: r = 3.88 ± 0.03 mm, A = 47.17 ± 0.02 mm 2. Grafit rúd mért és számolt adatai I (A) U H (mv) F/g (mg) B (T) B 2 (T 2 ) F (µn) 0 2.9 0 0.006 4.2 10 5 0 0.5 23.1 0.2 0.113 0.0129 2 1 48.4 4 0.217 0.0472 39.2 1.5 72.6 11.9 0.317 0.1004 116.7 2 101.3 26.7 0.435 0.189 261.9 2.5 127.3 45.3 0.54 0.2933 444.4 3 152.5 68 0.645 0.4163 667.1 3.5 175.2 92.5 0.738 0.5453 907.4 4 196.6 118.7 0.826 0.683 1164.4 12
0-200 Value Standard Error Intercept 0 -- Slope -1643,969 34,38031-400 F ( N) -600-800 -1000-1200 Transzformált pontok Illesztett egyenes 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 B 2 (T 2 ) 5. ábra. Grafit rúd F (B 2 ) grafikonja Az illesztett görbe meredeksége és az abből számolt szuszceptibilitás: η = 1644 ± 34 µn T 2, χ = 87.6 10 6 ± 1.85 10 6. Látszik tehát, hogy a grafit diamágnesként viselkedik, viszont a mérésünk itt már jóval pontatlanabb. Ennek oka vélhetően a kristályszerkezeti hibák miatt lehet, azaz a rács nem szabályos, hanem a rétegek térben egymástól el vannak csúszva és forogva. 4.3. Mobil-szondás mérés Mérésem utolsó részeként meg kellett mérnem egy mobil Hall-szonda segítségével a mágneses indukció helyfüggését, azaz felvenni az elektromágnes x tengelymenti profilját. Mivel a szonda teljes hitelesítéséhez nincs kellő mennyiségű adatom (fluxust hely és mérőeszköz hiányában nem tudtam mérni), így 13
azt a közelítést veszem, hogy az U H Hall-feszültség és a B indukció között csak egy konstans szorzóbeli különbség van. Hogy B értékére ne kapjunk negatív értékeket, aminek nyilván nincs valós fizikai értelme, az U H értékeket konstans 3 mv-tal feltoltam. Ekkor a görbéről látható, hogy a konstans szakasz után 1 -es viselkedést mutat. Ezekre, hogy meg is bizonyosudjunk x n görbét is illesztettem. A mért pontok: x (cm) U H (mv) 0 104 0.5 104 1 104 1.5 103.8 2 103.6 2.5 103.4 3 103.2 3.5 103.1 4 103 4.5 103 5 102.6 5.5 100.3 6 79.2 6.5 44.2 7 25.4 7.5 16.4 8 11 8.5 7.5 9 5.1 9.5 3.2 10 1.9 10.5 0.8 11 0.1 11.5 0.5 12 1 12.5 1.4 13 1.7 13.5 2 14 2.2 14.5 2.4 15 2.5 14
U H + 3mV (mv) ~ B 100 80 60 40 Transzformált pontok Illesztett 1/r 5 -es görbe 20 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 x (cm) 6. ábra. Mobil-szondás mérés Látható, hogy a konstans rész utánni pontok jól illeszkednek az illesztett 1 -nes görbére. Az, hogy n = 5, a kiszórt tér nagyságától függ, ami pedig r 5 a mágnespofák alakjától, megmunkálásától és távolságától. Hivatkozások [1] Havancsák Károly: Mérések a klasszikus fizika laboratóriumban, ELTE Eötvös kiadó, Budapest, 2003. 15