Matematikai nyelven van írva az, jelei háromszögek, körök és más geometriai formák... G. Galilei, Il Saggiatore

A Természet nagy könyve mindig nyitva áll szemünk elött, és az igaz bölcselet van megírva benne... De nem olvashatjuk azt másképp, csak ha elébb megtanuljuk a nyelvet s jeleket, mellyel íratott... Matematikai nyelven van írva az, jelei háromszögek, körök és más geometriai formák... G. Galilei, Il Saggiatore

Szimmetriák és csoportjaik Bántay Péter ELTE Elméleti Fizika Tanszék

Cél: csoportelméleti alapfogalmak megismerése. Tematika Példák csoportokra Az absztrakt csoportfogalom Kombinatorikus csoportelmélet, permutációcsoportok Szimmetriacsoportok a fizikában Ábrázoláselmélet és invariánselmélet

Ajánlott irodalom 1 G. G. Hall: Alkalmazott csoportelmélet. 2 W. Magnus, Obertinger: Csoportok és gráfjaik. 3 H. Weyl: Szimmetria. 4 H. S. M. Coxeter: A geometriák alapjai. 5 Wigner Jenő: Csoportelméleti módszer a kvantummechanikában.

Elemi tulajdonságok A háromszög szimmetriái realizációi koordinátatranszformációk lineáris leképezések permutációk algebrája sokszögek testek és politopok Szerkesztés körzővel és vonalzóval. Kitüntetett elemek: oldalak csúcspontok oldalfelező merőlegesek középpont (súlypont) Az egyenlőoldalú háromszög Háromszög = oldalak által határolt véges síkidom = csúcspontok konvex burka. Baricentrikus koordináták és alkalmazásaik (pl. fizikai kémia, ásványtan).

Elemi tulajdonságok Belső szögek mind megegyeznek és összegük 180. A háromszög szimmetriái realizációi koordinátatranszformációk lineáris leképezések permutációk algebrája sokszögek testek és politopok

Elemi tulajdonságok A háromszög szimmetriái realizációi koordinátatranszformációk lineáris leképezések permutációk algebrája Belső szögek mind megegyeznek és összegük 180. Pons asinorum Ha nem lennének egyenlők a szögek, akkor pl. a legnagyobb kitüntetett lenne, így a vele szemben lévő oldal is, de az egyes oldalakat csak a hosszuk jellemzi, ami pedig azonos. sokszögek testek és politopok

Elemi tulajdonságok A háromszög szimmetriái realizációi koordinátatranszformációk lineáris leképezések permutációk algebrája sokszögek testek és politopok Belső szögek mind megegyeznek és összegük 180. Pons asinorum Ha nem lennének egyenlők a szögek, akkor pl. a legnagyobb kitüntetett lenne, így a vele szemben lévő oldal is, de az egyes oldalakat csak a hosszuk jellemzi, ami pedig azonos. Belső szögek egyenként 60 -osak! Középpontból csúcspontokhoz húzott egyenesek szöge 120. Jellemzők egyenlősége a szimmetria jele!

Elemi tulajdonságok A háromszög szimmetriái realizációi koordinátatranszformációk Szimmetria: a sík olyan mozgása (izometriája, távolságtartó leképezése), amely a háromszög pontjainak halmazát önmagába képezi. lineáris leképezések permutációk algebrája sokszögek testek és politopok

Elemi tulajdonságok A háromszög szimmetriái realizációi koordinátatranszformációk lineáris leképezések permutációk algebrája sokszögek testek és politopok Szimmetria: a sík olyan mozgása (izometriája, távolságtartó leképezése), amely a háromszög pontjainak halmazát önmagába képezi. Csúcspontok kitüntetett pontok (konvex halmaz extremális pontjai), így szimmetriák csúcspontot csúcspontba képeznek. Általában: kitüntetett elemek hasonló kitüntetett elemekbe képződnek. Középpont (súlypont) egyértelműen meghatározott, ezért minden szimmetriának fixpontja.

Elemi tulajdonságok A háromszög szimmetriái realizációi koordinátatranszformációk lineáris leképezések permutációk Izometriák eltolások (0 fixpont) algebrája sokszögek testek és politopok

Elemi tulajdonságok A háromszög szimmetriái realizációi Izometriák eltolások (0 fixpont) forgatások (1 fixpont) koordinátatranszformációk lineáris leképezések permutációk algebrája sokszögek testek és politopok

Elemi tulajdonságok A háromszög szimmetriái realizációi koordinátatranszformációk Izometriák eltolások (0 fixpont) forgatások (1 fixpont) tükrözések ( fixpont) lineáris leképezések permutációk algebrája sokszögek testek és politopok

Elemi tulajdonságok A háromszög szimmetriái realizációi koordinátatranszformációk lineáris leképezések permutációk Izometriák eltolások (0 fixpont) forgatások (1 fixpont) tükrözések ( fixpont) fentiek kompozíciói algebrája sokszögek testek és politopok

Elemi tulajdonságok A háromszög szimmetriái realizációi koordinátatranszformációk lineáris leképezések permutációk algebrája sokszögek testek és politopok Izometriák eltolások (0 fixpont) forgatások (1 fixpont) tükrözések ( fixpont) fentiek kompozíciói Tükrözések fixpontjai egy egyenest alkotnak, a tükrözés tengelyét; a tengely két oldalán lévő pontokat a tükrözés páronként fölcseréli. Eszerint a szimmetriák a háromszög középpontja körüli forgatások és az oldalfelező merőlegesekre vonatkozó tükrözések.

3 Elemi tulajdonságok A háromszög szimmetriái σ_3 realizációi koordinátatranszformációk C lineáris leképezések permutációk algebrája sokszögek 1 σ_1 σ_2 2 testek és politopok Szimmetriák halmaza } D 3 = {1, C, C 2, σ 1, σ 2, σ 3

Elemi tulajdonságok realizációi A háromszög szimmetriái realizációi koordinátatranszformációk lineáris leképezések permutációk algebrája sokszögek testek és politopok Szimmetria: háromszög pontjainak önmagába való leképezése. Más értelmezések más realizációk. 1 Koordináta-transzformációk 2 Lineáris leképezések (mátrixok) 3 Permutációk

Elemi tulajdonságok A háromszög szimmetriái realizációi koordinátatranszformációk lineáris leképezések permutációk algebrája sokszögek testek és politopok Koordináta-transzformációk Descartes KR: középpont az origóban, 1-es csúcspont az y-tengelyen. 1 y x 2 3

Elemi tulajdonságok A háromszög szimmetriái realizációi koordinátatranszformációk lineáris leképezések permutációk algebrája sokszögek testek és politopok Sík izometriája: ( x y ) ( x (x, y) y (x, y) koordináta-transzformáció, amelyre (x ) 2 + (y ) 2 = x 2 + y 2. Például: és C : σ 1 : ( x y ( x y ) ( x y ) ) ) ( 1 2 x 3 2 y ) 3 2 x 1 2 y Számolásokra alkalmas, hasznos a szimmetriák szorzatainak meghatározásában. Nem egyértelmű, hiszen sokféle koordinátázás lehetséges.

Elemi tulajdonságok A háromszög szimmetriái realizációi koordinátatranszformációk lineáris leképezések permutációk algebrája sokszögek testek és politopok Lineáris leképezések Koordináta-transzformációk lineárisak, azaz elsőfokúak x-ben és y-ban (konstans tag nélkül). Sík: kétdimenziós lineáris tér R felett, bázisa {e 1, e 2 }. Lineáris transzformációk jellemzéséhez elegendő ismerni a bázisvektorok képét Ae 1 = A 11 e 1 + A 12 e 2 Ae 2 = A 21 e 1 + A 22 e 2 vagyis az ( A11 A 12 ) A 21 A 22 valós elemű mátrixot!

Elemi tulajdonságok A háromszög szimmetriái realizációi koordinátatranszformációk lineáris leképezések permutációk algebrája sokszögek testek és politopok Például: és σ 1 = Általában ( A11 A 12 ( 1 0 0 1 ( 1 C = 2 3 2 3 2 1 2 A 21 A 22 ) = ) ( x x y x ) ) x y y y Lineáris leképezések kompozíciója: mátrixok szorzása. Tömörebb, kevésbé redundáns jellemzés; szorzatok számolása egyszerűbb mint általános koordinátatranszformációk esetén. Nem egyértelmű, mert sok különféle bázis választható a lineáris térben.

Elemi tulajdonságok A háromszög szimmetriái realizációi koordinátatranszformációk lineáris leképezések permutációk algebrája sokszögek testek és politopok Permutációk Szimmetria csúcspontot csúcspontba képez csúcspontok halmazának önmagára történő egy-egyértelmű leképezése (bijekciója, permutációja). Például: σ 1 : 1 1 2 3 3 2 és C : 1 2 2 3 3 1 Identikus leképezésnek az egységpermutáció felel meg. A legtömörebb jellemzés: sok alkalmazás szempontjából a legalkalmasabb, de nem mindig elég informatív. Nem egyértelmű, hiszen többféleképpen jelölhetjük a csúcspontokat.

Elemi tulajdonságok A háromszög szimmetriái realizációi koordinátatranszformációk lineáris leképezések permutációk algebrája sokszögek testek és politopok algebrája Két szimmetria egymás utáni végrehajtása megint csak szimmetria a szimmetriák halmazából nem vezet ki a kompozíció művelete! Szorzótábla (véges esetben) 1 C C 2 σ 1 σ 2 σ 3 1 1 C C 2 σ 1 σ 2 σ 3 C C C 2 1 σ 3 σ 1 σ 2 C 2 C 2 1 C σ 2 σ 3 σ 1 σ 1 σ 1 σ 2 σ 3 1 C C 2 σ 2 σ 2 σ 3 σ 1 C 2 1 C σ 3 σ 3 σ 1 σ 2 C C 2 1

Elemi tulajdonságok A háromszög szimmetriái realizációi koordinátatranszformációk lineáris leképezések permutációk algebrája Az 1 identikus leképezés a kompozíció egységeleme, azaz bármely a leképezésre 1 a = a 1 = a Minden a szimmetriának létezik inverze, azaz egy olyan a -1 szimmetria, hogy a a -1 = a -1 a = 1 sokszögek testek és politopok a 1 C C 2 σ 1 σ 2 σ 3 a -1 1 C 2 C σ 1 σ 2 σ 3 Szimmetriák bijektív (egy-egyértelmű) leképezések, és a -1 az a bijekció inverz leképezése.

Elemi tulajdonságok A háromszög szimmetriái realizációi koordinátatranszformációk lineáris leképezések permutációk algebrája Leképezések kompozíciója asszociatív művelet, azaz bármely a, b, c leképezésekre (a b) c = a (b c) Kompozíció általában nem kommutatív, azaz nem igaz feltétlenül minden a, b leképezésre, hogy a b = b a sokszögek testek és politopok Például C σ 1 = σ 3 σ 2 = σ 1 C és σ 1 σ 2 = C C 2 = σ 2 σ 1.

Elemi tulajdonságok A háromszög szimmetriái realizációi 1 Transzformációcsoport: leképezések olyan halmaza, amely tartalmazza az identikus leképezést, zárt a kompozíció műveletére, és tartalmazza minden elemének inverz leképezését. koordinátatranszformációk lineáris leképezések permutációk algebrája sokszögek testek és politopok

Elemi tulajdonságok A háromszög szimmetriái realizációi koordinátatranszformációk lineáris leképezések permutációk 1 Transzformációcsoport: leképezések olyan halmaza, amely tartalmazza az identikus leképezést, zárt a kompozíció műveletére, és tartalmazza minden elemének inverz leképezését. 2 Mátrixcsoport: mátrixok olyan halmaza, amely tartalmazza az egységmátrixot, zárt a mátrixszorzás műveletére, és tartalmazza minden elemének inverzét. algebrája sokszögek testek és politopok

Elemi tulajdonságok A háromszög szimmetriái realizációi koordinátatranszformációk lineáris leképezések permutációk algebrája sokszögek testek és politopok 1 Transzformációcsoport: leképezések olyan halmaza, amely tartalmazza az identikus leképezést, zárt a kompozíció műveletére, és tartalmazza minden elemének inverz leképezését. 2 Mátrixcsoport: mátrixok olyan halmaza, amely tartalmazza az egységmátrixot, zárt a mátrixszorzás műveletére, és tartalmazza minden elemének inverzét. 3 Permutációcsoport: adott véges halmaz permutációinak egy olyan halmaza, amely tartalmazza az egységpermutációt, zárt a kompozíció műveletére, és tartalmazza minden elemének inverz permutációját.

Elemi tulajdonságok A háromszög szimmetriái realizációi koordinátatranszformációk lineáris leképezések permutációk algebrája sokszögek testek és politopok 1 Transzformációcsoport: leképezések olyan halmaza, amely tartalmazza az identikus leképezést, zárt a kompozíció műveletére, és tartalmazza minden elemének inverz leképezését. 2 Mátrixcsoport: mátrixok olyan halmaza, amely tartalmazza az egységmátrixot, zárt a mátrixszorzás műveletére, és tartalmazza minden elemének inverzét. 3 Permutációcsoport: adott véges halmaz permutációinak egy olyan halmaza, amely tartalmazza az egységpermutációt, zárt a kompozíció műveletére, és tartalmazza minden elemének inverz permutációját. Feladat: ezen fogalmak közös gyökerének absztrahálása. Lényeg: kétváltozós, asszociatív és egységelemes művelet, amelyre léteznek inverzek.

Elemi tulajdonságok A háromszög szimmetriái realizációi koordinátatranszformációk lineáris leképezések permutációk algebrája sokszögek testek és politopok Sokszögek sokszög: azonos hosszúságú oldalakkal rendelkező konvex síkidom (konvexitás fontos, pl. Salamon-csillag). Gauss sokszög akkor és csak akkor szerkeszthető, ha páratlan prímtényezői mind egyszeres Fermat-prímek: 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 17 igen, de 7, 9, 11, 13, 14 nem. Egy prímszám Fermat-prím, ha 2 2n + 1 alakba írható. Ismert Fermat-prímek: 3, 5, 17, 257, 65537.

Kitüntetett elemek: középpont, csúcspontok, oldalfelezők. Elemi tulajdonságok A háromszög szimmetriái realizációi koordinátatranszformációk lineáris leképezések permutációk algebrája sokszögek testek és politopok Szimmetriák: a sík olyan mozgásai, amelyek a sokszög pontjainak halmazát önmagába képezik. Kitüntetett elemeket azonos típusú elemekbe képezik. Középpont fix, és csúcspont csúcspontba, valamint oldalfelező oldalfelezőbe képződik n darab középpont körüli forgatás ( 2π n többszörösével) egész számú n darab tükrözés (oldalfelezőkre, illetve a középpontot valamely csúcsponttal összekötő egyenesekre). n-szög szimmetriacsoportja: D n az n-edfokú diédercsoport, C n a forgási szimmetriák alcsoportja.

politop Elemi tulajdonságok A háromszög szimmetriái realizációi Hipersíkok által határolt konvex d dimenziós térrész, melynek az egyes határoló hipersíkokkal vett metszetei egymással egybevágó (d 1) dimenziós szabályos politopok. koordinátatranszformációk lineáris leképezések permutációk algebrája Kepler: végtelen d dimenziós politop (d-1) dimenziós szabályos csempézés (mozaik). sokszögek testek és politopok

Elemi tulajdonságok A háromszög szimmetriái realizációi koordinátatranszformációk lineáris leképezések permutációk algebrája sokszögek testek és politopok Véges politop f -vektora: f k = k dimenziós lapok száma. McMullen: f k F k (d, n) Euler-tétel: d 1 k=0 Duális (reciprok) politopok. (-1) k f k = 1 + (-1) d 1 Ha d = 2, akkor szabályos sokszögek. d = 3 esetén szabályos (platonikus) testek: világ építőelemei.

Elemi tulajdonságok A háromszög szimmetriái realizációi koordinátatranszformációk lineáris leképezések permutációk algebrája sokszögek testek és politopok

Elemi tulajdonságok d = 3 A háromszög szimmetriái realizációi koordinátatranszformációk lineáris leképezések permutációk algebrája sokszögek testek és politopok Név Schläfli-szimbólum f -vektor tetraéder {3, 3} (4, 6, 4) kocka {4, 3} (8, 12, 6) oktaéder {3, 4} (6, 12, 8) dodekaéder {5, 3} (20, 30, 12) ikozaéder {3, 5} (12, 30, 20) négyzetrács {4, 4} (1, 2, 1) háromszögrács {3, 6} (1, 3, 2) hatszögrács {6, 3} (2, 3, 1)

Elemi tulajdonságok A hiperkocka A háromszög szimmetriái realizációi koordinátatranszformációk lineáris leképezések permutációk algebrája sokszögek testek és politopok

Elemi tulajdonságok A háromszög szimmetriái realizációi koordinátatranszformációk lineáris leképezések permutációk algebrája sokszögek testek és politopok d = 4 Név Schläfli-szimbólum f -vektor szimplex {3, 3, 3} (5, 10, 10, 5) hiperkocka {4, 3, 3} (16, 32, 24, 8) kereszt-politop {3, 3, 4} (8, 24, 32, 16) 120-cella {5, 3, 3} (600, 1200, 720, 120) 600-cella {3, 3, 5} (120, 720, 1200, 600) 24-cella {3, 4, 3} (24, 96, 96, 24) kockarács {4, 3, 4} (1, 3, 3, 1) d>4 Csak három szabályos politop: szimplex, hiperkocka és kereszt-politop.

Maradékosztályok Kvaterniók és hiperkomplex rendszerek Pauli-mátrixok Gyűrűk Olyan kétműveletes struktúrák, amelyekben mindkét kétváltozós művelet ( összeadás és szorzás ) kommutatív, asszociatív és egységelemes ( nulla és egy ), az összeadásra nézve léteznek inverzek, és a szorzás disztributív a (b+c) = ab+ac Példák: Z, Q, R,... számgyűrűk; M n (R) mátrixgyűrűk; R [x 1,..., x n ] polinómgyűrűk. Fontos szerepet játszanak az algebrai számelméletben és geometriában.

Maradékosztályok Kvaterniók és hiperkomplex rendszerek Pauli-mátrixok Tetszőleges R gyűrű elemei az összeadás műveletével additív csoportot alkotnak. Példák: egész számok additív csoportja (végtelen ciklikus csoport); racionális számok additív csoportja (nagyon bonyolult szerkezetű); valós számok additív csoportja (egydimenziós eltolások). R = {x R xy = 1 valamely y R-re} invertálható elemek a szorzás műveletével multiplikatív csoportot alkotnak. Például: R = R \ {0} és Z = {±1}.

Maradékosztályok Kvaterniók és hiperkomplex rendszerek Pauli-mátrixok Maradékosztályok Eukleidész: egész számok maradékos osztása. Modulo n maradékosztály Egész számok olyan halmaza, amelyeknek az n-nel való osztási maradéka megegyezik. nz + k = {nx + k x Z} Összesen n különböző maradékosztály (k = 0, 1,... n-1). Maradékosztályok összege és szorzata úgyszintén maradékosztály Z/nZ maradékosztály-gyűrű.

Triviális maradékosztály: nz. Maradékosztályok Kvaterniók és hiperkomplex rendszerek Pauli-mátrixok Összeadás kommutatív és asszociatív, egységelemes művelet, és minden maradékosztálynak létezik additív inverze (ellentetje): maradékosztályok Z/nZ additív csoportja (véges ciklikus). Szorzás kommutatív és asszociatív, egységelemes művelet, de nem minden maradékosztálynak létezik multiplikatív inverze, csak amelyekre k és n relatív prím (prímreziduumok). (Z/nZ) : prímreziduumok multiplikatív csoportja. Számossága φ(n), az n-hez relatív prím pozitív egészek száma (Euler-féle φ-függvény). Fontos számelméleti alkalmazások (Galois-elmélet). Megjegyzés: szabályos n-szög akkor szerkeszthető, ha φ(n) a 2 valamely hatványa.

Maradékosztályok Kvaterniók és hiperkomplex rendszerek Pauli-mátrixok Kvaterniók számegyenes pontjai valós számok számsík pontjai komplex számok háromdimenziós tér pontjai??? Hamilton (kanonikus formalizmus, Hamilton-elv, stb.), 1843.???= képzetes kvaterniók! Négydimenziós asszociatív, de nem kommutatív divizióalgebra. Frobenius: valós számok felett nincs több asszociatív hiperkomplex rendszer (de léteznek az oktoniók!).

Maradékosztályok Képzetes kvaterniók háromdimenziós vektorok. Kvaterniók és hiperkomplex rendszerek Pauli-mátrixok Szorzat { valós képzetes része = { skaláris vektoriális szorzat! Kvaternió-egységek szorzótáblája i j k i -1 k -j j -k -1 i k j -i -1 Kvaterniócsoport: Q = {±1, ±i, ±j, ±k}.

Maradékosztályok Kvaterniók és hiperkomplex rendszerek Pauli-mátrixok Elektronspin komponensei (Pauli) σ 1 = ( 0 1 1 0 ) σ 2 = ( 0 -i i 0 Pauli-mátrixok ) σ 3 = ( 1 0 0-1 ) Spúrjuk zérus, és minden sajátértékük valós (az egyik +1, a másik -1), vagyis hermitikusak (önadjungáltak). Felbontási tétel Bármely 2x2-es, spúrtalan hermitikus mátrix előáll Pauli-mátrixok valós együtthatós kombinációjaként. Megjegyzés: minden Pauli-mátrix involutív (másodrendű), azaz négyzete az egységmátrix.

Maradékosztályok Kvaterniók és hiperkomplex rendszerek Pauli-mátrixok Két különböző Pauli-mátrix szorzata a harmadik Pauli-mátrix ±i-szerese: σ i σ j = iɛ ijk σ k A szorzás antikommutatív, azaz (i j) σ i σ j = σ j σ i 2x2-es egységmátrix σ 0 = ( 1 0 0 1 ) Bármely 2x2-es hermitikus mátrix előáll a σ i -k valós lineárkombinációjaként (i = 0, 1, 2, 3).

Maradékosztályok Szorzótábla Kvaterniók és hiperkomplex rendszerek Pauli-mátrixok σ 1 σ 2 σ 3 σ 1 σ 0 iσ 3 -iσ 2 σ 2 -iσ 3 σ 0 iσ 1 σ 3 iσ 2 -iσ 1 σ 0 Kapcsolat kvaterniókkal: i = iσ 1 j = -iσ 2 k = iσ 3 a képzetes kvaternió-egységek. Kvaterniók 2x2-es hermitikus mátrixok (valós rész = spúr fele).

A csoportaxiómák Homo-, izo- és automorfizmus Csoportaxiómák Elemek G halmaza és mult:g G G kétváltozós művelet ( szorzás ): mult(x, y)=x y, vagy csak xy (infix jelölés). Részcsoportok és mellékosztályok Faktorcsoport Direkt szorzat

A csoportaxiómák Homo-, izo- és automorfizmus Részcsoportok és mellékosztályok Faktorcsoport Direkt szorzat Csoportaxiómák Elemek G halmaza és mult:g G G kétváltozós művelet ( szorzás ): mult(x, y)=x y, vagy csak xy (infix jelölés). 1 A művelet asszociatív, azaz bármely x, y, z G-re x (y z) = (x y) z

A csoportaxiómák Homo-, izo- és automorfizmus Részcsoportok és mellékosztályok Faktorcsoport Direkt szorzat Csoportaxiómák Elemek G halmaza és mult:g G G kétváltozós művelet ( szorzás ): mult(x, y)=x y, vagy csak xy (infix jelölés). 1 A művelet asszociatív, azaz bármely x, y, z G-re x (y z) = (x y) z 2 Létezik egységelem, azaz olyan 1 G G, hogy minden x G-re; 1 G x = x 1 G = x

A csoportaxiómák Homo-, izo- és automorfizmus Részcsoportok és mellékosztályok Faktorcsoport Direkt szorzat Csoportaxiómák Elemek G halmaza és mult:g G G kétváltozós művelet ( szorzás ): mult(x, y)=x y, vagy csak xy (infix jelölés). 1 A művelet asszociatív, azaz bármely x, y, z G-re x (y z) = (x y) z 2 Létezik egységelem, azaz olyan 1 G G, hogy 1 G x = x 1 G = x minden x G-re; 3 Minden x G-nek létezik x -1 G inverz eleme, amelyre x x -1 = x -1 x = 1 G

A csoportaxiómák Homo-, izo- és automorfizmus Részcsoportok és mellékosztályok Faktorcsoport Direkt szorzat Általánosítások Félcsoportok, kvázicsoportok, kvantum-csoportok, szupercsoportok,... kétdimenziós csoportok. Csoport rendje = elemeinek számossága. Véges és végtelen csoportok. Abel-csoport: művelet kommutatív, azaz x y = y x minden x, y G-re.

A csoportaxiómák Homo-, izo- és automorfizmus Részcsoportok és mellékosztályok Faktorcsoport Direkt szorzat Homomorfizmusok Matematikai struktúrák összehasonlítása speciális leképezések segítségével. Például a geometriában folytonos, differenciálható, távolságtartó, stb. leképezések. Homomorfizmus Két csoport közötti művelettartó leképezés. φ:g 1 G 2 leképezés a G 1 csoportból a G 2 csoportba akkor homomorfizmus, ha φ(xy)=φ(x) φ(y) minden x, y G 1 -re. Izomorfizmus: bijektív homomorfizmus.

A csoportaxiómák Homo-, izo- és automorfizmus Részcsoportok és mellékosztályok Faktorcsoport Direkt szorzat G 1 és G 2 izomorf, jelben G 1 = G2, ha létezik φ:g 1 G 2 izomorfizmus (szükséges, hogy G 1 = G 2 legyen). Izomorfizmus-elv (Steinitz) Izomorf csoportok absztrakt csoportelméleti szempontból azonosnak tekintendők. Automorfizmus: egy csoportnak önmagával való izomorfizmusa. Automorfizmusok kompozíciója szintén automorfizmus G csoport automorfizmusai egyaut(g) csoportot alkotnak! Egyes számolások különösen egyszerűek lehetnek bizonyos speciális típusu csoportokban csoport-reprezentációk.

Részcsoport A csoportaxiómák Homo-, izo- és automorfizmus Részcsoportok és mellékosztályok Faktorcsoport Direkt szorzat Csoportelemek olyan részhalmaza, amely maga is csoportot alkot (zárt a csoportműveletre és az inverzképzésre). H < G, ha minden x, y H-ra xy -1 H. Példák: maga G, valamint az { 1 G } triviális részcsoport. X G részhalmaz esetén X a lekisebb olyan részcsoport, amely tartalmazza X-et (generátor-rendszer). X = X H<G Ha G-t generálja az X részhalmaz, akkor bármely φ:g H homomorfizmust egyértelműen meghatároz az X-re való leszűkítése. H

A csoportaxiómák Homo-, izo- és automorfizmus Részcsoportok és mellékosztályok Faktorcsoport Direkt szorzat Ciklikus részcsoportok Egy (rész-)csoport ciklikus, ha egyelemű halmaz generálja. Csoportelem rendje: generált ciklikus részcsoport számossága. Struktúra-tétel Minden végtelen ciklikus csoport izomorf az egész számok additív csoportjával. Egy véges N-edrendű ciklikus csoport izomorf a modulo N maradékosztályok additív csoportjával. Következmény: ha x G egy n < rendű csoportelem, akkor { 1, x, x 2,..., x n 1} az x egymástól különböző hatványai, egyben az x által generált x ciklikus részcsoport elemei.

A csoportaxiómák Homo-, izo- és automorfizmus Részcsoportok és mellékosztályok Faktorcsoport Direkt szorzat Részcsoportháló Részcsoportok metszete maga is részcsoport részcsoportok hálót alkotnak. Grafikus ábrázolás: Hasse-diagramm D_3 <C> <σ_1> <σ_2> <σ_3> 1

A csoportaxiómák Homo-, izo- és automorfizmus Részcsoportok és mellékosztályok Faktorcsoport Direkt szorzat Mellékosztályok Komplexus: csoportelemekből álló halmaz. Komplexus-szorzás: XY = {xy x X, y Y }. Asszociatív, egységelemes művelet, de nincsenek inverzek. Részcsoport szerinti mellékosztály xh = { xy y H } alakú részhalmaz valamely x G és H < G-re. Triviális mellékosztály: maga H.

A csoportaxiómák Homo-, izo- és automorfizmus Részcsoportok és mellékosztályok Faktorcsoport Direkt szorzat Mellékosztályok particionálják a csoportot: vagy diszjunktak, vagy megegyeznek, és uniójuk az egész csoport egyazon mellékosztályba tartozni egy ekvivalenciareláció. Bal- és jobboldali mellékosztályok: xh és Hx. Részcsoport indexe: különböző (baloldali) mellékosztályainak száma. Lagrange-tétel Bármely H < G részcsoportra G = [G :H] H. Következmény: minden prímrendű csoport ciklikus.

A csoportaxiómák Homo-, izo- és automorfizmus Részcsoportok és mellékosztályok Faktorcsoport Direkt szorzat Normális részcsoport N <G normális részcsoport, ha xn =Nx minden x G-re. Alternatív elnevezések: invariáns részcsoport, normálosztó; jelölése N G. Kongruenciareláció: olyan ekvivalenciareláció a csoportelemek halmazán, amely kompatibilis a csoportművelettel: } x 1 y 1 x 1 x 2 y 1 y 2 x 2 y 2 Minden kongruenciareláció ekvivalencia-osztályai valamely normális részcsoport mellékosztályai, és fordítva. Egyszerű csoport: csak két normális részcsoportja van (önmaga és a triviális).

A csoportaxiómák Homo-, izo- és automorfizmus Részcsoportok és mellékosztályok Faktorcsoport Direkt szorzat Faktorcsoport Mellékosztályok komplexus-szorzata szintén mellékosztály! (xn) (yn) = x (Ny) N = (xy) N Inverz mellékosztály: (xn) -1 =x -1 N. Normális részcsoport szerinti mellékosztályok csoportot alkotnak: G/N faktorcsoport. C 3 = {1, C, C 2 } D 3 és σ 1 C 3 = {σ 1, σ 2, σ 3 } D 3 /C 3 C 3 σ 1 C 3 C 3 C 3 σ 1 C 3 σ 1 C 3 σ 1 C 3 C 3

A csoportaxiómák Homo-, izo- és automorfizmus Részcsoportok és mellékosztályok Faktorcsoport Direkt szorzat φ:g H homomorfizmus Homomorfizmus-tétel { képe φ(g)={φ(x) x G} magja ker φ={x G φ(x)=1 H } Minden φ:g H homomorfizmusra φ(g)<h és ker φ G, továbbá φ(g) = G/ ker φ homomorf képek faktorcsoportok Korrespondencia-tétel: egy-egyértelmű kapcsolat φ(g) részcsoportjai és G azon részcsoportjai között, amelyek tartalmazzák ker φ-t.

A csoportaxiómák Homo-, izo- és automorfizmus Részcsoportok és mellékosztályok Faktorcsoport Direkt szorzat Direkt szorzatok G 1 G 2 direkt szorzat elemei: (x 1, x 2 ) rendezett párok (Descartes-szorzat). Művelet: (x 1, x 2 ) (y 1, y 2 ) = (x 1 y 1, x 2 y 2 ) Kommutatív, asszociatív és egységelemes művelet csoportok izomorfizmus-osztályain. Frobenius Stickelberger-tétel Minden véges Abel-csoport előáll prímhatványrendű ciklikus csoportok direkt szorzataként, sorrendtől eltekintve egyértelműen. Számelmélet alaptétele.

A csoportaxiómák Homo-, izo- és automorfizmus Részcsoportok és mellékosztályok Faktorcsoport Direkt szorzat

Szabad csoportok Generátorok és relációk Algoritmikus kérdések GAP Kombinatorikus csoportelmélet Csoportok algoritmikus vizsgálata. Kombinatorikus (algebrai) topológia: sokaságok jellemzése algebrai struktúrákkal Szimpliciális felbontás, homológia- és homotópia-csoportok, Betti-számok, Euler Poincaré-formula. Homológia-csoportok általában végtelen (Abel-)csoportok. Hogyan jellemezhető effektíven végtelen csoportok szerkezete? Szabad csoportok homomorf képeiként!

Szabad csoportok Generátorok és relációk Algoritmikus kérdések GAP Konstruktív vagy axiomatikus jellemzés. Univerzalitás Szabad csoportok Az F csoport szabad az X halmaz felett, ha bármely G csoport esetén minden φ: X G leképezés egyértelműen kiterjeszthető egy ˆφ:F G homomorfizmussá. Következmények: 1 az X feletti bármely két szabad csoport egymással izomorf (F X szabad csoport); 2 az X és Y feletti szabad csoportok akkor és csak akkor izomorfak, ha X = Y.

Szabad csoport rangja: rank F X = X. Szabad csoportok Generátorok és relációk Algoritmikus kérdések GAP Végtelen nem-kommutatív csoportok, kivéve F 1 = Z. Konstruktív jellemzés (redukált szavak csoportja): kapcsolat matematikai nyelvészettel. Legyen a G csoport egy generátor-rendszere X G, és φ:x G a beágyazás.ekkor a ˆφ:F X G homomorfizmus képe G. Homomorfizmus-tétel miatt G = F X / ker ˆφ. Nielsen Schreier-tétel Szabad csoport minden részcsoportja szabad. H < F esetén rank H 1 = [F : H] (rank F 1)

Szabad csoportok Generátorok és relációk Algoritmikus kérdések GAP Prezentációk X G generátor-rendszer, ˆφ:F X G homomorfizmus a φ:x G beágyazás kiterjesztése, R X =ker ˆφ a relátor-részcsoport (Nielsen-Schreier miatt R X is szabad csoport, de általában végtelen a rangja, kivéve ha G véges). G csoport prezentációja Olyan X R pár, ahol X G generálja G-t, és a legkisebb olyan normális részcsoportja F X -nek, amely még tartalmazza R minden elemét, megegyezik az R X relátor-részcsoporttal. Egyazon csoportnak sok különböző prezentációja van! Ekvivalens prezentációk között a Tietze-transzformációk teremtenek kapcsolatot.

Szabad csoportok Generátorok és relációk Algoritmikus kérdések GAP Véges prezentáció: mind X (generátorok halmaza), mind R (relátorok halmaza) véges. Végesen prezentált csoportok kezelhetők algoritmikusan. Példák: 1 x x n a Z n ciklikus csoport egy prezentációja; 2 a, b a n, baba a D n diéder-csoport egy prezentációja; 3 s, t s 2, t 3, (st) 3 a D 3 diéder-csoport másik prezentációja; 4 a, b a -1 b -1 ab a Z Z csoport egy prezentációja.

Szabad csoportok Generátorok és relációk Algoritmikus kérdések GAP Algoritmikus kérdések Feladat: G csoport egy X R prezentációjának ismeretében határozzuk meg G tulajdonságait (elemek száma, kommutativitás, ciklicitás,...). Dehn-problémák Adott X R prezentáció esetén adjunk véges algoritmust a következő kérdések eldöntéséhez. 1 Szóprobléma: adott w F X beletartozik-e az R X relátor-részcsoportba? 2 Konjugációs probléma: adott w 1, w 2 F X elemek esetén létezik-e olyan u F X, hogy w 1 u uw 2 R X? 3 Izomorfia-probléma: az Y Q prezentáció ekvivalens-e X R -rel?

Szabad csoportok Generátorok és relációk Algoritmikus kérdések GAP Novikov-Boone Általában eldönthetetlen kérdések, azaz nem létezik ilyen algoritmus! Fentiek alapján a prezentáció ismeretében eldönthetetlen a csoport trivialitása végessége kommutativitása stb.

Szabad csoportok Generátorok és relációk Algoritmikus kérdések GAP Algoritmusok De! Futásidő szempontjából 1 év 10 6 év. Pragmatikus hozzáállás: addig fusson, amíg van hozzá türelmünk. Legfontosabb algoritmusok Knuth-Bendix: a szóprobléma (és egyben a konjugációs probléma) megoldását szolgáltatja, amennyiben az létezik; Todd-Coxeter: az F X egy adott részhalmaza által generált részcsoport (baloldali) mellékosztályait sorolja fel (ha véges sok van); Reidemeister-Schreier: részcsoport mellékosztályainak ismeretében meghatározza a részcsoport egy prezentációját.

Szabad csoportok Generátorok és relációk http://www.gap-system.org A GAP szoftver Algoritmikus kérdések GAP Diszkrét matematikai (főleg csoportelméleti) számolásokra alkalmas interpretált nyelv (de létezik hozzá compiler is). Csoportok megadása prezentációval; generáló permutációkkal; generáló mátrixokkal; csoportelméleti konstrukciókkal.

Szabad csoportok Generátorok és relációk Algoritmikus kérdések GAP

Mátrixcsoportok Csoportábrázolások Ábrázolás- és invariánselmélet

Mátrixcsoportok Csoportábrázolások Mátrixok Mátrixcsoportok egyszerű numerikus jellemzés hatékonyan algoritmizálható műveletek (Karatsuba-szorzás) lineáris algebrai módszerek Adott gyűrű feletti invertálható mátrixok csoportot alkotnak. Invertálhatóság feltétele: determináns invertálhatósága! Kapcsolat lineáris operátorokkal.

Mátrixcsoportok Csoportábrázolások A lineáris csoportok GL n (R): R feletti n n-es invertálható mátrixok csoportja. Végtelen ha R is az, és csak n = 1 esetén kommutatív. SL n (R): egységnyi determinánsú mátrixok részcsoportja. Ha V egy lineáris tér az F test felett, akkor GL(V ) az invertálható lineáris operátorok összesége, a V feletti általános lineáris csoport. GL(V ) = GL dim V (F) SL(V ) a speciális lineáris csoport, a térfogatörző operátorok csoportja. dim GL n (R) = n 2

Mátrixcsoportok Csoportábrázolások Az unitér csoportok Egy U mátrix unitér, ha adjungáltja megegyezik az inverzével (csak C felett értelmes) U = U -1 Unitér mátrixok szorzata is unitér U(n) unitér csoport. dim U(n) = n 2 Az 1 determinánsú unitér mátrixok alkotják az SU(n) speciális unitér csoportot, amely egyszerű (nincs nemtriviális homomorf képe).

Mátrixcsoportok Csoportábrázolások Unitér csoportok a fizikában Fontos szerepet játszanak az elemi részecskék osztályozásában ( nyolcas út, kvarkmodell) és az alapvető kölcsönhatások leírásában (elektrogyenge elmélet, QCD). Kvantumelméleti állapotleírás lineáris (szuperpozíció elve) + a valószínűségi amplitúdok megörződnek Wigner tétele Egy kvantumrendszer szimmetriái unitér vagy antiunitér operátoroknak felelnek meg. Antiunitér operátorok: időtükrözés!

Mátrixcsoportok Csoportábrázolások Bilineáris forma Az ortogonális csoportok Skalárértékű kétváltozós függvény egy lineáris téren, amely mindkét változójában lineáris. Skalárszorzat: valós lineáris téren értelmezett szimmetrikus bilineáris forma. Megfelelő bázis választása esetén minden skalárszorzat felírható (x, y) = p x i y i i=1 n i=p+1 x i y i normálalakban, ahol 0 p n (szignatúra).

Mátrixcsoportok Csoportábrázolások O(p, n p) ortogonális csoport: (Ax, Ay) = (x, y) feltételnek eleget tevő invertálható A operátorok összesége. Egységnyi determinánsú mátrixok írják le az irányítástartó transzformációkat (forgatások) SO(p, n p) speciális ortogonális csoport. ( ) n n (n 1) dim SO(p, n p) = = 2 2 Euklidészi tér szignatúrája (3, 0), míg Minkowski-tér szignatúrája (1, 3), ezért forgáscsoport = SO(3), Lorentz-csoport = SO(3, 1)

Mátrixcsoportok Csoportábrázolások A szimplektikus csoport Szimplektikus forma: valós lineáris téren értelmezett antiszimmetrikus ( alternáló ) bilineáris forma. Nemdegenerált szimplektikus forma csak páros dimenzióban létezhet. Darboux tétele Megfelelő bázis választása esetén minden 2n dimenziós szimplektikus forma x, y = normálalakban írható fel. n (x i y i+n x i+n y i ) i=1

Mátrixcsoportok Csoportábrázolások Az Sp(2n) szimplektikus csoportot olyan A invertálható leképezések alkotják, amelyekre Ax, Ay = x, y (szimplektikus leképezés, kanonikus transzformáció ). dim Sp(2n) = n (2n + 1) Klasszikus mechanika Hamilton-formalizmusában a kanonikus egyenletek szimmetriái szimplektikus leképezések (fázistér szimplektikus struktúrája). Általában: sokaságok koérintőnyalábjának szimplektikus struktúrája.

Mátrixcsoportok Csoportábrázolások Tenzorok Fizikai tér szimmetriái lineáris koordináta-transzformációkként realizálódnak fizikai mennyiségek komponensei lineárisan keverednek KR-váltáskor (skalár, vektor, tenzor,...) A i = T ij A j Igaz Minkowski-térre is (relativitáselmélet), de nem igaz görbült téridőre. Kovariancia elve: természeti törvényt kifejező egyenlőség minkét oldala azonos tenzori rangú. Curie-elv (irreverzibilis termodinamika): kereszteffektusok csak azonos tenzori rangú mennyiségek között.

Mátrixcsoportok Csoportábrázolások

Szimmetrikus polinomok Newtonformulák Invariáns polinomok Fundamentális invariánsok Syzygyk Molien-képlet Algebra alaptétele Egyváltozós polinomok gyökei Minden n-edfokú egyváltozós polinomnak pontosan n gyöke van a komplex számtest felett. Ha f (x) gyökei α 1,..., α n, akkor f (x) = A (x α 1 )... (x α n ) valamely A komplex számra. n f (x) = A (-1) k s k (α 1,..., α n ) x n k k=0

Szimmetrikus polinomok Newtonformulák Invariáns polinomok Fundamentális invariánsok Syzygyk Molien-képlet s 0 = 1 s 1 = α 1 +... + α n. s n = α 1...α n Együtthatók a gyökök többváltozós homogén polinomjai s k (λα 1,..., λα n ) = λ k s k (α 1,..., α n ) Gyökök sorrendje nincs rögzítve együtthatók a gyökök szimmetrikus polinomjai! minden π S n permutációra. Elemi szimmetrikus polinomok: s k (α π1,..., α πn ) = s k (α 1,..., α n ) s k (x 1,..., x n ) = 1 i 1 <i 2 <...<i k n x i1 x i2...x ik

Hatványösszegek: Szimmetrikus polinomok Newtonformulák Invariáns polinomok Fundamentális invariánsok Syzygyk Molien-képlet p k (x 1,..., x n ) = Szimmetrikus polinomok tetszőleges polinomja is szimmetrikus gyűrűt alkotnak! Szimmetrikus polinomok alaptétele n i=1 x k i Bármely n-változós szimmetrikus polinom előáll egyértelműen akár az s 1,..., s n elemi szimmetrikus polinomok, akár a p 1,..., p n hatványösszegek n-változós polinomjaként. f (x 1,..., x n ) = S f (s 1,..., s n ) = P f (p 1,..., p n )

Szimmetrikus polinomok Newtonformulák Invariáns polinomok Fundamentális invariánsok Syzygyk Molien-képlet Newton-formulák Elemi szimmetrikus polinomok kifejezése hatványösszegek segítségével (és fordítva). s 1 = p 1 s 2 = (p 2 1 p 2 )/2 s 3 = (p 3 1 3p 1 p 2 + 2p 3 )/6. Általában n (-1) k s k p n k = 0 k=1

Szimmetrikus polinomok Newtonformulák Invariáns polinomok Fundamentális invariánsok Syzygyk Molien-képlet A GL n (C) invertálható n n-es mátrix Invariáns polinomok x 1 x 1. = A. x n x n f C [x 1,..., x n ] transzformáltja f A (x 1,..., x n ) = f ( x 1,..., x n ) f invariáns polinom ha azonosan teljesűl f A (x 1,..., x n ) = f (x 1,..., x n ) Invariánsok összege és szorzata is invariáns invariánsgyűrű.

Szimmetrikus polinomok Newtonformulák Invariáns polinomok Fundamentális invariánsok Syzygyk Molien-képlet G mátrixcsoport R G invariánsgyűrűje = elemek invariánsgyűrűinek metszete. Permutációs mátrixok: adott α S n permutációra Π(α) ij = δ αj i Permutációs mátrixok Π n csoportja a Π:S n GL n (C) homomorfizmus képe. f C [x 1,..., x n ] és α S n esetén f Π(α) (x 1,..., x n ) = f (x α -1 1,..., x α -1 n) Szimmetrikus polinomok = Π n invariánsai!

Szimmetrikus polinomok Newtonformulák Invariáns polinomok Fundamentális invariánsok Syzygyk Molien-képlet Kovariánsok n darab n-változós P 1,..., P n C [x 1,..., x n ] polinom olyan rendszere, hogy P1 A(x 1,..., x n ) P 1 (x 1,..., x n ). = A. Pn A (x 1,..., x n ) P n (x 1,..., x n ) Triviális kovariáns: P i = x i. Kovariánsok összege is kovariáns, és kovariáns szorzata invariánssal szintén kovariánsok modulust alkotnak az invariánsgyűrű felett. Kovariánsok kompozíciója is kovariáns, és invariáns kompozíciója kovariánssal egy új invariáns.

Szimmetrikus polinomok Newtonformulák Invariáns polinomok Fundamentális invariánsok Syzygyk Molien-képlet Fundamentális invariánsok Invariáns polinomok olyan halmaza, hogy minden invariáns előáll ezek polinomiális kifejezéseként (választhatók homogén polinomoknak). Bázis-tétel (Hilbert) Véges (reduktív, stb.) komplex mátrixcsoportra létezik fundamentális invariánsok véges halmaza. Véges G mátrixcsoport esetén létezik fundamentális invariánsoknak olyan rendszere, amelynek egyetlen tagjának foka sem haladja meg G rendjét (Noether tétele).

Szimmetrikus polinomok Newtonformulák Invariáns polinomok Fundamentális invariánsok Syzygyk Molien-képlet Ha I 1,..., I r jelöli a fundamentális invariánsokat, akkor minden f invariáns polinom előáll f (x 1,..., x n ) = P f (I 1,..., I r ) alakban, ahol P f C[x 1,..., x r ], de általában P f nem egyértelmű! Syzygyk: olyan Q C[x 1,..., x r ] polinomok, hogy Q(I 1,..., I r ) = 0 azonosan teljesűl. Syzygy-tétel (Hilbert) Legfeljebb n-edrendű syzygyk fordulhatnak elő.

Szimmetrikus polinomok Newtonformulák Invariáns polinomok Fundamentális invariánsok Syzygyk Molien-képlet A Hilbert Poincaré-sor H G (z) = h k z k k=0 h k a lineárisan független k-adfokú homogén invariánsok száma. Véges (reduktív, stb.) mátrixcsoportokra mindig racionális törtkifejezés (polinomok hányadosa). Ha d 1,..., d r jelöli a (homogén) fundamentális invariánsok fokszámait, akkor H G (z) = P(z) (1 z d 1 ) (1 z d 2) (1 z d n) ahol P(z) egy egész együtthatós polinom (syzygyket jellemzi).

Szimmetrikus polinomok Newtonformulák Invariáns polinomok Fundamentális invariánsok Syzygyk Molien-képlet Π n Hilbert Poincaré-sora 1 (1 z) (1 z 2 ) (1 z n ) = 1 + z + 2z2 + 3z 3 +... Molien-formula H G (z) = 1 1 G det(1 zg) g G