0. mérés A MÉRNÖK MÉR

0. mérés A MÉRNÖK MÉR 1. Bevezetés A mérnöki ismeretszerzés eyik klasszikus formája a mérés, és a mérési eredményekből levonható következtetések feldolozása (a mérnök és a mérés szó közötti kapcsolat nyilvánvaló). A Gépészmérnöki alapismeretek táry első yakorlatának az a célja, hoy ezt az alapvető mérnöki módszert memutassa azoknak a hallatóknak, akik most kezdik el tanulmányaikat a Műeyetemen. Ezt az ismeretszerzési folyamatot ey jól ismert fizikai jelensé, az ún. matematikai ina lenési folyamatának vizsálatával fojuk Önöknek memutatni, Valószínűle Önök közül sokaknak ez az első alkalom, hoy ey fizikai folyamat valamely jellemzőjét me kell mérni, a mérést ki kell értékelni és az eredményekből következtetést kell levonni. Ezért részletesen be fojuk mutatni, és Önökkel eyütt véi fojuk csinálni o a mérési folyamat eyes lépéseit, o a kiértékelés számítási és rafikonrajzolási fázisait, o az eredmények elemzésének és a következtetés levonásának lehetsées módjait o és (ez fontos) a mérés dokumentálását, a mérési jeyzőkönyv eyes részleteinek elkészítését is. Felhívjuk a fiyelmet arra, hoy ez a mérési útmutató, eltérően a további mérés leírásoktól, többletinformációkat is tartalmaz az érdeklődő hallatók számára. Ezek kisebb betűvel szedve, az adott szakasz mefelelő helyén bekeretezve találhatók. Az első mérési yakorlat teljesítéséhez sok sikert kívánnak a Hidrodinamikai Rendszerek Tanszék munkatársai.. A mérés célja A matematikai (vay fonál-) ina lenésidejét leíró összefüés felállítása mérési adatok alapján. A matematikai ina ey hosszúsáú súlytalan fonálon lenő m tömeű tömepont. A yakorlatban az ina hosszán a felfüesztési pont és a lenő test súlypontjának távolsáát értjük. A laboratóriumban használt hener alakú súlyok esetén a súlypont a tenelyre esik (jó közelítéssel) a hener félmaassáában. Ezt a helyet a súlyokon ey körbefutó a testbe vésett vonal jelöli. 1

Az ina lenésének periódusideje az az idő, ami alatt a lenő test két eymást követő azonos (pl. szélső) kitérési állapotába tér vissza a lenés során. Mivel a szélső helyzetben a test sebessée nulla, ez ien jól mefiyelhető és mérhető helyzete a testnek. 3. A mérés előkészítése A mérések (mind az eyetemen, mind az ipari yakorlatban) általában sok időt és pénzt iényelnek. Fel kell építeni a laboratóriumban a berendezést (idő, pénz), a berendezést műszerezni kell (pénz), a mérést el kell véezni (idő), majd az eredményeket ki kell értékelni (idő). Íy fontos, hoy a mérést előre metervezzük, azonosítsuk a fontos és kevésbé fontos mennyiséeket, hiszen ezzel sok eneriát takaríthatunk me. Mielőtt tehát elkezdenénk a mérést, ondoljuk véi, hoy milyen ismeretek állnak rendelkezésünkre! Az ina lenését a Newton-féle mozáseyenletek írják le, használjuk a mellékelt ábra K jelöléseit! A testet yorsító G T tanenciális (vay érintőirányú) erő a test G súlyából G T=G sin(α) módon számítható, ahol G=m. Felírva az említett Newton-törvényt, a testet yorsító G T erő és a test pályairányú yorsulása: m a T=G T, azaz ma T = m sin(α). Mivel a tömeel eyszerűsíthetünk, levonhatjuk a következtetést, hoy a tömepont tömee nem befolyásolja a tanenciális yorsulást és ezzel eyütt az ina lenésidejét. Ez a mérés szempontjából ien fontos meállapítás, hiszen íy elé eyetlen tömeel elvéezni a méréseket. Ha az elmélet ellenőrzésének érdekében méis több tömeel vézünk méréseket, már a mérés mekezdésekor tudjuk, hoy milyen eredményre számíthatunk. A mérés metervezésére visszatérve, ondoljuk csak me, mennyi időnkbe került volna a laboratóriumban kimérni ezt az eredményt! Középiskolai tanulmányokból ismert, hoy ey fonálina T periódusidejének (1) összefüésében szerepel a ravitációs térerőssé, a π és az ina hossza: T = π (1)

Tapasztalat szerint jó közelítés, hoy az ina árnyéka eyütt mozo ey sin suarú, füőlees körpályán állandó v sebesséel mozó pont árnyékával (ld. ábra). A forómozás szösebessée tehát v = r (1 cosα) (1 cosα) = sin α sin α =. ω A teljes kör körbefutásának periódusideje és a fentiek értelmében az ina lenésideje: Az cosα π = = π ω sin α (1 cosα) T. α = β helyettesítést bevezetve és az 1 cos α + sin α cos β = cos β sin β α = és = trionometriai azonossáokat eymásból kivonva kapjuk, hoy A matematikai ina ey súlytalan és nyúlhatatlan, hosszúsáú fonálon lenő m tömeű tömepont. A léellenállást és a felfüesztésnél ébredő súrlódást elhanyaoljuk. A kitérés szöe kicsi (lásd később). Az alábbiakban a matematikai ina lenésidejének ey lehetsées levezetését ismertetjük. Az eneriamemaradás törvénye értelmében az ina helyzeti és mozási eneriájának összee (vesztesémentes esetben) állandó. Teljesen kitérített helyzetben csak E h = m( 1 cosα ) helyzeti eneriája, lealsó helyzetében pedi csak mv / 1 cosα = sin β, mellyel (1 cosα) = 4sin β. E m = mozási eneriája van. A kettő meeyezik, melyből a tömeel való eyszerűsítés és átrendezés után adódik: v = (1 cosα). Szintén ismert azonossá, hoy sin α = 4sin β cos β. sin α sin β = sin β cos β =, amiből kapjuk, hoy Mindezeket beírva a lenésidő képletébe, adódik, hoy: T 4sin β cos β = π = π cos β π 4sin β A közelítés abban az esetben jó, ha cos 1 o α = 10 ( -nál kisebb szöek esetén a hiba 1,5 % -nál kisebb.) β, azaz β és ebből következően α kicsi. A fizikai ináról kiterjedéssel bíró, merev test ey adott, nem a test súlypontján átmenő forástenely körüli lenésekor beszélhetünk. A szökitérés itt is kicsi és a veszteséeket itt is elhanyaoljuk. Fizikai ina pl. ey motor forórészéből és hozzákapcsolt póttömeből álló rendszer, vay krumpli kötőtűvel átszúrva. 3

Az összefüésben T [s] az [m], [m/s ] mértékeyséű mennyisé. A mérés során az eyik feladat ennek az összefüésnek mérések alapján történő felállítása lesz. Ha menézzük, milyen kapcsolat van T és között, akkor láthatjuk, hoy ez ey hatványfüvény, uyanis a fenti eyenlet írható T = π b = A () alakban, ahol A és b ey-ey konstans. Feladatunk a mért adatokból A és b értékét és azok mértékeyséeit mehatároznunk. Ehhez először véezzük el a mérést! 4. Az elvézendő mérési feladatok 4.1 Különböző hosszúsáú inák és azonos lenő tömeek esetén lemérjük az ina lenésének periódusidejét. 4. Azonos hosszúsáú inák és különböző lenő tömeek esetén lemérjük az ina lenésének periódusidejét. A yakorlatvezető memutatja az ina állványát, amelyre a különböző hosszúsáú fonalak füeszthetők, véükön kis kampókkal és forókapcsokkal, amelyekkel az állványhoz és a súlyokhoz rözíthetőek a fonalak. A használt fonál fonott horászzsinór, amely nayon kis mértékű menyúlást ened me, emellett ien kis átmérőjű és tömeű. A zsinórt az állványhoz rözítve, majd a tömeeket a zsinór másik véére füesztve elkezdhető a mérés. A mérést véző személy(ek) stopperórával memérik a (max. 5 -ra) kitérített ina minimum 0 teljes lenését. A lenések számlálását nullával kezdjük, amikor elenedjük a kitérített tömeet. Amikor a test visszalendül a kiindulási helyzetébe és újra kezd ey újabb lenést, akkor eyel növeljük (akár hanosan kimondva) a lenések számát (célszerűen: null-ey-két-há-néy-öt-hat- stb ). Fontos, hoy a stopperórát akkor indítsuk, amikor a testet elenedjük és akkor állítsuk me, amikor már eleendő számú lenés után éppen visszalendül a kiinduló helyzetébe. Ezért uyanaz a személy véezze az idő mérését és az ina elindítását és fiyelését. Ha párban vézik a mérést, ey mérés után cserélhetnek és uyanazt az inát a kolleájuk is mérje le ey alkalommal (pl.: több lenetést véezve). A mért adatokat (: ina hossza, m: lenő test tömee, n: a számlált teljes lenések száma, n*t: a számlált teljes lenések összes lenésideje) a következő táblázat első néy üres oszlopában rözítsék: 4

Mért adatok Számított adatok Sorszám m n n*t T lo lot [-] [m] [] [-] [s] [s] [-] [-] 1 1 A táblázat utolsó néy oszlopát a mérés kiértékelése során, yakorlatvezető seítséével a csoport közösen tölti ki. A mért adataikat a yakorlatvezetőnek hanosan is be kell diktálniuk a mérés véén, hoy esetlees hiányzás esetén is rendelkezésre álljon az összes mért adat. 5. A mérési eredmények kiértékelése 5.1 A keresett eyütthatók számértékének mehatározása A bevezetőben szerepelt, hoy a keresett kapcsolat hatványfüvény, amelyben szereplő két állandót (A és b) kell mehatároznunk a mért adatokból. Ehhez 5 inán mért 10 adatsor áll rendelkezésre. A () eyenletet loaritmálva olyan alakú összefüést kapunk, amely ey eyenes eyenlete: lot = lo A + b lo (3a) átható, ha bevezetjük az x = lo és y = lot változókat, valamint az a = lo A jelöléseket, akkor a fenti (3a) eyenlet y = a + b x (3b) alakban írható, ami az x-y koordinátarendszerben ey eyenest leíró eyenlet. A hiányzó eyütthatók (a tenelymetszet (a) és a meredeksé (b)) az eyenes felrajzolása után rafikus módszerrel mehatározhatóak. Mivel csak a loaritmált változók között ( y = lot és x = lo ) iaz a lineáris kapcsolat, ezért a mérési táblázat utolsó oszlopaiban ki kell számítanunk ezeket az értékeket és ezeket a pontokat ábrázoljuk közös koordinátarendszerben. 5

A yakorlatok során a diaramokat A4-es méretű mm-papírra kérjük elkészíteni ceruzával, esetleesen színeket alkalmazva a különböző mennyiséek mekülönböztetéséhez. A diaram lefontosabb részei a tenelyek, mefelelő skálaosztással és a skálaértékek növekedését jelölő nyíllal, a skálafeliratok, a tenelyen szereplő mennyiséek jelölése, a tenelyen szereplő mennyiséek mértékeyséének jelölése. A diaramok skálaosztása akkor mefelelő, ha a tenelyen ey pont koordinátái könnyen leolvashatóak. Ezért az 1 eyséet nem célszerű (sőt, tilos) három, hat, hét vay kilenc részre osztani. Kerülendő az 1 eysé néy, vay nyolc részre osztása. Gyakorlatban használható A4-es rafikonon 1 eysé csak 1, vay, vay 5 cm lehet. A diaramon szereplő adatpontokat célszerűen két eyenes metszéspontjaként kell kijelölni (+ jellel). Nem mefelelő jelölő az, amelynek nincs eyértelműen azonosítható jellezetes pontja (pl.: O jelnek nincs kitüntetett pontja). Gondoljuk me, hoy a pont koordináták a tenelyektől vett távolsáot jelentik. Ey eyenestől (tenelytől) adott távolsára ey vele párhuzamos eyenes helyezkedik el. Ey pontot a diaramban két ilyen eyenes metszéspontja eyértelműen jelöl. A kapott diaramon látható, hoyan helyezkednek el az adatpontok. Amennyiben a mérés körültekintően véeztük el, akkor a pontok jó közelítéssel ey eyenes körül rendeződnek. A pontokra vonalzó seítséével eyenest illesztünk, úy, hoy lehetőle azonos számú pont essen az eyenes mindkét oldalára (nem kell meszámolni, természetesen ), valamint az eyes pontok eyenestől vett távolsáai között ne leyenek kiuróan nay és túlsáosan kis értékek (az eyenes a pontok között fusson ). A berajzolt eyenes tenelymetszete (a) könnyen leolvasható, ellenben a meredekséhez (b) az eyenes két, lehetőle minél távolabbi pontjának a koordinátáit le kell olvasnunk és abból kiszámítani a meredekséet: B b y x 1 =. Az a értékét merajzolt rafikonról leolvassuk (tenelymetszet!), és kiszámítjuk az A értékét: a A = 10 y x Természetesen a fenti rafikus illesztési módszer mellett többféle eljárással is illeszthetjük a mért pontokra az eyenesünket. Eyik, yakran elterjedt módszer az ún. lekisebb néyzetek módszere. A módszer lényee, hoy a mért pontoknak az illesztendő eyenestől vett y irányú távolsáait néyzetre emeljük, a kapott értékeket összeadjuk és az össze minimalizálásával határozzuk me az eyenes eyütthatóit. Hasonlóan alkalmazható módszer az ún. Wald-módszer, amelyet Abraham Wald, kolozsvári születésű matematikus fejlesztett ki. A módszer a mért adatpontokból képzett ponthalmazok súlypontjait használja fel az illesztendő eyenes eyütthatóinak mehatározására. A fenti hatványfüvényen kívül mefelelő koordináta-transzformációval sok füvény linearizálható. Például a fenti módszer alkalmazásával eyenesre rendezhetőek az exponenciális füvény (y=a e Bx ), vay a loaritmikus füvény (y=a+b lo(x)) pontjai. 1 6

5. Az eyüttható mértékeysée és a bennük szereplő fizikai mennyiséek Tételezzük fel, hoy elé pontosan véeztük a mérésünket és mekaptuk a kitevő b=½ értékét. A hatványozás foalmának ismeretében mondhatjuk, hoy b mértékeysée ey. Nézzük me, hoy milyen fizikai tartalommal rendelkező taokat tartalmaz A értéke és iyekezzünk ezeket mehatározni. Az eyenletünk tehát T = A alakú, ahonnan kifejezve A-t, mevizsálhatjuk, milyen mértékeyséűnek kell lennie, hoy az eyenletünk dimenzionálisan (a két oldal mértékeyséei szerint) is helyes leyen: [ ] [ T ] s [ ] m A = = Mérnöki képzelőerővel meáldva, a mértékeyséek alapján arra következtethetünk, hoy az A és a ravitációs térerőssé között a következő arányossá áll fenn: A ~ Az ismert arányossái tényező π, levezetésünkben A a következőképpen definiált menynyisé: 1 π A = Használjuk fel a rafikus illesztés alapján mehatározott a konstansból számolt A eyütthatót, és becsüljük me ravitációs térerőssé naysáát, és hasonlítsuk össze ismert értékével. π = A (Természetesen ennek értéke a mérési pontatlansá, rafikus illesztés hibái miatt csak közelítőle =9,81 m/s értéket fo adni.) Sok esetben seít a fenti módszeren alapuló, ún. dimenzióanalízis ey-ey jelensé vizsálatában, ha tudjuk, milyen jellemzők foják befolyásolni a vizsált folyamatunkat. A módszernek fontos szerepe van akkor, ha a jelenséet leíró összefüést mérési adatokból kívánjuk mehatározni, vay éppen a jelenséet vizsáló kísérletet tervezünk. A fent leírt eljárás elnayoltan tartalmazza a módszer lényeét, későbbi tanulmányaik során minden bizonnyal találkozni fonak a használat feltételeivel és maával a pontos módszer leírásával is. Ajánlott irodalom: Szűcs Ervin: A hasonlósáelmélet alapjai, Műszaki Könyvkiadó, Budapest 1967. Szűcs Ervin: A hasonlósáelmélet alkalmazása - modellkísérletek, Műszaki Könyvkiadó, Budapest 1969. 7

6. Az eredmények értékelése 6.1 A táblázat eredményei alapján meállapíthatjuk, hoy azonos fonalhosszúsá, de különböző tömeek esetén a mért lenésidő közel azonos, az eltéréseket csak mérési hibák okozzák. 6. Eredményül kaptuk, hoy ey fonálina T periódusidejének (1) összefüésében szerepel a ravitációs térerőssé, a π és az ina hossza: T = π, amint az a középiskolai tanulmányainkból ismert. Az összefüésben T [s] az [m], [m/s ] mértékeyséű mennyisé. 6.3 Összesséében meismertünk tehát ey olyan mérnöki módszert, amely a továbbiakban sok más folyamat-jelensé vizsálatára alkalmas. A MÉRÉSRE VAÓ FEKÉSZÜÉS Hozzanak maukkal 1 db A4-es milliméterpapírt, ceruzát, vonalzót, számolóépet. Töltsék ki otthon a biankó jeyzőkönyvet a 4. ponti (az 5-8 pontot majd a mérésen fojuk). A mérésleírással illetve a méréssel kapcsolatos észrevételeket a csizmadia@hds.bme.hu címre várjuk. 8