Meßübung 0 DER INGENIEUR FÜHRT MESSUNGEN DURCH

Átírás

1 . Einführun Meßübun 0 DER INGENIEUR FÜHRT MESSUNGEN DURCH Eine traditionelle Methode um neue Kenntnisse zu erwerben ist die Durchführun von Messunen und die Bearbeitun der Meßerebnisse (das unarische Wort mérnök kommt aus dem Verb mér ). Das Ziel der ersten Meßübun ist diese rundleende Methode diejenien Studenten zu zeien, die ihr Studium an der Fakultät für Maschinenbau erade anfanen. Dieser Erkennunsprozeß wird Ihnen am Beispiel einer einfachen physikalischen Erscheinun, der Schwinun eines mathematischen Pendels ezeit. Viele unter Ihnen werden wahrscheinlich zum ersten Mal irendeine charakteristische Größe eines physikalischen Prozesses messen müssen, die Messun soll danach ausewertet werden und aus den Meßerebnissen müssen Aussaen formuliert werden. Desween werden wir zusammen mit Ihnen folendes durchführen: o einzelne Schritte des Meßprozesses o numerische und raphische Schritte der Auswertun o Analyse der Meßerebnisse und die daraus resultierenden Folerunen o Dokumentation (sehr wichti) der Messunen, Anfertiun eines Meßprotokolls. Wir machen Sie darauf aufmerksam, daß diese Meßbeschreibun abweichend von den weiteren für die Interessenten auch zusätzliche Informationen enthält. Diese Informationen sind in unarischer Sprache, mit kleineren Buchstaben edruckt und einerahmt an den entsprechenden Stellen zu finden. Wir wünschen Ihnen viel Spaß und Erfol für die erste Meßübun. 2. Ziel der Messun Die Formel, der Schwinunszeit eines mathematischen Pendels wird anhand von Messunen aufestellt. Ein mathematisches Pendel besteht aus einer punktförmien Masse m, die am Ende eines Fadens der äne hänt. In der Praxis wird unter der äne der Abstand zwischen dem Schwerpunkt der Masse und dem Befestiunspunkt des Fadens verstanden. Im abor finden sie zylindrische Gewichte deren Schwerpunkt mit uter Annäherun auf der Achse in der Mitte der Zylinderläne liet. Diese Stelle haben wir mit einer rinförmien Rille markiert. Die Periodenzeit der Schwinun des Pendels ist das Zeitintervall zwischen zwei aufeinanderfolenden Ausschläen. Da die Geschwindikeit des Massenpunktes im Auenblick des weitesten Ausschlaes Null ist, kann es sehr enau erfaßt werden. 3. Vorbereitun zur Messun Messunen brauchen viel Zeit und kosten viel Geld sowohl im aboratorium, als auch in der Industriepraxis. Ein Prüfstand muß im aboratorium aufebaut werden (Zeit und Geld), die erforderlichen Meßeräte müssen besort werden (Geld), die Messun muß durcheführt werden (Zeit) und die Erebnisse müssen ausewertet werden (Zeit). Es ist also wichti, daß die Messun vorher eplant wird, die wesentlichen und wenier wichtien Meßrößen von einander unterscheidet werden, weil dadurch viel Enerie erspart werden kann. Bevor wir also zu messen anfanen, sollen wir unsere Kenntnisse erfrischen.

2 Die Schwinun des Pendels wird durch die Newtonschen Axiomen beschrieben. Betrachten wir die Bezeichnunen der Abbildun! Die das Körper beschleuniende Tanentialkraft G T kann aus dem Gewicht der schwinenden Masse, als G T = G sin(α) berechnet werden, wobei G = m. Das zweite Axiom von Newton behauptet, daß die Kraft leich Masse mal Beschleuniun ist, m a T = G T, d.h. ( α ) m a T = m sin. Da mit der Masse ekürzt werden kann, folt, daß die Schwinzeit durch die Masse nicht beeinflußt wird. Das ist für unsere Messun eine rundleende Behauptun, da es so enüt, die Messun nur mit einer Masse durchzuführen. Wenn wir trotzdem die Messun, um uns zu kontrollieren, mit verschiedenen Massen durchführen, wissen wir von vornherein, was zu erwarten ist. Es ist eindrucksvoll durchzudenken, wieviel Zeit wir brächten, dieses Erebnis aus Meßserien abzuleiten. Aus den früheren Studien ist bekannt, daß in der Formel () der Periodenzeit des mathematischen Pendels, die Erdbeschleuniun, die Zahl π und die äne des Pendels auftritt: = 2 π. () Die entsprechenden Meßeinheiten sind [s], [m], [m/s 2 ]. Eine unserer Aufaben während der Messun ist das Aufstellen dieser Formel anhand von Messunen. Die Formel () zeit für den Zusammenhan zwischen und eine Potentialfunktion, da diese Formel so umeschrieben werden kann: 2 π b To = = A. (2) A und b sind dimensionsbehaftete Größen. Unsere Aufabe ist nun die Werte und die Meßeinheiten von A und b zu bestimmen. Vorher muß aber die Messun durcheführt werden. 4. Die durchzuführenden Meßtätikeiten 4.a Messun der Periodenzeiten der Schwinunen von Pendeln mit leicher Masse, aber unterschiedlichen Schnurlänen. 4.b Messun der Periodenzeiten der Schwinunen von Pendeln mit unterschiedlichen Massen, aber leicher Schnurläne. Der Assistent zeit das Pendelestell, worauf die Fäden mit unterschiedlichen änen anebunden werden. An den beiden Enden des Fadens befinden sich kleine Haken und Zapfen, die freie Verdrehun ermölichen, vomit die Fäden zum Gestell und zu den Massen befestit werden können. Das Faden ist eflochtene Anelschnur, wodurch sie sich nur anz erin ausdehnt, dabei ist sie sehr dünn und sehr leicht. Nachdem die Schnur zum Gestell und die masse zur Schnur ebunden ist, kann die Messun estartet werden. Die Studenten Messen die Gesamtzeit von mindestens 20 vollen Schwinunen mit einer Stoppuhr, das Faden darf um höchstens 5º von der vertikalen ae auseschwunen werden. Das Zusammenzählen der Schwinunen fänt, als die Masse loselassen ist mit der Zahl 0 an. 2

3 Als die Masse wieder anz ausschlät, wird die Zahl usw. ezählt immer um mehr (etwa so: Null, Eins, Zwo, Drei, Vier, Fünf,...,n). Es ist wichti, daß die Stoppuhr synchronisiert zum Zählen estartet und estoppt wird. Das erklärt, daß der selbe Person die (insesamt n) Schwinunen zusammenzählen und die Gesamtzeit (n T) messen soll. Wenn ein Paar mißt, sollen sie zwei Messunen durchführen, einmal der erste, dann der zweite, jedoch mit einer anderen Zahl der Schwinunen (z.b. n = 25 anstatt von n = 20). Die Meßdaten (, m, n, n werden in die folende Tabelle einetraen: Gemessene Daten Berechnete Daten Nummer m n n lo lo P [-] [m] [] [-] [s] [s] [SI] [SI] [-] 2 Die letzten vier Spalten der Tabelle werden emeinsam mit Hilfe des Assistenten während der Meßübun ausefüllt. Die emessenen Daten sollen laut diktiert werden, damit der Assistent erkennt, ob eventuell Daten fehlen. 5. Die Auswertun der Meßerebnisse 5.a) Bestimmun der Zahlenwerte der esuchten Konstanten Wie in der Einführun ezeit wurde, ist der esuchte Zusammenhan eine Potentialfunktion, deren zwei Konstanten (A und b) bestimmt werden müssen. Dazu stehen an fünf Pendeln durcheführte 0 Messunen zur Verfüun. Nach Anwendun der oarithmusfunktion an die Formel (2) erhält man die Gleichun einer Gerade: lo = lo A + b lo. (3a) Man erkennt, daß nach Einführun der neuen Veränderlichen x = lo, y = lo sowie der Bezeichnun a = lo A läßt sich Gleichun (3a) in folende Form umeschrieben werden: y = a + b x (3b) Die ist die Gleichun einer Gerade im Koordinatensystem x y. Die fehlenden Koeffizienten (Schnittpunkt der Ordinate, a und Neiun der Gerade, b) können nach Darstellun der Gerade raphisch leicht bestimmt werden. Da ein linearer Zusammenhan nur zwischen den oarithmusrößen (x = lo, y = lo ) existiert, müssen diese Werte in den letzten Spalten der Tabelle berechnet und in einem für die Ganze Meßruppe emeinsamen Diaramm darestellt werden. 3

4 A yakorlatok során a diaramokat A4-es mérető mm-papírra kérjük elkészíteni ceruzával, esetleesen színeket alkalmazva a különbözı mennyiséek mekülönböztetéséhez. A diaram lefontosabb részei a tenelyek, mefelelı skálaosztással és a skálaértékek növekedését jelölı nyíllal, a skálafeliratok, a tenelyen szereplı mennyiséek jelölése, a tenelyen szereplı mennyiséek mértékeyséének jelölése. A diaramok skálaosztása akkor mefelelı, ha a tenelyen ey pont koordinátái könnyen leolvashatóak. Ezért az eyséet nem célszerő (sıt, tilos) három, hat, hét vay kilenc részre osztani. Kerülendı az eysé néy, vay nyolc részre osztása. Gyakorlatban használható A4-esrafikonon eysé csak, vay 2, vay 5 cm lehet. A diaramon szereplı adatpontokat célszerően két eyenes metszéspontjaként kell kijelölni (+ jellel). Nem mefelelı jelölı az, amelynek nincs eyértelmően azonosítható jellezetes pontja (pl.: O jelnek nincs kitüntetett pontja). Gondoljuk me, hoy a pont koordináták a tenelyektıl vett távolsáot jelentik. Ey eyenestıl (tenelytıl) adott távolsára ey vele párhuzamos eyenes helyezkedik el. Ey pontot a diaramban két ilyen eyenes metszéspontja eyértelmően jelöl. Im Diaramm läßt sich erkennen, wie die transformierten Meßpunkte lieen. Wenn die Messun sorfälti durcheführt wurde, lieen die Punkte nahe zu einer Gerade. Mit Hilfe eines ineals kann eine Gerade an die Punkte so elet werden, daß etwa die leiche Anzahl von Punkteen auf beiden Seiten der Gerade lieen und der Abstand zwischen dem Punkt und der Gerade weder zu klein, noch zu roß wird (die Gerade soll zwischen den Punkten laufen). Der Ordinatenschnitt a der Gerade läßt sich leich ablesen. Zur Bestimmun der Neiun b müssen jedoch zwei mölichst weit von einander lieende Punkte ausesucht werden. B kann daraus berechnet werden: y2 y B = b. x2 x Der Wert von a wurde abelesen, somit kann A durch die oarithmus Umkehrfunktion berechnet werden a A = 0. Természetesen a fenti rafikus illesztési módszer mellett többféle eljárással is illeszthetjük a mért pontokra az eyenesünket. Eyik, yakran elterjedt módszer az ún. lekisebb néyzetek módszere. A módszer lényee, hoy a mért pontoknak az illesztendı eyenestıl vett y irányú távolsáait néyzetre emeljük, a kapott értékeket összeadjuk és az össze minimalizálásával határozzuk me az eyenes eyütthatóit. Hasonlóan alkalmazható módszer az ún. Wald-módszer, amely a mért adatpontokból képzett ponthalmazok súlypontjait használja fel az illesztendı eyenes eyütthatóinak mehatározására. A fenti hatványfüvényen kívül mefelelı koordináta-transzformációval sok füvény linearizálható. Például a fenti módszer alkalmazásával eyenesre rendezhetıek az exponenciális füvény (y=a e Bx ), vay a loaritmikus füvény (y=a+b lo(x)) pontjai. 5.b) Meßeinheit der Koeffizienten und der physikalischen Parametern Man nehme an, daß die Messun enau ist und für b den Wert b = ½ erab. Die Meßeinheit von b muß sein, b ist also dimensionslos. Wie ist es mit A? Welche Größen sind im A 4

5 enthalten? Unsere Gleichun war = A, von hier kann A ausedrückt werden und die linke und rechte Seite muß die leiche Dimension haben: [ ] [ To ] s A = =. [ ] m Es ist nicht zu schwer zu erkennen, daß zwischen A und folende Proportionalität existiert: A. Damit enthält unsere Gleichun nur noch einen dimensionslosen Parameter, P, der nun aus einer einzien Messun auserechnet werden kann: = P. In der letzten Spalte der Tabelle werden die berechneten Werte von P einetraen, man bekommt für P näherunsweise 2 π Sok esetben seít a fenti módszeren alapuló, ún. dimenzióanalízis ey-ey jelensé vizsálatában, ha tudjuk, milyen jellemzık foják befolyásolni a vizsált folyamatunkat. A módszernek fontos szerepe van akkor, ha a jelenséet leíró összefüést mérési adatokból kívánjuk mehatározni, vay éppen a jelenséet vizsáló kísérletet tervezünk. A fent leírt eljárás elnayoltan tartalmazza a módszer lényeét, késıbbi tanulmányaik során minden bizonnyal találkozni fonak a használat feltételeivel és maával a pontos módszer leírásával is. Ajánlott irodalom: Szőcs Ervin: A hasonlósáelmélet alapjai, Mőszaki Könyvkiadó, Budapest 967. Szőcs Ervin: Hasonlósá és modell, Mőszaki Könyvkiadó, Budapest 9??. 6. Bewertun der Erebnisse 6. Anhand der Daten in der Tabelle kann festestellt werden, daß bei leicher Fadenläne aber bei unterschiedlichen Massen die Schwinunszeit etwa leich roß ist, die Abweichunen sind nur Folen von Meßfehlern. 6.2 In der Formel () für die Schwinunszeit treten die Erdbeschleuniun, die Konstante π und die Fadenläne auf. = 2 π, wie wir es in der Mittelschule elernt haben. Die Meßeinheiten sind [s], [m] und [m/s 2 ]. 6.3 Wir haben eine inenieurtechnische Methode kennenelernt, was auch in anderen Fällen bei anderen physikalischen Prozessen anewendet werden kann. 5