Idő-frekvencia transzformációk waveletek Pokol Gergő BME NTI Üzemi mérések és diagnosztika 013. áprils 17.
Vázlat Alapfogalmak az idő-frekvencia síkon Rövid idejű Fourier-transzformáció spektrogram Folytonos wavelet transzformáció skálagram Spektrogram, skálagram alkalmazások Folytonos vagy diszkrét? Többfelbontású analízis Ortogonális wavelet transzformáció alapú eljárások
Alapfogalmak: Idő-frekvencia sík Idő-frekvencia atom Energiasűrűség az idő-frekvencia síkon - peremeloszlások Idő-frekvencia atom: Olyan függvény, aminek energiája időben és frekvenciában is lokalizált. u t 1 f 1 f 1 f 1 f t f ( t) f ( ) t u dt d f ( t) dt f ( ) d 3
Határozatlansági reláció Alsó korlát az idő-frekvencia atom kiterjedésére t 1 Egyenlőség Gábor-atomra (Gábor Dénes, 1946): f ( t) ae it e b( t u ) 4
Heisenberg-doboz Idő-frekvencia atom kiterjedése az idő-frekvencia síkon 5
Rövid idejű Fourier-transzformáció 1. STFT: short-time Fourier-transform folytonos ablakozott Fourier-transzformáció Az idő-frekvencia atom: i t g u, e g( t u) g 1 6
Rövid idejű Fourier-transzformáció. A transzformáció: i t Sf ( u, ) f, g f ( t) g( u t) e dt Invertálható, a jel teljes energiája megmarad. Energiasűrűség-eloszlás az idő-frekvencia síkon (spektrogram): Egyenletes lefedés: P S f ( u, ) Sf ( u, ) u, 7
Frekvencia (khz) 8 Példa spektrogram alkalmazására 6 4 0 10 0 Idő (s) 40 50 8
Wavelet definíció Wavelet: időben jól lokalizált, nullközepű függvény. Komplex, analitikus wavelet: frekvenciában is jól lokalizált! 9
Folytonos wavelet transzformáció 1. CWT: continuous wavelet transform Komplex, analitikus wavelet Az idő-frekvencia atom: 1 t u s s u, s 1 10
Folytonos wavelet transzformáció. A transzformáció: Invertálható, a jel teljes energiája megmarad. Energiasűrűség-eloszlás az idő-frekvencia síkon (skálagram): Lefedés változó alakú atomokkal: Wf ( u, s) f, u, P W f ( u, s) Wf ( u, s) s f ( t) 1 s t u s dt 11
Példa skálagram alkalmazására Frekvencia (Hz) 7400 5300 4100 1800 830 180 7,7 7,8 7,9 Idő (s) 8,0 8,1 8, 1
Példa skálagram alkalmazására Frekvencia (Hz) 180 830 1800 4100 5300 7400 7,7 7,8 7,9 Idő (s) 8,0 8,1 8, 13
Példa skálagram alkalmazására Frekvencia (Hz) 1 15-35 50 140 830-160 1300-550 7500 0,0 0,5 1,0 Idő (s),0,5 3,0 8, 14
A két módszer összehasonlítása 15
Idő-frekvencia atomok kiválasztása Komplex, analitikus atomok (STFT esetén automatikusan) Az atom típusa függ a jeltől, de általában a Gábor-atom jó (Gauss-ablak, Morlet-wavelet) Az atom paramétereit a fizikai modell határozza meg: STFT esetén az ablakhosszt CWT esetén a wavelet rendjét (~hullámok számát) A jó paraméterezést a fizikai kép határozza meg (lásd: lebegés) 16
f1=300 Hz f=303 Hz Lebegés 303 Hz 300 Hz 1 Acos 1 1 t Acos t Acos t cos t R=600 303 Hz 300 Hz 301,5 Hz 0,66 s 1,5 Hz t R=300 R=00 R=60 t t 17 t
Frekvencia (khz) Pokol Gergő: Idő-frekvencia transzformációk waveletek Lebegés példa 10 1 4 6 8 Idő (s) 10 1 14 18
Vibrafon 19
Vibrafon 0
Folytonos vagy diszkrét A folytonos transzformáció: Alapvető tulajdonságok idő-eltolás invariáns frekvencia-eltolás invariáns (vagy skálainvariáns) a transzformált értékek összefüggnek redundáns ábrázolás A diszkrét transzformáció (ortogonális bázissal): nem idő-eltolás invariáns nem frekvencia-eltolás invariáns a transzformált értékek függetlenek nem redundáns ábrázolás 1
Folytonos vagy diszkrét Melyiket használjuk? A folytonos transzformáció: tranziens jeleknél fontos az invariancia vizualizálásnál hasznos a sima (összefüggő) kép az atomok szabadon választhatók A diszkrét transzformáció (ortogonális bázissal): sztochasztikus stacioner jeleknél nem fontos az invariancia, további statisztikus feldolgozás esetén hasznos a függetlenség ha a további használat előtt inverz transzformáljuk (szűrés, tömötítés) speciális ortogonális bázisok (atomok) kellenek (keret elmélet) Kevert tulajdonságú transzformációk pl. csúszóablakos FFT
Ortogonális wavelet transzformáció FWT (fast wavelet transform), gyors wavelet transzformáció Diszkrét transzformáció ortogonális waveletekre Speciális wavelet-ek: keret elmélet (frame theory) Morlet-wavelet nem jó. Diadikus skálázás, mintavétel: 3
Ortogonális wavelet Példa Egy lépésben waveletekte és azokra ortogonális skálafüggvényekre bontunk (Példa: Haar-wavelet, 1909) 4
MRA (Multiresolution analysis), többfelbontású analízis 5
MRA MRA (Multiresolution analysis), többfelbontású analízis: felbontás különböző skálaparaméterű közelítésekre és azt kiegészítő jelrészletekre Emlékeztető 6
Szűrő csoportok Minden diszkrét waveletnek megfelel egy digitális szűrő. Wavelet felüláteresztő szűrő Skálafüggvény aluláteresztő szűrő 7
Gyors wavelet transzformáció Analízis (dekompozíció): FWT: szűrők és lemintavételezések ciklikus alkalmazása Lemintavételezés: minden második pontot kihagyjuk 8
Gyors wavelet transzformáció Szintézis (rekonstrukció): Az analízis inverze felmintavételezéssel, duális (tükrözött) szűrőkkel (Felmintavételezés: minden pont közé beszúrunk egy 0-t) 9
Különböző wavelet családok Haar (legegyszerűbb) Daubechies (legtöbb eltűnő momentum adott hosszra, N/) Symlet (hasonló a Daubechies-hez, csak szimmetrikusabb) db4 db8 30
FWT alapú zajszűrés FWT szűrés Inverz FWT Fontos a diszkrét ortogonális transzformáció függetlenül megváltoztatható komponensek Kemény küszöb: adott érték alatt elhagyjuk Puha küszöb: adott értékkel csökkentjük az összest Küszöb számolható különböző zajtípusokra A wavelet kiválasztása kritikus Hasonló elven működnek a tömörítő eljárások 31
D waveletek (pl. JPEG000) FWT alapú tömörítés Mozgóképekben is alkalmazzák (pl. ZRLE) Piecewise-Linear Haar (PLHaar) wavelet 3
Egyéb, avagy Mit szokás még wavelet módszerként emlegetni? Mindent, ahol egy skálainvariáns bázis szerepet játszik: Speciális waveletek korlátos jelekre Biortogonális waveletek Bármiféle wavelet transzformáción alapuló adatfeldolgozási eljárást Skálainvariáns bázis szerinti kifejtésen alapuló analitikus közelítő megoldásokat Skálainvariáns bázisfüggvényeket használó numerikus módszereket Skálainvarianciát kihasználó tömörítési eljárásokat Mintázatfelismerő eljárásokat... 33
Előadás: www.reak.bme.hu/pokol Irodalom Stéphane Mallat: A wavelet tour of signal processing (Academic Press) http://cas.ensmp.fr/~chaplais/wavetour_presentation/ Alfred Mertins: Signal analysis (John Willey & Sons Ltd.)... 34
Wigner-Ville eloszlás 1. Definíció: Interferencia: P V f ( u, ) * i u f u e d f 35
Wigner-Ville eloszlás. Elemi idő-frekvencia atomokra pontos idő-frekvencia energiasűrűség-eloszlás Paraméterezést nem igényel Összetett jelre negatív értéket is felvehet Nem értelmezhető energiasűrűség-eloszlásként Lényeges jelkomponensek is elveszhetnek az interferenciában 36
Cohen-osztály Interferencia csökkentése simítással: P f ( u, ) P f u u u dud V (, ) (,,, ) Simító kernelt megfelelően kell megválasztani Csökken az idő-frekvencia felbontás Paraméterezést igényel Speciális esete a lineáris transzformáció (STFT, CWT), mikor az interferencia teljesen eltűnik. Lin. tr. esetén simítás az atomok Wigner-Ville eloszlásával 37