Valószínűségi változó (véletlen változó, random variables) Változó: Névvel ellátott érté. (Képzeljün el egy fióot. A fió címéje a változó neve, a fió tartalma pedig a változó értée.) Valószínűségi változó: Olyan változó, melyne értée szám értéét véletlen tényező is befolyásoljá meghatározhatóa a lehetséges értéei és azo valószínűségei Az eseményene a valószínűségi változó lehetséges értéei felelne meg. Soszori megfigyelés után sejthetjü, hogy melyi érténe mennyi a valószínűsége, illetve bizonyos értétartományoba esésne mennyi a valószínűsége. tojáso száma egy madárfészeben (egy adott madárfaj esetén), egy egyed testhőmérsélete (adott faj és ivar esetén), a övetező buszon az utaso száma, borjú születési testtömege. A formális matematiai definíció bonyolult (nem tanulju). A ét legfontosabb érdés: Mi a változó lehetséges értéei? (véges so? végtelen so? folytonos tartomány?) Hogyan adhatju meg a valószínűségeet az összes lehetséges eseményre? A valószínűségi változóat nagybetűel, a onrét számértéeet isbetűel szoás jelölni, pl. P(X=x) úgy olvasandó, hogy anna a valószínűsége, hogy az X valószínűségi változó éppen az x értéet veszi fel. A valószínűsége értéehez vagy intervallumohoz hozzárendelése a modell, amely lehet empirius (so madárfésze megfigyeléséből, vagy so borjú lemázsálásából) vagy elméleti megfontolásoon alapuló (pl. a céllövésnél feltételezve, hogy minden lövés egymástól függetlenül p valószínűséggel lesz tízes, utána ombinatoriával továbbszámolva). Két típust ülönböztetün meg, a diszrét és folytonos változóat. Enne csupán techniai oai vanna (másépp számolun velü, a folytonosnál összeg helyett integrál lesz). Diszrét valószínűségi változó Véges so lehetséges értée van, vagy megszámlálhatóan végtelen so lehetséges értée van. Megszámlálhatóan végtelen = végtelen so, de sorba rendezhetőe Példá véges so értére: Céllövöldében 10 lövésből az eltört pálcá száma Egy fészeben a tojáso száma Példá végtelen so értére: A céllövöldében hányat ell lőnün, mire eltöri az első pálca Kocadobálásnál hányadira apun először hatost
Folytonos valószínűségi változó: Lehetséges értéei egy folytonos tartományt alotna. Minden egyes érté 0 valószínűségű, csa tartományona van pozitív valószínűségü időpont 9 és 10 óra özött (lehetséges értée: 9 és 10 özötti valós számo) testhőmérsélet születési testtömeg A geometriai valószínűséggel apcsolatban találoztun ilyen példáal; a geometriai valószínűségi modellben feltettü, hogy az azonos hosszúságú (területű, térfogatú) tartományohoz azonos valószínűség tartozi ( egyenletes eloszlás ), de vanna olyan modelle is, amelyeben ez nem igaz Diszrét vagy folytonos? Mindig rajtun áll, hogy egy jelenséget diszrét vagy folytonos változóval modellezün. Ha például az előbbi időpontot elegendő perc pontossággal mérni, aor választhatju azt a diszrét modellt, amelyben a lehetséges értée 9:00, 9:01, 9:02,... 9:59, 10:00. A választás ét dolgon múli: melyi típus ad realisztiusabb modellt az adott jelenségre a feltett érdése megválaszolásához szüséges számításo melyi modellben egyszerűbbe. Diszrét valószínűségi változó eloszlása Diszrét valószínűségi változó eloszlása: a változó lehetséges értéei és a hozzáju tartozó valószínűsége. Az eloszlást célszerűen táblázatos formában lehet megadni. (Ha a változó értéei megszámlálhatóan végtelen halmazt alotna, aor a táblázat végtelen hosszú lesz ) 1. példa: jelölje az X valószínűségi változó egy ocadobás eredményét. X eloszlása: x 1 2 3 4 5 6 1 1 1 1 1 1 P(X=x) 6 6 6 6 6 6 2. példa: most dobjun étszer a ocával és jelölje Y a nagyobbi számot. Y eloszlása: y 1 2 3 4 5 6 1 3 5 7 9 11 P(Y=y) 36 36 36 36 36 36 Vegyü észre, hogy ha az összes valószínűséget összeadju, mindig 1-et apun. (Ezt az összefüggést számításain ellenőrzésére is felhasználhatju.)
Várható érté Diszrét valószínűségi változó várható értée (=átlagérté, expected value, mean value): a lehetséges értéene az értéehez tartozó valószínűségeel súlyozott összege. Jelentése: ha a változót soszor megfigyeljü és a megfigyelt értée átlagát vesszü, b. ezt apju (ez az érté a változóna nem feltétlenül lehetséges értée, lásd pl. ocadobás) Jelölése: az X változó várható értéét E(X)-szel jelöljü Képlete a fenti definícióna megfelelően: E(X) = Σ p i x i, ahol az x i - jelöli a változó értéeit és a p i - az értéehez tartozó valószínűségeet Ha a változó értéészlete végtelen, aor ez az összeg is végtelen lehet A várható értére vonatozó számolási szabályo Két változó összegéne várható értée: E(S+T) = E(S) + E(T) Két változó ülönbségéne várható értée: E(S T) = E(S) E(T) Változó számszorosána várható értée: E(α S) = α E(S) Változó lineáris ombinációjána várható értée: E(α S+β T)=αE(S)+βE(T) Két független változó szorzatána várható értée: E(ST) = E(S)E(T) A példabeli X változó várható értée: E(X) = 6 1 1 + 6 1 2 + 6 1 3 + 6 1 4 + 6 1 5 + 6 1 6 = 6 21 = 3.5 Feltételes eloszlás Feltételes eloszlás: Az X változóna az F eseményre, mint feltételre vett feltételes eloszlását úgy apju, hogy X-ne csa azoat az értéeit teintjü, amelyere az F feltétel teljesül, a hozzáju tartozó valószínűsége pedig a P( X = x i F ) feltételes valószínűsége leszne. Példa: Dobjun étszer egy ocával és jelölje Y a nagyobbi számot. Y feltételes eloszlása, feltéve, hogy mindét dobott szám páratlan: y 1 3 5 1 3 5 P(Y=y F) 9 9 9 Feltételes várható érté Feltételes várható érté: ugyanúgy definiálju és ugyanúgy számolju, mint a feltétel nélüli várható értéet, de a feltételes eloszlásból. Egy fontos összefüggés (a teljes valószínűség tételéne megfelelője, nevezhetnén aár a teljes várható érté tételéne is): Hogyan aphatju meg egy változó feltétel nélüli várható értéét, ha ismerjü a feltételes várható értéét az F i feltételere, melye együtt teljes eseményrendszert alotna? E(Y) = ΣE(Y F i )P(F i ) A feltételes eloszlásra is igaz, hogy ha az összes valószínűséget összeadju, 1-et apun (amit most is jól használhatun számításain ellenőrzésére).
Nevezetes diszrét eloszláso: modelle gyaorisági adatora (count data) Diszrét egyenletes eloszlás Véges so érté, mind ugyanaora valószínűséggel: X : x x,..., x 1, 2 n 1 P i,..., n ( X = x ) =, i= 1,2 n Kocadobás Urna-modell: cédulára számoat írun, és egyet ihúzun. Várható érté: E( X ) = xi n Hipergeometrius eloszlás (visszatevés nélüli mintavétel) N egyedből álló populációból, amelyben valamely tulajdonsággal K egyed rendelezi, egy n ülönböző elemből álló véletlen mintát veszün. Az X valószínűségi változó a mintába erült, az adott tulajdonsággal rendelező egyede száma. Hallgatólagos feltevés: minden lehetséges minta egyformán valószínű! Példa: Egy utyamenhely 72 laója özül 18 fajtatiszta. X: tíz találomra választott utya özött a fajtatisztá száma. N = 72, K = 18, n = 10. X lehetséges értéei a 0 és n özötti számo. A értéhez ( = 0, 1, 2,..., n) tartozó valószínűség így számolható: Valójában egy eloszlás-családról van szó, annyi ülönböző eloszlásról, ahányféleéppen az N, K, n paramétere megválasztható (eze a megjegyzése a többi eloszlásra is vonatozna). K Várható érté: E ( X ) = n N P ( X = ) K N K n = N n Binomiális eloszlás (visszatevéses mintavétel, ismételt megfigyelése) Azonos örülménye özött, egymástól függetlenül n-szer elvégzün egy megfigyelést vagy ísérletet, amelyben egy bizonyos imenetel valószínűsége p. Az X valószínűségi változó a szóban forgó imenetel beövetezéseine száma. X lehetséges értéei a 0 és n özötti számo. ötször feldobun ét pénzt és számolju, hányszor jön i FF. X: a FF dobáso száma, n = 5, p = 0.25. X: 7 gyermees családban a lányo száma, n = 7, p = 0.5 n = A értéhez ( = 0, 1, 2,..., n) tartozó valószínűség P( X = ) p ( 1 p) Az eloszlás paraméterei az n és a p (ez is eloszlás-család, a tagoat az n és a p jellemzi). Várható érté: E(X) = np n Speciális eset: visszatevéses mintavétel (mint a utyamenhelyen, de a megvizsgált utyát visszaengedjü; eor csa a p = K / N arány számít, pl. ha a utyá negyede fajtatiszta, mindegy, hogy 4-ből 1, vagy 400-ból 100; és most n > K is lehetséges). A binomiális eloszlást használjá özelítő megoldásént a visszatevés nélüli mintavétel esetén is, ha a minta icsi a populációhoz épest, hagyományosan, ha n 0.05 N. A binomiális modell érvényességéhez mindig meg ell gondolni a övetezőet: A megfigyelése függetlenne teinthető? A p valószínűség minden megfigyelésre azonos? Példa: Egér a labirintusban, 10 futás, X: hányszor találja meg a sajtot 1 percen belül. n = 10, p =??? p állandó? Nem hasznosítja az előző futáso tapasztalatait? Talán minden futáshoz át ellene rendezi a labirintust?
Poisson eloszlás (spontán előforduláso száma egy adott tartományban) Számolju, hogy egy adott idő alatt, egy adott területen, térfogatban, egy adott anyagmennyiségben hányszor figyelhetün meg egy eseményt X: hány utya jön be a apun egy nap alatt, Y: hány elefánt létható egy légifelvételen, Z: hány szem borsót találun egy adag rizibiziben, X lehetséges értéei a nem negatív számo: 0, 1, 2, 3,.... Gyaorlati eseteben mindig van felső orlátot, de elméletileg nem érdemes orlátozni. λ P X = = e! A értéhez ( = 0, 1, 2, 3, 4,...) tartozó valószínűség, ( ) λ Az eloszlás paramétere λ, jelentése az előforduláso átlagos száma (a Poisson eloszlás is egy család, családtagjait λ azonosítja). Várható érté: E(X) = λ Hallgatólagos feltételezése, amelyeből a valószínűsége fenti éplete ijön: Az előforduláso átlagos száma arányos az időtartam, terület, stb. nagyságával (fél nap alatt átlagosan fele annyi utya, öt adag rizibiziben átlagosan ötször annyi szem borsó, stb.), A nem átfedő időtartamoban, területrészeen, stb. megfigyelt gyaoriságo függetlene egymástól (pl. a délelőtt és délután érező utyá száma). Gyaran olyan binomiális eloszlású változó özelítésére használjá, amelyene n paramétere igen nagy, p paramétere pedig igen icsi. Tehát, ha egy rita esemény (p icsi) beövetezéseit számolju egy ísérlet nagyszámú ismétlése során (n nagy), aor enne a változóna az eloszlása jól özelíthető a Poisson-eloszlással, mégpedig a λ = np paraméterű Poissonnal (mert ugyanaz az átlagu!). Alalmazáso: batérium ill. vérsejt számlálás, esőcseppe eloszlása, nyomdai hibá egy önyvben, órházban születése, ill. halálozáso napi száma, stb. Negatív binomiális eloszlás Számolju, hogy (azonos örülménye özött egymástól függetlenül) hányszor ell ismételni egy megfigyelést addig, amíg egy mindegyi ismétlésor p valószínűségű esemény -szor beövetezi. A véletlen szám nem a szüséges ismétlése száma, hanem a szüséges ismétlése száma mínusz (csa azért, hogy a lehetséges értée itt is 0, 1, 2,... legyene). Az eloszlás paraméterei p és. Bár a negatív binomiális eloszlásna ez a szoásos származtatása, ebből egyáltalán nem látszi, hogy miért alalmas gyaorisági adato modellezésére. Egy mási származtatás szerint (amit precízen elég örülményes megfogalmazni) a negatív binomiális eloszlás előáll, mint ülönböző paraméterű Poisson eloszláso everée. A részleteet nem tárgyalju. Poisson eloszlással, ha 0.1 np 10. Az eloszlás paramétere λ = np Binomiális eloszlás özelítése Normális eloszlással, ha np 5 és nq 5, ahol q=1-p Az eloszlás N ( np, npq)
Középértée vagy helyzeti mutató Ha a véletlen változót egyetlen jellemző értéel ellene leírni, melyi szám lenne az? Ne felejtsü el, hogy az egyetlen számmal jellemzés mindig információveszteséggel jár, nem mutatja az értée szóródását, variabilitását. Várható érté E ( X) A iugró értée nagyon el tudjá húzni! Módusz = x p x ) Az az x érté, amelyhez tartozó p valószínűség maximális, vagyis a leggyarabban előforduló érté. Nem mindig egyértelmű egy eloszlás lehet unimodális, bimodális, multimodális stb. Kettőnél több módusz esetén nem használju. i ( i Medián Olyan értelemben özepes x érté, hogy sem az x-nél isebb, sem pedig az x-nél nagyobb értée együttes valószínűsége nem haladja meg az 1/2-et, azaz P(X<x) 1/2, és P(X>x) 1/2. Kvantilise A p-vantilis olyan x érté, hogy az x-nél isebb értée együttes valószínűsége nem haladja meg a p-t, az x-nél nagyobb értée valószínűsége pedig nem haladja meg az (1-p)-t, azaz P(X<x) p és P(X>x) (1-p). Az 1/2-vantilis épp a medián. Az 1/4-vantilis az alsó vartilis (Q1), a 3/4-vantilis a felső vartilis (Q3). A p-vantilist 100p-percentilisne is szoás nevezni. Vigyázat! Angol nyelvterületen a mean szót nem feltétlenül az átlagra használjá, így aztán ugyanazoból az adatoból ülönböző érdecsoporto ülönböző eredményeet tudna számolni! Szóródási mutató diszrét változóra Eze csa a szóródást mutatjá, a helyzetet nem. Intervartilis terjedelem: Az alsó és felső vartilis ülönbsége IQR = Q 3 -Q 1. Terjedelem A maximális és a minimális érté ülönbsége Szórásnégyzet vagy variancia ("átlagos négyzetes eltérés") A változó várható érté örüli oncentráltságát, illetve szóródását fejezi i. Nemnegatív. nagy variancia: a változó értéei erősen szórta is variancia: a változó a várható értée örül oncentrálódi 0 variancia: egyetlen lehetséges (nem 0 valószínűségű) érté van Jelölés: σ 2 ( X ) vagy var(x) Matematiailag a szórásnégyzet a változó várható értéétől való négyzetes eltéréséne várható értée, vagyis var(x) = E{(X E(X)) 2 } = E(X 2 ) E(X) 2 Diszrét változó szórásnégyzeténe iszámítása: var(x) = x i 2 p i ( x i p i ) 2
A variancia tulajdonságai var(ax) = a 2 var(x) var(x+y) = var(x) + var(y) var(ax+by) = a 2 var(x) + b 2 var(y) Szórás bármely a R-re ha X és Y függetlene övetezi az előző ettőből Három nevezetes eloszlás várható értée és varianciája: várható érté variancia binomiális np np(1-p) Poisson λ λ A szórás a variancia négyzetgyöe negatív binomiális p (1 p) p 2 hip.geo. és binom.: var < átlag, Poisson: var = átlag, neg.bin.: var > átlag (overdispersion)