Pl.: Galton deszka (http://www.youtube.com/watch?v=ufd3hizzhwg vagy link innen:

Hasonló dokumentumok
Sorozatban gyártott termékek minőségellenőrzése

Gyakorló feladatok. Az alábbi feladatokon kívül a félév szemináriumi anyagát is nézzék át. Jó munkát! Gaál László

biometria II. foglalkozás előadó: Prof. Dr. Rajkó Róbert Matematikai-statisztikai adatfeldolgozás

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Statisztikai becslés Statisztikák eloszlása

10. Mintavételi tervek minısítéses ellenırzéshez

Véletlenszám generátorok és tesztelésük. Tossenberger Tamás

Statisztika I. 8. előadás. Előadó: Dr. Ertsey Imre

2. A ξ valószín ségi változó eloszlásfüggvénye a következ : x 4 81 F (x) = x 4 ha 3 < x 0 különben

Biomatematika 2 Orvosi biometria

VALÓSZÍNŰSÉG, STATISZTIKA TANÍTÁSA

1. tétel. Valószínűségszámítás vizsga Frissült: január 19. Valószínűségi mező, véletlen tömegjelenség.

10-6. ábra. Az áttérési szabályok rendszere (Papp L., Róth P., Németh L., 1992)

[Biomatematika 2] Orvosi biometria

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

SZÁMÍTÁSOK A TÁBLÁZATBAN

Kabos: Statisztika II. ROC elemzések Szenzitivitás és specificitás a jelfeldolgozás. és ilyenkor riaszt. Máskor nem.

AGRÁRMÉRNÖK SZAK Alkalmazott matematika, II. félév Összefoglaló feladatok A síkban 16 db általános helyzetű pont hány egyenest határoz meg?

Valószínűségszámítás összefoglaló

Az egyenes egyenlete: 2 pont. Az összevont alak: 1 pont. Melyik ábrán látható e függvény grafikonjának egy részlete?

Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat megoldása A csoport

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

Bevezető feldatok. Elágazás és összegzés tétele

Tananyag: Kiss Béla - Krebsz Anna: Lineáris algebra, többváltozós függvények, valószínűségszámítás,

Matematika A3 Valószínűségszámítás, 6. gyakorlat 2013/14. tavaszi félév

KÖVETKEZTETŐ STATISZTIKA

Statisztikai módszerek 1. gyakorlat. Alapok,Boxplot

A feladat megoldása során a Microsoft Office Excel használata a javasolt. Ebben a feladatban a következőket fogjuk gyakorolni:

Matematika A3 Valószínűségszámítás, 5. gyakorlat 2013/14. tavaszi félév

Készítette: Fegyverneki Sándor

MATEMATIKA HETI 3 ÓRA. IDŐPONT : 2009 június 8.

Függvények II. Indítsuk el az Excel programot! A minta alapján vigyük be a Munka1 munkalapra a táblázat adatait! 1. ábra Minta az adatbevitelhez

Munkánk során a cellák tartalmát gyakran másolni szoktuk. Előfordul, hogy képleteket tartalmazó cellákat másolunk.

Mintavétel fogalmai STATISZTIKA, BIOMETRIA. Mintavételi hiba. Statisztikai adatgyűjtés. Nem véletlenen alapuló kiválasztás

Környezet statisztika

Nagy számok törvényei Statisztikai mintavétel Várható érték becslése. Dr. Berta Miklós Fizika és Kémia Tanszék Széchenyi István Egyetem

EGYSZERŰ SZÁMÍTÁSOK TÁBLÁZATKEZELÉS ELINDULÁS SZE INFORMATIKAI KÉPZÉS 1

i p i p 0 p 1 p 2... i p i

A táblázat első sorában a feliratok vannak, ezért az x, y koordinátákat a második sortól kezdve az egymillió-egyedik sorig fogjuk elhelyezni.

függvény grafikonja milyen transzformációkkal származtatható az f0 : R R, f0(

1. tétel. 1. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 50, a szög melletti befogója 7 cm. Mekkora a háromszög átfogója? (4 pont)

1 pont. 1 pont. 1 pont. 1 pont

A Microsoft OFFICE. EXCEL táblázatkezelő. program alapjai as verzió használatával

Véletlenszám generátorok. 6. előadás

Excel IV. Haladó ismeretek. További fontos függvények Függvényhasználat ellenőrzése

Mintavételes átvételi ellenőrzés

Microsoft Excel Gyakoriság

Bevezetés az Excel 2010 használatába

Statisztikai módszerek 7. gyakorlat

Matematika III. 4. A valószínűségi változó és jellemzői Prof. Dr. Závoti, József

Statisztika - bevezetés Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc 1

[Biomatematika 2] Orvosi biometria

Microsoft Excel 2010

SZÁMÍTÓGÉPES ADATFELDOLGOZÁS

Ebben a feladatban szűrésekkel, kimutatásokkal fogunk foglalkozni. A megoldás során egy hallgatói adatbázissal dolgozunk.

1. Egy Kft dolgozóit a havi bruttó kereseteik alapján csoportosítottuk: Havi bruttó bér, ezer Ft/fő

Vizsgáljuk elôször, hogy egy embernek mekkora esélye van, hogy a saját

MATEMATIKA HETI 5 ÓRA. IDŐPONT: június 8.

Mérési hibák

Hogyan lehet Pivot tábla segítségével komplex adatokat elemezni és bemutatni?

az Excel for Windows programban

Azaz 56 7 = 49 darab 8 jegyű szám készíthető a megadott számjegyekből.

1. oldal, összesen: 5

Gépi tanulás. Hány tanítómintára van szükség? VKH. Pataki Béla (Bolgár Bence)

Utolsó módosítás: Véletlenszámok

Biometria az orvosi gyakorlatban. Korrelációszámítás, regresszió

Microsoft Excel. Táblázatkezelés. Dr. Dienes Beatrix

Való szí nű sé gi va ltózó, sű rű sé gfű ggvé ny, élószla sfű ggvé ny

Mi az adat? Az adat elemi ismeret. Az adatokból információkat

4.4. Egy úton hetente átlag 3 baleset történik. Mi a valószínűsége, hogy egy adott héten 2?

Excel Hivatkozások, függvények használata

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények

Eseményalgebra. Esemény: minden amirl a kísérlet elvégzése során eldönthet egyértelmen hogy a kísérlet során bekövetkezett-e vagy sem.

Excel Hivatkozások, függvények használata

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Valószínőségi eloszlások Binomiális eloszlás

Biometria az orvosi gyakorlatban. Számítógépes döntéstámogatás

HÁZI DOLGOZAT. Érmefeldobások eredményei és statisztikája. ELTE-TTK Kémia BSc Tantárgy: Kémia felzárkóztató (A kémia alapjai)

Matematika III. 5. Nevezetes valószínűség-eloszlások Prof. Dr. Závoti, József

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI május 3. EMELT SZINT I.

STATISZTIKA ELŐADÁS ÁTTEKINTÉSE. Matematikai statisztika. Mi a modell? Binomiális eloszlás sűrűségfüggvény. Binomiális eloszlás

Kiválasztás. A változó szerint. Rangok. Nem-paraméteres eljárások. Rang: Egy valamilyen szabály szerint felállított sorban elfoglalt hely.

Gazdasági matematika II. tanmenet

Excel. Nem összefügg tartomány kijelölése: miután a tartomány els részét kijelöltük, lenyomjuk és nyomva tartjuk a CTRL gombot.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények

Nevezetes diszkre t eloszlá sok

Elemi statisztika. >> =weiszd= << december 20. Szerintem nincs sok szükségünk erre... [visszajelzés esetén azt is belerakom] x x = n

Osztályozóvizsga követelményei

36 0,3. Mo.: 36 0,19. Mo.: 36 0,14. Mo.: 32 = 0, = 0, = 0, Mo.: 32 = 0,25

MINİSÉGBIZTOSÍTÁS 12. ELİADÁS Május 9. Összeállította: Dr. Kovács Zsolt egyetemi tanár

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények

2. Készítsen awk szkriptet, amely kiírja az aktuális könyvtár összes alkönyvtárának nevét, amely februári keltezésű (bármely év).

Hasonlóságelemzés COCO használatával

BIOMATEMATIKA ELŐADÁS

Matematika A3 Valószínűségszámítás, 0. és 1. gyakorlat 2013/14. tavaszi félév

Tananyag: Kiss Béla - Krebsz Anna: Lineáris algebra, többváltozós függvények, valószínűségszámítás,

ORVOSI STATISZTIKA. Az orvosi statisztika helye. Egyéb példák. Példa: test hőmérséklet. Lehet kérdés? Statisztika. Élettan Anatómia Kémia. Kérdések!

Bevezetés a hipotézisvizsgálatokba

Valószínűségszámítás és statisztika

1.1.1 Dátum és idő függvények

Matematika érettségi emelt 2008 október. x 2 0. nem megoldás. 9 x

Az MS Excel táblázatkezelés modul részletes tematika listája

Átírás:

9. feladatsor - Minőség-ellenőrzés és binomiális eloszlás Binomiális eloszlással olyan helyzet modellezhető, ahol egy véletlen kísérletet sokszor ismétlünk azonos körülmények között és figyeljük, hogy az n ismétlés során hányszor következett be egy adott esemény. Pl.: Galton deszka (http://www.youtube.com/watch?v=ufd3hizzhwg vagy link innen: http://www.hds.bme.hu/~fabe/galton.htm) Elengedünk egy golyót a piramis tetején. Minden szinten p valószínűséggel balra és (1-p) valószínűséggel jobbra fog esni a golyó. Minden szinten a balra-vagy-jobbra kísérletet végezzük el, n szintű Galton táblán egy golyó n-szer végzi el a kísérletet, a rekesz sorszáma (k, balról 0-val kezdve a számozást) pedig a jobbra döntések számát adja meg. 1. Feladat: (Galton tábla) Tekintsünk egy n = 8 lépcsős Galton deszkát. Mekkora a valószínűsége annak, hogy egy golyó a k. (k = 0,1,2,,8) rekeszbe esik? (n k): =n! / (n-k)! / k! Excelben: = FAKT(n) / FAKT(n-k) / FAKT(k) Nagy n-re (n>170) a FAKT(n) túlcsordul, de szerencsére az excel ezen túl tud lépni és ki tudja számolni az (n k)-t: =KOMBINÁCIÓK(n;k) Spoil: a binomiális eloszlást is tudja az excel: P(S=k)-t számolja a =BINOM.ELOSZLÁS(k;n;p;0) és P(S<=k)-t számolja a =BINOM.ELOSZLÁS(k;n;p;1) A KOMBINÁCIÓK függvény (mint a pl. szórás is) használható a ZH-n. A BINOM.ELOSZLÁS nem. 2. feladat: (Vizsgaidőszak-szimuláció) Egy 120 fős évfolyam vizsgaidőszak előtt áll. Mindenkinek 8 darab szóbeli vizsgája lesz, ahol tételt kell húzni, majd a kihúzott tételből vizsgázni. Az évfolyam sokallja a tanulnivalót, ezért kollektíven úgy döntenek, hogy mindenki minden vizsgára a tételek csupán 80%-át fogja megtanulni, és ha maradékból húz tételt akkor megbukik. (Tegyük fel, hogy egyébként mindig átmegy a vizsgán.) Véletlenszám generátorral szimuláljuk a tételhúzásokat, és állapítsuk meg, hogy hány hallgató ment át minden vizsgán, hányan buktak 1, 2, 3,..., 8 vizsgán. A kapott számokból (gyakoriságokból) képezzünk relatív gyakoriságokat (ehhez a gyakoriságokat az évfolyam létszámával kell leosztani), és ezeket az értékeket vessük össze a binomiális eloszlás elméleti valószínűségeivel. Az F9 billentyű lenyomásával újragenerálhatjuk a véletlenszámokat, ezzel a vizsgaidőszak-szimulációt tetszőlegesen sokszor megismételhetjük. A feladatot úgy írjuk meg, hogy 80%-ot könnyű legyen megváltoztatni más értékre. (Tehát ne a számot írjuk a képletekbe, hanem egy külön cellába írjuk be ezt az értéket, és a képletekben erre a cellára

hivatkozzunk.) Így szimulálhatunk más felkészültségre vonatkozó eseteket is. (pl. 50% esetén nézzük meg) 1. A tételhúzást a VÉL() függvény segítségével szimulálhatjuk. A VÉL() által visszaadott érték minden függvényhíváskor más és más, de az értékek egyenletes eloszlást követnek a [0,1) intervallumon. (A VÉL() felfogható úgy mint egy valószínűségi változó.) A tételhúzás szimulálásánál, minket csak az érdekel, hogy megtanult, vagy nem megtanult tételt húzunk. Mivel 80% az esélye annak az eseménynek, hogy megtanult tételt húzunk és szintén 80% annak az esélye, hogy VÉL()<0,8 ez utóbbit használhatjuk a szimulációban. Kicsit szoktatva magunkat a valószínűségszámítás nyelvezetéhez, ugyanez elmondható úgy, hogy: A végzett kísérlet egy véletlenszám generálása a VÉL() segítségével. (Értéket kap a valószínűségi változónk.) A kísérlet során az általunk megfigyelni kívánt esemény az amikor VÉL()<0,8. Az esemény bekövetkezési valószínűsége 0,8, azaz P(VÉL()<0,8)=0,8. A 0,8 beégetése helyett B7 cella tartalmára hivatkozzunk, így nem kell az összes helyen javítani a képletet, ha 0,8 értékét meg szeretnénk változtatni. Vegyük figyelembe, hogy ezt a képletet mindkét irányba ki fogjuk húzni, így abszolút hivatkozásra van szükség: VÉL()<$B$7 Végül tegyük a táblázatot kifejezőbbé úgy, hogy ne az IGAZ, HAMIS értékeket jelenítsük meg, hanem az E7, F7 cellákban előre definiált és szimbólumokat. Ezt a HA(logikai_vizsgálat; érték_ha_igaz; érték_ha_hamis) függvény segítségével tehetjük meg. Most is abszolút hivatkozásokat használva pl. az első hallgató első vizsgája esetén: C11 := =HA(VÉL()<$B$7;$E$7;$F$7) Ezt a képletet húzzuk ki jobbra, egészen a 8. vizsgáig. Majd jelöljük ki az egész sort (C11:J11) és a sort húzzuk le a 120. hallgatóig. Megjegyzés: Ne lepődjünk meg azon, hogy a munkalap frissül, és mindig más az eredmény, hiszen a VÉL() minden kiértékelésre mást ad. 2. Összesítsük hallgatónként a sikeres vizsgák számát. A múlt gyakorlaton tanultak alapján az első hallgató esetében: K11 := =DARABTELI(C11:J11;$E$7) Ezt húzzuk le a 120. hallgatóig. 3. Számoljuk össze, hogy hány darab hallgatónak volt 0,1,,8 sikeres vizsgája. Az eddigiek szerint írhatnánk a 0 sikeres vizsga sorába ezt: =DARABTELI(K11:K130;0). Ahhoz, hogy a képlet kényelmesen másolható legyen a 0 beégetése helyett hivatkozzunk inkább az O11-es cella tartalmára. Így lehúzáskor mindig az adott sorban érvényes sikeres vizsgák száma fog szerepelni ezen a helyen. A (K11:K130) tartomány viszont ne mozogjon lefelé lehúzáskor, tehát: P11 := =DARABTELI(K$11:K$130;O11) Ezt a képletet már lehúzhatjuk a 8 sikeres vizsga soráig. 4. A relatív gyakoriságok megadása egyszerű: Az első sorban pl: Q11 := =P11/120 5. Már csak az elméleti valószínűségek vannak hátra: mint a Galton táblánál: Ennek alapján (figyelembe véve, hogy p -t később változtatni szeretnénk, és hogy k különböző értékei az O11:O19 cellákban vannak, illetve n=8) pl. k=0 esetre:

R11 := =KOMBINÁCIÓK(8;O11) *$B$7^O11*(1-$B$7)^(8-O11) A képletet húzzuk le az egész oszlopra. 6. Minden szükséges cellát kitöltöttünk. Az F9 billentyű lenyomásával újra szimulálhatjuk az egész vizsgaidőszakot. Tegyük meg néhányszor, és figyeljük meg, hogy a tapasztalati értékek, hogyan ingadoznak az elméleti értékek körül. 7. Írjuk át a p értékét 0.5-re (ami azt az esetet jelenti, amikor csak a tételek felét tanulja meg az évfolyam minden vizsgára) és itt is végezzünk néhány szimulációt. Minőség-ellenőrzés: Egylépcsős minőség-ellenőrzési eljárás az MSz 548-as szabvány szerint: N elemű tétel elemeinek valós hiba valószínűsége (ami ugye nem ismert) p n elemű minta vizsgálata: hibás darabok száma a mintában S Ha S Ac (Accepted) A tétel a követelményeknek megfelel, a minta alapján a tételt elfogadjuk Ha S Re (Refused) a tétel nem felel meg a követelményeknek, a minta alapján a teljes tételt visszautasítjuk Tétel: egy gyártmánysorozat elemei akkor kezelhetők statisztikailag azonos módon, ha a termékek azonos műszakban, azonos gépbeállítással, azonos nyersanyag szállítmányból készültek. Az N tételszám tehát akkora, amekkora a fenti feltételeknek eleget tevő sorozat darabszáma. N ismerete mellett mekkora legyen n minta elemszám? Mekkora legyenek az Ac és a Re értékek? Választ a Kulcsjel és Egyszeres tervtípus táblázatok (ld a leírás végén) adják meg. Kérdések: Amennyiben a tétel valós selejtszázaléka p, akkor mekkora annak a valószínűsége, hogy az n elemű minta pontosan k db selejtet tartalmaz? Amennyiben a tétel valós selejtszázaléka p, akkor mekkora annak a valószínűsége, hogy az n elemű minta legfeljebb k db selejtet tartalmaz? Válasz: Binomiális eloszlás 3. feladat: (Minőség-ellenőrzés MSz 548 szerint) Egy zenelejátszó-készülékeket gyártó cég 4%-os átvételi hibaszintben állapodik meg az LCD panelek beszállítójával. Naponta 100 db-os tétel érkezik. a. Mekkora mintát kell megvizsgálni az átvevőnek II. fokozatú, egyszeres osztályozás esetén? b. Hibázik-e az átvevő, ha a mintában 5 db selejtet talál, és átveszi azt? c. Mekkora a valószínűsége annak, hogy az átvevő átveszi a tételt, ha annak valódi selejtszázaléka 6%? d. Rajzoljuk meg az eljáráshoz tartozó OC görbét!

a) N = 100 db-os tétel, általános II eljárás F kulcsjel n = 20 elemű minta vizsgálata szükséges b) Ac = 2, Re = 3, tehát hibázik ha átveszi. c) Ki kell számolni P(S=k)-t k = 0, 1, 2-re és össze kell őket adni: ( A d) feladatrész miatt célszerű p-t hivatkozni és nem beégetni. Ugyanezen oknál fogva vannak hol az oszlop hol a sorértékek rögzítve a hivatkozásokban ) A21: p B21: 0.06 G16: 20 A23: k A24: 0 B24: =KOMBINÁCIÓK($G$16;$A24)*B$21^$A24*(1- B$21)^($G$16-$A24) A25: 1 A26: 2 A28: P(S<=2) B28: =szum(b24:26) OC Operation characteristics Azt mutatja meg, hogy a téltel valós selejtszázalékától (p) függően mi annak a valószínűsége, hogy a selejtek száma nem éri el az eljárástól függő Re értékét azaz a tételt átvesszük (P(S<=Ac)). Ideális minőségellenőrzési eljárás OC-je az lenne, hogy ha a tétel selejtaránya a megegyezésnél jobb, akkor biztos átvesszük (azaz ha p < AQL, akkor az OC értéke 1) és ha a p > AQL, akkor biztos nem vesszük át (azaz 0). Megoldás: Számítsuk ki a c) részbeni valószínűséget p = 0, 0.01, 0.02,, 0.5 értékekre és ábrázoljuk. A fenti képlettel elég csak a 21. sorba felírni egymás mellé a p-ket és a többi sor másolható a 28. sorban ott lesznek az OC görbe értékei, a P(S<=2) azaz a P( a mintavétel alapján a tételt elfogadom ) értékek.