SZAKDOLGOZAT Kvaterniók és forgatások Kovács Adél Matematika Bsc, tanári szakirány Témavezet : Hermann Péter egyetemi docens Algebra és Számelmélet Tanszék Eötvös Loránd Tudományegyetem Természerttudományi Kar 04.
Tartalomjegyzék. Bevezetés. Elméleti áttekintés 4.. Kvaterniók............................. 4... Kvaternió tulajdonságok:................. 4... M veletek kvaterniókkal................. 5... Tisztán képzetes kvaterniók............... 7.. Forgatások............................. 8.. Lineáris transzformációk..................... 8... Lineáris transzformáció mátrixa............. 9.4. Forgatások reprezentálása mátrixokkal............. 9.5. Reprezentálás kvaterniókkal................... 0.5.. A Φ L leképezés tulajdonságai.............. 0.5.. A Φ L és Φ R transzformációk reprezentálása mátrixokkal.5.. Forgásszög meghatározása................. Forgatások a négydimenziós térben.. Speciális esetek.......................... 4. Forgatások a háromdimenziós térben 5 4.. Forgástengely meghatározása.................. 5 4.. Bizonyítás a 4-dimenziós forgatások segítségével........ 5 5. Tükrözések 6 6. Alkalmazások 7 6.. Geometriában........................... 7 6... Origón átmen tetsz leges tengely körüli forgatás... 0 6.. Fizikában............................. 6... Merev testek forgatása.................. 6... Pauli mátrixok...................... 5
Köszönetnyilvánítás Ezúton szeretnék köszönetet mondani témavezet mnek, Hermann Péternek, aki mindig segítette tanácsaival munkámat, ha kérdésem volt mindig szívesen fogadott.. Bevezetés Kvaterniókról William Rowan Hamilton írt el ször. Hamilton így emlékezett az egyik, ához írott levélben, amelyet a kor szokásos kissé dagályos stílusában vetett papírra: Október 6-odik napja volt, egy hétf i nap, az Ír Királyi Akadémia Tanácsa ülésének napja, ahol nekem kellett elnökölnöm. Anyáddal együtt indultam oda a Királyi csatorna mentén: bár beszélt hozzám valamit, egyáltalán nem fogtam fel, amit mond, mert a tudatomban valami derengeni kezdett. Váratlanul mintha zárult volna egy áramkör: fellobbant egy szikra, amely bevilágította sok hosszú év egy irányba fordított gondolatait, az én - vagy ha úgy alakul, akkor mások munkáját, ha még elegend tudatos élet adatik meg nekem, hogy tájékoztassam a világot felfedezésemr l. Nem tudtam leküzdeni magamban azt a vágyat, hogy késsel a híd puha kövébe véssem az i, j, k szimbólumok közötti alapvet összefüggéseket: i = j = k = ijk = amely megoldotta a problémát, persze a felirat régen lekopott. De sokkal tartósabb feljegyzés maradt err l a napról az Akadémiai Tanács Feljegyzések Könyvében, ahol feljegyezték, hogy engedélyt kértem és kaptam arra, hogy a szakosztály els ülésén el adást tartsak a kvaterniókról. Az el adást meg is tartottam a következ hónap november -adik napján, hétf n. Az egyetemi tananyagban a kvaterniók teste els sorban érdekes és egyedi példaként szerepel mint az egyetlen nem kommutatív test, ami a valós test fölött véges dimenziós). A dolgozatban a kvaterniók alkalmazására szeretnék példát mutatni, els sorban a geometriában a térbeli forgatások elegáns leírásával.
. Elméleti áttekintés.. Kvaterniók A kvaterniók a komplex számok 4 dimenzióra való kiterjesztése. Deníció: q = a + bi + cj + dk alakú formális kifejezésekb l, az úgynevezett kvaterniókból áll, ahol a, b, c, d valós számok, i,j,k pedig a Q kvaterniócsoport elemei.... Kvaternió tulajdonságok: q kondjugáltja : q = a bi cj dk konjugálás tulajdonságai: q) = q, a konjugált konjugáltja az eredeti kvaternió q + q = q + q és λq = λ q, λ R esetén, vagyis a konjugálás lineáris leképezés R fölött q q = q q q normája : N q = q q = a + b + c + d kvaternió valós része: Req = a kvaternió képzetes része: Imq = bi + cj + dk a q kvaternió képzetes részéhez tartozó egységvektor ˆq = inverz q = q N q trigonometrikus alak : q = N q cosθ + ˆqsinθ) ahol cosθ = a Nq Imq NIm q) és sinθ = b +c +d Nq N q = esetén egység kvaternióról beszélünk. exponenciális alak: q = N q eˆqθ 4
Kvaterniók szorzása nem kommutatív: például ij ji Szorzástáblázat: Q i j k - -i -j -k i j k i j k i i k j i k j j j k i j k i k k j i k j i - i j k i j k -i i k j i k j -j j k i j k i k k j i k j i... M veletek kvaterniókkal Összeadás: q + q = a + b i + c j + d k) + a + b i + c j + d k) = a + a ) + b + b )i + c + c )j + d + d )k Legyen Sq) a q kvaternió valós része, V q) pedig a képzetes része. Tehát q = Sq) + V q). Szorzás: q q = Sq ) + V q ))Sq ) + V q )) = Sq )Sq ) + V q )Sq ) + Sq )V q ) + V q )V q ) a képzetes részek egymással való szorzása a szorzástáblázat alapján történik. Skaláris szorzás: N q = q q = Sq) + V q))sq) V q)) = S q) + V q)v q) = S q) + N V q) Ezek alapján deniálható két kvaternió skaláris szorzata. Tehát bels szorzatként deniáljuk : < p, q >= Sp q) 5
A skaláris szorzattól megkövetelt alaptulajdonságok egyszer en beláthatók: < p, q >= Sp q) = Sp q) = Sq p) =< q, p > < p, q + r >= Spq + r) = Sp q + p r) =< p, q > + < p, r > α R, α < p, q >=< αp, q >=< p, αq > < p, p >= Sp p) = N p 0; csak akkor egyenl, ha p = 0. A bels szorzatnak megfelel en a p és q kvaterniók közti szög : cos λ = Sp q) Np Nq Vektoriális szorzat: Felidézzük a már ismert vektoriális szorzatot, és megpróbáljuk kvaterniók segítségével kifejezni, ami a következ képpen fog kinézni: Tehát i j k b c d b c d = c d d c )i b d d b )j + b c c b )k p q = c d d c )i + d b b d )j + b c c b )k Mondjuk p-t és q-t egymásra mer legesnek, ha Sp q) = 0 és párhuzamosnak, ha V p q) = 0. Egy tetsz leges kvaternió esetén a valós rész és a vektor rész mer legesek egymásra: A skalár illetve a vektor rész konjugáltját az alábbi módon írjuk fel: Ekkor Sq) = q+q és V q) = q q SSp)V p)) = S p + p) p p)) = S p p pp) 4 4 továbbá felhasználva, hogy Sp p) = S pp) S p p pp) = p p pp + [ p p pp]) = p p pp + pp p p) = 0 4 8 8 Vagyis a skalár és vektor rész tényleg mer legesek egymásra, a fent deniált módon. 6
... Tisztán képzetes kvaterniók Mivel dolgozatom során számos helyen el fordulnak tisztán képzetes kvaterniók, így ezekre külön megnézünk néhány tulajdonságot. Tisztán képzetes kvaterniók azok, ahol a valós rész 0. Ezeknek a kvaternióknak a halmaza három dimenziós vektortér, melynek bázisa {î, ĵ, ˆk}. Ezért legfontosabb hasznuk, hogy tisztán képzetes kvaterniókkal leírható a háromdimenziós vektortér. Vektoriális szorzat: Vezessünk be egy [A, B] = A B B A kommutátort, ami megmutatja, hogy az A és a B elemek felcserélhet k-e. Ha ez az érték 0 a két elem felcserélhet. A kommutátor segítségével a vektoriális szorzat egyszer en megadható, p és q kvaterniók képzetes részének vektoriális szorzata a két kvaternió kommutátorának kétszerese: ugyanis V p) V q) = p q q p = [p,q] p q = b b c c d d )+c d d c )i+d b b d )j+b c c b )k q p = b b c c d d )+d c c d )i+b d d b )j+c b b c )k tehát p q q p = ) c d d c )i + d b b d )j + b c c b )k p és q legyenek tisztán képzetes kvaterniók, akkor p q = b i + c j + d k)b i + c j + d k) = = b b + b c k b d j c c c b k + c d i d d + d b j d c ) i = = b b +c c +d d )+ c d d c )i+d b b d )j+b c c b )k = = p q + p q Vagyis a tisztán képzetes kvaterniók szorzata a két vektor skaláris szorzatának )-szereséb l és vektoriális szorzatából áll össze. Négyzetük valós és nem pozitív. q) = bi + cj + dk)bi + cj + dk) = b + bck bdj cbk c + cdi + dbj dci d = b + c + d ) 7
.. Forgatások A kvaterniók segítségével könnyen leírhatók a forgatások és 4 dimenzióban. Forgatások alatt értem: síkban a pont körüli forgatást és térben a tengely körüli forgatást, majd felidézem a forgatások jellemz it. Minden forgatás egybevágóság, tehát távolságtartó és ebb l következ en szögtartó. Pont körüli forgatás: Pont körüli forgatásnál adott a síkban egy pont, a forgatás középpontja és adott egy el jeles szög, amely a forgatás mértékét és irányát adja meg. Fontosabb tulajdonságai: Ha a forgatás szöge a teljes szög bármely többszörösét l eltér mérték, akkor egyetlen x pont van, a forgatás középpontja.ha a forgatás szöge a teljes szög többszöröse, akkor a sík minden pontja xpont. A pont körüli forgatás iránytartó. A pont körüli forgatás az egyenest olyan egyenesbe viszi át, amely az eredeti egyenessel a forgatás szögével megegyez szöget zár be. Egyenes körüli forgatás a térben: Adott egy térbeli L egyenes és α szög. Az L körüli α szög elforgatás bármely L-re mer leges S síkban az L S metszéspont körüli α szög forgatás, mégpedig minden mer leges síkban ugyanabban az irányban... Lineáris transzformációk Továbbá szükséges idézni a már tanult lineáris transzformációkat is. Deníció: T test, az A : T n T n függvény lineáris transzformáció, ha v, w T n vektorra és λ skalárra teljesül, hogy és Av + w) = Av) + Aw) Aλv) = λav) Tehát tetsz leges A lineáris transzformáció összegtartó és skalárszoros tartó. Mátrixokkal reprezentálhatóak a lineáris transzformációk, így a forgatások is. 8
... Lineáris transzformáció mátrixa Nézzük meg, hogyan lehetséges a mátrixokkal való reprezentálás. Legyen A : T T lineáris transzformáció. Ha [ ] ) [ ] [0 ] ) [ ] [x ] ) [ ] a c ax + cy A = = és A = =, akkor A =. 0 b d y bx + dy Tehát megmutattuk, hogy ez a reprezentáció nem lehet más mint -es mátrixal történ balról való szorzás. Tehát: [x ] ) [ ] [ ] [ ] a c x ax + cy A = = y b d y bx + dy.4. Forgatások reprezentálása mátrixokkal Ezek után nézzük, hogy a már felidézett forgatásoknak milyen mátrixok felelnek meg. A sík O origó körüli α szöggel való elforgatása a síknak az a transzformációja, amelynél az O pont önmagára képz dik le. Az x, y) koordinátájú P pont az x, y ) koordinátájó P pontra képz dik le, ahol x = x cos α y sin α y = x sin α + y cos α Síkban az origó körüli α szög elforgatás mátrixa: [ ] cos α sin α M = sin α cos α Térben egy adott tengely körüli forgatások az alábbi mátrixokkal írhatók le. Például: x-tengely körüli α szög forgatás mátrixa: 0 0 M x = 0 cos α sin α 0 sin α cos α y-tengely körüli α szög forgatás mátrixa: cos α 0 sin α M y = 0 0 sin α 0 cos α 9
z-tengely körüli α szög forgatás mátrixa: cos α sin α 0 M z = sin α cos α 0 0 0 a fenti mátrixokban az α szög az óramutató járásával ellentétes irányú szög. Ezeket a forgatásokat fogjuk a kvaterniókkal reprezentálni..5. Reprezentálás kvaterniókkal A forgatásokat erre alkalmas kvaterniókkal való szorzásként szeretnénk megadni. Mivel a kvaterniók tulajdonságánál láttuk, hogy szorzásuk nem kommutatív így jobb és bal oldalról való szorzás megadására külön leképezéseket kell megadnunk. Rögzítsünk le egy q egység hosszú kvaterniót és erre nézzük az alábbi transzformációkat. Legyen a q-val való bal oldalról való szorzás : Φ L : x qx a q-val jobb oldalról való szorzás pedig : Φ R : x xq ahol x tetsz leges. Megmutatjuk, hogy ezek a φ L és φ R leképezések determinánsú ortogonális transzformációknak felelnek meg. El ször is azt kell megmutatni, hogy a leképezések egybevágóságok:.5.. A Φ L leképezés tulajdonságai Hossztartás Legyen x Q q az el z ekben rögzített kvaternió amir l tudjuk, hogy N q = ). Akkor N qx = N q N x = N x Tehát a kvaterniókon értelmezett Φ L leképezés hossztartó. Szögtartás Legyen x, y Q és λ az x és y által bezárt szög, aminek a nagyságát deníció szerint cos λ-val adhatunk meg, ekkor cos λ = Sxy) Nx Ny. 0
A q-val való szorzás után qx és qy által bezárt szög λ, ahol cos λ = Sqxqy)) = Nqx Nqy Sqxyq) = Syqqx) Nq Nx Nq Ny N q Sxy) Nx Ny = cos λ = NqSyx) = N x Ny N q Nx Ny Tehát cos λ = cos λ vagyis a leképezés szögtartó, mivel a cos λ egyértelm en meghatározza a közrezárt szög nagyságát. Ez a két tulajdonság együtt bizonyítja, hogy a leképezés egybevágóság. A bizonyítás a Φ R leképezésekre hasonlóan m ködik..5.. A Φ L és Φ R transzformációk reprezentálása mátrixokkal Mivel ezek nyilván valóan lineáris transzformációk, ezért a φ R és φ L leképezések esetén nézhetjük az, î, ĵ és ˆk képét: Jelölje q = a + bî + cĵ + ˆk a rögzített kvaterniót. Jobbról való szorzás esetén: Φ L ) = a + bî + cĵ + dˆk Φ L î) = b + aî + dĵ cˆk Φ L ĵ) = c dî + aĵ + bˆk Φ L ˆk) = d + cî bĵ + aˆk Φ R ) = a + bî + cĵ + dˆk Φ R î) = b + aî dĵ + cˆk Φ R ĵ) = c + dî + aĵ bˆk Φ R ˆk) = d cî + bĵ + aˆk Alkalmazzuk a szokásos megfeleltetéseket:, 0, 0, 0), î 0,, 0, 0), ĵ 0, 0,, 0), ˆk 0, 0, 0, ) Ezeket felhasználva a Φ L és Φ R lineáris transzformációk mátrix reprezentációi: a b c d A ΦL = b a d c c d a b d c b a
és hasonlóan a b c d A ΦR = b a d c c d a b d c b a Vegyük észre, hogy az A ΦL és A ΦR mátrixok ortogonálisak, ami azt jelenti, hogy A ΦL A T Φ L = I A ΦR A T Φ R = I,ahol I az egységmátrix, továbbá deta ΦL ) =, deta ΦR ) =. Tehát az A ΦL ) és az A ΦR ) mátrixok elemei az SO4)-nek azaz az determinánsú, 4 4-es ortogonális mátrixokból álló csoportnak..5.. Forgásszög meghatározása Legyen ω az x és a qx kvaterniók közötti szög, ahol q = cos θ + ˆqsinθ. Ekkor: cos ω = Sxqx)) Nx Nqx = Sx x q)) N x Nq = S q) Nq = Sq) Nq = Sq) = cosθ Tehát az ω szög nagysága megegyezik a θ szög nagyságával, vagyis a szög csak q-tól függ. Ebben az értelemben beszélhetünk forgatásról, amikor az x és a képe által bezárt szög állandó és ez az ω szög lesz a forgatás szöge.. Forgatások a négydimenziós térben Nézzük meg, hogy mely forgatásokat kapunk meg ezen a módon. Mint ahogy már fentebb is deniáltuk, vesszük a q = cosθ + ˆqsinθ egységkvaterniót tehát N q = ) és legyen x egy tetsz leges kvaternió. Alkalmazzuk a Φ L transzformációt az x és ˆqx kvaterniókra: és qx = x cos θ + ˆqx) sin θ qˆqx) = ˆqx cos θ x sin θ Vezessük be az x = ˆqx jelölést. Az így kapott x és az x kvaterniók mer legesek egymásra, mivel: Sxˆqx) = S x xˆq) = x xsˆq) = 0
Tehát azt kaptuk hogy az x és x által kifeszített sík invariáns a transzformációra, mivel illetve qx = x cos θ + x sin θ qx = x sin θ + x cos θ. Mátrix alakba felírva: [ ] cos α sin α sin α cos α vagyis az x és x által kifeszített síkra való megszorítása θ szöggel pozitív irányba történ forgatás. A Φ R transzformáció alkalmazásával pedig a következ eredményeket kapjuk: Hasonlóan bevezetjük a x = xˆq jelölést. Ekkor és xq = x cos θ + x sin θ x q = x sin θ + x cos θ Tehát itt megkaptuk hogy az x és x által kifeszített síkban való forgatást θ szöggel negatív irányba. Mivel láttuk, hogy az x és x által kifeszített sík invariáns a φ L transzformációraami ortogonális- így a sík mer leges kiegészít síkja is invariáns lesz a φ L -re nézve... Speciális esetek Nézzük meg a következ esetet: Válasszuk tetsz leges kvaterniónak az x = -et, akkor kapjuk, hogy x = ˆq. Ebben az esetben a fenti kiszámolt eredmények a következ k lesznek: Φ L transzformációval: és q = cos θ + ˆq sin θ qˆq = sin θ + ˆq cos θ
Így megkaptuk az és ˆq elemek által kifeszített síkban való pozitív irányba forgatást θ szöggel. Φ R transzformációval: és q = cos θ + ˆq sin θ ˆqq = sin θ + ˆq cos θ, ami pedig a negatív irányba történ forgatás θ szöggel az és ˆq elemek által meghatározott síkban. Nézzük a ˆv, ŵ, ˆq tisztán képzetes kvaterniókat, melyek páronként mer legesek egymásra és jobbrendszert alkotnak. Ekkor nyilván a skalár-szorzatok: a vektoriális szorzatok pedig: ˆv ŵ = 0, ˆv ˆq = 0, ŵ ˆq = 0 ˆv ŵ = ˆq, ŵ ˆq = ˆv, ˆq ˆv = ŵ Most válasszuk az x-et ˆv-nak. Ebben az esetben a transzformációkkal a következ ket kapjuk : Φ L transzformációval: x = ˆqˆv = ˆq ˆv = ŵ, így és qˆv = ˆv cos θ + ˆqˆv sin θ = ˆv cos θ + ŵ sin θ qŵ = ŵ cos θ + ˆqŵ sin θ = ˆv sin θ + ŵ cos θ Így megkaptuk a ˆv és ŵ tisztán képzetes kvaterniók által meghatározott síkban való pozitív irányú forgatást θ szöggel. Φ R transzformációval: x = ˆvˆq = ˆv ˆq = ŵ, így és ˆvq = ˆv cos θ + ˆvˆq sin θ = ˆv cos θ ŵ sin θ ŵq = ŵ cos θ + ŵˆq sin θ = ˆv sin θ + ŵ cos θ amivel megkaptuk a negatív irányú θ szöggel történ forgatást a ˆv és ŵ által meghatározott síkban. 4
4. Forgatások a háromdimenziós térben Láttuk, hogy a Φ R és Φ L transzformációk forgatások. A két forgatást egyesítve megkaphatjuk a qxq m veletet. Ez az új transzformáció θ szöggel forgat a ˆq tengely körül tisztán képzetes kvaterniókat. Ugyanis tisztán képzetes kvaterniókra alkalmazva a transzformációt, szintén tisztán képzetes kvaterniót kapunk. Ezt majd a következ kben bizonyítani is fogjuk. Deniáljuk a következ transzformációt, amir l be szeretnénk látni, hogy alkalmazva a dimenziós térben, forgatást kapunk: ahol: φ q x) = qxq x = N x cos φ + ˆx sin φ) q = cos θ + ˆq sin θ ugyanis N q = ˆx = és ˆq = Szeretnénk megmutatni, hogy ez a transzformáció az x vektor részének θ szöggel történ forgatása a q vektor része valójában ˆq) körül. 4.. Forgástengely meghatározása Ehhez el ször megnézzük hogy a φ q leképezés xen hagyja-e V q) -t azaz a q képzetes részét: φ q V q)) = qv q)q = Sq) + V q))v q)[ N q Sq) V q)] = N q Sq) + V q))[sq)v q) V q)v q)] = N q Sq) + V q))[sq)v q) V q)v q)] = q[q V q)] = V q) Tehát mivel V q)-t xen hagyja, így ez kell, hogy legyen a forgatás tengelye. 4.. Bizonyítás a 4-dimenziós forgatások segítségével Az eddig leírtak tudatában, a -dimenziós forgatás bizonyítása egyszer en történik. Az x pontosan akkor képzetes kvaternió ha x = x. Tehát, elég a transzformációra ezt megmutatni: qxq = qxq = qxq = qxq = qxq = qxq = qxq. Így bebizonyosodott, hogy a x qxq transzformáció -dimenziós forgatása x vektor részének θ szöggel q vektor része körül. Tehát sikerült minden -dimenziós forgatást így el állítani. 5
5. Tükrözések Megmutatjuk, hogy a forgatás mer leges síkra való tükrözéssel el állítható. Síkbeli forgatásokról tudjuk, hogy el állnak két egymás utáni tükrözésb l. Valójában, minden -dimenziós forgatás felbontható síkra való tükrözésre, ahol a síkok metszésvonala a forgatás tengely. A forgatás szöge pedig a két sík által bezárt szög kétszerese lesz. Legyen ˆq a forgástengely és w egy vektor. A w vektor θ szög elforgatotják q körül, az alábbi módon írhatjuk fel: w R = qwq ahol q = cos θ + ˆq sin θ. A két sík legyen d és d a hozzájuk tartozó normál vektorok pedig ˆn és ˆn. A két sík metszésvonala pedig a ˆq által meghatározott egyenes. Ekkor ˆn ˆn = ˆq sin β és ˆn ˆn = cos β ha a két sík β szöget zár be egymással. Tükrözzük w-t a d síkra, ekkor kapjuk, hogy majd w -t tükrözzük a d síkra: w = ˆnwˆn w = ˆn ˆnwˆn)ˆn = ˆn ˆn)wˆnˆn ) A kvaternió tulajdonságokat alkalmazva: De mivel Ezért ˆnˆn = ˆn ˆn + ˆn ˆn = cos β + ˆq sin β ˆn ˆn = ˆn ˆn + ˆn ˆn = cos β ˆq sin β ˆn ˆn) = cos β ˆq sin β) = cos β + ˆq sin β) = ˆnˆn w = ˆn ˆn)wˆn ˆn) Ha β = θ akkor w = w R ami bizonyítja az állítást. Legyen φ egy leképezés a w tisztán képzetes kvaternión: N q = és R bázisa {î, ĵ, ˆk}. φ : R R φw) = qwq 6
Legyen q = a + bî + cĵ + dˆk ekkor φî) = îa + b c d ) + ĵad + bc) + ˆkbd ac) φĵ) = î ad + bc) + ĵa + c b d ) + ˆkad + cd) φˆk) = îac + bd) + ĵcd ab) + ˆka + d b c ) tehát a leképezést az alábbi mátrixszal reprezentálhatjuk: a + b c d ad + bc ac + bd M = ad + bc a + c b d cd ab bd ac ad + cd a + d b c Könny ellen rizni, hogy az M mátrix ortogonális: MM T = I és detm =. Tehát a φw) = qwq lineáris leképezés forgatást ad R -ban. Másrészr l, ha a lineáris leképezés θ : R R θw) = ˆqwˆq akkor a leképezés mátrix reprezentációja b + c + a bc bd N = bc c + b + d cd bd cd d + b + c Itt az N mátrix szintén ortogonális, viszont detn =, tehát tükrözésr l van szó, mégpedig w tükrözése a ˆq normálvektorú síkra. 6. Alkalmazások Mint azt ahogy azt már korábban leírtam a kvaterniók alkalmasak a forgatások leírására. Ezért számos helyen alkalmazzák. 6.. Geometriában Azt már az el z ekben láttuk, hogy az origón átmen tengely -dimenziós forgatások mindegyike el áll az x qxq transzformációval. Hasonlóan teljesül nem origón átmen forgás tengely esetén is, tehát minden esetben. Most ezt szeretném megmutatni. 7
Legyen q egy általános egységkvaternió, x tetsz leges vektor, amit forgatni szeretnénk. Ekkor a következ függvény adja meg a forgatást: x qx + e)q e ahol e egy vektor, melynek segítségével a forgástengelyt és a forgatni kívánt vektort az origóba toljuk, majd a forgatás után visszatoljuk. Az így kapott m velet szintén forgatás: qx + e)q e = qxq + qeq e) mivel az qeq e vektor nem függ az x-t l, így helyettesíthetjük egy v vektorral. Így a forgatás általános alakja -dimenziós forgatások esetén: x qxq + v Ezek után megnézhetjük, hogy két általános helyzet ) egyenes esetén, az egyik egyenes körüli forgatás, majd a másik egyenes körüli forgatás együtt forgatást ad-e. Legyen q és q tengely körüli forgatás, v, v vektorok, ekkor a két forgatás egymásutánja: q q xq + v )q + v = q q )xq q ) + q v q + v mivel q v q + v független x-t l így helyettesíthetjük egy w vektorral. Vagyis ekkor is forgatást kapunk, melynek alakja: q q )xq q ) + w Ennek bizonyítása kvaterniókkal egyszer, geometriai úton viszont nehezebben mutatható meg. Nézzünk meg példákat kvaterniókkal való forgatásokra: Els példa Forgassuk el a koordináta-rendszert z-tengely körül 60 -kal. Határozzuk meg a P,, 4) pont koordinátáit az új rendszerben. Megoldás mátrixszal cos 60 ) = cos 60 = sin 60 ) = sin 60 = 0 0 = + 4 0 0 P = + 4 +, +, 4 ) 8
Megoldás kvaterniókkal + k ) q = cos 0 k sin 0 = + x = + j 4k qxq = + )i k + j 4k) + + i + j k + 4 j + 9 4 j + Második példa k k ) i + j 4k) = i + j k j + i ) ) k = k + + i 4 i k + ) = + ) i 4 + j 4k ) P = +, +, 4 Határozzuk meg azt a forgatást, amely az alábbi két forgatás egymás utáni elvégzésével keletkezik: Megoldása R : x-tengely körüli 90 -os forgatás R : z-tengely körüli 45 -os forgatás R : q = cos 45 + î sin 45 R : q = cos.5 + ˆk sin.5 R R : q q = cos.5 + ˆk sin.5 )cos 45 + î sin 45 ) = cos 45 cos.5 + î cos.5 + ĵ sin.5 + ˆk sin.5 Mivel q és q kvaterniók egység hosszúak és azt is tudjuk, hogy q q = cos φ + ˆn sin φ ezek alapján a φ szög meghatározható a szögfüggvények segítségével: + cos φ = cos.5 cos 45 = ) sin φ = + sin.5 tan φ = + ) ) = = 7 4 φ = 49.0 Innen következik, hogy a forgatás szöge φ = 98.4, a forgatás tengelye pedig,, ) 9
6... Origón átmen tetsz leges tengely körüli forgatás ) A c = c, c, c egységvektor által meghatározott tengely körüli γ szög forgatás mátrixát az alábbi módon adhatjuk meg: p + qc qc c + rc qc c + rc Qc, γ) = qc c + rc p + qc qc c rc qc c rc qc c + rc p + qc ahol p = cos γ, q = p, r = sin γ. Jelölje T rq) a f átlóban lév elemek összegét, ekkor T rq) = + cos γ. A mátrix és a forgásszög ismeretében a c forgástengely meghatározható az alábbi módon, ha 0 < γ < π c Q Q c = Q sin γ Q c Q Q Harmadik példa Legyen A =! Bizonyítsuk be, hogy A = αf, ahol α valós szám, F pedig egy valódi forgatást reprezentáló mátrix! Keressük meg, hogy mely tengely körül, és mekkora szöggel forgat az F mátrix! Megoldás Válasszuk α-t -nak, ekkor a kapott F mátrix: Innen a forgásszög meghatározható: = + cos γ vagyis cos γ = tehát a forgatás szöge: γ = 60. Az F mátrix és a forgásszög ismeretében meghatározható a forgástengely: c c = = c +. 0
) Tehát az F mátrix 60 -os szöggel forgat a,, tengely körül. Negyedik példa Legyen F az a =,, ) vektorral megadott tengely körüli 0 fokos, F pedig a b =,, ) vektorral megadott tengely körüli 60 fokos forgatás operátora! Írjuk fel a forgásmátrixokat! Számítsuk, ki, hogy az F = F F, illetve F 4 = F F forgásmátrixok mely tengelyek körüli forgatnak, valamint számoljuk ki az ered forgásszögek cosinusát! Megoldás F F : 0 0 F = 0 0 0 0 F = 0 0 F = 0 0 0 0 ezek alapján megkapjuk, hogy: cos γ = 5 6 A forgástengely pedig: F F : F 4 = c c = 6 c ezek alapján megkapjuk, hogy: cos γ = 5 6 = T rf ) =, amib l következik, hogy = 0 0 0 0 = 0 0 T rf ) =, amib l következik, hogy
A forgástengely pedig: c Megoldás kvaterniókkal c = 6 c â = = ),, cos 60 = és sin 60 = q = cos 60 + â sin 60 = + i + ) j + k ˆb =,, cos 0 = és sin 0 = q = cos 0 + ˆb sin 0 = + i + j ) k ) q = q q = + i + j + k + i + j k = 4 + 4 4 i + 4 j 4 k + i 4 4 + 4 k + 4 j + j 4 4 k 4 i + k + 4 4 j 4 i + 4 = + i + j + k. Ebb l következik, hogy cos φ = tehát φ 7. vagyis a forgásszög: θ 46.44 ami azt jelenti, hogy cos θ = 5 6 ) sin φ-t felhasználva a forgástengely:,, ) ) q 4 = q q = + i + j k + i + j + k = 4 + 4 i + j + k + 4 4 4 i 4 + 4 k 4 j + 4 j 4 k 4 i 4 k 4 j + 4 i + 4 = + i + j + k Ebb l következik, hogy 4 4 + cos φ = tehát φ 7. vagyis a forgásszög: θ 46.44 ami azt jelenti, hogy cos θ = 5 6 ) sin φ-t felhasználva a forgástengely:,,
6.. Fizikában 6... Merev testek forgatása Merev testnek azt a testet nevezzük, amelyre tetsz leges kölcsönhatás során fennáll, hogy közben bármely két pontjának távolsága állandó. A klasszikus mechanikában, el forduló merev testek gyakran forognak egy adott tengely körül. Ilyen például a Föld tengelye körüli forgása, fogaskerekek vagy óriáskerék forgása. Ezek leírására alkalmasak az Euler-szögek. Nézzünk meg egy feladat megoldását Euler-szögekkel és kvaternió forgatással is. Euler szögek Két, közös origójú, derékszög koordináta-rendszer egymáshoz viszonyított helyzetét egyértelm en jellemezhetjük az Euler-féle szögekkel. A rögzített koordináta-rendszert kis bet kkel x, y, z), az elforgatott koordinátarendszert pedig nagy bet kkel X, Y, Z) jelöljük. Az xy és XY síkok metszésvonala a csomóvonal, jelölése: N. Az Euler-szögek: α az x tengely és az N csomóvonal közötti szög β a z tengely és a Z tengely közötti szög γ az X tengely és az N csomóvonal közötti szög A forgatást megvalósító mátrix: cos α sin α 0 0 0 cos γ sin γ 0 R = sin α cos α 0 0 cos β sin β sin γ cos γ 0 0 0 0 sin β cos β 0 0
ahol a mátrixok rendre z, N és Z tengelyek körüli forgatásokat jelölik. Ötödik példa Legyen R x π) : R R π az x tengely körüli szöggel történ forgatás, R y π : R R az y tengely körüli π szöggel való forgatás. Igazoljuk, hogy R x π) R y π) R y π) R x π)! Megoldás 0 0 R x π) = 0 0 0 0 0 0 R y π) = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 R x π)r y π) = 0 0 0 0 = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 R y π)r x π) = 0 0 0 0 = 0 0 0 0 0 0 0 0 Hatodik példa Az n = 0,, ) tengely körül 60 -os szöggel forgassuk el az x = 4 pontban lév n testet. Határozzuk meg, hova kerül. Megoldás 4 8 8 8 5 8 ),, 0 0 0 cos 60 sin 60 0 0 0 0 cos 0 sin 0 sin 60 cos 60 0 0 cos 0 sin 0 = 0 sin 0 cos 0 0 0 0 sin 0 cos 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 4 = 5 4 8 8 0 0 0 5 4 8 8 4 4 5 4 = 0 4 8 8 4
Kvaterniókkal q = [cos φ, n sin φ ] = + j + k 6 6 4 4 4 q = j k 4 4 4 x = i + j qxq = + j + )i k + j) j ) k 4 4 4 4 4 4 + j + ) k i + j) = i k + j + j i 4 4 4 4 4 4 4 + i ) 4 j k j ) k = + j + k + i k + 4 4 4 4 4 4 8 6 6 8 6 j + 9j + 9 i k i = 4 i + j k = 4 6 8 6 6 8 6 6 6 6 6 8 8 6... Pauli mátrixok A kvantummechanikának fontos mátrixai a Pauli mátrixok, amelyek tulajdonképpen kvaterniókat reprezentálják, a dolgozatomban mutatott 4 4-es mátrixok helyett -es komplex elem mátrixokkal. Minden kvaternióhoz hozzárendelhet egy Aq) -es komplex mátrix: ) a + bi c + di Aq) = c + di a bi mivel ) a + bi c + di = a c + di a bi ) i 0 Ai) = 0 i ) 0 Aj) = 0 ) 0 i Ak) = ) i 0 ) i 0 + b + c 0 i 0 0 ) 0 + d 0 ) 0 i i 0 Tehát a kvaterniókat lehetséges az U) mátrixokkal ábrázolni, ahol az egységek: I, σ x, σ y, σ z, a σ i mátrixok a Pauli mátrixok. A Pauli-mátrixok a kvantummechanika fontos mátrixai, ugyanis a skalárszorosai a spinoperátorok. A kvaternió összefüggéseikhez hasonló összefüggések itt is megadhatók: ) 0 σx = σy = σz = = I 0 ) 0 iσ x σ y σ z = = I 0 5
Nem kommutatívak: Pauli-mátrixok determinánsa: σ x σ y σ y σ x = iσ z σ y σ z σ z σ y = iσ x σ z σ x σ x σ z = iσ y detσ i = Pauli-mátrixokkal forgatni is lehet, az alábbi módon: e i α σ n = cos α i sin α σ n ahol n a forgástengely irányvektora R -ban, α a forgásszög ami 0 és 4π közötti értékeket vehet fel. Továbbá használják még a forgatásokat például térbeli mozgó objektumok helyzetének leírására mint például rhajó, repül gép, a robotok irányításában, kameramozgásoknál vagy a geodéziában illetve a kartográában is. Ezeknél gyakran el fordul, hogy a forgatás leírására kvaterniókat használnak a számolások egyszer sítésére. 6
Hivatkozások [] J.P.Ward:Quaternions and Cayley numbers [] KöMal: 986 november [] http://hu.wikipedia.org [4] http://en.wikipedia.org [5] Tasnádi P.-Skrapits L.-Bérces Gy.: Mechanika I. tankönyv) [6] Pogáts F.: Vektorgeometria [7] Görbe T. F.: Lineáris Algebra Feladatgy jtemény [8] Dr. Szörényi M.: Szemléletes lineáris algebra jegyzet) [9] Alkalmazott vektorszámítás I. vizsgazh feladatok) 7