1 Transzformáiók mátrixa Lineáris transzformáiók Definíió T test Az A : T n T n függvény lineáris transzformáió, ha tetszőleges v,w T n vektorra és λ skalárra teljesül, hogy A(v + w) A(v) + A(w) és A(λv) λa(v) Vagyis A összegtartó és skalárszoros-tartó Főpélda (HF ellenőrizni) Minden olyan egybevágósági (sőt hasonlósági) transzformáió a síkon és a térben, amely az origót fixálja (vagyis A(0) 0) forgatás az origó körül a síkon; tükrözés az origóra (azaz 180 -os forgatás); tükrözés egy origón átmenő egyenesre (síkra); forgatás a térben egy origón átmenő egyenes körül; nyújtás az origóból Tükrözés egyenesre Példa Legyen R az y x egyenesre való tükrözés y x ([ 0 R [ 0 2 [ 2 ([ 0 R ([ 2 R 2)
A tükrözés képlete ([ x Legyen R az y x egyenesre való tükrözés R? ([ [ ( 0 0 Láttuk: R és R ([ ([ [ x x 0 R R + R Ezért ([ x + R ([ 0, hiszen R összegtartó A skalárszoros-tartás miatt ez ( [ ( [ ([ ( 0 1 0 R x + R y x R + y R [ [ [ [ [ 0 1 0 y y x + y + x x Vektor képe általános transzformáiónál Legyen A : T 2 T 2 lineáris transzformáió ([ [ ([ [ ( a 0 x Ha A és A, akkor A? d ([ ([ [ ([ ([ x x 0 x 0 A A + A + A, hiszen A összegtartó A skalárszoros-tartás miatt ez ( [ ( [ ([ ( 0 1 0 A x + A y x A + y A [ [ [ [ [ a ax y ax + y x + y + d bx dy bx + dy Tehát minden vektor képét ki tudjuk számolni, ha ismerjük a, b,, d értékét Lineáris transzformáió mátrixa Láttuk Legyen A : T 2 T 2 lineáris transzformáió Ha ([ [ ([ [ ( a 0 x A és A, akkor A d [ ax + y bx + dy Definíió [ [ [ a 1 0 A fenti A mátrixa [A (Az oszlopok és képei) 2
Definíió [ [ a x y [ ax + y (mátrix és vektor szorzata) bx + dy Következmény: Vektor képének kiszámítása: A(v) [ Av A forgatás képlete Példa [ os α sin α Az origó körüli α szögű forgatás mátrixa [F sin α os α A megfelelő derékszögű háromszögek lerajzolásával: HF Komplex számokkal: ez a forgatás szorzás os α + i sin α-val [ [ [ x 1 0 Az x + iy számnak az felel meg: 1 és i y [ os α A [F első oszlopa: 1(os α + i sin α) sinα [ sin α A második: i(os α + i sin α) sinα + i os α os α 2 Transzformáiók kompozíiója Példa kompozíióra Melyik transzformáiót kapjuk, ha először tükrözünk az y x egyenesre, majd forgatunk az origó körül 90 -kal? Ez a két transzformáió kompozíiója (egymás utánja) [ ([ [ x x y R y x [ os 90 sin 90 Mivel [F [ [ 0 1 y sin 90 os 90, ezért képe 1 0 x ([ [ [ [ [ y 0 1 y 0y + ( 1)x x F x) 1 x 1y + 0x y Az eredmény az y-tengelyre való tükrözés (Házi Feladat) A kompozíió mátrixa Definíió Ha A, B : T 2 T 2 transzformáiók, akkor kompozíiójuk (A B)(v) A ( B(v) ) tetszőleges v T n esetén Összetett függvény: először B-t, utána A-t alkalmazzuk [ [ a a [A, [B [ aa b d [A B + b a + d ba + db b + dd 3
Definíió A fenti sor végén szereplő mátrixot a sorban szereplő első két mátrix szorzatának nevezzük A sorrend számít! Tehát [A B [A[B: kompozíió mátrixa a mátrixok szorzata A kompozíió mátrixának kiszámítása [ [ a a [A, [B [ aa b d [A B + b a + d ba + db b + dd Bizonyítás ( [ ([ ) [ [ a a a aa A B A b b + b ba + db Ezért A B első oszlopa tényleg az, ami a tételben szerepel ( [ ([ ) [ [ [ 0 a a A B A d d + d b + dd Ezért A B második oszlopa is megfelelő [ [ [ 0 1 0 1 1 0 Példa: [F R [F[R 1 0 1 0 0 1 3 Transzformáiók összege és skalárszorosa Pontonkénti műveletek Emlékeztető Polinomfüggvények összege: ( f + g) (b) f (b) + g (b) Analízisben függvények összege: sin + os az a függvény, amely tetszőleges x helyen a sin(x) + os(x) értéket veszi föl Ez a pontonkénti összeadás Definíió Legyenek A, B : T n T n lineáris transzformáiók és λ T Az A és B összege az az A + B : T n T n, melyre (A + B)(v) A(v) + B(v) tetszőleges v T n esetén Az A λ-szorosa az a λa : T n T n, melyre (λa)(v) λ ( A(v) ) tetszőleges v T n esetén Az összeg és skalárszoros lineáris Legyenek A, B : T n T n lineáris transzformáiók és λ T Ekkor A + B és λa is lineáris transzformáió Azaz: (1) A + B összegtartó (2) A + B skalárszoros-tartó 4
(3) λa összegtartó (4) λa skalárszoros-tartó Megjegyzés: Hasonlóan A B is lineáris Mintabizonyítás (3)-ra (λa)(u + v) λ ( A(u + v) ) λ ( A(u) + A(v) ) λ ( A(u) ) + λ ( A(v) ) (λa)(u) + (λa)(v) A λa definíiója miatt Az A összegtartása miatt A skalárral szorzás tulajdonsága miatt A λa definíiója miatt Az összeg és skalárszoros mátrixa Legyenek [ A, B : T 2 [ T 2 lineáris transzformáiók és λ T Tegyük föl, hogy a a [A és [B b d Ekkor [ a + a + [A + B [ λa λ b + b d + d és [λa Definíió [ [ a a + [ a + a + b d b + b d + d és λ [ a [ λa λ Tehát [ A + B [ A + [B: összeg mátrixa a mátrixok összege, és [λa λ[a: λ-szoros mátrixa a mátrix λ-szorosa Az összeg és skalárszoros mátrixa: bizonyítás Legyenek [ A, B : T 2 [ T 2 lineáris transzformáiók és λ T Tegyük föl, hogy a a [A és [B b d Ekkor [ a + a + [A + B [ λa λ b + b d + d és [λa Bizonyítás ( (A + B) ( (λa) λ ( A ( A ( + B [ a λ [ λa λb [ [ [ a a a + a + b b + b A második oszlop mindkét esetben hasonlóan számolható ki 5