IV.A. Relációk Megoldások 1. Az X X halmaz összes részhalma adja a megoldást, ezek a N YHWNH]N 0HOHP&HN{ 1HOHP&HN{ ( a ; },{ },{ },{ 2HOHP&ek: {( a ;, },{( a ;, },{( a ;, },{( a ;, }, {( a ;, }, {( b ; 3HOHP&HN {( a ;,, },{( a ;,, } {( a ;, },{( a ;, 4HOHP&HN {( a ;,, }. Összesen 16 reláció. 2.1. R = {( 1;1 ), ( 2;2), ( 3;3) 2.2. R = {( 2;1 ), ( 3;1 ), ( 4;1 ), ( 3;2), ( 4;2), ( 4;3) 2.3. R = {( 1;7 ), ( 2;6),( 3;5),( 4;4),( 5;3),( 6;2),( 7;1) 2.4. R = {( 0;0), ( 1;1 ), ( 2;2), ( 3;3 ),... 2.5. = {( 0;0), ( 1;1 ), ( 1; 1 ), ( 2;2), ( 2; 2), ( 3;3 ), ( 3; 3 ),...} R. 3. Ábrázoljuk a rokoni kapcsolatokat gráf VHJtWVpJpYHO 9H]HVVHQ Q\tO D J\HUPHNWO az apjikr]pvv]djjdwrwwq\todj\huphnwo az anyjához. Az ábráról jól leolvasható a megoldás: d nagyapja a-nak; c nagyanyja a-nak; b és f testvérek; f nagybácsija vagy nagynénje a-nak. (OV] ULGp]zük fel a felsorolt tulajdonságok definícióit: Legyen R egy A halmazon értelmezett reláció ( R A A ). Ekkor azt mondjuk, hogy R reflexív, ha A minden x elemére ara teljesül; R szimmetrikus, ha A minden x és y elemére xry yrx teljesül; R antiszimmetrikus, ha A minden x és y elemére 67
teljesül; ( xry yrx) x = y R tranzitív, ha A minden x, y és z elemére ( xry yrz) xrz teljesül. Egy relációt ekvivalenciarelációnak nevezünk, ha reflexív, szimmetrikus és tranzitív. Ha egy reláció reflexív, antiszimmetrikus és tranzitív, akkor rendezési relációnak nevezzük. 4.1. Szimmetrikus. Nem tranzitív, mert 1R2 és 2R1, de nem 1R1. 4.2. Reflexív, antiszimmetrikus, tranzitív. 4.3. Szimmetrikus, tranzitív. 68
4.4. Reflexív, szimmetrikus. Nem tranzitív, mert 1R2 és 2R3, de nem 1R3. 4.5. Reflexív, antiszimmetrikus. Nem tranzitív, mert 1R2 és 2R3, de nem 1R3. 4.6. Antiszimmetrikus, tranzitív. 4.7. Reflexív, szimmetrikus, tranzitív. ÈOWDOiQRVDQDN YHWNH]NHWIRJDOPD]KDWMXNPHJ 69
Egy reláció akkor és csakis akkor reflexív, ha gráfjának minden pontjára illeszkedik hurok, illetve a fenti rácsábrázolásában a PHOOpNiWOyDEDODOVyVDUNRWDMREEI OVVDURNNDO VV]HN WiWOy csupa gombócból áll. Egy reláció akkor és csakis akkor szimmetrikus, ha gráfján minden nemhurok él oda-vissza vezet, illetve a fenti rácsábrázolásán a gombócok elhelyezkedése tengelyesen szimmetrikus a mellékátlóra. Egy reláció akkor és csakis akkor antiszimmetrikus, ha gráfján nem léteznek oda-ylvv]d YH]HW pohn LOOHWYH D IHQWL UiFViEUi- ]ROiVEDQEiUPHO\NpWN O QE ]JRPEyFQHPWHQJHO\HVHQV]LPmetrikus a mellékátlóra nézve. A tranzitív tulajdonság felismerésére nem lehet a fentihez hasonló megfogalmazást tenni. Érdemes ellenpélda keresésével próbálkozni. $PHJIHOHOWXODMGRQViJRNDWWiEOi]DWEDQPXWDWMXNEH 5.1. 5.2. 5.3. 5.4. 5.5. 5.6. 5.7. 5.8. 5.9. 5.10. 5.11. reflexív + + + + + + szimmet- + + + + + + rikus antiszimmetrikus + + + + + tranzitív + + + + + + + Ekvivalenciarelációk: 5.3., 5.8.,5.9.,5.10. Rendezési relációk: 5.1., 5.4. Az 5.8. feladatban a párhuzamosságot úgy értelmeztük, hogy egy egyenes önmagával is párhuzamos. 6.1. Igen, mert mindegyik természetes szám vagy páros, vagy páratlan. 6.2. Nem, mert például a 6 mindkét osztályba beletartozik. Olyan számok is vannak, amelyek nem tartoznak egyik halmazba sem (5, 7, ). 6.3. Igen, mert minden háromszög a felsorolt háromfajta közül valamelyikféle, de csak egyféle. 6.4. Nem, mert noha mindegyik háromszög beletartozik a felsorolt NDWHJyULiNYDODPHO\LNpEHYDQRO\DQKiURPV] JDPHO\NHWWEHLV EHOHWDUWR]LNXJ\DQLV PLQGHQ HJ\HQO ROGDO~ KiURPV] J HJ\HQO szárú is egyben. 70
7.1. Reflexív. Más tulajdonsága nincs. R 1 = a; a;, c; a, b; b, c; b, b; c, c; c reflexív. 7.2. {( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )}. 1 R tulajdonságai: 8. A táblázatot így kell helyesen kitölteni: R reláció reflexív szimmetrikus antiszimmetrikus tranzitív 1 R + + + + reláció $UHIOH[tYWXODMGRQViJÄPHJU]pVH YLV]RQ\ODJHJ\V]HU&HQDGyGLN Mint azt a 4. feladat megoldásának végén kifejtettük, egy A halmazon értelmezett reláció reflexivitását az mutatja, hogy az A halmaz minden elemére az alábbi ábrán látható hurok illeszkedik. Az inverz relációban a nyilak megfordulnak, vagyis továbbra is minden elemre hurok fog illeszkedni, vagyis a reflexív tulajdonság megmarad. Hasonlóan láthatjuk be a szimmetrikusságot és az antiszimmetrikusságot is. Szemléletesen fogalmazva: ha két elem nyíllal odavissza össze van kötve, akkor a nyilak megfordítása után is odavissza össze lesznek kötve (szimmetri, illetve ha nem voltak oda-vissza összekötve, akkor a nyilak irányának megváltoztatásával továbbra sem lesznek oda-vissza összekötve. A tranzitív tulajdonság esetében egy kicsit bonyolultabb a helyzet, de érdemes végiggondolni. Tegyük föl, hogy találunk három olyan a, b, c elemet, amelyekre ar 1 b, br 1 c ar 1 c teljesül, vagyis, ( ). Ez éppen azt jelenti, hogy létezik három olyan elem, c, b, a, amelyekre nem teljesül a tranzitivitás definíciója, tehát R sem tranzitív. Így ha egy reláció tranzitív, akkor az inverze is az, hiszen ha nem az lenne, azaz lenne három olyan elem, amelyre nem teljesül a tranzitivitás tulajdonsága, akkor a fentiek alapján az eredeti relációban is lenne három ilyen elem, és ezért az sem lehetne tranzitív. 1 R nem tranzitív. Ekkor bra, crb és ( cr 71