Multifokális ellipszisek

Multifokális ellipszisek Vincze Csaba, Debreceni Egyetem 2014 November 25, 2014

Ellipszisek - klasszikus értelemben: F 1 F 2 S, d(f 1, F 2 ) < 2a. d(p, F 1 ) + d(p, F 2 ) = 2a d(p, F 1) + d(p, F 2 ) 2 = a. Általánosított kúpszelet: egy rögzített halmaztól (fókuszsereg) mért átlagos távolság állandó. Multifokális ellipszis/polyellipszis: d(p, F 1 ) +... + d(p, F m ) = a. m Optimalizálás I - Fermat-probléma (1643): datis tribus punctis, quartum reperire, a quo si ducantur tres rectae ad data puncta, summa trium harum rectarum sit minima quantitas. 1

Keressük azt a P pontot az ABC háromszög síkjában, melyre a csúcsoktól mért (euklideszi) távolságok összege minimális. Tegyük fel, hogy P 0 (x 0, y 0 ) F i (x i, y i ) (i = 1,..., m) minimalizálja az függvényt. f(x, y) = m i=1 (x x i ) 2 + (y y i ) 2 2

Ha ε > 0 és P (x 0 + ε, y 0 ), akkor 0 f(p ) f(p 0 ) =...+ (x 0 + ε x i ) 2 + (y 0 y i ) 2 (x 0 x i ) 2 + (y 0 y i ) 2 +... =...+ (x 0 + ε x i ) 2 (x 0 x i ) 2 (x 0 + ε x i ) 2 + (y 0 y i ) 2 + =...+ (x 0 x i ) 2 + (y 0 y i ) 2+... 2ε(x 0 x i ) + ε 2 (x 0 + ε x i ) 2 + (y 0 y i ) 2 + (x +... 0 x i ) 2 + (y 0 y i ) 2 3

Osztva ε - nal és az ε 0 + határátmenetet véve 0... + x 0 x i (x 0 x i ) 2 + (y 0 y i ) 2 +... Ha ε < 0, akkor az ellenkező irányú relációt kapjuk. Ezért 0 =... + x 0 x i (x 0 x i ) 2 + (y 0 y i ) 2 +... Megismételve az eljárást a második változó szerint 0 =... + y 0 y i (x 0 x i ) 2 + (y 0 y i ) 2 +... 4

Az következik, hogy F 1 P 0 F 1 P 0 +... + F m P 0 F m P 0 minimalizálja a cél- Finomabb anaĺızissel adódik, hogy ha F 1 függvényt, akkor F i F 1 F i F 1 F i F 1 (az F 1 fókusz multiplicitása). = 0. (1) F i =F 1 1 = k 1 (2) A célfüggvény reguláris és fokális minimumhelyeit jellemző (1) és (2) összefüggések meghatározása Vázsonyi Endre érdeme. 5

A Kemény Zsigmond Reálgimnáziumhoz fűzött emlékeim nem nagyon kellemesek De volt diákéveimnek egy fényes pontja: a Középiskolai Mathematikai és Fizikai Lapok. Mindig türelmetlenül vártam, hogyan szerepeltem. Ez a lap tett engem matematikussá. A lap feladatain keresztül készültem fel az Eötvös versenyre. 1934-ben első Eötvös díjat nyertem. Miután Budapesten az egyetemet elvégeztem és ledoktoráltam, az élet nagyon nehézzé vált számomra. Először Párizsba kerültem, majd az Egyesült Államokban mérnök lettem. Majd később management scientist. 6

Egy jellemzőjét megőriztem a matematikának: a problémák megfogalmazásánál és megoldásánál a matematika nyelvét használom, ez az előnyöm másokkal szemben. Az én tanácsom azoknak, akik matematikát tanulnak: mégha nem is lesznek matematikusok, úgy tanulják a matematikát, mint egy problémamegoldó nyelvet. A minimumhely keresésére általában nincs egyszerű módszer - a probléma nyílván a nem fokális minimumhelyek keresése, hiszen a (2) egyenlet a fókuszokon végighaladva közvetlenül ellenőrizhető. Az (1) egyenlet bal oldalán álló vektorösszeg azonban lehetővé tesz egy algoritmikus megközeĺıtést. 7

Az ún. gradiensmódszer sikere a célfüggvény szép tulajdonságain múlik (konvexitás). 8

Optimalizálás II A minimum értékére viszont becslések nyerhetők a minimumhely explicit ismerete nélkül is. Tétel (Vincze-Varga, 2008) ahol 1 2 c 1 +... + c m m 1 f(p ) = m i=1 c 0 c 1 +... + c m, m d(p, F i ), c i := f(p i ) és c 0 a célfüggvény értéke a minimumhelyen. A felső becslés a függvény konvexitásából következik, figyelembe véve azt a tényt, hogy a minimumhelynek a fókuszok konvex burkán (sokszöglemez) kell elhelyezkednie. 9

Az alsó becsléshez egyfajta leszálló érveléssel jutunk: tegyük fel, hogy c i 0 annak a függvénynek a minimuma, mely az F i fókusz törlése után méri a távolságösszeget. Ha P 0 az eredeti célfüggvény minimumhelye, akkor c 0 = f(p 0 ) = d(p 0, F i ) + j i d(p 0, F j ) d(p 0, F i ) + c i 0, amit az i indexre összegezve: mc 0 c 0 + m j=1 c j 0 c 0 c1 0 +... + cm 0 m 1 c12 0 +... + cm 1m 0 (m 2)(m 1)... Az eljárást addig folytatjuk, míg valamennyi tagban elérjük a két fókuszra vonatkozó minimumérték szerepeltetését: 10

például c i 1,...,i m 2 0 = d(f m 1, F m ), ahol az i 1,..., i m 2 indexek ismétlés nélkül veszik fel az 1, 2,..., m 2 értékeket (a törölt fókuszok indexeit). Mivel ez (m 2)! - szor bukkan fel a számlálóban szereplő összegben, ezért c 0 (m 2)! d(f 1, F 2 ) +... + d(f m 1, F m ) (m 1)! = d(f 1, F 2 ) +... + d(f m 1, F m ) m 1 = 12d(F 1, F 2 ) +... + 2d(F m 1, F m ) 2 m 1 = 1 2 c 1 +... + c m. m 1 11

Ez tehát az utolsó fázis a triviális c 0 0 előtt és magas fókuszszám esetén világos, hogy nem a legjobb. Cserébe viszont egyszerűen kiszámítható értékekkel dolgozik. Tétel (Vincze-Varga, 2008) c 0 = c 1 +... + c m m akkor és csak akkor, ha a szintgörbék körök, vagy klasszikus ellipszisek (legfeljebb két különböző fókusz van egyenlő multiplicitással). Alsó becslés, mint pontos érték: F 1 ( 1, 0), F 2 (0, 0) és F 3 (1, 0). Ekkor c 0 = f(0, 0) = 2, c 1 = 3, c 2 = 2, c 3 = 3 és m = 3, azaz 1c 1 +... + c m = 2 = c 0. 2 m 1 12

13

14

Algebrai tulajdonságok: Legyen α i = (i = 1,..., m). Gyöktelenítendő az (x x i ) 2 + (y y i ) 2 α 1 +... + α m = a egyenlet. Az m = 1, illetve 2 esetek triviálisak, ezért próbálkozzunk az m = 3 esetben direkt számolással: α 1 + α 2 + α 3 = a, α 1 α 2 + α 1 α 3 + α 2 α 3 = a2 α 2 1 α2 2 α2 3 2 az első négyzetre-emelés után. A következő lépésben: 2α 1 α 2 α 3 (α 1 + α 2 + α 3 ) = ( a 2 α 2 1 α2 2 α2 3 2 α 2 1 α2 2 α2 1 α2 3 α2 2 α2 3, ) 2 15

ahol α 1 + α 2 + α 3 = a írható. Végül: 0 = ( a 2 α 2 1 α2 2 α2 3 2 ) 2 α 2 1 α2 2 α2 1 α2 3 α2 2 α2 3 2 ami azt jelenti, hogy az 4a 2 α 2 1 α2 2 α2 3, α 1 + α 2 + α 3 = a egyenletű poliellipszis pontjain az egyenlet jobb oldalán álló kétváltozós polinom eltűnik, azaz a polyellipszis egy algebrai görbe részeként előálĺıtható (legalábbis m = 3 esetén). Magasabb fókusz-szám mellett a direkt számolás komoly nehézségekkel jár, mégis felfigyelhetünk az ún. elemi szimmetrikus polinomok x + y + z, xy + xz + yz, xyz felbukkanására, ami a továbbiakat motiválja. 16

J. Nie, P. Parrilo és B. Sturmfels 2008-ban igazolták az iménti algebrai tulajdonságot tetszőleges fókusz-szám mellett, az ún. Galois-elmélet segítségével. Itt egy eltérő, elemi bizonyítást adunk erre a tényre: legyen p(a, α 1,..., α m ) = ε 1 =±1,...,ε m =±1 (a ε 1 α 1... ε m α m ). Az ε 1 =... = ε m = 1 választás mellett világos, hogy a p polinom eltűnik az α 1 +... + α m = a egyenletű polyellipszis pontjaiban. A gyöktelenítés most az jelenti, hogy igazoljuk a következő tételt: Tétel (Vincze-Szabó) p(a, α 1,..., α m ) = q(a, α 2 1,..., α2 m ). 17

Teljes indukció: m = 1 Mivel a p(a, α 1 ) = (a α 1 )(a + α 1 ) = a 2 α 2 1 ; p(a, α 1,..., α m, α m+1 ) = p(a α m+1, α 1,..., α m )p(a + α m+1, α 1,..., α m ) = q(a α m+1, α 2 1,..., α2 m )q(a + α m+1, α 2 1,..., α2 m). q(x, α 2 1,..., α2 m)q(y, α 2 1,..., α2 m) szorzat x és y szimmetrikus polinomja, ezért előáll elemi szimmetrikus polinomok polinomjaként a szimmetrikus polinomok alaptétele szerint. 18

Az x + y és xy polinomokba helyettesítve viszont az (a α m+1 ) + (a + α m+1 ) = 2a, (a α m+1 )(a + α m+1 ) = a 2 α 2 m+1 gyökmentes kifejezéseket kapjuk, s ezzel az indukció teljes. A bizonyítás másik lehetséges módja sorfejtésen alapszik: p(a, α 1,..., α m ) = c i0 i 1...i m a i 0α i 1 1... α i m m. Mivel a bal oldal az α 1 változó páros függvénye, ezért a jobb oldalon α 1 -nek csak páros hatványai fordulnak elő stb. 19

Bár a gyöktelenítés sikeres, a módszer hátránya, hogy hamis ívek is bejönnek a különböző szorzótényezők zérushelyei miatt. Az őket kizáró egyszerű polinomiális feltételekről (leginkább e- gyenlőtlenségek jöhetnek szóba) egyelőre nem tudunk. 20

21

Irodalomjegyzék 1. P. Erdős and I. Vincze, On the approximation of closed convex plane curves, Mat. Lapok 9 (1958), 19-36 (in Hungarian, summaries in Russian and German). 2. C. Gross and T.-K. Strempel, On generalizations of conics and on a generalization of the Fermat-Toricelli problem, Amer. Math. Monthly, 105 (1998), no. 8, 732-743. 3. Z. A. Melzak and J. S. Forsyth, Polyconics 1. Polyellipses and optimization, Quart. Appl. Math. 35, Vol. 2 (1977), 239-255. 4. J. Nie, P. Parrilo and B. Sturmfels, Semidefinite representation of the K-ellipse, Algorithms in Algebraic Geometry Vol. 146 (2008), pp. 117-132, arxiv:math/0702005v1. 5. M. Petrovic, B. Banjac and B. Malesevic, The Geometry of Trifocal Curves and their Applications in Architecture, Urban and Spatial planning, arxiv:1312.1640v4. 6. R. Szabó, Multifokális ellipszisek algebrai tulajdonságai, BSC szakdolgozat 2014.

7. Cs. Vincze and A. Varga, On a lower and upper bound for the curvature of ellipses with more than two foci, Expo. Math. 26 (2008), 55-77. 8. E. Weiszfeld (Vázsonyi), Sur le point pour lequel la somme distances de n points donnés est minimum, Tohoku Math. J. Sendai 43, Part II (1937), 355-386.