Poisson-eloszlás Exponenciális és normális eloszlás (házi feladatok)./ Egy televízió készülék meghibásodásainak átlagos száma óra alatt. A meghibásodások száma a vizsgált időtartam hosszától függ. Határozzuk meg annak a valószínűségét, hogy a készülék 2 óra alatt elromlik! 2./ Egy 5 oldalas könyvben 2 sajtóhiba található. Mekkora a valószínűsége annak, hogy véletlenszerűen kiválasztott oldalon a./ nem lesz sajtóhiba, b./ legfeljebb2 sajtóhiba lesz, ha feltételezzük, hogy a sajtóhibák száma Poisson-eloszlású? 3./ Egy édességboltba a délután 2 és 3 óra között érkező vevők száma Poissoneloszlású valószínűségi változó 4 várható értékkel. Mennyi annak a valószínűsége, hogy a délután 2 és 3 óra közötti időintervallumban a./ 5 perc alatt -nél több vevő érkezik, b./ két vevő érkezése között eltelt idő több, mint 3 perc? 4./ Egy konzervgyár valamelyik üveggyártótól literes üvegeket rendel. 2 darab üveg közül átlagosan 5 selejtes. a./ Mekkora annak a valószínűsége, hogy üveget átnézve, abban pontosan selejtes üveget találunk? b./ Mennyi annak a valószínűsége, hogy a selejtes üvegek száma legalább lesz? 5./ Egy elektronikus műszer alkatrészből áll. Egy alkatrész a többitől függetlenül, valószínűséggel romlik el egy év alatt. Mennyi a valószínűsége annak, hogy legalább két alkatrész elromlik egy év alatt? 6./ Egy hagyományos izzólámpa átlagos élettartama 4 hónap. Mi a valószínűsége, hogy beszerelés után 6 hónappal is világítani fog az izzó, ha megfigyelésekből tudjuk, hogy az élettartam exponenciális valószínűségi változó? 7./ Annak a valószínűsége, hogy egy benzinkútnál a tankolásra 6 percnél többet kell várni a tapasztalatok szerint,. Mennyi a valószínűsége, hogy véletlenszerűen a benzinkúthoz érve 3 percen belül sorra kerülünk? 8./ Egy autóbusz egy útkereszteződéshez véletlenszerűen érkezik. A várakozási idő átlagosan 2 másodperc. Tekintsük valószínűségi változónak a várakozási időt. Határozzuk meg annak a valószínűségét, hogy: a./ a várakozási idő legfeljebb 5 másodperccel tér el a várható értéktől; b./ a várakozási idő a szórásnál nagyobb értékkel tér el a várható értéktől! 9./ Egy intézet külföldről könyveket rendel. Az ehhez szükséges devizára várni kell, a tapasztalatok alapján általában ½ évet. A várakozási idő
exponenciális eloszlású. Mennyi a valószínűsége, hogy az intézet egy negyedéven belül megkapja a könyveket?./ A vizsgálatok szerint egy adott útszakaszon a két kátyú közötti távolság, mint valószínűségi változó exponenciális eloszlású, m átlagos távolsággal. Határozzuk meg annak a valószínűségét, hogy véletlenszerűen kijelölt két szomszédos kátyú távolsága 3 m-nél nagyobb lesz!./ Egy automata gépen gyártott tengelyek átmérője 64 mm várható értékű,,24 mm szórású, normális eloszlású valószínűségi változó. Az első osztályú termékeknél.2 mm a tűréshatár, a másodosztályúaknál,3 mm. a./ Mennyi lesz db termék értékesítéséből származó várható bevétel,ha az első osztályú termék eladási ára 2 Ft/db, a másodosztályúaké pedig 5Ft/db? b./ Milyen pontosságot biztosíthatunk,95 valószínűséggel a tengely átmérőjére? 2./ Tengelyek hossza normális eloszlású valószínűségi változó, m várható értékkel,,6 cm szórással. A tapasztalatok alapján a tengelyek 4,78%-a hosszabb, mint 82 cm. Mekkora lehet a tengelyek hosszának várható értéke? 3./ Egy tengely hossza normális eloszlású valószínűségi változó 2 mm várható értékkel és,2 szórással. Mekkora tűrést kell megengedni, hogy a tengelyek 96%-a megfeleljen? 4./ Kovács úr egy vendéglőben kedvenc ételét, rántott szeletet rendel. A tapasztalat szerint ennek a súlya közelítőleg normális eloszlású,, σ = 2 gramm szórással. a./ Milyen súlyúnak várható a rántott szelet, ha 6% annak a valószínűsége, hogy 9 g-nál kisebb súlyút hoznak? b./ 96% valószínűséggel milyen pontosságot biztosíthatunk a rántott szelet súlyára? c./ Mekkora valószínűséggel lesz a súlynak a várható értéktől vett eltérése kisebb, mint 2 g? 5./ Egy fafeldolgozó telepen deszkákat készítenek. Ezek hossza normális eloszlású, m = 4 cm várható értékkel és σ = 3 cm szórással. a./ A deszkák hány százaléka lesz 398 cm-nél hosszabb és 4 cm-nél rövidebb? b./ Mekkora annak a valószínűsége, hogy a deszkák hossza a 4 cmtől legfeljebb 2,5 cm-rel tér el? 6./ Egy löveg tüzel egy 2 méter távoli célpontra. A lőtávolság ingadozása az 2 méter körül normális eloszlású 4 méter szórással. Hatásosnak tekintünk egy lövést, ha a találat a célhoz 5 méternél közelebb esik. A lövések hány százaléka lesz hatásos?
Megoldások = meghibásodás, így ( )./ óra alatt, M ξ = λ =,. A ξ valószínűségi változó az első meghibásodásig eltelt idő, exponenciális eloszlású λ =, paraméterrel. 2 Így ( < 2) = F( 2) = e =, 83 P ξ. 2 = sajtóhiba, így ( ) 4 2./ oldalon, 4 M ξ = λ =,. 5 Az egy oldalon található sajtóhibák száma Poisson-eloszlású, így annak a valószínűsége, hogy egy oldalon nincs sajtóhiba:,4,4 p = P( ξ = ) = e =, 673.! véletlenszerűen választott oldal esetén a ξ valószínűségi változó a sajtóhiba mentes oldalak száma, már binomiális eloszlású, így a./ ( ) P ξ = =,673,3297 =, 5. 2 P ξ k. k k b./ ( 2) =,673,3297 =, 35 k= 4 = vevő, így ( ) 3./ 5 perc alatt M ξ = λ =. 4 a./ A 2 és 3 óra között beérkező vevők száma Poisson-eloszlású, így P ξ = P ξ ( ) ( )= 2 3 4 5 6 7 8 9 e =,47!! 2! 3! 4! 5! 6! 7! 8! 9!! b./ Két érkező vevő között eltelt idő exponenciális eloszlású λ = paraméterrel, így 3 P ξ 3 = P ξ 3 = F 3 = e. ( ) ( ) ( ) ( ) 5 4./ s = =, M ξ = n p = λ =, = 2 Poisson-eloszlással közelítve: a./ P( ξ = ) = e =, 365.! b./ P ( ξ ) = P( ξ < )= p, így ( ) e!! 2! 2 3! 3 4! 4 5! 5 6! 6 7! 7 8! 8 9 =,9998 9!.
5./ ( ξ ) = n p = λ =, = M. P 6./ ( ξ )! ( ξ 2) = ( P( ξ = ) P( ξ = ) ) = e e =,2642. M = 4 λ =. 4 P ( ξ 6) = P( ξ < 6) = F( 6) = e 4 =,223. 7./ P ( ξ 6 ) =,. 8./ M ( ξ ) 6! ( 6) ( 6) ( 6) ( 6 λ 6 ξ = P ξ < = F = e ) = λ,, = P e így 6λ ln,, = e, amiből λ = =,3838. Ezek után 6,3838 3 P ξ < 3 = F 3 = e =,6838 ( ) ( ). = 2 λ = 2 P ξ M ξ < 5 = P 5 ξ = F F 5 ( ) ( ) ( ) ( ) = a./ ( ) 5 e 2 e 2 = =,859. b./ D ( ξ ) = 2 P( ξ < ) P( ξ 4) = P( ξ 4) = F( 4) = 4 = e 2 =,353. 9./ M ( ξ ) =,5 λ = 2 2, P( ξ <,) = F(,) = e =,3935../ M ( ξ ) P = λ = 3 ( ξ 3) = P( ξ 3) = F( 3) = e =,32../ m = 64; σ =, 24 P I. oszt. = P 63,98 ξ 64,2 = F 64,2 F 63, 98 a./ ( ) ( ) ( ) ( ) = 64,2 64 63,98 64 Φ Φ = Φ(,83) Φ(, 83)=,24,24 Φ (,83) ( Φ(,83) ) = 2 Φ(,83) = 2,7967 =,5934.
( II. oszt. ) = P( 63,93 64,3) P( I. oszt. ) = = F ( 64,3) F( 63,97), 5934 = P ξ 64,3 64 63,97 64 Φ, 5934 =,24,24 = Φ(,) Φ(,),5934 = 2 Φ(,), 5934 = = 2,8944,5934 =,954. db termékből: I. oszt.:,5934 = 593,4 593 II. oszt.:,954 = 95,4 95 A bevétel: 593 2 95 5 = 4785 Ft. = P m u ξ m u F m u F m u b./,95 ( ) = ( ) ( ) = m u m m u m Φ Φ =,24,24,24,24.,24 Így,95,24 u Φ =,975 =,96 u =,47.,24,24 2./ σ =, 6 ( ) ( ) ( ) 82 m,478 = P ξ 82 = P ξ 82 = F 82 = Φ 23,6 82 m 82-m Így Φ =,9522 =, 67 m = 8, 998.,6, 6 3./ m = 2 ; σ =, 2,96 = P m u ξ m u = F m u F m u ( ) ( ) ( ) = m u m m u m Φ Φ =,2,2,2,2.,2 Így,96,2 u Φ =,98 = 2,6 u =,42.,2,2
4./ σ = 2 9 m m 9 = < = = Φ 23 2 < m 9 m 9 Így Φ =,84 =,995 m =,94. 2 2 a./,6 P( ξ 9) F( 9) b./,96 = P( m u ξ m u) = F( m u) F( m u) = m u m m u m Φ Φ = 2 2 2 2. 2 Így,96 2 u Φ =,98 = 2,6 u = 24,72. 2 2 c./ P( m 2 ξ m 2) = F( m 2) F( m 2) = m 2 m m 2 m 2 Φ 2 2 2 = 2 Φ,67 = 2,95 =,95 ( ). Φ 2 = 2 5./ m = 4 ; σ = 3 4 4 398 4 a./ P( 398 ξ 4) = F( 4) F( 398) Φ = 3 3 = Φ(,33) Φ(,67) = Φ(,33) ( Φ(, 67) ) = = Φ(,33) Φ(,67) =,6293,7486 =,3779. b./ P( m 2,5 ξ m 2,5) = F( m 2,5) F( m 2, 5) = m 2,5 m m 2,5 m 2,5 Φ 3 3 3 = 2 Φ,83 = 2,7967 =,5934 ( ). Φ 2,5 = 3 6./ m = ; σ = 4 5 5 ( 5 5) = F( 5) F( 5) Φ = 4 4 Φ, Φ(,) = Φ(,) ( Φ(, )) = 2 Φ(,) = 2,8944 =,7888. P ξ = =