A végeselem módszer alapjai Előadás jegyzet Dr. Goda Tibor 2. Alapvető elemtípusok - A 3D-s szerkezeteket vagy szerkezeti elemeket gyakran egyszerűsített formában modellezzük rúd, gerenda, 2D-s elemek, héjelemek stb. felhasználásával - Az elemek leírása a hagyományos szerkezeti felosztást követi, - A megfelelő elem kiválasztását a geometria, a peremfeltételek, a terhelésmodell és az anyagmodell is befolyásolja, - Lineárisan rugalmas elemek rövid áttekintése, kis alakváltozások feltételezése mellett. 2.1. Rúd elem - A hosszúság sokkal nagyobb, mint a keresztirányú méretek, - Axiális (tengelyirányú) húzó és nyomó terhelés felvételére alkalmas, - Az egyes elemek csuklókon keresztül kapcsolódnak egymáshoz így nyomaték továbbítására nem alkalmasak, - A keresztmetszet és az anyagjellemzők nagysága a rúd hossza mentén állandó, - Ez az elem egyenértékű egy 1D-s rugóval (a merevség a hossztengely irányában van értelmezve), - Az elmozdulás az elemen belül lineáris függvény szerint változik, így a feszültség és az alakváltozás az elemen belül állandó, - A terheléseket a csomópontoknál kell működtetni, - A vizsgált szerkezet minden egyes rúdját egy-egy rúd elemmel modellezzük, - A számítás eredményei az elmozdulások és a rúderők.
2.2 Gerenda elem - A hosszúság sokkal nagyobb, mint a keresztirányú méretek, - 3D-s rúdelem esetén minden csomópontnak 6 szabadságfoka van, - Az elem alkalmas az összes alap igénybevétel felvételére: húzás/nyomás, nyírás, hajlítás (hajlító nyomaték) és csavarás (csavaró nyomaték), - Az elmozdulás elemen belüli változását harmadfokú függvény írja le (egzakt megoldást ad, ha nincs megoszló terhelés), - Ha nincs megoszló terhelés, akkor a szerkezet minden egyes rúdja egy-egy gerenda elemmel modellezzük, - Minden olyan helyen, ahol pontszerű terhelés működik vagy a modellezett rúd jellemzői megváltoznak további csomópontot kell felvenni, - input adatok: anyagjellemzők és keresztmetszeti jellemzők, - eredmények: elmozdulások (elfordulásokat is beleértve), rúdirányú és nyíró erők, csavaró nyomatékok és hajlító nyomatékok, - a feszültségek a szuperpozíció tételének felhasználásával számíthatók. 2.3 2D-s elemek - A terhelések ugyanabban a síkban működnek, mint amiben a geometria fekszik, - Sík feszültségi állapot: ha kicsi a vastagság, - Sík alakváltozási állapot: ha a vastagság nagyon nagy, - Bármely csomópont elmozdulása két elmozdulás összetevő segítségével megadható (három alakváltozási és három feszültség komponens), - Az elmozdulás elemen belüli változását a legegyszerűbb esetben lineáris függvénnyel közelítjük (állandó alakváltozás és feszültség), - Elem alak: háromszög és négyszög, - Pontossági problémák, különösen lineáris háromszög elem esetén, - Az elemen működő megoszló terhelést egyenértékű csomóponti koncentrált erők formájában veszi figyelembe a módszer.
2.4. 3D-s elemek - bármilyen geometria és terhelés esetén használható, - a legegyszerűbb elem a négy csomópontos tetraéder elem (négy darab háromszög felülettel rendelkezik); pontossági problémák, finom hálóra van szükség, - a 10 csomópontos (kvadratikus) tetraéder elem sokkal pontosabb eredményt ad, - a 8 csomópontos (hat felülettel rendelkező) hexahedron elemek jobbak, mint a 4 csomópontos tetraéder elemek, - 3D-ben nagyobb modellekkel kell dolgoznunk, több az elem és a csomópont, mint 2D-ben, nagyobb a feladat megoldásához szükséges CPU idő, - Az automatikus hálógenerálás során rendszerint tetraéder elemekkel történik a diszkretizálás, - A VE modell mérete a szimmetria kihasználásával (szimmetria feltételek definiálásával) csökkenthető. 2.5. Tengelyszimmetrikus elemek - 3D-s tengelyszimmetrikus test modellezésére használható, - Tengelyszimmetrikus terhelések és peremfeltételek, - Széleskörű alkalmazás (pl. nyomástartó edények), - Henger koordinátarendszer alkalmazása (r, φ, z), - A megoldás független a φ-koordinátától, - Elmozdulások az r z síkban, - A matematikai háttér közel áll a 2D-s elemeknél alkalmazotthoz (két elmozdulás komponens és négy alakváltozási és feszültség komponens), - A 2D-s elemek között találhatók rendszerint ezek az elemek.
2.6. Lemez elem - A geometria egy adott síkban fekszik, de a terhelés a síkra merőlegesen működik, - A lemez mérete a vastagsághoz viszonyítva nagyon nagy, - 2D-s feszültségállapot, azonban a komponensek lineárisan változnak a vastagság mentén, - Ha a lemez az x-y síkban fekszik, akkor w a középfelület elmozdulását definiálja, - A geometriát a síkban értelmezett geometria és a vastagság definiálja, - A héjelemnél alkalmazott matematikai leírás kerül alkalmazásra a lemezeknél és a héjszerkezeteknél is, - Több különböző matematikai leírás létezik a lemezekre és a héjakra vonatkozóan, - A membránhatás hiányzik a lineáris lemez elméletből, - rendszerint 5 DOF (szabadságfok), a z-tengely körüli forgás hiányzik, 2.7. Héjelem - hasonló a lemez elemhez, de görbült felületek is modellezhetők vele, - a vastagság nagyon kicsi a főméretekhez képest, - a csomópontoknak minimum 3 transzlációs és 2 rotációs szabadságfoka (a felület érintősíkjában) van.
A
Számítási lépések időfüggetlen végeselem analízis esetén 1. lépés: Elem viselkedését leíró mátrixok (elem merevségi mátrix) előállítása. 2. lépés: Elemek összekapcsolása, ami magában foglalja a szerkezet szintű mátrix (szerkezeti merevségi mátrix) elem mátrixokkal történő előállítását 3. lépés: Terhelések megadása. 4. lépés: Peremfeltételek megadása. 5. lépés: Az algebrai egyenleteket tartalmazó egyenletrendszer megoldása. 6. lépés: Gradiensek számítása (alakváltozás, hőmérséklet gradiens, stb).