MATEMATIKA C 8. évflyam 11. mdul TRANSZFORMÁLJUNK! Készítette: Kvács Kárlyné
MATEMATIKA C 8. ÉVFOLYAM 11. TRANSZFORMÁLJUNK! TANÁRI ÚTMUTATÓ 2 A mdul célja Időkeret Ajánltt krsztály Mdulkapcslódási pntk A képességfejlesztés fókuszai Gemetriai transzfrmációk ismeretének mélyítése, alkalmazása 3 x 45 perc 13 14 évesek (8. sztály) Tágabb környezetben: Képzőművészet, népművészet. Szűkebb környezetben: Rajz és vizuális nevelés. Ajánltt megelőző tevékenységek: Egybevágósági transzfrmációk ismerete. Prbléma-reprezentáció Elemző képesség Pntsság Ábrázlás, prezentáció Rész-egész észlelése Figyelem kncentráció Prbléma-érzékenység Gndlkdási sebesség Ismeretek rendszerezése Rugalmas gndlkdás Prblémamegldás Metakgníció 2
MATEMATIKA C 8. ÉVFOLYAM 11. TRANSZFORMÁLJUNK! TANÁRI ÚTMUTATÓ 3 AJÁNLÁS A gemetriai transzfrmációk ismerete, azk értő alkalmazása szemléletfrmáló lehet. Természetesen gndt kell frdítanunk a kép megszerkesztésére is, de ennél talán fntsabb, hgy egy diák előre el tudja képzelni a rajz transzfrmációval kaptt képét. A transzfrmációk egymás utáni alkalmazásával létrehztt közbeni képek elemzése, a transzfrmációk szrzatának egyes tényezőinek felismerése jól használható célunk eléréséhez, különösen akkr, ha ez játéks frmában történik. Jól alkalmazható a különböző parkettázási prblémák elemzése, megldása is. A mdulban szereplő csempék (mexikói és perui minták) az esztétikai érzéket is fejlesztik. Ha a tanulók minden órán csak egybevágósági transzfrmációkat hajtanak végre, nem alakulhat ki teljes képük a gemetriai transzfrmációkról. Ezért már nylcadiks krban jó, ha megismerkednek néhány nem alaktartó transzfrmációval is. A tanulók tapasztalatm szerint kíváncsiak, hgy például egy pnttól eltlás milyen alakzatt hz létre egy egyenesből. TÁMOGATÓ RENDSZER Katna Júlia: Kreatív Díszítőművészeti Mintakönyv (Typtex Kft, 2001) 3
MATEMATIKA C 8. ÉVFOLYAM 11. TRANSZFORMÁLJUNK! TANÁRI ÚTMUTATÓ 4 MODULVÁZLAT Lépések, tevékenységek Kiemelt készségek, képességek Eszközök, mellékletek I. Mst te, azután én 1. Megadtt transzfrmációkból kiválaszttt transzfrmációk egymás utáni végrehajtása hármszögön Prbléma-reprezentáció, elemző képesség, pntsság, ábrázlás, prezentáció, rész-egész észlelése, figyelem kncentráció, ismeretek rendszerezése, rugalmas gndlkdás, prblémamegldás, metakgníció 2. Parkettázás Prbléma-reprezentáció, elemző képesség, pntsság, ábrázlás, prezentáció, rész-egész észlelése, figyelem kncentráció, ismeretek rendszerezése, rugalmas gndlkdás, prblémamegldás, metakgníció Eszközök: négyzethálós duplaíves papír, pauszpapír, körző, vnalzó Tanulói munkafüzet: A feladatlap Melléklet a tanárknak: Különböző lehetőségek ábrái A feladatlap A sík lefedése szabálys ötszöggel és rmbusszal 4
MATEMATIKA C 8. ÉVFOLYAM 11. TRANSZFORMÁLJUNK! TANÁRI ÚTMUTATÓ 5 Lépések, tevékenységek Kiemelt készségek, képességek Eszközök, mellékletek II. Parkettázás 1. Parkettázás szabálys nylc- és tízszöggel. Körlapra rajzlt képek szimmetriája Elemző képesség, pntsság, ábrázlás, prezentáció, rész-egész észlelése, figyelem kncentráció, rugalmas gndlkdás, prblémamegldás Eszközök: pauszpapír, lló, körző Tanulói munkafüzet: A feladatlap (I. fglalkzásról) B feladatlap A sík lefedése nylcszöggel és négyzettel A sík lefedése tízszöggel és nylcszöggel C feladatlap D feladatlap Melléklet a tanárknak: Megldás az A feladatlapn szereplő csempék szimmetriáinak megállapításáhz B feladatlap A sík lefedése nylcszöggel és négyzettel A sík lefedése tízszöggel és nylcszöggel C feladatlap D feladatlap 5
MATEMATIKA C 8. ÉVFOLYAM 11. TRANSZFORMÁLJUNK! TANÁRI ÚTMUTATÓ 6 Lépések, tevékenységek Kiemelt készségek, képességek Eszközök, mellékletek III. Ez egyenes, ez meg görbe 1. Pnttól eltlás adtt távlsággal Prbléma-reprezentáció, pntsság, ábrázlás, prezentáció, figyelem kncentráció, prblémaérzékenység, gndlkdási sebesség, ismeretek rendszerezése, rugalmas gndlkdás, prblémamegldás 2. Körre vetítés és körre tükrözés Prbléma-reprezentáció, pntsság, ábrázlás, prezentáció, figyelem kncentráció, prblémaérzékenység, gndlkdási sebesség, ismeretek rendszerezése, rugalmas gndlkdás, prblémamegldás Eszközök: körző, vnalzó, négyzethálós papír Eszközök: körző, vnalzó, négyzethálós papír 6
MATEMATIKA C 8. ÉVFOLYAM 11. TRANSZFORMÁLJUNK! TANÁRI ÚTMUTATÓ 7 I. MOST TE, AZUTÁN ÉN Ráhanglódás (kb. 5 perc) Állunk a tükör előtt. Milyen távl látszik tőlünk a képünk? Készítsünk rajzt! Ez a függőleges vnal a tükör. Hl látm magamat? A tükörképünk milyen transzfrmációval rajzlható meg? Síkra tükrözéssel. Költözködünk. A szállítók épp a zngrát hzzák fel a lakásba, és a lakásajtóban megkérdik: Hva tegyük? Hgyan válaszlhatunk egy ilyen helyzetben? Valószínűleg legtöbbször a következő történik: Vagy megmndjuk a helyét, vagy ha látótávlságban van a zngra helye, kinyújtjuk a karunkat, és a megadtt hely felé mutatunk: Oda!) A kinyújttt karunk jelzi az irányt, tvábbá azt is, merre, de az már biznytalan, hgy abban az irányban pntsan hva. Ide gndlta? kérdezik a munkásk. Nem, 1 méterrel távlabb. Igen tt jó lesz. Készítsünk egy sematikus ábrát! ZONGORA Bárhl is állunk megmutathatjuk az irányt, hgy merre vigyék a zngrát, és megmndhatjuk, hgy milyen messzire. A nyíllal elláttt szakaszt tehát bárhvá rajzlm is, a szakasz hssza megadja, hgy mennyivel, az állása és az iránya megmutatja, hgy merre kell eltlni a tárgyat. Az eltlás végrehajtásával nem váltzik az alakzat, azaz az eltlással kaptt alakzat egybevágó az eredeti alakzattal. (A zngra esetében legalább is azt reméljük.) Milyen más egybevágósági transzfrmációt ismertek még? Idézzük fel a már tanult egybevágósági transzfrmációkat! Hajtsunk végre néhány szerkesztést! Pl. Tükrözzünk egy rmbusztól különböző paralelgrammát az egyik átlóegyenesére! Egy szabálys hármszöget tükrözzünk a szimmetria-középpntjára! Frgassunk el egy négyzetet a szimmetria-középpntja körül 45 -kal! 7
MATEMATIKA C 8. ÉVFOLYAM 11. TRANSZFORMÁLJUNK! TANÁRI ÚTMUTATÓ 8 1. Megadtt transzfrmációkból kiválaszttt transzfrmációk egymás utáni végrehajtása hármszögön. (Javaslt idő: 20 perc; Eszközigény: négyzethálós duplaíves papír, pauszpapír, körző, vnalzó; Munkafrma: csprtban) Alakítsatk ki 3 vagy 5 fős csprtkat! Lehetőleg páratlan legyen minden csprt létszáma! Minden csprtnak adjunk egy duplaíves négyzethálós papírt. A papír közepére szerkesszetek egy hármszöget! A hármszög ldalainak hssza legyen: 4 cm, 5 cm és 6 cm. Várjuk meg, hgy elkészüljenek a rajzzal! A csprt feladata a következő: a csprt egyik tagja választ egy transzfrmációt (a felsrltak közül)! Ha például a tengelyes tükrözést választja, akkr ő határzza meg, hgy mi legyen a tükörtengely, azt megrajzlja, és arra tükrözi a hármszöget. A csprt következő tagja is választ egy transzfrmációt, felveszi a szükséges adatt, s végrehajtja a transzfrmációt a társa által létrehztt hármszögön. És így tvább, a csprt minden tagja srban egymás után így cselekszik. A cél az, hgy a legutlsónak választtt transzfrmációval visszakerüljön a hármszög az eredeti helyére, úgy, ahgyan mst látjátk. Természetesen megvitathatjátk a csprtn belül, hgy az egyes lépésben melyik transzfrmációt célszerű alkalmazni. A választható transzfrmációk a következők: tengelyes tükrözés, középpnts tükrözés, eltlás, pnt körüli frgatás egy szabadn választtt szöggel. Mst már látható, miért fnts, hgy páratlan legyen a csprtk létszáma: így elkerülhető a prbléma lyan megldása, hgy inverz transzfrmációkat alkalmaznak egymás után. A tanulókat serkentsük, hgy a szerkesztés végrehajtása előtt tervezzék meg az egymás utáni transzfrmációkat. Ha szükséges, készítsenek vázlatkat! A vázlat elkészítése a tervezés szerves része legyen. Az a célunk, hgy a tanulók lássák előre még a szerkesztés elvégzése előtt a transzfrmáció alkalmazásával létrejövő új alakzatt. Természetesen a szerkesztés kivitelezésére is ügyeljünk! Amelyik csprt hamarabb készen van, mint a többi, annak tűzzünk ki új prblémát: vegyenek fel egy lyan téglalapt, amelyik nem négyzet. Két transzfrmáció egymás utáni alkalmazásával kell a téglalaphz visszajutni, de a két transzfrmáció nem lehet egymás inverze. Ha minden csprt elkészült a munkával, adjunk minden csprtnak egy pauszpapírt! Máslják a papírra az eredeti hármszöget és az utlsó előtti ember által létrehztt hármszöget! (Ha hárm fős vlt a csprt, akkr a másdik, ha 5 fős, akkr a negyedik transzfrmációval megszerkesztett hármszöget.) Az eredeti hármszögre írják rá, hgy eredeti, de a hármszögek csúcsait ne betűzzék meg! A csprtkat számzzuk meg, és a pauszpapírkra írják rá a csprt számát is! Gyűjtsük össze a kész munkákat, majd sszuk ki ismét úgy, hgy egyik csprt se kapja a sajátját! Döntsétek el, hgy a pauszpapírn látható hármszög melyik transzfrmációval vihető az eredeti hármszögbe, azaz a csprt utlsó tagja melyik transzfrmációt alkalmazta! Az utlsó tanuló által választtt transzfrmáció inverzét keressük. Milyen transzfrmációk egymás utáni alkalmazásával kaphatta a csprt az eredeti hármszögből a másik hármszöget? (3 fős csprt esetén 2, 5 fős csprt esetén 4 egymás után alkalmaztt transzfrmációt keresünk.) Nézzétek meg, hgy megváltztt-e a hármszög körbejárásának iránya! 8
MATEMATIKA C 8. ÉVFOLYAM 11. TRANSZFORMÁLJUNK! TANÁRI ÚTMUTATÓ 9 Ha a gyerekek számára nem világs a körbejárási irány fgalma, akkr a kérdést fgalmazhatjuk így is: A 4 cm, 5 cm és 6 cm-es ldalak hgyan követik egymást? Órajárásával egyező, vagy ellentétes irányban? Párhuzamsak-e az eredeti és a másik hármszög megfelelő ldalai? Gyűjtsük össze a tapasztalatainkat! Melyik transzfrmáció váltztatja meg a hármszög körbejárásának irányát? Melyik viszi a szakaszt vele párhuzams szakaszba? Nézzük meg, hgy melyik két transzfrmáció egymás utáni alkalmazása helyettesíthető egyetlen (a megadtt 4 között szereplő) transzfrmációval! Ne biznyítsuk! Mst csak tapasztalatkat gyűjtenek a tanulók. 2. Parkettázás (Javaslt idő: 20 perc; Eszközigény: pauszpapír, körző, vnalzó, lló; Munkafrma: párban) Rajzljatk egy lyan derékszögű hármszöget a négyzethálós papírra, amelynek a hegyesszögei 60 és 30! A hármszög rövidebb befgója 4 kis négyzetldal hssznyi legyen! Vágjátk két részre a derékszöget úgy, hgy a keletkező egyik hármszög egyenlő ldalú legyen! Próbáljátk a síkt kitölteni (hézagmentesen lefedni) ezekkel a hármszögekkel! (A 4 egység ldalhsszú szabálys hármszöggel, illetve a 120 -s egyenlőszárú hármszöggel, melynek szára 4 egység hsszú.) Tegyük fel, hgy sk-sk ilyen hármszögetek van. Illesszétek össze őket úgy, hgy ne legyen hézag közöttük, s ne fedjék egymást még részben sem, és bármeddig flytatható legyen a már kialakult kép! Próbáljátk többféleképpen is összeilleszteni őket, parkettázzatk! Ha sikerült, rajzljátk le a négyzethálós lapra! Melléklet a tanárknak: Különböző lehetőségek ábrái Van-e lyan transzfrmáció, amelyet ha a lefedett síkra alkalmaznál, ugyanezt az ábrát látnád visznt? Ne felejtsétek el, nincs vége a rajznak tt, ahl ti abbahagytátk! Itt előjöhet a tengelyes, a középpnts szimmetria, de eltlásra szimmetrikus alakzatt is kaphattak. A munkafüzetben szép, szabálys öt- és hatszög alakú csempék rajza található. Tanulói munkafüzet: A feladatlap Melléklet a tanárknak: A feladatlap Melyik fajta csempével fedhető le a sík? Miért? Ha eddig nem, itt előjön a csempézés (parkettázás) szükséges feltétele, hgy a közös csúcsú belső szögek összege teljes szög legyen. A szabálys ötszögnek mekkrák a belső szögei? Hgyan számíthatjuk ki? Miért nem lehet egybevágó szabálys ötszögekkel hézagmentesen lefedni a síkt? Hárm ötszöget össze tudunk illeszteni, de marad egy 36 -s hézag. Illesszünk tvábbi ötszögeket egy-egy ldalhz! Mit alkt a hézag? Egy rmbuszt, amelynek a szögei: 36 és 144. 9
MATEMATIKA C 8. ÉVFOLYAM 11. TRANSZFORMÁLJUNK! TANÁRI ÚTMUTATÓ 10 Minden csprt kapja meg valamelyik ötszög máslatának 8 példányát, és egy sima papírra illesztve reknstruálják a lefedést! A rmbusz köré rajzljanak ötszögeket! Mutassuk meg a tanulóknak a mellékletben látható ötszögekből és rmbuszkból álló síklefedést is! Melléklet a tanárknak: A sík lefedése szabálys ötszöggel és rmbusszal Tervezzetek ti is szép mtívumú csempéket! A már láttt szabálys öt- és hatszögek megmzgathatják a tanulók fantáziáját. Bíztassuk őket, hgy használjanak különböző színeket is! A szép kivitelezés is fnts. 10
MATEMATIKA C 8. ÉVFOLYAM 11. TRANSZFORMÁLJUNK! TANÁRI ÚTMUTATÓ 11 MELLÉKLET A TANÁROKNAK 2. Parkettázás Különböző lehetőségek ábrái: A sík parkettázása szabálys hármszöggel és 120 -s egyenlőszárú hármszögekkel: 1. ábra 2. ábra 11
MATEMATIKA C 8. ÉVFOLYAM 11. TRANSZFORMÁLJUNK! TANÁRI ÚTMUTATÓ 12 A feladatlap 1. 4. 7. 10. 2. 3. 5. 6. 8. 11. 9. 12 12
MATEMATIKA C 8. ÉVFOLYAM 11. TRANSZFORMÁLJUNK! TANÁRI ÚTMUTATÓ 13 A sík lefedése szabálys ötszöggel és rmbusszal: 13
MATEMATIKA C 8. ÉVFOLYAM 11. TRANSZFORMÁLJUNK! TANÁRI ÚTMUTATÓ 14 II. PARKETTÁZÁS Ráhanglódás (kb. 15 perc) Vegyük elő ismét a szép csempéinket! Tanulói munkafüzet: A feladatlap (Lásd a I. fglalkzásnál.) Vizsgáljátk meg, milyen transzfrmációt kell végrehajtanunk a csempén, hgy visszakapjuk ugyantt ugyanazt az alakzatt! A frgatás, tengelyes tükrözés, pntra tükrözés jöhet szóba. Számzzuk be a csempéket vízszintesen haladva 1-től 12-ig! Melyik csempe tengelyesen szimmetrikus? Hány szimmetriatengelye van? A teljes csempét vegyétek figyelembe, ne csak a határló vnalat! Vizsgáljátk meg, hgy a 12 csempe közül melyik középpntsan szimmetrikus! Melyik csempe frgásszimmetrikus? Hl van a frgatás középpntja? Azt is vizsgáljátk meg, hgy mi az a legkisebb pzitív szög, amellyel elfrgatva a csempét, visszakapjuk ugyantt ugyanazt az alakzatt! Írjátk fel a füzetetekbe, hgy melyik kép milyen szimmetriával rendelkezik! Melléklet a tanárknak: Megldás az A feladatlapn szereplő csempék szimmetriáinak megállapításáhz Ha nehezen megy a szimmetria megállapítása, másltassuk le a képet pauszpapírra! A pauszpapír mzgatásával megkönnyíthetjük a felismerést. A tanulói válaszk összegyűjtése a következőképpen történhet: A táblára felírjuk a következőket: Tengelyesen szimmetrikus (szimmetria tengelyek száma), Középpntsan szimmetrikus, Frgásszimmetrikus (legkisebb pzitív szög). A tanulók srban felírják a megfelelő helyre a kép srszámát, zárójelbe a megjelölt adatt. A végén hasnlítsák össze a táblára felírtakat az ő megállapításaikkal.) 1. Parkettázás szabálys nylc- és tízszöggel. Körlapra rajzlt képek szimmetriája. (Javaslt idő: 30 perc; Eszközigény: Pauszpapír, lló, körző, máslat a mellékletből; Munkafrma: párban) Tanulói munkafüzet: B feladatlap Melléklet a tanárknak: B feladatlap Újabb szép csempéket vizsgálhatunk meg. Vajn melyikkel lehetne hézagmentesen kitölteni a síkt? Ha találtk lyan csempét, amellyel nem lehet kirakni a síkt (mert hézag marad), akkr határzzátk meg, hgy milyen pótcsempére lenne szükségetek! Ha szükséges, beszéljük meg a szabálys nylc- és tízszög belső szögeinek a kiszámítását. A szabálys nylcszög esetében könnyen rájöhetnek a tanulók, hgy egy négyzet hiányzik a maradéktalan síklefedéshez. 14
MATEMATIKA C 8. ÉVFOLYAM 11. TRANSZFORMÁLJUNK! TANÁRI ÚTMUTATÓ 15 Válasszanak a párk egy-egy nylcszögű csempét, s tervezzék meg hzzá a négyzet alakú pótcsempét! Másltassuk le több példányban is a választtt csempét és a pótcsempéjét, s kezdjék is el a tanulók a sík lefedését. Ezután mutassuk meg a mellékletben szereplőt! Minden párnak egy vagy két példányt adjunk kézbe! Melléklet a tanárknak: A sík lefedése nylcszöggel és négyzettel Mst vizsgáljuk meg ezt a lefedést! Tegyük fel, hgy a teljes síkt lefedtük ezzel a nylcszöggel és a négyzettel. Milyen szimmetriája van ennek a síknak? Tengelyesen szimmetrikus? Kerestessük meg a különböző állású szimmetriatengelyeket: a nylcszög ldalfelező merőlegesei; a négyzetek átlóegyenesei. Középpntsan szimmetrikus-e a sík? Hl vannak a szimmetria-középpntk? A nylcszögek középpntjai, két szmszéds nylcszög közös ldalának felezőpntja, és a körök középpntjai. Frgásszimmetriája is van a síknak. Keressétek meg a frgatás középpntját, s a frgatás legkisebb pzitív szögét is! A nylcszögek és a körök középpntjai, 90 -s frgatásra. Eltlásra is szimmetrikus a sík? Milyen irányú és mekkra legyen az eltlás? Bármelyik két kör középpntját összekötő vektr. Ha a fenti szimmetriák felismerése nehezen megy a tanulóknak, mst is másltassuk le az ábrán lévő részletet pauszpapírra, s annak mzgatásával a középpnts, a frgás és az eltláss szimmetria könnyen felismerhetővé válik. Mi a helyzet a tízszöggel? Másljátk le egyet legalább hat példányban, vágjátk ki, s próbáljátk a tízszögeket különböző módn összeilleszteni! Milyen illesztési lehetőségeket találtatk? A 144 -s belső szög miatt vagy két ldalt, vagy két csúcst tudunk összeilleszteni. Sikerült hézagpótló skszöget találni? Próbáljátk lemáslni az összeillesztett skszögeket! Íme egy lehetőség. Melléklet a tanárknak: A sík lefedése tízszöggel és nylcszöggel Vizsgáljátk meg önállóan, milyen szimmetriája lenne a síknak, ha így fednénk le? Figyeljétek meg a díszítő elemeket is azk sem elhanyaglhatóak a szimmetria keresésénél! Tengelyes szimmetriája nincs. Középpntsan szimmetrikus négy fajta pntra: a rmbuszk középpntja, egy tízszög középpntja, két tízszög közös csúcsa, és közös ldalának felezőpntja. Ennek a fglalkzásnak az időtartama nehezen becsülhető meg. A tanulók tapasztalatm szerint szívesen fglalkznak szimmetriák keresésével. Itt mst a szimmetriák felismerésén túl az is célunk, hgy a tanulók kedvet kapjanak különböző mtívumk tervezéséhez is. Megtehető, hgy előre megvitatjuk velük, hgy milyen szimmetriájú lefedést tervezzenek, s ahhz ragaszkdniuk kell. Ugyanakkr úgy is megldható, hgy szabadn dlgznak, csak a fantáziájuk esetleges hiánya krlátzza őket. Ahhz, hgy minél váltzatsabb mtívumkkal dlgzhassanak, segítséget nyújthatnak a következő képek is. 15
MATEMATIKA C 8. ÉVFOLYAM 11. TRANSZFORMÁLJUNK! TANÁRI ÚTMUTATÓ 16 A körnek, mint tudjuk, végtelen sk szimmetriatengelye van. Ha visznt különböző mtívumkat rajzlunk a körlapra, akkr a kaptt képre ez már nem feltétlenül jellemző. Íme 12 kép. Nézzétek meg alapsan! Milyen szimmetriája van az egyes képeknek? Tanulói munkafüzet: C feladatlap Melléklet a tanárknak: C feladatlap A tanulói válaszkat ismét a táblára felírva összesíthetjük. Mst már akár nyakláncra akasztható medált is tervezhettek! Lehet skszög, vagy kör alakú, akár vális is. Tanulói munkafüzet: D feladatlap Melléklet a tanárknak: D feladatlap A tervezésnél vegyétek figyelembe a medál anyagát is! Hgyan, milyen anyagból szeretnétek kivitelezni? Gyűjtsük össze a medál anyagára tett javaslatkat! Arra is érdemes gndlni, hgy a lánc milyen anyagból készüljön. 16
MATEMATIKA C 8. ÉVFOLYAM 11. TRANSZFORMÁLJUNK! TANÁRI ÚTMUTATÓ 17 MELLÉKLET A TANÁROKNAK Ráhanglódás Megldás az A feladatlapn szereplő csempék szimmetriáinak megállapításáhz Az ötszögek és a hatszögek is szabálysak. Tengelyesen szimmetrikus (szimmetria tengelyek száma) Középpntsan szimmetrikus Frgásszimmetrikus (legkisebb pzitív szög) 1. kép (5) 8. kép 1. kép ( 72 ) 4. kép (5) 2. kép ( 72 ) 5. kép (5) 3. kép ( 72 ) 7. kép (6) 4. kép ( 72 ) 8. kép (3) 5. kép ( 72 ) 9. kép (3) 6. kép ( 72 ) 10. kép (3) 7. kép ( 120 ) 11. kép (3) 8. kép ( 60 ) 9. kép ( 120 ) 10. kép ( 120 ) 11. kép ( 120 ) 12. kép ( 120 ) 17
MATEMATIKA C 8. ÉVFOLYAM 11. TRANSZFORMÁLJUNK! TANÁRI ÚTMUTATÓ 18 1. Parkettázás szabálys nylc- és tízszöggel. Körlapra rajzlt képek szimmetriája. B feladatlap 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10 11 12 18
MATEMATIKA C 8. ÉVFOLYAM 11. TRANSZFORMÁLJUNK! TANÁRI ÚTMUTATÓ 19 A sík lefedése nylcszöggel és négyzettel: 19
MATEMATIKA C 8. ÉVFOLYAM 11. TRANSZFORMÁLJUNK! TANÁRI ÚTMUTATÓ 20 A sík lefedése tízszöggel és nylcszöggel: 20
MATEMATIKA C 8. ÉVFOLYAM 11. TRANSZFORMÁLJUNK! TANÁRI ÚTMUTATÓ C feladatlap 1. 2. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10 11 3. 12 21
MATEMATIKA C 8. ÉVFOLYAM 11. TRANSZFORMÁLJUNK! D feladatlap 1. 2. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 3. TANÁRI ÚTMUTATÓ 22
MATEMATIKA C 8. ÉVFOLYAM 11. TRANSZFORMÁLJUNK! TANÁRI ÚTMUTATÓ 23 III. EZ EGYENES, EZ MEG GÖRBE Ráhanglódás (kb. 2-3 perc) Az eddig emlegetett transzfrmációk némelyikét már a bölcsődés gyerek is használja. Nem tudm láttátk-e már, hgy hgyan festenek gyrsan egy képet a kicsik? Bekenik festékkel itt-tt a papírt, majd mielőtt megszáradna a festék, kettéhajtják a papírt, majd nagy örömmel mutatják, hgy Nézd, két napcskám is van! Milyen transzfrmációt hajtttak végre? Tengelyesen tükröznek. Találjunk ki különféle gemetriai transzfrmációkat, s nézzük meg, hgy mi történik egyes alakzatkkal, ha alkalmazzuk rájuk az új transzfrmációt! Transzfrmációk megadásánál két dlgra kell figyelnünk: minden pntnak pntsan egy képe (párja) legyen, és bármelyik pntról el tudjuk dönteni, hgy melyik pnt a párja! Minden esetben megmndm, hgy milyen adatt kell használni a transzfrmációhz. 1. Pnttól eltlás adtt távlsággal (Javaslt idő: 15 perc; Eszközigény: Körző, vnalzó, négyzethálós papír; Munkafrma: egyéni) 1. Jelöljetek meg a füzetben egy pntt, nevezzük O pntnak! Először találjatk ki egy lyan gemetriai transzfrmációt, amelyben minden pnt képének megadásakr felhasználjátk ezt az O pntt! Várható válasz: pntra tükrözés, középpnts hasnlóság ( λ = 2). 2. Legyen adtt egy O pnt a síkban, de a transzfrmáció srán fel kell használntk egy 2 cm hsszú szakaszt is! Minden pnt képének a megadásakr mind a két adatt fel kell használni, az O pntt és a 2 cm hsszú szakaszt is! Eleinte a tanulók általában vagy csak az egyiket használják, vagy még egyéb adatt is, pl. szöget. Skszr, éppen, mivel előtte pntra tükrözés vlt, először tükrözik a pntt, s azután távlítják, vagy közelítik az O pnthz. Hallgassuk meg egyénenként az ötleteket, s csak akkr térjünk át a frntális megbeszélésre, ha lyan transzfrmáció fgalmazódik meg, amelyik csak a megadtt adatkat használja fel. Kössük össze a sík O pnttól különböző P pntját az O pnttal! Ezt a szakaszt hsszabbítsuk meg a P pntn túl, és erre a P kezdőpntú félegyenesre P pnttól mérjük rá a 2 cm hsszú szakaszt! Ennek a szakasznak a P pnttól különböző végpntja legyen a P pnt képe! Az O pntnak mi legyen a képe? (Az O pnt képe legyen saját maga.) Ennek a transzfrmációnak nevet is adtak: pnttól eltlás. Nézzük meg, mi történik egy egyenessel, ha minden pntját eltljuk egy pnttól!
MATEMATIKA C 8. ÉVFOLYAM 11. TRANSZFORMÁLJUNK! TANÁRI ÚTMUTATÓ 24 3. Rajzljatk egy egyenest, s vegyetek fel tőle 1 cm távlságra egy O pntt! Tljátk el az egyenesnek legalább 20 pntját az O pnttól 2 cm távlságra! Az egyenes minél több pntján hajtják végre ezt a transzfrmációt, annál jbban látszik a várható eredmény. Körzővel és vnalzóval dlgzzanak a gyerekek! Előfrdulhat, hgy a megszerkesztett képpntkat összekötik szakaszkkal. Ekkr az egyenes két pntja között kijelölt pntra is hajtassuk végre a transzfrmációt. Ha ilyet látunk, beszéljük meg együtt, hgy lehetséges-e, hgy egy szakasz képe ismét szakasz lesz. Mit tapasztaltatk? A legszembetűnőbb tulajdnsága a transzfrmációnak, hgy az egyenes képe nem egyenes lett. A képpntk közül az van legtávlabb az egyenestől (2 cm-re), amelyik az adtt egyenes és az O pntból erre az egyenesre bcsáttt merőleges egyenes metszéspntjának a képe. Ha az adtt egyenest e-vel, az O pntból az e egyenesre bcsáttt merőleges egyenesnek e egyenessel létrejött metszéspntját T-vel jelöljük, akkr ha az e egyenesnek a T-től egyre távlabbi pntjának szerkesztjük meg a képét, a képpnt egyre közelebb lesz az e egyeneshez. Hiszen az e egyenesnek a T-től különböző P pntja, tvábbá annak P 1 képe, és a P 1 -ből az e egyenesre bcsáttt merőleges egyenes metszéspntja lyan derékszögű hármszöget határz meg, melynek átfgója minden esetben 2 cm hsszú, és az átfgó és az e egyenes hajlásszöge annál kisebb, minél messzebb van a P pnt a T pnttól. Erre a tulajdnságra azt mndjuk a matematikában, hgy ez a transzfrmáció nem egyenestartó. Vajn milyen lesz az egyenes képe, ha az O pntt az egyenesen vesszük fel? Az egyenes minden pntjának a képe rajta lesz az egyenesen, és visznt, az egyenes bármelyik pntja az egyenesen lévő egyik pntnak a képe. Tehát az egyenes képe ekkr maga az egyenes. 4. Rajzljatk egy 4 cm ldalhsszúságú négyzetet, s szerkesszétek meg a beleírható kört is! Ennek az alakzatnak (a kör és a négyzet) minél több pntján hajtsátk végre a pnttól eltlást! Legyen az O pnt a négyzet középpntja, az adtt távlság pedig 2 cm! Mit tapasztaltatk? A kör képe egy lyan vele kncentrikus, 4 cm sugarú kör lesz, amely érinti a négyzet képét, a görbe ldalú négyzetet..
MATEMATIKA C 8. ÉVFOLYAM 11. TRANSZFORMÁLJUNK! TANÁRI ÚTMUTATÓ 25 2. Körre vetítés és körre tükrözés (Javaslt idő: 30 perc; Eszközigény: Körző, vnalzó, négyzetháló papír; Munkafrma: egyéni) 5. Rajzljatk egy 2 cm sugarú kört! Van lyan gemetriai transzfrmáció is, amelynek a neve: körre tükrözés. Találjatk ki, mi lehet ez a transzfrmáció! Itt előfrdulhat, hgy csak a kör középpntját használják fel. Figyelmeztessük a tanulót, hgy a kört kellett felhasználni. Tapasztalatm szerint (kis segítséggel) a tanulók elég könnyen rájönnek a kör külső pntjaira alkalmazható transzfrmációra. Tükrözik a pntt a körre, és ez alatt a következőt értik: összekötik a külső P pntt a kör közpntjával, s e szakasz és a kör T metszéspntjára tükrözik a P pntt. A kör pntjaira adódik a lehetőség, hgy maradjanak helyben. Nehezebb eset, hgy a kör belső pntjainak mi legyen a képe, ugyanis a pntkat a kör középpntjával összekötő szakaszknak nincs közös pntja a körrel. Előfrdulhat, hgy ezekre is azt mndják, maradjanak helyben. (Ez már jó, hiszen kezdik érteni a hzzárendelés lényegét, miszerint nem szükséges, hgy a sík minden pntjára ugyanaz a szabály legyen érvényes.) Ha a körre tükrözés definíciójában mégsem ezt a lehetőséget választtták, akkr valószínűleg meghsszabbíttták a kör középpntját a belső pnttal összekötő szakaszt. Melyik végpntn túl? Két lehetőség adódik, vagy a kör középpntján túl, vagy a kiszemelt belső pntn túl. A definícióban az utóbbit választtták: A középpnttól különböző Q pntt összekötik a középpnttal, Q-n túl meghsszabbítják a körig, s az L metszéspntra tükrözik a Q pntt. Mi legyen a kör középpntjának képe? (Saját maga.)
MATEMATIKA C 8. ÉVFOLYAM 11. TRANSZFORMÁLJUNK! TANÁRI ÚTMUTATÓ 26 Milyen alakzatt kapunk, ha ezt a transzfrmációt a kör egy érintőjére alkalmazzuk,? Az érintőnek sk pntján hajtsátk végre a transzfrmációt! Igazlják a tanulók a kaptt kép tengelyes szimmetriáját! A képpntk között lesz a kör középpntja is? Igen, hiszen az érintőnek nyilván van lyan pntja, amelyet összekötve a kör középpntjával, a kaptt szakaszt felezi a kör. Figyeljük a gyerekek munkáját! Színessel jelöltessük meg a képpntkat! Annyi pntn hajtsák végre a transzfrmációt, hgy kialakuljn az egyenes hurkszerű képe. 6. Próbáljatk lyan transzfrmációt kitalálni, amelyben ismét egy kört kell felhasználni, de minden képpnt vagy a kör középpntja, vagy ennek a körnek pntja legyen! Itt szeretnénk felfedeztetni velük a pnt körre vetítését: a kör középpntjának legyen a képe önmaga, a sík többi pntjának pedig az a körpnt legyen a képe, amely a pnthz legközelebbi pntja a körnek: A kör külső tartmányában lévő pnt képe a pntt a kör középpntjával összekötő szakasznak a körrel való metszéspntja, a kör pntjának és a kör középpntjának a képe önmaga, a kör középpntjától különböző belső pntnak a képe pedig a pntt a kör középpntjával összekötő egyenesnek és a körnek az a metszéspntja, amelyik közelebb van a belső pnthz. 7. Hajtsuk végre a transzfrmációt különböző állású szakaszn! Első: Legyen a szakasz a kör külső tartmányában, de a szakasz tartóegyenese ne menjen át a kör középpntján!
MATEMATIKA C 8. ÉVFOLYAM 11. TRANSZFORMÁLJUNK! TANÁRI ÚTMUTATÓ 27 Másdik: A szakasz egyik végpntja körön belül, a másik végpntja körön kívül van, és a tartóegyenese nem megy át a kör középpntján. Harmadik: A szakasz a kör külső tartmányában van, és a meghsszabbítása átmegy a kör középpntján. Az eddigi tapasztalat: A szakasz képe a körnek egy íve vagy egy pnt. Lehet-e a szakasz képe 3 pnt? Ha a szakasz átmegy a kör középpntján, akkr a kép 3 pnt. Milyen esetben lesz a szakasz képe két pnt?
MATEMATIKA C 8. ÉVFOLYAM 11. TRANSZFORMÁLJUNK! TANÁRI ÚTMUTATÓ 28 Ha a szakasz egyik végpntja a kör középpntja. Mi lesz a képe egy egyenesnek? Próbáljátk ki! Színessel jelöljétek meg a kör azn pntját, amelyik biztsan az egyenes valamelyik pntjának a képe lesz! Van, aki a kör félkörívét színezte be. A félkörív végpntjait összekötő átmérő milyen helyzetű az egyeneshez képest? Párhuzams az egyenessel. Az egyenes melyik pntjának a képe lehet a félkörív végpntja? Erre a kérdésre általában nehezen születik meg a válasz. Hiába tudja a tanuló, hgy az egyenesnek nincs vége, mivel mindig véges darabját látja, számára mégis valahl vége van. Az egyenes végesnek gndlása éppen ilyen kérdéseken gndlkdva derülhet ki. A tanulók nehézen tudják elképzelni, hgy a félkörívnek bármelyik végpntjáhz közeli pntját választjuk is ki, lesz az egyenesnek lyan pntja, amelynek a kiválaszttt pnt a képe, de a félkörív végpntja már nem lehet képe egyetlen egyenesen lévő pntnak sem, hiszen e pntt a kör középpntjával összekötő egyenesnek nincs metszéspntja az egyenessel. A megbeszélés srán természetesen az is előjöhet, hgy a köríven bármelyik pntnak van-e szmszédja. Szerintem ezt a prblémát célszerű szakaszra átfgalmazva megvitatni. Ha van a szakasz bármelyik pntjának szmszéds pntja (azaz e két pnt között már nincs újabb pnt), akkr ez azt jelenti, hgy egy számnak van szmszédja, hiszen ha a szakaszt számegyenesre helyezzük, akkr minden pnthz egy számt rendelünk. A szmszéds pntkhz szmszéds számt rendelünk. A két különböző szám számtani közepe a két szám kö-
MATEMATIKA C 8. ÉVFOLYAM 11. TRANSZFORMÁLJUNK! TANÁRI ÚTMUTATÓ 29 zött van, ez is egy pntnak felel meg a két pnt között, ez pedig ellentmnd a feltételezésünknek, miszerint nincs a két pnt között pnt.) Lehet lyan egyenest rajzlni, amelynek a képe pntsan 3 pnt? Igen, ha az egyenes átmegy a kör középpntján. Mst pedig engedjétek szabadn a fantáziátkat, s adjatk meg ti egy gemetriai transzfrmációt! Magatk adjátk meg a transzfrmációhz szükséges adatkat, s próbáljátk is ki, alkalmazzátk a transzfrmációtkat szakaszra, egyenesre! Ha mst figyeljük a gyerekek munkáját, észrevehetjük, hgy melyik tanuló milyen mélyen értette meg az eddigieket. Az is kiderül, hgy melyik tanuló követi csak az eddigi mintát, melyik találékny és merész, ötletes és kreatív, melyik bátrtalan.