Atív lengéscsllapítás. Szabályozás állapottérben. A gyaorlat célja Állapotteres tervezés megvalósítása valós dej másodfoú rendszerere. Az állapotteres szabályozó valós dej megvalósítása, a szabályozóör vzsgálata.. Elmélet bevezet A lasszus rányítás algortmuso zöme a folyamato -bemenet modellje (átvtel függvénye) alapján határozzá meg az rányítás feladatot megoldó szabályozót. Eze a szabályozó (a aszád szabályozó vételével) csa a folyamat menetét vesz fgyelembe a beavatozó jel meghatározásánál. Az állapotteres modelleel ompleebb vseledés rendszere s leírhatóa. Ezen modelleen alapuló szabályozó a folyamat bels állapota s felhasználjá a beavatozó jel meghatározásánál. Így ompleebb rányítás feladato, mnt például nem polnomáls alapjel övetése nulla állandósult állapotbel hbával vagy nemlneartást s tartalmazó rendszer rányítása, s megoldhatóa. Az állapotteres modell n darab egymással csatolt elsfoú dfferencálegyenlettel írja le a folyamat vseledését. Mndegy dfferencálegyenlet az egy állapot változását adja meg az összes állapot és bemenete függvényében: A + u y C + Du () n az állapoto (), m a bemenete (u), p a menete (y) száma. Az A,, C, D mátro a folyamat paraméteret tartalmazzá, defnálva a folyamat dnamus vseledését. Az A mátrot állapotmátrna s nevezzü. Mntavételes állapotteres modell a rendszer + - mntavételbel állapotát határozza meg a - mntavételbel állapot és a - mntavételbel bemenet függvényében. A menet egyenletben a - mntavételbel menetet a - mntavételbel állapot és - mntavételbel bemenet alapján írható fel. Lneárs rendszere esetén az állapotteres modell: + Φ + Γu y C + Du () A Φ, Γ, C, D mátro a folytonos rendszer paraméteretl valamnt a mntavétel peródustól függene.. Pólusáthelyezés
Pólusáthelyezéssel a szabályozott rendszerne elírt tranzens vseledést lehet bztosítan. Állapotteres modellenél az A mátr sajátértée defnáljá a rendszer tranzens vseledését. A szabályozás feladat tranzens vseledéséne elírásaént a szabályozott rendszer sajátértéet írju el. Ehhez els lépésént a ívánt tranzens vseledést bztosító aratersztus polnomot szüséges meghatározn, amelyne gyöe leszne az elírt sajátértée. A pólusáthelyezés feladata: a beavatozó jelet (a rendszer u bemenete) határozzu meg úgy az állapoto függvényében, hogy a vsszacsatolt zárt rendszer sajátértée az elírta legyene. Egy bemenet egy menet rendszere esetén a beavatozó jelet az alább módon számíthatju: u K K u (... ) (... ) n n n (3) n + n +... + A K sorvetor onstans értéeet (ersítéseet) tartalmaz. A beavatozó jel az állapoto lneárs ombnácója. Az rányított rendszer az állapotvsszacsatolással: n A + u; u K ( A K ) (4) Ábra: Állapotvsszacsatolás alaítása Írju fel harmad foú rendszer esetén a zárt rendszer A állapotmátrát. Legyen a rendszer állapotváltozását leíró modell: A + u A beavatozó jel számítása n3 ra: K ( ) u ( ) 3 (5) 3 3 A zárt rendszer állapotmátra:
a a a3 b a b a b a3 b A K a a a3 b( ) a b a b a3 b (6) a 3 a3 a33 b3 a3 b3 a3 b3 a33 b3 Látsz, hogy a zárt rendszer pólusa megváltozna és függne az állapotvsszacsatolás ersítésvetorától. A K vetor elemene helyes megválasztásával bztosíthatju, hogy a zárt rendszer sajátértée az elírta legyene. Már a harmad foú rendszer esetén s látsz, hogy általános esetben a feladatot megoldan nehéz. Az optmáls állapotvsszacsatolás esetén az alább öltségfüggvényt ell mnmzáln J ( Q + u Ru) dt, Q, R > mn J u (7) A megoldást állapotvsszacsatolás formájában apju u K ( + + n n ) (8) Az állapotvsszacsatolás ersítésvetorát (8) összefüggés adja, ahol P értét a Rccat egyenletbl apju. K R P A + A P P + P R R + Q (9). Állapotteres szabályozó bvítése ntegráló taggal Közsmert, hogy a szabályozóban elhelyezett ntegrátor tag javítja a szabályozó ör alapjel övetés tulajdonságát, ugyanaor a bemenet zajoat s épes ompenzáln. Amennyben az alapjel onstans, az ntegrátor garantálja a nulla állandósult állapotbel hbát, onstans bemenet zaj hatását pedg épes teljesen ompenzáln. vítsü úgy a szabályozónat, hogy a vsszacsatolásban jelenjen meg a menet ntegrálja ( ). ydt y C () A szabályozó bvítéséhez a menet ntegrálját helyezzü el úgy az állapotteres modellben, mnt egy új állapotot: A u C + A ()
ervezzü meg az állapotvsszacsatolást a A + u bvített rendszerre. Az így apott állapotvsszacsatolással a beavatozó jel tartalmazza a menet ntergálját s: u K ( K K ) ( ) K K ydt () A bvített állapotvsszacsatolás tartalmazza az ntegrátoros szabályozáso elnyet (jó alapjelövetés, zajelnyomás). Amennyben a szabályozóban állapotbecslést s szüséges alalmazn, azt nem a bvített, hanem az eredet rendszerre ell megtervezn. Mntavételes rendszerenél ugyanígy járun el: az állapoto vetorát bvítjü a menet ntegráljána mntavételes megözelítésével, majd a bvített állapotvetort csatolju vssza. Az ntegrátor mntavételes megözelítéséhez alalmazhatun téglalapszabályt: ydt + + y + C (3) a mntavétel peródust jelöl. A bvített mntavételes rendszer, amelyre az állapotvsszacsatolást tervezzü: + + y Φ C ( C ) Γ + u (4) A bvített rendszer állapotvsszacsatolásána tervezéséhez az Acermann formulát alalmazhatju. 3. A mérés menete Feladat: ervezzün állapotteres szabályozót a rendszerne, amely lengés nélül tranzenseet bztosít és épes onstans bemenet zajo hatását ompenzáln. Feltételezzü, hogy a bemenet zaj négyszögjel. A megoldáshoz optmáls szabályozót alalmazun bvítve ntegráló taggal. 3.. A szabályozó tervezése A szabályozás ör tömbrajza a. Ábrán látható. SSC (State Space Controller) az állapotteres szabályozót, AD (Actve Dampng) pedg az rányított folyamatot jelöl.
. Ábra: A szabályozás tömbrajza A tervezés lépése:. Elször a rendszer átvtel függvény alajában megadott dnamus modelljét alaítsu át állapotteres modellé Matlab örnyezetben: H F ( s) m s + f s + R tf ss A + u y C v. Válasszu az állapot vsszacsatolást az alább alaban: u + v + c, új, ntegrátorna megfelel állapot. 3. Az optmáls szabályozó tervezéséhez alalmazzu a Matlab lqr függvényét szabályozó. Az ntegrátor matt a szabályozót a () összefüggésben adott bvített rendszerre tervezzü. A súlyzómátroat válasszu: Qdag([ 5 ]), R. [K,P,E] lqr(a,,q,r) Az állapot vsszacsatolás ersítésvetorát a K adja. 3. A szabályozó mplementálása A szabályozót az alább alaban mplementálju: u v (5) A szabályozó megvalósításához elször az ntegrátor omponenst ell mntavételes formában felírn: Ehhez a téglalapmódszert alalmazzu, fgyelembe véve, hogy a mntavétel peródus 5 mllszeundum és hogy a modellben a C menet mátr C 6, apju: [ ] C 6 dt n 6 + (6).5
Az rányítás algortmust az ActveDampng terv Actve_Dampng_State_Space_Control függvényében valósítju meg. A megvalósítás lépése:. Generáljun négyszögjelet a rendszer d meneten. A négyszögjel ét állapota + Volt és - Volt, peródusa legye 5 mnatvétel. - Volthoz a FRSPORCH-n -t, a FRSPOR-n 4-et ell ülden. + Volthoz a FRSPORCH-n -t, a FRSPOR-n X-t ell ülden. A üldéshez alalmazzu a cbdout függvényt.. Olvassu be a pozícót és sebességet A pozícó bemenet csatornán, a sebesség az bementet csatornán van. A beolvasáshoz használju a cban függvényt. 3. Kalbrálju a sebességet és pozícót feszültséggé felhasználva, hogy a beolvasott érté -5 Voltna, 496 beolvasott érté +5 Voltna felel meg. 4. A számítsu a beavatozó jelet a (5) és (6) összefüggése alapján. 5. A beavatozó jel üldése: A beavatozó jel értéét orlátozzu +/- 47 özé (mvel a beavatozó jelet bten lehet ülden). Ezután eltolju az értéet a 496 tartományba (mvel menetne -5 Volt, 496-na pedg + 5 Volt felel meg ) A üldésnél a fels négy btet a FRSPORCL-on, az alsó 8 btet a FRSPORA-n üldjü. f >47 u 47 f <-47 u 47 ControlOut (nt)controlsgnal + 48; ControlOutLow ControlOut & FF ControlOutHgh ControlOut >> 8; cbdout (, frstporta, ControlOutLow); cbdout (, frstportcl, ControlOutHgh); Helyes tervezés-megvalósítás esetén a nem szabályozott lletve szabályozott pozícó menet az alább tranzenst ell mutassa az oszclloszópon: 4. Kérdése és feladato 3. Ábra: Nem szabályozott/szabályozott menet. Mlyen más módszert alalmazhatun állapotteres becslésnél a onstans bemenet zaj ompenzálására?. esztelje az optmáls szabályozást más Q, R mátrora. 3. Módosítsa a programot úgy, hogy a bement zaj nem négyszögjel, hanem frészfog jel. Vzsgálja a rendszer válaszát. Mlyen pontosan tudja elnyomn a frészfog jel bemenet zajt a szabályozó?