Prímszámok statisztikai analízise Puszta Adrián 28. április 18. Kivonat Munkám során a prímszámok és a páros prímek eloszlását, illetve különbségét vizsgáltam, majd ebből következtettem a véletlenszerű eloszlás meglétére. 1. Elméleti áttekintés A Wikipédia [1] szerint egy p számot akkor nevezünk prímnek, ha abból, hogy p osztója a b-nek, következik, hogy p osztója vagy a-nak, vagy b-nek. Már Euklidesz is adott egy bizonyítást [2] arra, hogy végtelen sok prímszám van. A prímek darabszámát x-ig a következő formulával közelíthetjük: Li(x) = x 1 dt (1) log t Az (1) egyenlet illeszkedését nem fogom ellenőrizni. Páros- vagy ikerprímeknek azokat a prím párokat nevezzük, melyeknek különbsége kettő. Ezekre a számokra van egy sejtés, miszerint végtelen sokan vannak. Ezt máig nem sikerült bizonyítani, de a matematikusok todtak korlátot adni egy adott x-ig az ikerprímek darabszámára. A jelenleg ismert legnagyobb ikerprím pár 58711 számjegyból áll. 2. Gyakorlati megvalósítás Eszközök A feladat elvégzéséhez awk és C++ programokat használtam a számolásokhoz, és az eredményeket Gnuplottal ábrázoltam. Az ábrázoláshoz scripteket írtam, hogy meg tudjam ismételni a rajzot. 1
2.1. Prímek vizsgálata A primes.txt file-ban 2-től kb. 1.7 millióig vannak benne a prímek. Egy egyszerű awk program segítségével sorszámot is tudtam rendelni a prímekhez. Az 1. ábrán ezekre az adatokra egyenest illesztettem, ez az ábrázolt tartományon elég jól illeszkedik. Két prím távolságát a dvsn.awk programmal számoltattam ki, ami kiírja a számot, az előtte lévő prímhez képesti távolságát, és a sorszámot is. A 2. ábrát csupán illusztrációnak szánom, hogy megmutassam, mennyire ugrál a távolság a prímek függvényében. A különbségeket tartalmazó file-okból a histo.awk programmal hisztogramot készítettem. A hisztogrammot először 2. prímtől a 1.-ig csináltam meg (3. ábra), utána 1.-től 2.-ig (4. ábra), végül a 9.-től a 1.-ig. Az adatokra exponenciális görbét illesztettem (5. ábra). Ez mindhárom adatsor esetén elég jó illesztés. Az átlagos távolságokat is kiszámoltam, egy számhoz hozzárendeltem a tőle jobbra és balra lévő 5. prímek különbségének tizedét. Ezt felrajzolva kaptam a 6. ábrát. Erre az adatsorra is megcsináltam s hisztogrammot (7. ábra). 2.2. Páros prímek (ikerprímek) vizsgálata A páros prímeket nagyon egyszerű volt megtalálni, hiszen azokat az elemeket kellett megkeresni, melyeknek 2 a távolsága az előzőtől. A 8. ábra nem mutat újdonságot az 1. ábrához képest, mivel a páros prímek halmaza részhalmaza a prímek halmazának. Ezért egyenest illesztve az adatokra szintén jó egyezést kapunk. Szintén ábrázoltam a különbségeket a 9. ábrán. A távolságok eloszlását megcsinálva nagyon szép exponenciálist kapunk (1. ábra). Itt is kiszámoltam az átlagos távolságot (11. ábra), és az ehhez tartozó hisztogrammot is (12. ábra). Egy érdekesség Ebben az esetben a célom az volt, hogy a prímeket feltekerjem egy spirálra, vagyis hozzájuk rendeljek egy (r, ϕ) számpárt. Mivel a paramétereket nem tudtam úgy beállítani, mint Sacks 1, így nem sikerült olyan képet kapnom, amiben fel lehetne fedezni valamilyen struktúrát. A prímekből a spiral.cpp C++ program csinált (r, ϕ) párokat, előzetes matematikai számolások alapján. Az eredmény Guplottal ábeázoltam polárkoordináta rendszerben. A végeredmény a 13. árbán látható. 1 http://hu.wikipedia.org/wiki/sacks-spir%c3%a1l 2
3. Értelmezés A távolságok eloszlásának exponenciális jellege arra utal, hogy a prímek, ill. a páros prímek véletlenszerűen oszlanak el a számegyenesen. A véletlenszerű eloszlás másik bizonyítéka az átlagos távolságok eloszlása. A centrális határeloszlástétel szerint minél több véletlen változót adunk össze, azoknak az eloszlása egyre inkább a Gauss-görbéhez fog tartani. Mivel mindkét esetben az átlagos távolságok eloszlására egy Gauss-görbéhez hasonló pontfelhőt kaptam, jó eséllyel tekintetők a távolságok véletlenszerűnek. Hivatkozások [1] http://hu.wikipedia.org/wiki/pr%c3%admsz%c3%a1mok [2] http://primes.utm.edu/notes/proofs/infinite/euclids.html 3
14 12 1 sorszam a*x+b a =.743 b = 35.1 Primek sorszama a szam fuggvenyeben sorszam 8 6 4 2 2 4 6 8 1e+6 1.2e+6 1.4e+6 1.6e+6 1.8e+6 prim 1. ábra. Sorszám a szám függvényében 4 35 Az egymas utani primszamok kulonbsege 3 25 kulonbseg 2 15 1 5 2 4 6 8 1 primszam 2. ábra. Egymás utáni prímek távolsága 4
25 Az egymas utani primszamok kulonbsegenek gyakorisaga a*e -b*x 2 a = 1954.739 b =.838 gyakorisag 15 1 5 6 12 18 24 3 36 42 48 54 6 3. ábra. 1.-től 1.-ig lévő egymás utáni prímek távolságának eloszlása 18 16 Az egymas utani primszamok kulonbsegenek gyakorisaga a*e -b*x 14 12 a = 1681.9133 b =.731 gyakorisag 1 8 6 4 2 6 12 18 24 3 36 42 48 54 6 4. ábra. 1.-től a 2.-ig lévő egymás utáni prímek távolságának eloszlása 5
16 14 12 Az egymas utani primszamok kulonbsegenek gyakorisaga a*e -b*x a = 1435.7361 b =.634 1 gyakorisag 8 6 4 2 6 12 18 24 3 36 42 48 54 6 5. ábra. 9.-től a 1.-ig lévő egymás utáni prímek távolságának eloszlása 35 3 Atlagos tavolsag 25 2 15 1 5 2 4 6 8 1 12 14 primek 6. ábra. Prímek átlagos távolsága 6
6 Atlagos tavolsag gyakorisaga a szam fuggvenyeben 5. gyakorisaga 4 3 2 1 5 6 7 8 9 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2 21 22 23 24 25 prim 7. ábra. Prímek átlagos távolsága 8 7 6 a*x+b a =.754 b = 3499.9977 Paros primek sorszama a szam fuggvenyeben 5 sorszam 4 3 2 1 2 4 6 8 1e+6 paros prim 8. ábra. Páros prímek a sorszámok függvényében 7
25 Az egymas utani ikerprimek kulonbsege 2 15 kulonbseg 1 5 2 4 6 8 1 primszam 9. ábra. Egymás utáni páros prímek távolsága.14.12 Az egymas utani paros primszamok kulonbsegenek relativ gyakorisaga a*e -b*x a =.125 b =.184.1 relativ gyakorisag.8.6.4.2 1 2 3 4 5 6 1. ábra. Egymás utáni páros prímek távolságának eloszlása 8
35 3 Atlagos tavolsag 25 2 15 1 5 2 4 6 8 1 12 14 paros prim 11. ábra. Páros prímek átlagos távolsága 18 16 Atlagos tavolsag gyakorisaga a szam fuggvenyeben 14. gyakorisaga 12 1 8 6 4 2 5 1 15 2 25 3 prim 12. ábra. Páros prímek átlagos távolságának eloszlása 9
1 "r_fi.dat" u 1:2 8 6 4 2 2 4 6 8 1 1 8 6 4 2 2 4 13. a bra. A prı mek spira lra feltekerve 1 6 8 1