LOGO Kvantum-hibaavítás III. Gyöngyösi László BME Villamosmérnöki és Informatikai Kar
A kvantum hibaavítási folyamat formális leírása
Eredmények formalizálása Legyen A egy x-es komplex mátrix: ahol a, b, c, d. A ai bσ cσ dσ X Y Z, Az A mátrixot az n - kvantumbites ψ állapot - ik kvantumbitére alkalmazzuk, amely megfeleltethető egy vagy több kvantumbit kódolási folyamatának a hibaavító algoritmusban. Ekkor A ψ a ψ bσ ψ cσ ψ dσ ψ ( ) ( ) ( ) ( ) X Y Z, ahol () a ψ kvantumállapot. kvantumbite. Tegyük fel, hogy a kódunk tetszőleges egyszeri σ, σ σ hiba ellen véd. X Y, Z
Eredmények formalizálása A hibaavító algoritmus első lépésének eredményét így a következőképpen formalizálhatuk: a ψ I szindróma bσ ψ σ ( ) ( ) X X cσ ψ σ ( ) ( ) Y Y dσ ψ σ ( ) ( ) Z Z szindróma szindróma szindróma. A szindróma meghatározása utáni állapo t: ψ ( a I szindróma σ ψ b σ ( ) ( ) X X σ ψ c σ σ ( ) ( ) Y Y ψ d σ ( ) ( ) Z Z szindróma szindróma szindróma ). A szindróma bemérése és a hiba avítása után visszaáll az eredeti kvantumállapot
Eredmények formalizálása A megengedett egy-kvantumbites unitér műveletek: I, X, Y, Z. Ha a. kvantumbiten egy tetszőleges, megengedett, egy kvantumbites unitér transzformációt hatunk végre, a kimeneti állapotot a következőképpen írhatuk fel: N ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Φ ψ ψ A ψ ψ A k k ( ) ( ) k ahol az A, A N mátrixok megadhatóak a formában. A ψ a I b σ c σ d σ ( ) ( ) ( ) ( ) k k X k Y k Z,
Eredmények formalizálása A szindróma meghatározása ill. megmérése utáni rendszerállapot: N k ( a b k k ψ ψ I szindróma I szindróma σ ψ ψ σ σ szindróma σ ( ) ( ) ( ) ( ) X X X X szindróma c k σ ψ ψ σ σ szindróma σ ( ) ( ) ( ) ( ) Y Y Y Y szindróma d ( ) ( ) ( ) ( ) k σz ψ ψ σz σz szindróma σ Z szindróma. ) A szindróma meghatározásával, valamint annak bemérésével a reprezentált tetszőleges hibát a 4 megengedett I, σ, σ, σ lehetséges hibaállapotra szűkítettük le: X Y Z Φ vel
Eredmények formalizálása A diszkrét hibaállapotokra történő leszűkítés után, a kapott szindróma értékének megfelelően elvégezzük a kvantumállapot avítását: ψ ψ b k N k σ ( a k I szindróma I szindróma szindróma σ ( ) ( ) X X szindróma k k ( ) ( ) σy szi σy c ndróma szindróma d σ szindróma σ ( ) ( ) Z Z szindróma. ) A így avítás utáni állapotból eltávolítuk a szindróma állapotokat, megkapuk a avított ψ ψ állapotot.
GH T : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) mod mod mod mod mod mod Bináris Hamming-kód
Bináris Hamming-kód A H T felső n k sorát meghagyuk, eléíruk az egységmátrixot és megkapuk G-t: G Legyen a vett (csatornakódolt és torzult) üzenet és. Mik lehettek az eredeti (tömörített) üzenetek, mivé dekódola a vevő őket? Hányadik pozícióban rontott a csatorna?
Fontos összefüggések A GH T összefüggést felhasználva, a G generátormátrix megkonstruálható a H paritásmátrixból is Ehhez k darab lineárisan független vektort kell találnunk, amely ortogonális a H sorvektoraira A talált k db vektor alkota a G generátormátrix oszlopvektorait
Fontos összefüggések A GH T összefüggést felhasználva, a H paritásellenőrző mátrix megkonstruálható a G generátormátrix alapán A duális kódokat használó CSS kvantum-kód előállítása során felhasználuk A H előállításához (n-k) darab lineárisan független, a G oszlopvektoraira ortogonális y i vektorra lesz szükségünk. Ezen feltételeknek megfelelő y i T vektorok alkoták a H sorvektorait.
Lineáris kódok kvantumrendszerekben Kvantum hibaavítás esetén a klasszikus H paritásellenőrző mátrix analógiáára - megkonstruálható az S stabilizátor mátrix. Az S mátrixot megkaphatuk a H mátrix alapán is: A H mátrixban lévő -esek helyét a Z operátorral cserélük fel. A kapott S stabilizátor pontosan ugyanazon klasszikus kódot definiála: Azaz az S stabilizátor ugyanazon mennyiségű bit-flip hiba kiavítását teszi lehetővé. A [7,4,3] Hamming kód S stabilizátora így: Z Z Z Z I I I Z Z I I Z Z I Z I Z I Z I Z
Bevezetés: CSS kódok Kvantum hibaavító kód konstruálható a C és C, klasszikus lineáris kódok alapán. A C kód paritásellenőrző mátrixában Z-re, míg a C mátrix paritásellenőrző mátrixában X-re cserélük az -eseket: Z Z Z Z I I I Z Z I I Z Z I Z I Z I Z I Z X X X X I I I X X I I X X I X I X I X I X C : [7,4,3] Hamming C : [7,4,3] Hamming [[7,,3]] QECC
Milyen CSS kódok lehetségesek? Nem minden C és C kódpárosítás lehetséges A C klasszikus kód duálisa a C kód, amelynek adott w elemére, valamint a C halmaz összes v kódszavára fennáll a v w összefüggés. (A C és C halmaz kódszavai egymásra ortogonálisak). A duális kódot a C paritásellenőrző mátrixának soraiból generáluk. Legyen v C és w C. Az egyes vektorokhoz rendelt Z, X operátorok akkor és csak akkor kommutatívak, ha v w. Ekkor a w C része a (C ) C halmaznak. A CSS kód előállításának feltétele: C C.
A CSS kódok alaptuladonságai AC,[n,k,d ] és a C, [n,k,d ] kódok alapán konstruált CSS kód ellemzői: [[n, k k - n, d ]] ahol d min (d,d ). A CSS kódot klasszikus kódszavak szuperpozícióának tekinthetük. Így, v C esetén: v v w w C Ha v-v C, akkorv és v ugyanazon állapot, így a v végigfut a teles C /C halmazon. (C C.)
Példa: CSS kódolk dolás
CSS kódolás követelményei A CSS kódolás megkonstruálásához szükségünk lesz a C és C klasszikus lineáris kódokra C : [n,k ] lineáris kód, C : [n,k ] lineáris kód k <k C C Ha a C és C kódok egyaránt t hiba avítására képesek, akkor a megkonstruált kód egy t kvantumhiba avítására alkalmas CSS : [n,k -k ] kód lesz A létrehozott CSS(C /C ) kóddal így tetszőleges, t kvantumbithiba avítható CSS(C /C ) A C kód C feletti CSS kóda [n,k -k ] kód: k-k logikai kvantumállapot n kvantumbiten tárolva
A CSS kód alaptuladonságai Mivel C C, így a C és C klasszikus lineáris kódok egymás duálisai is lehetnek, ekkor: C : [n,k] és C : [n,n-k]. Az előállítható CSS kód: CSS[n,k-n] Pl.: Adott a C [7,4] Hamming-kód, és annak duálisa C : [7,3] kód A megkonstruálható CSS kód paraméterei: CSS[7,x4-7] CSS[7,]. Egyetlen logikai hiba avításához 7 kvantumbit! Létezik obb konstrukció? CSS : (C [5,3]/C [5,]) CSS[5,]. (Laflamme, Miguel, Paz, Zurek, 996)
Kódolási lépések összefoglalása Adottak a C és C klasszikus lineáris kódok A kódtér mérete: Nk -k A C kódszavak közül kiválasztuk azon x,, x N C kódszavakat, amelyekre x, i x C ahol i. Mindig lehetséges, mivel a C /C halmaz elemei a k -k dimenziós részhalmazát alkoták, így ezen elemek mindegyikéhez létezik legalább helyes x kódszó Jelölük a kódolandó (k -k ) darab kvantumbit által meghatározott klasszikus állapotokat azok -(N-) közti bináris értékével A kódolás által realizált leképezés: x C x y C y C.
Kódolási lépések összefoglalása x C x C y C y. Mivel x x C, i így x C x C, i. i i A C-ből kiválasztott kódszót a C halmaz összes elemével összeaduk ( C elemek száma C-ben) ( ) Ha x C és x C, de x x C, ahol i, akkor i i x C x x x C x C i i.
CSS kód konstruálása Legyen adott C [7,4] és duálisa C [7,3] CSS[7,x4-7] CSS[7,]. A C [ 7,4,3 ] lineáris kódot A C [ 7,3, 4 ] G generátormátrixa alapán konstruáluk: G. lineáris kódot H paritásellenőrző mátrixa alapán konstruáluk: H. A H paritásellenőrző mátrix T sorait a G mátrix sorainak felhasználásával generáluk: T G
Fontos összefüggések A GH T összefüggést felhasználva, a H paritásellenőrző mátrix megkonstruálható a G generátormátrix alapán A duális kódokat használó CSS kvantum-kód előállítása során felhasználuk A H előállításához (n-k) darab lineárisan független, a G oszlopvektoraira ortogonális y i vektorra lesz szükségünk. Ezen feltételeknek megfelelő y i T vektorok alkoták a H sorvektorait.
CSS kód konstruálása T G A C duális kód H paritásellenőrző mátrixának kialakítása C C H.
A C kódszavainak előállítása H.
A kvantumkód vektorai ( ) uc A C halmaz összes lehetséges kódszava:. x C x y C y C x x C, i Mely kódszavak használhatók a C halmazból? i.
A kvantumkód vektorai Mely kódok felelnek meg az x, i i x C kritériumnak? Legyen x C : ( y ) y C, ahol y a C halmaz lehetséges összes kódszava ( is.) x C x y C y C C 8 ( y C x y. )
A kvantumkód vektorai Mi lesz a C /C halmaz eleméhez tartozó vektor? Olyan vektor kell a C -ből, amelynek elemei C -n kívüliek A vektor nem eleme C -nek Ugyanakkor eleme C -nek: GT mátrix utolsó sorát helyettesítük az utolsó két sor összegzésével kapott vektorral, mad az összes sort összeaduk T T G G. C
A kvantumkód vektorai Az C vektorhoz tartozó C elemek meghatározása x : C ( y ) y C, ahol y a C halmaz lehetséges összes kódszava. x x C i, i x C x y C y C C 8 ( y C x y. )
Eredmények összefoglalása A kapott eredmény: 7 kvantumbites Steane-kód. ( 8. ) ( 8. ) Az elméleti eredmények hogyan ültethetőek át a gyakorlatba? Hogyan épül fel a CSS-kódolást megvalósító kvantumáramkör?
Bithiba-avítás Steane-kóddal Kódolt állapot > > > > Eredmény: Nincs hiba
Bithiba-avítás Steane-kóddal Kódolt állapot > HIBA > > > > Eredmény: helyett Hiba azaz a 4. bit hibásodott meg
Lépések részletezése A szindróma meghatározásra szolgáló kvantumáramkör felépítése: Alsó 7 szálon: 7 kvantumbites regiszter, logikai bit kódolására Felső 6 szál: kiegészítő kvantumbitek a szindrómaszámításhoz A Steane-kódolás így egyetlen hiba avításához 3 kvantumbitet ( 7 kód 6 kiegészítő) használ
CSS kód alapú kvantum-hibaavítás.lépés Az R kvantumregiszterben lévő kvantum bitek száma legyen n. A y y s y reverzibiis transzformációval meghatározzuk az C kód s szindrómáát. ( ) ( y) Megmérük a szindrómát, a bit-flip ellegű hibákat NOT kapukkal avítuk X transzformációt alkalmazunk az R kvantumregiszter megfelelő kvantumbiteire
CSS kód alapú kvantum-hibaavítás.lépés Az R kvantumregiszter kvantumbiteire alkalmazzuk a H Hadamardtranszformációt.
CSS kód alapú kvantum-hibaavítás 3.Lépés ( ) A y y s y reverzibilis transzformációval meghatározzuk az C kód s szindrómáát. ( y) Megmérük a szindrómát, a bit-flip ellegű hibákat NOT kapukkal avítuk X transzformációt alkalmazunk az R kvantumregiszter megfelelő kvantumbiteire
CSS kód alapú kvantum-hibaavítás 4.Lépés Végül, az R kvantumregiszter kvantumbiteire ismét alkalmazzuk a H Hadamard-transzformációt.
Lépések részletezése A modell megkonstruálása során feltesszük, hogy a bit-negálódás ellegű hibák száma legfelebb t a fázisfordulás ellegű hibák száma legfelebb t A bit-hibát illetve a fázis-hibát reprezentáló hibavektor elölése n n legyen: e, f. Mindkét vektor legfelebb t darab -est tartalmazhat n Adott v vett-vektor esetén: v [ ] v[ n] v X X X v [] v[ n] v Z Z Z. és Az összes fellépő hiba így: e f XZ.
Lépések részletezése A e, f hibavektorokra fennállnak a következő összefüggések: e f X Z ( ) e n e e n H X Z H n e e n H Z X H f f e Z X.
Lépések részletezése A CSS-kódolás feltételeit telesítő kódolt kvantumállapotunk legyen: N α x C Az e és f hibák bekövetkezése utáni állapot: N N N α X α α e ( ) ( ) f Z x C ef f e Z X x C ef f Z x e C..
Lépések részletezése Kiszámítuk és bemérük a paritásvektor értékét, mad a C kódnak megfelelően végrehatuk a korrekciót. A szindróma által elzett kvantumbitekre NOT transzformációt alkalmazunk Az e hibavektor legfelebb t darab hibát elezhet. A kvantumrendszer állapota a hiba avítása után: N N N α α ( ) ( ) ef f Z x e C ef e f X Z x e C f α Z x C.
Lépések részletezése A kapott N f α Z x C kódra is fennáll a C C követelményünk A kód minden x kódszavát ennek megfelelően választuk meg A fenti állapoton elvégezzük a következő átírást: N N α Z α Z f f x X x C C.
Lépések részletezése Végrehatuk a Hadamardtranszformációkat Így:. n H C C ( ) α α α α. N f N f N f x x x x N x f n Z C Z H X C Z X f C X Z C
Lépések részletezése Kiszámítuk és bemérük a paritásvektor értékét, mad a C kódnak megfelelően végrehatuk a korrekciót. Az f hibavektor által megelölt kvantumbitekre NOT-transzformációt alkalmazunk ( ) ( ) α α α. x x x N f N e N x f x Z Z C Z f C X C f
Lépések részletezése Végrehatuk a Hadamardtranszformációkat Így:. n H C C α α α α. N N N N n x x x H X Z x Z C C C C
Lépések részletezése Megkaptuk az eredeti x C x y C y C. leképezésnek megfelelő eredményt. N α x C x, i. i x C.
Stabilizátor mátrix A 7 kvantumbites Steane-kód S stabilizátor mátrixa: A 6x4-es mátrix bal felében lévő - esek az X-operátorokat elölik ki a 7 kvantumbites szálon A obb oldalon lévő bitek értéke ekkor A mátrix obb oldalán lévő -esek a Z- operátorokat határozzák meg A bal oldalon lévő bitek értéke ekkor A mindkét oldalon megelenő -esek az Y-transzformációt (X és Z) elentik
Összefoglalás A kódolás nagyon erőforrásigényes Létezik gazdaságosabb megoldás? Kisebb kvantumregiszterek alkalmazása kvantumbitenkénti kontrollálhatósággal? Fizikailag kivitelezhetetlen (kvantumeffektusok, zavarok) Más felépítésű kódok keresése Hierarchikus struktúra: tetszőleges pontosság érhető el, azonban ehhez szintén emelnünk kell a kvantumbitek számát Mit várhatunk a hierarchikus kvantum kódolási struktúráktól? -> Kvantum konkatenációs kódolás
LOGO Köszönöm a figyelmet! Gyöngyösi László BME Villamosmérnöki és Informatikai Kar